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Por Lic. María de la Luz Pérez Limón. UNIDAD I. GRUPOS Y SUBGRUPOS. ACTIVIDAD NO.1 GRUPOS Y SUBGRUPOS Conceptos de: SIMETRÍA: Rasgo característico de formas geométricas, sistemas de ecuaciones y otros objetos materiales, o entidades abstractas relacionadas con su invariancia bajo ciertas transformaciones, movimientos o intercambios. Dos objetos son simétricos uno al otro si en lo que concierne a un grupo dado de operaciones si uno es obtenido de otro por algunas operaciones y viceversa. OPERACIÓN BINARIA: Una operación binaria es aquella que al operar dos números (de ahí su nombre) se obtiene un tercero. GRUPO: Un grupo es una estructura algebraica que consta de un conjunto con una operación que combina cualquier pareja de sus elementos para formar un tercer elemento. Para que este califique como grupo, estas condiciones son: *Tener propiedad asociativa *tener elemento identidad. *tener elemento inverso. SUBGRUPO: Dado un grupo G con una operación binaria *, se dice que un subconjunto no vacío H de G es un subgrupo de G , si y solo si H también forma un grupo bajo la operación binaria *, es decir, si H satisface los axiomas del grupo G. ORDEN DE UN GRUPO: El orden de un grupo es su cardinal, y se denota por |G|. Orden de un elemento de un grupo: El orden de un elemento a perteneciente a G es: GRUPO CÍCLICO:
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Por Lic. María de la Luz Pérez Limón.
UNIDAD I. GRUPOS Y SUBGRUPOS. ACTIVIDAD NO.1 GRUPOS Y SUBGRUPOS
Conceptos de:
SIMETRÍA:
Rasgo característico de formas geométricas, sistemas de ecuaciones y otros objetos
materiales, o entidades abstractas relacionadas con su invariancia bajo ciertas
transformaciones, movimientos o intercambios. Dos objetos son simétricos uno al otro si
en lo que concierne a un grupo dado de operaciones si uno es obtenido de otro por
algunas operaciones y viceversa.
OPERACIÓN BINARIA:
Una operación binaria es aquella que al operar dos números (de ahí su nombre) se obtiene un tercero. GRUPO:
Un grupo es una estructura algebraica que consta de un conjunto con una operación que
combina cualquier pareja de sus elementos para formar un tercer elemento. Para que
este califique como grupo, estas condiciones son:
*Tener propiedad asociativa
*tener elemento identidad.
*tener elemento inverso.
SUBGRUPO:
Dado un grupo G con una operación binaria *, se dice que un subconjunto no vacío H de
G es un subgrupo de G , si y solo si H también forma un grupo bajo la operación binaria
*, es decir, si H satisface los axiomas del grupo G.
ORDEN DE UN GRUPO:
El orden de un grupo es su cardinal, y se denota por |G|.
Orden de un elemento de un grupo:
El orden de un elemento a perteneciente a G es:
GRUPO CÍCLICO:
Es un grupo conmutativo, finito o infinito, que puede ser generado por la multiplicación
reiterada de un solo elemento.
ANTECEDENTES DE LA TEORÍA DE GRUPOS:
La teoría de grupos tiene su origen en el trabajo de E. Galois sobre solubilidad por
radicales de la ecuación anxn+an−1xn−1+· · ·+a1x+a0 = 0. Sin embargo, algunos de los
resultados de la teoría de grupos habían aparecido con anterioridad en trabajos de otros
maten áticos, entre los que se encuentra Cauchy. Por lo anterior, es pertinente señalar que
el término grupo es acuñado y usado sistemáticamente por Galois en su trabajo: “Memoir
on the Conditions for Solvability of Equations by Radicals”, página 101.
Dado que el trabajo de Galois citado versa sobre las raíces de polinomios, el concepto de
grupo usado por Galois se restringe a lo que hoy llamamos el grupo de permutaciones de n
elementos.
La formulación axiomática de la teoría de grupos como se conoce actualmente, se inicia
con el trabajo de H. Weber: “Die allgemeinen Grundlagen der Galois’schen
Gleichungstheorie”. Math. Ann. 43 (1893), 521-549, página 522.
GENERADOR DE UN GRUPO:
En teoría de grupos, un conjunto generador de un grupo G es un subconjunto S de G tal
que todo elemento de G puede ser expresado como el producto de un número finito de
elementos de S y de sus inversos.
Encuentre las simetrías de las siguientes figuras.
Por ser una figura irregular dentro del campo de las matemáticas, y por sus características,
dentro de esta figura solamente existen 2 simetrías.
Esta solamente posee a la rotación identidad e, esto se debe a que solo se puede hacer una
rotación de 360° para que nuestra figura regrese a su posición original, la cual es la única
en la que posee las características necesarias para ser simétrica.
La segunda simetría antes mencionada se compone por una reflexión sobre el eje y, por lo
que:
𝜌𝑦 = (1 2 3 43 2 1 4
)
Esta reflexión, mantiene fijos a los vértices 2 y 4, mientras que invierte a los vértices 1 y 3.
2) De las simetrías que ha encontrado, mencione una composición que dé
como resultado a la figura original.
Como sabemos la rotación identidad es la figura original, por lo cual la composición que se
nos solicita la realizaré mediante la segunda simetría de nuestro grupo.
Yo propongo la composición
Haciendo la comprobación:
𝜌𝑦2 = (
1 2 3 43 2 1 4
) (1 2 3 43 2 1 4
) = (𝟏 𝟐 𝟑 𝟒𝟏 𝟐 𝟑 𝟒
)
3) Una vez investigado lo que es una operación binaria, les pido que escriban
un ejemplo de operación binaria.
Bueno, yo propongo la operación conmutativa siguiente en base a:
La rotación de 180°:𝑟𝜋 = (1 2 3 44 3 2 1
)y la reflexión sobre el eje x 𝜌𝑥 = (1 2 3 43 4 1 2
) de
un rectángulo:
Podemos ver que no se cumple la operación conmutativa.
¿Pueden dar un ejemplo de la vida cotidiana?
Bueno, existen muchos casos de simetría en la vida cotidiana, por ejemplo un reflejo
mediante un espejo, la rotación de la llanta de un automóvil, aunque un caso en el que se
puede aplicar las operaciones binarias podría ser en una llave del agua que tiene forma
circular, ya que esta puede tener distintas rotaciones, e inclusive la rotación identidad,
además por ser un circulo, esta también puede tener reflexiones, por lo que posee las
propiedades necesarias para poseer un grupo de simetrías y así mismo aplicar las
operaciones binarias.
h1
El movimiento de reflexión que hemos usado es una simetría. Sin embargo,
también son simetrías las resultantes de rotar esta molécula, de tal manera que
permanezca invariante, considerándose elemento neutro cuando la figura ha
rotado 360° llegando a su posición original. A esto es a lo que llamamos
“componer” simetrías, pues obtenemos nuevas de éstas, para la misma figura
Aplicamos la reflexión para ph1…
La composición de simetrías es una composición de funciones y por lo tanto se
efectúa de derecha a izquierda.
Podemos numerar los 6 pétalos de la siguiente manera:
h1 h1
1
2 3
1
2
3
Ahora bien, como primera simetría podemos rotar la figura un
ángulo de 𝜋/3 radianes, esto sería:
𝑟𝜋/3 = (1 2 3 4 5 62 3 4 5 6 1
)
Procediendo de la misma manera, tendremos las siguientes
simetrías:
𝑟2𝜋/3 = (1 2 3 4 5 63 4 5 6 1 2
)
𝑟𝜋 = (1 2 3 4 5 64 5 6 1 2 3
)
𝑟4𝜋/3 = (1 2 3 4 5 65 6 1 2 3 4
)
𝑟5𝜋/3 = (1 2 3 4 5 66 1 2 3 4 5
)
𝑟2𝜋 = 𝑒 = (1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6
)
Por otra parte podemos considerar las simetrías de reflexión
siguientes:
Considerando los ejes 𝑦, 𝑦1, 𝑦2, tenemos:
𝜌𝑦 = (1 2 3 4 5 66 5 4 3 2 1
)
𝜌𝑦1 = (1 2 3 4 5 62 1 6 5 4 3
)
𝜌𝑦2 = (1 2 3 4 5 64 3 2 1 6 5
)
Ahora consideramos los ejes:
𝜌𝑥 = (1 2 3 4 5 63 2 1 6 5 4
)
𝜌𝑥1 = (1 2 3 4 5 65 4 3 2 1 6
)
𝜌𝑥2 = (1 2 3 4 5 61 6 5 4 3 2
)
Así tenemos que las simetrías de la figura son:
{𝑟𝜋3, 𝑟2𝜋
3 , 𝑟𝜋, 𝑟4𝜋
3, 𝑟5𝜋
3, 𝑟2𝜋 = 𝑒, 𝜌𝑦, 𝜌𝑦1, 𝜌𝑦2, 𝜌𝑥, 𝜌𝑥1, 𝜌𝑥2}
1. De las simetrías que ha encontrado, mencione una composición
que dé como resultado a la figura original.
Solución:
La composición sería:
𝜌𝑥 ∘ (𝜌𝑦 ∘ 𝑟𝜋)
= (1 2 3 4 5 63 2 1 6 5 4
) [(1 2 3 4 5 66 5 4 3 2 1
) (1 2 3 4 5 64 5 6 1 2 3
)]
= (1 2 3 4 5 63 2 1 6 5 4
) (1 2 3 4 5 63 2 1 6 5 4
) =
(1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6
)
Esta composición consiste en primero rotar π radianes la figura, luego
reflejarla respecto a al eje y, por último, se refleja respecto a x.
2. Una vez investigado lo que es una operación binaria, escriban un
ejemplo de operación binaria. ¿Pueden dar un ejemplo en la vida
diaria?
Una operación binaria, es aquella definida en un conjunto 𝐴 tal que
esta asigna un elemento de 𝐴 a cada par de elementos de 𝐴. Esto quiere
decir, que una operación binaria ∗ la podemos escribir como:
∗: 𝐴 × 𝐴 → 𝐴
Ahora bien, como esta operación devuelve un elemento del mismo
conjunto 𝐴, decimos que es una operación binaria interna o cerrada.
Un ejemplo sería la suma en los números naturales, puesto que si 𝑎, 𝑏
son naturales, su suma 𝑎 + 𝑏 = 𝑐 es también un número natural.
En la vida cotidiana podemos considerar por ejemplo, en el ámbito
ganadero, se tiene un conjunto de 𝑛 bovinos. Luego si quisiéramos
“comparar” cualesquiera dos animales del conjunto pesándolos y
seleccionar el de mayor peso, esta acción sería una operación binaria,
pues toma dos elementos del conjunto, la operación consiste en
comparar los pesos de estos dos elementos y el resultado es un
elemento del mismo conjunto. De forma más clara, sea el conjunto
𝐵 = {𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑛} el conjunto de 𝑛 bovinos. Si pesamos a dos
cualesquiera del conjunto y seleccionamos el de mayor peso
obtendremos como resultado algún 𝑏𝑘 ∈ 𝐵, es decir, un caso particular
podría ser 𝑏𝑗 ∗ 𝑏𝑘 = 𝑏𝑘 donde 𝑏𝑗 , 𝑏𝑘 ∈ 𝐵 y la operación es: ∗: 𝐵 × 𝐵 → 𝐵.
Veo que esta figura únicamente cuenta con dos simetrías, la primera de ellas es la simetría r360º y la segunda simetría es la reflexión con respecto al eje Y que denotaré por rY pude observar que la figura es dividida en dos partes, por lo cual puedo considerar que: r360º=(1,2)->(1,2) rY=(1,2)->(2,1) Ello si considero la imagen como sigue:
Por otro lado el orden del grupo de simetrías es claramente 2, ya que hay únicamente dos simetrías, finalmente se puede ver fácilmente que o(r360º)=1 y además o(rY)=1, por obvias razones Finalmente un ejemplo de operación binaria es aquella que toma dos elementos de un conjunto y los transforma en un elemento del mismo conjunto, un ejemplo de estas operaciones son la suma y el producto de dos números reales, las cuales son operaciones binarias con una aplicación muy concreta en la vida cotidiana. De acuerdo a la figura asignada que corresponde a una letra Z de molde
Rotación:
𝑒 = 𝑟0° = (1 2 3 41 2 3 4
)
Reflexión:
𝑒 = 𝜌𝑦 = (1 2 3 42 1 4 3
)
El grupo de simetría en su rotación y reflexión se define como:
𝐺 = {𝑟0°,𝜌𝑦} = {𝑒, 𝜌𝑦}
Para obtener la figura original como e se considera una composición respecto a la reflexión 𝜌𝑦,
definimos:
𝑒 = 𝜌𝑦°𝜌𝑦
Comprobación:
1. Encuentre las simetrías de la siguiente figura.
La figura que me corresponde es un hexágono de 12 aristas y 12
nodos. Con una arista en cada nodo del hexágono y con la
característica de tener en los nodos 1 y 4 una arista con un nodo
de color rojo, diferente a los otros nodos que son de color azul.
Como la simetría significa tener una invariancia de la entidad
bajo transformaciones, movimientos o intercambios, entonces las
simetrías encontradas dada mi figura son:
Simetría de identidad
id = (1,2,3,4,5,6 1,2,3,4,5,6)
Simetría de rotación
p_1 = (1,2,3,4,5,6 4,5,6,1,2,3)
p_2 = (1,2,3,4,5,6 1,2,3,4,5,6) que me da nuevamente la Simetría
de identidad.
Simetría de reflexión
p_1 = (1,2,3,4,5,6 3,2,1,6,5,4)
p_2 = (1,2,3,4,5,6 1,2,3,4,5,6) que me da nuevamente la Simetría
de identidad.
2. De las simetrías que ha encontrado, mencione una
composición que dé como resultado a la figura original.
p_(0º) = (1,2,3,4,5,6 1,2,3,4,5,6)
p_(180º) = (1,2,3,4,5,6 4,5,6,1,2,3)
p_(360º) = (1,2,3,4,5,6 1,2,3,4,5,6)
Ejemplo de operación binaria:
El símbolo “+” representa la operación binaria de suma; ahora
para la operación binaria específica de 3 + 5 = 8.
Podemos definir una operación binaria de la siguiente manera:
Una operación binaria o (léase círculo) en un conjunto A es una
regla que asigna a cada para ordenado de elementos (a1, a2) un
elemento “b”.
Esto equivale a decir que la operación binaria de los elementos
que pertenecen al conjunto A (dominio), generan al conjunto B
(codominio). Ejemplo en la vida cotidiana.
Sea a un sello postal, y sean b y c dos cartas para ser procesadas.
Si aplicamos la función multiplicación y la función suma
(propiedad distributiva) tenemos,
a*(b+c) = a*b + a*c que sería equivalente a que el sello dejo su
marca en ambas cartas procesadas.
Figura original Figura reflejada
respecto al eje x.
Sin embargo, la reflexión sobre el eje 𝑦 sí puede darse. La represento
en forma matricial…
1 1
2 3 3 2
Figura original Figura reflejada
respecto al eje 𝒚
𝜌𝑦 = (1 2 31 3 2
)
Ahora si rotamos la figura para obtener su posición original…
Fig. original Movimiento 1 Movimiento 2
Con lo que sólo la rotación de 360º permite que la Rosa de tres pétalos
quede en su posición original.
Movimiento 3: 360º
Matricialmente…
𝑟360° = 𝑟2𝜋 = (1 2 31 2 3
) = 𝑒 (neutro)
Con las simetrías de Reflexión y Rotación ya puedo formar un Grupo
para la Rosa de tres pétalos…
𝐺 = {𝑒, 𝜌𝑦}
Ejemplo de Operación Binaria:
Si opero dos números y obtengo un tercero, entonces se puede decir
que dicha operación es binaria.
2 + 4 = 6
Observemos cómo obtuve un tercer número a partir de la operación
2 + 4.
Ahora bien, las operaciones binarias pueden ser abiertas o cerradas.
Por ejemplo, supongamos que tengo el siguiente conjunto:
𝐵 = {0, 1, 2, 3}
Si realizo la suma de 2 + 3 = 5 cumple con lo que expliqué acerca de la
operación binaria, pero es una operación abierta porque el 5 que se
obtuvo de resultado no se encuentra dentro del conjunto 𝐵.
Puedo decir de igual forma que una operación binaria para
determinado conjunto, digámosle 𝐴 es una función definida como…
𝑓: 𝐴 × 𝐴 → 𝐴
O sea que si tomo un elemento del conjunto 𝐴 y le realizo una
operación binaria a otro número del mismo conjunto 𝐴 todos los
resultados deben estar definidos o, en otras palabras, debe existir un
resultado para toda operación. Asimismo, como la operación binaria es
una función, sólo se le asigna un elemento o resultado a una operación
binaria dada.
La operación binaria es conmutativa. Por ejemplo…
𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎
𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 ∙ 𝑎
La operación binaria es asociativa. Por ejemplo…
𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑏) + 𝑐
𝑎 ∙ (𝑏 ∙ 𝑐) = (𝑎 ∙ 𝑏) ∙ 𝑐
Como nota al margen, lo que conocemos como resta y la división no
son operaciones binarias.
También puedo decir que…
La suma es una operación binaria en ℝ
El producto cruzado es una operación binaria en ℝ3
La multiplicación de matrices 𝑛 × 𝑛 es operación binaria.
1. De las simetrías que ha encontrado, mencione una
composición que dé como resultado a la figura original. Se trata de un sistema tridimensional ortogonal que resulta de rotar una elipse alrededor de su eje mayor, que es el eje en donde se localizan sus focos. Hay una simetría en torno a este eje, que tomamos como el eje z. La ecuación de la transformación es con respecto al eje z:
𝑧 = acosh 𝑢 cos 𝑣 Donde 2𝑎 es la separación entre sus dos focos.
La ecuación, en coordenadas cartesianas, centrado en el origen, es:
𝑥2 + 𝑦2
𝑎2 +𝑧2
𝑏2 = 1
Siendo a y b los semiejes, estando situado b en el eje de coordenadas z. Ejemplo de una operación binaria :
Si 𝑺 es un conjunto no vacío y * es una función. Entonces * es llamado
una operación binaria sobre 𝑺, si y sólo si *: 𝑺 𝒙 𝑺 → 𝑺 .
En otras palabras dado un conjunto no vacío 𝑺 y el producto cartesiano
de 𝑺 𝒙 𝑺, * es una función de modo que a cada par ordenado (𝒂, 𝒃) le
hace corresponder un único elemento de 𝑺 simbolizado por 𝒂 ∗ 𝒃.
Por ejemplo en el conjunto de los naturales 𝑵; la suma (*) es una
operación interna ya que todo par ordenado (𝒂, 𝒃) se le asigna otro
valor, el cual también pertenece a los naturales 𝑵.
Si fuera la operación *(𝟒, 𝟔) → 𝟒 ∗ 𝟔 = 𝟏𝟎
lo mismo si se dijera *(𝟔, 𝟖) → 𝟔 ∗ 𝟖 = 𝟏𝟒
El cual la multiplicación se utiliza en la vida cotidiana, como en el
súper, compra de boletos, los litros que la gasolina o el peso del gas, etc.
1. Encuentre las simetrías de la siguiente figura.
Simetría: Es un movimiento que deja invariante a un lugar
geométrico.
En esta figura, tenemos 8 elementos, podemos formar el grupo 𝑆8 de todas las permutaciones, que al final de cuentas formarían un grupo de orden 8!
Pero el grupo que queremos encontrar es el grupo diedral 8 𝐷8, formado por todas las rotaciones y reflexiones posibles. Este grupo es un subgrupo de 𝑆8.
Las simetrías de este polígono regular no convexo de 16 lados sería igual a: 8 rotaciones y 16 reflexiones. Rotaciones: Tenemos la rotación que no hace nada.
𝝆𝟎° = 𝝆𝟑𝟔𝟎°
1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8 𝝆𝟒𝟓° 1 ↦ 2, 2 ↦ 3, 3 ↦ 4, 4 ↦ 5, 5 ↦ 6, 6 ↦ 7, 7 ↦ 8, 8 ↦ 1 𝝆𝟗𝟎° 1 ↦ 3, 2 ↦ 4, 3 ↦ 5, 4 ↦ 6, 5 ↦ 7, 6 ↦ 8, 7 ↦ 1, 8 ↦ 2 𝝆𝟏𝟑𝟓° 1 ↦ 4, 2 ↦ 5, 3 ↦ 6, 4 ↦ 7, 5 ↦ 8, 6 ↦ 1, 7 ↦ 2, 8 ↦ 3 𝝆𝟏𝟖𝟎° 1 ↦ 5, 2 ↦ 6, 3 ↦ 7, 4 ↦ 8, 5 ↦ 1, 6 ↦ 2, 7 ↦ 3, 8 ↦ 4 𝝆𝟐𝟐𝟓° 1 ↦ 6, 2 ↦ 7, 3 ↦ 8, 4 ↦ 1, 5 ↦ 2, 6 ↦ 3, 7 ↦ 4, 8 ↦ 5 𝝆𝟐𝟕𝟎° 1 ↦ 7, 2 ↦ 8, 3 ↦ 1, 4 ↦ 2, 5 ↦ 3, 6 ↦ 4, 7 ↦ 5, 8 ↦ 6 𝝆𝟑𝟏𝟓° 1 ↦ 8, 2 ↦ 1, 3 ↦ 2, 4 ↦ 3, 5 ↦ 4, 6 ↦ 5, 7 ↦ 6, 8 ↦ 7 Ahora definimos las reflexiones, por ejemplo, trazamos una recta como en la figura, y hacemos como si fuera un espejo, éstas las denominamos 𝝁𝒊. Deben ser otras 8, entonces al final , el grupo es de orden 16.
Reflexiones: 𝝁𝟏.
1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8 𝝁𝟐. 1↦3, 2↦2, 3↦1, 4↦8, 5↦7, 6↦6 ,7↦5, 8↦4 𝝁𝟑. 1↦5, 2↦4, 3↦7, 4↦2, 5↦1, 6↦8 ,7↦3, 8↦6 𝝁𝟒. 1↦3, 2↦6, 3↦1, 4↦8, 5↦7, 6↦2 ,7↦5, 8↦4 𝝁𝟓. 1↦5, 2↦8, 3↦7, 4↦6, 5↦1, 6↦4 ,7↦3, 8↦2 𝝁𝟔. 1↦3, 2↦6, 3↦1, 4↦8, 5↦7, 6↦2 ,7↦5, 8↦4 𝝁𝟕. 1↦5, 2↦8, 3↦7, 4↦6, 5↦1, 6↦4 ,7↦3, 8↦2 𝝁𝟖. 1↦7, 2↦6, 3↦5, 4↦8, 5↦3, 6↦2 ,7↦1, 8↦4 Las reflexiones que faltan no dejan ningún punto fijo, las podemos llamar 𝝅𝟏, 𝝅𝟐 …; por ejemplo en el dibujo, la reflexión mandaría el 2 al 1, el 1 al 2, el 3 al 8, etc.
2. De las simetrías que ha encontrado, mencione una composición que dé como resultado a la figura original. 𝝆𝟎° = 𝝆𝟑𝟔𝟎° 1 ↦ 1, 2 ↦ 2, 3 ↦ 3, 4 ↦ 4, 5 ↦ 5, 6 ↦ 6, 7 ↦ 7, 8 ↦ 8
3. Una vez investigado lo que es una operación binaria, les pido que escriban un ejemplo de operación binaria. ¿Pueden dar un ejemplo de la vida cotidiana? Operación binaria: Es aquélla que toma elementos en el producto cartesiano de un consigo mismo y cuya imagen es un elemento en el mismo conjunto. Definición 1. Una operación binaria * en un conjunto X es una: 𝑿 ∗ 𝑿 → 𝑿 se puede escribir a*b en lugar de ((a,b)). Un ejemplo sencillo puede ser la operación que utilizamos cuando vamos a una tienda, vemos dos productos iguales y escogemos el que nos cueste menos. Se puede representar así:
a*b=mín(a,b)
Las simetrías (es decir, las rotaciones y las reflexiones) de un cuadrado forman un grupo llamado diédrico, y se expresa como D4. Un cuadrado tiene ocho simetrías. Estas son:
id (se mantiene tal y
como está)
r1 (rotación de 90° a
la derecha)
r2 (rotación de 180° a
la derecha)
r3 (rotación de 270° a
la derecha)
fv (vuelta vertical)
fh (vuelta horizontal)
fd (vuelta diagonal)
fc (vuelta contra
diagonal)
Los elementos del grupo de simetría del cuadrado (D4). Los vértices se pintan y se numeran
sólo para visualizar las operaciones.
La operación identidad que lo deja todo como estaba, se expresa
como id.
Rotaciones del cuadrado de 90°, 180 ° y 270 ° a la derecha,
expresadas con r1, r2 y r3, respectivamente.
Reflexiones respecto a los ejes vertical y horizontal (fv y fh), o
respecto de las dos diagonales (fd y fc).
ACTIVIDAD 2.GRUPOS.
INSTRUCCIONES: Resuelva los siguientes ejercicios y envíelos para su
revisión en el apartado correspondiente del aula virtual.
Los ejercicios del 1 al 4 corresponden a la operación binaria * en S
={a,b,c,d,e} definida en la tabla 2.26. Los ejercicios 5 y 6 corresponden
a la tabla 2.27 y 2.28, respectivamente.
i
1. Calcule 𝒃 ∗ 𝒅, 𝒄 ∗ 𝒄 𝒚 [(𝒂 ∗ 𝒄) ∗ 𝒆] ∗ 𝒂
* a b c d e
a a b c b d
b b c a e c
c c a b b a
d b e b e d
e d b a d c
En esta estructura (𝑆,∗), notamos que 𝑏 ∗ 𝑑, se busca en la
entrada de la matriz (2,4), en este caso es:
𝒃 ∗ 𝒅 = 𝒆
Para 𝑐 ∗ 𝑐, buscamos en la entrada (3,3), tenemos:
𝒄 ∗ 𝒄 = 𝒃
Realizamos primero las operaciones dentro del paréntesis
cuadrado, para después operarlo con a, tenemos:
[(𝒂 ∗ 𝒄) ∗ 𝒆] ∗ 𝒂 = [𝒄 ∗ 𝒆] ∗ 𝒂 = 𝒂 ∗ 𝒂 = 𝒂
2. Calcule (𝒂 ∗ 𝒃) ∗ 𝒄 𝒚 𝒂 ∗ (𝒃 ∗ 𝒄). Puede decir en base a este cálculo si * es asociativa?
A partir de la tabla, tenemos el conjunto 𝑆 = {𝑎, 𝑏. 𝑐} y la
operación * definida como asociativa.
