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ejercicios PSU poligonos

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  • GUA TERICO PRCTICA N 11

    UNIDAD: GEOMETRA

    POLGONOS CUADRILTEROS

    POLGONOS DEFINICIN: Un polgono es una figura plana, cerrada, limitada por trazos llamados lados y que se intersectan slo en sus puntos extremos (no se cruzan). NOMBRE DE POLGONOS .

    PROPIEDADES DE POLGONOS DE n LADOS: Suma de los ngulos interiores = 180 (n 2) Diagonales desde un vrtice = n 3

    Suma de los ngulos exteriores = 360 Total de diagonales = n(n 3)

    2

    EJEMPLOS 1. Cunto suman las medidas de los ngulos interiores de un polgono de 8 lados?

    A) 1.440 B) 1.080 C) 720 D) 540 E) 360

    2. Cuntos lados tiene un polgono, cuyos ngulos interiores suman 900?

    A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

    TRINGULOS 3 LADOS CUADRILTERO 4 LADOS PENTGONO 5 LADOS HEXGONO 6 LADOS HEPTGONO 7 LADOS OCTGONO 8 LADOS

  • 2

    3. El nmero de diagonales que se pueden trazar en un pentgono desde un vrtice es

    A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

    4. En cul de los siguientes polgonos, la suma de los ngulos interiores es igual a la suma

    de los ngulos exteriores?

    A) Cuadriltero B) Pentgono C) Hexgono D) Tringulo E) Ninguno de los anteriores

    5. El nmero total de diagonales de un octgono es

    A) 4 B) 7 C) 9 D) 14 E) 20

    6. La razn entre las medidas de los ngulos interiores y exteriores de un cierto polgono es

    3 : 2, cuntas diagonales tiene dicho polgono?

    A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

    7. Cul es el nmero de lados de un polgono, si de cada uno de sus vrtices se puede

    trazar 12 diagonales?

    A) 9 B) 10 C) 12 D) 14 E) 15

  • 3

    POLGONO REGULAR DEFINICIN: Es aquel que tiene sus lados y sus ngulos respectivamente congruentes. En caso contrario se dice que es irregular.

    EJEMPLOS 1. Cunto mide el suplemento de un ngulo interior de un pentgono regular?

    A) 18 B) 72 C) 108 D) 124 E) 136

    2. Cul (es) de las siguientes afirmaciones, es (son) siempre verdadera(s)?

    I) Si en un polgono sus ngulos exteriores suman 360, entonces se sabe que el polgono es un cuadriltero.

    II) Si un polgono tiene todos sus lados iguales, entonces dicho polgono es regular.

    III) Si en un polgono regular se trazan todas las diagonales posibles desde un vrtice, los ngulos formados en dicho vrtice son iguales entre s.

    A) Slo I B) Slo II C) Slo III D) Slo I y III E) Slo II y III

    3. Cuntos lados tiene un polgono regular cuyos ngulos interiores miden 135?

    A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

    a

    a

    a a

    a a a a

    a a a a

    Hexgono regular

    360

    = n

    a

    a

    a

    a

    a

    Pentgono regular

    180 (n 2) =

    n

  • 4

    4. Si la suma de los ngulos interiores de un polgono es 900, cuntas diagonales se pueden trazar en dicho polgono?

    A) 4 B) 5 C) 14 D) 18 E) 28

    5. El hexgono de la figura 1 es regular, cunto mide el x?

    A) 22,5 B) 45 C) 67,5 D) 90 E) 112,5

    6. Qu polgono es tal que el nmero de sus diagonales es igual al nmero de sus lados?

    A) Octgono B) Hexgono C) Pentgono D) Cuadrado E) No existe tal polgono

    7. En el pentgono regular de la figura 2, cul es la medida del ?

    A) 36 B) 54 C) 60 D) 72 E) 75

    x fig. 1

    fig. 2

  • 5

    CUADRILTERO DEFINICIN Cuadriltero es cualquier polgono de 4 lados. CLASIFICACIN Los cuadrilteros se clasifican en: PARALELOGRAMOS, TRAPECIOS Y TRAPEZOIDES. PROPIEDADES La suma de los ngulos interiores es 360.

