MODELOS DE LINEAS DE ESPERA

En los Procesos

y Cadenas de Valor

Abril, 2013

Identificar los elementos de un problema de colas de espera en

una situación real.

Describir la estructura de los modelos de colas de espera con

un sólo servidor, múltiples servidores y fuente infinita

Explicar como se aplica los modelos de colas de espera para

estimar las características de operación de un sistema de

producción.

Explicar como se usan las colas de espera para tomar

decisiones racionales.

OBJETIVOS DEL APRENDIZAJE

Análisis de Líneas de Espera

USOS DE LOS MODELOS

Los Modelos relacionan:

La llegada de los clientes

Las características de procesamiento del sistema de

producción

Las características de las salidas del sistema

SISTEMA DE

PRODUCCION INPUTS OUTPUTS

SERVICIO: Acción de atender al cliente

APLICACIÒN: Manufactura y servicios

Estructura de los ModelosLos Modelos contemplan los siguientes elementos:

1. Población de clientes: sitio donde se generan los potenciales clientes

2. Disciplina de la cola: Regla en que las llegadas reciben atención

3. Filas de Espera: formadas por los clientes

4. Regla de prioridad: para seleccionar el cliente a atender

5. Instalación del servicio: formado por personas, máquinas, o una combinación para proveer el servicio ( diseño y distribución estadística)

INSTALACIONES

DE SERVICIO

Población de

clientesFila de espera Clientes atendidos

Regla de prioridad

Cola: Línea / columna de espera.

Llegada: Una persona, máquinas, pieza, etc.

que llega en demanda un servicio.

Disciplina de cola: Son las reglas para

determinar el orden en el que las llegadas

reciben la atenciòn del servicio.

Canal: Número de colas de espera.

Fase: Número de pasos hasta conseguir el

servicio. Final

TERMINOLOGÍA DE LAS LÍNEAS DE ESPERA

SISTEMA DE SERVICIO

Tamaño de la población: Finita (limitada) Infinita (Ilimitada)

Comportamiento de las llegadas: Ponerse a la cola y esperar a ser

servido

Se niegan a colocarse en la cola

Reniegan, abandonan la cola

Dispositivo

de servicioLínea de espera

Distribución de la llegada:

Poisson Otras

Patrón de las llegadas:AleatoriaSecuencia conocida

Características de la llegada

Características de

un sistema de líneas de espera

Regla de prioridad

Clientes

atendidos

Dispositivo

de servicioLínea de espera

Características de la línea de espera

Tamaño de la cola:

Limitado (finita)

Ilimitado (infinita)Prioridad del servicio:

FIFO(FCFS)SPT(Shortest Processing Time)EDD (Earliest Due Date)Regla prioritaria Otros

Características del sistema de líneas de

espera

Dispositivo

de servicioLínea de espera

Características de la Población

Tamaño de la población: Finita: cuando el número de clientes presentes es una fracción considerable de la población

Ejemplos: automòviles que llegan al Centro de lavado

Infinita: cuando el número de clientes presentes es una fracción pequeña de la población

Ejemplo: máquinas que estan esperando para reparación

Características del sistema de líneas de

espera

Dispositivo

de servicioLínea de espera

Características de la Población

Comportamiento de las llegadas: Cliente paciente: cuando ingresa al sistema y espera ser atendidosCliente impaciente: cuando decide no entrar al sistema o sale de elf sin ser atendidos

Patrón de llegadas: clientes llegan al sistema.Según programa (15 clientes cada hora)Aleatoriamente: con legadas independientes uno de otro

Características del sistema de líneas de

espera

Dispositivo

de servicioLínea de espera

Características del dispositivo o sistema de servicio

Número de canales o filas: Único Múltiple

Número de fases en el sistema de servicio:

Único de un solo canalÚnico y múltiples canales Múltiple y un solo canal Múltiple y multiples canales

Distribución del tiempo de servicio:

Exponencial negativo Otros

Características del sistema de líneas de

espera

Reglas de prioridad

Determinan a qué cliente se debe atender a

continuación

FCFS, FIFO: “a quien llega primero, se le atiende

primero”

EDD: concede la preferencia al cliente que tenga la

fecha prometida más próxima (Earliest Due Date)

SPT: se atiende al cliente que corresponda el

tiempo de procesamiento más corto (Shortest

processing time)

Sistema de servicio

Línea de espera Dispositivo

de servicio

Llegadas

© 1995 Corel Corp.

