Polino_-_Metodos_Numericos2015_-_copia

UNMSMMTODOS NUMRICOS

FACULTAD DE INGENIERA DE SISTEMAS E INFORMTICAAlumno: Rojas Polino Jos.

PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZPg. 1UNMSMMTODOS NUMRICOSContenidoINTRODUCCIN41. INTRODUCCIN A LA TEORA DE VALOR52. TEOREMA DE BOLZANO (TB)103. MTODO DE BISECCIN114. Mtodo de Regula Falsi o Mtodo de Falsa Posicin165. MTODO DE LA SECANTE206. MTODO DE PUNTO FIJO O MTODO DE APROXIMACIONES SUCESIVAS............................................................................................................................23

7. MTODO..............................................................................DENEWTONRAPHSON27

8. SISTEMAS...............................DEECUACIONESNOLINEALESENDOSVARIABLES30

8.1. Algoritmo...........................................................delPuntoFijoendosvariables:30

8.2. Algoritmo....................................deNewtonRapson(N.R)endosvariables:35

9. METODOS.............................DIRECTOSDESISTEMASDEECUACIONESLIENALES40

9.1. METODO...........................................................................DECROUT-DOOLITLE40

9.2.METODO..........................................................................................DECHOLESKY43

10.MTODO. ...............TRIDIAGONALPARASISTEMASDEECUACIONESLINEALES47

11.MTODO. .........PENTADIAGONALPARASISTEMASDEECUACIONESLINEALES55

12.SOLUCION........................ITERATIVADESISTEMASDEECUACIONESLINEALES65

12.1.METODO.............................................................................................DEJACOBI65

12.2.METODO...............................................................................DEGAUSS-SEIDEL74

13.INTERPOLACIN .........................................................................................................88

13.1.INTERPOLACIN..................................................................DIRECTALINEAL88

13.2.INTERPOLACION................................................................DIRECTACENTRAL93

13.2.1................................................................................InterpolacindeStirling93

13.2.2.................................................................................InterpolacindeBessel94

PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZPg. 2


13.2.3.Interpolacin de Everett ...............................................................................94

13.3.INTERPOLACIN INVERSA. .................................................................................97

13.3.1.Interpolacin Inversa No Lineal ( IINL) ......................................................97

13.3.2.Interpolacin Inversa No Lineal de tercer orden ............................................99

14.INTEGRACIN NUMERICA ........................................................................................110

14.1.Para intervalos Simples .....................................................................................110

14.1.1.Mtodo del trapecio ....................................................................................110

14.1.2.Mtodo de Simpson de 1/3 ........................................................................110

14.1.3.Mtodo de Simpson de 3/8 ........................................................................111

14.2. Integracin Numrica para intervalos compuestos ........................................114

14.2.1.Mtodo del trapecio compuesto ................................................................114

14.2.2.Mtodo de Simpson de 1/3 compuesta. ....................................................114

14.2.3.Mtodo de Simpson de 3/8 compuesta. ....................................................117

15. EXTRAPOLACION DE RICHARDSON- (E.R) .............................................................119

16.INTEGRACION DE ROMBERG ...................................................................................131

17. SOLUCIN NUMRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON VALOR INICIAL......................................................................................................................137

18.DIFERENCIA NUMERICA ...........................................................................................149

18.1.Para Newton Progresivo ( NP ) ............................................................................150

18.2.Para Newton Regresivo ( NR ) ............................................................................151

19.PREDICTOR CORRECTOR.......................................................................................156

20.ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR ..........................................158

CONCLUSIONES ....................................................................................................................161

PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZPg. 3UNMSMMTODOS NUMRICOSINTRODUCCINEn la prctica de la ingeniera y ciencias es frecuente tener la necesidad de resolver un sistema de ecuaciones lineales. Estos sistemas aparecen en muy diversos problemas, ya sea como la solucin completa de un problema al menos como parte de ella. Dada esta necesidad frecuente, se requiere resolverlos en forma eficiente.Para una mejor organizacin y bsqueda rpida de cada tema se ha implementados con un ndice al principio del trabajo para su fcil ubicacin de los temas ya que el texto completo se encuentra enumerada de principio a fin, adems en el final se ha considerado incluir problemas resueltos de los diferentes temas estudiados.Como los algoritmos de los mtodos ya estn disponibles en la mayora de los libros de texto sobre la materia, se explicara en la medida de lo posible, detalles de implementacin (personales) de los mtodos directos (que son mas difciles de programar). El lenguaje de programacin idneo para tal fin ser matlab 6.0Damos desde ya los agradecimientos a todas aquellas personas que dieron su apoyo para completar el trabajo tanto en ideas, criticas para su mejoramiento sin importar la magnitud de la ayuda han sido de gran ayuda y esperando aun recibir su aportes para la continua superacin en los prximos trabajos que se han de mostrar.

PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZPg. 4UNMSMMTODOS NUMRICOS

1. INTRODUCCIN A LA TEORA DE VALOR1.1. Definicin de cifras significativas Son valores o nmeros diferentes de cero.El cero no ser considerado cifra significativa si est en el extremo.Ejemplo

El cero no ser considerado cifra significativa si est en el extremo.Pero el si el cero est entre los nmeros diferentes de cero, entonces es cifra significativa.

1.2. Descomposicin polinmica de un nmero. Todo valor o nmero se le puede expresar como una descomposicin de potencia de 10.Ejemplo 1.2.1.Ejemplo 1.2.2.

PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZPg. 5UNMSMMTODOS NUMRICOSEjemplo 1.2.3.1.3. Orden de la descomposicin polinmica {}Ejemplo 1.3.1.{}entoncesEjemplo 1.3.2.{}entoncesEjemplo 1.3.3.{} entonces1.4. Error absoluto Es la diferencia entre un valor de exacto y una de sus aproximaciones. Puede ser positivo o negativo, segn si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida.DEFINICION DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS EXACTAS:Se define por la siguiente relacin:Donde:es el orden de la descomposicin polinmica. nmero de cifras significativas exactas.DEFINICION DE CIFRAS DECIMALES EXACTAS:Se define por la siguiente relacin:Donde:numero de cifras decimales exactas.

PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZPg. 6UNMSMMTODOS NUMRICOSEjemplo 1.4.1.

Sea

ParaError Absoluto ( )||{}EntoncesCifra significativa exactaEntoncestiene dos cifras significativas exactas.Cifras decimales exactasEntoncestiene 2 cifras decimales exactas


ParaError Absoluto ( )||{}Cifra significativa exactatiene dos cifras significativas exactas.Cifras decimales exactastiene 2 cifras decimales exactas

ParaError Absoluto ( )||

EntoncesEntoncesEntoncesPROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZPg. 8UNMSMMTODOS NUMRICOS{}EntoncesCifra significativa exactaEntoncestiene cuatro cifras significativas exactas.Cifras decimales exactasEntoncestiene cuatro cifras decimales exactas.


2. TEOREMA DE BOLZANO (TB)Sea la ecuacin no lineal ( )Donde( ) es funcin no trascendente (trigonomtrica, exponencial, logartmica o polinomial),definida y continua enSi( ) ( ) entonces existe la raz o solucin tal que ( )Ejemplo 2.1.( )Por Teorema de Bolzano localizamos el intervalo donde exista la raz.Es evidente que ( ) sigue siendo continua enComo( ) ( ) entonces tal que ( )Observacin: Es evidente que si ( ) ( )entoncesoes la raz de la ecuacin. El teorema de Bolzano nos garantiza mostrar que existir por lo menos una raz si es que cumple los requisitos. El intervalo apropiado a usar se recomienda que sea distanciado a 1 o menor, como lo fue en este caso del intervalo del ejemplo 2.1.


3. MTODO DE BISECCINDado la ecuacin no lineal()tal que existe la razpor T.B.

El mtodo de biseccin consiste en hallar el promedio simple de cada intervalo

La idea es encontrar el valor que se aproxime o sea igual a la razde la ecuacin ( )

Algoritmo de biseccin:

P-1.-Dado la ecuacin()tal que existe la razpor T.B.

P-2.-Generar la sucesin {}mediante la siguiente relacin

P-3. Hallar() ()

Si()()entonces hacer

Es decir, quetome el valor de

Y quetome el valor de




Si( ) ( )entonces hacerEs decir, quesea la raz de ( )P-4. - Dejar de iterarsepara el caso de cifrasSignificativas exactas ( )||para el caso de cifrasDecimales exactasCaso contrario ir al P-2.

PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZPg. 11UNMSMMTODOS NUMRICOSEjemplo 3.1.( )a) Por Teorema de Bolzano localizar el intervalo donde exista la raz.

b) Por Biseccin hallaremos la solucin con dos cifras significativas exactas ().

Se dejar de iterar si||

Entonces||

||

Si es verdadera entonceses solucin con dos cifras significativas exactas.

Iteracin inicial

Entonces() ( ) ( ) ( ) ( )( ) Entonces {

Entonces,

Primera iteracinEntonces

||()

PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZPg. 12UNMSMMTODOS NUMRICOSSe sigue iterando( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )Entonces {

Entonces,Segunda iteracin

Entonces

||

()

Se sigue iterando

( ) ( )( ) () ( )( )Entonces {

Entonces,

Tercera iteracin

Entonces

||

()

Se sigue iterando

() ()()()( )()Entonces {

Entonces,

Cuarta iteracin

Entonces

||

()

Se sigue iterando

() ()()()()()Entonces {



Entonces

,

Quinta iteracin

Entonces

||

()

Se sigue iterando

( ) ( )() () ()()Entonces {

Entonces

,

Sexta iteracin

Entonces

||

()

Se sigue iterando

( ) ( )() ()()( )Entonces {

Entonces

,

Sexta iteracin

Entonces

||

()

Entonceses raz con dos cifras significativas

PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZPg. 14UNMSMMTODOS NUMRICOSRelacin vlida slo para BiseccinDado la ecuacin ( )tal que existe la razpor T.B.Conociendo:El intervalo inicialde la Biseccin.el orden de la descomposicin polinmica de . numero de cifras significativas exacta de .Entonces esta frmula:

Dondenumero entero menor, indicando la cantidad de iteracionesEjemplo 3.2.Tomando el ejemplo 3.1., comprobando el nmero de iteraciones que se requiere dado su nmero de cifras significativas exactas( ), es el siguiente:

( )

Entonces


4. Mtodo de Regula Falsi o Mtodo de Falsa PosicinEs un mtodo similar al mtodo de biseccin en la que en vez de hallar el promedio simple de dos intervalosEl mtodo de R.F. determina el promedio ponderado de los intervalosAlgoritmo del mtodo de R.F.P-1.-Dado la ecuacin( )tal que existe la razpor T.B.

P-2.-Generar la{}mediante la relacin

()()

()( )

P-3. Hallar() ()








Es decir, quesea la raz de( )

P-4. - Dejar de iterarse para el caso de cifras Significativas exactas ( )||para el caso de cifras Decimales exactasCaso contrario ir al P-2.

PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZPg. 16UNMSMMTODOS NUMRICOSEjemplo 4.1.( )a) Por Teorema de Bolzano localizar el intervalo donde exista la raz.

b) Por RF hallaremos la solucin con dos cifras significativas exactas ().


Entonces||

||


Iteracin inicial()()( )()Entonces

( )()( )()

( ) ()() ()()( )Entonces {

Entonces,

Primera iteracin( )()( )()

( )()( )()

Entonces

||()



Se sigue iterando

( ) ( ) () () ( )( )Entonces {

Entonces

,

Primera iteracin( )()( )()

( )()( )()

||

Se sigue iterando

Entonces

()( ) ( )() () ( )( )Entonces {

Entonces

,

Tercera iteracin()()( )()Entonces

( )()( ) ()

||()

Se sigue iterando

( ) ()()() ()( )Entonces {

Entonces,

Cuarta iteracin( )()( )()Entonces

() ()( ) ()

||()


UNMSMMTODOS NUMRICOSSe sigue iterando( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Entonces {

Entonces,

Quinta iteracin( )()( )()Entonces

( )()( ) ()

||()



5. MTODO DE LA SECANTEAlgoritmo del mtodo de la secante.P-1.-Dado la ecuacin( )tal que existe la razpor T.B.

P-2.-Generar la { }mediante la relacin

()()

()()

P-3. -Dejar de iterarsepara el caso de cifras

Significativas exactas

||

para el caso de cifras

Decimales exactas

Caso contrario ir al P-2.Ejemplo 5.1.( )a) Por Teorema de Bolzano localizar el intervalo donde exista la raz.

b) Por la secante hallaremos la solucin con dos cifras significativas exactas ().


Entonces||

||



SeaEntonces

,

Segunda iteracin( )()( )()Entonces

()()( )()

||()

Tercera iteracin( )()()()

( )()()( )

||

Cuarta iteracin

Entonces

()( )()()()Entonces

()()() ()

||()

Quinta iteracin( )()()()

()()() ()

Entonces

||()


Sexta iteracin( )()()()

()()() ()

Entonces

||()

Sptima iteracin( )()()()

()()() ()

Entonces

||()


PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZPg. 22UNMSMMTODOS NUMRICOS6. MTODO DE PUNTO FIJO O MTODO DE APROXIMACIONES SUCESIVAS

Algoritmo:

P-1.-Dado la ecuacin ( )tal que existe la razpor T.B.

P-2.-De ( )despejarde diferentes formas y obtener una ecuacin de la siguiente forma:

( )

Donde( ) es llamado punto fijo.

Generar la { }mediante la relacin( )DondeTomando como valorarbitrario tal queCondicin de convergencia ?Existe { }si se cumple lo siguiente:a) ( ) b)( ) tal que | ( ) | ; es llamado constante de Lipschitz{ | ( ) | | ( ) | }P-3. - Dejar de iterarse para el caso de cifras Significativas exactas ( )||para el caso de cifras Decimales exactasCaso contrario ir al P-2 en( )

PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZPg. 23UNMSMMTODOS NUMRICOSEjemplo 6.1.( )( )a) Por Teorema de Bolzano localizar el intervalo donde exista la raz.

b) Por punto fijo verificamos convergencia

De ( 1 ){

()

Entonces(),),())

Anlisis para( )()

Primera condicin ()?

( )() no cumple la primer condicin

Entonces{}con

Anlisis para( )()

Primera condicin?

( )() no cumple la primer condicin

Entonces{}con

Anlisis para( )( )

Primera condicin?

( ),()

PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZPg. 24UNMSMMTODOS NUMRICOSSegunda condicin |( ) | ?

( )()

Sientonces,

|() |

|() |

{ | ( ) | |() | }{}

entonces |( ) |

{}con( )

c) Obtener una solucin con dos cifras significativa exacta( n = 2 )Se deja de iterar si||Con

||

Con ( )su relacin de recurrencia :

( )entonces

Sea

Iteracin inicial

Entonces||( )

Primera iteracinEntonces

||()



Segunda iteracin||

Tercera iteracin||

Cuarta iteracin||

Entonces()

Entonces()

Entonces()Entonceses raz con dos cifras significativas


7. MTODO DE NEWTON RAPHSONEl Mtodo de Newton - Raphson es ampliamente utilizado para encontrar las races de la ecuacin ( ) , ya que converge rpidamente, la contra es que uno debe conocer la derivada de ( ) y se necesitauna aproximacin inicial muy cercana a la raz.

Se requiere que() sea doblemente continua y diferenciable en.

Algoritmo:

P-1.-Dado la ecuacin( )tal que existe la razpor T.B.

P-2.-Generar la{}mediante la relacin

()

()

Convergencia de N-R.Existe { }si |( ) ()( )|y( ) ( )( )

()

Esto significa queest muy cercano a la raz.

P-3. -Dejar de iterarsepara el caso de cifras

Significativas exactas ( )

||

para el caso de cifras

Decimales exactas

Caso contrario ir al P-2 en

PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZPg. 27UNMSMMTODOS NUMRICOSEjemplo 7.1.( )( )a) Por Teorema de Bolzano localizar el intervalo donde exista la raz.

b) Verificar su convergencia por N.R.

Si ( )entonces()()( )( )()

Veremos sies vlido o no.

()()()entoncesno es vlido para iterar.

Veremos sies vlido o no

()()()entonceses vlido para iterar.

( )()()

||()

{} por N.R.c) En la iteracin Cuantas cifras significativas exactas tiene la solucin ?

