Plan de clase binomio ivan quinteros

ESCUELA POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHI

ESCUELA POLITÉCNICA DEL LITORAL

CURSO PARA DOCENTES DE MATEMÁTICA QUE LABORAN EN EL SISTEMA DE NIVELACIÓN

INSTITUCIÓN AUSPICIANTE: SENESCYT

INSTITUCIÓN EJECUTANTE: Escuela Politéncnica del Litoral

FACILITADORA: Ing. Margarita Martínez, MsC.

TRABAJO: Plan de clases

TEMA: Teorema del Binomio

ELABORADO POR: Iván Quinteros C.

Tulcán, 5 de enero de 2013

Universidad Politécnica Estatal del CarchiPROTOCOLO DE PLAN DE CLASE – GESTIÓN DEL APRENDIZAJE

DATOS INFORMATIVOS:NOMBRE DEL DOCENTE: Iván Quinteros C.UNIDAD DE ANÁLISIS: Números Reales

TEMA Teorema del Binomio

PROPO-SITO

Dado un binomio de la forma ( x+ y )n, con x,y números reales y n∈N 0, utilizar las propiedades de los exponentes y el análisis combinatorio a fin de obtener su desarrollo para cualquier n.

CO

NC

EPTO

S D

ESA

RR

OLL

AD

OS

SABER definiciones de: Inducción matemática Factorial de un número Análisis Combinatorio Coeficiente binomial Triángulo de Pascal

INDICADORES DE LOGRO▪ Obtiene el desarrollo de un binomio de la forma ( x+ y )n▪ Utiliza las propiedades de los exponentes y el análisis combinatorio para encontrar un determinado término del desarrollo del binomio▪ Identifica la posición y otros elementos de un término bajo ciertas condiciones propuestas▪ Realiza resúmenes sobre las aplicaciones del teorema de binomio.SABER HACER:▪ Construye ordenadores gráficos y realiza resúmenes de las aplicaciones del Teorema del Binomio▪ Desarrolla el binomio de Newton utilizando el GeoGebra▪ Interpreta y resuelve problemas aplicando las propiedades de los exponentes y el análisis combinatorio▪ Reconoce un determinado término e identifica su posición dadas ciertas condiciones.SER:▪ Tiene gusto por la matemática▪ Trabaja en equipo▪ Es diligente y cuidadoso en el trabajo

▪ Trabaja con honestidad y puntualidad▪ Ejercita el pensamiento crítico

ESTR

ATE

GIA

S M

ETO

DO

LÓG

ICA

S

ACTIVIDADES MEDIOS DIDÁCTICOS Y

RECURSOS EDUCATIVOS

EVALUACION

BIBLIOGRAFIAT I P O S

TIEM

PO

FORMAS DE EVALUACIÓN CRITERIOS DE EVALUACIÓN

CONTEXTUALIZACIÓN▪ Diálogo sobre el tema anterior▪ Presentación del nuevo tema▪ Introducción al nuevo tema: Se utilizarán ejemplos prácticos en los que se encuentra

presente la elección de dos alternativas entre varias opciones y se los desarrolla junto a los estudiantes

10 M

in. ▪ Diálogo heurístico

▪ Estudiantes y docente▪ Computadora, video

beam y diapositivas

▪ Diagnóstica (Autoevaluación)

▪ Desarrolla el factorial de un número▪ Usa correctamente el análisis

combinatorio en ejemplos prácticos▪

TEXTO GUÍA:▪ ESPOL: Fundamentos de Matemáticas para

Bachillerato, ESPOL, Guayaquil, 2006.

MATERIALCOMPLEMENTARIO:▪ BECERRA, José: Teorema del Binomio,

http://www.fca.unam.mx/docs/apuntes_matematicas/38.%20Teorema%20del%20Binomio.pdf, acceso: 27 de diciembre de 2012.

▪ MARTÍNEZ, Ciro: Variable aleatoria discreta, http://jepradamatuan.webs.com/binomial.pdf, acceso: 27 de diciembre de 2012.

▪ Teorema del binomio, http://matgen.usach.cl/Archivos /Teoria/13T%20Binomio.pdf, acceso: 28 de diciembre de 2012.

▪ GEOGEBRA▪ YOUTUBE

CONCEPTUALIZACIÓN▪ Se utilizan los ejemplos dados y el desarrollo del binomio para los exponentes 1, 2, 3 y 4

utilizando el producto de polinomios y se les guía a los alumnos que describan la existencia de algunas regularidades y las generalicen.

