Polinomios soluciones 1
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Solución a los ejercicios de polinomios
Ejercicios del 1 al 10
Saca factor común en las siguientes expresiones I
( ) xxxx 41248 2 −=−
( )yxyxyxyx 2361218 223223 −=−
( )abbaabbaabba 5166551530 2222 +−=+−
( )22423 62626412 babbbab −+−=−+−
( )2233324 287172281434 babaababbaba +−=+−
( )abbcabababacba 918102183620 2223224 −+=−+
Saca factor común en las siguientes expresiones II
( )1222
2
−=− xxxx
( ) ( ) ( ) ( )( )34134 222 −⋅+−⋅=−⋅+−⋅ xyxyxyyxyyyxyx
−−−=−−−
5
1
7
2
57
2 22 xxx
xxxx
Desarrolla los siguientes cuadrados
( ) 49147 22 ++=+ xxx
( ) 14412 22 ++=+ aaa
( ) bababa 22422 124923 ++=+
( ) 1684 22 +−=− xxx
( ) 222 693 bababa +−=−
( ) 654232 2520452 bbbbb +−=−
( ) 22 10255 xxx ++=−−
Calculad y simplificad
( )( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )22
32
22
1222
22
1
2
1
2
2
4
1
2
1
2
22 +−
+=+−
−−−++=+−
−−+
+−
=−−−
++
− xx
x
xx
xxx
xx
x
xxx
x
xx
( )( )( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( )( )
( )( )xxx
xxx
xxx
xxxxxxxx
xxx
xxxxxxx
x
x
x
x
xxx
x
x
x
x
3232
2736
3232
2712949632
3232
32323323
3
32
3
3232
13
32
3
94
1
23
23223
2
+−++−−
=+−
+−+−−++−=+−
+−+−−−−=
=+−+−−
+−=+−
+−−
−
Importante: cuando se desarrollan estas expresiones algebraicas tened cuidado con la operación resta, pues hay que modificar el signo de cada sumando del denominador
Realizad mediante la regla de Ruffini las siguientes divisiones I
)3
1(:)533( 245 −−+− xxxx
1/3
73/81
73/81
0
-1142/24373/27-8/9-8/31
73/243-8/27-8/91/3
-530-31
Importante: cuando se aplica la regla de Ruffini hay que poner un cero por cada término del polinomio que falte.
Realizad mediante la regla de Ruffini las siguientes divisiones II
)2
1(:)
2
7
2
1
2
5()12(:)725( 234234 +−+−=+−+− xxxxxxxx
-1/2
-99/32
13/32
-7/2
-13/1613/8-9/45/2
-13/169/8-5/4
01/2-15/2
Importante: aunque la regla de Ruffini únicamente se puede aplicar al dividir por un polinomio del tipo x-a. Lo que hemos hecho en esta ocasión es dividir por el coeficiente que acompaña a x a ambos polinomios, de tal forma que no varía la expresión y podemos aplicar la regla de Ruffini.
Realizad mediante la regla de Ruffini las siguientes divisiones III
)3
2(:)
3
10
3
1
3
8()23(:)1083( 2424 −+−+−=−+−+− xxxxxxxx
2/3
152/81
62/81
10/3
31/2720/9-2/3-1
40/27-4/9-2/3
-1/38/30-1
Probad que… I
( ) ( )2233 aaxxaxax ++−=−a
0
Resto
a2a1
a3a2a
-a3001
( ) ( ) 3332222322 axaxaaxxaaxxaaxxax −=−−−++=++−
Este ejercicio se puede hacer de dos formas distintas:•La primera es aplicar la regla de Ruffini y comprobar que la división por x – a proporciona el polinomio del miembro izquierdo de la expresión.•La segunda consiste en desarrollar el producto y simplificar la expresión resultante
2x ax+ 2a+
Probad que… II( ) ( )2233 aaxxaxax +−+=+
-a
0a2-a1
-a3a2-a
a3001
( ) ( )322344 axaaxxaxax −+−+=−
-a3
-a3
0
-a
0a2-a1
a4a2-a
-a4001
El polinomio P(x) es de grado 2; el resto de dividirlo entre x + 1 es -3; da de resto 12 si se divide entre x – 2 y es múltiplo de x + 2. Hallar P(x) y sus raices. I
Como el polinomio es de grado 2 tiene la forma ax2 + bx + c. Como sabemos que es un múltiplo de x + 2, este polinomio divide al polinomio anterior, es decir, el resto de dividirlo es 0. Por tanto, utilizando el teorema del resto podemos poner:
( ) ( )024
;022 2
=+−=+−+−
cba
cba
Utilizando de nuevo el teorema del resto para x + 1 y x – 2 y sus correspondientes restos, podemos poner:
( ) ( )3
;011 2
−=+−=+−+−
cba
cba ( ) ( )1224
;1222 2
=++=++
cba
cba
Por tanto, disponemos de un sistema lineal de tres ecuaciones, con tres incógnitas que resolveremos a continuación para calcular a, b y c.
El polinomio P(x) es de grado 2; el resto de dividirlo entre x + 1 es -3; da de resto 12 si se divide entre x – 2 y es múltiplo de x + 2. Hallar P(x) y sus raices. II
2
2
3
124
1232
024
1224
12444
024
1224
3
024
=−=
=
−=−=−
=+−
−=−−−=−+−
=+−
=++−=+−=+−
a
c
b
b
cb
cba
cba
cba
cba
cba
cba
cba
Hemos resuelto este sistema mediante el método de reducción. Multiplicamos por 4 la segunda ecuación, que sustituimos por su suma con la primera ecuación. Multiplicamos por -1 la tercera ecuación, sumamos con la primera y sustituimos por la tercera ecuación. Resultando la tercera ecuación con una única incógnita que resolvemos.
