Perdidas de Carga

J. Ballester

Área de Mecánica de Fluidos

FluidotecniaGrado Ing. Química

_________________________________________________________

Tema 2

Pérdidas de carga

v.9Sept13

Contenido

1. Pérdidas de Carga. Análisis general.

2. Pérdidas de carga lineales Flujo laminar Flujo turbulento Diagrama de Moody Conductos no circulares

3. Pérdidas de carga singulares Cambios de dirección Cambios de sección Válvulas

4. Resumen y tipos de problemas

Fluidotecnia 2. Pérdidas de carga / 2

La disipación viscosa transforma energía mecánica en energía interna:

v = función de disipación viscosa de Rayleigh. Para =cte:

2.1. Pérdidas de carga. Análisis general.

Fluidotecnia

vextWgzpvgzpvG

1

2

2

2

22

vQeG 21

222

222

222

x

w

z

u

z

v

y

w

y

u

x

v

z

w

y

v

x

u

x

v

dV

j

iijv

Vvv

c

2. Pérdidas de carga / 3

Para calcular v debe conocerse el campo de velocidades:

Es necesario realizar un análisis detallado del flujo en cada caso concreto. Salvo algunos casos simples, resolución numérica con alto coste computacional.


Fluidotecnia

j

iijv

Vvv x

vdVc

;

V p


En la práctica se utilizan coeficientes empíricos que caracterizan las pérdidas de carga en distintas situaciones y geometrías.

La expresión general utilizada para el cálculo de pérdidas de carga es:

Es decir: Las pérdidas de carga en un elemento de una instalación son

proporcionales a la altura cinética del flujo, multiplicada por el coeficiente ki

ki es un coeficiente adimensional que depende de la geometría y del régimen del flujo (determinado por Re y /D)

Esta expresión se puede obtener mediante análisis dimensional (Teorema )


Fluidotecnia

2


1. Identificación de variables dimensionales: Geometría:

» Una dimensión característica, que defina el tamaño. Usualmente, diámetro D

» Todo el resto de dimensiones necesarias para definir la geometría (p.ej., codo: radio de curvatura, ángulo)

» Rugosidad de la pared: Fluido: , , K

(K=coef. de compresibilidad; 1⁄ 1⁄ ⁄ ) Velocidad del flujo: V=Q/S Campo de fuerzas: g Pérdidas de carga pueden expresarse como:

» v (unidades de potencia)» pf= v /Q =ghf (unidades de presión)» hf: NO. Tiene dimensiones de longitud, pero no es una

longitud (es un parámetro de energía, no geométrico)

2.1. Pérdidas de carga. Análisis general.Aplicación del Teorema


2. Formación de la matriz dimensional:


Fluidotecnia

gVKLDfghp iff ,,,,,,,

xi M L T

1 -3

V 1 -1

D 1

Li 1

1

1 -1 -1

K 1 -1 -2

g 1 -2

ghf 1 -1 -2


3. Selección de VDI: 3 dimensiones → k=3 , V y D: Son dimensionalmente independientes

Número de variables dimensionales: n=9 Número de VDI=k=3 Número de grupos adimensionales: m=n-k=6



xi M L T

1 -3

V 1 -1

D 1

Li 1

1

1 -1 -1

K 1 -1 -2

g 1 -2

ghf 1 -1 -2

4. Formulación de los j:


Fluidotecnia

xi M L T j

1 -3

V 1 -1

D 1

Li 1 Π 1 Π 1 -1 -1 ΠK 1 -1 -2 Πg 1 -2 Π

ghf 1 -1 -2 Π2. Pérdidas de carga / 9

Por tanto, las pérdidas de carga pueden determinarse a partir del siguiente conjunto de variables:Π Π ,Π , Π , Π , Π5. Reorganización y simplificación:

Se considerará en cada caso una forma geométrica concreta (semejanza geométrica) → Li constantes y pueden eliminarse de la lista de variables.