( )( )()

Cony con,

()

()

()

Escogeremos para dos cifras significativas exactas ( n = 2 )Se deja de iterar si| |Con||


Iteracin inicial()()

()()

Entonces

||()

Primera Iteracin()()

()()

Entonces

||()

Segunda Iteracin()()

()()

Entonces

||()

Segunda Iteracin()()

()()

Entonces

||()

Entonceses solucin con dos cifras significativas exactas.


8. SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES EN DOS VARIABLES Dado el Sistema:() ( 1 )

()

tal que,

8.1. Algoritmo del Punto Fijo en dos variables : P-1.- De ( 1 ) despejar e respectivamente para obtener una relacin de la siguiente forma.() ( 2 )

()

P-2.- De ( 2 ) generar la sucesin:{}{ }Mediante la siguiente relacin de recurrencia:() ,( )DondeP-3. - Dejar de iterarsepara el caso de cifras Significativas exactas ( )||para el caso de cifras Decimales exactas

PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZPg. 30UNMSMMTODOS NUMRICOSpara el caso de cifras Significativas exactas ( )||para el caso de cifras Decimales exactasCaso contrario ir al P-2 enCondicin de convergencia del punto fijo:{ }{}Si se cumple lo siguiente:

| |()| |()y| |()| |()

Donde

()()

Ejemplo 8.1.1.()()

()()

a) Por Teorema de Bolzano localizar el punto inicial ().

(i)Primero formamos de (1) la forma( )

De (2)se obtiene()

De ( ) en (1)se obtiene()

(ii) Aplico Teorema de Bolzano para intervalos de longitud 1.


(iii) De (ii) igual para intervalo de longitud 0.1

SeaLuego de ( ) :entoncesb){ }{ }

()se tieneentonces()

()se tieneentonces()

||()||)

(

||()||)

(

|()|

()

||()||)

(

||()||)

(

||

()


UNMSMMTODOS NUMRICOSPor lo tanto f y g cumplen la condicin de convergencia.c) Por punto fijo obtener una solucin con dos cifras significativas exactas ().

Se dejar de iterar si:

||con||

Entonces||con||

||con||

Si es verdadera entonces () es solucin con dos cifras significativas exactas.

Teniendo :

entonces

entoncescon

)()

(

()Entonces

()Entonces

||()

||()

)()

(

()Entonces

()Entonces

||()

||()

)()

(

()Entonces



()||

||

() (()()||||

() (()()||

||

() (()()||||

Entonces()())

Entonces

Entonces()())

Entonces

Entonces()())

Entonces

Entonces()()Por lo tanto () () () es raz con dos cifras significativas exacta.


UNMSMMTODOS NUMRICOS8.2. Algoritmo de Newton Rapson ( N.R ) en dos variables : P-1.-Dado el sistema siguiente tal que tal que,por T.B.

()

()

P-2.-Generar la sucesin:

{ }{ }

Mediante la siguiente relacin de recurrencia:||()||()||()||()Donde()( )( )( )

P-3. -Dejar de iterarsepara el caso de cifras Significativas exactas ( )||para el caso de cifras Decimales exactas

PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZPg. 35UNMSMMTODOS NUMRICOSpara el caso de cifras Significativas exactas ( )||para el caso de cifras Decimales exactasCaso contrario ir al P-2 enCondicin de convergencia del NR:{}{ } Si se cumple :() | | ( )Ejemplo 8.2.1.()()

()()

Por Teorema de Bolzano localizar el punto inicial ().

(i)Primero formamos de (1) la forma( )

De (2)se obtiene()

De ( ) en (1)se obtiene()

(ii) Aplico Teorema de Bolzano para intervalos de longitud 1.

PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZPg. 36UNMSMMTODOS NUMRICOS(iii) De (ii) igual para intervalo de longitud 0.1

SeaLuego de ( ) :entoncesEntonces el punto inicial es () ()a){ }{ }Verificando su convergencia por Newton Raphson()

() ||||()

()()

Entonces()

Por lo tanto{ }{}

Sea lo siguiente:||()||()


||

()

||

()

||

()

||

()

||()

()

||

()

()

b) Por este mtodo, una solucin con dos cifras significativas exactas ( n = 2 ). Se dejar de iterar si:||con||

Entonces||con||

||con||

Si es verdadera entonces () es solucin con dos cifras significativas exactas.

)()

(


Entonces

()

Entonces

||()

||()

) ()

(

Entonces

()

Entonces

||()

||()

Por lo tanto ()() () es raz con dos cifras significativas exacta.


9. METODOS DIRECTOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LIENALES 9.1. METODO DE CROUT - DOOLITLE Consiste en factorizar una matriz cuadrada A en un producto LU. Esto es:

Donde:A: es la matriz a factorizar.L : es una matriz triangular inferior, cuyos elementos de la diagonal principal son iguales a 1. Se llama L porque viene de la palabra inglesa low, que significa bajo.U : es una matriz triangular superior, cuyos elementos se hallan por el mtodo de la eliminacin gaussiana.Se llama U porque viene de la palabra inglesa up, que significa arriba.Ejemplo 9.1.1.[]Se factoriza como el producto de dos matrices triangulares.[] [] []Se tiene un sistema de 9 ecuaciones con 12 variables, entonces existe infinitas soluciones.Se fijar tres variables. Sea[] [] []


Primera columna:Segunda columna:

Entonces

EntoncesEntonces

Entonces

Entonces

Tercera columna:Entonces

Entonces

Entonces

Entonces

[] [] []

