PI510 Cap11 Modelo Matematico1

1UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

FACULTAD DE INGENIERIA QUIMICA

ECONOMIA DE LOS PROCESOS

(PI 510 B)

Ing. Magali Camila Vivas Cuellar

AREA DE INVESTIGACIN:

Bio Ingeniera

(Biocombustibles, productos naturales, etc)

[email protected]

2Programa Analtico

1. Conceptos generales

2. Matemticas Financieras

3. Estados financieros proyectados

4. Anlisis de mercado

5. Inversin en equipos y unidades de proceso

6. Depreciacin de activo fijo y amortizacin de

intangibles

7. Costos de produccin

8. Criterios de evaluacin de inversiones

9. Alternativas de reemplazo

10. Anlisis de riesgo e incertidumbre

11. Modelamiento matemtico

12. Optimizacin

13. Optimizacin de procesos de destilacin

3Capitulo 11 Modelo Matemtico

Etapas de modelamiento

Grados de libertad y especificacin de procesos.

Algoritmo de solucin de ecuaciones.

4Modelo Matemtico

El modelo matemtico de un proceso consiste en una serie de relaciones que se establecen para cada equipo que forma parte del sistema. Podemos establecer que en general para cada equipo un modelo consiste de una combinacin de las siguientes expresiones:

Balance de cantidad de movimiento

Balance de materia

Balance de energa

Ecuaciones de diseo

Relaciones termodinmicas y ecuaciones cinticas

Especificacin de algunas variables o restricciones particulares.

El primer tipo de balances no es importancia para muchos equipos de proceso, tales como sistemas de reaccin y de separacin. Por su parte, las ecuaciones bsicas de balances de materia y energa se establecen en estado estacionario para fines de diseo, o en estado no estacionario para fines de estudios dinmicos y de control.

En este curso los balances necesarios para el anlisis y diseo de procesos se establecen en estado estable.

5Modelo Matemtico

El modelo resultante consiste tpicamente de un sistema de ecuaciones acopladas y no lineales, cuya solucin puede ser directa para un equipo simple, o bastante complicada para un proceso completo; este ltimo hecho ha dado origen al desarrollo de simuladores de proceso por computadora, los cuales esencialmente se encargan de resolver las ecuaciones que modelan el sistema en estado estable mediante alguna tcnica numrica, acoplada en ocasiones a una estrategia de descomposicin del sistema original de ecuaciones.

En muchas ocasiones, la solucin numrica del modelo del proceso requiere de procedimientos iterativos para su solucin; en estos casos es importante seleccionar adecuadamente las variables que deben suponerse (variables de diseo) con el fin de hacer ms eficiente la solucin del problema.

6Modelo Matemtico

Una empresa es un sistema que interacta con otros sistemas (entorno) que tienen influencias en los resultados de ella.

Mercado

Competencia

Capacidad Financiera

Disponibilidad de mano de obra

Restricciones gubernamentales

Provisin de materia prima y materiales

La compaa est compuesta por sub-sistemas como el departamento de produccin, de ventas, de investigacin, de diseo de procesos, etc.

Los departamentos pueden ser divididos en mdulos ms pequeos, la inter-relacin entre estos para lograr un resultado objetivo de la empresa es lo que debe ser modelado.

La rentabilidad de una empresa no es tarea de un solo departamento sino de todos en conjunto, y la solucin ptima para un departamento no necesariamente significa que sea mejor para la empresa.

7Etapas de construccin de un Modelo Matemtico

La construccin de un modelo matemtico involucra varias fases, que deben ser desarrolladas en orden cronolgico y con la suficiente rigurosidad para que sus resultados sean tiles, las etapas son las siguientes:

1.Identificacin del objetivo.

2.Seleccin de ecuaciones

3.Construccin de Modelo

4.Ajuste de Modelo


1. Identificacin del objetivo.

El primer paso es decidir que sistema debera ser modelado. El xito en la aplicacin de modelos a cualquier proyecto est en la habilidad para anticipar las preguntas que surgirn durante el desarrollo del proyecto y evaluarlas para decidir si justifican la construccin del modelo.

