Pitagoras

Pitgoras(I)

Autora: Concepcin Jimeno Martnez

Tutor: Francisco Martnez Gonzlez

Pitgoras naci en la primera mitad del siglo VI a C en la isla griega

de Samos. Su padre, Mnesarchus, era reconocido mercader de la

ciudad y cuenta la leyenda que en una ocasin, en la ciudad padeca

una hambruna terrible, el abri sus bodegas para alimentar a todos

sus conciudadanos por lo que fue nombrado ciudadano

distinguido. Este hecho le permiti a l y a su familia vivir siempre

con comodidad y respecto.

Su madre, Pythia, provena de una familia educada de Samos, se

preocup siempre por la formacin de sus hijos. Promovi que

Pitgoras acompaara a su padre en sus viajes para que conociera

distintas culturas de los pueblos con los que su padre comerciaba, se

sabe que Pitgoras tuvo maestros sabios sirios y caldeos.

Desde nio aprendi a tocar la lira y estudi poesa griega de su poca. Entre los 18 y 20

aos, viaj a la ciudad de Mileto y visit a Tales, si bien ya Tales era un venerable anciano

que despert en Pitgoras el amor por las Matemticas y la astronoma y fue sin duda quien

la indico a viajar a Egipto para aprender ms sobre estos temas. Anaximandro, pupilo de

Tales, imparta las enseanzas de ste, lecturas a las cuales asisti Pitgoras, y muchas de

sus ideas de geometra y cosmologa influyeron en su propia visin.

Sobre el 535 a C Pitgoras viaj a Egipto. En ese momento Samos viva bajo a la dictadura

de Plicrates. Fue hecho sacerdote en el templo de Diospolis. Fue sin duda e su etapa en

Egipto, donde desarroll el pensamiento mstico, y tambin consolid su formacin en

aritmtica, geometra, astronoma y msica.

En el 522 a C Cambyses II rey de Persia invadi Egipto. Plcrates

rompi sus alianza con Egipto y apoyo a los persas, Pitgoras fue

hecho prisionero y llevado a Babilonia. Los babilonios reconocieron

en Pitgoras al gran sabio griego, y en vez de estar en una crcel,

dejaron que en su casa tuviera una academia y en lugar de trabajos

forzados le autorizaron el estudio de las matemticas y la

astronoma.

No esta claro como obtiene su libertad pero muy probablemente fue

la muerte de Cambyses y Plicrates hecho acaecido en el 522 a de C

fue liberado y regres a Samos. Las razones porque emigr al sur de

Italia y eligi la ciudad Crotona, son fuente de especulacin

seguramente debido al poco xito de sus enseanzas en su ciudad

natal y tambin que le exigan que participase en asuntos pblicos y

polticos.

Pitgoras(II)



La Hermandad Pitagrica

La Escuela Pitagrica fue una asociacin religiosa y poltica, adems de filosfica. Para

acceder a ella era necesario abstenerse de ciertos alimentos y observar el celibato. Con

Pitgoras aparece la nueva forma de vida de una comunidad cerrada, unidas por reglas

comunes de vida y por las mismas ideas sobre el alma y sociedad. Se llamaban

matemticos, no tenan posesiones personales y eran vegetarianos. Hasta 300 seguidores

llegaron a conformar este grupo selecto, su enorme influencia fueron determinantes para

el desarrollo en las matemticas, astronoma y la medicina entre otras ciencias naturales.

En los grados ms altos, los pitagricos vivan en completa comunidad de bienes. Las

enseanzas de los pitagricos se transmitan por va oral y todo se atribua al venerado

Pitgoras, fundador de la escuela. La escuela se fue transformando en una hermandad con

ritos y ceremonias secretas de las que se sabe muy poco. Este secretismo se extenda a

todo lo que rodeaba la escuela, incluidos sus trabajos y descubrimientos matemticos, por

eso no se tiene certeza sobre qu descubrieron y quin lo descubri. La doctrina de los

pitagricos tena esencialmente carcter religioso, fundamentalmente consisti en que la

sustancia de las cosas era el nmero. La naturaleza, las estrellas, todo estaba basado en

relaciones numricas enteras o fraccionarias. La secta acab teniendo un carcter poltico

lo que provoco enfrentamientos, persecucin y por fin su prctica ruina con el exilio y un

cierto grado de dispersin. Las sedes de sus escuelas fueron incendiadas, y slo tiempo

despus los desterrados pudieron volver a su patria. Es probable que Pitgoras se viese

obligado por estos movimientos insurreccionales, a dejar Crotona para irse a Metaponto.