Para un sistema lineal de la forma:

Donde A se factoriza de la forma:

L: Matriz Triangular InferiorU: Matriz Triangular SuperiorSea:()

Ejemplo 9.1.2.Calculando[ ] tal quecon[ ] y [ ]

PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZPg. 41UNMSMMTODOS NUMRICOSSe sabe()()Seala cual[ ]Entonces

[] [] []Entonces

Entonces

Entonces

[] [] []Entonces

Entonces

[]

PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZPg. 42UNMSMMTODOS NUMRICOS9.2. METODO DE CHOLESKY Primera versinTambin para resolver el sistemapara aplicar cholesky se debe cumplir lo siguiente:1) es simtrico, es decir debe cumplir 2) sea definida positiva. Ejemplo 9.2.1.Desarrolle:[] [ ] [ ]Dado :[] entoncesViendo si es definida positiva:entonces[] entonces[] entoncesPor lo tanto A es positiva, entonces se puede aplicar cholesky.Se factoriza como el producto de dos matrices triangulares.[] [] []


Primera columna:

Segunda columna:

( ) Entonces

Entonces( ) ( ) Entonces

Entonces

Entonces

Tercera columna:

( )( )( )Entonces

[] [] []

Calculando[ ] tal quecon[ ] y [ ]Se sabe

()

()

Seala cual[]

Entonces

[] [] []Entonces

Entonces



Entonces

[] [] []Entonces

Entonces

[]Segunda versinPara la solucin del sistema cuando no es simtrica. Pero hacia se le puede hacer transformar.Ejemplo 9.2.2.Para la solucin del sistema:[] [ ] [ ]En donde A no es simtrica.Se le puede hacer transformar en pasos elementales de Matriz.[]()

()

[]

Entonces la nueva matriz es[]con[ ]

Siendo A simtrica y positiva

PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZPg. 45UNMSMMTODOS NUMRICOS[] [ ] [ ]Es idntico al ejemplo 9.2.1.Obtiene esta expresin, en la que[ ] se mantiene igual:El desarrollo, para hallar[ ], es la misma en la versin 1, obteniendo [ ] [ ][] es solucin de [] [ ] [ ]


10. MTODO TRIDIAGONAL PARA SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Sea el sistema de ecuaciones de la forma:() ( ) ( )

ALGORITMO TRIDIAGONAL:P-1: Del sistema, expresarlo como

Sea ,C es constante arbitraria /{ }

De la Ec. (1) despejar



.

De la Ec. (n-1) despejar

De la Ec. (n) despejar

Pero como no existe se hace lo siguiente:

Tal que:()donde R: vector residual

Se tiene( )


UNMSMMTODOS NUMRICOSSies solucin de

Sies solucin de

P-2: Del sistemaexpresarlo como y sea, se procede como P-2,

llegando a lo siguiente:

Tal que:()donde S: vector residual

Se tiene ( )

Sies solucin de

Sies solucin de

Se tiene:.. ( )

.. ( )

( )( )()()

0

Se busca una relacin:

Tal que:()

Ejemplo 10.1.

Sea el sistema:

()

()

()

()

Paso 1

Sea el sistema:

()

()

()

()


UNMSMMTODOS NUMRICOSSeaconstante arbitraria.

En ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ),,

En ( 4 ) Como No existese hace lo siguiente:

Tal que res valor residual.Entonces

Paso 2Del sistemaentonces

{}

Sea tal que

()

()

()

()

De ( 1 ) , ( 2 ) , y ( 3 ) se consigue,,

En ( 4 ) Como No existese hace lo siguiente:

Tal quet es valor residual.Entonces

Del paso 1 se obtiene:()con

Del paso 2 se obtiene:()con

La solucin es:

()()

()

Entonces,,,

PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZPg. 49UNMSMMTODOS NUMRICOSEjemplo 10.2.Resolver:

22

Del sistema

(1)

2 ... (2)

2 (3)

(4)

Sea,{ }

De (1):

De (2):0

De (3):

De la ec. (4) despejo , pero como no existe

( )()

Del sistema

Sea , luego se procede como P-2

,en

,en

,en

Observacin: Sicambiar el valor inicial de

( )()


UNMSMMTODOS NUMRICOSSe busca una solucin Tal que:

Verificando:22() ( ) ( )

Ejemplo 2(Solucin de sistemas lineales en Tribanda)Seaen Tribanda.( )( )( )( )Algoritmo del sistema TridiagonalSolucin:

Del sistema

( )

( )

( )



( )

Sea , C vector arbitrario talque{ }

Entonces:

De (1) despejo :( )

De (2) despejo :( )

De (3) despejo:

( )

De (4) despejar ; pero :( ) Y se tiene que: ( ) ()Ahora expresarlo comoes un vector nulo.

