Algebra Moderna(Teorıa de Grupos)

por Marıa Luisa Perez Seguı

Introduccion

Se presenta aquı el material correspondiente a un curso de Teorıa de Grupos introductorio.El material del libro constituye el 100 % del curso que se imparte con el nombre de AlgebraModerna en la Facultad de Ciencias Fısico-Matematicas de la Universidad Michoacana.

En el texto se intercalan numerosos ejemplos inmediatamente despues de que se ha intro-ducido un concepto nuevo, de manera que sea mas completa la comprension del concepto.Se proponen tambien diversos ejercicios; algunos de ellos son rutinarios, mientras que la so-lucion de otros requiere de un mayor esfuerzo, imaginacion y dedicacion, fomentando en elalumno las primeras tecnicas de investigacion en el tema.

La seccion 1 esta dedicada a describir los conceptos basicos en la teorıa de grupos y afamiliarizar al alumno con los ejemplos mas importantes, incluyendo diversas formas de cons-truir grupos a partir de otros grupos dados. Se establece tambien la nomenclatura esencialpara el desarrollo de la teorıa.

La seccion 2 trata de un ejemplo muy importante dentro de la teorıa: los grupos depermutaciones. La importancia de estos grupos radica en que todo grupo se puede ver comosubgrupo de uno de ellos.

La tercera seccion esta dedicada a un repaso de teorıa de numeros. Ademas de queesta teorıa nos provee de ejemplos muy importantes de grupos, muchas de las tecnicas dedemostracion en la teorıa de grupos requieren de las tecnicas de teorıa de numeros que aquı sepresentan. Se inicia tambien con los ejemplos de teorıa de numeros el estudio de la estructuracociente.

Se inicia la seccion 4 estudiando las clases laterales de un grupo con respecto a unsubgrupo. Dentro de la seccion se demuestra el teorema de Lagrange. Se da tambien ladefinicion de subgrupo normal, esencial para la construccion de la estructura cociente, y sedan numerosos ejemplos de grupos cociente.

En la seccion 5 se estudian los homomorfismos, los cuales permiten relacionar unos gruposcon otros. Dentro de la seccion se demuestran los teoremas de isomorfismo y el teorema dela correspondencia.

La seccion 6 contiene el desarrollo basico de la accion de grupos en conjuntos, esencial enmuchas areas de matematicas. Se demuestra la ecuacion de clase y que el grupo alternanteAn con n ≥ 5 es simple. Se estudian ademas en esta seccion los p-grupos.

La seccion 8 trata el teorema de Sylow. Se da la demostracion del mismo y diversas

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aplicaciones,

En la seccion 9 se establece el teorema fundamental de los grupos abelianos finitos, elcual da una clasificacion completa de estos grupos.

Marıa Luisa Perez SeguıFac. Cs. Fısico-Matematicas

Universidad Michoacana de San Nicolas de HidalgoFebrero, 2014

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Indice

Introduccion I

1. Conceptos basicos 1

1.1. Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Subgrupos y generacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Grupos de permutaciones 7

3. Teorıa de Numeros 11

3.1. Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4. Clases laterales y cocientes 19

4.1. Clases laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.2. Cocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5. Homomorfismos 25

5.1. Homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.2. Homomorfismos en cocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

6. Acciones de grupos en conjuntos 34

6.1. Acciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

6.2. p-grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

7. Teorema de Sylow 43

8. Grupos abelianos finitos 49

Referencias y lecturas complementarias 51

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1. Conceptos basicos

1.1. Grupos

Un grupo es un conjunto no vacıo G junto con una operacion binaria ∗, es decir, unafuncion ∗ :G × G → G llamada producto o multiplicacion, que satisface las siguientespropiedades:

(a) ∗ es asociativa: ∀ a, b, c ∈ G se tiene a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c (escribimos a ∗ b ∗ c).(b) Hay elemento neutro e, es decir, un elemento e que satisface que para toda a ∈ G,

se tiene que a ∗ e = a = e ∗ a.(c) Hay inversos, es decir para toda a ∈ G existe a′ ∈ G tal que a ∗ a′ = e = a′ ∗ a. Si

ademas ∗ satisface:

(d) ∗ es conmutativa, es decir, para todos a, b ∈ G se tiene que a ∗ b = b ∗ a. entoncesdecimos que G es un grupo abeliano o conmutativo.

1.1 Proposicion. En un grupo solo hay un elemento neutro y los inversos tambien sonunicos.

Demostracion. Supongamos que e y e′ son dos elementos que funcionan como neutros.Entonces e = e ∗ e′ = e′ (en la primera igualdad se uso que e′ es neutro y, en la segunda, quee es neutro).

Supongamos que a tiene dos inversos a′ y a′′. Entonces

a′ = a′ ∗ e = a′ ∗ (a ∗ a′′) = (a′ ∗ a) ∗ a′′ = e ∗ a′′ = a′′.♦

Notacion. Hablamos del grupo (G, ∗) o, si la operacion se sobreentiende, del grupo G.Tambien en muchos casos omitimos el sımbolo ∗ y, en lugar de hablar del elemento a ∗ b,hablamos del elemento ab. Al elemento neutro se le llama uno o elemento unitario y se ledenota por 1 (o 1G, si quiere enfatizarse que es el neutro del grupo G). Al elemento inversode a lo denotamos por a−1. En muchos casos, cuando el grupo es abeliano a la operacion ∗ sela denota por + y se le llama suma o adicion; en este caso, al elemento neutro se le llamacero y se le denota por 0; tambien en lugar de a−1 escribimos −a y en lugar de a + (−b)escribimos a− b.

1.2 Proposicion. En un grupo vale la ley de la cancelacion, es decir, si ab = ac (oba = ca) para a, b, c elementos en el grupo, entonces b = c.

Demostracion. Multiplicamos por el inverso de a por la izquierda. ♦

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1.3 Ejemplo. (a) (Z,+) es grupo abeliano.

(b) (N,+) no es grupo pues no hay inversos.

(c) (Q,+) es grupo abeliano.

(d) (R,+) es grupo abeliano.

(e) (C,+) es grupo abeliano.

(f) (Q \ {0}, ·) es grupo abeliano.

(g) (R \ {0}, ·) es grupo abeliano.

(h) (C \ {0}, ·) es grupo abeliano.

(i) (Z \ {0}, ·) no es grupo pues no hay inversos.

(j) El conjunto M2(R) de las matrices de 2 × 2 (o de n × n) con coeficientes reales (ocon coeficientes en alguno de los grupos anteriores), con la operacion de suma de matrices,es grupo abeliano.

(k) El conjunto GL2(R) (grupo general lineal) de las matrices de 2×2 (o de n×n) concoeficientes reales (o en Q o en C y determinante distinto de 0, con la operacion de productode matrices, es grupo no abeliano.

(l) El conjunto R[x] de polinomios con coeficientes reales (o en N, Z, Q o C), con laoperacion de suma, es grupo abeliano.

(m) R2 (o Rn, o cualquier espacio vectorial) con la suma de vectores es grupo abeliano.

(n) Si G y H son grupos, entonces G×H con lo operacion coordenada a coordenada esgrupo.

(n) Si X es un conjunto y G es un grupo, entonces el conjunto de funciones de X en G,F(X,G) con la operacion (φ ∗ ψ)(x) = φ(x)ψ(x) (esta ultima realizada en G) es grupo.

(o) El conjunto SX de funciones biyectivas de un conjunto X en sı mismo, con la operacionde composicion, es un grupo no abeliano.

(p) Z6 con la suma modulo 6 (o Zn con la operacion modulo n) es grupo abeliano.

Mas adelante estudiaremos estos dos ultimos con mas detalle.

Los ejemplos que acabamos de mencionar son clasicos de la teorıa y de aquı en adelantehablaremos de ellos sin mencionar la operacion (por ejemplo, hablaremos del grupo Z sinespecificar que la operacion es la suma, del grupo C \ {0} sin decir que la operacion es lamultiplicacion o de SX sin aclarar que la operacion es la composicion de funciones, etc.

Notacion. Si G es un grupo y a ∈ G, al resultado de operar a consigo mismo n veces(para n ∈ N) lo denotamos por an (en el caso aditivo, por na) y al resultado de operar a−1

consigo mismo n veces lo denotamos por a−n. Escribimos tambien a0 = 1.

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1.4 Proposicion. Si n,m ∈ Z y a, b ∈ G, con G grupo, entonces

(a) (a−1)−1 = a, es decir, el inverso del inverso de a es a mismo.

(b) (ab)−1 = b−1a−1.

(c) aman = am+n.

(d) (am)n = amn.

(e) Si G es conmutativo entonces (ab)n = anbn.

Demostracion. Probemos (a) y (c) y dejemos (b), (d) y (e) como ejercicio.

(a) Basta observar que aa−1 = 1 = a−1a.

(c) El resultado es claro si m,n ∈ N∪{0}. Para alguno de m o n negativos basta observarque a−k = (ak)−1. ♦

1.5 Ejercicio. Reescribir las condiciones de la proposicion anterior en la forma aditiva.

El orden de un elemento a 6= 1 en un grupo G esta definido como el menor entero positivor tal que ar = 1. Si no existe tal r decimos que el orden de a es infinito. Decimos que elorden de 1 es 1. En grupos finitos todo elemento tiene un orden finito, lo cual se deduce deinmediato de la siguiente proposicion.

1.6 Proposicion. Si G es un grupo finito y a ∈ G, entonces existe r ∈ N tal que ar = 1.

Demostracion. La lista infinita a, a2, a3, . . . consta de elementos de G, que es finito, asıque debe haber dos valores iguales, es decir, existen i < j naturales tales que ai = aj. Comoen un grupo se vale la cancelacion, tenemos que aj−i = 1. ♦

1.7 Ejercicio. Probar que si en un grupo todo elemento distinto de 1 tiene orden 2,entonces el grupo es abeliano.

1.8 Ejercicio. Probar que si G es grupo y a, b ∈ G son tales que ab = 1 entonces b = a−1.

1.9 Ejercicio. (∗) Probar que si G es grupo con un numero par de elementos, entoncesexiste a ∈ G de orden 2 (es decir, un elemento a 6= 1 que es su propio inverso).

1.10 Ejercicio. (∗) En GL2(Q) sean A =

(0 −11 0

)y B =

(0 1−1 1

). Probar que A

tiene orden 4 y que B tiene orden 6 pero que AB tiene orden infinito. (Nota: Multiplicarpor el matriz A tiene el efecto de la multiplicacion compleja por el numero i, es decir, deuna rotacion del plano 90o).

1.11 Ejercicio. (∗) En C \ {0} encontrar, para cada n ∈ N, un elemento de orden n.Encontrar tambien un elemento de orden infinito.

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Dos elementos a y b en un grupo G son conjugados si existe x ∈ G tal que a = xbx−1.Esto establece una relacion de conjugacion dentro del grupo G.

1.12 Ejercicio. Probar que la relacion de conjugacion es relacion de equivalencia, esdecir: es reflexiva (para todo a ∈ G, a es conjugado de a), es simetrica (para cualesquieraa, b ∈ G, si a es conjugado de b entonces b es conjugado de a) y es transitiva (para cuales-quiera a, b, c ∈ G si a es conjugado de b y b es conjugado de c entonces a es conjugado dec).

1.13 Ejercicio. Probar que un grupo G es abeliano si y solo si para toda a ∈ G elunico conjugado de a es a mismo. En particular, si G es abeliano entonces la relacion deconjugacion es la igualdad.

1.14 Ejercicio. (∗) Sean a y b elementos de un grupo G.

(a) Probar que si G es finito, y a y b son conjugados entonces el orden de a es igual al deb.

(b) Probar que ab y ba son conjugados (en particular, en el caso en que G sea finito,tienen el mismo orden).

1.2. Subgrupos y generacion

Si G es un grupo y H ⊂ G, decimos que H es subgrupo de G, y escribimos H ≤ G, siH con la operacion restringida es el mismo un grupo.

1.15 Proposicion. Sea G un grupo y sea H ⊂ G. Entonces H es subgrupo de G si ysolo si en H se satisfacen las siguientes tres propiedades:

(a) 1 ∈ H.

(b) Si a, b ∈ H entonces ab ∈ H (decimos que H es cerrado bajo la operacion de G).

(c) Si a ∈ H entonces a−1 ∈ H.

Demostracion. Supongamos primero que H es grupo y sea e el neutro de H. Entoncesee = e = 1e, de donde, cancelando e, tenemos e = 1 y ası 1 ∈ H. La propiedad (b) es claraporque H es grupo. Veamos (c): Se a ∈ H. Sabemos que a tiene inverso en H, llamemosle a′.Queremos ver que a′ = a−1, el inverso de a en G. Tenemos a−1 = a−11 = a−1aa′ = 1a′ = a′.Para ver que siH satisface (a), (b) y (c) entoncesH es grupo solo nos falta ver la asociatividadpero esta es clara pues la operacion es la misma que la de G. ♦

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1.16 Observacion. En la proposicion anterior la condicion (a) puede sustituirse por:

(a′) H 6= ∅.

Demostracion. Tenemos que probar (a), (b), (c) ⇔ (a′), (b), (c). Es claro que (a) ⇒(a′). Para ver la otra implicacion, en vista de que H 6= ∅, tomemos a ∈ H. Entonces, por(c), a−1 ∈ H y, por (b), aa−1 ∈ H, de donde 1 ∈ H. ♦

1.17 Ejemplo. (a) Si G es un grupo entonces {1} y G son subgrupos de G.

(b) Si n ∈ N entonces nZ = {na : a ∈ Z} es subgrupo de Z.

(c) Z ≤ Q ≤ R ≤ C.

(d) {1,−1} ≤ R \ {0}.(e) S1 = {z ∈ C : ||z|| = 1} ≤ C \ {0}.(f) El subconjunto SL2(R) (grupo especial lineal) de GL2(R) de las matrices con

determinante 1 es subgrupo de GL2(R).

(g) El conjunto de polinomios con coeficientes en R y termino constante 0 es subgrupode R[x].

(h) Para n natural, el conjunto de polinomios con coeficientes en R y grado menor o igualque n es subgrupo de R[x].

(i) {(x, y) ∈ R2 : x+ y = 0} es subgrupo de R2.

(j) Si X es un conjunto y x0 ∈ X entonces {f ∈ SX : f(x0) = x0} ≤ SX .

(k) Si G y H son grupos, entonces G× {1H} ≤ G×H.

(l) El conjunto de funciones continuas de R en sı mismo es subgrupo de F(R,R).

1.18 Ejercicio. Probar que si {Hi : i ∈ I} es una familia arbitraria de subgrupos de ungrupo G entonces la interseccion de ellos,

⋂i∈I Hi, es subgrupo de G.

1.19 Ejercicio. (∗) Dar un ejemplo de un grupo G y de dos subgrupos H y K tal queH ∪K no sea subgrupo de G.

1.20 Ejercicio. Probar que si H y K son subgrupos de un grupo G tales que H ∪K essubgrupo de G, entonces H ⊂ K o K ⊂ H.

Dado un grupo G denotamos por <X> a la interseccion de todos los subgrupos de Gque contienen a X que, gracias a 1.18, es un subgrupo; es, ademas, el menor subgrupo quecontiene al conjunto X (en el sentido de que cualquier otro subgrupo que contenga a Xcontiene a <X>); se llama subgrupo generado por X y se dice que X es un conjuntogenerador del grupo <X> . Decimos que un grupo es cıclico si esta generado por un soloelemento a; en este caso escribimos G =<a> (en lugar de G =<{a}>) y decimos que agenera G. Decimos que G es finitamente generado si existe X finito, X = {x1, x2, . . . , xn},tal que G=<X>; en este caso escribimos G =<x1, x2, . . . , xn>.