Para tomar una decisin es necesario listar las preguntas que surgirn durante el desarrollo del proyecto. Si las preguntas no se pueden responder con un clculo simple y aislado, sino que requiere de la evaluacin de una proporcin considerable del sistema, es conveniente construir un modelo matemtico. Si los clculos no son simples y se efectuarn repetidas veces en el desarrollo del proyecto, se justifica plenamente la construccin de un modelo matemtico.

La construccin del modelo se justifica por las preguntas que se realizaran en el desarrollo del proyecto y no por la complejidad del proceso. En otras palabras si el proyecto es simple o complejo es irrelevante para la toma de decisin de construir un modelo.


2. Seleccin de ecuaciones.

Una vez que se ha decidido construir el modelo matemtico, el siguiente paso es seleccionar las ecuaciones matemticas que representan el sistema e identificar todas las variables que intervieneen dichas ecuaciones.

Las ecuaciones seleccionadas deber ser independientes, ninguna debe ser combinacin de las otras.

Las ecuaciones debern describir el sistema en la suficiente profundidad, de tal manera que todos los factores relevantes sean considerados.

En el campo de la qumica e ingeniera es posible escribir las ecuaciones para todos los procesos encontrados.

El flujo de fluidos es gobernado por las ecuaciones de balance de materia y energa, las reacciones qumicas por las ecuaciones de la velocidad de reaccin, la transferencia de masa y calor por las ecuaciones generales.

En adicin todos los procesos fsicos tienen sus ecuaciones caractersticas y sus propias restricciones. En la generalidad de los casos las restricciones se presentan en forma de inecuaciones.

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Etapas de construccin de un Modelo Matemtico

3. Construccin del modelo.

Consiste en ordenar y combinar todas las ecuaciones de tal manera que sean fcilmente resueltas y proporcionar la respuesta requerida por el modelo, los resultados deben ser dados en formato entendible (unidades de medida).

Resolver un sistema de ecuaciones en forma consecutiva es mucho ms fcil que la solucin en forma simultnea.

La combinacin de las ecuaciones se adecuan a la respuesta que se est buscando, lo que da origen a la existencia de varios modelos para un mismo sistema, la diferencia entre ellos es la combinacin y secuencia de solucin de las ecuaciones.

En un modelo para el diseo de una planta nueva los datos sern la produccin y se calcular, entre otras variables, la alimentacin de materia prima. Las ecuaciones se resuelven en orden inverso al proceso productivo.

Un modelo para determinar los cuellos de botella de plantas existentes utilizar como dato la alimentacin de materia prima y resolver las ecuaciones en la misma secuencia del proceso productivo.

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Etapas de construccin de un Modelo Matemtico

4. Ajuste del modelo.

Construido el modelo, este debe ser probado para verificar que los resultados sean los correctos, si no los fueran se deben hacer ajustes en los parmetros de las ecuaciones (constantes de las diferentes relaciones para el clculo de propiedades). Muchas veces los resultados iniciales difieren de la realidad debido a que en su construccin se han asumido cierta idealidad.

La verificacin de la validez de los resultados del modelo se pueden efectuar con datos de publicaciones o datos experimentales.

Ejemplo de parmetros:

Calor especifico CP= a + b T + c T2 + d T 3

Velocidad de reaccin K = A e E/RT

Los parmetros de las ecuaciones anteriores son las contantes a, b,c, d, A y E.

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Variables de un Modelo Matemtico

Las ecuaciones que forman parte del modelo estn conformadas por variables y constantes de las propiedades fsicas que son el denominadas parmetros. Las propiedades fsicas tales como la viscosidad, entalpa, entropa, calor especifico, densidad, etc.. No deben ser consideradas como variables, ya que estas propiedades se determinan con las variables como la temperatura, presin, composicin, etc..

Variables Independientes:

Son aquellas que son alimentadas al modelo como datos, conforman toda la informacin necesaria para la resolucin del modelo. Se dividen en variables de operacin y de equipo.

Las variables de operacin son las referidas a las condiciones de operacin del proceso tales como la temperatura, presin, flujos y composicin.

