POL˝GONOS. CLASIFICACIÓMN · i.e.p. mar˝a de nazaretpiensa en grande, piensa en ti. maritza...

I.E.P. MARÍA DE NAZARET Piensa en grande, piensa en ti.

MARITZA DOLORES SOTO VÉLIZ

CUADRILÁTEROS

POLÍGONOS. CLASIFICACIÓMN

TERCERO – GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS: Resuelve problemas sobre polígonos

DEFINICIÓN

Es aquella figura geométrica cerrada que tiene 4lados.

FORMA

● Convexo:

Cuando sus ángulos interiores son menoresde 180º.

● No Convexo:

Cuando uno de los ángulos interiores midemás de 180º.

NOTACIÓN: ABCD

PROPIEDADES

1 Suma de Ángulos Internos

2 Suma de ángulos exteriores

CASOS ESPECIALES

A D

C

B

180º

A

D

C

B

= 360º

y

x

w

z

x + y + z + w = 360º

aºaº

bºbº

A

B

C

D

x

> 180



B

C

DA

b

a

x

RECORDANDO

Especial

CLASIFICACIÓN DE CUADRILÁTEROS

TRAPEZOIDE

Es aquel cuadrilátero que no presenta ladosopuestos paralelos.

* CASOS ESPECIALES

TRAPECIO SIMÉTRICO

Es aquel trapezoide en el cual una de susdiagonales es parte de la mediatriz de la otradiagonal.

AB = ADBC = CD

TRAPECIO ASIMÉTRICO

Es el trapezoide propiamente dicho, estoquiere decir que no presenta característicasespeciales.

A B // CD

BC // A D

TRAPECIO

Es aquel cuadrilátero que tiene sólo un par delados paralelos, a los cuales se les denominabases.

ABCD es trapecio

Elementos:

BC : Base Menor AD : Base Mayor MN : Base Media ó Mediana

Ejemplo:

Si ABCD es un trapecio y AB // CD. Hallar “x”.

x =2

x y

x + y =

A

B

C

D

M

A

N

D

CB

BC // AD

B C

DA

= 180º

Si: BC // AD

Trapecio Simétrico

A

B

C

D

E

D

BC

A



CLASIFICACIÓN DE TRAPECIOS

Trapecio Escaleno

Es aquel trapecio cuyos lados laterales tienendiferente longitud.

Si: BC// AD AB CDy

A B C D es trapecio escaleno

Trapecio Rectángulo

Es aquel trapecio escaleno, en donde uno delos lados laterales es perpendicular a lasbases.

Si: BC// AD m ABC m BAD 90ºy

ABCD es trapecio rectángulo

Trapecio Isósceles

Es aquel trapecio cuyos lados laterales son deigual longitud.

Si: BC AD AB CDy

ABCD es trapecio isósceles

OBSERVACIÓN

m B A D m C D A A C B Dy

PROPIEDADES EN TRAPECIO

Teorema 1

En todo trapecio la base media es paralela a susbases y su longitud es igual a la semisuma de laslongitudes de dichas bases.

M N // BC// AD

M N : Base media del trapecio ABCD

2

a bx

Teorema 2

En todo trapecio el segmento que une bases y sulongitud es igual a la semidiferencia de laslongitudes de dichas bases:

A

BC

D

130º

A

B C

D

AB CD

A D

B C

BC AB

AD AB

x

A

B C

D

AB = CD

A D

CB

D

NM

B C

x

a

b

A

D

CB

P Qx

a

b

A



2

a bx

NOTA

A H O R AV A M O S A

T R A B A J A R

P y Q son puntos medios de AC y BDrespectivamente.Se cumple: PQ // BC// A D y

En todo trapecio se cumple:

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. Calcular “x”.

