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Polıtica Fiscal: Un Enfoque de Tributacion OptimaDiapositivas para acompanar el Capıtulo 2:

Equivalencia Ricardiana

Leopoldo Fergusson y Gustavo Suarezcon Ivan Alberto Cadena y Esteban Tamayo

UniAndes

2013

Fergusson y Suarez (UniAndes) Polıtica Fiscal: Equivalencia Ricardiana 2013 1 / 99

Contenido

1 Equivalencia RicardianaModelo de Dos PeriodosModelo de Ramsey

2 Extensiones de la Equivalencia RicardianaEconomıa Pequena y AbiertaAltruismo Entre GeneracionesInconsistencia Temporal

3 Conclusiones



Contenido



3 Conclusiones




Para un gobierno es importante decidir si financia el gasto publico pormedio de impuestos o deuda publica.

El resultado de la Equivalencia Ricardiana establece que, dados ciertossupuestos, la eleccion entre estos dos instrumentos es irrelevante.

Sin embargo, el resultado depende de supuestos que difıcilmente secumplen.

Pero la Equivalencia Ricardiana es util como referente teorico, comolo es la competencia perfecta para la microeconomıa.


Equivalencia Ricardiana Modelo de Dos Periodos

Contenido



3 Conclusiones



Equivalencia Ricardiana en un Modelo de Dos Periodos

Consideramos una economıa cerrada que vive dos periodos t = 1, 2.

La economıa esta habitada por hogares que toman decisiones deconsumo {C1,C2} y ahorro.

El gobierno decide la forma de financiar una trayectoria dada de gasto{G1,G2}. Para ello el gobierno podra cobrar impuestos en t = 1(impuestos corrientes) o en t = 2 (impuestos futuros).



Los Hogares I

Todos los hogares son identicos y su numero es normalizado a 1.

No hay crecimiento demografico.

En cada momento del tiempo, el hogar tiene una funcion de utilidadu que depende de su consumo, con u′ > 0 y u′′ < 0.

El hogar maximiza el valor descontado de su utilidad, es decir sufuncion de utilidad intertemporal :

V1 = u(C1) +1

1 + ρu(C2),

donde ρ > 0 es la tasa de descuento de los hogares, y mide suimpaciencia.



Los Hogares II

En cada periodo el hogar representativo recibe un ingreso exogeno,Yt , t = 1, 2.

Los hogares pueden ahorrar mediante la acumulacion de activosfinancieros que retornan una tasa de interes r entre periodos.

Notemos At como los activos financieros al final del periodo t.

Inicialmente, A0 = 0 y como el tiempo se acaba en t = 2, A2 = 0.

El hogar paga impuestos de suma fija en ambos periodos, {T1,T2}, yesta es la unica fuente de ingresos del gobierno.



Los Hogares III

En el primer periodo, el hogar puede destinar su ingreso disponible aconsumir o a ahorrar. Formalmente, como A0 = 0:

Y1 − T1 = C1 + A1

De manera similar, en el segundo periodo,

Y2 − T2 + A1(1 + r) = C2

Combinando tenemos la siguiente restriccion intertemporal :

Y1 +Y2

1 + r= C1 +

C2

1 + r+ T1 +

T2

1 + r



Los Hogares IV

En resumen, tenemos el siguiente problema de los hogares:

maxC1,C2

V1 = u(C1) +1

1 + ρu(C2)

s.a. Y1 +Y2

1 + r= C1 +

C2

1 + r+ T1 +

T2

1 + r

Por la concavidad estricta de u, la solucion a este problema secaracteriza facilmente por la condicion de primer orden:

u′(C1) =

(1 + r

1 + ρ

)u′(C2) .



Los Hogares V

El consumidor alcanza la maxima utilidad posible cuando no puedeincrementar V1 recomponiendo su consumo entre periodos.

En otras palabras, la utilidad maxima se alcanza cuando unareduccion en el consumo de hoy (ahorro) genera un sacrificio enutilidad equivalente al aumento en utilidad resultante por el aumentoen el consumo futuro que dicho ahorro permite.

Reescribiendo la condicion, vemos que los hogares deciden entreconsumo presente y futuro de acuerdo a la diferencia entre la tasa deinteres del mercado y su tasa subjetiva de descuento intertemporal:

u′(C1)

u′(C2)=

1 + r

1 + ρ.



El Gobierno I

Para financiar su trayectoria de gasto {G1,G2}, el gobierno puederecaudar impuestos o endeudarse.

Notamos Bt como el monto de la deuda publica al final del periodo t.

Como para los consumidores, suponemos B0 = B2 = 0.

Suponemos que la deuda del gobierno paga la misma tasa de interesque los otros activos de la economıa.



El Gobierno II

La restriccion para el gobierno en t = 1 refleja que el gasto se financiacon los impuestos de ese periodo y con la deuda publica adquirida:

G1 = B1 + T1

De manera similar, en t = 2:

G2 + (1 + r)B1 = T2

Las obligaciones del segundo periodo, incluyendo las obligaciones dedeuda adquiridas en el primer periodo, deben ser pagadascompletamente con los impuestos recaudados en t = 2.

Uniendo las restricciones, encontramos la restriccion presupuestalintertemporal del gobierno:

G1 +G2

1 + r= T1 +

T2

1 + r



Equilibrio I

Hasta el momento tenemos las restricciones intertemporales paracada agente de esta economıa:

Hogares: Y1 +Y2

1 + r= C1 +

C2

1 + r+ T1 +

T2

1 + r

Gobierno: G1 +G2

1 + r= T1 +

T2

1 + r

Las podemos combinar en una restriccion intertemporal agregada:

Y1 +Y2

1 + r︸︷︷︸VPN del Ingreso

= C1 +C2

1 + r+ G1 +

G2

1 + r︸︷︷︸VPN del Gasto y Consumo



Equilibrio II

La restriccion intertemporal agregada muestra que dada una tasa deinteres y una trayectoria de consumo del gobierno, la trayectoria deimpuestos es irrelevante. Solo interesa la trayectoria de consumo delgobierno, pero esta es exogena:

→ El sector privado toma sus decisiones de consumo sin importar elvalor de la deuda publica.Los consumidores internalizan la restriccion del gobierno:

Si se reducen los impuestos de t = 1 en ∆T , aumentan su ahorro enesa misma magnitud.Tienen un rendimiento de (1 + r)∆T en t = 2.Corresponde exactamente al aumento de impuestos del gobierno ent = 2.

Esto practicamente prueba el resultado de equivalencia, pero recuerdeque supusimos que r esta dada.

Verifiquemos que r no depende de las decisiones tributarias delgobierno...



Equilibrio III

Como estamos en una economıa cerrada:

La deuda publica solo se puede financiar por medio del ahorro de loshogares: At = Bt .Lo anterior implica que Yt = Ct + Gt (¿Por que?).

Combinando lo anterior con la condicion de maximizacion de loshogares, obtenemos:

u′(Y1 − G1)

u′(Y2 − G2)=

1 + r

1 + ρ.

La tasa de interes, entonces, no depende de la de deuda publica (esindependiente de la trayectoria de impuestos).

