Pitagora Sse Me Jan Za 2

8Soluciones a los ejercicios y problemasPGINA 179

e o r e m a d e P i t g o r a s

1 Calcula el rea del cuadrado verde en cada uno de los siguientes casos:

A = 44 cm2

B = 15 m2

2 Cul es el rea de los siguientes cuadrados?:

A = 273 cm2

B = 585 dm2

3 Di si cada uno de los siguientes tringulos es rectngulo, acutngulo u ob-tusngulo.

a) a = 15 cm, b = 10 cm, c = 11 cm

b)a = 35 m, b = 12 m, c = 37 m

c) a = 23 dm, b = 30 dm, c = 21 dm

d)a = 15 km, b = 20 km, c = 25 km

e) a = 11 millas, b = 10 milas, c = 7 millas

f ) a = 21 mm, b = 42 mm, c = 21 mm

g) a = 18 cm, b = 80 cm, c = 82 cm

a) Obtusngulo. b) Rectngulo.

c) Actungulo. d) Rectngulo.

e) Acutngulo. f ) Obtusngulo.

g) Rectngulo.

17 cm

12 dm21 dm

4 cm

AB

30 cm2

14 cm2

45 m260 m2

A

B

T

Pg. 1

Unidad 8. Teorema de Pitgoras. Semejanza

8Soluciones a los ejercicios y problemas4 Calcula el lado desconocido en cada tringulo:

LadoA = 25 m

LadoB = 63 mm

5 Calcula el lado desconocido en cada tringulo aproximando hasta las d-cimas:

Lado A = 12 cm 17 cm

Lado B = m 5,7 m

Lado C = mm 15,5 mm

6 Tomando como unidad el lado del cuadradito, calcula el permetro de lafigura morada.

3 + 6 + cuadritos.

7 Se cae un poste de14,5 m de alto sobre unedificio que se encuentraa 10 m de l. Cul es laaltura a la que le golpea?

a = 10,5 m

Golpea el edificio a una altura de 10,5 m.

10

a14,5

14,5 m

10 m

102

240

33

2

12 cm

12 cm

28 m

m

16 m 32 mm17 mA

B C

15 m16 mm

20 m

65 mmA B

Pg. 2


8Soluciones a los ejercicios y problemas8 En las fiestas de un pueblo, cuelgan una estrella de 1 m de dimetro en

medio de una cuerda de 34 m que est atada a los extremos de dos postes de 12 m separados 30 m entre s. A qu altura del suelo queda la estrella?

= 8

x = 12 8 1 = 3

La estrella est a 3 m del suelo.

9 Calcula el permetro de un rectngulo cuyadiagonal mide 5,8 cm, y uno de los lados, 4 cm.

a = 4,2 8 Permetro = 16,4 cm

El permetro es de 16,4 cm.

10 Halla la diagonal de un cuadrado cuyo permetro mide 28 dam.l = = 7 dam

La diagonal mide 7 9,9 dam

11 Los lados paralelos de un trapecio rectngulo miden 13 dm y 19 dm, y ellado oblicuo mide 10 dm. Calcula la longitud de la altura.

a = 8 dm

La longitud de la altura es de 8 dm.

12 Sabiendo que las bases de un trapecio issceles miden 2,4 cm y 5,6 cm, yque la altura es de 3 cm, calcula la longitud del lado oblicuo.

a = 3,4 cm

La longitud del lado oblicuo es de 3,4 cma a3

2,4

1,65,6

a 10

13

19

2

284

a

4 5,8

30

1515

178 8

12

1x

17 172 152

1 m

12 m

34 m

30 m

Pg. 3


8Soluciones a los ejercicios y problemas13 Calcula la medida de los lados de un rombo cuyas diagonales miden 1 dm

y 2,4 dm.

l = 1,3 dm

Los lados miden 1,3 dm

PGINA 180

r e a s y p e r m e t r o s u t i l i z a n d o e l t e o r e m a d e P i t g o r a s

En cada una de las siguientes figuras coloreadas, halla su rea y su permetro. Paraello, tendrs que calcular el valor de algn elemento (lado, diagonal, apotema, n-gulo, ). Si no es exacto, halla una cifra decimal.

