PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA

Primer Encuentro Iberoamericano

de la Enseñanza del Cálculo

Sexto Encuentro Nacional

de la Enseñanza del Cálculo

Límites por direcciones

CURSILLO

Bernardo Mayorga

Universidad Industrial de Santander

Bogotá, diciembre de 2007

Contenido

Introducción 2

Símbolos especiales 4

Lista de figuras 5

1. LÍMITE EN UNA DIRECCIÓN 6

1.1. Nociones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2. Una isometría entre [−1, 1] y R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3. Límite en una dirección dentro de un subconjunto . . . . . . . . . . . . . . 17

2. ALGUNAS APLICACIONES 22

2.1. Teoremas generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2. La integral de Riemann como límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3. Límites en el caso de funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4. El número e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.5. Orden de crecimiento de las funciones elementales reales . . . . . . . . . . 38

Referencias 47

2

Introducción

Quizás se pueda decir que la historia de la teoría de límites hunde sus raíces en los

anhelos de la gente de medir con absoluta precisión. Es imposible establecer desde cuándo

existe la noción de precisión, pero por lo menos tenemos testimonios de su presencia a

partir de la invención de la escritura. ¿Cómo no admirarnos del espectacular “1;24,51,10”

(en escritura sexagesimal) de la tablilla mesopotámica YBC 7289 de hace más de tres y

medio milenios? Esa escritura da la medida de la diagonal de un cuadrado de lado 1, que

traducida al sistema decimal es 1, 41421296. Si comparamos con 1, 41421356, que es la

aproximación exacta a ocho decimales para el caso, vemos que el error es menor que un

millonésimo. Es decir, en un terreno cuadrado de un kilómetro de lado, la medición de la

diagonal tendría un error de menos de un milímetro.

De la misma manera los anhelos de medir con precisión están atestiguados en Grecia desde

los inicios del método de exhaución por Antifón (c. -480/-411), tratando de cuadrar el cír-

culo mediante polígonos inscritos, hasta su perfeccionamiento por Eudoxo (c. -408/−355)

y su brillante aplicación por Arquímedes (-287/-212). Podríamos también mencionar los

esfuerzos de diversos matemáticos por perfeccionar la aproximación de π, como el 355/113

del chino Zu Chongzhi (c. 430-501) y los diecisiete decimales logrados en el siglo XV por

el iraní Al-Kashi (para lo cual debió calcular el lado de un polígono regular de 800.335.168

lados).

La moderna -“aritmetizada”- noción de límite la empieza a desarrollar a principios del siglo

XIX Bernard BOLZANO (1781-1848) en escritos publicados entre 1810 y 1817. Pero esos

escritos fueron conocidos por la comunidad matemática solo después de su muerte. Así que

la primera definición rigurosa de límite para el caso de las funciones reales aparece públi-

camente en el Analyse algébrique (1821) [1] de Augustin-Louis CAUCHY (1789-1857). Él

estableció los teoremas fundamentales sobre la existencia de diferentes tipos de límites, e

introdujo la noción de límite superior y límite inferior. A mediados de ese mismo siglo XIX

3

Karl WEIERSTRASS (1815-1897) completó la aritmetización del análisis e introdujo la

ahora famosa notación δ-ε. Concepciones más generales de límites fueron propuestas en

los primeros decenios del siglo XX en Rusia por Dmitri KRYZHANOVSKI (1883-1939)

[2] y Samuíl SHATUNOVSKI (1859-1929), y en los Estados Unidos por Eliakim MOORE

(1862-1932) y H. L. SMITH [3].

Exceptuando textos clásicos como los de Apostol y Spivak, se puede decir que en la

inmensa mayoría de los libros universitarios de Cálculo el tratamiento que se hace de la

teoría de límites deja mucho que desear. Solo los estudiantes de la carrera de Matemáticas

tienen la oportunidad de profundizar en el asunto al acceder a sus cursos de análisis y de

topología.

En el presente cursillo presentamos la noción de “límite en una dirección” como la desarro-

lla Gueorgui Evguénievich SHÍLOV (1917-1975) en su curso de análisis [4], que es un caso

particular de la máxima generalización posible del concepto de límite, la de límite según

un filtro, dada en 1937 por Henri CARTAN (1904- ) [5]. Una vez expuestas las nociones

básicas, se demuestran rigurosamente y desde el punto de vista más amplio posible los

límites fundamentales del análisis. Es de anotar que esas demostraciones por lo general

no se hacen en los cursos de cálculo de las carreras de ciencias e ingenierías “por estar más

allá del alcance” del texto correspondiente, y a veces en los cursos de análisis tampoco,

por suponer que ya se hicieron en los primeros.

El lector que poseea las bases correspondientes a un primer curso de Análisis Matemático

no tendrá dificultad en el estudio del material presentado.

4

Símbolos especiales

| : tal que, tales que.

: : se tiene, se cumple.

≡ : igualdad de números, conjuntos, etc., por definición.

⇔ : equivalencia de proposiciones.

⇒ : signo de implicación lógica.

P(S) : conjunto de partes del conjunto S.

[x] : parte entera del número real x.

D(f) : dominio de la función f .

B(x; r) : bola con centro en el elemento x y de radio r.◦B (x; r) : bola perforada: B(x; r) − {x}.C(S) : clase de todas las funciones continuas en el conjunto S.

S′

: conjunto de puntos de acumulación (conjunto derivado) del conjunto S.

⊙ : elemento neutro de un espacio lineal.

� : final de la demostración de un teorema.

• : final de una definición o ejemplo.

µ(S) : longitud del arco de curva S.

[m : n] ≡ {x ∈ Z | m ≤ x ≤ n; m,n ∈ Z}.

dp(x, y) ≡⟨

n∑i=1

|xi − yi|p⟩ 1

p

: métrica dp con p ≥ 1, en el conjunto Rn.

d∞ (x, y) ≡ maxk∈[1:n]

{|xk − yk|} : métrica d∞ en el conjunto Rn.

dp(f, g) ≡⟨

b∫a

|f − g|p⟩ 1

p

: métrica dp con p ≥ 1, en el conjunto C [a, b].

d∞(f, g) ≡ maxx∈[a,b]

{|f (x) − g (x)|} : métrica d∞ en el conjunto C [a, b].

5

Lista de figuras

1. Gráfica de la función ϕ definida en (1.2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2. Gráfica de la función 1 − x1+|x| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3. Conjuntos S1 y S2 y gráfica de la función α : S1 → S2 | x 7→ 1x−x0

. . . . . . 21

4. lımx−→3

x2 = 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5. Modelos de las sucesiones {xn} y {yn} dadas por (2.7) y (2.8). . . . . . . . 36

6. Gráfica de la función f(x) = x20 en el segmento x ∈ [0, 2]. . . . . . . . . . . 38

7. Gráfica de la función g(x) = 2x

100 en el segmento x ∈ [0, 100]. . . . . . . . . 39

8. Gráfica de la función f(x) = (1 + 1x)x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

9. Círculo de radio unidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6

1. LÍMITE EN UNA DIRECCIÓN

1.1. Nociones básicas

Definición 1.1. Sean dados un conjunto arbitrario S y un sistema de conjuntos no vacíos

D ⊂ P(S). Se dice que D es una dirección en el conjunto S si⋂

C∈D

C = φ y para

cualesquiera A, B ∈ D tiene lugar una de las dos contenencias A ⊂ B ó B ⊂ A. •

Definición 1.2. Sean S un conjunto arbitrario, (M, d) un espacio métrico y f la función

f : S −→ M

x 7−→ f(x).

Diremos que la función f tiene límite en la dirección D ⊂ P(S) si existe un punto

a ∈ M tal que para cualquier ε > 0 se puede encontrar un subconjunto A ∈ D en todos

los puntos x del cual se satisface la desigualdad

d(f(x), a) < ε;

en tal caso el punto a se denomina el límite de la función f en la dirección D,

y se escribe: lımD

f(x) = a, o f(x) −→D

a, o simplemente f(x) → a.

En símbolos tenemos:

lımD

f(x) = a ⇔ ∀ε > 0 : ∃A ∈ D | x ∈ A ⇒ d(f(x), a) < ε.•

En la definición aterior, y de aquí en adelante, cuando aparezca la espresión f : S → M

y en las similares supondremos siempreque el dominio D(f) de la función f es todo el

conjunto se salida S.

Teorema 1.1. Si una función f tiene límite en la dirección D, ese límite es único.

Demostración. Supongamos que f tiene dos límites en la dirección D,

lımD

f(x) = a1, lımD

f(x) = a2.

7

Aplicando la definición de límite en la dirección D, dado un cierto ε > 0 tenemos que

∃A ∈ D | x ∈ A ⇒ d(f(x), a1) <ε

2,

∃B ∈ D | x ∈ B ⇒ d(f(x), a2) <ε

2.

Como necesariamente tiene lugar una de las dos contenencias A ⊂ B ó B ⊂ A, para

todos los x que pertenezcan al más pequeño de estos dos conjuntos (i.e., ∀x ∈ A ∩ B) se

cumplirán simultáneamente las dos anteriores desigualdades, así que

d(a1, a2) ≤ d(a1, f(x)) + d(f(x), a2) <ε

2+

ε

2= ε,

es decir, d(a1, a2) < ε.