( )

( )

( )

( )



Sea { }

sea

:

De (1) despejar

( )

De (2)despejar :

( )

De (3)despejar:

( )

( ) ()De (4) despejar , pero entonces:( )

Entonces: [] [ ] [ ][] [ ]Comprobacin:

PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZPg. 53UNMSMMTODOS NUMRICOS-46+24+13-22+13=-9


11. MTODO PENTADIAGONAL PARA SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Ejemplo 11.1.Dado el sistemase tiene lo siguiente:( ) ( ) ( ) ( ) ( )Paso 1Del sistema originalexpresando en la forma()

()

()

()

()

Sea( Uno de ellos debe ser diferente de cero y el otro debe ser cero )

De ( 1 ), ( 2 ), ( 3 )se obtiene,,

De ( 4 ) como NO existese hace lo siguiente

entonces

De ( 5 ) como NO existese hace lo siguiente

entonces

Entonces[][]

Se tiene()



Paso 2primera solucin homognea

Del sistema originalexpresando en la forma

( )

( )

( )

( )

( )

Sea( dos nmeros cualesquiera )

De ( 1 ), ( 2 ), ( 3 )se obtiene,,

De ( 4 )como NO existese hace lo siguiente

entonces


entonces

Entonces[][]

Se tiene()

Paso 3segunda solucin homognea

Del sistema originalexpresando en la forma

()

()



( )

( )

( )

Sea

De ( 1 ), ( 2 ),( 3 )se obtiene,,


entonces


entonces

Entonces[][]

Se tiene()

Paso 4

[][][]

[][][]

La solucin Entonces

()()()

()

Es decir


Ejemplo 11.2.

Dado el sistemaresolver el siguiente sistema pentadiagonal

2+ 3+=8EC(1)

3+ 2+ 4+=15EC(2)

+ 4++ 4+ 2=13EC(2)

+ 4+ 2+=19EC(4)

2++ 7=15EC(5)

PASO DEL ALGORITMO

P-1: Expresar el sistema comoA.= b

+ 3+=8Ec(1)

+ 2+ 4+=15Ec(2)

+ 4++ 4+ 2=13Ec(3)

++ 2+=19Ec(4)

2++ 7=15Ec(5)

Sea= 0= 1cte arbitrario

DeEc(1) despejar= 5

pues0 + 3(1) += 8

DeEc(2) despejar=7

Pues0 + 2(1) +4(8) += 15

De Ec(3) despejar= 16

Pues0 + 4(1) + 5 + 4(7) + 2= 13

De Ec(4) despejar;como,hacemos lo sgte. :

+ 4+ 2+= 19 +

1 + 4(5) + 2(7) + 16 = 19 +=45



De la Ec(5) despejar;comohacemos

2++ 7= 15 +

2(5) + (7) +7(16) = 15 += 100

R =[]

, como R ; A. = b + R

Se tiene:

== =()

[][]

P-2:Primera solucin homognea del sistema A.x = b, expresarlo como A. =2+ 3 + =0Ec(1)

3+ 2 + 4 + =0Ec(2)

+ 4 + + 4 + 2=0Ec(3)

+ 4 + 2+ =0Ec(4)

2 + + 7=0Ec(5)

Sea= 10= 20

De Ec(1) despejar ;=80

pues2(10) + 3(29) + = 0

De Ec(2) despejar ;= 250

Pues3(10) +2(20) + 4(8) + = 0

De Ec(3) despejar ;

=


UNMSMMTODOS NUMRICOSpues 10 + 4(20) + ( 80) + 4(250) + 2 =0De Ec(4) despejar ; como hacemos + 4 + 2 + = 0 +20 + 4( 80) + 2(250) + ( 505) = 0 + ;= 1445De Ec(5) despejar ; como hacemos2 + + 7 = 0 +2()+ (250) + 7( ) = 0 +S = []

[]

P-3: Segunda solucin homognea del sistema A.x = bexpresar

A. = 0

+=0Ec(1)

2+ 3

+=0Ec(2)

3+ 2 + 4

++ 4=0Ec(3)

+ 4+ 2

=0Ec(4)

+ 4 + 2+

=0Ec(5)

2 ++ 7

Sea= 20= 10

De Ec(1)despejar;=

Pues2(20) + 3(10) + = 0

De Ec(2)despejar=

= 0

3 + 2 + 4 +

3(20) + 2(10) + 4() + = 0



= 395

De Ec(3) despejar

= 0

+ 4+ + 4+ 2

20 + 4(10) + ( ) + 4(200) + 2 = 0comohacemos

De Ec(4) despejar ,

+= 1925

+ 4+2+ = 0

10 + 4() 2(200) + 395 = 0 +

De Ec(5) despejar ; como

= -2705

2+ +7 = 0 +

[]

[]

[] []A. = + TP-4: Y se llega a lo siguienteA. = b + RA. = 0 + SA. = 0 + TR = 0R= []

+= RS = []


UNMSMMTODOS NUMRICOS[] + [ ]= [ ]T = []1445 + 1925=;=0.025992507

2705= 100;=0.003865364

x =

x ==+ 0.025992507+ 0.003865364[] [ ][ ][ ]X =[] []Comprobacin :Ec(1)

2 + 3 += 8

0.6744647 + 4.67551134 + 2.65002396 = 88=8Cumple!!!

Y tambien cumple todlui


NORMA DE UNA MATRIZ

La Norma de una matrizes un nmero real tal que satisface las siguientes condiciones

( )

( )

( ) | | | |

( )

( )

Principales Normas-Norma m o Norma

{ | | | || | }

-Norma l,

{ | | | || | }

-Norma k, | |

Ejemplo 1:

Sea[]

{ || ||}{}

{||||}{}


UNMSMMTODOS NUMRICOSPara el vector X ={|| ||| | }

[]

| |||||

Ejemplo 2:

Sea X = ()

{ | |||}

||||

()()

PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZPg. 64UNMSMMTODOS NUMRICOS12. SOLUCION ITERATIVA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

12.1. METODO DE JACOBI Dado el sistemaEc.(1)a11x1 + a12x2 + .. + a1mxm

Ec.(2)a21X1+ a22X2+ .. + a2mXm

Ec.(3)a31X1+ a32X2+ .. + a3mXm

b1 b2 b3 ...

...