a) 120º

b) 110º

c) 112º

d) 118º

e) 115º


a) 30º

b) 54º

c) 42º

d) 12º

e) 24º


a) 18º

b) 36º

c) 20º

d) 54º

e) 9º


a) 50º

b) 30º

c) 45º

d) 60º

e) 80º


a) 40º

b) 80º

c) 160º

d) 140º

e) 20º


a) 80º

b) 100º

c) 120º

d) 160º

e) 150º


a) 50º

b) 60º

c) 40º

d) 35º

e) 45º


120ºx

80º 40º

153º120º

x 12º 45º

5x8x

4x 3x

x

2x

x

80º

120º x

x

150º

x

x

130º

x

40º60º



a) 96º

b) 52º

c) 62º

d) 42º

e) 56º


a) 80º

b) 100º

c) 40º

d) 50º

e) 90º


a) 36º

b) 72º

c) 45º

d) 60º

e) 30º


a) 70º

b) 80º

c) 75º

d) 60º

e) 50º

12. Calcular “x” ; = 300º

a) 70º

b) 60º

c) 50º

d) 80º

e) 40º


a) 15º

b) 30º

c) 45º

d) 60º

e) 22,5º

14. Calcular “x”; = 20º

a) 70º

b) 80º

c) 60º

d) 50º

e) 40º


a) 40º

b) 50º

c) 60º

d) 45º

e) 30º

124º112º

x

bb

aa

dd

x 80º

cc

2x

x

x

50º

60º

x

RECUERDA

60º Equilátero

100º

x

75º

x

60º

60º

70º

x 80º

70º 130º

x

EL QUE ES

PERSEVERANTE,

LO CONSIGUE.