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1.21 Proposicion. Si G es un grupo y ∅ 6= X ⊂ G entonces

<X>= {xr11 xr22 · · · xrkk : k ∈ N, x1, x2, . . . xk ∈ X, r1, r2, . . . rk ∈ {−1, 1}}.

Demostracion. Llamemos H al conjunto descrito en el lado derecho de la igualdad. Esclaro que H contiene a X y que H ⊂<X>. Para ver la otra contencion queremos ver que Hes subgrupo de G, pero esto es obvio por 1.15. ♦

1.22 Observacion. Si G es grupo y X ⊂ G consta de un solo elemento x entonces

<X>= {xr : r ∈ Z}.♦

Nuestro interes principal en este curso sera el de estudiar grupos finitos. Al numero deelementos de un grupo finito G se le llama orden de G y se le denota por |G|.

1.23 Proposicion. Si G es grupo cıclico finito de orden n y a es generador de G, entoncesG = {a, a2, . . . , an}.

Demostracion. La lista a, a2, . . . an+1 tiene n+1 elementos, todos dentro de G. Entoncesak = 1 para cierta k ≤ n, pero entonces a−1 = ak−1, a−2 = ak−2, etc. y ası, por 1.22G = {xr : r ∈ Z} = {a, a2, a3, . . . , ak} y, como G tiene n elementos, se debe tener k = n. ♦

1.24 Observacion. Si G es un grupo, H un subgrupo de G generado por un conjuntoX y K es otro subgrupo de G, entonces para probar que H ⊂ K basta probar que X ⊂ K.

1.25 Ejemplo. (a) Z es cıclico pues Z =<1>.

(b) <∅>= {1}.(c) Si n ∈ N entonces nZ es subgrupo cıclico de Z (generado por n).

(d) {1,−1, i,−i} es un subgrupo cıclico de C \ {0} (generado por i).

1.26 Ejercicio. (∗) Probar que Q esta generado por { 1n

: n ∈ N}.

1.27 Ejercicio. Probar que Z[x] esta generado por {1, x, x2, x3, . . .}.

1.28 Ejercicio. (∗) Probar que todo grupo cıclico es abeliano.

1.29 Ejercicio. (∗) Probar que si G 6= {1} es un grupo y los unicos subgrupos de G son{1} y G mismo, entonces G es cıclico de orden primo.

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2. Grupos de permutaciones

Para n ∈ N denotamos por Sn al conjunto de funciones biyectivas de [n] = {1, 2, . . . , n}en sı mismo. Cada una de estas funciones se llama permutacion de n. Observemos primeroque el orden de Sn es n!.

Dada una permutacion σ : [n] → [n] hay varias formas de denotar a σ. Si σ(i) = ai dosnotaciones naturales son:

σ =

(1 2 · · · na1 a2 · · · an

)= (a1, a2, . . . , an).

La segunda notacion se llama lineal.

Hay otra forma importante de denotar a la permutacion σ llamada forma cıclica. Escomo sigue: Se escoge un numero a, se abre un parentesis y se escribe a continuacion dea, σ(a), despues σ(σ(a)) y ası sucesivamente hasta llegar a a mismo que ya no se escribey se cierra el parentesis; esto se llama ciclo de la permutacion; despues, en caso de queno se hayan usado todos los numeros de [n] se escoge un numero b no usado y se repite elprocedimiento poniendo otro ciclo a continuacion del primero y ası sucesivamente hasta queesten usados todos los numeros. Hagamos un ejemplo. Supongamos que en forma lineal σes la permutacion (5, 7, 6, 4, 2, 3, 1); esto corresponde a la forma cıclica σ = (1 5 2 7)(3 6)(4).Observemos que una misma permutacion tiene varias formas cıclicas; ası (2 7 1 5)(4)(6 3) y(3 6)(4)(7 1 5 2) tambien representan a la permutacion del ejemplo (entre otras).

La longitud de un ciclo es el cantidad de numeros que lo forman; a un ciclo de longitud 2se le llama biciclo o transposicion, a uno de longitud r se le llama r-ciclo (la permutacionque dimos en el ejemplo tiene tres ciclos: uno de longitud 1, un biciclo y un 4-ciclo). Unpunto fijo de una permutacion σ es un i ∈ [n] tal que σ(i) = i.

2.1 Ejercicio. Descomponer en forma cıclica las permutaciones (8, 2, 4, 6, 3, 5, 7, 1) y(5, 2, 7, 1, 9, 4, 6, 8, 3) y encontrar sus puntos fijos.

2.2 Ejercicio. Encontrar la forma lineal de las permutaciones cuya forma cıclica es(4 1 3)(6 5 2)(10 9 8 7) y (4 1 3)(5)(6)(8 7 2).

Ahora recordemos que Sn es un grupo y notemos que cada ciclo puede considerarsecomo una permutacion en la que los elementos que no aparecen se consideran fijos. En estecaso, es facil convencerse de que cada permutacion es el producto de las permutacionesdeterminadas por sus ciclos; por ejemplo, en S5, la permutacion (2 5 3)(1 4) es el productode las permutaciones (2 5 3)(1)(4) y (2)(5)(3)(1 4). Decimos que toda permutacion es elproducto de sus ciclos. De hecho, en muchas ocasiones se escriben las permutaciones enforma cıclica omitiendo los ciclos de longitud 1. Por otro lado, en este caso es claro que noimporta el orden en que se escriben los ciclos, pero aquı es importante hacer notar que esto

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se debe a que los ciclos son ajenos. En general, el producto en Sn no es conmutativo y lacostumbre es, como en el lenguaje de funciones, hacer el producto (composicion) de derechaa izquierda; por ejemplo, (1 2)(2 3) = (1 2 3) y (2 3)(1 2) = (1 3 2).

2.3 Ejercicio. Dadas las permutaciones (1 4 2 6), (1 5) y (1 5 2)(4 3), encontrar sus in-versas.

2.4 Ejercicio. ¿Es cierto que si σ, τ ∈ Sn entonces (στ)−1 = σ−1τ−1?

2.5 Ejercicio. Escribir en estructura cıclica las permutaciones resultantes de los siguien-tes productos: (1 4)(2 4 5)(3 2 1 6) y (1 4 2)3.

2.6 Ejercicio. (∗) Escribir en estructura cıclica todos los elementos de S4.

2.7 Proposicion. El orden de una permutacion es el mınimo comun multiplo de laslongitudes de sus ciclos.

Demostracion. Es facil convencerse que si la permutacion es un ciclo entonces su ordencoincide con su longitud. Como vimos arriba, los ciclos ajenos conmutan y esta observacionbasta para obtener el resultado. ♦

2.8 Ejercicio. Escribir en forma cıclica la permutacion resultante del producto (2 4 1 3 5 6 7)6.(Sugerencia. Hay una forma facil de hacerlo.)

2.9 Ejercicio. Probar que {(1), (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)} es subgrupo de S4.

Consideremos un cuadrado con sus vertices numerados del 1 al 4. El conjunto de ele-mentos de S4 que no “tuercen” al cuadrado (es decir, las permutaciones σ tales el polıgonoσ(1), σ(2), σ(3), σ(4) es cuadrado) se llama grupo diedrico o grupo de simetrıas delcuadrado y se le denota por D4.

2.10 Ejercicio. Probar que D4 esta generado por (1 4)(2 3) (reflexion) y (1 2 3 4) (ro-tacion) y que D4 tiene 8 elementos.

En general, se puede probar que el grupo de simetrıas o grupo diedrico de un n-agono,denotado por Dn, tiene 2n elementos y esta generado por la rotacion ((1 2 3 · · · n) y lareflexion (1n)(2n− 1)(3n− 2) · · · (para n impar esta reflexion deja fijo al n+1

2).

2.11 Proposicion. El conjugado de σ por τ es la permutacion que tiene la mismaestructura cıclica que σ y que se obtiene intercambiando cada i ∈ [n] por τ(i).

Demostracion. Observemos primero que si σ = β1β2 · · · βr, con cada βk ciclo, entoncesel conjugado de σ es el producto de los conjugados de los βk, ası que basta probarlo para

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cuando σ es un ciclo (a1 a2 · · · am). Tenemos

τστ−1(τ(ai)) = τσ(ai) = τ(ai+1),

donde los ındices estan calculados modulo m, y esto prueba la afirmacion. ♦

2.12 Ejercicio. (∗) Probar el recıproco de la proposicion anterior, es decir, que si σ′

tiene la misma estructura cıclica que σ, entonces σ′ es conjugado de σ.

Dada una permutacion σ ∈ Sn decimos que i, j ∈ [n] forman inversion si i < j peroσ(i) > σ(j). Decimos que una permutacion es par o impar de acuerdo a su numero deinversiones. Para contar el numero de inversiones de una permutacion escrita en su formalineal contamos cuantos elementos a la derecha de cada numero son mas pequenos que el;por ejemplo la permutacion (4, 3, 7, 1, 8, 2, 6, 5) tiene 3 + 2 + 4 + 0 + 3 + 0 + 1 + 0 = 13inversiones, ası que es una permutacion impar.

2.13 Proposicion. Toda permutacion se puede escribir como producto de biciclos, esdecir, el conjunto de todos los biciclos genera Sn. No hay unicidad en esta escritura, nisiquiera en cuanto al numero de biciclos; sin embargo la paridad de la cantidad de bicicloscoincide con la paridad de la permutacion.

Demostracion. Basta escribir cada ciclo como producto de biciclos; esto es facil pues,por ejemplo, (1 2 3 4 5) = (1 5)(1 4)(1 3)(1 2). La escritura no es unica ni siquiera en cuantoal numero de biciclos pues tambien

(1 2 3 4 5) = (1 2)(2 3)(3 4)(4 5) = (1 3)(2 4)(1 4)(1 4)(1 3)(2 4)(1 2)(2 5)(2 4)(2 3).

Para ver que la paridad del numero de biciclos sı es unica basta ver que al multiplicar unapermutacion cualquiera por un biciclo su paridad (como permutacion) cambia. Sean entoncesi, j ∈ [n], con i < j, y sea σ ∈ Sn con escritura lineal (a1, a2, . . . , an). Entonces σ(i j) es lapermutacion que intercambia ai y aj en su escritura lineal, de donde es claro que el numerode inversiones de los ak, para k < i o k > j, con respecto a los demas, no cambia; por otrolado, sean

x(i) = #{ak : i < k < j, ai < ak}x(j) = #{ak : i < k < j, ak < aj}y(i) = #{ak : i < k < j, ai > ak}y(j) = #{ak : i < k < j, ak > aj}.

Tenemos que los ak entre ai y aj que forman inversion en σ son y(i) + y(j); por otro ladox(i) + y(i) = x(j) + y(j) = (#{k : i < k < j}), de donde x(i) + y(i) + x(j) + y(j) es par yentonces x(i) + x(j) y y(i) + y(j) tienen la misma paridad. Al multiplicar por σ por (i j),los ak entre aj y ai que forman inversion son x(i) + x(j), es decir, no se altero la paridad delas inversiones con los ak; sin embargo falta tomar en cuenta que ai y aj quedan al reves decomo estaban ası que modifican en 1 el numero de inversiones. ♦

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2.14 Observacion. El conjunto An de permutaciones pares de Sn es subgrupo de Sn;se llama grupo alternante.

2.15 Proposicion. Para n ≥ 2 el numero de permutaciones pares en Sn es el mismoque el de impares.

Demostracion. La funcion µ(1 2) : Sn → Sn dada por µ(σ) = σ(1 2) (la multiplicacionpor (1 2)) es una biyeccion que manda permutaciones pares en impares (y viceversa). ♦

2.16 Ejercicio. Probar que un ciclo de longitud r es permutacion par si y solo si r esimpar.

Otra notacion util para las permutaciones se obtiene al considerarlas como matrices. Lamatriz Aσ de una permutacion σ tiene 1 en el lugar (i, j) si y solo si σ(i) = j; en las demasentradas Aσ tiene 0′s.

2.17 Ejercicio. Probar que, mediante la multiplicacion de matrices, si σ ∈ Sn entonces

Aσ

12...n

=

σ(1)σ(2)

...σ(n)

.

2.18 Ejercicio. (∗) Probar que si σ ∈ Sn entonces det(Aσ) = ±1, y que el signo es 1 siy solo si la permutacion es par.

10

3. Teorıa de Numeros

3.1. Divisibilidad

Recordemos que para a y b enteros decimos que a divide a b (o que b es multiplo de

a), en sımbolos a∣∣∣ b, si es posible encontrar un entero x de tal manera que ax = b. Si a no

divide a b escribimos a 6∣∣∣ b. Por ejemplo −12

∣∣∣ 36, cualquier entero divide a 0 y 1 divide a

cualquier entero.

Las siguientes propiedades son muy sencillas de demostrar y dejan como ejercicio al lector.

3.1 Proposicion. (a) Para todo entero a se tiene a∣∣∣ a. (Se dice que la relacion de

divisibilidad es reflexiva.)

(b) Si a, b y c son enteros tales que a∣∣∣ b y b

∣∣∣ c entonces a∣∣∣ c. (Se dice que la relacion de

divisibilidad es transitiva.)

(c) Es posible que a∣∣∣ b pero que b 6

∣∣∣ a. (Se dice que la relacion de divisibilidad no es

simetrica.)

(d) Para a y b enteros, a∣∣∣ b y b

∣∣∣ a si y solo si |a| = |b| (es decir, a = ±b).

(e) Para a, b y c enteros, tenemos que a∣∣∣ b y a

∣∣∣ c si y solo si a∣∣∣ rb+ sc para cualesquiera

r y s enteros. A la expresion rb+ sc se le llama combinacion lineal de b y c. ♦

3.2 Proposicion. Algoritmo de la Division. Dados dos enteros a y b con b 6= 0existen enteros unicos q y r de tal forma que

a = bq + r y 0 ≤ r < |b|.

Demostracion. Primero probaremos la existencia de los enteros q y r. Por simplicidad,consideraremos solo el caso en que b > 0 y a ≥ 0. Los demas casos pueden deducirse de estefacilmente. Consideremos todos los multiplos no negativos de b:

0, b, 2b, 3b, . . .

Sea qb el mayor multiplo de b tal que qb ≤ a, es decir a se encuentra entre qb y (q + 1)b enla recta numerica (permitiendose el caso en que a = qb). Definimos r := a− qb.

...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................| | | | | |

︷︸︸︷0 b 2b · · · qb (q + 1)ba

r

︸ ︷︷ ︸ ︸ ︷︷ ︸ ︸ ︷︷ ︸b b b

11

Entonces a = qb+r y, como la distancia entre dos multiplos consecutivos de b es |b|, tenemosque 0 ≤ r < |b|, como querıamos.

Probaremos ahora la unicidad. Supongamos que (q1, r1) y (q2, r2), son parejas de enterosque satisfacen las condiciones. Tenemos que bq1 + r1 = bq2 + r2. Supongamos que r1 6= r2 y,sin perdida de generalidad, r2 > r1; ası

(∗) b(q1 − q2) = r2 − r1,

lo cual es absurdo pues r2 − r1 ≤ r2 < b. Concluimos que r2 = r1 y entonces es claro queq1 = q2. ♦

Desde luego, si no pidieramos la condicion 0 ≤ r < |b|, los enteros q y r no serıan unicos;por ejemplo, si a = 20 y b = 6, la ecuacion a = bq+ r podrıa ser cualquiera de las siguientes:20 = 6× 3 + 2, 20 = 6× 4 + (−4), 20 = 6× 0 + 20, 20 = 6× (−1) + 26, etc.

El numero q en la proposicion anterior es el cociente (de la division de a entre b) y elnumero r es el residuo (de la division de a entre b).

3.3 Ejercicio. Encontrar el cociente y el residuo de la division de a entre b en lossiguientes casos:

(a) a = 18 y b = 5.