La deuda publica, como vimos, tampoco determina el consumo de loshogares para r dado.

Ası, queda establecido el resultado de la Equivalencia Ricardiana. �


Equivalencia Ricardiana Modelo de Ramsey

Contenido



3 Conclusiones



Equivalencia Ricardiana en un Modelo de Ramsey

Estudiemos el modelo de crecimiento de Ramsey (1928), que permiteestudiar familias que viven infinitos periodos. El tiempo es continuo.

Ademas, incluiremos empresas que combinan capital y trabajo paraproducir el unico bien de la economıa mediante una tecnologıa derendimientos constantes a escala.

Los hogares alquilan su trabajo a las empresas y su ahorro permite laacumulacion de capital.

Continuamos en un contexto de economıa cerrada.

Estudiaremos los efectos de la polıtica fiscal para el equilibrio generalcompetitivo.



Preferencias de los Hogares I

Los hogares, tal como en el caso de dos periodos, deciden sutrayectoria de consumo C : R+ → R.

Los hogares siguen siendo identicos y su numero se normaliza a 1.Ademas cada hogar es incapaz de afectar las variables agregadas de laeconomıa.

Sea L(t) el tamano de la familia representativa en t. La familia crecea una tasa exponencial constante, con tamano inicial 1, i.e,

˙L(t)

L(t)= n, L(0) = 1 ⇐⇒ L(t) = ent

Las familias descuentan la utilidad del periodo t, mediante el factore−ρt < 1, donde ρ > 0 la suponemos constante y corresponde a latasa de descuento intertemporal instantanea.



Preferencias de los Hogares II

Las familias se comportan como dinastıas de vida infinita, es decirque se preocupan por la utilidad de ellos mismos y de todos susdescendientes. En tal caso, la utilidad intertemporal de la familiarepresentativa es:

V (0) =

∫ ∞0

e−ρtu(c (t))L (t) dt

Donde c(t) = C (t)/L(t) y u(c(t)) representan el consumo y lautilidad por cada miembro de la familia, respectivamente.



Preferencias de los Hogares III

Como siempre, tenemos que u es estrictamente creciente, u′ > 0 yestrictamente concava, u′′ < 0. Ademas exigiremos que cumpla conlas condiciones de Inada:

lımc(t)→0

u′(c(t)) =∞, lımc(t)→∞

u′(c(t)) = 0.

Remplazando el valor de L(t) en V (0), obtenemos:

V (0) =

∫ ∞0

u(c (t))e−(ρ−n)t dt

Donde se impone ρ > n para garantizar que la integral converjacuando el consumo per capita sea constante.



Restriccion Presupuestal y Problema de los Hogares I

Ingresos: Los hogares reciben dinero de su trabajo y del rendimientode sus activos. Ofrecen inelasticamente su trabajo y todos los activosde la economıa son sustitutos perfectos.

Ası, si (en el instante t) el salario es w(t), la tasa de interes es r(t) ylos activos de la familia representativa son A(t), los ingresos totalesen t son

w(t)L(t) + r(t)A(t).

Egresos: la familia paga su consumo, c(t)L(t) y los impuestos alestado τ(t)L(t), donde τ(t) son los impuestos per capita en elmomento t. Por lo tanto sus egresos son

c(t)L(t) + τ(t)L(t).



Restriccion Presupuestal y Problema de los Hogares II

Ası, el ahorro o desahorro produce cambios en los activos de la familia,

A(t) = w(t)L(t) + r(t)A(t)− c(t)L(t)− τ(t)L(t)

Dividiendo esta expresion entre L(t) y definiendo los activos percapita como a(t) = A(t)/L(t), tenemos,

a(t) = w(t) + [r(t)− n]a(t)− c(t)− τ(t)

Dado que a(t) = A(t)/L(t)− na(t).

Para mantener el nivel de activos por persona, el hogar debe ahorrarlo suficiente para darle a los miembros que nacen los mismos activospor persona que ya tiene el resto del hogar. El termino na(t)cuantifica este esfuerzo adicional de ahorro.



Restriccion Presupuestal y Problema de los Hogares III

Ademas de la restriccion anterior debemos imponer comportamientossobre el endeudamiento en el largo plazo. Para esto utilizaremos lacondicion de No-Ponzi, la cual obliga al hogar a mantener activoscuyo valor presente sea al menos cero en el largo plazo:

lımt→∞

A(t) exp

[−∫ t

0r(s) ds

]≥ 0 .

Esto no implica necesariamente que el hogar no tenga deuda en ellargo plazo. El hogar puede acumular deuda, siempre y cuando sudeuda crezca a una tasa menor a la tasa de interes.

En terminos per capita (divida y multiplique por L(t) = ent), lacondicion de No-Ponzi es:

lımt→∞

a(t) exp

[−∫ t

0(r(s)− n) ds

]≥ 0



Restriccion Presupuestal y Problema de los Hogares IV

Para simplificar la notacion, definimos la tasa de interes promedioentre 0 y t ası:

r(t) =1

t

∫ t

0r(s) ds .

Con lo cual la condicion de No-Ponzi se reduce a:

lımt→∞

a (t) e−[r(t)−n]t ≥ 0



Restriccion Presupuestal y Problema de los Hogares V

En sıntesis, el problema del hogar representativo consiste enmaximizar su utilidad sujeto a la restriccion presupuestal, la condicionde No-Ponzi y tomando un nivel positivo de activos inicialesheredados del pasado.

Formalmente:

max{c(t)}

V (0) =

∫ ∞0

e−(ρ−n)tu(c (t)) dt

Sujeto a:

a(t) = w (t) + (r (t)− n)a (t)− c (t)− τ (t) ,

0 ≤ lımt→∞

a (t) e−[r(t)−n]t ,

0 < a0.



Restriccion Presupuestal y Problema de los Hogares VI

El hamiltoniano en valor presente del problema es:

H = e−(ρ−n)tu(c(t)) + λ(t)[w(t) + (r(t)− n)a(t)− c(t)− τ(t)]

Las condiciones necesarias de primer orden son:

∂H/∂c (t) = e−(ρ−n)tu′(c (t))− λ (t) = 0 (1)

∂H/∂a (t) = λ (t) (r (t)− n) = −λ(t) (2)

∂H/∂λ (t) = w (t) + (r (t)− n)a(t)− c (t)− τ (t) = a(t) (3)

Finalmente, la condicion de transversalidad es:

lımt→∞

a (t)λ (t) = 0 (4)



Restriccion Presupuestal y Problema de los Hogares VII

La variable de coestado, λ(t), mide el efecto de la utilidad del hogaren el periodo t, al incrementar a(0) en una unidad. Esta variabletambien se entiende como el precio sombra de los activos.

Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales (1) a (4) de lasvariables de consumo, activos financieros y precio sombra nos permiteencontrar la trayectoria optima del consumo y estudiar los efectos dela polıtica fiscal sobre el bienestar de los hogares.

Se debe tener en cuenta que aquı tambien suponemos impuestos desuma fija, los cuales no modifican las decisiones de los hogares.