    La suma de los ngulos exteriores es 360. EJEMPLOS 1. En el cuadriltero ABCD de la figura 1, CM y AM son bisectrices de los DCB y DAB,

    respectivamente, entonces el ngulo x mide:

    A) 220 B) 140 C) 110 D) 80 E) 20

    2. En el cuadriltero PQRS de la figura 2, = 60 y = 100, entonces el valor de

    12(x + y) =

    A) 200 B) 160 C) 100 D) 90 E) 80

    A

    B

    C D 120

    80

    fig. 1

    x

    M

    x

    y

    Q

    S R

    P

    fig. 2

  • 6

    3. Los ngulos interiores de un cuadriltero son entre s como 3 : 4 : 5 : 6 . El mayor de sus ngulos interiores mide

    A) 85 B) 90 C) 100 D) 120 E) 125

    4. En la figura 3, el ABD es issceles de base AB . Si ABCD es un rombo y DE CE entonces mide

    A) 30 B) 45 C) 60 D) 75 E) 80

    5. Si en el cuadriltero de la figura 4, + = , entonces es igual a

    A) 30 B) 50 C) 55 D) 70 E) 105

    6. Si en la figura 5, L1, L2, L3 y L4 son rectas, entonces cunto mide el ngulo x?

    A) 30 B) 40 C) 50 D) 80 E) 100

    150

    fig. 4

    100 50

    80

    x L1

    L2 L3

    L4

    fig. 5

    fig. 3

    B A

    C D

    E

  • 7

    PARALELOGRAMO DEFINICIN: Paralelogramo es aquel cuadriltero que tiene dos pares de lados opuestos

    paralelos.

    CLASIFICACIN Y PROPIEDADES

    EJEMPLOS

    1. Cul de los siguientes cuadrilteros es un paralelogramo?

    A) B) C) D) E)

    2. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

    I) Todo paralelogramo tiene congruentes sus lados opuestos. II) Todo paralelogramo tiene congruentes sus ngulos opuestos. III) Dos ngulos contiguos de un paralelogramo son complementarios.

    A) Slo I B) Slo II C) Slo III D) Slo I y II E) Slo I y III

    CUADRADO ROMBO RECTNGULO ROMBOIDE NOMBRE PROPIEDADES

    Lados opuestos congruentes ngulos opuestos congruentes

    Las diagonales se dimidian

    ngulos contiguos suplementarios

    Diagonales perpendiculares

    Diagonales bisectrices

    Diagonales congruentes

    45

    45

    a 45

    45

    45

    45

    45

    45 a

    a a

    a a

    a a

    a

    b

    a

    b

    a

    b b

    a

    50

    130

    130 130 50

    50

    130 130

    50 130

    130 50

    130

    50 50

  • 8

    3. En la figura 1, L1 // L2. Cul (es) de las siguientes proposiciones es (son) siempre verdadera(s)?

    I) ACDF es un paralelogramo II) Si = 90 entonces BCDE es un rectngulo III) Si AB = BE y = 90, entonces ABEF es un cuadrado.

    A) Slo I B) Slo III C) Slo I y II D) Slo I y III E) I, II y III

    4. Para que un cuadriltero sea un paralelogramo, se debe cumplir necesariamente que

    A) sus diagonales sean congruentes. B) sus diagonales sean bisectrices. C) sus diagonales se dimidien. D) sus diagonales sean perpendiculares. E) tengan un par de lados paralelos.

    5. Cul(es) de las siguientes proposiciones es (son) necesariamente verdadera(s) en un

    paralelogramo ABCD de diagonales AC y BD ?

    I) Si AC BD y AC BD , entonces ABCD es un rombo. II) Si AC BD y AB = BC , entonces ABCD es un cuadrado. III) Si AC BD y AB BC , entonces ABCD es un romboide.

    A) Slo I B) Slo II C) Slo I y II D) Slo I y III E) I, II y III

    6. En la figura 2, ABCD es romboide. Si AE BD y CBD = 85, entonces DAE es igual a

    A) 5 B) 45 C) 50 D) 55 E) 85

    F E D

    A B C

    L1

    L2

    fig. 1

    A B

    D C

    E

    fig. 2

  • 9

    TRAPECIO

    DEFINICIN: Trapecio es aquel cuadriltero que tiene slo un par de lados paralelos, llamados bases.