14 a) b)

a) P = 43 m b) P = 85,4 mm

A = 39,9 m2 A = 312,5 mm2

15

P = 89 dm A = 462 dm2

16

P = 58,4 cm A = 211,2 cm2

22 cm

14,6 cm

16,5 dm32,5 dm

25 mm

25 mm

20 m

18 m2,9 m

l

1,2

2,4

1

0,5

Pg. 4


8Soluciones a los ejercicios y problemas17

P = 12 km A = 10,4 km2

18

P = 42,4 cm A = 100,8 cm2

19

P = 86 cm A = 318 cm2

20

P = 59,7 cm A = 28,5 cm2

21

P = 68,3 m A = 50 m2

10 m

5 cm

32 cm

20 cm13 cm 12 cm

18 cm

10,6 cm

2 km

Pg. 5


8Soluciones a los ejercicios y problemas22

P = 9,7 mm A = 4 mm2

23

P = 56 m A = 132 m2

24

P = 24 m A = 21,3 m2

PGINA 181

25 Calcula el permetro y el rea de cada una de las siguientes secciones deun cubo:

P = 4 26,8 cm P = 26,1 cm

A = 45 cm2 A = 44,8 cm245

6 cm6 cm

8,5 m5 m

3 m

13 m20 m

16 m 3 m

4 mm

Pg. 6


8Soluciones a los ejercicios y problemas26 Calcula el permetro y el rea de esta figura teniendo en cuenta que los

cuatro ngulos sealados miden 45:

P = 42,8 cm

A = 111,28 cm2

27 Halla el rea y el permetro de la figura.

P = 37,2 dm

A = 66 dm2

28 Calcula el permetro y el rea.

P = 34 m

A = 49 m2

5 m

5 m

5 m5 m

3 m

4 dm8 dm

3 dm

6 cm

13 cm5 cm

2 cm

Pg. 7


8Soluciones a los ejercicios y problemasons t rucc in de f i gu ras seme jan tes

29 Sobre una hoja de papel cuadriculado, realiza una copia del siguiente di-bujo pero al doble de su tamao.

Construccin:

30 Dibuja en tu cuaderno una figura comola siguiente y amplala al doble de su tamaoproyectndola desde un punto exterior:

CPg. 8


8Soluciones a los ejercicios y problemas31 Copia la siguiente figura en tu cuaderno

y amplala al triple de su tamao:

a) Proyectndola desde un punto interior (A).

b)Proyectndola desde uno de sus vrtices (B).

a)

b)

32 Para construir un pentgono regular de 2 cm delado, copiamos un pentgono regular cualquiera (figuraroja), alargamos dos de sus lados consecutivos hasta 2 cmy completamos una figura semejante a la roja con los la-dos paralelos. Calca en tu cuaderno el pentgono rojo y,procediendo como arriba, dibuja un pentgono regularde 3 cm de lado. 2 cm

A

B

A

B

A

B

Pg. 9


3 cm


l a n o s , m a p a s , m a q u e t a s

33 Una pareja, que va a comprar una casa, consulta un callejero a escala1:30 000, mide la distancia de esta al metro y resulta ser de 2 cm. Cul es ladistancia real?

Por otro lado, saben que la distancia de esa casa a la guardera es de 1,5 km. Aqu distancia se encontrarn en el callejero?

30 000 2 = 60 000 cm = 600 m es la distancia al metro.

La casa estar a 5 cm de la guardera en el callejero.

34 En la orilla del ro Sena (Pars) hay una rplica a escala 1:4 de la Estatuade la Libertad que mide 11,5 m. Halla la altura de la estatua de Nueva York.

En Cenicero, un pueblo riojano, hay una Estatua de la Libertad de 1,2 m. Culsera la escala de esta con respecto a la de Nueva York?

11,5 4 = 46 m mide la de Nueva York.

= 8 La escala es 3:115

35 Las medidas de un coche teledirigido de Frmula 1, a escala 1:40, son:11,75 cm de largo, 5 cm de ancho y 3 cm de alto. Cules son las dimensionesreales del coche?