Las variables de equipo se refieren bsicamente a las dimensiones como volmenes, dimetro, longitud, nmero de platos, etc..

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Variables de un Modelo Matemtico

Variables Dependientes:

Son aquellas cuyos valores son calculados mediante la solucin de las ecuaciones. Ellas son la respuesta que se busca con el modelo. Se dividen en variables de performance e intermedias.

Las variables de performance son las respuesta finales y ms valiosas del modelo, por ejemplo, la rentabilidad, dimensiones de equipos, etc..

Las variables intermedias tienen poca relevancia como resultado final pero son muy importantes durante la solucin de las ecuaciones. Estas variables son el resultado de alguna ecuaciones y a su vez son datos de otras.

Restricciones:

En los sistemas reales o fsicos, las variables estn restringidas a lmites mnimos y mximos, lo que se denomina como restricciones.

La suma de fracciones molares siempre es igual a uno. Las temperaturas de operacin se restringen para evitar descomposicin de los productos, la presin no debe sobrepasar determinados lmites dados por el material o espesor de los equipos, etc..

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Aplicaciones al Diseo de Procesos

Los modelos tienen una amplia aplicacin en el diseo de procesos, se utilizan en investigacin, desarrollo, planeamiento, ingeniera, produccin, control, etc..

Investigacin:

Los modelos tienen una amplia aplicacin en la fase de investigacin de nuevos procesos, la alternativa es efectuar experimentos en unidades prototipos, pero esto resulta mucho ms costosa y requiere un mayor tiempo.

La razn fundamental de la investigacin es buscar nuevos procesos que incurran en menores costos. Slo de esta manera se justificar el reemplazo del proceso actual.

En la fase de investigacin no slo se utiliza los modelos para simular procesos, sino tambin para calcular costos operativos, costos de inversin, ingresos, etc., con los que se determinar la rentabilidad del procesos investigado.

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Desarrollo:

La fase de desarrollo de los procesos requiere de modelos mucho ms sofisticados y muchas veces se debe recurrir al diseo por experiencia, los conocimientos tericos deben ser profundizados y debe desarrollarse ecuaciones ms representativas.

Tambin es necesario realizar trabajos experimentales con la finalidad de obtener condiciones ptimas de operacin.

Las condiciones ptimas para un proceso aislado no necesariamente son las mismas para todo el sistema, tener presente esta afirmacin es muy importante, porque al final lo que se busca es optimizar todo el sistema.

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Planeamiento:

Los modelos se aplican perfectamente en los trabajos de planeamiento de los proyectos, en los cuales se deben decidir de que tamao debe ser la planta y donde ser su ubicacin.

Existen muchas variables que determinan en forma aproximada tanto la ubicacin como el tamao:

Tamao del mercado

Disponibilidad de recursos financieros

Disponibilidad de materia prima y materiales

Tecnologa disponible

Capacidad administrativa

Localizacin del mercado

Concentracin de la demanda

Ubicacin de la materia prima y materiales

Disponibilidad de mano de obra, servicios y facilidades

Licencias de operacin

El tamao y localizacin finales sern los que maximizan la rentabilidad integral del proyecto.

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Ingeniera del Proyecto:

Los modelos son utilizados para especificar el diseo de los equipos. Antes de proceder al diseo de los equipos debe disponerse de toda la data fsica necesaria. En esta etapa del desarrollo de un proyecto no hay excusa para no emplear el mejor mtodo de diseo y la mejor data fsica disponible, no debe utilizarse de ninguna manera mtodos simplificados.

Produccin:

Durante la etapa de produccin los modelos resultan muy tiles en la determinacin de las condiciones ptimas de operacin de la planta, estas condiciones cambian da a da, ya que dependen de la calidad de materia prima disponible y del requerimiento de productos por el mercado.

Control:

Los modelos son utilizados para determinar los mejores y econmicos arreglos en el sistema de control de las plantas, sobre todo se utilizan para determinar la variabilidad de los resultados con los cambios en las variables de operacin. Se determina la sensibilidad a estas variables, las que presentan mayor sensibilidad y a su vez mayor variabilidad son los postulantes a ser controladas.

