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Obra protegida por SEP - INDAUTOR Registro Público 03-2009-121509542300-01. 03-2009-121510074800-14. La piratería es un delito.
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AutorÁngel Luna
Caja Pitagórica5° de Primaria
Base de datos03-2009-121509542300-01
Dibujo03-2009-121510074800-14
Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, sin autorización escrita del titular de los derechos patrimoniales.
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• LOS NATURALES • FRACCIONES • OPERACIONES BÁSICAS
PITÁGORAS DE LO ABSTRACTO A LO CONCRETO
Ángel LunaPRIMARIA 5
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Índice
Lista de materiales de la Caja PitagóricaIntroducción •Justificación •Objetivosgenerales Actividades con números naturalesActividad1 •PosicióndelascifrasActividad2 •ProductosdefactoresigualesActividad3 •ElcontornoActividad4 •PerímetroyáreadeltriánguloActividad5 •MedidasysuperficiesActividad6 •Cálculomental(juegodelTriánguloPitagórico)Actividad7 •SimetríaActividad8 •ReproducciónaescalaActividad9 •Construirsucesionesdenúmeros
El cuadrado mágicoIntroducción •Antecedentes •Cuadradomágico,eljuegoclásico •AplicacionesActividad10 •EjerciciosElcuadradomágicode4×4Actividad11 •EjerciciosElcuadradoperfectoElcuadradodelcaballo
....................................................7....................................................................................................11
......................................................................................................15
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Pitágoras sin palabrasActividad12 •AsociarestableceunarelaciónentredosconjuntosActividad13 •NosacercamosaPitágorasActividad14 •DeltangramaPitágorasActividad15 •DemostrandoaPitágorasActividad16 •CortayconstruyeaPitágorasActividad17 •NodebemoscortarsiempreparaconstruiraPitágorasActividad18 •ConstruyeuntriángulorectánguloActividad19 •ÁreasyPitágorasActividad20 •ElrecíprocodePitágorasActividad21 •ConstruyendoteselasapartirdePitágorasActividad22 •Ejercicioslibres
..................................................................................51....................................................................................................52
....................................................................................................54
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Lista de materiales de la
Caja Pitagórica
1 Tablero de 8×8 casillas
1 Tablero de 10×10 casillas
1 Triángulo pitagórico
100 Cubos de 1×1×1 20 Tabletas de 2×2×1 10 Tabletas de 5×5×1
1 Tablero de 6×6 casillas
3 Acetatos de 18×18(compás)
3 Acetatos de 18×18 (ruleta)
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4 Tangramas 2 Tangramas gigantes
10 Regletas de 10×1×1 10 Regletas de 5×1×1
14 Tabletas de 10×10×1
10 Regletas de 2×1×1
25 Fichas azules 25 Fichas blancas
64 Fichas rosas 50 Fichas amarillas 36 Fichas verdes
122 Fichas numéricas
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75 Tarjetas comodines 3 Compáses
36 Cuadriláteros(3 colecciones de 12)
12 Triángulosrectángulos de 30º y 60º
3 Ruletas pitagóricas3 Adaptadores
1 Abanico pitagórico
1 Dado dodecaedro
* El color real del contenido de la Caja Pitagórica puede variar respecto al mostrado en esta guía didáctica
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Introducción
En función de lo previamente estudiado, el alumno que comienza el quinto grado de primaria puede concluir que las matemáticas son funcionales y flexibles, que puede emplearlas para resolver problemas de diversos ámbitos, desde los más sencillos que se le presentan en la vida cotidiana, hasta los más complejos; algunos de éstos los abordará durante el curso.
El alumno, posiblemente, ya esté familiarizado con el material didáctico de la Caja Pitagórica y, en función de la experiencia con el mismo en cursos anteriores, haya intuido lo diverso de sus aplicaciones; quizá se ha preguntado o cuestionado acerca del posible espacio de aplicaciones, y si aún podrá ser un material que le permita no sólo reforzar los conocimientos ya aprendidos, sino abordar otros temas. A través de las actividades que se desarrollan y sugieren en esta guía, el alumno podrá concluir que para el presente curso (y en muchos cursos más) este material didáctico es funcional, y el mundo aún por descubrir a través de él sigue siendo inmenso.
El maestro, utilizando su experiencia y conocimientos sobre la Caja Pitagórica, imple-mentará actividades dirigidas a facilitar los procesos de aprendizaje, es decir, al conocer los factores que inciden en éste, aplicará recursos técnicos y prácticos para favorecer el mismo.
En este escenario, el material didáctico de la Caja Pitagórica sigue facilitando la construc-ción de algunos aprendizajes significativos, los cuales propician la reflexión, el análisis, los cuestionamientos y las respuestas de los alumnos quienes, de esta manera, asumen una función activa en su aprendizaje.
La guía ha sido elaborada con el objeto de proporcionar al maestro sugerencias, ideas, diseño de actividades, estructuras, etc., que lo apoyen en la planificación de su labor cotidiana.
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JustificaciónSi bien es cierto que interesa que el alumno adquiera los conocimientos de la matemática, propios de cada grado, importa sobremanera que desarrolle paulatinamente, a lo largo de la educación básica, habilidades intelectuales para, entre otras cosas, manejar el contenido de diversas formas y realizar procesos en los cuales deba reorganizar sus estrategias para resolver problemas con los conocimientos adquiridos.
Dichas habilidades son: resolución de problemas, clasificación, flexibilidad del pensa-miento, estimación, reversibilidad del pensamiento, generalización, imaginación espacial.
Con el material didáctico de la Caja Pitagórica se consideran tres ejes fundamentales, presentes a lo largo de la educación primaria, que requieren de una atención especial:
La naturaleza del número. Que el alumno comprenda que los números pueden re-presentar tanto cantidades obtenidas de procesos de conteo o de medición, como relacio-nes entre cantidades. Que entienda para qué sirven los números y qué representan.
El desarrollo de la intuición geométrica y la imaginación espacial. Es decir, a través del estudio de la geometría, en particular de los contenidos relacionados con las formas −las figuras geométricas− sus propiedades, sus transformaciones y las característi-cas que conservan.
La resolución de problemas. Se intenta que el alumno desarrolle habilidades en esta dirección.
Objetivos generales En la escuela primaria, los alumnos deberán adquirir conocimientos básicos de las mate-máticas y desarrollar:
• La capacidad de utilizar las matemáticas como un instrumento para reconocer, plantear y resolver problemas.• Las habilidades operatorias y comunicativas, para que adquieran seguridad y destreza, además de fomentar su curiosidad e imaginación creativa, a fin de que adopten estrategias adecuadas en la resolución de diversos problemas.• El razonamiento deductivo.• La capacidad de comunicar e interpretar información matemática.• La imaginación espacial.• La destreza en el uso de ciertos instrumentos de medición, dibujo y cálculo.• El pensamiento abstracto, por medio de distintas formas de razonamiento, entre
otras, la sistematización y generalización de procedimientos y estrategias.• La capacidad de reconocer que un problema puede resolverse de distintas formas.
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• La habilidad para desarrollar procesos que les permitan ubicar objetos en el plano y en el espacio, imaginar los efectos que se producen en las formas geométricas al someter-las a transformaciones y estimar longitudes, áreas.
• Los mecanismos del cálculo operatorio elemental.• La comprensión para utilizar distintas unidades de medida.• La creatividad.
Las actividades que el maestro diseñe deberán estar enfocadas a la comprensión y asimilación de los conceptos de la matemática. Deberán partir de la manipula-ción que el alumno haga de los materiales o recursos didácticos. En este sentido, el juego dirigido es una fuente de actividades interesante, a través de él pueden crearse situaciones que permitan al alumno descubrir relaciones que favorezcan la construcción de conocimientos.
La implementación de las actividades puede modificarse a criterio del maestro, según lo considere conveniente.
Observación:
Observación:
Es conveniente fomentar el trabajo en equipo de manera que permita el intercambio de puntos de vista y la confrontación de las ideas. Esto propiciará actitudes de análisis e investigación que gradualmente se irán reforzando, a medida que se formalicen los con-ceptos y los métodos.
Para aprender, los alumnos necesitan “hacer matemáticas”, es decir, enfrentar nume-rosas situaciones que les presenten un problema, un reto, y generar sus propios recursos para resolverlas, utilizando los conocimientos que ya poseen. Sus recursos serán informa-les al principio, pero poco a poco, con la experiencia, la interacción con sus compañeros y la ayuda del maestro, evolucionarán hacia la formalización del conocimiento.
En consecuencia, los conocimientos matemáticos y los problemas no pueden separar-se. No se trata sólo de aprender matemáticas para después aplicarlas en la resolución de problemas, sino de aprender matemáticas al resolver problemas.
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Posición de las cifras
En esta actividad, los alumnos amplían sus conocimientos sobre los principios de base y posición que caracterizan al sistema de numeración decimal.
El uso de los tableros permite representar la cardinalidad de colecciones1, constituye un importante paso intermedio para llegar a la representación convencional de cantida-des.
El registrar cantidades en los tableros del Triángulo Pitagórico favorece que los alum-nos comprendan que cada cifra representa un agrupamiento distinto, según la posición que ocupa, es decir, cada cifra tiene un valor relativo.
La pieza del Triángulo Pitagórico, incluido en la Caja Pitagórica, muestra la utilización de fichas de colores con las que el alumno puede interactuar y aprender sobre uno de los conceptos fundamentales de la matemática: el sistema de numeración decimal.
Lo que en esta actividad de aprendizaje se pretende es que el alumno comprenda la característica de los sistemas de numeración de base de notación posicional. La base de nuestro sistema de numeración es 10, porque necesitamos 10 unidades simples para formar una unidad del segundo orden o decena, 10 decenas para formar una unidad del tercer orden o centena, y así sucesivamente, cada diez unidades de cualquier orden forman una unidad del orden inmediato superior.
1.- Diga a los alumnos cómo está formado el siguiente número:
1 3 8
centenas 1 decenas 3 unidades 8
No olvide que deben colocarse las fichas en el tablero y que cada lugar en el sistema posicional tiene un valor diferente.
Actividades con
números naturales
Actividad 1
Ejercicios:
1 Con el material didáctico del sistema numérico, puede profundizar en el estudio de los sistemas de numeración.
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• Para alumnos de quinto grado en adelante, aparte de colocar con las fichas la cifra, considerando el lugar que ocupa, deben escribir en un cuaderno la notación
desarrollada del siguiente número:
3 9 3 8 = 3000 + 900 + 30 + 8
Recuerde que utilizamos el valor de posición cuando escribimos símbolos, para repre-sentar número naturales. El valor aumenta en potencias de 10.
En los números, cada cifra tiene un valor de acuerdo con el lugar que ocupa. Siempre debe considerarse que un número se escribe y se lee de izquierda a de-recha en el sistema de numeración de base de notación posicional.
