Planificacion Minera (Geoestadistica 1)
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Jos Delgado Cuantas reservas tenemos ?Cuantos aos durara la explotacin ?Cul es la ley media ? etc
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Jos Delgado
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Jos Delgado La Geoestadstica
Su punto de partida es asumir una intuicin topo-probabilista (Matheron, 1970). Los fenmenos distribuidos en el espacio, la mineralizacin en un yacimiento mineral por ejemplo, presenta un carcter mixto, un comportamiento catico o aleatorio a escala local, pero a la vez estructural a gran escala
Los trabajos de Kriging en las minas de SudAfrica
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Qu es la Geoestadistica?
Es una estadstica aplicada o un conjunto de herramientas para correlacionar variables con el espacio y/o tiempo.
Se define como la aplicacin de la Variable regionalizada (teora de Funciones Aleatorias) al reconocimiento y estimacin de fenmenos naturales (Journel y Huijbregts, 1978)
Simplemente, el estudio de las variables numricas distribuidas en el espacio (Chauvet, 1994), siendo una herramienta til en el estudio de estas variables (Zhang, 1992).
Jos Delgado
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Jos Delgado Qu es una variable Regionalizada ?
Es una variable aleatoria donde la localizacion, el espacio y el tiempo son importante ,ella presenta dos aspectos contradictorio
Tiene un aspecto aleatorio Su comportamiento estructurada
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Jos Delgado Ejemplos de variables aleatorias
Leyes de los minerales ndices de calidad de un yacimiento Profundidad y espesor de sobrecarga Litologas y alteraciones de manera indicatrizPermeabilidades , porosidadesDensidad de rboles o especies vegetales Densidad de peces En problemas de lluvias En elementos trazas de la geofsica
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Jos Delgado Los cinco tipos de mtodos
1.- La geo estadstica lineal
2.-Modelos no estacionarios
3.-Geo estadstica multi variable
4.-Mtodos no lineales
5.-Simulacin condicional
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Jos Delgado Dterministicos vs. Go estadisticosDterministicos : Utilizan funciones matemticas para poder hacer las predicciones ;
Go estadsticos (Estocsticos): Asocian funciones matemticas a los anlisis estadsticos para hacer interpolaciones (ex: Krigeage);
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Jos Delgado Historia :
Los primeros problemas estudiados Africa del Sur Comienzo de los aos 50
D.G.Krige A estudiado la diferencia entre las leyes reales y las estimadas Estimadas realRegresin Lineal
Grfico3
1.5
2
2.5
3
1.8
2
3
4
2
3
5
6
4
5
6
3
4
5
6
4
6
7
9
4
5
6
7
4
6
8
4
7
9
10
Leyes estimadas
Leyes reales
Hoja1
DistanciaMedida
51
101.3
151.5
201.6
251.8
300.9
352
402.2
452.4
502.1
552
601.9
651.6
702.5
753
802.2
852.3
901.5
952.7
1002.6
1052
1102.4
1153.5
1203
1252.6
1302.5
1353.2
1403.3
1453.2
1503.2
1553
1601.5
1651.4
1703.5
1753.5
1803.6
1853.5
1903.4
1951.8
2003.6
2053.7
Hoja1
Medida
distancias
leyes de cobre
Hoja2
Ley estimadaley real
21.5
22
22.5
23
31.8
32
33
34
42
43
45
56
54
55
56
63
64
65
66
74
76
77
79
84
85
86
87
94
96
98
104
107
109
1010
Hoja2
Leyes estimadas
Leyes reales
Hoja3
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Jos Delgado
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Cul es la ley del depsito
Cul es la ley de produccin de la siguiente semana
Cul es la ley de mineral en la superficie
Donde se perforar y cuntas perforaciones se necesitarn
Cuando utilizar la Geoestadistica?