(b) a = 18 y b = −5.

(c) a = −18 y b = 5.

(d) a = −18 y b = −5.

3.4 Observacion. Si a y b son enteros y b 6= 0, entonces b∣∣∣ a si y solo si el residuo r de

la division de a entre b es 0. ♦

3.5 Ejercicio. (∗) Sea a un elemento de orden r en un grupo y sea k ∈ N. Probar queak = 1 si y solo si k es multiplo de r.

3.6 Ejercicio. (∗) Probar que si G es grupo cıclico, entonces cualquier subgrupo de Gtambien es cıclico. (Sugerencia. Probar que si H 6= {1} es subgrupo de un grupo cıclicoG =<a> y k es el menor natural tal que ak ∈ H, entonces ak genera H.) En consecuencia,los subgrupos de Z son los nZ para n = 0, 1, 2, . . ..

Dados dos numeros enteros a y b distintos de cero su maximo comun divisor, ensımbolos mcd(a, b), es el mayor de sus divisores comunes. Si mcd(a, b) = 1, decimos que a yb son primos relativos o primos entre sı.

3.7 Lema. Sean a y b enteros no cero con b 6∣∣∣ a. Si q y r son enteros tales que a = bq+ r,

12

entonces mcd(a, b) = mcd(b, r).

Demostracion. Por 3.1(e) los divisores comunes de a y b tambien lo son de r, y que losde b y r tambien lo son de a. En particular el mayor de los divisores comunes de a y b es elmismo que el de b y r. ♦

El siguiente resultado es muy importante. Su demostracion utiliza el Algoritmo de laDivision.

3.8 Proposicion. Algoritmo de Euclides. Sean a y b enteros no cero. Entoncesmcd(a, b) es combinacion lineal de a y b.

Demostracion. Por simplicidad supondremos que a y b son positivos (el caso general se

deduce trivialmente de este ajustando signos). Si b∣∣∣ a entonces mcd(a, b) = b que, obviamen-

te, es combinacion lineal de a y b. Supongamos entonces que b 6∣∣∣ a. Utilizando el Algoritmo

de la Division consideremos enteros qi y ri de tal manera que

a = bq + r1, 0 < r1 < b,b = r1q1 + r2, 0 < r2 < r1,r1 = r2q2 + r3, 0 < r3 < r2,...rn−2 = rn−1qn−1 + rn, 0 < rn < rn−1,rn−1 = rnqn.

(∗)

Por el lema anterior tenemos que

mcd(a, b) = mcd(b, r1) = mcd(r1, r2) = · · · = mcd(rn−1, rn) = rn.

Ahora probaremos por induccion que todos los residuos r1, . . . , rn son combinacion linealde a y b. La base de induccion consiste en probar que r1 y r2 son combinacion lineal de ay b (si n = 1, entonces en el primer paso podemos terminar la prueba). Despejando r1 dela primera ecuacion tenemos que r1 = a − bq, combinacion lineal de a y b. Entonces en lasegunda ecuacion, r2 = b− r1q1 = b− (a− bq)q1 = a(−q1) + b(1 + qq1); con esto termina labase de la induccion. Ahora supongamos que para cierta i ≥ 3 los dos residuos anteriores ri−1y ri−2 son combinacion lineal de a y b; como ri es combinacion lineal de ri−1 y de ri−2 es facillograr ri tambien como combinacion lineal de a y b utilizando la hipotesis de induccion. ♦

3.9 Ejercicio. (∗) Sean a y b dos enteros no cero y sea d su maximo comun divisor.Probar que cualquier divisor comun de a y b tambien es divisor de d.

3.10 Ejercicio. (∗) Sean a y b enteros no cero y sea d su maximo comun divisor. Probarque un numero c es combinacion lineal de a y b si y solo si es multiplo de d.

13

3.11 Ejercicio. (∗) Sean r, s ∈ Z y sea G un grupo cıclico generado por a. Por 3.6sabemos que el subgrupo de G generado por ar y as es cıclico. Determinar un generador deeste subgrupo.

3.12 Corolario. Sean a, b y c enteros tales que a∣∣∣ bc. Si a y b son primos relativos

entonces a∣∣∣ c.

Demostracion. Sean r y s enteros tales que ar+ bs = 1 y multipliquemos esta ecuacion

por c: arc+ bsc = c. Como a∣∣∣ arc y a

∣∣∣ bsc, entonces a∣∣∣ c. ♦

Decimos que un entero p 6= ±1 es primo si sus unicos divisores son ±1 y ±p. Un enterono cero y distinto de ±1 es compuesto si no es primo. Los enteros 1 y −1 no son primos nicompuestos, se llaman unidades. Al numero 0 no lo consideraremos dentro de ninguna deestas categorıas.

3.13 Corolario. Si b1, b2, . . . , bk son enteros y un primo p es divisor del producto b1b2 · · · bk,entonces p divide a alguna de las b′is.

Demostracion. Induccion sobre k. ♦

3.14 Nota. El resultado anterior no es cierto si no pedimos que p sea un numero primo,es decir, es posible que un numero divida a un producto sin que divida a ninguno de sus

factores como lo muestra el ejemplo 6∣∣∣ 4× 3.

3.15 Teorema. Teorema Fundamental de la Aritmetica. Todo entero distinto de0 y de ±1 es producto de primos en forma unica salvo orden y signo.

Demostracion. Sea a 6= 0,±1 y consideremos primero el caso en que a sea positivo.Procedemos por induccion sobre a. La base de induccion es para a es primo, y aquı no haynada que probar (permitimos productos de un solo factor). Si a no es primo entonces escompuesto, ası que podemos escribir a = bc, con b y c enteros positivos y distintos de 1 y dea; ademas tenemos que b y c son ambos menores que a. Por hipotesis de induccion b y c sonproducto de primos y su descomposicion nos da la descomposicion de a buscada.

El caso en que a sea negativo se reduce al anterior pues podemos aplicar el resultado a−a (que es positivo) y despues agregar el signo a alguno de los primos en la descomposicionde −a. Para ver la unicidad supongamos que a = ±p1p2 · · · ps = ±q1q2 · · · qt, donde s y tson naturales y los pi y los qj son primos. Queremos probar que s = t y que, salvo el signo,cada primo aparece exactamente el mismo numero de veces en la lista p1, p2, . . . , ps que en lalista q1, q2, . . . , qt. Sin perdida de generalidad, podemos suponer que los pi y los qj son todospositivos. Hagamos induccion sobre s. Para s = 1 el resultado es claro pues a serıa primo.

14

Entonces supongamos que s ≥ 2 y que el resultado es verdadero para s − 1 factores (esdecir, la hipotesis de induccion es que si un numero acepta una descomposicion en productos − 1 primos positivos, entonces cualquier otra descomposicion de ese numero en producto

de primos positivos es igual a ella excepto, tal vez, por el orden de los factores). Como p1

∣∣∣ a,

entonces p1

∣∣∣ q1q2 · · · qt. Por 3.12, p1 debe dividir a algun qj que, sin perdida de generalidad,

supongamos es q1; pero este ultimo es primo, ası que p1 = q1. Cancelando entonces p1 yq1 en la ecuacion p1p2 · · · ps = q1q2 · · · qt, tenemos que p2 · · · ps = q2 · · · qt. La hipotesis deinduccion se aplica aquı para obtener s − 1 = t − 1 y los primos p2, . . . , ps son los mismosque q2, . . . , qt, de donde queda probado el teorema. ♦

3.16 Corolario. Sean a = ±pe11 pe22 · · · pekk y b = ±pf11 p

f22 · · · p

fkk , donde p1 < p2 < · · · < pk

son primos positivos y las ei y las fj son enteros no negativos. Entonces a∣∣∣ b si y solo si para

toda i = 1, . . . , k, se tiene que ei ≤ fi. ♦

3.17 Ejercicio. Sean a y b como en el corolario anterior. Probar que el maximo comundivisor de a y b es d = pm1

1 pm22 · · · p

mkk donde, para cada i, mi es el mınimo entre ei y fi.

3.18 Ejercicio. Dar una descripcion analoga a la del ejercicio anterior del mınimo comunmultiplo, mcm(a, b), de a y b.

3.19 Nota. De lo anterior podemos concluir que el maximo comun divisor d de dosnumeros no cero a y b esta caracterizado por las siguientes propiedades:

(a) d∣∣∣ a, d

∣∣∣ b, y

(b) si c∣∣∣ a y c

∣∣∣ b entonces c∣∣∣ d.

3.20 Ejercicio. Dar una descripcion analoga a la de la nota anterior del mınimo comunmultiplo de a y b.

3.21 Ejercicio. Para a y b enteros positivos probar que mcd(a, b)mcm(a, b) = ab.

3.22 Ejercicio. (∗) Probar que Q esta generado por { 1pk

: p primo y k ∈ N}.

Congruencias

Sea n un numero natural. Si a y b son enteros cualesquiera decimos que a ≡ b (mod n)

(lease a es congruente con b modulo n) si n∣∣∣ a− b.

15

Dado un numero natural n cada conjunto de numeros congruentes entre sı se llama clase(modulo n) y cualquier elemento de ese conjunto es un representante de la clase. Si a escualquier representante de una clase, entonces la clase a la cual pertenece el numero a sedenota por a.

3.23 Ejemplo. Analizar congruencias y clases modulo 6.

Solucion. Hagamos una lista de todos los enteros agrupandolos de 6 en 6 por renglones:

......

......

......

−12 −11 −10 −9 −8 −7−6 −5 −4 −3 −2 −1

0 1 2 3 4 56 7 8 9 10 11

12 13 14 15 16 17...

......

......

...

Por la forma en que construimos la tabla podemos notar que todos los numeros en una mismacolumna difieren por un multiplo de 6. Observamos tambien que los de una misma columnadejan el mismo residuo al dividirlos por 6; por ejemplo, los de la primera columna dejanresiduo 0, esto es, son todos multiplos de 6 o, en otras palabras, son los enteros de la forma6k con k entero (−12 = 6× (−2), −6 = 6× (−1), 0 = 6×0, 6 = 6×1, . . .); los de la segundacolumna son los que dejan residuo 1, es decir los de la forma 6k + 1 (−11 = 6 × (−2) + 1,−5 = 6 × (−1) + 1, 1 = 6 × 0 + 1, 7 = 6 × 1 + 1, . . .). Segun nuestra definicion, el tipode relacion que guardan entre sı los elementos de una misma columna se llama congruenciamodulo 6. Todo el conjunto de numeros de una misma columna constituye una clase (modulo6) y cualquier elemento de esa columna es un representante de la clase. Ası, por ejemplo,0 = 12 = {. . . ,−12,−6, 0, 6, 12, 18, . . .} y −2 = 4 = {. . . − 8,−2, 4, 10, . . .}. Tenemos quecada residuo en la division por 6 es representante de una clase y que en total hay 6 clases. ♦

A partir de aquı n denota un numero natural cualquiera.

3.24 Proposicion. El que a sea congruente con b modulo n es equivalente a que a y btengan el mismo residuo al dividirlos por n.

3.25 Proposicion. Para a, b, c y d enteros cualesquiera se tiene:

(a) La relacion de congruencia modulo n es relacion de equivalencia.

(b) Si a ≡ b (mod n) y c ≡ d (mod n) entonces a+ c ≡ b+ d (mod n).

(c) Si a ≡ b (mod n) y c ≡ d (mod n) entonces ac ≡ bd (mod n).

Demostracion. (a) Probemos la reflexividad y dejemos la simetrıa y transitividad como

16

ejercicio: Como a− a = 0 = n× 0, entonces n∣∣∣ a− a.

(b) Ejercicio.

(c) Aquı queremos probar que ac−bd es multiplo de n. Para ver esto sumemos y restemosbc: ac− bd = ac− bc+ bc− bd = (a− b)c+ b(c− d); este ultimo es multiplo de n pues, porhipotesis, a− b y c− d lo son. ♦

3.26 Corolario. Principio de Sustitucion. Para hacer operaciones (sumar y multi-plicar) en una congruencia, cualquier cantidad puede sustituirse por otra a la que esta seacongruente sin alterar la validez de la congruencia. ♦

Se defineZn = {0, 1, 2, . . . , n− 1}

Dentro de este conjunto definimos dos operaciones como sigue: Para a y b elementos de Zn,

a⊕ b = a+ b,

a⊗ b = a× b.La operacion ⊕ se llama suma en Zn y ⊗ se llama producto en Zn.

Observemos que, gracias a las propiedades 3.24(b) y (c), la definicion de las operacionesque acabamos de hacer es correcta, es decir, los resultados no dependen de los represen-tantes que se elijan en el momento de hacer las operaciones: si a = a′ y b = b′, entoncesa+ b = a′ + b′ y a× b = a′ × b′. Observemos tambien que todas las propiedades de las ope-raciones que tenemos en Z se traducen en las propiedades correspondientes en Zn, porque lasoperaciones se traducen a operaciones de enteros; por ejemplo, la suma ⊕ es conmutativa.Tenemos entonces que Zn es un grupo abeliano. De aquı en adelante denotamos a ⊕ por +y a ⊗ por × (o, simplemente, poniendo un elemento a continuacion de otro).

3.27 Ejercicio. Probar que si mcd(a, n) 6= 1, entonces es posible encontrar k 6≡ 0 (mod n)de tal manera que ak ≡ 0 (mod n). Concluir que en Zn la multiplicacion de numeros distintosde 0 puede ser 0.

3.28 Ejercicio. (∗) Probar que si mcd(a, n) 6= 1, entonces es posible encontrar k y lenteros no congruentes entre sı tales que ak ≡ al (mod n).

3.29 Ejercicio. (∗) Recordemos que Zn es cıclico. Determinar como debe ser el enteroa para que el grupo Zn este generado por a.

Bajo la multiplicacion, Zn no es grupo; sin embargo, tenemos el siguiente resultado.

3.30 Proposicion. Sea n natural. Si a ∈ Z es primo relativo con n y b ≡ a (mod n),entonces b tambien es primo relativo con n. Ademas Z∗n = {a ∈ Zn : mcd(a, n) = 1} es ungrupo bajo la multiplicacion definida por ab = ab.

17

Demostracion. Si mcd(a, n) = 1, entonces (por 3.8) existen r, s ∈ Z tales que ar+ns =1 (∗). Sea a−b = nq con q ∈ Z; entonces, sustituyendo a en (∗) tenemos que (b+nq)r+ns = 1,de donde br + n(qr + s) = 1 y de aquı que mcd(b, n) = 1. La cerradura de la multiplicaciones obvia gracias a 3.16. Tambien es claro que 1 ∈ Z∗n. Ahora, sea a un entero primo relativocon n. Queremos ver que existe un entero x tal que ax ≡ 1 (mod n). Ya tenemos 1 = ar+ns.Por el Principio de Sustitucion 3.26,

1 ≡ ar + ns≡ ar + 0s≡ ar

(mod n).

Observemos que mcd(r, n) = 1 pues la misma combinacion lineal igual a 1 que tomamospara a y n es una combinacion lineal igual a 1 para r y n, ası que R ∈ Z∗n y R es el inversode a buscado. ♦

Al numero de elementos de Z∗n se le denota por φ(n) y se dice que φ es la funcion fi deEuler.

3.31 Corolario. Si p es un numero primo entonces Zp \ {0} es grupo de orden p − 1bajo la multiplicacion. ♦

3.32 Ejercicio. Probar que en Z∗8 todo elemento distinto de 1 tiene orden 2 y que, porlo tanto, Z∗8 no es cıclico.

18

4. Clases laterales y cocientes

4.1. Clases laterales

Como vimos en el capıtulo anterior, una relacion de equivalencia en un conjunto X es unarelacion reflexiva, simetrica y transitiva. Al igual que la relacion de congruencia modulo n enZ, es facil ver que una relacion de equivalencia en un conjunto X parte a X en la union desubconjuntos ajenos dos a dos que llamamos clases (con respecto a la relacion) (o clasesde equivalencia) de manera que cada clase consta de todos los elementos equivalentes (esdecir, relacionados mediante la relacion de equivalencia) a un elemento dado; cada elementode una clase es representante de la clase. Generalizaremos aquı a grupos arbitrarios larelacion de congruencia modulo n que vimos para Z.