Parece ser que fue el exilio lo que provoc que se abrieran en cierta medida y que se

conocieran gran parte de sus conocimientos. En matemticas fueron importantes: los

nmeros, sus relaciones, la aritmtica, la geometra,...

que en su nivel ms profundo, la realidad es de naturaleza matemtica

que la filosofa puede usarse para la purificacin espiritual

que el alma puede elevarse para unirse con lo divino

que ciertos smbolos son de naturaleza msticaque todos los miembros de la hermandad deben guardar absoluta lealtad y secretismo

Pitgoras(III)



FRASES DE PITGORAS

Educad a los nios y no ser necesario castigar a los hombres.

Educar no es dar carrera para vivir, sino templar el alma para

dificultades de la vida.

Una tonelada de ciencia no vale ms que una gota de sabidura.

El que habla, siembra; el que escucha, recoge.

Cultivad las matemticas: todos nuestros crmenes son errores de

clculo.

Escribe en la arena las faltas de tu amigo.

No digas pocas cosas en muchas palabras, sino muchas cosas en

pocas palabras.

Los hombres que siempre hablan verdad son los que ms se

aproximan a Dos.

No veas en tu enemigo ms que un amigo extraviado.

La ira se halla tambin en otros animales; la sabidura, slo en el

hombre.

No te vuelvas enemigo del hombre del cual dejas de ser su amigo.

Evitad todo aquello que pueda atraer a la envidia.

No sabe hablar quien no sabe callar.

La libertad dijo un da a la ley T me estorbas

La ley respondi a la libertad: Yo te guardo.

Pitgoras(IV)



Teorema de Pitgoras

En todo tringulo rectngulo el cuadrado de

la hipotenusa es igual a la suma de los

cuadrados de los catetos.

y

El Teorema de Pitgoras en Babilonia

La tablilla YALE (Y BC 7289) de

1600 a.C.

El Teorema de Pitgoras en Egipto

Los egipcios conocan y utilizaban el hecho de

que el tringulo de lados 3, 4 y 5 (o

proporcionales a estos nmeros), llamado

"Tringulo egipcio", es rectngulo, para trazar

una lnea perpendicular a otra, que era una

prctica habitual de los agrimensores oficiales

para recuperar las fronteras de los lindes de las

tierras tras los peridicos corrimientos

producidos por las crecidas del Nilo.

El Teorema de Pitgoras en la India

Como resultado de la planificacin de

templos y de la construccin de altares,

entre los siglos octavo y segundo a.C., en

la India se desarrollan conocimientos

aritmtico-geomtricos, prcticos y

primitivos, relacionados con el Teorema

de Pitgoras.

El Teorema de Pitgoras en China

Hay dos tratados clsicos chinos de contenidos

relacionados con aspectos geomtricos vinculados al

Teorema de Pitgoras, el Chou Pei Suan Ching (300

a.C.) y el Chui Chang Suang Shu (250 a.C.). Su

contenido fue sustancialmente ampliado y

desarrollado por dos comentaristas del siglo III D.C.

Zho Shuang y Liu Hui. Los tratados originales tratan

los aspectos primitivos del Teorema, es decir, los

resultados numricos concretos, as como las leyes

generales de formacin de las ternas pitagricas,

mientras que los aspectos ms evolucionados de la

demostracin son elaborados por Zhao y Liu.