Así pues, d(a1, a2) es un número no negativo menor que cualquier positivo, y por consi-

guiente sólo puede ser cero, de lo cual resulta que a1 = a2. �

Ejemplo 1.1. Sean Ni ≡ {i, i + 1, i + 2, ...}, i ∈ N0,

D = {N0, N1, N2, ...} = {{0, 1, 2, ...}, {1, 2, 3, ...}, {2, 3, 4, ...}, ...} ⊂ P(N)

Es claro que⋂i∈N

Ni = φ y que para cualesquiera Nn, Nm ∈ D se tiene Nm⊂ Nn si m ≥ n

ó Nn⊂ Nm si m ≤ n, así que en realidad D es una dirección. Esta dirección la denotamos

n → ∞. Consideremos además la función

f : N −→ m

n 7−→ f(x) ≡ xn,

que será una sucesión {xn} en el espacio métrico M . De acuerdo con nuestra definición

la sucesión {xn} tendrá límite a ∈ M en la dirección D, es decir cuando n → ∞, si

para cualquier ε > 0 existe un Nk ∈ D tal que si n ∈ Nk (i.e., si n ≥ k) se cumple que

d(xn, a) < ε. De una sucesión {xn} que tiene límite a cuando n → ∞ se dice que converge

al punto a. Es evidente que la definición dada coincide con la definición conocida para

convergencia de sucesiones en espacios métricos, y podemos escribir:

lımn→∞

xn = a. •

8

Este caso se puede ilustrar con la función

ϕ : N −→ (C([a, b]), d∞)

n 7−→ ϕ(n) ≡ ϕn(x) ≡n∑

k=0

(−1)k x2k+1

(2k+1)!.

Es fácil ver (aplicando por ejemplo el criterio de Cauchy) que la serie converge a una

función continua ϕ∗, y como sus términos son de signo alternante, tendremos

d∞(ϕn, ϕ∗) ≤ (max{|a| , |b|})2n+3

(2n + 3)!,

y la expresión de la derecha se puede hacer tan pequeña como se quiera1 tomando un n

suficientemente grande. La función ϕ∗ = lımn→∞

ϕn(x) es, como se sabe, la función seno. •

Ejemplo 1.2. Sean S ≡ [a,∞) y D ⊂ P([a,∞)) el sistema de todos los subconjuntos

Aξ ⊂ S de la forma (ξ,∞), ξ > a. Es evidente que D es una dirección en el sentido de

nuestra definición. Esta dirección se denota x → +∞. Según esto, si se tiene

f : [a,∞) −→ M

x 7−→ f(x),

podemos decir que f tiene como límite en la dirección D (i.e., f(x) → b), el elemento

b ∈ M si para cada ε > 0 existe un Aξ ⊂ S tal que si x ∈ Aξ (i.e., si x > ξ) entonces

d(f(x), b) < ε. •

Una ilustración concreta sería

f : [2,∞) −→ R

x 7−→ f(x) ≡ x + 1

x − 1,

(de aquí en adelante, mientras no digamos otra cosa vamos a suponer que cuando estemos

trabajando con R como espacios métrico, utilizamos la métrica ordinaria).

1Véase más adelante, en la sección 2.5 el teorema acerca del orden de crecimiento de las funciones

reales.

9

Es evidente que lımx→+∞

f(x) = 1, puesto que dado 0 < ε < 1, si x >ε + 2

ε(i.e., si x ∈ A ε+2

ε,

por ejemplo), entonces d0(f(x), 1) =

∣∣∣∣x + 1

x − 1− 1

∣∣∣∣ < ε.

De la misma manera, en conjuntos de tipo (−∞, a] se introduce la dirección x → −∞.

Ella será el sistema de todos los subconjuntos Bξ ⊂ (−∞, a] de la forma (−∞, ξ) , ξ < a.

También sobre R se puede definir x → ±∞, o lo que es lo mismo, |x| → ∞, compuesta

de todos los conjuntos {x ∈ R | |x| ≥ c}. Esto le da sentido a las expresiones de tipo

lım|x|→∞

f(x).

Esta misma expresión tendría sentido para las funciones de variable compleja.

Definición 1.3. Sean (M1, d1) un espacio métrico y a ∈ M′

1. La dirección x → a la

definimos como la colección de todas las bolas perforadas◦B (a; r). En virtud de que a es

un punto de acumulación, ninguna de esas bolas es vacía, y las otras propiedades de la

dirección se cumplen evidentemente.

Si (M2, d2) es otro espacio métrico y f : M1 → M2, la función f tendrá límite en la

dirección x → a, según la definición general ya hecha, si existe un b ∈ M2 para el cual,

dado un ε > 0, se puede encontrar un δ > 0 tal que ∀x ∈◦B (a; δ) se cumpla que

d2(f(x), b) < ε.

Esto lo podemos resumir escribiendo

lımx→a

f(x) = b,

y, como en los otros casos, se dice que b es el límite de la función f cuando x → a. (Como

se ve, la imagen de f en a no desempeña ningún papel; es incluso posible que a /∈ D(f)).•

Considérese, verbi gratia, el funcional

I : (C [a, b] , d∞) → R

f 7→ I(f) ≡b∫

a

f.

10

Sea D la dirección {◦B (sen; r)} en el espacio (C [a, b] , d∞). Entonces

lımD

I(f) =

b∫

a

sen . (1.1)

En efecto,

◦B (sen; r) = {f ∈ C [a, b] | 0 < d∞(f, sen) < r} =

= {f ∈ C [a, b] | 0 < maxx∈[a,b]

{|f(x) − sen x|} < r},

y

0 ≤ d0(I(f), I(sen)) = |I(f) − I(sen)| =

∣∣∣∣∣∣

b∫

a

f −b∫

a

sen

∣∣∣∣∣∣=

=

∣∣∣∣∣∣

b∫

a

(f − sen)

∣∣∣∣∣∣≤

b∫

a

|f − sen| <

b∫

a

r = r(a − b),

i.e.,

0 ≤ d0(I(f), I(sen)) < r(a − b),

y en virtud de la arbitáriedad de r se cumple (1.1). •

En particular, si M1 = M2 = R y d1 = d2 = d0, resulta que la dirección x → a es la

colección de todos los conjuntos de la forma (a − δ) ∪ (a + δ), así que una función real

posee límite b en el punto a si

∀ε > 0 : ∃δ > 0∣∣0 < |x − a| < δ ⇒ |f(x) − b| < ε,

que es la definición común adoptada en los libros de cálculo.

1.2. Una isometría entre [−1, 1] y R

Los ejemplos 1.1 y 1.2 se pueden considerar en realidad casos particulares de la Defini-

ción 1.3 en términos de bolas. En efecto, el sistema ampliado R de los números reales2

2R ≡ R∪{∞,−∞}, con las reglas de suma, multiplicacióm y orden conocidas (véase, por ejemplo,[6]).

11

puede ser revestido con una métrica conveniente. Considérese la función

ϕ : R −→ R

x 7−→ ϕ(x) ≡

x

1 + |x| , si x ∈ R,

−1, si x = −∞,

1, si x = ∞,

(1.2)

en donde se presupone la métrica ordinaria tanto en el conjunto de salida como en el de

llegada.

Evidentemente ϕ es una función unívoca, impar, sgn(ϕ(x)) = sgn(x) y

∀x ∈ R : |ϕ(x)| < 1 . Más aún, la distancia entre las imágenes de dos puntos nunca supera

la distancia entre los puntos mismos:

∀x, y ∈ R : |ϕ(x) − ϕ(y)| ≤ |x − y| . (1.3)

Veámoslo detalladamente:

1. a) Si x = ±∞ ó y = ±∞ la desigualdad es evidente.

b) Sea x ≥ 0, y ≥ 0. Entonces

|ϕ(x) − ϕ(y)| =

∣∣∣∣x

1 + x− y

1 + y

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣x − y

(1 + x)(1 + y)

∣∣∣∣ ≤ |x − y| .

c) Si x ≤ 0, y y ≤ 0, entonces

|ϕ(x) − ϕ(y)| =

∣∣∣∣x

1 − x− y

1 − y

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣x − y

(1 − x)(1 − y)

∣∣∣∣ ≤ |x − y| .

d) Si x ≤ 0 y y ≥ 0 :

|ϕ(x) − ϕ(y)| ≤ |ϕ(x)| + |ϕ(y)| =

= |ϕ(x)| + ϕ(y) =|x|

1 + |x| +y

1 + y≤ |x| + y =

= −x + y = y − x = |x − y| .

(la última igualdad tiene lugar en virtud de que y − x ≥ 0).

12

1 2 3 4−1−2−3−4

1

2

−1

−2

x

y

Figura 1. Gráfica de la función ϕ definida en (1.2).

e) Si x ≥ 0 y y ≤ 0, entonces, seguiría lo que se acaba de ver en d),

|ϕ (x) − ϕ (y)| = |ϕ (y) − ϕ (x)| ≤ |y − x| = |x − y| .�

La parte “finita” del modelo cartesiano estándar de ϕ puede apreciarse en la Figura 1.