Dado un grupo G y un subgrupo H decimos que dos elementos a y b de G son con-gruentes modulo H si a−1b ∈ H. En este caso escribimos a ≡ b (mod H). Notemos quela congruencia modulo n en Z no es mas que la relacion de congruencia modulo nZ queacabamos de definir.

4.1 Ejercicio. Probar que dados H ≤ G grupos, la relacion de congruencia modulo Hes de equivalencia.

4.2 Ejercicio. Sean H ≤ G grupos. Probar que las clases de equivalencia mediante larelacion de congruencia modulo H son los conjuntos de la forma

aH = {ah : h ∈ H},

para a ∈ G, llamados clases laterales izquierdas de H con respecto a G.

4.3 Observacion. Sean H ≤ G grupos y a, b ∈ G. Entonces

(a) aH = bH ⇔ a−1b ∈ H.

(b) aH ∩ bH 6= ∅ ⇔ aH = bH. ♦

4.4 Ejemplo. (a) La relacion modulo {1} es la igualdad.

(b) Las n clases laterales izquierdas de la relacion modulo nZ en Z son nZ, 1 + nZ, 2 +nZ, . . . (n− 1) + nZ.

(c) La relacion modulo Z en R dice que dos reales son congruentes si y solo si difierenpor un entero. En este caso, un conjunto de representantes es [0, 1).

(d) La relacion modulo SL2(R) en GL2(R) nos dice que dos matrices son congruentes siy solo si tienen el mismo determinante.

(e) En el grupo R2 la relacion de congruencia modulo una recta H por el origen define

19

las clases laterales como las rectas paralelas a H.

(f) El conjunto solucion de cualquier sistema de ecuaciones lineales con n incognitas ycoeficientes en R es una clase lateral de Rn con respecto al conjunto (subgrupo) solucion delsistema homogeneo asociado.

Analogamente pueden definirse clases laterales derechas Ha = {ha : h ∈ H} de Hcon respecto a G. Corresponden a la relacion en G definida por a ∼ b si y solo si ab−1 ∈ H.Las clases laterales derechas no necesariamente coinciden con las izquierdas como veremos acontinuacion. (El caso en que sı coinciden es muy importante y lo estudiaremos mas adelante.)

4.5 Ejemplo. Partir a S3 en clases laterales izquierdas y en clases laterales derechas conrespecto al subgrupo H = {(1), (1 2)}.

Solucion. Construyamos primero las clases izquierdas: la que contiene al (1) es H; laque contiene a (1 3) es {(1 3), (1 2 3)} y la que contiene a (2 3) es {(2 3), (1 3 2)}.

Ahora construyamos las clases laterales derechas: la que contiene a (1) es H; la quecontiene a (1 3) es {(1 3), (1 3 2)} y la que contiene a (2 3) es {(2 3), (1 2 3)}. ♦

En el ejemplo anterior vimos que todas las clases tienen el mismo numero de elementos.Esto siempre ocurre, como veremos en el siguiente lema.

4.6 Lema. Dadas dos clases laterales izquierdas (o derechas), existe una correspondenciabiyectiva entre ellas.

Demostracion. Sean H ≤ G grupos y a, b ∈ G. La funcion f : aH → bH dada porah 7→ bh para h ∈ H es claramente suprayectiva; es inyectiva pues

bh1 = bh2 ⇒ b−1bh1 = b−1bh2 ⇒ h1 = h2.♦

4.7 Ejercicio. Sea H un subgrupo de un grupo G. Probar que existe una biyeccion entreel conjunto de las clases laterales izquierdas y el de las derechas.

Si H ≤ G son grupos llamamos ındice de H en G al numero de clases laterales (iz-quierdas o derechas) de G con respecto a H (que puede o no ser finito). Lo denotamos por[G : H] (otra notacion comun es iG(H)).

La aplicacion del lema biyecclases a grupos finitos nos da el importante teorema siguiente.

4.8 Corolario. Teorema de Lagrange. Si G es un grupo finito y H es un subgrupode G entonces el orden de H es divisor del orden de G y [G : H] = |G|

|H| .

Demostracion. Partimos a G en clases laterales izquierdas con respecto a H; comotodas las clases tienen el mismo numero de elementos |H|, entonces [G : H]|H| = |G|. ♦

20

4.9 Ejercicio. Probar que si G es un grupo finito de orden n y a ∈ G entonces el ordende a es divisor de n. En particular an = 1.

4.10 Corolario. Teorema de Euler. Si n ∈ N y a ∈ Z es tal que mcd(a, n) = 1entonces aφ(n) ≡ 1 (mod n). ♦

4.11 Corolario. Pequeno Teorema de Fermat. Si p es un numero primo y a ∈ Zentonces ap ≡ a (mod p). ♦

4.12 Ejercicio. (∗) Probar el Teorema de Wilson: Si p es un numero primo entonces(p− 1)! ≡ −1 (mod p).

4.13 Ejercicio. (∗) Probar que si H ≤ K ≤ G son grupos finitos, entonces [G : H] =[G : K][K : H].

4.14 Ejercicio. (∗) Sea G un grupo cıclico de orden n. Probar que si d∣∣∣n entonces G

tiene un subgrupo de orden d.

4.2. Cocientes

En lo que sigue veremos cuando podemos dar una estructura de grupo al conjunto declases laterales como se hace con Zn.

Dados dos conjuntos X y Y en un grupo G definimos XY = {xy : x ∈ X, y ∈ Y }.

4.15 Observacion. Sea G un grupo y H,K ≤ G. Entonces

(a) HH = H.

(b) HK no necesariamente es un subgrupo de G.

(c) HK es subgrupo de G si y solo si HK = KH. En este caso HK =<H,K>.

Demostracion. (a) La contencion “⊂”se da porque H es subgrupo de G; para la con-tencion “⊃”basta observar que 1 ∈ H.

(b) SeanG = S3,H =<(1 2)> yK =<(2 3)>. Entonces se tiene queHK = {(1), (1 2), (2 3), (2 3 1)},el cual tiene 4 elementos y entonces no puede ser subgrupo de S3, que tiene 6 elementos, porel teorema de Lagrange,

(c) Supongamos que HK es subgrupo de G. Entonces K,H ⊂ HK que es cerrado bajola multiplicacion, ası que KH ⊂ HK. Ahora sea x ∈ HK; queremos ver que x ∈ KH. Como

21

HK es subgrupo, tenemos que x−1 ∈ HK; escribamos x−1 = hk; entonces x = (x−1)−1 =(hk)−1 = k−1h−1 ∈ KH. Ahora supongamos que HK = KH y probemos que HK ≤ G:1 = 1 ·1 ∈ HK; si h1, h2 ∈ H y k1, k2 ∈ K, entonces h1k1h2k2 = h1h3k3k2 ∈ HK para ciertosh3 ∈ H, k3 ∈ K; si h ∈ H y k ∈ K entonces (hk)−1 = k−1h−1 ∈ KH = HK. ♦

4.16 Proposicion. Sea H un subgrupo de un grupo G. Son equivalentes:

(a) Para cualquier pareja de elementos a y b de G se tiene que los conjuntos aHbH(={ahbh′ : h, h′ ∈ H}) y abH(= {abh : h ∈ H}) son iguales.

(b) Para cualquier a ∈ G se tiene que H es igual al conjunto aHa−1(= {aha−1 : h ∈ H}).

(c) Para cualquier a ∈ G se tiene que aH = Ha (es decir la clase lateral izquierda de acoincide con su clase lateral derecha).

(d) G = {aH : a ∈ G} forma un grupo mediante la multiplicacion ∗ definida poraH ∗ bH = abH.

Demostracion. (a) ⇒ (b) Sea a ∈ G. Veamos primero que aHa−1 ⊂ H. Sea h ∈ H;queremos ver que aha−1 ∈ H, pero aha−1H = aHhHa−1H = aHa−1H = aa−1H = H. Paraver la otra contencion basta multiplicar la contencion ya demostrada por a−1 por la izquierday por a por la derecha (y usar que el resultado es valido para toda a).

(b) ⇒ (c) Es claro.

(c) ⇒ (a) Sean a, b ∈ G; entonces aHbH = abHH = abH.

(a)⇒ (d) Primero debemos ver que la operacion esta bien definida, es decir, que si a1H =a2H y b1H = b2H entonces a1b1H = a2b2H; pero a1b1H = a1Hb1H = a2Hb2H = a2b2H.Ahora veamos las propiedades de grupo. Es claro que la operacion es asociativa pues lo esen G; el elemento unitario es H; la cerradura es clara de la definicion y el inverso de aH esa−1H.

(d)⇒ (a) Sean a, b ∈ G. Para ver que aHbH ⊂ abH, sean ah1 ∈ aH y bh2 ∈ bH; entoncesaH = ah1H y bH = bh2H y, como la operacion esta bien definida, ah1bh2 ∈ ah1Hbh2H =abH. Ahora veamos la otra contencion: Sea h ∈ H; entonces abh = a1bh ∈ aHbH. ♦

Si H ≤ G satisface las propiedades de la proposicion anterior decimos que H es normalen G y escribimos H/G. Al grupo formado por las clases laterales se le llama grupo cocientey se le denota por G/H. Para a ∈ G, es facil ver que aHa−1 es subgrupo de G; se le llamaconjugado de H por a. Gracias a (a) de la proposicion, omitimos ∗ en la notacion de laoperacion. Tambien observemos que, por la demostracion de (a) ⇒ (b), para probar que unsubgrupo H de un grupo G es normal, basta probar la contencion aHa−1 ⊂ H para todaa ∈ G.

4.17 Ejercicio. Probar que si H ≤ G son grupos, <X>= H y para toda x ∈ X y a ∈ Gse tiene que axa−1 ∈ H, entonces H / G.

22

Dos gruposG yH son isomorfos si existe una funcion biyectiva f : G→ H que preservala multiplicacion, es decir, dados a, b ∈ G se tiene que f(ab) = f(a)f(b) (la primeraoperacion se realiza enG y la segunda enH). En este caso escribimosG ≈ H. Observemos quela relacion de isomorfismo es de equivalencia (reflexiva, simetrica y transitiva). Dos gruposisomorfos son practicamente iguales; la funcion f simplemente es un cambio de nombre delos elementos de G a los elementos de H.

4.18 Nota. Si G es un grupo cıclico, entonces G es isomorfo a exactamente uno de {1},Z o Zn para algun entero n ≥ 2. Por ejemplo, el subgrupo de C \ {0} generado por i esisomorfo a Z4 y para todo n ∈ N, se tiene que nZ ≈ Z.

Dados dos grupos G y G′, su producto directo es el grupo G×G′ = {(a, a′) : a ∈ G, a′ ∈G′} con la multiplicacion coordenada a coordenada, es decir, (a, a′)(b, b′) = (ab, a′b′) paraa, b ∈ G y a′, b′ ∈ G′.

4.19 Ejercicio. Probar que para cada p primo solo hay un grupo de orden p salvoisomorfismo.

4.20 Ejercicio. (∗) Probar que hay exactamente dos grupos no isomorfos de orden 4 yque ambos son abelianos.

4.21 Ejemplo. (a) Para cualquier grupo G se tiene que {1}, G /G. Ademas G/{1} ≈ Gy G/G ≈ {1}.

(b) Si G es abeliano, entonces todo subgrupo es normal.

(c) Z/nZ ≈ Zn para cualquier natural n.

(d) Si H / G y H ′ / G′ son grupos, entonces H × H ′ / H × G′ y (G × G′)/(H × H ′) ≈(G/G′)× (H/H ′) .

(e) Si H y K son subgrupos normales de G entonces H ∩K es normal en G.

(f) Si K ≤ H ≤ G son grupos y K es normal en G entonces K es normal en H.

(g) Si H ≤ G son grupos y [G : H] = 2, entonces H / G y G/H ≈ Z2.

(h) En S3 el subgrupo generado por (1 2) no es normal.

(i) SLn(R) / GLn(R) y se tiene que GLn(R)SLn(R) ≈ R \ {0}.

(j) R/Z ≈ S1 mediante f : R/Z→ S1 dada por

f(x+ Z) = e2πix = (cos(2πx), sen(2πx)).

(k) En R2 sea H = {(x, 0) : x ∈ R}. Entonces H ≈ R y R2/H ≈ R.

(l) Sea Q = {±1,±i,±j,±k} en donde 1 es el elemento unitario, −1 conmuta con todoslos elementos y la multiplicacion esta dada por las reglas: (−1)2 = 1, i2 = j2 = k2 = ijk =−1. este es un grupo llamado grupo de los cuaternios; es un grupo no abeliano en elque todo subgrupo es normal. Se puede ver que Q es isomorfo al subgrupo Q′ de GL2(C)generado por

23

A =

(0 ii 0

)y B =

(0 −11 0

),

con A↔ i y B ↔ j, ası que Q′ = {I, A,A2, A3, B,AB,A2B,A3B}.

4.22 Ejercicio. Sean H,K ≤ G grupos. Probar lo siguiente:

(a) Si H o K es normal en G entonces HK ≤ G.

(b) Si H / G y K / G, entonces HK / G.

4.23 Ejercicio. (∗) Sea G un grupo y sea Z(G) = {x ∈ G : ax = xa para toda a ∈ G}.Probar que Z(G) es un subgrupo normal de G. Se le llama centro de G.

4.24 Ejercicio. (∗) Probar que Z(GL2(R)) = {aI : a ∈ R}, donde I es la matrizidentica.

24

5. Homomorfismos

5.1. Homomorfismos

Sean G y H dos grupos. Una funcion f : G→ H es homomorfismo si para a, b ∈ G setiene que f(ab) = f(a)f(b). Notese que la primera operacion se ejecuta en G y la segunda enH. Recordemos que los homomorfismos biyectivos se llaman isomorfismos. Un homomorfismof : G→ G se llama endomorfismo. Un isomorfismo de G en G se llama automorfismo.

5.1 Ejemplo. (a) Sea G un grupo. La funcion identica idG : G → G definida poridG(a) = a para todo a ∈ G es automorfismo.

(b) Sean G y H dos grupos. La funcion constante con valor 1H es homomorfismo.

(c) Si H es subgrupo de un grupo G entonces la funcion inclusion i : H → G definidapor i(a) = a para todo a ∈ H es homomorfismo.

(d) Si f : G→ H es homomorfismo biyectivo entonces f−1 : H → G (definida por f−1(a)es el unico elemento b de G tal que f(b) = a) es homomorfismo.

(e) Si H/G son grupos entonces la proyeccion natural o funcion de paso al cocientep : G→ G/H definida por p(a) = aH es homomorfismo.

(f) La composicion de homomorfismos es homomorfismo.

(g) Si f : G → H es homomorfismo y K ≤ G, entonces la restriccion f |K de f a K(definida por f |K(a) = f(a) para todo a ∈ K) es homomorfismo.

(h) Si G y H son grupos entonces la proyeccion a G pG : G × H → G (definida porf(a, b) = a) es homomorfismo. (Y tambien lo es la proyeccion pH a H.)

(i) Si G, H y K son grupos y f : G → H y g : G → K son homomorfismos entoncestambien lo es (f, g) : G→ H ×K definida por (f, g)(a) = (f(a), g(a)).

(j) La funcion determinante es homomorfismo de GLn(R) en R \ {0}.(k) La funcion exponencial exp : R→ R \ {0}. es homomorfismo.