Ec.(m)m11 + am2X2 + .. + ammXm = bm

Donde:

A = []b =y si aii 0X =

Despejamos X de la ecuacin 1 obteniendo un sistema equivalente de la forma: X = + X De la siguiente manera.Despejamos

X1=

X2=

...

...

...

Xm =


UNMSMMTODOS NUMRICOSDandole forma:; con ()[]Con todo esto se puede expresar en la siguiente forma X = + XX= +X[] [ ] [] [ ]El Sistema sugiere Jacobi la siguiente relacin de recurrenciaX (k+1) = + X (k),k = 0, 1, 2,

De la relacin se obtiene la sucesin {}tomando como valor inicial arbitrario, que

generalmente

X (0)=0 X (0) = =1

Obs. X (k+1) = ( X1(k+1) , X2(k+1), , Xm(k+1) )t

X (0) = ( X1(0) , X2(0), , Xm(0) ) t

PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZPg. 66UNMSMMTODOS NUMRICOSALGORITMO DE JACOBI:P-1Dado el Sistema

Expresarlo en el sistema equivalenteX = + X

P-2Tomando como solucin inicial X (0) arbitrario generar la sucesin { X (k) } X (*)mediante

la relacin de recurrencia:

X (k+1) = + X (k),k = 0, 1, 2,

P-3Dejar de iterar si

()()

()

caso contrario ir al P-2

CONVERGENCIA DE JACOBI

{()}()Si

Observacin

Para que se cumpla esa condicin es necesario que A del sistema originalsea

diagonalmente dominante, es decir|| | | de su fila y de su columna

Ejemplo 12.1.1.Sea el sistema siguiente:( ) ( ) ( )

Con(a) Por JACOBI verificando su convergencia { }Si ?

Obs. Para que se cumpla es necesario que del sistema, A sea

diagonalmente dominante.

De(1) X1:

(2) X2: (3) X3:

PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZPg. 67UNMSMMTODOS NUMRICOSEntonces

[][][][]

{|||| |||| || ||}

{}

{ }

(b) Por el Mtodo Jacobi Hallar una solucin con

()()

Si( )()entonces() es solucin con

Obs. Se toma como valor inicialarbitrario( )=

Sea() =

()

K = 0Sea

()( )[][] [][]

()()[]

K = 1Sea

()()[][][][]

PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZPg. 68UNMSM ( ) []

( )

()

[]

K = 2Sea( )

( )( )[] [

( ) []

( )

()

[]

Entonces( )

MTODOS NUMRICOS( )[]

()

] [][]

()[]

()

es solucin conNOTACION MATRICIAL DEL METODO DE JACOBISea el sistemaDonde:A = []La matriz A se le puede descomponer en la forma A = D + L + U , donde


[][][]

( )

Matriz DiagonalMatriz Triangular inferiorMatriz Triangular superior

As el sistemase le puede expresar como:

( D + L + U )X = b

DX + ( L + U ) X = b

DX = b ( L + U ) X

X = D-1b D-1( L + U ) X

X = D-1b + [-D-1(L + U)] X = D-1b^ = -D-1( L + U )

Si el mtodo de Jacobi esX = + X

Matricialmente es: X = D-1b D-1( L + U ) X

Su relacin de recurrencia es

X (k+1) = D-1b D-1 (L + U) X (k),k=0, 1, 2

Solucin Matricial de JacobiDel sistematal que()Entonces()

Desarrollo del ejemplo anterior


[][ ][ ]

[][][]

[]con[]

Entonces[][]

([)][ ][]Entonces[]

[][] []

Entonces[]

Ejemplo 12.1.2.Sea el siguiente sistemaEc (1)20x1+ 5x3 =2

Ec (2)x1 + 20x2 + 2x3 = 4

Ec (3)x1 + 9x2 + 20x3 = 6

Por Jacobi verificar su convergenciaCONVERGENCIA DE JACOBI{ }( )Si .. (i)

ObservacinPara que se cumpla (i)


Es necesario que A del sistema originalsea diagonalmente dominante, es decir

| | || de su fila y de su columna

As:de su fila

de su columna

de su fila

de su columna

Igual para a33x1 =+ 0+0-

x2 =-+0-

x3 =--+0

x =+x

== []

[]

mx.{ 0 + 0 + ||| + 0 + ||, || + || + 0 }

, |

mx.{ 0.25, 0.15, 0.5 }

{}( )porjacobi

Por jacobi obtener una solucin con

Si la relacin de jacobi es()()

Para k = 0

Interaccin inicial

( )( )


Observacin es arbitraria

Sea =

==+

+ *

=Para k = 1Primera iteracin = +

==+Donde

= 0.1 + = 0.1 + (0)(0.1) + (0)(0.2) + (-0.25)(0.3) = 0.025\

= 0.2 + = 0.2 + (-0.05)(0.1) + (0)(0.2) + (-0.1)(0.3) = 0.165 = 0.205Para k = 2Segunda iteracin = +


==+=

*k =3Tercera iteracin = +

==+=

* Verificamos si se llego a la solucin

=

=

== 0.03289625 < =

( )( )con

12.2. METODO DE GAUSS- SEIDEL Tambin determina la solucin del sistemaiterativamente.De la relacin matricial del sistema:()() ( ) ( )

PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZPg. 74UNMSMMTODOS NUMRICOSDe ( ) se obtiene la relacin matricial de G-S , siguiente:()( ) ( ) ( ) ( )

Observacin:*Si( ){*La relacin ( ) se puede obtener al igual que Jacobi del sistema, de la ecuacindespejar la variable , para obtener la Matriz .Algoritmo del mtodo de Gauss-Seidel:Paso1: Dado el sistemaobtener su sistema.