Jos Delgado
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Herramientas GeoestadsticasVariograma: dice la correlacin entre muestras.El rango de influencia el principio de extensin y anisotropaCovariograma: Dice la relacin entre las variables Correlograma Dice la relacin con un mximo de 1 Estimacin: Tasa la calidad de la estimacinVarianza de estimacin :dice cuan bien o mal es la estimacinVarianza de dispersin que tanto variamos con respecto a un valor referencial Kriging: dice el peso apropiado para ser asignado a cada una de las muestrasJos Delgado
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Estimadores GeoestadsticosLa estimacin de reservas se puede dividir en 2 partes:
1)Estimacin global:Interesa estimar la ley media y el tonelaje de todo el yacimiento
2)Estimacin local:Interesa estimar la ley media de unidades o bloques dentro de una zona
Jos Delgado
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Jos Delgado La idea de explicar los fenmenos por la correlacin entre las Muestras Cuantificar en funcin de la distancia Leyes Z ( x) Z( x+h) * h * Localizacin x x+h Z(x ) es una variable regionalizada localizada en el punto x
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Jos Delgado Primeras ideas :correlacin espacial
Se estudio el valor medio del producto
(Z( x) m)(Z (x+h)-m)
En funcin de la distancia hM es la media general de Z
El problema es que es necesario la existencia y La invariabilidad de m en la regin Necesita una buena estimacin de m
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Jos Delgado
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Jos Delgado
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Jos Delgado Tipos de muestreos RegularAleatorio Tran-sectAleatorio estratificado GruposContorno
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Jos Delgado Una primera toma de muestra instintiva
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Jos Delgado
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Una segunda aprovechando la informacin anteriorJos Delgado
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Jos Delgado
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Jos Delgado
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Jos Delgado
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Jos Delgado
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Jos Delgado
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Jos Delgado
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Jos Delgado
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Efecto soporte
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Ley corte=22
Grfico2
18.25
13
25
13.25
12.75
22.75
20
14.5
20.75
19.25
21.75
14.25
21
14.25
23
21.5
19.25
22.25
20.25
16
23.25
32.5
23.75
9.25
8.75
Valores estimados
valores reales
nube de puntos
b3
100255518.25
300225513
5002345525
700065513.25
9001285512.75
10202352522.75
302015252520
502015452514.5
702023652520.75
902014852519.25
10403054521.75
304011254514.25
504019454521
704019654514.25
904017854523
1060956521.5
306025256519.25
506012456522.25
706020656520.25
906026856516
10802158523.25
308043258532.5
508020458523.75
7080965859.25
90801285858.75
b3
Valores estimados
valores reales
nube de puntos
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Jos Delgado Como estudiar las relaciones espaciales de los datos?
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Anlisis Variografico
El anlisis variografico es una de las herramientas mas importante y potente que existen para analizar las fuentes de variabilidad de los procesos .
Podemos estudiar la variabilidad de la variable aleatoria en funcin del tiempo o de la posicin
En el caso de la mina podemos estudiar como varan las leyes
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Jos Delgado
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Jos Delgado
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Jos Delgado
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Jos Delgado El variograma:es una de las herramientas mas potentes que Existen , dado a que entrega la relacin espacial de los datosMostrando su variabilidad
El variograma
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Jos Delgado Informacin estructural aportada por el Variograma
1.-continuidad espacial
2.-Zona de influencia
3.-las anisotropa
4.-Las estructuras anidadas
5.-La no estacionalidad ( derivas tendencias )
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Jos Delgado La idea del variograma Estudiar el valor medio de ( Z( x+h)- Z( x))^2
En funcin de la distancia hDistancia h ( h )
Grfico1
0000
0.093680.093680.169750.1311849437
0.606350.606350.218080.1311849437
0.552790.552790.293430.4302171753
