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Obra protegida por SEP - INDAUTOR Registro Público 03-2009-121509523900-01. 03-2009-121510061500-14. La piratería es un delito.
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AutorÁngel Luna
Caja Pitagórica4° de Primaria
Base de datos03-2009-121509523900-01
Dibujo03-2009-121510061500-14
Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, sin autorización escrita del titular de los derechos patrimoniales.
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• LOS NATURALES • FRACCIONES • OPERACIONES BÁSICAS
PITÁGORAS DE LO ABSTRACTO A LO CONCRETO
Ángel LunaPRIMARIA 4
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Índice
Lista de materiales de la Caja PitagóricaIntroducción •Justificación •Objetivosgenerales Actividades con números naturalesActividad1 •ValorposicionalenelsistemadecimaldenumeraciónActividad2 •SímetriaActividad3 •ContornoActividad4 •MedidasysuperficiesActividad5 •TriángulosActividad 6 •PerímetroyÁreaActividad 7 •ConocerlostriángulosporsusladosyángulosActividad 8 •CálculodeperímetrosyáreasActividad 9 •Representacióndepuntosydesplazamientosenelplano
El cuadrado mágicoAntecedentes •NivelCuadradomágico,eljuegoclásico •AplicacionesActividad10 •EjerciciosElcuadradomágicode4×4Actividad11 •EjerciciosElcuadradoperfectoElcuadradodelcaballo
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Pitágoras sin palabrasActividad12 •AsociarestableceunarelaciónentredosconjuntosActividad13 •MediciónActividad14 •SepareceaPitágorasActividad15 •DeltangramaPitágorasActividad16 •DemostrandoaPitágorasActividad17 •CortayconstruyeaPitágorasActividad18 •PitágorasduplicaáreasActividad19 •ÁreasyPitágorasActividad20 •ElrecíprocodePitágorasActividad21 •NocortarsiempreparaPitágorasActividad22 •ConstruyendoteselasapartirdePitágorasActividad23 •SimetríasActividad24 •Ejercicioslibres
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Lista de materiales de la
Caja Pitagórica
1 Tablero de 8×8 casillas
1 Tablero de 10×10 casillas
1 Triángulo pitagórico
100 Cubos de 1×1×1 20 Tabletas de 2×2×1 10 Tabletas de 5×5×1
1 Tablero de 6×6 casillas
3 Acetatos de 18×18(compás)
3 Acetatos de 18×18 (ruleta)
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4 Tangramas 2 Tangramas gigantes
10 Regletas de 10×1×1 10 Regletas de 5×1×1
14 Tabletas de 10×10×1
10 Regletas de 2×1×1
25 Fichas azules 25 Fichas blancas
64 Fichas rosas 50 Fichas amarillas 36 Fichas verdes
122 Fichas numéricas
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75 Tarjetas comodines 3 Compáses
36 Cuadriláteros(3 colecciones de 12)
12 Triángulosrectángulos de 30º y 60º
3 Ruletas pitagóricas3 Adaptadores
1 Abanico pitagórico
1 Dado dodecaedro
* El color real del contenido de la Caja Pitagórica puede variar respecto al mostrado en esta guía didáctica
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Los alumnos de cuarto grado han desarrollado habilidades matemáticas más concretas. Esto facilita la construcción de nuevos conocimientos matemáticos y el uso de un len-guaje más formal. Los alumnos de este nivel están inmersos en una etapa evolutiva, que se caracteriza por la capacidad de entender las operaciones lógico-concretas.
El pensamiento matemático ha consolidado las conquistas iniciadas hacia los seis años, y que referían a operaciones muy concretas. Ahora, la lógica del alumno le permite afrontar las más variadas situaciones escolares. Adquiere nuevos conceptos, aún más complejos, y comienza a preparar el camino hacia la inteligencia lógico-formal, reflexiva y adulta.
Nuestra experiencia nos muestra que parte del éxito en el aprendizaje de las matemá-ticas a este nivel, está íntimamente relacionado con el diseño de actividades que facilitan y fortalecen los conocimientos previamente adquiridos, además de requerir la construc-ción de otros conceptos, algunos generados a partir de experiencias concretas. En estas actividades las matemáticas1 deben ser funcionales y flexibles, de forma tal que le permi-tan resolver los problemas que se les planteen.
Por ejemplo el agregar, unir, igualar, quitar, buscar un faltante, sumar repetidamente, repartir, medir y otras son acciones que ya realiza el alumno para solucionar ciertos pro-blemas. Sin embargo, requiere nuevos conocimientos que le faciliten o permitan abordar y resolver problemas más complejos. El conocimiento se fortalece al utilizar diversas es-trategias para su aplicación. La práctica es un instrumento indispensable en este proceso de formación, además de permitirle comprender las aplicaciones de la matemática2 en su vida diaria.
En este escenario, el material didáctico es muy útil y su aplicación muy vasta, pues estimula diversos aprendizajes, los cuales propician la reflexión, el análisis, los cuestiona-mientos, etc. Esto permite al alumno asumir un papel activo en su aprendizaje.
La Caja Pitagórica nos permite abordar el Teorema de Pitágoras, cuyo estudio comienza a nivel secundaria. La importancia del mismo radica en el sinfín de aplicaciones que de él se desprenden. Mencionamos, por ejemplo, el estudio de la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano, funciones trigonométricas, razón de cambio, etc. Por eso, su estudio se extiende a los niveles de enseñanza medio superior y superior.
1 El contar con las habilidades, los conocimientos y las formas de expresión que la escuela proporciona permite la comu-nicación y comprensión de la información matemática presentada a través de medios de distinta índole.
2 El alumno debe concluir, a partir de estas experiencias de aprendizaje, que las matemáticas le permiten resolver proble-mas diversos de naturaleza científica, técnica, artística y de la vida cotidiana.
Introducción
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JustificaciónEl material didáctico de la Caja Pitagórica nos facilita el abordar temas del programa de estudios vigentes para este nivel. No se considera únicamente el manejo de contenidos, sino también el desarrollo de habilidades que permitan al alumno hacer uso de los cono-cimientos construidos de manera racional y eficiente.
La versatilidad del material permite considerar los siguientes tres ejes fundamentales a lo largo de la educación primaria y que requieren de una atención especial. Describimos brevemente los mismos, a continuación:
La naturaleza del número. Se trata de comprender que los números pueden repre-sentar tanto cantidades que se obtienen de procesos de conteo o de medición, como relaciones entre cantidades. Esto permite a los alumnos entender para qué sirven los números y qué representan.
El desarrollo de la intuición geométrica y de la imaginación espacial, a través del estudio de la geometría, en particular de los contenidos que se relacionan con las formas ( las figuras geométricas ), sus propiedades y algunas transformaciones de sus caracterís-ticas.
Por último la resolución de problemas. Se intenta que el alumno desarrolle habilida-des al respecto.
Además estudiamos el Teorema de Pitágoras. Aunque esto se realiza de manera implícita, permitirá al alumno facilitar su trabajo con él en sus siguientes cursos.
Objetivos generales En la escuela primaria, los alumnos deberán adquirir conocimientos básicos de las mate-máticas, y desarrollar:
• La capacidad de utilizar las matemáticas como un instrumento para reconocer, plantear y resolver problemas.• La capacidad de anticipar y verificar resultados• La capacidad de comunicar e interpretar información matemática.• La imaginación espacial.• La habilidad para estimar resultados de cálculos y mediciones.• La destreza en el uso de ciertos instrumentos de medición, dibujo y cálculo.• El pensamiento abstracto por medio de distintas formas de razonamiento, entre otras, la sistematización y generalización de procedimientos y estrategias.
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• La construcción de estrategias para resolución de problemas, utilizando diversos recursos como el conteo, el cálculo mental, la estimación y las analogías, entre otros.• El reconocimiento de que un problema puede resolverse de distintas formas.• La habilidad para desarrollar procesos que le permitan ubicar objetos en el plano y en el espacio, imaginar los efectos que se producen en las formas geométricas al someterlas a transformaciones, estimar longitudes y áreas.• El logro de mecanismos de cálculo operatorio elemental.• La comprensión del uso de distintas unidades de medida.• El descubrimiento y análisis de los elementos angulares.• La creatividad.
Las actividades diseñadas por el maestro deberán estar enfocadas en la compren-sión y asimilación de los conceptos de la matemática. Deberán asimismo partir de la manipulación que el alumno haga de los materiales o recursos didácticos. En este sentido, el juego dirigido es una fuente de actividades interesantes para el alumno; a través de él pueden crearse situaciones que le permitan descubrir relaciones o favorezcan la construcción de conocimientos.
La implementación de las actividades puede modificarse a criterio del maestro, según lo considere conveniente.
Observación:
Observación:
Es conveniente fomentar el trabajo en equipo, de manera que permita el intercambio de puntos de vista y la confrontación de ideas. Esto propiciará actitudes de análisis e investigación que gradualmente se irán reforzando, a medida que se formalicen los con-ceptos y los métodos.
Para aprender, los alumnos necesitan “hacer matemáticas”, es decir, enfrentar numero-sas situaciones que les representen un problema, un reto, y generar sus propios recursos para resolverlos, utilizando los conocimientos que ya poseen. Sus recursos serán informa-les al principio pero, poco a poco, con la experiencia, la interacción con sus compañeros y la ayuda del maestro, evolucionarán hacia la formalización del conocimiento.
En consecuencia, los conocimientos matemáticos y los problemas no pueden sepa-rarse. No se trata de aprender matemáticas para después aplicarlas en la resolución de problemas, sino de aprender matemáticas al resolver problemas.
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Valor posicional en el sistema decimal de numeración
Al reverso del Triángulo Pitagórico, muestre la utilización del material con fichas de colo-res, con el cual el alumno refuerza sus conocimientos al interactuar y aprender sobre uno de los conceptos fundamentales de la matemática, a saber: el de número y el del sistema de numeración decimal que utilizamos, resultado de muchos siglos de desarrollo de la humanidad. Esto nos permitirá estudiar, más adelante, otros sistemas de numeración, aunque no se analizarán aquí tales sistemas3; lo que interesa son las características del siste-ma de numeración de base utilizando la notación posicional.
Lo que en esta actividad de aprendizaje se pretende es que el alumno comprenda la característica de los sistemas de numeración de base de notación posicional. La base de nuestro sistema de numeración es diez, porque necesitamos 10 unidades simples para formar una unidad del segundo orden o decena; 10 decenas para formar una unidad del tercer orden o centena, y así sucesivamente, cada diez unidades de cualquier orden for-man una unidad del orden inmediato superior.
