Polilibro 1

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

UNIDAD PROFESIONAL INTERDISCIPLINARIA DE INGENIERÍA Y

CIENCIAS SOCIALES Y ADMINISTRATIVAS

Proyecto – PolilibroALUMNOS:

Colunga Aguilar Juan OmarRaúl Ramos Suberza

Zacek Nájera

MATERIA:

Programación Lineal Aplicada

PROFESOR:

Luis Chávez García

FECHA DE ENTREGA:

26/Febrero/2013

SECUENCIA:

1IM63

UPIICSA Unidad Profesional Interdisciplinaria de Ciencias Sociales y Administrativas __________________________________________________ Programación Lineal Aplicada

ÍNDICEIntroducción General 3

Objetivos 4

Esquema previo 4

Contenido temático:

- Mapa Conceptual

- Formulación de modelos 5

- Método gráfico 7

- Método simplex 11

Bibliografía 24

Glosario 24

Prof. Luis Chávez García Página 2


Introducción General

La Programación Lineal es una técnica matemática utilizada para dar solución a problemas que se plantean muy comúnmente en diversas disciplinas como Economía, Ingeniería, Sociología, Biología, etc.

En esencia trata de maximizar y/o minimizar una función lineal de dos o más variables teniendo en cuenta que las mismas deben cumplir determinadas exigencias derivadas de la escasez de recursos disponibles en la realidad.

El problema de asignar convenientemente recursos escasos es un problema conocido desde la antigüedad, especialmente en el mundo de la economía, aunque una solución matemática al mismo es relativamente reciente.

Fue en la década de los años 40 del siglo XX que a través del trabajo de equipos formados por matemáticos, economistas y físicos, entre los cuales merece especial destaque George B. Dantzing, se sentaron las bases para la resolución de problemas de Programación Lineal y No Lineal.

Un proyecto es un esfuerzo para lograr un objetivo específico por medio de una serie particular de tareas interrelacionadas y la utilización eficiente de los recursos. Tiene un objetivo definido con claridad, establecido en función del alcance, programa y costo. La responsabilidad del gerente de proyecto es asegurar que el objetivo del proyecto se logre y que el alcance del trabajo se complete con la calidad buscada, dentro del presupuesto, a tiempo y con plena satisfacción del cliente.

La primera fase del ciclo de vida de un proyecto implica la identificación de una necesidad, problema u oportunidad, y puede dar como resultado que el cliente elabore una solicitud de propuestas a personas, un equipo de trabajo u organizaciones (contratistas) para satisfacer una necesidad identificada o resolver un problema. La segunda fase del ciclo de vida de un proyecto es el desarrollo de una solución propuesta a la necesidad del problema. En esta fase una o más personas, contratistas o el equipo de proyecto presentan una oferta al cliente. La tercera fase del ciclo de vida de un proyecto es la implementación de la solución propuesta. En esta fase, la cual se conoce como realización del proyecto, se logra el objetivo del proyecto, dejando al cliente satisfecho de que el alcance del trabajo se completó con la calidad buscada, dentro del presupuesto y a tiempo. La fase final del ciclo de vida de un proyecto es la terminación de proyecto, la cual incluye la evaluación de la ejecución del proyecto con el fin de mejorar el trabajo de proyectos futuros.

La administración de proyectos implica establecer primero un plan y después implementarlo para lograr el objetivo del proyecto. Este esfuerzo de planeación incluye definir con claridad los objetivos, dividir y subdividir el alcance del proyecto en “piezas” importantes llamadas paquetes de trabajo, definir las actividades



específicas que deben realizarse para cada paquete de trabajo, representar de manera gráfica las actividades en forma de un diagrama de red, estimar cuánto tiempo se requerirá para completar cada actividad, definir los tipos de recursos y cuánto de cada recurso se necesita para cada actividad, estimar el costo de cada actividad y calcular el programa y el presupuesto de un proyecto.

Tomarse el tiempo para desarrollar un plan bien diseñado es vital para la realización exitosa de cualquier proyecto. Una vez que el proyecto se inicia, su administración implica el monitoreo del avance para asegurar que todo está resultando según lo planeado. La clave para el control eficaz del proyecto es medir el avance real y compararlo con el avance planeado de manera regular y oportuna, y aplicar acciones correctivas de inmediato, en caso necesario.

El beneficio fundamental de la implementación de técnicas de administración de proyectos es tener un cliente satisfecho, sin importar que usted sea el cliente de su propio proyecto o una empresa (contratista) a quien un cliente paga para que realice un proyecto. Conseguir el alcance del proyecto con la calidad buscada, a tiempo y dentro del presupuesto proporciona una gran sensación de satisfacción a todos aquellos que participan en el proyecto.