1.145791.145790.23080.7179370483
0.919510.919510.303780.8946007754
0.645910.645910.246210.9702707836
2.185422.185420.405630.9936702846
0.667170.667170.303280.9989827222
0.377630.377630.238820.9998765902
3.208853.208850.45530.9999886991
0.9999992189
0.9999999592
0.9999999984
1
1
1
1
1
1
va-te-gau
semivariograma
modelos
a=4.5w=(0-2)0.15
c=0.5
hsphericalexponencialgaussianpower modelhole effect
000000
0.50.08299039780.14173434470.05258034160.45062523130.0303927505
10.16392318240.24329144050.17940980580.50.1178761249
1.50.24074074070.31606027940.31606027940.53135368060.2518146816
20.31138545950.36820143090.41549334230.5547847360.4159253762
2.50.37379972570.40556219860.4689117380.57366850280.5902571071
30.42592592590.43233235840.49084218060.58957382280.753616191
3.50.46570644720.45151401610.49783988030.60336513470.8861429004
40.49108367630.46525827440.49959200610.61557220670.9717258306
4.50.50.47510646580.49993829510.62654444150.9999605788
50.49039780520.48216300330.49999252730.63652505780.9674146185
5.50.46021947870.48721923340.49999927540.64569051640.8780445947
60.40740740740.49084218060.49999994370.65417311540.7427153107
6.50.32990397810.49343813560.49999999650.66207472350.5778788832
70.22565157750.49529821870.49999999980.6694755340.4035746418
7.50.09259259260.49663102650.50.67643986450.2409929278
8-0.07133058980.4975860250.50.68302012840.1098989632
8.5-0.2681755830.49827031130.50.6892596310.0262299724
0
varios-var-teor-
varios-var-teor-
0000
0.093680.093680.169750.3127107212
0.606350.606350.218080.3127107212
0.552790.552790.293430.5276334473
1.145791.145790.23080.6753475326
0.919510.919510.303780.7768698399
0.645910.645910.246210.8466450332
2.185422.185420.405630.8946007754
0.667170.667170.303280.927560243
0.377630.377630.238820.9502129316
3.208853.208850.45530.9657818817
0.9764822541
0.9838365054
0.9888910035
0.9923649058
0.9947524816
0.9963934369
0.9975212478
0.9982963802
0.9988291204
ver-teo-exp
semivariograma
semi-vario
0000
0.093680.093680.169750.1311849437
0.606350.606350.218080.1311849437
0.552790.552790.293430.4302171753
1.145791.145790.23080.7179370483
0.919510.919510.303780.8946007754
0.645910.645910.246210.9702707836
2.185422.185420.405630.9936702846
0.667170.667170.303280.9989827222
0.377630.377630.238820.9998765902
3.208853.208850.45530.9999886991
0.9999992189
0.9999999592
0.9999999984
1
1
1
1
1
1
va-te-gau
semivariograma
covar
0000
0.093680.093680.169751.4787576366
0.606350.606350.218081.4787576366
0.552790.552790.293431.5848931925
1.145791.145790.23081.650475667
0.919510.919510.303781.6986464646
0.645910.645910.246211.7369767322
2.185422.185420.405631.7689360205
0.667170.667170.303281.7964155447
0.377630.377630.238821.820564203
3.208853.208850.45531.8421341401
1.8616455666
1.8794737695
1.8958986837
1.911134866
1.9253505085
1.9386799836
1.9512323996
1.9630976021
1.9743504858
verio-teorico
semivariograma
correlograma
0000
0000.1865234375
0.093680.093680.169750.1865234375
0.606350.606350.218080.3671875
0.552790.552790.293430.5361328125
1.145791.145790.23080.6875
0.919510.919510.303780.8154296875
0.645910.645910.246210.9140625
2.185422.185420.405630.9775390625
0.667170.667170.303281
0.377630.377630.238821
3.208853.208850.45531
1
1
1
1
1
1
1
1
verio-teorico
semivariograma
general relative
0000
0.093680.093680.169750.1865234375
0.606350.606350.218080.1865234375
0.552790.552790.293430.3671875
1.145791.145790.23080.5361328125
0.919510.919510.303780.6875
0.645910.645910.246210.8154296875
2.185422.185420.405630.9140625
0.667170.667170.303280.9775390625
0.377630.377630.238821
3.208853.208850.45531
1
1
1
1
1
1
1
1
1
verio-teorico
semivariograma
gam-m
000
0.315880.315880.49272
0.134390.134390.0423
-0.02383-0.023830.00216
-0.10093-0.10093-0.01011
-0.11218-0.11218-0.00867
-0.01345-0.013450.02978
-0.03544-0.03544-0.01582
-0.11067-0.110670.07524
0.02870.02870.0717
-0.28394-0.283940.35755
covarianzas
000
0.902940.902940.88711
0.436140.436140.3035
-0.11137-0.111370.01633
-0.30102-0.30102-0.12232
-0.46136-0.46136-0.07095
-0.05623-0.056230.22801
-0.10561-0.10561-0.13614
-0.61949-0.619490.44329
0.1670.1670.56791
-0.56471-0.564710.74314
Distance
p
correlograma
000
0.048480.048480.07972
0.32460.32460.13736
0.305360.305360.18913
0.57210.57210.14822
0.513910.513910.20501
0.394740.394740.17921
1.057771.057770.24094
0.462540.462540.19483
0.26990.26990.14238
1.198521.198520.21496
Distance
gama
General Relative
Semivariogramtail:Primaryhead:Primarydirection 1MODELO I
101031.312231.31223
20000NUGET0
31000.09368361.316671.32861ALCANCE400w=(0-2)0.1
42000.60635341.260881.34VARIANZA1
53000.55279251.2341.3264INGREMENTO50
64001.14579261.234231.45885primer valor50
75000.91951221.143181.40227hsphericalexponencialgaussianpower modelhole effect