Los sistemas de base posicional resultan más eficaces que otros que les precedieron históricamente, ya que mediante ellos es posible: representar a los números de manera no ambigua, efectuar técnicas operativas con cierta facilidad y representar a los números, de una manera que sea fácil manejarlos y memorizarlos. En el juego de esta actividad de aprendizaje se mencionan los aspectos que se deben tomar en cuenta para propiciar el aprendizaje del sistema de numeración decimal.
El Triángulo Pitagórico nos permite trabajar con el sistema de numeración decimal y cubrir temas de los programas de educación primaria y secundaria, en cada uno de los aspectos siguientes:
• Estructura del sistema de numeración: por agrupamiento, desagrupamiento; comparación; antecesor y sucesor.• Representación: valor posicional; codificación, decodificación.• Nombre de los números.• Operaciones: suma y resta.
El material permite realizar:
Actividades con
números naturales
Actividad 1
3 Utilice el material didáctico del sistema numérico.
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• Actividades de agrupamiento y desagrupamiento, que constituyen uno de los ejes centrales para trabajar ya que, a través de ellas, los alumnos pueden practicar una de las
características del sistema: la base.
• Actividades de comparación de cantidades, que incluyen los siguientes puntos: deter-minar entre dos cantidades distintas cuál es la mayor o menor de ellas, ordenar una serie de cantidades de mayor a menor y viceversa, determinar cantidades mayores y menores a una dada y determinar una cantidad entre dos dadas, encontrar cantidades equivalentes a una dada como, por ejemplo, 5 decenas y 2 unidades son equivalentes a 2 decenas y 32 unidades, o a 52 unidades, etcétera.
• Actividades de sucesor y antecesor. El alumno amplía su conocimiento sobre el sistema (agrupar y desagrupar) y además continúa trabajando sobre la serie numérica (para conocer el sucesor de una cantidad dada se agrega una unidad, para conocer el antecesor se resta una).
Las actividades de representación están diseñadas para que los alumnos primero re-gistren cantidades como ellos crean conveniente: dibujos, marcas, letras o números, de manera que su registro pueda ser entendido por otros. Así se busca la evolución hacia la representación convencional, es decir, el registro de cantidades. En el caso del nombre de los números, solamente es necesario introducir el nombre de los primeros números conforme los alumnos lo demanden.
En el caso del juego, con unos dados vamos a jugar para resolver operaciones de suma o de resta. Es necesario que los alumnos hayan comprendido previamente algunas de las propiedades del sistema de numeración decimal, tales como la ley de agrupamiento y desagrupamiento y el valor posicional de las cifras.
Ejercicios:
1.- Diga a los alumnos cómo está formado el siguiente número:
1 3 8
centenas 1 decenas 3 unidades 8
No olvide colocar las fichas en el tablero y que cada lugar en el sistema posicional tiene un valor diferente.
• Para alumnos a partir de cuarto grado en adelante, además de formar con las fichas la cifra, considerando el lugar que ocupe; deben escribir en un cuaderno la notación desa-rrollada de los siguientes números:
3 9 3 8 = 3000 + 900 + 30 + 8
Recuerde que utilizamos el valor de posición cuando escribimos símbolos para repre-sentar número naturales. El valor aumenta en potencias de 10.
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De esta manera, pueden realizarse varios ejercicios de práctica, quedando a la creativi-dad del maestro otras variantes.
2.- Una sugerencia para jugar con el sistema numérico del tablero del Triángulo Pitagórico es utilizar cuatro dados (proporcionados por el maestro): uno representa la unidad; otro, la decena; uno más, la centena y por último, otro el millar de unidades. Primero, tirar con dos dados; después, con tres, y por último, con cuatro.Explique a los alumnos que la actividad consistirá en que cuando se tiran los dados, deberán escribirse los nú-meros en el pizarrón. Cada equi-po o alumno, según se decida, repre-sentará con las fichas dicho número en el tablero del material del Triángulo Pitagórico. Gana el equipo o el alumno que logre representar la mayor cantidad de números en forma correcta. Con las fichas de colores pueden asignarse valores de acuerdo con el criterio del maestro o de los alumnos. Por ejemplo:
3.- Otro juego consiste en formar tres equipos de cuatro alumnos. Cada equipo escoge un tablero para jugar. Un alumno de cada equipo lanza dos dados; suma o resta los puntos y coloca en la casilla el número que sale después de realizar la operación y el cual representa las unidades; el siguiente alumno tira los dos dados, suma o resta los puntos, coloca en la casilla el número que repre-senta las decenas, y así sucesivamente hasta las unidades de millar.
Considere el grado escolar de los alumnos, desde el primer año de primaria, con las unidades y decenas, y así sucesivamente con los demás grados de estudio.
3.- En el tablero muestre las siguientes cantidades:
1) 8792 2) 537 3) 5810
Amarillo = 1000Verde = 100Rojo = 10Azul = 1
En los números, cada cifra tiene un valor de acuerdo con el lugar que ocupa. Siem-pre debe considerarse que un número se escribe y se lee de izquierda a derecha.
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Simetría
1.- Realice con los cubos 1×1×1 de la Caja Pitagórica la siguiente figura con dos ejes de simetría:
2.- Recorten varias figuras de revistas y periódicos. Busquen los ejes de simetría de cada figura y trácenlo. Cuidado, porque no todas las figuras son simétricas.
Preguntas:
• ¿Cuál es la figura que tiene más ejes de simetría?• ¿Cuántos ejes tiene esa figura? • ¿Qué hacer para que las figuras que no tienen ejes de simetría los tengan?
Ejercicios:
Actividad 2
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El contorno
Con los cubos de 1×1×1 del material didáctico de la Caja Pitagórica, realicen varias figuras como se muestra:
Los alumnos deben contar, anotar y dibujar en su cuaderno las medidas de cada figura.
Preguntas:
• ¿Cuánto mide el contorno de cada figura? • ¿Cuántos centímetros cuadrados hay en cada una de las figuras?
Ejercicio:
Recuerde: hay figuras que tienen igual perímetro y diferente área.
Observación:
Actividad 3
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Medidas y superficies
1.- Realice con los cubos de 1×1×1 las siguientes figuras. Pueden utilizar la regla o una cuadrícula para medirlas:
• Un rectángulo de 8 cm de largo y 2 cm de alto.
• Un rectángulo de 7 cm de largo y 4 cm de alto.
• Un rectángulo de 10 cm de largo y 3 cm de ancho.
2.- Construyan con los cubos de 1×1×1 los rectángulos de las siguientes medidas:
a) 6 cm de largo y 5 cm de ancho.b) 8 cm de largo y 2 cm de alto.c) 7 cm de largo y 3 cm de alto.
Ejercicios:
Preguntas:
• ¿Cuánto mide el lado de cada cubo?• ¿Cuál es el área del rectángulo? • ¿Cuál fue el procedimiento utilizado para calcular el área del rectángulo?
Actividad 4
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Triángulos
Explique a los alumnos el concepto del triángulo, que es un polígono de tres lados y tres ángulos.
Tomando en cuenta sus lados, se llaman:
Tomando en cuenta sus ángulos, se llaman:
Todas las actividades y explicaciones pueden apoyarse utilizando el material di-dáctico de la Caja Pitagórica.
Observación:
Escalenossi sus tres lados son
desiguales
Obtusángulossi tienen un ángulo ob-
tuso (>90°)
Isóscelessi tienen dos lados
iguales
Rectángulossi tienen un ángulo
recto (=90°)
Equiláterossi tienen sus tres
lados iguales
Acutángulossi sus tres ángulos
son agudos (<90°)
Actividad 5
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La altura en un triángulo es la perpendicular del vértice a la base.
Muestre a los alumnos los siguientes triángulos construidos con el material didáctico:
• Solicite que los dibujen en sus cuadernos e indiquen qué tipo de triángulos son, de acuerdo con sus lados y ángulos. Tracen la altura en cada caso.
• En el triángulo rectángulo, los lados adyacentes al ángulo recto reciben el nombre de catetos, mientras el lado opuesto al ángulo recto recibe el nombre de hipotenusa.
Ejercicio:
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Perímetro y área
Explique a los alumnos qué significa la figura del triángulo, cuántos lados y ángulos tiene, y dibújelo. También explique cómo se obtiene, por medio de una fórmula, su perímetro y área. Realicen ejercicios de cálculos.
Vértices: A, B, CSegmentos: AB, BC y CA Lados: c, a, y b, respectivamente
Ángulos: A, B, CNotación: ΔABC
Los puntos de intersección son los vértices del triángulo A, B y C. Cada uno de los segmentos AB, BC y CA son los lados del triángulo, que normalmente se designan por una letra minúscula e igual a la del vértice opuesto; así, el lado AB se de-nomina c, ya que el vértice C es el opuesto a dicho lado. .
Los lados forman los ángulos interiores que se designan por las letras de los vértices. Por lo tanto, un triángulo tiene 3 ángulos, 3 lados y 3 vértices.
Actividad 6
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Fórmulas de perímetro y área del triángulo
Perímetro:
Es la medida del contorno de una figura geométrica, se representa con la letra P. Para el triángulo y utilizando las notaciones anteriores, obtenemos:
P = a + b + c
Área:
Es la medida de una superficie. Se representa con la letra A. Tomando en cuenta que b es la medida de la base y h es la altura, la fórmula sería
A = (b) (h)
2
1.- Hallen el perímetro y el área de un triángulo cuyos lados miden 3 cm, 4 cm y 5 cm, respectivamente, utilice el triángulo pitagórico.
Ejercicios:
• Apliquen las siguientes fórmulas para perímetro y área:
P = a +b +c A = (b) (h) 2
Los resultados de este ejercicio son: P= 12 cm, A= 6 cm²
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2.- Calculen el perímetro y área de los siguientes triángulos:
Ejercicios:
Los siguientes ejercicios pueden realizarse con el material de la Caja Pitagórica
1.- Hagan con cartulina los triángulos equilátero y escaleno. Coloquen en el tablero del Triángulo Pitagórico los triángulos respectivos.
• Después, con la participación de los alumnos, dibuje en el pizarrón las figuras de los triángulos.
• Dentro de las figuras escriban si son equiláteros, isósceles o escálenos:• Pida a los alumnos que comprueben con su regla o su compás.