16. Calcular “x” ; BC // AD.

a) 110º

b) 55º

c) 50º

d) 80º

e) 120º

17. Calcular “x”; si ABCD es un trapecio.

a) 127º

b) 143º

c) 53º

d) 37º

e) 120º

18. Calcular “x”; BC // AD.

a) 130º

b) 50º

c) 65º

d) 25º

e) 100º

19. Si ABCD es un trapecio isósceles (BC//AD).Calcular “x”.

a) 30º

b) 20º

c) 15º

d) 40º

e) 50º


a) 36º

b) 72º

c) 40º

d) 60º

e) 18º


a) 12

b) 14

c) 10

d) 11

e) 13


a) 5

b) 6

c) 7

d) 8

e) 4

23. Calcular “x”; BC // AD.

a) 90º

b) 120º

c) 45º

d) 60º

e) 150º

24. Calcular “x”; si AB // CD.

a) 28

b) 32

c) 30

d) 34

e) 26


a) 26

b) 18

c) 20

d) 22

e) 30

26. Calcular “x”; BC // AD .

37º

x

130º

B C

D

x

A

70º

2x

B C

A D

x + 50º 80º

B C

A D

2x

B C

A D

3x 120º

x

37º

10

6

12

45º

x

5

A

D

B C

37º

x

20

A

B C4

D

53º

x

15

A

B C8

D

45º

A B

CD

x



a) 4

b) 5

c) 6

d) 4 3

e) 4 2

27. Calcular “a” ; BC // AD.

a) 18º

b) 9º

c) 27º

d) 36º

e) 45º


a) 2

b) 14

c) 7

d) 4

e) 6

29. Calcular “x”; ABCD es trapecio.

a) 16

b) 9

c) 32

d) 2

e) 8

30. Calcular “x”, si ABCD es trapecio.

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

APLICO LO QUE APRENDÍ


a) 60º

b) 80º

c) 40º

d) 66º

e) 160º

2. Calcular “x”

a) 100º

b) 50º

c) 30º

d) 40º

e) 80º


a) 53º

b) 37º

c) 27º

d) 30º

e) 57º


a) 50º

b) 60º

c) 70º

d) 80º

e) 75º


a) 90º

b) 80º

c) 100º

d) 110º

e) 120º

6. Calcular “”.

a) 85º

b) 95º

c) 75º

100º130º

70º x

70º130º

x

4x102x + 3

3x x3

110º 100º

x

70º

120ºx

95º

45º30ºA

B C

x 4

8a

2a aA D

CB

6

8x

7

B

A Dx

C

9

8

B

A D

19

C

9

x

D



d) 105º

e) 115º


a) 10º

b) 20º

c) 5º

d) 15º

e) 25º

8. Calcular “x”

a) 40º

b) 30º

c) 45º

d) 50º

e) 35º


a) 90º

b) 100º

c) 110º

d) 120º

e) 130º

10. Calcular: a + b + c + d

a) 90º

b) 180º

c) 120º

d) 270º

e) 60º


a) 70º

b) 80º

c) 60º

d) 75º

e) 65º

12. Calcular “x”; = 240º

a) 60º

b) 70º

c) 80º

d) 90º

e) 50º


a) 15º

b) 30º

c) 45º

d) 60º

e) 10º


a) 50º

b) 60º

c) 70º

d) 80º

e) 40º

15. Calcular “”; BC // AD.

a) 45º

b) 90º

c) 5º

d) 10º

e) 60º

16. Calcular “x”, si : x y = 70º

a) 125º

b) 55º

c) 115º

d) 65º

120º80º

x

3x

4x

xx

120º

x + 30º

110º

100º

aº

bº cº

dº

100º x

x

60º

75º

2

2

50º x

60º

100º

x

SEGUIMOSTRABAJANDO

x + 10B C

DA3x 10

x

y



40º

e) 135º

17. Calcular “x”, BC // AD.

a) 12

b) 6

c) 22

d) 11

e) 3

18. Calcular x + y; BC // AD.

a) 50º

b) 125º

c) 115º

d) 135º

e) 235º

19. Calcular “” ; si BC // ED // AD.

a) 100º

b) 120º

c) 80º

d) 140º

e) 110


a) 16

b) 13

c) 9

d) 12

e) 10


a) 12 3

b) 6 3

c) 6

d) 3 3

e) 3


a) 15

b) 16

c) 17

d) 18

e) 20


a) 8

b) 6

c) 10

d) 12

e) 9


a) 4

b) 5

c) 10

d) 8

e) 6

25. Calcular “x” ; si BC AD.

a) 5

b) 10

c) 7

d) 8

e) 6

26. Calcular “x”

a) 30b) 60c) 45d) 37e) 53


a) 5b) 8c) 6d) 9e) 10

180

3x+5

A D

B C

x+17

105º

xA D

B C

y 130º

60ºA D

E

B C

D

53º

15

4

x

60º

x

m

m + 6

7

x15

30

A D

B C

53º 45º

x

50

x

A D

B C

143º

10

18

53º

22A D

B Cx

60º

x

3x

5



PARALELOGRAMO

DEFINICIÓN

Es aquel cuadrilátero que tiene sus lados opuestosparalelos e iguales.

Si: AB // CD

DBCA

BC // AD 180BA

CLASIFICACIÓN

1. Romboide:

Es aquel paralelogramo cuyas diagonales secortan en su punto medio.

Ejemplo

Calcular: y x, si es romboide.

Solución

2. Rombo:

Es aquel romboide que tiene los cuatro ladosiguales, y las diagonales son perpendiculares.

Ejemplo

Calcular: a + b

Solución

3. Rectángulo:

Es aquel romboide que tiene sus ángulos igual a90º y las diagonales son iguales.

Ejemplo

B C

A D

M

A D

B C

AM = MCBM = MD

xy

64

A

D

C

B

AB BD

a4

5

b

M

A

B C

D

AM = BM = CM DM

AC = BD



Calcular “x”.

4. Cuadrado:

Es aquel romboide que tiene sus lados y ángulosde igual medida.

Ejemplo

Calcular “x”, si BD = 6

Solución

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. Calcular “x”; si ABCD es romboide.