(l) La funcion logaritmo log : {r ∈ R : r > 0} → R es homomorfismo.

(m) Si r ∈ R entonces la funcion “multiplicar por r”, µr : R2 → R2, definida porµr(v) = rv, es homomorfismo.

(n) Toda transformacion lineal entre espacios vectoriales es homomorfismo de grupos.

(n) Sea G un grupo y sea a ∈ G. La funcion γa definida por γa(b) = aba−1 es automorfismo(llamado automorfismo interior).

5.2 Ejercicio. Sea G un grupo. Probar que la funcion dada por a 7→ a−1 es homomor-fismo si y solo si G es abeliano.

Dado un homomorfismo f : G→ H entre dos grupos G y H el nucleo o kernel de f esKer(f) = {a ∈ G : f(a) = 1}; la imagen de f es Im(f) = f(G) = {f(a) : a ∈ G}.

25

5.3 Ejercicio. Sea f : G→ H un homomorfismo. Entonces.

(a) f(1G) = 1H .

(b) Para todo a ∈ G se tiene que f(a−1) = f(a)−1.

(c) Para todo n ∈ Z y a ∈ G se tiene que f(an) = f(a)n.

(d) Ker(f) es un subgrupo normal de G.

(e) Si K ≤ H entonces f−1(K) = {a ∈ G : f(a) ∈ K} es subgrupo de G.

(f) Im(f) es subgrupo de H; mas general, si K es subgrupo de G entonces f(K) = {f(a) :a ∈ K} es subgrupo de H.

Lon homomorfismos inyectivos se llaman monomorfismos y los suprayectivos se llamanepimorfismos.

5.4 Proposicion. Sea f : G→ H un homomorfismo de grupos. Entonces

(a) f es monomorfismo si y solo si Ker(f) = {1} (decimos que el nucleo es trivial).

(b) f es epimorfismo si y solo si Im(f) = H.

5.5 Observacion. Si f : G → H es monomorfismo, entonces la misma f induce unisomorfismo de G al subgrupo Im(f) de H.

5.6 Observacion. Si f : G → H es homomorfismo, entonces para probar que f esmonomorfismo, basta ver que si a ∈ G es tal que f(a) = 1 entonces a = 1.

5.7 Ejercicio. Sea f : G → H homomorfismo y sea a ∈ G. Probar que si a ∈ G tieneorden n ∈ N entonces f(a) tiene orden un divisor de n.

5.8 Ejercicio. Sea f : G → H epimorfismo. Probar que si G es abeliano entoncestambien lo es H.

5.9 Ejercicio. (∗) Sea f : G→ H epimorfismo. Probar que si G es finitamente generadoentonces tambien lo es H, y que si G es cıclico entonces H es cıclico.

5.10 Ejercicio. Probar que siG es grupo entoncesAut(G) = {f : G→ G : f es automorfismo}es un grupo bajo la composicion.

5.11 Ejercicio. (∗) Probar que la funcion γ : G→ Aut(G) definida por γ(a) = γa (ver5.1(n)) es homomorfismo de grupos.

5.12 Ejercicio. (∗) Probar que G es un grupo finito y H es el unico subgrupo de G deorden |H| entonces H es normal en G. (Sugerencia. Para a ∈ G considerar la imagen de Hcon respecto a γa : G→ G (ver 5.1(n).)

26

5.13 Ejercicio. Sean G un grupo y a ∈ G. Probar que existe un unico homomorfismof : Z→ G tal que f(1) = a.

5.14 Ejercicio. (∗) Para a, b ∈ R, a 6= 0, sea ψa,b : R→ R definida por ψa,b(x) = ax+ b.Probar que G = {ψa,b : a, b ∈ R, a 6= 0} es un grupo bajo la composicion y que G es isomorfoal subgrupo H de GL2(R) definido por

H = {(a b0 1

): a, b ∈ R}.

5.15 Ejercicio. (∗) Sea G el grupo de los racionales positivos mediante la multiplicacion.Probar que Z[x] ≈ G. (Sugerencia. Enlistar los primos: p0 = 2, p1 = 3, p2 = 5, etc. y definirφ(a0 + a1x+ · · ·+ anx

n) = pa00 pa11 · · · pann .)

5.16 Ejercicio. (∗) Sea G un grupo abeliano finito.

(a) Probar que si n ∈ N es primo relativo con |G| entonces la funcion f : G→ G definidapor f(a) = an es un automorfismo.

(b) Probar que si |G| es impar entonces todo elemento de G tiene raız cuadrada unica(es decir, si a ∈ G entonces existe x ∈ G tal que x2 = a.)

5.2. Homomorfismos en cocientes

Sean H / G y G′ grupos. Si f : G/H → G′ es homomorfismo y p : G → G/H es laproyeccion al cociente, entonces f = f ◦ p : G → G′ es homomorfismo y para toda a ∈ Gse tiene que f(aH) = f(a); ademas, si a ∈ H entonces f(a) = 1G′ . El recıproco es tambiencierto como veremos a continuacion.

5.17 Teorema. Propiedad universal del cociente (PUC). Sean H /G y G′ grupos.Dado un homomorfismo f : G → G′ tal que H ⊂ Ker(f) existe un unico homomorfismof : G/H → G′ tal que si p : G → G/H es el homomorfismo de paso al cociente entoncesf = f ◦ p. El homomorfismo f esta definido por f(aH) = f(a) para toda a ∈ G.

Demostracion. Es claro que si queremos que f cumpla que f = f ◦ p entonces f debeestar definida por f(aH) = f(a) para toda a ∈ G y de esta manera tenemos la unicidad.Veamos que f esta bien definida, es decir, que no depende de los representantes. Sean a, b ∈ Gtales que aH = bH; queremos ver que f(a) = f(b) (pues con cualquiera de estos se definef), pero

aH = bH ⇒ b−1a ∈ H ⇒ f(b−1a) = 1⇒ f(b)−1f(a) = 1⇒ f(a) = f(b).

27

Claramente f es homomorfismo (pues la operacion enG/H se define a partir de representantes).♦

5.18 Observacion. La PUC nos dice que para definir un homomorfismo que sale deun cociente de grupos G/H es necesario y suficiente definirlo en G de manera que H ten-ga imagen trivial. En ese caso el homomorfismo en el cociente se define a traves de losrepresentantes.

5.19 Corolario. Sean n, p ∈ N con p primo. Entonces es posible definir f : Zn → Zppor f(a+ nZ) = a+ pZ si y solo si p

∣∣∣n.

Demostracion. Consideremos las proyecciones naturales p : Z→ Zn y f : Z→ Zm.

(⇒) Observemos que f ◦ p = f , pero n + mZ = f(n) = f(p(n)) = f(0) = 0 = mZ, ası

que n ∈ mZ, de donde m∣∣∣n. (⇐) Digamos que n = mk y sea a ∈ Z. Entonces f(na) =

f(mka) = 0, de donde nZ ⊂ Ker(f) y la proposicion anterior nos dice que podemos definirf de manera que f(a+ nZ) = a+mZ. ♦

5.20 Corolario. Primer teorema de isomorfismo. Sea f : G→ G′ un homomorfis-mo. Entonces

G

Ker(f)≈ Im(f)

mediante aKer(f)↔ f(a).

Demostracion. Por PUC, la funcion f : G/Ker(f) → Im(f) es homomorfismo. Por5.4(a), para ver que f es monomorfismo, basta ver que su nucleo es trivial. Supongamosentonces que f(aKer(f)) = 1; entonces f(a) = 1, de donde a ∈ Ker(f), ası que aKer(f) =Ker(f) = 1G/Ker(f). Es claro que f es epimorfismo pues esta definida como f y se restrigiosu codominio a Im(f). ♦

5.21 Nota. Habıamos visto que si H es un subgrupo normal de un grupo G entoncesse tiene un epimorfismo G → G/H con nucleo H y ası todo subgrupo normal es nucleo deun epimorfismo. Gracias el primer teorema de isomorfismo, el recıproco tambien es cierto,es decir, si f : G → G′ es un epimorfismo de grupos, entonces G′ es isomorfo al cocienteG/Ker(f). Entonces, hablar de cocientes es lo mismo que hablar de epimorfismos, de maneraanaloga a que hablar de subgrupos es lo mismo que hablar de monomorfismos (ver 5.5).

En 4.21 ya habıamos dado algunos ejemplos de ciertos cocientes que resultaban isomorfosa grupos conocidos. Ahora ya podemos formalizar esto.

5.22 Ejemplo. (a) La funcion f : R→ C\{0} dada por f(x) = e2πix = (cos(2πx), sen(2πx))

28

tiene por nucleo a Z y por imagen a s1, ası que R/Z ≈ S1.

(b) La funcion det : GLn(R) → R \ {0} es epimorfismo con nucleo SLn(R), ası queGLn(R)/SLn(R) ≈ R \ {0}.

(c) Z10

{0,5} ≈ Z5 pues el homomorfismo Z10 → Z5 dado por 1 7→ 1 es suprayectivo y tiene

por nucleo a {0, 5}.(d) Si H ≤ G y H ′ ≤ G′ son grupos, entonces (G × G′)/(H × H ′) ≈ (G/G′) × (H/H ′)

pues si p : G → G/H y q : G′ → H ′ son las funciones de paso al cociente, entonces(p, q) : G/H → G′/H ′ es epimorfismo con nucleo H ×H ′.

5.23 Ejercicio. Usar el primer teorema de isomorfismo para determinar a que grupoconocido es isomorfo Sn/An.

5.24 Corolario. Segundo teorema de isomorfismo. Sean H,K subgrupos de ungrupo G con K / G. Entonces

H

H ∩K≈ HK

Kmediante a(H ∩K)↔ aK para toda a ∈ H.

Demostracion. Por 4.15(a) y 4.22(a) tenemos que HK es el subgrupo de G generadopor H ∪ K. Ademas es claro que H ∩ K / H y K / HK. Sea i : H → HK la inclusion ysea p : HK → HK

Kla funcion de paso al cociente. Sea f : H → HK

Kla composicion de i con

p. Observemos que H ∩K = Ker(f) y que f es suprayectiva, ası que el primer teorema deisomorfismo nos da el resultado. ♦

En el caso finito, si alguno de los subgrupos H o K de G es normal, entonces del segundoteorema de isomorfismo podemos deducir que |HK| = |H|K|

|H∩K| ; sin embargo este resultado es

cierto aun cuando ninguno de los dos subgrupos es normal (y HK no es subgrupo de G)como veremos en la siguiente proposicion.

5.25 Proposicion. Formula producto. Sean H,K ≤ G grupos con G finito. Entonces

|HK| = |H||K||H ∩K|

.

Demostracion. Definamos la funcion f : H ×K → HK por f(h, k) = hk. Es claro queesta funcion es suprayectiva. Bastara probar que para toda x ∈ HK, |f−1(x)| = |H ∩ K|.Sea x = hk ∈ HK (con h ∈ H, k ∈ K). Afirmamos que f−1(x) = {(ha, a−1k) : a ∈ H ∩K}(el cual es claro que tiene |H ∩K| elementos). En efecto, la contencion “⊃” es obvia; paraver la contencion “⊂” sea (h′, k′) ∈ f−1(x) y sea a ∈ G tal que h′ = ha; tenemos que

hk = x = f(h′k′) = h′k′ = hak′,

ası que k′ = a−1k, como querıamos, y ademas es claro que a ∈ H ∩K. ♦

29

5.26 Ejercicio. (∗) Sea G un grupo y sean H y K subgrupos de G.

(a) Probar que si H y K son normales en G y H ∩K = {1} entonces los elementos de Hconmutan con los de K (Sugerencia. Para h ∈ H y k ∈ K, considerar el elemento hkh−1k−1.)

(b) Probar que si H y K son normales, H∩K = {1} y <H,K>= G entonces G ≈ H×K.

(c) Dar un ejemplo en el que H ∩K = {1}, <H,K>= G y uno de H y K es normal enG, pero G no es isomorfo a H ×K.

5.27 Ejercicio. (∗) Probar que si m y n son naturales sin factores en comun entoncesZm × Zn ≈ Zmn.

5.28 Ejercicio. Sea f : G→ G′ un epimorfismo de grupos. Probar que si H/G entoncesf(H)/G′. Dar un ejemplo que pruebe que si f no es suprayectiva entonces no necesariamentese da la conclusion.

5.29 Ejercicio. Sea f : G → G′ un homomorfismo de grupos. Probar que si H ′ / G′

entonces f−1(H ′) / G.

El siguiente resultado nos dice como son los subgrupos de un cociente.

5.30 Teorema. Teorema de la correspondencia. Sea G un grupo y H /G. Entoncesexiste una correspondencia biyectiva entre los subgrupos de G que contienen a H y lossubgrupos de G/H. Esta correspondencia esta dada por la proyeccion natural y preservainclusion y normalidad.

Demostracion. Sean S = {K ≤ G : H ⊂ K} y T = {K : K ≤ G/H}. Sea p : G →G/H la proyeccion natural y sea p∗ : S → T definida por

p∗(K) = p(K) = {kH : k ∈ K} = K/H

el cual, por 5.3(f), es subgrupo de G/H. Definamos q∗ : T → S por q∗(K) = p−1(K). Por5.3(e) q∗(K) ≤ G; ademas es claro que q∗(K) ⊃ H pues 1 ∈ K y p(H) = 1. Veamos que p∗

y q∗ son inversas una de la otra.

Sea K ∈ T ; tenemos que p∗(q∗(K)) = p(p−1(K)) = K pues p es suprayectiva. Porotro lado, si K ∈ S entonces q∗(p∗(K)) = p−1(p(K)), el cual queremos ver que es igual aK; la contencion “⊃” es obvia y la contencion “⊂” es porque si x ∈ p−1(p(K)) entoncesp(x) ∈ p(K) = K/H, ası que xH = kH para alguna k ∈ K, de donde k−1x ∈ H ⊂ K y porlo tanto x ∈ K.

Es claro que p∗ y q∗ preservan inclusion. Sea K ∈ S. Entonces K / G ası que, por 5.28,p∗(K) / G/H. Tambien, por 5.29, si K / G/H entonces q∗(K) / G. ♦

5.31 Ejemplo. La red de subgrupos de Z que contienen a 12Z y la red de subgrupos deZ12 son:

30

.....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

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..................

....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Z

2Z 3Z

4Z 6Z

12Z

Z12

<2> <3>

<4> <6>

{0}

•

•

•

•

•

•

•

•

•

••

•

Notese que Z/12Z ≈ Z12, <2>= 2Z/12Z ≈ Z6, <3>= 3Z/12Z ≈ Z4, <4>= 4Z/12Z ≈Z3, <6>= 6Z/12Z ≈ Z2 y {0} = 12Z/12Z ≈ Z1,

5.32 Corolario. Tercer teorema de isomorfismo. Sean H y K subgrupos normalesde un grupo G de manera que H ≤ K. Entonces

G/H

K/H≈ G/K.

Demostracion. Sea p : G → G/K la proyeccion natural. Como H ⊂ K = Ker(p),entonces p induce p : G/H → G/K (dada por p(aH) = aK para a ∈ G). Es claro que p esepimorfismo (pues p lo es). Ademas

Ker(p) = {aH : p(aH) = K} = {aH : aK = K} = {aH : a ∈ K} = K/H.

El resultado entonces se deduce del primer teorema de isomorfismo. ♦

5.33 Ejemplo. Z12/<2>≈ Z/2Z ≈ Z2, Z12/<3>≈ Z/3Z ≈ Z3, Z12/<4>≈ Z/4Z ≈ Z4 yZ12/<6>≈ Z/6Z ≈ Z6.

Hemos visto que muchas condiciones en grupos son heredadas a subgrupos o a cocien-tes. Recıprocamente, a partir de condiciones de subgrupos y cocientes se pueden obtenercondiciones del grupo. A continuacion veremos algunas aplicaciones de esto.

