Polígonos - Editorial Casals · PDF filelígonos regulares, su valor coincide con...

Fig. 1

Fig. 2

Fig. 3

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Polígonos

1 POLÍGONOS

Un polígono es una figura cerrada y plana limitada por un mínimo de tres segmentos rectilíneos, formando una línea poligonal que denominamos contorno del polígono. Los polígonos con los lados y ángulos iguales se llaman regu-lares y pueden inscribirse o circunscribirse en una circun-ferencia.

1.1 Elementos de cualquier polígono

Elementos lineales

– Lado. Cada uno de los segmentos que configuran la forma poligonal; por ejemplo, AB y CD, en la figura 1. Sus intersecciones definen los vértices del polígono, puntos A, B, D...

– Diagonal. Es el segmento que une dos vértices no con-secutivos del polígono. Su número, en un polígono de n lados, viene dado por la fórmula n (n – 3) / 2.

– Apotema. Es el segmento perpendicular a un lado tra-zado desde el centro del polígono (Fig. 2). En los po-lígonos regulares, su valor coincide con el radio de la circunferencia inscrita en el polígono.

– Radio. Es el segmento trazado desde el centro a uno de los vértices. En los polígonos regulares es igual al radio de la circunferencia que lo circunscribe.

– Altura. Es la distancia de un vértice al lado opuesto o la distancia entre dos lados paralelos, dependiendo del tipo de polígono (Fig. 3).

– Perímetro. Es el contorno formado por el conjunto de todos sus lados. Numéricamente es igual a la suma de las longitudes de los lados.

Competencia matemática y competencias en ciencia y tecnología

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Fig. 4

PolígonosGeometría

Elementos angulares

– Ángulo interior. Es el determinado por dos lados con-secutivos: ángulo de la figura 4. En un polígono con-vexo de n lados su suma es 180º · (n – 2).

– Ángulo exterior. Es el formado por un lado y la pro-longación del contiguo: ángulo . Cada ángulo interior y el exterior correspondiente son suplementarios.

– Ángulo central. Tiene el vértice en el centro del polí-gono y los lados pasan por dos vértices consecutivos: ángulo de la figura 4. En un polígono regular de n lados su valor es 360º / n.

1.2 Clasificación

Convexos

(ángulos interiores

inferiores a 180º)

Regulares

(ángulos y lados iguales)

Irregulares (ángulos

y lados desiguales)

No equiláteros

(lados desiguales)

Equiláteros

(lados iguales)Polígonos estrellados

Triángulos (tres lados)

Cuadriláteros (cuatro lados)

Pentágonos (cinco lados)

Hexágonos (seis lados)

Otros (se denominan según

el número de lados)

Cóncavos

(mínimo un ángulo interior

superior a 180º)

POLÍGONOS

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Fig. 5

Fig. 6 Fig. 7

Fig. 8


2 TRIÁNGULOS

Un triángulo es un polígono de tres lados. La intersección de cada dos lados define la posición de un vértice, que designamos con letras mayúsculas: A, B y C (Fig. 5). Desig-namos cada lado con una letra minúscula coincidente con la del vértice opuesto.

2.1 Propiedades y clasificación

Para que podamos construir un triángulo con tres seg-mentos cualesquiera, se ha de cumplir que la longitud de cada segmento sea menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. En las figuras 6 y 7 vemos la comprobación gráfica de esta propiedad.

La suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es siempre 180º.

Cada ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los otros dos interiores no adyacentes (Fig. 8).

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2 PolígonosGeometría

– Según sus lados, podemos clasificar los triángulos como sigue:

EQUILÁTERO

ACUTÁNGULO

Con los tres lados y los tres ángulos iguales.

Es el triángulo regular.

Los tres ángulos son agudos.

Con dos lados iguales y uno desigual.

Tiene un ángulo recto. Los lados que

lo forman son los catetos y el opuesto

es la hipotenusa.

Con los tres lados diferentes.

Uno de sus ángulos es obtuso.

ISÓSCELES

RECTÁNGULO

ESCALENO

OBTUSÁNGULO

Ejemplo de la utilización del triángulo como forma constructiva en la cubierta del Esplanade Theatre que Michael Wilford y su equipo de arquitectos levantaron en el año 2002 en Singapur.

– Según sus ángulos, podemos clasificar los triángulos del siguiente modo:

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Fig. 9

Fig. 10

Fig. 11


2.2 Rectas y puntos notables de un triángulo

A cualquier triángulo podemos trazarle cuatro rectas con los puntos de intersección y las propiedades que vemos a continuación (en el triángulo equilátero, rectas y puntos, son coincidentes):

Bisectrices. En los ángulos interiores de un triángulo, podemos trazar tres bisectrices que se cortan en un pun-to equidistante de los tres lados, al cual denominamos incentro y que es el centro de la circunferencia inscri-ta* en el triángulo (Fig. 9).

Las bisectrices de los ángulos exteriores de un triángulo se cortan dos a dos en los centros de las circunferen-cias exinscritas*, puntos C1, C2 y C3. Estas circunferen-cias son tangentes a un lado y a la prolongación de los otros dos (Fig. 10).

Mediatrices. Las tres mediatrices de los lados de un triángulo se cortan en un punto que se llama circun-centro y que, por ser equidistante de los tres vértices, es el centro de la circunferencia circunscrita* (Fig. 11). Según el tipo de triángulo, el circuncentro puede estar situado en el exterior o en el interior del triángulo.

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Fig. 12

Fig. 13


Medianas. Las medianas son los segmentos que unen cada vértice con el punto medio del lado opuesto. Se cortan en un punto llamado baricentro (Fig. 12).

La mediana BT y la paralela a ella trazada por el pun-to medio M dividen a la mediana AN en tres partes iguales, dos de la cuales quedan entre el vértice A y el baricentro BC y una, entre el baricentro y el lado. Esta posición del baricentro es la misma si consideramos cada una de las otras dos medianas.

Uniendo los puntos medios de los lados, resulta un triángulo MNT de lados paralelos al triángulo ABC y cuyas longitudes son la mitad de las del correspondien-te lado paralelo.

Alturas. Las alturas de un triángulo son los segmentos trazados perpendicularmente desde un vértice al lado opuesto o a su prolongación. Las tres alturas se cortan en un punto llamado ortocentro.

Si unimos en la figura 13 los pies de las alturas, puntos D, E y F, resulta un nuevo triángulo que se denomina órtico del triángulo inicial ABC. Las alturas de un trián-gulo son bisectrices de su triángulo órtico y, por tanto, el ortocentro del triángulo ABC coincide con el incen-tro del órtico.

Paul Klee, Castillo y sol. 1928. Óleo sobre tela. Detalle.

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Fig. 14

Fig. 15

Fig. 16


2.3 Construcción de triángulos

Tres datos son suficientes para construir un triángulo; este número puede ser inferior si se conoce alguna de las pro-piedades geométricas del triángulo. Vemos a continuación algunos casos representativos.

Dados los tres lados Situamos uno de los lados y, haciendo centro en sus

extremos, trazamos dos arcos, cada uno con un radio igual a la longitud de uno de los otros lados. La inter-sección de estos arcos determina la posición del tercer vértice (Fig. 14).

Dados dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos Trazamos un segmento de longitud arbitraria y, toman-

do como vértice cada uno de sus extremos, trasladamos los ángulos B y C dados para construir el triángulo ABC semejante al que estamos buscando.

Sobre el lado CA, y a partir de C, llevamos la longitud b dada; así determinamos el vértice A'. Por este punto trazamos una paralela al lado AB del triángulo auxiliar, que nos determina la posición del vértice B' (Fig. 16).

Dados dos lados y el ángulo comprendido Por los extremos de uno de los lados conocidos trans-

portamos un ángulo igual al dado. Sobre la semirrecta que define el segundo lado del ángulo, trasladamos la longitud del otro lado. De este modo, quedan determi-nados los tres vértices del triángulo (Fig. 15).

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Fig. 18

Fig. 19

Fig. 17


Construcción de un triángulo equilátero dada su altura

Con un segmento MN cualquiera como lado, deter-minamos el tercer vértice T de un triángulo equilátero auxiliar. A partir del punto medio de la base y sobre la altura del triángulo MNT, llevamos la altura h dada.

De esta manera, determinamos el vértice C del trián-gulo solución. Por este punto trazamos paralelas a los lados TM y TN para determinar, respectivamente, las posiciones de los vértices A y B del triángulo (Fig. 17).

Dados un lado, la altura correspondiente y la me-diana de otro lado

Situamos el lado dado como base y le trazamos dos paralelas, la primera a una distancia igual a su altura y la segunda, que denominamos paralela media, a una distancia igual a la mitad de la altura.