𝑺𝒆𝒂 (𝒂 ∗ 𝒃) ∗ 𝒄 𝒚 𝒂 ∗ (𝒃 ∗ 𝒄)
* a b c
a a b c
b b c a
c c a b
Realizamos las operaciones de acuerdo a la tabla, tenemos:
(𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑏 ∗ 𝑐 = 𝑎
𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐) = 𝑎 ∗ 𝑎 = 𝑎
La operación * es asociativa ya que (𝒂 ∗ 𝒃) ∗ 𝒄 = 𝒂 ∗ (𝒃 ∗ 𝒄)
y
(𝑐 ∗ 𝑎) ∗ 𝑏 = 𝑐 ∗ 𝑏 = 𝑎
𝑐 ∗ (𝑎 ∗ 𝑏) = 𝑐 ∗ 𝑏 = 𝑎
La operación * es asociativa ya que (𝒄 ∗ 𝒂) ∗ 𝒃 = 𝒄 ∗ (𝒂 ∗ 𝒃)
3. Calcule (𝒃 ∗ 𝒅) ∗ 𝒄 𝒚 𝒃 ∗ (𝒅 ∗ 𝒄). Puede decir en base a este cálculo si * es asociativa?
𝑺𝒆𝒂 (𝒃 ∗ 𝒅) ∗ 𝒄 𝒚 𝒃 ∗ (𝒅 ∗ 𝒄)
* a b c d e
a a b c b d
b b c a e c
c c a b b a
d b e b e d
e d b a d c
Realizamos las operaciones de acuerdo a la tabla, tenemos:
(𝑏 ∗ 𝑑) ∗ 𝑐 = 𝑒 ∗ 𝑐 = 𝑎
𝑏 ∗ (𝑑 ∗ 𝑐) = 𝑏 ∗ 𝑏 = 𝑐
La operación * no es asociativa pues (𝒃 ∗ 𝒅) ∗ 𝒄 ≠ 𝒃 ∗ (𝒅 ∗ 𝒄)
(𝑐 ∗ 𝑏) ∗ 𝑑 = (𝑎) ∗ 𝑑 = 𝑏
𝑐 ∗ (𝑏 ∗ 𝑑) = 𝑐 ∗ 𝑒 = 𝑎
La operación * no es asociativa pues (𝒄 ∗ 𝒃) ∗ 𝒅 ≠ 𝒄 ∗ (𝒃 ∗ 𝒅)
La asociatividad se hereda de la asociatividad del producto para los
números reales, porque es evidente que si a, b, c , d y e son números
enteros; R R (de la misma manera se verifica también la
conmutativa).
4. Es * conmutativa? Por qué?
Si * es una operación binaria sobre S, entonces * es conmutativa,
si y sólo si, ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑆:
𝒙 ∗ 𝒚 = 𝒚 ∗ 𝒙
Comprobemos operaciones de acuerdo a la tabla, tenemos:
Sea el conjunto 𝑺 = {𝒂, 𝒃, 𝒄, 𝒅, 𝒆} y la operación definida como
conmutativa, si lo cumple. Se tiene por definición, que una operación es
conmutativa si dados 𝑎, 𝑏 de un conjunto no vacío 𝐴 se tiene que:
𝒂 ∗ 𝒃 = 𝒃 ∗ 𝒂
De la tabla 2.26, podemos ver que:
𝑒 ∗ 𝑏 ≠ 𝑏 ∗ 𝑒
dado que, 𝑒 ∗ 𝑏 = 𝑏 y 𝑏 ∗ 𝑒 = 𝑐,
Por lo tanto, la * no es conmutativa, ya que no cumple
∀𝒙, 𝒚 𝝐𝑺, 𝒙 ∗ 𝒚 = 𝒚 ∗ 𝒙
5. Complete la tabla 2.27 de manera que * defina una operación binaria conmutativa en 𝑺 = {𝒂, 𝒃, 𝒄, 𝒅}
La operación * es conmutativa, si dados dos elementos de 𝑆, a y b
cumple que ∀𝑎, 𝑏 𝜖𝑆, 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎
𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏
𝑏 ∗ 𝑎 = 𝑏
Por lo tanto, la * es conmutativa, ya que cumple
∀𝒂, 𝒃 𝝐𝑺, 𝒂 ∗ 𝒃 = 𝒃 ∗ 𝒂
La tabla queda así:
* a b c d
a a b c d
b b d a c
c c a d b
d d c b a
La conmutatividad se hereda de la conmutatividad del producto
entre elementos del conjunto de los números enteros.
6. La tabla 2.28 puede ser completada de manera que * defina una operación binaria asociativa en S={a,b,c,d}. Suponga que esto es cierto y calcule las entradas faltantes.
Si * es una operación binaria sobre S. Entonces * es asociativa, si
y sólo si, ∀𝒙, 𝒚, 𝒛 ∈ 𝑺, 𝒙 ∗ (𝒚 ∗ 𝒛) = (𝒙 ∗ 𝒚) ∗ 𝒛
Tenemos:
𝑆𝑒𝑎 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐) = (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐
𝑎 ∗ (𝑐) = (𝑏) ∗ 𝑐
𝑐 = 𝑐
y
𝑆𝑒𝑎 𝑎 ∗ (𝑑 ∗ 𝑐) = (𝑎 ∗ 𝑑) ∗ 𝑐
𝑎 ∗ (𝑑) = (𝑑) ∗ 𝑎
𝑑 = 𝑑
Vemos que los valores coinciden, por tanto la operación
* binaria es asociativa.
La tabla queda así:
* a b c d
a a b c d
b b a c d
c c d c d
d d d d d
7. En los siguientes incisos determine si la función ∅ dada es un isomorfismo entre la primera estructura binaria y la segunda. Explique.
a) < ℤ,+> 𝒄𝒐𝒏 < ℤ, +> 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 ∅(𝒏) = −𝒏 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒏 ∈ ℤ. (ℤ denota al conjunto de los números enteros).
Por definición, un homomorfismo de grupos se define
como una función tal que: 𝑓: 𝐺 → 𝐻. Con ⟨𝐺,∗⟩ y ⟨𝐻,⋄⟩ dos grupos
con sus respectivas operaciones binarias, donde:
𝒇(𝒈𝟏 ∗ 𝒈𝟐) = 𝒇(𝒈𝟏) ⋄ 𝒇(𝒈𝟐)
Entonces, si además 𝑓 es biyectiva, entonces 𝑓 es un isomorfismo
entre los dos grupos.
En este ejercicio, vemos que 𝜙: ℤ → ℤ y la operación binaria en
ambos casos es la suma de enteros, por lo cual:
𝜙(𝑛1 + 𝑛2) = 𝜙(𝑛1) + 𝜙(𝑛2)
Dado que la suma de naturales es un natural 𝑛1 + 𝑛2 = 𝑛3 por tanto,
tenemos que:
𝜙(𝑛1 + 𝑛2) = 𝜙(𝑛3) = −𝑛3
𝜙(𝑛1) + 𝜙(𝑛2) = (−𝑛1) + (−𝑛2) = −(𝑛1 + 𝑛2) = −𝑛3
Por lo tanto, 𝝓 es un homomorfismo entre las dos
estructuras.
b) < ℚ, +> 𝒄𝒐𝒏 < ℚ,+> 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 ∅(𝒙) = −𝒏 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒙 ∈ ℚ.
(ℚ denota al conjunto de los números racionales).
Consideremos que la operación binaria es una suma de racionales,
esto es, si tenemos:
𝜙(𝑥1 + 𝑥2) =𝑥1 + 𝑥2
2
𝜙(𝑥1) + 𝜙(𝑥2) =𝑥1
2+
𝑥2
2=
𝑥1 + 𝑥2
2
Entonces:
𝜙(𝑥1 + 𝑥2) = 𝜙(𝑥1) + 𝜙(𝑥2)
Podemos decir que si tenemos 𝜙(𝑥) = 𝜙(𝑦), entonces 𝑦 = 𝑥 , se
habla de una función inyectiva, dado que los elementos del conjunto
de partida tendrán una imagen distinta, ya que aplicamos la
operación de la división a cada racional , por lo cual se tendrá otro
racional distinto ; además por cada 𝑦 en el rango hay un 𝑥 en el
dominio tal que 𝑓(𝑥) = 𝑦 , por lo cual 𝜙 es biyectiva.
Por lo tanto 𝝓 es un isomorfismo entre las dos
estructuras.
8. En los siguientes incisos determine si la operación binaria * provee de una estructura de grupo al conjunto
dado. Si esto no ocurre, diga qué propiedad de la definición de grupo no se cumple.
a) Sea * definida en ℤ 𝐩𝐨𝐫 𝒂 ∗ 𝒃 = 𝒂𝒃 (producto ordinario de números enteros). Para determinar que ⟨ℤ,∗⟩ no es grupo, vemos que aunque
existe un elemento neutro 𝒆 = 𝟏 ∈ ℤ, ya que si 𝑎 ∈ ℤ se tiene
𝒂 ∗ 𝟏 = 𝒂(𝟏) = 𝒂 ∈ ℤ, no podemos encontrar un número
entero que sea el elemento inverso. Lo podemos ejemplificar
de la siguiente manera:
Sea 𝑎 = 6, debe existir 𝑎−1 tal que 𝑎 ∗ 𝑎−1 = 𝑒, esto es:
6(𝑎1) = 1
pero el único número bajo la operación del producto que nos
ofrece el resultado, el cual sería 1
6 , el cual no es un entero y ∉ ℤ.
Por lo tanto, ⟨ℤ,∗⟩ no es un grupo, ya que no cumple la
propiedad del inverso.
b) Sea * definida en ℤ− = {𝒏 ∈ ℤ|𝒏 < 𝟎} 𝐩𝐨𝐫 𝒏 ∗ 𝒎 = 𝒏 + 𝒎
La operación binaria es la suma de enteros negativos, la cual,
dados 𝒎,𝒏 ∈ ℤ− , 𝒎 ∗ 𝒏 = 𝒎 + 𝒏 = 𝒑 ∈ ℤ−.
Sabemos que la operación es conmutativa, cuando:
(−3) + (−2) = (−3) + (−2) = −5.
Y es asociativa , si dados, 𝒍,𝒎, 𝒏 ∈ ℤ−, es decir:
[(−1) + (−3)] + (−5) = (−1) + [(−3) + (−5)] = −9 ∈ ℤ−
Aquí no existe el elemento neutro, pues no existe un entero
negativo 𝒆 tal que, para cualquier otro entero negativo 𝒎, la
suma de ambos nos dé 𝒎; además, tenemos que para la
operación suma de enteros, un elemento neutro es el 𝟎, y
vemos que 𝟎 ∉ ℤ− .
Por tanto la operación * definida en ℤ− , no provee de
una estructura de grupo al conjunto dado.
c) Sea * definida en 𝟐ℤ = {𝟐𝒏|𝒏 ∈ ℤ} 𝐩𝐨𝐫 𝒂 ∗ 𝒃 = 𝒂 + 𝒃
La operación denota la suma de enteros pares.
El conjunto dado, viene siendo el de todos los enteros pares
incluyendo el cero pues 𝟎 ∈ ℤ , esto es:
𝟐𝒏 = 𝟐(𝟎) = 𝟎 ∈ 𝟐ℤ.
En cuanto a las propiedades que cumple, podemos mencionar:
que la operación es asociativa y conmutativa; el elemento
neutro es 𝒆 = 𝟎 pues si 𝒃 ∈ 𝟐ℤ, se tiene que 𝑏 + 0 = 𝑏; el
elemento inverso de cualquier 𝒂 ∈ 𝟐ℤ también existe, es decir,
pues es −𝒂, así que, 𝒂 + (−𝒂) = 𝟎.
Por lo tanto, si se cumplen las tres propiedades, ⟨𝟐ℤ,∗⟩
provee de una estructura de grupo al conjunto dado.
d) Sea * definida en ℝ+ 𝐩𝐨𝐫 𝐚 ∗ 𝒃 = √𝒂𝒃
Consideremos que la operación no es asociativa y observemos si
⟨ℝ+,∗⟩ no es un grupo, esto es:
𝑎 = 2, 𝑏 = 8, 𝑐 = 1 ∈ ℝ+ entonces:
(𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = √(2)(8) ∗ 1 = 4 ∗ 1 = √(4)(1) = 2
Ahora bien,
𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐) = 2 ∗ √(8)(1) = 2 ∗ √8 = √(2)(√8) = √2√8
Entonces:
(𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 ≠ 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)
Por lo tanto, no cumple con la propiedad asociativa y la
operación * definida en ℝ+, no provee de una estructura de
grupo al conjunto dado.
9. Sea G un grupo con la operación binaria *.
a) Demuestre que existe sólo un elemento 𝒆 ∈ 𝑮 tal que 𝒆 ∗ 𝒙 = 𝒙 ∗ 𝒆 = 𝒙 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐭𝐨𝐝𝐨 𝒙 ∈ 𝑮.
Supongamos que hay más de un elemento neutro, digamos
𝒆, 𝒑 ∈ 𝑮, esto es:
𝑒 ∗ 𝑝 = 𝑒, 𝑝 ∗ 𝑒 = 𝑝
Por conmutatividad de * tenemos que:
𝑒 ∗ 𝑝 = 𝑝 ∗ 𝑒 → 𝑒 = 𝑝
Por tanto, tenemos que ambos elementos neutros
son el mismo y en consecuencia, sólo hay un
elemento neutro
Q.E.D.
b) Demuestre que si 𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ 𝑮 y se cumple que 𝒂 ∗ 𝒃 = 𝒂 ∗𝒄, entonces se tiene que 𝒃 = 𝒄.
Sea (G,∗)un grupo, se verifica por la propiedad 1 cancelativa de
los grupos, entonces tenemos que:
𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎 ∗ 𝑐 → 𝑏 = 𝑐
Sea 𝒂 ∗ 𝒃 = 𝒂 ∗ 𝒄
Aplicando el inverso de 𝒂 en toda la expresión, se tiene:
𝑎−1 ∗ (𝑎 ∗ 𝑏) = 𝑎−1(𝑎 ∗ 𝑐)
Por la propiedad de la asociatividad de * se tiene:
(𝑎−1 ∗ 𝑎) ∗ 𝑏 = (𝑎−1 ∗ 𝑎) ∗ 𝑐
Por la propiedad del inverso y del neutro, tenemos:
𝑒 ∗ 𝑏 = 𝑒 ∗ 𝑐, 𝑏 = 𝑐
Lo cual queda demostrado.
𝑸.𝑬.𝑫.
c) Demuestre que para todo 𝒂 ∈ 𝑮 se tiene que (𝒂−𝟏)−𝟏 =𝒂
Sea G cualquier grupo y si 𝒂 ∈ 𝑮 , demostrar que (𝑎−1)−1 = 𝑎
Por ser g invertible se tiene:
1
𝑎−1 =
11𝑎
=𝑎
1= 𝑎
De igual forma, se dice que un elemento operado con su
inverso es igual al elemento neutro, es decir:
𝑎−1 ∗ (𝑎−1)−1 = 𝑒
De donde:
𝑎 ∗ 𝑎−1 = 𝑎−1 ∗ (𝑎−1)−1, 𝑎−1 ∗ 𝑎 = 𝑎−1 ∗ (𝑎−1)−1
Por lo tanto, por la propiedad mencionada arriba, se tiene
que:
𝑎 = (𝑎−1)−1
𝑸.𝑬.𝑫.
10. Indique si los siguientes enunciados son ciertos o falsos. Explique.
a) Una operación binaria en un conjunto S asigna al menos un elemento de S a cada par ordenado de elementos de S. Falso, pues le hace corresponder un único elemento de S,
simbolizado por (a, b).
b) Una operación binaria en un conjunto S asigna a lo más un elemento de S a cada par ordenado de elementos de S. Falso, pues le hace corresponder un único elemento de S,
simbolizado por (a, b).
c) Una operación binaria en un conjunto S asigna exactamente un elemento de S a cada par ordenado de elementos de S.
Verdadero, ya que, dado un conjunto no vacío S y el
producto cartesiano S x S, es una función de modo que a cada
par ordenado (a, b) le hace corresponder un
único elemento de S simbolizado por (a, b)
d) Una operación binaria en un conjunto S asigna más de un elemento de S a algún par ordenado de elementos de S.
Falso, pues le hace corresponder un único elemento de S,
simbolizado por (a, b).
e) Un grupo puede tener más de un elemento identidad.
Falso, pues le hace corresponder un único elemento de S,
simbolizado por (a, b), ya se demostró en el ejercicio 9 del
inciso a, que sólo existe uno o que es único.
f) La propiedad asociativa es válida en cualquier grupo.
Es Verdadero, pues, por definición de grupo, éste es un
conjunto, provisto de una operación binaria asociativa; la operación
binaria, cumple con la propiedad asociativa, para que, junto con el
conjunto, conformen un grupo.
Unidad 1. Actividad 3.
GRUPOS CÍCLICOS
Instrucciones: Resuelva los siguientes ejercicios y envíelos para
su revisión el apartado correspondiente del aula virtual.
1- Cinco grupos son dados a continuación. Proporcione una lista completa de todas las relaciones de subgrupos, en la forma 𝑮𝒊 ≤ 𝑮𝒋, que existan entre estos grupos 𝑮𝟏, 𝑮𝟐, 𝑮𝟑, 𝑮𝟒, 𝑮𝟓.
a) 𝑮𝟏 = ℤ bajo la adición. b) 𝑮𝟐 = 𝟏𝟐ℤ bajo la adición. c) 𝑮𝟑 = ℚ+ bajo la multiplicación. d) 𝑮𝟒 = ℝ bajo la adición. e) 𝑮𝟓 = 𝑹+ bajo la multiplicación.
En primer término, vamos a considerar dos grupos, 𝑮𝟏 y 𝑮𝟒, que
están bajo la adición, y analizando las propiedades, vemos que ℤ , es
un subconjunto no vacío de ℝ y 0, es el elemento neutro para ambos
grupos; ahora, la suma de enteros, es un entero y la operación cumple
con la asociatividad.
Para la propiedad del inverso, 𝑛 ∈ ℤ, 𝑛−1 = −𝑛 y 𝑛 + (−𝑛) = 0.
Cumple.
Por lo tanto, 𝑮𝟏 es un subgrupo de 𝑮𝟒 y se tiene 𝑮𝟏 ≤ 𝑮𝟒.
Procediendo de manera similar, ahora, consideramos los grupos 𝑮𝟐 y
𝑮𝟏, y tenemos que:
𝟏𝟐ℤ = {𝟏𝟐𝒏|𝒏 ∈ ℤ}
Podemos observar que, 12ℤ es un subconjunto no vacío de ℤ 𝑦 además
que 0 ∈ 12ℤ pues 0(𝑛) = 0 ; el elemento neutro en ambos grupos es 0;
tenemos entonces que, 12𝑛 es un entero y al ser la suma de dos
elementos de la forma 12𝑛 , cumple con la asociatividad.
Para la última propiedad invertiva, tenemos que: 12𝑛−1 = −12𝑛 y
12𝑛 + (−12𝑛) = 0. Cumple.
Por lo tanto, 𝑮𝟐 es un subgrupo de 𝑮𝟏 y se tiene 𝑮𝟐 ≤ 𝑮𝟏.
Ahora consideramos los grupos 𝑮𝟑 y 𝑮𝟓 bajo la multiplicación, en
donde ℚ+ es un subconjunto no vacío de ℝ+, 1 ∈ ℚ+ es racional y viene
siendo el elemento neutro para ambos grupos.
En la multiplicación de racionales aplica la propiedad asociativa.
Para la última propiedad, si 𝑝
𝑞∈ ℚ+ , entonces su inverso sería
𝑞
𝑝 y
(𝑝
𝑞) (
𝑞
𝑝) = 1
Por lo tanto, 𝑮𝟑 ≤ 𝑮𝟓.
La lista de las relaciones de subgrupos queda así:
𝑮𝟏 ≤ 𝑮𝟒
𝑮𝟐 ≤ 𝑮𝟏
𝑮𝟑 ≤ 𝑮𝟓
𝑮𝟐 ≤ 𝑮𝟒
Nota: Dado que 𝐺1 ≤ 𝐺4 → 𝐺2 ≤ 𝐺4, entonces, también se incluye en la
lista.
2. Escriba al menos 5 elementos de cada uno de los siguientes
grupos cíclicos:
a) 25 ℤ bajo la adición. Si tenemos que:
𝟐𝟓ℤ = {𝟐𝟓𝒏|𝒏 ∈ ℤ}
Los cinco elementos pueden ser:
{𝟎, 𝟐𝟓, 𝟓𝟎, 𝟕𝟓, 𝟏𝟎𝟎}.
b) {(𝟏
𝟐 )
𝒏
|𝒏 ∈ ℤ} bajo la multiplicación.
En este caso el neutro es (1
2)0
= 1 y el generador es 𝑔 = (1
2)1
=1
2.
Los cinco elementos podrían ser:
{𝟏,𝟏
𝟐,𝟏
𝟒,𝟏
𝟖,𝟏
𝟏𝟔}
Dado que 𝑔2 = (1
2) (
1
2) =
1
4 y así sucesivamente
3. En los siguientes incisos, describa todos los elementos
generados por la matriz 2x2 dada.
a) (𝟎 − 𝟏−𝟏 𝟎
)
Tenemos que la matriz es elemento del grupo general lineal 𝐺𝐿(2ℝ):
𝑨 = (𝟎 −𝟏
−𝟏 𝟎)
Entonces:
𝑨𝟎 = 𝒆 = (𝟏 𝟎𝟎 𝟏
)
𝑨𝟏 = ( 𝟎 −𝟏−𝟏 𝟎
)
𝑨𝟐 = (𝟎 −𝟏
−𝟏 𝟎) (
𝟎 −𝟏−𝟏 𝟎
) = (𝟏 𝟎𝟎 𝟏
)
𝑨𝟑 = 𝑨𝟐 ∙ 𝑨 = (𝟎 −𝟏
−𝟏 𝟎) (
𝟏 𝟎𝟎 𝟏
) = (𝟎 −𝟏
−𝟏 𝟎)
𝑨𝟒 = 𝑨𝟑 ∙ 𝑨 = (𝟎 −𝟏
−𝟏 𝟎) (
𝟎 −𝟏−𝟏 𝟎
) = (𝟏 𝟎𝟎 𝟏
)
Observemos que para las potencias pares de 𝐴 , se tiene siempre la matriz
(1 00 1
) y para las impares, tenemos (0 −1
−1 0).
Entonces, los elementos generados por 𝑨 son:
{(𝟏 𝟎𝟎 𝟏
) , (𝟎 −𝟏
−𝟏 𝟎)}
b) (𝟏 𝟏𝟎 𝟏
)
Reescribimos:
𝐵 = (1 10 1
),
Entonces, tenemos:
𝑩𝟎 = (𝟏 𝟎𝟎 𝟏
)
𝑩𝟏 = (𝟏 𝟏𝟎 𝟏
)
𝑩𝟐 = (𝟏 𝟏𝟎 𝟏
) (𝟏 𝟏𝟎 𝟏
) = (𝟏 𝟐𝟎 𝟏
)
𝑩𝟑 = 𝑩𝟐 ∙ 𝑩 = (𝟏 𝟐𝟎 𝟏
) (𝟏 𝟏𝟎 𝟏
) = (𝟏 𝟑𝟎 𝟏
)
𝑩𝟒 = 𝑩𝟑 ∙ 𝑩 = (𝟏 𝟑𝟎 𝟏
) (𝟏 𝟏𝟎 𝟏
) = (𝟏 𝟒𝟎 𝟏
)
Entonces, los elementos generados por 𝑩 son:
{(𝟏 𝒏𝟎 𝟏
)| 𝒏 ∈ ℤ+}
4. Escriba la tabla del Grupo ℤ𝟔 bajo la suma y además realice lo
siguiente:
Tenemos que ⟨ℤ𝟔, +⟩, es un grupo cíclico de orden 6, con generador 1.
En este grupo en que la operación es de suma, operar un elemento
consigo mismo repetidamente, quiere decir sumarlo consigo mismo
repetidamente. Por tanto [ℤ𝟔: 𝑯] = |ℤ𝟔|/|𝑯|
ℤ6 = {0,1,2,3,4,5} que bajo la suma es el grupo aditivo de los enteros
módulo 6. Realicemos la tabla.
Tabla del Grupo ⟨ℤ𝟔, +⟩
Todo subgrupo de un grupo es cíclico. Por tanto 𝐻 ≅ ℤ6, el grupo
cíclico de 6 elementos.
Grupo trivial (Identidad).
Grupo cíclico de orden 2.
Grupo cíclico de orden 3.
Grupo cíclico de orden 6.
El número de elementos de un grupo, es el orden del grupo, aquí,
coincide con 6.
a) Calcule los subgrupos ⟨𝟎⟩, ⟨𝟏⟩, ⟨𝟐⟩, ⟨𝟑⟩, ⟨𝟒⟩, ⟨𝟓⟩ del grupo ℤ𝟔.
⟨𝟏⟩ = {𝟏𝟎, 𝟏𝟏, 𝟏𝟐, 𝟏𝟑, 𝟏𝟒, 𝟏𝟓} = {𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓}
⟨𝟐⟩ = {𝟐𝟎, 𝟐𝟏, 𝟐𝟐, 𝟐𝟑, 𝟐𝟒, 𝟐𝟓} = {𝟎, 𝟐, 𝟒, 𝟎, 𝟐, 𝟒} = {𝟎, 𝟐, 𝟒},
⟨𝟑⟩ = {𝟑𝟎, 𝟑𝟏, 𝟑𝟐, 𝟑𝟑, 𝟑𝟒, 𝟑𝟓} = {𝟎, 𝟑, 𝟎, 𝟑, 𝟎, 𝟑} = {𝟎, 𝟑}
⟨𝟒⟩ = {𝟒𝟎, 𝟒𝟏, 𝟒𝟐, 𝟒𝟑, 𝟒𝟒, 𝟒𝟓} = {𝟎, 𝟒, 𝟐, 𝟎, 𝟒, 𝟐} = {𝟎, 𝟐, 𝟒}
⟨𝟓⟩ = {𝟓𝟎, 𝟓𝟏, 𝟓𝟐, 𝟓𝟑, 𝟓𝟒, 𝟓𝟓} = {𝟎, 𝟓, 𝟒, 𝟑, 𝟐, 𝟏} = {𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓}
b) Cuáles son los elementos generadores del grupo ℤ𝟔?
+ 0 1 2 3 4 5
0 0 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 0 2 2 3 4 5 0 1 3 3 4 5 0 1 2 4 4 5 0 1 2 3 5 5 0 1 2 3 4
Un elemento a, se dice que genera un grupo G, si 𝑎. 𝑎 = 𝑎2, 𝑎. 𝑎. 𝑎 =
𝑎3, … son todos los elementos del grupo, entonces, decimos que a es el
generador de G y G es un grupo cíclico.
En este caso, tenemos que el grupo aditivo de los números enteros
⟨ℤ𝟔, +⟩, es un grupo cíclico de orden 6; su generador es el ⟨1⟩ ,puesto
que todos los elementos de ℤ, se pueden ver como potencias enteras
del 1.
1−1 = −1, 10 = 0, 11 = 1, 12 = 1 + 1 = 2, 13 = 1 + 1 + 1 = 3, 𝑒𝑡𝑐
Por tanto, los generadores del grupo ℤ𝟔 además del ⟨𝟏⟩ son:
⟨𝟏⟩ y ⟨𝟓⟩.
c) Escribe un diagrama de los subgrupos de ℤ𝟔.
Por definición, tenemos que un subconjunto H de un grupo G, es un
subgrupo si satisface todos los axiomas de grupo. Los subgrupos
triviales de G son G y {e}.
Su representación gráfica:
⟨𝟏⟩:
Notemos lo cíclico después llegar a 15 se repiten los valores. Para los demás
subgrupos:
⟨𝟐⟩:
En este caso, después de 22 se repiten los valores.
⟨𝟑⟩:
Aquí los valores se repiten después de 31.
⟨4⟩:
Aquí los valores se repiten después de 42.
⟨𝟓⟩:
Aquí los valores se repiten después de 55, entonces el grupo es cíclico.
EVIDENCIA DE APRENDIZAJE.
GRUPOS.
Resuelva los siguientes ejercicios y envíelos para su revisión en el
apartado correspondiente del aula virtual.