5.34 Proposicion. Si G es un grupo y H es un subgrupo normal en G tal que H y G/Hson finitamente generados, entonces tambien lo es G.

Demostracion. Supongamos que X es un conjunto finito que genera H y Y es unconjunto finito que genera G/H. Por cada elemento y ∈ Y tomemos un representante y ∈ G.

31

Afirmamos que X ∪ Y genera G. Sea a ∈ G. Entonces aH = ye11 ye22 · · · y

ekk para ciertos

yi ∈ Y y ei ∈ {−1, 1}. De aquı tenemos que y−ekk · · · y−e22 y−e11 a ∈ H, que esta generado porX y ası existen x1, x2, . . . , xl ∈ X y f1, f2, . . . , fl ∈ {−1, 1} tales que y−ekk · · · y−e22 y−e11 a =

xf11 xf22 · · ·x

fll . Despejando tenemos la expresion para a como producto de elementos de X∪Y

y sus inversos, como querıamos. ♦

Tambien muchas veces pasar a cociente o a subgrupos es util al probar por induccionalgo sobre un grupo finito G, como veremos a continuacion.

5.35 Proposicion. Si G es un grupo abeliano finito de orden n y d es un divisor de nentonces G contiene un subgrupo de orden d.

Demostracion. Procedemos por induccion sobre n. Para n = 1 no hay nada que probar.Sea n > 1 y supongamos que el resultado es verdadero para todos los enteros menores quen.

Primer caso: d = p primo. Sea 1 6= a ∈ G y sea k el orden de a. Si p∣∣∣ k entonces k = pl

para cierta l ∈ Z y al tiene orden p, ası que <al> es el subgrupo buscado. Si p 6∣∣∣ k entonces,

por ser p primo, p∣∣∣ |G|/|<a>|. Como G/<a> es grupo (por ser G abeliano) y tiene orden

menor que n, la hipotesis de induccion aplica y ası existe H subgrupo de G/<a> de ordenp; entonces H es cıclico, digamos, generado por b = b <a>. Como bp ∈<a>, que es cıclicode orden k, entonces bpk = 1: Veamos que bk 6= 1, de donde tendremos que bk tiene orden p,como querıamos. Suponiendo que bk = 1 tomemos una combinacion lineal de k y p que nos

de 1: rk + sp = 1; entonces b = brk+sp

= 1 =<a>, lo cual es un absurdo.

Segundo caso: d no es primo. Sea p un factor primo de d y digamos que d = pk. Porel primer caso, sea H subgrupo de G de orden p; entonces G/H es un grupo (pues G es

abeliano) de orden np

y, como k∣∣∣ |G/H|, por hipotesis de induccion, existe K ≤ G/H de

orden k. Por el teorema de la correspondencia K = K/H para algun K ≤ G que contiene aH y |K| = pk = d, como querıamos. ♦

5.36 Ejercicio. (∗) Probar que si G es un grupo finito y H es un subgrupo normalen G tal que mcd(|H|, [G : H]) = 1 entonces H es el unico subgrupo de G de orden |H|.(Sugerencia. Si K ≤ G y |K| = |H|, ¿que pasa con los elementos de K en G/H?)

5.37 Ejercicio. (∗) Dado un grupo G definimos Int(G) = {γa : a ∈ G} (ver 5.1(n) y5.11). Probar que Int(G) es un subgrupo normal de Aut(G) y que Int(G) ≈ G/Z(G).

5.38 Ejercicio. (∗) Probar el Teorema chino del residuo: Sea k un entero positivoy supongamos que n1, n2, . . . , nk son k numeros naturales primos relativos por parejas (es

32

decir, para cada pareja (i, j) con i 6= j y 1 ≤ i, j ≤ k tenemos mcd(ni, nj) = 1). Seanb1, b2, . . . , bk enteros cualesquiera. Entonces el sistema

x ≡ b1 (mod n1)x ≡ b2 (mod n2)

...x ≡ bk (mod nk)

tiene solucion entera. (Sugerencia. Para cada i = 1, 2, . . . , k sea pi : Z → Znila proyeccion

natural. Considerar la funcion (p1, p2, . . . , pk) : Z → Zn1 × Zn2 × · · · × Znky comparar

tamanos.)

5.39 Ejercicio. (∗) Sean m y n numeros naturales.

(a) Probar que si m y n son primos relativos, entonces φ(mn) = φ(m)φ(n), donde φ esla funcion de Euler (ver final del capıtulo 3). (Sugerencia. Usar la construccion del ejercicioanterior.)

(b) Probar que (a) es falso si m y n no son primos relativos.

(c) Probar que si p es primo y r es natural entonces φ(pr) = pr−1(p − 1). (Sugerencia.Hacer la lista de los numeros de 1 a pr por renglones de longitud p y observar que en cadarenglon exactamente un elemento es multiplo de p.)

(d) Usar (a) y (c) para probar que si n = pr11 pr22 · · · p

rkk es la descomposicion de n como

producto de potencias de primos distintos entonces

φ(n) = pr1−11 (p1 − 1)pr2−12 (p2 − 1) · · · prk−1k (pk − 1).

5.40 Ejercicio. (∗) Probar que si G es un grupo tal que G/Z(G) es cıclico (donde Z(G)es el centro de G), entonces G es abeliano.

33

6. Acciones de grupos en conjuntos

6.1. Acciones

Sea X un conjunto y sea G un grupo. Decimos que G actua en X si esta dada una“multiplicacion” G×X → X, denotada por (a, x) 7→ a · x, que satisface: 1 · x = x para todax ∈ X y, para a, b ∈ G y x ∈ X, (ab) · x = a · (b · x). En este caso decimos que X es unG-conjunto. Escribimos simplemente ax en lugar de a · x.

6.1 Ejemplo. (a) Si V es R-espacio vectorial no trivial entonces la multiplicacion escalardefine una accion del grupo R \ {0} sobre el conjunto V \ {0}.

(b) El grupo cıclico <a> de orden 2 actua en la esfera S2 = {(x, y, z) ∈ R3 : x2+y2+z2 =1} por aw = −w para w ∈ S2.

(c) Para n natural, el grupo Sn actua sobre X = {1, . . . , n} bajo la accion (σ, i) 7→ σ(i),para σ ∈ Sn e i ∈ X.

(d) El grupo diedrico D4 de orden 8 actua sobre el conjunto X = {1, 2, 3, 4} de verticesde un cuadrado bajo la accion (σ, i) 7→ σ(i), para σ ∈ D4 e i ∈ X. En general, si X es unG-conjunto y H ≤ G, entonces X es un H-conjunto bajo la restriccion de la accion de G aH.

(e) Sean n ∈ N y σ ∈ Sn. Entonces <σ> actua en X = {1, . . . , n} bajo la accion(σr, i) 7→ σr(i), para i ∈ X.

(f) Si G es un grupo, entonces G es G-conjunto bajo la multiplicacion: Para a, b ∈ G laaccion esta definida por (a, b) 7→ ab.

(g) Si G es un grupo entonces G es G-conjunto bajo conjugacion: Para a, b ∈ G la accionesta definida por (a, b) 7→ aba−1.

(h) Si G es un grupo y H es un subgrupo, entonces G actua sobre el conjunto de claseslaterales izquierdas de G con respecto a H, que denotamos por G/H (aunque H no seanormal) por traslacion: Para a, b ∈ G, la accion esta definida por (a, bH) 7→ abH.

(i) Si G es un grupo, entonces G actua sobre el conjunto S de subgrupos de G bajoconjugacion: Para a ∈ G y H ≤ G, la accion esta definida por (a,H) 7→ aHa−1.

6.2 Teorema. Teorema de Cayley. Todo grupo es isomorfo a un subgrupo de ungrupo de permutaciones.

Demostracion. Dado G grupo, definamos ψ : G→ SG por ψ(a)(x) = ax, para a, x ∈ G.Veamos que ψ es monomorfismo. Sean a, b, x ∈ G; entonces ψ(ab)(x) = (ab)x = a(bx) =ψ(a) ◦ ψ(b)(x), de donde ψ(ab) = ψ(a) ◦ ψ(b) y, por lo tanto, ψ es homomorfismo. Ahora,sea a ∈ G tal que ψ(a) = idG; entonces ax = x para toda x ∈ G, de donde a = 1 y ası

34

Ker(ψ) = {1} y ψ es monomorfismo. ♦

El resultado anterior teoricamente es muy fuerte, pues nos dice que, para estudiar losgrupos, podemos restringirnos solo a los subgrupos de los grupos de permutaciones. Sin em-bargo, no resulta practico pues los grupos de permutaciones son muy grandes, por ejemplo, siG tiene orden un natural n, entonces observemos que SG tiene n! elementos, ası que G es muypequeno en comparacion con SG. Sin embargo, veremos a continuacion que podemos trabajarmuchas veces los grupos dentro de grupos de permutaciones no tan grandes, mediante lasllamadas representaciones, que son, como en el teorema de Cayley, homomorfismos (tal vezno inyectivos) de un grupo G en un grupo de permutaciones SX . Concretamente, si G es ungrupo y X es un conjunto, un homomorfismo ψ : G → SX se llama representacion de Gcomo grupo de permutaciones de X. La siguiente proposicion nos dice que: “hablar deuna accion de G en un conjunto X es lo mismo que hablar de una representacion de G comogrupo de permutaciones de X”.

6.3 Proposicion. Si G es un grupo y X es un G-conjunto, entonces la accion µ :G×X → X define un homomorfismo ψ : G→ SX por ψ(a)(x) = ax, para a ∈ G y x ∈ X.Recıprocamente, todo homomorfismo de grupos ψ : G→ SX define una accion del grupo Gsobre el conjunto X a traves de (a, x) 7→ ψ(a)(x). Estas dos correspondencias son inversasuna de la otra.

Demostracion. Supongamos que tenemos una accion de G sobre X y sea ψ definidacomo en el enunciado del teorema. Empecemos por ver que ψ esta bien definida, es decir,que si a ∈ G entonces ψ(a) es una permutacion de x, esto es, que ψ(a) es biyectiva. Esto esclaro pues para a ∈ G, ψ(a) tiene por inversa a ψ(a−1).

Ahora queremos ver que ψ es homomorfismo, ası que tomemos a, b ∈ G y x ∈ X.Tenemos ψ(ab)(x) = (ab)x = a(bx) = ψ(a) ◦ ψ(b)(x); esto es para toda x ∈ X, ası queψ(ab) = ψ(a) ◦ ψ(b),

Ahora supongamos que ψ : G → SX es un homomorfismo. Como sabemos que todohomomorfismo manda al neutro en el neutro, para toda x ∈ X tenemos 1x = ψ(1)(x) =idX(x) = x. Por ser ψ homomorfismo de grupos, para a, b ∈ G y x ∈ X tenemos (ab)x =ψ(ab)(x) = ψ(a) ◦ ψ(b)(x) = ψ(a)(bx) = a(bx).

Es claro que las dos correspondencias definidas son una inversa de la otra. ♦

Dado un grupo G y un G-conjunto X, tenemos las siguientes definiciones y observaciones:

Para x ∈ X, la orbita de x es O(x) = {ax : a ∈ G}, Es claro que las orbitas definen unaparticion en X (es decir, X es la union ajena de las orbitas); en particular, si X es finitoentonces su tamano es la suma de los tamanos de las orbitas.

35

La accion es transitiva si para toda x ∈ X se tiene que O(x) = X.

Para x ∈ X, el estabilizador de x es E(x) = {a ∈ G : ax = x}. El estabilizador decualquier elemento de x es un subgrupo de G.

La accion es fiel si la representacion asociada es monomorfismo. En general, el nucleo dela representacion es la interseccion de los estabilizadores.

Haciendo referencia a los ejemplos de 6.1 tenemos lo siguiente.

6.4 Ejemplo. (a) Si v ∈ V \ {0} entonces O(v) es el subespacio generado por v sin el 0.La accion es fiel.

(b) Dado w ∈ S2 su orbita es {w,−w} y su estabilizador es trivial. Ası la representaciones fiel.

(c) Sn actua transitivamente sobre X = {1, . . . , n}. Si i ∈ X el estabilizador de i es elconjunto de permutaciones que dejan fijo a i, el cual es isomorfo a Sn−1. La representacionasociada es la identidad (y es fiel).

(d) La accion de D4 sobre X = {1, 2, 3, 4} tambien es transitiva. El estabilizador del 1 esel subgupo <(2 4)>. La representacion es la inclusion D4 → S4.

(e) La orbita de un elemento i ∈ {1, . . . , n} es el conjunto de numeros en el mismo ciclode σ que i. Ası, la accion es transitiva si, y solo si, σ es un ciclo de longitud n.

(f) La representacion aquı es la dada por el teorema de Cayley. La accion es transitiva yfiel. El estabilizador de cualquier elemento es el subgrupo {1} de G.

(g) Para a ∈ G, la orbita de a es la clase de conjugacion de a (es decir, el conjuntoformado por todos los conjugados de a en G), denotado por aG. Por ejemplo si G es abeliano,entonces aG consta de un solo elemento para toda a y si σ ∈ Sn, entonces σSn consta detodos los elementos de Sn que tienen la misma estructura cıclica que σ. El estabilizador E(a)consta de los elementos que conmutan con a, llamado centralizador de a y denotado porCG(a) (o C(a) si G se sobrentiende). Como

⋂a∈GC(a) = Z(G), entonces la representacion

tiene por nucleo al centro de G; en particular la representacion es fiel si, y solo si, Z(G) estrivial.

(h) La accion es transitiva. Dado bH ∈ G/H, su estabilizador es b−1Hb, ası que si Hes normal en G, entonces H es el estabilizador de todos los elementos y el nucleo de larepresentacion es H.

(i) Si H ≤ G entonces la orbita de H es el conjunto de conjugados de H en G y elestabilizador de H se llama normalizador de H en G y se denota por NG(H) (o N(H) siG se sobreentiende). Si H /G entonces su orbita consta de un solo elemento: el mismo H, yN(H) = G.

6.5 Ejercicio. Probar que si H ≤ G son grupos, entonces N(H) contiene a H y es elmayor subgrupo de G en el cual H es normal (en el sentido de que si K es un subgrupo quecontiene a H y tal que H / K, entonces K ⊂ N(H)).

36

6.6 Proposicion. Sean G un grupo y X un G-conjunto. Entonces para toda x ∈ X, setiene que |O(x)| = [G : E(x)].

Demostracion. Consideremos el conjunto G/E(x) de clases laterales izquierdas de E(x)en G y definamos γ : G/E(x) → O(x) por γ(aE(x)) = ax para a ∈ G. Veamos que estafuncion esta bien definida y es inyectiva: Para a, b ∈ G, tenemos

aE(x) = bE(x)⇔ b−1a ∈ E(x)⇔ b−1ax = x⇔ ax = bx.

Como la funcion es claramente suprayectiva, tenemos el resultado. ♦

6.7 Corolario. Sean G un grupo finito y X un G-conjunto. Entonces el numero deelementos en cualquier orbita es un divisor de |G|. ♦

6.8 Corolario. Si G es un grupo finito y a ∈ G, entonces

|aG| = [G : CG(a)].

En particular |aG| es divisor de |G|. ♦

6.9 Corolario. Si H es un subgrupo del grupo finito G, entonces el numero de conju-gados de H en G es [G : NG(H)]. En particular ese numero es divisor de |G|. ♦

6.10 Corolario. Teorema de representacion en clases laterales. Sea G un grupoy sea H un subgrupo de ındice finito n. Entonces existe un homomorfismo ψ : G→ Sn conKer(ψ) ⊂ H.