Restriccion Presupuestal y Problema de los Hogares VIII

Note que la ecuacion (2) se puede resolver independientementeporque solo se encuentra en terminos de la variable de coestado.Integrando obtenemos una expresion cerrada para λ:

λ (t) = λ (0) e−[r(t)−n]t

Sustituyendo en la condicion de transversalidad:

lımt→∞

a (t) e−[r(t)−n]t = 0

Tomando logaritmos a la condicion de primer orden con respecto alconsumo (1):

−(ρ− n)t + ln u′(c(t)) = lnλ(t)

Diferenciando con respecto al tiempo y combinando con (2):

c(t)

c (t)=

[−u′(c (t))

c (t) u′′(c (t))

][r (t)− ρ] (Ec. de Euler) (5)



Restriccion Presupuestal y Problema de los Hogares IX

Ecuacion de Euler: la tasa optima de crecimiento del consumodepende positivamente de la diferencia entre la tasa de interes y latasa de descuento intertemporal.

Definimos la elasticidad de sustitucion intertemporal como:

σu (c (t)) := − u′(c (t))

c (t) u′′(c (t))

Con lo que la ecuacion de Euler se reduce a:

c(t)

c (t)= σu (c (t)) [r (t)− ρ]

Cuanto menor sea σu(c(t)), menor sera la respuesta de la tasa decrecimiento optima del consumo a un determinado premio por ahorrar.En otras palabras, mayor sera el deseo de suavizar el consumo.



Restriccion Presupuestal y Problema de los Hogares X

La ecuacion de Euler muestra que la suavizacion del consumosera total en dos casos:

1. Cuando r(t) = ρ, de modo que no existe un premio por ahorrar o porconsumir mas hoy.

2. Cuando la elasticidad de sustitucion intertemporal tiende a cero,σu(c(t))→ 0, de modo que no hay premio suficiente para compensaral hogar por una trayectoria desbalanceada de consumo.

Ası, la trayectoria de consumo c(t), t ∈ R+ queda totalmentedeterminada por las preferencias cuando las trayectorias del salariow(t) y la tasa de interes r(t) estan dadas.



Observaciones IImpuestos de suma fija

Los resultados de esta seccion dependen crucialmente del supuesto deque el gobierno recauda impuestos de suma fija, ya que estos nodistorsionan la decision de consumo y no dependen del ingreso quereciben los hogares.

En este modelo, recaudar impuestos de suma fija genera los mismosresultados que recaudar impuestos sobre el ingreso laboral, ya que eltrabajo que se ofrece es inelastico.

Sin embargo, el comentario anterior no es generalmente valido. Enparticular, los impuestos sobre el consumo o sobre el retorno de losactivos no genera el mismo resultado que impuestos de suma fija.



Observaciones IICoeficiente de Aversion al Riesgo

Es comun definir el coeficiente (relativo) de aversion al riesgoArrow-Pratt, que se nota por εu(c(t)),

εu (c (t)) = −u′′(c (t))c (t)

u′(c (t))=

1

σu (c (t)).

Si los hogares tienen un alto grado de aversion εu(c(t)), entoncesprefieren una trayectoria de consumo mas estable.

En este modelo, la elasticidad de sustitucion intertemporal coincidecon el inverso del coeficiente de aversion al riesgo. Si bien ambosdependen de la funcion de utilidad instantanea, u, y en particularambas estan governadas por la concavidad de u, su interpretacion esdiferente. En modelos mas generales de la utilidad, los conceptos sonindependientes entre sı.

En este modelo no hay riesgo, de modo que el concepto clave es...


Figura: Implicaciones de la Concavidad de la Funcion de Utilidad


Las Empresas IRendimientos marginales y a escala

Cada periodo las empresas alquilan trabajo y capital para producir ununico bien, Y (t).

Su tecnologıa la representamos con una funcion de produccionneoclasica F :

Y (t) = F (K (t), L(t)).

Los rendimientos marginales son positivos pero decrecientes:

FK > 0, FL > 0 FKK < 0, FLL < 0

Los retornos a escala son constantes, es decir F es homogenea degrado 1, i.e.:

F (αK (t), αL(t)) = αF (K (t), L(t)), α > 0.



Las Empresas IIEmpresa representativa e Inada

Rendimientos constantes a escala: una (gran) empresa representativaes igual de productiva que muchas pequenas empresas (encompetencia).

Por lo tanto, normalizamos el numero de empresas a 1.

Por ultimo, imponemos que F cumpla con las condiciones de Inada:

lımK(t)→∞

FK (·, ·) = 0 y lımK(t)→0

FK (·, ·) =∞ para todo L (t) > 0 ,

lımL(t)→∞

FL(·, ·) = 0 y lımL(t)→0

FL(·, ·) =∞ para todo K (t) > 0 .

Como nuestro interes no es el crecimiento ignoramos el progresotecnologico para concentrarnos en el problema de las finanzaspublicas.



Las Empresas IIIProduccion por trabajador

Utilizando el supuesto de rendimientos constantes a escala ydefiniendo el producto y el capital per capita, y(t) = Y (t)/L(t),k(t) = K (t)/L(t) tenemos que:

y(t) =F (K (t), L(t))

L(t)= F (k(t), 1) := f (k(t))

“Es facil”ver que f , respecto al capital per capita:

1. Exhibe rendimientos marginales positivos y decrecientes.2. Satisface las condiciones de Inada.3. Es homogenea de grado en K , L.



Las Empresas IVFuncion objetivo

Como queremos que las empresas maximicen ganancias, el problemaque enfrentan es:

maxk(t)

L (t) f (k (t))− w (t) L (t)− R (t) K (t)

Suponemos que el capital no se deprecia y que todos los activos sonsustitutos perfectos para ahorrar.

Por tanto el costo de alquilar una unidad de capital el el periodo t,R(t), es igual a la tasa de interes en ese periodo r(t).

maxk(t)

L (t) f (k (t))− w (t) L (t)− r (t) K (t) .



Las Empresas VMaximizacion

Agrupando la poblacion obtenemos:

maxk(t)

L (t) [f (k (t))− w (t)− r (t) k (t)]

Estrictamente, el problema de la empresa es maximizar el valorpresente de las ganancias. Sin embargo, el problema no tieneelementos dinamicos, por lo tanto maximizar el valor presente esequivalente a maximizar cada instante del tiempo.

La condicion de primer orden del problema, donde la empresa escogeuna combinacion optima de factores es:

L (t)[f ′(k (t))− r (t)

]= 0 .

Con L(t) > 0, esto solo se cumple cuando:

r(t) = f ′(k(t))



Las Empresas VICero ganancias

Como la empresa opera con rendimientos marginales a escala, debeobtener cero ganancias en el equilibro, de modo que:

f (k (t))− w (t)− r (t) k (t) = 0 .

Sustituyendo la expresion para la tasa de interes recien deducida,tenemos:

w (t) = f (k (t))− f ′(k (t))k (t) .

Estas expresiones describen como la economıa remunera los factoresde produccion:

La renta del capital corresponde a su productividad marginal.El residuo es entregado como salario a los trabajadores.