Lema 1.1. Sean δ ∈ (0, 1) y x, y ∈ R, tales que

|ϕ(x)| < 1 − δ, |ϕ(y)| < 1 − δ, (1.4)

en donde ϕ es la función definida en (1.2). Entonces se tiene

|x − y| ≤ 1

δ2|ϕ(x) − ϕ(y)| . (1.5)

Demostración. Despejemos x en la igualdad ϕ(x) =x

1 + |x| de la Definición 1.2.

13

Si x ≥ 0 entonces |x| = x, así que ϕ(x) =x

1 + x, de donde

x =ϕ(x)

1 − ϕ(x). (1.6)

Si x ≤ 0 entonces |x| = −x, por lo que ϕ(x) =x

1 − xy

x =ϕ(x)

1 + ϕ(x). (1.7)

a) Cuando x ≥ 0 y y ≥ 0 tendremos, según (1.6),

|ϕ(x)| < 1 − δ ⇔ ϕ(x) < 1 − δ ⇔ 1 − ϕ(x) > δ,

e igualmente,

|ϕ(y)| < 1 − δ ⇔ 1 − ϕ(y) > δ.

Así que

|x − y| =

∣∣∣∣ϕ(x)

1 − ϕ(x)− ϕ(y)

1 − ϕ(y)

∣∣∣∣ =|ϕ(x) − ϕ(y)|

〈1 − ϕ(x)〉 . 〈1 − ϕ(y)〉 ≤ 1

δ2|ϕ(x) − ϕ(y)| .

b) Si x ≤ 0 y y ≤ 0 entonces −x ≥ 0, y −y ≥ 0, y según lo anterior y por la imparidad

de ϕ,

|x − y| = |−(x − y)| = |(−x) − (−y)| ≤ 1

δ2|ϕ(−x) − ϕ(−y)| =

=1

δ2|−ϕ(x) + ϕ(y)| =

1

δ2|ϕ(x) − ϕ(y)| .

c) Finalmente, si x y y son de signo contrario, por ejemplo x ≤ 0 y y ≥ 0, tendremos

1 + ϕ(x) > δ, 1 − ϕ(y) > δ, y de acuerdo con (1.6) y (1.7),

|x − y| = |x| + y =

∣∣∣∣ϕ(x)

1 + ϕ(x)

∣∣∣∣+ϕ(y)

1 − ϕ(y)

=|ϕ(x)|

1 + ϕ(x)+

ϕ(y)

1 − ϕ(y)<

14

<−ϕ(x)

δ+

ϕ(y)

δ<

1

δ2(ϕ(y) − ϕ(x)) =

=1

δ2|ϕ(x) − ϕ(y)|. �

Teorema 1.2. La función

ρ : R × R −→ R

(x, y) 7−→ ρ(x, y) ≡ |ϕ(x) − ϕ(y)|,(1.8)

en donde ϕ es la función definida en (1.2), es una métrica en R. En el subconjunto R ⊂ R

esa métrica es homeomorfa con la métrica ordinaria. (Lo anterior significa, geométrica-

mente -ver Figura 1-, que en calidad de nueva distancia ρ(x, y) entre los puntos x y y

del eje horizontal se toma la longitud del segmento ϕ(x), ϕ(y) en el eje vertical).

Demostración. a) ⊢ ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y :

〈ρ(x, y) = 0〉 ⇔ 〈|ϕ(x) − ϕ(y)| = 0〉 ⇔ 〈ϕ(x) = ϕ(y)〉 ⇔ x = y.

b) ⊢ ∀x, y, z ∈ R : ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(y, z) :

ρ(x, y) ≡ |ϕ(x) − ϕ(y)| = |ϕ(x) − ϕ(z) + ϕ(z) − ϕ(y)| ≤

≤ |ϕ(x) − ϕ(z)| + |ϕ(y) − ϕ(z)| ≡ ρ(x, z) + ρ(y, z).

c) Verifiquemos ahora que sobre R las métricas d0(x, y) y ρ(x, y) son homeomorfas.

Sea {xn} una sucesión convergente a x⋆ en R según la métrica ordinaria. Para un ε > 0

hallaremos entonces un N ∈ N tal que si n ≥ N entonces |xn − x⋆| < ε. De la desigualdad

(1.3) tenemos, para esos n ≥ N,

ρ(xn, x⋆) = |ϕ(xn) − ϕ(x⋆)| ≤ |xn − x⋆| < ε,

así que xn → x∗ también según la métrica definida en (1.8).

15

Supongamos ahora que xn → x∗ según la métrica definida en (1.8). Puesto que |ϕ(xn)| < 1,

si tomamos δ ≡ 1−|ϕ(x∗)|2

) tendremos δ ∈ (0, 12). Por otra parte, es evidente que con

cualquier ε > 0 se tiene mın{δ, ε} < 1. Para ese ε existirá N ∈ N tal que para n ≥ N .

ρ(xn, x∗) = |ϕ(xn) − ϕ(x∗)| < δ2 mın{δ, ε}. (1.9)

De aquí obtenemos

ϕ(x∗) − δ2 mın{δ, ε} < ϕ(xn) < ϕ(x∗) + δ2 mın{δ, ε},

−|ϕ(x∗)| − δ2 mın{δ, ε} < ϕ(xn) < |ϕ(x∗)| + δ2 mın{δ, ε},

así que

|ϕ(xn)| < |ϕ(x∗)| + δ2{δ, ε}.

Esto nos da, teniendo en cuenta que mın{δ, ε} < 1,

|ϕ(xn)| < |ϕ(x∗)| + δ2 < |ϕ(x∗)| + δ ≡ 1 − δ.

Por otra parte |ϕ(x∗)| = 1 − 2δ < 1 − δ, de suerte que combinando la desigualdad (1.5)

del Lema 1.1 con la desigualdad (1.9) obtenemos

d0(xn, x∗) = |xn − x∗| ≤ 1

δ2|ϕ(xn) − ϕ(x∗)| <

1

δ2.δ2 mın{δ, ε} = mın{δ, ε} ≤ ε,

lo que quiere decir que xn → x∗ según la métrica ordinaria. �

¿Qué representa en el espacio (R, ρ) la bola B(∞, r)? Por definición,

B(∞; r) ≡ {x ∈ R | ρ(x,∞) < r} = {x ∈ R | |ϕ(x) − ϕ(∞)| < r} =

= {x ∈ R | |ϕ(x) − 1| < r}.

16

Pero ya sabemos que |ϕ(x)| ≤ 1, así que |ϕ(x) − 1| = 1−ϕ(x) = 1− x

1 + |x| . Por lo tanto

la bola B(∞; r) es el conjunto de puntos x de R tales que

1 − x

1 + |x| < r.

Como ϕ es estrictamente creciente y R(ϕ) = [−1, 1], entonces 1 − ϕ es estrictamente

decreciente y 1 − ϕ(x) ∈ [0, 2] (Figura 2).

1 2 3 4−1−2−3−4

1

2

x

y

Figura 2. Gráfica de la función 1 − x1+|x| .

Así pues:

a) Si r > 2 entonces B(∞; r) = R;

b) Si r = 2 entonces B(∞; r) = R − {−∞} = R ∪ {∞};

c) Si r ∈ (0, 2) entonces B(∞; r) = (xr,∞] , en donde xr es la solución de la ecuación

1 − x

1 + |x| = r (ver Figura 2).

De forma análoga se obtienen las expresiones para B(−∞; r).

De esa manera hemos fundamentado por completo nuestra afirmación de que los límites

de los ejemplos 1.1 y 1.2 pueden considerarse como casos particulares de la Definición

general 1.6 en términos de bolas. En particular la sucesión 1, 2, 3, ... en (R, ρ) cae, a partir

de un determinado N , en una cierta bola B(∞; r), así que tenemos

lımn→∞

n = ∞;

17

mientras tanto, hay que recordar que en (R, d0) la sucesión en cuestión no posee límite.

Hay que anotar también que (R, ρ) es isométrico con ([−1, 1] , d0). La biyección R ∼ [−1, 1]

se realiza mediante la correspondencia x ↔ ϕ(x); la distancia ϕ(x, y) entre los dos puntos

x, y ∈ R es igual, como ya lo vimos, a la distancia ordinaria d(ϕ(x), ϕ(y)).

Eliminado los extremos (−1 y 1 de [−1, 1], y −∞,∞ de R) obtenemos una isometría entre

(R, ρ) y ((−1, 1), d0) En consecuencia, la relación (1.8) nos permite afirmar que (R, d0) y

((−1, 1), d0) son homeomorfos, lo que también se hubiera podido verificar directamente.

1.3. Límite en una dirección dentro de un subconjunto

Consideremos un conjunto S con una dirección D dentro de él. Fijemos un subconjunto

G ⊂ S y examinemos la familia de conjuntos FG ≡ {G ∩ A | A ∈ D}. Supongamos que

no hay en esta familia conjuntos vacíos. Entonces, y en virtud de que ∩FG = φ (puesto

que ∩A = φ), el sistema FG también es una dirección, que denotaremos DG. Sea ahora

f : S → (M,d).