Desde el extremo B de la base, y con un radio igual a la mediana, describimos un arco que corte la paralela media; por este punto, desde el extremo C de la base, hacemos que pase el segundo lado del triángulo. El punto de intersección con la otra paralela determina la posición del vértice A del triángulo solución (Fig. 18).

Dados un lado y dos alturas, una en relación con el lado conocido

Trazamos una paralela al lado b conocido, a una distan-cia igual a la altura correspondiente hb. Con centro en el punto medio de b y radio b/2 trazamos un arco (capaz de 90º) y seguidamente otro desde A y con radio ha.

La intersección de los dos arcos anteriores determina un punto que, unido al extremo C, define la posición del lado a del triángulo. El punto en el que el lado a corta la paralela inicial nos define la posición del tercer vértice B del triángulo (Fig. 19).

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Fig. 20

Fig. 21

Fig. 22


Dados un lado, la mediana corres-pondiente y el ángulo opuesto

En relación con el lado dado, traza-mos el arco capaz correspondiente a su ángulo opuesto, también conocido. Haciendo centro en el punto medio de a, y con un radio igual a la mediana conocida, trazamos un arco que corta el arco capaz en dos puntos, posiciones del vértice A de dos posibles triángulos solución (Fig. 20).

Dados un lado y las medianas de los otros dos

Mediante construcciones auxiliares deter-minamos las 2/3 partes de las longitu-des de las medianas conocidas. Estos segmentos, a partir de los extremos A y C del lado, son los radios que nos sir-ven para determinar el baricentro Bc del triángulo.

Unimos A y C con el baricentro Bc y prolongamos estos segmentos hasta completar la longitud real de cada una de las medianas; por cada extremo libre de las medianas ma y mc hacemos pa-sar, respectivamente, los lados a y c que completan el triángulo (Fig. 21).

Dados dos ángulos y el radio de la circunferencia circunscrita

En cada extremo de un segmento cual-quiera construimos uno de los ángulos dados para representar un triángulo auxiliar semejante al solicitado. Bus-camos su circuncentro y trazamos la circunferencia de radio dado (Fig. 22).

Unimos el circuncentro con uno de los vértices del triángulo hasta cortar la circunferencia; a partir de este pun-to, trazamos paralelas a los lados del triángulo auxiliar para obtener el trián-gulo inscrito.

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Diagonales


3 CUADRILÁTEROS

Cuadrilátero es el nombre genérico que se da a cualquier figura poligonal cerrada compuesta por cuatro lados. La suma de los cuatro ángulos interiores es 360º. Cada par de vértices opuestos define una diagonal.

3.1 Clasificación y características

Agrupamos los cuadriláteros según las condiciones de pa-ralelismo que hay entre los lados que lo integran:

Lados paralelosdos a dos

Cuadrado Iguales

Igualesdos a dos

Iguales

Igualesdos a dos

Iguales dos a dos

Iguales los no paralelos

Todos diferentes

Todos diferentes

Todos diferentes

Iguales dos a dos

Todos de 90º

Todos de 90º

Iguales dos a dos

Iguales dos a dos

Dos de 90º

Dos iguales

Iguales y perpendiculares

Iguales y oblicuas

Diferentes y perpendiculares

Diferentes y oblicuas

Iguales y oblicuas



Diferentes y perpendiculares

Rectángulo

Rombo

Romboide

Isósceles

Rectángulo

Escaleno

Biisósceles

Dos ladosparalelos, quedenominamosbases

Ningún ladoparalelo

PAR

ALE

LOG

RA

MO

STR

APE

CIO

STR

APE

ZOID

ES

Descripción Nombre Figura Lados Ángulos

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Fig. 23

Fig. 24

Fig. 25


3.2 Cuadriláteros inscribibles y circunscritos

Siempre es posible trazar una circunferencia que pase por los vértices de un triángulo, pero con un cuadrilátero no sucede lo mismo. Para que un cuadrilátero sea inscribible en una circunferencia es necesario que sus ángulos opues-tos sean suplementarios (Fig. 23).

En cualquier cuadrilátero circunscrito a una circunferen-cia, la suma de las longitudes de dos lados opuestos es igual a la suma de los otros dos (Fig. 24).

Las longitudes de las dos tangentes trazadas desde un punto exterior a una circunferencia son iguales. Si lo apli-camos a la figura anterior, tendremos:

AB + CD = (x + y) + (v + z)AD + BC = (x + v) + (y + z)

Así se demuestra que las dos sumas de parejas de lados opuestos son iguales.

3.3 Construcción de cuadriláteros

Un rectángulo, dados la diagonal y un lado Dibujamos una circunferencia que tenga como diámetro

la diagonal dada. Con un radio igual al lado conocido, y haciendo centro en los extremos del diámetro, des-cribimos dos arcos que cortan la circunferencia por los puntos 1 y 2. Estos puntos, junto con los extremos del diámetro, determinan los cuatro vértices del rectángulo (Fig. 25).

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Fig. 27

Fig. 28

Fig. 26


Un rombo, dadas sus diagonales Situada una de las diagonales, en la figura 26 la diago-

nal D, trazamos la mediatriz. A partir del punto medio y hacia cada dirección llevamos la longitud d/2 corres-pondiente a la mitad de la otra diagonal; de este modo, obtenemos los vértices C y D, que, unidos a los extre-mos A y B de la primera diagonal, completan los cuatro vértices del rombo.

Un romboide, dados sus lados y el ángulo com-prendido

A partir de un punto A construimos un ángulo igual al conocido, , y sobre sus lados llevamos las longitudes L y I correspondientes a los lados del romboide. De esta manera definimos los vértices B y C.

Por C trazamos una paralela al lado L y por B, al otro lado; ambas paralelas se cortan en el punto D, que com-pleta el trazado (Fig. 27).

Un trapecio rectángulo, dados la base, el lado obli-cuo y el ángulo comprendido

Por uno de los extremos de la base trazamos el ángulo dado y por el otro, uno de 90º. Sobre el segundo lado

del ángulo , llevamos la longitud del lado oblicuo y, por su extremo, trazamos una paralela a la base que, cuando se corta con la perpendicular trazada inicial-mente, nos determina la posición del cuarto vértice del trapecio (Fig. 28).

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Fig. 29

Fig. 30

Fig. 31


Un trapecio isósceles, dadas la base mayor, la altu-ra y la diagonal

Determinamos la mediatriz de la base mayor B y, sobre ella, medimos un segmento igual a la altura h. Por su extremo trazamos una paralela a la base.

Los vértices de la base menor se obtienen en la inter-sección de esta paralela con los arcos de radio iguales a la diagonal d y con centro en los extremos de la base mayor (Fig. 29).

Un trapecio escaleno, dados sus cuatro lados Disponemos el segmento mayor AB como base del

trapecio; a partir del extremo A, llevamos la longitud CD, que utilizaremos como base menor, y obtenemos el punto T. Haciendo centro en T y en B, con radios iguales a las longitudes de los otros lados, trazamos dos arcos que se cortarán en la posición del vértice C.

El cuarto vértice D se encuentra a una distancia de C igual al segmento CD, medida sobre la paralela a AB trazada por el vértice C (Fig. 30).

Un trapezoide, dados tres lados y dos ángulos Del trapezoide ABCD (Fig. 31), conocemos los lados

AB, BC, y AD, y los ángulos A y C.

En uno de los extremos del segmento AB, construimos un ángulo igual a A y, con la medida del lado AD, de-terminamos el vértice D. Respecto a los vértices B y D determinamos el arco capaz de un ángulo igual a C; la posición del cuarto vértice quedará determinada con un arco de centro B y radio igual al lado BC.

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Fig. 33

Fig. 32


4 CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS REGULARES

Un polígono regular se suele construir a partir de uno de estos dos datos: el radio de su circunferencia circunscrita o su lado. Veremos los diferentes procedimientos de reso-lución en los siguientes apartados:

4.1 Construcciones a partir del radio de la circunferencia circunscrita

Construcción general Con el radio conocido, describimos una circunferencia

y trazamos el diámetro vertical. Dividimos este diámetro

en tantas partes como las que queramos realizar sobre la circunferencia, o en tantas partes como vértices ha de tener el polígono: 7 en el ejemplo de la figura 32.

Con centro en los extremos del diámetro, y un radio igual a su longitud, trazamos dos arcos que se cortan en los puntos M y N. Por estos puntos y por divisio-nes alternas del diámetro, hacemos pasar semirrectas auxiliares que, en la intersección con la circunferencia, señalan las divisiones correspondientes a los vértices del polígono inscrito.

Construcciones particulares– Triángulo y hexágono. Tomando como unidad el mis-

mo radio con el que hemos trazado la circunferencia, esta queda dividida en seis partes iguales (Fig. 33). Si las unimos alternativamente, obtenemos un triángulo equilátero, y si las unimos de manera consecutiva, un hexágono regular.

