Placas

23

4 Revisin de las Teoras de Placas Laminadas

4.1 Introduccin. Las estructuras laminadas, como ya fue descrito en el captulo 3, estn formadas por el apilamiento de lminas de materiales compuestos con diferentes orientaciones de fibra. El objetivo de este captulo es describir las teoras de laminados compuestos ms comnmente utilizadas. De esta forma, para un mejor entendimiento de esta seccin sobre el anlisis de placas compuestas laminadas ser presentado un pequeo resumen de acuerdo a las siguientes teoras mostradas por Reddy [27]:

1. Teora de de Lmina Equivalente, ESLT Equivalent Single Layer Theory (2-D).

(i) Teora Clsica de Placas Laminadas, CLPT Classical Laminated Plate Theory.

(ii) Teora de Primer Orden de Mindlin, FSDT First-order Shear Deformation Theory.

(iii) Teora de Orden Superior, HSDT Higher-order Shear Deformation Theory.

2. Teora de Lmina Discreta, LWT Layerwise Theory (3-D).

Por ser bidimensional, la Teora de Lmina Equivalente es ms simple. Lo que diferencia a los tres modelos ESLT es la consideracin o no, de los efectos del cizallamiento fuera del plano de la lmina. Por tanto en las prximas secciones se presentarn ms detalladamente las teoras basadas en ESLT. Por otro lado, la Teora de Lmina Discreta LWT, considera la continuidad de las tensiones zz, xz y yz en las interfaces de las lminas, representando resultados ms precisos, principalmente para la tensin transversal normal zz.

El anlisis de placas y laminados en materiales compuestos tambin podra realizarse por medio de la Teora Tridimensional de la Elasticidad o bien la Teora de Placas y Lminas. En la Teora de la Elasticidad cada lmina es considerada como un medio continuo, con propiedades diferentes a la lmina adyacente. Adems del nmero de ecuaciones diferenciales de equilibrio generadas, [3 x n lminas] son empleadas ecuaciones adicionales para garantizar la continuidad de desplazamientos y tensiones. A medida que el nmero de lminas aumenta, el sistema de ecuaciones a resolver es cada vez mayor, dificultando su resolucin. Por otro lado, en las teoras de placas laminadas, en cada lmina se considera un estado plano de tensiones con unin perfecta entre lminas, o sea sin deslizamiento. Las propiedades del material laminado, tal como la rigidez, son obtenidas integrando las propiedades materiales de cada lmina, a lo largo del espesor del laminado. Por tanto, las teoras de lminas y placas laminadas pueden ser

24 Teora de Placas Laminadas

equivalentes a las teoras de una lmina, reducindose as el nmero de ecuaciones necesarias para describir el sistema.

A lo largo de este trabajo sern presentadas varias teoras de Placas Laminadas, basadas en la hiptesis de asumir un campo de desplazamientos. El origen de estas teoras se atribuye a [Basset, 1890]. El campo de desplazamientos de Basset para una lmina consiste en una expansin en serie de la coordenada del espesor, . Por ejemplo,

, , , ,

donde (1,2) son las coordenadas curvilneas de la superficie media de la lmina:

, , 0, 0,1,2

Ms tarde, Hildebrand et al [1949] presentaron una teora de deformacin cortante para laminados, cuyo campo de desplazamientos, (4.1-4.3) originalmente presentado por Hencky [1947], viene dado por:

, , , , (4.1)

, , , , (4.2)

, , , (4.3)

Esta aproximacin da origen a cinco ecuaciones diferenciales y es considerada como la Teoria de Placa de primer orden de Mindlin [1951], quien present una teora dinmica para placas istropas basndose en el anterior campo de desplazamientos. Otras teoras de deformacin cortante de orden superior fueron estudiadas por Librescu [1975], Lo et al [1977], Murthy [1981] y Levinson [1980], entre otros.

4.2 Ecuaciones de Euler-Lagrange. A continuacin se muestran las ecuaciones de placas y lminas, resueltas mediante el clculo variacional. El clculo de variaciones busca un extremo funcional, es decir un mnimo, mximo o punto de inflexin de una funcin de funciones (en trminos fsicos, un mnimo o mximo). En esta seccin se ofrece una explicacin simplificada del principio de Hamilton y la derivacin de las ecuaciones de Euler-Lagrange [Maia, 2000; Hazewinkel, 2002; Ramos, 2004].

Las ecuaciones de Euler-Lagrange fueron desarrolladas por Leonhard Euler y Joseph Louis Lagrange, en un estudio que puede enunciarse como sigue: dados dos puntos A y B en un plano vertical se quiere que una partcula M que se mueve a travs de AMB, bajo la accin de su propio peso, pase del punto A al punto B en el menor tiempo. Lagrange resolvi este problema en 1755 y envi la solucin de Euler. Los dos desarrollaron el mtodo utilizado por Lagrange y lo aplicaron en la mecnica, desarrollndose la Mecnica Lagrangiana, y ms tarde el Clculo de Variaciones, un trmino utilizado por Euler en 1766.