K tiene en cuenta los efectos de compresibilidad sobre el flujo y, por tanto, sobre las pérdidas de carga. Está relacionado con el número de Mach: K =1/M2, con M=v/a (a=velocidad del sonido)

» Los efectos de compresibilidad pueden despreciarse para M<0.3 (condición equivalente a /<0.1)

→ puede eliminarse K de la lista de variables para el

estudio de flujos incompresibles



Π» Fr=Número de Froude» Solo es relevante en flujos con superficie libre (donde la

presión motriz p*=p+gz no es constante).» Si no hay superficie libre y =cte, la gravedad influye en el

nivel de p, pero no en el campo de velocidades» Por tanto, g puede eliminarse de la lista de variables

La ecuación solamente indica relación de dependencia → Puede sustituirse cualquier por una función suya u operaciones entre varios

» P.ej., puede sustituirse por su inverso 1/ =Re



z=cte, p*≠ cte

Π , / ΠSi llamamos 2Π , / Π , el coeficiente adimensional de pérdidas para la geometría i:2 , /, / 2Es decir:

Las pérdidas de carga en un elemento de una instalación son proporcionales a la altura cinética del flujo, multiplicada por el coeficiente ki

ki es un coeficiente adimensional que depende de:» La forma geométrica (no del tamaño) del elemento» Número de Reynolds» Rugosidad relativa



El coeficiente de pérdidas depende de los parámetros geométricos que definen la forma de cada elemento. Es necesario un estudio específico para cada geometría.

P.ej., para válvula de mariposa, á

2.1. Pérdidas de carga. Análisis general.Coeficiente adimensional de pérdidas


La geometría más simple es el conducto circular, que puede caracterizarse completamente mediante L=L/D

En este caso puede escribirse: , , Para el caso de flujo desarrollado (campo de velocidades

idéntico en todas las secciones), las pérdidas deben ser proporcionales a L. Por tanto, debe cumplirse:,

, ΔEcuación de Darcy-Weisbach

f=factor de fricción de Darcy. Depende del régimen de flujo.

2.2. Pérdidas de carga lineales.Ec. De Darcy-Weisbach


Expresiones para pérdidas de carga lineales aplicables para flujo desarrollado

Longitud de desarrollo:

Correlaciones: Laminar

Turbulento

2.2. Pérdidas de carga linealesLongitud de desarrollo


Re06.0DLe

(Re))(

),,,(

gVD

gD

L

VDL

e

e

61Re4.4DLe

Flujo laminar desarrollado en conducto circular de sección constante: Estacionario constante u=u(r)

;∙0 0 1

0 11 ∗

2.2. Pérdidas de carga lineales2.2.1Flujo de Hagen-Poiseuille axisimétrico


Se puede demostrar que p* solo depende de la coordenada x (no de r ó ); es decir, p*=p*(x) es constante en cada sección transversal.

Se designará el gradiente de presión motriz:∗ ′ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ′

Integrando en r

∗Por simetría → du/dr=0 en r=0 → C1=0



Integrando otra vez: ∗ ′2 2 Condición de no deslizamiento: r=R, u=0:∗ ′2 2∗ ′4 Perfil parabólico.0 ∗ ′41



Una vez resuelto el campo de velocidades, puede calcularse cualquier parámetro en función de los datos del problema.

Si se conoce (p*)1-(p*)2 se puede calcular:

Caudal, Q, y velocidad media, V: 2 ∗ ′8∗ ′82 Esfuerzo viscoso en la pared∗ ′



Si se conoce Q (o V) se puede calcular:

Diferencia de presión motriz: ∗ ∗ ∗ 8∗ ∗ ∗ 8

Ecuación de Conservación de Energía Mecánica:

pext=(Wext/Q)=0; Fl. desarrollado→E. cinética igual en 1 y 2∆ ∗ ∗ ∗∆



fext ppgzv

pgzv

p

1

2

2

2

22

Identificando con Ec. de Darcy-Weisbach:→ 64para flujo laminar (desarrollado) en conductor circular

Se ha obtenido a partir de: Solución exacta del campo de velocidades Balance de energía mecánica

Otras formas de evaluar las pérdidas de carga, a partir de campo de velocidades: Definición de v

Balance de cantidad de movimiento



A partir de la definición de disipación viscosa:



Re

6464

2

82

1622

222

22

2

0

24

22

2

2222

222

VDf

g

V

D

LfRVghQ

LVrdrLdV

rR

V

R

rV

r

u

x

w

z

u

z

v

y

w

y

u

x

v

z

w

y

v

x

u

x

v

fv

R

vV

vv

v

j

iijv

c

Balance de cantidad de movimiento en VC:

Estacionario: d/dt=0 Flujo desarrollado: u(r) igual en S1 y S2

» (se cancela término convectivo y ’)



cccc V mS sS cV

dVfdSfdSnvvvdVvdt

d

xxS s

xxRr

xRrxrps

xsxs

s

pSSS sS s

eRLR

VeRppdSf

eR

Veruef

epfepfnnpnf

dSfdSf

c

c

24

4;

'

221

2211

21

Término de fm, en dirección x:

Resultado del balance:



xxx

V m

ezzReLsenRedirEn

gLRdVfc

2122

2

:.

Re6464

2;8

024

024

2*2

*12

*2

*1

22211

2122

21

VDf

gV

DLfpp

RVLpp

RLR

VRgzpgzp

zzRgRLR

VRpp

Ecuación de Darcy-Weisbach (caso general):

Para flujo Hagen-Poiseuille axisimétrico:

f, efectivamente, depende del número de Reynolds.

Pero no depende de la rugosidad de la tubería (se supone que <<D; de lo contrario, geometría y flujo dependen de )

2.2. Pérdidas de carga lineales2.2.1Flujo laminar en conducto circular


gV

DL

Dfhf 2

Re,2

ReRe6464 f

VDf

Para flujo desarrollado en conductos se puede escribir la ecuación de conservación de cantidad de movimiento en función del esfuerzo viscoso en la pared p:

Es una relación general, válida también para otros perfiles de velocidad o secciones no circulares.

2.2. Pérdidas de carga lineales2.2.2Relación gral. hf / f - p


2

2*2

*1

*2

*1

8

2

Vf

gALh

gV

DLgfghpp

mojadoPerímetro

LdSpp

p

pf

f

pS

pp

2.2. Pérdidas de carga lineales2.2.2Flujo laminar vs. turbulento


Osborne Reynolds(1842-1912)

VD

Re

Experimento de Reynolds (1883)

Flujo laminar (Re<2300): Fenómenos de transporte = Difusión molecular

(energía, especies, cantidad de movimiento)

Esfuerzo cortante =

Régimen de transición (~2300-4000)

Flujo turbulento (Re>4000): Fenómenos de transporte:

» Difusión molecular» Transporte turbulento

Esfuerzo cortante:

» Difusión molecular =

» Esfuerzo turbulento, en dirección r ′ =

En general: Transporte turbulento >> Difusión molecular

2.2. Pérdidas de carga lineales2.2.2Flujo laminar vs. turbulento


Zonas del flujo: Zona exterior (turbulencia

domina) Capa de solape (ambos) Capa viscosa (viscosidad

domina)

Esfuerzo en la pared determinado por capa viscosa:

∗ 2,44 ln ∗ 5,081⁄ 1,99 log ⁄ 1,02

2.2. Pérdidas de carga lineales2.2.2Flujo turbulento – Leyes de pared


L. Prandtl reajustó las constantes para obtener mejor ajuste con datos experimentales (flujo turbulento, pared lisa):1⁄ 2,0 log ⁄ 0,8

La rugosidad de la pared modifica el flujo cerca de la pared. Se distinguen 3 situaciones:∗

<5 – Tubería lisa (sin influencia de )

5<∗<70 – Rugosidad de transición (influencia de y Re)

70<∗

– Régimen rugoso (sin influencia de Re)

Para régimen rugoso se obtiene:1⁄ 2,0 log 3,7

2.2. Pérdidas de carga lineales2.2.2Flujo turbulento – Rugosidad


Nikuradse, en 1933, realizó experimentos pegando granos de arena de distinto tamaño sobre tuberías lisas.