Las dimensiones son:

4,7 m de largo.

2 m de ancho.

1,20 m de alto.

36 Averigua cules son las dimensiones reales del siguiente campo de ftbol.Calcula la superficie de cada rea de penalti (rea grande) y del crculo central.

ESCALA 1:1400

3115

1,246

P

Pg. 10


8Soluciones a los ejercicios y problemas

rea de penalti = 682,1 m2

rea del crculo central = 301,6 m2

e m e j a n z a d e t r i n g u l o s

37 Sabemos que los siguientes tringulos son semejantes. Halla los lados ylos ngulos que faltan.

B^

= 180 51 33 = 96 B^' = 96 b' = = 36,5 m

C^' = 51 c' = = 25,5 m

38 Los lados de un tringulo miden 7,5 cm, 18 cm y 19,5 cm. Se construyeotro semejante a l cuyo lado menor mide 5 cm.

a) Cul es la razn de semejanza?

b) Cunto medirn los otros dos lados del segundo tringulo?

c) Sabiendo que el primer tringulo es rectngulo, podemos asegurar que el se-gundo tambin lo ser? Comprubalo aplicando el teorema de Pitgoras a losdos tringulos.

a) 1,5

b) 12 cm y 13 cm.

c) S, 52 + 122 = 132.

512

732

40 m20 m

33 51

3351 m

73 mA

B

C

C'

c'

b'A'

B'

S

ESCALA 1:1400

16,8

70 m9,840,6 m

112 m

Pg. 11


8Soluciones a los ejercicios y problemas39 Explica por qu son semejantes dos tringulos rectngulos con un ngu-

lo agudo igual.

Entre los siguientes tringulos rectngulos, hay algunos semejantes entre s.

Averigua cules son calculando previamente el ngulo que le falta a cada unode ellos.

Porque se pueden poner en la posicin de Tales. Ya que, al tener un ngulo agudoigual y otro rectngulo, tienen los tres iguales.

Son semejantes:

y y y

(90, 60, 30) (90, 45, 45) (90, 53, 37)

40 Explica por qu estos dos tringulos issceles son semejantes:

Por ser issceles tienen los otros dos ngulos iguales y miden 80 cada uno.

Por tanto, tienen los mismos ngulos y los podemos colocar en posicin de Tales.

2020

534261

1 2 3

4 5 6

53

30

37

Pg. 12



p l i c a c i o n e s d e l a s e m e j a n z a

41 La altura de la puerta de la casa mide 3 m. Cul es la altura de la casa?Y la de la palmera ms alta?

1 cm 8 3 m2,6 cm 8 x2,5 8 yx = 7,8 m mide la casa.

y = 7,5 m mide la palmera ms alta.

42 Un rectngulo tiene unas dimensiones de 10 cm por 15 cm. El lado me-nor de otro rectngulo semejante a l mide 12 cm. Halla:

a) La razn de semejanza para pasar del primer al segundo rectngulo.

b)El lado mayor del segundo.

c) Las reas de ambos rectngulos.

a) 1,2

b) 18 cm

c) El rea del primero es 150 cm2, y la del segundo, 216 cm2.

43 Cul es la distancia entre el chico y la base de la torre (el chico ve la to-rre reflejada en el agua)?

x = 30 m

La distancia entre el chico y labase de la torre es de 33,3 m.

3,3 x1,76

16

3,3 m

16 m

1,76 m

A

Pg. 13


8Soluciones a los ejercicios y problemas44 Para determinar que la altura de un eucalipto es de 11 m, Carlos ha me-

dido la sombra de este (9,6 m) y la suya propia (1,44 m), ambas proyectadaspor el Sol a la misma hora. Cunto mide Carlos?

= 8 x = 1,65

Carlos mide 1,65 m

45 A qu altura del mar se encuentra el foco del faro?

x = 5

= 8 y = 18

El faro est a 19 m sobre el nivel del mar.

46 Cunto miden los ngulos de los tringulos rectngulos issceles? Tenloen cuenta para calcular la altura a la que se encuentra el equilibrista.

Los ngulos miden 45, 45 y 90.