Demostracion. Consideremos la accion de G en el conjunto de clases izquierdas de Hen G dada por traslacion (ver ejemplo 6.1(h)) y sea ψ la representacion asociada. EntoncesKer(ψ) =

⋂b∈G E(bH) ⊂ E(H) = H. ♦

En el corolario anterior, para H = {1} tenemos el Teorema de Cayley. Con otros H pode-mos aplicar el corolario para obtener resultados interesantes, como veremos a continuacion.

6.11 Corolario. Los unicos grupos de orden 6, salvo isomorfismo, son S3 y Z6.

Demostracion. Sea G un grupo de orden 6. Como 6 es par, por el ejercicio 1.9, G tienealgun elemento a de orden 2. Veamos que tambien tiene un elemento de orden 3. En casocontrario, tampoco tendrıa un elemento de orden 6, ası que se tendrıa que x2 = 1 para todox ∈ G, de donde G serıa abeliano y, si b fuera otro elemento de orden 2, entonces {1, a, b, ab}serıa subgrupo de G, pero esto es imposible por Lagrange. Sea b un elemento de orden 3. Elsubgrupo K generado por b es de ındice 2 ası que, por 4.21(g), es normal en G. Sea H =<a>.Consideremos la representacion ψ : G→ S3 dada por la accion de G en las clases izquierdas

37

de H en G. Por representacionclaseslaterales, el nucleo de esta representacion es subgrupode H. Tenemos dos posibilidades; la primera es que Ker(ψ) sea trivial, en cuyo caso ψ esinyectiva y, por cardinalidades, es biyectiva y en este caso tenemos que G ≈ S3. La otraposibilidad es que Ker(ψ) = H; en este caso, H es normal en G y, por la formula producto5.25, HK = G, de donde, por 5.26(b), G ≈ H ×K ≈ Z2 × Z3 ≈ Z6 (el ultimo isomorfismoes por 5.27). ♦

6.12 Ejercicio. Sea X un G-conjunto. Probar que si x, y ∈ X son elementos en la mismaorbita, entonces E(x) y E(y) son subgrupos conjugados de G.

6.13 Ejercicio. Sea G un grupo.

(a) Probar que si X es un G-conjunto transitivo, entonces existe un subgrupo H de G talque X es isomorfo como G-conjunto a G/H con la accion de traslacion (es decir, existeuna biyeccion f : X → G/H tal que f(ax) = af(x) para toda a ∈ G y toda x ∈ X).

(b) Probar que si H y K son subgrupos de G, entonces G/H y G/K son isomorfos comoG-conjuntos si y solo si H y K son conjugados en G.

6.14 Ejercicio. Probar que si G es un grupo finito de orden impar, entonces el unicoelemento a que es conjugado de su inverso es a = 1. (Sugerencia. Suponiendo que a y a−1

son conjugados, calcular el numero de elementos de aG.)

6.15 Corolario. Ecuacion de clase. Sea G un grupo finito. Entonces

|G| = |Z(G)|+∑i

[G : CG(ai)],

donde para cada clase de conjugacion con mas de un elemento se escogio un elemento ai.

Demostracion. Sabemos que el orden de G es la suma de los tamanos de las orbitas y,por 6.8, la orbita de un elemento a ∈ G tiene [G : CG(a)] elementos. Las orbitas que constande un solo elemento son |Z(G)|. ♦

6.16 Corolario. Teorema de Cauchy. Si G es un grupo finito de orden n y p es undivisor primo de n, entonces existe a ∈ G de orden p.

Demostracion. Sea n = pk. Hacemos induccion sobre k. Para k = 1 el grupo es cıclicode orden p, ası que no hay nada que probar. Supongamos entonces que k > 1.

El caso en que G es abeliano se tiene por 5.35. Supongamos entonces que G no es abeliano.

Si a ∈ G \ Z(G), entonces CG(a) 6= G, ası que si p∣∣∣ |CG(a)| para alguna a ∈ G \ Z(G),

entonces podemos aplicar hipotesis de induccion para encontrar el elemento buscado dentro

de CG(a). En el caso en que p 6∣∣∣ |CG(a)| se tiene que p

∣∣∣ [G : CG(a)] y, si esto ocurre para

todo a ∈ G \Z(G), entonces, por la ecuacion de clase, p∣∣∣ |Z(G)|, pero Z(G) es abeliano, ası

38

que por lo demostrado arriba, existe a ∈ Z(G) de orden p. ♦

Un grupo G es simple si no tiene subgrupos normales aparte de {1} y G. Sabemos quesi G es abeliano, entonces G es simple si, y solo si, G ≈ Zp para algun primo p. El caso noabeliano es mucho mas complicado.

6.17 Lema. Dentro de A5 una clase de conjugacion consta de todos los 3-ciclos.

Demostracion. Sabemos que los 3-ciclos son permutaciones pares y que todos son con-jugados dentro de S5; veremos que tambien lo son dentro de A5. Sea σ = (1 2 3). Contandotodas las posibilidades de 3-ciclos distintos (a b c) tenemos que |σS5| = 5·4·3

3= 20, pero

[S5 : CS5(σ)] = |σS5 |, ası que |CS5(σ)| = 12020

= 6. Es claro que los siguientes elementosconmutan con σ:

(1), (1 2 3), (1 3 2) (4 5), (1 2 3)(4 5) y (1 3 2)(4 5);

como son 6 elementos, estos forman CS5(σ). De ellos, los primeros tres estan en A5 y losotros tres, no, de donde

CA5(σ) = {(1), (1 2 3), (1 3 2)},

que tiene tres elementos. Entonces

|σA5| = [A5 : CA5(σ)] =60

3= 20,

de donde todos los 3-ciclos son conjugados de σ tambien en A5. ♦

6.18 Lema. Para n ≥ 3, los 3-ciclos generan An.

Demostracion. Los elementos de An son todos producto de un numero par de trans-posiciones, ası que basta probar que si σ y τ son transposiciones distintas, entonces στ esproducto de 3-ciclos. Sean σ = (i j) y τ = (k l) (para ciertos i, j, k, l ∈ {1, 2, . . . , n} con i 6= jy k 6= l). Si σ y τ no son ajenos, digamos j = k, entonces στ = (j l i) que es 3-ciclo; si σy τ son ajenos, podemos escribir στ = (i j)(j k)(j k)(k l) el cual, usando el caso anterior, esproducto de dos 3-ciclos. ♦

6.19 Proposicion. El grupo alternante A5 es simple.

Demostracion. Sea {1} 6= H / A5. Queremos ver que H = A5. Por los dos lemasanteriores, basta probar que H contiene un 3-ciclo. Sea 1 6= σ ∈ H. Si σ es 3-ciclo, yaacabamos. Supongamos que no lo es. Entonces σ es producto de dos biciclos ajenos o un5-ciclo. En el primer caso, sin perdida de generalidad, supongamos que σ = (1 2)(3 4). Seaτ = (1 2)(3 5). Entonces

(3 5 4) = τστ−1σ−1 ∈ H.

39

En el segundo caso, sin perdida de generalidad, supongamos que σ = (1 2 3 4 5). Sea τ =(1 3 2). Entonces

(1 3 4) = τστ−1σ−1 ∈ H.♦

Se puede probar que para n ≥ 6, An tampoco es simple y que el grupo simple maspequeno no abeliano es A5 (que tiene 60 elementos). No haremos esto aquı.

6.20 Ejercicio. (∗) (a) Probar que si G es un grupo finito y G tiene un subgrupo H 6= Gtal que |G| - [G : H]! entonces G no es simple. (Sugerencia: Usar el teorema de representacionen clases laterales.)

(b) Probar que si |G| = pk con p primo y k < p entonces G no es simple. (En particular,si p y q son primos distintos y G es un grupo de orden pq, entonces G no es simple).

6.21 Ejercicio. (∗) (a) Sean H ≤ G grupos finitos. Probar que si [G : H] = 2 y a ∈ H,entonces

|aH | = |aG| o |aH | = 1

2|aG|.

(Sugerencia: Usar la formula producto.)

(b) Probar que hay dos clases de conjugacion de los 5-ciclos en A5 y que cada clase tiene12 elementos.

(c) Probar que las clases de conjugacion en A5 tienen tamanos 1, 12, 12, 15 y 20.

6.22 Ejercicio. (∗) Probar que si G es un grupo infinito simple, entonces G no tieneningun subgrupo (distinto del mismo G) de ındice finito. (Sugerencia. Usar el teorema derepresentacion en clases laterales.)

6.2. p-grupos

Sea p un numero primo. Un grupo G es p-grupo si todos sus elementos tienen orden unapotencia de p. Observemos que si G es un p-grupo finito, entonces su orden es una potenciade p. De aquı en adelante en esta seccion p es un numero primo.

6.23 Lema. Si G es un p-grupo finito, entonces Z(G) es no trivial.

Demostracion. Si G es abeliano, entonces Z(G) = G. Si G es no abeliano, entonces en

la ecuacion de clase tenemos que p∣∣∣ [G : CG(a)] para toda a ∈ G \ Z(G) y tambien p

∣∣∣ |G|,ası que p

∣∣∣ |Z(G)|. ♦

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6.24 Corolario. Si G es un grupo de orden p2, entonces G es abeliano.

Demostracion. Supongamos que G no es abeliano; entonces, usando el lema anteriortenemos que Z(G) tiene orden p y ası G/Z(G) tambien tiene orden p, por lo cual es cıclico.Por el ejercicio 5.40 concluimos que G es abeliano, lo cual es contrario a nuestra suposicion.Entonces G es abeliano. ♦

6.25 Ejercicio. (∗) Probar que, salvo isomorfismo, los unicos grupos de orden 9 son Z9

y Z3 × Z3.

6.26 Corolario. Si G es un p-grupo de orden pr, entonces para cada s ≤ r, G tiene unsubgrupo normal de orden ps.

Demostracion. Hacemos induccion sobre r. Para r = 1 no hay nada que probar. Su-pongamos que r > 1. Sea s ≤ r. Por 6.23, Z(G) no es trivial, ası que existe H ≤ Z(G) talque |H| = p. Observemos que H / G puesto que H ⊂ Z(G), ası que podemos considerar elcociente G/H, que tiene orden pr−1. Por hipotesis de induccion, como toda s−1 ≤ r−1, G/Htiene un subgrupo normal K de orden ps−1. Entonces, por el teorema de la correspondencia,K = K/H para un subgrupo K normal en G; es claro que |K| = ps. ♦

6.27 Ejercicio. (∗) Sean G un p-grupo y X un G-conjunto finito. Probar que si p - |X|entonces existe x ∈ X tal que O(x) = {x}.

6.28 Lema. Sea G un p-grupo finito y sea H un subgrupo propio de G. Entonces Hesta contenido propiamente en N(H).

Demostracion. Hacemos induccion sobre |G|. Si existe un elemento a ∈ Z(G) \ H,entonces a ∈ N(H)\H. Supongamos entonces que Z(G) ⊂ H; entonces H

Z(G)es un subgrupo

propio del p-grupo G/Z(G) y, como sabemos que Z(G) 6= {1} (por 6.23), entonces podemosaplicar hipotesis de induccion para ver que N (H/Z(G)) contiene propiamente a H/Z(G);ahora usamos el teorema de la correspondencia para obtener un subgrupo K de G quecontiene a H y en el cual H es normal, ası que H es un subconjunto propio de K, el cual essubconjunto de N(H). ♦

6.29 Corolario. Sea G un p-grupo de orden pk. Entonces existe una cadena de subgrupos{1} = G0 ⊂ G1 ⊂ · · · ⊂ Gk−1 ⊂ Gk = G tal que para toda i, |Gi| = pi, Gi−1 / Gi yGi/Gi−1 ≈ Zp.

Demostracion. Usamos 6.26 y 6.28. ♦

Una cadena como la del corolario en la que cada subgrupo es normal en el siguiente sellama subnormal; si ademas los cocientes son simples entonces la cadena es una serie de

41

composicion para G. El teorema de Jordan-Holder dice que todo grupo finito tiene serie decomposicion y que en cualesquiera dos series de composicion, los factores (cocientes entreterminos consecutivos de la serie) son isomorfos (tal vez en distinto orden). Un grupo finitoes soluble si en sus series de composicion los factores son simples abelianos. Entonces 6.29nos dice que todo p-grupo finito es soluble.

42

7. Teorema de Sylow

En esta seccion G denota un grupo finito y p es un numero primo.

Un p-subgrupo de G es un subgrupo de orden una potencia de p. Un p-subgrupo de Sylow

(o un Sp-subgrupo) es un p-subgrupo de orden pr si G tiene orden prm y p 6∣∣∣ m,

Probaremos que todo grupo finito tiene subgrupos de Sylow y ademas daremos algunascondiciones importantes sobre la cantidad de subgrupos de Sylow. Para ello necesitamosalgunos lemas.

7.1 Lema. Sea K un campo con q elementos. Entonces

|GLn(K)| = (qn − 1)(qn − q) · · · (qn − qn−1).

Demostracion. Notemos que GLn(K) se puede ver como el grupo de automorfismosde un K-espacio vectorial de dimension n. Entonces |V | = qn y cada transformacion linealT : V → V esta dada por la imagen de una base fija (v1, v2, . . . , vn) de V . La transformacionT es automorfismo si y solo si la dimension de la imagen de T es n. Entonces T (v1) se puedeescoger de qn− 1 formas (cualquier elemento de V \ {0}); despues T (v2) puede ser cualquierelemento en V \V1, donde V1 es el subespacio generado por T (v1), que tiene q elementos, asıque hay qn − q posibilidades para T (v1) y ası sucesivamente. ♦

7.2 Lema. Para p primo y n ∈ N, GLn(Zp) tiene un Sp-subgrupo.

Demostracion. Por el lema anterior,

|GLn(K)| = (pn − 1)(pn − p) · · · (pn − pn−1)= p1+2+···+(n−1)(pn − 1)(pn−1 − 1) · · · (p− 1)

= pn(n−1)

2 a,

donde a es un numero primo relativo con p. Basta exhibir un subgrupo de orden pn(n−1)

2 . SeaH el subgrupo de GLn(Zp) formado por las matrices que tienen 1′s en la diagonal principaly 0′s por debajo de esa diagonal. Claramente H es subgrupo de GLn(Zp) y |H| = pr donde r

es el numero de lugares por arriba de la diagonal, que es igual a n2−n2

(pues n2 es el numerototal de lugares, n son los lugares en la diagonal y dividimos entre 2 por la simetrıa); ası

r = n(n−1)2

. ♦

Sean H,S subgrupos de G. Para a ∈ G la clase lateral doble de a con respecto a Hy S es SaH = {sah : s ∈ S, h ∈ H}.

43

7.3 Observacion. Sean H,S subgrupos de G.

(a) Las clases dobles de G con respecto a H y S forman una particion de G.

(b) Si a ∈ G, entonces SaH es la union de exactamente [H : H ∩ a−1Sa] clases lateralesderechas de S en G. (Analogamente SaH es la union de exactamente [S : S ∩ a−1Ha] claseslaterales izquierdas de H en G.)

Demostracion. (a) Es claro que la union de las clases dobles es G (pues si a ∈ G,entonces a ∈ SaH). Para ver que son ajenas supongamos que SaH ∩ SbH 6= ∅ y seans1, s2 ∈ S y h1, h2 ∈ H tales que s1ah1 = s2bh2; entonces a = s−11 s2bh2h

−11 , por lo tanto, si

s ∈ S y h ∈ H entonces sah = ss−11 s2bh2h−11 h ∈ SbH, de donde concluimos que SaH ⊂ SbH

y, analogamente tenemos SbH ⊂ SaH.