2.- Coloquen en el tablero del Triángulo Pitagórico, los triángulos y dibujen en sus cuadernos las figuras. En la raya que está debajo de cada figura, escriban la palabra acutángulo, rectángulo o obtusángulo, según corresponda (compruébenlo con el transportador).
Esta sección aporta algunas sugerencias de ejercicios, quedando a la creatividad del maestro otras variantes. Para ello, debe comprender las necesidades específi-cas del grupo en general., tomando en cuenta las características de los alumnos y el grado escolar en que será utilizado el material.
Observación:
a) b) c)
Conocer los triángulos por sus lados y ángulos
Actividad 7
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a) b) c)
3.- Anoten la medida (cm) de cada lado y escriban el nombre de los triángulos.
Nombre Número de lados iguales
Número de ejes de simetría
Triángulo
• Anoten el nombre de los triángulos y sus alturas correspondientes.
• Completen el siguiente cuadro:
a)
a)
b)
b)
c)
c)
d)
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Ejercicios:
Los siguientes ejercicios pueden realizarse en el tablero del Triángulo Pitagórico.
1.- Calculen las áreas y perímetros de cada triángulo y anoten los resultados en una tabla en su cuaderno.
• Calculen el perímetro de los triángulos, de acuerdo con la fórmula P =a + b + c.
a) b) c)
d) e)
Cálculo de perímetros y áreas
Actividad 8
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2.- Calculen el área de los triángulos, de acuerdo con la fórmula A= (b) (h) 2
a) b)
c) d)
e)
Las figuras son de carácter ilustrativo utilizando piezas de la Caja Pitagórica.
Observación:
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Representación de puntos y desplazamientos en el plano
Para llegar a un punto de referencia, José, Francisco, Gustavo y Beatriz deben recorrer diferentes caminos, contando los cubos que hay en un plano.
Con los cubos de 1×1×1 del material didáctico del Triángulo Pitagórico, dibujen una figura en forma de elipse en una cartulina y colóquen los trayectos con los cubos, tal como se muestra:
Ejercicio:
Preguntas:
• ¿Cuántos cubos hay en el trayecto de José? • ¿Cuántos cubos hay en el trayecto de Gustavo? • ¿Cuántos cubos hay en el trayecto de Francisco? • ¿Cuántos cubos hay en el trayecto de Beatriz? • ¿Cuántos cubos hay en total?
Actividad 9
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Efectuar las sumas:
José ________ Gustavo ________ Francisco ________ Beatriz _________
Preguntas:
• ¿Cuántos cubos hay entre José y Francisco? • ¿Cuántos cubos hay entre Gustavo y Beatriz? • ¿Cuál camino es el más largo y cuál el más corto?• ¿Quién caminó más?• ¿Quién caminó menos?
Respuestas
Actividad 7
1.- a) (1) acutángulo b) (2) rectángulo c) (3) obtusángulo
2.- a) isósceles b) escaleno c) equilátero
3.- a) 4 cm 4 cm 4 cm - equilátero b) 3 cm 4 cm 4 cm - isósceles
c) 4 cm 3 cm 5 cm - escaleno
4.- a) equilátero b) isósceles c) escaleno d) equilátero
Actividad 8
1.- a) P = 15 cm b) P= 19 dm c) P= 17 mm d) P= 21 hm e) P = 9.5 cm
2.- a) A = 40 cm² b) A = 42 m² c) A = 42 mm² d) A = 300 dm² e) A = 63 mm2
núm. de ejes de simetría 3 núm. de ejes de simetría 1 núm. de ejes de simetría 0núm. de ejes de simetría 3
3 lados iguales 2 lados iguales 0 lados iguales 3 lados iguales
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El cuadrado
mágicoAntecedentes
Una de las actividades más recreativas y de gran importancia en el proceso de aprendizaje para los alumnos de cuarto grado, corresponde al ya conocido por ellos cuadrado mágico. El alumno podría considerar este pasatiempo como ya muy visto. Sin embargo, él mismo podrá concluir, después de desarrollar las actividades que se describen a continuación, que sigue siendo muy flexible, al involucrar en su solución, no sólo números naturales sino también números racionales expresados como cocientes de enteros o en forma de-cimal. De esta manera, reforzará las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división, así como los conceptos de múltiplos, series numéricas, etcétera.
En el famoso cuadro Melancolía, del pintor alemán Albrecht Dürer, aparece un cuadrado mágico. Un cuadrado mágico está constituido por números dispuestos de tal forma que, al ser sumados en renglones, columnas o diagonales, dan el mismo resultado. En la siguiente figura se ilustra el grabado donde aparece el cuadrado mágico plasmado por el artista alemán.
Melancolía del pintor alemánAlbrecht Dürer.
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Este cuadrado satisface, además, que la suma de las cantidades localizadas en las casillas centrales es 34, Dürer logró, asimismo, introducir en las columnas centrales
del renglón localizado en la parte inferior el año 1514 (año en que se realizó la obra). Grandes matemáticos, como Euler y Cayley, descubrieron que dichos cuadrados eran
entretenidos e interesantes para ser estudiados. El propio Benjamin Franklin creó uno, conocido como el cuadrado mágico perfecto (más adelante se ilustra). Por cierto, Euler construyó un cuadrado mágico para un caballo (ilustrado más adelante).
Estudiar el cuadrado mágico permite al alumno reforzar los métodos de conteo. Invo-lucra, además, aspectos que conciernen a la manipulación de objetos de cierta naturaleza (nociones de conjuntos), siendo en este caso números y la combinación de los mismos, de tal forma que se obtenga lo deseado.
Este es uno de los juegos matemáticos más utilizados por los maestros para involucrar a los alumnos en la operación básica de la suma. Pero, a lo largo de la discusión, podre-mos concluir que pueden utilizarse también en su solución las operaciones de resta, mul-tiplicación y división. Uno puede encontrar en la literatura un sinfín de información de este interesante juego que tiene como objetivo familiarizar al lector con algunas técnicas para la resolución de ciertos tipos de cuadrados mágicos. Estamos interesados en inducir algunos procedimientos que permitan al maestro darle un mayor alcance a la utilidad del cuadrado mágico.
Nivel
Las actividades implementadas para el cuarto grado, permiten reforzar significativamente las operaciones de suma y resta con números naturales de hasta cinco cifras, es decir, utili-zaremos unidades, decenas, centenas, unidades de millar y decenas de millar. Además se involucran las operaciones de multiplicación con números terminados en ceros, cons-trucción de series numéricas y la operación de división. Pondrán en práctica métodos de razonamiento que implican combinaciones de operaciones (que permiten obtener una solución), utilizando números naturales, racionales y decimales (estos últimos, asociados en algunos casos con números racionales, se están considerando números decimales con expansiones decimales finitas; en el caso de infinitas éstas son periódicas).
Utilizaremos al cuadrado mágico para obtener las suma de cierto tipo de series de números. Abordaremos la generalización del cuadrado mágico de 3×3, el cual nos permitirá discutir un procedimiento aplicable (pero muy laborioso) para el caso del cuadrado mágico de 4×4. En el caso del cuadrado de 3×3, el método permite hallar la generalización de este cuadrado con las restricciones que involucran al mismo. A su vez, aplicando este método, podemos concluir por qué no existe un cuadrado mágico de tamaño 2×2, cuya solución no sea la trivial. Podremos responder a preguntas como, por ejemplo, si utilizamos a los primeros nueve números naturales entonces, ¿porqué en el cuadrado mágico de 3×3 la suma debe ser 15? Justificaremos además ¿por qué en el de cuadrado mágico de tamaño 4×4, la suma debe ser 34, si utilizamos los primeros 16 números naturales en su solución? o ¿por qué el en cuadrado mágico de tamaño 8×8, si utilizamos a los primeros 64 números naturales, la suma debe ser 260? Más aún, podremos garantizar que cualquier cuadrado mágico admite siempre una solución (conclusión obtenida a partir de un método algebraico elemental, aquí hacemos referencia a la conclusión y no al procedimiento, el cuál es realmente laborioso).
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La implementación del cuadrado mágico, en está forma, tiene la intención de servir al maestro como una herramienta auxiliar en el proceso de enseñanza-aprendizaje de algunos temas durante el cuarto grado.
Cuadrado mágico, el juego clásico
Describamos el problema más clásico del cuadrado mágico, el cual corresponde a la si-guiente situación: considere los números del 1 al 9, utilizando la matriz cuadrada de tama-ño 3×3, como se muestra en la figura. La intención es colocar los números de tal forma que, al realizar la suma en las direcciones horizontal (renglones), perpendicular (colum-nas) y en ambas diagonales sea 15. Se puede verificar que una solución es:
La pregunta natural que surge es ¿cuántos cuadrados mágicos hay? En caso de con-siderar que los valores utilizados sean números reales, la respuesta es: una infinidad. El siguiente método permite hallar a tales cuadrados mágicos.
A continuación, discutimos un método de solución general para el cuadrado mágico de tamaño 3×3, pero hacemos hincapié en que esta discusión es exclusiva para el maestro, con la intención de que él pueda construir cualquier cuadrado mágico de dicho tamaño. El método que utilizaremos hace uso de la aplicación de sistemas de ecua-ciones lineales (tema que se aborda en secundaria, inicialmente en un sistema de una ecuación en una incógnita, para finalmente estudiar un sistema de dos ecuaciones en dos incógnitas, además se abordan algu-nos métodos de solución) y del método de eliminación que se aplica en la solución de un sistema de dos ecuaciones en dos incógnitas. El método de eliminación puede generalizarse para la resolución de sistemas de n ecuaciones lineales en m incógnitas.
Más adelante, podemos garantizar que esta solución es única, salvo rotaciones y reflexiones.