La mediatriz de uno de los lados del hexágono cortará la circunferencia en un punto que, unido con uno de los extremos de este lado del hexágono, es el lado I12 de un dodecágono también inscrito en la circunferencia inicial, como los otros dos polígonos.

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Fig. 36

Fig. 35

Fig. 34


– Cuadrado y octógono. Si trazamos dos diámetros perpendiculares, la circunferencia queda dividida en cuatro partes, que son los vértices del cuadrado inscrito (Fig. 34).

Las mediatrices de cada lado dividen la circunferencia en ocho partes iguales, que son los vértices del octógo-no regular inscrito. Con nuevas mediatrices a los lados del octógono, podemos dividir la circunferencia en die-ciséis partes iguales.

– Pentágono y decágono. A partir del radio dado, dibu-jamos la circunferencia trazando dos diámetros perpen-diculares (Fig. 35). Determinamos el punto medio M del radio OA; con centro en este punto y un radio igual a la distancia MB, trazamos un arco que corte en el punto N el diámetro horizontal.

El segmento NB es el lado I5 del pentágono y NO es el lado I10 del decágono. Estos segmentos, trasladados sobre la circunferencia, nos permiten determinar los vértices de los dos polígonos regulares e inscritos.

– Heptágono. A partir del radio dibujamos la circunfe-rencia y, en ella, dos diámetros perpendiculares. Traza-mos la mediatriz del radio OA, que corta la circunferen-cia en el punto N (Fig. 36). El segmento MN es el lado del heptágono que, trasladado sobre la circunferencia, nos permite completar el heptágono regular.

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Fig. 37

Fig. 38


4.2 Construcciones a partir del lado

Construcciones generales Con centro en los extremos A y B del lado

conocido, y un radio igual a su longitud, describimos dos arcos que se cortan en el punto O6. Con el mismo radio y centro en O6 trazamos una circunferencia; la media-triz de AB intercepta sobre esta circunfe-rencia el punto O12 (Fig. 37).

Dividimos el radio O6O12 en seis partes iguales; cada división es el centro de una circunferencia que, con un radio igual a su distancia hasta A o B, permite inscribir un polígono de número de lados 7, 8, 9…

En la figura 38, describimos otro proceso gráfico para construir un polígono regular a partir del lado. Traza-mos un polígono auxiliar de cualquier medida, con el mismo número de lados que el que queremos construir con el lado I dado.

Unimos el centro O del polígono auxiliar con cada uno de los vértices; sobre uno de los lados o sobre su pro-longación, el 3-4 en la figura, llevamos la magnitud del lado I y por su extremo trazamos una paralela al radio O-4 hasta cortar en el punto C la prolongación del radio O-3. Llevamos la magnitud O-C sobre las prolongacio-nes de los otros radios y obtenemos así los vértices A, B, D y E, que completan el polígono del lado l.

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Fig. 39

Fig. 40

Fig. 41

Construcciones particulares– Triángulo. Situamos el centro en los extremos A y B del

lado y, con un radio igual a su longitud, trazamos dos arcos que se cortan en un punto equidistante de A y B; este punto es el vértice C del triángulo (Fig. 39).

– Cuadrado. Por uno de los extremos A del lado, traza-mos una perpendicular sobre la que llevamos la lon-gitud I4 de este; así obtenemos el punto D. Por D y B trazamos paralelas, respectivamente, a los lados AB y AD. La intersección de estas paralelas determina el cuarto vértice C del cuadrado (Fig. 40).

– Pentágono. Por el extremo B del lado, trazamos una perpendicular y un arco de radio igual a su longitud; ambos se cortan en el punto N (Fig. 41). Con centro en el punto medio M del lado AB, describimos un arco de radio igual a la distancia MN, hasta que corte en el punto P la prolongación del lado. El segmento AP es el valor de la diagonal del pentágono.

Situamos el centro en A y, con un radio igual a la dis-tancia hasta P, trazamos un arco que corte el trazado en primer lugar en el vértice C y a la mediatriz del lado AB en el vértice D. El vértice E se encuentra a la distancia I5 de los vértices ya conocidos, A y D.


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Fig. 43

Fig. 42

Fig. 44


– Hexágono. En el hexágono regular son iguales el lado y el radio de la circunferencia circunscrita. En una cir-cunferencia de radio igual al lado I6 llevamos seis veces la magnitud del lado; obtendremos de este modo los seis vértices del hexágono inscrito (Fig. 42).

– Heptágono. Determinamos la mediatriz del lado AB conocido del heptágono (Fig. 43). Situamos el centro en el extremo A y tomamos como radio la magnitud del lado; describimos un arco que corte en N la prolonga-ción del segmento AB y en S su mediatriz.

Con centro en N y un radio igual a la distancia SM, trazamos un arco que corte en el punto G al trazado anteriormente de centro en el vértice A. Las mediatrices de los segmentos AB y AG se cortan en el punto O; este punto es el centro de la circunferencia que, pasan-do por A, B y G, contiene también los cuatro vértices restantes del heptágono.

– Octógono. Con centro en el punto medio M del lado AB del octógono (Fig. 44), dibujamos una semicircun-ferencia que pase por sus extremos y que corte a su mediatriz en el punto 1.

Utilizamos el punto 1 como centro para trazar una cir-cunferencia que pase por A y B, y que corte la media-triz de AB en el punto O8. Este punto es el centro de una circunferencia que, pasando por A y B, inscribirá al octógono. Llevamos la medida del segmento AB sobre ella y unimos los puntos de división.

También podemos dibujar el octógono sabiendo que cada ángulo interior es de 135º (el exterior correspon-diente de 45º) y que los lados opuestos son paralelos.

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Fig. 45

Fig. 46 Fig. 47


5 POLÍGONOS ESTRELLADOS

Imaginemos una circunferencia dividida en n partes igua-les. Si unimos cada división con la siguiente, obtenemos el polígono convexo; pero si pasamos dos, tres… p divi-siones, de manera que volvamos al punto inicial después de pasar por todas las divisiones, el polígono se denomina estrellado. El número p de divisiones que saltamos para ir de un vértice al siguiente se denomina paso del polígono estrellado.

Para averiguar si un polígono tiene construcción de estre-llado, y saber qué valor de paso podemos utilizar para unir los vértices, buscamos los números enteros menores que la mitad del número n de sus vértices, diferentes de 1, que no sean divisores del número de vértices.

En el heptágono de la figura 45, los números enteros más pequeños que la mitad de sus vértices son el 1, el 2 y el 3. Con p = 1, obtenemos el heptágono convexo; por p = 2 y por p = 3, no divisores del número de vértices, obtenemos los dos polígonos estrellados posibles.

6 MÓDULOS Y REDES

Cuando partimos de una forma elemental, que denomina-mos módulo o tesela*, y la repetimos de manera seriada en filas y columnas hasta cubrir el plano, obtenemos una tra-ma con aspecto de cenefa o mosaico a la que genéricamen-te llamamos red. El uso de colores y la repetición con cierto ritmo acentúa la impresión de red organizada (Fig. 46).

Podemos generar nuevas formas a partir de otras más elementales por sustracción y adición de partes (Fig. 47). Ejemplos evidentes de esto son los mosaicos creados por el artista y matemático holandés M. C. Escher, inspirados en los mosaicos de la Alhambra.

En general, el módulo es concebido para repetirse y gene-rar, de este modo, una forma compuesta mayor: las series modulares, que se aplican en el mundo del diseño, del interiorismo y de la decoración.

Para cubrir totalmente el plano con formas geométricas, estas han de tener como base polígonos regulares y, de estos, serán válidos únicamente los que tienen un ángulo interior que sea divisor de 360º (el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono).

Mosaico nazarí. Alhambra de Granada, siglos XIII-XV.M. C. Escher, mosaico de lagartijas en tres colores generado por la rotación de un triángulo.

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Fig. 48 Fig. 49


La figura 48 reproduce el mosaico de la pajarita del Patio de los Arrayanes de la Alhambra de Granada. Partiendo de un triángulo equilátero, su contorno está delimitado por arcos de circunferencia en vez de por segmentos rectos. Este contorno aparece geometrizado en la construcción de la figura 49.

La pajarita es el más conocido de los polígonos nazaríes. El plano se completa con otros elementos decorativos de construcción geométrica, como pueden ser polígonos es-trellados. Este mosaico es un ejemplo de las posibilidades creativas y decorativas que se pueden conseguir con la combinación de formas geométricas.

Mosaico nazarí. Alhambra de Granada, siglos XIII-XV.

