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PROGRAMACION LINEAL ENTERA

Al finalizar el estudio del presente fascculo el estudiante

Cita varios ejemplos de programacin lineal entera aplicados a problemas propios de la administracin

Modela varios problemas propios de la administracin como problemas de programacin lineal entera

Resuelve problemas de programacin lineal entera por el mtodo de ramificacin y acote

1.1- Introduccin Sus pioneros fueron Wagner (1950) y Manne (1959). Tradicionalmente estos modelos se han considerado como subclases de la programacin lineal, sin embargo, las variables de decisin que aparecen en ellos slo toman valores enteros, por lo que realmente deben considerarse como problemas de programacin entera. El nmero de modelos lineales enteros y sus mtodos de solucin son en la actualidad bastante extenso, lo que nos ha llevado a hacer una seleccin considerando aquellos que creemos ms interesantes y que aparecen con mayor frecuencia en la realidad.

La Programacin Lineal Entera (PLE) ha llegado a ser un rea muy especializada de la ciencia administrativa. Se trata de formular y solucionar problemas de programacin lineal con la particularidad de que alguna o todas las variables asuman valores enteros. La magnitud del rendimiento y la asignacin de recursos asociados con cada unidad del problema aconsejan determinar la mejor solucin entera posible. Muchos problemas usan variables enteras para indicar decisiones lgicas.

En los problemas de Programacin Lineal (PL) se permite a las variables

tener valores fraccionarios y conforme al principio de que todo lo que est permitido ocurre, se deben esperar las respuestas fraccionarias. Las variables de decisin en el mundo real a menudo deben ser enteras.

Con sentido prctico, muchas soluciones aceptables para el administrador se

obtiene mediante redondeo. Hay muchos problemas importantes en los que el

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redondeo hacia los requerimientos enteros en los problemas reales simplemente no funciona. El redondeo no siempre conduce a soluciones factibles.

Los cientficos de la administracin han advertido la importancia de los

problemas de PLE desde hace aos, y se ha dedicado una buena cantidad de trabajo y tiempo para investigar la solucin a estos problemas. Dichos esfuerzos han rendido algunos dividendos y se ha producido un marcado progreso en esta rea durante los ltimos 10 aos. Muchos problemas que se resuelven fcilmente como problemas se PL llegan a ser irresolubles para propsitos prcticos cuando se exige que las variables de decisin sean enteras.

1.2 Clasificacin de los Modelos de Programacin Lineal Entera

La PLE es un trmino general para los modelos de programacin matemtica

que presentan condiciones de integralidad (condiciones que estipulan que algunas o todas las variables de decisin deben tener valores enteros). Atendiendo al tipo de variables se clasifican en:

a) Programas lineales enteros puros (PLE): son aquellos en que todas

las variables de decisin nicamente pueden tomar valores enteros. Tambin se distinguen dentro de estos los programas totalmente enteros como aquellos en que tanto las variables como todos los coeficientes que intervienen en el programa han de ser enteros. Por ejemplo:

Min z = 6x1 + 5x2 + 4x3

s.a. 108x1 + 92x2 + 58x3 576 7x1 + 18x2 + 22x3 83 x1, x2, x3 0 y enteros b) Programas lineales enteros mixtos (PLEM): son aquellos en el que

slo se requiere que algunas variables tengan valores enteros mientras que otras pueden asumir cualquier nmero no negativo (es decir, cualquier valor continuo). Por ejemplo:

Min z = 6x1 + 5x2 + 4x3

s.a. 108x1 + 92x2 + 58x3 576 7x1 + 18x2 + 22x3 83 x1, x2, x3 0 ; x1 y x2 enteros c) Programas lineales enteros binarios (PLEB): en estos se restringe el

valor de las variables a 0 y 1. Son de particular inters debido a que se pueden usar las variables 0 1 para representar decisiones dicotmicas (si o no). Diversos problemas de asignacin, ubicacin de plantas, planes de produccin y elaboracin de cartera, etc. son de programacin lineal entera 0 1. Por ejemplo:

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Max z = 40x1 + 70x2 + 80x3 + 100x4 s.a. 10x1 + 30x2 + 10x3 + 20x4 50 5x1 + 20x2 + 20x3 + 10x4 45 20x1 + 10x2 + 27x3 + 40x4 70 10x1 + 10x2 + 20x3 + 20x4 40 10x2 + 10x3 + 20x4 30 xi = 0 o 1 ; i = 1, , 4

Atendiendo al criterio del tipo de programa: a) Programa lineal entero directo: si el programa de decisin involucra

variables enteras. b) Programa lineal entero codificado: cuando se trata de un problema

que contiene adems de aspectos cuantitativos, alguna consideracin de tipo cualitativo, y por ello para tratar este tipo de aspectos se requiere el uso de variables enteras o binarias.

c) Programa lineal entero transformado: cuando el programa no incluye variables enteras, pero para ser tratado analticamente requiere el uso de variables enteras artificiales.