Recordemos la definición de subgrupo:
Un subconjunto H de un grupo G se dice que es un subgrupo de G
si respecto al producto en G, H mismo forma un grupo.
1. Encuentre el número de elementos en cada uno de los grupos cíclicos indicados.
a) El subgrupo cíclico de ℤ𝟑𝟎 generado por el 25.
Considérese el grupo cíclico Z30, generado por el 25, y tomemos
5 ∈ ℤ30, el máximo común divisor de 30 y 25 es 5, por lo tanto,
30/5=6 elementos en el subgrupo cíclico generado por 5, los
cuales son: {0,5,10,15,20,25}, entonces:
⟨25⟩ = {250, 251, 252, … , 2529} = {0,25,20,15,10,5,0,25,20, … } =
= {0,5,10,15,20,25}
Por lo tanto, el número de elementos de ⟨𝟐𝟓⟩ es 6.
b) El subgrupo cíclico de Z42 generado por el 30.
Considérese el grupo cíclico Z42, generado por el 30, y tomemos
6 ∈ ℤ30, el máximo común divisor de 42 y 30 es 7, por lo tanto,
42/6=7, elementos en el subgrupo cíclico generado por 6, los
cuales son: {0,6,12,18,24,30,36} entonces:
⟨30⟩ = {300, 301, 302, … , 3041} = {0,30,18,6,36,24,12,0,30, … } =
= {0,6,12,18,24,30,36}
Por lo tanto, el número de elementos del subgrupo ⟨𝟑𝟎⟩ es 7.
2. Encuentre todos los subgrupos de los grupos dados a continuación. Mencione también el orden de cada subgrupo encontrado. Haga un diagrama de los subgrupos obtenidos.
a) (ℤ𝟖, +).
En este ejercicio demostraremos que para el grupo Z8 existen
generadores. Resulta que Z8 es un grupo cíclico generado por el
elemento 1 , es decir, cualquiera de sus elementos puede escribirse:
Tenemos que ⟨ℤ𝟖, +⟩, es un grupo cíclico de orden 8, con
generador 1. El número de elementos de un grupo, es el orden del
grupo, aquí, coincide con 8.
En este grupo en que la operación es de suma, operar un elemento
consigo mismo repetidamente, quiere decir sumarlo consigo mismo
repetidamente. Por tanto [ℤ𝟖: 𝑯] = |ℤ𝟖|/|𝑯|
ℤ8 = {0,1,2,3,4,5,6,7} que bajo la suma es el grupo aditivo de los
enteros módulo 8.
Tabla del Grupo ⟨ℤ𝟖, +⟩
+ 0 1 2 3 4 5 6 7
0 0 1 2 3 4 5 6 7
1 1 2 3 4 5 6 7 0
2 2 3 4 5 6 7 0 1
3 3 4 5 6 7 0 1 2
4 4 5 6 7 0 1 2 3
5 5 6 7 0 1 2 3 4
6 6 7 0 1 2 3 4 5
7 7 0 1 2 3 4 5 6
Todo subgrupo de un grupo es cíclico. Por tanto 𝐻 ≅ ℤ8, el grupo
cíclico de 8 elementos.
Subgrupos ⟨𝟎⟩, ⟨𝟏⟩, ⟨𝟐⟩, ⟨𝟑⟩, ⟨𝟒⟩, ⟨𝟓⟩, ⟨𝟔⟩, ⟨𝟕⟩ del grupo ℤ𝟖.
Los subgrupos buscados son los generados por los elementos del
grupo:
⟨𝟎⟩ = {𝟎} . De orden 1
⟨𝟏⟩ = {𝟏𝟎, 𝟏𝟏, 𝟏𝟐, 𝟏𝟑, 𝟏𝟒, 𝟏𝟓, 𝟏𝟔, 𝟏𝟕} = {𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕}. De orden 8
⟨𝟐⟩ = {𝟐𝟎, 𝟐𝟏, 𝟐𝟐, 𝟐𝟑, 𝟐𝟒, 𝟐𝟓, 𝟐𝟔, 𝟐𝟕} = {𝟎, 𝟐, 𝟒, 𝟔, 𝟎, 𝟐, 𝟒, 𝟔} = {𝟎, 𝟐, 𝟒, 𝟔}. De
orden 4.
⟨𝟑⟩ = {𝟑𝟎, 𝟑𝟏, 𝟑𝟐, 𝟑𝟑, 𝟑𝟒, 𝟑𝟓, 𝟑𝟔, 𝟑𝟕} = {𝟎, 𝟑, 𝟔, 𝟏, 𝟒, 𝟕, 𝟐, 𝟓} =
= {𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕}. De orden 8.
⟨𝟒⟩ = {𝟒𝟎, 𝟒𝟏, 𝟒𝟐, 𝟒𝟑, 𝟒𝟒, 𝟒𝟓, 𝟒𝟔, 𝟒𝟕} = {𝟎, 𝟒, 𝟎, 𝟒, 𝟎, 𝟒, 𝟎, 𝟒} = {𝟎. 𝟒}. De
orden 2.
⟨𝟓⟩ = {𝟓𝟎, 𝟓𝟏, 𝟓𝟐, 𝟓𝟑, 𝟓𝟒, 𝟓𝟓, 𝟓𝟔, 𝟓𝟕} = {𝟎, 𝟓, 𝟐, 𝟕, 𝟒, 𝟏, 𝟔, 𝟑} =
= {𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕}. De orden 8
⟨𝟔⟩ = {𝟔𝟎, 𝟔𝟏, 𝟔𝟐, 𝟔𝟑, 𝟔𝟒, 𝟔𝟓, 𝟔𝟔, 𝟔𝟕} = {𝟎, 𝟔, 𝟒, 𝟐, 𝟎, 𝟔, 𝟒, 𝟐} = {𝟎, 𝟐, 𝟒, 𝟔}. De
orden 4
⟨𝟕⟩ = {𝟕𝟎, 𝟕𝟏, 𝟕𝟐, 𝟕𝟑, 𝟕𝟒, 𝟕𝟓, 𝟕𝟓, 𝟕𝟓} = {𝟎, 𝟕, 𝟔, 𝟓, 𝟒, 𝟑, 𝟐, 𝟏} =
= {𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕} . De orden 8.
Por tanto, los generadores del grupo ℤ𝟖 además del ⟨𝟏⟩
son:
⟨𝟏⟩ y ⟨𝟑⟩, ⟨𝟓⟩, ⟨𝟕⟩
Diagrama del subgrupo de ℤ𝟖 :
ℤ𝟖 ⟨𝟐⟩ ⟨𝟒⟩ {0}
b) (ℤ𝟏𝟐, +)
En este ejercicio demostraremos que para el grupo Z12 existen
generadores. Resulta que Z12 es un grupo cíclico generado por el
elemento 1 , es decir, cualquiera de sus elementos puede escribirse:
ℤ12 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11} que bajo la suma es el grupo aditivo
de los enteros módulo 12.
Tabla del Grupo ⟨ℤ𝟏𝟐, +⟩
+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0
2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1
3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2
4 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3
5 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 4
6 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 4 5
7 7 8 9 10 11 0 1 2 3 4 5 6
8 8 9 10 11 0 1 2 3 4 5 6 7
9 9 10 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8
10 10 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
11 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Todo subgrupo de un grupo es cíclico. Por tanto 𝐻 ≅ ℤ12, el grupo
cíclico de 12 elementos.
Subgrupos ⟨𝟎⟩, ⟨𝟏⟩, ⟨𝟐⟩, ⟨𝟑⟩, ⟨𝟒⟩, ⟨𝟓⟩, ⟨𝟔⟩, ⟨𝟕⟩, ⟨𝟖⟩ , ⟨𝟗⟩ , ⟨𝟏𝟎⟩, ⟨𝟏𝟏⟩ del grupo
ℤ𝟖.
⟨𝟎⟩ = {𝟎}. De orden 1.
⟨𝟏⟩ = {𝟏𝟎, 𝟏𝟏, 𝟏𝟐, 𝟏𝟑, 𝟏𝟒, 𝟏𝟓, 𝟏𝟔, 𝟏𝟕, 𝟏𝟖, 𝟏𝟗, 𝟏𝟏𝟎, 𝟏𝟏𝟏} =
= {𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟖, 𝟗, 𝟏𝟎, 𝟏𝟏}. De orden 12.
⟨𝟐⟩ = {𝟐𝟎, 𝟐𝟏, 𝟐𝟐, 𝟐𝟑, 𝟐𝟒, 𝟐𝟓, 𝟐𝟔, 𝟐𝟕, 𝟐𝟖, 𝟐𝟗, 𝟐𝟏𝟎, 𝟐𝟏𝟏} =
= {𝟎, 𝟐, , 𝟒, 𝟔, 𝟖, 𝟏𝟎, 𝟎, 𝟐, 𝟒, 𝟔, 𝟖, 𝟏𝟎} = {𝟎, 𝟐, 𝟒, 𝟔, 𝟖, 𝟏𝟎}, De orden 6.
⟨𝟑⟩ = {𝟑𝟎, 𝟑𝟏, 𝟑𝟐, 𝟑𝟑, 𝟑𝟒, 𝟑𝟓, 𝟑𝟔, 𝟑𝟕, 𝟑𝟖, 𝟑𝟗, 𝟑𝟏𝟎, 𝟑𝟏𝟏} =
= {𝟎, 𝟑, 𝟔, 𝟗, 𝟎, 𝟑, 𝟔, 𝟗, 𝟎, 𝟑, 𝟔, 𝟗} = {𝟎, 𝟑, 𝟔, 𝟗}. De orden 4.
⟨𝟒⟩ = {𝟒𝟎, 𝟒𝟏, 𝟒𝟐, 𝟒𝟑, 𝟒𝟒, 𝟒𝟓, 𝟒𝟔, 𝟒𝟕, 𝟒𝟖, 𝟒𝟗, 𝟒𝟏𝟎, 𝟒𝟏𝟏} =
= {𝟎, 𝟒, 𝟖, 𝟎, 𝟒, 𝟖, 𝟎, 𝟒, 𝟖, 𝟎, 𝟒, 𝟖} = {𝟎, 𝟒, 𝟖}. De orden 3.
⟨𝟓⟩ = {𝟓𝟎, 𝟓𝟏, 𝟓𝟐, 𝟓𝟑, 𝟓𝟒, 𝟓𝟓, 𝟓𝟔, 𝟓𝟕, 𝟓𝟖, 𝟓𝟗, 𝟓𝟏𝟎, 𝟓𝟏𝟏} De orden 12.
= {𝟎, 𝟓, 𝟏𝟎, 𝟑, 𝟖, 𝟏, 𝟔, 𝟏𝟏, 𝟒, 𝟗, 𝟐, 𝟕} = {𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟖, 𝟗, 𝟏𝟎, 𝟏𝟏}
⟨𝟔⟩ = {𝟔𝟎, 𝟔𝟏, 𝟔𝟐, 𝟔𝟑, 𝟔𝟒, 𝟔𝟓, 𝟔𝟔, 𝟔𝟕, 𝟔𝟖, 𝟔𝟗, 𝟔𝟏𝟎, 𝟔𝟏𝟏} =
= {𝟎, 𝟔, 𝟎, 𝟔, 𝟎, 𝟔, 𝟎, 𝟔, 𝟎, 𝟔, 𝟎, 𝟔} = {𝟎, 𝟔} De orden 2.
⟨𝟕⟩ = {𝟕𝟎, 𝟕𝟏, 𝟕𝟐, 𝟕𝟑, 𝟕𝟒, 𝟕𝟓, 𝟕𝟔, 𝟕𝟕, 𝟕𝟖, 𝟕𝟗, 𝟕𝟏𝟎, 𝟕𝟏𝟏}=
= {𝟎, 𝟕, 𝟐, 𝟗, , 𝟒, 𝟏𝟏, 𝟔, 𝟏, 𝟖, 𝟑, 𝟏𝟎, 𝟓} = {𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟖, 𝟗, 𝟏𝟎, 𝟏𝟏}.De
orden 12
⟨𝟖⟩ = {𝟖𝟎, 𝟖𝟏, 𝟖𝟐, 𝟖𝟑, 𝟖𝟒, 𝟖𝟓, 𝟖𝟔, 𝟖𝟕, 𝟖𝟖, 𝟖𝟗, 𝟖𝟏𝟎, 𝟖𝟏𝟏}=
= {𝟎, 𝟖, 𝟒, 𝟎, 𝟖, 𝟒, 𝟎, 𝟖, 𝟎, 𝟖, 𝟒, 𝟎} = {𝟎, 𝟒, 𝟖} De orden 3.
⟨𝟗⟩ = {𝟗𝟎, 𝟗𝟏, 𝟗𝟐, 𝟗𝟑, 𝟗𝟒, 𝟗𝟓, 𝟗𝟔, 𝟗𝟕, 𝟗𝟖, 𝟗𝟗, 𝟗𝟏𝟎, 𝟗𝟏𝟏}=
= {𝟎, 𝟗, 𝟔, 𝟑, 𝟎, 𝟗, 𝟔, 𝟑, 𝟎, 𝟗, 𝟔, 𝟑} = {𝟎, 𝟑, 𝟔, 𝟗} De orden 4.
⟨𝟏𝟎⟩ = {𝟏𝟎𝟎, 𝟏𝟎𝟏, 𝟏𝟎𝟐, 𝟏𝟎𝟑, 𝟏𝟎𝟒, 𝟏𝟎𝟓, 𝟏𝟎𝟔, 𝟏𝟎𝟕, 𝟏𝟎𝟖, 𝟏𝟎𝟗, 𝟏𝟎𝟏𝟎, 𝟏𝟎𝟏𝟏}=
= {𝟎, 𝟏𝟎, 𝟖, 𝟔, 𝟒, 𝟐, 𝟎, 𝟏𝟎, 𝟖, 𝟔, 𝟒, 𝟐} = {𝟎, 𝟐, 𝟒, 𝟔, 𝟖, 𝟏𝟎} De orden 6.
⟨𝟏𝟏⟩ = {𝟏𝟏𝟎, 𝟏𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝟐, 𝟏𝟏𝟑, 𝟏𝟏𝟒, 𝟏𝟏𝟓, 𝟏𝟏𝟔, 𝟏𝟏𝟕, 𝟏𝟏𝟖, 𝟏𝟏𝟗, 𝟏𝟏𝟏𝟎, 𝟏𝟏𝟏𝟏}=
= {𝟎, 𝟏𝟏, 𝟏𝟎, 𝟗, 𝟖, 𝟕, 𝟔, 𝟓, 𝟒, 𝟑, 𝟐, 𝟏} = {𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟖, 𝟗, 𝟏𝟎, 𝟏𝟏}. De
orden 12.
Diagrama del subgrupo de ℤ12
3. Muéstrese que un subconjunto no vacío H de un grupo G es un subgrupo de G si y sólo si 𝒂𝒃−𝟏 ∈ 𝑯, para toda 𝒂, 𝒃 ∈ 𝑯.
Esto se dá, si y sólo si:
ℤ12=(1)
{0}
⟨𝟒⟩
⟨𝟔⟩
⟨𝟐⟩
⟨𝟑⟩
∀𝒙, 𝒚 ∈ 𝑯 → 𝒙. 𝒚−𝟏 ∈ 𝑯
Para demostrar que un subconjunto no vacío H de un grupo G es un
subgrupo de G, procedemos del modo siguiente:
La implicación hacia la derecha es inmediata por la propia definición
de subgrupo.
Para la implicación hacia la izquierda, supongamos un subconjunto H
no vacío, verificando la condición del enunciado. Si 𝑦 ∈ 𝐻, tomando
𝑥 = 𝑦,→ 𝑦. 𝑦−1 = 𝑒 ∈ 𝐻, con lo cual H contiene al elemento identidad
de G.
Aplicando de nuevo dicha propiedad para los elementos 𝑒, 𝑦
obtenemos que 𝑒. 𝑦−1 = 𝑦−1 ∈ 𝐻, es decir, H es cerrado para los
inversos.
Luego, si 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐻, se prueba que 𝑦−1 ∈ 𝐻 , con lo cual también
contendrá a 𝑥. (𝑦−1)−1 = 𝑥. 𝑦, es decir, H también es cerrado para la
operación de G.
4. Sea la operación binaria de un grupo G cerrada en un
subconjunto finito no vacío H de G. Muéstrese que H es un subgrupo de G. Empezamos denotando esta condición de la siguiente manera:
𝑯 ≤ 𝑮 Tenemos por ejemplo que:
i) Todo grupo G es un subgrupo de sí mismo. ii) {e} es subgrupo de G, siempre que G sea un grupo y e sea el
elemento neutro de G. Los conjuntos G y {e} son subgrupos triviales de G.
iii) ℤ es un subgrupo de (ℚ,+) iv) 2.ℤ es un subgrupo de (ℤ, +)
Y el teorema siguiente que nos dice:
𝑆𝑒𝑎 𝐻 ⊆ (𝐺,∗), una condición necesaria y suficiente para que H sea
un subgrupo de (G, *) es que satisfaga:
a) 𝐻 ≠ ∅ b) 𝑎 ∗ 𝑏 ∈ 𝐻, para todo 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐻 c) Existe 𝑒 ∈ 𝐻, 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎, para todo 𝑎 ∈ 𝐻 d) Para cada 𝑎 ∈ 𝐻, existe 𝑎−1 ∈ 𝐻 tal que 𝑎 ∗ 𝑎−1 = 𝑎−1 ∗ 𝑎 = 𝑒
Primero se verifican las siguientes propiedades:
Una operación binaria es cerrada en un conjunto 𝐴 si dados dos
elementos del conjunto, al operarlos el resultado pertenece a 𝐴.
Entonces, sea la operación binaria en 𝐺 denotada por ∗, dados
𝑎, 𝑏 ∈ 𝐻, se tiene que 𝑎 ∗ 𝑏 ∈ 𝐻. Ahora, como 𝐻 es no vacío, por lo
menos hay un elemento 𝑎 ∈ 𝐻, entonces 𝑎, 𝑎2, 𝑎3 , … ∈ 𝐻. Luego también
tenemos que 𝐻 es finito por lo que los elementos que obtenemos de
𝑎, 𝑎2, 𝑎3, … en algún momento se repiten, es decir, habrá 𝑚 𝑦 𝑛 enteros
positivos tales que 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛 , que sin pérdida de generalidad si 𝑚 > 𝑛,
por ley de cancelación se tiene que 𝑒 = 𝑎𝑚−𝑠 ∈ 𝐻 y tenemos que 𝑒 ∈ 𝐻.
Por último, para 𝑎 ∈ 𝐻, y como 𝑒 ∈ 𝐻, podemos escribir 𝑎 ∗ 𝑎−1 = 𝑒 ∈
𝐻, de donde 𝑎−1 ∈ 𝐻 ya que para 𝑚 > 𝑛 ≥ 0 se tiene que 𝑎𝑚−𝑛−1 ∈ 𝐻 y
esto es: 𝑎𝑚−𝑛𝑎−1 = 𝑒𝑎−1 = 𝑎−1 ∈ 𝐻.
Con lo anterior, se tiene que el neutro de 𝐺 es el neutro de 𝐻, dados dos
elementos cualesquiera de 𝐻, al operarlos (bajo la operación de 𝐺), el
resultado está en 𝐻 y, por último, el inverso de un elemento de 𝐻 está
en 𝐻. Se concluye entonces que 𝐻 es en sí mismo un grupo respecto a la
operación de 𝐺 y por tanto 𝐻 ≤ 𝐺, es decir, 𝐻 es un subgrupo de 𝐺.
Si ℎ1, ℎ2 ∈ 𝐻, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ℎ1 ∗ ℎ2 ∈ 𝐻
El elemento identidad de G es un elemento de H.
Si ℎ ∈ 𝐻, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ℎ−1 ∈ 𝐻.
Estas condiciones sobre H garantizan que H sea un grupo, con la
misma operación de G (pero restringida a H). Observamos que la
propiedad asociativa para H es una consecuencia de la propiedad
asociativa que se verifica en G, además, el elemento neutro de H,
es precisamente el elemento neutro de G.
Demostración:
La implicación 𝐻 ≤ (𝐺,∗) → (𝑎)(𝑏)(𝑐)(𝑑)es trivial.
Ahora, tratemos de sumar (𝑎)(𝑏)(𝑐)𝑦 (𝑑). Por (𝑎) 𝑦 (𝑏), se tiene
que * es una operación binaria sobre H, que es asociativa por serlo
en G. Como 𝐻 ≠ ∅, 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑎 ∈ 𝐻. 𝑃𝑜𝑟 (𝑑), 𝑎−1 ∈ 𝐻 𝑦 𝑎𝑠í 𝑒 = 𝑎−1 ∗
𝑎 ∈ 𝐻, l.q. d.
5. Sea G un grupo y 𝒂 un elemento fijo de G, muéstrese que el conjunto 𝑯𝒂 = {𝒙 ∈ 𝑮|𝒙𝒂 = 𝒂𝒙}es un subgrupo de G. 𝐶(𝑥) es un subgrupo si y sólo si
𝒂,𝒃 ∈ 𝑪(𝒙) → 𝒂𝒃−𝟏 ∈ 𝑪(𝒙)
Tenemos entonces que demostrar que:
𝑎𝑥 = 𝑥𝑎 (1)
𝑏𝑥 = 𝑥𝑏 (2)
de donde se sigue que:
(𝑎𝑏−1)𝑥 = 𝑥(𝑎𝑏−1)
De la expresión (2) , multiplicamos al lado izquierdo por
𝑏−1 𝑦 obtenemos:
𝑏−1𝑏𝑥 = 𝑏−1𝑥𝑏
luego:
𝑥 = 𝑏−1𝑥𝑏
Ahora, realizamos la multiplicación para el lado derecho, también por
𝑏−1 y resulta:
𝑥𝑏−1 = 𝑏−1𝑥𝑏𝑏−1,
luego, tenemos:
𝑥𝑏−1 = 𝑏−1𝑥 (3)
Consideremos ahora el elemento 𝑎𝑏−1, tenemos:
(𝑎𝑏−1)𝑥 = 𝑎(𝑏−1𝑥)
Aplicando la (3), tenemos:
(𝑎𝑏−1)𝑥 = 𝑎(𝑥𝑏−1) = (𝑎𝑥)𝑏−1
Aplicando la (1), se tiene:
(𝑎𝑏−1)𝑥 = (𝑥𝑎)𝑏−1,
Por lo tanto:
(𝒂𝒃−𝟏)𝒙 = 𝒙(𝒂𝒃−𝟏)
l. q. d
UNIDAD 1. ASIGNACIÓN DEL DOCENTE.
1.- Sea G el conjunto de todas las matrices reales 2x2
(𝒂 𝒃𝟎 𝒅
) donde 𝒂𝒅 ≠ 𝟎.
Probar que G forma un grupo bajo la multiplicación de
matrices. ¿Es G un grupo abeliano? Justifique su respuesta.
Considero que para realizar este ejercicio, podemos partir de que
las matrices nxn con determinante no nulo, con el producto, son un
grupo, debemos demostrar que este conjunto que nos dan, es un
subgrupo de él.
Podemos apoyarnos en el teorema de caracterización de
subgrupos que nos dice que: dado un subconjunto H distinto del
vacío de un grupo G, si se cumple esta condición:
i) 𝑆𝑖 𝑎, 𝑏 €𝐻 → 𝑎 · 𝑏−1 € 𝐻, entonces H es un subgrupo de G.
Tenemos que 𝑎𝑑 ≠ 0, eso garantiza que existe la inversa.
Dada una matriz N
(𝑖 𝑗0 𝑘
)
Vemos cuál es la inversa, entonces, se toman los adjuntos:
(𝑘 0−𝑗 𝑖
)
Luego se transponen,
(𝑘 − 𝑗0 𝑖
)
Y lo dividimos por el determinante, resulta:
(𝑘/(𝑖𝑘) − 𝑗/(𝑖𝑘)
0/(𝑖𝑘) 𝑖/(𝑖𝑘))
Como 𝑖, 𝑘 ≠ 0, tenemos:
(1/𝑖 − 𝑗/(𝑖𝑘)
0 1/𝑘)
Luego, sea M una matriz como la del enunciado, y multiplicada por
ésta, tenemos:
𝑀 · 𝑁−1 = (𝑎 𝑏0 𝑑
) (1/𝑖 − 𝑗/(𝑖𝑘)
0 1/𝑘) = (
𝑎
𝑖−
𝑎𝑗
𝑖𝑘+ 𝑏/𝑘
0 𝑑/𝑘)
Es una matriz que tiene la forma de las matrices por tener 0 en el
elemento diagonal-inferior y el producto de la diagonal es:
𝑎𝑑 / (𝑖𝑘)
que está definido por ser 𝑖𝑘 ≠ 0 y es distinto de 0 por ser 𝑎𝑑 ≠ 0.
Luego, se cumple la condición en este conjunto es un subgrupo de
las matrices cuadradas 2x2 con determinante distinto de 0.
La matrices no suelen ser nada conmutativas, para ver si es
abeliano efectuemos el producto AB y BA y veamos si el resultado es
el mismo:
(𝑎 𝑏0 𝑑
) (𝑖 𝑗0 𝑘
) = (𝑎𝑖 𝑎𝑗 + 𝑏𝑘
0 𝑑𝑘)
(𝑖 𝑗0 𝑘
) (𝑎 𝑏0 𝑑
) = (𝑖𝑎 𝑖𝑏 + 𝑗𝑑
0 𝑘𝑑)
Por lo tanto, vemos que no es abeliano.
Para que sea abeliano debemos hacer que:
𝑎𝑗 + 𝑏𝑘 = 𝑖𝑏 + 𝑗𝑑
En este caso, si hacemos que 𝑎 = 𝑑, tenemos:
𝑎𝑗 + 𝑏𝑘 = 𝑖𝑏 + 𝑗𝑎
𝑦 𝑖 = 𝑘
𝑎𝑗 + 𝑏𝑖 = 𝑖𝑏 + 𝑗𝑎
Luego el grupo de estas matrices
(𝑎 𝑏0 𝑎
) con 𝑎 ≠ 0
Sí sería un grupo abeliano.
Pero el que nos proponen , no es un grupo abeliano.
2. Sean a, b números reales y defínase la función 𝝉𝒂𝒃: ℝ → ℝ
por 𝝉𝒂𝒃(𝒙) = 𝒂𝒙 + 𝒃. Sea G={𝝉𝒂𝒃|𝒂 ≠ 𝟎}. Probar que G es un
grupo bajo la composición de funciones. Encuentre la
fórmula para 𝝉𝒄𝒅°𝝉𝒂𝒃
En primer término, vemos que se cumplen las condiciones de
grupo:
1) 𝐸𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎.
𝑆𝑒𝑎𝑛 𝑓, 𝑔 € 𝐺
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑐𝑜𝑛 𝑎 ≠ 0
𝑔(𝑥) = 𝑐𝑥 + 𝑑 𝑐𝑜𝑛 𝑐 ≠ 0
(𝑓°𝑔)(𝑥) = 𝑓[𝑔(𝑥)] = 𝑎(𝑐𝑥 + 𝑑) + 𝑏
= (𝑎𝑐)𝑥 + (𝑎𝑑 + 𝑏) 𝑐𝑜𝑛 𝑎𝑐 ≠ 0
2) Es asociativa. Porque la composición de funciones es asociativa,
independientemente de la forma concreta de estas funciones.