Si existe lımD

f(x) = b, existirá evidentemente lımDG

f(x) = b. Puede, sin embargo existir

lımDG

f(x), sin necesidad de que exista lımD

f(x).

El siguiente lema da las condiciones bajo las cuales los dos límites en cuestión son equi-

valentes.

Lema 1.2. Si el conjunto G ⊂ S contiene algún subconjunto B de la dirección D, de la

existencia de lımDG

f(x) se sigue la de lımD

f(x), así como la igualdad de los dos. Pero si

el conjunto G no contiene completamente ningún B ∈ D, y hay en el espacio M por lo

menos dos puntos a y b diferentes, existe una función ϕ : S → M tal que lımDG

ϕ(x) = a,

pero lımD

ϕ(x) no existe.

Demostración. Sean B ⊂ G, B ∈ D, lımDG

f(x) = a. Para un ε > 0 dado, hallaremos en

18

la dirección DG un conjunto G∩A en todos los puntos el cual se satisface la desigualdad

d(f(x), a) < ε. El conjunto G∩A contiene el conjunto B ∩A, el cual puede ser bien A o

bien B, por lo cual pertenece a la dirección D. En el conjunto B ∩ A también se cumple

la desigualdad d(f(x), a) < ε, por lo que existe lımD

f(x) = a.

Ahora bien, supongamos que ningún B ∈ D está por completo dentro de G, y hagamos

Gc ≡ S − G.

Tomemosϕ : S −→ M

x 7−→ ϕ(x) ≡

a, si x ∈ G,

b, si x ∈ Gc.

Tomemos ε < 12d(a, b) Si existiera lım

Df(x) = c, para algún A ∈ D tendríamos

d(f(x), c) < ε para todo x ∈ A. Pero por hipótesis ninguno de los conjuntos G ∩ A y

Gc ∩ A es vacío, así que tomado por turno x ∈ G ∩ A y x ∈ Gc ∩ A tendríamos que

deberían cumplirse simultáneamente las dos desigualdades d(a, c) < ε y d(b, c) < ε, de

tal manera que d(a, b) ≤ d(a, c) + d(b, c) < 2ε; pero como ε < 12d(a, b), eso significa que

d(a, b) < d(a, b), y un número positivo no puede ser menor que él mismo. �

Definición 1.4. En las condiciones anteriores, si la función f está definida sólo sobre el

subconjunto G ⊂ S, la notación lımD

f(x) carece en general de sentido. En el caso en que

G contenga algunos de los conjuntos de la dirección D, tomamos por definición

lımD

f(x) ≡ lımD

fS(x),

en donde fS es una extensión arbitraria de la función f desde G hasta todo S. De acuerdo

con lo ya demostrado el resultado tiene sentido y no depende del modo como se haya

obtenido la extensión. •

En particular el límite de la sucesión {xn} del Ejemplo 1.1 se define de modo natural

no solo cuando {xn} se da para todos los índices 1, 2, 3, ..., sino también cuando se da

19

únicamente para los que sean mayores que un cierto n0. En estas circunstancias el lımx→∞

xn

no depende de los valores de x1, x2, ..., xn0 , los cuales por cualquier motivo pueden no

interesarnos. De la misma manera, la definición de lımx→∞

f(x) del Ejemplo 1.2 exige solo

conocer las imágines de f(x) para los x mayores que un x0, y no depende de los valores de

x para x ≤ x0. Así mismo, la dirección lımx→a

f(x) del de la Definición 1.3 requiere conocer

solamente los valores de f(x) “cerca del punto x = a”, es decir, dentro de alguna bola◦B (a; r).

Ahora bien supongamos que ω es una biyección entre los conjuntos S1 y S2. Supóngase

además que sobre el conjunto S1 está dada un dirección D ⊂ P(S1). Sea E la imagen

por medio de ω de D : E = ω(D). Entonces E es una dirección en S2, puesto que la

biyecctividad de ω implica que los conjuntos de E están encajados unos en otros, como

lo están los de D, y que su intersección es vacía.

Considérese ahora la función

f : S1 → M,

en donde M es un cierto espacio métrico con métrica d, y definamos sobre el conjunto S2

la función compuesta

g : S2 −→ M

y 7−→ g(y) ≡ g 〈ω(x)〉 ≡ f(x).

Tenemos entonces el siguiente

Teorema 1.3. La función g posee límite en la dirección E si y solo si la función f posee

límite en la dirección D, y

lımD

f(x) = lımE

g(y).

Demostración. Supóngase que existe lımE

g(y) = b. Entonces ∀ε > 0, se hallará un conjunto

B ∈ E tal que ∀y ∈ B:

d(g(y), b) < ε.

20

Sobre el correspondiente conjunto A = ω−1(B) tendremos

d(f(x), b) = d(g 〈ω(x)〉 , b) < ε,

así que b = lımD

f(x). En virtud de la simetría de la construcción, la afirmación inversa

también es cierta. �

De lo dicho se desprende que el resultado anterior se conserva si la biyección ω está

definida no sobre todo el conjunto S1, sino sobre un subconjunto suyo S0 ⊂ S1. Veamos

dos ejemplos:

Ejemplo 1.3. Sea S1 = (a,∞), S2 = (−∞,−a] y

f : S1 −→ S2

x 7−→ f(x) = −x.

Tomemos sobre S1 la dirección x → ∞. Es obvio que la dirección correspondiente sobre

S2 será x → −∞. En virtud del Teorema 1.3 los límites lımx→∞

f(x) y lımy→−∞

f(−y) existen

o no existen simultáneamente, y si existen,

lımx→∞

f(x) = lımy→−∞

f(−y).•

Ejemplo 1.4. Sea S1 ≡−B (x0; 1) − {x0} ⊂ R y S2 ≡ R − B(0; 1) (ver Figura 3). La

función

α : S1 −→ S2

x 7−→ y ≡ α(x) ≡ 1

x − x0

,

define evidentemente una biyección entre S1 y S2. Si f : S1 → M , los límites lımx→x0

f(x) y

lım|y|→∞

f(α−1(y)) existirán simultáneamente, y si existen,

lım|y|→∞

f(α−1(y)) = lımx→x0

f(x).

Así por ejemplo, si S1 = [4, 5)∪ (5, 6], S2 = (−∞,−1]∪ [1,∞) , α(x) =1

x − 5y f = sen,

entonces

lımx→5

f(x) = lım|y|→∞

(1

y+ 5

),

21

x0 − 1 x0 x0 + 1x

−1 0 1

x0 − 1 x0 x0 + 1

S2

S1

α(x)

1

−1

0

y=

x−

x 0

Figura 3. Conjuntos S1 y S2 y gráfica de la función α : S1 → S2 | x 7→ 1x−x0

.

i.e.,

lımx→5

sen x = lım|y|→∞

sen

(1

y+ 5

)= sen 5;

si

g : S1 −→ R

x 7−→ g(x) ≡ sen1

x − 5,

entonces la existencia del lımx→5

g(x) equivaldrá a la existencia del lım|y|→∞

g(α−1(y)); como

α−1(y) =1

y+ 5, entonces

lım|y|→∞

g(α−1(y)) = lım|y|→∞

g

(1

y+ 5

)= lım

|y|→∞sen

11

y+ 5 − 5

= lım

|y|→∞sen y,

que como se sabe no existe.•

22

2. ALGUNAS APLICACIONES

2.1. Teoremas generales

Teorema 2.1 (del emparedado). Considérense los funcionales reales f, g, h : S →R, en donde S es un conjunto cualquiera. Supóngase que en S existe una dirección D tal

que

lımD

f(x) = lımD

h(x) = b,

y que hay un elemento A ∈ D tal que ∀x ∈ A se cumple

f(x) ≤ g(x) ≤ h(x). (2.1)

Entonces

lımD

g(x) = b.

Demostración. Desmenuzando las hipótesis tenemos:

lımD

f(x) = b ⇔ ∀ε > 0 : ∃A1 ∈ D | ∀x ∈ A1 : d0(f(x), b) < ε,

es decir, ∀x ∈ A1

b − ε < f(x) < b + ε; (2.2)

lımD

h(x) = b ⇔ ∀ε > 0 : ∃A2 ∈ D | ∀x ∈ A2 : d0(h(x), b) < ε,

i.e., ∀x ∈ A2

b − ε < h(x) < b + ε. (2.3)

Si tomamos A0 ≡ A ∩ A1 ∩ A2, entonces ∀x ∈ A0 se cumplirán simultáneamente (2.2) y

(2.3), y en virtud de (2.1),

b − ε < f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) < b + ε,

de donde

−ε < g(x) − b < ε,

23

o sea d0(g(x), b) < ε para cualquier x ∈ A0, lo que quiere decir que

lımD

g(x) = b. �

Teorema 2.2. Sean S un conjunto cualquiera, (L, d) un espacio métrico-lineal concor-

dante3, f, g : S → L y

f + g : D(f) ∩ D(G) −→ L

x 7−→ (f + g)(x) ≡ f(x) + g(x).