Objetivos- Apoyar en la aplicación la programación lineal a diversos problemas de

asignación de recursos para obtener el resultado optimo- Formular, obtener y analizar soluciones a problemas de programación

lineal, como apoyo a la industria y a la ingeniería, optimizando los recursos disponibles y facilitando la toma de decisiones.

- Valorar la importancia de la investigación de operaciones en proporcionar herramientas para la construcción de modelos matemáticos, en particular los de la programación lineal, además de la conceptualización y las diferentes formas de presentación de un problema de PL.

- Plantear los diferentes métodos empleados para solucionar problemas a nivel gráfico y simplex, con lo que se pretende que el estudiante posea herramientas para que busque la solución óptima a problemas simples y complejos que se le puedan presentar tanto en la cotidianeidad como en el ejercicio de su vida profesional o laboral.

Esquema previo La complejidad de nuestra sociedad en cuanto a organización general y económica exige disponer de métodos para la planificación y organización de la industria, de los transportes y para la asignación de trabajos en forma óptima. La programación lineal, que es una pequeña parte de todo un cuerpo matemático que se ha venido consolidando en el siglo XX con el nombre de optimización, abarca



métodos de resolución de problemas en los que se buscan los valores máximos o mínimos de funciones cuyas variables están sujetas a unas condiciones restrictivas que se expresan por medio de desigualdades.

Contenido temático:

Mapa Conceptual

Formulación de modelos de PL

La formulación y análisis de un modelo de programación lineal proporciona información para ayudar a los gerentes a tomar decisiones. Esto significa que el modelo refleja con precisión la perspectiva administrativa del problema. La programación lineal es una técnica determinista de análisis para elegir la mejor entre muchas alternativas. Con frecuencia, seleccionar una alternativa incluye satisfacer varios criterios al mismo tiempo. Por ejemplo, cuando se compra una pieza de pan se tiene el criterio de frescura, tamaño, tipo (blanco, de centeno u otro), costo y rebanado o sin rebanar. Se puede ir un paso más adelante y dividir estos criterios en dos categorías; restricciones y el objetivo.

La formulación estriba en pasar directamente del sistema asumido al modelo de PL. Para tal efecto, se propone el siguiente orden:

Estudiar el ambiente: La experiencia puede ser el ingrediente más esencial del éxito, la experiencia tanto en construcción de modelos como en el trabajo en el ambiente que se estudia.

Definir el Objetivo: Consiste en definir un criterio de optimización el cual puede ser Maximización o Minimización dependiendo del problema que se desee resolver, el cual es una función lineal de las diferentes actividades del problema. Bajo el criterio de optimización definido se pretende medir la contribución de las soluciones factibles que puedan obtenerse y determinar la óptima.

Definir las variables de decisión: Son las incógnitas del problema básicamente consisten en los niveles de todas las actividades que pueden llevarse a cabo en el problema a formular, estas pueden ser de tantos tipos diferentes como sea necesario, e incluir tantos subíndices como sea requerido.

Definir las restricciones: Son los diferentes requisitos que debe cumplir cualquier solución para que pueda llevarse a cabo. En cierta manera son las limitantes en los valores de los niveles de las diferentes actividades (variables). Si más de una alternativa satisfacen todas las restricciones, el objetivo se usa para seleccionar entre todas las alternativas factibles. Cuando se elige una pieza de pan, puede



quererse un paquete de pan blanco rebanado y hecho no antes del día anterior. Si varias marcas satisfacen estas restricciones, puede aplicarse el objetivo de un costo mínimo y escoger el más barato.

Existen muchos problemas en la empresa que se ajustan a este molde de tratar de minimizar o maximizar un objetivo que está sujeto a una lista de restricciones. Un corredor de inversiones, por ejemplo, trata de maximizar el rendimiento sobre los fondos invertidos pero las posibles inversiones están restringidas por las leyes y las políticas bancarias. Un hospital debe planear que las comidas para los pacientes satisfagan ciertas restricciones sobre sabor, propiedades nutritivas, tipo y variedad, al mismo tiempo que se trata de minimizar el costo. Un fabricante, al planear la producción futura, busca un costo mínimo al mismo tiempo cómo cumplir restricciones sobre la demanda del producto, la capacidad de producción, los inventarios, el nivel de empleados y la tecnología. La programación lineal se ha aplicado con éxito a estos y otros problemas. El objetivo y cada una de las restricciones en la (PL) se deben expresar como una relación lineal, de ahí el nombre de programación lineal.