Por definición, tenemos que:
[(𝑓°𝑔)°ℎ](𝑥) = (𝑓°𝑔)[ℎ(𝑥)] = 𝑓(𝑔[ℎ(𝑥)])
[𝑓°(𝑔°ℎ)](𝑥) = 𝑓[(𝑔°ℎ)(𝑥)] = 𝑓(𝑔[ℎ(𝑥)])
3) Tiene elemento neutro que será:
𝑒(𝑥) = 1 · 𝑥 + 0
𝑒(𝑥) = 𝑥
𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒
(𝑓°𝑒)(𝑥) = 𝑓[𝑒(𝑥)] = 𝑓(𝑥)
(𝑒°𝑓)(𝑥) = 𝑒[𝑓(𝑥)] = 𝑓(𝑥)
4) Tiene elemento inverso
Lo calculamos de la siguiente manera:
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑐𝑜𝑛 𝑎 ≠ 0
𝑦 − 𝑏 = 𝑎𝑥
𝑥 = (1
𝑎) 𝑦 − (
1
𝑎) 𝑏
como 𝑎 ≠ 0 tiene inverso y es distinto de 0
Luego el elemento inverso de:
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑠𝑒𝑟á
𝑓−1(𝑥) = (1/𝑎)𝑥 − (1/𝑎)𝑏
Si se prefiere, también se puede usar las propiedades de los reales, lo
cual nos queda así:
𝑓−1(𝑥) = 𝑥/𝑎 − 𝑏/𝑎
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
[𝑓𝑜𝑓−1(𝑥) ](𝑥) = 𝑓[𝑓−1(𝑥) (𝑥)]𝑎(𝑥/𝑎 − 𝑏/𝑎) + 𝑏 = 𝑥 − 𝑏 + 𝑏 = 𝑥
= 𝑒(𝑥)
[𝑓−1(𝑥) 𝑜𝑓](𝑥) = 𝑓−1(𝑥) [𝑓(𝑥)] = (𝑎𝑥 + 𝑏)/𝑎 − 𝑏/𝑎 = 𝑥 − 𝑏𝑎 + 𝑏𝑎
= 𝑥 = 𝑒(𝑥)
Por lo tanto, al probarse las condiciones, decimos que G es
un grupo bajo la composición de funciones.
Demostración.
Para encontrar la fórmula de la composición de dos funciones,
tenemos:
𝜏𝑐𝑑°𝜏𝑎𝑏: ℝ → ℝ
(𝜏𝑐𝑑°𝜏𝑎𝑏)(𝑥) = 𝜏𝑐𝑑[𝜏𝑎𝑏(𝑥)] =
𝑐 . 𝜏𝑎𝑏(𝑥) + 𝑑 = 𝑐(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝑑 =
= 𝒂𝒄𝒙 + 𝒃𝒄 + 𝒅
3. Probar que cualquier subgrupo de un grupo cíclico es
cíclico.
Demostración.
Sea 𝐺 = ⟨𝑔⟩ un grupo cíclico, y sea 𝐻 ≤ 𝐺.
Es claro que si H es un subgrupo impropio de G es cíclico.
Supongamos que H es un subgrupo propio.
Sea 𝑔𝑘 ∈ 𝐻 tal que 𝑔𝑚 ∉ 𝐻 para 𝑚 < 𝑘, y sea 𝑔𝑠 otro elemento de H.
Utilizando el algoritmo de división de Euclides, podemos escribir:
𝑠 = 𝑐𝑘 + 𝑟 con 0 ≤ 𝑟 < 𝑘.
Como H es un subgrupo:
(𝑔𝑘)−1 = 𝑔−𝑘 ∈ 𝐻.
Por tanto:
𝑔𝑠(𝑔−𝑘)𝑐 = 𝑔𝑠−𝑐𝑘 = 𝑔𝑟 ∈ 𝐻
en contra de la definición de k, a menos que r=0.
Así, cada elemento de H es de la forma (𝑔𝑘)𝑛 para algún 𝑛 ∈ ℤ, y H es
cíclico generado por 𝑔𝑘 . QED.
UNIDAD 2. PERMUTACIONES Y GRUPOS COCIENTE.
FORO. Permutaciones y Grupos Cociente.
Grupo Simétrico.
Si A es el conjunto finito {1,2,…,n}, entonces el grupo de todas las
permutaciones de A, es el grupo simétrico de n letras y se denota por
𝑆𝑛. Nótese que 𝑆𝑛 tiene n! elementos, donde:
𝑛! = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)… (3)(2)(1)
Permutaciones.
Una permutación en un conjunto A es una función A en A que es
biyectiva; el conjunto de biyecciones bajo la composición de funciones
forma un grupo, y tal grupo resulta no ser abeliano. Ahora a las
biyecciones las llamaremos permutaciones. Una permutación la
denotamos así:
Sea un conjunto A={1,2,3,45}
Podemos definir la permutación 𝜎 por:
𝜎 = (1 2 3 4 54 2 5 3 1
)
que significa que
{1,2,3,4,5}𝜎 {1,2,3,4,5}
1 ↦ 4 2 ↦ 2 3 ↦ 5 4 ↦ 3 5 ↦ 1
Grupo de Simetrías.
Al grupo formado por el conjunto de permutaciones bajo la
multiplicación de permutaciones se le denomina grupo de simetrías y
se denota 𝑆𝑛. Pensemos en el grupo S3, en el cual tenemos 3!=6
permutaciones. Definamos las permutaciones por:
Formemos la tabla de Cayley de este grupo:
Ciclos y órbitas.
Ciclo. Es un tipo especial de permutación que fija cierto número de elementos, mientras que se mueve cíclicamente el resto. Se denota así:
𝝈 = (𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 𝟔 𝟕 𝟖 𝟏 𝟒 𝟔 𝟑 𝟓 𝟖 𝟕 𝟐
)
A esta forma de expresar permutaciones, se le llama notación cíclica.
𝝈 = (𝟐, 𝟒, 𝟑, 𝟔, 𝟖) Órbita. La órbita de un punto 𝑥 son todos aquéllos elementos a los
que se puede alcanzar bajo la acción del grupo, piénsese en el 𝐷4 , si
tomamos un vértice, digamos 1, es claro que bajo la acción de 𝐷4, sólo
puede alcanzar a los otros vértices, es decir, 1𝐷4 = {1,2,3,4}, de la
misma manera, el conjunto de lados, es la órbita 𝑠1𝐷4 y así
sucesivamente. Un grupo G actuando sobre un conjunto lo denotamos
así:
𝑿:𝑮(𝒙) = {𝒈(𝒙): 𝒈 ∈ 𝑮}
Grupo alternante.
Es el subgrupo de 𝑆𝑛 que consta de las permutaciones pares de n letras, se denota 𝐴𝑛 de n letras. Todo grupo alternante está formado por un producto par de transposiciones, que forzosamente deben de tener las siguientes formas:
(𝒂, 𝒃)(𝒂, 𝒄) = (𝒂, 𝒃, 𝒄)
(𝒂, 𝒃)(𝒄, 𝒅) = (𝒂, 𝒃, 𝒄)(𝒄, 𝒂, 𝒅)
(𝒂, 𝒃)(𝒃, 𝒄) = (𝒂, 𝒄, 𝒃)
Por lo que, efectivamente, cualquier grupo alternante de grado mayor
o igual a 3, puede ser descompuesto en producto de 3-ciclos.
Grupo diédrico.
Un grupo diédrico Dn, es el conjunto de reflexiones y rotaciones
posibles en un polígono regular de n lados.
El grupo S3 junto con Z6 son los dos grupos posibles de orden 6.
Considérese las tres permutaciones en 𝑆6:
𝝈 = (𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 𝟔𝟑 𝟏 𝟒 𝟓 𝟔 𝟐
) 𝝉 = (𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 𝟔𝟐 𝟒 𝟏 𝟑 𝟔 𝟓
) 𝝁 = (𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 𝟔𝟓 𝟐 𝟒 𝟑 𝟏 𝟔
)
Clases de conjugación.
Se le llama así al mapeo 𝑥 → 𝑔−1𝑥𝑔, donde los elementos 𝑥 son los
elementos conjugados.
La acción de G en sí mismo por conjugación no es transitiva, en este
caso, las órbitas 𝑂𝐺(𝑥) se llaman clases de conjugación y se denotan
por:
𝒄𝒐𝒏𝒋𝑮(𝒙)𝒅𝒆𝒇
={𝒈𝒙𝒈−𝟏: 𝒈 ∈ 𝑮
Clases laterales.
Sea H un subgrupo de un grupo G, y sea 𝑎 ∈ 𝐺. La clase lateral izquierda 𝑎𝐻 es el conjunto {𝑎ℎ|ℎ ∈ 𝐻}, la clase lateral derecha Ha es el conjunto {ℎ𝑎|ℎ ∈ 𝐻}. Si un grupo G se puede partir en celdas de modo que la operación inducida esté bien definida y forme un grupo, entonces las celdas son precisamente, las clases laterales izquierdas y derechas, en particular, toda clase lateral izquierda es una clase lateral derecha.
Teorema de Lagrange. La relación de congruencia en el conjunto de números enteros motiva la siguiente definición, que es la adaptación para grupos de dicha relación. Teorema de Lagrange: Sea G un grupo de orden n, y H un subgrupo de G de orden m, entonces m divide a n.
Grupo cociente.
Tenemos que G/N es un grupo bajo la operación ( 𝑁𝑎 )( 𝑁𝑏 ) = 𝑁𝑎𝑏 Por tanto 𝐺/𝑁 es un grupo llamado grupo factor de G módulo N ó grupo cociente de G por N.
Subgrupo normal.
Un subgrupo 𝐻 de 𝐺 es normal si sus coconjuntos derechos e
izquierdos coinciden, lo que notaremos por 𝐻 ⊲ 𝐺 es decir:
𝑯 ⊲ 𝑮:↔ ∀𝒈 ∈ 𝑮, 𝒈𝑯 = 𝑯𝒈
Todo subgrupo de un grupo abeliano es normal.
Conmutadores.
Por definición del teorema, son todos los elementos 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 , de la
forma 𝑎𝑏𝑎−1𝑏−1 en un grupo; el conjunto de todos los conmutadores
forman un subgrupo normal G’ llamado subgrupo conmutador de G y
el grupo factor G/G’ es abeliano. Además G/N es abeliano si y sólo si
G’<N.
ACTIVIDAD 3. GRUPOS DE PERMUTACIONES.
INSTRUCCIONES: Resuelva los siguientes ejercicios y envíelos
para su revisión en el apartado correspondiente del aula virtual.
1. ¿Cuándo se dice que una permutación es un ciclo? Explique y proporcione un ejemplo.
Un ciclo, es un tipo especial de permutación que fija cierto número
de elementos, mientras que se mueve cíclicamente el resto. Se denota
así:
𝛔 = (𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 𝟔 𝟕 𝟖 𝟏 𝟒 𝟔 𝟑 𝟓 𝟖 𝟕 𝟐
)
A esta forma de expresar permutaciones, se le llama notación cíclica.
𝝈 = (𝟐, 𝟒, 𝟑, 𝟔, 𝟖)
2. Defina qué es la longitud de un ciclo. Proporcione un
ejemplo.
Una permutación σ de un conjunto A , es un ciclo de longitud n , si
existen {𝑎1, 𝑎2. . . , 𝑎𝑛} ∈ 𝐴, tales que:
𝑎1 𝜎 = 𝑎2, 𝑎2𝜎 = 𝑎3, … , 𝑎𝑛−1𝜎 = 𝑎𝑛𝜎, 𝑎𝑛𝜎 = 𝑎1
𝑦 𝑥𝜎 = 𝑥 ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑥 ∉ {𝑎1, 𝑎2 … , 𝑎𝑛}
Escribimos
𝝈 = {𝒂𝟏, 𝒂𝟐 … , 𝒂𝒏}
Los ciclos pueden multiplicarse entre sí como lo hacemos con las
permutaciones, pero la multiplicación de dos ciclos, no
necesariamente es otro ciclo, por ejemplo, consideremos en 𝑆6, la
siguiente multiplicación de ciclos:
(1,4,5,6)(2,1,5) = (1 2 3 4 5 6 4 1 3 2 6 5
)
Notamos que esto no es un ciclo.
Consideremos la permutación
(1 2 3 4 5 6 6 5 2 4 3 1
)
Podemos ver que esto no es en sí un ciclo, pero analizando, podemos
encontrar una especie de ciclos internos, por ejemplo, al mirar a 1,
vemos que éste va a dar al 6 y el 6 regresa a 1, es así pues, que
detectamos un ciclo (1,6). Si seguimos analizando la permutación,
vemos que el 2 va al 5, el 5 al 3 y el 3 al 2, he aquí otro ciclo. También
vemos que el 4 queda fijo. Entonces podemos escribir:
(𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 𝟔 𝟔 𝟓 𝟐 𝟒 𝟑 𝟏
) = (𝟏, 𝟔)(𝟐, 𝟓, 𝟑)
Esto es, los elementos no fijos de σ pueden recorrerse todos yendo de
original a imagen, empezando por uno cualquiera.
Tenemos otro ejemplo:
𝑆𝑒𝑎 𝜎 = (2,3,1)𝑒𝑙 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜 𝑒𝑛 𝑆4.
Vemos que 𝜎 es un 3 − 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜 y corresponde a la permutación:
𝝈 = (1 2 3 4
2 3 1 4 ) = (2,3,1)
3. Los ciclos siguientes son permutaciones de 𝑺𝟖. Calcule los
productos que se indican: ¿??
a) (1,4,5)(7,8)(2,5,7)
Vamos a calcular de derecha a izquierda, igual que en la
multiplicación de permutaciones, entonces:
(1,4,5)(7,8)(2,5,7) = (4,1,3,5,8,6,2,7)
b) (1,2)(4,7,8)(2,1)(7,2,8,1,5)
(1,2)(4,7,8)(2,1)(7,2,8,1,5) = (5,4,3,7,8,6,2,1)
c) (1,3,2,7)(4,8,6)
(1,3,2,7)(4,8,6) = (3,7,2,8,5,4,1,6)
4. ¿Cuándo dos ciclos son ajenos? Dos ciclos son ajenos o disjuntos, si dichas permutaciones, una fija
un elemento, mientras que la otra lo mueve, es decir, si 𝜎(𝑥) ≠ 𝑥
entonces 𝜏(𝑥) = 𝑥 y si 𝜏(𝑧) ≠ 𝑧 entonces 𝜎(𝑧) = 𝑧.
Por ejemplo, en 𝑆6 los ciclos 𝜎 = (5,6) y 𝜏 = (1,2) son ajenos o
disjuntos pues para 1, es claro que 𝜏(1) ≠ 1 pero 𝜎(1) = 1 y lo mismo
ocurre con el 2, luego para 5 𝜎(5) ≠ 5 pero 𝜏(5) = 5 y lo mismo con el
6.
Entonces yo entiendo que, si al momento de escribir dos ciclos como
en el inciso anterior, los elementos en él son distintos, decimos que los
ciclos son ajenos, es decir, los ciclos mueven a elementos diferentes
entre sí, aquí, podemos preguntarnos: será posible que cualquier
permutación pueda ser expresada como producto de ciclos ajenos?
Regresando al ejemplo del inciso anterior,
(1 2 3 4 5 6 6 5 2 4 3 1
) = (1,6)(2,5,3)
Luego, tenemos que la respuesta es sí, dado que la multiplicación de
ciclos ajenos es conmutativa.
Teorema. Cada permutación 𝜎 de un conjunto finito A es producto
de ciclos ajenos.
Demostración. Supongamos el conjunto 𝐴 = {1,2, … 𝑛}.
Si tomamos el primer elemento y lo pasamos por una permutación 𝜎,
sucesivamente, podemos obtener los elementos:
1,1𝜎, 1𝜎2, … 1𝜎𝑛 , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 1 = 1𝜎𝑛
Ahora definamos el ciclo
𝜏1 = (1,1𝜎, 1𝜎2, …𝜎𝑛−1)
Notamos que habrá elementos en A que no aparezcan en este ciclo,
tomémoslos y hagamos el mismo procedimiento:
𝑖, 𝑖𝜎, … 𝑖𝜎𝑚
Formemos ahora el ciclo
𝜏2 = (𝑖, 𝑖𝜎, 𝑖𝜎2, … 𝑖𝜎𝑚−1)
Estos dos ciclos son ajenos, ya que de no serlo, tendrían al menos
un elemento j en común, y los ciclos podrían construirse a partir de
repetidas aplicaciones de 𝜎 sobre j.Este procedimiento se sigue hasta
que todos los elementos de A, quedan en algún ciclo, así pues,
tenemos:
𝝈 = 𝝉𝟏𝝉𝟐 …𝝉𝒌
Por lo cual, definimos un ciclo de longitud n y que toda permutación
es producto de ciclos ajenos.
5. Defina qué es una transposición?
Un ciclo de longitud 2 es una transposición.
Es decir, una transposición deja a todos los elementos fijos excepto a
2, y lleva a cada uno al otro.
Del Teorema anterior, se sigue directamente que una permutación no
sólo puede ser expresada como producto de ciclos, sino también de
transposición, esta idea viene expresada en un corolario.
Corolario. Cualquier permutación de un conjunto finito de al menos
dos elementos es un producto de transposiciones.
Voy a retomar la permutación
(1 2 3 4 5 6 6 5 2 4 3 1
)
la cual pudimos descomponer en un producto de ciclos:
(1 2 3 4 5 6 6 5 2 4 3 1
) = (1,6)(2,5,3)
Entonces, ahora trataremos de descomponerla en transposiciones y
nos quedaría:
(1 2 3 4 5 6 6 5 2 4 3 1
) = (1,6)(2,5,3) = (1,6)(2,5)(2,3)
Las permutaciones descompuestas a través de productos de
transposiciones nos muestra que éstas no son necesariamente ajenas,
y la forma de poner las transposiciones no es única.
Otros ejemplos:
𝑺𝒆𝒂 𝝈 ∈ 𝑺𝟒
𝜎 = (1 2 3 42 3 4 1
) 𝑒𝑠 𝑢𝑛 4 − 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜
𝜎 = (1 2 3 4).
𝑺𝒆𝒂 𝝈 ∈ 𝑺𝟓
𝜎 = (1 2 3 4 53 1 2 4 5
) = (1 3 2)(4)(5) = (1 3 2)
6. Exprese cada una de las siguientes permutaciones de 𝑺𝟖
como productos de ciclos ajenos y después como producto de transposiciones.
𝜶 = (𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 𝟔 𝟕 𝟖𝟖 𝟐 𝟔 𝟑 𝟕 𝟒 𝟓 𝟏
) , 𝜷 = (𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 𝟔 𝟕 𝟖𝟑 𝟔 𝟒 𝟏 𝟖 𝟐 𝟓 𝟕
) , 𝜸 = (𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 𝟔 𝟕 𝟖𝟑 𝟏 𝟒 𝟕 𝟐 𝟓 𝟖 𝟔
)
a) Para expresar la permutación 𝛼 = (1 2 3 4 5 6 7 88 2 6 3 7 4 5 1
) como producto
de ciclos ajenos, tomamos el 1, lo escribimos y vemos que va al 8,
luego, vemos que el 8, va al 1 y cerramos el ciclo.
(1, 8)
Comenzamos otro ciclo, con el 2,
(1,8)(2,
Vemos que el 2 va al 2 y los ciclos de un elemento no se anotan,
entonces lo quitamos y empezamos uno con el 3, el cual vemos que va
al 4 y el 4 va al 6 y el 6 va al 3, luego terminamos este 3-ciclo:
(1,8)(3,4,6)
Y el siguiente lo abrimos con el 5, el cual es el número más bajo que
todavía no ha salido, entonces:
(1,8)(3,4,6)(5,
Vemos que el 5 va al 7 y el 7 al 5, entonces, cerramos el ciclo.
𝜶 = (𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 𝟔 𝟕 𝟖𝟖 𝟐 𝟔 𝟑 𝟕 𝟒 𝟓 𝟏
) = (𝟏, 𝟖)(𝟑, 𝟒, 𝟔)(𝟓, 𝟕)
Esta es la permutación como producto de ciclos ajenos.
Ahora bien, para expresarla como transposiciones, podemos hacer lo
siguiente, cuando un ciclo tiene más de dos elementos pongo los 2-
ciclos siguientes, primero con segundo, primero con tercero, primero
con cuarto y así hasta primero con el último; de tal modo, que la
permutación de arriba nos quede:
𝜶 = (𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 𝟔 𝟕 𝟖𝟖 𝟐 𝟔 𝟑 𝟕 𝟒 𝟓 𝟏
) = (𝟏, 𝟖)(𝟑, 𝟒, 𝟔)(𝟓, 𝟕) = (𝟏, 𝟖)(𝟑, 𝟒)(𝟑, 𝟔)(𝟓, 𝟕)
c) Para expresar la permutación 𝛽 = (1 2 3 4 5 6 7 83 6 4 1 8 2 5 7
), como producto
de ciclos ajenos, tenemos:
𝜷 = (𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 𝟔 𝟕 𝟖𝟑 𝟔 𝟒 𝟏 𝟖 𝟐 𝟓 𝟕
) = (𝟏, 𝟒, 𝟑)(𝟐, 𝟔)(𝟓, 𝟕, 𝟖)
y como producto de 2-ciclos es:
𝜷 = (𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 𝟔 𝟕 𝟖𝟑 𝟔 𝟒 𝟏 𝟖 𝟐 𝟓 𝟕
) = (𝟏, 𝟒, 𝟑)(𝟐,𝟔)(𝟓,𝟕, 𝟖) = (𝟏, 𝟒)(𝟏,𝟑)(𝟐,𝟔)(𝟓,𝟕)(𝟓,𝟖)
c)Para expresar la permutación 𝛾 = (1 2 3 4 5 6 7 83 1 4 7 2 5 8 6
) como producto de
ciclos ajenos, tenemos:
𝜸 = (𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 𝟔 𝟕 𝟖𝟑 𝟏 𝟒 𝟕 𝟐 𝟓 𝟖 𝟔
) = (𝟏, 𝟐, 𝟓, 𝟔, 𝟖, 𝟕, 𝟒, 𝟑)
y como producto de 2-ciclos es:
𝜸 = (𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 𝟔 𝟕 𝟖𝟑 𝟏 𝟒 𝟕 𝟐 𝟓 𝟖 𝟔
) = (𝟏,𝟐, 𝟓, 𝟔, 𝟖, 𝟕, 𝟒, 𝟑) =
= (𝟏, 𝟐)(𝟏, 𝟓)(𝟏,𝟔)(𝟏, 𝟖)(𝟏,𝟕)(𝟏,𝟒)(𝟏,𝟑)
7. ¿Cuándo una permutación es par? ¿Cuándo es impar?
Una permutación de un conjunto es par o impar, de acuerdo con que
pueda expresarse como el producto de un número par de
transposiciones o como el producto de un número impar de
transposiciones respectivamente.
Teorema. Si 𝑛 ≥ 2, la colección de todas las permutaciones pares de {1,2,3, … 𝑛} forma un subgrupo de orden n!/2 del grupo simétrico 𝑆𝑛.
Demostración. Nombremos al conjunto de permutaciones pares 𝐴𝑛
y al de impares 𝐵𝑛 ,entonces se muestra que ambos conjuntos tienen la
misma cardinalidad, para ello, encontraremos una función biyectiva
de 𝐴𝑛 a 𝐵𝑛.
Definamos la transposición
𝜏 = (1,2)
y la función
𝜆𝜏: 𝐴𝑛 → 𝐵𝑛 ,
Luego:
𝜎𝜆𝜏: 𝜏𝜎
Las 𝜎 ∈ 𝐴𝑛, así que al pasarlo por la función, va a dar a algún (1,2)𝜎,
lo cual es un producto de un número impar de transposiciones, por lo
que λ, está bien definida.
Mostremos que es inyectiva:
𝑆𝑒𝑎 𝜎, 𝜇 ∈ 𝐴𝑛
Y resulta que:
(1,2)𝜎 = (1,2)𝜇
Utilizando el teorema de cancelación izquierda tenemos:
𝝈 = 𝝁
Mostremos que es sobreyectiva:
Tenemos que 𝜏 es su propio inverso, y siendo:
𝜌 ∈ 𝐵𝑛
Entonces:
𝜏−1𝜌 ∈ 𝐴𝑛
Por lo tanto:
(𝝉−𝟏𝝆)𝝀𝝉 = 𝝉(𝝉−𝟏𝝆) = 𝝆
Bueno, aquí se prueba que la cardinalidad de 𝐴𝑛 𝑒𝑠 𝑛!/2, para ver que
es un grupo, es suficiente con darse cuenta que al ser 𝐴𝑛, el conjunto
de las permutaciones pares, la identidad está en 𝐴𝑛 , luego el producto
de dos permutaciones es par, por lo que la operación está bien
definida, y al tomar estas operaciones en sentido contrario tenemos las
𝜎−1.
Ejemplo:
(1 2 3 4 52 3 1 4 5
) = (1 2)(1 3)
Es una permutación par porque es el producto de dos
transposiciones.
y
(1 2 3 4 52 3 1 4 5
) = (1 2)(1 3)(1 5)
Es una permutación impar porque es el producto de tres
transposiciones.
8. Proporcione la definición de grupo alternante.
Es el subgrupo de 𝑆𝑛 que consta de las permutaciones pares de 𝑛
letras, se denota 𝐴𝑛 de n letras. Como el producto de dos
permutaciones pares es par, 𝐴𝑛 es cerrado bajo el producto de 𝑆𝑛 y la
inversa de una permutación par es par y así 𝐴𝑛 ⊆ 𝑆𝑛 es un subgrupo
llamado grupo alternante. Entonces, en palabras más comunes, todo
grupo alternante está formado por un producto par de
transposiciones, que forzosamente deben de tener las siguientes
formas:
(a, b)(a, c) = (a, b, c)
(a, b)(c, d) = (a, b, c)(c, a, d)
(a, b)(b, c) = (a, c, b)
Por lo que, efectivamente, cualquier grupo alternante de grado mayor
o igual a 3, puede ser descompuesto en producto de 3-ciclos.
9. ¿Cuáles de las permutaciones de 𝑺𝟑 son permutaciones pares? Obténgase la tabla para el grupo alternante 𝑨𝟑. En primer lugar, ya vimos que los elementos de 𝑆3 son:
𝜎0 = (1 2 31 2 3
) , 𝜎1 = (1 2 31 3 2
) , 𝜎2 = (1 2 32 1 3
)
𝜎3 = (1 2 32 3 1
) , 𝜎4 = (1 2 33 1 2
) , 𝜎5 = (1 2 33 2 1
)
Entonces si tenemos
𝜎0 = (1,2,3) = (1,3)(1,2) es par.
𝜎1 = {2,3} es impar.
Para 𝜎2 , es impar.
Para 𝜎3 = (1,2,3) → 𝜎3 = (1,3)(1,2) = 𝜎0 es par.
Para 𝜎4 = (1,3,2) → 𝜎4 = (1,2)(1,3) , es par.
Para 𝜎5 es impar.
De este modo, las permutaciones de 𝑆3 que son pares son:
𝑨𝟑 = {𝝈𝟎, 𝝈𝟑, 𝝈𝟒}.
Tenemos que la tabla para el grupo alternante 𝐴3 es:
𝝈𝟎 𝝈𝟑 𝝈𝟒 𝝈𝟎 𝜎0 𝜎3 𝜎4
𝝈𝟑 𝜎3 𝜎4 𝜎0 𝝈𝟒 𝜎4 𝜎0 𝜎3
10. Sea 𝝈 una permutación de un conjunto A. Diremos que 𝝈 𝐦𝐮𝐞𝐯𝐞 𝒂 ∈ 𝑨 𝒔𝒊 𝝈(𝜶) ≠ 𝜶. 𝐒𝐢 𝑨 es un conjunto finito, ¿cuántos elementos son movidos por un ciclo 𝝈 ∈ 𝑺𝑨 de longitud n. Tenemos el ciclo de longitud 𝑛, de 𝑛 elementos, digamos {𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛}.
