La enciclopedia de las demostraciones

Escrito por Imanol Perez

1. Teora de numeros 6

1.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2. Infinitud de los numeros primos . . . . . . . . . . . 6

1.3. Irracionalidad de

2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4. Postulado de Bertrand . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5. Irracionalidad de e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6. El caso n = 4 del ultimo teorema de Fermat . . . . 16

1.7. Divergencia de la serie armonica . . . . . . . . . . . 18

1.8. Divergencia de la suma de los inversos de los numeros

primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.9. Problema de Basilea . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.10. Identidad de Cassini . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

6

2. Algebra 24

2.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2. Teorema fundamental del algebra . . . . . . . . . . 24

2.3. El binomio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3. Analisis 29

3.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2. Regla de Barrow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3. Regla de lHopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.4. Teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.5. Teorema del valor medio de Cauchy . . . . . . . . . 34

3.6. Calculo de la integral de Gauss . . . . . . . . . . . 35

7

3.7. Formula de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4. Otros 38

4.1. Los puentes de Konigsberg . . . . . . . . . . . . . . 38

4.2. Demostracion sin palabras de la formula para calcu-

lar el area de un crculo . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.3. Demostracion sin palabras de que la cardinalidad de

la recta de los numeros reales es la misma que la de

un intervalo de la recta de los numeros reales . . . . 41

4.4. Demostracion sin palabras de la suma de los primeros

n numeros naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5. Problemas no resueltos de las matematicas 42

5.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.2. Hipotesis de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

8

5.3. Conjetura de Goldbach . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.4. Conjetura de Collatz . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.5. P contra NP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.6. Conjetura de los numeros primos gemelos . . . . . . 46

5.7. Existencia de numeros perfectos impares . . . . . . 47

6. Bibliografa 49

9

1. Teora de numeros

1.1. Introduccion

La teora de numeros es la rama de las matematicas que estu-

dia las propiedades de los numeros y es una de las primeras ramas

de la matematica en ser estudiadas. Euclides, Fermat y Euler son

algunos de los matematicos mas importantes en esta rama. Hoy

en da sigue habiendo problemas irresueltos como la conjetura de

Goldbach, segun el cual todos los numeros pares pueden expresarse

como suma de dos numeros primos.

1.2. Infinitud de los numeros primos

La infinitud de los numeros primos fue demostrada por primera

vez por Euclides utilizando el reductio ad absurdum, metodo que el

mismo invento.

10

Supongamos que los numeros primos son finitos. Sea A el con-

junto de todos los numeros primos: A = p1, p2, p3, ..., pn. Sea S el

producto de todos los numeros primos mas uno:

S = p1 p2 ... pn + 1

S puede ser compuesto o primo. Si es compuesto, debe de haber

un pi A tal que pi divide a S. Sin embargo:

p1 p2 ... pn + 1pi

=p1 ... pi1 pi ... pn + 1

pi=

p1 ... pi1 pi+1 ... pn + 1pi

El cual no es un numero entero. Por lo tanto, S ha de ser primo.

Como esto es una contradiccion del supuesto original, el conjunto

de los numeros primos no puede ser finito.

1.3. Irracionalidad de

2

Para esta demostracion se utilizara el descenso infinito, aunque

existen numerosas demostraciones utilizando otros metodos.

11

Supongamos que

2 es racional. Por lo tanto, se puede escribir

de la siguiente manera:

2 =

p

q

Donde p y q son enteros positivos. Ahora se demostrara que

2

es igual a otra fraccion cuyo denominador tambien es positivo y

menor que q. Esto implicara que se podra encontrar una sucesion

de numeros enteros positivos decreciente infinitamente, lo cual no

es posible. Operando en la expresion anterior obtenemos que:

2 =p2

q2

Multiplicando ambos lados por q2 obtenemos:

2q2 = p2

Utilizando esta igualdad, tenemos que:

p2 pq = 2q2 pq p(p q) = q(2q p) pq

=2q pq p

12

Comop

q=

2:

2 =

2q pq p

Ahora se vera que 0 < p q < q. Como(p

q

)2= 2:

1 1 existe

al menos un primo p tal que n < p < 2n.

13

Figura 1: Joseph Bertrand. Pars, 11 de marzo de 1822 - 5 de abril de 1900

Sea x un entero positivo mayor que 1. Definimos (x) como:

(x) =

px, p primolog(p)

Consideremos ahora lo siguiente:

(x) = (x) + (x12 ) + (x

13 ) + (x

14 ) + ... (1)

log[x]! = (x) + (12x) + (1

3x) + ... (2)

Siendo [x] la parte entera de x. De (1) se tiene que:

14

(x) 2(x) = (x) (x12) + (x1

3) ... (3)

Y de (2) obtenemos:

log[x]! 2 log[12x]! = (x) (x1

2) + (x1

3) ... (4)

Puesto que tanto (x) como (x) son funciones crecientes, ob-

tenemos a partir de (3) y (4) las siguientes desigualdades:

(x) 2(x) (x) (x) (5)

(x) (12x) log[x]! 2 log[1

2x]! (x) (1

2x) + (1

3x) (6)

Por otro lado, puede demostrarse que:

log((x)) 2 log(12x+ 1

2) log[x]! 2 log[1

2x]!

log((x+ 1)) 2 log(12x+ 1

2) (7)

Ahora, ayudandonos de la aproximacion de Stirling, segun el

cual n! nn en 2pin, obtenemos de (7) que:

15

log[x]! 2 log[12x]! < 3

4x, si x > 0 (8)

log[x]! 2 log[12x]! > 2

3x, si x > 300 (9)

Uniendo ahora la informacion proporcionada por (6), (8) y (9)

se ve que:

(x) (12x) < 3

4x, si x > 0 (10)

(x) (12x) + (1

3x) > 2

3x, si x > 300 (11)

Si se toma la expresion (10) y si se sustituye x por 12x, 1

4x, 1

8x, . . .

y se suman los resultados, se obtiene que:

(x) < 32x, si x > 0 (12)

Uniendo en este punto la informacion proporcionada por (5) y

(12) se llega a que:

16

(x) (12x) + (1

3x)

(x) + 2(x) (12x) + (1

3x) 0, si x 162

Esto demostra el postulado de Bertrand para x > 162, ya que

como (x) era la suma de los logaritmos de todos los numeros pri-

mos menores que x, y como (2x) > (x), se tiene que entre x y 2x

tiene que haber algun primo para que (2x) sea mayor que (x). Si

a continuacion se comprueba el postulado de Bertrand para todo

x < 162, se demostrara el postulado de Bertrand.

17

1.5. Irracionalidad de e

Asumamos que e es racional. Por lo tanto, se puede escribir de

la forma:

e =a

b

Definimos ahora x como:

x = b!

(e

bn=0

1

n!

)(1)

Como e =a

b:

x = b!

(a

b

bn=0

1

n!

)= a(b 1)!

bn=0

b!

n!

El primer termino es entero, y cada fraccion en la suma es un

entero ya que n b para cada termino. Por lo tanto, x es unentero. Ahora se demostrara que 0 < x < 1, lo cual supondra una

contradiccion con lo dicho anteriormente, lo que supondra que e

no es racional.

18

El numero e esta definido como e =n=0

1

n!. Insertando esto en

(1) y operando tenemos que:

x =

n=b+1

b!

n!

Para cada termino de la sumatoria tenemos que:

b!

n!=

1

(b+ 1)(b+ 2)(b+ 3)...(b+ (n b)) 1

(b+ 1)nb

Cambiando el ndice de la sumatoria a k = n b y utilizando laformula para la serie geometrica infinita, se tiene que:

x =

n=b+1

b!

n!

> 1+

(1

2

)+

(1

4+

1

4

)+

(1

8+

1

8+

1

8+

1

8

)+... = 1+

1

2+

1

2+

1

2+...

Como esta ultima serie diverge, entonces queda demostrado que

la serie armonica tambien lo hace.

22

1.8. Divergencia de la suma de los inversos de los numeros

primos

Para demostrar la divergencia de la suma de los inversos de

los numeros primos, consideremos primero la serie armonica y la

formula del producto de Euler:

n=1

1

n=p

1

1 p1

Tomando logaritmos en ambos lados y utilizando la serie de

Taylor de log(1 x) tenemos que:

log

( n=1

1

n

)= log

(p

1

1 p1)

=p

log

(1

1 p1)

=

=p

log(1 p1) =p

(1

p+

1

2p2+

1

3p3+ ...

)=(

p

1

p

)+p

1

p2

(1

2+

1

3p+

1

4p2+ ...

)

Siendo C una constante menor que 1. Puesto que la suma de los

recprocos de los primeros n numeros enteros positivos es asintotica

a log(n) ( es decir, su ratio se acerca a 1 cuando n se acerca a

infinito ) se tiene:

n=1

1

n log(n) si n

Sustituyendolo en la expresion de arriba y despreciando la cons-

tante C cuando n tiende a infinito, concluimos que:

1

2+

1

3+

1

5+

1

7+ ... = log log()

1.9. Problema de Basilea

El problema de Basilea consiste en encontrar la suma de los in-

versos de los cuadrados de los numeros naturales, es decir, encontrar

el valor de:

n=1

1

n2

24

Euler demostro que el valor de la suma era pi2

6. Para demostrarlo,

consideremos el desarrollo de sin(x) utilizando la serie de Taylor:

sin(x) = x x3

3!+x5

5! ...

Dividimos ambos lados entre x y tenemos que:

sin(x)

x= 1 x

2

3!+x4

5! ...

Las races desin(x)

xson nx, donde n es un numero entero. Asu-

mamos que podemos expresar esta serie infinita como producto de

factores lineales dados por las races, de la misma forma que hace-

mos con los polinomios finitos:

sin(x)

x=(

1 xpi

)(1 +

x

pi

)(1 x

2pi

)(1 +

x

2pi

)... =(

1 x2

pi2

)(1 x

2

4pi2

)...

Si calculamos la multiplicacion veremos que el coeficiente de x2

es:

25

(

1

pi2+

1

4pi2+

1

9pi2+ ...

)= 1

pi2

n=1

1

n2

Del desarrollo de la serie de Taylor tenemos que el coeficiente

de x2 ha de ser 13!

= 16. Como los dos coeficientes han de ser

iguales, tenemos que:

16

= 1pi2

n=1

1

n2

Y, por lo tanto:

pi2

6=n=1

1

n2

1.10. Identidad de Cassini

La identidad de Cassini establece que, si Fk es el k-esimo numero

de Fibonacci, entonces Fn+1Fn1F 2n = (1)n. Se demostrara porinduccion. Para n = 1, se ve que se cumple que F2F0F 21 = (1)1.Supongamos que la identidad es cierta para n = k: Fk+1Fk1F 2k =(1)k. Entonces, ha de ser cierta para n = k + 1:

26

Fk+2Fk F 2k+1 = (Fk + Fk+1)Fk F 2k+1 (1)

= F 2k + FkFk+1 F 2k+1 (2)

= F 2k + FkFk+1 Fk+1 (Fk + Fk1) (3)

= F 2k + FkFk+1 FkFk+1 Fk+1Fk1 (4)

= F 2k Fk+1Fk1 (5)

= (1) (Fk+1Fk1 F 2k ) (6)= (1) (1)k (7)

= (1)k+1 (8)

(9)

27

2. Algebra

2.1. Introduccion

El algebra es la rama de las matematicas que estudia las es-

tructuras, las relaciones y las cantidades (en el caso del algebra

elemental). Su origen se romonta a los antiguos babilonios, que

haban desarrollado un avanzado sistema aritmetico con el que fue-

ron capaces de hacer calculos en una forma algebraica. Utilizaron

este sistema para encontrar valores desonocidos.

2.2. Teorema fundamental del algebra

El teorema fundamental del algebra establece que todo poli-

nomio en una variable de grado n = 1 con coeficientes reales o

complejos tiene por lo menos una raz (real o compleja). Para la

demostracion, consideremos p un polinomio de grado n, siendo p

una funcion entera. Para cada m positivo, existe un numero real y

positivo r tal que:

28

|p(z)| > m, si |z| > r

Si p no tiene races, entonces la funcion f = 1p

es una funcion

entera con la propiedad de que para cualquier numero real > 0,

r positivo tal que:

|f(z)| < , si |z| > r

Por lo tanto, la funcion f es acotada. Sin embargo, segun el

teorema de Liouville si f es una funcion entera y acotada, f ha de

ser una constante, lo cual es imposible. Por lo tanto, f no puede ser

entera y p tiene como mnimo una raz. En consecuencia, p puede

escribirse como el siguiente producto:

p(z) = (z z1)q(z)

Siendo z1 una raz de p y q un polinomio de grado n 1. Sirepetimos estos pasos n 1 veces, llegamos a la conclusion que:

p(z) = k(z z1)(z z2) (z zn)

29

Donde z1, z2, z3 ... zn son las races de p y k es una constante. De

esta manera queda demostrado el teorema fundamental del algebra.

2.3. El binomio de Newton

A continuacion se demostrara por induccion el binomio de New-

ton, el cual establece que:

(a+ b)n =nk=0

(n

k

)ankbk

Vemos que para el caso n = 1 se cumple que:

(a+ b)1 =1

k=0

(1

k

)a1kbk = a+ b = (a+ b)1

Supongamos ahora que es cierto para todo n = k:

(a+ b)k =ki=0

(k

i

)akibi

Si se cumple para todo k, tambien ha de cumplirse para k + 1:

30

(a+ b)k+1 =k+1i=0

(k + 1

i

)ak+1ibi

Como (a+ b)k+1 = (a+ b) (a+ b)k, y si aplicamos la hipotesisinicial, obtenemos que:

(a+ b)k+1 = (a+ b) (a+ b)k == (a+ b)

ki=0

(k

i

)akibi = a

ki=0

(k

i

)akibi+

+bki=0

(k

i

)akibi =

=ki=0

(k

i

)ak+1ibi +

ki=0

(k

i

)akibi+1 =

=

(k

0

)ak+1 +

ki=1

(k

i

)ak+1ibi+

+k+1i=1

(k

i 1)ak(i1)bi =

=

(k

0

)ak+1 +

ki=1

(k

i

)ak+1ibi+

+ki=1

(k

i 1)ak(i1)bi +

(k

k

)bk+1 =

=

(k + 1

0

)ak+1 +

ki=1

[(k

i

)+

(k

i 1)]

ak+1ibi+

+(k+1k+1

)bk+1 =

(k + 1

0

)ak+1 +

ki=1

(k + 1

i

)ak+1ibi+

31

+(k+1k+1

)bk+1 =

k+1i=0

(k + 1

i

)ak+1ibi

32

3. Analisis

3.1. Introduccion

El analisis empezo a desarrollarse a partir del surgimiento del

calculo en el siglo XVII. Sin embargo, algunos matematicos griegos

ya hicieron un uso informal de los conceptos de lmite y convergen-

cia.

3.2. Regla de Barrow

La regla de Barrow, tambien conocido como el segundo teore-

ma fundamental del calculo, establece que dada una funcion f(x)

continua en el intervalo [a, b] y si F (x) es una funcion primitiva de

f(x), entonces baf(x)dx = F (b) F (a).

Para la demostracion, consideremos que:

F (x) =

xa

f(t)dt

33

El primer teorema fundamental del calculo establece que:

F (x) = f(x) = g(x)x [a, b]

Por lo tanto,

c R : x [a, b], F (x) = g(x) + c

Observamos que

0 = F (a) = g(a) + c

Y, por lo tanto, c = g(a). Sustituyendo tenemos que:

F (x) = g(x) g(a)

Si x = b, tenemos que:

ba

f(t)dt = F (b) = g(b) g(a)

34

Que es lo que se quera demostrar.

3.3. Regla de lHopital

La regla de LHopital establece que siendo f(x) y g(x) dos

funciones definidas en el intervalo [a, b], y f(c) = g(c) = 0, con

c (a, b) y g(x) 6= 0 si x 6= c, y ademas f(x) y g(x) son derivablesen (a, b), entonces:

lmx+c

f(x)

g(x)= lm

x+cf (x)g(x)

Para la demostracion, asumamos que tanto f(x) como g(x) son

derivables en c. Como f(c) = g(c) = 0, f(x)g(x)

se puede escribir de la

siguiente forma:

f(x)

g(x)=f(x) f(c)g(x) g(c) =

f(x) f(c)x c

g(x) g(c)x c

Como tanto f(x) como g(x) son derivables en c, utilizamos la

definicion de la derivada y tenemos que:

35

lmx+c

f(x)

g(x)= lm

x+c

f(x) f(c)x c

g(x) g(c)x c

= lmx+c

f (x)g(x)

3.4. Teorema del valor medio

El teorema del valor medio establece que si f(x) es continua en

[a, b] y derivable en (a, b) entonces existe un c dentro del intervalo

abierto (a, b) tal que:

f (c) =f(b) f(a)

b a

Esto implica que la tangente de f(x) en c es paralela a la secante

que pasa por los puntos P (a, f(a)) y R(b, f(b)).

Para la demostracion, definamos la funcion g(x) como la recta

que pasa por el punto P y R:

g(x) = f(a) +f(b) f(a)

b a (x a)

36

Figura 2: Representacion grafica del Teorema de valor medio

Despues, definimos (x) de la siguiente manera:

(x) = f(x) g(x) = f(x)[f(a) +

f(b) f(a)b a (x a)

]

Observamos que (a) = (b) = 0. Ademas, como f(x) es conti-

nua en [a, b] y derivable en (a, b), (x) tambien tiene que serlo. Por

lo tanto, (x) satisface las condiciones del teorema de Rolle, y por

lo tanto, ha de existir un c (a, b) tal que:

0 = (c) = f (c) f(b) f(a)b a

37

Y, por lo tanto:

f (c) =f(b) f(a)

b a

3.5. Teorema del valor medio de Cauchy

El teorema del valor medio de Cauchy establece que, si f(x) y

g(x) son continuas en [a, b] y derivables en (a, b), entonces existe

algun c (a, b) tal que:

f (c)g(c)

=f(b) f(c)g(b) g(a)

Para la demostracion, definamos (x) de la siguiente forma:

(x) = [g(b) g(a)] [f(x) f(a)] [f(b) f(a)] [g(x) g(a)]

Se tiene que (a) = (b) = 0. Por lo tanto, segun el teorema de

Rolle, ha de existir un c (a, b) tal que (c) = 0. Derivando (x)se tiene que:

38

(x) = [g(b) g(a)] f (x) [f(b) f(a)] g(x)

Como (c) = 0:

0 = [g(b) g(a)] f (c) [f(b) f(a)] g(c)

Y, despejando, obtenemos que:

f (c)g(c)

=f(b) f(c)g(b) g(a)

3.6. Calculo de la integral de Gauss

La integral de Gauss es la siguiente:

+

ex2

dx =pi

Para su calculo utilizaremos el calculo integral de dos variables.

Mediante el teorema de Fubini, la integral puede ser escrita co-

mo:

39

R2e(x

2+y2)dxdy =

+

+

e(x2+y2)dxdy =( +

ex

2

dx

)( +

ey2

dy

)=

( +

ex2

dx

)2

Por otro lado, aplicando un cambio de coordenadas a coordena-

das polares:

R2e(x

2+y2)dxdy =

2pi0

+0

rer2

drd = 2pi

+0

rer2

dr = pi

Por lo tanto, tenemos que

+

ex2

dx =pi.

3.7. Formula de Euler

La formula de Euler establece que eiz = cos z + i sin z.

Utilizando la serie de Taylor para las funciones ex, cosx y sinx

tenemos que:

ex =x0

0!+x1

1!+x2

2!+x3

3!+ ... (1)

40

cosx =x0

0! x

2

2!+x4

4! ...

sinx =x1

1! x

3

3!+x5

5! ...

Tomando (1) y haciendo x = iz tenemos que:

eiz =(iz)0

0!+

(iz)1

1!+

(iz)2

2!+

(iz)3

3!+ ... =

z0

0!+z1

1! z

2

2! z

3

3!+z4

4!+z5

5! ... =

(z0

0! z

2

2!+z4

4! ...

)+ i

(z1

1! z

3

3!+z5

5! ...

)= cos z + i sin z

41

4. Otros

4.1. Los puentes de Konigsberg

Figura 3: Los puentes de Konigsberg (izquierda) y su simplificacion (de-

recha)

En el ro de la antigua ciudad de Konigsberg, actual Kalinin-

grado, haba dos islas, unidas a la ciudad mediante un total de 7

puentes. Los ciudadanos se divertan tratando de adivinar si era

posible cruzar los 7 puentes sin cruzar dos veces el mismo puente.

Fue Euler quien encontro la solucion al problema. Para ello, sim-

plifico los puentes y las islas tal y como se puede ver en la figura

3. Euler demostro que no era posible cruzar todos los puentes sin

cruzar dos veces por el mismo, puesto que para que esto sea posible

debe haber a lo sumo 2 vertices de grado impar, esto es, debe haber

a lo sumo 2 vertices de la que salgan un numero impar de aristas.

Esto es debido a que para cada vertice tiene que haber una arista

42

que llega al vertice y otra que sale, excepto en el inicio y en el final,

que pueden tener un grado impar.

43

4.2. Demostracion sin palabras de la formula para calcu-

lar el area de un crculo

44

4.3. Demostracion sin palabras de que la cardinalidad de

la recta de los numeros reales es la misma que la de

un intervalo de la recta de los numeros reales

4.4. Demostracion sin palabras de la suma de los primeros

n numeros naturales

45

5. Problemas no resueltos de las matematicas

5.1. Introduccion

Actualmente existen muchos problemas que no han sido resuel-

tos aun. Algunos fueron propuestos hace unas pocas decadas, pero

otros llevan siglos sin resolverse. En esta seccion se hablara sobre

estos problemas.

5.2. Hipotesis de Riemann

La funcion zeta de Riemann se define de la siguiente manera:

(s) =n=1

1

ns

Donde s C. La funcion zeta de Riemann esta estrechamenterelacionada con los numeros primos, tal y como lo mostro Leonhard

Euler:

46

(s) =n=1

1

ns=pP

1

1 ps

Bernhard Riemann conjeturo en 1859 que la parte real de los

ceros no triviales de la funcion zeta de Riemann es 12. Por lo tanto,

todos los ceros no triviales de la funcion zeta de Riemann tendran

que encontrarse en la lnea crtica s = 12

+ it, con t R.

Riemann menciono por primera vez la hipotesis que lleva su

nombre en su trabajo Ueber die Anzahl der Primzahlen unter ei-

ner gegebenen Grosse(Sobre los numeros primos menores que una

magnitud dada). La hipotesis de Riemann esta includa en la famo-

sa lista de 23 problemas no resueltos de Hilbert. Tambien es uno de

los Siete Problemas del Milenio propuestos por el Clay Mathemtics

Institute en el ano 2000.

5.3. Conjetura de Goldbach

Segun la conjetura de Goldbach, todo numero par mayor que 2

puede escribirse como suma de dos numeros primos. En realidad,

sera mas acertado llamarlo la conjetura fuerte de Goldbach, puesto

47

que tambien existe la conjetura debil de Goldbach, segun el cual

todo numero impar mayor que 7 puede escribirse como suma de

tres numeros primos impares. Christian Goldbach, el autor de la

conjetura, menciono por primera vez la conjetura que hoy en da

lleva su nombre en una carta dirigida a Euler en 1742. Al igual que

la hipotesis de Riemann, la conjetura de Goldbach es uno de los 23

problemas de Hilbert.

5.4. Conjetura de Collatz

Sea n un entero positivo. Si n es par, entonces dividamos n entre

2. Si, por otro lado, n es impar, multipliquemoslo por 3 y sumemosle

1. Esto es igual a la funcion f : N 7 N:

f(n) =

n2, si n es par

3n+ 1, si n es impar

Lothar Collatz conjeturo en 1937 que si iteramos un numero

entero positivo n al final siempre alcanzaremos el 1 y, por lo tanto,

el ciclo 4, 2, 1. Todava no se ha demostrado este hecho, pero se sabe

que si existe un contraejemplo a la conjetura de Collatz, debera de

48

tener una orbita no acotada o una orbita periodica distinta a la

orbita 4, 2, 1.

La computacion distribuida ha ayudado a comprobar la conjetu-

ra de Collatz para numeros muy altos. En noviembre del ano 2005,

se haba comprobado la conjetura para todo numero menor que

258. Sin embargo, esto no puede considerarse como demostracion

de la conjetura, puesto que es imposible comprobar la conjetura de

Collatz para todo entero positivo.

5.5. P contra NP

Un problema es de tipo P si existe un algoritmo que lo resuelva

en tiempo polinomial. Por otro lado, un problema es de tipo NP si

existe un algoritmo que verifique una solucion en tiempo polinomial.

El problema P contra NP, el cual es uno de los Siete Problemas del

Milenio, consiste en demostrar que P=NP, es decir, que si se puede

comprobar la solucion de un problema en tiempo polinomial, en-

tonces tambien se puede resolver el problema en tiempo polinomial.

Aunque el problema sigue sin solucion, han habido muchos in-

49

tentos a lo largo de los anos. Uno de ellos fue protagonizado por

Vinay Deolalikar, investigador de la empresa HP en Palo Alto. Vi-

nay Deolalikar aseguro que haba demostrado que P 6= NP . Sinembargo, la demostracion resulto ser erronea.

5.6. Conjetura de los numeros primos gemelos

Se dice que dos numeros primos p1 y p2 son gemelos si p2 p1 = 2. La conjetura de los numeros primos gemelos postula la

existencia de infinitos numeros primos gemelos. Esta conjetura se

puede generalizar, tal y como lo hizo Alphonse de Polignac en 1849.

As, Alphonse de Polignac postulo que para todo numero natural

k, existen infinitos pares de numeros primos cuya diferencia es 2k.

A lo largo de los anos se han realizado diversos acercamientos a

la solucion del problema. Uno de ellos fue protagonizado por Erdos,

quien demostro que existe una constante c < 1 tal que existen in-

finitos numeros primos p tal que p0 p < c ln(p), donde p0 es elnumero primo que sigue a p. En el ano 2005 este resultado fue me-

jorado significativamente tras la demostracion por parte de Daniel

Goldston, Janos Pintz y Cem Yildirim de que el resultado es valido

50

para todo c > 0. Por otro lado, en 1973 Jing-run Chen probo que

existen infinitos numeros primos p tal que p + 2 es, a lo sumo,

producto de dos numeros primos.

Otra generalizacion de la conjetura de los numeros primos es la

conjetura de Hardy-Littlewood. Sea pi2(x) la cantidad de numeros

primos p menores que x tal que p+ 2 tambien es primo. Sea C2 la

constante de los numeros primos, definida de la siguiente manera:

C2 =p3

p(p 2)(p 1)2 0,66016...

La conjetura postula que:

pi2(x) 2C2 x2

dt

(ln t)2

5.7. Existencia de numeros perfectos impares

Se dice que un numero natural k es un numero perfecto si la

suma de sus divisores (sin tener en cuenta el propio numero) es

igual a s mismo. El 6 es el menor numero perfecto, puesto que

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sus divisores son el 1, 2 y el 3, y 1 + 2 + 3 = 6. Actualmente se

desconoce si existen numeros perfectos impares. Sin embargo, si

existieran tendran que cumplir algunas condiciones. Por un lado,

el numero perfecto impar debera ser mayor que 10300, debera tener

8 factores primos o mas, excepto si no es divisible entre 3, en cuyo

caso tendra que tener como mnimo 11.

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6. Bibliografa

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URL: http://www.imsc.res.in/ rao/ramanujan/CamUnivCpapers/Cpaper24/page1.htm

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URL: http://gaussianos.com/el-postulado-de-bertrand/

4. Por que el caso n=4 es tan importante?. Gaussianos.Consultado el 17 de junio de 2012.

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