Pitgoras(V)



El Teorema de Pitgoras en la Academia de Platn

El Teorema de Pitgoras en el caso particular del

tringulo rectngulo issceles aparece en el dilogo El

Menn (82d83e) de Platn a propsito del problema

de la "duplicacin del cuadrado" que es la antesala del

famoso problema dlico de la "duplicacin del cubo".

Curiosamente Platn utiliza el problema para sustentar

la doctrina de la reminiscencia y la inmortalidad. En la

bsqueda de ternas pitagricas, Platn encontr una ley

de formacin que se puede expresar en la forma: En las

"Ternas pitagricas de Platn" la hipotenusa y uno de

los catetos se diferencian en dos unidades.

No entre nadie ignorante en

Geometra

y

La demostracin de Pappus (hacia 300 D.C.)

Pappus utiliza un argumento similar al de la de Euclides: la

comparacin de reas de figuras de la misma base, situadas

entre paralelas.

La demostracin de Bhaskara (1114-1185)

El monje, matemtico y astrnomo hind, Bhaskara dio una

demostracin muy sencilla del tipo de congruencia por

sustraccin, que aparece en el Vijaganita (clculo de races).

La demostracin de Leonardo da Vinci (1452-1519)

Leonardo da Vinci muestra tambin su ingenio con una prueba

del Teorema de Pitgoras del tipo de congruencia por

sustraccin.

Demostracin de Euclides: proposicin I.47 de Los Elementos

El descubrimiento de los nmeros irracionales por Pitgoras y los Pitagricos supuso un

contratiempo muy serio. De pronto, las proporciones dejaron de tener validez universal, no

siempre podan aplicarse. La demostracin de Pitgoras de su teorema se basaba muy

probablemente en proporciones, y una proporcin es un nmero racional. Sera realmente

vlida como demostracin? Ante esto, Euclides elabora una demostracin nueva que elude la

posibilidad de encontrarse con nmeros irracionales.

El eje de su demostracin es la proposicin I.47 de Los Elementos

En los tringulos rectngulos el cuadrado del lado opuesto al ngulo recto es igual a la

suma de los cuadrados de los lados que comprenden el ngulo recto.

Basndose en la proposicin I.41 de Los Elementos, que equivale a decir que a igual base y

altura, el rea del paralelogramo dobla a la del tringulo.

El Teorema de Pitgoras (Euclides,

I.47) en el folio 26 recto del

manuscrito f-III-5 de El Escorial,

uno de los ms antiguos que se

conservan (siglo XI)

Pitgoras(VI)



Matemticas

La ciencia matemtica practicada por Pitgoras y los matematikoi

difiere del tratamiento de esta ciencia que se lleva a cabo en

universidades o instituciones modernas. Los pitagricos no estaban

interesados en formular o resolver problemas matemticos, ni

existan para ellos problemas abiertos en el sentido tradicional del

trmino. El inters de Pitgoras era el de los principios de la

matemtica, el concepto de nmero, el concepto de tringulo (u

otras figuras geomtricas) y la idea abstracta de prueba. Como seala

Brumbaugh, "Es difcil para nosotros hoy en da, acostumbrados como

estamos a la abstraccin pura de las matemticas y el acto mental de la

generalizacin, el apreciar la originalidad de la contribucin

pitagrica."

Pitgoras reconoca en los nmeros propiedades tales como

personalidad, masculinos y femeninos, perfectos o imperfectos,

bellos y feos. El nmero diez era especialmente valorado, por ser la

suma de los primeros cuatro enteros [1 + 2 + 3 + 4 = 10], los cuales se

pueden disponer en forma de tringulo perfecto: la tetraktys. Para los

pitagricos, las cosas son nmeros, y observaban esta relacin en el

cosmos, la astronoma o la msica.

Tetraktys

y

Slidos perfectos

Los pitagricos demostraron que

existen 5 poliedros regulares,

solamente. Se cree que Pitgoras

saba cmo construir los tres o

cuatro primeros, pero fue Hipaso de

Metaponto (470 a.C.) quien

descubri el dodecaedro. Se debe

a Teeteto la demostracin de que no

existen otros poliedros regulares

convexos

ngulos interiores de un tringulo. Encontraron que lasuma de los ngulos interiores de un tringulo es igual a dos

rectos, as como la generalizacin de este resultado a

polgonos de n - lados.