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Especificacin de Procesos

Los modelos de los sistemas de separacin de multi-componentes, en varias etapas que a su vez manejan varias etapas, requieren de la solucin interactiva de cientos de ecuaciones en forma simultanea. El proceso de solucin se vuelve mas complicado si hay reaccin qumica entre los componentes.

Para iniciar la solucin de los modelos el nmero de variables desconocidas deber ser igual al nmero de ecuaciones independientes, generalmente el nmero de variables es mayor que el nmero de ecuaciones independientes, razn por la cual es necesario dar valores a un grupo de variables (fijar variables) para que el modelo pueda ser resuelto. El nmero de variables fijadas se conoce como grado de libertad del sistema o modelo.

ND = NV N EDonde:

ND : Nmero de grados de libertad

NV : Nmero de variables

N E : Nmero de ecuaciones independientes

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El sistema quedar completamente definido cuando el nmero de ecuaciones independientes es igual al nmero de variables desconocidas, y cuando existe una nica solucin para el modelo matemtico, para lo cual ser necesario fijar (dar valores) a tantas variables como grados de libertad tenga el sistema.

Tampoco se trata de dar valores a cualquier variable, en un sistema real las variables que normalmente tienen valor (estn fijas) son aquellas que corresponden a las corrientes de entrada al sistema.

Las variables pueden ser intensiva (no dependen de la masa) como las composiciones molares, temperatura, presin, etc., y extensivas como flujos de corriente, de calor y dimensiones de los equipos.

Todo proceso puede ser dividido en sub-sistemas cada vez mas pequeos cuyos modelos son ms sencillos, estos sub-sistemas pueden ser las etapas de equilibrio, condensadores, separadores de corriente, rehervidores, reactores, etc.

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Anlisis de una corriente

Una corriente real puede contener diferentes fases y no necesariamente ser homognea, para el anlisis las corrientes reales o fsicas se deben descomponer en lneas de corriente de fase homognea.

Corriente real Gas

Liquido

Slido

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Grados de libertad de una corriente

En una corriente de fase homognea y de C componentes se pueden definir las siguientes variables:

Intensivas : Fracciones molares (X1, X2, X3, ..., XC) C

Presin 1

Temperatura 1

Extensivas : Flujo Molar 1

Variables de una corriente: NV = C + 3

La nica ecuacin es la sumatoria de fracciones molares igual a 1

C

Ecuacin: Xi = 1i=1

Grados de libertad: ND = C + 2

Para que una corriente de fase homognea quede completamente especificada ( se conozca todo sobre ella) se necesitan fijar (dar valores) a C+2 variables.

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Grados de libertad de una corriente

Al unirse dos subsistemas con una misma lnea de corriente se liberarn C+2 grados de libertad.

Grados de libertad del sistema: ND = ND1 + ND2 - (C + 2)

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C

Xi = 1i=1

N de corrientes C

Ecuaciones de equilibrio:

Ki=Yi/Xi = f(PL,PV, TL, TV, Yi, Xi)

Las otras ecuaciones son las de diseo de los equipos, las

restricciones y condiciones de operacin.

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Caso de un intercambiador de calor simple

Variables: El nmero de variables debe incluir la variable Q de calor transferido:

NV = 2 (C + 3)+1 = 2 C+ 7

F L Q

PF PLTF TLZi Xi

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Ecuaciones:

Balance de Materia C

Balance global F = L 1

Balance parcial F Zi = L Xi C-1

Balance de Energa 1

C C

F Zi hF i + Q = L Xi hL ii=1 i=1

Sumatoria de fracciones molares 2

C C

Zi = 1 Xi = 1i=1 i=1

El nmero de ecuaciones: NE = C + 3

Grados de Libertad: ND = 2 C + 7- (C+3) = C+ 4

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Para que el sistema quede definido se deben fijar C+4 variables. Si especificamos la corriente de entrada F quedaran fijadas C+2 variables:

F PF TF Z1 Z2 Z3 ZC-2 ZC-1 La variable ZC no puede ser fijada para no ir contra la ecuacin de sumatoria de fracciones molares en la corriente F. Las variables que aun no se han fijado son las siguientes:

L Q

PLTL

ZC XiLa variable L no se podr fijar porque se atentara a la ecuacin del balance general de materia. Las composiciones Xi en la corriente L no se pueden fijar ya que se calcularan con las ecuaciones de balance parcial de materia y la sumatoria de las fracciones molares en L.

