Polinomios de Zernike para representar la

Aberración de un Frente de Onda

Daniel Malacara-Hernández

Centro de Investigaciones en Optica, A. C.

Junio, 2015

 

Frente de onda plano

Frente de onda esferico Frente de onda aberrado

Ojo ideal, perfecto Ojo con aberraciones

Aberraciones del Ojo Humano

Patrón de Shack-Hartmann en un ojo humano

Ejemplos de frentes de onda aberrados

Imagen de Hartmann de una córnea humana

Polinomios de Zernike • Los polinomios de Zernike para representar aberraciones del frente de onda se han usado durante muchos años. • En el año 2000 se adoptó su uso en optica oftálmica como el standard. • Hay muchas ventajas pero también desventajas en su representación.

Algunas ventajas y desventajas • Los polinomios de Zernike son ideales para extraer las características de orden bajo del frente de onda. • Fallan en preservar las componentes de alta de frecuencia espacial del frente de onda.

Representacion del frente de onda con polinomios de Zernike Zn(ρ, θ) es un polinomio de grado n

0

( , ) ( , )ρ θ ρ θ=

=∑M

n nn

W a Z

Polinomios de Zernike

Polinomios de Zernike

Minimización por mínimos cuadrados Los coeficientes a se obtienen minimizando las desviaciones dentro de la pupila con semi-diámetro unitario: haciendo:

22 1

00 0

( , ) d dπ

θ ρ

ε ρ θ ρ ρ θ== =

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠= ∑∫ ∫

M

n nna Z W'

2 1

00 0

2 ( , ) ( , ) d d 0π

θ ρ

ερ θ ρ θ ρ ρ θ

== =

∂ ⎛ ⎞− =⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

= ∑∫ ∫M

n n knk

a Z W' Za

Sistema lineal de ecuaciones Sistema de M ecuaciones:

2 1 2 1

00 0 0 0

( , ) ( , ) d d ( , ) d dπ π

θ ρ θ ρ

ρ θ ρ θ ρ ρ θ ρ θ ρ ρ θ== = = =

=∑∫ ∫ ∫ ∫M

n n k kna Z Z W'Z

Orthogonalidad de los polinomios de Zernike Si los polinomios de Zernike satisfacen la condición de ortogonalidad: Por lo tanto, la matriz del sistema es diagonal.

2 1

,00 0

( , ) ( , ) d dπ

θ ρ

ρ θ ρ θ ρ ρ θ δ== =

=∑∫ ∫M

n k n n knZ Z C

Coeficientes de los polinomios Los coeficientes del polinomio quedarían dados por: evitando así una inversión del la matriz.

2 1

0 0

1 ( , ) d dπ

θ ρ

ρ θ ρ ρ θ= =

= ∫ ∫k kn

a W'ZC

Ventajas de los polinomios de Zernike 1.- Si los puntos de muestreo forman una base continua (muy densa y uniforme), la matriz es diagonal. 2.- Las aberraciones son independientes unas de otras. 3.- Tienen la misma base todas les medidas. 4.- Cada aberración está minimizada.

Problemas de los polinomios de Zernike en las medidas de Shack-Hartmann 1.- Los puntos de muestreo no estan uniformemente espaciados ni su densidad es muy alta. 2.- Se miden las pendientes (aberraciones transversales y no las deformaciones del frente de onda. 3.- Las aberraciones interaccionan una con otra. 4.- La matriz del sistema no es diagonal. 5.- Los ajustes polinómicos no pueden representar deformaciones locales.

Perfiles del frente de onda que no pueden ser representados por polinomios:

Soluciones propustas en el pasado 1.- Se construye un conjunto de polinomios ortogonales vectoriales con una ortogonalización de Gram-Schmidt de los gradientes de los polinomios de Zernike (Zhao and Burge (2007 and 2008). Los polinomios vectoriales tienen que construirse para cada conjunto de datos. 2.- Dai (2006) propone análisis con componentes de Fourier. 3.- Iskander, Morelande et al (2002) estudiaron una representación con los polinomios de Bathia-Wolf. 4.- Treviño (2013) usa funciones circulares de Bessel. 5.- Montoya (1999) propuso el uso de funciones Gaussianas. 6.- Langenbucher et al (2002) usa wavelets. 7.- Iskander (2009) propone el uso de esféricos armónicos. etc., etc.

Propuesta El uso de términos monomiales en coordenadas polares para hacer el ajuste de mínimos cuadrados de los datos del patrón de Shack-Hartmann. Ventaja: Las expresiones para las aberraciones son más sencillas y la inversión de la matriz requiere menos cálculos numéricos. Desventaja: Las aberraciones no son ortogonales y la matriz del sistema no es diagonal.

Aberraciones Monomiales del Frente de onda

r n M Polynomial    P o l a r  coordinates

Aberra2on

1 0 0 1 Piston 2 1 1 ρ  cos  θ Tilt  about  y  axis 3 2 ρ  sin  θ Tilt  about  x  axis 4 2 1 ρ2   Focus  shi7   5 2 ρ2  cos  2θ As9gma9sm;  axis  at  00  or  900

6 3 ρ2  sin  2θ As9gma9sm;  axis  at  ±  450 7 3 1 ρ3  cos  θ   Primary  coma  along  x  axis 8 2 ρ3  sin  θ Primary  coma  along  y  axis 9 3 ρ3  cos  3θ Triangular  as9gma9sm;  base  on  x  axis   10 4 ρ3  sin  3θ   Triangular  as9gma9sm;  base  on  y  axis

11 4 1 ρ4   Primary  spherical 12 2 ρ4  cos  2θ 5th  order  as9gma9sm;  axis  at  00  or  900 13 3 ρ4  sin  2θ 5th  order  as9gma9sm;  axis    at  ±  450

14 4 ρ4  cos  4θ   Ashtray  at  ±  450

15 5 ρ4  sin  4θ Ashtray  at  220  ±  450

r n M Polynomial    P o l a r  coordinates

Aberra2on

16 5 1 ρ5  cos  θ 5th  order  coma  along  x  axis

17 2 ρ5  sin  θ   5th  order  coma  along  y  axis

18 3 ρ5  cos  3θ    

19 4 ρ5  sin  3θ    

20 5 ρ5  cos  5θ    

21 6 ρ5  sin  5θ    

r n M Polynomial    Polar  coordinates

Aberra2on

22 6 1 ρ6   5th  order  spherical 23 2 ρ6  cos  2θ 7th   order   as9gma9sm;   axis   at   00   or  

900 24 3 ρ6  sin  2θ 7th  order  as9gma9sm;  axis  at  ±  450

25 4 ρ6  cos  4θ   26 5 ρ6  sin  4θ     27 6 ρ6  cos  6θ     28 7 ρ6  sin  6θ     29 7 1 ρ7  cos  θ 7th  order  coma  along  x  axis 30 2 ρ7  sin  θ 7th  order  coma  along  y  axis 31 3 ρ7  cos  3θ   32 4 ρ7  sin  3θ   33 5 ρ7  cos  5θ   34 6 ρ7  sin  5θ   35 7 ρ7  cos  7θ   36 8 ρ7  sin  7θ   37 8 1 ρ8   7th  order  spherical

En conclusion: Los polinomios de Zernike son ideales para representar las aberraciones de un frente de onda de un sistema óptico en: a) Interferometría de desplazamiento de fase. b)  Medidas directas del frente de onda con alta densidad. con algunas excepciones: a) Datos muy espaciados. b)  Las medidas son las pendientes y no las desviaciones del frente de onda. c) Hay irregularidades locales no representables por polinomios.

Gracias por su atención!