Ahora como es un ciclo, 𝜎 mueve a los 𝑛 elementos del ciclo, de tal
forma que:
𝒂𝟏 → 𝒂𝟐 → 𝒂𝟑 → ⋯ → 𝒂𝒏−𝟏 → 𝒂𝒏 → 𝒂𝟏
Se comienza el ciclo, si existe un elemento 𝑎 ∈ 𝐴 tal que 𝜎(𝑎) = 𝑎,
entonces, habrá 𝑛 − 1 elementos en el ciclo, los mismos que son
movidos por 𝜎.
11. Sea G un grupo y sea 𝒂 un elemento fijo de G. Mostrar que la función 𝝀𝒂: 𝑮 → 𝑮,dada por 𝝀𝒂(𝒈) = 𝒂𝒈 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒈 ∈ 𝑮, es una permutación del conjunto G. Tenemos que si 𝜆𝑎(𝑔) = 𝜆𝑎(𝑔′) , entonces 𝑎(𝑔) = 𝑎(𝑔′), luego𝑔 = 𝑔′, y
𝜆𝑎(𝑎−1𝑔) = 𝑔, así vemos que 𝜆𝑎 es una permutación, pues es una
biyección.
Sea 𝐺′ = {𝜆𝑎: 𝑎 ∈ 𝐺}, como 𝜆𝑎−1 = 𝜆𝑎−1 𝑦 𝜆𝑒 = 𝐼𝑑, entonces 𝐺′ ≤ 𝑆𝐺 . Y
asimismo vemos que 𝑔 ↦ 𝜆𝑔 es un isomorfismo.
ACTIVIDAD 4. CLASES LATERALES.
INSTRUCCIONES: Resuelva los siguientes ejercicios.
1. Sean G un grupo y H un subgrupo de G. 𝐏𝐚𝐫𝐚 𝒂, 𝒃 ∈ 𝑮, defínase 𝒂~𝒃 𝒔𝒊 𝒂𝒃−𝟏 ∈ 𝑯. Pruebe que esta es una relación de equivalencia en G.
De acuerdo al documento, probamos que es una relación de equivalencia
en G si cumple con las siguientes propiedades.
Propiedad reflexiva. Podemos decir que: 𝑎~𝑎 si 𝑎𝑎−1 ∈ 𝐻, lo cual es
directo ya que 𝑎𝑎−1 = 𝑒 ∈ 𝐻. Se cumple.
Propiedad de simetría. Tenemos que para 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺, 𝑎~𝑏 si 𝑎𝑏−1 ∈ 𝐻
entonces 𝑏~𝑎 si 𝑏𝑎−1 ∈ 𝐻. Luego, como 𝑎𝑏−1 ∈ 𝐻, se tiene que (𝑎𝑏−1)−1 ∈
𝐻 pues 𝐻 es un grupo y en él existen los inversos, por tanto (𝑎𝑏−1)−1 =
𝑏𝑎−1 ∈ 𝐻. Se cumple.
Propiedad transitiva. Decimos que si 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺 y 𝑎~𝑏, 𝑏~𝑐 entonces
𝑎~𝑐, por lo cual tenemos que:
𝑎𝑏−1 ∈ 𝐻, 𝑏𝑐−1 ∈ 𝐻
Luego, como 𝐻 es un grupo, (𝑎𝑏−1)(𝑏𝑐−1) ∈ 𝐻, esto es(𝑎)(𝑏−1𝑏)(𝑐−1) =
(𝑎)(𝑒)(𝑐−1) ∈ 𝐻, 𝑎𝑐−1 ∈ 𝐻 y por tanto 𝑎~𝑐. Se cumple.
Por lo tanto, se concluye que 𝒂~𝒃 si 𝒂𝒃−𝟏 ∈ 𝑯 es una relación de
equivalencia en 𝑮.
2. Esta siguiente relación es similar a la anterior. Sean
𝑮 𝐮𝐧 𝐠𝐫𝐮𝐩𝐨 𝒚 𝑯 𝐮𝐧 𝐬𝐮𝐛𝐠𝐫𝐮𝐩𝐨 𝐝𝐞 𝑮. 𝐏𝐚𝐫𝐚 𝒂, 𝒃 ∈ 𝑮, 𝐝𝐞𝐟í𝐧𝐚𝐬𝐞 𝒂~𝒃 𝒔𝒊
𝒂−𝟏𝒃 ∈ 𝑯 . Pruebe que esta una relación de equivalencia en G.
Procedemos de manera similar para probar la relación de equivalencia.
Propiedad reflexiva. Decimos que 𝑎~𝑎 si 𝑎−1𝑎 ∈ 𝐻, lo cual es directo ya
que 𝑎−1𝑎 = 𝑒 ∈ 𝐻. Se cumple.
Propiedad de simetría. Se prueba que para 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺, 𝑎~𝑏 si 𝑎−1𝑏 ∈ 𝐻
entonces 𝑏~𝑎 si 𝑏−1𝑎 ∈ 𝐻. Entonces, como 𝑎−1𝑏 ∈ 𝐻, se tiene que
(𝑎−1𝑏)−1 ∈ 𝐻 pues 𝐻 es un grupo y en él existen los inversos, por tanto
(𝑎−1𝑏)−1 = 𝑏−1𝑎 ∈ 𝐻. Se cumple.
Propiedad transitiva. Decimos que, si 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺 y 𝑎~𝑏, 𝑏~𝑐 entonces
𝑎~𝑐. Por lo cual tenemos que: 𝑎−1𝑏 ∈ 𝐻, 𝑏−1𝑐 ∈ 𝐻.
Entonces, como 𝐻 es un grupo, (𝑎−1𝑏)(𝑏−1𝑐) ∈ 𝐻, es decir,
(𝑎−1)(𝑏𝑏−1)(𝑐) = (𝑎−1)(𝑒)(𝑐) ∈ 𝐻, 𝑎−1𝑐 ∈ 𝐻 y por tanto 𝑎~𝑐. Se cumple.
Por lo tanto, se concluye que 𝒂~𝒃 si 𝒂−𝟏𝒃 ∈ 𝑯 es una relación de
equivalencia en 𝑮.
3. En el ejemplo 4, se definió la relación 𝒂~𝒃 𝐬𝐢 𝒂−𝟏𝒃 ∈ 𝑯.
Demuestre que [𝒂] = 𝒂𝑯 = {𝒂𝒉|𝒉 ∈ 𝑯}. El conjunto 𝒂𝑯 se llama
clase lateral derecha de H en G que contiene a 𝒂.
Tenemos que [𝑎] = {𝑏 ∈ 𝑆|𝑎~𝑏} = {𝑏 ∈ 𝑆|𝑎−1𝑏 ∈ 𝐻} y como 𝑎−1𝑏 ∈
𝐻, 𝑎−1𝑏 = ℎ para algún ℎ ∈ 𝐻 y tenemos que [𝑎] = {𝑏 ∈ 𝑆|𝑎−1𝑏 = ℎ ∈ 𝐻}.
De aquí, tenemos que para 𝑎−1𝑏 = ℎ podemos escribir 𝑏 = 𝑎ℎ para algún
ℎ ∈ 𝐻 si multiplicamos a la izquierda por 𝑎.
Por consiguiente, [𝒂] = {𝒃 ∈ 𝑺|𝒃 = 𝒂𝒉, 𝒉 ∈ 𝑯} = {𝒂𝒉|𝒉 ∈ 𝑯}.
La influencia importante que tiene una relación de equivalencia sobre un
conjunto es que lo separa en partes disjuntas bien definidas. A menudo a
esta separación se le llama una partición del conjunto.
TEOREMA 1. Si ~ es una relación de equivalencia en S,
entonces
𝑺 = ⋃[𝒂]
donde esta unión pasa sobre un elemento de cada clase, y
donde [𝒂] ≠ [𝒃] = ∅ implica que [𝒂] ∩ [𝒃] = ∅.
4. Demostración. Se deja como ejercicio.
Demostración del TEOREMA 1 anterior.
Puesto que 𝑎 ∈ [𝑎], se tiene que ⋃ [𝑎] = 𝑆𝑎∈𝑆 . La demostración de la
segunda afirmación es fácil, se demuestra que si [𝑎] ≠ [𝑏], entonces
[𝑎] ∩ [𝑏] = {∅}, o de manera equivalente, si [𝑎] ∩ [𝑏] ≠ { }, entonces
[𝑎] = [𝑏].
Supongamos que [𝑎] ∩ [𝑏] ≠ {∅}; sea 𝑐 ∈ [𝑎] ∩ [𝑏];
Por la definición de clase:
𝑐~𝑎 ya que 𝑐 ∈ [𝑎]𝑦 𝑐~𝑏 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑐 ∈ [𝑏] .
Por lo tanto, 𝑎~𝑐 por la propiedad 2 de equivalencia, y entonces, puesto
que 𝑎~𝑐 𝑦 𝑐~𝑏, se tiene que 𝑎~𝑏, de esta manera 𝑎 ∈ [𝑏]
Ahora bien, si 𝑥~𝑎 𝑦 𝑎~𝑏, dan lugar a que 𝑥~𝑏, por consiguiente 𝑥 ∈ [𝑏].
Así que, [𝒂] ⊂ [𝒃]. El argumento es obviamente simétrico en
𝒂 𝒚 𝒃, de modo que [𝒃] ⊂ [𝒂], de donde [𝒂] = [𝒃] y se prueba la
afirmación hecha anteriormente.
5. Verifíquese que la relación ~ es una relación de equivalencia
en el conjunto S dado.
a) 𝑺 = 𝑹, los números reales, 𝒂~𝒃 𝒔𝒊 𝒂 − 𝒃 es racional.
Es reflexiva: 𝑎~𝑎, porque 𝑎 − 𝑎 = 0 , que es racional.
Es simétrica: 𝑎~𝑏 → 𝑏~𝑎; si 𝑎 − 𝑏 = 𝑟 es racional, implica
𝑏 − 𝑎 = −𝑟 , que es racional.
Es transitiva: Si 𝑎~𝑏 𝑦 𝑏~𝑐 → 𝑎~𝑐; 𝑎 − 𝑏 = 𝑟 es racional, 𝑏 − 𝑐 =
𝑠 , es racional, entonces, si sumamos miembro a miembro, tenemos:
𝑎 − 𝑐 = 𝑟 + 𝑠 que es racional.
Por lo tanto, se verifica que la relación ~ es una relación de
equivalencia en el conjunto S=R
b) 𝑺=conjunto de rectas en el plano, 𝒂~𝒃 𝒔𝒊 𝒂, 𝒃 son paralelas.
Para contestar este inciso, creo que primero debemos tener en mente
la definición que se dé de rectas paralelas, ya que existen diferentes
definiciones, en un caso se habla de tener el mismo vector director o la
misma pendiente; en otras, dice, que no se cortan en ningún punto, pero
luego concluyen que dicha recta es paralela a sí misma. En este caso,
aplica más la del vector director, y podemos hacerlo así:
Es reflexiva, porque una recta tiene el mismo vector director que ella
misma.
Es simétrica, porque si el vector director de a es el mismo que el de b
entonces el de b es el mismo que el de a.
Es transitiva, porque si el vector director de a es el mismo que el de b y
el de b es el mismo que el de c, entonces el de a es el mismo que el de c.
Por lo tanto, se verifica que la relación ~ es una relación de
equivalencia en el conjunto S, de rectas en el plano.
6. En ℤ defínase la relación 𝒏~𝒎 𝒔𝒊 𝒏 > 𝒎 ¿Es ~una relación de
equivalencia?
No. evidentemente no se trata de una relación de equivalencia, dado
que no cumple en primer término, la propiedad de reflexividad, ni la
propiedad simétrica, la cual dice que si n~m entonces m~n; también, si
n>m no se cumple, m>n, tampoco se cumple y entonces, al no satisfacer
la propiedad simétrica, no puede ser una relación de equivalencia.
7. Encuentre las clases laterales pedidas a continuación.
a) Las clases laterales del subgrupo 𝟒ℤ 𝒆𝒏 ℤ.
Las clases laterales del subgrupo mencionado, viene siendo la suma de cualquier número de Z con el conjunto de los múltiplos de 4. lo cual nos dá estas clases distintas:
𝟎 + 𝟒𝒁 = {𝟒𝒏 | 𝒏 𝒑𝒆𝒓𝒕𝒆𝒏𝒆𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒂 𝒁}
𝟏 + 𝟒𝒁 = {𝟒𝒏 + 𝟏| 𝒏 𝒅𝒆 𝒁}
𝟐 + 𝟒𝒁 = {𝟒𝒏 + 𝟐 | 𝒏 𝒅𝒆 𝒁}
𝟑 + 𝟒𝒁 = {𝟒𝒏 + 𝟑 | 𝒏 𝒅𝒆 𝒁}
Otras clases serían una de estas cuatro
𝑺𝒆𝒂 𝒎 𝒅𝒆 𝒁
Por el algoritmo de la división se puede poner como
𝒎 = 𝟒𝒌 + 𝒋 𝒄𝒐𝒏 𝒌 𝒅𝒆 𝒁 𝒚 𝟎 <= 𝒋 < 𝟒
Por lo tanto:
𝒎 + 𝟒𝒁 = {𝟒𝒏 + 𝟒𝒌 + 𝒋 | 𝒏 𝒅𝒆 𝒁} = {𝟒(𝒏 + 𝒌) + 𝒋 |𝒏 + 𝒌 𝒅𝒆 𝒁} = 𝒋 + 𝟒𝒁
b) Las clases laterales del subgrupo ⟨𝟐⟩ en ℤ𝟏𝟐
El subgrupo generado por ⟨𝟐⟩ en ℤ𝟏𝟐 es:
< 𝟐 > = {𝟎, 𝟐, 𝟒, 𝟔, 𝟖, 𝟏𝟎}
Las clases laterales serán las mismas a izquierda y derecha por ser (ℤ𝟏𝟐, +)
un grupo abeliano
𝟎+< 𝟐 >= {𝟎, 𝟐, 𝟒, 𝟔, 𝟖, 𝟏𝟎}
𝟏+< 𝟐 > = {𝟏, 𝟑, 𝟓, 𝟕, 𝟗, 𝟏𝟏}
Entonces, las clases laterales de los pares coinciden con la del 0, y las de
los impares coinciden con la del 1.
8. Sean 𝑮 = 𝑺𝟑 , el grupo simétrico de 3 elementos, y 𝑯 =
{𝒊, 𝒇} donde 𝒊 es la función identidad y 𝒇 está dada por 𝒇(𝒙𝟏) =
𝒙𝟐, 𝒇(𝒙𝟐) = 𝒙𝟏 𝒚 𝒇(𝒙𝟑) = 𝒙𝟑 . Encuentre todas las clases laterales
izquierdas y derechas de 𝑯 𝒆𝒏 𝑮.
El grupo simétrico 𝑆3tiene estos eslementos:
𝑮 = 𝑺𝟑 = {𝒊, (𝟏, 𝟐), (𝟏, 𝟑), (𝟐, 𝟑), (𝟏, 𝟐, 𝟑), (𝟏, 𝟑, 𝟐)}
𝑌 𝑒𝑙 𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜 𝐻 𝑒𝑠:
𝑯 = {𝒊, (𝟏, 𝟐)}
Tenemos las clases laterales izquierdas, son 𝑔𝐻 para todo 𝑔 𝑑𝑒 𝐺:
𝒊 · 𝑯 = {𝒊, (𝟏, 𝟐)}
(𝟏, 𝟐) · 𝑯 = {(𝟏, 𝟐), 𝒊}
(𝟏, 𝟑) · 𝑯 = {(𝟏, 𝟑), (𝟏, 𝟑, 𝟐)}
(𝟐, 𝟑) · 𝑯 = {(𝟐, 𝟑), (𝟐, 𝟑, 𝟏)} = {(𝟐, 𝟑), (𝟏, 𝟐, 𝟑)}
(𝟏, 𝟐, 𝟑) · 𝑯 = {(𝟏, 𝟐, 𝟑), (𝟐, 𝟑)}
(𝟏, 𝟑, 𝟐) · 𝑯 = {(𝟏, 𝟑, 𝟐), (𝟏, 𝟑)}
Se aprecia en estos resultados que primera y segunda son iguales; tercera
y sexta también; y cuarta y quinta, entonces el conjunto de clases laterales
a izquierda es:
𝑰 = { {𝒊, (𝟏, 𝟐)}, {(𝟏, 𝟑), (𝟏, 𝟑, 𝟐)}, {(𝟐, 𝟑), (𝟏, 𝟐, 𝟑)} }
Y las clases laterales a derecha son:
𝑯 · 𝒊 = {𝒊, (𝟏, 𝟐)}
𝑯 · (𝟏, 𝟐) = {(𝟏, 𝟐), 𝒊}
𝑯 · (𝟏, 𝟑) = {(𝟏, 𝟑), (𝟏, 𝟐, 𝟑)}
𝑯 · (𝟐, 𝟑) = {(𝟐, 𝟑), (𝟏, 𝟑, 𝟐)}
𝑯 · (𝟏, 𝟐, 𝟑) = {(𝟏, 𝟐, 𝟑), (𝟏, 𝟑)}
𝑯 · (𝟏, 𝟑, 𝟐) = {(𝟏, 𝟑, 𝟐), (𝟐, 𝟑)}
Podemos ver que cada una se repite dos veces, luego:
𝑫 = { {𝒊, (𝟏, 𝟐)}, {(𝟏, 𝟑), (𝟏, 𝟐, 𝟑)}, {(𝟐, 𝟑), (𝟏, 𝟑, 𝟐)} }
ACTIVIDAD 5. GRUPOS COCIENTE.
INSTRUCCIONES: Resuelva los siguientes ejercicios.
1.- Probar que 𝑵 es un subgrupo normal de G si y sólo si
𝒈𝑵𝒈−𝟏 = 𝑵 , para toda 𝒈 ∈ 𝑮.
Dependiendo de la definición del subgrupo normal, esto es, si tenemos
que N es un subgrupo normal de G si y sólo si para todo n de N y todo g
de G se cumple
𝑔 · 𝑛 · 𝑔−1 ∈ 𝑁
De aquí se deduce que:
𝑔𝑁𝑔−1 ⊆ 𝑁, ∀𝑔 ∈ 𝐺
Veamos ahora la otra inclusión
𝑁 ⊆ 𝑁𝑔𝑁𝑔−1, ∀𝑔 ∈ 𝐺
Sean 𝑛 ∈ 𝑁, tomemos el elemento
𝑚 = 𝑔−1𝑛𝑔
Este elemento es de N porque:
𝑚 = (𝑔𝑛−1𝑔−1)−1
Luego, como 𝑛 ∈ 𝑁 → 𝑛−1 ∈ 𝑁
Y como N es normal → 𝑔𝑛−1𝑔−1 ∈ 𝑁
Y como N es grupo → (𝑔𝑛−1𝑔−1)−1 = 𝑚 ∈ 𝑁
Entonces calculamos:
𝑔𝑚𝑔−1 = 𝑔(𝑔−1𝑛𝑔)𝑔−1 = (𝑔𝑔−1)𝑛(𝑔𝑔−1) = 𝑛
Luego,
∀𝑛 ∈ 𝑁∃𝑚 ∈ 𝑁 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑔𝑚𝑔−1 = 𝑛 → 𝑁 ⊆ 𝑔𝑁𝑔−1
y juntando las dos inclusiones se tiene
𝑁 = 𝑔𝑁𝑔−1
Q.E.D.
2. Sea 𝑮 cualquier grupo y 𝒁(𝑮) = {𝒛 ∈ 𝑮|𝒛𝒙 = 𝒙𝒛, ∀𝒙𝑮. Verificar
que 𝒁(𝑮) es un subgrupo normal de 𝑮. g=z, z=x
Si (G,⋅) es un grupo, se define el centro de G denotado por Z(G) como
𝑍(𝐺) = {𝑧 ∈ 𝐺: 𝑧𝑥 = 𝑥𝑧, ∀𝑧 ∈ 𝐺},
es decir, como el conjunto de los elementos de G que conmutan con
todos los de G. Demostrar que Z(G) es subgrupo normal de G.
Tenemos que:
1 ∈ 𝑍(𝐺) pues 𝑧1 = 1𝑧 ∀𝑧 ∈ 𝐺. Sean ahora 𝑧1, 𝑧2 ∈ 𝑍(𝐺) 𝑦 𝑧 ∈ 𝑍(𝐺).
Entonces:
(𝑧1𝑧2−1) = (𝑧𝑧1)𝑧2
−1 = (𝑧1𝑧)𝑧2−1 − 12 = 𝑧1(𝑧𝑧2
−1).
Como
𝑧2 ∈ 𝑍(𝐺)
Se verifica
𝑧2𝑧−1 = 𝑧−1𝑧2
Tomando inversos
𝑧𝑧2−1 = 𝑧2
−1𝑧.
Por tanto
𝑧(𝑧1𝑧2−1) = 𝑧1(𝑧2
−1𝑧) = (𝑧1𝑧2−1)𝑧,
es decir:
𝑧1𝑧2−1 ∈ 𝑍(𝐺)
en consecuencia Z(G) es subgrupo de G.
Ahora probamos que es normal:
Si 𝑧 ∈ 𝐺 𝑦 ℎ ∈ 𝑍(𝐺) se verifica 𝑧ℎ = ℎ𝑧
y por tanto :
ℎ = 𝑧−1ℎ𝑔.
Entonces,
ℎ = 𝑧−1ℎ𝑧 ∈ 𝑍(𝐺) → 𝑍(𝐺) 𝑒𝑠 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙.
Q.E.D
3. Si G es el grupo de todos los números reales distintos de
cero respecto a la multiplicación y N es el subgrupo de todos
los números reales positivos, escríbase G/N exhibiendo las
clases laterales de N en G y compruébese la multiplicación en
G/N.
Lo primero que debemos hacer, es determinar cuáles son las clases laterales de N en G.
Sabemos que
𝐺
𝑁= {𝑁𝑎|𝑎 ∈ 𝐺}
donde
𝐺 = {𝑎 ∈ 𝑅|𝑎 ≠ 0} 𝑦 𝑁 = {𝑛 ∈ 𝑅|𝑛 > 0}
Seleccionamos algunos elementos de (𝑎) 𝑑𝑒 𝐺 y (𝑛)𝑑𝑒 𝑁, para observar
cuáles son las clases laterales exhibidas por N en G.
…
[ 𝑁(
2
3)… 𝑁(1)… 𝑁(√2 ) … .
1(2)
3=
2
3
2(1)
3=
2
3
√2
3(√2 ) =
2
3
3(2)
3= 2 2(1) = 2 √2 (√2 ) = 2
√27
2
(2)
3= √6 √6 (1) = √6 √3 (√2 ) = √6
]
𝑎 = 1
Como podemos apreciar, cuando 𝑎 > 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑁𝑎 > 0 y el
subgrupo generado por cada (a) es siempre el mismo (los reales
positivos), podemos decir que todos los 𝑎 > 0 componen la misma
clase lateral, necesitamos pues un (a) adecuado que sirva para
identificar la clase, la cual representamos así:
𝑎 = 1
…
[ 𝑁(−√2 )… 𝑁{−1} … 𝑁(−
2
3 ) … .
√2
3(−√2 ) = −
2
3
2(−1)
3= −
2
3 1
(−2)
3= −
2
3
√2 √2 2(−1) = −2 3 (−2)
3= −2
√3(−√2) = −√6 √6 (−1) = √6 √27
2
(−2)
3= −√6
]
Aquí se ve que, cuando 𝑎 < 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑁𝑎 < 0 y el subgrupo
generado por cada (a) son los reales negativos, ya 𝑛 ∈ 𝑁 es siempre
positivo, podemos decir, que todos los 𝑎 < 0 componen la misma clase
lateral, la cual la representaremos con:
𝑎 = −1
En conclusión, existen dos clases laterales que pertenecen a G/N, éstas
son N(1) y N(-1), las cuales provocan una partición en G, pues separan
el grupo de los números reales en positivos y negativos
respectivamente.
Para comprobar la multiplicación en G/N, haremos uso de la siguiente
tabla:
* N(1) N(-1)
N(1) N(1) N(-1)
N(-1) N(-1) N(1)
4.- Encuentre el orden del grupo cociente dado.
Si G es un grupo finito y N un subgrupo el orden de G/N es:
|𝑮/𝑵| = |𝑮|/|𝑵|
Debemos por tanto calcular el orden de los grupos y subgrupos.
a. ℤ𝟔/⟨𝟑⟩
Tenemos que:
|ℤ𝟔/< 3 > | = |ℤ𝟔| / | < 3 > |
El orden de ℤ𝟔 es 6 es el grupo
{0,1,2,3,4,5}
Vemos que son 6 elementos.
El orden de < 3 > es 2, sus elementos son
{0,3}
Vemos que son 2 elementos.
Por tanto, el orden es:
ℤ𝟔
⟨𝟑⟩= 𝟔/𝟐 = 𝟑
b. (ℤ4xℤ2/⟨(2,1)⟩
Tenemos que:
|ℤ𝟒 xℤ𝟐 / ⟨(2,1)⟩| = |ℤ𝟒xℤ𝟐| / | < (2,1) > |
ℤ𝟒xℤ𝟐 es un producto cartesiano de un grupo de 4 elementos con
otro de 2. Su orden es:
(4) · (2) = 8
Ahora bien, los elementos de < (2,1) > son:
< (2,1) > = {(0,0), (2,1)}
Vemos que son dos elementos.
Por tanto, el orden del grupo cociente es:
(ℤ𝟒𝐱ℤ𝟐
⟨(𝟐, 𝟏)⟩=
𝟖
𝟐= 𝟒
c. (ℤ𝟐𝐱ℤ𝟒/⟨(𝟏, 𝟏)⟩
Tenemos que:
|ℤ𝟐xℤ𝟒 / ⟨(1,1)⟩| = |ℤ𝟐xℤ𝟒| / |⟨(1,1)⟩|
Vemos que el grupo ℤ𝟐xℤ𝟒 es un producto cartesiano; su orden
es: 2 · 4 = 8
Aquí, el grupo generado por (1,1) es el dado por las sumas
reiteradas de (1,1) hasta 4 sumas, en donde se llega al elemento
neutro, es decir:
< (1,1) > = {(1,1), (0,2), (1,3), (0,0)}
Por lo tanto, tiene 4 elementos. Y el orden del conjunto cociente
es:
(ℤ𝟐𝐱ℤ𝟒
⟨(𝟏, 𝟏)⟩=
𝟖
𝟒= 𝟐
5. Calcule el orden de cada elemento en el grupo factor dado.
a. 5+⟨𝟒⟩𝐞𝐧 ℤ𝟏𝟐/⟨𝟒⟩
Sea:
𝐻 = ⟨4⟩
ℤ12 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}
de aquí, tenemos que:
⟨4⟩ = {40, 41, … , 411} = {0,4,8,0,4,8,… } = {0,4,8}
Como se aprecia, el orden de ⟨4⟩ es 3. Luego:
5 + ⟨4⟩ = {5 + 0,4 + 5,8 + 5} = {5,9,1}
Entonces, es de orden 3.
b. 26+⟨𝟏𝟐⟩𝐞𝐧 ℤ𝟔𝟎/⟨𝟏𝟐⟩
Sea:
⟨12⟩ = {120, 121, … , 1259} = {0,12,24,36,48,0,12,24,… } =
{0,12,24,48}, es de orden 4.