El Gobierno

La restriccion del gobierno es:

G (t) + r (t) B (t) = T (t) + B(t) .

Suponemos que los bonos del gobierno, B(t), pagan una tasa deinteres r(t) igual que cualquier activo financiero.

En terminos per capita y con las definiciones esperadas, la restriccionserıa:

b(t) = g (t)− τ (t) + (r (t)− n)b (t) .

En suma, la deuda publica cubre el deficit primario g(t)− τ(t),ası como los intereses de la deuda corregidos por el incrementopoblacional.



Equilibrio Macroeconomico I

En el equilibrio competitivo los agentes optimizan y los mercados seequilibran: necesitamos encontrar trayectorias de[c(t), a(t), k(t), b(t),w(t), r(t)]∞t=0 que cumplan con estascondiciones.

Ya examinamos las condiciones consistentes con la optimizacion delos agentes.

Ademas supusimos implıcitamente el equilibrio para los mercados detrabajo y capital, es decir, que dados w(t) y r(t), las empresas estandispuestas a emplear todo el trabajo y el capital. ¿Que mercados faltaexaminar?



Equilibrio Macroeconomico II

Como estamos en una economıa cerrada, los hogares no puedenprestarle sus ahorros al resto del mundo. Ademas como todos sonidenticos no podemos tener unos hogares acreedores y otros deudores.

Entonces, la diferencia entre los activos del hogar y los bonos delgobierno debe ser el acervo de capital, lo cual implica que lacondicion de equilibrio del mercado de activos es:

A(t) = K (t) + B(t) ⇐⇒ a(t) = k(t) + b(t)



Equilibrio Macroeconomico III

Para encontrar el equilibrio en el mercado de bienes finales, en larestriccion de los hogares se sustituye:

1. La condicion de equilibro del mercado de activos,2. El comportamiento optimo de las empresas, y3. La restriccion de gobierno.

Tendrıamos entonces,

f (k(t))− nk(t) = c(t) + k(t) + g(t)

Donde se ve que el ingreso total de la economıa es igual a sus usos.

De manera equivalente:

f (k(t)) = c(t) + [k(t) + nk(t)] + g(t) .

Donde se observa que el producto per capita satisface la demanda porconsumo per capita, inversion per capita, y gasto publico per capita.



Equilibrio Macroeconomico IV

Para finalizar, necesitamos condiciones simetricas a la de No-Ponzipara los bonos del gobierno y el capital, es decir:

lımt→∞

k (t) e−[r(t)−n]t = 0 ,

lımt→∞

b (t) e−[r(t)−n]t = 0 .

Con estas ecuaciones y las de maximizacion de los agentes quedacompletamente determinado el equilibrio competitivo de estaeconomıa.



Resultado de la Equivalencia Ricardiana I

Proposicion: Equivalencia Ricardiana

Dada una trayectoria de gasto publico {g(t)}∞t=0, para determinar lastrayectorias de consumo {c(t)}∞t=0 y capital {k(t)}∞t=0, es irrelevante latrayectoria de impuestos {τ(t)}∞t=0.

En otras palabras la decision entre impuestos corrientes y deuda publica noafecta la toma de decisiones en consumo y capital.

Demostracion: Tres pasos:

1 El capital solo depende del gasto y el consumo.

2 Los impuestos no afectan el crecimiento del consumo.

3 Dado un nivel de gasto publico, el nivel del consumo es independientede los impuestos.



Resultado de la Equivalencia Ricardiana II

Paso 1 (El capital solo depende del gasto y el consumo): Tomelas trayectorias de gasto {g(t)}∞t=0 y de consumo como {c(t)}∞t=0

dadas. A partir del equilibrio en el mercado de bienes finales,

f (k(t)) = c(t) + [k(t) + nk(t)] + g(t) .

la trayectoria de capital {k(t)}∞t=0 esta determinada.

Entonces, si la eleccion de impuestos o deuda no afecta la trayectoriadel consumo (dado una trayectoria de gasto publico exogena),tampoco se afectara el capital por capita y se obtendra el resultadode equivalencia.



Resultado de la Equivalencia Ricardiana III

Paso 2 (Los impuestos no afectan el crecimiento del consumo):Basta recordar la ecuacion de Euler,

c(t)

c (t)=

[−u′(c (t))

c (t) u′′(c (t))

][r (t)− ρ]

y recordar que r(t) = f ′ (k (t)) para notar que la tasa de crecimientodel consumo es independiente de la trayectoria de impuestos quedecida el gobierno.

Por lo tanto, la trayectoria del consumo no depende de la decisionentre impuestos y emision de deuda.

Solo falta mostrar que el nivel inicial de consumo de los hogarestampoco depende de la decision entre financiamiento del gastopublico vıa impuestos o deuda.



Resultado de la Equivalencia Ricardiana IV

Paso 3 (Dado un nivel de gasto publico, el nivel del consumo esindependiente de los impuestos)

Primero, podemos escribir la restriccion de los hogares en forma deuna ecuacion diferencial lineal ası:

a(t)− (r (t)− n)a (t) = w (t)− c (t)− τ (t) .

Multiplicando por su factor integrante, integrando sobre los reales nonegativos y utilizando la condicion de No-Ponzi, obtenemos:

a (0) +

∫ ∞0

(w (t)− τ (t))e−[r(t)−n]t dt︸︷︷︸VPN del Ingreso Disponible

=

∫ ∞0

c (t) e−[r(t)−n]t dt .︸︷︷︸VPN del Consumo

(6)



Resultado de la Equivalencia Ricardiana V

De la misma manera podemos escribir la restriccion del gobiernocomo:

b (0) +

∫ ∞0

g (t) e−[r(t)−n]t dt︸︷︷︸VPN de las Oblig. del Gob.

=

∫ ∞0

τ (t) e−[r(t)−n]t dt︸︷︷︸VPN de Ing. Tributarios

(7)

Notemos que en la ecuacion de arriba no aparece la trayectoria de ladeuda, gracias a que se pudo eliminar por la condicion de No-Ponzi.Esto implica que solo el valor presente del flujo de impuestosrestringira las posibilidades de gasto del gobierno.

Intuitivamente, un cambio en la deuda publica de un periodo secompensa con un cambio (en direccion opuesta) en otros periodos sise cumple con la restriccion presupuestal intertemporal.



Resultado de la Equivalencia Ricardiana VI

Para incorporar las decisiones optimas de consumo, definamos:

γ (t) :=

[− u′(c (t))

c (t) u′′(c (t))

][r (t)− ρ] .

Ası, la ecuacion de Euler se reduce a:

c(t)− γ(t)c(t) = 0 ⇐⇒ c (t) = c (0) exp

[∫ t

0γ (s) ds

].



Resultado de la Equivalencia Ricardiana VI

La condicion anterior se puede combinar con las restriccionespresupuestales intertemporales de los consumidores (6) y del gobierno(7) para formar:

k (0) +

∫ ∞0

w (t) e−[r(t)−n]t dt −∫ ∞

0g (t) e−[r(t)−n]t dt

= c (0)

∫ ∞0

exp

[−∫ t

0(r (s)− n − γ (s)) ds

]dt

pues a(0) = b(0) + k(0).