Observación:
De esta manera, pueden realizarse varios ejercicios de práctica, quedando en la creati-vidad del maestro otras variantes.
2.- Sugerencia para jugar con el sistema numérico utilizando el tablero del Triángulo Pita-górico: con cuatro dados (uno que represente las unidades, otro las decenas, el que si-gue las centenas y el último las unidades de millares y que serán proporcionados por el maestro), inicialmente se tira con dos dados, después con tres y por último con cuatro.
Explique a los alumnos que la actividad consiste en que, cada vez que se tiran los dados, se escriben los números en el pizarrón. Cada equipo o alumno, según se decida, representará con las fichas dicho número en el tablero del Triángulo Pitagórico. Ganarán los equipos o alumnos que logren representar el mayor número de cifras correctas. Con las fichas de colores pueden asignarse valores de acuerdo con el criterio del maestro. Por ejemplo:
3.- Otro juego consiste en la formación de tres equipos de cuatro alumnos. Cada equipo esco-ge un tablero para jugar. Cada alumno de un equipo lanza dos dados, suma o resta los pun-tos y coloca en la casilla el número que obtiene (después de realizar la operación y representar-
Amarillo = 1000Verde = 100Rojo = 10Azul = 1
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lo como las unidades). El siguiente alumno tira los dos dados, suma o resta los puntos, coloca en la casilla el número que representan las decenas, y así sucesivamente, hasta las unidades de millar.
Queda a criterio del maestro el método de evaluación en esta actividad.
3.- Representen el valor posicional del sistema de numeración de las cantidades siguientes:
a) 2 6 7 4b) 4 9 0 1c) 5 2 3 0d) 7 5 4 3e) 2 9 8 5
Debe considerarse el grado escolar de los alumnos, desde el primer año de pri-maria, con las unidades y decenas, y así sucesivamente en los demás grados de estudio.
Observación:
Productos de factores iguales
Exprese en forma exponencial productos de factores iguales.
• Realicen esta actividad con las tabletas 2×2×1.
1.- Pida a los alumnos que observen los 4 grupos de tabletas, cada grupo con 4 tabletas de tamaño 2×2×1 y cada tableta con 4 cubos.
Ejercicios:
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2.- Represente la situación anterior con una multiplicación de factores iguales: 4×4×4.• Que los alumnos indiquen cuál es el total de cubos.• Realice otros ejercicios semejantes con los materiales de la Caja Pitagórica.
3.- Comente con los alumnos el significado de cada uno de los términos de la expresión 53.
• Llame exponente al número pequeño que se escribe en la parte superior derecha y que indica las veces que el número se repite como factor.
Pregunta:
• ¿Cómo calcular el total de cubos?
El contorno
Con los cubos 1×1×1 del material didáctico de la Caja Pitagórica, realice varias figuras. Vea los siguientes ejemplos:
Ejercicio:
La multiplicación de factores iguales puede represen-tarse en forma abreviada: 4×4×4 = 43
Observación:
Actividad 3
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Preguntas:
• ¿Cuánto mide el contorno de cada figura? • ¿Cuántos centímetros cuadrados hay en cada una de las figuras?
Pida a los alumnos que cuenten, anoten y dibujen en su cuaderno las medidas de cada una de las siguientes construcciones:
Hay figuras que tienen igual perímetro y diferente área. Confírmelo con los ejercicios anteriores.
Utilicen en esta actividad alguno de los triángulos del tangram.
Observación:
Observación:
Perímetro y área del triángulo
Explique a los alumnos el concepto de triángulo, ¿cuántos lados y ángulos tiene?. Dibú-jelo. También explíqueles cómo, por medio de fórmulas, se obtiene su perímetro y área. Realice ejercicios de cálculos.
Actividad 4
Vértices: A, B, CSegmentos: AB, BC y CA Lados: c, a, y b, respectivamente
Ángulos: A, B, CNotación: ΔABC
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Los puntos de intersección son los vértices del triángulo A, B y C. Cada uno de los segmentos AB, BC y CA son los lados del triángulo, que normalmente se
designan por una letra minúscula e igual a la del vértice opuesto; así, el lado AB se denomina c, ya que el vértice C es el opuesto a dicho lado. . Los lados forman los ángulos interiores que se designan por las letras de los vértices.
Por lo tanto un triángulo tiene 3 ángulos, 3 lados y 3 vértices.
Fórmulas de perímetro y área del triángulo
Perímetro:
Es la medida del contorno de esta figura geométrica. Se representa con la letra P.
P = a + b + c
Área:
Es la medida de su superficie. Se representa con la letra A.
A = (b) (h) 2
1.- ¿Cuál es el perímetro y el área de un triángulo cuyos lados miden 3 cm, 4 cm y 5 cm, respectivamente?
Ejercicios:
• Apliquen las siguientes fórmulas para perímetro y área:
P = a +b +c A = (b) (h) 2
Los resultados de este ejercicio son: P= 12 cm, A= 6 cm²
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2.- Calculen áreas y perímetros de los siguientes triángulos construidos con regletas y cubos como se muestra a continuación:
• Calculen el perímetro:
Fórmula: P = a + b + c
• Calculen el área:
Fórmula: A = (b) (h) 2
a) b) c)
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Medidas y superficies
1.- Realicen con los cubos 1×1×1, las siguientes figuras:
• Un rectángulo de 8 cm de largo y 2 cm de alto.
• Un rectángulo de 7 cm de largo y 4 cm de alto.
• Un rectángulo de 10 cm de largo y 3 cm de ancho.
2.- Construyan con los cubos 1×1×1 los rectángulos siguientes:
a) 6 cm de largo y 5 cm de alto.b) 8 cm de largo y 2 cm de ancho.c) 7 cm de largo y 3 cm de ancho.
Ejercicios:
Preguntas:
• ¿Cuánto mide el lado de cada cubo?• ¿Cuál es el área del rectángulo?• ¿Cuál fue el procedimiento que siguieron para calcular el área del rectángulo?
Actividad 5
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Cálculo mental (juego del Triángulo Pitagórico)
Los objetivos primordiales de esta actividad son:
• Desarrollar habilidades prácticas de operaciones básicas, como suma, resta, multi-plicación, etc., por medio de la práctica del cálculo mental, en donde la coordinación ojo-mano juega un papel importante.• Comprender geométrica, algebraica y aritméticamente el Teorema de Pitágoras.• Desarrollar la aplicación de la representación de unidades de millar, centenas, decenas y unidades del sistema numérico.• Aplicar de manera inmediata los aprendizajes adquiridos al trabajo real, cumpliendo con el principio de “aprender haciendo”.
Integrantes:
• Todos los miembros del grupo participan en parejas, triadas o equipos. Se recomienda colocarlos en forma de círculo o semicírculo para que todos observen la ejecución de la actividad.
El objetivo es comenzar la interpretación geométrica, algebraica y aritmética del Teorema de Pitágoras. Considere la expresión algebraica c2 =a2+b2, la cual establece la rela-ción entre los catetos y la hipotenusa en los triángulos rectángulos.
Cuando el resultado del cálculo mental exceda el espacio de los table-ros, ya sea algún cateto o hipotenusa, podrá apilar las regletas, tabletas, etc., para completar los resultados.
Ejercicios:
Explique al grupo que aprenderán a manejar el material didáctico y a realizar una serie de pasos para ejecutar la actividad.
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1.- Ejemplo de cómo realizar este ejercicio:
• En cualquier triángulo rectángu-lo si a=3 y b=4 son las longitudes de
los catetos y c=5 es la longitud de la hipotenusa.
Considere todos lo ejercicios de esta actividad, utilizando el material didáctico.
Todos los miembros de grupo participan en pare-jas, triadas o equipos para jugar el Triángulo Pitagórico.
Ejecute el procedimiento completo, explicando lo que se hace y cómo se hace, a un ritmo menor que el empleado en la reali-dad, con el fin de facilitar la comprensión.
• Repita la ejecución cuantas veces sea ne-cesario y practique con los ejercicios de la segunda actividad de esta guía.
• Cuando termine la demostración, invite al grupo, de acuerdo con su decisión de trabajar en parejas, triadas o equipos, para comenzar el juego recreativo, poniéndoles como reto solucionar correctamente todos los ejercicios del material didáctico Triángulo Pitagórico, sea cual sea su nivel académico.
• El equipo que resuelva todos los ejercicios de este material al primer intento, utilizando cálculo mental, será el ganador del juego. También pueden considerarse tiempos límite.
2.- Realice operaciones mentalmente con las siguientes ternas de medidas de longitud del triángulo rectángulo en los tableros del Triángulo Pitagórico, colocando tabletas, regletas y cubos, como en el ejemplo anterior:
a) 12, 5, 13b) 8, 6, 10c) 12, 9, 15
a) 169 cubos = 144 cubos + 25 cubosb) 100 cubos = 64 cubos + 36 cubosc) 225 cubos = 144 cubos + 81 cubos
c² = a² + b²Hipotenusa Catetos
a² + b² = c²3² + 4² = 5²9 + 16 = 25
área= 42
área= 52
área= 32
Resultados:
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Simetría
Es una propiedad geométrica. Se usa en diversas actividades como el arte, la ingeniería y la arquitectura. La intención es iniciar el desarrollo de esta noción mediante actividades, empezando a trabajar con figuras sencillas con las cuales los alumnos descubrirán esta propiedad. Conforme adquieran habilidad para identificar los ejes de simetría de las figu-ras y para construir figuras simétricas, pueden introducirse figuras más complejas.
1.- Construya figuras simétricas respecto de un eje, analice y explique sus propiedades como: igualdad de lados y ángulos, paralelismo y perpendicularidad. Utilice los cubos de 1×1×1.
• Comprueben la simetría de la figura, colocando un espejo sobre la línea que repre-senta el eje de simetría y observen si la figura se ve completa:
• Con la misma figura construida identifiquen los dos ejes de simetría y comprueben:
2.- Recorten varias figuras de revistas y periódicos. Busquen los ejes de simetría de esas figuras y trácenlos. Tengan cuidado, porque no todas las figuras son simétricas.
Ejercicios:
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3.- Construyan figuras simétricas como triángulos isósceles y equiláteros, rom-bos, cuadrados y rectángulos.
Preguntas:
• ¿Cuál es la figura que tiene más ejes de simetría?• ¿Cuántos ejes tiene esa figura?• ¿Qué habría que hacer para que las figuras sin ejes de simetría tengan un eje de si-metría?• ¿Qué puede decirse acerca de la medida de los ángulos de la figura original y su simétrica?• ¿Cómo son las diagonales de la figura original?• ¿Y de la simétrica?
Reproducción a escala
Reproducción a escala por su altura, largo o ancho.