El mosaico nazarí: la sublime belleza de la geometría

Nos narran las crónicas medievales que la corte de los sultanes nazaríes del reino de Granada reunió, entre los siglos XIII y XV, a la flor y nata de los matemáticos y geómetras del mundo musulmán. Estos sabios idearon técnicas y procesos matemáticos para transformar las formas poligonales elementales en módulos más complejos, que los artesanos de Granada supieron trasladar con maestría a los mosaicos geométricos que decoran la Alhambra.

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ACTIVIDADES

TRIÁNGULOS1 Dibuja un triángulo isósceles dados los lados iguales,

55 mm, y la altura, 40 mm.

2 Construye un triángulo isósceles de 20 mm de base, cuyo ángulo opuesto mida 15º.

3 De un triángulo rectángulo se conocen la longitud de un cateto, 40 mm, y la medida de su ángulo opuesto, 75º. Dibuja el triángulo.

4 Dibuja un triángulo del cual se conocen las longitudes de los lados, 40 y 30 mm, y el ángulo opuesto al más pequeño de ellos, 45º.

5 Construye un triángulo cuyos lados miden 40 y 35 mm, y la altura correspondiente al mayor de ellos es de 20 mm.

6 De un triángulo se conocen dos de sus ángulos inte-riores, 30º y 75º, y el lado comprendido entre ambos ángulos es de 35 mm. Determina el triángulo.

7 Dibuja un triángulo del cual se conocen las longitudes de sus dos alturas, 40 y 45 mm, y el lado correspon-diente a la más pequeña de ellas mide 50 mm.

8 De un triángulo se conocen la longitud de un lado, 40 mm, y las longitudes de las medianas correspon-dientes a los otros dos lados, 50 y 75 mm. Determina el triángulo.

9 Construye un triángulo del cual conocemos el valor del ángulo A = 60º, hb = 110mm y ha = 90 mm.

10 Construye un triángulo del que conocemos el lado AB = 8 cm y la posición del baricentro, que se halla a 4 y 6 cm de los vértices A y B, respectivamente.

11 Construye un triángulo sabiendo que el radio de la cir-cunferencia circunscrita es de 45 mm, la altura corres-pondiente a un lado b es de 60 mm y otro lado a mide 75 mm.

12 Dibuja un triángulo del que conocemos un lado a = 55 mm, la mediana mb = 48 mm y la altura hb = 40 mm correspondientes al lado b.

13 Dibuja las figuras combinadas de distintos triángulos, según las cotas que se indican (Figs. 51, 52 y 53).

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ACTIVIDADES

CUADRILÁTEROS14 Determina un rectángulo del que se conocen las medi-

das de las diagonales, 60 mm, y el ángulo que forman entre ellas, 120º.

15 Construye un rombo con un lado de 25 mm y con una de sus diagonales de 40 mm.

16 Construye un romboide cuyas diagonales midan 60 y 40 mm y que, al cortarse, determinen un ángulo de 60º.

17 Dibuja un trapecio rectángulo cuyas bases midan 45 y 30 mm y tenga una altura de 20 mm.

18 Construye un trapecio isósceles de base mayor 45 mm, altura de 25 mm y diagonal de 45 mm.

19 Dibuja un trapezoide biisósceles con un lado de 25 mm, en el cual una de las diagonales mida 60 mm y uno de los ángulos iguales sea de 135º.

20 Construye un trapecio escaleno de bases 50 y 25 mm, cuyos ángulos adyacentes a la base sean de 60º y 75º.

POLÍGONOS21 Construye un triángulo regular cuya altura sea 45 mm.

22 Dibuja un cuadrilátero regular cuya diagonal mida 40 mm.

23 Determina un cuadrado circunscrito en una circunfe-rencia de 30 mm de diámetro.

24 Dibuja un hexágono cuya apotema mide 35 mm.

25 En una circunferencia de 40 mm de radio, dibuja todos los polígonos estrellados posibles de 10 lados. Comien-za todos los polígonos a partir de la misma división de la circunferencia.

26 Construye un polígono regular de 16 lados y de 3 cm de lado; después, dibuja un polígono estrellado de paso 5.

MÓDULOS Y REDES27 A partir del módulo de la figura, construye una red

suficiente a su alrededor para que sea apreciable la repetición del módulo inicial (Fig. 54).

28 A partir del módulo de la figura, construye una red hasta ocupar la totalidad del cuadrado que lo rodea (Fig. 55 y 56).

49

TRIÁNGULOS29 Dados el segmento AB y el punto E:

Dibuja el triángulo ABC, sabiendo que el ángulo en el vértice C es de 60º y está situado a la distancia más corta posible del punto E.Representa la circunferencia inscrita en el triángulo ABC (Fig. 57).

30 Dibuja un triángulo ABC sabiendo que:El ángulo en el vértice B es igual a 45º.El ángulo en el vértice C es igual a 30º.La altura ha (perpendicular al lado BC) es de 5 cm.

31 Construye un triángulo escaleno conocidos un lado, a = 140 mm, y las alturas correspondientes a los otros dos lados, hb = 80 mm y hc = 100 mm.

32 Dibuja un triángulo del que se conocen los puntos medios de los lados (Fig. 58).

33 Dibuja un triángulo sabiendo que dos de sus ángulos miden 75º y 60º y que la circunferencia inscrita tiene un radio de 20 mm.

34 Determina el triángulo ABC de manera que el ángulo CAB sea de 45º, el punto P sea el incentro del triángu-lo, la magnitud del lado AB sea de 10 cm y el punto B esté situado en el lado derecho del punto P (Fig. 59).

35 Dibuja un triángulo rectángulo con los siguientes da-tos: la altura sobre la hipotenusa es de 40 mm y la proyección de un cateto sobre la hipotenusa, 32 mm. Señala el ortocentro, el baricentro, el circuncentro y el incentro.

36 Dados el segmento AB y el punto M, dibuja el triángulo rectángulo ABC, sabiendo que el ángulo en el vértice B es recto y que el punto M es su circuncentro (Fig. 60).

37 De un triángulo rectángulo se conoce la hipotenusa BC y el punto de corte sobre ella de la bisectriz del ángulo A (Fig. 61).

38 Construye la figura ABCDE teniendo en cuenta los siguientes datos:En el triángulo BCD, el lado CD = 70 mm; la altura sobre BD = 55 mm; la altura sobre CD = 60 mm.En el triángulo ABD, la mediana sobre AD = 65 mmEn el triángulo ADE, el ángulo en E = 90º; el lado AD = 100 mm; la altura sobre DA = 30 mm; el lado DE es mayor que el lado AE (Fig. 62).

O B J E T I V O U N I V E R S I D A D

50

O B J E T I V O U N I V E R S I D A D

39 Construye la figura 63 con los siguientes datos:

a) Triángulo BEC BE = 100 mm Altura sobre BC = 85 mm Mediana sobre BE = 85 mm

b) Triángulo ABE Altura sobre AE = 70 mm Altura sobre AB = 60 mm

c) Triángulo CDE Altura sobre CE = 50 mm Altura sobre CD = 88 mm

CUADRILÁTEROS40 Construye un rectángulo conocida la diferencia entre

sus lados, que es igual a 20 mm, y el ángulo entre las diagonales, = 75º.

41 Dibuja un rombo conocido el ángulo agudo que for-man sus lados al cortarse, 45º, y la separación entre sus lados paralelos, que es de 40 mm. Clasifica los cuadriláteros.

42 Construye un romboide de lados a = 40 mm, b = 60 mm y diagonal menor de 50 mm.

43 Construye un romboide sabiendo que el lado mayor AB = 90 mm; la diagonal menor BC = 68 mm y el án-gulo entre las diagonales es = 120°.

44 Dibuja un trapecio dadas las bases, a = 55 mm y b = 25 mm, y los lados no paralelos, c = 30 mm y d = 28 mm.

45 Construye un trapecio sabiendo que la diferencia de sus lados paralelos es BC-AD= 50 mm, siendo AB = 30, BD = 40 y CD = 40 mm.

46 Representa un paralelogramo ABCD conocidos la dia-gonal, AC = 126 mm, la mínima distancia entre los la-dos, AB y CD = 45 mm, y su perímetro, 288 mm.

47 Construye un cuadrilátero ABCD inscriptible en una circunferencia de modo que AB = 20, BD = 60 y AD = 50 mm, siendo BC = CD.

48 Delinea en escala 1:1.000 el plano de la finca ABCD, sabiendo que AB = 90 m, BC = 60 m, CD = 75 m, el ángulo en A = 75º y el ángulo en D = 90º (Fig. 64).

POLÍGONOS REGULARES49 Dibuja un pentágono regular de apotema igual a 4 cm.