Considrese el camino definido por la integral que se muestra a continuacin entre los instantes t1 y t2:

, ,

(4.4)


La integral (4.4) se llama integral de accin y traduce matemticamente el principio de Hamilton o principio de accin estacionaria. El principio de Hamilton [Hamilton, 1835] fue creado por William Hamilton y luego generalizado por Ostrogradski [1850]. La accin L se llama funcin lagrangiana, y representa un equilibrio entre la energa cintica y la energa potencial de un sistema. En algunos casos, el valor estacionario corresponde a un mnimo, entonces el principio puede ser llamado el principio de mnima accin de Hamilton.

Se trata de encontrar soluciones del funcional I, sin calcular explcitamente , , . En cuanto al estudio de las placas y lminas, tratamos de encontrar las respectivas

ecuaciones de equilibrio dinmico.

Las soluciones de la integral de accin estn dadas por las ecuaciones de Euler Lagrange:

(4.5) donde Q representa las fuerzas generalizadas no conservativas. Cualquier solucin del problema de Euler-Lagrange se trata de un extremo del problema variacional (4.4). Las soluciones del problema de Euler-Lagrange se obtienen de la siguiente manera: Consideremos una funcin lagrangiana , , , , , , , , donde qk son las coordenadas generalizadas. Los valores estacionarios del funcional I pueden ser encontrados haciendo, 0:

(4.6) Integrando el trmino por partes, se obtiene:

(4.7) y sustituyendo se obtiene:

(4.8)

Para garantizar que 0 para cualquier pequea variacin de , se tiene para cada coeficiente :

, 1,2, ,

(4.9)

La notacin fue introducida por Lagrange para representar una variacin virtual de una funcin y aunque tenga un significado fsico distinto de la derivada d, tiene las mismas


propiedades matemticas. No obstante, una variacin virtual es considerada independiente de la variable tiempo. Por ejemplo, , , :

4.2.1 Ecuaciones de Euler-Lagrange aplicadas a la Teora Clsica de Placas. Las ecuaciones de equilibrio se obtienen usando el Principio de los Trabajos Virtuales. Consideremos una placa de altura h, rea 0, densidad 0, sometida a una presin q(x,y). Las componentes energticas consideradas son la energa de deformacin U, la energa cintica K y la energa producida por las fuerzas externas aplicadas, V. Para encontrar las ecuaciones de Euler-Lagrange asociadas a la teora clsica, se busca un extremo, que en este caso coincide con un mnimo de .

Aplicando el Principio de los Trabajos Virtuales, e igualando la variacin a cero, se obtiene:

0

(4.10) con

2/

/

(4.11)

(4.12)

/

/

(4.13) Las expresiones de u, v, w se denominan campo de desplazamientos. Estas expresiones permiten describir el comportamiento de un punto de la placa en torno a los ejes x, y, z. Diferentes hiptesis dan origen a diferentes campos de desplazamientos, que a su vez dan origen a diferentes ecuaciones de Euler-Lagrange. En este ejemplo se considera el ms simple de los campos de desplazamientos para una placa, que da origen a la teora clsica de placas.

El campo de desplazamientos considerado es:


0

(4.14) Aplicando el tensor de deformaciones infinitesimales , se obtienen las ecuaciones cinemticas:

2

(4.15) Sustituyendo (4.15) en (4.11) se obtiene:

/

/

2

/

/

/

/

/

//

/

/

/

/

//

/2

2

(4.16) Y de la misma manera, sustituyendo (4.14) en (4.13) se obtiene:

/

/

/

/

(4.17)

Los trminos Nxx, Nyy y Nxy son los esfuerzos, Mxx, Myy y Mxy son los momentos resultantes e I0, I1 e I2, son los momentos de inercia. Las ecuaciones de las resultantes son obtenidas por integracin de las componentes a lo largo de la direccin del espesor, de la forma:


(4.18)

(4.19) en cuanto que los momentos de inercia son obtenidos por:

1

(4.20) Para obtener las dependencias con u0, v0 y w0 ser necesario integrar los trminos de (4.16) por partes:

2 2

2 2 2

(4.21) Procediendo de la misma manera en (4.17), se obtiene:

(4.22)


(4.23) Sustituyendo en (4.10) y eliminando los trminos se obtienen las siguientes ecuaciones de equilibrio dinmico:

:

:

: 2

(4.24)

4.3 Teoras de Deformacin de Placas.

4.3.1 Revisin Bibliogrfica. Todas las teoras usadas en este trabajo tienen su origen en un campo de desplazamientos conocido, dando origen a las ecuaciones de equilibrio de Euler-Lagrange. El campo de desplazamientos usa las coordenadas generalizadas del problema. En los siguientes ejemplos se pretende exponer una lista de diferentes campos de desplazamientos. Un anlisis ms detallado sobre las distintas teoras de deformacin puede ser encontrado en el artculo de revisin de Rohwer et al [2005], Carrera [2003] y Altenbach [1998]. Teora Clsica: La teora clsica considera tan slo tres grados de libertad. u0, v0 y w0, que computacionalmente es una ventaja. Esta teora es adecuada en estructuras de poco espesor. [Rohwer et al, 2005].