Para completar las C+4 variables faltaran fijar 2, que pueden ser cualquiera de las tres siguientes:

PL TL Q

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Caso de un Vaporizador Flash


NV = 3 (C + 3)+1 = 3 C+ 10

F L V Q

PF PL PVTF TL TVZi Xi Yi

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Ecuaciones:


Balance global F = L + V 1

Balance parcial F Zi = L Xi +V Yi C-1Balance de Energa 1

C C C

F Zi hF i + Q = L Xi hL i +V Yi hV ii=1 i=1 i=1


C C C

Zi = 1 Xi = 1 Yi = 1i=1 i=1 i=1

Ecuaciones de equilibrio: C


Condiciones de operacin (equilibrio) 2

PV= PL TV =TL

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El nmero de ecuaciones: NE = 2C + 6

Grados de Libertad: ND = 3C + 10- (2C+6) = C+ 4

Para que el sistema quede definido se deben fijar C+4 variables. Si especificamos la corriente de entrada F quedaran fijadas C+2 variables:

F PF TF Z1 Z2 Z3 ZC-2 ZC-1 La variable ZC no puede ser fijada porque ira en contra la ecuacin de sumatoria de fracciones molares en la corriente F. Las variables que aun no se han fijado son las siguientes:

L V Q

PL PVTL TV

ZC Xi YiFijada la corriente F faltaran fijar 2 variables, no puede se la variable ZC, si se fija PV no se podr fijar PL, de la misma manera TL y TV son excluyentes para no atentar a las condiciones de operacin. De las variables L y V slo se podr fijar una de ellas para no atentar a el balance de materia.

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Caso de un Mezclador


NV = 3 (C + 3)+1 = 3 C+ 10

F L G Q

PF PL PGTF TL TGZi Xi Yi

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Ecuaciones:


Balance global F + L = G 1

Balance parcial F Zi +L Xi =G Yi C-1Balance de Energa 1

C C C

F Zi hF i + L Xi hL i + Q = G Yi hG ii=1 i=1 i=1


C C C

Zi = 1 Xi = 1 Yi = 1i=1 i=1 i=1

El nmero de ecuaciones: NE = C + 4

Grados de Libertad: ND = 3C + 10 - (C+4) = 2C+ 6

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Para que el sistema del mezclador quede especificado se deben fijar 2C+6 variables. Si especificamos las corrientes de entrada F y L quedaran fijadas 2C+4 variables:

F PF TF Z1 Z2 Z3 ZC-2 ZC-1 L PL TL X1 X2 X3 XC-2 XC-1

La variable ZC y XC no puede ser fijadas porque se atenta a las sumatorias de fracciones molares en la corriente F y L. Las variables que aun no se han fijado son las siguientes:

G Q

PGTG

ZC XC YiPara definir el sistema faltara fijar 2 variables, G no puede ser porque atenta el balance global de materia, las variables Yi tampoco podran fijarse para no ir contra las ecuaciones de balance parcial de materia. Por lo que slo se podrn fijar dos variables de las tres siguientes:

PG TG y Q

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Caso de un Separador

Variables:

Las corrientes L y G se encuentra en la misma fase (lquido o vapor), el nmero de variables debe incluir la variable Q que representa el calor ganado o perdido por el sistema:

NV = 3 (C + 3)+1 = 3 C+ 10

F L G Q

PF PL PGTF TL TGZi Xi Yi

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Ecuaciones:


Balance global F = L + G 1

Balance parcial F Zi = L Xi +G Yi C-1Balance de Energa 1

C C C

F Zi hF i + Q = L Xi hL i +G Yi hG ii=1 i=1 i=1


C C C

Zi = 1 Xi = 1 Yi = 1i=1 i=1 i=1

Condiciones de operacin: C+1

PG=PL 1

TG =TV 1

Xi =Yi C-1


Grados de Libertad: ND = 3C + 10 - (2C+5) = C+ 5

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El divisor de corriente quedar definido si se fijan C+5 variables. Si especificamos la corriente de entrada F quedaran fijadas C+2 variables:

F PF TF Z1 Z2 Z3 ZC-2 ZC-1 La variable ZC no puede ser fijada porque ira en contra la ecuacin de sumatoria de fracciones molares en la corriente F. Las variables que aun no se han fijado son las siguientes:

L G Q

PL PGTL TG

ZC Xi YiPara que el sistema quede definido faltaran fijar 3 variables. Las variables L y G, PL y PG, y TL y TG son excluyentes (solo se puede fijar una de ellas), ninguna de las composiciones de las corrientes L y G podrn ser fijadas por que se atentara a las ecuaciones del balance parcial de materia y de condiciones de operacin.

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Caso de una Etapa de equilibrio

Variables:

La variable Q que representa el calor ganado o perdido por el sistema:

NV = 7 (C + 3)+1 = 7 C+ 22

F LN LN+1 VN VN-1 SL SV Q

PF PL P*L PV P*V PSL PSVTF TL T*L TV T*V TSL TSVZi Xi X*i Yi Y*i XS i YS i

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Ecuaciones:


Balance global F+ LN+1 + VN-1 = LN + VN + SL +SV

Balance parcial F Zi +LN+1 X*i + VN-1 Y*i = LN Xi + VN Yi +SL XS i +SV YS i

Balance de Energa 1

F HF + LN+1 HL + VN-1 H

V + Q = LN HL + VN H

V + SL HSL + SV H

SV


C C C C

Zi = 1 Xi = 1 X*i = 1 Yi = 1i=1 i=1 i=1 i=1

C C C

Y*i = 1 XS i = 1 YS i = 1i=1 i=1 i=1

Ecuaciones de equilibrio: C


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Condiciones de operacin: 2C+4

PV=PL =PSV=PSL 3

TV=TL =TSV=TSL 3

Xi =XS i C-1

Yi =YS i C-1


Grados de Libertad: ND = 7C + 22 - (4C+12) = 3C+ 10

Para definir la etapa de equilibrio es necesario 3C+10 variables. Si especificamos la corriente de entrada F, LN+1 y VN-1 quedaran fijadas 3C+6 variables que son las siguientes:

F PF TF Z1 Z2 Z3 ZC-2 ZC-1 LN+1 P*L T*L X*1 X*2 X*3 X*C-2 X*C-1 VN-1 P*V T*V Y*1 Y*2 Y*3 Y*C-2 Y*C-1

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Para que el sistema quede definido faltan fijar cuatro variables, las variables que an no se han fijado son las siguientes:

LN VN SL SV Q

PL PL PSL PSVTL TL TSL TSV

ZC XC X*C Xi Yi XS i YS i

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Secuencia de Solucin de las ecuaciones

El algoritmo que se explica a continuacin permitir encontrar la mejor secuencia de solucin de las ecuaciones para resolver el modelo matemtico.

Dado que el nmero de variables es mayor que el nmero de ecuaciones es necesario fijar tantas variables como grados de libertad tenga el sistema.

El procedimiento no proporcionar la secuencia de solucin si las variables fijadas son equivocadas, de ah la importancia de especificar correctamente las variables.

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Se determinar la secuencia de solucin de las ecuaciones para un sistema de intercambiador simple y para el caso de dos componentes (C=2).

NV = 2 (C + 3)+1 = 2 C+ 7 = 2 (2)+7 = 11

F L Q

PF PLTF TLZ1 X1Z2 X2

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Ecuaciones: NE = C + 3 = 2+3 = 5

1. Balance global F = L

2. Balance parcial F Z1 = L X13. Balance de Energa F ( Z1 h

F1 + Z2 h

F2 ) + Q = L ( X1 h

L1 + X2 h

L2 )

4. Fracciones molares en F: Z1 + Z2 = 1

5. Fracciones molares en L: X1 + X2 = 1

Grados de Libertad: ND = 2 C + 7- (C+3) = C+ 4 = 2+4 =6

Para que el sistema quede definido deben fijarse 6 variables y las 5 restantes debern determinarse mediante la solucin de las 5 ecuaciones.