50 Construye un hexágono regular sabiendo que la dis-tancia entre dos lados paralelos es igual a 80 mm.

51 Dibuja un heptágono regular estrellado de paso 3 que esté inscrito en una circunferencia de centro O y radio 36 mm.

52 Dibuja un octógono regular inscrito en un cuadrado de diagonal d = 70 mm.

MÓDULOS Y REDES 53 Dibuja la tracería regular que se muestra en la figura 65.

Conciencia y expresiones culturales

Fig. 1

163

La perspectiva cónica

Los seres humanos conocemos el mundo que nos rodea a través de la información que facilitan los sentidos. En este conocimiento juegan un papel importante las imágenes que obtenemos a través de la vista; imágenes que intenta reproducir la percepción fotográfica y que imitamos cuan-do realizamos una perspectiva cónica.

1 PERCEPCIÓN VISUAL Y FOTOGRAFÍA

1.1 La visión humana

Los humanos vemos una única escena tridimensional apre-ciando la profundidad, que sitúa unas formas en relación con otras; el responsable de esta apreciación es la visión binocular.

En el ojo humano, que es una estructura esférica (Fig. 1), cabe destacar los siguientes elementos:• Párpado: al abrirse o cerrarse, permite o impide el paso

de la luz. • Pupila: controla la cantidad de luz que entra en el ojo.• Cristalino: tiene forma de lente biconvexa y se acomo-

da automáticamente para ver enfocados objetos situa-dos a diferentes distancias.

• Retina: es la capa más interna del globo ocular; la per-cepción se realiza por la excitación de unos receptores, conos y bastones, que transforman la energía de radia-ción en impulsos nerviosos que el nervio óptico trans-mite al cerebro; allí son descodificados y dan lugar a la percepción visual.

Cámara posterior

Córnea

Párpado

Músculo recto medial

Esclerótica

Músculo recto medial

Retina

Nervio óptico

Arteria

Cristalino

Pupila

Párpado

Iris

164

9

Fig. 2

Fig. 3

La perspectiva cónica Sistemas de representación

Cuando miramos un objeto, el cristalino forma en la re-tina una imagen real e invertida del objeto (Fig. 2). Las imágenes de las dos retinas se transmiten a las regiones asociadas de la corteza cerebral; el cerebro fusiona ambas imágenes para obtener una representación única que per-mite percibir la profundidad o tercera dimensión.

1.2 La fotografía

La palabra fotografía deriva de dos raíces griegas: photos, luz, y graphos, escribir; por tanto, fotografía significa es-cribir con la luz. Su nacimiento se sitúa en la primera mi-tad del siglo XIX, cuando el francés Joseph Niépce realiza, en 1826, la primera fotografía de la historia: un paisaje tras ocho horas de exposición. De los conocimientos cien-tíficos que permiten llegar a este hecho, destacamos dos:

• La cámara oscura: consiste en una caja vacía en la que solo entra luz por un orificio practicado en una de sus paredes; los rayos de luz proyectan las imágenes del exterior sobre la cara opuesta del orificio.

Se conoce desde Aristóteles, en el siglo IV antes de Cris-to, pero es en el Renacimiento cuando algunos artistas la utilizan para realizar mejor sus dibujos en perspec-tiva. Durante el siglo XVII se fabricaban móviles, de un tamaño suficiente para que el pintor, en su interior, di-bujara con lápiz sobre la imagen proyectada (Fig. 3).

• Materiales sensibles a la luz: la necesidad de dibu-jar sobre la imagen proyectada desaparece al descubrir materiales, como el nitrato de plata, que se ennegre-cen con la luz. La permanencia de la imagen se logró con el descubrimiento, hacia 1819, del hiposulfito de sodio como fijador de las sales de plata.

Cristalino

Nervioóptico

Imagen formada en la retina

Retina

Objeto

Pupila

Córnea

Formación de las imágenes en el ojo

165

9

Fig. 4

Fig. 5

OJO HUMANO


A partir de aquí, se suceden numerosos avances que desarrollan la fotografía, con hitos importantes como el descubrimiento del daguerrotipo*, la aparición de la Kodak n.º 1, la fotografía en color, la cámara portátil, la réflex*, etc., hasta llegar a la fotografía digital. Con va-riaciones y mejoras sucesivas, todas las cámaras fotográ-ficas tienen unos elementos comunes, con las siguientes equivalencias respecto al ojo humano:

ObjetivoGrupo de lentes que concentran los rayos de luz emanados del objeto

que se quiere fotografiar

Dispositivo mecánico que controla el tiempo de exposición a la luz

(apertura del diafragma)

Permite la entrada de luz en la cámara

Superficie sobre la que se forma, en el interior de la cámara, la imagen

del objeto que queremos fotografiar

Obturador

Diafragma

Plano focal

Cristalino

Párpado

Pupila

Retina

ELEMENTO DE LA CÁMARA FUNCIÓN EN LA FOTOGRAFÍA

De manera esquemática, en la figura 4, vemos el proceso de formación de la imagen fotográfica. Esta imagen tiene las mismas características que la visión monocular del ojo humano, que intentamos reproducir al realizar una pers-pectiva cónica:• Ante dos objetos iguales, vemos más pequeño el que

está más alejado del observador. • En determinados casos, las rectas paralelas se ven con-

vergentes al alejarse de la posición del observador.• Los elementos más lejanos quedan situados por encima

de los más cercanos.

2 FUNDAMENTOS DE LA PERSPECTIVA CÓNICA

La historia de los sistemas de representación es una bús-queda continua para representar la profundidad del mun-do real sobre superficies planas. En 1415, el arquitecto florentino Brunelleschi formuló las leyes de la perspectiva central, tal como recoge Alberti en su obra De pictura (1435). Llama la atención la introducción de un método científico en el campo artístico de la representación pic-tórica.

Alberti propone unas reglas para pintar lo que ve el ojo humano y basa su método en el llamado velo de Alberti (Fig. 5). Si se coloca entre la escena y el ojo una pantalla de vidrio, su intersección con cada rayo proyectante de-

166

9

Fig. 6

Fig. 7

termina sobre esta un punto de la escena. Los puntos de esta sección (Fig. 6) definen una imagen parecida a la es-cena inicial y semejante también, pero sin invertir, a la de la imagen que se forma sobre la película de una cámara fotográfica.

Alberti introduce términos como proyección y sección, que están en la base de lo que aún hoy conocemos como sec-ción plana de la pirámide visual. Su método, enriquecido con las aportaciones de Da Vinci, Piero della Francesca y Durero, permitirá conseguir trazados perfectos desde un punto de vista geométrico.

2.1 Elementos por considerar

Los elementos descritos en los apartados anteriores, que intervienen en la generación de una imagen en perspecti-va cónica, los complementamos en la geometrización re-presentada en la figura 7 explicada a continuación:• Plano del cuadro, PQ: es el plano que determina la

sección plana de la pirámide visual y sobre el que se forma la imagen en perspectiva. Está situado entre los objetos que se han de representar y el punto de vista.

• Plano geometral, PG: es un plano horizontal, perpen-dicular al del cuadro en el que se apoyan tanto el obser-vador como los objetos por representar.

• Plano del horizonte, PH: se trata de un plano paralelo al geometral, que contiene el punto de vista.

• Línea de tierra, LT: es la intersección de los planos geometral y del cuadro.

• Línea del horizonte, LH: es la intersección de los pla-nos del horizonte y del cuadro.

• Punto de vista, V: representa la posición del observa-dor y el vértice de la pirámide visual que, al cortarse con el PQ, forma la imagen perspectiva de los objetos.

• Punto principal, P: es la proyección ortogonal sobre el plano del cuadro del punto de vista V; está situado en la línea del horizonte, LH.

• Puntos de distancia (en la perspectiva cónica de un punto de fuga): son dos puntos D y D’ situados sobre la LH, uno a cada lado del punto principal P.


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9

Fig. 9

Fig. 10

Fig. 11

Fig. 8

Los elementos anteriores, considerando el plano del cua-dro como plano de trabajo, quedan dispuestos en la for-ma esquemática de la figura 8. La distancia entre LH y LT equivale a la altura desde la que miramos el objeto que queremos representar y el segmento PV es la distancia del punto de vista al plano del cuadro.

2.2 Tipos de perspectiva cónica

La imagen formada en el plano del cuadro produce en los sentidos la misma impresión de realidad que la visión de este objeto desde un punto de vista determinado, con las deformaciones y reducciones fruto de la distancia y de la altura de observación.

La posición del objeto en relación con el plano del cuadro determina las características de la perspectiva y el tipo de imagen que obtenemos. Como presentación y clasifica-ción de la perspectiva cónica, vemos la representación de un mismo objeto en los tres supuestos siguientes:

• Perspectiva frontal, o de un punto de fuga. Cuando el objeto por representar tiene una cara paralela al pla-no del cuadro. Las aristas perpendiculares a PQ concu-rren en el punto principal P, mientras que las paralelas, verticales u horizontales, se mantienen en esta posición (Fig. 9).