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Este método generalizado recibe el nombre de método de eliminación gaussia-na (puede consultarse en cualquier libro de álgebra lineal). Es sin duda el más podero-
sos método para resolver sistemas de ecuaciones lineales, además su implementación computacional es la más eficiente.Consideremos el cuadrado mágico de 3×3, pero supongamos que deseamos encontrar
una colección de nueve números consecutivos, de tal forma que cumpla la condición esti-pulada para el cuadrado mágico (la diferencia o distancia entre dos consecutivos siempre es 1), y se satisfaga además que su suma sea n, tenemos la siguiente situación:
Sean a, b, c, d, e, f, g, h, i los números reales (no se especifica su orden) distribuidos como lo muestra la siguiente figura:
Más aún, tales números hacen del cuadrado anterior un cuadrado mágico para el valor n. La situación planteada se describe matemáticamente por el siguiente sistema de ecuaciones lineales (este planteamiento es un modelo matemático lineal)
Obtenemos así un sistema de 8 ecuaciones en 9 incógnitas. La teoría referida a este tipo particular de sistema de ecuaciones, es decir con estas características, garantiza que el sistema admite una infinidad de soluciones. De esto concluimos entonces que hay una infinidad de cuadrados mágicos; aplicando el método de eliminación gaussiana a la matriz que describe el sistema y llevando la solución a la forma escalonada reducida, obtenemos que la solución del mismo queda descrita por el siguiente sistema de ecuaciones:
a + b + c = nd + e + f = ng + h + i = na + d + g = nb + e + h = nc + f + i = na + e + i = nc + e + g = n
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Observamos que la solución general involucra, salvo la solución de la variable e, dos valores independientes, a saber h e i. Si asignamos a n el valor de 15 y tomamos h=7 e i=2, hallamos la solución descrita para el cuadrado mágico, que se muestra al inicio de la discusión de esta sección. Podemos además tomar los valores de h=1 e i=6 y mantenemos n=15. Obtenemos una segunda solución, la cual resulta ser equivalente a la obtenida con los valores anteriormente asignados a h e i. Éstas dos sustituciones nos permiten tener como espacio de solución para el cuadrado mágico los números del 1 al 9, además las sustituciones h=9, i=4; h=3, i=8; h=2, i=2; h=7, i=6; h=1, i=8; h=3, i=4; y mantenemos n=15, el espacio de solución son los números del 1 al 9, es decir, si nosotros asignamos valores distintos a h e i de éstos y mantenemos el valor de n=15, obtendremos otras solu-ciones, pero con la diferencia de que ya no se tiene como espacio de solución de éste los números del 1 al 9.
Estamos ahora en posibilidad de justificar la siguiente pregunta: ¿Por qué la suma debe ser 15? Sumemos las tres primeras ecuaciones del sistema anterior de ecuaciones. Obte-nemos:
a + b + c + d + e + f + g + h + i = 3nSistema de ecuaciones 3
Si los valores a tomar por las variables a, b, c, d, e, f, g, h, i deben ser uno y sólo uno de los elementos del conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, entonces el lado izquierdo de la igualdad nos pide hallar la suma (no están ordenados, pero recordemos que la suma es conmutati-va) de los primeros nueve números naturales. Un simple cálculo muestra que la suma obtenida es 45. Luego de la ecuación anterior obtenemos que n=15.
La solución del sistema permite implementar el siguiente procedimien-to (que aplicaremos en los ejercicios):
• Ordene la sucesión de los nueve números consecutivos en forma as-cendente, es decir
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
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• Subdivida los números en bloques de tres, de tal forma que la suma de cada bloque sea 15. Obtenemos así lo siguientes dos casos:
1 + 5 + 9 = 15 3 + 5 + 7 = 15 a) 2 + 6 + 7 = 15 b) 2 + 9 + 4 = 15 3 + 4 + 8 = 15 1 + 6 + 8 = 15
Podemos además señalar que no es posible hallar otras combinaciones diferentes de las dos anteriores que satisfagan las condiciones pedidas. Estas combinaciones indican todo el espacio de soluciones para este caso. Tenemos que la quinta ecuación del sistema 2 nos indica que la combinación 1 + 5 + 9 ó 3 + 5 + 7 debe colocarse en la segunda fila del cuadrado mágico. A partir de esto, obtenemos la solución y podemos observar que ambas son la misma (es única salvo rotaciones y reflexiones) y coinciden con la presen-tada al inicio de esta sección.
Podemos concluir además que, si consideramos a n=15 en el sistema de ecuaciones y a las variables h e i les asignamos cualesquiera otros valores, obtenemos diferentes solucio-nes para cada pareja de números que se den. Por ejemplo, si h=8 e i=6 puede verificarse que el cuadrado correspondiente es:
Este ejemplo nos muestra que el espacio de soluciones de un cuadrado mágico no se restringe al conjunto de los números naturales. Este último cuadrado nos muestra el nú-mero 0 (cero), que más adelante conoceremos como la identidad aditiva.
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Aplicaciones
A continuación, analizaremos casos particulares que nos permitan trabajar con números naturales o enteros positivos. Sin embargo, con lo anteriormente discutido, el espacio de ejemplos es infinito.
Un sencillo planteamiento, basado en el análisis anterior, nos permite concluir por qué no es posible obtener un cuadrado mágico de tamaño 2×2 (se excluye en este y en todos los casos de cuadrados mágicos la solución llamada solución trivial, y se concluye que en el caso del cuadrado 2×2, la única solución es la trivial y por eso no existe interés en estudiarlo; por ejemplo, para el caso del cuadrado mágico de 3×3, la solución trivial para n=15 corresponde a que todas las variables sean iguales a 5).
Ejercicio 1
En este caso, el ejemplo puede aplicarse a los alumnos de todos los niveles. Considere las siguientes fichas:
Solicite al alumno que tome los primeros nueve números naturales del cuadro. Una vez realizado esto, pídale que los ordene en forma as-cendente o descendente. En este punto, aprende a diferenciar los nú-meros entre sí y a establecer la relación de orden entre ellos, como lo muestra la siguiente figura:
Los ejercicios enlistados a continuación se exponen en forma gradual, con la in-tención de que los alumnos se familiaricen con el cuadrado mágico.
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Solicítele que obtenga, de ser posible, la suma de los números; si no, basta con que los separe en grupos de 3 fichas, de tal manera que al sumar cada bloque de
éstos la suma sea 15 (aplicación de cálculo mental). Después indíquele que coloque las fichas del bloque de izquierda a derecha o de derecha a izquierda (utilizamos las dos
soluciones del cuadrado mágico). Luego, pídale que coloque los bloques de arriba hacia abajo o viceversa (debemos indicarle un número en el bloque, para que lo tome como referencia y pueda efectuar lo que se le indica). Debe colocarlos en el cuadrado, respetando el orden considerado previamente, considerando todas las combinaciones de sumas que determinan al cuadrado mágico. En este punto, aplique cálculo mental. La siguiente figu-ra ilustra una solución equivalente a la mostrada al inicio de la sección:
El alumno de cuarto grado observa el uso del orden en una serie numérica, los con-ceptos de antecesor y sucesor, valor posicional y la construcción de una serie numérica (sucesión de los naturales).
Además se utiliza de forma natural la multiplicación de cantidades con números ter-minados en ceros.
Puede considerarse la siguiente modificación: los dígitos asociados describen dece-nas, centenas, unidades de millar o decenas de millar, lo cual permite obtener un cua-drado mágico para decenas, centenas, unidades de millar o decenas de millar. En el primer caso obtendríamos un cuadrado mágico cuya suma debe ser igual a 15 decenas, equivalentemente 150 unidades; para el caso de centenas obtendríamos 15 centenas, equivalentemente 1500 unidades; en el caso de unidades de millar, tenemos 15 unidades de millar o 15 000 unidades, y finalmente, para decenas de millar se tiene 15 decenas de millar, o 150 unidades de millar o 150 000 unidades.
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Ejercicio 2
Solicite al alumno que le proporcione un número múltiplo de tres (o divisible entre tres) mayor que 15 y menor o igual a 39. Una vez proporcionado el número, en caso de ser posible, que obtenga el resultado de dividir al mismo entre 3 para obtener n (o indique el número a considerar). Obtenido el número, solicite que extraiga del grupo de las 25 fichas los cuatros números consecutivos anteriores a él (el antecesor de él, el antecesor del antecesor de él, y así sucesivamente) y los cuatro siguientes consecutivos a él (el sucesor del número, el sucesor de su sucesor, y así sucesivamente).
Ahora, separen los números en bloques de tres, de tal forma que la suma de cada uno de ellos dé como resultado el valor previamente hallado. Solicite finalmente el cuadrado mágico correspondiente.
En este ejercicio seguimos trabajando con enteros positivos y aplicando el concepto de serie numérica. Más aún, podemos iniciar el estudio de una serie aritmética.
Puede considerar como ejercicio adicional lo siguiente, utilizando las fichas del 1 al 17: pregunte a los alumnos por qué, bajo la condición de ser el número solicitado múltiplo de tres y tomando en cuenta las 17 fichas (bajo las restricciones de nuestro cuadrado mágico), el espacio de solución únicamente nos permiten obtener 9 cuadrados mágicos diferentes con estas fichas que satisfagan la condición solicitada (restricción).
Por ejemplo, para n=21, obtenemos el valor de 7, luego las fichas requeridas son:
Puede aplicarse la implementación discutida en el ejercicio 1 de esta actividad, utili-zando decenas, centenas o unidades de millar, asociadas a los números naturales obtenidos. En este caso, estaremos aplicando el concepto de serie aritmética (que se incrementa en términos de decenas, centenas o unidades de millar, según sea el caso). Se involucra además el concepto de múltiplo de 10, 100 y 1000 y equivalen-temente la multiplicación por cantidades terminadas en ceros.
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Ejercicio 3
• Obtenga el cuadrado mágico cuya suma es 27 unidades (decenas, centenas o unidades de millar) y los números que lo conforman sean 9 números naturales consecutivos. Aho-ra, obtenga un cuadrado mágico con la misma condición, pero sin la restricción de que los números sean nueve enteros consecutivos, por ejemplo, proporcione los números considerados en el cuadrado mágico. Solicite que construyan el cuadrado mágico corres-pondiente. Puede verificar que, si en el sistema de ecuaciones anterior reemplazamos h e i, para 5 y 7 respectivamente, obtendríamos los restantes valores que involucran la solución que mostramos a continuación:
El cuadrado mágico correspondiente es:
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Para los casos siguientes, analice los valores asignados a h e i. Obtenemos los cuadrados mágicos de 48 y 51, como se muestran a continuación:
De nuevo, si sustituimos los valores de h e i correspondientes en la solución descrita por el sistema de ecuaciones 2, obtenemos las soluciones descritas previamente, además de que estas soluciones describen series aritméticas.
• Realicemos, por último, sobre el cuadrado mágico clásico las siguientes modificaciones, motivadas por lo anteriormente discutido. Nuestro cuadrado mágico a considerar es:
Solicite al alumno que sume a cada ficha el número 5, sustituyendo posteriormente por la ficha correspondiente el resultado de esta operación y respetando la ubicación de ésta en la anterior disposición. Obtenemos así lo siguiente:
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Claramente observamos que este es, de nuevo, un cuadrado mágico. Esto a su vez nos sugiere la implementación con respecto a multiplicaciones y sumas.