0

(4.25)


Teora de Primer Orden: La teora de primer orden considera cinco grados de libertad, u0, v0, w0, u1, u2, y nos proporciona mejor comportamiento para estructuras de bajo espesor que la teora clsica, [Rohwer et al, 2005]. Precisa de un coeficiente de correccin a cortante que depender de las relaciones geomtricas, propiedades materiales y secuencia de laminacin. Esta teora de primer orden fue empleada en estructuras compuestas por [Yang et al, 1966] y [Whitney & Pagano, 1970].

0

(4.26) Teora de Orden Superior: De forma general, las teoras de orden superior tienen un campo de desplazamientos de la forma:

(4.27) El parmetro n es normalmente inferior a 3, de manera que no aumente excesivamente el coste computacional. Estas teoras se caracterizan por no necesitar de factor de correccin a cortante, teniendo una buena aproximacin de la energa de corte transversal.

Teoras de Tercer Orden: Segn [Jemlelita, 1990] la primera teora de deformacin de tercer orden fue propuesta por Vlasov en 1957. La propuesta por Vlasov necesitaba siete grados de libertad. Fueron presentadas varias teoras que manteniendo los trminos de tercer orden, reducan el nmero de grados de libertad. [Murphy, 1981] y [Reddy, 1984], presentaron teoras de tercer orden con cinco grados de libertad, y con idntica precisin. Diferentes consideraciones en la formulacin de las teoras originan los campos de desplazamientos indicados a continuacin:

[Murphy, 1981]

5 5

04

0

53

(4.28) [Reddy, 1984]

0

43

(4.29) Basndose en la teora de Reddy, [Senthilnathan et al, 1987] desarroll una teora de tercer orden con cuatro grados de libertad. Sin embargo la teora de Senthilnathan tiene una precisin inferior a la teora de Reddy.

0

0

43


(4.30) Otra teora de tercer orden con siete grados de libertad es la conocida como teora de Kant [Manjunatha y Kant, 1992]

0 0

(4.31) En este trabajo ser utilizada la teora de tercer orden de Reddy con cinco grados de libertad.

Otras Teoras de Orden Superior: Otras teoras de orden superior aumentan el grado del polinomio en el desplazamiento transversal , [Kwon y Akin, 1987]. En este caso el nmero de grados de libertad es cinco. No precisa de coeficiente de correccin a cortante, sin embargo los resultados obtenidos con esta teora son peores a los obtenidos con la teora de primer orden con coeficiente de correccin.

0

00

(4.32) Reissner [1975] propuso la combinacin de una expansin de z2 de los desplazamientos transversales junto con una expansin cbica de los trminos en u y v. Esta teora produce resultados muy precisos a costa de tener ocho grados de libertad. Fue aplicada a placas laminadas por [Lo et al, 1977] y desarrollada por [Pandya y Kant, 1988].

[Reissner 1975]

0

00

0

(4.33) [Pandya y Kant 1988]

0 0 0

(4.34) Teoras Trigonomtricas: Las teoras trigonomtricas usan una funcin trigonomtrica para formular el campo de desplazamientos. Los resultados de la teora propuesta por [Idlbi et al, 1997] estn ms prximos de los resultados obtenidos mediante la formulacin 3D de la elasticidad que de los resultados de la teora clsica, de primer orden o de tercer orden de Reddy, y con slo cinco grados de libertad.

[Idlbi et al 1997]

0

0

(4.35)


[Shimpi et al 2003]

0 0

00

(4.36) Existe una variacin de la teora de Shimpi que elimina el trmino del desplazamiento transversal expresado en coseno.

0 0

(4.37) Teora Zig-zag: Las teoras zig-zag presentan la forma:

,,,

,

,

,

(4.38) En un laminado con N lminas, el nmero de grados de libertad es 3(n+1)N lo que resulta ser computacionalmente muy exigente. La teora de zig-zag de [Arya et al, 2002] introduce los trminos , , y que mejoran los resultados para placas de espesor grande, sin aumentar el nmero de grados de libertad a pesar de ser una teora de zig-zag.

Teora Zig-zag trigonomtrica: Una teora zig-zag con trminos trigonomtricos para vigas fue propuesta por [Arya et al, 2002]. El nmero de grados de libertad es cinco.

0 0 0 0

(4.39)

4.3.2 Anlisis utilizando CLPT. Teora de Placas Laminadas de Kirchhoff.

La primera teora aplicada para el estudio de las estructuras laminadas fue la CLPT, .que fue desarrollada por Gustav Kirchhoff [1850]. Es una extensin de la Teora Clsica de Placas - CPT, o sea, una adaptacin de la Teora de Kirchhoff para laminados, de manera que obedece a las mismas hiptesis del modelo para placas:

1. El laminado consiste en la unin de lminas unidas perfectamente entre s. La capa de resina se utiliza para unir las lminas entre s, es fina e indeformable por cizallamiento, por tanto no se considera en el anlisis;

2. Secciones planas, o sea, las lneas perpendiculares a la superficie media en la configuracin indeformada, permanecen planas y perpendiculares despus de la deformacin, pues el


laminado es considerado delgado. Esto se cuantifica de manera bastante arbitraria y segn Reddy [24]:

(a) Laminados delgados: la relacin longitud frente a espesor, a/h, debe ser mayor o igual a 50;

(b) Laminados medios: 20 a/h < 50;

(c) Laminados de espesor grande: a/h < 20;

3. Los segmentos normales a la superficie son considerados inextensibles, por tanto, de longitud constante, es decir, no se produce deformacin transversal de la placa.