Ejemplo:

Una mueblería produce mesas y sillas de madera. Cada mesa es vendida en $27000 y requiere $10000 en materiales, además, el costo de unitario por mano de obra se estima en $14000. En el caso de las sillas, su precio de venta es de $21000 y los costos son de $9000 y $10000, en materiales y mano de obra respectivamente. La fabricación de cada producto requiere de dos tipos de labores: carpintería y terminaciones. Una mesa requiere de 1 hora de carpintería y 2 horas de terminaciones. Una silla requiere de 1 hora de carpintería y 1 hora de terminaciones.Cada semana, la mueblería puede obtener todos los materiales que desee, sin embargo, se pueden dedicar hasta 100 horas a las terminaciones y hasta 80 horas a la carpintería. La demanda por mesas no está limitada, mientras que la demanda semanal máxima por sillas es de 40. La mueblería desea maximizar sus utilidades (ingresos - costos). Formule un modelo matemático que permita maximizar las utilidades.

1. Objetivo: Maximizar las utilidades.

2. Variables de decisión: x1 = número de mesas producidas por semana.x2 = número de sillas producidas por semana.



3. Restricciones:Restricción 1 : máximo 100 horas semanales para terminacionesRestricción 2 : máximo 80 horas semanales para carpinteríaRestricción 3 : producción máxima de 40 sillas semanales

4. Combinando todas las expresiones anteriores, es posible completar el modelo matemático para este problema de optimización:

Max z = 3x1 + 2x2 (Función Objetivo)2x1 + x2 · 100 (Restricción de terminaciones)x1 + x2 · 80 (Restricción de carpintería)x2 · 40 (Restricción de demanda máxima)x1>= 0 (Restricción de signo)x2 >= 0 (Restricción de signo)

Método gráfico

Este método es limitado en el hecho de graficar como máximo tres variables (3 dimensiones).

Consiste en representar cada una de las restricciones y encontrar cuando se pueda el polígono factible (región factible), en la cual en uno de sus vértices se obtiene la solución óptima del problema, caso en el que la optimización se denomina: solución óptima única. Además las soluciones óptimas múltiples, no factibles, con ecuaciones redundantes. Es de anotar que los problemas de mayor dimensión (mayor a 3 variables) tienen soluciones semejantes, pero la forma de resolverlos ya es de manera analítica.

El modelo de programación lineal, como fue antes mencionado, tiene tres componentes básicos.1. Las Variables de decisión que se trata de determinar.2. El Objetivo (la meta) que se trata de optimizar.3. Las Restricciones que se deben satisfacer.La definición correcta de las variables de decisión es un primer paso esencial en el desarrollo del modelo. Una vez hecha, la tarea de construir la función objetivo y las restricciones se hace en forma más directa.

Los pasos a seguir son los siguientes.

Paso 1. Representar gráficamente las restricciones del problema de programación lineal.

Paso 2. Ubicar todos los interceptos de la gráfica.



Paso 3. Para hallar la solución óptima se gráfica la función objetivo, asignando un valor arbitrario para Z; esta recta se desplaza paralelamente a lo largo de S (región factible) hasta encontrar el vértice más cercano del origen (caso de maximización) ò el punto más lejano al origen (caso minimización)

EJEMPLO: Resolver mediante el método Gráfico el siguiente problema

Maximizar

Z = 3x + 2y

sujeto a: 2x + y ≤ 18

2x + 3y ≤ 42

3x + y ≤ 24

x ≥ 0 , y ≥ 0

1. Inicialmente se dibuja el sistema de coordenadas asociando a un eje la variable 'x' y al otro la 'y' (generalmente se asocia 'x' al eje horizontal e 'y' al vertical), como se puede ver en la figura.

2. Se marca en dichos ejes una escala numérica apropiada a los valores que pueden tomar las variables de acuerdo a las restricciones del problema. Para ello en cada restricción se hacen nulas todas las variables excepto la correspondiente a un eje concreto, determinándose así el valor adecuado para dicho eje. Este proceso se repite para cada uno de los ejes.