    PROPIEDADES: En todos los trapecios, los ngulos colaterales internos entre las bases ( AB y CD) son

    suplementarios. TRAPECIO ISSCELES PROPIEDADES: Adems de las propiedades generales de los trapecios, los issceles tienen las

    siguientes propiedades: Diagonales congruentes. ngulos basales congruentes. ngulos opuestos suplementarios. EJEMPLOS 1. En el trapecio de la figura 1, AB // CD y BC = CD . Si el BDC = 35, entonces el

    ABC =

    A) 180 B) 140 C) 110 D) 100 E) 70

    2. Si en el trapecio issceles ABCD de la figura 2, AB // CD y ADC = 70, entonces el

    ABC mide

    A) 210 B) 140 C) 110 D) 70 E) ninguna de las anteriores.

    + = 180 + = 180

    Trapecio Escaleno

    D C

    A B

    AB // CD

    Trapecio Issceles

    B A

    C D

    AB // CD

    A B

    D C

    D C

    A B

    fig. 1

    fig. 2

    D C

    A B

  • 10

    3. Si en la figura 3, ABCD es un cuadrado y EG // AB , cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

    I) BFC issceles. II) FG es altura del BFC. III) Los trapecios ABFE y DCFE son congruentes.

    A) Slo I B) Slo II C) Slo III D) Slo I y III E) I, II y III

    4. La mediana de un trapecio mide 20 cm. Si una de las bases es el triple de la otra,

    entonces la base mayor mide

    A) 40 cm B) 30 cm C) 15 cm D) 10 cm E) 5 cm

    5. En el trapecio de la figura 4, AD DC BC y AB // DC . Entonces, siempre se cumple

    que

    A) AC BD

    B) AD AB C) AC AB D) A C

    E) D B

    6. En la figura 5, DC // AB . Si AD BC DC , cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

    I) BDC es issceles. II) AC es bisectriz DAB.

    III) CAD DBC

    A) Slo II B) Slo III C) Slo I y II D) Slo I y III E) I, II y III

    D C

    A B

    fig. 4

    fig. 3

    A B

    D C

    E G F

    D C

    A B

    fig. 5 E

  • 11

    TRAPEZOIDE DEFINICIN: Trapezoide es aquel cuadriltero que no tiene par de lados paralelos. CLASIFICACIN: Los trapezoides se clasifican en asimtricos y simtricos. PROPIEDADES DEL DELTOIDE Diagonales perpendiculares. Una diagonal es bisectriz. La diagonal que es bisectriz, es a su vez, simetral

    de la otra diagonal. EJEMPLOS 1. En la figura 1, DEFG es un deltoide con GD DE= y GF EF= . Si DGF = 109 y

    FDE = 14, entonces el ngulo GFE mide

    A) 33 B) 57 C) 76 D) 109 E) 114

    2. En el deltoide ABCD de la figura 2, DC = BC y DA = BA . Si ABC = 135 y DCB = 70,

    entonces CDB + CAD =

    A) 45 B) 55 C) 65 D) 90 E) 125

    D

    C

    A B TRAPEZOIDE

    ASIMTRICO

    D

    A

    C

    B

    TRAPEZOIDE SIMTRICO (DELTOIDE)

    AB AD y CD CB

    a a

    b b

    a b

    G

    D

    F

    E fig. 1

    D

    A

    C

    B

    fig. 2

  • 12

    3. En el deltoide ABCD de la figura 3, AB = AD y DC = BC . Si BAD = 50 y ADC = 150,

    entonces el valor del ngulo x es

    A) 95 B) 85 C) 75 D) 65 E) 55

    4. Al unir los puntos medios de los lados de un trapezoide en forma consecutiva se obtiene

    siempre

    A) un trapezoide. B) un trapecio. C) un paralelogramo. D) un cuadrado. E) no se puede determinar.

    5. En el trapezoide ABCD de la figura 4, DCB = 120, DAB = 60 y CDB = 40,

    entonces la medida de DBA es

    A) 20 B) 40 C) 60 D) 80 E) 120

    6. Si en la figura 5, ABCD es un deltoide, AD = CD , AF : FD = 1 : 2 y DF = 8. Entonces,

    AC es igual

    A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 2 5

    A B

    C D

    x fig. 3

    B

    C A

    D

    fig. 5

    F

    fig. 4

    A

    B

    D

    C

    5

  • 13

    EJERCICIOS 1. Si en un polgono convexo la suma de sus ngulos interiores es igual a 1.440, entonces

    el polgono es un

    A) hexgono. B) octgono. C) decgono. D) dodecgono. E) enegono.