Nota: Un problema de programacin entera no lineal es un problema de optimizacin en el cual la funcin objetivo o el lado izquierdo de algunas de las restricciones, son funciones no lineales y en el cual algunas de las variables, o todas tienen que ser enteros.

1.3 Mtodos de solucin para resolver problemas de Programacin Lineal Entera

Un aspecto notable de los mtodos de solucin de estos problemas, que caen

dentro de la clase denominada de modelos combinatorios, es la complejidad computacional. Un enfoque primitivo de resolucin consiste en evaluar cada posible solucin, es decir, cada una de las combinaciones de valores enteros para las variables del problema. En este caso incluso en un problema pequeo como podra ser con diez variables y diez valores para cada variable tendra un nmero grande (diez mil millones) de posibles soluciones, lo que hace necesario planteamientos de solucin inteligentes. Estos se han dirigido por una parte hacia los mtodos exactos, es decir, aquellos que conducen a una solucin ptima exacta para el problema combinatorio empleando tcnicas que reduzcan la bsqueda de soluciones (caso del mtodo simplex). Por otra parte, se han propuesto un buen nmero de mtodos heursticos, sin una base matemtica formal, pero que, basados esencialmente en la intuicin, conducen a una solucin prxima a la ptima y lo que es ms deseable, en una cantidad razonable de tiempo. Ms concretamente, lo hacen en tiempo polinomial, frente a muchos mtodos exactos para problemas combinatorios que lo hacen en tiempo exponencial, siendo por tanto poco aplicables stos ltimos a problemas de tamao grande.

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Para resolver problemas de Programacin Lineal Entera, se utilizan varios algoritmos como son: Ralph Gomory, Ramificacin y Acotamiento (Branch and Bound), Enumeracin Exhaustiva o Enumeracin Explcita, Enumeracin Implcita, Aditivo de Egon Balas y Algoritmos Heursticos.

En Programacin Lineal Entera Pura algunos de los algoritmos de solucin

que se emplean son: Mtodo de Plano de Corte, Algoritmo Fraccional de Gomory, Algoritmo Entero Puro de Gomory, Mtodo de Ramificacin y Acotamiento y el Algoritmo de Land - Doig, entre otros. Para Programacin Lineal Entera Binaria algunos de los utilizados son: Mtodo de Ramificacin y Acotamiento, Mtodo Aditivo de Egon Balas, Mtodo Lexicogrfico, Mtodo de Lemke y Spielberg, Distancia de Hamming y Retculos y Mtodo de Trubin. En Programacin Lineal Entera Mixta se usan el Algoritmo Entero Mixto de Gomory, el Algoritmo de Land Doig, Mtodo de Benders.

Relajacin PL El PL que se obtiene al omitir todas las restricciones enteras o 0 1 para las

variables, se llama la relajacin PL del PLE. Por ejemplo, la relajacin PL de Max z = 3x1 + 2x2 s.a. x1 + x2 6 x1, x2 0 ; x1, x2 enteroses Max z = 3x1 + 2x2 s.a. x1 + x2 6 x1, x2 0 y la relajacin PL de Max z = x1 - x2 s.a. x1 + 2x2 2 2x1 x2 1 x1, x2 = 0 o 1 es Max z = x1 - x2 s.a. x1 + 2x2 2 2x1 x2 1 x1, x2 0 Se puede considerar cualquier PLE como la relajacin PL ms algunas otras

restricciones (las restricciones que indican cules variables tienen que ser enteras o iguales a 0 o 1). Por lo tanto, la relajacin PL es una versin menos restringida, o ms relajada, del PLE. Esto significa que la regin factible para cualquier PLE tiene que estar incluida en la regin factible de la relajacin PL correspondiente. Para cualquier PLE que es un problema de maximizacin, esto implica que El valor ptimo de z para la relajacin PL el valor ptimo de z para el PLE.