ℤ60 = {0,1,2,3,4,5, … ,59}
𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒:
26 + ⟨12⟩ = {26 + 0, 26 + 12, 26 + 24, 26 + 48} = {26,38,50,14}
Que es también de orden 4.
6. Si G es un grupo y H es un subgrupo de índice 2 en G,
pruébese que H es un subgrupo normal de G. (Recuerde que
el índice de H en G, es el número de distintas clases laterales
derechas –o izquierdas- de H en G.
Sea
𝑔 ∈ 𝑁 → 𝑔𝑁 ⊆ 𝑁
y dado
𝑛 ∈ 𝑁
𝑔−1𝑛 ∈ 𝑁
𝑛 = 𝑔(𝑔−1𝑛) ∈ 𝑔𝑁 → 𝑔𝑁 = 𝑁
también se cumple
𝑁𝑔 ⊆ 𝑁
y dado
𝑛 ∈ 𝑁
𝑛𝑔−1 ∈ 𝑁
𝑛 = (𝑛𝑔−1)𝑔 ∈ 𝑁𝑔𝑁
entonces 𝑁𝑔 = 𝑁
Luego
𝑔𝑁 = 𝑁 = 𝑁𝑔
Por lo tanto:
𝑠𝑖 𝑔 ∈ 𝑁 → 𝑔𝑁 = 𝑁𝑔
Ahora procedamos para saber que pasa si 𝑔 ∉ 𝑁:
Dado
𝑛 ∈ 𝑁 → 𝑔𝑛 ∉ 𝑁
Esto es, debido a que:
𝑔𝑛 ∈ 𝑁 → 𝑔𝑛𝑛−1 ∈ 𝑁 → 𝑔 ∈ 𝑁
lo cual es un absurdo, de manera análoga:
𝑛𝑔 ∉ 𝑁
Luego, será:
𝑔𝑁 ∩ 𝑁 = ∅
𝑁𝑔 ∩ 𝑁 = ∅
Vemos que al ser índice 2, sólo hay dos clases y son disjuntas.
𝐺 = 𝑁 ∪ 𝑔𝑁 → 𝑔𝑁 = 𝐺 − 𝑁
𝐺 = 𝑁 ∪ 𝑁𝑔 → 𝑁𝑔 = 𝐺 − 𝑁
Por lo tanto:
𝑔𝑁 = 𝑁𝑔
Se demuestra así, que para todo 𝑔 de 𝐺, tanto sea de N como si no es de N, se cumple que
𝑔𝑁 = 𝑁𝑔
Luego, N es normal en G.
Q.ED.
7. Pruébese que la intersección de dos grupos normales de G
es un subgrupo normal de G.
Para todo 𝑥 ∈ 𝐻 ∩ 𝐾 𝑦 𝑡𝑜𝑑𝑜 ℎ ∈ 𝐻, ℎxℎ−1 ∈ 𝐻 por ser H subgrupo
de G. además, puesto que 𝑥 ∈ 𝐾 𝑦 𝐾 es normal en G, ℎxℎ−1 ∈ 𝐾. Por
tanto ℎxℎ−1 ∈ 𝐻 ∩ 𝐾
Si tanto como H como K son normales en G, sus clases por la
izquierda y por la derecha coinciden, de donde, para todo 𝑔 ∈ 𝐺
𝑔𝐻𝐾𝑔−1 = 𝐻𝑔𝐾𝑔−1 = 𝐻𝐾𝑔𝑔−1 = 𝐻𝐾
Demostrando así que la intersección de dos grupos
normales de G es un subgrupo normal de G. QED.
EVIDENCIA DE APRENDIZAJE.
GRUPOS DE PERMUTACIONES Y GRUPOS
COCIENTE.
INSTRUCCIONES: Resuelva los siguientes ejercicios, junto
con los 2 anteriores y envíelos para su revisión en el apartado
correspondiente del aula virtual.
1. Supóngase que se sabe que la permutación
(𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 𝟔 𝟕 𝟖 𝟗 𝟑 𝟏 𝟐 𝟕 𝟖 𝟗 𝟔
)
en 𝑺𝟗, donde las imágenes de 5 y 4 se han perdido, es
una permutación par. ¿Cuáles deben ser dichas imágenes?
Si es una permutación par, tendrá un número de ciclos par. Lo
primero que se debe hacer es tratar de escribirla en notación de
ciclos.
1 → 2 → 3 → 1
(1, 2,3)
6 → 9 → 8 → 7 → 6
(6,9,8,7)
Luego lo que conocemos de la permutación es:
(1,2,3)(6,9,8,7)
Tenemos entonces, la notación con ciclos disjuntos, pero también
podemos realizarlo o escribirlo con ciclos no disjuntos, lo cual
quedaría así:
(1,2)(1,3) (6,9)(6,8)(6,7)
Aquí, podemos ver que el número de ciclos es 5.
La signatura de una permutación, es decir, si tiene un número de
ciclos par o impar es independiente de los ciclos en que la
descompongamos, luego lo que tenemos es impar, es necesario
añadirle otro ciclo para que sea par, luego los dos elementos que
quedan deben permutar entre sí para que haya un ciclo más,
Por lo tanto, la imagen del 4 será el 5 y la imagen del 5
será el 4.
2. Una permutación en 𝝈 ∈ 𝑺𝒏 se dice que es un desarreglo si 𝝈(𝒊) ≠ 𝒊 para toda 𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒏. Liste los desarreglos de 𝑺𝟑; cuente los desarreglos de 𝑺𝟒: ¿Cuántos arreglos hay en 𝑺𝒏?
De acuerdo a la definición de desarreglo, que no son sino las
permutaciones sin puntos fijos, se puede aplicar el principio de
inclusiones y exclusiones, para calcular de manera más simple el
número de desarreglos.
Por la proposición que nos dice: el número de desarreglos de los
números del 1 al n es:
𝑫𝒏 = 𝒏!. ∑(−𝟏)𝒏
𝒏!
𝒏
𝒌=𝟎
= 𝒏! (𝟏 −𝟏
𝟏!+
𝟏
𝟐!− ⋯+
(−𝟏)𝒏
𝒏!)
Así, tenemos que:
Las permutaciones de 𝑺𝟑 son:
𝟏𝟐𝟑, 𝟏𝟑𝟐, 𝟐𝟏𝟑, 𝟐𝟑𝟏, 𝟑𝟏𝟐, 𝟑𝟐𝟏
Los desarreglos son:
𝟐𝟑𝟏 𝒚 𝟑𝟏𝟐
Las permutaciones de 𝑺𝟒 son:
𝟏𝟐𝟑𝟒, 𝟏𝟐𝟒𝟑, 𝟏𝟑𝟐𝟒, 𝟏𝟑𝟒𝟐, 𝟏𝟒𝟐𝟑, 𝟏𝟒𝟑𝟐,
𝟐𝟏𝟑𝟒, 𝟐𝟏𝟒𝟑, 𝟐𝟑𝟏𝟒, 𝟐𝟑𝟒𝟏, 𝟐𝟒𝟏𝟑, 𝟐𝟒𝟑𝟏
𝟑𝟏𝟐𝟒, 𝟑𝟏𝟒𝟐, 𝟑𝟐𝟏𝟒, 𝟑𝟐𝟒𝟏, 𝟑𝟒𝟏𝟐, 𝟑𝟒𝟐𝟏
𝟒𝟏𝟐𝟑, 𝟒𝟏𝟑𝟐, 𝟒𝟐𝟏𝟑, 𝟒𝟐𝟑𝟏, 𝟒𝟑𝟏𝟐, 𝟒𝟑𝟐𝟏
Y los desarreglos son:
𝟐𝟏𝟒𝟑, 𝟐𝟑𝟒𝟏, 𝟐𝟒𝟏𝟑, 𝟑𝟏𝟒𝟐, 𝟑𝟒𝟏𝟐, 𝟑𝟒𝟐𝟏, 𝟒𝟏𝟐𝟑, 𝟒𝟑𝟏𝟐, 𝟒𝟑𝟐𝟏
Comprobación de este último desarreglo de 𝑺𝟒, los
podemos obtener así:
𝐷4 = 4!. ∑(−1)4
4!
𝑛
𝑘=2
= 24. (
12
−16
+ 1
24) =
24(12 − 4 + 1)
24= 𝟗
Cuántos arreglos hay en 𝑺𝒏?
Supongamos que tenemos el conjunto {1, … , 𝑛}, entonces, para
contar las posibles permutaciones, empezamos fijando la imagen
de 1, que denotamos mediante el número 𝑖:
(1, 2, 3,4, 5, …𝑛𝑖 …
)
Ahora bien, podemos tomar 𝑖 entre los n posibles valores, sin
restricción ninguna, pero luego nos queda por asignar la imagen
de los 𝑛 − 1 siguientes enteros, entre 𝑛 − 1 posibles valores. De
forma que, llamando 𝑃(𝑛) al número de permutaciones de n
elementos, se tiene la relación de recurrencia
𝑃(𝑛) = 𝑛𝑃(𝑛 − 1), 𝑃(1) = 1.
Ahora es posible usar inducción para demostrar que
𝑷(𝒏) = 𝒏!
Definiendo, tenemos que:
𝑷(𝟎) = 𝟎! = 𝟏.
Cuántos desarreglos hay en 𝑺𝒏?
Aunque esto no se está preguntando, me parece adecuado incluirla
y se resuelve de manera similar al método recurrente que se usa para
contar permutaciones, eligiendo la imagen de 1, que denotamos i,
entre las n-1 posibilidades que tenemos y llamamos D(n) al número
de desarreglos de n elementos, que en conclusión nos dará la fórmula
𝐷𝑛 = 𝑛!. ∑(−1)𝑛
𝑛!
𝑛
𝑘=0
La cual se puede simplificar, porque el primer y segundo término
son 1 y -1, entonces nos queda:
𝑫𝒏 = 𝒏!. ∑(−𝟏)𝒏
𝒏!
𝒏
𝒌=𝟐
Esta igualdad, se parece a la serie de Taylor de 𝑒𝑥 con 𝑥 = −1,
𝑒𝑥 = ∑(𝒙)𝒌
𝒌!
∞
𝒌=𝟎
de modo que:
𝐷(𝑛) ≈𝑛!
𝑒= ⟨
𝑛!
𝑒⟩
donde ⟨𝑥⟩ es el entero más próximo a 𝑥. Si consideramos 1
𝑒≈
0.367879, se obtiene que el 36.78% de las permutaciones son desarreglos.
3. Si G es cualquier grupo, dados los elementos 𝒂, 𝒃 ∈ 𝑮, diremos que a es conjugado si existe otro elemento 𝒈 ∈ 𝑮
tal que 𝒂 = 𝒈𝒃𝒈−𝟏. Demuestre que es una relación de equivalencia.
Para demostrar, necesitamos probar con las tres propiedades de
una relación de equivalencia.
Reflexiva: a está conjugado con a, esto es:
𝟏 · 𝒂 · 𝟏−𝟏 = 𝟏 · 𝒂 · 𝟏 = 𝒂 · 𝟏 = 𝒂
Simétrica: si 𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑏 → 𝑏 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑎
Tenemos
𝑎 = 𝑔 · 𝑏 · 𝑔−1
Multiplicando a izquierda por 𝑔−1, resulta:
𝑔−1 · 𝑎 = 𝑏 · 𝑔−1
Multiplicando a la derecha por 𝑔,tenemos:
𝑔−1 · 𝑎 · 𝑔 = 𝑏
Ahora, tomando ℎ = 𝑔−1 que por ser G grupo existe, se tiene:
ℎ · 𝑎 · ℎ−1 = 𝑏
𝑏 = ℎ · 𝑎 · ℎ−1
Por lo tanto, tenemos: 𝒃 𝒄𝒐𝒏𝒋𝒖𝒈𝒂𝒅𝒐 𝒄𝒐𝒏 𝒂
Transitiva: Si 𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑏 𝑦 𝑏 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑎 ,entonces
𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑐.
Tenemos
𝑎 = 𝑔 · 𝑏 · 𝑔−1
𝑏 = ℎ · 𝑐 · ℎ−1
Entonces
𝑎 = 𝑔[ℎ · 𝑐 · ℎ−1] · 𝑔−1
𝑎 = (𝑔ℎ) · 𝑐 · [ℎ−1 · 𝑔−1]
Por el teorema que dice :
(𝑎𝑏)−1 = 𝑏−1 · 𝑎−1
Se tiene que 𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑐.
Entonces:
𝒂 = (𝒈𝒉) · 𝒄 · (𝒈𝒉)−𝟏
Por lo tanto , al demostrar estas propiedades, concluimos
que sí es una relación de equivalencia.
UNIDAD 2. ASIGNACIÓN DEL DOCENTE.
1. Sean a, b número reales y defínase la función 𝝉𝒂𝒃: ℝ → ℝ por 𝝉𝒂𝒃(𝒙) = 𝒂𝒙 + 𝒃. En la primera asignación ya se demostró
que
𝑮 = {𝝉𝒂𝒃|𝒂 ≠ 𝟎} es un grupo. Considere el conjunto N={𝝉𝟏𝒃 ∈ 𝑮}.
Probar que
a) N es un subgrupo de G. En primer término, para demostrar que un subconjunto es un
subgrupo de un grupo, vemos que se cumplen las dos condiciones
siguientes:
a) Que no es un conjunto vacío.
b) Que dados dos elementos a y b del subconjunto se cumple que
𝑎. 𝑏−1 pertenece al subconjunto.
Tenemos que:
i) Hay infinitos 𝑥 + 1, 𝑥 + 2, 𝑥 + 3, . ..
ii) Sean los elementos de N.
𝜏1𝑎(𝑥) = 𝑥 + 𝑎
𝜏1𝑏(𝑥) = 𝑥 + 𝑏
𝜏1𝑐(𝑥) = 𝑥 + 𝑐
Tenemos que 𝑁 es cerrado bajo la operación en 𝐺 , ya que:
𝜏1𝑏(𝑥) ∘ 𝜏1𝑐(𝑥) = (𝑥 + 𝑐) + 𝑏 = 𝑥 + 𝑐 + 𝑏, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑐, 𝑏 ∈ ℝ
Entonces:
𝑐 + 𝑏 = 𝑑 es un real
Luego,
𝜏1𝑏(𝑥) ∘ 𝜏1𝑐(𝑥) = 𝑥 + 𝑑 = 𝜏1𝑑 ∈ 𝑁.
Verificamos que la identidad en G esté en N:
𝜏1 ∘ 𝜏1𝑏 = (𝑥 + 𝑏) = 𝑥 + 𝑏
𝜏1𝑏 ∘ 𝜏1 = (𝑥) + 𝑏 = 𝑥 + 𝑏
Luego, 𝜏1 es la identidad en 𝐺 y 𝜏1𝑏 ∈ 𝑁,
Por tanto 𝝉𝟏 ∈ 𝑵.
Calculamos su inverso:
El inverso de 𝜏1𝑏 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝜏𝑐𝑑 | 𝜏𝑐𝑑 · 𝜏1𝑏 = 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 = 𝑥
Entonces:
(𝜏𝑐𝑑 ∘ 𝜏1𝑏)(𝑥) = 𝜏𝑐𝑑(𝜏1𝑏(𝑥)) =
= 𝑐(𝑥 + 𝑏) + 𝑑 = 𝑐𝑥 + 𝑐𝑏 + 𝑑 = 𝑥
𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑐 = 1
1 · 𝑏 + 𝑑 = 0
𝑑 = −𝑏
Luego,
𝜏1𝑏(𝑥)−1 = 𝑥 − 𝑏
Y la condición es:
(𝜏1𝑎 ∘ 𝜏1𝑏−1)(𝑥) = (𝑥 − 𝑏) + 𝑎 = 𝑥 + (𝑎 − 𝑏)
Entonces, 𝜏1𝑏(𝑥)−1 ∈ 𝑁, por ser 1 el coeficiente de la x
𝑷𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐,𝑵 𝒆𝒔 𝒖𝒏 𝒔𝒖𝒃𝒈𝒓𝒖𝒑𝒐 𝒅𝒆 𝑮.
b) Si 𝒂 ∈ 𝑮, 𝒏 ∈ 𝑵, entonces 𝒂𝒏𝒂−𝟏 ∈ 𝑵.
Sea un elemento 𝑎 𝑑𝑒 𝐺, lo denominamos 𝑇𝑎𝑏.
Calculamos su inverso:
𝜏𝑎𝑏 · 𝜏𝑐𝑑 = 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 = 𝑥
(𝜏𝑎𝑏 ° 𝜏𝑐𝑑)(𝑥) = 𝜏𝑎𝑏(𝜏𝑐𝑑(𝑥))
= 𝑎(𝑐𝑥 + 𝑑) + 𝑏 = 𝑎𝑐𝑥 + 𝑎𝑑 + 𝑏 = 𝑥
𝑎𝑐 = 1 → 𝑐 = 1/𝑎
𝑎𝑑 + 𝑏 = 0 → 𝑑 = −𝑏/𝑎
𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜 𝜏𝑎𝑏−1(𝑥) = 𝑥/𝑎 − 𝑏/𝑎
Y sea un elemento 𝑛 𝑑𝑒 𝑁.
𝑛 = 𝜏1𝑛
Para comprobar, procedemos de la siguiente manera, tenemos
que:
𝑎𝑛𝑎−1(𝑥) = 𝜏𝑎𝑏(𝜏1𝑛[𝜏𝑎𝑏−1(𝑥)]) =
= 𝜏𝑎𝑏(𝜏1𝑛[𝑥/𝑎 − 𝑏/𝑎]) =
= 𝜏𝑎𝑏(𝑥/𝑎 − 𝑏/𝑎 + 𝑛) =
= 𝑎(𝑥/𝑎 − 𝑏/𝑎 + 𝑛) + 𝑏 =
= 𝑥 − 𝑏 − 𝑎𝑛 + 𝑏 =
= 𝑥 − 𝑎𝑛
𝑬𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔, 𝒂𝒏𝒂−𝟏(𝒙) = 𝒙 − 𝒂𝒏 ∈ 𝑵
𝒀 𝒑𝒐𝒓 𝒕𝒆𝒏𝒆𝒓 𝟏 𝒄𝒐𝒎𝒐 𝒄𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒙.
Q.ED.
2. Sea G el conjunto de todas las matrices reales 2x2
(𝒂 𝒃𝟎 𝒅
)
donde 𝒂 ≠ 𝟎 bajo la multiplicación de matrices. En la
primera asignación ya se demostró que G forma un
grupo.
Sea
N= {(𝟏 𝒃𝟎 𝟏
) |𝒃 ∈ ℝ}
Probar que:
a) N es un subgrupo normal de G.
Para demostrar que N es subgrupo de B hay que comprobar
que:
1) 𝑁 es no vacío.
2) 𝑆𝑖 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑁 entonces 𝑎 · 𝑏−1 ∈ 𝑁.
1) Es obvio, hay infinitas matrices, por ejemplo la identidad.
2) Dadas las matrices
𝑎 = (1 𝑎0 1
) , 𝑏 = (1 𝑏0 1
)
Calculamos 𝑏−1:
Los de la diagonal principal se intercambian, los de la otra no,
pero cambian de signo.
𝑏−1 = (1 − 𝑏0 1
)
𝑎. 𝑏−1 = (1 𝑎0 1
) (1 − 𝑏0 1
) = (1 − 𝑏 + 𝑎0 1
)
Luego, vemos que
𝑎 · 𝑏−1 ∈ 𝑁
𝑃𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑁 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑠𝑢𝑏𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜.
Ahora bien, será un subgrupo normal si se cumple:
𝑎 · 𝑛 · 𝑎−1 ∈ 𝑁, ∀ 𝑎 𝑑𝑒 𝐺 𝑦 ∀𝑛 𝑑𝑒 𝑁
Sea
𝑎 = (𝑎 𝑏∅ 𝑐
)
𝑎−1 = (𝑐/𝑎𝑐 − 𝑏/𝑎𝑐
∅ 𝑎/𝑎𝑐) = (
1/𝑎 − 𝑏/𝑎𝑐∅ 1/𝑐
)
𝑛 = (1 𝑛∅ 1
)
𝑎. 𝑛. 𝑎−1 = (𝑎 𝑏∅ 𝑐
) . (1 𝑛∅ 1
) . (1/𝑎 − 𝑏/𝑎𝑐∅ 1/𝑐
) =
= (𝑎 𝑎𝑛 + 𝑏∅ 𝑐
) . (1/𝑎 − 𝑏/𝑎𝑐∅ 1/𝑐
) =
= (1 − 𝑏/𝑐 + (𝑎𝑛 + 𝑏)/𝑐
∅ 1) =
= (1 𝑎𝑛/𝑐∅ 1
)
Entonces, el resultado de la conjugación pertenece a N.
𝑷𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐 , 𝑵 𝒆𝒔 𝒖𝒏 𝒔𝒖𝒃𝒈𝒓𝒖𝒑𝒐 𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝑮.
b) G/N es abeliano.
En el inciso anterior , vimos que el producto de
un 𝑎 𝑑𝑒 𝐺 𝑦 𝑛 𝑑𝑒 𝑁 𝑒𝑠:
(𝑎 𝑎𝑛 + 𝑏0 𝑐
)
𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑎 ≠ 0, 𝑐𝑜𝑛 𝑎𝑛 + 𝑏 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑛 𝑒𝑛 𝑅, 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑅.
Luego, la clase de a es todas las matrices de G que tienen la
misma diagonal. Para facilitar las operaciones tomemos como
representante la matriz que tiene 0 arriba a la derecha. Luego, al
ser N normal( 𝑁 ⊲ 𝐺, ) la operación está bien definida y es
independiente del representante de la clase que tomemos,
entonces tomando el que decíamos con 0 arriba derecha, nos
resulta:
𝐴 = (𝑎 00 𝑐
) , 𝐵 = (𝑑 00 𝑓
)
𝐴𝐵 = (𝑎 00 𝑐
) . (𝑑 00 𝑓
) = (𝑎𝑑 00 𝑐𝑓
)
𝐵𝐴 = (𝑑 00 𝑓
) . (𝑎 00 𝑐
) = (𝑑𝑎 00 𝑓𝑐
)
Como la multiplicación en R es conmutativa , ambos resultados
son el mismo, es decir, 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 y el producto de matrices en
G/N es conmutativo.
𝑷𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐, 𝑮/𝑵 𝒆𝒔 𝒂𝒃𝒆𝒍𝒊𝒂𝒏𝒐.
UNIDAD III.TEOREMAS. FORO. UNIDAD 3.
Buenas tardes a todos, les dejo mi aportación.
En las actividades realizadas, hemos estado trabajando constantemente con grupos, y entre ellos, hemos podido encontrar algunas transformaciones entre los grupos que son isomorfos, recordando que un isomorfismo es una función que lleva un grupo G a otro grupo G´, cambiando los nombres del primero por los del segundo, y dejando al segundo grupo estructuralmente igual al primero, y para asegurar que fueran estructuralmente idénticos, se pone la condición de que (𝑎𝑏)∅ = 𝑎∅𝑏∅, ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺, además se requiere que la función sea biyectiva, para que todos y cada uno de los elementos tengan su propia imagen diferente en el grupo G´, y todo elemento en G´ tenga su preimagen, obligando así a que ambos grupos tengan el mismo orden.
Pero qué pasa, si se elimina esta última condición y nos quedamos sólo con la primera? Se tendría una función que convertiría un grupo G en otro grupo G´, pero no serían estructuralmente idénticos, aún así, pedir que (𝑎𝑏)∅ = 𝑎∅𝑏∅, nos asegura que de alguna manera, aunque no sean estructuralmente idénticos, ambos grupos son parecidos.
HOMOMORFISMO DE GRUPO.
Es una función ∅: 𝐺 → 𝐺′, que cumple con (𝑎𝑏)∅ = 𝑎∅𝑏∅, ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺.
TEOREMA. SI N es un subgrupo normal de G, entonces la
transformación canónica 𝛾: 𝐺 →𝐺
𝑁𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑎𝛾 = 𝑎𝑁, ∀𝑎 ∈
𝐺 𝑒𝑠 𝑢𝑛 ℎ𝑜𝑚𝑜𝑚𝑜𝑟𝑓𝑖𝑠𝑚𝑜.
EPIMORFISMO. Si la función ∅: 𝐺 → 𝐺 ′ es además sobreyectiva, es
un epimorfismo.
MONOMORFISMO. Si la función ∅: 𝐺 → 𝐺′ , por el contrario, no es
sobreyectiva, pero si, inyectiva, es un monomorfismo.
NÚCLEO DE UN HOMOMORFISMO. El kernel de un
homomorfismo ∅ de un grupo G en un grupo G’, es el conjunto de
elementos de G, cuya imagen, bajo ∅, van a dar a la identidad de G’. El
núcleo del homomorfismo ∅, podemos denotarlo así, si consideramos
el subgrupo trivial {e´}⊲ 𝐺´ y por la proposición anterior, se tiene:
ker(∅) = ∅−1{𝑒´} ≔ {𝑎 ∈ 𝐺: ∅(𝑎) = 𝑒´} ⊲ 𝐺
Parte de la importancia del núcleo ker(∅) ⊲ 𝐺 radica en el resultado
siguiente:
PROPOSICIÓN 6.3 Sea ∅: 𝐺 → 𝐺´ un homomorfismo de grupos.
Entonces, ∅ es inyectivo si y sólo si 𝑘𝑒𝑟(∅) = {𝑒} es el grupo trivial de
C.
Un ejemplo de algún homorfismo sencillo aquí: tomemos el grupo Z,
cualquier grupo nZ es un subgrupo normal de él, el grupo factor Z/nZ
es isomorfo a 𝑍𝑛, si lo escribimos en forma de homomorfismo queda:
∅: 𝑍 → 𝑍𝑛
𝑚∅ = 𝑟, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 4 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 𝑑𝑒 𝑚/𝑛
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL HOMOMORFISMO. Sea ∅ un
homomorfismo de un grupo G en un grupo G´con kernel K. Entonces
G∅ es un grupo y existe un isomorfismo canónico natural de g∅ 𝑐𝑜𝑛 𝐺/
𝐾
IMAGEN DE UN HOMOMORFISMO. Si ∅ es un homomorfismo
de G en G’, y si consideramos el subgrupo total G⊲G, entonces su
imagen directa ∅(𝐺) ⊆ 𝐺´ , es un subgrupo normal de G´ y se define
por:
𝐼𝑚(∅) = ∅(𝐺):= {∅(𝑎) ∈ 𝐺´: 𝑎 ∈ 𝐺} ⊲ 𝐺´
Los tres teoremas siguientes, no sólo son de importancia en la teoría de
grupos, sino que bajo ligeras adecuaciones, sirven para otras
estructuras como anillos, estos teoremas relacionan diversos grupos
factores construibles dentro de un mismo grupo, además, conocer
cómo se demuestran (mediante lemas), desemboca a su vez en la
demostración de otro teorema aún más importante.
PRIMER TEOREMA DE ISOMORFISMO.
Sea ∅:𝑮 → 𝑮′ un homomorfismo con kernel K, y sea 𝜸𝒌: 𝑮 → 𝑮/𝑲 el
homomorfismo canónico. Entonces, existe un isomorfismo único
𝝍:𝑮/𝑲 → 𝑮∅ tal que 𝒙∅ = 𝒙(𝜸𝒌𝝍), ∀𝒙 ∈ 𝑮.