2x+y=19 2x+3y=48 3x+y=24

3. A continuación se representan las restricciones. Comenzando con la primera, se dibuja la recta que se obtiene al considerar la restricción como igualdad. Aparece representada como el segmento que une A con B y la región que delimita ésta restricción viene indicada por el color AMARILLO. Se repite el proceso con las demás restricciones, quedando delimitadas la región de color AZUL y ROJO para la segunda y tercera restricción respectivamente.


x y

0 18

9 0

x y

0 14

21 0

x y

0 24

8 0


4. La región factible es la intersección de las regiones delimitadas tanto por el conjunto de restricciones, como por las condiciones de no negatividad de las variables, es decir, por ambos ejes de coordenadas. Dicha región factible está representada por el polígono O-F-H-G-C, de color VIOLETA



5. Como existe una región factible, se procede a determinar sus puntos extremos, o vértices del polígono que representa. Estos vértices son los puntos candidatos a soluciones óptimas. En este ejemplo son los puntos O-F-H-G-C de la figura.

6. Finalmente, se evalúa la función objetivo (3x + 2y) en cada uno de esos puntos (resultado que se recoge en la tabla siguiente). Como el punto G proporciona el mayor valor a la función Z y el objetivo es maximizar, tal punto constituye la solución óptima: Z = 33 con x = 3 e y = 12.

7.- Por ultimo se puede hacer una tabla con el tipo de soluciones obtenidas


Punto extremo Coordenadas (x,y) Valor objetivo (Z)

O (0,0) 0

C (0,14) 28

G (3,12) 33

H (6,6) 30

F (8,0) 24

Tipo de Solución Puntos

Posibles 10 A,B,C,D,E,F,G,H,I ,J

Factibles 4 C,F,G,H

No factibles 11 A,B,D,E,I,J

Optima 1 I

No existente O


EJERCICIO: Resolver el siguiente problema utilizando el método grafico

(Dibujar y marcar el área de Solución factible, hallar el punto optimo y por ultimo hacer un resumen del tipo de soluciones)

Método Simplex

INTRODUCCIÓN

Los orígenes de este método se remontan al siglo XX, fue creado en el año de 1947 por el estadounidense George Bernard Dantzig y el ruso Leonid Vitalievich Kantorovich, con el ánimo de crear un algoritmo capaz de solucionar problemas de m restricciones y n variables.

El método Grafico que se abordo en el capítulo anterior indica que la solución óptima de un programa lineal siempre está asociada con un punto esquina del espacio de soluciones. Este resultado es la clave del método simplex algebraico y genera para resolver cualquier modelo de programación lineal.

MÉTODO SIMPLEX

El Método Simplex es un método analítico de solución de problemas de programación lineal capaz de resolver modelos más complejos que los resueltos mediante el método gráfico sin restricción en el número de variables. Este método se fundamenta en encontrar una solución básica flexible partir de la cual se van generando nuevas soluciones hasta encontrar la óptima.

El Método Simplex es un método iterativo (se realiza un proceso que se repite muchas veces), el cual permite ir mejorando la solución en cada paso, además de deducir nuevos valores hasta satisfacer las condiciones de la función objetivo (maximización o minimización), las limitaciones, y la propiedad de no negatividad.

Esta técnica, para solucionar un problema de programación lineal, tiene su fundamento en 2 principios:

1) Principio de Optimalidad: Éste nos garantiza que nunca encontraremos soluciones menores a la del punto ya considerado.

2) Principio de factibilidad: Éste nos garantiza que si comenzamos con una solución básica factible, únicamente encontraremos soluciones básicas factibles durante el proceso.



Aspectos importantes para utilizar el Método Simplex

» MATRIZ IDENTIDAD

Una matriz puede definirse como una ordenación rectangular de elementos, (o listado finito de elementos), los cuales pueden ser números reales o complejos, dispuestos en forma de filas y de columnas.

Una matriz identidad es una matriz cuadrada (que posee el mismo número tanto de columnas como de filas) de orden n que tiene todos los elementos diagonales iguales a uno (1) y todos los demás componentes iguales a cero (0), se denomina matriz idéntica o identidad de orden n, y se denota por:

» VARIABLES DE HOLGURA Y EXCESO

El Método Simplex se basa en ecuaciones y restricciones iniciales que se modelan mediante programación lineal, para ello hay que convertir estas inecuaciones en ecuaciones utilizando unas variables denominadas de holgura y exceso relacionadas con el recurso al cual hace referencia la restricción y que en el tabulado final representa el "Slack (holgura)" al que hacen referencia los famosos programas de resolución de investigación de operaciones, estas variables adquieren un gran valor en el análisis de sensibilidad y juegan un rol fundamental en la creación de la matriz identidad base del método. Estas variables suelen estar representadas por la letra "S", se suman si la restricción es de signo "<= " y se restan si la restricción es de signo ">=".