Para esclarecer ms las propiedades de los problemas de programacin

lineal entera consideremos el siguiente PLE sencillo:

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Max z = 21x1 + 11x2 s.a. 7x1 + 4x2 13 x1, x2 0; x1, x2 enteros

x2 3.0 2.0 1.0 0.5

x1 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 Fig. N 1 : Regin factible para el PLE En la Fig. N 1 se observa que la regin factible para este problema est formada por el siguiente conjunto de puntos: S = {(0,0), (0,1), (0,2), (0,3), (1,0), (1,1)}. A diferencia de la regin factible para cualquier PL, la regin factible para este problema es la regin del tringulo rectngulo. Despus de calcular el valor de z para cada uno de los seis puntos de la regin factible, se encuentra que la solucin ptima para este problema es z = 33, para x1 = 0, x2 = 3.

Si la regin factible para la relajacin PL de un PLE pura es acotada, como en el problema anterior, la regin factible del PLE estar formada por un nmero finito de puntos. En teora, se podra resolver tal PLE enumerando los valores de z para cada punto factible, y determinar el punto factible que tiene el mayor valor de z.

1.4 Aplicaciones de Problemas de Programacin Entera

Las principales aplicaciones tpicas de problemas de PLE se dan en las reas de planeacin de personal, presupuestacin de capital, programacin de fuerza de trabajo y ubicacin de almacenes.

1.5 Programacin Lineal Entera: El Enfoque Grfico

Un enfoque grfico promueve la comprensin de las complejidades asociadas con la resolucin de problemas de PLE.

Ejemplo 1: Dado el siguiente problema de PL Max. z = 6x1 + 7x2 s.a. x1 + 2x2 8 (1) x1 x2 4 (2) x1, x2 0 La solucin ptima tiene lugar en el vrtice C determinado por la interseccin

de las ecuaciones x1 + 2x2 = 8 y x1 x2 = 4

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x2 5.0 Solucin ptima para el modelo de PL 4.0 (1) FO x1 = 16/3 x2 = 4/3 3.0 (2) z ptimo = 124/3 = 41.33 2.0 C 1.0

x1 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 Fig. N 2 : Regin factible para el PL

La pendiente de la FO es m = - 6/7 Supongamos que estamos interesados en la solucin ptima entera del PLE.

En este caso el conjunto de soluciones factibles no es el rea de la regin poligonal cerrada, sino slo puntos, tal como se muestra en la Fig. N 3.

Para determinar la solucin ptima entera del PLE necesitamos resolver el modelo de programacin lineal entera:

Max. z = 6x1 + 7x2 s.a. x1 + 2x2 8 (1) x1 x2 4 (2) x1, x2 0; x1, x2 enteros x2

5.0 Solucin ptima entera para el modelo de PLE 4.0 (1) x1 = 4 x2 = 2 3.0 FO (2) z ptimo = 38 2.0 1.0

x1 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 Fig. N 3 : Soluciones enteras factibles para el PLE

En la Fig. N 3 hay 20 valores de soluciones enteras factibles para el PLE, este mismo conjunto de soluciones factibles enteras son listadas en la Tabla N 1, adems de su contribucin o utilidad. Por simple inspeccin en la segunda columna de la Tabla se observa que la solucin ptima es: x1 = 4, x2 = 2 con utilidad de z = 38.

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Tabla N 1: Soluciones enteras del PLE

SOLUCION

ENTERA FACTIBLE ENTERA

x1 x2

Utilidad = z = 6x1 + 7x2

0 0 0 1 0 2 0 3 0 4 1 0 1 1 1 2 1 3 2 0 2 1 2 2 2 3 3 0 3 1 3 2 4 0 4 1 4 2 5 1

0 7 14 21 28 6 13 20 27 12 19 26 33 18 25 32 24 31

38 solucin ptima PLE 37 solucin obtenida del

redondeo en el PL

Comparando la solucin ptima del PL y del PLE se obtiene la siguiente

tabla:

Modelo Solucin ptima Utilidad mxima PL

PLE x1 = 16/3, x2 = 4/3 x1 = 4, x2 = 2

41.33 38.00

Puede observarse que la restriccin entera hace decrecer la utilidad de 41.33

a 38. Ejemplo 2: Resolver grficamente el siguiente problema de PLE mediante la

solucin del PL (llamada relajacin PL) del problema entero, y redondear la solucin.

Max. z = x2 s.a. x1 + x2 x1 + x2 7/2 x1, x2 0; x1, x2 enteros Resolviendo el PL con variables que no necesariamente fueran enteras,

hallaramos el ptimo grficamente en el punto (x1=3/2, x2=2).

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Redondeando obtendramos o bien el punto (x1=1, x2=2) o el punto (x1= 2, x2=2). Si se redondea, las soluciones que se obtienen no son factibles

Ejemplo 3: Resolver grficamente el siguiente PLE: Max. z = x1 + 5x2 s.a. x1 + 10x2 20 x1 2 x1, x2 0; x1, x2 enteros El ptimo de la relajacin PL es el punto (2, 9/5) con z ptimo de 11, que

redondeando en la direccin factible sera (2, 2) con z = 12. Sin embargo esta solucin no es la ptima del problema de programacin

entera, porque (2, 2) no es un punto factible. La solucin ptima entera es x1 = 0, x2 = 2 y z = 10.

1. Para resolver un problema de programacin entera con el enfoque grfico,

se recomienda seguir los siguientes pasos:

i) Encuntrese el conjunto factible de la relajacin PL del problema de PLE.

ii) Identifquese los puntos enteros dentro del conjunto determinado en el paso (i).

iii) Encuntrese, entre los puntos determinados en el paso (ii), el que optimiza la funcin objetivo.

2. Cualquier restriccin que se agregue a un problema de programacin

matemtica no puede mejorar, y si empeorar, el valor ptimo de la funcin objetivo. Por lo tanto, el valor ptimo disminuye con la adicin de las restricciones de enteros. En consecuencia:

i) En un problema de maximizacin, el valor ptimo de la funcin

objetivo (VO) del problema relajado constituye siempre una cota superior para el VO del PLE o PLEM original. Si se agregan restricciones de enteros, el VO del PL, o bien empeorar, o bien quedar igual. En un problema de maximizacin, empeorar el VO significa disminuirlo.

ii) En un problema de minimizacin, el VO del problema relajado siempre proporciona una cota inferior para el VO del PLE o PLEM original. El agregado de restricciones enteras o bien empeora o bien

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deja igual el VO del PL. En un problema de minimizacin, empeorar el VO significa aumentarlo.

3. Una solucin redondeada no es necesariamente ptima. 4. Una solucin redondeada no necesariamente est cerca de la solucin ptima

del PLE. 5. Una forma intuitiva de abordar un PLE consiste en resolver la relajacin PL

del problema original y redondear despus la solucin al punto entero vecino. Este procedimiento puede producir ciertos problemas, tales como:

i) Puede ser que ninguno de los puntos enteros prximos sea factible. ii) Aun cuando uno o ms de los puntos enteros prximos sean factibles,

No necesariamente sern ptimos para el PLE

No necesariamente estarn cerca de la solucin ptima del PLE. Ejercicios propuestos

1. Resolver grficamente el siguiente PLE:

Max. z = 18x1 + 6 x2 s.a. x1 + x2 5 42.8x1 + 100x2 800 20x1 + 6x2 142 30x1 + 10x2 135 x1 3x2 0 x1, x2 0 y enteros

Rpta: El PLE tiene 13 soluciones factibles, stas son los puntos : (3,6), (4,6), (3,5), (4,5), (5,5), (4,4), (5,4), (4,3), (5,3), (6,3) (4,2), (5,2) y (6,2). La solucin ptima del PLE es el punto x1 = 6, x2 = 3; el valor ptimo de la funcin objetivo es 126. 2. El Programa MI VIVIENDA ha obtenido una subvencin del Estado de $ 5 millones de dlares para construir edificios de departamentos para personas de ingresos bajos y medianos en una extensin de 180,000 metros cuadrados de terreno. Cada tipo de edificio requiere 20,000 metros cuadrados. El costo estimado de cada edificio de bajos ingresos es de $ 300,000, y el costo estimado de cada edificio de ingresos medios es de $ 600,000. Cada edificio de bajos ingresos proporciona 15 unidades, y cada edificio de medianos ingresos proporciona 12 unidades. Para mantener el vecindario bien balanceado, el gobierno requiere que la proporcin de los departamentos de ingresos medios con los ingresos bajos sea de

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al menos 0.80. El director del Programa Mi Vivienda desea determinar el mayor nmero de departamentos individuales que pueden construirse en el terreno disponible con el presupuesto dado. Solucin: Variables de decisin: x1 = el nmero de edificios de departamentos de ingresos bajos a construirse x2 = el nmero de edificios de departamentos de ingresos medios a construirse El PLE es el siguiente: Max. z = 15x1 + 12 x2 s.a. 3x1 + 6x2 50 (presupuesto) 20x1 + 20x2 180 (terreno) -x1 + x2 0 (proporcin: 12x2 / 15x1 0.80) x1, x2 0 y enteros Rpta: La solucin entera ptima es x1 = 4 y x2 = 5, con una valor de la funcin objetivo de 120. Por tanto, el director debe contratar la construccin de cuatro edificios de ingresos bajos y cinco edificios de ingresos medios, ofreciendo un total de 120 departamentos individuales.