Introducción.

El presente informe tiene como objetivo dar a conocer, la vida y obra de una de los matemáticos mas destacados del siglo XIX, Jules Henri Poincaré, quien es considerado por muchos, como el “Ultimo matemático universalista”, por haber desarrollado aportes en muchas aéreas de la matemática y la física. Destacando con sus aportes en ecuaciones diferenciales, teoría general de funciones, cuestiones de álgebra, aritmética, teoría de grupos, topología; mecánica celeste, geodesia, física matemática; filosofía de las ciencias, enseñanza y divulgación, ente otros. Es por ello que podemos decir, que Poincaré no fue sólo un gran matemático sino también un gran físico matemático y filósofo de la ciencia.

Poincaré fue un visionario en su época, como muy pocos, fue capaz de moverse a sus anchas a través de cualquier rincón y grieta de sus especialidad, sin miedo alguno, mostrando siempre su grandeza. Estableciendo de esta manera, los pilares fundamentales de la matemática moderna, y sembrando las bases para descubrir y crear nuevos conocimientos.

Biografía de Jules Henri Poincaré.

Eugénie Launois, la mujer del médico y profesor universitario Leon Poincaré, asumió personalmente la educación de su pequeño hijo Henri. El niño era corto de vista, padeció la difteria, y tuvo problemas de coordinación motora prácticamente desde su nacimiento el 29 de abril de 1854. Cuando en 1862, a los ocho años, ingresa en el Liceo de su Nancy natal, en la Alsacia francesa, exhibe una notable facilidad para la composición literaria. Pronto sus profesores descubren en el chico una inteligencia excepcional, que destaca en todas las materias -salvo música y educación física-, pero muy especialmente en Matemáticas.

El joven Henri cursa estudios universitarios en la Ecole Polytechnique, en París, completándolos en la Escuela de Minas, por entonces la de más prestigio en Francia. Obtiene posteriormente un

puesto de inspector de minas en la administración francesa, y simultáneamente comienza sus estudios de doctorado como alumno del célebre matemático Charles Hermite, doctorándose en 1879 en la Universidad de la Sorbona. Tras unos años como profesor en la Universidad de Caen obtiene la cátedra de la Sorbona en 1886, de la que ya no se movería el resto de su vida. En las pruebas de la cátedra sus examinadores no pueden por menos que hacer notar que las clases de Poincaré son desordenadas y confusas, pero su inmenso talento investigador le hace finalmente ganar el concurso. El cerebro de Poincaré era un hervidero de ideas y su carácter le llevaba casi compulsivamente a interesarse por cuestiones muy diversas de Matemáticas o Física. Abordaba los problemas, desechaba los detalles y saltaba de una idea a otra, asumiendo que las conclusiones se conjugarían de alguna forma casi mágica y le permitirían resolverlos. La consecuencia de esto es una abundantísima producción científica, más de quinientas publicaciones a lo largo de su vida, en ocasiones incompletas, o con errores de diverso calibre: como diría el gran matemático alemán Karl Weierstrass (1815- 1897), es imposible que Poincaré haga un descubrimiento cada dos semanas.

Pese a todo, es considerado el último matemático que dominó casi todas las áreas de ésta ciencia, al estilo de los grandes Euler y Gauss. Su fama internacional la alcanzó cuando presentó un trabajo al premio establecido por el Rey Oscar II de Suecia en 1887, relativo a la solución exacta del problema de los movimientos de los planetas. Con las técnicas matemáticas habituales sólo es

posible resolver los movimientos de dos cuerpos simultáneamente ya que, en cuanto se introduce un tercero, la solución de las ecuaciones resultaba inabordable. El trabajo de Poincaré fue finalmente premiado aunque no obtuviera la solución completa. Incidentalmente, justo cuando se iba a publicar, se advirtió un error en la solución que requirió realizar múltiples modificaciones. Hoy se considera que aquél "error" enmarca el nacimiento de la Teoría del Caos.