» ESTANDARIZACIÓN

Cabe destacar que para aplicar el Método Simplex a un modo lo lineal, éste debe estar en un formato especial conocido como formato estándar.

Cuando se plantea un modelo de PL pueden existir igualdades y desigualdades. De la misma forma pueden existir variables que deben ser no negativas o bien sin restricción de signo. Antes de emplear el método Simplex para resolver un problema, éste debe ser convertido en uno equivalente, en el cual todas las


Matriz identidad de orden n


restricciones son ecuaciones y todas las variables son no negativas. Esta versión equivalente se denomina “forma estándar”.

La forma estándar de un programa lineal queda resumida de la siguiente manera:

1. El objetivo es de la forma de maximización o de minimización.2. Todas las restricciones son de igualdad.3. Todas las variables son no negativas.4. Las constantes a la derecha de las restricciones son no negativas.

Ejemplo 1 - Estandarización:

Una fábrica de zapatos de cuero produce dos líneas: modelos de lujo y modelos regulares. Cada tipo modelo requiere un pie cuadrado de cuero. Un modelo regular necesita 1 hora de mano de obra, mientras que un modelo de lujo requiere 2 horas de mano de obra. Cada semana se dispone de 40 pies cuadrados de cuero y de 60 horas de mano de obra. Cada zapato regular genera una utilidad de 30 mil y cada modelo de lujo representa una utilidad de 40 mil.

Para plantear el modelo se emplearan las variables:

Luego, el modelo queda (escribiendo la función objetivo en decenas de miles):

Max z = 4x1 + 3x2 (Función Objetivo de Maximización)

Para convertir cada desigualdad de tipo · en una igualdad introduciremos una variable de holgura Si. Cada variable Si (una por cada desigualdad de tipo) representa la cantidad de recurso no empleado de esa restricción.

En la restricción (a) se tiene:

Ambas expresiones representan lo mismoS1 = 40 – x1 – x2 x1 + x2 +S1 = 40


S.a. (Sujeta a)

x1 + x2 <= 40 (a) Restricción de cuero2x1 + x2 <=60 (b) Restricción de mano de obrax1, x2 >=0 (c) Restricción de signo

x1 : numero de zapatos de lujo producidos a la semana.x2 : numero de zapatos regulares producidos a la semana.


Similarmente, para la restricción (b) se tiene:

S2 = 60 – 2x1 – x2

2x1 + x2 +S2 = 60

Luego, cualquier combinación (x1, x2) satisface la restricción i sólo si al reemplazar los valores se obtiene Si >= 0. Finalmente, la versión estandarizada del problema queda:

» SOLUCIÓN BÁSICA

Una solución básica a un sistema de ecuaciones Ax = b m x n (n >= m) es una solución al sistema que se obtiene haciendo cero (n – m) variables y que resulta en un sistema con solución única. A una variable de decisión que deliberadamente se hace cero se le llama variable no básica y mientras que a aquella que se conserva dentro del nuevo sistema se le llama variable básica.

Ejemplo 2.

Determine las soluciones básicas al sistema:

En este caso:

m = 2 =número de ecuacionesn = 3 =número de incógnitas.

Por tanto, las soluciones básicas se obtienen haciendo cero n - m = 3 -2 = 1 variable.


Max z = 4x1 + 3x2 (Función Objetivo)

S.a.x1 + x2 +S1 = 40 (a) Restricción de cuero2x1 + x2 +S2 = 60 (b) Restricción de mano de obra

Forma Estándar

x1 + x2 = 3 -x2 + x3 = -11


Siendo n = 3 el número de variables, tenemos:

( n!(n−m )! )=3!2!=3 x 2x 12

=3 soluciones basicas

Así tenemos las tres soluciones:

» ALGORITMO SIMPLEX

Para resolver un problema empleando el método Simplex se siguen una serie de pasos que a continuación se describen:

1. Se convierte el problema a su forma estándar.

2. Seleccionar una variable de entrada de entre las variables no básicas, que mejore el valor de la función objetivo, sino existe variable de entrada la solución actual es la óptima, de lo contrario pase al paso 3.

3. Seleccione una variable de salida, de entre las variables básicas actuales que deben tomar valor cero cuando la variable que entra se transforma en básica.

4. Determine la nueva solución haciendo que la variable que entra sea básica y la que sale no básica y diríjase al paso 2.

Notas importantes:


Haciendo x1 = 0 el sistema original queda:

x2 = 3-x2 + x3 = -1

Dando como solución: x1 = 0, x2 = 3 y x3 = 2.


x1 = 3x3 = -1

Dando como solución: x1 = 3, x2 = 0 y x3 = -1.


x1 + x2 = 3-x2 = -1

Dando como solución: x1 = 2, x2 = 1 y x3 = 0.