En esta actividad, el maestro debe tener en consideración que las soluciones a los cua-drados mágicos deben involucrar únicamente números naturales.. Para que esto ocurra y además facilitar los números utilizados en cada una de estas actividades, se recomienda al maestro que realice los cálculos correspondientes.
Las operaciones que realizamos con los cuadrados mágicos, es decir sumas, res-tas, multiplicaciones, son aplicables a un ente matemático llamado matriz (re-cuerde que un cuadrado mágico puede verse como un arreglo matricial de n renglones y n columnas).
Observación:
Ejercicio 4
Estudiaremos ejemplos diversos que utilizan números fraccionarios en la construcción del cuadrado mágico. En el caso de este material didáctico se incluyen fichas con denomi-nadores 2, 3 y 4. Sin embargo, el maestro puede anexar fichas con distintos denominado-res, según convenga, para presentar algún tema en particular. Recordemos que estamos introduciendo una restricción en la construcción de los cuadros, y es que entre los ele-mentos de la sucesión numérica la diferencia (o distancia) entre dos números consecuti-vos es 1 (serie aritmética). Sin embargo, en los ejercicios que se proponen más adelante ya no hay restricciones. En esta aplicación consideraremos cantidades fraccionarias (propias e impropias) con el mismo denominador común para operar sumas y restas. En el caso de fracciones con diferente denominador, haremos uso del mínimo común múltiplo. Por esa razón, este ejemplo puede aplicarse a los alumnos, desde tercer grado, considerando obviamente las respectivas restricciones en la aplicación para el nivel correspondiente.
Tome el grupo de fichas que corresponden a fracciones. Pida que extraigan todas las fichas con denominador 2 y mayores o iguales a 1/2 y menores o iguales a 17/2 y que las ordenen en forma ascendente o descendente. Así por ejemplo, la disposición ascendente es:
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Solicite, por ejemplo, que determinen la distancia o diferencia del primer y último término, entre términos consecutivos. Posteriormente solicite que realicen la suma de todos estos términos. El alumno, al observar que todas las cantidades poseen el mismo denominador, puede concluir que para hallar tal suma, el problema se reduce a obtener la suma de los numeradores, obteniendo así:
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 81
equivalentemente:
1/2 + 3/2 + 5/2 + 7/2 + 9/2 + 11/2 + 13/2 + 15/2 + 17/2 = 81/2
Se observa que en la expresión anterior estamos obteniendo la suma de los primeros nueve números impares (obtenemos así un ejemplo de serie aritmética, en donde la dife-rencia entre dos términos consecutivos es 2. Solicite que escriban el término general de la serie numérica). Indique que obtengan un cuadrado mágico cuya suma sea 27/2, y pida que justifiquen esto.
Compare este cuadrado mágico con el cuadrado mágico del ejercicio 3 para n=27. Para ello considere la tabla del dos. ¿Existe alguna simili-tud entre los cuadrados mágicos? Justifique su respuesta.
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Ejercicio 5
Podemos aplicar ahora el procedimiento anterior para las fichas con denominador 3. Solicite las fichas
Una de las cuestiones a considerar es la multifuncionalidad de las fichas para los alum-nos del cuarto grado, ya que una de las actividades a implementar es agrupar todas las fichas, separar cantidades enteras (denominador 1) y fraccionaria. Estas últimas pueden separarlas en bloques con denominador común, ordenarlas de forma ascendente y des-cendente. Posteriormente pueden tomar dos grupos de fichas y colocarlas en orden, apli-car lo anterior a tres y finalmente a los cuatro grupos, o también separarlas, por ejemplo, en fracciones propias o impropias, o combinar algunas fichas de tal forma que en suma o resta se obtenga otra del grupo de ellas, y en este punto, solicitar una operación entre fi-chas que incluyan suma o resta (multiplicaciones, divisiones) de tal forma que el resultado no se encuentre en ninguna de las fichas del juego.
Regresando al ejercicio, solicite que obtengan el correspondiente cuadrado mágico, el cual debe ser:
Podemos relacionar la serie numérica 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, con el cuadrado
mágico anterior. Justifique su respuesta.
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Ejercicio 6
Indique las actividades a desarrollar para obtener el siguiente cuadrado mágico:
Consideremos las siguientes observaciones para las tres últimas actividades (y que po-demos aplicarlas en general a todos los ejemplos presentados) con respecto al ejercicio 4. Un somero análisis nos permite concluir que para resolver el mismo era suficiente con estudiar el numerador, y con esto obtener un cuadrado mágico cuya suma es 27. Así, ob-tenemos un cuadrado mágico que es distinto al que puede obtenerse utilizando las técni-cas de nueve números consecutivos. Sin embargo, si sustituimos en h e i los valores 5 y 7, respectivamente, en el sistema estudiado al principio, obtendríamos los restantes valores que involucran la solución que mostramos a continuación:
Para el caso de la fracción con denominador 3 y 4, obtenemos los cua-drados mágicos de 48 y 51, como se muestran a continuación:
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Si sustituimos los valores de h e i correspondientes en la solución descrita por el sis-tema de ecuaciones 2, obtenemos las soluciones descritas previamente, además de que estas soluciones describen series aritméticas.
• Realicemos, por último, sobre el cuadrado mágico clásico las siguientes modificaciones, motivadas por lo anteriormente discutido. Nuestro cuadrado mágico para considerar es:
Solicite al alumno que sume a cada ficha el número 5, sustituyendo posteriormente por la ficha correspondiente el resultado de esta operación y respetando la ubicación de ésta en la anterior disposición. Obtenemos así lo siguiente:
Ahora, en vez de sumar, pídale que reste el número 12 al cuadrado mágico anterior. Solicítele que le indique cuál sería la dificultad para realizar esta operación. El alumno debe concluir que el conjunto de números naturales utilizado es insuficiente para resolver este sencillo problema. Cuestiónele entonces si resulta insuficiente el conjunto de núme-ros naturales para obtener todas las soluciones que involucran cálculos numéricos.
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Muestre que la solución a lo anterior la describe el siguiente cuadrado mágico, y que para su construcción se requiere el uso del cero (la identidad aditiva de la suma) y los nú-meros negativos, equivalentemente los inversos aditivos de los números naturales.
• Claramente, observamos que estos son nuevamente cuadrados mágicos. Esto, a su vez, nos sugiere la siguiente implementación con respecto a multiplicaciones y divisiones, como lo muestra este cuadrado mágico:
Aplique lo siguiente: divida cada ficha entre 3, reemplace la ficha por la correspondien-te solución de esta operación, respetando como siempre la disposición de la misma en el cuadrado. Así, con las correspondientes simplificaciones y sin dificultad, obtenemos como resultado el siguiente cuadrado mágico:
Hasta este punto, hemos observado algunas operaciones básicas sobre cuadrados mágicos que se aplican a cualquiera de éstos y hemos abordado
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algunos casos particulares. Los ejercicios que incluye esta guía incorporan com-binaciones de números naturales y racionales positivos. Veamos ahora uno que in-
volucre números decimales. Para este último, considere el cuadrado mágico clásico, dividiendo entre 10 cada uno de los números que aparecen en el mismo. Obtenemos
así un ejemplo de un cuadrado mágico con números decimales:
• Consideremos nuevamente el cuadrado mágico clásico, es decir:
Sume entrada a entrada el cuadrado mágico, pero considere la siguiente modificación: un cuadrado mágico representa unidades y el otro decenas. El cuadrado mágico que se obtiene es el siguiente:
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Las operaciones realizadas con los cuadrados mágicos, es decir, sumas, restas multiplicaciones y divisiones, son aplicables a un ente matemático llamado ma-triz (recuerde que un cuadrado mágico puede verse como un arreglo matricial de n renglones y n columnas).
Observación:
Ahora sume al mismo 5 centenas en cada entrada, describa cuál es el cuadrado mágico que se obtiene.
El cuadrado mágico de 4 x 4
Al inicio de la sección se menciona un cuadrado mágico obtenido por el pintor alemán Dürer. Trabajaremos sobre él para obtener algunos ejemplos de cuadrados mágicos, apli-cando las operaciones utilizadas en lo discutido previamente como son sumas, restas, multiplicaciones y divisiones.
Sin embargo, ilustraremos parte de la dificultad (laborioso) de intentar obtener una solución general para este caso, pues si consideramos el cuadrado mágico de 4×4, obte-nemos un sistema de al menos 10 ecuaciones en 16 incógnitas. Tal situación se ilustra a continuación:
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Deseamos que el anterior arreglo cuadrangular satisfaga las condiciones de un cuadrado mágico. Obtenemos así el siguiente sistema de ecuaciones:
Consideremos además que, por ejemplo, el cuadrado mágico mostrado al inicio de esta discusión satisface las siguientes ecuaciones (el cuadrado mágico construido por Dürer, adiciona al menos las siguientes condiciones: los cuatro términos de interior del cuadrado mágico suman 34, los cuatro términos de las esquinas suman 34, además la suma de los términos 3, 2, 15, y 14, así como los términos 5, 9, 8 y 12 suman respectivamente 34, lo cual adiciona cuatro ecuaciones más al sistema inicial y, aún con éstas, el sistema tiene una infinidad de soluciones):
Lo anterior implica que el sistema sería ahora un sistema de 14 ecuaciones en 16 incóg-nitas (aún así el sistema admite soluciones no triviales). Es fácil observar que al intentar aplicar el método de eliminación gaussiana, aun aplicando notación matricial, se requiere un número considerable de operaciones elementales para llevar a la matriz del sistema a su forma escalonada reducida (la matriz de coeficientes aumentada para el sistema de 10 ecuaciones en 16 incógnitas es de tamaño 10×17) y requerimos para el mismo la utiliza-ción de un programa numérico, aunque el maestro puede consultar algún texto de álgebra lineal para estudiar el método con mayor detalle y tener mucha paciencia y tiempo para resolver el sistema.
En este punto, retomamos la mención de lo dificultoso que es resolver un cuadrado mágico de tamaño m×m, con m como un número natural mayor a tres. Puede ser que el alumno cuestione qué importancia puede llegar a significar una generalización de esta naturaleza. Debemos indicarle que el interés reside en la implementación y estudio de diversos métodos de solución utilizados para resolver un problema de esta naturaleza, y que tiene aplicación en diversos campos.