1.- Con los cubos 1×1×1 del material didáctico de la Caja Pitagórica, realice las siguientes construcciones:
• Determine la relación entre las longitudes de dos figuras dadas a escala.• Al observar la construcción con los cubos 1×1×1, pida a los alumnos que reproduzcan a escala de 2 a 1. Para el trazo y reproducción de esta construcción, utilicen regla y compás y anoten en el cuaderno. Quedaría como sigue:
Ejercicios:
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2.- Realicen con los cubos 1×1×1 un rectángulo y decir a los alumnos que reproduzcan a escala 2 a 1 de la figura grande a la de la figura pequeña, como se muestra:
Concluyendo, la figura pequeña es una reproducción a escala 1 a 2 de la figura grande.
3.- Realicen las mismas observaciones en otros dibujos a escala.
4.- Observen un dibujo a escala 1 a 10 de la fachada del salón de clase.
• Midan la altura de la puerta dibujada.• Midan la altura de la puerta del salón.• Comparen ambas medidas y observen que la altura de la puerta es 10 veces mayor que la altura representada en el dibujo.• Comparen otras longitudes reales del salón con las correspondientes en el dibujo.
5.- Realicen otros ejercicios semejantes.
Reproducción a escala 2:1 respecto a la altura
Reproducción a escala 2:1 respecto a a su largo y alto
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Construir sucesiones de números
1.- Con los cubos 1×1×1 del material didáctico, realicen construcciones de sucesiones de números, mediante cantidades de objetos dispuestos geométricamente. En este caso, la variación de un número implica la variación del otro. Por ejemplo, los triangulares son 1, 3, 6, 10, 15, porque se representan como los siguientes arreglos:
a) Números triangulares:
b) Números cuadrados:
c) Números pentagonales
Ejercicio:
• Construye los arreglos de los siguientes tres nú-meros triangulares.
• Construye los arreglos de los siguientes tres nú-meros cuadrados.
• Construye los arreglos de los siguientes tres nú-meros pentagonales.
Pregunta:
• ¿Encuentras alguna relación entre los números triangulares, cuadrados y pentagonales?Pida a los alumnos que observen y escriban las relaciones que encuentren.
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El cuadrado
mágicoIntroducción
Las matemáticas son el resultado del quehacer humano. El desarrollo de esta disciplina se ha debido al intento de resolver problemas concretos. Los alumnos de quinto grado poseen una preparación más sólida, pues han desarrollado y reforzado habilidades matemáticas. Esto les facilita la construcción de nuevos conocimientos matemáticos, a partir de ex-periencias concretas. El éxito en su aprendizaje descansa en el diseño de actividades que promueven la construcción de conceptos a partir de tales experiencias, donde utilizan los conocimientos previamente adquiridos. En estas actividades, las matemáticas son funcio-nales y flexibles, de forma tal que les permitan resolver los problemas que se les planteen, claro está, utilizando sus conocimientos.
El alumno debe concluir, a partir de estas experiencias de aprendizaje, que las mate-máticas le permiten resolver problemas diversos, tanto de naturaleza científica, técnica y artística como de la vida cotidiana.
El contar con las habilidades, conocimientos y formas de expresión que la escuela pro-porciona permite la comunicación y comprensión de la información matemática presentada a través de medios de distinta índole.
Antecedentes
Una de las actividades recreativas de gran importancia en el proceso de aprendizaje de los alumnos de quinto grado corresponde al conocido como cuadrado mágico. El alumno podría considerar este pasatiempo ya muy visto. Sin embargo podrá concluir, después de desarrollar las actividades descritas a continuación, que sigue siendo muy flexible, al involucrar en su solución a los números naturales y racionales (expresados como cociente de enteros o expresados en forma decimal), y permitirle reforzar las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división, además de abordar los conceptos de múltiplos, series numéricas, etcétera.
En el famoso cuadro Melancolía, del pintor alemán Albrecht Dürer, aparece el dibujo de un cuadrado mágico. Un cuadrado mágico está constituido por números dispuestos de tal forma que al ser sumados en renglones, columnas o diagonales dan el mismo resultado. En la siguiente figura se ilustra el grabado donde aparece el cuadra-do mágico hallado por el artista alemán.
Este cuadrado satisface que la suma de las cantidades localizadas en las casillas centrales es 34. Dürer logró además introducir en las columnas centrales del renglón localizado en la parte inferior el año 1514 (año de realización del cuadro). Grandes matemáticos, como Eu-ler y Cayley, descubrieron que eran entretenidos e interesantes para ser estudiados. El propio Benjamin Franklin creó uno, conocido como el
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Melancolía, del pintor alemánAlbrecht Dürer.
cuadrado mágico perfecto (más adelante se ilustra). Por cierto, Euler construyo un cuadrado mágico para un caballo (ilustrado también más adelante).
Estudiar el cuadrado mágico permite reforzar los métodos de conteo e involucra as-pectos que conciernen a la manipulación de objetos de cierta naturaleza (nociones de conjuntos), siendo en este caso números y la combinación de los mismos para obtener el resultado deseado.
Posiblemente, este es uno de los juegos matemáticos más utilizados por los maestros para involucrar a los alumnos en la operación básica de la suma, pero a lo largo de la dis-cusión podremos concluir que puede utilizarse también en la solución de las operaciones de resta, multiplicación y división. Podemos encontrar en la literatura un sinfín de infor-mación acerca de este interesante juego que tiene como objetivo familiarizar al lector con algunas técnicas para la resolución de ciertos tipos de cuadrados mágicos. Nos interesa introducir algunos procedimientos que permitan al maestro darle un mayor alcance al cuadrado mágico en cuanto a la utilidad, así como usar algunos procedimientos elemen-tales para observar que la aplicación del mismo tiene tal alcance.
Las actividades están diseñadas para implementarse en quinto grado, ya que permiten reforzar significativamente las operaciones de suma y resta con números naturales de hasta seis cifras. Es decir, utilizamos desde unidades hasta centenas de millar. Además se involucran las operaciones de multiplicación con números terminados en ceros, la cons-trucción de series numéricas y la operación de división. Asimismo, ponemos en práctica métodos de razonamiento que involucran combinaciones de operaciones y permiten la
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obtención de una solución, utilizando números naturales y racionales.Debido a la naturaleza del cuadrado mágico, éste nos permite de manera muy general:
• Estudiar los números naturales o enteros positivos, la relación de orden, leyes de tri-cotomía, valor posicional, localización en la recta numérica, sucesor, antecesor.
• Reforzar los métodos de conteo (sumas y restas), las propiedades asociativas y con-mutativas en los números, así como estímulo del cálculo mental.
• Reforzar los conceptos de horizontal, vertical y perpendicular, relacionados con los conceptos de renglón y columna en una matriz, así como introducción del concepto de diagonal.
• Introducir los conceptos de sucesión, serie, matriz cuadrada, diagonal, sistema de referencia.
• Estimular el razonamiento matemático.
Lo anterior considera aspectos muy generales, los cuales pueden inducirse de manera adecuada en quinto grado, teniendo en consideración que, en muchas ocasiones, la imple-mentación de ellos es de forma implícita y no explícita, pues en muchos casos no es ne-cesario conocer de manera formal un concepto matemático, sino sólo familiarizarse con él o intuirlo para poder utilizarlo (relación numero-operaciones). Por ejemplo, los tableros incluidos en el material didáctico pueden permitir la introducción del concepto de matriz (haciendo énfasis en el alumno que la figura representa en particular a este ente matemá-tico) o simplemente llamado tablero. Este permite manejar conceptos como reglones o columnas, horizontales, verticales, perpendicularidad y diagonales, así como diferenciar los conceptos de vertical y perpendicularidad. Por ejemplo, si es vertical es perpendicular; sin embargo, si es perpendicular no necesariamente es vertical, es decir, el recíproco no es cierto; para ello basta poner el tablero en posición vertical y perpendicular (con respecto a) para observar la diferencia. El tablero permite además utilizar un sistema de referencia (posición) para diferenciar que un objeto y otro están colocados en distintos lugares o en el mismo (como en el ajedrez).
Utilizamos el cuadrado mágico para obtener las sumas de cierto tipo de series de nú-meros y abordamos la generalización del cuadrado mágico de 3×3. Este mismo permite discutir un procedimiento aplicable para el caso del cuadrado mágico de 4×4 (muy labo-rioso) y el general. En el caso del cuadrado de 3×3, el método permite hallar la generali-zación de este cuadrado con las restricciones que involucran al mismo; a su vez, aplicando este método, podemos concluir por qué no existe un cuadrado mágico de tamaño 2×2, cuya solución no sea la trivial. Podemos dar respuesta asimismo a preguntas como, por ejemplo: si utilizamos los primeros nueve números naturales ¿por qué en el cuadrado mágico de 3×3 la suma debe ser 15? Justificamos además por qué en el cuadrado mágico de tamaño 4×4, la suma debe ser 34, si utilizamos los primeros 16 números naturales en su solución. O ¿por qué en el caso del cuadrado mágico de tamaño 8×8, si utilizamos los primeros 64 números naturales, la suma debe ser 260? Finalmente, podemos ga-rantizar que cualquier cuadrado mágico admite siempre una solución (conclusión obtenida a partir de un método algebraico elemental, aquí hacemos referencia a la conclusión y no al procedimiento, el cual es realmente laborioso).
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Cuadrado mágico, el juego clásico
Describimos el problema más clásico del cuadrado mágico, el cual corresponde a la siguiente situación: considere los números del 1 al 9, utilizando la matriz cuadrada de ta-
maño 3×3, como se muestra en la figura. La intención es colocar los números de tal forma que al realizar la suma en las direcciones horizontal, perpendicular (renglones, columnas) y en ambas diagonales, el resultado sea 15. Puede verificarse que una solución es:
La pregunta natural que surge es: ¿cuántos cuadrados mágicos hay? En caso de consi-derar que los valores que pueden utilizarse son números reales, la respuesta es: una infini-dad. El siguiente método permite hallar tales cuadrados mágicos.
A continuación, discutimos un método de solución general para el cuadrado mágico de tamaño 3×3, pero debemos hacer hincapié en que esta discusión es exclusiva para el maestro, con la intención de que él pueda construir cualquier cuadrado mágico de dicho tamaño. El método utilizado hace uso de la aplicación de sistemas de ecuaciones lineales (tema que se aborda en secundaria, inicialmente en un sistema de una ecuación en una in-cógnita, para finalmente estudiar un sistema de dos ecuaciones en dos incógnitas; además se abordan algunos métodos de solución) y del método de eliminación que se aplica en la solución de un sistema de dos ecuaciones en dos incógnitas. El método de eliminación puede generalizarse para la resolución de sistemas de m ecuaciones lineales en n incóg-nitas. Este método generalizado recibe el nombre de método de eliminación gaussiana (puede consultarse en cualquier libro de álgebra lineal). Este método es sin duda el más poderoso para resolver sistemas de ecuaciones lineales, además su implementación com-putacional es la más eficiente.