Sea además D una dirección en D(f) ∩ D(G), y supóngase que existen

lımD

f(x) = b1 y lımD

g(x) = b2.

Entonces existe

lımD

[f(x) + g(x)] = lımD

f(x) + lımD

g(x).

Demostración. La existencia de los límites equivale a las aseveraciones

∀ε > 0 : ∃A1 ∈ D | ∀x ∈ A1 : d(f(x), b1) <ε

2,

∀ε > 0 : ∃A2 ∈ D | ∀x ∈ A2 : d(f(x), b2) <ε

2.

Sea A ≡ A1 ∩ A2. Entonces A es una dirección en D(f) ∩ D(g) y ∀x ∈ A se cumplen las

dos aseveraciones anteriores. En virtud de la concordancia de (L, d) tenemos

d(f(x) + g(x), b1 + b2) = d(f(x), b1 + b2 − g(x)) = d(f(x) − b1, b2 − g(x)) ≤

≤ d(f(x) − b1,⊙) + d(⊙, b2 − g(x)) =

= d(f(x), b1) + d(g(x), b2) <ε

2+

ε

2= ε,

y por tanto

lımD

[f(x) + g(x)] = b1 + b2 = lımD

f(x) + lımD

g(x). �

3Un espacio es métrico-lineal concordante si se cumplen: i)la semihomogeneidad de la distancia:

d(αx, αy) = |α|d(x, y); ii) la invariabilidad con respecto a los desplazamientos: d(x+z, y+z) = d(x, y).

Ejemplos de tales espacios son (Rn, dp) y (C[a, b], dp).

24

En particular, para el caso S = L = R obtenemos para las funciones reales el popular

teorema acerca de que “el límite de la suma es la suma de los límites” .

Para el otro teorema del cálculo elemental según el cual ‘‘el límite del producto es el

producto de los límites” , tenemos la siguiente generalización.

Teorema 2.3. Sean S un cojunto cualquiera, L un espacio lineal euclídeo, i.e., con

producto escalar o interno 〈· | ·〉 definido, y revestido con la norma4 ordinaria (i.e.,

‖u‖ ≡√〈u | u〉).

Sean además f, g : S → L y D una dirección en el conjunto D(f) ∩ D(g), y considérese

el funcional (en general complejo)

fg : D(f) ∩ D(g) −→ C

x 7−→ (fg)(x) ≡ 〈f(x)|g(x)〉.Supóngase finalmente que en L existen

lımD

f(x) ≡ b1 y lımD

g(x) ≡ b2.

Entonces existe

lımD

(fg)(x) = 〈b1|b2〉.

Demostración. Según la hipótesis del teorema tenemos que

∀ε > 0 : ∃A1 ∈ D | x ∈ A1 ⇒ ‖f(x) − b1‖ < ε,

∃A2 ∈ D | x ∈ A2 ⇒ ‖g(x) − b2‖ < ε.

Utilizando la desigualdad de Cauchy-Buñakovski (ver, por ejemplo, [7]), según la cual en

todo espacio euclídeo normado se tiene

|〈u | v〉| ≤ ‖u‖ · ‖v‖ ,

4Como lo recordadará el lector, toda norma genera una métrica.

25

para los x ∈ S tales que x ∈ A ≡ A1 ∩ A2 tendremos

∣∣∣∣(fg)(x) − 〈b1 | b2〉∣∣∣∣ =

∣∣∣∣〈f(x)|g(x)〉 − 〈b1|b2〉∣∣∣∣ =

=

∣∣∣∣〈f(x) | g(x)〉 − 〈b1 | b2〉 + 〈f(x) | b2〉 − 〈f(x) | b2〉 + 〈b1 | g(x)〉

− 〈b1 | g(x)〉 + 〈b1 | b2〉 − 〈b1 | b2〉∣∣∣∣ =

=

∣∣∣∣〈f(x) | g(x)〉 − 〈f(x) | b2〉 − 〈b1 | g(x)〉 + 〈b1 | b2〉 + 〈f(x) | b2〉

− 〈b1 | b2〉 + 〈b1 | g(x)〉 − 〈b1 | b2〉∣∣∣∣ =

=

∣∣∣∣ 〈f(x) − b1 | g(x) − b2〉 + 〈f(x) − b1 | b2〉 + 〈b1 | g(x) − b2〉∣∣∣∣ ≤

≤∣∣∣∣ 〈f(x) − b1 | g(x) − b2〉

∣∣∣∣+∣∣∣∣ 〈f(x) − b1 | b2〉

∣∣∣∣+∣∣∣∣ 〈b1 | g(x) − b2〉

∣∣∣∣ ≤

≤‖f(x) − b1‖ · ‖g(x) − b2‖ + ‖f(x) − b1‖ · ‖b2‖ + ‖b1‖ · ‖g(x) − b2‖ ≤

<ε.ε + ε ‖b2‖ + ε ‖b1‖ = ε(ε + ‖b2‖ + ‖b1‖),

es decir,

x ∈ A ⇒ |〈f(x) | g(x)〉 − 〈b1 | b2〉| < ε(ε + ‖b2‖ + ‖b1‖).

Esta última expresión se puede hacer -según el principio arquimediano de los reales- tan

pequeña como se quiera tomando ε suficientemente pequeño, y por lo tanto

lımD

(fg)(x) = lımD〈f(x)|g(x)〉 = 〈lım

Df(x)| lım

Dg(x)〉 = 〈b1 | b2〉, Q.E.D. �

Es claro que si S = L = R (o si S = L = C) y el producto interno es el producto común

de funciones reales y complejas, del teorema demostrado se obtiene como caso particular

el ya mencionado del cálculo elemental.

26

Teorema 2.4 (de la conservación del signo para funcionales reales). Sean S

un conjunto cualquiera, D una dirección en S y f : S −→ R. Supóngase que existe

lımD

f(x) ≡ a > 0. Entonces

∃B ∈ D | ∀x ∈ B : f(x) > 0.

Demostración. Tenemos por hipótesis que

∀ε > 0 | ∀x ∈: d0(f(x), a) < ε.

En otras palabras,

−ε < f(x) − a < ε,

o lo que es lo mismo,

a − ε < f(x) < a + ε.

Como a es positivo, para valores de ε menores que a tendremos

a − ε > 0,

así que existirá

B ⊂ A | ∀x ∈ B : f(x) > 0, Q.E.D. �

Teorema 2.5. Sean S un conjunto cualquiera, D una dirección en S y f, g : S −→ R, y

supóngase que existen

lımD

f(x) ≡ a > 0 y lımD

g(x) ≡ b.

Entonces

∃ lımD〈f(x)〉g(x) = ab.

27

Demostración. Por el teorema anterior tenemos que ∃A ∈ D | ∀x ∈ A : f(x) > 0.

Entonces

∀x ∈ A : 〈f(x)〉g(x) = 〈eln(x)〉g(x) = eg(x). ln f(x).

En virtud del Teorema 2.3 tendremos entonces

〈f(x)〉g(x) = eg(x) ln f(x) −→D

eb ln a = ab. �

2.2. La integral de Riemann como límite

Es conocida la dificultad de escribir la integral definida de Riemann de una función real

en notación de límites. Sin embargo, se puede definir la integral de una función sobre un

intervalo como el límite con respecto a cierta dirección de un cierto funcional real definido

sobre las particiones del intervalo. Veamos.

Definición 2.1. Consideŕese un intervalo cerrado I = [a, b]. Una partición del intervalo

I es un subconjunto finito de puntos.

P = {x0, x1, x2, ..., xn ∈ [a, b] | a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b} .

El intervalo Ik = [xk−1, xk] ⊂ [a, b] lo llamaremos k-ésimo subintervalo de la partición.

La longitud de Ik la denotaremos ∆kx; es decir,

∆kx ≡ xk − xk−1.

La clase de todas las particiones posibles de un intervalo [a, b] la denotaremos P [a, b].•

Definición 2.2. Sea P ∈ P [a, b]. Llamaremos módulo de la partición la mayor de las

longitudes de los subintervalos de P , y la denotaremos |P |; es decir,

|P | ≡ maxk∈[1:n]

{∆kx} .•

28

Definición 2.3. Dada una partición P ∈ P [a, b], de un conjunto de puntos [ξ1, ξ2, ...ξn]

tales que ∀k ∈ [1 : n] : ξk ∈ Ik, diremos que es una selección de puntos interme-

dios de la partición P , y la denotaremos Ξp. La unión de una partición P con una de

sus selecciones de puntos intermedios la llamaremos partición con puntos marcados.

El conjunto de todas las posibles particiones con puntos marcados del intervalo [a, b] lo

denotaremos P [a, b].•

Recordemos que para una función real definida y acotada en un intervalo [a, b] su integral

de Riemann se define por lo general de la siguiente manera:

Inicialmente se define una “suma de Riemann para la función f con respecto a la partición

P ∈ P [a, b] ”, denotada mediante S(P, f), como la suma

n∑

k=1

f(ξk)∆kx.

Se dice que f es Riemann-integrable en [a, b] (y se escribe f ∈ R [a, b]), si existe un número

real I tal que para todo ε > 0 existe un δε tal que para toda P ∈ P [a, b] con |P | < δε se

cumple que |S(P, f) − I| < ε. A su vez, el número real I se representa comob∫

a

f .