Esta expresion muestra que el consumo inicial c(0) no depende de latrayectoria de los impuestos sino unicamente de la trayectoria delgasto.

Ası queda mostrado el Paso 3 y por tanto la proposicion de laEquivalencia Ricardiana. �


Extensiones de la Equivalencia Ricardiana

Contenido



3 Conclusiones




La discusion anterior mostro la equivalencia ricardiana en dos modelosespecıficos.

Queremos estudiar que tan “robusto” es el resultado, al relajaralgunas de los supuestos adoptados.

Estudiaremos tres variaciones a los supuestos de los modelos, yseguiremos obteniendo el resultado de equivalencia ricardiana.


Extensiones de la Equivalencia Ricardiana Economıa Pequena y Abierta

Contenido



3 Conclusiones



Economıa Pequena y Abierta

Ahora suponemos que la economıa es pequena y abierta, y que hayperfecta movilidad de capitales. Continuamos con los demassupuestos del modelo de Ramsey.

Esto implica que la tasa de interes viene dada por el equilibriointernacional del mercado de capitales, i.e. r(t) = r∗ = r

En este caso, el capital y el salario real seran constantes, dado que:

f ′(k) = r , w = f (k)− k f ′(k)

Ası, la restriccion presupuestal intertemporal de los hogares serıa:

a(0) +

∫ ∞0

e−(r−n)t(w − τ (t)) dt =

∫ ∞0

e−(r−n)tc (t) dt .



Economıa Pequena y Abierta II

Entre tanto, la trayectoria optima del consumo de los hogares es:

c (t)

c (t)=

[−u′(c (t))

c (t) u′′(c (t))

][r − ρ] .

La expresion de arriba nos permite concluir que:

El consumo siempre crecera si r > ρ. Esto requiere que la familiaacumule activos indefinidamente.El consumo caera siempre si r < ρ, implicando que la familia seendeudara de manera creciente.

En ambos casos, la economıa domestica crece en importancia hastadejar de ser un actor pequeno en la economıa global, contradiciendoel supuesto original. Por tanto, el consumo tambien sera constante, y:

r = ρ,c (t)

c (t)= 0



Economıa Pequena y Abierta III

Con el salario y el consumo constantes, la restriccion intertemporal delos hogares es (resolviendo las integrales):

a (0) +[1− lım

t→∞e−(r−n)t

] w

r − n−∫ ∞

0e−(r−n)tτ (t) dt

=[1− lım

t→∞e−(r−n)t

] c

r − n

Si imponemos que la tasa de descuento es superior a la tasa decrecimiento de la poblacion (recuerden la necesidad de este supuesto),los lımites de arriba son cero. Por tanto, recordando la restriccion delgobierno, tenemos que para el consumo:

c = a (0) (r − n) + w − (r − n)

[b (0) +

∫ ∞0

e−(r−n)tg (t) dt

]Fergusson y Suarez (UniAndes) Polıtica Fiscal: Equivalencia Ricardiana 2013 58 / 99


Economıa Pequena y Abierta IVEl resultado de Equivalencia

Ahora bien, el equilibrio en el mercado de activos cambia al abrir laeconomıa. Como los hogares solo podıan actuar internamente larestriccion era a(0) = b(0) + k(0). No obstante, al abrir la economıatambien se puede ahorrar en activos externos, d(t), con lo cual lacondicion de activos se vuelve:

a(0) = b(0) + k(0) + d(0)

Al remplazar la identidad anterior en la expresion del consumoencontrada antes, tenemos (note el error en la expresion del libro):

c = [k (0) + d (0)](r − n) + w − (r − n)

∫ ∞0

e−(r−n)tg (t) dt

Esta ecuacion muestra que el consumo es independiente de latrayectoria de impuestos, y como la tasa de interes y los salariostambien lo son, por ser constantes, el resultado de equivalenciaricardiana queda establecido.



Economıa Pequena y Abierta VImplicaciones adicionales

Ademas de esto, la expresion anterior muestra que la trayectoria delgasto publico tambien es irrelevante si su valor presente es el mismo.Tal fenomeno no sucede en los modelos anteriores.

En una economıa cerrada, el gasto determina la tasa de interes vıa lamodificacion del ahorro nacional. En una economıa abierta el gastosı afecta el ahorro nacional pero este no incide sobre la tasa de interesde equilibrio porque esta ya esta dada por el mercado internacional.

Para determinar el consumo privado en esta economıa, solo importa elvalor presente del gasto. Manteniendo este constante, el gobiernopuede redistribuir su gasto en el tiempo sin cambiar la trayectoria delconsumo privado, endeudandose con el resto del mundo a la tasa deinteres internacional.


Extensiones de la Equivalencia Ricardiana Altruismo Entre Generaciones

Contenido



3 Conclusiones



Observaciones

En la practica, las instituciones tributarias del gobierno viven mas quelos consumidores. Por tanto, un intercambio de impuestos presentespor impuestos futuros puede afectar distintas generaciones.

Los sistemas publicos de pensiones es un caso donde tal fenomenosucede.

La equivalencia ricardiana parecerıa no cumplirse en los casosanteriores. Sin embargo, si hay altruismo intergeneracional, (i.e. lasgeneraciones presentes se preocupen por las futuras) el resultadosigue siendo valido.

La manifestacion economica mas observable de los vınculos entregeneraciones son las herencias.



Modelo de Generaciones Traslapadas IGeneraciones y otros supuestos

Las familias tienen distintas generaciones, cada una de las cuales vivemenos que el gobierno. Sin embargo, en conjunto todas lasgeneraciones tienen el mismo horizonte que el gobierno.

Emplearemos un modelo de generaciones traslapadas donde, en cadaperiodo t, dos generaciones conviven:

1. Una generacion de “viejos” que nacieron en el periodo t − 1 y moriranal final del periodo t.

2. Una generacion de “jovenes” que nacio en el periodo t y morira alconcluir el periodo t + 1.

Supondremos que cada padre tiene solo un hijo y que el numero defamilias permanece constante. Normalizamos tal numero a 1.

La economıa es pequena y abierta, por lo cual la tasa de interes esexogena y constante (r). Esta economıa no acumula capital.



Modelo de Generaciones Traslapadas IIRestriccion de los jovenes

En el periodo t el ingreso total de los jovenes proviene de herenciasHt−1 y de la remuneracion de su trabajo.

Los jovenes ofrecen todas las horas que pueden y ganan un salarioexogeno y constante, Y .

En el mismo periodo, el gobierno recauda impuestos de suma fija Tt

unicamente de los jovenes.

Ası, en el periodo t, se cumple para los jovenes la siguiente condicion:

C jt + Tt + At = Y + Ht−1

Donde C jt es el consumo durante el periodo t de la generacion que

nacio al comienzo de este mismo periodo, y At es el ahorro que losjovenes de este periodo acumulan para su vejez.



Modelo de Generaciones Traslapadas IIIRestriccion de los viejos

Cuando la generacion nacida en t alcanza su vejez en t + 1, su unicafuente de ingreso es el retorno sobre su ahorro.