Consideramos el cuadrado mágico de 3×3, pero suponemos que se desea encontrar una colección de nueve números consecutivos de tal forma que cumpla la condición esti-
Más adelante podemos garantizar que, además, esta solución es única, salvo ro-taciones y reflexiones.
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pulada para el cuadrado mágico (la diferencia o distancia entre dos consecutivos siempre es 1) y se satisfaga además que su suma sea n. Tenemos la siguiente situación:
Sean a, b, c, d, e, f, g, h, i los números reales (no se especifica su orden) distribuidos como lo muestra la siguiente figura:
Más aún, tales números hacen del cuadrado anterior un cuadrado mágico para el valor n. La situación planteada se describe matemáticamente por el siguiente sistema de ecua-ciones lineales (este planteamiento es un modelo matemático lineal):
Obtenemos así un sistema de 8 ecuaciones en 9 incógnitas. La teoría que refiere este tipo particular de sistema de ecuaciones, es decir con estas características, garantiza que el sistema admite una infinidad de soluciones. De ello concluimos que hay una infinidad de cuadrados mágicos. Aplicando el método de eliminación gaussiana a la matriz que describe el sistema y llevando la solución a la forma escalonada reducida, la solución del mismo queda descrita por el siguiente sistema de ecuaciones:
a + b + c = nd + e + f = ng + h + i = na + d + g = nb + e + h = nc + f + i = na + e + i = nc + e + g = n
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Sistema de ecuaciones 2
Observamos que la solución general involucra, salvo la solución de la variable e, dos valores independientes, a saber h e i si asignamos a n el valor de 15 y tomamos h=7 e i=2, hallamos la solución descrita para el cuadrado mágico, que se muestra al inicio de la dis-cusión de esta sección. Podemos además tomar los valores de h=1 e i=6 y mantenemos n=15. Obtenemos una segunda solución, la cual resulta ser equivalente a la obtenida con los valores anteriormente asignados a h e i. Éstas dos sustituciones nos permiten tener como espacio de solución para el cuadrado mágico los números del 1 al 9, además las sustituciones h=9, i=4; h=3, i=8; h=2, i=2; h=7, i=6; h=1, i=8; h=3, i=4; y mantenemos n=15 el espacio de solución son los números del 1 al 9, es decir, si nosotros asignamos valores distintos a h e i de éstos y mantenemos el valor de n=15, obtendremos otras solu-ciones, pero con la diferencia de que ya no se tiene como espacio de solución los números del 1 al 9.
Estamos ahora en posibilidad de justificar la siguiente pregunta: ¿por qué la suma debe ser 15? Sumemos las tres primeras ecuaciones del sistema de ecuaciones 1. Obtenemos:
a + b + c + d + e + f + g + h + i = 3nSistema de ecuaciones 3
Si los valores a tomar por las variables a, b, c, d, e, f, g, h, i deben ser uno y sólo uno de los elementos del conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, entonces el lado izquierdo de la igualdad nos pide hallar la suma (no están ordenados, pero recordemos que la suma es conmuta-tiva) de los primeros nueve números naturales. Un simple cálculo muestra que la suma obtenida es 45. Luego de la ecuación anterior obtenemos que n=15.
La solución del sistema permite implementar el siguiente procedimiento (que aplicare-mos en los ejercicios):
• Ordene la sucesión de los nueve números consecutivos en forma ascendente, es decir
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
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• Subdividamos los números en bloques de tres, de tal forma que la suma de cada bloque debe ser 15. Obtenemos así lo siguientes dos casos:
1 + 5 + 9 = 15 3 + 5 + 7 = 15 a) 2 + 6 + 7 = 15 b) 2 + 9 + 4 = 15 3 + 4 + 8 = 15 1 + 6 + 8 = 15
Podemos además señalar que no es posible hallar otras combinaciones diferentes de las dos anteriores que satisfagan las condiciones pedidas. Estas combinaciones indican todo el espacio de soluciones para este caso. Tenemos que la quinta ecuación del sistema 2 nos indica que la combinación 1 + 5 + 9 ó 3 + 5 + 7 debe colocarse en la segunda fila del cuadrado mágico. A partir de esto, obtenemos la solución y podemos observar que ambas son la misma (es única salvo rotaciones y reflexiones) y coinciden con la presen-tada al inicio de esta sección.
Podemos concluir además que si nosotros consideramos a n=15 en el sistema de ecuaciones y a las variables h e i les asignamos cualesquiera otros valores, obtenemos diferentes soluciones para cada pareja de números que se den. Por ejemplo si h=8 y e=6, puede verificarse que el cuadrado correspondiente es:
Este ejemplo nos muestra que el espacio de soluciones de un cua-drado mágico no se restringe al conjunto de los números naturales. Este último cuadrado nos muestra el número 0 (cero), el cual recibe el nombre de la identidad aditiva.
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Aplicaciones
Analizaremos casos particulares que nos permitan trabajar con números naturales o enteros positivos. Sin embargo, con lo anteriormente discutido, el espacio de ejem-
plos es infinito.Un sencillo planteamiento basado en el análisis anterior nos permite concluir por qué
no es posible obtener un cuadrado mágico de tamaño 2×2 (se excluye en este y en todos los casos de cuadrados mágicos la solución llamada solución trivial, y se concluye que en el caso del cuadrado 2×2 , la única solución es la trivial y por eso no existe interés en estudiarlo; por ejemplo, para el caso del cuadrado mágico de 3×3 la solución trivial para n=15 corresponde a que todas las variables sean iguales a 5).
Ejercicio 1
En este caso el ejemplo puede aplicarse a los alumnos de todos los niveles. Considere las siguientes fichas:
Solicite al alumno que tome los primeros nueve números naturales. Una vez realizado esto, pídale que los ordene en forma ascendente o descendente. En este punto, aprenderá a diferenciar los números entre sí y a establecer la relación de orden entre ellos, como lo muestra la siguiente figura.
Ejercicios:
Los ejercicios que a continuación se enlistan están expuestos en forma gradual, con la intención de que los alumnos se familiaricen con el cuadrado mágico.
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Solicítele que obtenga, de ser posible, la suma de ellos; si no, basta con que los separe en grupos de 3 fichas, de tal manera que al sumar cada bloque el resultado sea 15 (aplica-ción de cálculo metal). Después, indíquele que coloque las fichas del bloque de izquierda a derecha o de derecha a izquierda (utilizamos las dos soluciones del cuadrado mágico). Luego, pídale que coloque los bloques de arriba hacia abajo o viceversa (debemos indi-carle un número en el bloque, para que lo tome como referencia y pueda efectuar lo que se le solicita). Enseguida, debe colocarlos en el cuadrado, respetando el orden considerado previamente. Finalmente, consideren todas las combinaciones de sumas que determinan al cuadrado mágico. En este punto apliquen cálculo mental. La siguiente figura ilustra una solución equivalente a la mostrada al inicio de la sección:
El alumno de quinto grado observa así el uso de orden en una serie numérica, los conceptos de antecesor y sucesor, valor posicional y construcción de una serie numérica (sucesión de los naturales).
Además se utiliza de forma natural la multiplicación de cantidades con números terminados en ceros.
Puede realizarse la siguiente modificación: considere que los dígitos asociados describen decenas, centenas, unidades de millar, decenas de millar o centenas de millar; obtendríamos cuadrados mágicos para decenas, centenas, unidades de millar, decenas de millar y centenas de millar, respectivamente. Es decir, obtendríamos cuadrados mágicos cuya sumas serían igual a: 15 decenas, equivalentes a 150 uni-dades; 15 centenas, equivalentes a 1500 unidades;15 unidades de millar, equivalen-tes a 15 000 unidades; 15 decenas de millar, equivalentes a 150 unidades de millar o 150 000 unidades, y así sucesivamente.
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Ejercicio 2
Solicite al alumno que le proporcione un número múltiplo de tres (o divisible entre tres) mayor que 15 y menor o igual a 39. Una vez proporcionado el número, en caso
de ser posible, obtenga el resultado de dividir al mismo por 3 para obtener n (o indique el número a considerar). Dado el número, pídale que extraiga del grupo de las 25 fichas los cuatros números consecutivos anteriores a él (el antecesor de éste, el antecesor del antecesor de éste, y así sucesivamente) y los cuatro siguientes consecutivos a él (el sucesor de éste, el sucesor del sucesor de éste, y así sucesivamente).
Ahora separen los números en bloques de tres, de tal forma que la suma de cada uno de ellos dé como resultado el valor previamente hallado. Solicite finalmente el cuadrado mágico correspondiente.
En este ejercicio, seguimos trabajando con enteros positivos y aplicando el concepto de serie numérica. Más aún, podemos iniciar el estudio de una serie aritmética.
Puede plantear como ejercicio adicional el siguiente: considere las fichas de la 1 a la 17 y pregunte a los alumnos por qué bajo la condición de ser el número solicitado múl-tiplo de tres y tomando en consideración las 17 fichas (bajo las restricciones de nuestro cuadrado mágico), el espacio de solución únicamente nos permiten obtener 9 cuadrados mágicos diferentes con estas fichas que satisfagan la condición solicitada (restricción).
Veamos un ejemplo: Para n = 21, obtenemos el valor de 7. Luego las fichas reque-ridas son:
El cuadrado mágico correspondiente es:
Puede aplicarse aquí la implementación discutida en el ejemplo 1, es decir, utili-zando decenas, centenas o unidades de millar, asociadas a los números naturales obtenidos, estaremos aplicando el concepto de serie aritmética (se incrementa en términos de decenas, centenas o unidades de millar, según sea el caso) e involu-crando además el concepto de múltiplo de 10, 100 y 1000, equivalentemente la multiplicación por cantidades terminadas en ceros.
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Ejercicio 3
Obtengan el cuadrado mágico cuya suma sea 27 unidades (decenas, centenas, unidades de millar o decenas de millar) y que los números que lo conforman sean 9 naturales con-secutivos. Obtengan un cuadrado mágico con la misma condición, pero sin la restricción de que los números sean 9 enteros consecutivos. Proporcione los números considerados en el cuadrado mágico y solicite que construyan el cuadrado mágico correspondiente. Puede verificar que si en el sistema de ecuaciones 2, reemplazamos h e i, para 5 y 7, res-pectivamente, obtendremos los restantes valores que involucran la solución que mostra-mos a continuación:
Para los casos siguientes, analice los valores asignados a h e i. Obtenemos los cuadrados mágicos de 48 y 51, como se muestran a continuación:
Ahora, si sustituimos los valores de h e i correspondientes en la solu-ción descrita por el sistema de ecuaciones 2, obtenemos las soluciones descritas previamente, además de que estas soluciones describen series aritméticas.