En el caso particular en que se toman particiones con subintervalos de igual longitud, es

decir, ∀k ∈ [1 : n] : ∆kx = b−an

, se puede escribir

b∫

a

f = lımn→∞

n∑

k=1

f(ξk)∆kx,

o bienb∫

a

f = lım|P |→0

n∑

k=1

f(ξk)∆kx.

En este caso estaríamos definiendo la integralb∫

a

f como el límite con respecto a la dirección

29

n → ∞ del funcional real

I : N −→ R

n 7−→ IΞ(n) ≡ b − a

n

n∑k=1

f(ξk).

Para escribir en el caso general la integral como un límite definimos un sistema D de

subconjuntos de P [a, b] de la siguiente manera:

Dr ≡{

P ∈ P [a, b] | |P | < r}

,

D ≡{

Dr ⊂ P [a, b] | r > 0}

.

Evidentemente D es una dirección en P [a, b], puesto que si r1 < r2 entonces Dr1 ⊂ Dr2 y⋂r>0

Dr = φ.

En consecuencia, para una función real concreta f definida y acotada en un intervalo [a, b]

podemos definir el funcional real

S : P [a, b] −→ R

P 7−→ S(P, f) ≡n∑

k=1

f(ξk)∆kx.

Si existe lımD

S(P, f), ese límite lo denotamosb∫

a

f :

lımD

S(P, f) ≡b∫

a

f.

2.3. Límites en el caso de funciones reales

Ejemplo 2.1. Sea f(x) = x2. Demuéstrese que lımx→3

f(x) = 9.

Evidentemente, para cualquier ε > 0 se puede tomar la dirección{ ◦

B (3, δ)}

, en donde

δ ≤√

9 + ε − 3 (aquí se aprovecha el hecho de que en la parte positiva del eje horizontal

la función es estrictamente creciente y convexa). Por lo tanto

x ∈ B(3,√

9 + ε − 3)⇒ f(x) ∈ (9 − ε, 9 + ε) .•

30

9 − ε

9 + ε

√9 − ε

√9 + ε3

9

Figura 4. lımx−→3

x2 = 9.

Lema 2.1 (propiedad arquimediana de los reales). Sean x ∈ R y a ∈ R+. Entonces

∃n ∈ N1 | na > x.

Demostración. Como a > 0, entonces lo que afirma el teorema es que ∀c =x

a, con x ∈ R

y a ∈ R+ : ∃n ∈ N1 | n >

x

a. Si así no fuera, es decir, si ∃c =

x

a| ∀n ∈ N1 : n ≤ c,

eso querría decir que N es acotado superiormente. Luego la afirmación del teorema es

cierta. �

Lema 2.2. Sea a ∈ (1,∞) . Entonces ∃N ∈ N1 | ∀n ≥ N : an > n.

Demostración. Si a > 1 entonces a = 1 + p, para un cierto p positivo. Entonces

an = (1 + p)n = 1 + np +n(n − 1)

2p2 + ... + npn−1 + pn > n(n − 1)

p2

2.

Para n suficientemente grande se tendrá, por la propiedad arquimediana,

(n − 1)p2

2> 1,

y por lo tanto an > n. �

31

Teorema 2.6. Sea a ∈ (0, 1) . Entonces lımn→∞

an = 0.

Demostración. Como a < 1 ⇒ 1

a> 1, entonces por el lema anterior se cumple que

∃n ∈ N |(

1

a

)n

> n,

es decir, an <1

n, luego lım

n→∞an = 0. �

Teorema 2.7. Sea a ∈ R. Entonces lımn→∞

(n + a)1n = 1.

Demostración. Tenemos, para n suficientemente grande, y aplicando el teorema del bi-

nomio,

n + a =[(n + a)

1n

]n=[1 +

⟨(n + a)

1n − 1

⟩]n=

= 1 + n⟨(n + a)

1n − 1

⟩+

n (n − 1)

2

⟨(n + a)

1n − 1

⟩2

+ ... +⟨(n + a)

1n − 1

⟩n

>

>n (n − 1)

2

⟨(n + a)

1n − 1

⟩2

> 0,

de donde

0 <⟨(n + a)

1n − 1

⟩2

<2 (n + a)

n (n − 1)=

2

n − 1+

2a

n (n − 1)−−−→n→∞

0.

Pero el Teorema del emparedado 2.1 concluimos que

lımn→∞

(n + a)1n = 1. �

En particular, tomando en el teorema anterior a = 0 tenemos

lımn→∞

n1n = 1.

Corolario 2.1. Si a ∈ R, entonces lımx→∞

(x + a)1x = 1.

32

Demostración. En virtud del teorema tenemos, para x suficientemente grande,

1 < (x + a)1x < ([x] + 1 + a)

1x ≤ ([x] + (1 + a))

1[x] ≡ (n + b)

1n −−−−→

x→+∞1,

en donde n ≡ [x], y por el teorema del emparedado se cumple lo afirmado. �

En particular, si a = 0 entonces lımx→∞

x1x = 1.

2.4. El número e

Definición 2.4. Sean S un conjunto arbitrario, f un funcional real definido sobre él y D

una dirección en S. Se dice que f es creciente (correspondientemente, estrictamente

creciente) en D, y se escribe f ր (f ↑) si dados A,B ∈ D tales que B ⊂ A, sean cuales

sean los elementos x ∈ A−B y y ∈ B se cumple que f(x) ≤ f(y) (correspondientemente,

f(x) < f(y)).•

De manera análoga se definen funcional decreciente y estrictamente decreciente.

El nombre común para ambos casos es el de funcional monótono (estrictamente

monótono).

Definición 2.5. Sean S un conjunto arbitrario, f un funcional real definido sobre él

y D una dirección en S. Se dice que f es acotado superiormente en D si existe un

M ∈ R tal que ∀A ∈ D se tiene f(x) ≤ M. Análogamente se define funcional aco-

tado inferiormente en una dirección. De un funcional que sea acotado tanto superior

como inferiormente en una misma dirección se dice simplemente que es acotado en esa

dirección.•

Ejemplo 2.2. Sea

f : R → R

x 7→ f(x) ≡ 1x2 .

33

Evidentemente f ↑ en la dirección D ≡{

◦B(0, r), r > 0

}, f ↓ en las direcciones x −→ −∞

y x −→ ∞.•

Ejemplo 2.3. Del funcional del ejemplo anterior se puede decir que es acotado infe-

riormente en cualquier dirección que se defina en R − {0}. Por otra parte, es acotado

superiormente en cualquier dirección D ≡{

◦B(x0, r) | x0 6= 0 ∧ r < |x0|

}.•

Lema 2.3 (desigualdad de Bernoulli (Jacob, 1654-1705)). Sean

x1, x2, ..., xn ∈ (−1, 0) ∨ x1, x2, ..., xn ∈ [0,∞) , n ∈ Z+. (2.4)

Entonces

(1 + x1) (1 + x2) ... (1 + xn) ≥ 1 + x1 + x2 + ... + xn. (2.5)

Demostración. La afirmación es trivial para n = 1 y n = 2. Supóngase que para un cierto

k > 2 se tiene

(1 + x1) (1 + x2) ... (1 + xk) ≥ 1 + x1 + x2 + ... + xk.

Multiplicando ambos miembros de esta desigualdad por el número positivo 1+xk+1 obten-

emos

(1 + x1) (1 + x2) ... (1 + xk) (1 + xk+1) ≥ (1 + x1 + x2 + ... + xk) (1 + xk+1) ,

y puesto que

(x1 + x2 + ... + xk) xk+1 ≥ 0,

eso significa que

(1 + x1) ... (1 + xk+1) ≥ 1 + x1 + x2 + ... + xk+1,

o sea que la afirmación vale también para k +1. Por el principio de inducción matemática

podemos decir que el lema queda demostrado para cualquier n ∈ Z+. �

Corolario 2.2. Sea x ∈ [−1,∞). Entonces

∀n ∈ Z+ : (1 + x)n ≥ 1 + nx. (2.6)

34

Demostración. Si x = −1 entonces 1 + x = 0 y 1 + nx = 1 − x ≤ 0, y la desigualdad

se cumple. Si x > −1, tomamos en el lema x1 = x2 = ... = xn ≡ x, y obtenemos la

desigualdad del corolario. �

Nota. Si x = 0 ó n = 1 entonces se tiene sólo la igualdad en el corolario. Pero si

x ∈ (−1, 0)∪ (0,∞) y n ≥ 2 la demostración del lema puede hacerse exclusivamente para

desigualdades estrictas. Por lo tanto,

x ∈ (−1, 0) ∪ (0,∞) ∧ n ∈ N2 =⇒ (1 + x)n > 1 + nx. (2.7)

Obsérvese además que si x es no negativo la desigualdad (2.7) se desprende trivialmente

de la fórmula para las potencias del binomio, puesto que siendo todos los términos de la

suma no negativos, ella es mayor o igual que la suma de los dos primeros. Adicionalmente,

el lector podrá demostrar sin mayor dificultad que en (2.6) el dominio de la x se puede

extender hasta −2, pero no más allá. Es decir,

x ∈ [−2,∞) ∧ n ∈ N1 ⇐⇒ (1 + x)n ≥ nx.

