7/24/2019 Plasticidad Coaxial

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Plasticidad Coaxial (Asociativa)

La frontera que separa el comportamiento elastico y plastico de un material, se establece de acuerdo a los criterios defluencia; en el caso de metales, el comportamiento isocorico y la no dependencia con la componente hidrostatica deltensor de esfuerzos resultan en criterios tales como los de Tresca y Von Mises. Sin embargo, en procesos de conformado, larespuesta cinematica del material luego de la fluencia, abandona el comportamiento el astico lineal. Por lo que una ecuacionconstitutiva para la deformacion plastica debe ser propuesta, la cual es desarrollada en base a una serie de consideraciones,denominadas Reglas de Flujo Plastico.

1 Deformacion Plastica UniaxialPara la curva esfuerzo deformacion de un material elasto-plastico, mostrada en la figura 1, el comportamiento mecanicopuede ser caracterizado por una region elastica con un modulo de YoungE, hasta alcanzar la fluencia; para luego entraren una region plastica con un modulo elasto-plasticoET, el cual vara localmente como la tangente a la curva. En la regionplastica, el incremento total de la deformacion en forma uniaxial corresponde a la suma de las contribuciones elastica yplastica, esto es:

d= de + dp (1)

Considerando que la deformacion plastica es independiente de la velocidad de aplicacion de la carga, el incremento enel esfuerzo se puede relacionar linealmente con el incremento de deformacion elastica en la region plastica, y se puedeexpresar como:

d = E(d dp) (2)

El esfuerzo de fluencia inicial diferencia las regiones elastica y plastica. El esfuerzo en la region plastica puede serdeterminado de acuerdo a una ley de endurecimiento = y(). Donde es un parametro de endurecimiento. En el casouniaxial, la deformacion plastica p es usualmente utilizada como parametro de endurecimiento = p. La deformacionplastica es dependiente de la historia (no conservativa), y se calcula de acuerdo a:

p =

dp (3)

Considerando la descomposicion de deformaciones (1), se puede derivar la siguiente expresion para el incremento endeformacion plastica:

dp =

1

ET

1

E

d (4)

Figure 1: Curva de Traccion Elasto-Plastica

2 Tensor de Incremento en la Deformacion Plastica

El incremento de deformacion total en el caso tridimensional, puede ser generalizado como:

dij =deij+ d

pij (5)

1

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Luego de la fluencia inicial, el estado de esfuerzos para el cual ocurra una ulterior deformaci on, dependera del actual gradode deformacion plastica. Tal fenomeno se conoce como endurecimiento por deformacion. As la superficie de fluenciacambiara en cada estado de la deformacion plastica. Debido a su caracter disipativo, el proceso de deformacion en la regionplastica es dependiente de la historia de deformacion previa. En otras palabras, no puede existir una correspondenciauno-a-uno entre esfuerzo y deformacion en la region inelastica. Si durante la deformacion plastica la superficie de fluenciano cambia ni se desplaza, el comportamiento se define como perfectamente plastico. Si en cambio, la superficie se expandeuniformemente, el endurecimiento se define como isotropico. Por otro lado, si las subsecuentes superficies de fluenciamantienen su forma y orientacion, pero se transladan en el espacio de esfuerzos como un cuerpo rgido, ha tomado parteel endurecimiento cinematico, tal comportamiento corresponde a la evidencia experimental del efecto Bauschinger, encondiciones de cargas cclicas. En el caso tridimensional, el parametro de endurecimiento puede ser relacionado con unamedida de la deformacion plastica total, denominada deformacion efectiva, la cual es definida incrementalmente como:

dp =

2

3dpijd

pij (6)

Una explicacion fsica de esta definicion puede ser probada, considerando que bajo condiciones uniaxiales, isotr opicas eisocoricas; el incremento en deformacion plastica uniaxiald11debe corresponder al incremento en deformacion efectiva. Demodo que el parametro de endurecimiento se puede asumir definido por = p. Donde p es el resultado de integrar dp so-bre toda la historia de deformacion del material. Este comportamiento es lo que define el endurecimiento por deformaci on.

Estados de esfuerzos que se encuentren justo sobre la superficie de fluencia, corresponden a un estado pl astico. Definiendola funcion de fluencia F, cuando un estado de esfuerzos se encuentra sobre la superficie de fluencia, el cambio incremental

en la funcion de fluencia, debido a un cambio incremental en el estado de esfuerzos es:

dF = F

ijdij (7)

Entonces si:dF 0 Ocurre deformacion plastica, y la superficie de fluencia es modificada, cuando el material es endurecible pordeformacion.

3 Reglas de Flujo PlasticoLa formulacion matematica general de la relacion constitutiva para deformacion o flujo plastico fue propuesta por Huber-Von Mises en 1928. En teora de elasticidad, el tensor de deformaciones se puede relacionar con el tensor de esfuerzos,considerando una funcion potencial elastica, la cual corresponde a la energa de deformacion complementaria:

ij = U

ij(8)

Con el objeto de extender esta idea a la teora de plasticidad, Mises propuso la existencia de una funcion potencial plasticaQ(ij), y los incrementos en deformacion plastica se pueden entonces individuar de acuerdo a:

dpij =d Q

ij(9)

