POLÍGONOS. CARACTERÍSTICAS GENERALES. RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DE LOS TRIÁNGULOS. 1º...

POLÍGONOS

TRIÁNGULOS

Características Generales

Rectas y puntos notablesCircunferencias vinculadas

C

BA

b

a

c

ha hb

H

hc

IES Camp de Túria. Departamento de Dibujo. DIBUJO TÉCNICO I. 1º Bachillerato

POLÍGONO:

Polígono es la porción del plano limitada por rectas que se cortan dos a dos.

Elementos de un polígono: LADOS: Son los segmentos que lo limitan (a, b, c, d). VÉRTICES: Son los extremos de los lados (A, B, C, D).

ÁNGULOS: Son los que forman cada dos lados

consecutivos ( a, b, g, e )CONTORNO: Es la línea quebrada que forman sus lados.PERÍMETRO: Es la suma de sus lados (a + b + c + d).DIAGONAL: Es el segmento que une dos vértices no consecutivos.

Ÿ

Ÿ

Ÿ

Ÿ

Ÿ

Ÿ

CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS

P. EQUILÁTEROS P. EQUIÁNGULOS P. REGULARES

POLÍGONOS I. Característica Generales. Triángulos 1

POLÍGONO

A

C

D

a

a

a

g

bb b

g ge

a a

a = b = g = e a = b = g = ea = b = c = d

e

e

g

b

b

cd

B

lanogaid

Según el número de lados, los polígonos se llaman:

Si seguimos aumentando el número de lados conseguiremos el UNDECÁGONO (11 lados), DODECÁGONO ( 12 lados) POLÍGONO DE TRECE LADOS, POLÍGONO DE 14 LADOS, PENTADECÁGONO...

Los que tienen todossus lados iguales

Los que tienen todossus ángulos iguales

Son equiláteros y equiángulosa la vez. Todos los que no

son regulares son IRREGULARES

TRIÁNGULOTres lados

HEPTÁGONOSiete lados

CUADRILÁTEROCuatro lados

OCTÓGONOOcho lados

PENTÁGONOCinco lados

ENEÁGONONueve lados

HEXÁGONOCinco lados

DECÁGONODiez lados

ac

dd

a

b

c a c

bb

a = b = c = d


POLÍGONOS CÓNCAVOS Y CONVEXOS

POLÍGONO INSCRITO Y POLÍGONO CIRCUNSCRITO A UNA CIRCUNFERENCIA

POLÍGONOS CONVEXOS

POLÍGONOS CÓNCAVOS

POLÍGONO CONVEXO es el que se encuentra

por entero en el semiplano que define una recta que pasa por uno cualquiera

de sus lados.

POLÍGONO CÓNCAVOEs cóncavo si no se encuentra

por completo en elsemiplano que define

una recta que pasa por cualquiera de sus lados.

El polígono cóncavo puede ser cortado en más de

dos puntos por una recta.

El polígono convexo sólo puede ser cortado en

dos puntos por una recta coplanaria con él.

semiplano semiplano

semiplano semiplano

sem

ipla

no

sem

ipla

no

sem

ipla

no

sem

ipla

no

P

P

P

Q

Q

S

S

R

R

P

Q Q

POLÍGONO INSCRITO en una circunferencia es aquel

que tiene sus vérticesapoyados en la circunferencia.

A su vez, la circunferencia es circunscrita al triángulo.

POLÍGONO CIRCUNSCRITO a una circunferencia es aquel

cuyos lados sontangentes a la circunferencia.

A su vez, la circunferencia está inscrita en el triángulo.

IA CC IRN CE UR NE SF CN RU IC T A R I C

CIRCUNFERENCIA INSCRITA


A + B + C = 180º

A B + CB A + CC A + B

TRIÁNGULOS

Los triángulos son figuras planas formadas por tres puntos no alineados y por tres segmentos que los unen dos a dos (los tres

puntos son los vértices y los tres segmentos los lados.

Los VÉRTICES se designan con letras mayúsculas. El orden de los vértices es el contrario de

las agujas del reloj

Los ÁNGULOS se designan con letras mayúsculas oletras

griegas ( a, b, g )

Los LADOS se designan por las letras de sus extremos o por una letra minúscula igual a la del vértice opuesto

( lado AB o c)

PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LOS TRIÁNGULOS

PERÍMETRO DE UN TRIÁNGULO

1. La suma de los ángulos interiores vale 180º

2. Cada lado tiene que ser menor que la sumade los otros dos y mayor que su diferencia.

3. A mayor lado se opone mayor ángulo

La consecuencia de que la suma de ángulos de 180º es la siguiente:

El perímetro de un triángulo es la suma de todos sus lados. Se expresa por 2p.

2p = a + b + c

A

A

ag

a

b

b

c

c

C

C

B

B


b

g

a

A

a

c

b

2p

C´ C´´B

C

Un triángulo sólo puede tener un ángulo recto u obtuso yentonces los otros dos han de ser agudos.

a a

a

ab b

bg g

g


TRIÁNGULOS

RECTAS Y PUNTOS NOTABLES. CIRCUNFERENCIAS VINCULADAS

BISECTRICES. INCENTRO

BISECTRICES EXTERIORES. EXINCENTROS

A

A

EB

EC

EA

I

I

B

B

C

C

ba

ab

c

bb

bc

Los tres ángulos interiores (A, B y C) tienen sus bisectrices

correspondientes (ba , bb, bc ) que se cortan en un punto I

llamado incentro, que equidista de los tres lados a, b y c, siendo centro

de una circunferencia tangente a ellos: la circunferencia inscrita al triángulo.