La primera hiptesis impone la condicin de que no se produce desplazamiento entre las lminas, ms all de los desplazamientos continuos a travs de las lminas. La segunda hiptesis se refiere a no considerar los efectos del cizallamiento transversal, o sea, xz y yz son despreciados y la tercera hiptesis implica que el desplazamiento transversal es independiente del espesor y que la deformacin lineal, zz, es nula. En la formulacin de este modelo, de acuerdo con algunas de estas hiptesis, surgen las siguientes restricciones:

1. El material de cada lmina es lineal elstico, por tanto asumimos la hiptesis de pequeas deformaciones;

2. El modelo presenta dos planos de simetra, o sea, es orttropo.

El campo de desplazamientos, de acuerdo a las hiptesis de Kichhoff viene dado por la expresin:

, , , , ,, ,

, , , , ,, ,

, , , , , (4.40)

donde u0, v0, w0 son los desplazamientos de la superficie media a lo largo de los ejes xyz, respectivamente y w0/x y w0/y son las rotaciones en torno a y y x, respectivamente. La figura 4.1 [Moura Belo, 2006] muestra las configuraciones indeformada y deformada de acuerdo a las hiptesis de Kirchhoff en el plano xz, como el plano de referencia es el plano medio (z=0), un problema que originalmente deba ser tratado como 3D, pasa a ser bidimensional.

Fig. 4.1. Configuracin de placa deformada e indeformada segn las hiptesis de Kirchhoff.


Consecuentemente el campo de deformaciones viene dado por:

2

(4.41)

donde xx y yy son las deformaciones normales al plano y xy es la deformacin cortante en el plano xy. En este punto, son definidas las deformaciones coplanarias de la superficie de referencia como las deformaciones de membrana. Estas deformaciones son aquellas que son independientes de z en la Eq. (4.41) y se relacionan con los deslizamientos de membrana por u0 y v0:

(4.42)

Los trminos dependientes de z en la Eq. (4.41) son deformaciones asociadas a la flexin de la superficie media y son denominadas curvaturas y vienen dadas por la derivada segunda del desplazamiento transversal:

4.43)

Por tanto se representa el vector de deformaciones como:

(4.44)

o en forma compacta con:

(4.45)

Conociendo los valores de los desplazamientos de membrana (u0,v0,w0) es posible determinar deformaciones en cualquier punto (x,y,z) de la placa empleando la Eq. (4.44).


Como en la CLPT todas las deformaciones transversales (zz, xz, yz) son nulas por definicin, para un laminado formado por lminas orttropas las tensiones cortantes transversales (xz,yz) tambin son nulas. A pesar de que zz tenga valor nulo, la tensin zz no es nula, sin embargo es despreciada en el modelo de Kichhoff. Con esto, aplicando la Eq. (4.44) en (3.46a) la relacin tensin-deformacin de la k-sima lmina ser:

0

0

0

1

1

1

(4.46)

o simplemente,

(4.47)

A pesar de que los valores de {0} son constantes a lo largo del espesor del laminado, los valores {1} varan linealmente. De esta forma, las deformaciones varan linealmente de forma continua a lo largo del espesor. Con todo, los valores de tensin, siendo lineales, presentan discontinuidades a lo largo del espesor h del laminado, pues las propiedades elsticas varan de una lmina a otra conforme se muestra en la Eqs. (4.46) y (4.47). La Fig. 4.2 tambin muestra esta variacin, adems de representar la enumeracin que se realiza de las lminas.

Fig. 4.2: Enumeracin tpica de un laminado con la variacin de las tensiones y deformaciones normales a lo largo del espesor segn la CLPT.

Los valores de tensin obtenidos por las Eqs. (4.46) y (4.47) pueden ser evaluados a partir de las resultantes de tensin en el laminado. Estas resultantes son obtenidas por la integracin de las tensiones a travs del espesor del laminado. De esta forma, la Eq. (4.48a) representa los esfuerzos normales resultantes en una placa, en tanto que la Eq. (4.48b) muestra los momentos resultantes, o sea:

, , , ,

(4.48a)


, , , ,

(4.48b)

Tanto {N} como {M} vienen dados por unidad de longitud de la placa y su orientacin se muestra en la Fig. 4.3.

Fig. 4.3. Elemento diferencial de placa sujeta a flexin con la resultante de tensin y distribucin de tensiones segn la CLPT.

Las integrales definidas mediante la Eq. (4.48) pueden ser convertidas en un sumatorio de integrales a lo largo del espesor de cada lmina k, o sea:

(4.49)

y

(4.50)

donde zk+1 se refiere a la cota superior de la lmina y zk es la cota inferior. (ver Fig.4.2).