86000.64591191.113161.321050.000.000.000.000.000.00
97002.18542171.117651.6176550.000.190.310.131.481.01
108000.66717111.065451.2250.000.190.310.131.481.01
119000.37763111.176361.07455100.000.370.530.431.582.00
1210003.2088581.2051.90875150.000.540.680.721.650.98
Semivariogramtail:Primaryhead:Primarydirection 2200.000.690.780.891.700.00
101031.312231.31223250.000.820.850.971.741.03
20000300.000.910.890.991.772.00
31000.09368361.316671.32861350.000.980.931.001.800.96
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Semimadogramtail:Primaryhead:Primarydirection 3
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1210000.22762211.334761.43476
-
Jos Delgado
-
Jos Delgado
-
Jos Delgado
-
Jos Delgado
-
Jos Delgado
-
Jos Delgado
-
Jos Delgado
-
Jos Delgado
-
Jos Delgado
-
Jos Delgado Problemas en la construccin de un variograma
-
aJos Delgado
-
Jos Delgado
-
Jos Delgado
-
Jos Delgado
-
Jos Delgado VARIANZA DE DISPERSION
-
Jos Delgado Soporte de la variable regionalizada
Volumen sobre el cual la variable regionalizada esta definidaLos datos : Volumen de las muestras tomadasLey de los bloques :Volumen del bloque de explotacin Ley media de un bloque de volumen V Bloque grandeBloque pequeo
-
Jos Delgado MEDIA =201DESVIACON ESTANDAR = 166.1
73532545140125175167485540420260128203010570450200337190952602452781802503804052508051560512412043017523012046026040135240351301351601707595203532952045020035100592455890
-
Jos Delgado MEDIA = 201DESVIACION ESTANDAR = 129
505143882072703281714111052201542631015444155
-
Jos Delgado
-
Jos Delgado
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Jos Delgado Los modelos variograficos aceptados
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MODELO ESFERICOJos Delgado
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MODELO EXPONENCIALJos Delgado
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MODELO GAUSSIANOJos Delgado
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MODELO POTENCIAJos Delgado
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Jos Delgado
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EFECTO HOYOJos Delgado
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Jos Delgado
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Jos Delgado Como saber si el modelo aplicado es bueno ?
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Jos Delgado La validacin cruzada
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Jos Delgado
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Jos Delgado
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Jos Delgado
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Jos Delgado
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EL CONCEPTO DE VARIANZA DE ERRORLEY DEL BLOQUELEY DE UN PUNTO EN EL BLOQUELEY DE UNA MUESTRA ESTIMADOR DE LA LEY DEL BLOQUE Jos Delgado
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CONDICION DE INSESGOJos Delgado
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CONDICION DE INSESGOJos Delgado
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DESARROLLO DE UNA EXPRESION PARA LA VARIANZA DE ERROR EN FUNCION DE LA COVARIANZA Y EL VARIOGRAMAJos Delgado
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CASO ESTACIONARIO! DEPENDE DE: GEOMETRIA SOPORTE A ESTIMARGEOMETRIA SOPORTE ESTIMADORRELACIONES ENTRE AMBOSVARIABILIDADNO DE LAS LEYES!Jos Delgado
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CONCEPTO DE VARIANZA DE DISPERSIONJos Delgado
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RELACION DE KRIGETAMAO DE MUESTRA RELACION VOLUMEN-VARIANZA CONTRIBUCION FUNDAMENTAL DE LA GEOSTADISTICA. RELACION DE KRIGE Jos Delgado
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Jos Delgado Relacin de aditividad de Krige
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KRIGEAGEConsiste en encontrar la mejor estimacin lineal insesgada de un bloque o zona considerando la informacin disponibleAtribuye un peso i a la muestra z(xi)Dichos pesos se calculan de manera de minimizar la varianza del error cometidoDefine el estimador:
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MATHERON (ENSMP, 1960)MATHERON CONOCIO EL TRABAJO DE KRIGE.GEORGES MATHERON FORMALIZO LA TEORIA (LES VARIABLE RGIONALISES ET LEUR ESTIMATION)EL KRIGEAGE ES UNA CONSECUENCIA, TAL VEZ NO LA MAS IMPORTANTE DE LA GEOESTADISTICA DE MATHERON. ES LA MAS POPULAR.CONSISTE EN MINIMIZAR LA VARIANZA DE ESTIMACION BAJO LA CONDICION QUE LA SUMA DE LOS PONDERADORS ES UNO. Jos Delgado
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Jos Delgado
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ECUACIONES DE KRIGEAGEHISTORIA, SUD AFRICA , MINAS DE ORO DEL WITSWATERRAND.