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Realicemos finalmente sobre el cuadrado mágico clásico las siguientes modifica-ciones, motivadas por lo antes discutido. Nuestro cuadrado mágico a considerar es:
Indique al alumno que sume a cada ficha el número 5, sustituyéndolo posteriormente por la ficha correspondiente al resultado de esta operación y respete la ubicación de ésta en la anterior disposición. Obtenemos así lo siguiente:
Claramente observamos que este es de nuevo un cuadrado mágico. Esto, a su vez, nos sugiere la implementación con respecto a multiplicaciones y sumas.
En esta actividad, el maestro debe tener en consideración que las soluciones a los cua-drados mágicos deben involucrar únicamente números naturales. Por esa razón se reco-mienda al maestro realizar los cálculos correspondientes para que esto ocurra, y además, facilitar los números que se utilizarán en cada una de estas actividades.
Las operaciones que realizamos con los cuadrados mágicos, es decir, sumas, restas, multiplicaciones, son aplicables a un ente matemático llamado matriz (recuerde que un cuadrado mágico puede verse como un arreglo matricial de n renglones y n columnas).
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Ejercicio 4
Estudiaremos ejemplos diversos que utilizan números fraccionarios en la construcción del cuadrado mágico. En el caso de este material didáctico se incluyen fichas con denomi-nadores 2, 3 y 4. Sin embargo, el maestro puede anexar fichas con distintos denominado-res, según convenga, para presentar algún tema en particular. Recordemos que estamos introduciendo una restricción en la construcción de cuadros mágicos, y es que entre los elementos de la sucesión numérica la diferencia (o distancia) entre dos números consecu-tivos es 1 (serie aritmética). No obstante, en los ejercicios que se proponen más adelante ya no hay restricciones. En esta aplicación consideraremos cantidades fraccionarias (propias e impropias) con el mismo denominador común para operar sumas y restas. En el caso de fracciones con diferente denominador, haremos uso del mínimo común múltiplo.
Tome el grupo de fichas que corresponden a fracciones, pida que extraigan todas las fichas con denominador 2 y que sean mayores o iguales a 1/2 y menores o iguales a 17/2 y que las ordenen en forma ascendente o descendente. Por ejemplo, la disposición ascendente es:
Solicite, por ejemplo, que determinen la distancia o diferencia del primer y último término, entre términos consecutivos. Posteriormente, solicite que realicen la suma de todos estos términos. El alumno, al observar que todas las cantidades poseen el mismo denominador, puede concluir que para hallar tal suma el problema se reduce a obtener la suma de los numeradores, quedando así:
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 81
equivalentemente:
1/2 + 3/2 + 5/2 + 7/2 + 9/2 + 11/2 + 13/2 + 15/2 + 17/2 = 81/2
Se observa que en una de las expresiones anteriores estamos obte-niendo la suma de los primeros nueve números impares (obtenemos así un ejemplo de serie aritmética, en donde la diferencia entre dos términos consecutivos es 2). Solicite que escriban el término general de la serie numérica). Pida que obtengan un cuadrado mágico cuya suma sea 27/2 y que justifiquen esto.
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Compare este cuadrado mágico un cuadrado mágico para n=27. Para ello considere la tabla del dos.
Los conocimientos adquiridos por los alumnos en curso previos acerca del cuadrado mágico, permiten obtener el siguiente:
Discuta con los alumnos cómo pueden construir el cuadrado mágico anterior (la dis-cusión del mismo se ha desarrollado en la guía de cuarto grado)
Pregunta:
• ¿Existe alguna similitud entre los cuadrados mágicos? Justifique su respuesta.
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Ejercicio 5
Consideremos nuevamente el cuadrado mágico clásico:
Sume entrada a entrada el cuadrado mágico, pero considere la siguiente modificación: un cuadrado mágico representa unidades y el otro representa decenas. Entonces el cua-drado mágico que se obtiene es el siguiente:
Ahora sume al mismo 5 centenas en cada entrada. Describa cuál es el cuadrado mágico que se obtiene.
Considere ahora la siguiente modificación, motivada por lo discutido en el ejercicio 4: cuando uno aborda operaciones con números decimales, debe tomar en cuenta los siguientes dos aspectos: la notación utilizada para escribirlos y cómo nos referimos a ellos para mencionarlos o nombrarlos. Por ejemplo, al expresar 8 décimos nos referimos a la notación matemática 0.8, si decimos 8 centésimos su notación matemática es 0.08. Esto nos facilita el uso del cuadrado mágico al aplicarlo a la suma de números decimales. Así podemos mencionar que en el siguiente cuadrado mágico se representan centésimos:
Es decir, tenemos 13 centésimos, 8 centésimos, 9 centésimos y así sucesivamente, y podemos sumar a otro cuadrado mágico, por ejemplo el clásico, y que éste represente décimos. Sumamos ambos sólo tomando en consideración cómo debe realizar la suma, y utilizando el lenguaje co-rrecto para referirnos a ello. A su vez, trabajamos con la división entre 10, 100, y así sucesivamente.
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El cuadrado mágico de 4 x 4
Al inicio de la sección, mencionamos un cuadrado mágico plasmado por el pintor alemán Dürer. Trabajaremos sobre él para obtener algunos ejemplos de cuadrados má-
gicos, aplicando las operaciones utilizadas en lo discutido previamente, como son sumas, restas, multiplicaciones y divisiones.
Sin embargo ilustraremos parte de la dificultad (laborioso) de intentar obtener una solución general para este caso, pues si consideramos el cuadrado mágico de 4×4, obte-nemos un sistema de al menos 10 ecuaciones en 16 incógnitas. Tal situación se ilustra a continuación:
Deseamos que el anterior arreglo cuadrangular satisfaga las condiciones de un cuadrado mágico. Obtenemos así el siguiente sistema de ecuaciones:
a + b + c + d = t e + f + g + h = t i + j + k + l = tm + n + o + p = ta + e + i + m = t b + f + j + n = tc + g + k + o = td + h + l + p = ta + f + k + p = t d + g + j + m = t
Sistema de ecuaciones 4
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Consideremos que, por ejemplo, el cuadrado mágico mostrado al inicio de esta dis-cusión satisface además las siguientes ecuaciones (el cuadrado mágico construido por Dürer, adiciona al menos las siguientes condiciones: los cuatro términos de interior del cuadrado mágico y los cuatro términos de las esquinas suman, respectivamente, 34; los términos 3, 2, 15 y 14, así como 5, 9, 8 y 12, suman también respectivamente, 34. Esto adiciona cuatro ecuaciones más al sistema inicial, y aún con éstas, el sistema tiene una infinidad de soluciones):
f + g + j + k = ta + d + m + p = tb + c + n + o = te + i + h + l = t
Esto implica que el sistema sería ahora de 14 ecuaciones en 16 incógnitas (aun así, el sistema admite soluciones no triviales). Es fácil observar que cuando intentamos aplicar el método de eliminación gaussiana, aun aplicando notación matricial, se requiere un número considerable de operaciones elementales para poder llevar a la matriz del sistema a su forma escalonada reducida (la matriz de coeficientes aumentada para el sistema de 10 ecuaciones en 16 incógnitas es de tamaño 10×17) y requerimos para el mismo la utiliza-ción de un programa numérico, aunque el maestro puede consultar algún texto de álgebra lineal y estudiar el método con mayor detalle, paciencia y tiempo para resolver el sistema.
En este punto, retomamos la mención de lo dificultoso que es resolver un cuadrado má-gico de tamaño m×m, con m un número natural mayor a tres. Puede ser que el alumno cuestione la importancia de una generalización de esta naturaleza. Debemos indicarle que el interés reside en la implementación y estudio de diversos métodos utilizados para resolver problemas de esta naturaleza, y que los mismos tienen aplicación en diversos campos de estudio.
Sin embargo, podemos dar respuesta a otro tipo de preguntas que implican a este cuadrado mágico. Por ejemplo, por qué al utilizar los 16 primeros números naturales, el cuadrado mágico debe satisfacer la condición de que la suma deba ser 34. Para ello, basta considerar que al obtener la suma de los primeros 16 números naturales, obtenemos:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 136
Pero el sistema de ecuaciones nos indica que las primeras cuatro ecuaciones del mismo coinciden con la suma de los primeros 16 números naturales. Luego debemos dividir al 136 entre 4, obteniendo que la suma es 34 (podemos concluir así que para un cuadrado de 5×5, si consideramos a los 25 primeros números naturales, la suma en el cuadrado mágico es 65; para un cuadrado de 6×6, si se consideran los 36 primeros números natu-rales, la suma es 111 y así sucesivamente).
Los ejercicios de la siguiente sección tienen como objetivo aplicar las operaciones de suma, resta, división o multiplicación al cuadrado mágico de Dürer. Para obtener otros se sugieren ejercicios para el cuadrado mágico de 3×3.
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Ejercicio 1
Obtenga los cuadrados mágicos de tamaño 3×3 para los valores de n=18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, considerando que deben utilizarse para su construcción nueve enteros conse-cutivos. ¿Puede construir el cuadrado mágico correspondiente para n=9 que cumpla con las restricciones?
Divida los cuadrados mágicos entre 10, 100 y 1000 y obtenga las soluciones corres-pondientes, utilizando números fraccionarios. Distinga las fracciones. Considere otros ejemplos, con diferente denominador, utilizando los sistemas de ecuaciones para cons-truirlos.
Ejercicio 2
Obtenga los cuadrados mágicos de tamaño 3×3, para los valores de n=21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, utilizando para su construcción valores de h e i que el maestro proponga y el sistema de solución descrito por el sistema de ecuaciones 2. Debemos considerar que las soluciones involucren únicamente números naturales.
Ejercicio 3
Obtenga tres cuadrados mágicos distintos para n=21, 24, 39.
Ejercicio 4
Obtenga, a partir del cuadrado mágico de tamaño 4×4, cuadrados mágicos para los va-lores siguientes:
{102, 210, 340, 480, 540}
Ejercicios:
Recuerde que puede implementar de manera natural lo discutido para el cuadrado de 4×4, es decir puede sumar, restar, multiplicar, según sea el caso. Más aún, puede aplicar combinaciones de operaciones al cuadrado mágico, aunque se recomienda se haga una a la vez.
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Actividad 11
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Ejercicio 5
En el cuadrado mágico de tamaño 8×8, si utilizamos los primeros 64 números naturales, cuál es el valor de n.
Ejercicio 6
Halle la suma de los primeros 100 números naturales.
Ejercicio 7
Construyan dos cuadrados mágicos distintos, colocando uno seguido del otro o incluso uno sobre el otro, de tal forma que las fichas que estén una sobre la otra sumen o resten (se indica sólo una operación que debe ser la misma para todas las demás fichas). El alumno obtiene como resultado un cuadrado mágico.