El equilibrista est a 15 m de altura.

15

45

45

15

15 m

45

x

y

20 3 4

4

y3

244

20 m

4 m

4 m

1 m

x1,44

119,6

Pg. 14


8Soluciones a los ejercicios y problemas47 Cul es la altura del siguiente circo?:

= 8 x = 15,9 m

La altura del circo es de 15,9 m.

48 Cunto mide el alto de la estatua del dibujo?

= 8 x = 3,06 m

La estatua mide 3,06 m de alto.

0,9

0,5 m

4,6

2,1 m1,6 m

x5,50,9

x0,5

4,6 m0,9 m

1,6 m 2,1 m

91110

5,3

x

5,310

x30

10 m 11 m 9 m

5,3 m

Pg. 15


8Soluciones a los ejercicios y problemas49 Halla la altura del edificio sabiendo que:

La mesa tiene 1 m de altura.

= 80 cm

= 52 cm

= 8 h = 31,2

El edificio mide 32,2 m de altura.

480,8

h0,52

h

52 cm80 cm 47,2 m1 m

48 m

AB

C

BC

AB

Pg. 16


8Soluciones a las actividades de cada epgrafePGINA 164

El director del equipo analiza un plano en el cual 1 cm corresponde a 20 m en la realidad. Su maqueta de la moto es la dcima parte de lar-ga que la moto real. La moto de la fotografa es la misma que se ve enla maqueta.

1 La recta principal, en el plano, mide 44 cm. Cunto mide en la realidad?Averigua, aproximadamente, cul es la longitud total del circuito.

44 20 = 880 m

Recorrido total 8 40 cm. As:

x = = 5 028,6 m 5 km

2 Si el largo de la moto de la maqueta mide 19,4 cm, cul es la longitud realde la moto?

1,94 m.

880 407

7 8 88040 8 x

Pg. 1


8Soluciones a las actividades de cada epgrafe3 Conociendo la longitud de la moto y tomando medidas sobre la fotografa, ave-

rigua la estatura del director del equipo.

x = 1,7. El director del equipo medir 1,7 m.

PGINA 165

ANTES DE COMENZAR, RECUERDA

1 Los dos tringulos siguientes tie-nen los ngulos iguales. Los la-dos del segundo son la mitad delos del primero. Expresa esas re-laciones utilizando la nomencla-tura adecuada.

Por ejemplo:A^

= A'^

a = 2a', o bien, BC

= 2B'C'

Sigue t.A' se lee A prima. Anlogamente a', B', c'

A^

= A^' B

^= B

^' C

^= C

^' a = 2a' b = 2b' c = 2c'

2 Calcula el rea de las figuras siguientes:

= 81 m2 = 21 m2 = cm2 = 7 = 80,5 cm2

= 30 cm2 = 51 dm2 = 585 cm2GFE

8 + 152

D252

CBA

9 m

10 cm

10 cm

17 dm

6 dm6 cm

15 cm

13 cm

7 m

3 m

7 cm

8 cm

15 cm

EF G

D

C

BA

A

b

ac

B

C

A'b'

a'c'

B'

C'

1,94 1922

Pg. 2


F O T O R E A L I D A D

M O T O 22 1,94D I R E C T O R 19 x


1 Comparando el cuadrado del lado mayor con la suma de los cuadrados de losotros dos, comprueba si cada tringulo es acutngulo, rectngulo u obtusngulo.

a) 26 cm, 24 cm, 10 cm

b)20 m, 30 m, 40 m

c) 20 km, 17 km, 19 km

d)15 dam, 17 dam, 8 dam

e) 17 millas, 10 millas, 14 millas

f ) 45 dm, 28 dm, 53 dm

g) 33 m, 28 m, 33 m

a) Rectngulo. b) Obtusngulo.

c) Acutngulo. d) Rectngulo.

e) Acutngulo. f ) Rectngulo.

g) Acutngulo.