Sin embargo, tenemos posibilidad de dar respuesta a otro tipo de preguntas que implican a este cuadrado mágico. Por ejemplo, ¿por qué al utilizar los 16 primeros números naturales, el cuadrado mágico debe satisfacer la condición de que la suma deba
a + b + c + d = t e + f + g + h = t i + j + k + l = tm + n + o + p = ta + e + i + m = t b + f + j + n = tc + g + k + o = td + h + l + p = ta + f + k + p = t d + g + j + m = t
f + g + j + k = ta + d + m + p = tb + c + n + o = te + i + h + l = t
Sistema de ecuaciones 4
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ser 34? Para ello, basta considerar que al obtener la suma de los primeros 16 números naturales, obtenemos:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 136
Pero el sistema de ecuaciones nos indica que las primeras cuatro ecuaciones del mismo coinciden con la suma de los primeros 16 números naturales, luego debemos dividir al 136 entre 4, obteniendo que la suma es 34 (podemos concluir así que para un cuadrado de 5×5, si consideramos a los 25 primeros números naturales, la suma en el cuadrado mágico es 65; para un cuadrado de 6×6 la suma es 111, si se consideran los 36 primeros números naturales) y así sucesivamente.
Los ejercicios de la siguiente sección tienen como objetivo aplicar las operaciones de suma, resta, división o multiplicación al cuadrado mágico de Dürer; para obte-ner otros se sugieren, además, ejercicios para el cuadrado mágico de 3×3.
Observación:
Ejercicio 1
Obtenga los cuadrados mágicos de tamaño 3×3 para los valores de n=18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, considerando que deben utilizarse para su construcción 9 enteros consecuti-vos. ¿Puede construir el cuadrado mágico correspondiente para n=12 y que cumpla con las restricciones?
Divida los cuadrados mágicos entre 3, 5 y 6, y obtenga las soluciones correspondientes utilizando números fraccionarios. Distinga las fracciones propias e impropias. Considere otros ejemplos, con diferente denominador, utilizando los sistemas de ecuaciones.
Ejercicio 2
Obtenga los cuadrados mágicos de tamaño 3×3 para los valores de n=21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, utilizando para su construcción valores de h e i que el maestro proponga y el sistema de solución descrito por el sistema de ecuaciones 2. Debemos considerar que las soluciones involucren únicamen-te números naturales.
Ejercicios:
Actividad 11
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Ejercicio 3
Obtenga tres cuadrados mágicos distintos para n=21, 39.
Ejercicio 4
Obtenga, a partir del cuadrado mágico de tamaño 4×4, cuadrados mágicos para los va-lores de t siguientes:
{ 102, 210, 340, 480 }
Recuerde que puede implementar de manera natural lo discutido para el cuadrado de 3×3, es decir puede sumar, restar, multiplicar, según sea el caso. Más aún, puede aplicar combinaciones de operación al cuadrado mágico, aunque se recomienda se haga una a la vez.
Ejercicio 5
En el cuadrado mágico de tamaño 8×8, si utilizamos los primeros 64 números naturales, cuál es el valor de n.
Ejercicio 6
Halle la suma de los primeros 100 números naturales.
Ejercicio 7
Construya dos cuadrados mágicos distintos del mismo tamaño, colocando uno seguido del otro. Considere colocarlos uno sobre otro, de tal forma que las fichas que estén una sobre la otra sumen o resten (se indica sólo una operación que debe ser la misma para todas las demás fichas). El alumno obtiene como resultado un cuadrado mágico.
Ejercicio 8
Generalice el resultado anterior a m cuadrados mágicos (todos obviamente del mismo tamaño).
Ejercicio 9
El maestro debe construir diversos cuadrados mágicos, para utilizarlos con sus alumnos. La dificultad de los mismos debe ser en función del nivel de enseñanza.
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Ejercicio 10
Dé un ejemplo de un cuadrado mágico de tamaño 2 × 2, tal que su suma sea 16.
Ejercicio 11
Dé un ejemplo de un cuadrado mágico, donde un valor se repita al menos 2 veces.
Ejercicio 12
Utilizando el cuadrado mágico clásico, considere 9 números que satisfagan la condición de determinar un cuadrado mágico. Colóquelos en forma ascendente y haga lo mismo con los números del 1 al 9. Con ambos juegos de fichas forme dos líneas respetando el orden indicado en los números (ascendente). Reemplace la posición del número 1 en el cuadrado clásico, por el número que se localiza por debajo (o arriba) de él en la otra línea. Realice lo mismo con la posición de la ficha 2, y así sucesivamente, hasta completar la operación con los nueve números ¿El cuadrado obtenido, después de llevar a cabo este proceso, es mágico?
Ejercicio 13
Aplique lo anteriormente discutido al cuadrado mágico de 4×4, y obtendrá que el cuadra-do correspondiente es mágico también.
Ejercicio 14
Complete los siguientes arreglos de números y obtenga las sumas en las direcciones ho-rizontales, verticales y diagonales.
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Ejercicio 15
Obtenga las sumas de los siguientes arreglos (puede considerar unidades, decenas o centenas), ya sea horizontalmente, verticalmente o diagonalmente. Extraiga los núme-
ros localizados en diversas posiciones y ordene.
Ejercicio 16
Utilice decenas, centenas, unidades y decenas de millar para construir cuadrados mágicos.
Benjamin Franklin3 no resistió la tentación de involucrarse con los cuadrados mágicos, y construyó uno lleno de trucos (aquí mismo se muestra). Utilizó en su construcción los primeros 64 números naturales. Sabemos que debe satisfacer que cada fila sume 260; deteniéndose a la mitad de cada una da 130. Trazan-do una línea diagonal de puntos se obtienen 260. Las cuatro esquinas más los cuatro números de en me-dio suman 260. La suma de cuatro casillas (cuadrado de tamaño 2×2) es 130, así como la suma de cuatro números cualesquiera equidistantes diametralmente del centro.
3 Formó parte del comité designado para redactar la Declaración de Independencia de los Estados Unidos de América junto con Thomas Jefferson y John Adams.
El cuadrado perfecto
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El cuadrado del caballo
Leonhard Euler es considerado uno de los matemáticos más influyentes y prolíferos de todos los tiempos. Él construyó el cuadrado de tamaño 8×8, el cual se muestra al lado y que utiliza los primeros 64 números na-turales. Con base en lo previamente discutido, no es difícil concluir que en este cuadrado mágico la suma es de 260.
Este cuadrado mágico tiene ade-más la siguiente característica: al detenerse a la mitad de una fila ho-rizontal el resultado de la suma es 130. Pero lo más intrigante es que un caballo de ajedrez, que empie-za sus movimientos (líneas negras) desde la casilla 1, puede pasar por las 64 casillas (sin repetición) en or-den numérico.
Podemos utilizar este cuadrado para implementar un ejercicio de memorización. ¡Inténtelo!
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Pitágoras
sin palabrasUna de las motivaciones para iniciar el estudio del Teorema de Pitágoras, en la instrucción primaria, descansa en su utilidad en actividades cotidianas, con una de las aplicaciones in-directas de dicho teorema. Para ello mencionemos la siguiente situación (los demás casos se adaptan a situaciones como la que se plantea a continuación): coloquemos a un niño que ya camina sin dificultad, en la esquina de una habitación rectangular, y en el lado dia-metralmente opuesto un regalo (sobre la diagonal del rectángulo). Le pedimos al menor que vaya por el regalo. Si repetimos varias veces este experimento, observaremos que la mayoría de las veces la trayectoria que aproximadamente seguirá (salvo casos excepcio-nales) es la que describe la diagonal. De forma inconsciente, el menor hace uso implícita-mente a una de las consecuencias del Teorema de Pitágoras, a saber: “la distancia más corta entre dos puntos en un plano es una línea recta”. Podríamos reproducir la situación en otros niños y más aún en otro tipo de seres vivos. Por ejemplo, si utilizamos a un perro o a un gato y colocamos alimento, según sea el caso, obtendríamos una conclusión similar sobre la trayectoria por donde se desplazarían. Nos preguntamos entonces de manera natural: ¿conocen estos animales el Teorema de Pitágoras? Salvo que alguien demuestre lo contrario, la respuesta es: no. Lo que sucede es que la decisión de moverse a lo largo de esa trayectoria está ligada con la experiencia adquirida de manera empírica, en cuanto a cuestiones que involucran el tiempo requerido para desplazarse de un lugar a otro4. Por lo tanto, tomar esa trayectoria o camino involucra un problema de optimización. Sin em-bargo, si nosotros utilizamos a una rata en el experimento anterior, observaremos que la misma se desplaza por las paredes la mayoría de las veces. ¿Por qué sucede esto?
Podemos entonces concluir que el Teorema de Pitágoras está relacionado con al menos una situación de carácter real que involucra distancia5 (aplicaciones en geometría, física, etc.) la cual puede formularse utilizando una expresión matemática.
Aclaremos que los alcances del Teorema de Pitágoras no se limitan a una aplicación como la mencionada en el párrafo anterior, sus alcances y aplicaciones son tales que introducirlo de manera informal6 permitirá al alumno facilitar el uso de conceptos y aspectos matemá-ticos relacionados con el mismo.
La Caja Pitagórica es un material didáctico que permite a los alumnos del nivel primaria, trabajar de manera implícita con dicho teorema, gracias a que expone de manera aritmé-tica y geométrica a tan famoso resultado.
Parte del propósito de este material es estimular las áreas cognoscitivas y lúdicas de nuestros alumnos de dicho nivel. Esto se realiza utilizando los principios concreto-abstracto y abstracto-concreto, lo cual permi-te al alumno relacionar aspectos aritméticos y geométricos, bajo ciertas dinámicas de procedimientos de aprendizaje, cuyo objetivo general es estimular los campos formativos de espacio, forma y medida.
4 Aplicación del concepto distancia-tiempo.5 Únicamente se considera la distancia en un plano o en el espacio.6 Nos referimos a que podemos trabajar con él, sin llamarlo a él por su nombre.
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Este material permite trabajar el aspecto concreto-abstracto, estimulando áreas de creatividad, destreza, razonamiento deductivo, etc. Además, aborda el aspecto
abstracto-concreto, con el objetivo de que el alumno pueda aplicar en caso de ser po-sible un aspecto teórico a situaciones concretas, estimulando nuevamente los aspectos de razonamiento deductivo. También se realizan actividades para la construcción de diversos tipos de figuras.