El polinomio P(x) es de grado 2; el resto de dividirlo entre x + 1 es -3; da de resto 12 si se divide entre x – 2 y es múltiplo de x + 2. Hallar P(x) y sus raices. II
Falta calcular las raíces de este polinomio, para ello resolvemos la ecuación de segundo grado que resulta de igualar el polinomio a 0. Podríamos también, utilizar el método de Ruffini, pues sabemos que una de sus raíces es -2 ( x+2 es múltiplo del polinomio).
( )
=−=
=±−=⋅
−⋅⋅−±−=
=−+
2
12
4
53
22
22433
0232
2
2
x
xx
xx
Halla las raíces de los siguientes polinomios I
( )
( )( )
+=−==
+=−==
−±−=
−⋅±−=
−⋅⋅−⋅−±−
=
=++−
++−=++−
173
173
0
173
173
2
726
2
1726
12
81466
086
8686
22
2
223
x
x
x
raíces
x
xx
xx
xxxxxx
Hemos sacado factor común en el polinomio de grado 3 puesto que no dispone de término independiente, posteriormente hemos resuelto la ecuación de segundo grado para calcular los valores que anulan el polinomio.
Halla las raíces de los siguientes polinomios II
( )
=−=
=±−=⋅
−⋅⋅−±−=
−+
2
4
1
31
2
12
42
1411
;42
2
2
x
xx
xx
( ) ( )
−==
=±=⋅
−⋅⋅−−±=
−−
3
5
2
82
12
151422
152
2
2
x
xx
xx
Las raíces de un polinomio son los valores que lo anulan, por lo que resolvemos la ecuación de segundo grado para calcular los valores
( )
==
=±=⋅
⋅⋅−−±=
=+−
=⇒
+−=+−
3
6
3
213
3
12
63
1433
0633
1
0633
163
3
2
2
223
x
xx
xx
xxxxxxx
Halla las raíces de los siguientes polinomios III
Aprovechamos que la variable x se encuentra en todos los términos del polinomio, para factorizar parcialmente el polinomio y obtener la primera raíz 0.Posteriormente calculamos los valores que anulan el polinomio de segundo grado para calcular las otras dos raíces que son 6 y 3.
Halla el valor k del polinomio sabiendo que x=4 es una raíz del mismo. Halla la otra raíz.
242 −+ kxx
2
84
048
024416
02444
242
2
==
=+−=−+=−+
−+
k
k
k
k
k
kxx Como 4 es una raíz, anula el polinomio, al realizar la sustitución queda una ecuación con una incógnita que despejamos.Para calcular la otra raíz podemos resolver la ecuación de segundo grado que resulta de igualar a 0 el polinomio una vez sustituido el valor de k. Otro método sería utilizar la regla de Ruffini. Utilizaremos este método.
4
061
244
-2421
Por tanto, la otra raíz es -6
Halla el valor k del polinomiosabiendo que x=3 es una raíz del mismo. Halla la otra raíz.
kxx +−102
21
0309
03103
102
2
==+−
=+⋅−
+−
k
k
k
kxx Calculamos el valor de k igualando a 0 el resultado de sustituir la raíz en el polinomio, pues ese valor debe anularlo.Una vez obtenido k procedemos a resolver la ecuación de segundo grado para calcular la otra raíz.
==
=±=⋅
⋅⋅−±=
=+−
3
7
2
410
12
21141010
02110
2
2
x
xx
xx
Por tanto, la otra raíz es 7.Importante: si una de las soluciones no hubiera sido 3 habría un problema en la solución de este problema
Aplicando la regla de Ruffini, halla el cociente y el resto de las siguientes divisiones I( ) ( )2:1234 234 +−+−+ xxxxx
16
14
2
-2
-33-721
-32-4-2
-1-341
1672
33
23 +−+
−
xxx
COCIENTE
RESTO
Aplicando la regla de Ruffini, halla el cociente y el resto de las siguientes divisiones II
( ) ( )3:864 235 −−+−+ xxxxx
84
78
6
26
30
-4
3
2441031
25293
-8101
8426103
244
234 ++−+ xxxx
COCIENTE
RESTO
Aplicando la regla de Ruffini, halla el cociente y el resto de las siguientes divisiones III
( ) ( )4:6420 24 ++− xxx
0
-64
64
16
16
0
-4
-4-41
16-4
-2001
1644
0
23 +−− xxx
COCIENTE
RESTO
Aplicando la regla de Ruffini, halla el cociente y el resto de las siguientes divisiones IV
( ) ( )2:52 25 −+− xxx
14
14
0
7
8
-1
2
33421
2842
5002
14742
33
234 ++++ xxxx
COCIENTE
RESTO
( ) ( )3:556 234 −+−+− xxxxx
-34
-39
5
-13
-12
-1
3
-4-31
-93
5-61
1343
34
23 −−−
−
xxx
COCIENTE
RESTO
Aplicando el teorema del resto indica si …
( )16 +x es divisible por ( )1−x divisible es no Por tanto02116 ⇒≠=+
( )17 −x es divisible por ( )1+x ( ) divisible es no Por tanto01111 7 ⇒≠−−=−−
( )84 −x es divisible por ( )2+x ( ) divisible es no Por tanto0881682 4 ⇒≠=−=−−