Al fijar la corriente F (generalmente se fijan las corrientes de entrada a los sistemas) se fijaran cuatro variables (F, PF,TF y Z1), quedando pendiente por fijar 2 variables, asumiremos que estas son PL y TL .


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Se detalla la matriz de las ecuaciones con las variables desconocidas (no se consideran las variables fijadas, ya que se comportan como constantes al tener un valor definido), la matriz completa con x en la interseccin de aquellas variables que intervienen en las correspondientes ecuaciones:


Z2 L X1 X2 Q

1. BGM F = L x

2. BPM F Z1 = L X1 x x

3. BGE F ( Z1 hF1 + Z2 hF2 ) + Q = L ( X1 hL1 + X2 hL2 ) x x x x x

4. fm F Z1 + Z2 = 1 x

5. fm L X1 + X2 = 1 x x

Nmero de x 2 3 3 2 1

Se aprecia que la variable Q interviene solo en la ecuacin 3 ( B.G.E.), esta variable ser necesariamente calculada mediante la solucin de la ecuacin 3. Para resolver la ecuacin 3 debe conocerse el valor de las otras variables desconocidas, lo que implica que la ecuacin 3 deber ser la ltima es resolverse.

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Al utilizar la ecuacin 3 para resolver la variable Q, tanto la variable y la ecuacin desaparecen de la matriz; la variable fue resuelta (ya no es desconocida) y la ecuacin ya fue usada:


Z2 L X1 X2

1. BGM F = L x


4. fm F Z1 + Z2 = 1 x

5. fm L X1 + X2 = 1 x x

Nmero de x 2 2 2 1

Se observa que la variable Z2 solo se obtiene solo de la solucin de la ecuacin 4 y la variable X 2 de la ecuacin 5. Tanto las variables resueltas y las correspondientes ecuaciones deben ser retiradas de la matriz.

3 Q

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Resolviendo la ecuaciones 4 y 5.


L X1

1. BGM F = L x


Nmero de x 2 1

En la matriz remanente anterior se aprecia que la variable X1 necesariamente ser calculada mediante la solucin de la ecuacin 2 (balance parcial de materia del componente 1), y la variable L ser resuelta con la ecuacin 1 (balance general de materia).

3 Q4 Z2

5 X2

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Resolviendo la ecuacin 2.


L

1. BGM F = L x

Nmero de x 1

La variable L ser resuelta necesariamente con la ecuacin 1 (balance general de materia).

3 Q4 Z2

5 X2

2 X1

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La secuencia de solucin de las ecuaciones y las variables que proporcionarn cada una de ellas se detallan a continuacin:


3 Q4 Z2

5 X2

2 X11 L

Variables dato:FPFTFZ1PLTL

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Para generar el algoritmo de solucin del modelo se re-ordenan las ecuaciones de acuerdo a la secuencia determinada en el grafico anterior.

Variables datos: F, PF,TF , Z1, PL y TL .

BGM (ecuacin 1) L = F

BPM (ecuacin 2) X1 =F Z1 / L fm F (ecuacin 4) Z2 = 1 - Z1fm L (ecuacin 5) X2 = 1 - X1BGE Q = L ( X1 h

L1 + X2 h

L2 ) - F ( Z1 h

F1 + Z2 h

F2 )


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Nmero de variables para un sistema de dos componentes (C=2).

NV = 3 (C + 3)+1 = 3 C+ 10

NV = 3 (2) + 10 =16

F L G Q

PF PL PGTF TL TGZ1 X1 Y1Z2 X2 Y2


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Ing. Magali Camila Vivas Cuellar

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Bio Ingeniera

(Biocombustibles, productos naturales, etc)

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GRACIAS POR SU ATENCIN

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