▪ Se usará un diagrama de árbol para generar los términos del desarrollo del binomio para las potencias 1, 2, 3 y 4

▪ Se compararán los dos procesos y se generalizará mediante el Teorema del Binomio

20 M

in. ▪ Texto guía

▪ Internet▪ Computadora, video

beam y diapositivas

▪ Procesual▪ Formativa

▪ Lee significativamente▪ Está atento a las diapositivas y toma

apuntes importantes▪ Pregunta sobre aspectos relevantes de lo

expuesto

CREACION, ELABORACIÓN, APLICACIÓN, EXPERIMENTACIÓN▪ Se utiliza la lógica para traducir al lenguaje formal el teorema y la inducción para demostrarlo▪ Se realiza un resumen de las propiedades encontradas y del teorema▪ Se plantean ejercicios para el desarrollo del binomio; se usan las propiedades de los

exponentes y el análisis combinatorio para encontrar un determinado término; se identifica la posición y otros elementos de un término bajo ciertas condiciones propuestas

15 M

in. ▪ Carpeta de trabajo

▪ Texto guía▪ Computadora, video

beam y diapositivas▪ Geogebra

▪ Procesual▪ Formativa

▪ Utiliza ordenadores gráficos para resumir lo expuesto

▪ Plantea y resuelve ejercicios sobre el desarrollo de un binomio; para encontrar e identificar términos

ACTIVIDADES DE REFUERZO▪ Aplicar los resultados para construir el TRIÁNGULO DE PASCAL y analizar algunas de

sus propiedades▪ Resolver los ejercicios 116, 188 y 120 del texto guía, p. 246

15

Min

. ▪ Texto guía ▪ Procesual▪ Formativa

▪ Resuelve correctamente ejercicios del texto guía

TRABAJO AUTÓNOMO▪ Investigar en YOUTUBE los videos de Adrian Paenza sobre el TRIÁNGULO DE PASCAL▪ Desarrollar en GeoGebra un ejemplo del binomio de Newton▪ Resolver los ejercicios 117, 119 y 121–124 del texto guía, p. 246 45

Min

.

▪ Texto guía▪ Internet

CRITERIOS DE EVALUACIÓN:▪ Presenta resúmenes de la investigación▪ Presenta ejercicios resueltos▪ Pregunta sobre cuestiones no interpretadas

Universidad Politécnica Estatal del Carchi

ACTIVIDADESI. CONTEXTUALIZACIÓN

1.1 Evaluación de inicio

PRE-CONOCIMIENTOS: Para esta actividad se requiere de algunos conocimientos básicos, éstos se evaluarán de acuerdo a la siguiente cartilla de autoevaluación. Se trabajará además en el desarrollo de valores como honestidad, al contestar la cartilla.

YO SÉ Muy bien Bien Poco Nada

Lógica y teoría de conjuntos

Propiedades en el Sistema de los números reales

Método de inducción

Factorial de un número

Análisis combinatorio

OBSERVACIÓN: Si en alguno de los pre-conocimientos las respuestas fueron categorizadas como Poco o Nada, será necesario volver a profundizar esos conocimientos.

1.2 Introducción histórica.• El teorema del binomio, (o, binomio de Newton), expresa la n-ésima potencia de un binomio como un

polinomio. El desarrollo de ( x+ y )n es de singular importancia, pues, aparece con mucha frecuencia en la matemática y posee diversas aplicaciones en otras áreas del conocimiento.

• Newton en 1685 y Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn al-Karaji alrededor del año 1000.• El teorema del binomio para n=2 se encuentra en los Elementos de Euclides (300 a. C.)

1.3 Contextualización:El teorema del binomio está relacionado con la distribución binomial y ésta considera procesos en los cuáles se requiere la elección de dos alternativas entre varias opciones. Los ejemplos siguientes servirán para contextualizar el tema a tratarse.1. La Selección Sub 20 de fútbol del Ecuador va a participar en el Sudamericano en Argentina. La

Selección considera una nómina de 22 jugadores que viajrán a este evento. Hasta el 30 de diciembre estaban convocados 26 jugadores. Supongamos que el DT ya definió la participación de los 20 jugadores, por lo que aún le falta escoger a dos de los seis restantes. ¿De cuántas maneras puede escoger a dos de entre seis? Se podrían dar nombres ficticios para que la actividad sea práctica.