Podemos definirlo también de la siguiente manera:
Sea 𝑓: 𝐺 → 𝐻 un homomorfismo de grupos. Entonces existe
un isomorfismo 𝑓:𝐺
(𝐾𝑒𝑟 𝑓)→ 𝑖𝑚 𝑓 , y por tanto:
𝑮
(𝑲𝒆𝒓 𝒇)≅ 𝒊𝒎 𝒇
La construcción del isomorfismo cuya existencia afirma el primer teorema de isomorfía se puede expresar mediante el diagrama conmutativo siguiente:
donde 𝜋: 𝐺 →𝐺
(𝐾𝑒𝑟 𝑓) es la proyección canónica de G en
𝐺
(𝐾𝑒𝑟 𝑓).
El primer teorema de isomorfía de Noether es una consecuencia inmediata del teorema fundamental de homomorfismos.
Ejemplos.
Considérese el epimorfismo natural dado por
Es claro que si y sólo si , luego , así que
Si es el subgrupo alternante del grupo simétrico , entonces
Demostración. Primer Teorema del Isomorfismo.
Sean , grupos arbitrarios y un morfismo de grupos.
Entonces .
Demostramos:
Usando la factorización de morfismos de grupos sobre el núcleo ,
se tiene que existe un único morfismo tal que .
Considerar dicho morfismo restringiendo su codominio a . Es un
epimorfismo, porque por definición de la imagen, para
todo existe un tal que , y por lo tanto .
Además, es un monomorfismo, porque . Entonces
si se tiene que , con lo cual .
Así, resulta un isomorfismo.
SEGUNDO TEOREMA DE ISOMORFISMO.
Sea un grupo G, sea H un subgrupo de G, y N un subgrupo normal
de G, entonces es cierto que (HN)/𝑁 ≅ 𝐻/(𝐻 ∩ 𝑁). O así:
Si N y H son subgrupos de un grupo G, con N normal en G, entonces
𝐻/(𝐻 ∩ 𝑁) ≅ (𝐻𝑁)/𝑁.
Este segundo teorema de isomorfía se deduce del primero, pues
si N es normal a G entonces también lo es 𝐻 ∩ 𝑁 en H, y puede
demostrarse que el epimorfismo
cumple con
Si y son
proyecciones canónicas, entonces la construcción del
isomorfismo se describe por el diagrama
conmutativo siguiente:
Demostración. Segundo Teorema de Isomorfismo.
Sean , , grupos tales que con y . Entonces
se tiene que .
Informalmente, esto afirma que se pueden “cancelar” las ocurrencias
de . Desde otro punto de vista, esto afirma que tomar el cociente de
un cociente ( ) no aporta mayor información que tomar un
cociente del grupo original ( ).
Demostramos:
Por empezar, se debe verificar que las expresiones del enunciado están
bien definidas. Es decir, que todos los grupos por los que se cocienta
son normales. Por un lado, , pues es un subconjunto de , con
lo que para todo . Además, , ya que
dados y se tiene que y por lo
tanto .
Para el isomorfismo, considerar primero la proyección al
cociente: . Su núcleo es , y . Por lo tanto, se puede
aplicar la factorización de morfismos de grupos para concluir que existe
un único morfismo que cumple ,
donde es la proyección al cociente sobre .
El morfismo es un epimorfismo, porque lo es.
Además, , es
decir, . Esto a su vez equivale a afirmar
que .
Resumiendo, es un epimorfismo tal que ,
con lo cual, por el primer teorema de isomorfismo, se
concluye .
TERCER TEOREMA DE ISOMORFISMO.
Sea H y K subgrupos normales de un grupo G con K<H. Entonces
𝐺/𝐻 ≅ (𝐺/𝐾)/(𝐻/𝐾)
Diagrama que muestra gráficamente las relaciones que dá este último
teorema del isomorfismo.
Podemos definirlo así:
Si N y H son subgrupos normales de un grupo G, con 𝑁 ⊆ 𝐻, entonces: 𝐺/𝐻 ≅ (𝐺/𝐾)/(𝐻/𝐾)
Esto dá lugar al diagrama conmutativo siguiente:
donde son proyecciones canónicas, es la aplicación identidad y donde las flechas horizontales forman una sucesión de homomorfismos exacta.
Este teorema es también consecuencia del primer teorema de isomorfía.
Demostración. Tercer teorema de isomorfismo.
Sean un grupo y , subgrupos de . Sea . Entonces se tiene
que .
Si el grupo es Abeliano, usando notación aditiva: .
Demostramos:
Por empezar se debe verificar que las expresiones que intervienen en el
enunciado están bien definidas. Por un lado, es un subgrupo
de porque es normal en . Teniendo esto en cuenta, se cumple
también que , porque dado cualquier , en particular ,
y por lo tanto . Por último, . Para ello, dados
y , se debe ver que . En efecto, está
en porque es normal, y está en porque todos sus factores
lo están.
Para el isomorfismo, considerar primero la
aplicación: definida por . Se tiene que es un
morfismo de grupos porque .
Por un lado, es un epimorfismo. Para ver esto, considerar un
elemento arbitrario. Por ser normal, se sabe que se
escribe como para algún . Se tiene entonces
que .
Por otro lado, el núcleo es el conjunto , es
decir, .
Resumiendo, es un epimorfismo cuyo núcleo es . Por
el primer teorema de isomorfismo se concluye entonces
que .
https://foones.wordpress.com/2013/01/11/teoremas-de-isomorfismo/
Ejemplo 1.
Sea
𝐺 = ⟨𝑎⟩ 𝑐𝑜𝑛 𝑎 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 𝑚 ∈ ℤ
Definimos un homomorfismo
𝑓: ℤ → 𝐺 𝑐𝑜𝑛 𝑓: 𝑛 ↦ 𝑎𝑛 , ∀𝑛 ∈ ℤ
Se puede ver que f es homomorfismo de grupos y sobreyectivo,
entonces:
𝑖𝑚𝑓 = 𝐺
Además
ker 𝑓 = {𝑛 ∈ ℤ: 𝑎𝑛 = 1} = ⟨𝑚⟩
Por lo tanto,
ℤ𝑚 = ℤ/⟨𝑚⟩(≅ 𝐺)
Ejemplo 2.
RESUMEN:
MONOMORFISMO:
Es un homomorfismo de grupos inyectivo, aquel en el no hay dos elementos de G con la misma imagen:
∀g1 , g2∈ G : φ(g1) = φ(g2) ⇔ g1 = g2
El núcleo de un monomorfismo sólo contiene al elemento identidad, y a la inversa, cuando el núcleo sólo contiene al elemento identidad entonces la función es un monomorfismo.
EPIMORFISMO:
Es un homomorfismo de grupos sobreyectivo, aquel en el que todo elemento de H es imagen de algún elemento de G . Bajo estas condiciones, la imagen de φ es todoH :
∀h ∈ H : h = φ(g); para algún g∈ G
HOMOMORFISMO:
Sean G y G´ dos grupos. Una función φ: G → G’ es un homomorfismo si para todo a; b ∈ G se tiene que:
φ (ab) = φ (a) φ (b)
Para todo par de grupos G,G´, existe al menos un homomorfismo φ: G →G´, denominado el homomorfismo trivial definido por φ (g) = e´, para todo g ∈ G, donde e´ es el elemento identidad en G´.
Sin embargo, este homomorfismo trivial no nos proporciona mucha información estructural sobre G y G´.
HOMOMORFISMO DE GRUPOS:
Es una función entre grupos que preserva la operación binaria.
Dados dos grupos (G, o) y (H, *) la aplicación φ :
G →H es un homomorfismo de grupos si se verifica que para todos los pares de elementos a,b ∈ G :
φ(a o b) = φ(a) *φ(b)
Donde la operación en el lado izquierdo de la ecuación (o) es la ley de composición interna en G, y la operación dellado derecho de la ecuación ( * ) es la ley de composición interna en H .
Dado un homomorfismo de grupos φ : G→H , se verifican las siguientes propiedades:
* φ(1G) = 1H: la imagen del elemento identidad de G es el elemento identidad de H .
*ker(φ) ≠ ∅ : el núcleo de φ es un subconjunto no vacío.
*φ(a-1) = φ(a)-1 . La imagen de un inverso es el inverso de la imagen.
*Si G′ es un subgrupo de G , su imagen H′ es un subgrupo de H .
* Si H′ es un subgrupo de H, su preimagen G′ es un subgrupo de G .
*Continuando lo anterior, si H′ es normal en H, entonces su preimagen G′ es normal en G .
* ker(φ) ◁ G : el núcleo es un subgrupo normal de G.
* im(φ) ⊆H : La imagen de φ es un subgrupo de H
NÚCLEO E IMAGEN DE UN HOMOMORFISMO:
NÚCLEO: El conjunto de todos los elementos de H que son la imagen de algún elemento de G se llama la imagen de la aplicación, y se denota Im(φ) ó φ(G) . Formalmente:
Im(φ) : {h ∈H : h = φ(g), para algún g ∈G}
La imagen de φ es un subgrupo de H .
IMAGEN: El conjunto de todos los elementos de G cuya imagen es el elemento identidad de H se llama núcleo (kernel) de φ:
ker(φ) : {g ∈ G : φ(g) = 1H}
El núcleo de φ es un subgrupo normal de G. El núcleo es importante porque no sólo determina qué elementos tienen por imagen la identidad, sino también qué elementos
tienen la misma imagen:
a ∈G →φ(a o k) = φ(a) para ∀k ∈ker(φ)
φ(a o k) = φ(a) * φ(k) = φ(a) * 1H = φ(a)
Los conjuntos de todos los elementos que comparten una misma imagen son las clases laterales del núcleo.
PRIMER TEOREMA DE ISOMORFISMO:
Sean G y G´ grupos y h : G → G´ epimorfismo. Entonces:
G´ ≅G/Ker(h)
SEGUNDO TEOREMA DE ISOMORFISMO:
Sean N ⊴ G y H ≤ G. Entonces H ∩N ⊴H y H/H ∩N ≅ NH/N
Llamemos ∼ =∼N.
Como N ⊴G entonces ∼∈ Con(G).
TERCER TEOREMA DE ISOMORFISMO:
Sean N,H ⊴G con H ⊆ N. Entonces N/H ⊴ G/H y G/H/N/H ≅ G/N
Aquí tenemos que ∼N ,∼H ∈Con(G) y ∼H ⊆∼N.
EJEMPLO DE HOMOMORFISMO DE GRUPOS:
f : (ℝ , +) →(ℝ*, o) tal que f(x) = ex
dado que f(x + y) = ex+y = ex ey= f(x) of(y)
La imagen de la función exponencial es el subgrupo de los números reales positivos:
Im= ℝ+
y el núcleo es solo el elemento identidad:
Ker=e=0, ya que la aplicación es inyectiva.
Al ser inyectivo, el homomorfismo de grupos en este caso, entonces se trata de un monomorfismo.
ACTIVIDAD 2. TAREA ENTREGABLE DE LA UNIDAD. TEOREMAS PRINCIPALES.
INSTRUCCIONES: Resuelva los siguientes ejercicios y envíelos para su revisión en el apartado correspondiente del aula virtual.
1. En los siguientes incisos determine si la función descrita es o no un homomorfismo. Recuerde que debe justificar su respuesta. a) ∅: (ℤ, +) → (ℝ,+) 𝒅𝒂𝒅𝒂 𝒑𝒐𝒓 ∅(𝒏) = 𝒏
Sea: 𝛷(𝑛 + 𝑚) = 𝑛 + 𝑚 = 𝛷(𝑛) + 𝛷(𝑚), ∀ 𝑛,𝑚 ∈ ℤ.
Si 𝛷(𝑛) = 0 si y sólo si 𝑛 = 0, vemos que 𝑘𝑒𝑟𝛷 = {0}
Como el 𝑘𝑒𝑟𝑛𝑒𝑙 es trivial, 𝛷 es uno a uno, es sobre y la imagen
se basa tan sólo de los íntegros que conforman un subgrupo propio
de ℝ.
Por tanto sí es un homomorfismo.
b) ∅: (ℝ,+) → (ℤ,+)𝐝𝐚𝐝𝐚 𝐩𝐨𝐫 ∅(𝒙) = el entero más grande ≤ 𝒙.
Podemos analizar el siguiente ejemplo:
𝛷(2.5) + 𝛷(2.5) = 2 + 2 = 4 ≠ 5 = 𝛷(2.5 + 2.5)
Por tanto, no se trata de un homomorfismo.
c) 𝑺𝒆𝒂 𝑮 𝒖𝒏 𝒈𝒓𝒖𝒑𝒐 𝒚 𝒔𝒆𝒂 ∅:𝑮 → 𝑮 𝒅𝒂𝒅𝒂 𝒑𝒐𝒓 ∅(𝒈) = 𝒈−𝟏
Tenemos que si 𝐺 no es abeliano entonces 𝛷 no es homomorfismo.
Al ser 𝐺, no abeliano, existen 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 tal que 𝑎𝑏 ≠ 𝑏𝑎.
Luego
𝛷(𝑎𝑏) = (𝑎𝑏)−1 ≠ (𝑏𝑎)−1 = 𝑎−1𝑏−1 = 𝛷(𝑎)𝛷(𝑏)
Por tanto no es un homomorfismo.
d) 𝑺𝒆𝒂𝒏 𝑺𝒏 el grupo simétrico y A={-1,1} el grupo multiplicativo de dos elementos. Defina ∅: 𝑺𝒏 → 𝑨 por
∅(𝝈) = {−𝟏 𝒔𝒊 𝒍𝒂 𝒑𝒆𝒓𝒎𝒖𝒕𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒆𝒔 𝒊𝒎𝒑𝒂𝒓
𝟏 𝒔𝒊 𝒍𝒂 𝒑𝒆𝒓𝒎𝒖𝒕𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓
Suponiendo que 𝜎, 𝜏 ∈ 𝐺. Si 𝜎𝜏 es par, entonces 𝛷(𝜎) = 𝛷(𝜏), y
podemos ver que,
1 = 𝛷(𝜎𝜏) = 𝛷(𝜎)𝛷(𝜏)
Si 𝜎𝜏 es impar, entonces 𝛷(𝜎) = −𝛷(𝜏), y así,
−1 = 𝛷(𝜎𝜏) = 𝛷(𝜎)𝛷(𝜏).
Entonces para todo 𝜎, 𝜏 ∈ 𝐺 tenemos 𝛷(𝜎𝜏) = 𝛷(𝜎)𝛷(𝜏),
Por tanto, 𝜱 es un homomorfismo.
e) Sea 𝑮𝑳(𝒏, ℝ) el grupo multiplicativo de las matrices invertibles nxn. Recuerde que una matriz es invertible si y sólo si su determinante, det (A), es distinto de cero. Sea ∅:𝑮𝑳(𝒏,ℝ) → (ℝ ∗, 𝒙) dada por ∅(𝑨) = 𝐝𝐞𝐭 (𝑨)
Aquí vamos a considerar el mapeo 𝑑𝑒𝑡: 𝐺𝐿(𝑛,ℝ) → (ℝ∗, 𝑥)
El grupo 𝑑𝑒𝑡 es un homomorfismo porque 𝑑𝑒𝑡(𝐴𝐵) = 𝑑𝑒𝑡 (𝐴)𝑑𝑒𝑡 (𝐵).
Además, 𝑑𝑒𝑡 es sobre.
Sea
𝑛 ≠ 0
Tenemos una matriz A, con entrada 𝑎 en la esquina superior izquierda, con 1 en el resto de la diagonal, y 0 en todos los demás espacios.
Por tanto, 𝒅𝒆𝒕(𝑨) = 𝒂, lo cual prueba que es sobre.
f) Sea F el grupo aditivo de las funciones continuas con dominio [0,1]. Sea ∅: 𝑭 → (ℝ,+) definida por
∅(𝒇) = ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙𝟏
𝟎
Sean 𝑓1 𝑦 𝑓2 ∈ 𝐹.
Entonces,
𝛷(𝑓1 + 𝑓2) = ∫ (𝑓1(𝑥) + 𝑓2(𝑥))𝑑𝑥 = ∫ 𝑓1(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓2(𝑥)𝑑𝑥 =1
0
1
0
1
0𝛷(𝑓1) + 𝛷(𝑓2).
Por lo tanto, 𝜱 es un homomorfismo.
2. En los siguientes incisos calcule lo que se indica para el homomorfismo dado:
a) 𝒌𝒆𝒓(∅)𝒚 ∅(𝟐𝟓) 𝒑𝒂𝒓𝒂 ∅:ℤ → ℤ𝝉 𝒕𝒂𝒍 𝒒𝒖𝒆 ∅(𝟏) = 𝟒 Para que sea un homomorfismo debe cumplir:
Por ser un homomorfismo, la imagen del elemento neutro
∅(0) = 0
∅(1) = 4
y se cumple que:
∅(𝑛 + 𝑚) = ∅(𝑛) + ∅(𝑚)
∅(2) = ∅(1) + ∅(1) = 4 + 4 = 8 ≡ 1
∅(3) = ∅(2) + ∅(1) = 1 + 4 = 5
∅(4) = 9 ≡ 2
∅(5) = 6
∅(6) = 10 ≡ 3
∅(7) = 7 ≡ 0
Resumiendo, las imágenes son:
(0, 4, 1 , 5, 2 , 6, 3)
Por lo tanto, tenemos:
𝒌𝒆𝒓(∅) = {𝟕𝒏|𝒏 ∈ ℤ
∅(𝟐𝟓) = ∅(𝟐𝟏) + ∅(𝟒) = 𝟎 + 𝟐 = 𝟐
b) 𝒌𝒆𝒓(∅)𝒚 ∅(𝟏𝟖) 𝒑𝒂𝒓𝒂 ∅:ℤ → ℤ𝟏𝟎 𝒕𝒂𝒍 𝒒𝒖𝒆 ∅(𝟏) = 𝟔
Para este ejercicio, las imágenes serían:
∅(0) = 0
∅(1) = 6
∅(2) = 12 = 2(𝑚𝑜𝑑10)
∅(3) = 8
∅(4) = 14 = 4(𝑚𝑜𝑑 10)
∅(5) = 10 = 0 (𝑚𝑜𝑑 10)
Vemos que empieza a repetirse.
𝒌𝒆𝒓(∅) = {𝟓𝒏|𝒏 𝒅𝒆 ℤ}
∅(𝟏𝟖) = ∅(𝟏𝟓) + ∅(𝟑) = 𝟎 + 𝟖 = 𝟖
c) 𝒌𝒆𝒓(∅)𝒚 ∅(𝟑) 𝒑𝒂𝒓𝒂 ∅: ℤ𝟏𝟎 → ℤ𝟐𝟎 𝒕𝒂𝒍 𝒒𝒖𝒆 ∅(𝟏) = 𝟖
Tenemos
𝛷(𝑛) = 𝑛𝛷(1) = 8𝑛 𝑚𝑜𝑑20.
En particular 𝛷(3) = 24 = 4.
Luego, para 𝛷(𝑛) = 8𝑛 que sea cero, necesitamos que 8𝑛 sea
múltiplo de 20.
Esto sucede primero cuando 𝑛 = 5 y por lo tanto para cualquier
múltiplo de 5 también.
Por tanto, 𝒌𝒆𝒓𝜱 = {𝟎, 𝟓}, dado que son múltiplos de 5 en ℤ𝟏𝟎.
d) 𝒌𝒆𝒓(∅)𝒚 ∅(−𝟑, 𝟐) 𝒑𝒂𝒓𝒂 ∅: ℤ𝐱ℤ → ℤ𝐱ℤ 𝒕𝒂𝒍 𝒒𝒖𝒆 ∅(𝟏, 𝟎) = (𝟐,−𝟑) y ∅(𝟎, 𝟏) = (−𝟏, 𝟓)
Para cualquier (𝑚, 𝑛) ∈ ℤ𝑥ℤ, para que 𝛷 sea un homomorfismo
debemos tener,
𝛷(𝑚, 𝑛) = 𝛷(𝑚(1,0) + 𝑛(0,1)) = 𝑚𝛷(1,0) + 𝑛𝛷(0,1) = 3𝑚 − 5𝑛.
Entonces
𝛷(−3,2) = 3(−3) − 5(2) = −19.
Para que 𝛷(𝑚, 𝑛) = 3𝑚 − 5𝑛 sea cero, necesitamos que 3𝑚 = 5𝑛, así
𝑚 𝑦 𝑛 den múltiplos comunes de 3 𝑦 5 aquí.
El menor común múltiplo de 15 ocurre cuando 𝑚 = 5 𝑦 𝑛 = 3, así
que 𝛷(𝑚, 𝑛) = 3𝑚 − 5𝑛 = 0 cuando 𝑚 es un múltiplo de 5 y 𝑛 es un
múltiplo de 3.
Por lo tanto:
𝒌𝒆𝒓𝜱 = 𝟓ℤ𝒙𝟑ℤ.
3. Sea G un grupo y tomemos 𝒈 ∈ 𝑮. Defina ∅𝒈: 𝑮 → 𝑮 𝒑𝒐𝒓 ∅𝒈(𝒙) =
𝒈𝒙𝒈−𝟏 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒙 ∈ 𝑮 . Para qué elementos 𝒈 ∈ 𝑮 𝒆𝒔 ∅𝒈 un
homomorfismo? Para que sea un homomorfismo debe cumplirse:
∅𝑔(𝑥𝑦) = ∅𝑔(𝑥). ∅𝑔(𝑦)
𝑔𝑥𝑦𝑔−1 = 𝑔𝑥(𝑔−1𝑔)𝑦𝑔−1
𝑔𝑥𝑦𝑔−1 = 𝑔𝑥. 𝑒. 𝑦𝑔−1
donde 𝑒 es el elemento neutro.
𝑔𝑥𝑦𝑔−1 = 𝑔𝑥𝑦𝑔−1
𝑷𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐:
𝑻𝒆𝒏𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒆𝒔 𝒖𝒏 𝒉𝒐𝒎𝒐𝒎𝒐𝒓𝒇𝒊𝒔𝒎𝒐 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒄𝒖𝒂𝒍𝒒𝒖𝒊𝒆𝒓 𝒈 𝒅𝒆 𝑮.
4. Sea 𝒇: 𝑮 → 𝑯 un homomorfismo de grupos. Demuestre que:
a) 𝒇(𝒆) = 𝒆´, donde e es el neutro en G y e´ es el neutro en H. Tenemos que,
𝑒 ∗ 𝑒′ = 𝑒′
𝑓(𝑒 ∗ 𝑒′) = 𝑓(𝑒′)
𝑓(𝑒)𝑓(𝑒′) = 𝑓(𝑒′)
Multiplicando ambos lados por (𝑓(𝑒′))−1
tenemos,
(𝑓(𝑒′))−1
𝑓(𝑒)𝑓(𝑒′) = (𝑓(𝑒′))−1
𝑓(𝑒′)
𝑒′𝑓(𝑒) = 𝑒′
𝑓(𝑒) = 𝑒′
b) 𝒇(𝒙−𝟏) = 𝒇(𝒙)−𝟏 Tenemos que,
𝑥 ∗ 𝑥−1 = 𝑒
𝑓(𝑥 ∗ 𝑥−1) = 𝑓(𝑒)
𝑓(𝑥)𝑓(𝑥−1) = 𝑓(𝑒)
Como 𝑓(𝑒) = 𝑒 tenemos,
𝑓(𝑥)𝑓(𝑥−1) = 𝑒
A partir de 𝑥−1 ∗ 𝑥 = 𝑒 se deduce que:
𝑓(𝑥−1)𝑓(𝑥) = 𝑒
Entonces,
𝑓(𝑥)𝑓(𝑥−1) = 𝑓(𝑥−1)𝑓(𝑥) = 𝑒
Por lo tanto, 𝒇(𝒙−𝟏) = 𝒇(𝒙)−𝟏
c) 𝒇(𝒙𝒏) = 𝒇(𝒙)𝒏 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐭𝐨𝐝𝐨 𝒏 ∈ ℤ
Se puede probar que 𝑓(𝑥)𝑛 = [𝑓(𝑥)]𝑛 por inducción, cuando 𝑛 ≥ 1.
Cuando 𝑛 < 0, resulta:
𝑓(𝑥)𝑛 = 𝑓((𝑥−1)−𝑛) = [𝑓(𝑥−1)]−𝑛
lo cual resulta que es igual a 𝑓(𝑥𝑛)
Por tanto, 𝒇(𝒙𝒏) = 𝒇(𝒙)𝒏
5. Sea 𝒇: 𝑮 → 𝑯 un homomorfismo de grupos. Demuestre que:
a) 𝒌𝒆𝒓 (𝒇) ≤ 𝑮 𝒚 𝒊𝒎(𝒇) ≤ 𝑯. (≤ 𝒅𝒆𝒏𝒐𝒕𝒂 ´𝒔𝒖𝒃𝒈𝒓𝒖𝒑𝒐 𝒅𝒆´)
Sea, 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑘𝑒𝑟 (𝑓)
Entonces
𝑓(𝑥𝑦) = 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦) = 𝑒𝑒 = 𝑒
𝑓(𝑥−1) = 𝑓(𝑥)−1 = 𝑒−1 = 𝑒.
De aquí, se concluye que
𝑥𝑦, 𝑥−1 ∈ 𝑘𝑒𝑟 (𝑓)
Entonces, tenemos que 𝑘𝑒𝑟(𝑓) es un subgrupo de 𝐺.
Ahora bien, para
𝑔 ∈ 𝐺 𝑦 𝑥 ∈ 𝑘𝑒𝑟 (𝑓)
Se tiene que
𝑓(𝑔𝑥𝑔−1) = 𝑓(𝑔)𝑓(𝑥)𝑓(𝑔−1) = 𝑓(𝑔)𝑒𝑓(𝑔−1) = 𝑒
Luego
𝑔𝑥𝑔−1 ∈ 𝑘𝑒𝑟(𝑓)
Por tanto,
𝑔𝑘𝑒𝑟(𝑓)𝑔−1 ⊆ 𝑘𝑒 𝑟(𝑓) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑔 ∈ 𝐺.
Ahora, podemos cambiar 𝑔 con 𝑔−1 y resulta:
𝑔−1𝑘𝑒𝑟(𝑓)𝑔 ⊆ 𝑘𝑒 𝑟(𝑓) , ∀𝑔 ∈ 𝐺
Al multiplicar la izquierda por 𝑔 y la derecha por 𝑔−1 , se tiene:
𝑘𝑒𝑟(𝑓) ⊆ 𝑔𝑘𝑒𝑟(𝑓)𝑔−1.
Por inclusión reversa se concluye que,
𝑔𝑘𝑒𝑟(𝑓)𝑔−1 = 𝑘𝑒𝑟(𝑓)
De aquí se sigue que,
𝑔𝑘𝑒𝑟(𝑓) = 𝑘𝑒𝑟(𝑓)𝑔 𝑓 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑔 ∈ 𝐺
Por tanto,
𝑘𝑒𝑟(𝑓) es un subgrupo normal de 𝐺
Ya, por último, tenemos las identidades,
𝑓(𝑥)𝑓(𝑦) = 𝑓(𝑥𝑦)
𝑓(𝑥)−1 = 𝑓(𝑥−1)
Por lo tanto, se concluye que, 𝒊𝒎(𝒇)es un subgrupo de 𝑯.
b) 𝑺𝒊 𝒙 ∈ 𝒌𝒆𝒓 (𝒇) 𝒚 𝒂 ∈ 𝑮 entonces 𝒂𝒙𝒂−𝟏 ∈ 𝒌𝒆𝒓(𝒇) Si 𝑥 ∈ 𝑘𝑒𝑟(𝑓)
Entonces 𝑓(𝑥) = 1
Luego,
𝑓(𝑎𝑥𝑎−1) = 𝑓(𝑎) ∗ 𝑓(𝑥) ∗ 𝑓(𝑎−1) = 𝑓(𝑎) ∗ 1 ∗ 𝑓(𝑎−1)
= 𝑓(𝑎)𝑓(𝑎−1) = 1
Por lo tanto 𝒂𝒙𝒂−𝟏 ∈ 𝒌𝒆𝒓(𝒇).
c) 𝒇 es monomorfismo si y sólo si 𝒌𝒆𝒓 (𝒇) = {𝟏}
Recordemos que 𝑓 es un 𝑚𝑜𝑛𝑜𝑚𝑜𝑟𝑓𝑖𝑠𝑚𝑜, si es una aplicación
inyectiva.