Es importante destacar que Poincaré realizó importantes contribuciones a la teoría de funciones, la teoría de números y en geometría algebraica. Su libro Analisis situs, de 1895, es considerado el primer tratado de topología algebraica, en el que propuso, además, la llamada "conjetura de Poincaré", uno de los problemas que ha ocupado a los matemáticos durante un siglo. Dentro del enorme número de sus intereses intelectuales sobresale el papel de Poincaré como precursor (casi descubridor) de la Relatividad. En efecto, en 1898, siete años antes que Einstein enunciara la Teoría de Relatividad Especial, Poincaré planteó la necesidad de reformular las leyes de la Física de un modo consistente con que el concepto de simultaneidad dependa del reposo o movimiento del observador. En 1900 publicó un artículo titulado ¿Existe realmente el Éter? Y relacionado con éste, cuatro años más tarde, fue él quien establece que, si se quiere que las leyes de la Física no cambien al describirse por dos observadores en movimiento relativo, lo que se llama el "principio de relatividad", hay que abandonar, nada menos, la idea de un tiempo absoluto.

Hoy parece claro que la Relatividad Especial es una creación original de Einstein, pero no hay duda de que Poincaré estuvo rondando muy cerca de dar con la solución de un problema que removió las bases de la Física. Curiosamente, Einstein no citó más que una vez en su vida a Poincaré y fue bastante después, pero sí al extraordinario físico holandés Hendrik Lorentz, quien a su vez hacía abundantes referencias a Poincaré. En correspondencia, Poincaré no citó jamás a Einstein, cuyos trabajos ignoró incluso cuando dictó sus célebres conferencias sobre Relatividad en Gotinga, Alemania, en 1909, con la presencia de Max Planck, por entonces ya el gran valedor de Einstein. Esta ignorancia mutua, con toda probabilidad deliberada, es un extraño suceso de la historia de la ciencia. Más aún si se tiene en cuenta que ninguno de los dos se caracterizó por ser cicatero en el reconocimiento de la valía intelectual de sus colegas: lamentable desencuentro entre quienes eran los más grandes de su tiempo.

Henri Poincaré fue además un notable divulgador de la ciencia. En algunos de sus libros reveló su firme convicción de que el cerebro, el subconsciente, sigue trabajando -diríamos hoy que en segundo plano- cuando nuestra atención se fija en un tema distinto. Su convencimiento de esto era tan fuerte que su método de trabajo estaba exactamente establecido: investigaba de diez a doce de la mañana y de cinco a siete de la tarde, y nunca fuera de ese horario. Jamás trasnochaba, convencido de que durante el sueño su cerebro resolvería los problemas que, despierto, no conseguía solucionar. Sus propias experiencias a este respecto así como el papel de la intuición y la analogía, antes que la pura lógica, nos las ha legado en interesantes relatos destinados al gran público. En 1912 las

complicaciones posteriores a una operación le provocan una embolia, muriendo en Paris el 17 de julio. (Garcia, J. 2005).

Legado e Inspiradores de Poincaré.

Aportes a las matematicas.

Las contribuciones de Poincaré a la matemática fueron tan numerosas que es difícil resumirlas, prácticamente se movió por todos los temas de la matemática de la época: ecuaciones diferenciales, teoría de números, análisis complejo, mecánica, astronomía, física matemática. No obstante, hay algunas que no podemos olvidar, como sus trabajos sobre las funciones automorfas. Casos particulares de funciones automorfas habían sido estudiados antes de Poincaré (por ejemplo, funciones periódicas) pero las generalizaciones que este introdujo revelaron la existencia de funciones hasta ahora desconocidas,  como las zeta-fuchsianas, que además podían ser utilizadas, como demostró él mismo, para resolver ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes algebraicos. (Poincaré comenzó a trabajar en este tema a raíz de la convocatoria, en 1880, de un premio por parte de la Académie des Sciences, que tenía como tema el de "Perfeccionar en cualquier punto importante la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias de una sola variable independiente").

Uno de los matemáticos que habían trabajado en el campo de las funciones automorfas antes que Poincaré era Félix Klein (1849-1925), que había tenido una carrera científica deslumbrante. Sin embargo Klein se vio inmerso en una dura competencia con Poincaré‚ acerca de las funciones automorfas, durante los años 1881-1882, hasta tal punto que Klein sufrió un gran deterioro tanto de salud como de sus habilidades matemáticas de las cuales aseguraba no había recuperado nunca su anterior nivel de productividad.

