PLACAS Y LÁMINAS

Carlos Navarro

Departamento de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID

TEORIA DE PLACAS

Hipótesis de Kirchhoff: 1.- La rectas perpendiculares al plano medio, antes de que el laminado se deforme, siguen permaneciendo rectas una vez que el laminado se haya deformado.2.- Las rectas perpendiculares al plano medio no experimentan ningún tipo de deformación longitudinal (el laminado no cambia de espesor)3.- Las rectas perpendiculares al plano medio permanecen perpendiculares a la superficie que adquiere dicho plano una vez que que el laminado flecte.

Por tanto, las secciones planas ortogonales al plano medio del laminado siguen siendo planas y ortogonales a la superficie que adquiera dicho plano una vez que el laminado haya flectado.

Hipótesis:

El comportamiento del material se supone elástico lineal.

Las láminas se encuentran trabajando solidariamente unas a otras

No existen tensiones fuera del plano de cada lámina (σz= τxz= τyz=0): las láminas trabajan en condiciones de tensión plana

Hipótesis (Cont.):

TEORIA DE PLACAS

{ }⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

xy

y

x

NNN

NVector de cargas (N/m):

x

yz

NxNx

Ny

Ny

Nyx

Nxy

Nyx

Nxy

TEORIA DE PLACAS

{ }⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

xy

y

x

MMM

MVector de cargas (Momentos, N.m/m):

x

y z

Mx

Mx

My

My

MxyMxy

Myx

Myx

TEORIA DE PLACAS

MM

Plano mediox

yz

z

Laminado antes de flectar

TEORIA DE PLACAS

z

y

x

ρϕM

M

Laminado después de flectar

Plano medio

z

( ) ( )

curvaturaxy) plano elpor (definido medio plano el desde distancia

anterior figura la en definido ángulo flexión la durante medio plano del curvatura de radio

:donde

====

⋅==−+

=

κ

φρ

κρρϕ

ρϕϕρε

z

zzzzx

DEFORMACIONES POR FLEXIÓN PURA

TEORIA DE PLACAS

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )yxwzyxwy

wzzyxvzyxv

xwzzyxuzyxu

,,,

,,,,

,,,,

0

00

00

=∂

∂−=

∂∂

−=

TEORIA DE PLACAS

En definitiva, si se cumplen las tres primeras hipótesis de

Kirchhoff:

TEORIA DE PLACAS

2

2

xwz

xu

xu OO

x ∂∂

∂∂

∂∂

ε −==

2

2

ywz

yv

yv OO

y ∂∂

∂∂

∂∂ε −==

yxwz

xv

yu

xv

yu OOOPP

xy ∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂γ

2

2−+=+=

CAMPO DE DEFORMACIONES EN EL LAMINADO:

0=zε

0=xzγ

xκ−

yκ−

xyκ−

0=yzγ

x

y z

Mx

Mx

My

My

MxyMxy

Myx

Myx

TEORIA DE PLACAS

x

yz

NxNx

Ny

Ny

Nyx

Nxy

Nyx

Nxy

TEORÍA CLASICA DE LAMINADOS

TEORIA DE PLACAS

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

κ

ε

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ 0

DB

BA

M

N

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

κκκγεε

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

xy

y

x

xy0

y0

x0

662616662616

262212262212

161211161211

662616662616

262212262212

161211161211

xy

y

x

xy

y

x

DDDBBBDDDBBBDDDBBBBBBAAABBBAAABBBAAA

MMMNNN

TEORIA DE PLACAS

y z

H

x

a

bq(x,y)

¡En una placa laminada podemos tener cargas fuera del plano!

( )xN yx− ( )xN y

−

( )xQ y−

( )xM yx−

( )xM y−

( )yN xy−

( )yN x−

( )yQ x− ( )yM xy

−

( )yM x−

TEORIA DE PLACAS

y z

( )yN xy+

( )yN x+

( )yQ x+

( )yM xy+

( )yM x+

( )xN yx+

( )xN y+

( )xQ y+

( )xM yx+

( )xM y+

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )yxwzyxw

yxzzyxvzyxvyxzzyxuzyxu

y

x

,,,

,,,,,,,,,,

0

0

0

=

+=

+=

ϕϕ

OTRAS TEORIAS SOBRE LA FLEXIÓN DE LAMINADOS:

Teoría de primer orden: Se cumplen las dos primeras hipótesis

de Kirchhoff pero no la tercera (Las rectas perpendiculares al plano

medio ya no permanecen perpendiculares a la superficie que adquiere

dicho plano una vez que que el laminado flecte)

TEORIA DE PLACAS

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )yxwzyxw

yxzyxzzyxvzyxv

yxzyxzzyxuzyxu

xx

xx

,,,,,,,,,

,,,,,,

0

20

20

=

++=

++=

ψϕ

ψϕ

•Teoría de segundo orden: Se cumple sólo la segunda hipótesis

de Kirchhoff

TEORIA DE PLACAS

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )yxwzyxwy

wyxh

zyxzzyxvzyxv

xwyx

hzyxzzyxuzyxu

yx

xx

,,,

,,,,,,

,,,,,,

0

0

23

0

0

23

0

34

34

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−++=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−++=