• Perspectiva oblicua, o de dos puntos de fuga. Cuando ninguna de las caras del objeto es paralela al plano del cuadro. Las aristas oblicuas a PQ concurren en los puntos de fuga F y F’ situados en LH, mientras que las paralelas verticales se mantienen en esta posición (Fig. 10).

• Perspectiva oblicua, de tres puntos de fuga. Cuando ninguna de las caras o aristas del cuerpo es paralela al plano del cuadro. Hay un punto de fuga para cada una de las tres direcciones del espacio (Fig. 11).


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9

Fig. 12

Fig. 13

Fig. 14

2.3 Variaciones y tipologías de la perspectiva cónica

La imagen directa que tenemos de un objeto depen-de de la posición desde la cual lo miramos. En el caso de la perspectiva cónica sucede lo mismo y esta posición se concreta en los parámetros siguientes:• Posición del plano del cuadro, PQ: define la

posición del observador respecto al objeto, esco-giendo las caras que nos interesa destacar. En la figura 10, al no tener caras paralelas al plano del cuadro, se consigue la visión simultánea de dos caras del objeto, con una mejor comprensión de su geometría.

• Altura del punto de vista: es la altura desde la que se mira el objeto y determina cómo lo vemos, desde arriba o desde abajo; llevado al extremo, podríamos llegar a realizar representaciones simi-lares al picado o contrapicado fotográfico.

Se refleja en la separación entre las líneas de ho-rizonte y de tierra, LH y LT. En las figuras 12 y 13 representamos un cubo en el que, manteniendo iguales los otros parámetros, varía la altura desde la que se observa.

• Distancia de observación: es la separación des-de la que miramos el objeto, más cerca o más lejos (valores extremos de este parámetro provo-carían las mismas deformaciones que un gran an-gular o un teleobjetivo).

Se refleja en la distancia entre los puntos principal y de vista, P y V. En los dos cubos representados en la figura 14, manteniendo iguales los otros pa-rámetros, vemos el efecto de utilizar valores dife-rentes de la distancia de observación PV.


169

9

Fig. 15

3 CONSTRUCCIÓN DE PERSPECTIVAS FRONTALES

3.1 Disposición de los parámetros de la perspectiva

Nuestro plano de dibujo es el plano del cuadro; empezare-mos por situar los elementos de referencia para el trazado de la perspectiva:• Dos rectas paralelas, LH y LT, con una separación entre

ambas igual a la altura desde la que se observa el objeto.• Punto principal P, y puntos de distancia D y D’ situados

sobre LT. Las distancias PD y PD’ son iguales entre sí e iguales a la distancia entre P y el punto de vista V.

En la perspectiva frontal, el punto principal P es el punto de fuga de las rectas horizontales que forman 90° con el plano del cuadro. Los puntos de distancia D y D’ lo son de las rectas horizontales que forman 45° con el plano del cuadro; se utilizan para medir distancias sobre las rectas que concurren en P.

3.2 Perspectiva de formas planas

Comenzamos por situar un segmento en perspectiva (Fig.15). Esta construcción nos servirá para medir distancias.

La distancia AT representa la separación del punto A de la línea de tierra, LT; dado que este segmento es perpendicu-lar a LT, su representación en perspectiva fugará al punto P; sobre el segmento TP determinaremos la posición del punto A en perspectiva.

Las magnitudes medidas sobre LT son siempre magnitu-des reales. Medimos sobre LT el segmento T(A), igual a la distancia TA, y unimos (A) con el punto de distancia D; la intersección con el segmento TP define la posición del punto A’, perspectiva frontal del punto A.

El triángulo perspectivo T(A)A’ es rectángulo e isósceles, y los segmentos T(A) y TA’ representan la misma magnitud. Por tanto, TA’ representa la magnitud de TA, siendo A’ la posición perspectiva del punto A.


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9

Fig. 16

Fig. 17

• Cuadrado, en posición horizontal, con un lado coincidente con LT El cuadrado de la izquierda (Fig. 16) tiene el

lado AE sobre LT, por lo que estará en verda-dera magnitud. Los dos lados perpendicula-res, AB y EC, fugarán al punto principal P.

Sobre las rectas que concurren en P llevaremos la magnitud reducida del lado del cuadrado. Unimos E con D y la intersección con AP de-termina la posición de B’. El lado B’C’ se man-tiene paralelo al lado AE en la cónica frontal.

• Cuadrado horizontal separado de LT, pero con dos lados paralelos

El cuadrado de la derecha (Fig. 16) se halla por detrás de PQ, con dos lados paralelos a LT. Pro-longamos los otros lados, AB y EC, hasta su in-tersección con LT, desde donde fugan al punto P.

Para situar los vértices en perspectiva trazamos la diagonal AC, que prolongamos hasta su in-tersección con LT en el punto R. El segmento RD’ determina la posición de los vértices A’ y C’; por estos vértices trazamos paralelas a LT para determinar los otros dos vértices, E’ y B’, y completar el cuadrado en perspectiva.

• Cuadrado horizontal con un vértice en LT y girado un ángulo cualquiera

Trazamos una LT auxiliar, paralela a LT y a cual-quier distancia de ella, respecto a la que dibu-jamos el cuadrado auxiliar ABCE, figura 17. Por cada uno de los vértices del cuadrado trazamos perpendiculares a LT y, desde los puntos de in-tersección, rectas que fugarán al punto princi-pal P. Para situar sobre estas rectas los vértices B’, C’ y E’, nos valemos de la perpendicular 1-2 que pasa por E, como línea de referencia.

Para determinar el vértice B’, por el vértice B del cuadrado auxiliar trazamos una paralela a LT hasta cortar el segmento 1-2; con centro en 1 trazamos el arco 1b. Desde el punto b, perpendicularmente a LT, determinamos la posición (b), que unida al punto de distancia D, intercepta sobre el segmento 2P el pun-to b’, desde el que, mediante una paralela a LT, determinamos B’. De forma similar, halla-remos la posición perspectiva del vértice C’ y E’; el vértice A’ estará situado sobre LT. Los vértices A’B’C’E’ determinan la posición del cuadrado en perspectiva.


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9

Fig. 18

Fig. 19

Fig. 20

• Circunferencia situada en un plano horizontal Respecto de LT dibujamos la circunferencia auxiliar en

verdadera magnitud y el cuadrado circunscrito, ABCE, que nos servirá como referencia (Fig. 18). Situamos el cuadrado en perspectiva (cuadrilátero ABC’E’); utilizan-do el procedimiento para trazar la elipse dados los diá-metros conjugados, determinamos los puntos 1’, 2’, 3’ y 4’ que, unidos a mano alzada, determinan la posición de la circunferencia en perspectiva cónica frontal.

En la circunferencia auxiliar, mediante las diagonales AC y BE, determinamos los cuatro puntos de intersección con la circunferencia y su centro O. Estas diagonales, puestas en perspectiva, determinan los puntos 1’, 2’, 3’ y 4’ y el centro O’ de la elipse (observamos la posición desplazada de este en el cuadrilátero ABC’E’).

3.2 Perspectiva de sólidos

Los procedimientos utilizados en el apartado anterior son generalizables a cualquier forma plana, y están en la base de los trazados necesarios para situar sólidos en perspecti-va, de los que veremos algunos ejemplos:• Perspectiva frontal de un cubo El primer cubo, figuras 19 y 20, tiene la cara ABCE situa-

da en el plano del cuadro, por lo que estará en verdadera magnitud. Por los vértices de esta cara trazamos rectas perpendiculares a ella que, en perspectiva frontal, fuga-rán al punto P. Para situar sobre una de estas rectas, la AP en la figura, la magnitud de la arista del cubo, unimos el vértice B con el punto de distancia D y en su inter-sección tenemos la posición perspectiva G’ de un nuevo vértice del cubo.

A partir de G’, trazamos la paralela y la perpendicular a LT que nos definen, respectivamente, la posición de los vértices I’ y H’. A partir de estos hallamos la posición del vértice J’. Cuando unimos los vértices para definir el cubo tal como aparece en la figura 20, diferencia-mos, mediante el tipo de línea, las aristas vistas y las ocultas.


172

9

Fig. 21

Fig. 22

Fig. 23

El segundo cubo, figuras 21 y 22, tiene la cara ABCE paralela al plano del cuadro, pero a una distancia d por detrás de él. A partir de un punto 1 cualquiera de LT, situamos las verdaderas magnitudes de la distancia d (punto A) y de la arista del cubo (punto B); desde este último, sobre una perpendicular a LT, determinamos el punto E (con la verdadera magnitud de la arista).