Un tringulo inscrito en un semicrculo es un tringulorectngulo. Proposicin de origen pitagrico (segn

Digenes).

Construccin de figuras dada un rea determinada.

DodecaedroLa irracionalidad de la raz cuadrada de 2. Los pitagricos

descubrieron que la diagonal de un cuadrado de lado 1 no puede

expresarse como un cociente de nmeros enteros. Este evento

marca el descubrimiento de los nmeros irracionales.

El descubrimiento de

los Nmeros perfectos y

los Nmeros amigos.

Jmblico atribuye a Pitgoras

el haber descubierto el par de

nmeros amigos (220, 284).

Medias

Los pitagricos examinaron

las razones y proporciones entre

los nmeros enteros; la media

aritmtica, la media geomtrica y

la media armnica y las relaciones

entre ellas

Un nmero es poligonal

(triangular, cuadrangular,

pentagonal, hexagonal, etc.)

si tal nmero de puntos se

pueden acomodar formando

el polgono correspondiente

Pitgoras(VII)



Las polis

Tras la desaparicin de la civilizacin micnica los griegos formaron

pequeas comunidades, que evolucionaron en el siglo VIII a. C., y se

convirtieron en ciudades. Estas ciudades se conocieron con el nombre de

"ciudades-estado" o polis.

A diferencia de las ciudades de los grandes imperios

(Mesopotamia, Egipto, Persia), que estaban organizadas alrededor del

palacio real y del templo, el centro de la polis lo constitua el gora, un

espacio abierto donde los ciudadanos acudan para comerciar y para

intercambiar ideas. En el gora tiene lugar la vida poltica de la polis, y en

ella surge tambin la filosofa griega.

El aspecto orogrfico de Grecia hizo que las polis se situaran en su gran

mayora en territorios costeros de difcil acceso y en valles que estaban

rodeados por montaas.

Las polis se constituyeron como una unidad poltica, social y econmica

de Grecia, pero si bien compartan una lengua, religin comn, lazos

culturales y una identidad racial e intelectual que exhiban con orgullo, los

habitantes de estas ciudades no pudieron fundar un estado unificado.

Exista una gran rivalidad entre las diferentes polis, consideraban que el

reducido tamao de cada una era lo ms idneo para practicar una

adecuada poltica y economa

y

La sociedad griega

Ciudadano

Clases sociales en Atenas

Los ciudadanos: Eran los nicos que podan

poseer tierras, y dedicarse a los asuntos de

la Polis. Para los griegos, la verdadera

ocupacin del ciudadano era participar en

la poltica de la ciudad. Sin embargo tambin

se distinguan por las cualidades propias que

tenan.

Los Metecos: Eran los extranjeros residentes

en Atenas. Eran libres y podan participar de

ceremonias cvicas y religiosas. Tenan en sus

manos la mayor parte del comercio martimo,

la banca, y la produccin mercantil. Pero

carecan de derechos polticos y no podan

tener una tierra, salvo que pidieran un

permiso.

Los esclavos. Estaban en el ltimo peldao de

la escala social, eran propiedad de otras

personas, carecan de libertad. El esclavo no

tena derecho sobre su persona y estaba

obligado a trabajar contra su voluntad. Pero el

propietario no tena sobre el esclavo derecho

de vida o muerte.