XYzy=xJos Delgado
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Jos Delgado Las ecuaciones son :
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Jos Delgado Krigeage Ordinario
El Krigeage ordinario m no es conocida .El estimador toma la siguiente forma Para que el estimador sea insesgado , se impone la siguiente condicin
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Jos Delgado Recurriremos la mtodo de Lagrange para encontrar los mnimos valoresTomar las derivadas parciales con respecto y y igualando a 0Resultando n+1 ecuaciones con n+1 incgnitas
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Jos Delgado La varianza mnima de estimacin o varianza del Krigeage esEn su forma matricial es
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Jos Delgado El krigeage permite estimar directamente un bloque Zv o un punto Zo ,cambiando el miembro de la derecha.
El krigeage de un bloque es igual al promedio de os krigeage puntuales En el bloque .
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Jos Delgado Interpretacin del Krigeage
El Krigeage minimiza la varianza de estimacin terica calculada a partir del variograma.
El Krigeage es el mejor estimador lineal ?
Si, en promedio ( sobre un gran numero de valores estimados)Debido Hiptesis estacionaria es valida Un buen modelo de variograma
Par un punto o un bloque es poco lo que se puede decir
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Jos Delgado C0*Sph(h/a)+C
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Jos Delgado
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Jos Delgado
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Jos Delgado
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Jos Delgado
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LA PRECISION DEL KRIGEAGEJos Delgado
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EJERCICIOJos Delgado
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Jos Delgado
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Jos Delgado
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SISTEMA DE KRIGEAGEJos Delgado
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Jos Delgado
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Jos Delgado
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CASO EFECTO PEPITA PUROJos Delgado
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EN EL CASO ANTERIOR AL SUBER EL EFECTO PEPITA A 12 Y A 22:Jos Delgado
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PROPIEDADES DEL KRIGEAGECONSIDERA LA VARIABILIDAD NATURAL, LA GEOMETRIA RELATIVA ENTRE LAS MUESTRAS Y ENTRE ESTAS Y LA GEOMETRIA A ESTIMAR, TAMBIEN LA ULTIMA. NO CONSIDERA LAS LEYES Y ES POR ESTO QUE LA VAR DE KRIGEAGE NO ES CONDICIONAL , EXCEPTO EN EL CASO GAUSSIANOINTERPOLADOR EXACTOVARIANZA DE ERROR MINIMA, PERO ESTO TIENE UN COSTO QUE SE LLAMA ALISAJEJos Delgado
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SE ACERCA MAS A LA CONDICION DE INSESGO CONDICIONAL QUE OTROS ESTIMADORESEN EL CASO NORMAL LA PENDIENTE DE LA RECTA DE REGRESION ES:
SEGN EL SISTEMA DE KRIGEAGE p=1 SI MU=0 ES DECIR CUANDO SE CONOCE LA MEDIA DEL YACIMIENTO Jos Delgado
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ES IMPORTANTE ENTONCES USAR VARIAS MUESTRAS EN LA ESTIMACION DE TAL MANERA DE CONSIDERAR LA MEDIA DEL YACIMIENTO PARTICULARMENTE SI EL EFECTO PEPITA ES ALTO
Jos Delgado
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ES IMPORTANTE ENTONCES USAR VARIAS MUESTRAS EN LA ESTIMACION DE TAL MANERA DE CONSIDERAR LA MEDIA DEL YACIMIENTO PARTICULARMENTE SI EL EFECTO PEPITA ES ALTO
Jos Delgado
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Jos Delgado
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Jos Delgado
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