En 1887, el rey Óscar II de Suecia ofreció un premio de 2500 coronas por una respuesta a una cuestión fundamental en astronomía. ¿Es estable el Sistema Solar?. Esta cuestión fue decisiva en el desarrollo de la física matemática. Naturalmente Poincaré intentó resolver el problema. No lo consiguió, la respuesta se encontró mucho después, y la solución no fue del tipo anticipado originalmente. Pero hizo tal mella en él que, de todos modos, se le concedió el premio; y para hacer esto inventó la topología. Poincaré dedicó varios años de su vida a la topología - rama de la matemática que estudia las relaciones que subsisten en una figura cuando se la deforma de una manera arbitraria, sin romperla ni duplicarla -  aunque matemáticos como Leibniz, Euler, Cantor, Möebius ya se habían ocupado de algunas cuestiones topológicas, lo cierto, es que el punto de partida "oficial" de esta rama de la matemática coincide con la publicación de su artículo, en 1895, Analysis situs (Análisis de situación). Si se ojea un libro de texto de topología, en la introducción se habla de buñuelos y de tiras de gomas, pero cuando se llega a la materia dura, la terminología es menos simpática. Representación continua, espacio compacto, variedades, triangulación, grupo homólogo y axioma de corte.

Todo este imponente edificio, es la creación más importante de la matemática del siglo XX, es en definitiva el fruto del ingenio de Henri Poincaré.

    La topología, a primera vista, parece extremadamente abstracta. Pero Poincaré tuvo el aliento de la experiencia matemática, tanto pura como aplicada, para ver la potencialidad de una teoría rigurosa del continuo. Algunas veces hace falta un universalista para darse cuenta de lo que es realmente importante: ninguna otra persona dispondría de todas las piezas. En cualquier dirección en que mirara, a Poincaré se le aparecían siempre cuestiones que sólo la topología podía resolver.

Otros trabajos matemáticos de Poincaré‚ tuvieron como tema entre otros:

Investigaciones algebraicas sobre las funciones homogéneas y la regla de los signos de Descartes.

La demostración del teorema de Riemann sobre las funciones uniformes de n variables que admiten 2n períodos (realizada en colaboración de Émile Picard).

Estudio sobre los determinantes de orden infinito. Integrales irregulares de ecuaciones lineales. Funciones hiperfuchsianas Integrales múltiples.

Aportes a la fisica.

Poincaré‚ obtuvo las cátedras de Física matemática y Astronomía matemática de la universidad de la Sorbona. Nuestro matemático tenía por costumbre tratar un tema distinto en cada uno de sus cursos y afortunadamente el contenido de dichos cursos se publicaba redactado por alguno de sus colaboradores, aunque sí corregía personalmente las pruebas. Es así como contamos con obras como:

Potentiel et mécanique des fluides (durante el curso académico 1885-1886). Théorie mathématique de la lumière,I,1887-1888.* Thermodynamique,1888-1889. Electricité et optique:

I. Les théories de Maxwell et la théorie électromagnétique de la lumière.

II. Les théories de Helmholtz et les expériences de Hertz, 1888-1889. Capillarité, 1888-1889. Leçons sur lan théorie de l´ elasticité,1890-1891. Théorie mathématique de la lumière,II: Nouvelles études sur la

diffraction.Théorie de la dispersion de Helmholtz,1891-1892. Les oscillations électriques,1892-1893. Théorie analytique de la propagation de la chaleur, 1893-1894. Calcul des probabilités,1893-1894. Théorie du potentiel newtonien, 1894-1895.

Électricité et optique. La lumière et les théories électrodynamiques, 1899-1900

(* En cuyo prefacio I nos dice: "Las teorías matemáticas no tienen por objeto revelarnos la verdadera naturaleza de las cosas; esa sería una pretensión poco razanable. Su único objetivo es coordinar las leyes físicas que la experiencia nos hace conocer, pero que sin la ayuda de las matemáticas, no podríamos ni tan siquiera enunciar" )

    Lo que Poincaré exponía en estos cursos era lo que se sabía de dichos temas hasta ese momento, pero esto no significa que no hiciera aportaciones nuevas, sirva de ejemplo su memoria de 1894 acerca de las ecuaciones de la física matemática.

    El interés que mostró Poincaré por la física se tradujo en una serie de trabajos sobre algunos aspectos de la teoría electromagnética y la dinámica de los electrones, un problema fundamental para la física teórica de finales del siglo XIX, que absorbía los esfuerzos  de algunos de los mejores físicos del momento, como es el caso de Hendrik A. Lorentz (1853-1928).

