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Polinomios de Legendre

Los polinomios de Legendre son una familia de polinomios ortogonales, soluciones

de la ecuacin diferencial:

0)1(2)1( 2 =++ ynnyxyx

En la siguiente figura, se muestra la grfica de la funcin asociada al polinomio de

Legendre de grado 9. En la misma, se puede observar que las 9 races son reales y

distintas, se encuentran en (-1, 1) y son simtricas respecto del origen de

coordenadas.

Una propiedad que verifican los ceros de dos polinomios de Legendre de rdenes

sucesivos es que entre dos ceros consecutivos de un polinomio de grado n hay uno

solo de los de cada polinomio de grado n-1 n + 1.

Polinomios de Legendre

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Existe una frmula de recurrencia para obtener los polinomios de Legendre de

distintos grados. La misma est dada por:

2nPn

1nP

n

1)x(2n(x)P

x(x)P

1(x)P

2n1nn

1

0

=

=

=

As, algunos polinomios de Legendre son:

Grado Polinomio de Legendre

2 2

1

2

3 2 x

3 xx 2

3

2

5 3

4 8

3

4

15

8

35 24 + xx

5 xxx +8

15

4

35

8

63 34

6 16

5

16

105

16

315

16

231 246+ xxx