Sustituyendo las tensiones laminares dadas por las Eqs. (4.10) y (4.11)por la relacin tensin- deformacin de la Eq. (4.7), se obtienen los esfuerzos normales:

1

0

0

0

1

1

1

1

(4.51)

Efectuando el sumatorio y resolviendo la integral, tenemos:


0

0

0

1

1

1

(4.52)

Anlogamente para las resultantes de Momentos, se obtiene:

1

0

0

0

1

1

1

1

(4.53)

y finalmente,

0

0

0

1

1

1

(4.54)

Es posible colocar los esfuerzos normales y momentos resultantes expresados por (4.52) y (4.54) en un nico vector, esto es:

0

0

0

1

1

1

(4.55)

o de manera compacta:

(4.56)

donde los trminos Aij, Bij y Dij son definidos en trminos de la rigidez de la lmina Qij(k) (para i,j=1,2,6) por:

, , 1, ,

1, ,

(4.57a)

o,

12


13

(4.57b) Una parte de la fuerza normal resultante causada por la deformacin normal es descrita en la matriz [A] tambin llamada matriz de rigidez extensional. En cuanto a la matriz [D], o matriz de rigidez a flexin, como su propio nombre indica representa la parte del momento resultante causado por la flexin del laminado. El acoplamiento entre los modos de deformacin, es decir, la parte de la fuerza normal resultante causada por la flexin y la parte del momento resultante causado por la deformacin normal es representada por la matriz [B], o matriz de rigidez de acoplamiento traccin-flexin. Conforme al ngulo formado entre la direccin de la fibra de la lmina y el eje de coordenadas absoluto del problema, la matriz [B] puede ser nula.

Las ecuaciones de equilibrio de Euler-Lagrange son expresadas mediante las siguientes ecuaciones:

2

(4.58)

4.3.3 Anlisis utilizando FSDT. Teora de Mindlin. En un anlisis mediante FSDT (First-order Shear Deformation Theory), no se considera la hiptesis de Kirchhoff de que las secciones normales transversales permanecen perpendiculares tras la deformacin. De esta manera se considerarn las componentes cortantes o de cizalladura. De hecho, estas componentes adems de no ser nulas, pueden alcanzar valores importantes en las interfaces de las lminas de los materiales compuestos, pudiendo causar la delaminacin. Las primeras teoras de placas que tienen en cuenta los efectos de cizallamiento trasversal son atribuidas a Heinrich Hencky [1947], Eric Reissner [1944,1945] y Raymond Mindlin [1951]. Una teora de lmina equivalente fue introducida por Paul Naghdi [1957]. Mindlin y Reissner propusieron el estudio de las tensiones cortantes en las placas homogneas istropas, es por esto por lo que se conoce como a la Teora de Primer Orden de Mindlin. Posteriormente estos estudios fueron extendidos para el anlisis de laminados por Yang y Whitney. Considerando que las ecuaciones fundamentales de la FSDT son anlogas a las presentadas en la seccin 4.3.2, a continuacin se muestran las relaciones ms relevantes que diferencian una teora de otra. Con esto, el campo de desplazamientos dado por la Eq. (4.40) es ahora:

, , , , , , ,

, , , , , , ,

, , , , , (4.59)


donde (u0,v0,w0,x,y) son las incgnitas por determinar, tambin llamados desplazamientos generalizados. Al igual que en la CLPT, u0,v0,w0 son los desplazamientos de un punto cualquiera de la superficie de referencia, o sea, en el plano z=0. Las rotaciones x y y pueden ser expresadas por:

;

(4.60) e indican las rotaciones respecto de los ejes y y x, respectivamente. En la Fig. 4.4 se muestran estas rotaciones en la configuracin indeformada en el plano xz, o sea en torno a y.

Fig. 4.4. Configuracin de la Placa deformada e indeformada segn la Teora de Primer Orden de Mindlin.

Asumiendo que el material trabaja en rgimen lineal elstico, por tanto despreciando la parte no lineal de las deformaciones y aplicando (4.2) en (4.19)

(4.61) o vectorialmente:

00

(4.62)


Donde el primer vector contiene las deformaciones de membrana y el segundo las curvaturas.

Las ecuaciones de equilibrio para la Teora de Placas de Primer Orden se obtienen usando la versin dinmica del Principio de los Trabajos Virtuales, e igualando la variacin a cero:

0

(4.63)

donde la energa virtual de deformacin viene dada por:

/

/

(4.64)

y la energa virtual de las fuerzas externas, se obtiene:

(4.65)

la energa virtual producida por las fuerzas de inercia viene expresada por:

/

/

(4.66)

Sustituyendo las expresiones anteriores e integrando a lo largo del eje z, se obtiene:

0

(4.67)

donde:


1

(4.68)

Las ecuaciones de Euler-Lagrange son obtenidas igualando los coeficientes u0, v0, w0, x, y en 0 a cero, independientemente.

:

:

:

:

:

(4.69)

Aplicando el concepto de las resultantes de tensin, esto es, integrando las tensiones cortantes en trminos del espesor del laminado, como se realiz en las Eqs (4.48a) y (4.48b), se tiene:

, ,

(4.70)

donde Qx y Qy son los esfuerzos cortantes resultantes debido a las tensiones transversales.