I. La variable que entra será para la Maximización la variable no básica con coeficiente más negativo y para la minimización la que tenga su coeficiente más positivo.

II. La variable de salida será una variable básica actual con la menor razón entre el 2º término de la inecuación y el coeficiente positivo asociado a la columna de entrada.

Diagrama funcional del algoritmo simplex.

» APLICACIÓN DEL MÉTODO SIMPLEX

Una vez que hemos abordado los aspectos más importantes que interfieren en el Método Simplex, veamos cómo se aplican todos estos conceptos para la resolución de un problema de Programación Lineal.

Resolución de problema.

Ejemplo 3.



Una mueblería fabrica escritorios, mesas y sillas. La fabricación requiere de materia prima y de mano de obra. La mano de obra se clasifica en dos tipos: carpintería y terminaciones. La cantidad de recursos requeridos para cada tipo de producto se muestra en el Cuadro de abajo. Actualmente se dispone de 48 pulgadas madereras, 20 horas para terminaciones y 8 horas para carpintería. Cada escritorio se vende a $60, cada mesa a $30 y cada silla a $20. La empresa piensa que la demanda por escritorios y sillas es ilimitada, pero cree que se venderán a lo más 5 mesas. Debido a que los recursos ya han sido adquiridos, la empresa desea maximizar su beneficio.

Recurso Escritorios Mesas SillasMateriales (pulgadas madera)

8 6 1

Terminaciones (horas) 4 2 1.5Carpintería (horas) 2 1.5 0.5

Requerimientos por tipo de producto.

Considerando las siguientes variables:

x1 : número de escritorios producidos.x2 : número de mesas producidas.x3 : número de sillas producidas.

Se puede construir el siguiente modelo:

Max Z = 60x1+ 30x2+ 20x3 (Función Objetivo)

El Tableau de SimplexUna forma más cómoda y simple de representar un programa de PL para aplicar el método Simplex es mediante un tableau.

Aplicando el Algoritmo Simplex:

1. Obtenemos la forma Estándar.


S.a.8x1+ 6x2+ x3 ≤48 (a) Materiales4x1+ 2x2+ 1.5x3 ≤20 (b) Terminaciones2x1 + 1.5x2 + 0.5x3 ≤8 (c) Carpinteríax2 ≤5 (d) Demanda de mesasx1, x2, x3 ≥0


Max z = 60x1 + 30x2 + 20x3 (Función Objetivo)

El tableau para este caso se muestra abajo. En la primera fila se indica el nombre de las variables. En la segunda fila se muestra el coeficiente en la función objetivo de todas las variables. Luego, se crea una fila por restricción: en la primera columna se ubica el nombre de la variable que está en la base asociada a esa restricción, en la segunda columna se ubica el coeficiente en la función objetivo de la variable basal, en las columnas siguiente se representa el coeficiente de cada variable en cada restricción y en la última columna se ubica el coeficiente del lado derecho asociado a dicha restricción.

a) Igualamos a cero la función objetivo:Z -60x1 - 30x2 - 20x3 = 0

Base Z X1 X2 X3 S1 S2 S3 S4 SoluciónZ 1 -60 -30 -20 0 0 0 0 0

S1 0 8 6 1 1 0 0 0 48S2 0 4 2 1.5 0 1 0 0 20S3 0 2 1.5 0.5 0 0 1 0 8S4 0 0 1 0 0 0 0 1 5

Zj

Estructura inicial del Tableau

De la tabla podemos destacar:


S.a.8X1 + 6X2 + X3 + S1 = 48 (a) Materiales4X1 + 2X2 + 1.5X3 + S2 = 20 (b) Terminaciones2X1 + 1.5X2 + 0.5X3 + S3 = 8 (c) CarpetearíaX2 + S4 = 5 (d) Demanda de mesasXj , Si >=0

Variables de decisión

Variables de holgura

Variables asociadas a las restricciones



S1 0 8 6 1 1 0 0 0 48S2 0 4 2 1.5 0 1 0 0 20S3 0 2 1.5 0.5 0 0 1 0 8S4 0 0 1 0 0 0 0 1 5

Zj

Una tabla es óptima para el caso de maximización cuando todos los elementos de la zona α (alfa) son positivos o ceros y viceversa para la minimización.

b) Observamos la tabla actual y verificamos si ésta es una tabla óptima, es decir, que la zona α cumpla con la condición antes mencionada.