    2. Si la diferencia entre el nmero total de diagonales y el nmero de lados de un polgono

    es tres, entonces el polgono tiene

    A) 9 lados B) 8 lados C) 7 lados D) 6 lados E) 5 lados

    3. Cul (es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

    I) En un pentgono regular, el suplemento de un ngulo interior mide 72. II) El total de diagonales que se pueden trazar en un octgono son 24. III) La suma de los ngulos interiores de un heptgono es 720.

    A) Slo I B) Slo II C) Slo III D) Slo II y III E) I, II y III

    4. En cul de los siguientes polgonos regulares, el ngulo interior mide el triple del ngulo

    exterior correspondiente?

    A) Tringulo B) Pentgono C) Hexgono D) Decgono E) Octgono

  • 14

    5. En el rectngulo ABCD de la figura 1, AC diagonal y PQ AC . Si DPQ = 113 determinar el valor de

    A) 23 B) 43 C) 67 D) 76 E) 113

    6. En el pentgono regular de la figura 2, los puntos A, B y F son colineales. Entonces,

    mide

    A) 60 B) 72 C) 80 D) 90 E) 108

    7. Si en la figura 3, ABCD es un rectngulo y L recta, cul(es) de las siguientes

    afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

    I) s + u = t + v II) s + v = u + t III) s = v y u = t

    A) Slo I B) Slo II C) Slo I y III D) Slo II y III E) I, II y III

    8. La diagonal del cuadrado ABCD de la figura 4, se prolonga de modo que CE = AB , entonces la medida del x es

    A) 18 B) 22,5 C) 24 D) 45 E) 135

    Q

    113

    A P D

    B C

    fig. 1

    A

    B

    C D

    E

    F

    fig. 2

    A

    B C

    D

    E

    fig. 4

    x

    v

    D t

    C

    A B

    fig. 3

    s

    u

  • 15

    9. Si en el polgono de la figura 5, BE CD , AB CF y AE DF DE , cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

    I) ABE CFD II) FED issceles. III) CFB = 45

    A) Slo I B) Slo II C) Slo III D) Slo II y III E) I, II y III

    10. Si en el trapecio issceles ABCD de la figura 6, AB // CD y el y = 70, cul es la

    medida del x?

    A) 210 B) 140 C) 110 D) 70 E) Ninguna de las anteriores

    11. En la figura 7, ABCDE es un pentgono regular y los lados de la estrella son las

    prolongaciones del pentgono, entonces el ngulo x mide

    A) 75 B) 72 C) 54 D) 36 E) 18

    12. En el cuadrado de la figura 8, = 37, cunto mide el ngulo x?

    A) 30 B) 45 C) 53 D) 60 E) 127

    y

    x

    fig. 6

    A B A B

    D C

    fig. 8

    x

    fig. 5

    C D

    A E

    F

    B 60 30

    x fig. 7

    A

    B

    C

    D

    E

  • 16

    13. Si se trazan las diagonales de un paralelogramo. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

    I) Se obtienen cuatro tringulos congruentes. II) Se obtienen cuatro tringulos semejantes. III) Se obtienen slo tringulos rectngulos.

    A) Slo I B) Slo II C) Slo I y II D) Slo II y III E) Ninguna de ellas

    14. En el trapecio rectngulo ABCD de la figura 9, las bisectrices QB y QC de los ngulos en

    B y en C, respectivamente, forman un ngulo x que mide:

    A) 45 B) 60 C) 75 D) 90 E) 105

    15. En la figura 10, ABCD es un trapecio issceles, AB // CD , AE = EB . Si AB : BC = 2 : 1 y

    EC // AD , cul es la medida del BAD?