Luego,
Si 𝑓:𝐻 → 𝐺
Es la inclusión de un subgrupo,
Por lo tanto, 𝒌𝒆𝒓(𝒇) = {𝟏} y 𝑰𝒎𝒇 = 𝑯
6. Calcule el kernel de los homomorfismos dados en los ejercicios 1(d) y 1(e). Para el ejercicio 1(d) :
El kernel de este homomorfismo, viene siendo el grupo alternante 𝐴𝑛
y es un subgrupo normal de 𝑆𝑛 y para 𝑛 ≥ 2 tiene 𝑛!/
2 elementos. Cada permutación se puede escribir como un producto
de transposiciones adyacentes de la forma (a un 1).
Por tanto, la permutación 𝒈 nos quedaría como,
𝒈 = (𝟒 𝟓) (𝟑 𝟒) (𝟒 𝟓) (𝟏 𝟐) (𝟐 𝟑) (𝟑 𝟒) (𝟒 𝟓).
7. Consideremos al grupo de los reales distintos de cero,
respecto del producto (ℝ ∗, 𝐱 )𝒚 𝒔𝒆𝒂 𝑵 = {−𝟏, 𝟏}. Demostrar que
𝑮/𝑵 es isomorfo al grupo de los números reales positivos
respecto a la multiplicación.
Sea
𝑓: 𝐺 ⟼ ℝ+ 𝑝𝑜𝑟 𝑓(𝑥) = |𝑥|.
Analizando se puede ver que 𝑓 está bien definida, es sobre, es
homomorfismos y 𝑘𝑒𝑟(𝑓) = 𝑁.
Entonces por el primer teorema de isomorfismo tenemos,
𝑮
𝑵≅ ℝ+ L. q. d.
EVIDENCIA DE APRENDIZAJE. TEOREMAS PRINCIPALES.
Instrucciones: Resuelva los siguientes ejercicios y envíelos para
su revisión en el apartado correspondiente del aula virtual.
1. Si H y K son subgrupos de un grupo G tal que |H| y |K| son primos relativos, demuestre que 𝑯 ∩ 𝑲 = {𝟏}.
Para realizar este ejercicio, primeramente denotamos la intersección de los
subgrupos como:
𝐻 ∩ 𝐾 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾}
De aquí, tenemos que:
𝐻 ∩ 𝐾 ⊆ 𝐻 y 𝐻 ∩ 𝐾 ⊆ 𝐾.
Entonces, para demostrar, también necesitamos denotar como lo hacemos habitualmente que:
Sea
𝑥, 𝑦 ∈ 𝐻 ∩ 𝐾 Entonces:
𝑥𝑦 ∈ 𝐻, 𝑥𝑦 ∈ 𝐾 a) Es una operación cerrada. Por ser ambos subgrupos, entonces se dice
que 𝐻 ∩ 𝐾 es cerrado bajo la operación en 𝐺.
b) Tiene elemento identidad. Por ser ambos subgrupos 𝐻 y 𝐾, el elemento
identidad en 𝐺 está en ambos, y por lo tanto también en 𝐻 ∩ 𝐾, luego
existe el elemento identidad en la intersección.
c) Tiene elemento inverso. Dado que, si 𝑥 ∈ 𝐻 ∩ 𝐾 se tiene que: 𝑥 ∈ 𝐻 ∧
𝑥 ∈ 𝐾 donde podemos deducir que 𝑥−1 ∈ 𝐻 ∧ 𝑥−1 ∈ 𝐾 pues ambos son
subgrupos. Por tanto,
𝑥−1 ∈ 𝐻 ∩ 𝐾
Con esto, se demuestra que 𝐻 ∩ 𝐾 es un subgrupo de 𝐻,𝐾 y de 𝐺.
Ahora sí, resolvemos, utilizando el Teorema de Lagrange.
| 𝐻 ∩ 𝐾 | es un divisor de |H| y un divisor de |K|; lo cual significa que ,
| 𝐻 ∩ 𝐾 | es un común divisor de |H| y |K|. Pero |H| y |K| son primos
relativos, de tal manera que | 𝐻 ∩ 𝐾| = 1 , lo cual demuestra que el
elemento único es {1},
𝑷𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐:
|𝑯 ∩ 𝑲| = {𝟏}
2. Sea 𝑮 = {𝒇:ℝ → ℝ|𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 + 𝒃, 𝒄𝒐𝒏 𝒂 ≠ 𝟎 }. Probar que G es un grupo bajo la composición de funciones y además probar que G es isomorfo al subgrupo de 𝑮𝑳 (𝟐, ℝ) que consiste de las matrices
de la forma (𝒂 𝒃𝟎 𝟏
).
a) Para empezar con este ejercicio, se realiza el cálculo de rutina para
mostrar que si 𝑀,𝑁 ∈ 𝒜 , entonces 𝑀,𝑁 ∈ 𝒜 𝑦 𝑀−1 ∈ 𝒜 .
b) Luego probamos que 𝜓: 𝐴𝑓𝑓(1,ℝ) → 𝒜, definido por 𝑓 ↦ 𝒜, es un
isomorfismo, donde 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏. (Nos damos cuenta, casi de
manera inmediata que 𝜓 es una biyección, entonces, podemos
probar que 𝝍 es un homomorfismo, y por consecuencia, un
isomorfismo).
Sea
𝑔 ∈ 𝐴𝑓𝑓(1,ℝ)
es dado por:
𝑔(𝑥) = 𝑐𝑥 + 𝑑,
entonces:
𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(𝑎𝑥 + 𝑏)
= 𝑐(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝑑
= 𝑐𝑎𝑥 + (𝑐𝑏 + 𝑑)
Por tanto, tenemos que:
𝜓(𝑓°𝑔) = [𝑐𝑎 𝑐𝑏 + 𝑑
0 1] = [
𝑐 𝑑0 1
] [𝑎 𝑏0 1
] = 𝜓(𝑔)𝜓(𝑓)
c) También probamos que el grupo estocástico ∑(2,ℝ) es isomorfo al
grupo 𝐴𝑓𝑓(1, ℝ) . La demostración es como sigue:
Tenemos:
𝜓: ∑(2,ℝ) → 𝒜 ≅ 𝐴𝑓𝑓(1,ℝ),
dado por:
𝜑(𝑀) = 𝑄𝑀𝑄−1
es un isomorfismo, donde
𝑄 = [1 01 1
] 𝑦 𝑄−1 = [1 0
−1 1]
Entonces probemos que 𝜓 es un homomorfismo.
𝜓(𝑀,𝑁) = 𝑄𝑀𝑁𝑄−1
= 𝑄𝑀𝑁𝑄−1𝑄𝑁𝑄−1
= 𝜑(𝑀)𝜑(𝑁)
Luego, si
𝑀 = [𝑎 𝑏𝑐 𝑑
]
entonces
𝑎 + 𝑐 = 1 𝑦 𝑏 + 𝑑 = 1
Se sigue que
𝐼𝑚𝜓 ≤ 𝒜
Multiplicando las matrices, tenemos:
[1 01 1
] [𝑎 𝑏𝑐 𝑑
] [1 0
−1 1] = [
𝑎 − 𝑏 𝑏0 1
]
la fila inferior de la última matriz es
(𝑎 + 𝑐) − ( 𝑏 + 𝑑) 𝑏 + 𝑑
y esto es 0 1 debido a que M es estocástica.
Por último, mostramos que 𝜓 es suprayectiva. Esto resulta obvio del último
resultado. Si
𝐴 = [𝑎 𝑏0 1
] ∈ 𝒜
Luego
𝐴 = 𝜑(𝑀), 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒
𝑀 = [𝑎 + 𝑏 𝑏
1 − 𝑎 − 𝑏 1 − 𝑏]
De esta manera, hemos probado que G, es un grupo bajo la composición de
funciones, y además, demostramos que G es isomorfo, al subgrupo de
𝐺𝐿 (2, ℝ) que consiste de las matrices de la forma 𝐴 = (𝑎 𝑏0 1
) ∈ 𝒜.
3. Sean H, K subgrupos de G y suponga que uno de ellos es normal en G. Demostrar que HK es subgrupo de G. Si ambos subgrupos son normales, demuestre que entonces, también HK es normal en G.
Podemos ver que ambos son subgrupos, por tanto, tienen el elemento
neutro y el producto HK es no vacío, ya que tendrá el neutro también.
Entonces, nos falta probar que si 𝑎 , 𝑏 ∈ 𝐻𝐾, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎𝑏−1 ∈ 𝐻𝐾.
𝑎 = ℎ1𝑘1 ℎ1 ∈ 𝐻, 𝑘1 ∈ 𝐾
𝑏 = ℎ2𝑘2 ℎ2 ∈ 𝐻, 𝑘2 ∈ 𝐾
Suponiendo que el grupo normal es K introducimos:
𝑎𝑏−1 = ℎ1𝑘1(ℎ2𝑘2)−1 = ℎ1𝑘1ℎ2
−1𝑘2−1 =
= ℎ1(ℎ2−1ℎ2)𝑘1𝑘2
−1ℎ2−1 = ℎ1ℎ2
−1[ℎ2. (𝑘1𝑘2−1). ℎ2
−1] =
Como [ℎ2. (𝑘1𝑘2−1). ℎ2
−1] ∈ 𝐾 , por ser K normal y los dos primeros son de H, luego:
𝒂𝒃−𝟏 ∈ 𝑯𝑲 Suponiendo que el grupo normal es H, tenemos:
= ℎ1𝑘1𝑘2−1ℎ2
−1(𝑘2. 𝑘1−1. 𝑘1. 𝑘2
−1)=
= ℎ1[(𝑘1𝑘2−1)ℎ2
−1(𝑘1. 𝑘2−1)−1]. 𝑘1. 𝑘2
−1
Como [(𝑘1𝑘2−1)ℎ2
−1(𝑘1. 𝑘2−1)−1] ∈ 𝐻, por ser H normal, tenemos que
cumple : 𝒂𝒃−𝟏 ∈ 𝑯𝑲
Entonces, si ambos son normales tenemos que ver que:
(ℎ𝑘)𝑔(ℎ𝑘)−1 ∈ 𝐻𝐾
(ℎ𝑘)𝑔(ℎ𝑘)−1 = ℎ(𝑘𝑔𝑘−1)ℎ−1 =
(𝑘𝑔𝑘−1) ∈ 𝐾
ℎ𝑘2ℎ−1 = ℎ(𝑘2ℎ
−1𝑘2−1)𝑘2
(𝑘2ℎ−1𝑘2
−1) ∈ 𝐻
𝑷𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐: (𝒉𝒉𝟐)𝒌𝟐 ∈ 𝑯𝑲
4. Si H y K son subgrupos de un grupo G, demuestre que HK es un subgrupo de G, si y sólo si HK=KH. Para resolver este ejercicio, vamos a denotar de la manera como lo hemos venido haciendo, por HK, al conjunto {ℎ𝑘: ℎ ∈ 𝐻, 𝑘 ∈ 𝐾}, entonces primero demostramos que HK=KH. Lo hacemos así:
Sea
𝐻𝐾 ≤ 𝐺
Si
𝑎 ∈ 𝐾𝐻,
entonces
𝑎 = 𝑘ℎ, 𝑘 ∈ 𝐾, ℎ ∈ 𝐻.
Por tanto,
𝑎−1 = ℎ−1𝑘−1 ∈ 𝐻𝐾
Siendo H un grupo y ℎ ∈ 𝐻, se sigue que
ℎ−1 ∈ 𝐻
y de manera análoga lo tenemos para K.
Puesto que 𝐻𝐾 ≤ 𝐺, el inverso de 𝑎−1 ∈ 𝐻𝐾: 𝑎 = (𝑎−1)−1 ∈ 𝐻𝐾, lo cual nos demuestra que:
𝐾𝐻 ⊂ 𝐻𝐾
De igual manera, vemos que:
𝐻𝐾 ⊂ 𝐾𝐻: 𝑠𝑖 𝑏 ∈ 𝐻𝐾,→ 𝑏−1 ∈ 𝐻𝐾
por ser 𝐻𝐾 ≤ 𝐺
Luego,
𝑏−1 = ℎ𝑘
Para ciertos elementos
ℎ ∈ 𝐻, 𝑘 ∈ 𝐾
Por lo tanto,
𝑏 = (𝑏−1)−1 = 𝑘−1ℎ−1 ∈ 𝐾𝐻
Supongamos que
𝐻𝐾 = 𝐾𝐻
Usando el criterio acostumbrado, vamos a probar que 𝐻𝐾 ≤ 𝐺, entonces, demostramos que
𝑎, 𝑏 ∈ 𝐻𝐾 → 𝑎𝑏−1 ∈ 𝐻𝐾.
Ahora bien, si tenemos que
𝑎, 𝑏 ∈ 𝐻𝐾 → 𝑎 = ℎ𝑘, 𝑏 = 𝑥𝑦, ℎ, 𝑥 ∈ 𝐻, 𝑘, 𝑦 ∈ 𝐾.
Por tanto
ℎ𝑥−1 ∈ 𝐻, 𝑘𝑦−1 ∈ 𝐾
Luego,
(𝑘𝑦−1)𝑥−1 ∈ 𝐾𝐻 = 𝐻𝐾
Entonces:
(𝑘𝑦−1) = 𝑢𝑣, 𝑢 ∈ 𝐻, 𝑣 ∈ 𝐾
Por lo tanto:
𝒂𝒃−𝟏 = (𝒉𝒌)(𝒚−𝟏𝒙−𝟏) = 𝒉(𝒌𝒚−𝟏)𝒙−𝟏 = (𝒉𝒖)𝒗 ∈ 𝑯𝑲
Lo cual queda demostrado l.q.d
UNIDAD 3. ASIGNACIÓN DEL DOCENTE.
INSTRUCCIONES: Resuelva los siguientes ejercicios y envíelos
para su revisión en el apartado correspondiente del aula virtual.
1. Sean a, b números reales y defínase la función 𝝉𝒂𝒃: ℝ → ℝ 𝒑𝒐𝒓 𝝉𝒂𝒃(𝒙) = 𝒂𝒙 + 𝒃. En la primera asignación ya se demostró que
𝑮 = {𝝉𝒂𝒃|𝒂 ≠ 𝟎} es un grupo. Considere el conjunto N={𝝉𝟏𝒃 ∈ 𝑮}.
Probar que:
a) N es un subgrupo normal de G.
Sean dos elementos de N.
𝜏1𝑎(𝑥) = 𝑥 + 𝑎
𝜏1𝑏(𝑥) = 𝑥 + 𝑏
𝜏1𝑐(𝑥) = 𝑥 + 𝑐
i) Calculamos la operación en G:
Tenemos que 𝑁 es cerrado bajo la operación en 𝐺 , ya que:
𝜏1𝑏(𝑥) ∘ 𝜏1𝑐(𝑥) = (𝑥 + 𝑐) + 𝑏 = 𝑥 + 𝑐 + 𝑏, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑐, 𝑏 ∈ ℝ
Entonces:
𝑐 + 𝑏 = 𝑑 ∈ ℝ
Luego,
𝝉𝟏𝒃(𝒙) ∘ 𝝉𝟏𝒄(𝒙) = 𝒙 + 𝒅 = 𝝉𝟏𝒅 ∈ 𝑵.
ii) Verificamos que la identidad en G esté en N:
𝜏1 ∘ 𝜏1𝑏 = (𝑥 + 𝑏) = 𝑥 + 𝑏
𝜏1𝑏 ∘ 𝜏1 = (𝑥) + 𝑏 = 𝑥 + 𝑏
Luego, 𝜏1 es la identidad en 𝐺 y 𝜏1𝑏 ∈ 𝑁,
Por tanto 𝝉𝟏 ∈ 𝑵.
iii) Calculamos su inverso:
El inverso de 𝜏1𝑏 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝜏𝑐𝑑 | 𝜏𝑐𝑑 · 𝜏1𝑏 = 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 = 𝑥
Entonces:
(𝜏𝑐𝑑 ∘ 𝜏1𝑏)(𝑥) = 𝜏𝑐𝑑(𝜏1𝑏(𝑥)) =
= 𝑐(𝑥 + 𝑏) + 𝑑 = 𝑐𝑥 + 𝑐𝑏 + 𝑑 = 𝑥
𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑐 = 1
1 · 𝑏 + 𝑑 = 0
𝑑 = −𝑏
Luego,
𝜏1𝑏(𝑥)−1 = 𝑥 − 𝑏
Y la condición es:
(𝜏1𝑎 ∘ 𝜏1𝑏−1)(𝑥) = (𝑥 − 𝑏) + 𝑎 = 𝑥 + (𝑎 − 𝑏)
Entonces, 𝜏1𝑏(𝑥)−1 ∈ 𝑁, por ser 1 el coeficiente de la x
𝐏𝐨𝐫 𝐥𝐨 𝐭𝐚𝐧𝐭𝐨,𝐍 𝐞𝐬 𝐮𝐧 𝐬𝐮𝐛𝐠𝐫𝐮𝐩𝐨 𝐝𝐞 𝐆.
b) El grupo cociente G/N es isomorfo al grupo de los números reales diferentes de cero con la operación multiplicación.
El grupo cociente G/N es un grupo cuyos elementos son clases de
equivalencia que se forman con la relación de equivalencia.
𝒂𝑹𝒃 ↔ 𝒂𝒃−𝟏 ∈ 𝑵
i) Primero definimos cuáles son las clases de equivalencia
𝜏𝑎𝑏 𝑅 𝜏𝑐𝑑 ↔ 𝜏𝑎𝑏 · (𝜏𝑐𝑑)−1 = 𝜏1𝑒
ii) La multiplicación es la composición de funciones.
𝜏𝑎𝑏 · (𝜏𝑐𝑑)−1 = 𝜏𝑎𝑏 𝑜 (𝜏𝑐𝑑)−1
Aplicado a x tenemos:
(𝜏𝑎𝑏 𝑜 (𝜏𝑐𝑑)−1)(𝑥) = 𝜏𝑎𝑏[(𝜏𝑐𝑑)−1(𝑥)] = (A)
iii) Tiene elemento neutro.
Creo que en esta serie de ejercicios ya hemos visto que el elemento neutro
es la identidad
𝜏10 = 𝑥
iv)Tiene inverso.
y el inverso de τcd será un ex + f tal que
𝜏𝑐𝑑(𝑒𝑥 + 𝑓) = 𝑐(𝑒𝑥 + 𝑓) + 𝑑 = 𝑒𝑐𝑥 + 𝑓𝑐 + 𝑑 = 𝑥
luego
𝑒𝑐 = 1 → 𝑒 = 1/𝑐
𝑓𝑐 + 𝑑 = 0 → 𝑓 = −𝑑/𝑐
𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 (𝜏𝑐𝑑)−1(𝑥) = 𝑥/𝑐 − 𝑑/𝑐
Continúo con la igualdad (A) que quedó arriba, la reescribo:
(𝜏𝑎𝑏 𝑜 (𝜏𝑐𝑑)−1)(𝑥) = 𝜏𝑎𝑏[(𝜏𝑐𝑑)−1(𝑥)] =
= 𝜏𝑎𝑏(𝑥/𝑐 − 𝑑/𝑐) = 𝑎(𝑥/𝑐 − 𝑑/𝑐) + 𝑏 =
(𝑎/𝑐)𝑥 − 𝑎𝑑/𝑐 + 𝑏
y esto debe ser un 𝜏1𝑒 si están relacionados.
El valor de e puede ser cualquiera
(𝑎/𝑐)𝑥 + 𝑎𝑐 + 𝑏 = 𝑥 + 𝑒
lo cual se traduce en
𝑎/𝑐 = 1
𝑎 = 𝑐
Luego dos elementos 𝜏𝑎𝑏𝑦 𝜏𝑐𝑑 están relacionados si y solo si 𝑎 = 𝑐
Luego los elementos del conjunto cociente se identifican sólo por el
coeficiente de la x. Y la operación entre dos elementos de G/N es la clase de
la operación hecha en G entre cualesquiera representantes de esas dos
clases.
v) Tiene isomorfismo.
El isomorfismo f que vamos a establecer entre R y G/N es:
𝑓(𝑎) = (𝑎𝑥 + 0)𝑁
ese N significa que es una clase
(𝑎𝑥 + 0)𝑁 = {𝑎𝑥 + 𝑏 |𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑏 𝑑𝑒 𝑅 }
Veamos que:
𝑓(𝑎𝑏)𝑁 = 𝑓(𝑎)𝑁 · 𝑓(𝑏)𝑁
𝑓(𝑎𝑏)𝑁 = (𝑎𝑏𝑥 + 0)𝑁
𝑓(𝑎)𝑁 · 𝑓(𝑏)𝑁 =
Entonces, tenemos que por definición:
(𝑓(𝑎) · 𝑓(𝑏))𝑁 =
siendo,
𝑓(𝑎)𝑦 𝑓(𝑏)
representantes cualesquiera de sus clases
(𝜏𝑎0𝑜 𝜏𝑏0)𝑁 = (𝜏𝑎0[𝑏𝑥 + 0])𝑁 = (𝑎𝑏𝑥 + 0)𝑁
Luego
𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑎) · 𝑓(𝑏) 𝑦 𝑓
es un isomosrfismo de los grupos 𝑅 𝑦 𝐺/𝑁
= (𝑓(𝑎) 𝑜 𝑓(𝑏))(𝑥)
que es la operación inducida en el grupo cociente.
2. Sean G un grupo y 𝑮´ = {𝒙𝒚𝒙−𝟏𝒚−𝟏|𝒙, 𝒚 ∈ 𝑮}. 𝑮´ es llamado el subgrupo conmutador de G.
a) Probar que G´es normal en G.
Supongamos que G es un grupo, sea G´ el subgrupo engendrado por
{𝑥𝑦𝑥−1𝑦−1|𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺}. Entonces G´es un subgrupo normal, llamado el
subgrupo conmutador de G.
Por definición, tenemos que:
𝐺’ = {[𝑥, 𝑦]|𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺}.
Como
[𝑥, 𝑦]−1 = [𝑦, 𝑥],
entonces
𝑧 ∈ 𝐺′ ,
si y sólo si
𝑧 = 𝑦1 …𝑦𝑛 ,
donde cada 𝑦𝑖 es un conmutador.
Luego, para cualquier
𝑔 ∈ 𝐺, 𝑔𝑧𝑔−1 = (𝑔𝑦1𝑔−1)… (𝑔𝑦𝑛𝑔−1),
entonces, para probar que 𝐺’ ⊲ 𝐺, es suficiente con mostrar que:
si 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺,
luego para cada
𝑔 ∈ 𝐺, 𝑔[𝑥, 𝑦]𝑔−1
es también un conmutador.
𝒈[𝒙, 𝒚]𝒈−𝟏 = 𝒈(𝒙𝒚𝒙−𝟏𝒚−𝟏)𝒈−𝟏 = (𝒈𝒙𝒈−𝟏)(𝒈𝒚𝒈−𝟏)(𝒈𝒙𝒈−𝟏)−𝟏(𝒈𝒚𝒈−𝟏)−𝟏
= [𝒈𝒙𝒈−𝟏, 𝒈𝒚𝒈−𝟏].
b) Probar que G/G´es abeliano.
Tenemos que:
Si
𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺,
entonces
(𝐺′𝑥)(𝐺′𝑦) = 𝐺′𝑥𝑦 = 𝐺′|𝑥,𝑦|𝑦𝑥 = 𝐺′𝑦𝑥 = (𝐺′𝑦)(𝐺′𝑥).
Por lo tanto 𝑮/𝑮’ es abeliano
Me pareció notable escribir lo siguiente, ya que entra aquí un concepto nuevo
que no conocía, denominado funtor 𝐴𝑏𝑒𝑙:𝔊 → 𝔊
Si
𝐺 ∈ 𝔊, 𝐴𝑏𝑒𝑙(𝐺) =𝐺
𝐺´,
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐺´ es el subgrupo conmutador.
Si
𝑓: 𝐺 → 𝐻 es un homomorfismo,
g=𝐴𝑏𝑒𝑙(𝑓):𝐺
𝐺´→
𝐻
𝐻´
es el homomorfismo inducido:
𝑔(𝑥𝐺´) = (𝑓𝑥)𝐻´, 𝑥 ∈ 𝐺
Esta definición tiene sentido, puesto que :
𝑓𝐺′ ⊆ 𝐻′
Y queda claro que Abel es un funtor.
3. Sea G el grupo de todas las matrices reales 2x2 (𝒂 𝒃𝟎 𝒅
), donde
𝒂𝒅 ≠ 𝟎 bajo la multiplicación de matrices. Probar que el
subgrupo conmutador G´ es precisamente el conjunto de las
matrices de la forma (𝟏 𝒙𝟎 𝟏
)
El grupo conmutador G' es el formado por:
𝑎. 𝑏. 𝑎−1𝑏−1 ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺
En primer término, obtenemos la matriz inversa:
(𝑎 𝑏 | 1 00 𝑑 | 0 1
)
(1 𝑏/𝑎 | 1/𝑎 00 1 | 0 1/𝑑
)
(1 0 | 1/𝑎 − 𝑏/𝑎𝑑
0 1 | 0 1/𝑑)
Realizamos las multiplicaciones:
(𝑎 𝑏0 𝑑
) . (𝑒 𝑓0 ℎ
) = (𝑎𝑒 𝑎𝑓 + 𝑏ℎ0 𝑑ℎ
)
(𝑎𝑒 𝑎𝑓 + 𝑏ℎ0 𝑑ℎ
) . (1/𝑎 − 𝑐/(𝑎𝑏)
0 1/𝑑) = (
𝑒 − 𝑐𝑒/𝑏 + (𝑎𝑓 + 𝑏ℎ)/𝑑0 ℎ
)
(𝑒 − 𝑐𝑒/𝑏 + (𝑎𝑓 + 𝑏ℎ)/𝑑0 ℎ
) . (1/𝑒 − 𝑓/(𝑒ℎ)
0 1/ℎ) = (
1 − 𝑓/ℎ + ⋯0 1
)
Podemos ver, que la matriz resultante, tiene unos en la diagonal y
contienen todos los elementos de la forma 𝐶 = (1 𝑥0 1
).
entonces, es de la forma del conjunto C que nos piden.
𝑷𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐, 𝑮´ ∈ 𝑪
Referencias bibliográficas.
Curso de álgebra moderna, Peter Hilton,Peter John Hilton,Yel-Chiang Wu https://books.google.com.mx/books?id=BDzY3HUg5AQC&pg=PA72&lpg=PA72&dq https://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/fchamizo/realquiler/fich/Alberto2 rev.pdf Introducción a la teoría de grupos. Felipe Zaldívar, Primera reimpresión,2009. Notas de Álgebra Moderna, Enrique Rodríguez Castillo, PDF. Curso de Álgebra Moderna, Fernando Gamarra Morales, PDF