Es importante observar en la Eq. (4.62) que las deformaciones xx, xy, xy, son lineales a lo largo del espesor del laminado, mientras que xz, yz son constantes. De esta forma, las tensiones correspondientes xz y yz, tambin son constantes. Entre tanto, la Teora de la Elasticidad nos dice que la tensin de cortadura a lo largo del espesor de la placa es parablica, de esta forma se concluye que la FSDT no consigue demostrar esta caracterstica. Esta incoherencia entre la Teora y el modelo numrico se consigue solucionar mediante la introduccin de coeficientes de correccin para la tensin de cortadura en la Eq. (4.23), de tal manera que:

(4.71)

donde K es el llamado factor de cizallamiento.

Muchos autores comparan y evalan este factor de correccin, una buena aproximacin ser K=5/6. De todas formas, para compuestos laminados, son muchos los factores que debern


ser analizados para el anlisis de esta constante. Algunos de estos factores son: secuencia de apilamiento, geometra del laminado, ngulo de las fibras y tipo de carga. Para cargas estticas, el anlisis de K es ms simple que en un anlisis dinmico, debido a las fuerzas de inercia. Reissner, para determinar el factor de cizallamiento, consider la distribucin de tensiones cortantes dada por la Resistencia de Materiales.

32 1

2 , 2 2

(4.72)

donde Q es el esfuerzo cortante, b es el largo de la viga y h es la altura. La misma tensin para viga, utilizando FSDT viene dada por:

(4.73)

aplicando el concepto de energa de deformacin cortante con ambas teoras, tenemos:

12

35

(4.74a)

12 2

(4.74b)

El coeficiente de cizallamiento se obtiene de la razn entre las Eqs. (4.74b) y (4.74a), esto es 5/6. Owen y Figueiras [1983] presentaron un mtodo eficiente para calcular el factor de correccin para esfuerzo cortante, suponiendo flexin pura en dos direcciones. Este factor de correccin es importante si cambia el material a lo largo de la direccin de espesor, como es el caso de las estructuras tipo sndwich. Si no se produce el cambio de material a lo largo del espesor, sino que tan slo se modifica el ngulo del laminado, el factor 5/6 es suficiente. La ecuacin de equilibrio para una placa heterognea, se puede expresar mediante:

0

(4.75) Para simplificar asumimos flexin cilndrica.

(4.76) Donde Qx es la fuerza cortante en el plano xz.

(4.77)


Donde: R1: es la rigidez a flexin en la direccin x. z: es la coordenada a lo largo del espesor.

(4.78) g(z): es la funcin de forma del cortante. La funcin g(z) que modela el diagrama de tensin cortante, en el caso de una seccin homognea, adquiere la expresin:

8 1 4

(4.79) La energa de deformacin vendra dada por:

(4.80) donde G13(z) es el Mdulo a Cortante a lo largo del espesor, en el plano xz. La energa de deformacin, suponiendo constante la deformacin por cortante, vendra dada por:

(4.81) donde:

(4.82) donde es el valor medio de la deformacin por cortante. Entonces ser posible calcular el factor de correccin por cortante k1 en el plano xz:

(4.83) el procedimiento es idntico para k2.

Retornando a la Eq (4.62) y sustituyendo en (3.46b), la relacin tensin-deformacin de la k-sima lmina ser:

(4.84)

Teniendo en cuenta que los coeficientes Qij vienen dados por la Eq. (3.46c), sustituyendo la Eq. (4.84) en (4.71) y resolviendo la integral y el sumatorio, tenemos:


0

0 (4.85)

donde la rigidez extensional [Aij] es definida, haciendo (i,j=4,5), por:

(4.86) Y finalmente, relacionando los esfuerzos resultantes para la teora de primer orden con los desplazamientos generalizados, se obtiene:

0

0

0 0

(4.87)

0

0

0 0

(4.88) 0

0

(4.89)

Las orientaciones de {N}, {M} y {Q} se muestran en la Fig. 4.5.

Fig. 4.5. Elemento diferencial de placa sujeto a flexin con los esfuerzos resultantes y la distribucin de tensiones segn la FSDT.


4.3.4 Anlisis utilizando HSDT. Teora de Reddy. La teora clsica de laminados y la teora de primer orden son las teoras ms simples dentro de las teoras de lmina equivalente. As mismo, estas muestran satisfactoriamente el comportamiento mecnico de la mayora de laminados, pero no de todos. En este contexto surgi la teora de orden superior, basada en las mismas hiptesis que las teoras presentadas en la secciones 4.3.2 y 4.3.3, excepto en la expansin del polinomio que representa el campo de desplazamientos a un orden superior. La teora de orden superior describe el comportamiento de un laminado de forma ms precisa, y distribuye mejor las tensiones a lo largo del espesor del laminado, principalmente para las tensiones interlaminares, adems de no ser necesaria la utilizacin de factores de correccin, como el factor de cizalladura.

Inicialmente podra expandirse el campo de desplazamientos por un polinomio de cualquier orden, pero el caso ms comn es la expansin a un polinomio de tercer orden. Dicho esto, el motivo fundamental de expandir el campo de desplazamientos de forma cbica es la de obtener una variacin cuadrtica para las tensiones y deformaciones cortantes, a travs de cada lmina. De esta forma, la Eq. (4.34) representa el campo de desplazamientos definidos por la HSDT de Reddy [27].