    A) 70 B) 60 C) 55 D) 30 E) 20

    16. Si en la figura 11, MNP QOR, NMP = 50 y NPM = 70, entonces la medida del

    OQP es

    A) 130 B) 120 C) 110 D) 70 E) 50

    fig. 10

    A E

    D C

    B

    A B

    C D

    Q fig. 9

    x

    fig. 11

    50

    P

    M Q

    O N

    70

    R

  • 17

    17. En la figura 12, ABCD es romboide. Si H es punto medio de DF y AD GD GF EF , entonces se cumple que

    I) AEFD es un rombo. II) DGH = HGF

    III) HG DF

    A) Slo I B) Slo II C) Slo III D) Slo I y II E) Slo II y III

    18. En la figura 13, ABCDEF es un hexgono regular, EA , EB y EC son diagonales. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

    I) AEF CED II) ABE CBE III) ABE BED

    A) Slo I B) Slo II C) Slo I y II D) Slo II y III E) I, II y III

    19. En el polgono de la figura 14, AB // PC , AP // BC , AP y CP son bisectrices de los ngulos interiores respectivos, entonces el valor del ngulo es

    A) 160 B) 140 C) 120 D) 100 E) 60

    20. En el cuadrado ABCD de la figura 15, se ha trazado la diagonal AC el ABE mide la

    tercera parte del ABC. Cul de las siguientes opciones no es correcta?

    A) ACB = 45

    B) EFA = 60

    C) AEB = 60

    D) EFC = 105

    E) DEB = 120

    80

    60

    A

    B

    C

    D

    P E

    fig. 14

    fig. 15

    F

    CD

    BA

    E

    C

    A B G

    D F H

    E

    fig. 12

    fig. 13

    C B

    E F

    A D

  • 18

    21. Desde un vrtice de un polgono regular se pueden trazar 27 diagonales, cunto mide cada ngulo exterior de este polgono?

    A) 12 B) 15 C) 24 D) 30 E) 168

    22. Si en la figura 16, ABCD es un paralelogramo, DCA = 40 y ABD = 50. Qu tipo de

    paralelogramo es?

    A) Rectngulo B) Trapecio C) Rombo D) Romboide E) Cuadrado

    23. Al trazar una de las diagonales de un cuadriltero se forman dos tringulos issceles

    cuyas bases son la diagonal, sin embargo los ngulos basales de un tringulo miden el doble de los ngulos basales del otro, por lo tanto dicho cuadriltero se trata de un

    A) cuadrado. B) trapecio. C) romboide. D) trapezoide. E) deltoide.

    24. En un trapecio rectngulo la medida del mayor ngulo interno es el cudruplo de la

    medida del ngulo menor, cunto mide el menor de los ngulos?

    A) 30 B) 36 C) 45 D) 72 E) 90

    25. En la figura 17, ABCD es un trapecio rectngulo en A y D, ABD = 40, BDC es issceles

    de base BC , cul es el valor de ?

    A) 70 B) 30 C) 90 D) 45 E) 120

    100

    A B

    C D

    fig. 16

    D C

    A B

    fig. 17

  • 19

    26. Se puede determinar los lados de un polgono regular si :

    (1) Se puede inscribir en una circunferencia de radio 5 cm.

    (2) Sus ngulos exteriores suman 360. A) (1) por s sola B) (2) por s sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por s sola, (1) (2) E) Se requiere informacin adicional

    27. En la figura 18, ABCD es rectngulo. Se puede afirmar que ADE BCE si :

    (1) BAE = 45

    (2) E es punto medio. A) (1) por s sola B) (2) por s sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por s sola, (1) (2) E) Se requiere informacin adicional

    28. Se puede determinar la medida del BCD del cuadriltero de la figura 19, si :

    (1) ABCD es un paralelogramo y tringulo ABD es equiltero.

    (2) El ngulo DAB mide 60. A) (1) por s sola B) (2) por s sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por s sola, (1) (2) E) Se requiere informacin adicional

    29. Se puede determinar el nmero de lados de un polgono convexo, si :

    (1) Se conoce la suma de los ngulos interiores. (2) Se conoce el nmero total de diagonales. A) (1) por s sola B) (2) por s sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por s sola, (1) (2) E) Se requiere informacin adicional

    A B

    C D

    fig. 19

    fig. 18

    A B

    D C E

  • 20

    30. En la figura 20, se puede determinar la medida del ngulo si :

    (1) + + = 300 (2) ABCD es un romboide y + = 180.

    A) (1) por s sola B) (2) por s sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por s sola, (1) (2) E) Se requiere informacin adicional

    DMDMA13

    A

    B

    C

    D

    fig. 20