    Como sabemos, los problemas que surgieron al intentar armonizar la mecánica newtoniana con el electromagnetismo de Maxwell fueron resueltos en 1905 por Albert Einstein (1879-1955), con la teoría de la relatividad especial .Poincaré estuvo muy cerca de ser "el Einstein de la relatividad especial". De hecho, publicó dos artículos titulados: "Sobre la dinámica del electrón", cuyo contenido no difiere mucho, desde el punto de vista formal, del célebre "Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento" de Eintein y eso que ambos fueron escritos antes de la publicación de éste. En 1899 aunque no se resolvió a abandonar la hipótesis del éter luminoso creía firmemente en el principio de la relatividad, así como en la imposibilidad fundamental de poder detectar el movimiento absoluto a partir de observaciones ópticas. Desarrolló sus ideas en un impresionante trabajo publicado en 1904 y titulado "El estado presente y futuro de la física matemática". Aproximadamente la mitad de este trabajo esta consagrado a temas relativistas en esencia la contracción de Lorentz, el aumento de la masa con la velocidad, el papel de c como velocidad límite de la dinámica- Poincaré manifestó su creencia de que la teoría de Lorentz no era la última palabra, pero sus observaciones revelan que él mismo no poseía ninguna teoría superior.

    Poincaré empezó a interesarse por la teoría cuántica a raíz de su asistencia al primer Congreso Solvay celebrado en Bruselas del 30 de octubre al 3 de noviembre de 1911 para debatir el tema "La teoría de la radiación y los cuantos". Y antes de morir le dio tiempo a preparar dos artículos sobre este tema.

     En astronomía publicó media docena de volúmenes importantes: Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Leçons de mécanique céleste (3 vols., 1905-1910). Así mismo, se interesó por problemas como la figura de la Tierra, equilibrio y movimiento de mareas, movimiento de la Luna y mediciones geodésicas

Aportes como Gran Pensador.   

Poincaré no fue sólo un gran científico, sino también un astuto y profundo pensador, prueba de ello nos deja en libros como:  La ciencia y la hipótesis (1902), El valor de la ciencia (1905), Ciencia y método (1908) y Últimos pensamientos (1913),  recopilaciones de artículos que había publicado anteriormente. En estos libros, Poincaré nos familiariza con la crisis de fundamentos que afectó a la matemática a finales del siglo XIX y cuyas consecuencias ni siquiera él pudo adivinar. Comprendemos conceptos y ramas de la matemática, penetrando, casi sin enterarnos y a través de la geometría, en el mundo de la filosofía de la ciencia, y en particular en la postura convencionalista. Captamos la gravedad de los problemas que plantean los descubrimientos físicos del último tercio del siglo pasado y que llevarían a la formulación de la teoría de la relatividad especial y a una nueva manera de entender la naturaleza del espacio y del tiempo, hallazgos de los que no estuvo muy alejado Poincaré.

    En Ciencia y método se plasman las ideas que sobre la naturaleza de la matemática y el razonamiento matemático tenía Poincaré. Teniendo en cuenta la crisis de fundamentos que afectó a la matemática a fines del siglo XIX, en la que pugnaban "logicistas", con Hilbert a la cabeza, y "formalistas", cuyo líder era Bertrand Russell, el interés de tales ideas no se limita a de quién procedían. Además, se incluyen comentarios sobre la ciencia astronómica y las ideas generales que sobre la "nueva mecánica" tenía Poincaré. Su genio e intuición eran tales que es posible encontrar grandes tesoros conceptuales en rincones aparentemente menores.

Así tenemos que adivinó la posibilidad de la existencia del caos, una de las ramas de la matemática y física contemporánea, así como sus características principales. En este libro nos dice: "Una causa muy pequeña que se nos escapa, determina un efecto considerable que no podemos ignorar; decimos entonces que este efecto es debido al azar. Si conociésemos las leyes de la Naturaleza y la situación del Universo en el instante inicial, podríamos predecir con exactitud la situación de este universo en un instante ulterior. Pero aun cuando las leyes naturales no tuvieran más secretos para nosotros, no podríamos conocer la situación inicial más que aproximadamente. Si esto nos permite prever la situación ulterior con la misma aproximación, que es todo lo que necesitamos, decimos entonces que el fenómeno ha sido previsto, que está  regido por leyes. Pero no acaece siempre así; puede suceder que pequeñas diferencias en las condiciones iníciales las engendren muy grandes en los fenómenos finales; un pequeño error sobre los primeros produciría un error enorme sobre los últimos. La predicción entonces se vuelve imposible y nos encontramos con un fenómeno fortuito".