La restriccion de los viejos, exentos de impuestos, es:

C vt+1 + Ht = (1 + r)At

Donde C vt+1 representa el consumo en el periodo t + 1 de la

generacion que nacio en el periodo t y Ht es la herencia que dejan asus hijos.



Modelo de Generaciones Traslapadas IVRestriccion intertemporal

El ahorro que los jovenes acumulan para su vejez conecta los dosperiodos mediante la siguiente restriccion de presupuestointertemporal:

C jt +

C vt+1

1 + r= Y + Ht−1 − Tt −

Ht

1 + r.

Para representar la idea de que las madres se preocupan por elbienestar de sus hijos, suponemos que la generacion del periodo tdesea maximizar una funcion de utilidad teniendo en cuenta, ademasde su consumo, la utilidad de sus hijos, i.e.:

Vt = u(C jt ) +

1

1 + ρu(C v

t+1) +1

1 + δV ∗t+1(Ht) ,

Donde u es la funcion de utilidad por periodo con propiedadesusuales, y V ∗ es la funcion de utilidad indirecta: la utilidad maximaque pueden derivar las hijos dada una herencia Ht .



Modelo de Generaciones Traslapadas VFuncion objetivo

Aquı ρ representa la impaciencia de cada individuo y δ representa latasa con la cual los padres descuentan la utilidad de sus hijos.

El problema de un joven de la generacion que nace en t consiste enmaximizar Vt , sujeto a la restriccion de presupuesto intertemporal.

Podemos definir la funcion de utilidad indirecta de manera recursiva:

V ∗t (Ht−1) = max u(C jt ) +

1

1 + ρu(C v

t+1) +1

1 + δV ∗t+1(Ht)

Sujeto a:

C jt +

C vt+1

1 + r= Y + Ht−1 − Tt −

Ht

1 + r



Modelo de Generaciones Traslapadas VIUn experimento tributario

Supongamos que se recaudan inicialmente impuestos Tt y Tt+1.

Bajo esta estructura tributaria, sea C j∗t ,C

v∗t+1,H

∗t la solucion del

problema de la generacion en t y C j∗t+1,C

v∗t+2,H

∗t+1 la de la generacion

en t + 1.

Supongamos que el gobierno recorta los impuestos en t, pero debeaumentarlos en t + 1.

En particular la nueva estructura es: Tt = Tt −∆ yTt+1 = Tt+1 + ∆(1 + r), donde ∆ > 0.



Modelo de Generaciones Traslapadas VIIEquivalencia Ricardiana: Intuicion

La generacion en t sigue consumiendo C j∗t y C v∗

t+1, incrementando elahorro en t en ∆, y ası aumentando su herencia en ∆(1 + r).

La generacion de t + 1, bajo estas condiciones puede seguirconsumiendo C j∗

t+1,Cv∗t+2 ya que la herencia adicional cubre

exactamente los impuestos extras a los cuales se vera sometido.

Finalmente, en t + 1 la generacion puede seguir dejando H∗t+1 comoherencia de modo que las generaciones siguientes no se ven afectadasy como la trayectoria original era optima, las generaciones futurascontinuaran con esta.

Es importante notar que las herencias deben ser estrictamentepositivas y ası debe haber una solucion interior.



Modelo de Generaciones Traslapadas VIIIDerivando el resultado de Equivalencia I

Suponemos que el altruismo intergeneracional es perfecto (ρ = δ), locual facilita el analisis (suponer que no es perfecto, ¿cambia elresultado?)

Sustituyendo la restriccion presupuestal en la funcion de bienestar:

V ∗t (Ht−1) = maxC vt+1,Ht

u

(Y + Ht−1 − Tt −

C vt+1 + Ht

1 + r

)+

1

1 + ρ

[u(C v

t+1) + V ∗t+1(Ht)]

Una solucion interior a este problema debe satisfacer:

1

1 + ru′(C j

t ) =1

1 + ρu′(C v

t+1)

1

1 + ru′(C j

t ) =1

1 + ρ

∂V ∗t+1

∂Ht



Modelo de Generaciones Traslapadas IXDerivando el resultado de Equivalencia II

Utilizando el teorema de la envolvente sobre V ∗t , tenemos que:

∂V ∗t∂Ht−1

= u′(C jt )

Como el problema de la generacion en t + 1 es simetrico, podemossimplificar la segunda condicion de primer orden a:

1

1 + ru′(C j

t ) =1

1 + ρu′(C j

t+1)

Comparando la primera condicion de primer orden y la ecuacionanterior obtenemos, cuando δ = ρ, que u′(C v

t+1) = u′(C jt+1).

En conclusion, los padres valoran el consumo de sus hijos tanto comoel propio cuando son viejos. La familia opera como una dinastıa devida infinita, donde cada generacion siempre reversara el efecto de ladeuda publica.


Extensiones de la Equivalencia Ricardiana Inconsistencia Temporal

Contenido



3 Conclusiones



Inconsistencia Temporal IDefinicion

Un ejemplo clasico: Ulises y las Sirenas. Antes de partir de regreso aItaca, Ulises sabe que seguir el canto de las sirenas no es optimo, peroal escuchar su voz, de repente seguir el canto parece ser la mejordecision.

Una definicion formal: la decision optima tomada en el momento tpara un momento t + j en el futuro es diferente a la decision optimaal llegar al momento t + j .

Una posible solucion serıa tener una regla establecida de antemano(“atarse las manos” en el caso de Ulises). Estudiaremos el debateentre reglas versus discrecion en el contexto de la indexacion de ladeuda mas adelante.

Aquı estudiaremos si el resultado de equivalencia ricardiana semantiene cuando las familias son temporalmente inconsistentes.



Inconsistencia Temporal IIUn problema simple de ahorro

Consideremos un ejemplo de tres periodos. Hasta el momento lautilidad intertemporal indirecta en el primer periodo viene dado (conla notacion usual) por:

V1 = u(C1) +1

1 + ρu(C2) +

(1

1 + ρ

)2

u(C3)

Aquı los hogares valoran mas el consumo presente que el futuro, y sedescuenta el futuro de manera constante (descuento exponencial).

Ahora, cuando pase el primer periodo, la utilidad intertemporal vienedada por:

V2 = u(C2) +1

1 + ρu(C3)

Donde, al igual que en el periodo 1, el consumidor requiere unincremente de (1 + ρ) en la utilidad del siguiente periodo paracompensar una unidad menos de utilidad en el actual periodo.



Inconsistencia Temporal IIIMayor impaciencia en el presente

Estas funciones de utilidad implican que los hogares son igualmenteimpacientes en el corto y largo plazo, pero los individuos no parecencomportarse ası.

De hecho parecen ser mas impacientes en horizontes cercanos:

La paciencia en horizontes lejanos lleva a los individuos a planificarsacrificios futuros.La impaciencia en horizontes cercanos lleva a incumplir estos planescuando llega el momento de llevarlos a cabo.