Desde los puntos A, B y E fugamos al punto principal P; el segmento 1-D’ determina la posición perspectiva de los vértices A’ e I’; a partir de ellos, mediante paralelas y perpendiculares a LT, completamos los vértices y las aristas del cubo tal como vemos, finalmente, en la figu-ra 22.

• Perspectiva frontal de un sólido cualquiera El sólido de la figura 23, del que conocemos las vistas

acotadas, es el que pondremos en perspectiva cónica frontal. Conviene, previamente, imaginarse la pieza y la orientación más conveniente para que la perspectiva refleje todos los detalles con claridad.

Comenzamos por situar la planta en perspectiva (Fig. 24), con el lado AB en LT y sus perpendiculares fu-gando a P. Para llevar sobre BP la profundidad b de la figura, la medimos sobre LT a partir del punto B y unimos el otro extremo con el punto de distancia D; la intersección con BP nos sitúa la posición del vértice C’. La paralela a LT, trazada desde C’, intercepta sobre AP la posición del cuarto vértice E’ de la planta.

Desde el vértice A levantamos una recta perpendicular a LT, sobre la que situamos en verdadera magnitud las alturas de la figura tomadas del alzado. De esta manera obtenemos la arista AG, fugando el extremo G a P. La vertical levantada desde E’ nos determina la arista E’H’ (las verticales AG y E’H’ representan la altura c de la pieza, en dos posiciones perspectivas diferentes).

A partir de la figura 24 resulta fácil completar la pers-pectiva; así lo hemos llevado a cabo en la figura 25. Por el punto J de la altura correspondiente a 1/3 c, traza-mos una paralela a LT hasta cortar las verticales levan-tadas desde B y desde el punto medio de AB, puntos M y N desde los que fugamos nuevamente a P. A partir de los vértices disponibles en la planta, podemos deter-minar los vértices y las aristas restantes para completar la representación del sólido.


173

9

Fig. 24Fig. 25

Fig. 26

4 CONSTRUCCIÓN DE PERSPECTIVAS OBLICUAS

4.1 Disposición de los parámetros de la perspectiva

Los datos para construir una perspectiva oblicua son la altura y la distancia desde las que miramos el objeto, además de las vistas y cotas de este. El proceso previo al trazado de una perspectiva de dos puntos de fuga F y F’, que representan los extremos laterales de un campo de visión de 90°, supone situar sobre el papel del dibujo los elementos que vemos en la figura 26 y que, paso a paso, situaremos del siguiente modo:1. Líneas de tierra y de horizonte, LT y LH, separadas una

distancia igual a la altura de observación.2. Sobre LH marcamos el punto principal P y, sobre la per-

pendicular a la línea de tierra trazada por este punto,

situamos el punto de vista V a una distancia PV igual a la de observación.

3. Desde V trazamos dos rectas perpendiculares entre sí que, al cortarse con LT, nos definen la posición de los puntos de fuga, F y F’. En relación con la horizontal, es-tas rectas suelen formar ángulos de 30° y 60°, según la cara del objeto que queramos destacar; estos ángulos son los mismos que formará la planta con el plano del cuadro.

4. Cada punto de fuga tiene asociado un punto métrico. Con un arco de circunferencia de centro en F y radio igual al segmento FV, determinamos sobre LH el punto métrico M correspondiente al foco F; el punto métrico M’, correspondiente al otro foco F’, se determina con un arco de radio igual al segmento F’V y de centro F’.


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Fig. 27

Fig. 28

4.2 Perspectiva oblicua de formas planas

Podemos situar un objeto en perspectiva cóni-ca oblicua mediante dos métodos diferentes: puntos métricos y proyecciones visuales. Utilizaremos ambos para poner en perspecti-va un cuadrado; esta forma geométrica (o un rectángulo) la podemos circunscribir a cual-quier forma plana irregular para realizar más fácilmente la representación en perspectiva.

• Por el método de los puntos métricos En la figura 27 hemos dispuesto un cua-

drado en perspectiva cónica oblicua, con uno de sus vértices en la línea de tierra. Los lados perpendiculares, AB y AD, fugarán desde A a cada uno de los puntos de fuga. Para situar sobre AF’ y AF la medida del lado del cuadrado, hemos de llevar la mag-nitud real sobre la línea de tierra, segmen-tos A(B) y A(D), y unir los extremos (B) y (D) con el punto métrico correspondiente. De esta manera, el segmento (B)M’, al cor-tarse con AF’, nos determina el punto B’. De forma similar, obtendremos la posición del vértice D’.

Para hallar la posición perspectiva del cuarto vértice, desde B’ trazamos la para-lela perspectiva a AD’ (un segmento que, partiendo de B’, fuga al mismo punto que AD’) y desde D’ trazamos la paralela pers-pectiva a AB’; la intersección de B’F y D’F’ determina la posición del vértice C’.

• Por el método de proyecciones visuales En la figura 28 hemos dispuesto un cuadra-

do en perspectiva cónica oblicua, situado tras el plano del cuadro. Primero situamos los parámetros perspectivos: las líneas LH y LT, y los puntos P y V. Dibujamos un cua-drado real auxiliar sobre LH con la separa-ción e inclinación en relación con el PQ so-licitados. Los pasos seguidos para ponerlo en perspectiva han sido:1. Las paralelas trazadas por el punto de

vista V a los lados AD y AB del cuadra-do auxiliar, cuando se cortan con la LH, determinan los focos F y F’.

2. Unimos V con los vértices del cuadrado auxiliar, determinando en la intersec-ción con LH los puntos 1, 2, 3 y 4.


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9

Fig. 29

3. Prolongamos los lados AB y AD del cuadrado hasta la LH, y desde aquí trazamos perpendiculares a LH hasta que corten por A1 y A2 la línea de tierra.

4. Unimos A1 con F’ y A2 con F; su intersección es la posición perspectiva A’ del vértice A del cuadrado.

5. Las perpendiculares a LH desde los puntos 1 y 4, cuando se cortan con A’F y A’F’, determinan, res-pectivamente, la posición de los vértices D’ y B’.

6. Desde D’ y B’ trazamos paralelas perspectivas (con-currentes en el mismo punto de fuga) a los lados A’B’ y A’D’; su intersección es el vértice C’, que permite completar la perspectiva del cuadrado A’B’C’D’.

4.3 Perspectiva oblicua de sólidos

Utilizaremos los dos métodos anteriores para determinar la perspectiva oblicua de dos cuerpos diferentes. En am-bos casos, primero situaremos la planta en perspectiva y, después, la altura de los vértices que la tengan, midiendo los valores reales de estas en relación con la línea de tierra; mediante paralelas perspectivas, las trasladaremos a la po-sición correspondiente.

• Prisma hexagonal regular por el método de proyecciones visuales Por encima de LH dibujamos la planta hexagonal en

verdadera magnitud (Fig. 29) y le circunscribimos un rectángulo para referir más fácilmente sus vértices a la perspectiva. El proceso seguido para representar el pris-ma ha sido el siguiente:1. Desde el punto de vista, trazamos paralelas a los

lados del rectángulo circunscrito al hexágono para definir los focos F y F’.

2. Prolongamos los lados 1-4 y 3-4 del rectángulo hasta su intersección con LH, y desde ahí trazamos perpendicu-lares a LH hasta que corten por 41 y 42 la línea de tierra.

3. Unimos 41 con F’ y 42 con F; la intersección de estos segmentos determina el vértice 4’ del rectángulo.

4. Unimos V con los vértices 1 y 3 del rectángulo cir-cunscrito y, por los puntos de intersección con LH, bajamos perpendiculares que, cuando se corten con 4’F y con 4’F’, determinarán la posición de los vérti-ces 1’ y 3’ del rectángulo.


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9

Fig. 30

5. Desde 1’ y 3’ trazamos paralelas perspectivas, res-pectivamente, a los lados 4’3’ y 4’1’; su intersección define el vértice 2’, que completa el rectángulo en perspectiva.

6. Sobre los lados del rectángulo 1’2’3’4’ hemos de si-tuar los vértices del hexágono. Para ello unimos V con cada uno de sus vértices y, desde los puntos de intersección con LH, trazamos perpendiculares a LT para determinar sobre el lado correspondiente de 1’2’3’4’ los vértices de la base hexagonal.

7. Con la planta ya en perspectiva, nos falta llevar la altura del prisma a sus diferentes vértices. Unimos F’ con D’ y A’ y prolongamos la recta hasta que corte la línea de tierra por el punto Q (Fig. 30); por este punto levantamos una perpendicular a LT igual a la altura en verdadera magnitud y unimos el extre-mo R con F’. Los segmentos QF’ y RF’ son paralelos perspectivos; las verticales levantadas por A’ y D’, cuando se cortan con RF’, determinan segmentos de igual longitud que QR.

