Por otro lado, se hizo necesaria la introducción del concepto de...

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Equilibrio estático y elasticidad. Introducción

INTRODUCCIÓN

Como vimos en el tema anterior, cuando aplicamos una serie de fuerzas externassobre un sólido este tiende, en general, a moverse. Dicho movimiento puede descomponerseen:

1.- Una traslación de su centro de masas cuya ecuación fundamental es la segunda ley deNewton asumiendo que el sólido se comporta como una partícula puntual situada en laposición indicada por su centro de masas.

2.- Una rotación del objeto, en general alrededor de los tres ejes del sistema de referencia,que simplificamos, por el nivel del curso, a suponiendo

No obstante comentamos que igual que de la primera y la segunda leyes de Newton sededucía que la condición necesaria y suficiente para que un sistema estuviera en equilibriotraslacional, es decir, su centro de masas no se trasladara. Existían condiciones para que unsólido rígido no girara. En la primera parte de este tema obtendremos que condiciones debencumplirse para que esto ocurra.

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Por otro lado, se hizo necesaria la introducción del concepto de “sólido-rígido”para despreciar los fenómenos de deformación que siempre aparecen cuando aplicamos unafuerza a un sólido real. En la segunda parte del tema analizaremos los aspectos más básicosque rige la descripción de este fenómeno.

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1.- Introducción.

2.- Condiciones de equilibrio estático.

3.- Ejemplos de equilibrio estático.

4.- Aspectos generales de los esfuerzos y deformaciones.

5.- Módulo de Young. Ley de Hook.

6.- Resistencia a la flexión.

ESQUEMA DE DESARROLLO

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Equilibrio estático y elasticidad. Condiciones de equilibrio estático.

CONDICIONES DE EQUILIBRIO ESTÁTICO.

Como vimos en el tema dedicado a los sistemas de partículas, la condición para que un sistemase encontrase en equilibrio traslacional, es decir, que su centro de masas no modificase suposición con el tiempo, la suma total de todas las fuerzas exteriores debe de ser igual a cero, esdecir:

Teniendo en cuenta el carácter vectorial de la magnitud fuerza, podemos escribir cada una de lasfuerzas exteriores en función de sus componentes o coordenadas cartesianas. De esta forma lacondición de equilibrio traslacional se puede escribir a través de las siguientes tres condiciones:

Por otro lado, tal y como vimos en el tema anterior, así como las fuerzas externas son lasresponsables del movimiento traslacional del centro de masas o centro de gravedad de loscuerpos, los momentos de las fuerzas son los responsables de la rotación de los mismos. Siendola ecuación fundamental de la rotación formalmente idéntica a la segunda ley de Newton:

donde I es el momento de inercia del cuerpo, M es el momento total de las fuerzas aplicadasexternamente, y α es la aceleración angular.

1

0n

ii

F=

=∑

1 1 1

0 ; 0 ; 0n n n

xi yi zii i i

F F F= = =

= = =∑ ∑ ∑

= α

M I

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De la anterior ecuación se desprende que la condición necesaria y suficiente para que un sistemano esté acelerado angularmente la suma de los momentos de las fuerzas que actúan sobre elactúan tiene que ser cero

Por otro lado, teniendo en cuenta la definición de aceleración angular, si condición anterior secumple tenemos que:

Si además de esta condición sabemos que en el instante inicial el sistema no se mueve tenemosque la velocidad angular será constantemente igual a cero con lo que el sistema no girará.

En definitiva diremos que un sistema está en equilibrio estático cuando se cumple:

junto con el hecho de que no esté en movimiento en el instante inicial.

0 cteα = ⇔ ω=

0 0M I M= α⇒ α = ⇔ =

1

1

0

0

n

iin

ii

F

M

=

=

=

=

∑

∑


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Como dijimos en el tema anterior, los momentos de las fuerzas tienen que calcularse, enprincipio, haciendo que el origen de nuestro sistema de referencia este dentro del eje fijoalrededor del cual gira el cuerpo. No obstante cuando el cuerpo está en equilibrio traslacional elmomento puede calcularse tomando como referencia el sistema que nos de la gana puesto quesea cual sea el sistema de referencia la suma vectorial de los momentos de las fuerzas exterioresque actúan sobre el sistema se anularán si el sistema está en equilibrio. Veamos esto último.

OO´

ir′ir

′

OOR

im

1

1 1

0

0

n

iin n

i i ii i

F

M r F

=

= =

=

= × =

∑

∑ ∑

i i OOr r R ′′= +

( )1 1

1 1

0n n

i i i OO ii i

n n

i i OO ii i

r F r R F

r F R F

′= =

′= =

′= × = + × =

′= × + ×

∑ ∑

∑ ∑

1 1

n n

i i ii i

r F M= =

′ ′= × =∑ ∑

1

0n

ii

M=

′ =∑


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Por lo tanto, las condiciones para que un sistema se encuentre en equilibrio estático serán:

1.- Que inicialmente el sistema se encuentre en reposo.

2.- Que la suma de fuerzas externas que actúan sobre el sistema sea nula:

3.- Que la suma de los momentos que ejercen las fuerzas extrnas sobre el sistema seanulo.

10

n

ii

F=

=∑

1 10

n n

i i ii i

M r F= =

= × =∑ ∑


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Ejemplo 1.- Una tabla uniforme de L=3 m de longitud y de M=35 kg de masa está colocadasobre dos balanzas situadas a una distancia d = 0,5 m de cada uno de los extremos, tal como semuestra en la figura 2. (a) Calcular que lectura mostrarán las balanzas cuando María, de m = 45kg de masa, se sitúe en el extremo izquierdo de la tabla. (b) Sergio se sube en el otro extremo dela tabla y camina hacia María, que salta al suelo cuando la tabla empieza a inclinarse. ¿Cuál es lamasa de Sergio si cuando llega al extremo izquierdo de la tabla la balanza situada a la derechamarca cero?

Equilibrio estático y elasticidad. Ejemplos.

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Ejemplo 2.- Una rueda de masa M y radio Rdescansa sobre una superficie horizontal contra unescalón de altura h (h < R). La rueda tiene quesubir el escalón mediante la fuerza horizontalaplicada al eje de la rueda, como indica la figura 1.Determinar la fuerza mínima necesaria para elevarla rueda sobre el escalón.


Ejemplo 3.- Una escalera uniforme de 5 mpesa 60 N y está apoyada contra una paredvertical sin rozamiento (figura x). El pie de laescalera está a 3 m de distancia de la pared.¿Cuál es el mínimo coeficiente derozamiento estático necesario entre el suelo yla escalera para que esta

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Ejemplo 4.- Al visitar una cantera de mármoles usted se da cuenta de que hay un billete de 100 €debajo de un bloque de mármol (figura x) de masa m, altura H y sección transversal cuadrada delado L. Entonces, intenta llevarse el billete pero está enganchado. Empuja el bloque con unafuerza horizontal a una distancia h sobre el suelo. ¿Qué fuerza debe aplicar para que el bloque selevante ligeramente y pueda retirar el billete? Suponer que el rozamiento impide el posibledeslizamiento del bloque.


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Hechos experimentales y definiciones iniciales.

a).- Si una fuerza determinada produce en una cierta goma un cierto alargamiento, se necesita eldoble de fuerza para producir la misma deformación en dos gomas iguales a la primera al mismotiempo, o, lo que es lo mismo, en una sola cinta cuya sección transversal sea el doble de laanterior. Así pues en el estudio de la elasticidad de materiales la magnitud que nos va a interesares la fuerza realizada por unidad de superficie y no la fuerza total. Por esta razón, en elasticidadde materiales, resulta útil definir el esfuerzo, σ, en una barra de sección transversal A sometida auna fuerza como el cociente entre el valor de la componente normal a la superficie y el área.

El esfuerzo realizado sobre un material es contrarrestado por las fuerzas intermoleculares delmismo. Por ejemplo, si se cuelga un peso en el extremo de una barra pegada a una paredhorizontalmente, las fuerzas intermoleculares de las partículas que forman la barra tienen querealizar una fuerza que se oponga a la fuerza y momento que produce el peso del cuerpo colgado.Habitualmente se definen cuatro tipos de esfuerzos:

a).- Esfuerzos de tracción: Tienden a producir una elongación del material.b).- Esfuerzos de compresión: Tienden a comprimir el objeto.c).- Esfuerzos tangenciales o cortantes: son del tipo del que ejercen las tijeras.d).- Esfuerzos de torsión.

Equilibrio estático y elasticidad. Aspectos generales de esfuerzos y deformaciones.

FA

σ =

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b).- Otro hecho experimental es que si sobre una barra con una sección A y de longitud l se aplicaun esfuerzo de tracción o compresión de forma que la barra se comprime o estira una longitud ∆lsi disponemos de una barra exactamente igual a la anterior pero de longitud l/2 y aplicamos elmismo esfuerzo la variación de longitud de dicha barra será ∆l/2. Por lo tanto, la variación delongitud de un cuerpo, a causa de la aplicación de un esfuerzo, es proporcional a la longitudoriginal de dicho cuerpo. A partir de este resultado se define la deformación, ε, de un cuerpocomo la variación relativa de la longitud del cuerpo, o lo que es lo mismo, el cociente entre lavariación de longitud que ha experimentado el cuerpo como consecuencia de la aplicación delesfuerzo y la longitud que tenia dicho cuerpo antes de la aplicación del esfuerzo:

Según esta definición la deformación, ε, no tiene dimensiones. Además, no de depende de lalongitud original (antes de aplicar el esfuerzo) de la barra.


ll∆

ε =

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La relación entre el esfuerzo y la deformación para un material sometido a tracción ocomprensión puede hallarse experimentalmente. Para ello realiza un montaje experimental comoel que se representa en la figura. La barra está sujeta firmemente por un extremo mientras que elotro extremo se conecta a un brazo hidráulico que es capaz de producir esfuerzos tanto decompresión como de tracción. Para un esfuerzo determinado podemos medir la variación delongitud que ha sufrido la barra y determinar cuál es la deformación que produce en la barradicho esfuerzo.


Montaje experimental para medir la relación entre el esfuerzo y la deformación

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Los resultados típicos que pueden hallarse cuando se ejercen sobre un sistema esfuerzos detracción o conpresión se muestran el las figura de más abajo.

(a) Esfuerzo asociado a una deformación por tracción dad en un metal dúctil. (b) Gráfica esfuerzo-deformación en un materialfrágil como el hueso. El punto de fractura D coincide prácticamente con el de esfuerzo máximo C. Obsérvese que las curvas noson las mismas para la tracción y para la compresión


(b)(a)

A= Límite linealB= Límite elásticoC= Esfuerzo máximoD= Punto de fracturaB

C y D

C y D

A

B

A

Esf

uerz

o, σ

Deformación, ε

Punto de fractura

Esfuerzo máximo de tracciónLímite elástico

Límite lineal

Esf

uerz

o, σ

Deformación, ε

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Al estudiar las propiedades de los materiales debe tenerse en cuenta que todos los materialesexhiben el fenómeno de la fatiga. Después de aplicar y dejar de aplicar muchas veces un esfuerzo,el esfuerzo máximo del material disminuye gradualmente y por fin el material cede, incluso bajosesfuerzos pequeños. Por ejemplo, un clip de papeles que se dobla adelante y atrás muchas vecesseguidas acaba por romperse. Los efectos de fatiga han de considerarse en situaciones tandiversas como en la construcción de un puente o en el diseño de agujas para insertar en lasfracturas de los huesos.


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Módulo de Young. Ley de Hook.

Las deformaciones elásticas de un sólido se relacionan con los esfuerzos asociados a través demagnitudes denominadas módulos elásticos. Así en el caso de esfuerzos de tracción o compresiónal cociente entre el esfuerzo y la deformación se le denomina módulo de Young E del material

En la región lineal de la curva esfuerzo-deformación para la tracción o la compresión, el valor deE viene dado por la pendiente de la recta que se obtiene experimentalmente. Para materialeshomogéneos tales como el acero, los módulos de Young para la tracción y para la compresión sonen general iguales. Para materiales no homogéneos como, por ejemplo, el hormigón y los huesos,los módulos para la tracción y la compresión son diferentes. Así, imaginemos por ejemplo, unconjunto de bolas de acero inmersas en goma. Mientras el estiramiento del material estarádominado por las propiedades elásticas de la goma, su compresión depende fundamentalmentedel grado de elasticidad de las bolas de acero.

Equilibrio estático y elasticidad. Módulo de Young. Ley de Hook.

E σ=ε

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La Tabla recoge diversos módulos de Young y esfuerzos máximos de tracción y de compresión,para diversos materiales.

Módulos de Young y esfuerzos máximos de materiales representativos. Todas las magnitudes tienen unidades deN/m2.


MaterialMódulo de Young, E Esfuerzo máximo

Tracción Compresión Tracción Compresión

Aluminio 7·1010 7·1010 2·108 -

Acero 20·1010 20·1010 5·108 -

Ladrillo 2·1010 2·1010 0,4·108 -

Vidrio 7·1010 7·1010 0,5·108 11·108

Fémur humano 1,6·1010 0,9·1010 1,2·108 1,7·108

Fémur de caballo 2,3·1010 0,8·1010 1,2·108 1,4·108

Vértebra humana 0,017·1010 0,009·1010 0,012·108 0,02·108

Madera dura 1010 1010 - 108

Tendón 0,002·1010 - - -

Vasos sanguíneos 0,00002·1010 - - -

Cobre 12·1010 12·1010 4·108 -

Mármol 6·1010 6·1010 - 2·108

Diente - 0,7·1010 - 1,8·108

Uñas 0,015·1010 - 0,18·108 -

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Como hemos visto para cualquier material la deformación que sufre es proporcional al esfuerzoaplicado, siempre que el esfuerza sea pequeño. A esta región se le denomina también región de laley de Hooke. En esta región, como el esfuerzo se relaciona linealmente con la deformación, lafuerza se relaciona linealmente con la elongación. Ello puede verse si se utiliza la definición delmódulo de Young junto con las definiciones de esfuerzo y deformación:

Así pues, en la tracción o en la compresión la fuerza sobre un objeto es proporcional a suelongación,

La anterior ecuación recibe el nombre de ley de Hooke y es válida mientras el objeto sometido aesfuerzos se encuentra en la región lineal. Por ejemplo, muelles, ballestas y cintas de cauchoobedecen a esta relación si las deformaciones no son demasiado grandes. La constante k es grandepara muelles duros y pequeña para muelles pequeños. Según la definición de k, vemos queaumentando el área de la sección transversal o disminuyendo la longitud se consigue reforzar laspropiedades elásticas del objeto. Por tanto, el valor de la constante k depende tanto de lageometría como del tipo de material.


F l EAE E F lA l l

∆σ = ε ⇒ = ⇒ = ∆

; con EAF k l kl

= ∆ =

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Resistencia a la flexión.

Casi todas las estructuras mecánicas desde las vigas hasta los troncos de los árboles o lasextremidades de los seres humanos, están sometidas, como hemos visto, a diversos tipos deesfuerzos. Cuando el esfuerzo es una simple compresión o tracción, la forma del objeto esirrelevante, puesto que la deformación sólo depende del área de la sección transversal. Sinembargo, la resistencia de un objeto a doblarse o su capacidad de doblarse sin romperse dependeno sólo de la composición sino también de la forma del objeto. Por ejemplo, un tubo hueco hechode una determinada cantidad de material es más resistente que una barra maciza de la mismalongitud construida con la misma cantidad de material. Análogamente, existe una relacióndefinida, entre las longitudes y los radios de los troncos de los árboles y de los miembros de losanimales, impuesta por su forma y su composición. En esta sección vamos a analizar estosaspectos e introduciremos el concepto de momento de inercia de la sección transversal que nos dauna idea de la resistencia de una determinada estructura a la flexión.

Equilibrio estático y elasticidad. Resistencia a la flexión.

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Para introducir el concepto de Momento de inercia de la sección transversal, analizaremos elproblema de la deformación que sufre una barra de longitud l y de sección transversal rectangularde lados a y b apoyada en sus extremos, tal y como se muestra en la figura.


P2P

2

N

R

P

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P2

R

P2

OResistencia a la flexión.

Si miramos sólo la mitad izquierda de la barra advertimos que la fuerza vertical del soporteizquierdo sobre la barra y el peso de esta mitad de la barra son iguales y de sentido opuesto por locual el sistema se halla en equilibrio traslacional. Sin embargo, estas fuerzas tienen líneas deacción diferentes por lo cual van a formar un par de fuerza que tiende a girar esta mitad de la vigaen el sentido de las agujas del reloj. Como la barra se halla en equilibrio estático, la mitad derechade la barra tiene que ejercer fuerzas que produzcan un par igual y opuesto.

P2

R

P2

O

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P2

R

P2

OResistencia a la flexión.

En la figura vemos que la parte superior de la barra está comprimida y la parte inferior estásometida a tracción. La superficie neutra, situada en el centro de la tabla, no experimenta cambiode longitud. Ello significa que la fuerza que ejerce la mitad derecha sobre la mitad izquierdadepende de las propiedades elásticas del material de que está formada. Las superficies interior yexterior son las que más se distorsionan de forma que las mayores fuerzas internas aparecerán enestas superficies. Estas fuerzas producen un momento que se opone al del peso y del soporte

( )( )

( )

F kxF k R r

x R rEAF R rEA Rk EAkl

Rl R

=⇒ = α −

= α −⇒ = −

=⇒ =

α= α

( ) ( )E EdF R r dA dM rdF r R r dAR R

⇒ = − ⇒ = = −

( )A

EM r R r dAR

⇒ = −∫ ( )A AI r R r dA= −∫

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La tabla recoge los momentos de inerciade la sección transversal de diversasestructuras corrientes. Obsérvese que enel caso considerado IA aumentarápidamente al aumentar a ya que estavariable interviene elevada al cubo.

Esto sugiere que para construir piezasestructurales fuertes desde el punto devista de la flexión y ligeras, la mayorparte de materia debe de localizarse lomás lejos posible de la superficie neutra.

a

a

b

a

b

a

b

t

Rectángulo

Cilindro macizo

Cilindro hueco

Viga en I:Cada una de las partestiene un espesor .

se mide desde los pun-tos medios de las dosplacas horizontales.

tA

IAa b

=3

12

IAa

=π 4

4

IAa b

=−π 4 4

4c h

IAa bt a t

= +2

2 12

3

Sección transversal IA

Momentos de inercia para carga vertical

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Ejercicio: Utilice los momento de inercia de sección transversal para demostrar que sitenemos dos cilindros de igual masa y longitud, hechos del mismo material, pero uno de ellosmacizo y de radio r y otro hueco con radios a y b, el segundo flexionará menos.

Por otro lado, se hizo necesaria la introducción del concepto de...

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