Resultado: datos experimentales f(Re, /D)

Colebrook, en 1939, propuso la siguiente fórmula de interpolación entre expresiones para tubo liso y régimen rugoso: 1⁄ 2,0 log 3,7 2,51 ⁄

Moody, en 1944, la representó en el ‘Diagrama de Moody’

La Ec. de Colebrook es implícita en f. Puede calcularse con error<2% con la ecuación de Haaland:1⁄ 1,8 log 6,9 3,7 ,

2.2. Pérdidas de carga lineales2.2.3Diagrama de Moody




Rugosidades ‘efectivas’ de materiales. Valores que se ajustan a los cálculos de pérdida de carga con el diagrama de Moody para los distintos materiales (no necesariamente coinciden con medidas reales de rugosidad)

Valores para tuberías nuevas

Normalmente, es la mayor fuente de incertidumbre en los cálculos

(incert. en ~30-60%)



Flujo laminar: 64 64 Flujo turbulento:

Caso general (Ec. Colebrook):1⁄ 2,0 log 3,7 2,51 ⁄ Caso general (aproximación de Haaland):1⁄ 1,8 log 6,9 3,7 , Pared lisa (Ec. Prandtl):1⁄ 2,0 log ⁄ 0,8 Régimen rugoso: 1⁄ 2,0 log 3,7

2.2. Pérdidas de carga lineales2.2.3Resumen de ecuaciones para f


Flujo laminar:64 2 64 2 ∝ ∝ Régimen rugoso:

2 ∝ ∝ Régimen turbulento no rugoso:~ 1 ; 0 1

2 ∝ ∝ ; 1 2

2.2. Pérdidas de carga lineales2.2.3Dependencia con V / Q: hf


Flujo laminar:∆ 128 Régimen rugoso:∆ 8

Régimen turbulento no rugoso: Dependencias intermedias

2.2. Pérdidas de carga lineales2.2.3Dependencia con V / Q: pf


Variable Laminar Turb rugoso

Caudal Q Q2

Densidad -

Viscosidad -

Diámetro D-4 D-5

Rugosidad - (log()+x)-2

2.2. Pérdidas de carga lineales2.2.3Relación Q-p: Laminar vs. Turbulento


0

20

40

60

80

100

120

140

0 20 40 60 80 100

Dif.

Pre

sion

(%)

Q (%)

70%50%

Laminar

Turb.

p=100%

p=50%

0

20

40

60

80

100

120

140

0 20 40 60 80 100

Regimen Laminar

Dif.

Pre

sion

(%)

Q (%)

Base

2*L2*

D/2

0

20

40

60

80

100

120

140

0 20 40 60 80 100

Regimen Turbulento

Dif.

Pre

sion

(%)

Q (%)

Base

2*L2*

D/2

A partir de la conservación de cantidad de movimiento, se obtuvo la siguiente relación entre alturas de pérdidas, hf, y esfuerzo viscoso en la pared p:

p no es constante, y sería un valor promedio

2.2. Pérdidas de carga lineales2.2.4Tubería de sección no circular


28

1

Vf

mojadoPerímetrolTransversaSecciónA

AgL

gALh

p

ppf

Definiciones:

Ejemplos: Tubería circular: Dh=D Sección cuadrada, lado a: Dh=a Sección anular: Dh=(De-Di)

Pérdidas de carga se pueden estimar, sustituyendo D por Dhen diagrama de Moody y en ec. de Darcy-Weisbach



hh

h

RADHidráulicoDiámetro

ARHidráulicoRadio

44

D→Dh: Buenos resultados para flujo turbulento (error~15%)

En flujo laminar debe sustituirse la constante ‘64’ por un factor que depende de la geometría:



Conducto anular, con diámetros a, b

Las pérdidas en un elemento i dependen de su coeficiente adimensional de pérdidas, , / :, / 2∆ , / 2

ki depende de:» La forma geométrica (no del tamaño) del elemento» Número de Reynolds» Rugosidad relativa

ki = Número de alturas cinéticas del flujo que se disipan en el elemento.

2.3. Pérdidas de carga singulares


También se usan otras definiciones del coeficiente de pérdidas.

En función del caudal (cuidado: no adimensional, y depende de tamaño), Ki:2 22

En términos de longitud equivalente de conducto, Le:2 , 2





Flujo ≠ flujo desarrollado: V máxima mayor Separación del flujo en la parte interior Flujo secundario

2.3. Pérdidas de carga singulares2.3.1Cambios de dirección (codos)


Coef. de pérdidas depende de: Régimen de flujo (/D y Re) Radio de curvatura Ángulo del codo Geometría:

» Curva / inglete» Rosca/brida/soldado

ki es la suma de: Singularidad del codo Longitud del codo

» Mínimo para R=2-3D



Ks para tubo liso, Re=2*105 (f=0.015)

ki tabulados son para flujo desarrollado en la entrada

En general, 2 Piezas Iguales ≠ Doble ki



Rc=2D

Convergencia / divergencia; Brusca / gradual

Incluye: Entrada / descarga a depósito / atmósfera

No es un problema simétrico:

2.3. Pérdidas de carga singulares2.3.2Cambios de sección


(ki basado en diámetro pequeño, d) Expansión brusca:

Contracción brusca, d/D>0.75: como expansión

Contracción brusca, d/D>0.75 :

2.3. Pérdidas de carga singulares2.3.2Cambios de sección - Abruptos


2

2

21

Ddki

d/D

2

215.0

Ddk i

2.3. Pérdidas de carga singulares2.3.2Cambios de sección - Graduales


Entrada gradual Expansión gradual

Válvula = Accesorio con ki variable

Esto se consigue: Reduciendo la sección interna de paso (mayor V para mismo Q) Forzando cambios de sección y dirección (mayor ki)

Cálculo de pérdidas: V calculada para D tubería

2.3. Pérdidas de carga singulares2.3.3Válvulas


gVkh if 2

2

2.3. Pérdidas de carga singulares2.3.3Válvulas


Válvula de globo (ki~5-10, abierta) Válvula de compuerta (ki ~0-1, abierta)

Válvula de mariposa (ki ~0-0.5, abierta) Válvula de bola (ki ~0-0.3, abierta)

Expresión general: , / 2∆ , / 2 Pérdidas de carga singulares: ki específico del elemento

Pérdidas de carga lineales: Ecuación de Darcy-Weisbach Régimen laminar: 64 Régimen turbulento: ⁄ 2,0 log ⁄, , ⁄ Régimen rugoso: ⁄ 2,0 log ⁄,

2.4. Resumen


Pérdida de carga total en una instalación:

2 2 3 tipos de problemas:

1. Calcular hf, conocidos D, L, , Q, , 2. Calcular Q, conocidos D, L, , hf, , 3. Calcular D, conocidos hf, L, , Q, ,

Tipo 1: Cálculo directo: Cálculo de Re Determinación de f, ki

Cálculo de hf

2.4. Tipos de problemas


Tipo 2 – Cálculo de Q hf, L, D, conocidos → Producto f*V2 conocido Pero f depende de Re y, por tanto, de V ¿Qué f utilizar si no se conoce V? Posibles métodos:

» Sustituir f por su ecuación:– Si laminar: Sencillo– Si turbulento: fórmula de Colebrook (implícita en f)

» Método iterativo

2.4. Problema Tipo 2




Tipo 2 – Procedimiento iterativo: 1. Primera estimación de f →

P.ej., Régimen rugoso (sólo función de /D)1. Cálculo de V2. Cálculo de Re=DV/3. Diag. Moody → Nuevo f4. Iterar… hasta que f no cambie.

Ejemplo: Agua, p1-p2=0.5 bar, L=30 m, D=2 cm, /D=0.002

2

2vDL

fpf

f V Re

It. 1 0.0235 1.69 33830

It. 2 0.0280 1.543 30861

It. 3 0.0282 1.538

hmQ /. 3741

Tipo 3 – Cálculo de D D interviene en Ec. D-W, en Re, en /D, en Q/V

» Cálculo iterativo

Secuencia: Establecer relaciones en función de D:

» Despejar f en Ec. D-W 2 8» Número de Reynolds: 4» Rugosidad relativa: /D

Valor inicial para f (p.ej., valor intermedio /D en diag. Moody) f → D → Re, /D → f’

f ~ f’? Si no, iterar con f’



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