Inconsistencia Temporal IVModelando la mayor impaciencia en el presente I

Ahora consideramos la siguiente especificacion (esta es unaaproximacion discreta a lo que se conoce como descuentohiperbolico):

V1 = u(C1)+1

1 + δ

[1

1 + ρu(C2) +

(1

1 + ρ

)2

u(C3)

], δ ≥ 0, ρ > 0

(8)

Esta funcion permite capturar el concepto de inconsistenciaunicamente con el parametro δ, e incluye el caso de descuentotradicional cuando δ = 0.

Ahora, desde este periodo inicial el consumidor requiere unincremento de (1 + ρ)(1 + δ) en su utilidad en el segundo periodopara compensar una caıda de una unidad en el primer periodo, y soloun incremento de (1 + ρ) en el tercer periodo para compensar lamisma caıda en el segundo periodo.



Inconsistencia Temporal VModelando la mayor impaciencia en el presente II

Una vez se llega al segundo periodo, se observa la inconsistenciatemporal:

V2 = u(C2) +1

1 + δ

1

1 + ρu(C3) (9)

Ahora el individuo requiere un aumento de (1 + ρ)(1 + δ) en el tercerperiodo para compensar una caıda de una unidad en el segundoperiodo, en vez del (1 + ρ) que requerıa cuando lo analizaba desde elperiodo inicial.

Al tener descuento hiperbolico, los individuos valoran mas la utilidadde un periodo cuando ese periodo es el presente que cuando es elfuturo.

Ahora estudiaremos la validez del resultado de equivalencia ricardianacuando los individuos tienen estos problemas de autocontrol.



Inconsistencia Temporal: Los Hogares I

En una economıa de tres periodos, los individuos maximizan (8) en elprimer periodo y (9) en el segundo periodo.

Estamos en una economıa pequena y abierta con tasa de interesconstante r .

El individuo recibe un ingreso exogeno Y en el primer periodo, ypuede ahorrar para consumir en los otros dos.

El gobierno solo cobra impuestos a los hogares en los primeros dosperiodos.



Inconsistencia Temporal: Los Hogares II

La restriccion presupuestal en el primer periodo es:

C1 = Y − A1 − T1

En el segundo periodo es:

C2 = (1 + r)A1 − A2 − T2

Y en el tercer periodo es:

C3 = (1 + r)A2

Es necesario tener tres periodos. Con dos periodos, el consumidor notendrıa oportunidad de cambiar sus decisiones en el segundo periodo;estarıan determinadas como “residuo” de las decisiones del primerperiodo.



Inconsistencia Temporal: El Gobierno

El gobierno debe escoger entre deuda e impuestos en por lo menos unperiodo.

El gobierno financia gasto publico en el primer periodo con losimpuestos (de suma fija) que cobra y emitiendo deuda:

G = T1 + B

Como en el tercer periodo no hay impuestos, el gobierno debe pagartoda la deuda en el segundo periodo:

(1 + r)B = T2

La restriccion presupuestal intertemporal del gobierno es:

G = T1 +T2

1 + r



Problema de Hogares y Eq. Macro con Inconsistencia

Proposicion: En el problema actual, con δ > 0 y donde los individuos noreconocen sus problemas de autocontrol, los planes de consumo en losperiodos 1 y 2 son inconsistentes.

Demostracion:

Sea Ct el consumo optimo en t desde el punto de vista del “yo” delprimer periodo. Este individuo efctivamente consume C1 y planificaconsumir C2 y C3.

Sea Ct el consumo optimo en t desde el punto de vista del “yo” delsegundo periodo. Aquı se decide el consumo efectivo de los periodos 2y 3.



Problema de Hogares y Eq. Macro con Inconsistencia II

El problema de los hogares desde el punto de vista del primer periodoconsiste en:

maxC1,C2,C3

V1 = u(C1) +1

1 + δ

[1

1 + ρu(C2) +

(1

1 + ρ

)2

u(C3)

]

Sujeto a la restriccion presupuestal:

C1 +C2

1 + r+

C3

(1 + r)2= Y − T1 −

T2

1 + r



Problema de Hogares y Eq. Macro con Inconsistencia III

Los niveles de consumo optimo para el “yo” del primer periodocumplen las siguientes condiciones:

u′(C1) =1

1 + δ

(1 + r

1 + ρ

)u′(C2) (10)

u′(C2) =

(1 + r

1 + ρ

)u′(C3) (11)

El “yo” del primer periodo ahorra hasta ser indiferente entre consumiren el primer periodo y ahorrar para consumir en el segundo y esperaahorrar hasta ser indiferente entre consumir en el segundo periodo yahorrar para consumir en el tercero (con impaciencia ρ).



Problema de Hogares y Eq. Macro con Inconsistencia IV

Al decidir el consumo de los periodos 2 y 3, el “yo” del segundoperiodo toma como dado el ahorro del “yo” del primer periodo. Estose puede ver como una herencia en el segundo periodo:

H = A1(1 + r)

Ası, el problema del “yo” del segundo periodo es:

maxC2,C3

V2 = u(C2) +1

1 + δ

1

1 + ρu(C3)

Sujeto a la restriccion presupuestal desde el punto de vista delsegundo periodo, y considerando la “herencia”:

C2 +C3

1 + r= H − T2



Problema de Hogares y Eq. Macro con Inconsistencia V

Los niveles de consumo que resuelven este problema satisfacen unaecuacion de Euler:

u′(C2) =1

(1 + δ)

(1 + r

1 + ρ

)u′(C3) (12)

Comparando este resultado con (11) cuando δ > 0:

u′(C2)

u′(C3)=

1

(1 + δ)

(1 + r

1 + ρ

)<

(1 + r

1 + ρ

)=

u′(C2)

u′(C3)

El “yo” del segundo periodo quiere consumir mas que el “yo” delprimer periodo en el segundo periodo en relacion al tercer periodo. Elindividuo tendra incentivos para ser inconsistente temporalmente. �



Problema de Hogares y Eq. Macro con Inconsistencia VII¿Y la equivalencia ricardiana?

La Equivalencia Ricardiana exige que el hogar haga planes de ahorroen caso de un alivio tributario.

Intuitivamente, si su inconsistencia lo lleva a incumplir esos planes deahorro, la equivalencia ricardiana puede fallar.

Pero esta conclusion no es absoluta, depende de la forma de laspreferencias, como lo muestra el siguiente ejemplo:

Con utilidad logarıtimica, el consumidor siempre ahorra una fracciondel valor presente de su ingreso disponible.Dicho valor presente depende del valor presente de los impuestos, no desu trayectoria.Ası, la equivalencia puede sobrevivir si los individuos no reconocen susproblema de autocontrol, pero se requiere una forma especial de laspreferencias.



Problema de Hogares y Eq. Macro con Inconsistencia VII

Proposicion: Esta economıa satisface la equivalencia ricardiana si lafuncion instantanea de utilidad es logarıtmica y los consumidores noreconocen sus problemas de autocontrol.