Clases sociales en Esparta

Los ciudadanos: Los nicos que posean derechos polticos eran los

espartanos descendientes de los conquistadores dorios. Reciban

educacin militar desde los 7 a los 17 aos y adquiran la mayora de

edad a los 30, cuando podan ser parte de la Asamblea de los

Ciudadanos y tenan que casarse. Exista un cierto nmero de

ciudadanos considerados cobardes en el combate, a los que los

historiadores denominan con el trmino latino de tresantes (los

temblorosos), que se les someta a toda clase de desprecios y

vejaciones

Los periecos: Descendientes de los miembros de las comunidades

campesinas que no opusieron resistencia a los invasores Dorios y, por

lo tanto, no fueron sometidos por la fuerza. Los periecos podan vivir

en libertad en sus tierras, pero carecan de derechos polticos. Se

ocupaban de las actividades artesanales y comerciales. Deban pagar

al Estado altos tributos y podan ser obligados a incorporarse al

ejrcito.

Los Ilotas: Descendientes de los miembros de las comunidades

campesinas que opusieron resistencia a los invasores Dorios. Estaban

obligados a servir a los ciudadanos; el Estado los distribua ente los

iguales para que trabajaran sus tierras. Los ciudadanos se quedaban

con casi todo lo producido, mientras que slo una pequea parte les

corresponda a los ilotas. No tenan ningn tipo de derechos y carecan

de proteccin de las leyes. No eran esclavos sino siervos pblicos y

como pertenecan al Estado, no podan ser comprados ni vendidos.

Artesano Meteco

Pitgoras(VIII)



LA MUJERES libres en Grecia carecan de

derechos polticos. Estaban sometidas al varn,

ya fuese ste el padre o el marido, y sus

movimientos estaban muy restringidos. Las que

pertenecan a las familias acomodadas

salan en escasas ocasiones de su hogar, y dentro

de ste tenan asignado su espacio particular: el

"gineceo". Muchas actividades reservadas a los

varones (como la asistencia a los juegos) eran

prohibidas a la mujer.

y

La Mujer en la Sociedad Griega

Desde el da del nacimiento hasta el de su muerte, una mujer de la

antigua Grecia viva bajo el control de los hombres. Su padre, sus

hermanos incluso sus hijos- tomaban decisiones que alteraban su

vida. Las mujeres no podan votar ni tener un empleo publico,

heredar o poseer propiedadesni siquiera comprar algo que costara

mas que un precio determinado. No obstante una mujer no careca

totalmente de poder: diriga la casa y controlaba el dinero de la

familia. Algunos hombres importantes, como Pericles, escuchaban

cuidadosamente los consejos de sus mujeres.

La costumbre dict que una mujer griega limita su tiempo fuera de

la casa a visitar a sus vecinas femeninas ms cercanas. Las

excepciones a esta convencin social rgida eran bodas, los

entierros e indican los festivales religiosos en los cuales se esperaba

que las mujeres desempearan papeles pblicos prominentes. A

parte de estos momentos, las reuniones femeninas ms comunes (y

diarias), sucedan cuando se encontraban las mujeres de un mismo

sector en el pozo de agua, que en general eran comunitarios; solo la

gente muy rica tena pozos privados.

Los deberes de las mujeres rurales incluyeron algo del trabajo

agrcola, como el cosechar de aceitunas y de fruta.

Pero la vida de la mujer Griega transcurra casi la mayor parte del

tiempo en el jardn de la casa, en donde tejan y cocinaban; el

equipo de cocina griego era pequeo y ligero y se poda instalar

fcilmente. En tiempo asoleado, las mujeres se protegan del sol

con sombreros o mantas, porque el ideal en belleza femenina era

una tez plida.

La mujer en Esparta

En la antigedad todos teman al

ejercito al ejercito espartano, cuyos

soldados se haban entrenado en

rgidos campamentos militares desde

que eran muy pequeos. Pero los

espartanos se aseguraban tambin de

que sus mujeres fueran fuertes y

saludables para que pudieran tener

hijos varones y fuertes para el ejercito.

Las jvenes espartanas crecan al aire

libre, aprendiendo a correr, luchar y

lanzar el disco y la jabalina, al igual

que los varones. Las jvenes espartanas

llevaban faldas cortas, pues les daba

libertad de movimiento para hacer

ejercicio y practicar el atletismo. Estos

vestidos debieron resultar escandalosos

en Atenas.

Pitagoras

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