Paso 2: Para un punto inicial arbitrario() generar la sucesin { ( )}( ) mediante la

siguiente relacin:

( )() () () ( )

Paso 3: Dejar de iterar si ( )( ); caso contrario ir al paso 2.

( )

Observacin:En la convergencia del mtodo de Gauss-Seidel tambin se cumple que: entonces { ( )} ( )Ejercicios resueltos:1) Dados:() ( ) , ( ) ( )

PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZPg. 75UNMSMMTODOS NUMRICOSResuelva el sistema Ax = b por el mtodo de Gauss-Seidel.Solucin:Utilizando Gauss-Seidel:()() ( )() ( )

Operando obtenemos la secuencia:

()[]()[]

()[]()[]

()[]()[]

Claramente converge a la solucin exacta () .

La tasa de convergencia del mtodo de Gauss-Seidel viene dada por la norma de:()[]

Cuyas normas son: = 0.454y = 0.4.

2) Considere el siguiente sistema de ecuaciones:[] [ ]Puede resolver este sistema por el mtodo de Gauss-Seidel? Por qu? Si lo puede hacer, haga solo dos iteraciones a partir de la solucin nula y determine la tasa numrica de convergencia. Adems calcula la tasa exacta de convergencia. Cuntas iteraciones necesitar para alcanzar un error absoluto de .Solucin:El mtodo de Gauss-Seidel es aplicable porque por que la matriz es simtrica definida positiva. Dos iteraciones conducen a:

PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZPg. 76UNMSMMTODOS NUMRICOS( ) ( )( )

()()()Y la tasa de convergencia numrica la podemos calcular como (en norma infinito) ( )

Que se parece poco a la tasa de convergencia exacta:( ( ) )NOTA: Calculando con ms iteraciones nos acercamos a la tasa terica, por ejemplo:()

( )

Para alcanzar (en norma infinito) un error absoluto menor quese requieren 13

iteraciones.

Ejemplo 12.2.1.Sea el sistema:Por el mtodo de Gauss-SeidelAnalizar su divergencia. Hallar su solucin conSolucin:Analizar su divergencia[][ ]Luego:()

PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZPg. 77UNMSMMTODOS NUMRICOS[] [ ] [][] {}Entonces{ ( )} ( )Hallar su solucin conDeSea

[] [ ] [ ]()[ ( )] ( )()

( )[ ()][ ]

()

( )[( )]( )

()()

( )[ ( )][] [] [ ( )] [] [ ]

()()

( )


( )()()

()

( )

( )

( )[( )][]

( )

:1era Iteracin

( )[ ( )]( )

( )()

( )[ ( )][ ] [] [ ( )] [] []

( )()

( )

()()

( )

( )

( )[( )][]

( )

:2daIteracin

( )[( )]( )

( )( )

( )[ ( )][] [] [ ( )] [] []

( )( )


( )[( )]

( )()

()

()

()

( )[]

:3eraIteracin

()[ ()]( )

( )( )

( )[ ( )] [ ] [] [ ( )] [] []

( )( )

()

()

()

( )[]

( )()

( )

( )

PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZPg. 80UNMSMMTODOS NUMRICOSEjemplo 12.2.2.Sea el sistema:Por el mtodo de Gauss-SeidelAnalizar su divergenciaHallar su solucin conSolucin:Analizar su divergencia[][]

Luego:

()

[] [][]

{}entonces{ ( ) }( )

Hallar su solucin con

[] [][]

De()[ ()]()


()

Sea( )[ ()] [ ]

()

( )[ ( )]( )

( )( )

( )[ ( )][ ] [] [ ( )] [] [ ]

( )( )

()

()

( )( )

( )[]

:1era Iteracin

()[ ( )]()

()()

( )[ ( )][] [] [ ( )] [] []

()()

( )( )()


UNMSMMTODOS NUMRICOS( )()

( )( )[]

: 2da Iteracin()[ ( )]( )

()()

( )[ ( )][] [] [ ( )] [] []

()()

()

()()

()

()

( )[]

( ) ( ) ( )

( )

PROFESOR: LUCIO AVILIO MALASQUEZ RUIZPg. 83UNMSMMTODOS NUMRICOSEjemplo 12.2.3.Sea el sistema:Por el mtodo de Gauss-SeidelAnalizar su divergenciaHallar su solucin conSolucin:Analizar su divergencia[][ ]Luego:()[] [ ] [][] {}

{X (k)}X*

Hallar su solucin con

[] [ ][]

De( )[ ()]( )


UNMSMMTODOS NUMRICOSSea( )( )( )( )( )( )( )

( )[ ()][]

()

[ ( )]( )

()()

[ ( )][] [] [ ( )] [] [ ]

()()

( )()

()

( )[ ()][]

()

:1era Iteracin

()[ ( )]( )

()()

( )[ ( )][] [] [ ( )] [] []

()()


( )

( )()

( )

( )

( ) [ ( )] []

( )

:2daIteracin

( )[()]( )

( )( )

( )[ ( )] [ ] [] [ ( )] [] []

( )( )

( )[( )]

( )()

()

()

()

( )[]

:3eraIteracin

( )[ ( )]( )



()( )

( ) [ ( )] [ ] [] [ ( )] [] []

()( )

( )

()

()

( )[]

( ) ( )

( )


13. INTERPOLACINSupongamos que se conoce f0 , f1, f2, .fn valores correspondientes a X0, X1, X2, .., Xn valores independientes de una variable independiente X.( X0

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