2. Se aproximan las elecciones generales en nuestro país. Suponiendo que los candidatos no alcancen la mayoría de votos y que se presenta una segunda vuelta, nos interesa saber cómo quedarían las alternativas de las dos candidaturas opcionadas.

3. En niveles superiores de la universidad, se requiere elegir algunas materias optativas. Si en un determinado semestre se presenta la opción de escoger dos de estas materias, que presentan varias alternativas en los horarios, nos interesaría saber cuántas opciones de horarios están disponibles para escoger llos que mejor se adecuen a nuestros intereses.

II. ACTIVIDADES DE CONCEPTUALIZACIÓN


2.1 Binomio a la potencia n–ésima

1. Utilizar el producto de polinomios para encontrar el desarrollo de ( x+ y )n, para n=1 ,2 ,3 ,4.Sean x , y∈R. Consideremos el binomio ( x+ y ). Al multiplicar por sí mismo a este binomio, se obtienen las siguientes potencias:

( x+ y )1=x+ y( x+ y )2=( x+ y ) (x+ y )=x2+2 xy+ y2( x+ y )3=( x+ y ) ( x+ y ) ( x+ y )¿ x3+3x2 y+3 x y2+ y3

( x+ y )4=( x+ y ) ( x+ y ) ( x+ y ) ( x+ y )¿ x4+4 x3 y+6 x2 y2+4 x y3+ y 4

2. Guiar a los estudiantes a que infieran algunas propiedades que se pueden obtener del ejercicio anterior De lo anterior, podemos concluir algunas de las siguientes propiedades para n∈N 0:a) El desarrollo ( x+ y )n tiene la forma:

( x+ y )n=c0 xn+c1 x

n−1 y1+…+ck xn−k yk+…+cn y

n

e incluye n+1 términos.b) Las potencias de x entre el 1er y último términos del desarrollo son: xn, xn−1, …, x2, x1, x0

c) Las potencias de y entre el 1er y último términos del desarrollo son: y0, y1, y2, …, yn−1, yn

d) Para cada término, la suma de los exponentes de x e y es n.e) c0=1 y c1=n.f) Si ck x

n−k yk es el k–ésimo término, el coeficiente ck es igual a:

ck=ck−1 (n−k+1 )

k−1

g) Los términos que equidistan de los extremos tienen coeficientes iguales.

3. Usar un diagrama de árbol para deducir algunas regularidades en el desarrollo de los binomios que pueden ser generalizadas utilizando la teoría del análisis combinatorio, como se muestra a continuación.Los términos del desarrollo ( x+ y )n para n=1, 2, 3, 4 , pueden obtenerse a través del siguiente diagrama de árbol:

4. Relacionar los resultados de los numerales anteriores a fin de que deduzcan los coeficientes utilizando el análisis combinatorio.Por ejemplo si: ( x+ y )4=c0 x

4+c1 x3 y+c2 x

2 y2+c3 x y3+c4 y

4


2.2 Teorema del Binomio

1. Si utilizamos los resultados obtenidos para el ejemplo anterior, podemos escribir el desarrollo de ( x+ y )4 como:

( x+ y )4=(40) x4

+(41) x3 y+(42) x2 y2+(43) x y3+(44) y4Y al generalizar para n∈N 0, tenemos el siguiente resultado.

Teorema 2.1 (Teorema del Binomio) Dados n∈N 0, x , y∈R, el desarrollo del binomio ( x+ y )n, está dado por,

( x+ y )n=(n0)xn

+(n1)xn−1 y+…+(nk ) xn−k yk+…+( nn−1)x yn−1+(nn) ynO, escrito utilizando la notación de sumatoria,

( x+ y )n=∑k=0

n

(nk ) xn−k y k2. Tradicimos a lenguaje formal el teorema:

∀ x , y∈R ,n∈N0 : [( x+ y )n=∑k=0

n

(nk) xn−k yk ]3. Demostración del teorema. Vamos a utilizar el principio de inducción.