    En la ciencia y la hipótesis Poincaré‚ reflexiona sobre el carácter convencional de la geometría y escribía textualmente: "Los axiomas geométricos no son , pues, ni juicios sintéticos a priori ni hechos experimentales; son convenciones" y "La

experiencia nos guía en la elección de geometría que no nos impone y no nos hace reconocer cuál es la geometría más verdadera, sino cuál es la más cómoda"

La geometria de Poincaré.

El gran aporte de Poincaré fue hacer un análisis de la importancia del conocimiento geométrico, pues anteriormente se creía que la geometría euclidiana era la única y verdadera geometría que describía la naturaleza del mundo; no obstante, la pregunta por la veracidad o falsedad de una geometría no tiene sentido, arguye Poincaré. Una geometría no puede ser más verdadera que otra; solamente puede ser más cómoda.

Con el surgimiento de las nuevas geometrías, la euclidea como la verdadera geometría de la estructura del espacio fue puesta en tela de juicio. La geometría, entonces, paso al plano de lo comprobable por medio de la experimentación y la observación como cualquier otra ciencia; ésta no podía ser la excepción luego de la revolución científica del siglo XVII donde las verdades generales y teóricas acerca de la naturaleza de las cosas se basan en datos obtenidos por la experiencia. Parece ser por esto que el conocimiento de los cuerpos y sus propiedades, así como las leyes físicas de los mismos, es indispensable para la geometría “Por tanto, si no hubieran cuerpos sólidos en la naturaleza, no habría geometría”; en relación a esta cita se podría objetar que justamente la aparición de otras geometrías se dio por el estudio de cuerpos no sólidos, empero cuerpos variables y deformaciones, o cambios de posición y de estado solo son distinguibles basándonos en los cuerpos sólidos ya conocidos. En consecuencia, según el tipo de objetos distinguidos, aplicaremos uno u otro tipo de geometría para su estudio.

La geometría dejo de ser una ciencia verdadera acerca de la naturaleza del mundo solo por inferencia lógica de verdades evidentes en sí mismas y cognoscibles por la razón pura, para ser, como la química y la física, una ciencia que solo la experiencia puede guiar; sin embargo, a través de la experiencia del mundo físico no se determina una sola geometría; tenemos que, teorías distintas pueden ser empíricamente equivalentes, es decir, que sistemas distintos dan cuenta de la misma experiencia. Ejemplo de ello son las geometrías euclidiana, elíptica o hiperbólica, sistemas diferentes los cuales pueden dar cuenta de un mismo fenómeno “Es, pues, imposible imaginar una experiencia concreta que pueda ser interpretada en el sistema euclideano y que no lo pueda ser en el sistema lobachewskiano”. En razón de que la experiencia deja indeterminada la geometría, para Poincaré no queda otro camino, ante la necesidad de la escogencia de una, que elegirla por convención, por comodidad. Lo planteado anteriormente lo podemos sintetizar del siguiente modo. Los juicios de la geometría no pueden ser sintéticos a priori como lo pensaba Kant, porque “entonces se nos impondrían con tal fuerza que no podríamos concebir la proposición contraria, ni construir sobre ella un edificio teórico. No habría geometría no euclideana”. Tampoco, solamente sintéticos, pues no representan la realidad tal cual; nuestros sólidos reales varían mientras que los sólidos de la

geometría deben ser invariables, de lo contrario ésta no sería una ciencia exacta, sería una falsa ciencia. Ni exclusivamente analíticos porque requieren de la experiencia aunque no haya una relación directa con ella. Por esto los juicios de la geometría son convenciones.

Para mostrar que el espacio geométrico no es un marco impuesto a nuestras representaciones, sin opción de reconocer otras geometrías distintas a la euclideana, y que no existe una geometría verdadera frente a las demás, Poincaré introduce el experimento del disco con condiciones de un mundo esférico, donde la temperatura no es uniforme, es máxima en el centro y alcanza los 0 K en el límite; todos los cuerpos tienen las mismas propiedades de dilatación, así se contraerán o dilatarán según la temperatura; y finalmente cuando un objeto se trasporte de un lugar a otro se pondrá en equilibrio calórico.