2. Seleccionamos una variable de entrada.

Para definir una variable de entrada tomamos el elemento más negativo de la zona alfa y viceversa para la minimización.

Con base a lo anterior tenemos que nuestra variable de entrada es X1 = -60 por ser la variable con el valor más negativo.


S1 0 8 6 1 1 0 0 0 48S2 0 4 2 1.5 0 1 0 0 20S3 0 2 1.5 0.5 0 0 1 0 8


Coeficientes de cada variable

Restricciones

Valor de cada restricción

Zona α

Observando la tabla inicial, concluimos que no es una tabla optima puesto que (X1 = X2 = X3 = Coeficientes negativos), por lo que procedemos a calcular una nueva solución.

Variable de entrada -> X1


S4 0 0 1 0 0 0 0 1 5

Zj

3. Seleccionamos una variable de salida.

Para definir la variable de salida, debemos obtener cocientes en que los numeradores se toman de la columna de soluciones y los denominadores de la columna de la variable de entrada antes establecida. Es importante destacar que no se admiten cocientes negativos ni indeterminaciones y solo se realiza el proceso en las filas de las restricciones.

Base Z X1 X2 X3 S1 S2 S3 S4 Solución

S1 8 48S2 4 20S3 2 8S4 0 5

Zj

Procedemos a obtener los cocientes:

No se admite

Trabajando con el elemento pivote procedemos a realizar la primera iteración.

1ª Iteración

Primero dividimos cada elemento de la fila S3 entre el elemento pivote, es decir, 0/2, 2/2, 1.5/2, 0.5/2, 0/2, así hasta llegar a la columna de solución. Una vez hecho el proceso, obtenemos la ecuación pivote:

Bas Z X1 X2 X3 S1 S2 S3 S4 Solución


Entrada Salida

NumeradoresDenumeradores

1.488

=6

2.204

=5

3.82=4 No se admite

El menor es 4 Se elige el menor cociente positivo (si un cociente fuera 0 entre positivo este cociente es 0 y es el menor).

Variable de salida Pivote


eZ 1 -60 -30 -

200 0 0 0 0

S1 0 8 6 1 1 0 0 0 48S2 0 4 2 1.5 0 1 0 0 20S4 0 0 1 0 0 0 0 1 5

X1 0 1 3/4 1/4 0 0 1/2

0 4

El siguiente paso es tomar cada una de las filas restantes (Z, S1, S2 y S4), multiplicar la ecuación pivote por un coeficiente n, de tal manera que los elementos que están por encima y debajo del elemento pivote valgan cero. Entonces:

Vieja ecuación Z 1 -60 -30 -20

0 0 0 0 0

Ecuación pivote x (60)

Z 0 60 45 15 0 0 30 0 240

Nueva ecuación Z 1 0 15 -5 0 0 30 0 240

Vieja ecuación S1 0 8 6 1 1 0 0 0 48Ecuación pivote x (-8)

S1 0 -8

-6 -2 0 0 -4 0 -32

Nueva ecuación S1 0 0 0 -1 1 0 -4 0 16

Vieja ecuación S2 0 4 2 1.5 0 1 0 0 20Ecuación pivote x (-4)

S2 0 -4 -3 -1 0 0 -2 0 -16

Nueva ecuación S2 0 0 -1 0.5 0 1 -2 0 4

Nueva ecuación

S4 0 0 1 0 0 0 0 1 5

La nueva tabla queda formada por las nuevas ecuaciones, de la siguiente manera:


Ecuación pivote

La fila S4 pasa tal cual ya que el elemento que está en la columna del pivote ya vale cero.


Base Z X1 X2 X3 S1 S2 S3 S4 SoluciónZ 1 0 15 -5 0 0 30 0 240

S1 0 0 0 -1 1 0 -4 0 16S2 0 0 -1 0.5 0 1 -2 0 4X1 0 1 3/4 1/4 0 0 1/2 0 4S4 0 0 1 0 0 0 0 1 5

Repetimos los pasos anteriores hasta que todos los elementos de la zona alfa sean ceros o positivos.