Teorema 2.8. Sean {xn} y {yn} dos sucesiones reales dadas por las fórmulas

xn ≡(

1 +1

n

)n

, (2.8)

yn ≡(

1 +1

n

)n+1

, (2.9)

con n ∈ N1. Entonces:

a) {xn} es estrictamente creciente y acotada superiormente en la dirección n → ∞;

b) {yn} es estrictamente decreciente y acotada inferiormente en la dirección n → ∞;

c) supn∈N1

{xn} = infn∈N1

{yn}.

35

Demostración. a) A partir de las definiciones (2.8) y (2.9), y en virtud de la desigualdad

(2.6), tenemos

xn+1

xn

≡(1 + 1

n+1

)n+1

(1 + 1

n

)n =

(1 + 1

n+1

)n+1 (1 + 1

n

)(1 + 1

n

)n+1 =

=

[n (n + 2)

(n + 1)2

]n+1(n + 1

n

)=

[n2 + 2n + 1 − 1

n2 + 2n + 1

]n+1(n + 1

n

)=

=

[1 − 1

(n + 1)2

]n+1(n + 1

n

)>

[1 − 1

n + 1

](n + 1

n

)= 1,

y por lo tanto xn < xx+1, de suerte que {xn} ↑ .

b) Nuevamente con ayuda de (2.6) tenemos

yn

yn+1

=

(1 + 1

n

)n+1

(1 + 1

n+1

)n+2 =

(1 + 1

n

)n+2

(1 + 1

n+1

)n+2 (1 + 1

n

) =

=

[(n + 1)2

n (n + 2)

]n+2(n

n + 1

)=

=

[1 +

1

n (n + 2)

]n+2(n

n + 1

)>

[1 +

1

n

](n

n + 1

)= 1,

de donde yn > yn+1, así que {yn} ↓ .

c) Por otra parte,

2 = x1 < x2 < ... < xn ≡(

1 +1

n

)n

<

(1 +

1

n

)n(1 +

1

n

)≡

≡ yn < yn−1 < ... < y2 < y1 = 4, (2.10)

de tal suerte que {xn} es acotada superiormente y {yn} inferiormente. Por consi-

guiente, existen

supn∈N1

{xn} ≡ α, y infn∈N1

{yn} ≡ β,

y en consecuencia podemos también escribir

lımn→∞

xn ≡ α y lımn→∞

yn ≡ β.

En (2.10) vemos que cada elemento de {xn} está acotado superiormente por el

correspondiente elemento de {yn}. Pero podemos demostrar más: que cada xi es

36

cota inferior de toda la sucesión {yn}, y viceversa, que cada yi es cota superior de

toda la sucesión {xn}. En efecto, si i < j entonces

xi < xi+1 < xi+2 < ... < xj < yj,

y si i > j,

xi < yi < yi−1 < yi−2 < ... < yj.

Así pues,

∀i, j ∈ N : xi < yj.

Ahora es fácil ver que α = β. En efecto, en virtud de (2.8)-(2.9) tenemos que

0 < yn − xn =

(1 +

1

n

)n+1

−(

1 +1

n

)n

=

(1 +

1

n

)n [1 +

1

n− 1

]=

xn

n<

4

n,

i.e.,

0 < yn − xn =4

n. (2.11)

Entonces d0 (xn, yn) → 0, para concluir finalmente que α = β. �

La conducta de las sucesiones {xn} y {yn} se ha visualizado en la Figura 5.

| | | | | | ||||||||| | | | | | |2 4α = β{xn} {yn}

Figura 5. Modelos de las sucesiones {xn} y {yn} dadas por (2.7) y (2.8).

Es bien sabido que el número de nuestra discusión tiene nombre propio:

supn∈N

{(1 +

1

n

)n}= lım

(1 +

1

n

)n

≡ e.

Teorema 2.9. lımn→∞

(1 + 1

x

)x= e.

37

Demostración. Hagamos [x] + 1 ≡ m ∈ N. Tenemos entonces, por las propiedades ele-

mentales de los reales,

(1 +

1

x

)x

>

(1 +

1

[x] + 1

)x

≥(

1 +1

[x] + 1

)[x]

=

(1 + 1

[x]+1

)[x]+1

(1 + 1

[x]+1

) =

=

([x] + 1

[x] + 2

)(1 +

1

[x] + 1

)[x]+1

=

(m

m + 1

)(1 +

1

m

)m

i.e.,m

m + 1

(1 +

1

m

)m

<

(1 +

1

x

)x

. (2.12)

Por otra parte, si hacemos [x] ≡ n ∈ N obtenemos

(1 +

1

x

)x

<

(1 +

1

[x]

)[x]+1

=

(1 +

1

[x]

)(1 +

1

[x]

)[x]

=n + 1

n

(1 +

1

n

)n

,

es decir, (1 +

1

x

)x

<n + 1

n

(1 +

1

n

)n

. (2.13)

De (2.12) y (2.13) obtenemos

m + 1

m

(1 +

1

m

)m

<

(1 +

1

x

)x

<n + 1

n

(1 +

1

n

)n

,

y puesto que en virtud de los Teoremas 2.2 y 2.3

lımx→∞

m + 1

m

(1 +

1

m

)m

= lımx→∞

n + 1

n

(1 +

1

n

)n

= 1.e = e,

por el Teorema del emparedado 2.1 obtenemos la afirmación del teorema. �

Nota: Es obvio que el anterior teorema lo podemos reformular como

lımx→∞

(1 + x)1x = e.

38

2.5. Orden de crecimiento de las funciones elementales reales

De gran importancia en las aplicaciones resulta el conocimiento del orden de crecimiento

de los diferentes tipos de funciones elementales, esto es, de las potenciales, logarímicas,

exponenciales y factoriales. Nos referimos, pues, a las funciones de la forma xa, logb x, cx

y x!. Como se sabe, en el primer caso la función es creciente con cualquier a ∈ (0,∞), y

la segunda y tercera lo son con cualesquiera b, c ∈ (1,∞) (para valores negativos de a, y

positivos menores que 1 de b y c, las tres son decrecientes). Es evidente, por ejemplo, que

la función dada por la fórmula f(x) = x20 crece supremamente rápido después del punto

x = 1, mientras que la función g(x) = 2x

100 lo hace con lentitud extrema durante un buen

trecho (véanse figuras 6 y 7). Sin embargo, como veremos inmediatamente,

lımx→∞

x20

2x

100

= 0,

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8

10

20

30

40

50

60

70

80

90

x

f(x)

Figura 6. Gráfica de la función f(x) = x20 en el segmento x ∈ [0, 2].

lo que quiere decir -¡aunque la vista no lo crea!- que en algún momento la función g alcanza

en su ascenso a la función f , y de ahí en adelante la supera ampliamente (dicho sea de

paso, la ecuación x20 = 2x

100 tendrá por lo tanto en la parte positiva del eje horizontal dos

soluciones, a pesar de no visualizarse eso en las figuras 6 y 7).

39

20 40 60 80

1

2

3

x

g(x)

Figura 7. Gráfica de la función g(x) = 2x

100 en el segmento x ∈ [0, 100].

Si nos referimos, pues, a las funciones crecientes ya nombradas mediante las abreviaciones

pot, log, exp, fact, y empleando el símbolo ≺ para el sintagma “crece más lento que”,

tenemos el siguiente importante teorema:

Teorema 2.10. log ≺ pot ≺ exp ≺ fact.

Demostración. Consideremos las funciones5

l : R −→ R

x 7−→ l(x) ≡ loga x, a ∈ (1,∞) ,

p : R −→ R

x 7−→ p(x) ≡ xb, b ∈ (0,∞) ,

e : R −→ R

x 7−→ e(x) ≡ cx, c ∈ (1,∞) ,

f : R −→ R

x 7−→ f(x) ≡ x!

5Recuerdesé que x! = Γ(x + 1) (función Gamma), y que para los valores enteros no negativos n de x

se tiene simplemente Γ(n + 1) = n!

40

En estas condiciones se cumple que:

lımx→∞

l(x)

p(x)= lım

x→∞

p(x)

e(x)= lım

x→∞

e(x)

f(x)= 0,

i.e., que

lımx→∞

loga x

xb= lım

x→∞

xb

cx= lım

x→∞

cx

x!= 0.

En efecto:

a) Demostremos que

lımx→∞

loga x

xb= 0.

Utilizando la conocida fórmula

loga x =logA x

logA a,

y tomando logA x = ln x, tenemos en virtud del Colorario 2.1,

loga x

xb=

(ln x

ln a

)

xb=

1

ln a

ln x

xb=

1

ln a

ln(xb) 1

b

xb=

=1

b ln a

ln(xb)

xb=

(1

b ln a

)ln[(

xb) 1

xb

]−−−−→xb→∞

(1

b ln a

)ln 1 = 0. �

b) Demostremos que

lımx→∞

xb

cx= 0.