ϕϕ

ϕϕ

•Teoría de tercer orden orden (Teoría de Reddy): Se cumple

sólo la segunda hipótesis de Kirchhoff

TEORIA DE PLACAS

TEORIA DE PLACAS

TEORÍA CLÁSICA

TEORÍA DE PRIMER ORDEN

TEORÍA DE TERCER ORDEN

PLACA SIN DEFORMAR

90º

Sección

y z

H

x

a

bq(x,y)

TEORÍA DE PRIMER ORDEN DE PLACAS LAMINADAS

TEORIA DE PLACAS

TEORIA DE PLACAS

HIPÓTESIS ADICIONALES:

Placa delgada (H << a,b):

Pequeñas deflexiones (w(x,y)max< H/2):

xyyxyzxzz τσσττσ ,,,, <<

100 <<∂

∂∂

∂y

wxw ,

FUERZAS Y MOMENTOS RESULTANTES EN x = +a/2

y z

( )yN xy+

( )yN x+

( )yQ x+

( )yM xy+

( )yM x+

TEORIA DE PLACAS

y z

( )yN xy−

( )yN x−

( )yQ x− ( )yM xy

−

( )yM x−

FUERZAS Y MOMENTOS RESULTANTES EN x = -a/2

x

TEORIA DE PLACAS

x

( )xN yx+

( )xN y+

( )xQ y+

( )xM yx+

( )xM y+

FUERZAS Y MOMENTOS RESULTANTES EN y= b/2

z

TEORIA DE PLACAS

x

( )xN yx− ( )xN y

−

( )xQ y−

( )xM yx−

( )xM y−

FUERZAS Y MOMENTOS RESULTANTES EN y= -b/2

zy

TEORIA DE PLACAS

( )

( )

( )

( ) ∫

∫

∫

∫

−

−

−

+

−

−

−

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

:caras lasen normales Fuerzas

H

H

H

H

H

H

H

H

dzzbxxN

dzzbxxN

dzzyayN

dzzyayN

yy

yy

xx

xx

,,

,,

,,

,,

σ

σ

σ

σ

RESULTANTES:

TEORIA DE PLACAS

( )

( )

( )

( ) ∫

∫

∫

∫

−

−

−

+

−

−

−

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

:plano) el(en caras lasen les tangenciaFuerzas

H

H

H

H

H

H

H

H

dzzbxxN

dzzbxxN

dzzyayN

dzzyayN

yxyx

yxyx

xyxy

xyxy

,,

,,

,,

,,

τ

τ

τ

τ

RESULTANTES:

TEORIA DE PLACAS

( )

( )

( )

( ) ∫

∫

∫

∫

−

−

−

+

−

−

−

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

:caras lasen flectores Momentos

H

H

H

H

H

H

H

H

zdzzbxxM

zdzzbxxM

zdzzyayM

zdzzyayM

yy

yy

xx

xx

,,

,,

,,

,,

σ

σ

σ

σ

MOMENTOS:

TEORIA DE PLACAS

MOMENTOS:

( )

( )

( )

( ) ∫

∫

∫

∫

−

−

−

+

−

−

−

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

:caras lasen torsoresMomentos

H

H

H

H

H

H

H

H

zdzzbxxM

zdzzbxxM

zdzzyayM

zdzzyayM

xyyx

xyyx

xyxy

xyxy

,,

,,

,,

,,

τ

τ

τ

τ

TEORIA DE PLACAS

( )

( )

( )

( ) ∫

∫

∫

∫

−

−

−

+

−

−

−

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

:plano) del (fuera caras lasen cortantes Fuerzas

H

H

H

H

H

H

H

H

dzzbxxQ

dzzbxxQ

dzzyayQ

dzzyayQ

yzy

yzy

xzx

xzx

,,

,,

,,

,,

τ

τ

τ

τ

FUERZAS CORTANTES

TEORIA DE PLACAS

EQUILIBIO DE UN ELEMENTO

DE PLACA

TEORIA DE PLACAS

TEORIA DE PLACAS

Ecuaciones de la estática:

0

0

0

0

0

0

=

=

=

=

=

=

∑∑∑∑∑∑

z

y

x

z

y

x

M

M

M

F

F

F

FUERA DEL PLANO DE LA PLACA

TEORIA DE PLACAS

0

0

0

=

=

=

∑∑∑

y

x

z

M

M

F

y z

xdx

dy

( )dxdyyxq ,

( )dyQx

dydxx

QQ xx ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+

( )dxQy

dxdyy

QQ y

y ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

( )yx,

Fuerzas según el eje z:

TEORIA DE PLACAS

0qy

Qx

Q yx =+∂

∂+

∂∂

EQUILIBRIO SEGÚN EL EJE zTEORIA DE PLACAS

dxdyqdxQdyQ

dxdyy

QQdydx

xQQ

F

yx

yy

xx

z

⋅+−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+

=∑ 0

y z

xdx

dy

( )dxdyyxq ,

( )dyQx

dydxx

QQ xx ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+

( )dxQy

dxdyy

QQ y

y ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

( )yx,

TEORIA DE PLACAS

Ecuaciones de la estática:

0

0

0

0

0

0

=

=

=

=

=

=

∑∑∑∑∑∑

z

y

x

z

y

x

M

M

M

F

F

F

0qy

Qx

Q yx =+∂

∂+

∂∂

y z

xdx

dy

dxdyy

MM y

y ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

( )dxQy

dxdyy

QQ y

y ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

( )yx,

dydxx

MM xy

xy ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

( )dyM xy

( )dxM y

Momentos según el eje x

TEORIA DE PLACAS

y z

xdx

dy

dxdyy

MM y

y ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

( )dxQy

dxdyy

QQ y

y ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

( )y,x

dydxx

MM xy

xy ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

( )dyMxy

( )dxMy

( ) ( )

( ) 022

0

=⋅+⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂++

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+−+

=∑

dydxQdydxdyy

QQ

dxdyy

MMdydx

xM

MdyMdyM

M

yy

y

yy

xyxyyxy

x

EQUILIBRIO ALREDEDOR DEL EJE x

(pasando por el centro

del elemento)

TEORIA DE PLACAS

yxyy Q

xM

yM

=∂

∂+

∂

∂

TEORIA DE PLACAS

( ) ( )

( ) 022

0

=⋅+⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂++

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+−+

=∑

dydxQdydxdyy

QQ

dxdyy

MMdydx

xM

MdyMdyM

M

yy

y

yy

xyxyyxy

x

EQUILIBRIO DE MOMENTOS ALREDEDOR DEL EJE x

TEORIA DE PLACAS

Ecuaciones de la estática:

0

0

0

0

0

0

=

=

=

=

=

=

∑∑∑∑∑∑

z

y

x

z

y

x

M

M

M

F

F

F

0qy

Qx

Q yx =+∂

∂+

∂∂

yxyy Q

xM

yM

=∂

∂+

∂

∂

y z

xdx

dy

( )dyM x

dydxx

QQ xx ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+

( )y,x

( )dxM xy

dydxx

MM xx ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+

dxdyy

MM xy

xy ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

( )dyQx

Momentos según el eje y:

TEORIA DE PLACAS

EQUILIBRIO ALREDEDOR DEL EJE y

(pasando por el centro

del elemento)

TEORIA DE PLACAS

y z

xdx

dy

( )dyMx

dydxx

QQ xx ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+

( )y,x

( )dxMxy

dydxx

MM xx ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+

dxdyy

MM xy

xy ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

( )dyQx

( ) ( )

( ) 022

0

=⋅−⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂++−−

=∑

dxdyQdxdydxx

QQ

dydxx

MMdxdyy

MMdyMdxM

M

xx

x

xx

xyxyxxy

y

xxyx Q

yM

xM

=∂

∂+

∂∂

TEORIA DE PLACAS

( ) ( )

( ) 022

0

=⋅−⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂++−−

=∑

dxdyQdxdydxx

QQ

dydxx

MMdxdyy

MMdyMdxM

M

xx

x

xx

xyxyxxy

y

EQUILIBRIO DE MOMENTOS ALREDEDOR DEL EJE y

TEORIA DE PLACAS

Ecuaciones de la estática:

0

0

0

0

0

0

=

=

=

=

=

=

∑∑∑∑∑∑

z

y

x

z

y

x

M

M

M

F

F

F

0qy

Qx

Q yx =+∂

∂+

∂∂

yxyy Q

xM

yM

=∂

∂+

∂

∂

xxyx Q

yM

xM

=∂

∂+

∂∂

)(

)(

)(

3

2

10

yM

xMQ

xM

yM

Q

qy

Qx

Q

xyxx

xyyy

yx

∂

∂+

∂∂

=

∂

∂+

∂

∂=

=+∂

∂+

∂∂

RESUMEN DE ECUACIONES DE EQUILIBRIO (Fuera del plano):

TEORIA DE PLACAS

0=+∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

∂+

∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

∂q

yx

My

M

xy

Mx

M xyyxyx

Si, en la primera de las ecuaciones anteriores, sustituimos Qx y Qy

por sus expresiones (Ecs. 2 y 3):

02 2

22

2

2

=+∂

∂+

∂∂

∂+

∂∂ q

yM

yxM

xM yxyx

TEORIA DE PLACAS

TEORIA DE PLACAS

Ecuaciones de la estática:

0

0

0

0

0

0

=

=

=

=

=

=

∑∑∑∑∑∑

z

y

x

z

y

x

M

M

M

F

F

F

02 2

22

2

2

=+∂

∂+

∂∂

∂+

∂∂ q

yM

yxM

xM yxyx

EN EL PLANO DE LA PLACA

TEORIA DE PLACAS

dydxx

NN xy

xy ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

( )dyN xy

dxdyy

NN xy

xy ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

( )dxN xy

dydxx

NN xx ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+

dx

dy

( )y,x

( )dyN x

dxdyy

NN y

y ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

( )dxN y

TEORIA DE PLACASEQUILIBRIO SEGÚN EL EJE x

dydxx

NN xy

xy ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

( )dyN xy

dxdyy

NN xy

xy ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

( )dxN xy

dydxx

NN xx ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+

dx

dy

( )y,x

( )dyN x

dxdyy

NN y

y ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

( )dxN y

TEORIA DE PLACASEQUILIBRIO SEGÚN EL EJE x

0

0

=−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+

=∑

dxNdyN

dxdyy

NNdydx

xNN

F

xyx

xyxy

xx

x

0y

Nx

N xyx =∂

∂+

∂∂

TEORIA DE PLACAS

0

0

=−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+

=∑

dxNdyN

dxdyy

NNdydx

xNN

F

xyx

xyxy

xx

x

TEORIA DE PLACAS

Ecuaciones de la estática:

0

0

0

0

0

0

=

=

=

=

=

=

∑∑∑∑∑∑

z

y

x

z

y

x

M

M

M

F

F

F

02 2

22

2

2

=+∂

∂+

∂∂

∂+

∂∂ q

yM

yxM

xM yxyx

0=∂

∂+

∂∂

yN

xN xyx

TEORIA DE PLACAS

dydxx

NN xy

xy ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

( )dyN xy

dxdyy

NN xy

xy ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

( )dxN xy

dydxx

NN xx ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+

dx

dy

( )y,x

( )dyN x

dxdyy

NN y

y ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

( )dxN yEQUILIBRIO SEGÚN EL EJE y

0

0

=−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

=∑

dyNdxN

dydxx

NNdxdy

yN

N

F

xyy

xyxy

yy

y

0y

Nx

N yxy =∂

∂+

∂

∂

0

0

=−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

=∑

dyNdxN

dydxx

NNdxdy

yN

N

F

xyy

xyxy

yy

y

TEORIA DE PLACAS

TEORIA DE PLACAS

Ecuaciones de la estática:

0

0

0

0

0

0

=

=

=

=

=

=

∑∑∑∑∑∑

z

y

x

z

y

x

M

M

M

F

F

F

02 2

22

2

2

=+∂

∂+

∂∂

∂+

∂∂ q

yM

yxM

xM yxyx

0=∂

∂+

∂∂

yN

xN xyx

0=∂

∂+

∂

∂

yN

xN yxy

dydxx

NN xy

xy ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

( )dyN xy

dxdyy

NN xy

xy ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

( )dxN xy

dydxx

NN xx ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+

dx

dy

( )y,x

( )dyN x

dxdyy

NN y

y ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

( )dxN y

EQUILIBRIO DE MOMENTOS ALREDEDOR DEL EJE z

TEORIA DE PLACAS

( ) ( )

02

222

0

=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂++

+⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+−⋅+⋅−

=∑

dxdydxx

NN

dydxdyy

NNdxdyNdydxN

M

xyxy

xyxyxyxy

z

¡Esta ecuación se satisface automáticamente!

TEORIA DE PLACAS

( ) ( )

02

222

0

=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂++

+⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+−⋅+⋅−

=∑

dxdydxx

NN

dydxdyy

NNdxdyNdydxN

M

xyxy

xyxyxyxy

z

TEORIA DE PLACAS

Ecuaciones de la estática:

0

0

0

0

0

0

=

=

=

=

=

=

∑∑∑∑∑∑

z

y

x

z

y

x

M

M

M

F

F

F

02 2

22

2

2

=+∂

∂+

∂∂

∂+

∂∂ q

yM

yxM

xM yxyx

0=∂

∂+

∂∂

yN

xN xyx

0=∂

∂+

∂

∂

yN

xN yxy

¡Esta ecuación se satisface automáticamente!

0

0

0

2

22

2

2

=+∂

∂+

∂∂

∂+

∂∂

=∂

∂+

∂

∂

=∂

∂+

∂∂

qyM

yxM

xM

yN

xN

yN

xN

yxyx

yxy

xyx

ECUACIONES DE EQUILIBRIO DE LA PLACA

TEORIA DE PLACAS

TEORIA DE PLACAS

Y, entonces, ¿cómo se deducen los esfuerzos cortantes?

)(

)(

)(

3

2

10

yM

xMQ

xM

yM

Q

qy

Qx

Q

xyxx

xyyy

yx

∂

∂+

∂∂

=

∂

∂+

∂

∂=

=+∂

∂+

∂∂

CONDICIONES DE CONTORNO:

x = +a/2x = -a/2y = +b/2y = -b/2

TEORIA DE PLACAS

x = +a/2

xwMM

wy

MQ

yM

xM

vNN

uNN

xx

xyx

xyx

xyxy

xx

∂∂

=

∂

∂+=

∂

∂+

∂∂

=

=

+

++

+

+

0

0

0

0

ó iv.