PGINA 167

2 Halla la longitud de la hipotenusa.

h = 39 cm

3 Halla la longitud del cateto desconocido.

c = 35 cm

4 Los catetos de un tringulo rectngulo miden 3 dam y 5 dam. Halla la longi-tud de la hipotenusa aproximando hasta los centmetros.

h = 5,831 dam

5 La hipotenusa de un tringulo rectngulo mide 10,7 m, y uno de los catetos, 7,6 m. Halla la longitud del otro cateto aproximando hasta los milmetros.

c = 7,532 m

37 cm

12 cm

36 cm

15 cm

Pg. 3



1 El lado de un rombo mide 8,5 m, y una de sus diagonales, 15,4 m. Calcula surea.

a = 3,6 m D = 15,4 m d = 7,2 m

A = 55,44 m2

2 Halla el rea de un tringulo equiltero de 54 cm de permetro.

Lado = = 18

a = 15,59 cm A = 140,31 cm2

3 Halla el rea de un trapecio rectngulo cuyas bases miden 70 dm y 134 dm, yel lado oblicuo, 85 dm.

a = 55,94 dm

A = 5 705,88 dm2

4 Calcula el rea y el permetro de un trapecio issceles cuyas bases miden 3,2 my 6,4 m, y su altura, 6,3 m.

a = 6,5 cm

Permetro = 22,6 m

rea = 30,24 m2

5 Calcula el rea de un hexgono regular de 18 cm de lado. (Recuerda que en unhexgono regular, el lado mide igual que el radio).

a = 15,6 cm A = 842,4 cm2a

18

18

a

6,4

3,2

6,3

1,6

a

134

70

85

64

a

918

543

a

15,4

8,5 dD

8,5

7,7

Pg. 4


8Soluciones a las actividades de cada epgrafe6 En una circunferencia de radio 9,7 m, se traza una cuerda de 13 m. A qu dis-

tancia se encuentra el centro de la circunferencia de la cuerda?

a = 7,2 m

7 La distancia de un punto P al centro O de una circunferencia es 89 cm.Trazamos una tangente desde P a la circunferencia. El segmento tangente PTmide 80 cm. Halla el rea y el permetro de la circunferencia.

r = 39 cm

Permetro = 244,92 cm

rea = 4 775,94 cm2

PGINA 171

1 Toma una hoja de papel cuadriculado y dibuja sobre ella una ampliacin deldibujo de abajo al doble de tamao.

O P

T

a

9,76,5

Pg. 5


8Soluciones a las actividades de cada epgrafeConstruccin:

2 Dibuja un tringulo de lados 3 cm, 4 cm y 5 cm. Construye otro tringulo cu-yos lados sean el doble de largos.

Observa que ambos tringulos tienen la misma forma, son semejantes. Cules la razn de semejanza?

La razn es 2.

10 cm

5 cm

8 cm4 cm

6 cm

3 cm

Pg. 6


8Soluciones a las actividades de cada epgrafe3 Las dimensiones de un rectngulo son 2 cm y 3 cm. Cules de los siguientes

rectngulos son semejantes a l?:

a) 36 cm y 54 cm

b)12 cm y 20 cm

c) 10 cm y 15 cm

d)45 cm y 70 cm

Di, tambin, cul es la razn de semejanza en aquellos casos en los que los rec-tngulos sean semejantes.

a) Son semejantes, razn = 18.

b) No lo son.

c) Son semejantes, razn = 5.

d) No lo son.

PGINA 173

1 Tomando medidas sobre el mapa de la pgina anterior y teniendo en cuenta laescala, calcula la distancia entre Ceuta y Mlaga. Cunto tarda en hacer el re-corrido un helicptero que vuela a 260 km/h?

En el mapa Ceuta - Mlaga = 2,7 cm 8 2,7 45 105 cm = 121,5 km

t = = 0,46 h 28 min

2 En este plano, la distancia real entre los puntos A y B es 120 m. Obtn la es-cala a la que est el plano y las distancias entre BC, BD y CA.