Este mundo no euclideano pondrá en evidencia, entre otras cosas, que el cambio de leyes físicas implica una modificación en la geometría, ya que la geometría y estas leyes forman un mismo sistema; contrario a lo que decía Leibniz para quien eran cosas independientes. Las leyes según las cuales se comportan los cuerpos bajo estas condiciones, exigirán pues una geometría diferente, acorde con las propiedades físicas de este mundo. Mientras que los seres de este mundo lo verán infinito, nosotros lo veremos limitado, si para nosotros la geometría estudia las leyes de los cuerpos sólidos invariables, para ellos la geometría estudiara movimientos de sólidos deformados por la temperatura ¿Qué geometría se concibe en este mundo? Parece ser la de Lobachewski.

No obstante, Poincaré asegura que el mundo tal como nos llega a la percepción, es más euclidiano que de otro modo; aunque los sólidos del mundo presenten variaciones, éstas son tan mínimas e irregulares que son despreciables, por lo cual nos es más natural pensar en cuerpos sólidos invariables. Otro de los aportes de este experimento es manifestar la importancia de la experiencia para la construcción de la geometría, pese a que esta no es literalmente una ciencia experimental, caería en error si desestimara por completo los aportes de la experimentación y la observación del mundo circundante.

La Geometría Hiperbólica.

Los Elementos de Euclides constituyen una de las obras científicas mas bellas, antiguas y extensas que han logrado llegar hasta nuestros días. Esta obra ha influido en muchas ramas de la ciencia, pero principalmente en el área de la matemática. Su obra es una recopilación y sobre todo una sistematización de los conocimientos geométricos de su tiempo.

Los cinco postulados que enuncia Euclides en el primer libro de sus Elementos son los siguientes:

1. Desde cualquier punto a cualquier otro punto se puede trazar un segmento.2. Y cada segmento se puede prolongar por derecho.3. Y con cada centro y cualquier distancia se puede trazar un círculo.4. Los ángulos rectos son iguales.5. Y si una recta, al encontrar otras dos, forma con estas ángulos internos de una misma parte menores que dos ángulos rectos, las dos rectas prolongadas al infinito se encuentran de aquella parte donde la suma de los ángulos es menor que dos rectos. Que fue reemplazada por el enunciado “Por un punto exterior a una recta se puede trazar una y sólo una paralela a dicha recta.”

Cada uno de estos postulados es una idea que no puede derivarse a partir de los otros postulados.

Muchos geómetras trataron en vano de demostrar que el quinto postulado podía deducirse de los otros cuatro. Finalmente, en el siglo XIX, célebres matemáticos como Bolyai, Lobachevsky y Gauss, demostraron que existían otros sistemas geométricos en los cuales no se cumplía el quinto postulado pero si los cuatro primeros, reafirmando entonces la independencia del mismo. Se daba lugar entonces a las hoy llamadas geometrías no euclideanas.

Con este enunciado, la negación del quinto postulado da lugar a las siguientes dos posibilidades:

1. Por un punto exterior a una recta no pasa ninguna paralela. Es decir, todas las rectas que pasan por un punto exterior a otra cortan a esta ultima.

2. Por un punto exterior a una recta pasan dos paralelas que separan las infinitas rectas no secantes de las infinitas secantes.

Los primeros cuatro postulados, con excepción quizás del segundo, junto con el enunciado uno conducen a la geometría elíptica. Los cuatro primeros postulados junto con el segundo enunciado definen la geometría hiperbólica. (Bottazzini, U. 2000).

Modelos del plano hiperbólico.

Así como el plano euclideo se representa con los puntos y rectas usuales de R × R, para representar al plano hiperbólico existen diferentes modelos. Estos son:

1. El modelo de Klein, también conocido como disco proyectivo y modelo de Beltrami-Klein, representa el plano como el interior de un círculo, y las rectas como las cuerdas del círculo.

2. El disco de Poincaré, o disco conforme, también representa al plano como el interior de un círculo, pero las rectas están representadas por arcos de circunferencia ortogonales a la circunferencia borde, y los diámetros de dicha circunferencia.

3. El semiplano de Poincaré toma como plano a un semiplano abierto del plano euclideo. Cada recta es la intersección de una circunferencia o de una recta perpendicular al borde de dicho semiplano, con el semiplano de Poincaré.

4. El cuarto modelo es el de Lorentz o hiperboloide. En este caso, se utiliza una hoja de un hiperboloide de revolución. Los puntos son clases de equivalencia de vectores que satisfacen una determinada forma cuadrática, y las rectas resultan de la intersección de ciertos planos con el hiperboloide.