a) 18

b) 72

c) 36

d) 9

e) 108

2. Calcular “x”; si ABCD es romboide.

a) 11

b) 12

c) 22

d) 6

e) 24

3. Calcular “x”; si ABCD es un rombo.

a) 24

b) 48

c) 76

d) 66

e) 12

4. Calcular el perímetro del rombo ABCD.

a) 68

b) 92

c) 34

d) 46

e) 17


a) 100º

b) 50º

c) 25º

d) 40º

e) 80º

6. Calcular OC.

a) 15

b) 16

c) 75

d) 8

e) 4

x40º

x =

20

x + 2

x =

A D45º

B C

O

A D

B C

x

B C

A D36º

2x

B C

A D

17

2x5

Ax

D

C

B24º

A8

D

C

B

15

x100º

12

O

A

B C

D

9



7. Calcular m∢PDB, si ABCD es un cuadrado.

a) 45º

b) 60º

c) 75º

d) 82º

e) 90º


a) 6 2

b) 8 2

c) 6 3

d) 8 3

e) 8

9. Calcular “x”; ABCD es un romboide.

a) 7

b) 10

c) 14

d) 21

e) 15

10. Calcular “x”, si ABCD es un romboide.

a) 7

b) 19

c) 5

d) 6

e) 8


a) 20º

b) 25º

c) 50º

d) 40º

e) 30º


a) 10

b) 12

c) 15

d) 20

e) 18


a) 2

b) 4

c) 3

d) 6

e) 5

14. Calcular “x”; si ABCD es un cuadrado.

a) 4

b) 5

c) 6

d) 7

e) 3

15. Calcular el perímetro del rombo ABCD; si AC =12 y BD = 16

a) 28

b) 56

c) 20

d) 40

e) 80

APLICO LO QUE APRENDÍ


a) 132º

b) 48º

c) 24º

d) 66º

e) 96º


53ºP

C

DA

B

x

53º

10

PA

7

B C

D

x

A

7

B C

D

12

x

50º x

B C

A D

2x

7x

45ºA

B CM

2

Dx

A

B C

D

37ºx

6

A

D

C

B

48º

x



a) 5

b) 4

c) 3

d) 2

e) 1

3. Calcular “x”, si ABCD es romboide.

a) 10º

b) 20º

c) 30º

d) 45º

e) 40º


a) 74º

b) 60º

c) 30º

d) 37º

e) 75º

5. Si ABCD es un rombo, calcular “x”.

a) 4

b) 2

c) 6

d) 8

e) 5


a) 18

b) 15

c) 20

d) 12

e) 24

7. Calcular “x”, si ABCD es romboide.

a) 9

b) 7

c) 5

d) 3

e) 4

8. Calcular el perímetro del rombo ABCD.

a) 20

b) 10

c) 30

d) 40

e) 48


a) 24

b) 12

c) 4

d) 2

e) 10

10. Calcular “x” si ABCD es un romboide.

a) 16

b) 8

c) 12

d) 4

e) 14


a) 5

b) 5 2

c) 10 2

d) 2

e) 5 3

12a

a2x3

a+1

x

70º

74º

x

A

D

C

B

10

37º x

x 2x

xA

6

B C

D

15

68 CA

B

D

6

4

x

14

8

A

B C

D

12

5 2

45ºx

x



APLICO LO QUE APRENDÍ DETRIÁNGULOS

1. Hallar “” y decir por que:

a) 10º

b) 20º

c) 30º

d) 40º

e) 5º

2. Hallar “x”; ∆ABC Y ∆BDE son equiláteros.

a) 10º

b) 20º

c) 30º

d) 40º

e) 50º

3. Hallar “x”.

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

4. Hallar: “AB”; ED = 6m.

a) 2mb) 4mc) 6md) 8me) 12m

5. Hallar: “”.

a) 9ºb) 12ºc) 15ºd) 17ºe) 21º

6. Hallar: “”.

a) 8ºb) 9º

c) 10ºd) 12ºe) 15º

7. Hallar “x”.

a) 10ºb) 20ºc) 30ºd) 40ºe) 50º

8. Hallar “x”.

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

9. Hallar : PQ; AB = 7 y AH = 4

a) 4b) 7c) 3d) 6e) 2

10. Hallar : AB; MC = 10

a) 5b) 10c) 20d) 15e) 2


a) 20ºb) 60ºc) 40ºd) 30ºe) 90º

12. Hallar “x”

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 0

20º

º

E 40ºx

B

A C

D

6-x

2+3x

E

A10º

40º

80º80º

B C

D

6

6

24

x+1

6

B

3

A C

M

2x + 8

16

3 48º

51º

40º 80º

a

a + b

a xº

b

A

Q P

B

H

C

a

a

x

a



13. Hallar “a” ; a + b = 21

a) 7b) 14c) 21d) 42

14. Hallar (a + b); si la mediana BM mide 30.

a) 10b) 6c) 16d) 15e) 36

15. Si: BM es mediana. Hallar “x”.

a) 68ºb) 34ºc) 17ºd) 32ºe) 22º

UN POQUITO MÁS

1. Hallar “x”

a) 60ºb) 30ºc) 90d) 40ºe) 80º

2. Hallar : “x” ; ∆ABC es equilátero; AE = DC

a) 30ºb) 45ºc) 53ºd) 37ºe) 60º

3. Hallar “x”.

a) 3b) 4c) 5d) 6

e) 7

4. Hallar “x”.

a) 15ºb) 45ºc) 60ºd) 75ºe) 80º

5. Hallar : “”; si : BC = BD

a) 40º

b) 80º

c) 100º

d) 90º

e) 60º

6. Hallar: “AC” ; si : AD = 3

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

7. Hallar : AB

a) 6b) 9c) 15d) 14e) 20

8. Calcular “x”

a) 3b) 5c) 10d) 7e) 4

9. Calcular : HC ; BC = 12 y DE = 5

a) 5b) 12c) 8d) 7e) 9

a

b

A 3a M 5b C

B

A

68º

M

x

C

B

3 2

30º

x

B

E

A D

x

C

a a

x + 4 2x - 3

2

5

D

B

A C

6

A B

9

x

ba

x 3 5

b

c

c4

a

EA C40º

º

D

B

7

3

x

D

A H C

E

B

POL˝GONOS. CLASIFICACIÓMN · i.e.p. mar˝a de nazaretpiensa en grande, piensa en ti. maritza...

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