Sistema de líneas de espera

Llegadas

Unidades

servidasDispositivo

de servicio

Cola

Sistema de servicio

Bahía

Línea de espera de

los barcos

Barcos en

el mar

Sistema de descarga de barcos Barcos

vacíos

Sistema de un canal, una fase

Coches y

comida

Sistema de un canal, multifase

Llegadas

Unidades

servidasDispositivo

de servicio

Cola

Sistema de servicio

Recogida

Coches en cola

Coches

en el área

Ventanilla de servicio a automòviles de McDonald´s

Pago

Dispositivo

de servicio

Llegadas

Unidades

servidasDispositivo

de servicioCola

Sistema de servicio

Dispositivo

de servicio

Ejemplo: los clientes del banco esperan en una única cola para

ser atendidos en alguna de las diferentes ventanillas.

Sistema multicanal, una fase

Dispositivo

de servicio

Llegadas

Unidades

servidasDispositivo

de servicioCola

Sistema de servicio

Dispositivo

de servicio

Ejemplo: En una lavandería, los clientes utilizan una de las

diferentes lavadoras y después, una de las diferentes

secadoras.

Dispositivo

de servicio

Sistema multicanal, multifase

Origen de

las

llegadas

(población)Tamaño

Ilimitado

Distribuciones de probabilidad:

Las llegadas al sistema son aleatorias con tiempos de servicio

variables, se usan para describir las llegadas mediante

distribuciones de probabilidad

Origen de

las llegadas

(población)

Tamaño

LimitadoIlimitado

© 1995 Corel Corp.

Número fijo

de aviones

para revisión

Características de las llegadas

Origen de

las llegadas

(población)

Tamaño Patrónde llegadas

LimitadoIlimitado Aleatorio No aleatorio

Caracterísiticas de las llegadas

Origen de

las llegadas

(población)

Tamaño Patrónde llegadas

LimitadoIlimitado Aleatorio Noaleatorio

Poisson Otros

Características de las llegadas

Número de sucesos

(clientes) que ocurren en

un intervalo de tiempo:

Ejemplo: número de

clientes que llegan en

15minutos.

Media = µ (por ejemplo:

5/hora)

Probabilidad:

0,0

0,3

0,6

0 1 2 3 4 5X

P(X)

0,0

0,3

0,6

0 2 4 6 8 10X

P(X)

= 0,5

= 6,0

Distribución de Poisson:

x

e)x(P

x

Especifica la probabilidad de que x clientes lleguen en T

períodos de tiempo

(λT)x

P(x) = x !

e – λT para x=1,2,3.…

λ ritmo medio de llegadas de clientes (por período λT)

Distribuciones de Poisson para

los tiempos de llegada

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12x

0,00

0,05

0,10

0.15

0,20

0,25

0,30

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

x

Pro

babi

lidad

Pro

babi

lidad

=2 =4

Origen de

las llegadas

(población)

Tamaño ComportamientoPatrónde llegada

LimitadoIlimitado Aleatorio Noaleatorio

Paciente Impaciente

Poisson Otros

Características de las llegadas

Origen de las

llegadas (población)

Tamaño ComportamientoPatrónde llegada

LimitadoIlimitado Aleatorio Noaleatorio

Paciente Impaciente

RehúsaPoisson Otros

Características de las llegadas

Origen

de las

llegadasDispositivo

de servicio

Línea de

espera

Sistema de servicio

© 1995 Corel Corp.

¡La cola era

demasiado

larga!