Sea P (n ) : ( x+ y )n=∑k=0

n

(nk ) xn−k yk

a) P (1 ) es verdadera ya que ( x+ y )1=∑k=0

n

(1k ) x1−k yk , esto último dado que

∑k=0

1

(1k ) x1−k yk=(10) x1−0 y0+(11) x1−1 y1=x+ y

b) Si P (m ) es verdadera, es decir, si ( x+ y )m=∑k=0

m

(mk )xm−k yk, por demostrar que

( x+ y )m+1=∑k=0

m+1

(m+1k ) xm+1−k yk

En efecto,

( x+ y )m+ 1=( x+ y )m ( x+ y )( x+ y )m+1=(∑k=0

m

(mk )xm− k yk ) (x+ y )

( x+ y )m+1=((m0 )xm

+(m1 ) xm−1 y+…+(mk )xm−k yk+…+( mm−1) x ym−1+(mm) ym)( x+ y )

¿(m0 ) xm+1

+(m1 ) xm y+…+(mk ) xm+1−k yk+…+( mm−1)x2 ym−1+(mm)x ym+(m0 ) xm

y+(m1 ) xm y2+…+(mk ) xm−k y k+1+…+( mm−1)x ym+(mm) ym+1

¿(m0 ) xm+1

+[(m1 )+(m0 )]xm+1 y+…+[( mk+1)+(mk )] xm−k−1 y k+1+…+[(mm)+( mm−1)] x2 ym−1+(mm) x ym

¿(m+10 ) x

m+1

+(m+11 ) xm y+…+(m+1

k ) xm+1−k yk+…+(m+1m ) x ym+(m+1

m+1) ym+1¿ ( x+ y )m+1

Que era lo que se quería demostrar.

4. Usar el Geogebra para generar el desarrollo de binomios


III. ACTIVIDADES DE REFUERZO3.1 Triángulo de Pascal

1. Presentar los siguientes Triángulo de Pascal:

Explicar su origen y la forma cómo se obtiene.

2. Presentar algunas propiedades del Triángulo de Pascal. Utilizar el video de Adrían Penza (5 minutos).

3. Resolver los ejercicios 116, 188 y 120 del texto guía, p. 246.

IV. TRABAJO AUTÓNOMO▪ Investigar en YOUTUBE los videos de Adrian Paenza sobre el TRIÁNGULO DE PASCAL▪ Desarrollar en GeoGebra un ejemplo del binomio de Newton▪ Resolver los ejercicios 117, 119 y 121–124 del texto guía, p. 246

V. EVALUACIÓN

De acuerdo al plan de clases, la parte principal de la evaluación deberá hacerse sobre la base de la resolución de problemas para obtener el desarrollo del Binomio, usar las propiedades de los exponentes y el


análisis combinatorio para encontrar un determinado término; identificar la posición y otros elementos de un término bajo ciertas condiciones propuestas.

EVALUACIÓN SUMATIVA

A. Conteste a cada uno de los siguientes ítems, colocando una X en la respuesta correcta. Recuerde que su respuesta debe ir justificada con el respectivo proceso que la respalde, en los casos que sea necesario. (1 Pto. c/u)

1. ¿Cuáles de los siguientes enunciados no describe procesos en los cuáles se requiere la elección de dos alternativas entre varias opciones?

( ) Lanzar una moneda( ) La forma cómo dispuso Noé a las parejas de animales en el Arca.( ) La elección de una pareja de tenistas entre varios, que jueguen dobles la copa Davis( ) Todas las anteriores( ) Ninguna de las anteriores

2. El término del desarrollo de (x2+ yx )5

que contiene x3 es:

( ) 21( ) 30( ) −12( ) 72( ) No existe tal témino.

3. Hallar el témino independiente de (x2+ 1x )9

( ) 14( ) 11( ) 17( ) 13( ) 16

4. ¿Cuáles de los siguientes enunciados están relacionados con el Teorema del Binomio?( ) El Teorema del Binomio formula que ( x+ y )n=xn+ yn( ) El teorema fue descubierto por Pascal juanto al triángulo que lleva su nombre, aunque otros lo

formularon antes y lo desarrollaron.( ) El teorema fue publicado por Wallis y se le atribuye a Newton su descubrimiento, aunque otros lo

formularon antes y lo desarrollaron.( ) Todas las anteriores( ) Ninguna de las anteriores

B. Haga lo que se le pide.1. Desarrolle el triángulo de Pascal hasta la fila correspondiente a n=5 (1 Pto.)

2. En (1− x22 )14

determine: (3 Ptos)

a) el quinto término;b) el(los) término(s) central(es)

3. Determine el coeficiente de x18 (si existe), en el desarrollo de (x2+ 3x )15

(2 Ptos.)

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