De estas cuatro representaciones nos referiremos al disco de Poincaré.

Disco de Poincaré.

Considérese un círculo fijo del plano euclídeo (sin pérdida de generalidad puede tomarse el círculo unidad). Dentro de dicho círculo, se definen los siguientes elementos:

Punto hiperbólico: cualquier punto del interior del disco (en la imagen, por ejemplo, el punto A).

Rectas hiperbólicas:

1. Cualquier diámetro del disco.

2. Cualquier arco ortogonal al disco (dos circunferencias se dice que son ortogonales cuando las rectas tangentes a las mismas en los puntos de corte son perpendiculares; un arco ortogonal corresponde al trozo de circunferencia ortogonal que queda contenido en la otra).

Asimismo definimos distancia entre dos puntos P y Q del disco mediante

d ( p ,q )=ln|PA ∙QBPB ∙QA|Siendo A y B los puntos de intersección de la recta que une P y Q

con la circunferencia. Esta definición (debida a Cayley) verifica las propiedades de una métrica y modeliza perfectamente la idea de que la distancia aumenta cuanto más vaya acercándose uno de los puntos al borde del disco, siendo finalmente infinita la distancia de cualquier punto a dicho borde (por eso la utilización del logaritmo: al ir acercándose el cociente a cero, el logaritmo tiende a menos infinito, positivo gracias al valor absoluto).

Como consecuencia, los objetos van pareciendo más pequeños respecto del punto de vista del espectador situado en el centro del disco al ir acercándose al borde del disco. Esta idea la plasmó M.C. Escher en varios de sus grabados, uno de los cuales, Límite circular III puede verse en la imagen adjunta. Se trata de una teselación (un recubrimiento del plano mediante figuras congruentes que no se superpongan ni dejen huecos) del plano hiperbólico.

Volviendo a la imagen previa del disco de Poincaré, de lo dicho anteriormente se sigue que todas las rectas dibujadas son infinitas y la recta azul es paralela a las rectas punteadas que pasan por A (ya que no se corta con ninguna de ellas). (Ruíz, Á 1999).

Ejercicios y Ejemplos

Mediante un software proporcionado por la pagina descartes, se han modificado algunas actividades de aplicación, para mostrar algunos ejemplos prácticos de la geometría hiperbólica en el disco de Poincaré. A continuación se adjuntan algunas imágenes de la actividad.

Conclusiones.

Poincaré, realizo innumerables aportes a las ciencias y a las matemáticas, entre los que se destacan sus aportes en ecuaciones diferenciales, teoría general de funciones, cuestiones de álgebra, aritmética, teoría de grupos, topología; mecánica celeste, geodesia, física matemática; filosofía de las ciencias, enseñanza y divulgación, ente otros. Es por esta gran cantidad de material que Poincaré entrego a las ciencias y las matemáticas, por que es considerado como el ultimo matemático universalista.

Además, Poincaré hiso importantes aportes para la elaboración de la teoría de la relatividad, así como también elaboro nuevos modelos para las geometrías no euclidianas, tales como el semiplano de Poincaré y el disco de Poincaré, que fue el tema central de este trabajo.

Poincaré, con estos modelos para la geometría no euclidiana, demostró que se pueden formar otras geometrías diferentes a la euclidiana, negando el quinto postulado de Euclides.

INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS

PEDAGOGIA EN MATEMATICAS Y COMPUTACION.

DIDACTICA DEL ALGEBRA Y LA GEOMETRIA.

 

Henry Poincaré

“El Ultimo Matemático Universalista”

Autor:Carlos Aravena Norambuena

Profesora:Dra. Maria Aravena.

Bibliografía.

Bottazzini, U. (2000). Poincare. Scientific American, 12, 7-38. Ruíz, Á (1999). Geometrías no Euclidianas. Universidad de Costa Rica. Vega, L. (2008, octubre 11). Henry Poincaré, el último matemático

universalista. Los imprescindibles de la ciencia, pp. 8. Dugac, P. (1985). La influencia científica de Henri Poincaré a la luz de su

correspondencia con matemáticos. Llull, 8, 21-33. Garcia, J. (2005). Poincaré, el último matemático universalista. sctm05, 1-20. Galo Sánchez, J (2009). Disco de Poincaré. Consultado en septiembre 10,

2009 en www.descartes.com.