2ª IteraciónBase Z X1 X2 X3 S1 S2 S3 S4 SoluciónZ 1 0 15 -5 0 0 30 0 240

S1 0 0 0 -1 1 0 -4 0 16X1 0 1 3/4 1/4 0 0 1/2 0 4S4 0 0 1 0 0 0 0 1 5

X3 0 0 -2 1 0 2 -4 0 8

Cálculo de nuevas ecuaciones:

Vieja ecuación Z 1 0 15 -5 0 0 30 0 240Ecuación pivote x (5)

Z 0 0 -10 5 0 10 -20 0 40

Nueva ecuación Z 1 0 5 0 0 10 10 0 280

Vieja ecuación S1 0 0 0 -1 1 0 -4 0 16Ecuación pivote x (1)

S1 0 0 -2 1 0 2 -4 0 8

Nueva ecuación S1 0 0 -2 0 1 2 0 0 24

Vieja ecuación X1 0 1 3/4

1/4 0 0 1/2

0 4

Ecuación pivote x (-1/4)

X1 0 -1/4 1/2

-1/4 0 -1/2 1 0 -2

Nueva ecuación X1 0 3/4 5/4

0 0 -1/2 3/2

0 2


Ecuación pivote

Pivote


Nueva ecuación

S4 0 0 1 0 0 0 0 1 5

La nueva tabla queda formada por las nuevas ecuaciones, de la siguiente manera:

Base

Z X1 X2 X3 S1 S2 S3 S4 Solución

Z 1 0 5 0 0 10 10 0 280

S1 0 0 -2 0 1 2 0 0 24X3 0 0 -2 1 0 2 -4 0 8X1 0 3/4 5/4 0 0 -

1/23/2 0 2

S4 0 0 1 0 0 0 0 1 5

Como podemos ver en esta iteración, la zona alfa ahora solo consta de elementos ceros y positivos, por lo que hemos encontrado el valor óptimo.

RESUMEN

Conceptos destacados:

» El método Simplex es un método analítico e iterativo de solución de problemas de programación lineal, el cual permite ir mejorando la solución en cada paso hasta satisfacer las condiciones establecidas.

» Una matriz identidad es una matriz cuadrada (que posee el mismo número tanto de columnas como de filas) de orden n que tiene todos los elementos diagonales iguales a uno (1) y todos los demás componentes iguales a cero (0), se denomina matriz idéntica o identidad de orden n.

» El Método Simplex se basa en ecuaciones y restricciones iniciales que se modelan mediante programación lineal, para ello hay que convertir estas


Z=280S1=24X3=8X1=2S4=5

Solución óptima


inecuaciones en ecuaciones utilizando unas variables denominadas de holgura y exceso.

» La forma estándar de un programa lineal queda resumida de la siguiente manera:

» El objetivo es de la forma de maximización o de minimización.» Todas las restricciones son de igualdad.» Todas las variables son no negativas.» Las constantes a la derecha de las restricciones son no negativas.

» Una solución básica a un sistema de ecuaciones Ax = b m x n (n >= m) es una solución al sistema que se obtiene haciendo cero (n – m) variables y que resulta en un sistema con solución única.

» El algoritmo que sigue el simplex consta de:

1. Se convierte el problema a su forma estándar.2. Seleccionar una variable de entrada.3. Seleccione una variable de salida.4. Determine la nueva solución.

REFERENCIAS

2004. Taha Hamdy A., Investigación de Operaciones, 7ª. Edición.

2004. Fundamentos de Investigación de Operaciones, Investigación de Operaciones 1, Método Simplex, [En línea]. Disponible en: < http://www.inf.utfsm.cl/~esaez/fio/s2_2004/apuntes/simplex_s2_2004.pdf> (2013/02/16).

2011. Optimización y Programación Lineal, Introducción al Método Simplex. [En línea]. Disponible en:<http://www.mty.itesm.mx/dmti/materias/tc3001/lecturas/tc3001-03-intro-simplex.pdf>. (2013/02/20).



MÉTODO SIMPLEX. [En línea]. Disponible en: <http://www.phpsimplex.com/teoria_metodo_simplex.htm>. (2013/02/20).

Investigación de Operaciones, Hamdy Taha, editorial Pearson

www.phpsimplex.com/teoria_metodo_grafico

GLOSARIO

FACTIBLE.- que es probable o es fácil de hacer

OPTIMIZACION.- buscar la mejor manera de realizar una actividad

INTERCEPTOS.- son los puntos en que la curva corta a los ejes de coordenadas, estos puntos tienen la cualidad de que al menos una de sus variables vale cero.

RESTRICCIONES.- Están constituidas por el conjunto de desigualdades que limitan los valores que puedan tomar las variables de decisión en la solución.

INECUACIÓN.- Desigualdad algebraica en la que aparecen una o más incógnitas en los miembros de la desigualdad. Si la desigualdad es del tipo < o > se denomina inecuación en sentido estricto y si es del tipo o se denomina inecuación en sentido amplio.


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