Donde d es un factor escalar positivo, denominado multiplicador plastico. Para determinar la forma del multiplicadorplastico, la funcion de fluencia debe ser utilizada. La regla de flujo pl astico de la ecuacion (9), es conocida como la teoradel potencial plastico. El potencial plasticoQ(ij) , representa una superficie en el espacio de los esfuerzos, y el incrementoen deformacion plasticadpij puede ser representado como un vector perpendicular a dicha superficie. Un enfoque comunen la teora de plasticidad, consiste en asumir que la funcion del potencial plastico corresponde a la funcion de fluencia

Q(ij) = F(ij) (10)

De modo que:

dpij =dF

ij(11)

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y el tensor de incremento de la deformacion plastica es perpendicular a la superficie de fluencia. Este concepto se conocecomo regla de flujo asociativa. Por otra parte, si Q = F, se tiene una regla de flujo no asociativa. El asociar Q conF, esta basado en una suposicion, cuya validez puede ser verificada empricamente. Observaciones experimentales hanmostrado que la deformacion plastica en metales, puede ser caracterizada bastante bien, por el uso de reglas de flujoasociativas. De hecho, las reglas de flujo asociativas establecen que el incremento en el tensor de deformacion plasticadebe ser perpendicular a la superficie de fluencia.

3.1 Flujo Plastico Asociativo de Von Mises

Considerese la funcion de fluencia de Von Mises, que en notacion tensorial resulta como:

F(ij , Y) =

3

2SijSij Y = vm Y = 0 (12)

Donde Sij = ij kkij/3, y corresponde a la componente desviadora del tensor de esfuerzos. Empleando la ecuacion(12) en la (11), se tiene que:

dpij =d3

2

Sijvm

(13)

Retomando la definicion de deformacion plastica efectiva en condiciones de flujo isocorico (6), y utilizando en esta larelacion (13), resulta que:

dp =dp =

2

3d

3

2

Sijvm

d3

2

Sijvm

. . . dp =d (14)

De modo que en una regla de flujo asociativa, cuya funcion de fluencia responde al criterio de Von Mises, el multiplicadorplastico es igual al incremento en deformacion plastica efectiva, y por lo tanto:

dpij = dp 3

2

Sijvm

(15)

La ecuacion (15) exhibe una serie de caractersticas, que debe poseer una regla de flujo plastico asociativa que impliquela funcion de fluencia de Von Mises:

La deformacion plastica no introduce cambios de volumen en el sistema material

El tensor de incremento de la deformacion plastica es perpendicular a la superficie de fluencia de Von Mises, y porlo tanto es tambien coaxial con la componente desviadora del tensor de esfuerzos (Plasticidad Coaxial)

El multiplicador plastico es igual al incremento en la deformacion plastica efectiva

4 Postulados de Drucker-Convexidad de las Superficies de Fluencia

Considerese un punto material en equilibrio elastico bajo un estado de esfuerzos ij en un estado A, tal como se muestraen la figura 2(a). Examnese ahora el cambio neto en la energa de deformacion almacenada, cuando alguna accion externaes aplicada en un ciclo de carga. La secuencia de carga produce un nuevo estado de esfuerzos ij en un punto B sobre lasuperficie de fluencia, luego se atraviesa la superficie de fluencia con un cambio infinitesimal de esfuerzos dij, antes dereestablecer el estado de esfuerzos a ij. Se puede entonces relacionar esta secuencia a una respuesta cclica ABCA

, talcomo se evidencia en la figura 2(b).

(a) Ciclo de Esfuerzos (b) Representacion Uniaxial de la En-erga Almacenada

Figure 2: Condicion de estabilidad plastica

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Se puede observar en la figura 2(b), que la deformacion plastica incremental dpij bajo un incremento diferencialdel tensor de esfuerzos dij , es la unica responsable de un cambio permanente en la energa almacenada (MecanismoDisipativo). El trabajo plastico permanente en el ciclo de carga-descarga, se puede individuar de acuerdo a:

dWp =

ij

ij

dpij+

dijdpij

2 >0 (16)

En la ecuacion (16), cuando dij corresponde a casos de recuperacion elastica o carga neutral, el trabajo plastico seranulo. Separando la ecuacion (16) en los dos terminos que la componen, se obtienen dos condiciones requeridas para la

estabilidad plastica: ij

ij

dpij >0 (17)

dijdpij > 0 (18)

Los productos escalares entre los tensores se pueden interpretar como productos entre vectores, en el espacio del tensorde esfuerzos orientado en las direcciones principales, por lo que:

ij

ij

dpij =

ij ij dpij cos()> 0 /2< < /2 (19)dijd

pij =|dij |

dpij cos()> 0 /2< < /2 (20)Las condicion determinada en la ecuacion (20), establece que en un material plasticamente estable, el tensor incrementalde deformacion plastica debe ser normal a la superficie de fluencia, independientemente de la direccion del incrementoen el tensor de esfuerzos. Ademas, la condicion exhibida por la ecuacion (19), implica que la superficie de fluencia debeser siempre convexa. Estas dos importantes conclusiones, se conocen como los Postulados de Drucker para materialesplasticamente estables. Una representacion grafica de los postulados de Drucker, se muestra en las figuras 3(a) y 3(b).

(a) Normalidad de la defor-macion plastica incremental

(b) Requerimiento de convexi-dad de la superficie de fluencia

Figure 3: Condicion de estabilidad plastica

De modo que, una de las principales consecuencias de los postulados de Drucker es que la regla de flujo para un ma-terial plasticamente estable debe ser asociativa, y ademas que la superficie de fluencia empleada como potencial pl asticoes necesariamente convexa.

Juan Carlos Alvarez Hostos (Candidato a Doctor-Becario CDCH)

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