, , , , , , ,43 , ,

, , , , , , ,43 , ,

, , , , ,

(4.90)

Aplicando la Eq. (4.34) para el anlisis de las deformaciones lineales y las deformaciones angulares en rgimen lineal elstico, resulta la siguiente expresin:

2

1

1

(4.91) donde =4/(3h2) y =4/ h2. Con esto:


(4.92)

(4.93)

En la Eq. (4.36) el primer vector contiene las deformaciones de membrana, el segundo las curvaturas de primer orden y el tercero las curvaturas de tercer orden. En la Eq. (4.93) las deformaciones de membrana estn contenidas en el primer vector, mientras que el segundo vector computa las curvaturas de orden superior. De esta forma:

(4.94a)

43

2

(4.94b)

4

(4.94c)

De la misma manera que se hizo en la teora de Kichhoff y Mindlin para laminados, integrando las tensiones a travs del espesor Eqs. (4.48a), (4.48b) y (4.70), se obtiene los esfuerzos resultantes de orden superior, {P} y {R}:

, , , ,


(4.95a)

, ,

(4.95b)

Integrando las Eqs. (4.95a) y (4.95b), se obtiene:

(4.96)

y

(4.97)

Aplicando la relacin tensin-deformacin en las Eqs. (3.46a) y (3.46b) para la k-sima lmina e aplicando a (4.92), (4.93), (4.96) y (4.97), se obtiene:

0

0

0

1

1

1

3

3

3

(4.98)

0

0

2

2 (4.99)

Aplicando los esfuerzos resultantes de primer orden y sumando las resultantes de orden elevado, se llega:

0

0

0

1

1

1

3

3

3

(4.100a)

y,


0

0

2

2

(4.100b)

Las Eqs. (4.100a) y (4.100b) puede ser escritas de forma compacta como:

(4. 101a)

y,

(4. 101b)

con,

, , , , , 1, , , , ,

(4.102a)

, , 1, ,

(4.102b)

Los trminos Aij, Bij y Dij ya fueron definidos en trminos de la rigidez de la lmina Qij(k) por las Eqs. (4.57b) y (4.86). La Eq. (4.102a) es definida para i,j=1,2,6; mientras que la Eq. (4.102b) es obtenida computando i,j=4,5. De esta forma los dems trminos de rigideces adicionales se obtiene mediante:

14

15

17

(4.103)

Las matrices [E], [F] y [H] representan un orden superior a la cuarta a travs del espesor, consecuentemente, la contribucin de estos trminos para la solucin de laminados delgados es pequea, mientras que para laminados de cierto espesor, la presencia de estos trminos es fundamental para la correcta distribucin de tensiones a lo largo del espesor del laminado.


Los momentos y fuerzas resultantes, son definidos:

1

(4.104)

1

(4.105)

(4.106) donde y representan a x e y e i=0,1,2,,6.

Usando el Principio de los Trabajos Virtuales y procediendo de manera similar al caso anterior, en la teora de primer orden.

:

:

: 2

:

:

(4.107) donde

; ; 1,4

2 ; ; 3

4.3.5 Teora de deformacin trigonomtrica para placas. La evolucin de la direccin de los desplazamientos generalizados puede ser obtenida a travs de muchas funciones. Por ejemplo, el campo de desplazamientos que se muestra a continuacin, usa las funciones trigonomtricas [Shimpi et al,2003] y [Ayra et al, 2002].


, , , , ,, ,

, ,

, , , , ,, ,

, ,

, , , , , (4.108)

donde u, v son los desplazamientos de un punto cuyas coordenadas son (x,y,z), u0,v0 son los desplazamientos de un punto (x,y,0) en el plano medio, w es la flexin, , y son las rotaciones de la normal al plano medio en torno a los ejes x, y, z.

Las deformaciones pueden ser expresadas mediante:

00

00

00

000

(4.109) Las deformaciones pueden ser escritas de la forma:

(4.110)

2

(4.111)

(4.112)

(4.113) La teora de deformacin trigonomtrica satisface la condicin de anulacin de las tensiones cortantes en los extremos de la placa, siendo por tanto mejor aproximacin que la teora de primer orden.


La energa de deformacin virtual U, para esta teora es: /

/

(4.114) y la energa virtual de las fuerzas externas, se obtiene:

(4.115) donde representa la superficie media del laminado y q es la fuerza externa aplicada. La energa virtual producida por las fuerzas de inercia viene expresada por:

/

/

(4.116)

habindose definido las fuerzas y momentos resultantes de la forma:

1

(4.117)

(4.118)


1

(4.119) donde y representan a x e y, por tanto podemos escribir las ecuaciones de equilibrio como:

:

:

: 2

:

:

(4.120)

4.3.6 Teora de deformacin trigonomtrica en zig-zag para placas. En la teora trigonomtrica en zig-zag, el campo de desplazamientos de la lmina k, para una placa con espesor h y nl lminas, viene dado por:

, , , , ,, ,

, ,

, , , , ,, ,

, ,

, , , , , (4.121)

donde uk, vk son los desplazamientos de un punto cuyas coordenadas son (xk, yk, z) de la lmina k; u0, v0 son los desplazamientos de un punto en el plano medio, w es la flexin, x, y son las rotaciones en torno a los ejes y, x. Los parmetros Ak, Bk, Ck y Dk, se obtienen imponiendo la continuidad de las tensiones transversales y los desplazamientos en cada interface, siendo obtenidos mediante:

1

1


, 2, ,

(4.122) Para laminados simtricos, pueden obtenerse los parmetros de la primera lmina y as comenzar el proceso iterativo, de la siguiente manera:

0 ;

0 ;

(4.123) Las deformaciones pueden ser expresadas mediante:

(4.124)

(4.125)

donde:

; 0

0

;

2

; 0

0

;


0 ; 0

(4.126) La energa de deformacin virtual U, para esta teora es:

/

/


(4.128)

donde representa la superficie media del laminado y q es la fuerza externa aplicada en la superficie media de la placa.

La energa virtual producida por las fuerzas de inercia viene expresada por:


/

/

2 2 2

2 2 2

(4.129) Las ecuaciones de equilibrio se obtienen usando la versin dinmica del Principio de los Trabajos Virtuales:

:

:

: 2

:

2 2 2

:

2 2 2 (4.130)


Las fuerzas resultantes de membrana, cortantes, los momentos flectores y los trminos de inercia vienen dados por:

1

(4.131)

(4.132)

1

(4.133) donde y representan a x e y, y sustituye a A, B, C, D.

4.3.7 Teora de Orden Superior de Kant. Una de las teoras de orden superior propuestas por [Manjunatha y Kant, 1992], presenta el siguiente campo de desplazamientos:

, , , , , , , , ,

, , , , , , , , ,

, , , , , (4.134)


donde y representan las rotaciones de orden superior, independientes de las rotaciones de primer orden y .

Ntese que esta teora, produce al igual que la teora de Reddy, deformaciones transversales parablicas, lo que evita el uso de factores de correccin. Sin embargo al contrario de lo que ocurre con la teora de Reddy, no est garantizada la anulacin de las tensiones cortantes transversales en h/2. Esta teora tiene especial acogimiento en la formulacin por elementos finitos ya que puede ser formulada con elementos finitos que tengan continuidad C0, a diferencia que la teora de Reddy que presenta continuidad C1. La presencia de grados de libertad adicionales y , hace que esta formulacin sea computacionalmente ms cara que la de Reddy.

Las ecuaciones cinemticas para le teora de Kant son:

00

000

00

(4.135)

donde:

;

00

(4.136)

000

33

;

00

(4.137)

De forma anloga a las teoras anteriores, la energa virtual de deformacin viene dada por:


/

/

3

3


(4.139) la energa virtual producida por las fuerzas de inercia viene expresada por:

/

/

(4.140)

Considerando las fuerzas y momentos resultantes se obtienen las ecuaciones de equilibrio:

1

(4.141)

1

(4.142)

(4.143)


1

(4.144)

:

:

:

:

:

: 3

: 3

(4.145)

4.4 Comparacin entre las Teoras de Lmina Equivalente. Con la intencin de mostrar el comportamiento mecnico de un laminado y, principalmente, buscando una teora de placas laminadas que represente satisfactoriamente la solucin correcta de tensiones y desplazamientos a travs del espesor del laminado, las teoras mostradas en las secciones 4.3.2, 4.3.3 y 4.3.4 son las ms empleadas para tal anlisis. Las teoras de primer exigen elementos con menos grados de libertad por nodo, (cinco son suficientes). El modelo de Kirchhoff es el ms antiguo para el anlisis de placas. El modelo de Mindlin necesita el mismo nmero de grados de libertad por nodo que la CLPT, sin embargo es ms satisfactoria de cara a representar las tensiones cortantes. Como se ha dicho, la FSDT es ms fcilmente de implementar con elementos finitos, puesto que exige funciones de continuidad C0. Entre tanto, los elementos presentan una rigidez excesiva llamada shear-locking. Esa inconsistencia numrica aparece en la matriz de rigidez del elemento. Para elementos bidimensionales, tal matriz se obtiene por una parte de la suma de la rigidez debida a la flexin y otra debida al cortante. Con el incremento de la relacin a/h, o sea, en laminados delgados, la parte debida al cortante puede ser despreciada, en virtud de la disminucin excesiva del espesor. Entre las numerosas teoras de orden superior, en este trabajo se utiliza la teora de orden superior de Reddy. Esta teora representa de forma adecuada el comportamiento de los


desplazamientos y las tensiones a lo largo del espesor del laminado. A pesar de todo, en el caso de laminados espesos y semi-espesos la CLPT y la FSDT obtienen resultados satisfactorios y con menor esfuerzo computacional, Como se ha mencionado, es necesario implementar elementos con continuidad C1. Tambin es importante destacar que el elemento HSDT, exige un nmero importante de grados de libertad por nodo, siete como mnimo. Existen otras teoras de orden superior ms eficaces computacionalmente, pues necesitan de elementos de continuidad C0. Un ejemplo de esto es la teora de orden superior de Kant. Finalmente la Fig. 4.6 representa una comparacin entre las teoras explicadas.

Fig. 4.6. Comparacin de la deformacin conforme a las teoras CLPT, FSDT y HSDT.

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