Ejercicio 8
Generalice el resultado anterior a m cuadrados mágicos (todos obviamente del mismo tamaño).
Ejercicio 9
El maestro debe construir diversos cuadrados mágicos, para utilizarlos con sus alumnos. La dificultad de los mismos debe ser en función de su nivel de enseñanza.
Ejercicio 10
Dé un ejemplo de un cuadrado mágico de tamaño 2×2, tal que su suma sea 16.
Ejercicio 11
Dé un ejemplo de un cuadrado mágico, donde un valor se repita al me-nos 2 veces en el mismo.
Ejercicio 12
Utilizando el cuadrado mágico clásico, considere 9 números que deban satisfacer la condición de determinar un cuadrado mágico. Colóquelos en
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forma ascendente y haga lo mismo con los números del 1 al 9. Con ambos juegos de fichas forme dos líneas respetando el orden indicado en los números (ascenden-
te), reemplace la posición del número 1 en el cuadrado clásico, por el número que se localiza por debajo (o arriba ) de él en la otra línea. Realice lo mismo con la posición
de la ficha 2, y así sucesivamente, hasta completar la operación con los nueve números. ¿El cuadrado obtenido después de realizar este proceso es mágico?
Ejercicio 13
Aplique lo anteriormente discutido al cuadrado mágico de 4×4, y obtendrá que el cuadrado correspondiente es mágico.
Ejercicio 14
Complete los siguientes arreglos de números y obtenga las sumas en las direcciones horizontales, verticales y diagonales.
Ejercicio 15
Obtenga las sumas de los siguientes arreglos (puede considerar unidades, decenas o centenas), ya sea horizontal, vertical o diagonalmente. Extraiga los números localizados en diversas posiciones y ordénelos.
Ejercicio 16
Utilice decenas, centenas, unidades y decenas de millar para construir cuadrados mágicos.
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Benjamín Franklin2 no resistió la tentación de involucrarse con los cuadrados mágicos, y construyó uno lleno de trucos (aquí mismo se muestra). Utilizó en su construcción los primeros 64 números naturales. Sabemos que debe satisfacer que cada fila suma 260 y deteniéndose a la mitad de cada una da 130. Trazando una línea diagonal de puntos se ob-tiene 260. Las cuatro esquinas más los cuatro números de en medio suman 260. La suma de cuatro casillas (cuadrado de tamaño 2×2) es 130, así como la suma de cuatro números cualesquiera equidistantes diametralmente del centro.
2 Formó parte del comité designado para redactar la Declaración de Independencia de los Estados Unidos de América, junto con Thomas Jefferson y John Adams.
El cuadrado perfecto
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El cuadrado del caballo
Leonhard Euler es considerado uno de los matemáticos más influyentes y prolíferos de todos los tiempos. Él construyó el cuadrado de tamaño 8×8, el cual se muestra arriba y que utiliza los primeros 64 números naturales. Con base en lo previamente discutido, no es difícil concluir que en este cuadrado mágico la suma es de 260.
Este cuadrado mágico tiene además la siguiente característica: al detenerse a la mitad de una fila horizontal, el resultado de la suma es 130. Pero lo más intrigante es que un caballo de ajedrez, que empieza sus movimientos (líneas negras) desde la casilla 1, puede pasar por las 64 casillas (sin repetición) en orden numérico.
Puede utilizar este cuadrado para implementar un ejercicio de memorización. ¡Inténtelo!
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Pitágoras
sin palabrasUna de las motivaciones para iniciar el estudio del Teorema de Pitágoras en la instrucción pri-maria, descansa en su utilidad en actividades cotidianas a una de las aplicaciones indirectas de dicho teorema. Para ello mencionemos la siguiente situación (los demás casos se adaptan a una situación como la que se plantea a continuación): coloquemos a un niño que ya ca-mina sin dificultad en la esquina de una habitación rectangular, y en el lado diametralmente opuesto, un regalo (sobre la diagonal del rectángulo). Le pedimos al menor que vaya por el regalo. Si repetimos varias veces este experimento, podremos observar que, la mayoría de las veces, la trayectoria que aproximadamente sigue (salvo casos excepcionales) es la que describe la diagonal. Inconscientemente el niño hace uso, de manera implícita, de una de las consecuencias del Teorema de Pitágoras, a saber, la que expresa “la distancia más corta en-tre dos puntos en un plano es una línea recta”. Podríamos reproducir la situación en otros niños y más aún en otro tipo de seres vivos. Por ejemplo, si utilizamos a un perro o a un gato y colocamos alimento, según sea el caso, obtendríamos una conclusión similar sobre la trayectoria por donde se desplazarían. Nos preguntamos entonces de manera natural: ¿conocen estos animales el Teorema de Pitágoras? Salvo que alguien demuestre lo contrario, la respuesta es: no. Podríamos aludir que la decisión de moverse a lo largo de esa trayectoria está ligada con la experiencia adquirida de manera empírica en cuanto al tiempo requerido para desplazarse de un lugar a otro3. Por lo tanto, tomar esa trayectoria o camino involucra un problema de optimización. Sin embargo, si utilizamos a una rata en el experimento, ob-servaremos que se desplaza por las paredes la mayoría de las veces. ¿Por qué sucede esto?
Podemos entonces concluir que el Teorema de Pitágoras está relacionado con, al menos, una situación de carácter real y que involucra una situación de distancia4 (aplicaciones en geometría, física, etc.) la cual puede formularse utilizando una expresión matemática.
Aclaremos que los alcances del Teorema de Pitágoras no se limitan a una aplicación como la mencionada en el párrafo anterior, sus alcances y aplicaciones son tales que, introdu-cirlo de manera informal5, permite al alumno facilitar el uso de conceptos y aspectos matemáticos relacionados con el mismo.
La Caja Pitagórica es un material didáctico que permite a los alumnos de primaria tra-bajar de manera implícita con dicho teorema. Esto es posible por que éste expone de manera aritmética y geométrica al famoso resultado.
Parte del propósito de este material es estimular las áreas cognosci-tivas y lúdicas de los alumnos de este nivel. Esto se realiza utilizando los principios concreto-abstracto y abstracto-concreto, lo cual le permi-te relacionar aspectos aritméticos y geométricos, bajo ciertas dinámicas de procedimientos de aprendizaje, cuyo objetivo general es estimular los campos formativos de espacio, forma y medida.
3 Aplicación del concepto distancia-tiempo.4 Únicamente se considera la distancia en un plano o en el espacio.5 Nos referimos a que podemos trabajar con el Teorema de Pitágoras sin referirnos a él por su nombre.
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Asociar establece una relación entre dos conjuntos
El conteo nos permitir abordar temas matemáticos más complejos. El alumno de quinto grado ha desarrollado de manera más formal la habilidad de contar. Lo siguiente le permite determinar entre dos colecciones, cuál tiene más, menos o la misma (igual) cantidad de ob-jetos. Esto sin la necesidad de contar o enumerar. Para ello sólo basta asociar los elementos de un grupo con los del otro. Sin embargo, el asociar a estos elementos términos de series numéricas facilita conclusiones. Debemos aclarar que, en este caso, la serie numérica uti-lizada corresponde a los números naturales que satisfacen la condición de que entre dos números consecutivos la diferencia es siempre 1.
Integre equipos de cuatro alumnos, pídales que se subdividan en dos e indíqueles un nombre para cada subequipo. Entregue a cada uno diferentes cantidades de cuadriláteros iguales (puede utilizar otras piezas del material didáctico como, por ejem-plo, los cubos de tamaño 1×1×1 o las regletas, se-gún requiera la actividad), indíqueles que depositen sobre la mesa dos grupos de cuadriláteros o cubos, sin contar, como se muestra en la siguiente figura:
Este material permite trabajar el aspecto concreto-abstracto, estimulando áreas de creatividad, destreza, razonamiento deductivo, etc. Además se aborda el aspecto
abstracto-concreto, con el objetivo de que el alumno pueda aplicar, en caso de ser posible, un aspecto teórico a situaciones concretas, estimulando nuevamente el razo-
namiento deductivo. También se realizan actividades de construcción de diversos tipos de figuras.
Por otro lado, debido a la naturaleza de los materiales didácticos, el maestro puede diseñar e implementar actividades adicionales con los mismos e incorporar tales activida-des, según convenga.
Ejercicio:
Las siguientes actividades permiten reforzar habilidades referentes a: manipula-ción, comparación, conteo y estimulación de los procesos de razonamiento, ya que el alumno realiza comparación entre objetos, agrega o quita objetos, etc., y además se abordan temas relacionados con geometría. Con estos conocimientos básicos obtendremos construcciones que conciernen al Teorema de Pitágoras. Es importe recordar que no se requiere hacer mención del teorema para desarrollar estas actividades.
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Actividad 12
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En el primer grupo de las figuras anteriores, distin-ga entre los dos grupos. Por ejemplo, llame a uno el grupo A y al otro el grupo B. Tome un elemento del grupo A y apílelo sobre un elemento del B, de for-ma tal que uno cubra al otro completamente (puede realizarlo con orden o sin orden). Reproduzca el paso anterior hasta utilizar todos los elementos del grupo A. En este caso, como lo muestra la figura, el grupo A tiene menos elementos que el B, pues los elementos del A se terminaron y no cubrimos a todos los del B.
En el segundo caso, ambos grupos tienen el mis-mo número de elementos. La figura muestra que los elementos del grupo A, nos permiten cubrir a los del B, y no hay piezas sobrantes en ninguno de los grupos.
F ina lmen-te en el último caso, obtenemos
que hay más elementos en el grupo A, pues cubrimos a todos los elementos del grupo B y nos sobran elemen-tos del A (tal como lo muestra la figura).
Hemos así analizado los tres casos posibles. Esto facilitará, más adelante, abordar los conceptos de mayor que, menor que o igual, además de visualizar que sólo es posible que ocurra una y sólo una de las situaciones anteriores.
Podemos modificar la actividad anterior. Por ejemplo, considere piezas de diferentes tamaños, arme dos grupos y pregunte: ¿cuál grupo tiene más? ¿El tamaño de las piezas modifica la respuesta? Recuerde al alumno que se está considerando solamente el núme-ro de piezas en cada grupo y no la característica de las piezas.
Indíqueles que, además, proporcionen numéricamente el total de piezas en cada caso.
Asociar el valor numérico que corresponde al número de piezas que con-tiene cada conjunto permite, sin necesidad de interactuar con los conjun-tos, determinar cuál tiene más objetos o si tienen la misma cantidad.
Observación:
Preguntas:
• ¿Se modifican las conclusiones obtenidas previamente?• Al utilizar el valor numérico, ¿qué criterio se aplica para obtener la conclusión?