ó 2 iii.

ó ii.

ó i.

Debe fijarse:

TEORIA DE PLACAS

xwMM

wy

MQ

yM

xM

vNN

uNN

xx

xyx

xyx

xyxy

xx

∂∂

=

∂

∂+=

∂

∂+

∂∂

=

=

−

−−

−

−

0

0

0

0

ó iv.

ó 2 iii.

ó ii.

ó i.

x = -a/2

Debe fijarse:

TEORIA DE PLACAS

ywMM

wy

MQ

xM

yM

uNN

vNN

yy

yxy

xyy

yxxy

yy

∂∂

=

∂

∂+=

∂

∂+

∂

∂

=

=

+

++

+

+

0

0

0

0

2

ó iv.

ó iii.

ó ii.

ó i.

y = +b/2

Debe fijarse:

TEORIA DE PLACAS

ywMM

wy

MQ

xM

yM

uNN

vNN

yy

yxy

xyy

yxxy

yy

∂∂

=

∂

∂+=

∂

∂+

∂

∂

=

=

−

−−

−

−

0

0

0

0

ó iv.

ó 2 iii.

ó ii.

ó i.

y = -b/2

Debe fijarse:

TEORIA DE PLACAS

xv

yuyvxu

xy

y

x

∂∂

+∂∂

=

∂∂

=

∂∂

=

000

00

00

γ

ε

ε

DEFORMACIONES EN EL PLANO MEDIO:

TEORIA DE PLACAS

yxw

ywxw

xy

y

x

∂∂∂

−=

∂∂

−=

∂∂

−=

02

20

2

20

2

2κ

κ

κ

CURVATURAS:

TEORIA DE PLACAS

ECUACIONES BASADAS EN DESPLAZAMIENTOS:

TEORIA DE PLACAS

0

0

0

2

22

2

2

=+∂

∂+

∂∂

∂+

∂∂

=∂

∂+

∂

∂

=∂

∂+

∂∂

qyM

yxM

xM

yN

xN

yN

xN

yxyx

yxy

xyx

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

κκκγεε

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

xy

y

x

xy0

y0

x0

662616662616

262212262212

161211161211

662616662616

262212262212

161211161211

xy

y

x

xy

y

x

DDDBBBDDDBBBDDDBBBBBBAAABBBAAABBBAAA

MMMNNN

xv

yuyvxu

xy

y

x

∂∂

+∂∂

=

∂∂

=

∂∂

=

000

00

00

γ

ε

ε

yxw

ywxw

xy

y

x

∂∂∂

−=

∂∂

−=

∂∂

−=

02

20

2

20

2

2κ

κ

κ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂−

∂∂

−∂

∂−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=

+++

++=

yxwB

ywB

xwB

xv

yuA

yvA

xuAN

BBB

AAAN

x

xyyx

xyyxx

02

1620

2

1220

2

11

0016

012

011

161211

016

012

011

2

κκκ

γεε

TEORIA DE PLACAS

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂−

∂∂

−∂

∂−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=

+++

++=

yxwB

ywB

xwB

xv

yuA

yvA

xuAN

BBB

AAAN

y

xyyx

xyyxy

02

2620

2

2220

2

12

0026

022

012

262212

026

022

012

2

κκκ

γεε

TEORIA DE PLACAS

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂−

∂∂

−∂

∂−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=

+++

++=

yxwB

ywB

xwB

xv

yuA

yvA

xuAN

BBB

AAAN

xy

xyyx

xyyxxy

02

6620

2

2620

2

16

0066

026

016

662616

066

026

016

2

κκκ

γεε

ECUACIONES BASADAS EN DESPLAZAMIENTOS:

TEORIA DE PLACAS

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂−

∂∂

−∂

∂−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=

+++

++=

yxwD

ywD

xwD

xv

yuB

yvB

xuBM

DDD

BBBM

x

xyyx

xyyxx

02

1620

2

1220

2

11

0016

012

011

161211

016

012

011

2

κκκ

γεε

ECUACIONES BASADAS EN DESPLAZAMIENTOS:

TEORIA DE PLACAS

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂−

∂∂

−∂

∂−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=

+++

++=

yxwD

ywD

xwD

xv

yuB

yvB

xuBM

DDD

BBBM

y

xyyx

xyyxy

02

2620

2

2220

2

12

0026

022

012

262212

026

022

012

2

κκκ

γεε

ECUACIONES BASADAS EN DESPLAZAMIENTOS:

TEORIA DE PLACAS

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂−

∂∂

−∂

∂−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=

+++

++=

yxwD

ywD

xwD

xv

yuB

yvB

xuBM

DDD

BBBM

xy

xyyx

xyyxxy

02

6620

2

2620

2

16

0066

026

016

662616

066

026

016

2

κκκ

γεε

ECUACIONES BASADAS EN DESPLAZAMIENTOS:

TEORIA DE PLACAS

0

0

0

2

22

2

2

=+∂

∂+

∂∂

∂+

∂∂

=∂

∂+

∂

∂

=∂

∂+

∂∂

qyM

yxM

xM

yN

xN

yN

xN

yxyx

yxy

xyx

ECUACIONES DE EQUILIBRIO DE LA PLACA:

TEORIA DE PLACAS

0=∂

∂+

∂∂

yN

xN xyx

ECUACIONES BASADAS EN CONDICIONES DE EQUILIBRIO:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

∂−

∂

∂−

∂

∂−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

∂−

∂

∂−

∂

∂−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

yxw

Byw

Bxw

Bxv

yu

Ayv

Axu

AN

yxw

Byw

Bxw

Bxv

yu

Ayv

Axu

AN

xy

x

02

662

02

262

02

16

00

66

0

26

0

16

02

162

02

122

02

11

00

16

0

12

0

11

2

2

TEORIA DE PLACAS

02

2

2

03

663

03

262

03

16

02

2

02

662

02

26

02

16

2

03

162

03

123

03

11

2

0202

16

02

122

02

11

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

∂−

∂

∂−

∂∂

∂−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

∂+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

∂−

∂∂

∂−

∂

∂−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂∂

∂+

∂∂

∂+

∂

∂

yxw

Byw

Byx

wB

yxv

yu

Ayv

Ayx

uA

yxw

Byx

wB

xw

B

xv

xyu

Axy

vA

xu

A

0=∂

∂+

∂∂

yN

xN xyxSustituyendo las expresiones de Nx y Nxy en:

TEORIA DE PLACAS

( )

( ) 023

2

3

03

262

03

66122

03

163

03

11

2

02

26

02

66122

02

16

2

02

66

02

162

02

11

=∂

∂−

∂∂

∂+−

∂∂

∂−

∂

∂−

∂

∂+

∂∂

∂++

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

∂+

∂

∂

yw

Byx

wBB

yxw

Bxw

B

yv

Ayx

vAA

xv

A

yu

Ayx

uA

xu

A

Reorganizando la última expresión:

TEORIA DE PLACAS

( )

( ) 023

2

3

03

262

03

66122

03

163

03

11

2

02

26

02

66122

02

16

2

02

66

02

162

02

11

=∂

∂−

∂∂

∂+−

∂∂

∂−

∂

∂−

∂

∂+

∂∂

∂++

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

∂+

∂

∂

yw

Byx

wBB

yxw

Bxw

B

yv

Ayx

vAA

xv

A

yu

Ayx

uA

xu

A

0y

Nx

N xyx =∂

∂+

∂∂En definitiva:

Ecuación diferencial 1

TEORIA DE PLACAS

( )

( ) 032

2

3

03

222

03

262

03

66123

03

16

2

02

22

02

262

02

66

2

02

26

02

66122

02

16

=∂

∂−

∂∂

∂−

∂∂

∂+−

∂

∂−

∂

∂+

∂∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

∂++

∂

∂

yw

Byx

wB

yxw

BBxw

B

yv

Ayx

vA

xv

A

yu

Ayx

uAA

xu

A

0y

Nx

N yxy =∂

∂+

∂

∂De la misma forma:

Ecuación diferencial 2

TEORIA DE PLACAS

( )

( )

( ) qyv

Byx

vB

yxv

BBxv

B

yu

Byx

uBB

yxu

Bxu

B

yw

Dyx

wD

yxw

DDyx

wD

xw

D

=∂

∂−

∂∂

∂−

∂∂

∂+−

∂

∂−

∂

∂−

∂∂

∂+−

∂∂

∂−

∂

∂−

∂

∂+

∂∂

∂+

∂∂

∂++

∂∂

∂+

∂

∂

3

03

222

03

262

03

66123

03

16

3

03

262

03

66122

03

163

03

11

4

04

223

04

26

22

04

66123

04

164

04

11

32

23

4

224

02 2

22

2

2

=+∂

∂+

∂∂

∂+

∂∂ q

yM

yxM

xM yxyx

Ecuación diferencial 3

TEORIA DE PLACAS

En definitiva, hemos llegado a plantear tres ecuaciones

diferenciales (Ecuaciones 1, 2 y 3) en las que aparecen,

como incógnitas, u0, v0 y w0 que, una vez resueltas y

verificando las condiciones de contorno, nos permitirían

calcular el campo de desplazamientos dentro del laminado.

de este último, podríamos determinar las deformaciones en

cada punto del laminado y, de este último, el campo tensional.