(b) Dado x ∈ G, si x ∈ SaH entonces Sx ⊂ SaH; de esta manera, como G es la unionde clases laterales derechas de S, tenemos que SaH es la union de algunas clases lateralesderechas; ademas si Sx ⊂ SaH entonces x = sah para algunas s ∈ S y h ∈ H, por lo tantoSx = Sah, ası que toda clase lateral derecha de S es de la forma Sah para alguna h ∈ H.Hasta aquı hemos probado que SaH es la union de clases laterales derechas y que todas sonde la forma Sah para alguna h ∈ H. Queremos ver como se repiten. Para h1, h2 ∈ H tenemos

Sah1 = Sah2 ⇔ Sah1h−12 a−1 = S

⇔ ah1h−12 a−1 ∈ S

⇔ h1h−12 ∈ H ∩ a−1Sa

⇔ h1(H ∩ a−1Sa) = h2(H ∩ a−1Sa).

Entonces hay exactamente [H : H ∩ a−1Sa] distintas. ♦

7.4 Lema. Sean H,S ≤ G. Entonces

[G : S] =∑a∈X

[H : H ∩ a−1Sa],

donde X consta de exactamente un elemento por cada clase doble.

Demostracion. [G : S] es el numero de clases laterales derechas de S en G y, por 7.3,este numero es la suma del numero de clases laterales derechas de S en G dentro de SaH,tomando una a por cada clase doble, y, finalmente, tambien por 7.3, este numero es∑

a∈X

[H : H ∩ a−1Sa].♦

7.5 Lema. Si G tiene un Sp-subgrupo S y H ≤ G entonces existe a ∈ G tal que(aSa−1) ∩H es Sp subgrupo de H. En particular, si un grupo tiene Sp-subgrupos, entoncescualquier subgrupo tambien los tiene.

Demostracion. Si S es Sp-subgrupo de G entonces [G : S] es primo relativo con p asıque, por 7.4, existe a ∈ G tal que [H : H∩a−1Sa] es primo relativo con p. Para esa a tambiense tiene H ∩ a−1Sa ⊂ a−1Sa ≈ S, que es p-grupo. ♦

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7.6 Teorema. Teorema de Sylow. Sea G un grupo finito. Se tiene lo siguiente:

(a) G tiene al menos un subgrupo de Sylow.

(b) Si S es Sp-subgrupo de G entonces cualquier conjugado de S tambien es Sp-subgrupode G.

(c) Todo p-subgrupo esta contenido en un Sp-subgrupo.

(d) Dos subgrupos de Sylow cualesquiera son conjugados.

Demostracion. (a) Sea |G| = n. Por 6.2, G es isomorfo a un sugrupo de Sn, el cual esisomorfo a un subgrupo de GLn(Zp) mediante σ 7→ Tσ, donde Tσ es la transformacion de Znpque permuta una base fija de Znp segun σ. Por lema 7.2, GLn(Zp) tiene subgrupo de Sylowası que, por lema 7.5, tambien G lo tiene.

(b) Esto es claro, pues dos subgrupos conjugados tienen el mismo numero de elementos.

(c) Sea H un p-subgrupo y sea S un Sp-subgrupo. Por 7.5 existe a ∈ G tal que H∩aSa−1es Sp-subgrupo de H, pero H es p-grupo, ası que H ∩aSa−1 = H, de donde H ⊂ aSa−1 que,por el inciso anterior, es Sp-subgrupo.

(d) Si H es un Sp-subgrupo y S es Sp-subgrupo entonces, por lo que vimos en (c), existea ∈ G tal que H ⊂ aSa−1, pero entonces se da la igualdad, por cardinalidades. ♦

7.7 Corolario. Si G solo tiene un Sp-subgrupo H, entonces H / G. ♦

7.8 Corolario. Si ps∣∣∣ |G| entonces existe H ≤ G tal que |H| = ps. ♦

Ahora veremos cuales son las posibilidades para las cantidades de subgrupos de Sylow.Necesitamos otro lema.

7.9 Lema. Si S es un Sp-subgrupo de G y H es un p-subgrupo entonces H ⊂ NG(S) si,y solo si, H ⊂ S.

Demostracion. Solo tenemos que probar la implicacion (⇒). Por 7.6 aplicado a NG(S)en lugar de a G, tenemos que existe a ∈ NG(S) tal que H ⊂ a−1Sa = S. ♦

7.10 Proposicion. Si |G| = prm con m primo relativo con p y k es el numero deSp-subgrupos, entonces k es un divisor de m y k ≡ 1 (mod p).

Demostracion. Vamos a probar algo mas fuerte: que si H es un p-subgrupo, entoncesel numero kH de Sp subgrupos de G que contienen a H es congruente con 1 modulo p.

Sea S u p-subgrupo de Sylow y sea X un conjunto de representantes de clases dobles conrespecto a N(S) y H. Todos los Sp-subgrupos son de la forma a−1Sa para alguna a ∈ G.

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Afirmamos que si H ⊂ a−1Sa entonces existe una unica x ∈ X tal que a−1Sa = x−1Sx.En efecto, sea x ∈ X tal que a ∈ N(S)xH. Entonces a ∈ N(S)xa−1Sa; tomemos entoncesb ∈ N(S) y s ∈ S tales que a = bxa−1sa; entonces 1 = bxa−1s de donde a = sbx. De aquıtenemos que a−1Sa = x−1b−1s−1Ssbx = x−1b−1Sbx = x−1Sx puesto que b ∈ N(S). Ahoraqueremos ver que x es unica, pero

a−11 Sa1 = a−12 Sa2 ⇒ a1a−12 ∈ N(S)⇒ N(S)a1H = N(S)a2H.

Ahora, por 7.4 tenemos que

[G : N(S)] =∑x∈X

[H : H ∩ x−1N(S)x]

y, como H es p-grupo, todos los terminos son una potencia de p, tal vez p0 = 1. Veamoscuales son 1. Tenemos:

[H : H ∩ x−1N(S)x] = 1 ⇔ H = H ∩ x−1N(S)x⇔ H ⊂ x−1N(S)x⇔ xHx−1 ⊂ N(S)⇔ xHx−1 ⊂ S⇔ H ⊂ x−1Sx.

Entonces el numero de sumandos que son 1 es kH . Concluimos que

[G : N(S)] ≡ kH (mod p).

Esto es para toda H, ası que si lo aplicamos a H = S, tenemos que 1 = kS ≡ [G :N(S)] (mod p). Pero entonces tambien para H = {1} tenemos que kp = k{1} ≡ [G : N(S)] ≡1 (mod p).

Como kp es el tamano de una orbita en la accion de G por conjugacion sobre sus subgru-

pos, entonces kp

∣∣∣ |G|; por otro lado, por lo demostrado arriba ya sabemos que k es primo

relativo con p, ası que kp

∣∣∣m. ♦

El resultado anterior es muy importante pues nos dice cuales son los candidatos para kp.En caso que pueda deducirse que kp = 1 se tiene que el unico Sp subgrupo es normal.

7.11 Proposicion. Si para cada primo p solo hay un Sp-subgrupo, entonces G es elproducto directo de sus Sp-subgrupos.

Demostracion. Esto se puede ver facilmente por induccion, usando el teorema de La-grange y 5.26. ♦

7.12 Ejemplo. Si G es un grupo de orden 15, entonces G es cıclico.

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Demostracion. Las posibilidades para las cantidades k3 de S3-subgrupos son k3 =

1, 4, 7, 10, 13 pues k3 debe ser congruente con 1 modulo 3. Por otro lado, k3

∣∣∣ 5, ası que la

unica posibilidad es k3 = 1. De aquı tenemos que solo hay un 3-subgrupo de Sylow H3.Analogamente, Las posibilidades para las cantidades k5 de S5-subgrupos son k3 = 1, 6, 11y solo k5 = 1 es divisor de 3, ası que solo hay un 5-subgrupo de Sylow H5. Entonces,G ≈ H3 ×H5 ≈ Z3 × Z5 ≈ Z15 (el ultimo isomorfismo es por 5.27. ♦

7.13 Ejercicio. Determinar cuantos 2-subgrupos de Sylow tiene S4 y decir cuales son.

7.14 Ejercicio. (∗) Probar que si G es un grupo abeliano finito y p∣∣∣ |G| entonces solo

hay un p-subgrupo de Sylow y consta de todos los elementos de G cuyo orden es una potenciade p (llamado parte p-primaria de G).

7.15 Ejercicio. (∗) Dar un ejemplo de un primo p y de un grupo en el que los elementosde orden una potencia de p no formen subgrupo.

Otro resultado util, corolario de 6.10, es el siguiente.

7.16 Proposicion. Si |G| = prm, con m > 1 primo relativo con p y pr - (m − 1)!,entonces G no es simple.

Demostracion. Sea H un Sp-subgrupo. Como pr - (m− 1)!, tenemos que

|G| - m! = [G : H]!,

ası que el resultado se tiene por 6.20. ♦

7.17 Ejemplo. No existe ningun grupo no abeliano simple de orden menor que 60.

Demostracion. Por la proposicion anterior, basta considerar los casos |G| = 30, 40 y 56.Haremos el caso de |G| = 30 y dejaremos los otros dos como ejercicio. Supongamos entoncesque G es un grupo simple de orden 30. Para p = 3, 5 sea kp el numero de Sp-subgruposde G. Entonces k3 = 4, 7, 10, 13, 16, . . . y el unico de estos que divide a 30/3 = 10 es 10.La interseccion de dos S3-subgrupos es trivial, por Lagrange. Entonces entre todos nos dan10 × 2 = 20 elementos distintos de orden 3. Analogamente k5 = 6, 11, 16, . . . y el unico deestos que divide a 30/5 = 6 es 6. Aquı obtenemos 6 × 4 = 24 elementos de orden 5. Peroentonces tenemos 20 + 24 = 54 elementos distintos de 1, lo cual es un absurdo. ♦

7.18 Ejercicio. (∗) Probar que si |G| = 40, entonces G no es simple.

7.19 Ejercicio. (∗) Probar que si |G| = 56, entonces G no es simple.

7.20 Ejercicio. (∗) Sea H un p-subgrupo normal de un grupo G. Probar que H esta

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contenido en S para todo S p-subgrupo de Sylow de G.

7.21 Ejercicio. (∗) Probar que todo grupo de orden 45 es abeliano.

7.22 Ejercicio. (∗) Probar que un grupo de orden 96 no puede ser simple.

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8. Grupos abelianos finitos

A continuacion enunciaremos, sin demostracion, el importante teorema que nos dice comoson todos los grupos abelianos finitos.

8.1 Teorema. Teorema fundamental de los grupos abelianos finitos. Si G esabeliano finito entonces G es isomorfo a un unico producto directo de grupos cıclicos encualquiera de las siguientes dos formas:

Zd1 × Zd2 × · · · × Zdk ,

donde d1

∣∣∣ d2 ∣∣∣ · · · ∣∣∣ dk, llamada forma canonica de divisores elementales, o

Zp1r1,1×Zp1r1,2×· · ·×Zp1r1,m1×Zp2r2,1×Zp2r2,2×· · ·×Zp2r2,m2×· · ·×Zpsrs,1×Zpsrs,2×· · ·×Zpsrs,ms

donde p1 < p2 < · · · < pr son numeros primos y, para cada i, j, ri,j ≤ ri,j+1, llamada formacanonica primaria. ♦

8.2 Observacion. Usando 8.1 es posible comparar las dos formas canonicas. Haremosun ejemplo.

8.3 Ejemplo. Dar la lista de todos los grupos abelianos de orden 360 segun las dos des-composiciones canonicas, apareando los de una lista con los de la otra cuando sean isomorfos.

Solucion. Tenemos que 360 = 23 · 32 · 5. Entonces p1 = 2, p2 = 3 y p3 = 5. Las posibili-dades para los exponentes de p1 son 3, (1, 2), (1, 1, 1). Las posibilidades para los exponentesde p2 son 2, (1, 1). Solo hay una posibilidad para el exponente de p3: 1. Entonces en la formacanonica primaria las posibles descomposiciones canonicas son:

Z8 × Z9 × Z5,Z2 × Z4 × Z9 × Z5,Z2 × Z2 × Z2 × Z9 × Z5,Z8 × Z3 × Z3 × Z5,Z2 × Z4 × Z3 × Z3 × Z5,Z2 × Z2 × Z2Z3 × Z3 × Z5.

Ahora, para poner cada una de estas en la forma canonica de divisores elementales, jun-tamos las potencias mayores de cada primo y luego las que le siguen, etc., como sigue:(8, 9, 5) → 360, (2, 4, 9, 5) → (2, 180), (2, 2, 2, 9, 5) → (2, 2, 90), (8, 3, 3, 5) → (3, 120),(2, 4, 3, 3, 5) → (6, 60), (2, 2, 2, 3, 3, 5) → (2, 6, 30). Entonces, los grupos distintos en forma

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canonica de divisores elementales son

Z360

Z2 × Z180

Z2 × Z2 × Z90

Z3 × Z120

Z6 × Z60

Z2 × Z6 × Z30.

8.4 Ejercicio. (∗) Dar la lista de todos los grupos abelianos de orden 1500 segun lasdos descomposiciones canonicas, apareando los de una lista con los de la otra cuando seanisomorfos. ¿A cual de ellos es isomorfo Z6 × Z10 × Z25?

Los grupos abelianos finitos son mas sencillos que los no abelianos. Al igual que los p-subgrupos de un grupo nos pueden dar informacion del grupo los subgrupos abelianos olos cocientes abelianos de un grupo nos pueden dar informacion. Por esta razon definimos elsubgrupo conmutador [G,G] de un grupo G como el subgrupo generado por los elementosde la forma aba−1b−1, para a, b ∈ G.

8.5 Proposicion. Sea G un grupo cualquiera. Entonces

(a) Si f ∈ Aut(G) entonces f([G,G]) ⊂ [G,G]. (Por esta razon se dice que [G,G] escaracterıstico.)

(b) [G,G] / G.

(c) [G,G] es el menor subgrupo de G tal que G/[G,G] es abeliano (en el sentido que[G,G] esta contenido en cualquier subgrupo H que cumpla que G/H es abeliano). (G/[G,G]se llama abelianizado de G.)

Demostracion. (a) Es claro que los generadores de [G,G] van a dar, mediante f , ageneradores de [G,G].

(b) Esto es obvio usando los automorfismos γa para a ∈ G.

(c) Sea K = [G,G]. Entonces para a, b ∈ G, aKbKa−1Kb−1K = aba−1b−1K = K, asıque G/[G,G] es abeliano. Ahora sea H tal que G/H es abeliano; por lo tanto para a, b ∈ G,aba−1b−1H = aHbHa−1Hb−1H = H, de donde [G,G] ⊂ H. ♦

8.6 Ejemplo. (a) Si G es abeliano entonces su conmutador es {1}.(b) Si Q es el grupo de los cuaternios entonces [Q,Q] = {1,−1}.(c) [S3, S3] =<(1 2 3)>.

8.7 Ejercicio. (∗) Encontrar [S4, S4].

8.8 Ejercicio. Encontrar [A5, A5].

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Referencias y lecturas complementarias

[1] Dixon D., Problems in Group Theory, Dover Publications, 1973.

[2] Fraleigh J.B., A First Course in Abstract Algebra, Reading, Addison Wesley, 1973.

[3] Herstein I.N., Topics in Algebra, 2a. ed., John Wiley, New York, 1975.

[4] Jacobson N., Basic Algebra I, W. H. Freeman and Company, 1985.

[5] Perez M.L. Teorıa de Numeros, Cuadernos de Olimpiadas de Matematicas, Institutode Matematicas, UNAM, 2a edicion, 2009

[6] Rotman J., Advanced Modern Algebra, Prentice Hall, 1st edition (2002).

[7] Rotman J., An Introduction to the Theory of Groups, 3a. ed., Allyn and Bacon, 1984.

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