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Nos acercamos a Pitágoras
Solicite a los alumnos que tomen cuatro cuadriláteros del mismo tamaño o proporcióne-les los mismos a equipos de dos integrantes. Indíqueles que armen dos cuadrados, uno hueco y el otro no. Tal como se muestra en la figura siguiente:
Pida que cada miembro del equipo arme uno de ellos. Puede solicitarle que armen el cuadrado sin hueco y coloquen todos, por ejemplo, en orden ascendente o descendente.
Haga lo mismo con los cuadrados huecos. Solicite que unos armen un cuadrado con hueco, mientras otros arman uno sin hueco, y solicite que los coloquen según se les indi-que.
• Solicite al alumno que arme otro tipo de figuras y las muestre a sus compañeros.
Preguntas:
• ¿Qué forma tienen las figuras que armó?• ¿Qué otras disposiciones propone?• ¿Qué sucede si agregan más piezas al grupo de piezas originales?• ¿Con 5 piezas iguales puedo construir un cuadrado? • ¿Con 6 piezas iguales puedo construir un rectángulo?
Actividad 13
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1.- Utilizando 4 cuadriláteros iguales, construya el cuadrado sin hueco correspondiente. A partir de estas piezas, construya otras figuras. ¿Qué características tienen dichas figuras? ¿Las áreas que cubren son las mismas? Justifique su respuesta.
2.- Solicite que armen el cuadrado con hueco y respondan lo siguiente: ¿qué forma tiene el hueco?
3.- Consideren todos los cuadriláteros, formen los tres grupos distintos en función de su tamaño. Respondan lo siguiente: ¿Qué grupo tiene más? Justifiquen su respuesta.
• Una actividad adicional es la siguiente: el área que posee el cuadrado formado por los cuadriláteros es cuatro veces el área de cada uno de éstos. Justifique su respuesta. Equivalentemente, el cuadrilátero tiene un área que representa la cuarta parte del área del cuadrado que construye. Por ejemplo, si construimos un rectángulo, a partir de dos cuadrados iguales, concluimos que el área del rectángulo es el doble del área del cuadrado, o equivalentemente, el área del cuadrado es la mitad del área de rectángulo; más aún, el rectángulo tiene ocho veces el área del cuadrilátero que forma al cuadrado que forma a este último, o equivalentemente, el cuadrilátero tiene un área que es la octava parte del área del rectángulo, y así sucesivamente. Podemos implementar esto con el tangram y obtendremos muchas variantes, ya que podemos construir medios, tercios, cuartos, etc. Describa algunos ejemplos.
Ejercicios:
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Del tangram a Pitágoras
Utilizaremos los dos tangrams. Permita a los alumnos manipular las piezas. Solicite que mencionen el nombre de cada pieza.
a) Con el primer tangram construya un cuadrado.b) Con el otro tangram construya dos cuadrados del mismo tamaño (mencione que para
armar uno de los dos cuadrados se utilizan dos piezas iguales, las restantes cinco permiten construir el otro cuadrado). Es claro entonces que los dos cuadrados iguales cubren la misma área que el cuadrado mayor. ¿Por qué?
Ahora, solicite a cada equipo que arme los cuadrados mostrados. En caso de dificultad, deberá apoyarlos.
Considere al cuadrado más grande como una unidad.
a)
b)
Ejercicios:
Preguntas:
• ¿Cuál cuadrado es más fácil de armar?• ¿Cuál cuadrado es el más difícil?• ¿Qué figuras planas constituyen al tangram?• ¿Cuál es el área de cada una? Expresen la misma en centímetros cuadrados, en decímetros cuadrados, en metros cuadrados y en milímetros cuadrados.• ¿Qué les parece la actividad?
Actividad 14
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Solicite que construyan sus propias figuras, a partir de las piezas de un tangram o uti-lizando las tarjetas y que armen las figuras que se sugieren.
Construya o dibuje figuras donde el área sea mayor o menor al área que cubren las piezas del tangram.
Utilizando los cuadriláteros y las piezas del tangram, ordene primero en función de la longitud y después del área, de menor a mayor.
El problema de comparar la superficie de dos figuras por superposición y recubri-miento, permite al alumno de primaria estudiar de manera indirecta al Teorema de Pitágoras. ¿Cuántas veces hemos oído mencionar la siguiente frase: “Pitágoras no se equivocó”, sin referirnos de manera explícita al resultado como tal? El teorema lleva su nombre porque la tradición es unánime en atribuir a Pitágoras el descubrimiento independiente del teo-rema del triángulo rectángulo que ahora lleva universalmente su nombre y que enuncia lo siguiente: el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Como se menciona en un párrafo anterior, el problema de compara-ción entre superficies nos va a permitir hallar algunas demostraciones del Teorema de Pitágoras, las cuales descansan en esa idea geométrica. Rei-teramos que no es necesario mencionar el teorema, pues el alumno, a partir de tales actividades, podrá obtener sus propias conclusiones, las cuales son equivalentes a lo que enuncia el teorema.
Preguntas:
• ¿Los otros dos cuadrados construidos con 2 y 5 piezas, respectivamente qué área repre-sentan del cuadrado grande? Responda lo correspondiente para cada una de las piezas• Ahora invierta la pregunta, es decir, si el área del triángulo isósceles más pequeño es una unidad cuadrada, ¿cuántas unidades cuadradas tendrá de área cada uno de los cuadrados construidos?
Pregunta:
• ¿El área de cualquier figura armada utilizando el tangram es la misma? Justifique su respuesta.
Preguntas:
• ¿Cuántas piezas tienen la misma longitud? • ¿Cuántas la misma área?
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Demostrando a Pitágoras
Para efectuar la actividad, utilizaremos los treinta y seis cuadriláteros. Solicite a los alum-nos que los separen en grupos del mismo tamaño (o color). Independientemente del criterio de selección solicitado (color o tamaño), cada grupo contiene 12 piezas iguales. El alumno debe concluir así que en ocasiones existen objetos que pueden elegirse con di-versos criterios y obtener aún así los mismos resultados (poseen más de una característica común).
Tome 8 piezas iguales y arme los cuadrados de la actividad 13, utilizando 4 piezas para cada armado.
Comente al alumno que, aunque los cuadrados son de diferente tamaño y las áreas que abarcan son distintas, así como su perímetro, no lo es el área que cubren, esta última es la misma. Solicite a los alumnos justifiquen lo anteriormente expuesto.
Ejercicios:
Preguntas:
• ¿Las colecciones tienen la misma cantidad de objetos?• ¿Cuál es la justificación de esta última respuesta (puede ser numérica o no)?
Actividad 15
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El proceso permite obtener 3 cuadrados huecos y 3 no huecos. Una vez cumplido el objetivo, subdividan en 2 grupos a los cuadrados obtenidos: uno formado por los cua-drados huecos y el otro no. Pida que ordenen en forma ascendente o descendente.
Indique que del grupo de figuras no huecas, una de éstas puede introducirse en una pieza hueca y cubrir el hueco. En caso afirmativo separe y complete la pieza.
Pida al alumno que separe las piezas de la figura formada por los dos cuadrados, for-me dos cuadrados sin hueco y los ordene por tamaño, adjuntado el otro cuadrado en cuestión. Podremos concluir que, al agregar o sumar los dos primeros cuadrados, obte-nemos al otro cuadrado. Concluimos además que esta es la única combinación posible que satisface tal situación.
Una variante de esta actividad es so-licitar a los alumnos que tomen cuatro piezas del mismo tamaño de cada grupo de doce, y construyan tres cuadrados de cada color sin hueco (esto debe indicarle a los alumnos que es posible construir, tal vez, otro cuadrado pero hueco). Una vez obtenido esto, que los ordenen por tama-ño, de menor a mayor. Pida que tomen los dos cuadrados de menor tamaño y, a partir de estás, construyan un cuadrado. Aquí se desarrollan habilidades como las que refieren a ensambles y desensambles. Lo anterior permite al alumno poner a prueba diversas combinaciones entre las piezas. En este punto, el color de las piezas ya no implica una restricción en la construcción, lo cual puede ser un obstáculo para el objetivo del alumno (sin embargo aquí es importante puntualizar que se estimula el razonamiento ya que, a partir de ciertas condiciones, debemos determi-nar la viabilidad o imposibilidad de lograr el objetivo). Una vez logrado el propósito se solicita al alumno que coloque una de las piezas sobre la otra. Si el maestro desea facilitar el procedimiento, él puede efectuar toda
Pregunta:
• En ambos grupos existen piezas que son del mismo tamaño (una debe ser hueca y la otra no) ¿Equivalentemene, abarcan las mismas áreas (no la cubren)? En caso afirmativo sepárelas del resto del grupo.
Hemos aquí probado el Teorema de Pitágoras, y nunca se mencionó.
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Corta y construye a Pitágoras
Indique al alumno que tome cuatro de los triángulos rectángulos cuyos ángulos sean de 30° y 60°, respectivamente. Solicítele que construya una figura, de tal forma que sea posi-ble obtener el cuadrado que se consigue a partir de los cuadriláteros de tamaño mediano. La figura que deberá obtener es como la que se muestra a continuación. El alumno ob-servará que el corte resulta relativamente simple a partir de dicha construcción.
Solicite la construcción de un cuadrilátero, con regla graduada, lápiz y transportador, indicando las características particulares del mismo.
esta actividad, solicitando al alumno que mire con atención todo el procedimiento (armado y desarmado), ya que él realizará el mismo posteriormente.
Solicitamos a los alumnos que nos indiquen qué pueden decir acerca de la acti-vidad desarrollada (estamos estimulando su proceso de razonamiento, el cual tendrá
como resultado la obtención de una conclusión).Puede solicitar que calculen el área de cada uno de los cuadrados, sumen y comparen
las mismas.Hemos obtenido una demostración formal del Teorema de Pitágoras que no requiere de
ningún procedimiento de cálculo numérico, sino que es suficiente con realizar un corte o disección de cada uno de los cuadrados para lograr nuestro propósito. El problema se reduce entonces a determinar cómo se efectúa el corte. La siguiente actividad nos permi-te obtener dicho corte.
Ejercicio:
Actividad 16
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Ejercicio:
Preguntas:
• ¿El cuadrilátero construido tiene dos lados del mismo tamaño?• Indiquen la medida de los ángulos interiores del cuadrilátero.• ¿Cuántos ángulos rectos tiene el cuadrilátero?• ¿Los lados adyacentes a uno de los ángulos rectos son iguales?• ¿Por qué este cuadrilátero tiene un ángulo agudo y un obtuso? • ¿Qué medida tiene el ángulo agudo y qué medida el ángulo obtuso?• ¿El triángulo que se obtiene al hacer la bisección es un triángulo semejante al trián-gulo original?• ¿Cuál es la proporcionalidad de ellos?• ¿Cuál es el tamaño de los lados de los triángulos rectángulos, que permiten obtener al cuadrilátero pequeño y al cuadrilátero grande? Pueden utilizar aquí la técnica de prolongar los lados adyacentes al ángulo recto y estimar los lados del triángulo rectán-gulo, o utilizar la proporcionalidad obtenida en el ejercicio anterior?•¿Es la proporcionalidad constante independiente del triángulo rectángulo que se uti-lice para efectuar el corte?• ¿Cuál es el área del triángulo que se obtiene? • ¿Qué tipo de triángulo es?