8. Repetimos el proceso para situar la altura del pris-ma sobre los otros vértices de la base inferior. Con la altura en perspectiva en todos ellos, realizaremos la unión de los extremos superiores para obtener la segunda base del prisma.

9. Resaltaremos el resultado en perspectiva, diferen-ciando las aristas vistas y ocultas según el punto de vista de la perspectiva.


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Fig. 31

• Escaleras en perspectiva por el método de los puntos métricos Pondremos en perspectiva cónica oblicua un tramo de

cuatro escalones, más un pequeño rellano. Además de los parámetros de la perspectiva, suponemos que cono-cemos las dimensiones de la escalera: la huella a de cada uno de los peldaños y la altura u, así como la profundi-dad 3a del rellano y el ancho m del conjunto.

Situamos (Fig. 31) las líneas de tierra y de horizonte, LT y LH, a una distancia igual a la altura de observación y el segmento PV igual a la distancia de observación. Desde V, con ángulos de 60° y 30°, determinamos los puntos de fuga, F y F’ y, a partir de estos, los puntos métricos M y M’.

Situamos la escalera con el vértice A coincidente con el plano del cuadro; desde este punto trazamos las perpen-diculares perspectivas que fugan a F y F’. Sobre la línea de tierra, a la derecha de A, llevamos la magnitud real de las huellas de los cuatro peldaños y la del rellano y, hacia la izquierda, el ancho m de la escalera; verticalmente, a partir de A, llevamos la altura u de uno de los peldaños.

Para situar los valores de las huellas en perspectiva, uni-mos los extremos de los segmentos a1, a2, a3, etc. con M’, y en su intersección con AF’ determinamos el valor perspectivo. A continuación, mediante el punto métrico M y sobre AF, llevamos la magnitud perspectiva de la anchura m de la escalera.


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Fig. 32

A partir de la vertical con la altura u del primer peldaño, fugamos otra vez a F y F’, y desde el punto 1’ de AF’ levantamos una vertical para determinar, en perspectiva, la huella del primer peldaño. Desde este punto fugamos también a F y, repitiendo el proceso por el otro extremo de la escalera, habremos completado el primer peldaño.

En la figura 32 hemos completado el trazado de la pers-pectiva del tramo de escaleras; para determinar la altu-ra del resto de peldaños, hemos fugado a F’ desde cada una de las divisiones marcadas con la altura u sobre la vertical trazada por A, hasta determinar la intersección con la vertical correspondiente levantada por las divisio-nes 2', 3', 4'.


Una mirada con perspectiva

En el año 1415, el arquitecto florentino y teórico de la perspectiva renacentista Filippo Brunelleschi realizó un famoso experimento para demostrar que la perspectiva cónica era el sistema de representación más parecido a la visión humana y la que mejor imitaba la realidad.

Pintó minuciosamente el edificio del Baptisterio de Florencia en un cuadro pequeño, y practicó un agujero en medio. Se colocó frente al edificio sujetando la pintura. Situó un espejo frente al cuadro que reflejara la imagen pintada. ¡Y al mirar por el agujero comprobó que la pintura y la realidad encajaban y se confundían de un modo prodigioso!

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ACTIVIDADES

CÓNICA FRONTAL1 Realiza la perspectiva de un cuadrado de 35 mm de lado

colocado sobre el plano geometral, con sus lados for-mando un ángulo de 45° con el plano del cuadro y uno de los vértices situado sobre este y 10 mm a la izquierda de la línea del punto de vista. La altura de visión es de 50 mm y la distancia de visión es de 60 mm.

2 Dibuja una perspectiva frontal de un cubo de 30 mm de arista, situando el punto de vista a 54 mm de la cara vertical más próxima y a una altura de 60 mm.

3 Realiza la perspectiva frontal de una pirámide regular de base pentagonal apoyada sobre el plano geometral. Los lados del pentágono miden 30 mm y la altura de la pirámide es de 60 mm. La altura de visión es de 84 mm y la distancia de visión, de 102 mm.

4 Realiza la perspectiva frontal de las figuras 33, 34 y 35, a escala doble, a partir de los datos del enunciado. Sitúa el punto A’-A’’ en el punto A del papel.

5 Dibuja la perspectiva frontal de la figura 36, a escala doble, a partir de los datos del enunciado y situando el punto A’-A’’ en el punto A del papel.

6 Representa en cónica frontal la figura 37 dada por sus vistas. Datos de situación: distancia principal = 55 mm, distancia entre LT y LH = 45 mm. El punto A está 25 mm a la izquierda del punto de vista. Cotas en milíme-tros. Dibuja a escala doble.

7 Dadas las proyecciones de la figura 38, dibuja la pers-pectiva cónica frontal, a escala doble, a partir de los datos del enunciado y situando el punto A’-A’’ en el punto A del papel.

CÓNICA OBLICUA8 En perspectiva cónica oblicua, dibuja un cubo de 60

mm de arista apoyado en el plano geometral de manera que las caras verticales del cubo formen 30° y 60° con el plano del cuadro; sitúa la arista vertical más cercana a 40 mm del plano del cuadro y 30 mm a la izquierda del plano principal (lámina en posición horizontal).

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ACTIVIDADES

9 Realiza la perspectiva oblicua de las figuras 39, 40 y 41, a escala doble, a partir de los datos del enunciado.

10 Dibuja la perspectiva cónica oblicua del sólido repre-sentado en la figura 42. El punto de vista V está situa-do a 70 mm del plano del cuadro y a 65 mm sobre el plano geometral, en el que se apoya. Cotas en milí-metros.

11 Realiza la perspectiva cónica oblicua de la figura 43, a escala doble, según los datos del enunciado. Sitúa la figura a partir de la posición del punto N.

12 Realiza la perspectiva cónica oblicua de la figura 44 a partir del punto de vista indicado y según los datos del enunciado. Lámina en formato apaisado.

13 Dibuja la perspectiva cónica oblicua de la figura 45 a partir de los datos del enunciado. Cotas en milímetros. Lámina en formato apaisado.

14 A partir de las vistas de la figura 46, dibuja la pers-pectiva cónica oblicua según los datos del enunciado. Lámina en formato apaisado.

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15 Definido el sistema cónico por la línea de tierra LT, la línea del horizonte LH, el punto principal P y el abati-miento sobre el plano del cuadro del punto de vista (V), se pide: dibujar la perspectiva cónica de la figura pla-na dada por su abatimiento sobre el plano del cuadro, sabiendo que esta figura está situada sobre el plano geometral, por detrás del plano del cuadro (Fig. 47).

16 Dadas las proyecciones diédricas de la figura, dibuja a escala 1:1 la perspectiva lineal central de plano del cuadro vertical, considerando el punto de vista V, la línea de tierra LT y la línea del horizonte LH (Fig. 48).

17 Dibuja a escala 2:1 la perspectiva lineal central de pla-no π del cuadro vertical, desde el punto de vista V, da-dos la línea de tierra, la línea del horizonte y el punto N (Fig. 49).

18 Dadas las proyecciones diédricas de la figura, dibuja la perspectiva lineal central, a escala 1:1, desde el punto de vista V y considerando el plano del cuadro vertical p, la línea de tierra LT y la línea del horizonte LH (Fig. 50).

19 Dadas las proyecciones de la figura 51, dibuja la pers-pectiva cónica oblicua, según los datos siguientes:

a. Distancia P-V = 70 mm b. Altura V (distancia LT-LH) = 100 mm c. Cotas en milímetros

OBJETIVO UNIVERSIDAD

20 Dadas las proyecciones diédricas de la figura 52, rea-liza la perspectiva lineal del plano del cuadro vertical π desde el punto de vista V, considerando la línea de tierra LT, la línea del horizonte LH y el punto N de los datos. Escala de realización 1:1.

OBJETIVO UNIVERSIDAD

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21 Dadas las proyecciones de la figura 53, dibuja la pers-pectiva cónica oblicua siguiente:

a. Distancia P-V = 110 mm b. Altura V (distancia LH-LT) = 110 mm c. Cotas en milímetros

22 Dadas las proyecciones diédricas, dibuja la perspectiva lineal del plano del cuadro vertical π, desde el punto de vista PV, considerando la línea de tierra LT, la línea del horizonte LH y el punto N. Escala 1:1 (Fig. 54).

23 Dadas las proyecciones diédricas de la figura 55, dibuja la perspectiva lineal del plano del cuadro vertical π des-de el punto de vista V, considerando la línea de tierra LT, la línea del horizonte LH y el punto N. Escala 1:1.





26 Dadas las proyecciones diédricas de la figura 58, dibuja la perspectiva lineal de plano de cuadro vertical π des-de el punto de vista V, considerando la línea de tierra LT, la línea del horizonte LH y el punto N. Escala 1:1.

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