Anlisis Matemtico II4 ! Polinomio y serie de Taylor

Docentes : Lic. Bruno MeszProf. Luciana Volta

Ejercicio 1Hallar el polinomio de Mac Laurin dei " f#!x" $ %x hasta orden 4ii " f#!x" $ sen#!x" hasta orden 1 y 2iii " f#!x" $ cos#!x" hasta orden 2 y 3vi " f#!x" $ 1 & 2 x ! 5 x2 & 4#x3 hasta orden 1, 2, 3, 4 y 5v " f#!x" $ 2 & 3#!x ! 2" ! 5#!x ! 2"2 & 7#!x ! 2"3 hasta orden 1, 2, 3, 4 y 5Desarrollar los parentesis de f#!x" y comparar con los polinomios obtenidos

Ejercicio 2Hallar el polinomio de Taylor dei " f#!x" $ ln#!x" de orden 3 en a $ 1ii " f#!x" $ x de orden 3 en a $ 25iii " f#!x" $ ch#!x" de orden 4 en a $ 0iv " f#!x" $ %!x2 de orden 4 en a $ 0v " f#!x" $ 1 & 2 x ! 5 x2 & 4#x3 de orden 3 en a $ 1vi " f#!x" $ 1 & 2 x ! 5 x2 & 4#x3 de orden 3 en a $ 2vii " f#!x" $ #

x

x2t'ln#!t"#(t de orden 2 en a $ 1

Ejercicio 3i " Encontrar la expresin de Lagrange delresto para todos los polinomios obtenidos en los ejercicios 1 y 2

ii " Utilizar el polinomio de 2 ! ii para obtener de forma aproximada 24 y 26acotando el error correspondienteiii " Utilizar el polinomio de 2 ! i para obtener de forma aproximada ln#!1.1"acotando el error correspondienteiv " Mostrar que el polinomio de 2 ! i no se puede utilizar para calcular de formaaproximada ln#!3" ya que el error no puede acotarse por un nmero pequeov " Calcular el error que se comete al utilizar los

polinomios de Taylor de los ejercicios 1 ! iv 1 ! v 2 ! v y 2 ! viy sacar conclusiones.

Ejercicio 4i " Hallar el polinomio de Mac Laurin de orden n de f#!x" $ %x g#!x" $ sen#!x" yh#!x" $ cos#!x" y la expresin del resto correspondiente.Ejercicio 5#!Estudiar este problema "i " Utilizar lo calculado en 2 ! iv para obtener de forma aproximada#0

1%!x2 #(x estimando el error que se comete

ii " Utilizar lo calculado en 2 ! vii para obtener de forma aproximada#1

2f#!x"#(x con f#!x" $ #

x

x2t 'ln#!t"#(t estimando el error que se comete

iii " Calcular aproximadamente#0

1 sen#!x"x #(x utilizando que

sen#!x" $ P2#!x" & R2#!x" estimando el error que se comete

Ejercicio 6Segn un modelo de la fsica el perodo de oscilacin de un pndulo est dado por la frmula T $

2 ) lg donde l es la longitud del pndulo y g es la aceleracin de la gravedad

Adems el modelo asume que la masa es puntual que no hay rozamiento con elaire y que el angulo mximo que se abre dicho pndulo es "pequeo" entre otrascosas. Esta ltima condicin es necesaria pues en el desarrollo de dicho modelose utiliza la aproximacin sen#!x" * x si x es pequeo !x en radianes"

i " Utilizar el resultado obtenido en 1 ! ii para justificar la aproximacin ydetermine que es un ngulo pequeo si queremos que la aproximacin tenga error menor que 0.001ii " Convnzase,mirando el resultado obtenido en 1 ! iii que la aproximacin siguiente es correcta

cos#!x" * 1 ! x22 si x es pequeo !x en radianes"Ejercicio 7Sea Pn#!x" es el polinomio de Mac Laurin de %x de orden ni " Hallar n para determinar el valor de % utilizando Pn#!1" el error cometido sea menor que 0.01ii " Haga lo mismo para %Ejercicio 8i " Utilizar los resultados obtenidos en 2 ! v y 2 ! vi para calcular# 1 & 2 x ! 5 x2 & 4#x3!x ! 1"2 #(x y # 1 & 2 x ! 5 x2 & 4#x3!x ! 2"4 #(xii " Piense y resuelva # 1 & 2 x ! 5 x2 & 4#x3!x & 1"3 #(xEjercicio 9i " Utilizando lo obtenido en 1 ! i obtenga el polinomio de Mac Laurin de

f#!x" $ %!x de orden 4ii " Utilizando el resultado anterior obtenga el polinomio de Mac Laurin de

f#!x" $ %!x2 de orden 8iii " Utilizando lo obtenido en 1 ! i obtenga el polinomio de Mac Laurin de

f#!x" $ x %x de orden 4

Ejercicio 10Decidir si es posible desarrollar f#!x" segn la frmula de Taylor alrededor de x $ ai " f#!x" $ x3 a $ 0i " f#!x" $ 11 & x a $ !1i " f#!x" $ $ x ! 3 $ a $ 3

2 4-Taylor.nb

Para hacer con MATHEMATICA

i " Defina f%x+& $ %xii " Obtenga la serie de Taylor de orden 1 en x $ 0 utilizando la funcion Series yllamela f1%x&iii " Idem con ordenes 2, 3 y 4iv " Graficar f, f1, f2, f3 y f4 en un mismo grfico y sacar conclusionesv " Repetir todo con g#!x" $ ln#!x"Problemas tericos

1 " Deducir la frmula del polinomio de Taylor de orden 2 de f#!x" alrededor de a2 " Demuestre que la recta tangente a f#!x" en x $ a coincide con el polinomio de Taylorde orden 1 de f#!x" alrededor de a3 " La serie de Taylor de f#!x" $ cos#!x" alrededor de 0 es1 ! x

2

2, &x44, !

x66, &

x88, ! ...

!Es la serie de Taylor de g#!x" $ cos#!x"x alrededor de 0 la siguiente?1x 1 !

x22, &

x44, !

x66, &

x88, ! ... $

1x !

x12, &

x34, !

x56, &

x78, ! ...

JustificarNota : La posibilidad de desarrollar una funcin en una serie que contenga potenciasnegativas de x es tema de Anlisis Matemtico IV bajo el nombre de serie de Laurent

4-Taylor.nb 3