No debemos cortar siempre para construir a Pitágoras
Efectuaremos la actividad anterior pero utilizando las piezas del tangram. Es decir, ha-remos uso de triángulos isósceles. Observaremos que para este ejemplo, a diferencia del anterior, no se requiere hacer ningún tipo de corte. En otras palabras, no se construye ningún cuadrilátero, sino que en el caso de triángulos isósceles, ellos mismos funcionan para duplicar áreas. Tal como lo muestran las siguientes figuras:
Actividad 17
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Construye un triángulo rectángulo
1.- Obtenga los tres cuadrados descritos en la actividad 14. Utilicemos ahora uno de los lados de cada uno y construyamos un triángulo, el cual tiene la particularidad de contar con dos lados del mismo tamaño. Mencione que un triángulo con tales características se llama isósceles.
2.- Construyan las siguientes variantes del Teorema de Pitágoras. Utilicemos las piezas del tangram.
• Solicite a los alumnos que tomen los 2 cuadrados o los 4 triángulos isósceles peque-ños o un cuadrado y 2 triángulos isósceles pequeños. Agreguen a cualquiera de las colecciones anteriores un par de triángulos rectángulos isósceles medianos. Constru-yan, en caso de ser necesarios, los tres cuadrados que pueden formarse, tal como se muestra en la siguiente figura:
Ejercicios:
Actividad 18
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Solicite que verifiquen que el área total que cubren los 2 cuadrados pequeños sea igual al área del cuadrado grande (el alumno debe concluir que elegir los 4 triángulos isósceles pequeños facilita lo solicitado). Finalmente, como en la actividad anterior, solicite que construyan el triángulo isósceles correspondiente, a partir de las piezas que satisfacen lo previamente solicitado.
3.- Ahora, reproduzca una construcción similar a alguna de las anteriores, utilizando para ello 4 triángulos medianos y 2 triángulos grandes. Nuevamente verificamos a Pitágoras. Podemos seguir realizando construcciones de esta naturaleza si consideramos piezas del tangram gigante.
En particular, esta construcción nos permite conocer un procedimiento para duplicar áreas de cuadrados, tal como lo muestran las siguientes figuras:
4.- Compare las áreas utilizando fracciones.
Preguntas:
• ¿Cuál es el cuadrado más grande que puede construirse utili-zando un solo tangram?• Tomando en cuenta el cuadrado del tangram, ¿cuál es el nú-mero de veces que cabe en el cuadrado que se indica en el inciso anterior?• Utilice ahora el tangram gigante para determinar cuál es el cuadrado más grande que puede construirse.• ¿Utilizando dos cuadrados es posible construir a partir de ellos siempre un cuadrado?
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Áreas y Pitágoras
Utilizando los acetatos, solicite a los alumnos que con las piezas adecuadas construyan las figuras que se muestran a continuación:
Pregunte al resto del grupo si ambos cuadrados son del mismo tamaño (áreas iguales). En caso de no obtener una respuesta afirmativa general, puede utilizar el procedimiento de medición (comparación) directa, donde puede usar regletas o un cordón. Tome ahora el triángulo rectángulo utilizado para efectuar este ejercicio, muéstrelo a los alumnos e indíqueles que tomen cuatro piezas iguales.
Pida que coloquen dichos triángulos para cubrir la parte del otro cuadrado sobre las figuras que son iguales a ellos (figuras del mismo tamaño y forma). Podemos concluir así que el área no cubierta es de menor tamaño (o área) a la figura inicial. Acto seguido solicíteles que retiren los triángulos del cuadrado, y ahora los coloquen sobre el otro cua-drado, siguiendo las mismas indicaciones que para el primero. Finalmente que expresen sus comentarios sobre el procedimiento que se trabajo.
Ejercicio:
Preguntas:
• ¿Qué figuras son las que no se cubren con los triángulos?• ¿Cuántos cuadrados hay en el primer dibujo?• ¿Cuántos en el segundo?• ¿Por qué son cuadrados? • Puede utilizar otros 4 triángulos rectángulos, para cubrir el área respectiva del otro cuadrado. ¿Las áreas no cubiertas son iguales?
Actividad 19
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• ¿Los triángulos del tangram son rectángulos? • ¿Los ángulos del cuadrado son rectos?
El recíproco de Pitágoras
La parte interesante de esta actividad es que haremos la prueba del recíproco de Teorema de Pitágoras6. Utilizaremos para ello los cuadrados usados en la actividad 13. Solicitemos a los alumnos que utilicen uno de los lados de cada uno de los tres cuadrados, y a partir de ellos, construyan un triángulo. Utilizaremos ahora una escuadra y mencionaremos que ésta forma la figura plana con el menor número de lados rectos, el triángulo, pero con la particularidad de que éste puede colocarse de tal forma que un par de sus lados pueden colocarse y estar cada uno de los mismos en contacto, a la vez, uno con el piso y el otro con la pared. Esta característica es la que permite llamarlo de manera particular triángulo rectángulo, es decir, posee un ángulo recto. Colocando la escuadra sobre el triángulo cons-truido, uno concluye que el triángulo formado por los cuadrados que utilizamos en la actividad 13 es un triángulo rectángulo.
En función de esto, podemos entonces decir que los triángulo utilizados en la actividad 19 son todos triángulos rectángulos.
Ejercicio:
6 Nos referimos a que el teorema tiene dos implicaciones: una necesidad y una suficiencia.
La conclusión es que todo triángulo rectángulo satisface la condición del Teorema de Pitágoras y que todo triángulo que satisface el Teorema de Pitágoras es un triángulo rectángulo.
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Construyendo teselas a partir de Pitágoras
Aquí se trabajan figuras planas de cuatro lados. Si observamos a nuestro alrededor ve-remos la importancia de las mismas. Por ejemplo, las puertas, las ventanas, las paredes, nuestros libros y cuadernos y muchos otros objetos creados por el hombre tienen forma de cuadrilátero. Esto debido a que estas figuras se hacen fácilmente y también se unen fácilmente sin dejar huecos (ocurre algo similar con los triángulos).
Utilizaremos el tangram. Solicite a los alumnos que construyan o indiquen entre las piezas, las siguientes figuras: cuadrado, rectángulo, paralelogramo, trapecio, etc., tal como se muestran a continuación:
Las figuras que embonan sin dejar huecos o espacios se llaman teselas. Por ejemplo, los azulejos de las casas son teselas. Los cuadriláteros idénticos siempre embonan sin impor-tar su forma. Construyan las teselas que se muestran a continuación:
Ejercicios:
a) b)
c)
Actividad 21
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Preguntas:
• ¿Qué relación hay entre las figuras?• ¿Se parecen? • ¿Hay huecos?
Ejercicio libre 1
Considere los siguientes tres cuadrados:
Colóquelos de mayor a menor (o de menor a mayor) utilizando los criterios de tamaño (área) o color. Puede aplicarse lo mismo a los 36 cua-driláteros.
• En el caso de los cuadrados, solicite a los alumnos que proporcionen otro criterio de comparación para obtener la misma colocación de piezas, según se haya indicado.
El maestro tiene la decisión de aplicar cada una de las actividades en el orden que él considere pertinente, omitir alguna o realizar la implementación simultánea de ellas. Además, cada ejercicio puede aplicarse a grupos de hasta 4 alumnos.
Observación:
a)
b) c)
Actividad 22
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Sugerencia: utilice tres cordones de diferentes tamaños, tales que el contorno de cada pieza se cubra totalmente. Aplique lo mismo para cada cuadrilátero
Tome dos colecciones del incisode las indicadas en la pregunta anterior. Coloque pri-mero una de las colecciones de cuadriláteros de menor a mayor, y enseguida la otra colec-ción, de mayor a menor. Solicite que dibujen el eje de simetría de la figura resultante.
Aplique ahora el ejercicio a las piezas del tangram, considerando las adecuaciones co-rrespondientes tanto al ejercicio como a las preguntas.
Ejercicio libre 2
Considere cada uno de los tres cuadrados y construya para cada uno un cuadrado de área doble, respectivamente.
• Puede sugerir al alumno construir un triángulo rectángulo isósceles. Más aún es po-sible, bajo este procedimiento, construir una sucesión de cuadrados cuyas áreas sean el doble de la anterior.
eje de simetría
Pregunta:
• Considere los 36 cuadriláteros: ¿cuántas colecciones de tres piezas de diferente tamaño se forman?
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Ejercicio libre 3
Construya los tres cuadrados de interior hueco, complete cada uno de ellos y complete el correspondiente triángulo rectángulo en cada caso.
Ejercicio libre 4
Para probar que las figuras de cuatro lados siempre embonan, solicite que dibujen el cuadrilátero que deseen y apilen 12 hojas. La hoja superior tendrá la figura dibujada que deberán recortar para obtener 12 piezas iguales. Use los recortes para hacer el patrón y obtener las teselas correspondientes.
• Construyan teselas utilizando triángulos, rombos, paralelogramos, etcétera.
Ejercicio libre 5
Construyan las figuras propuestas para el tangram. Si es posible, obtengan su simetría, los valores de sus ángulos y los perímetros de las mismas. ¿Qué podemos decir del área de cada figura? ¿Cómo es ésta?
pequeño mediano grande
cuadrilátero
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Ejercicio libre 6
Consideren los cuadriláteros de tres tamaños distintos, comparen sus áreas y sus pe-rímetros. Puede establecerse una relación entre estas cantidades. Compare los ángulos
de los mismos. ¿Cómo son entre sí? Aplique lo mismo para los tres triángulos isósceles diferentes del tangram.
Ejercicio libre 7
Muestre que la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero suman 360 grados, y que la suma de los ángulos interiores de un triángulo suman 180 grados.
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Ejercicio libre 8
Determine todos los cuadrados que pueden construirse utilizando el tangram y los cua-driláteros. Muestre que estas figuras son a escala. Determine esta proporción, consideran-do el área, el perímetro y las diagonales de los mismos.
Ejercicio libre 9
Aplique lo descrito en el ejercicio 8, pero para los triángulos del tangram.
Ejercicio libre 10
Aplique lo anterior para los cuadriláteros y las teselas. ¿Es posible establecer está propor-ción? Justifique su respuesta.
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