TEORIA DE PLACAS

0B ij =

LAMINADOS SIMÉTRICOS:

TEORIA DE PLACAS

( )

( ) 023

2

3

03

262

03

66122

03

163

03

11

2

02

26

02

66122

02

162

02

66

02

162

02

11

=∂

∂−

∂∂

∂+−

∂∂

∂−

∂

∂−

∂

∂+

∂∂

∂++

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

∂+

∂

∂

yw

Byx

wBB

yxw

Bxw

B

yv

Axy

vAA

xv

Ayu

Axy

uA

xu

A

( )

( ) 032

2

3

03

222

03

262

03

66123

03

16

2

02

22

02

262

02

662

02

26

02

66122

02

16

=∂

∂−

∂∂

∂−

∂∂

∂+−

∂

∂−

∂

∂+

∂∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

∂++

∂

∂

yw

Byx

wB

yxw

BBxw

B

yv

Axy

vA

xv

Ayu

Axy

uAA

xu

A

( )

( )

( ) qyv

Byx

vB

yxv

BBxv

B

yu

Byx

uBB

yxu

Bxu

B

yw

Dyx

wD

yxw

DDyx

wD

xw

D

=∂

∂−

∂∂

∂−

∂∂

∂+−

∂

∂−

∂

∂−

∂∂

∂+−

∂∂

∂−

∂

∂−

∂

∂+

∂∂

∂+

∂∂

∂++

∂∂

∂+

∂

∂

3

03

222

03

262

03

66123

03

16

3

03

262

03

66122

03

163

03

11

4

04

223

04

2622

04

66123

04

164

04

11

32

23

4224

TEORIA DE PLACAS

Ecuaciones generales:

( )

( )

( ) 04224

02

02

4

04

223

04

2622

04

66123

04

164

04

11

2

02

22

02

262

02

662

02

26

02

66122

02

16

2

02

26

02

66122

02

162

02

66

02

162

02

11

=∂

∂+

∂∂

∂+

∂∂

∂++

∂∂

∂+

∂

∂

=∂

∂+

∂∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

∂++

∂

∂

=∂

∂+

∂∂

∂++

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

∂+

∂

∂

yw

Dyx

wD

yxw

DDyx

wD

xw

D

yv

Ayx

vA

xv

Ayu

Ayx

uAA

xu

A

yv

Ayx

vAA

xv

Ayu

Ayx

uA

xu

A

Ecuaciones para el caso de laminados simétricos:

TEORIA DE PLACAS

0A0A

0B

26

16

ij

=

=

=LAMINADOS SIMÉTRICOS BALANCEADOS:

TEORIA DE PLACAS

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) qyv

Byxv

Byx

vBB

xv

B

yu

Byx

uBB

yxu

Bxu

B

yw

Dyx

wD

yxw

DDyx

wD

xw

D

yw

Byx

wB

yxw

BBxw

B

yv

Ayx

vA

xv

Ayu

Ayx

uAA

xu

A

yw

Byx

wBB

yxw

Bxw

B

yv

Ayx

vAA

xv

Ayu

Ayx

uA

xu

A

=∂

∂−

∂∂

∂−

∂∂

∂+−

∂

∂−

∂

∂−

∂∂

∂+−

∂∂

∂−

∂

∂−

∂

∂+

∂∂

∂+

∂∂

∂++

∂∂

∂+

∂

∂

=∂

∂−

∂∂

∂−

∂∂

∂+−

∂

∂−

∂

∂+

∂∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

∂++

∂

∂

=∂

∂−

∂∂

∂+−

∂∂

∂−

∂

∂−

∂

∂+

∂∂

∂++

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

∂+

∂

∂

3

03

222

03

262

03

66123

03

16

3

03

262

03

66122

03

163

03

11

4

04

223

04

2622

04

66123

04

164

04

11

3

03

222

03

262

03

66123

03

16

2

02

22

02

262

02

662

02

26

02

66122

02

16

3

03

262

03

66122

03

163

03

11

2

02

26

02

66122

02

162

02

66

02

162

02

11

32

23

4224

032

2

023

2

TEORIA DE PLACAS

( )

( )

( ) qyw

Dyx

wD

yxw

DDyx

wD

xw

D

yv

Axv

Ayx

uAA

yxv

AAyu

Axu

A

=∂

∂+

∂∂

∂+

∂∂

∂++

∂∂

∂+

∂

∂

=∂

∂+

∂

∂+

∂∂

∂+

=∂∂

∂++

∂

∂+

∂

∂

4

04

223

04

2622

04

66123

04

164

04

11

2

02

222

02

66

02

6612

02

66122

02

662

02

11

4224

0

0

Ecuaciones para el caso de laminados simétricos balanceados:

TEORIA DE PLACAS

0D0A0D0A

0B

2626

1616

ij

==

==

=

LAMINADOS SIMÉTRICOS DE LÁMINAS

CRUZADAS:

TEORIA DE PLACAS

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) qyv

Byxv

Byx

vBB

xv

B

yu

Byx

uBB

yxu

Bxu

B

yw

Dyx

wD

yxw

DDyx

wD

xw

D

yw

Byx

wB

yxw

BBxw

B

yv

Ayx

vA

xv

Ayu

Ayx

uAA

xu

A

yw

Byx

wBB

yxw

Bxw

B

yv

Ayx

vAA

xv

Ayu

Ayx

uA

xu

A

=∂

∂−

∂∂

∂−

∂∂

∂+−

∂

∂−

∂

∂−

∂∂

∂+−

∂∂

∂−

∂

∂−

∂

∂+

∂∂

∂+

∂∂

∂++

∂∂

∂+

∂

∂

=∂

∂−

∂∂

∂−

∂∂

∂+−

∂

∂−

∂

∂+

∂∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

∂++

∂

∂

=∂

∂−

∂∂

∂+−

∂∂

∂−

∂

∂−

∂

∂+

∂∂

∂++

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

∂+

∂

∂

3

03

222

03

262

03

66123

03

16

3

03

262

03

66122

03

163

03

11

4

04

223

04

2622

04

66123

04

164

04

11

3

03

222

03

262

03

66123

03

16

2

02

22

02

262

02

662

02

26

02

66122

02

16

3

03

262

03

66122

03

163

03

11

2

02

26

02

66122

02

162

02

66

02

162

02

11

32

23

4224

032

2

023

2

TEORIA DE PLACAS

( )

( )

( ) qy

wD

yx

wD2D2

yx

wD

0y

vA

x

vA

yxu

AA

0yx

vAA

y

uA

x

uA

4

04

2222

04

66124

04

11

2

02

222

02

66

02

6612

02

66122

02

662

02

11

=∂

∂+

∂∂

∂++

∂∂

∂

=∂

∂+

∂

∂+

∂∂

∂+

=∂∂

∂++

∂

∂+

∂

∂

Ecuaciones para el caso de laminados simétricos de láminas cruzadas:

TEORIA DE PLACAS

( )

( ) ( )

( ) 02

1124

112112

02

112

11

0

2616

3

66

2

3

21122

3

2211

261666

2211222211

==−

=+

=

=−

===−

==

==−

=+

=

=−

===−

==

=

DDDEHD

DEHDDDEHDD

AAAEHA

AEHAAAEHAA

Bij

νν

νν

νν

νν

νν

νν

PLACAS ISÓTROPAS:TEORIA DE PLACAS

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) qyv

Byx

vB

yxv

BBxv

B

yu

Byx

uBB

yxu

Bxu

B

yw

Dyx

wD

yxw

DDyx

wD

xw

D

yw

Byx

wB

yxw

BBxw

B

yv

Ayx

vA

xv

Ayu

Ayx

uAA

xu

A

yw

Byx

wBB

yxw

Bxw

B

yv

Ayx

vAA

xv

Ayu

Ayx

uA

xu

A

=∂

∂−

∂∂

∂−

∂∂

∂+−

∂

∂−

∂

∂−

∂∂

∂+−

∂∂

∂−

∂

∂−

∂

∂+

∂∂

∂+

∂∂

∂++

∂∂

∂+

∂

∂

=∂

∂−

∂∂

∂−

∂∂

∂+−

∂

∂−

∂

∂+

∂∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

∂++

∂

∂

=∂

∂−

∂∂

∂+−

∂∂

∂−

∂

∂−

∂

∂+

∂∂

∂++

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

∂+

∂

∂

3

03

222

03

262

03

66123

03

16

3

03

262

03

66122

03

163

03

11

4

04

223

04

2622

04

66123

04

164

04

11

3

03

222

03

262

03

66123

03

16

2

02

22

02

262

02

662

02

26

02

66122

02

16

3

03

262

03

66122

03

163

03

11

2

02

26

02

66122

02

162

02

66

02

162

02

11

32

23

4224

032

2

023

2

TEORIA DE PLACAS

02

12

1

02

12

1

02

12

1

02

2

02

2

02

02

2

02

2

02

02

2

02

2

02

=∂∂

∂⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+∂

∂⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+∂

∂

=∂∂

∂⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

++∂

∂⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+∂

∂

=∂∂

∂⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

++∂

∂⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+∂

∂

xyv

yu

xu

xyv

yu

xu

xyv

AAyu

Axu

A

νν

ννν

ννν

Ecuaciones para placas isótropas:

TEORIA DE PLACAS

Dq

yw

yxw

xw

yv

xv

xyu

xyv

yu

xu

=∂

∂+

∂∂

∂+

∂

∂

=∂

∂+

∂

∂⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+∂∂

∂⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=∂∂

∂⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+∂

∂⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+∂

∂

4

04

22

04

4

04

2

02

2

0202

02

2

02

2

02

2

02

12

1

02

12

1

νν

νν

TEORIA DE PLACAS

)( 2

3

112 ν−⋅=

EHD

CONSTANTE DE RIGIDEZ A FLEXIÓN DE UNA PLACA

TEORIA DE PLACAS