= = 4,17 104

La escala es 1:2 400

= 2 cm mapa 8 48 m= 5,2 cm mapa 8 124,7 m= 6 cm mapa 8 143,9 mCA

BD

BC

5 cm12 000 cm

5 cm120 m

A

B

CD

121,5260

Pg. 7


8Soluciones a las actividades de cada epgrafe3 Este es el plano de la pared de una cocina:

Calcula:

a) Sus dimensiones (largo y alto).

b)La distancia que hay entre los fogones y la campana extractora.

c) La superficie del cristal de la ventana.

a) Largo = 4 m

Alto = 2,25 m

b) Entre los fogones y la campana extractora hay 75 cm.

c) La superficie del cristal de la ventana ser de 7 500 cm2 = 0,75 m2.

PGINA 174

1 El saln de la casa de Raquel es abuhardillado y para medir la altura de la pa-red, se coloca como se ve en el dibujo.

Teniendo en cuenta las medidas, calcula la altura mxima del saln.

= 8 x = 4 m

La altura mxima del saln ser de 4 m.

1,65x

3,38

3,3 m8 m

1,65 m

Escala 1:50

Pg. 8



2 En el tringulo ABC, A^ = 33 y C^ = 90. En el tringulo A'B'C', B^' = 57y C

^' = 90. Explica por qu son semejantes.

Los ngulos de un tringulo suman 180, por lo que, en el tringulo ABC, B^

= 57.As, ABC y A'B'C' tienen un ngulo agudo igual y otro recto, y, por tanto, son se-mejantes.

3 Demuestra que los tringulos ABC, AHB y BHC son semejantes, compro-bando que sus lados son proporcionales.

ABC ABH

= 2,125 = =

ABC BHC

= 1,1)3 = =

Como la semejanza es una relacin de equivalencia y ABH es semejante a ABC,que es semejante a BHC, entonces ABH es semejante a BHC.

4 Explica por qu dos tringulos rectngulos issceles son semejantes.Si es rectngulo e issceles, sus catetos son iguales y, por tanto, son tringulos se-mejantes.

5 Explica por qu los tringulos adjuntos son semejantes.

Porque sus catetos son proporcionales: = = 2,4125

28,812

28,8 cm

5 cm

12 cm12 cm

BCHC

ACBC

ABBH

BCBH

ACAB

ABAH

A

B

CH

255

225

120

64

136

Pg. 9



1 Calcula la altura de un edificio que proyecta una sombra de 49 m en el mo-mento en que una estaca de 2 m arroja una sombra de 1,25 m.

Tiene una altura de 78,4 m.

2 Las sombras de estos rboles medan, a las cinco de la tarde, 12 m, 8 m, 6 m y4 m, respectivamente. El rbol pequeo mide 2,5 m. Cunto miden los dems?

El primero mide 7,5 m, el segundo, 5 m y el tercero, 3,75 m.

PGINA 1773 Observa de qu ingenioso mtodo

se vale Ramn para averiguar la al-tura del edificio:

Se sita de tal manera que la partealta de la verja y la parte alta del edi-ficio estn alineadas con sus ojos.Seala su posicin y toma las medi-das que se ven en el dibujo.

a) Explica por qu los tringulos ABC y CDE son semejantes.b) Calcula

ED.

c) Calcula la altura del edificio.

a) Porque A^

del pequeo es igual que C^

del grande, y como son rectngulos y tie-nen un ngulo agudo igual, son semejantes.

b) 3 1,56 = 1,44

= 8 = 3,9 m

c) 3 + 3,9 = 6,9 m

La altura del edificio es de 6,9 m.

ED6,52,4

ED1,44

B

C

E

AD

6,5 m2,4 m

1,56 m

Pg. 10


B

C

E

AD

6,5 m2,4 m

1,56 m


1 Dibuja en tu cuaderno una figura parecida a esta y amplala al doble de tama-o mediante el mtodo de la proyeccin.

Respuesta abierta. Solo se pide parecido y del doble de tamao.

2 Dibuja en tu cuaderno un pentgono irregular. Redcelo a su tercera parte pro-yectando desde un punto interior. Vuelve a hacerlo tomando como punto deproyeccin uno de los vrtices.

Respuesta abierta.

Pg. 11


Teorema Pitagoras Semejanza1Teorema Pitagoras-semejanza

Pitagora Sse Me Jan Za 2

Documents

Transcript of Pitagora Sse Me Jan Za 2