Demostracion:

Cuando u(C ) = ln C las CPO del problema del “yo” del primerperiodo se pueden escribir en funcion de C1:

C2 =1

1 + δ

(1 + r

1 + ρ

)C1

C3 =1

1 + δ

(1 + r

1 + ρ

)2

C1



Problema de Hogares y Eq. Macro con Inconsistencia VIII

Sustituyendo en la restriccion presupuestal intertemporal desde elpunto de vista del primer periodo:

C1 = α

(Y − T1 −

T2

1 + r

)donde 0 < α < 1 es una constante que depende de δ y ρ:

α ≡ (1 + δ)(1 + ρ)2

1 + (1 + ρ) + (1 + δ)(1 + ρ)2

La ecuacion que define C1 muestra que, si el valor presente de losimpuestos se mantiene constante, el consumo del primer periodo esindependiente de la trayectoria de los impuestos.



Problema de Hogares y Eq. Macro con Inconsistencia IX

La “herencia” que le queda al “yo” del segundo periodo es:

A1 = Y − T1 − C1 = (1− α)(Y − T1) + αT2

1 + r

La CPO desde el punto de vista del segundo periodo es:

C3 =1

(1 + δ)

(1 + r)

(1 + ρ)C2



Problema de Hogares y Eq. Macro con Inconsistencia X

Combinando esta CPO con la restriccion presupuestal obtenemos elconsumo optimo del “yo” del segundo periodo:

C2 = γ(

H − T2

)C3 = (1 + r)(1− γ)

(H − T2

)donde 0 < γ < 1 es una constante que depende de δ y ρ:

γ ≡ (1 + δ)(1 + ρ)

1 + (1 + δ)(1 + ρ).



Problema de Hogares y Eq. Macro con Inconsistencia XI

Sustituyendo la herencia:

C2 = (1 + r)γ(1− α)

(Y − T1 −

T2

1 + r

)

C3 = (1 + r)2(1− γ)(1− α)

(Y − T1 −

T2

1 + r

)Al igual que en el caso del “yo” del primer periodo, cuando el valorpresente de los impuestos es constante, la trayectoria temporal de losimpuestos no afecta el consumo de los periodos 2 y 3 desde el puntode vista del “yo” del segundo periodo.

En este sentido, se mantiene el resultado de equivalencia ricardiana. �



Problema de Hogares y Eq. Macro sin Inconsistencia I

Es probable que los hogares reconozcan sus problemas deinconsistencia temporal.

Conociendo sus decisiones futuras, los hogares haran planes realistasdesde el comienzo.Otra solucion es imponerse reglas que obliguen a cumplir los planesiniciales.

Aquı miraremos el primer caso, y supondremos que el “yo” del primerperiodo anticipa el comportamiento del “yo” del segundo periodo(formalmente, hay un juego dinamico de informacion perfecta entrelos dos “yos”).



Problema de Hogares y Eq. Macro sin Inconsistencia II

Resolviendo el juego por induccion hacia atras, primero vemos elproblema del “yo” del periodo 2, identico al del caso deinconsistencia, pero ahora no se conoce el tamano de la “herencia”.

Continuando con una funcion de utilidad instantanea u(C ) = ln C , lasolucion al problema del “yo” del periodo 2 se puede caracterizar porla ecuacion de Euler:

1

C2=

1

1 + δ

(1 + r

1 + ρ

)1

C3

Sustituyendo en la restriccion presupuestal intertemporal, obtenemosque el consumo en los periodos 2 y 3 depende de la “herencia”:

C2 =(1 + δ)(1 + ρ)(H − T2)

1 + (1 + δ)(1 + ρ)

C3 =(1 + r)(H − T2)

1 + (1 + δ)(1 + ρ)



Problema de Hogares y Eq. Macro sin Inconsistencia III

Como H = A1(1 + r), el “yo” del primer periodo sabe que para cadanivel de ahorro, A1, los niveles de consumo que el “yo” del segundoperiodo escoge son:

C2 =(1 + δ)(1 + ρ)(1 + r)

(A1 − T2

1+r

)1 + (1 + δ)(1 + ρ)

C3 =(1 + r)2

(A1 − T2

1+r

)1 + (1 + δ)(1 + ρ)

El “yo” del primer periodo tomara estos niveles de consumo en losperiodos 2 y 3 como restricciones adicionales para maximizar suutilidad.



Problema de Hogares y Eq. Macro sin Inconsistencia IV

Reemplazando la restriccion presupuestal del “yo” del primer periodoen estas nuevas restricciones, su problema se reduce a:

maxC1,C2,C3

ln(C1) +1

1 + δ

[1

1 + ρln(C2) +

(1

1 + ρ

)2

ln(C3)

]sujeto a

C2 =(1 + δ)(1 + ρ)(1 + r)

(Y − T1 − T2

1+r − C1

)1 + (1 + δ)(1 + ρ)

C3 =(1 + r)2

(Y − T1 − T2

1+r − C1

)1 + (1 + δ)(1 + ρ)

Notemos que los niveles de consumo de los periodos 2 y 3 nodependen de manera directa de los impuestos, sino unicamente de suvalor presente.



Problema de Hogares y Eq. Macro sin Inconsistencia V

Basta con mostrar que el consumo del primer periodo esindependiente de la trayectoria de impuestos para obtener el resultadode equivalencia ricardiana.

Sustituyendo las restricciones de autocontrol en la restriccionpresupuestal intertemporal y, posteriormente, la restriccionpresupuestal del gobierno, el problema del “yo” del periodo 1 sereduce aun mas a:

maxC1

ln(C1) +1

1 + δ

[1

1 + ρln (Y − G − C1)

+

(1

1 + ρ

)2

ln (Y − G − C1)

].

El C1 que resuelve este problema no depende de la trayectoria de losimpuestos, demostrando el resultado.


Conclusiones

Contenido



3 Conclusiones


Conclusiones

Conclusiones

Una disyuntiva ineludible en el momento de decidir como financiar elgasto publico es decidir entre cobrar impuestos o emitir deuda.

La proposicion de equivalencia ricardiana implica que es irrelevante ladecision y resume las condiciones bajo las cuales esto sucede.

La secuencia del argumento de equivalencia ricardiana se resume entres etapas:

1. La deuda publica puede entenderse como la obligacion de cobraringresos futuros.

2. Para los hogares, emitir deuda para reducir impuestos corrientes noreduce la carga impositiva.

3. Ası, el sector privado contrarresta cualquier decision del gobierno sobrecuando recaudar impuestos.


Conclusiones

Conclusiones

Estudiamos el concepto de equivalencia ricardiana bajo el contexto deuna economıa cerrada y en un modelo de Ramsey.

Vimos que este resultado se mantiene cuando se relajan algunossupuestos. Sigue habiendo equivalencia ricardiana en una economıapequena y abierta, cuando el horizonte de las familias es menor al delgobierno (hay herencias), y cuando hay inconsistencia temporal.

Introducimos algunos conceptos importantes para el estudio de lapolıtica fiscal, como:

El concepto de equilibrio general competitivo.La suavizacion de consumo de los hogares en el tiempo.Las nociones de elasticidad de sustitucion intertemporal y aversion alriesgo.Las propiedades de una funcion de produccion neoclasica.

En futuros capıtulos, desmentimos el resultado principal de estecapıtulo: que la deuda y los impuestos son instrumentos equivalentespara financiar el gasto publico.


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