Sean [x] ≡ n y c1b ≡ 1 + α, α > 0. Entonces

xb

cx=

xb

(c

xb

)b =( x

cxb

)b

=

x⟨

c1b

⟩x

b

=

(x

(1 + α)x

)b

≤(

x

(1 + α)⌊x⌋

)b

<

<

[n + 1

1 + nα + n(n−1)2

α2 + ... + αn

]b

<

(n + 1

n(n−1)2

α2

)b

=

[1 + 1

n

(n−1)2

α2

]b

< ε,

para cualquier ε > 0 tomando valores de x suficientemente grandes. �

41

c) Finalmente demostremos que

lımx→∞

cx

x!= 0.

En efecto, para cualesquier x tal que [x] > [c + 1] tendremos

0 ≤ cx

x!<

c[x]+1

[x]!= c

c[x]

[x]!=

= c( c

1

)( c

2

)( c

3

)...

(c

[c]

)(c

[c + 1]

)...

(c

[x]

).

Hagamos

M ≡ c( c

1

)( c

2

)...

(c

[c]

).

Entonces

0 ≤ cx

x!< M

(c

[c] + 1

)(c

[c] + 2

)...

(c

[x]

)< M

(c

[c] + 1

)[x]−[c]

.

Comoc

[c] + 1< 1, en virtud del Teorema 2.6 tendremos, dado cualquier ε > 0, que

para valores de x suficientemente grandes,

0 ≤ cx

x!< ε,

y eso significa que lımx→∞

cx

x!= 0. �

Ejemplo 2.4. Sea a > 0. Entonces lımx→0+

xa ln x = 0.

Hagamos x = 1y; entonces x → 0+ ⇔ y → ∞. Así que

xa ln x =

(1

y

)a

ln

(1

y

)=

1

ya(0 − ln y) = − ln y

ya−−−→y→∞

0−,

en virtud del Teorema (2.7) acerca del orden de crecimiento de las funciones. •

Corolario 2.3. lımx→∞

(1 +

a

x

)x

= ea.

Demostración. Sea a ∈ R; entonces:

42

i) Si a = 0 el caso es trivial.

ii) Si a > 0 entonces

(1 +

a

x

)x

=

⟨(1 +

1xa

)xa

⟩a

−−−→x→∞

〈e〉a = ea.

iii) Si a < 0 tenemos

(1 +

a

x

)x

=

(1x

x+a

)x

=1(

1 + −ax+a

)x =1

⟨(1 + −a

x+a

)x+a−a

⟩ −ax+a

x;

pero como para valores grandes de x se tiene−a

x + a> 0, en virtud de la Nota al

final del Teorema 2.9 tendremos

(1 +

a

x

)x

=1

⟨(1 + −a

x+a

)x+a−a

⟩ −a

1+ ax

−−−→x→∞

1

e−a= ea. �

Ejemplo 2.5. Análisis detallado de la función:

f : R −→ R

x 7−→ f(x) =

(1 +

1

x

)x

.

1) Determinación del dominio: puesto que para que la expresión exponencial de la forma

ax tenga sentido se necesita que a > 0, se debe cumplir que

1 +1

x> 0,

es decir, que x ∈ (−∞,−1)∪ (0,∞) , y este último conjunto será el dominio natural

de la función f .

2) Utilizando métodos similares a los utilizados en la demostración del Teorema 2.9 se

puede comprobar que la función f es estrictamente creciente en todo su dominio.

43

1 2 3−1−2−3

2

4

6

8

10

1

0

Figura 8. Gráfica de la función f(x) = (1 + 1x)x.

3) lımx→−∞

f(x) = e. En efecto, sea x ≡ −y, x −→ −∞ ⇔ y −→ ∞.

(1 +

1

x

)x

=

(1 +

1

−y

)−y

=1(

1 + −1y

)y ,

en virtud del Colorario 2.2,

1(1 + −1

y

)y −−→→∞

1

e−1= e,

luego

lımx→−∞

(1 +

1

x

)x

= e.

4) lımx→0+

f(x) = 1. En efecto, pongamos x ≡ 1y. Entonces x → 0+ ⇔ y → ∞, así que

(1 +

1

x

)x

= ex ln(1+ 1x) = e

ln(1+y)y .

Del Teorema 2.9 acerca del orden de crecimiento de las funciones es evidente que

44

C A

D

x

B

O

Figura 9. Círculo de radio unidad.

ln (1 + y)

y−−−→y→∞

0,

luego (1 +

1

x

)x

−−−→x→0+

e0 = 1.

5) lımx→∞

f(x) = e. Ya demostrado en el parágrafo 2.4. •

Ejemplo 2.6. Sea

f : R −→ R

x 7−→ f(x) ≡ sen x

x.

Evidentemente 0 no es punto del dominio de f , pero sí punto de acumulación para el

mismo, por lo que tiene sentido preguntarse por el lımx→0

sen x

x.

Si construimos un círculo de radio unidad, dado el arco AB de longitud µ (AB) = x

podemos construir tres figuras geométricas cerradas y sucesivamente encajadas, por lo

cual sus áreas irán de menor a mayor: ellas son (ver Figura 9) el triángulo rectángulo

OCB,el sector circular OAB y el triángulo rectángulo OAD. Como, por otra parte, y por

45

la definición misma de las funciones trigonométrica, µ (CB) = sen x, µ (OC) = cos x, y

µ (AD) = tan x, de acuerdo con lo dicho tendremos6

1

2cos x sen x <

1

2x <

1

2tan x,

y de aquí,

cos x <x

sen x<

1

cos x,

o, lo que es lo mismo,1

cos x>

sen x

x> cos x.

Aplicando el Teorema 2.1 del emparedado tenemos que

sen x

x−−→x→0

1.•

Ejemplo 2.7. Calcúlese lımx→0

1 − cos x

x.

Tenemos

1 − cos x

x=

1 − cos2 x

x (1 + cos x)=

sen2 x

x (1 + cos x)=

sen x

x.

sen x

1 + cos x−−→x→0

1.0

2= 0,

es decir,

lımx→0

1 − cos x

x. = 0.•

Ejemplo 2.8. Calcúlese

lımx→0

(cos x)1x .

Utilizando el resultado del ejemplo anterior tenemos

(cos x)1x = (1 + (cos x − 1))

1x =

⟨(1 + (cos x − 1))

1cos x−1

⟩( cos x−1x )

−−→x→0

e0 = 1,

i.e.,

lımx→0

(cos x)1x = 1.•

6Aquí hay que hacer una importante salvedad. La fórmula que utilizamos para el cálculo del área A

del sector circular de radio r, A = 1

2r2x, en donde x es el ángulo del sector expresado en radianes, no

es de ninguna manera elemental. Baste decir que las “demostraciones” que de ella aparecen en los textos

corrientes son tautológicas.

46

Ejemplo 2.9. Calcúlese

lımx→0

(cos x)1

x2 .

Tenemos:

(cos x)1

x2 =⟨(1 + (cos x − 1))

1cos x−1

⟩ cos x−1

x2

.

Perocos x − 1

x2=

cos2 x − 1

x2 (cos x + 1)= −

(sen x

x

)2 1

cos x + 1−−→x→0

−1

2,

en consecuencia

(cos x)1

x2 = 〈(1 + (cos x − 1))1

cos x−1 〉 cos x−1

x2 −−→x→0

e−12 =

1√e,

es decir,

lımx→0

(cos x)1

x2 =1√e.•

Ejemplo 2.10. Calcúlese lımx→0

(cos x)1

x3 .

Tenemos

(cos x)1

x3 = 〈(cos x)1

x2 〉 1x .

Según el ejemplo anterior (cos x)1

x2 −−→x→0

1√e

< 1, y como 1x−−→x→0

∞, por el Teorema 2.5

tendremos

lımx→0

(cos x)1

x3 = 0.•

47

Referencias

[1] CAUCHY Agustin-Louis. Analyse algébrique, École polytechnique, Paris, 1821; Leçons

sur le calcul différentiel, École polytechnique, Paris, 1829. (Existe traducción castella-

na: Curso de análisis, Mathema, UNAM, México, 1994).

[2] KRYJANOWSKY Dimitry. Nouvelles Annales de Mathématiques. Ser. 4., Vol. 14

(1914), pp. 49-64.

[3] MOORE E. H., SMITH H. L. “A General Theory of Limits”. American Journal of

Mathematics, Vol. 44 (1922), No. 2 (Apr.), pp. 102-121.

[4] SHÍLOV G. E. Análisis matemático: funciones de una sola variable (en ruso). Edi-

torial Naúka, Moscú, 1969. (Existe traducción inglesa: Elementary Real and Complex

Analysis. Dover Books in Mathematics, Mineola, N. Y., 1996).

[5] BOURBAKI Nicolas. Topologie Général. Masson, Paris, 1997.

[6] APOSTOL T. M. Análisis Matemático. Reverté, Barcelona, 1982.

[7] KOLMOGÓROV A.N., FOMÍN S.V. Elementos de la teoría de funciones y del análisis

funcional. Editorial Mir, Moscú, 1972.

[8] MAYORGA Bernardo. Libro de lectura de cálculo. UIS, Bucaramanga, 1996.