Por otro lado, debido a la naturaleza de los materiales didácticos, el maestro puede di-señar e implementar actividades adicionales con los mismos e incorporar tales actividades según convenga.
Asociar establece una relación entre dos conjuntos
El conteo nos permitir abordar temas matemáticos más complejos. El alumno de cuarto grado desarrolla de manera más formal la habilidad de contar. Lo siguiente permite al alumno determinar entre dos colecciones, cuál tiene más, menos o si tienen la misma (igual) cantidad de objetos. Esto sin la necesidad de saber contar o enumerar. Para ello sólo basta asociar los elementos de un grupo con los del otro. Sin embargo, el asociar a estos elementos términos de series numéricas, facilita conclusiones. Debemos aclarar que en este caso, la serie numérica utilizada corresponde a los números naturales, que satisfa-ce la condición de que entre dos números consecutivos la diferencia es siempre 1.
Integre equipos de cuatro alumnos, subdivídalos en dos e indique un nombre para cada uno. Entregue a los mismos diferentes cantidades de cuadriláteros iguales (puede utilizar otras piezas del material didáctico, como, por ejemplo, los cubos de tamaño 1×1×1 o las regletas, según requiera la actividad). Indique que los depositen sobre la mesa. Ense-guida, formen dos grupos de cuadriláteros o cubos, sin contar, como se muestran en la siguiente figura:
Las siguientes actividades permiten reforzar habilidades referentes a: manipu-lación, comparación, conteo, estimulación de los procesos de razonamiento, ya que el alumno realiza comparación entre objetos, agrega o quita objetos, etc. Además se abordan temas relacionados con geometría. Con estos conocimien-tos básicos, obtendremos construcciones que conciernen al Teorema de Pitágoras. Es importe recordar que no se requiere hacer mención del teorema para desa-rrollar estas actividades.
Observación:
Actividad 12
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En el primer grupo de las figuras ante-riores, distinga entre los dos grupos. Por ejemplo, llame a uno el grupo A y al otro el grupo B. Tome un elemento de grupo A y apílelo sobre un elemento del grupo B, de forma tal que uno cubra a otro comple-tamente (puede realizarlo con orden o sin orden). Reproduzca el paso anterior hasta utilizar todos los elementos del grupo A. En este caso, como lo muestra la figura, el grupo A tiene menos elementos que el grupo B, pues los elementos del grupo A se terminaron y no cubrimos a todos los elementos del grupo B.
En el segundo caso, observamos que ambos grupos tienen el mismo número de elementos. La figura muestra que los elementos del grupo A nos permiten cubrir a los elementos del grupo B, y no hay piezas sobrantes en ninguno de los grupos.
En el último caso, observamos, que hay más elementos en el grupo A, pues cubri-mos a todos los elementos del grupo B y nos sobran elementos del grupo A (tal como lo muestra la figura).
Hemos así analizado los tres casos posibles. Esto facilitará, más adelante, abordar los conceptos de mayor que, menor que o igual, además de visualizar que sólo es posible que ocurra una y sólo una de las situaciones anteriores.
Podemos modificar la actividad anterior. Por ejemplo, considere piezas de diferentes tamaños. Arme dos grupos y pregunte: ¿cuál grupo tiene más? ¿El tamaño de las piezas modifica la respuesta? Recuerde al alumno que se está considerando solamente el núme-ro de piezas en cada grupo, y no las características de las piezas.
Indíqueles además que proporcionen numéricamente el total de piezas en cada caso. ¿Se modifican las conclusiones obtenidas previamente? Al utilizar el valor numérico ¿qué criterio se utiliza para obtener la conclusión?
Asociar el valor numérico que corresponde al número de piezas que contiene cada conjunto, permite, sin necesidad de interactuar, determinar cuál conjunto contiene más objetos o si tienen la mis-ma cantidad.
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Medición
Tomen los tres cuadriláteros de diferentes tamaños o los tres triángulos distintos (isósceles) del tangram. Coloquen uno sobre otro en forma descendente (es decir, de mayor a me-nor) tal como se muestra en la figura:
Ahora ordenen las piezas, considerando la longitud o tamaño longitudinal del lado co-mún de las piezas. Para esto asocien al mismo el valor numérico del entero más próximo a dicha longitud. Pueden utilizar una regla graduada en centímetros o los cubos de tama-ño 1×1×1, los cuales tienen un centímetro en cada lado del cuadrado (o tabletas, según requiera), ordene en forma ascendente y luego descendente.
Considere la siguiente variante para esta actividad: solicite utilizar un cordón para cada pieza de forma tal que su longitud coincida con el perímetro de ésta, extienda la misma y compare las longitudes, ya sea de manera visual o mídalas utilizando para ello el entero más próximo a dicha longitud. Obtenga conclusiones.
El alumno debe concluir que, independientemente de utilizar cualquiera de estos dos métodos, la respuesta es la misma. ¿Qué ocurre si comparamos áreas? ¿La conclusión es la misma? ¿Cómo calculas el área de los cuadriláteros?
Ejercicio:
Preguntas:
• ¿El orden ascendente, en función de valor numérico, correspondería al orden según el tamaño visual de la pieza?• Si realizamos lo mismo para los demás lados comunes de las piezas ¿la disposición es la misma?• Si no consideramos la relación de los lados comunes, sino que realizamos todas las diversas combinaciones posibles ¿obtenemos algunas otras disposiciones? • En caso afirmativo, muestre dichas disposiciones.
Actividad 13
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Se parece a Pitágoras
1.- Solicite a los alumnos que tomen cuatro cuadriláteros del mismo tamaño, o propor-cione los mismos a equipos de dos integrantes. Pídales que armen dos cuadrados, uno hueco y el otro no. Tal como se muestra en la figura siguiente:
Recuerde a los alumnos que la pieza armada recibe el nombre de cuadrado. Pida que cada miembro del equipo arme uno de ellos. Por ejemplo, puede solicitar que armen el cuadrado sin hueco, y colocar todos, por ejemplo, en orden ascendente o descendente.
• Haga lo mismo con los cuadrados huecos. Finalmente, solicite que unos armen un cuadrado con hueco y otros un cuadrado sin hueco, y pídales que los coloquen en el orden que usted les indique.
• Solicite a los alumnos que arme otro tipo de figuras y las muestren a sus compañeros.
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Actividad 14
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2.- Con 4 cuadriláteros iguales construyan el cuadrado sin hueco correspondiente. A partir de estas piezas, construyan otras figuras. ¿Qué características tienen dichas figuras? ¿Las áreas que cubren son las mismas? Justifique su respuesta.
3.- Solicite que armen el cuadrado con hueco y respondan lo siguiente: ¿qué forma tiene el hueco?
4.- Consideren todos los cuadriláteros y formen los tres grupos distintos, en función de su tamaño. Respondan lo siguiente: ¿qué grupo tiene más? Justifiquen su respuesta.
• Una actividad adicional es la siguiente: el área del cuadrado formado por los cuadrilá-teros es cuatro veces el área de cada uno de éstos. Equivalentemente, cada cuadrilátero tie-ne un área que es la cuarta parte del área del cuadrado del cual forma parte. Por ejemplo, si construimos un rectángulo a partir de dos cuadrados iguales, concluimos que el área del rectángulo es el doble del área del cuadrado o equivalentemente el área del cuadrado es la mitad del área del rectángulo. Más aún, el rectángulo tiene ocho veces el área del cuadri-látero que forma parte del cuadrado que, a su vez, forma parte de este último. Equivalen-temente, el cuadrilátero tiene un área que es la octava parte del área del rectángulo, y así sucesivamente. Podemos implementar esto con el tangram, y obtener muchas variantes, pues es posible construir medios, tercios, cuartos, etc. Describan algunos ejemplos.
Preguntas:
• ¿Qué forma tienen las figuras que armaron? • ¿Qué otras disposiciones proponen?• ¿Qué sucede si agregan más piezas al grupo de piezas originales? • ¿Con cinco piezas iguales pueden construir un cuadrado? • ¿Con seis piezas iguales pueden construir un rectángulo?
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Del tangram a Pitágoras
Utilicemos los dos tangrams. Permita a los alumnos manipular sus piezas. Pídales que mencionen el nombre de cada una. Con el primer tangram construyan un cuadrado; con el otro, construyan dos cuadrados del mismo tamaño (mencione que para armar uno de los dos cuadrados se utilizan dos piezas iguales, las restantes cinco permiten construir el otro cuadrado). Es claro entonces que los dos cuadrados iguales cubren la misma área que el cuadrado mayor ¿Por qué?
Ahora, solicite a cada equipo que armen los cuadrados mostrados. En caso de dificul-tad, el maestro debe de apoyar a los alumnos.
Ejercicio:
a)
b)
Preguntas:
• ¿Cuál cuadrado es más fácil de armar?• ¿Cuál es el más difícil?• ¿Qué figuras planas constituyen al tangram?• ¿Puedes armar un rectángulo utilizando todas las piezas del tangram?• ¿Qué te parece la actividad?
Actividad 15
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Considere al cuadrado más grande como una unidad.
Ahora invierta la pregunta; si el área del triángulo isósceles pequeño es una unidad cuadrada, ¿cuántas unidades cuadradas tendrá de área cada uno de los cuadrados cons-truidos?
Solicíteles que construyan sus propias figuras, a partir de las piezas de un tangram o con las tarjetas que armen las figuras que se sugieren. ¿El área de cualquier figura armada, utilizando el tangram, es la misma? Justifique su respuesta. Construya o dibuje figuras donde el área sea mayor o menor al área que cubren las piezas del tangram.
Ordene los cuadriláteros y las piezas del tangram, primero en función de la longitud y después del área, de menor a mayor. ¿Cuántas piezas tienen la misma longitud? ¿Cuántas la misma área?
El problema de comparar la superficie de dos figuras por superposición y recubri-miento, permite al alumno de primaria estudiar de manera indirecta el Teorema de Pitágoras, un resultado matemático conocido. ¿Cuántas veces hemos oído mencionar la siguiente frase: “Pitágoras no se equivocó”, sin referirnos de manera explícita al resultado como tal? El teorema lleva su nombre, porque la tradición es unánime en atribuir a Pitágoras el descubrimiento independiente del teorema del triángulo rectángulo que ahora lleva uni-versalmente su nombre, y que enuncia lo siguiente: el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Como se menciona en un párrafo anterior, el problema de comparación entre super-ficies nos va a permitir hallar algunas demostraciones del Teorema de Pitágoras. Las mismas descansan en esa idea geométrica. Reiteramos que no es necesario mencionar el teorema, pues el alumno, a partir de tales actividades, podrá obtener sus propias conclusiones, equivalentes a lo que enuncia el teorema.