Rehusar

Origen de

las llegadas

(población)

Tamaño ComportamientoPatrónde llegada

LimitadoIlimitado Aleatorio Noaleatorio

Paciente Impaciente

Rehúsa ReniegaPoisson Otros

Características de las llegadas

RenegarOrigen

de las

llegadas Dispositivo

de servicio

Línea de espera

Sistema de servicios

© 1995 Corel Corp.

¡Me

voy!

Línea de espera

Duración

Ilimitada

© 1995 Corel Corp.

Características de la línea de

espera

Línea de espera

Duración

LimitadaIlimitada

© 1995 Corel Corp.

© 1995 Corel Corp.

Características de la línea de espera

Línea de espera

Duración Disciplinade cola

LimitadaIlimitadaFIFO

(FCFS) Aleatorio Prioridad

Características de la línea de

espera

Dispositivo

de servicio

Configuración

MulticanalCanal

único

Fase

única

Características del servicio

Tiempo de servicio y

tiempo entre llegadas:

Ejemplo: el tiempo de

servicio es de 20 minutos.

Tasa de servicio media =

Por ejemplo:

clientes/hora.

Tiempo de servicio medio =

1/

Ecuación:

Distribución del tiempo de servicio

La Distribución exponencial negativa describe el tiempo de servicio, y da la

probabilidad de que el tiempo de servico del cliente en una Instalación no sea mayor

que T períodos de tiempo

xμe)xt(f

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0 2 4 6 8 10 x

Pro

bab

ilid

ad t

>x

=1

=2

=3

=4

P(t≤T) =1-eµT

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

Pro

ba

bili

ty

0 30 60 90 120 150 180

Serv ice time (minutes)

Distribución exponencial negativa

Tiempo de servicio medio =

1 hora

Tiempo de servicio medio =

20 minutos

Llegadas

Unidades

servidasDispositivo

de servicio

Cola

Sistema de servicio

Bahía

Línea de espera de

los barcos

Barcos en

el mar

Sistema de descarga de barcos Barcos

vacíos

Sistema de un canal, una fase

Coches y

comida

Sistema de un canal, multifase

Llegadas

Unidades

servidasDispositivo

de servicio

Cola

Sistema de servicio

Recogida

Coches en cola

Coches en

el área

Ventanilla de servicio a automóviles de McDonald´s

Pago

Dispositivo

de servicio

Llegadas Unidades

servidas

Dispositivo

de servicio

1Cola

Sistema de servicio

Dispositivo

de servicio

2

Ejemplo: los clientes del banco esperan en una única cola para

ser atendidos en alguna de las diferentes ventanillas asignadas.

Sistema multicanal, una fase

Dispositivo

de servicio

(2, 1)

Llegadas Unidades

servidas

Dispositivo

de servicio

(1, 2) Cola

Sistema de servicio

Dispositivo

de servicio

(2, 2)

Ejemplo: en una lavandería, los clientes utilizan una de las

diferentes lavadoras y después, una de las diferentes secadoras.

Dispositivo

de servicio

(1, 1)

Sistema multicanal, multifase

Tasa de Utilización promedio del sistema, .

Probabilidad de n clientes esté en el sistema, Pn.

Número promedio de clientes en el sistema, Ls.

Número promedio de clientes en la cola, Lq.

Tiempo promedio gastado en el servicio, Ws.

Tiempo promedio de espera en la cola, Wq.

Probabilidad de que el dispositivo de servicio esté

desocupado, P0.

Probabilidad de que haya unidades k en el sistema, Pn > k.

Porcentaje de tiempo ocioso, %I

Características de Operación del sistema

Este Modelo requiere de las siguientes suposiciones:

La población de clientes es infinita y todos los clientes son

pacientes.

Los clientes llegan de acuerdo con una distribución de Poisson a una tasa media de llegadas λ. (n independiente de n-1)

La distribución del servicio es exponencial, con una tasa media

de servicio de µ.

La tasa media de servicio es mayor que la tasa media de llegadas, µ›λ.

A los clientes que llegan primero se les atiende primero, FIFO.

La longitud de la cola de espera es ilimitada, L.

Características de Operación del sistema

TIPOS DE MODELOS DE COLASCARACTERISTICAS MODELO 1 MODELO 2 MODELO 3 MODELO 4

CANAL Único Único Único Múltiple

FASE Única Única Única Única

TASA DE LLEGADAS Poisson Poisson Poisson Poisson

TASA DE SERVICIO Poisson Constante Poisson Poisson

LONGITUD DE COLA

Ilimitada Ilimitada Limitada Ilimitada

DESIGNACION M/M/1 M/D/1 M/M/1/Q M/M/S

NOTA: Para sistemas de canal único, fase única con llegadas de Poisson y tiempos de servicio no especificados, caso especial.

TIPOS DE MODELOS DE COLAS

Modelo: sistema de un canal, una fase.

Origen de la llegada: ilimitado, no rehúsa, no reniega.

Distribución de llegadas: Poisson.

Cola: ilimitado, una sola cola.

Disciplina de cola: FIFO (FCFS).

Distribución del servicio: Exponencial negativa.

Relación: Servicio y llegada independientes.

Ritmo de servicio > ritmo de llegadas (μ > λ)

Características del modelo simple (M/M/1)

ECUACIONES DEL MODELO A: SISTEMA SIMPLE, (M/M/1)

Número medio de unidades

en el sistema de servicios

Tiempo medio que una unidad

pasa en el sistema:

Número medio de unidades

esperando en cola:

Tiempo medio en cola:

Factor de utilización para el

sistema:

L

W

L

W

s

s

q

q

=

=

=

=

-

1

2

-

( - )

( - )

=

Probabilidad de que haya 0 unidades

en el sistema, (que el sistema esté

desocupado):

Probabilidad de que haya más de

k unidades en el sistema,

Donde n es el número de unidades en el sistema.

P

k+1

01 1= - = -

=P n>k

Ecuaciones de probabilidad Modelo (M/M/1)

( )

Probabilidad de que n clientes

estén en el sistema P n = (1 – ρ) ρ

n

Ejercicio 1 - Modelo (M/M/1)

Tom Jones, el mecánico de Golden Muffler Shop, esta preparado

para instalar nuevos tubos de escape a un ritmo medio de 3/hr (o

aproximadamente uno cada 20 minutos), según una distribución

exponencial negativa. Los clientes que buscan este servicio llegan

al taller a un promedio de 2/hr, según una distribución de Poisson.

Se les atiende sobre la base del primero que entra, primero que

sale, y proceden de una población de posibles compradores muy

grande, casi infinita.

PEDIDO: A partir de esta situación, obtenga las características de

funcionamiento del sistema de colas de Golden Muffler.

Ejercicio 1 - Modelo (M/M/1)

Solucion:

λ = 2 auto/hr

μ = 3 auto/hr

Ls = λ / (μ – λ) = 2 / (3 – 2) = 2 auto

Ws = 1 / (μ – λ) = 1 / (3 – 2) = 1 hr

Lq = (λ/μ)(λ / (μ – λ)) = (2/3)(2/(3-2)) = 4 / 3 auto

Wq = (λ/μ)(1/(μ-λ)) = (2/3)(1/(3-2)) = 2/3 hr

ρ = λ / μ = 2 / 3

Ejercicio 1 - Modelo (M/M/1)

Solucion:

Po =

Pn>k =

Pn =

Ejercicio 2 - Modelo (M/M/1)

El propietario de Golden Muffler Shop estima que el coste del

tiempo de espera del cliente, en términos de insatisfacción del

cliente y perdida de clientela por su parte, es de $ 10.00 por hora

de tiempo de espera en la cola.

El coste que Golden paga por salario-hora a Jones, el mecánico, es

el 7.00 $/hr.

La jornada laboral diaria es de 8 horas.

PEDIDO:

a) ¿Cuál es el coste diario de espera del cliente?

b) ¿Cuál es el coste diario por el pago al mecánico?

c) ¿Cuál es el coste estimado total?

Ejercicio 2 - Modelo (M/M/1)

Solucion:

a) ¿Cuál es el coste diario de espera del cliente?

Cq = Wq. Nq (auto/d.) . Ce / h = (2/3 h) x (2x8) x 10 $/h =

$106.67

a) ¿Cuál es el coste diario por el pago al mecánico?

Cm = 8 h/d x 7.00 $/h = $ 56.00

b) ¿Cuál es el coste estimado total?

Ct = Cq + Cm = (106.67 + 56.00) $/d = 162.67 $/d.

Tipo: sistema multicanal.

Origen de la llegada: ilimitado, no rehúsa, no reniega.

Distribución de llegada: Poisson.

Cola: Ilimitada, colas múltiples.

Disciplina de cola: FIFO (FCFS).

Distribución del servicio: exponencial negativa.

Relación: servicio y llegada independientes.

Ritmo de servicio > ritmo de llegada

Características del modelo de cola multicanal (M/M/S)

Ecuaciones del modelo de cola multicanal (M/M/S)

λMμ

Mμ

μ

λ

M!

1

μ

λ

n!

1

1P

M1M

0n

n0

Probabilidad de que

haya cero personas o

unidades en el

sistema:

PM!M

L

M

s

Número medio de

personas o unidades

en el sistema:

PM!M

W

M

s

Tiempo medio que

una unidad

permanece en el

sistema:

Ecuaciones del modelo de cola multicanal (M/M/S)

sq

sq

WW

LL

Número medio de

personas o unidades

esperando en la cola

para recibir el servicio:

Tiempo medio que una

persona o unidad

permanece en la cola:

Modelo: sistema de un canal, una fase.

Origen de la llegada: ilimitado, no rehúsa, no reniega.

Distribución de llegada: Poisson.

Cola: Ilimitada, una única cola.

Disciplina de cola: FIFO (FCFS).

Distribución del servicio: exponencial negativa.

Relación: llegada y servicio independiente.

Ritmo de servicio > ritmo de llegada

Características del modelo de tiempo de servicio constante (M/D/1)

Ecuaciones del modelo de tiempo de servicio constante (M/D/1)

Número medio de personas

o unidades en el sistema:

Tiempo medio que una unidad

permanece en el sistema:

q

q

W

LNúmero medio de

personas o unidades

esperando para recibir

servicio:

Tiempo medio que una

persona o unidad

permanece en la cola:

qs

qs

WW

LL

Modelo: sistema de un canal, una fase.

Origen de la llegada: limitado, no rehúsa, no reniega.

Distribución de llegada: Poisson.

Cola: Ilimitada, una única cola.

Disciplina de cola: FIFO (FCFS).

Distribución del servicio: exponencial negativa.

Relación: servicio y llegada independientes.

Ritmo de servicio > ritmo de llegada

Características del modelo de población limitada

Ecuaciones del modelo de población limitada

XF

)F(T

)LN(

)UT(LW

)F(NL

UT

TX

Factor servicio:

Número medio de

personas o unidades

esperando a recibir

servicio:

Tiempo medio que una

persona o unidad

permanece en la cola:

Ecuaciones del modelo de población limitada

HLJN

FNXH

)X(NFJ

Número medio en

funcionamiento:

Número medio

que se sirven:

Tamaño de

la población:

Ecuaciones del modelo de población limitada

Notación:

D = probabilidad de que una unidad debapermanecer en cola.

F = factor de eficiencia.

H = número medio de unidades que se sirven.

J = número medio de unidades que no estánen la cola o en el servicio.

L = número medio de unidades en espera de ser servidas.

Ecuaciones del modelo de población limitada

M = número de canales de servicio.

N = número de clientes potenciales.

T = tiempo de servicio medio.

U = tiempo medio entre las necesidades de servicio de una unidad.

W = tiempo medio de espera en la cola de una unidad.

X = factor de servicio.

Se obtendrán los datos de tablas de cola limitadas.