La bisectriz como magnitud es el segmento

de bisectriz comprendido entre el vértice y el lado opuesto.

Las bisectrices de los ángulos adyacentes a los interiores, se

cortan entre sí y con las bisectrices antes descritas en tres puntos:Ea ,Eb ,Ec que equidistan de

las tres rectas;a estos puntos se les denomina exincentros y son centros de

tres circunferencias exinscritasal triángulo.

Evidentemente se verifica que:• Cada bisectriz exterior es

perpendicular a su respectiva interior.

• Cada exincentro pertenece a la bisectriz interior del ángulo que los comprende y también alas exteriores de las otras dos.


BASE DE UN TRIÁNGULO ÁNGULO EXTERIOR DE UN TRIÁNGULO

Base de un triánguloEs un lado cualquiera.

A menudo se llama base al lado horizontal sobre el

cual parece que descansa el triángulo.

ÁNGULO EXTERIOREs el formado por un lado y la prolongación de otro.

Es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes,por tanto mayor que cualquiera de ellos.

abase


TRIÁNGULOS


ALTURAS Y ORTOCENTRO

MEDIATRICES Y CIRCUNCENTRO

A

A

P

R

Q

Mc

Mb

Ma

Ma

Md

Md

C

I

B

B

C

BA

b

a

c

ha hb

H

hc

D

D

mb

ma

md

Las tres mediatrices ma, mb y mc se cortan

en el punto C, llamado circuncentro, que equidista de los vértices y, por tanto, es centro de una circunferencia que pasa por los tres vértices

A, B y C: es la denominada

circunferencia circunscrita al triángulo.

• Dado que el triángulo que tienen por vérticeslos pies Ma , Mb ,Md de las mediatrices tienesus lados respectivamente palalelos a los del

ABD (paralelas medias), resulta que el circuncentro

de este último es ortocentro del primero.

• La circunferencia circunscrita contiene a losrespectivos arcos capaces de los ángulos interiores

del triángulo.

Ÿ Las mediatrices de los lados de todo triángulocortan a la circunferencia circunscrita en los

puntos medios, P,Q,R, de los respectivos arcosque completan los capaces de sus ángulos

interiores. Por tanto, dichospuntos pertenecen a las bisectrices interiores

del triángulo; esto es, la mediatriz de un lado yla bisectriz de su ángulo opuesto se cortan en

un punto de la circunferencia circunscrita. Además, las bisectrices exteriores (no dibujadas)

pasan por los diametralmente opuestosa P,Q, R.

• Los pies (Ma , Mb , Md) de las perpendicularestrazadas desde el circuncentro a cada uno de los lados del triángulo, son a su vez puntos extremos

o de intersección de las medianas deltriángulo con los lados de éste .

C

Se denominan alturas a las distancias perpendiculares de cada vértice al lado opuesto. Se designan por h con el subíndice correspondiente

a su vértice, ha, hb , hc . Sus pies se designan por Ha ,Hb ,Hc .

Las tres alturas se cortan en un punto H llamado

ortocentro .Se denomina triángulo órtico o pedal al quetiene por vértices los pies Ha ,Hb ,Hc de las alturas

del triángulo considerado. Dichas alturasson bisectrices de su triángulo órtico y, por tanto,

el ortocentro de un triángulo acutángulo es elincentro de su triángulo órtico.



TRIÁNGULOS


MEDIANAS Y BARICENTRO

A

Mb Ma

Mc

B

B

C

ma

2/31/3

mb

mC

Llamamos medianas a los segmentos ma, mb, mc

que unen cada uno de los vértices del triángulocon el punto medio de su lado opuesto.

Se cortan en un punto B llamado baricentro ocentro de gravedad del triángulo.

• En las medianas de cualquier triángulo el baricentroestá a 1/3 del punto medio del lado y a 2 /3

del vértice opuesto. La recta que une los puntosmedios de dos lados es la paralela

media al tercer lado y mide la mitad de éste.• El triángulo definido por los puntos medios

Ma, Mb ,Mc de los lados de un triángulo dado, es semejante a dicho triángulo (TRIÁNGULO

COMPLEMENTARIO) y corta a sus medianasen su punto medio. Es decir, las paralelas a

los lados de un triángulo por su vértice opuestoforman un triángulo semejante al primero, cuyoslados miden el doble y sus medianas también.


Ejercicio de construcción de un triángulo rectángulo

Construcción de un triángulo rectángulo sabiendo que la altura sobre la hipotenusa mide 3 cm, y la proyección de uno de sus catetos sobre la hipotenusa mide 2 cm. Una vez dibujado, determina su baricentro,

circuncentro e incentro, indicando cual es cada uno de ellos

1. Sobre una recta r, dibujamos el segmento MC = 2 cm (proyección del cateto sobre la hipotenusa), y en el punto

M trazamos una perpendicular a r que mida 3 cm ( altura sobre la hipotenusa). Así obtenemos el vértice A

3. El punto N es el BARICENTRO, se obtiene en la intersección de las medianas del triángulo.

El ORTOCENTRO es donde se cortan las alturas, que en este caso coincide con el punto A (la altura de b coincide con el lado c y la hc coincide con el lado b)

4. El CIRCUNCENTRO P se obtiene donde se cortan las mediatrices. (En este caso coincide con el lado BC).

Y por último, el INCENTRO O donde se cortan las bisectrices.

2. Por A trazamos una perpendicular a AC que corta a r en el vértice B. Uniendo ABC tenemos el triángulo que

se pide.

r

r r

Mc Mb

Ma

r

M M

A

A A

A

B

B

N

hb=c

hc=b

a

ha

B P

O

B

20 mm

30

mm

20 mm

C

C C

C


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