Preguntas:
• El área de cada uno de los otros dos cuadrados construidos con 2 y 5 piezas res-pectivamente, ¿qué área representan del cuadrado grande?• Responda lo correspondiente para cada una de las piezas
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Demostrando a Pitágoras
Para efectuar la actividad, utilizaremos los 36 cuadriláteros. Solicite a los alumnos que los separen en grupos del mismo tamaño (o color). Independientemente del criterio de selección, cada grupo debe tener 12 piezas iguales. El alumno debe concluir que existen objetos que pueden elegirse con diversos criterios y obtener aun así los mismos resulta-dos (poseen más de una característica común).
Tomen 8 piezas iguales y armen los cuadrados de la actividad 14, utilizando 4 piezas para cada armado.
Comente al alumno que, aunque los cuadrados son de diferente tamaño, las áreas que cubren son las mismas y las áreas que abarcan son distintas. Solicite a los alumnos que justifiquen lo anterior. ¿Qué pueden decir acerca del perímetro?
Ejercicio:
Preguntas:
• ¿Las colecciones tienen la misma cantidad de objetos? Justifique su respuesta, la cual puede ser numérica o no.
• ¿Cuál es la justificación de esta última respuesta?
Actividad 16
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El proceso permite obtener 3 cuadrados huecos y 3 no huecos. Una vez cum-plido el objetivo, subdividan en 2 grupos los cuadrados obtenidos, uno formado
por los cuadrados huecos y el otro no. Pida que los ordenen en forma ascendente o descendente.
Finalmente, pida a los alumnos que de la figura formada por dos cuadrados, separen éstos, formen los dos cuadrados sin hueco y los ordenen por tamaño, adjuntado el otro cuadrado en cuestión. Podemos concluir así que, al agregar o sumar los dos primeros cuadrados, obtenemos el otro cuadrado, y que ésta es la única combinación posible que satisface tal situación.
Una variante de esta actividad es solicitar a los alumnos que tomen cuatro piezas del mismo tamaño de cada grupo de doce, y construyan tres cuadrados de cada color sin hueco (esto debe indicarles, que es posi-ble construir tal vez otro cuadrado, pero hueco). Una vez obtenido esto, que los ordenen por tamaño de menor a mayor. Pida que tomen los dos cuadrados de menor tamaño y, a partir de éstas, cons-truyan un cuadrado. Aquí se desarrollan habilidades como las que se refieren a ensambles y desensambles. Lo anterior permite al alumno poner a prueba diver-sas combinaciones entre las piezas. En este punto, el color de las piezas ya no implica una restricción en la construc-ción, lo cual puede ser un obstáculo para el objetivo del alumno (sin embargo aquí es importante puntualizar que se estimula el razonamiento, pues a partir de ciertas
Preguntas:
• En ambos grupos, existen piezas que son del mismo tamaño (unas son huecas y las otras no). Sepárelas del resto del grupo.• ¿Del grupo de las figuras no huecas, una de éstas puede introducirse en la pieza hue-ca y cubrir el hueco? En caso afirmativo separe y complete la pieza.
Hemos aquí probado el Teorema de Pitágoras, y nunca se mencionó.
Observación:
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Corta y construye a Pitágoras
Indique a los alumnos que tomen cuatro de los triángulos rectángulos cuyos ángulos sean de 30° y 60°, respectivamente. A partir de ellos, solicite que construyan una figura, de tal forma que sea posible obtener de ella el cuadrado que se obtiene de los cuadriláteros de tamaño mediano. La figura debe ser como la que se muestra a continuación. El alumno observará que el corte resulta relativamente simple, a partir de dicha construcción.
Solicite, utilizando regla graduada, lápiz y transportador, que indiquen las características particulares del cuadrilátero construido a partir de esta técnica
condiciones, debemos determinar la viabilidad o imposibilidad de lograr el objetivo). Una vez logrado el propósito, se solicita al alumno que coloque una de las piezas sobre la otra. Si el maestro desea facilitar el procedimiento (armado y desarmado), él puede efectuar toda esta actividad, solicitando al alumno que la mire con atención.
Solicitamos a los alumnos que nos indiquen qué pueden decir acerca de la actividad desarrollada (estamos estimulando su proceso de razonamiento, el cual tendrá como re-sultado la obtención de una conclusión).
Puede solicitarles que calculen el área de cada uno de los cuadrados, sumen y compa-ren las mismas.
Hemos obtenido una demostración formal del Teorema de Pitágoras que no requiere de ningún procedimiento de cálculo numérico, sino que es suficiente con realizar un corte o disección de cada uno de los cuadrados para lograr nuestro propósito. El problema se reduce entonces a determinar cómo se efectúa el corte. La siguiente actividad nos permite obtener dicho corte.
Ejercicio:
Actividad 17
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Preguntas:
• ¿El cuadrilátero construido tiene dos lados del mismo tamaño?• ¿Cuánto miden los ángulos interiores de cuadrilátero?• ¿Cuántos ángulos rectos tiene el cuadrilátero?• ¿Los lados adyacentes a uno de los ángulos rectos son iguales?• ¿Por qué este cuadrilátero tiene un ángulo agudo y un obtuso?• ¿Qué medida tienen cada uno de estos ángulos?• ¿El triángulo que se obtiene al hacer la bisección es un triángulo semejante al trián-gulo original?• Determine la proporcionalidad de ellos.• Determine el tamaño de los lados de los triángulos rectángulos, que permiten obte-ner al cuadrilátero pequeño y al cuadrilátero grande. Puede utilizar la técnica de pro-longar los lados adyacentes al ángulo recto y estimar los lados del triángulo rectángulo, o utilizar la proporcionalidad obtenida en el ejercicio anterior.• ¿La proporcionalidad constante es independiente del triángulo rectángulo que se utilice para efectuar el corte?
Pitágoras duplica áreas
1.- Utilizaremos en esta actividad dos tangrams. Solicite que con el primer tangram cons-truyan un cuadrado y con el otro construyan dos cuadrados del mismo tamaño (puede in-dicarles que para armar uno de los dos cuadrados se requieren los dos triángulo grandes, los restantes cinco permiten construir el otro cuadrado). Es claro que los dos cuadrados iguales cubren la misma área que el cuadrado mayor. ¿Por qué?
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Ahora, usaremos uno de los lados de cada cuadrado y construiremos un triángulo, el cual tiene la particularidad de presentar dos lados del mismo tamaño. Mencione que un triángulo con tales características se llama isósceles.
Construyan las siguientes variantes del Teorema de Pitágoras. Utilice las piezas del tan-gram.
2.- Solicite a los alumnos que tomen los 2 cuadrados o los 4 triángulos isósceles peque-ños, o un cuadrado y 2 triángulos isósceles pequeños, Agregue a cualquiera de las coleccio-nes anteriores un par de triángulos rectángulos isósceles medianos. Construya, en caso de ser necesarios, los tres cuadrados que pueden formarse tal como se muestra en la siguiente figura:
Solicite que verifiquen que el área total que cubren los 2 cuadrados pequeños es igual al área del cuadrado grande (el alumno debe concluir que elegir los 4 triángulos rectángulos pequeños facilita lo solicitado). Finalmente, como en la actividad anterior, pídales que construyan el triángulo rectángulo correspondiente a partir de las piezas que satisfa-cen lo previamente solicitado.
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3.- Ahora reproduzca una construcción similar a alguna de las anteriores, utilizando para ello 4 triángulos medianos y 2 triángulos grandes. Nuevamente verificamos Pi-
tágoras. Podemos seguir realizando construcciones de esta naturaleza si consideramos piezas del tangram gigante.
En particular, esta construcción nos permite conocer un procedimiento para duplicar áreas de cuadrados, tal como lo muestran las siguientes figuras.
• Compare las áreas utilizando fracciones.
Preguntas:
• Consideren el cuadrado más pequeño. ¿Cuál es el cuadrado más grande que se pue-de construir utilizando un solo tangram? • Si utilizamos ahora el tangram gigante, determine el cuadrado más grande que se puede construir.• Si iniciamos con el cuadrado más pequeño, determine el número de veces que cabe el mismo en el cuadrado más grande. • ¿Es posible construir a partir de dos cuadrados uno solo?
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Áreas y Pitágoras
Solicite a los alumnos que con las piezas adecuadas construyan las figuras que se mues-tran a continuación
Pregunte al resto del grupo si ambos cuadrados son del mismo tamaño (áreas iguales). En caso de no obtener una respuesta afirmativa general, puede utilizar el procedimiento de medición (comparación) directa, donde puede utilizar regletas o un cordón. Tome ahora el triángulo rectángulo que se utiliza para efectuar este ejercicio, muestre a los alum-nos e indíqueles que tomen cuatro piezas iguales.
Pida que coloquen dichos triángulos para cubrir la parte del otro cuadrado, colocando los mismos sobre las figuras que son iguales a ellos (figuras del mismo tamaño y forma). Podemos concluir así que el área no cubierta es de menor tamaño (o área) a la figura inicial. Acto seguido, solicite al alumno que retire los triángulos del cuadrado, y ahora los coloque en el otro cuadrado, utilizando las mismas indicaciones que para el primero. Fi-nalmente, pídales que expresen sus comentarios sobre el procedimiento que se trabajo.
Ejercicio:
Preguntas:
• ¿Qué figuras son las que no se cubren con los triángulos?• ¿Cuántos cuadrados hay en el primer dibujo?• ¿Cuántos en el segundo? • ¿Por qué son cuadrados? • Puede utilizar otros 4 triángulos rectángulos, para cubrir el área respectiva del otro cuadrado. ¿Las áreas no cubiertas son iguales?
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El recíproco de Pitágoras
La parte interesante de esta actividad es que haremos la prueba del recíproco de Teorema de Pitágoras7. Utilizaremos para nuestro propósito los cuadrados usados en la actividad 16. Solicite que utilicen uno de los lados de cada uno de los tres cuadrados y, a partir de ellos, construyan un triángulo. Usarán ahora una escuadra y se les mencionará que la escuadra forma la figura plana del menor número de lados rectos, siendo ésta la de un triángulo, pero con la particularidad de que este triángulo puede colocarse de tal forma que un par de sus lados pueden colocarse y estar cada uno de los mismos en contacto, a la vez, uno con piso y el otro con la pared. