Pn de Legendre
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Física Moderna II
POLINOMIOS DE LEGENDRE
Formación de la ecuación diferencial de los polinomios de Legendre a partir de la fórmula de Olindo Rodrígues
Los Polinomios de Legendre son una solución de un caso particular de la Ecuación de Legendre:
Partiendo de la fórmula de Olindo Rodrígues:
Pn(x )=1
2nn!D(n)( x2−1)n y llamando w=(x2−1)n→Pn ( x )= 1
2nn!D(n)w
derivando w en forma logarítmica
w'
w= n2 x
(x2−1)n
(x2−1)nw'−n2 xw=0
derivando n+1 veces
(x¿¿2−1)w(n+2)+(n+1 )2 x w(n+1)+(n+1 )nw(n)−2nx w(n+1)−2 (n+1 )nw(n)=0¿
(x¿¿2−1)w(n+2)+2 x w(n+1)−(n+1 )n w(n )=0¿
(x¿¿2−1) [w(n)] ' '+2x [w(n)] '−(n+1 )n [w(n) ]=0¿
Resulta entonces Pn ( x ) una integral particular de la ecuación diferencial de Legendre
(1−x¿¿2) y' '−2 x y '+n (n+1 ) y=0FormaCanónica¿
¿
Los Polinomios de Legendre como sistema Ortogonal
Los Polinomios de Legendre conforman un “sistema ortogonal” sobre el intervalo real [−1 ,1 ] con respecto al núcleo p(x)=1.
Def: Pn→ {Pn ( x ) }∈SistemaOrtogonal / [−1 ,1 ] ; p ( x )=1
Pm ( x )Pn ( x )=∫−1
1
Pm Pn=0 ,m≠n
Carlos Eduardo Espinoza, Alvaro Noé Mejía
Física Moderna II
Se plantea la ecuación diferencial de Legendre para los pares (m, Pm) y (n, Pn)
[(1−x2)P'm ] '+(m+1 )mPm=0|¿Pn
[(1−x2)P'n ] '+(n+1 )n Pn=0|¿Pm
multiplicando las igualdades por Pn y Pm respectivamente se pueden restar miembro a miembro:
[(1−x2)P'm ] ' Pn−[(1−x2)P'
n ] ' Pm+[ (m+1 )m−(n+1)n ]PmPn=0
Los dos primeros términos se pueden expresar como:
[ (1−x2) P'm ] ' Pn−[ (1−x2 ) P'
n ] ' Pm=¿
¿ (1−x2 ) P' 'm Pn+(1−x2 ) ' P'
m Pn−(1−x2 ) P' 'nPm−(1−x2)' P '
n Pm
¿ (1−x2 ) [P' 'mPn−P ' '
nPm ]+(1−x2 ) ' [P'm Pn−P'
nPm ]definiendo el terminante W
W=( Pn Pm
P'n P '
m) , comm≠n , por lotanto :
W '=( Pn Pm
P' ' n P' 'm) , se puedeescribir entonces :
[ (1−x2) P'm ] ' Pn−[ (1−x2 ) P'
n ] ' Pm=(1−x2 )W '+(1−x2 ) 'W=[ (1−x2)W ] '
volviendo a la expresión original y reemplazando el último resultado queda:
[ (1−x2)W ] '+[ (m+1 )m−(n+1 )n ]PmPn=0
integrando en [−1 ,1 ] : [ (m+1 )m−(n+1 )n ]∫−1
1
PmPn=0.
El primer corchete se anula para m=n y m=−(n+1), por lo tanto para valores naturales de m yn
con m≠n, ∫−1
1
Pm Pn=0, lo cual demuestra la ortogonalidad sobre el intervalo real [−1 ,1 ] y con
respecto al núcleo p ( x )=1.
Deducción de los Polinomios de Legendre
Carlos Eduardo Espinoza, Alvaro Noé Mejía
Física Moderna II
Partiendo de: (x2−1)n=∑k=0
n
¿¿
Derivando n veces
D(n)(x2−1)n=∑k=0
n
¿¿
¿∑k=0
n
¿¿
Que es la primera expresión de los Polinomios de Legendre salvo constante. Por otro lado recordando la convención Pn (1 )=1
D(n)(x2−1)n=D(n)¿¿∑k=0
n
(nk )D(k)¿
D(n)(x2−1)n |x=1=∑k=0
n
(nk )D(k)¿
¿(nn)D(n)¿
¿n !2n
De aquí se deduce la fórmula de Olindo Rodrígues: Pn(x )=1
2nn!D(n)( x2−1)n
Como verificación se deduce la expresión de los primeros Polinomios de Legendre a partir de esta fórmula.
P0 ( x )= 1
200 !D(0 ) (x2−1 )0=1
P1 (x )= 1
211!D(1 ) (x2−1 )1=x
P2 (x )= 1
222!D (2) (x2−1 )2=1
2(3 x2−1)
P3 ( x )= 1
233 !D (3) (x2−1 )3=1
2(5x3−3x )
Carlos Eduardo Espinoza, Alvaro Noé Mejía
Física Moderna II
TABLA DE LOS PRIMEROS POLINOMIOS DE LEGENDRE
Carlos Eduardo Espinoza, Alvaro Noé Mejía
Física Moderna II
Carlos Eduardo Espinoza, Alvaro Noé Mejía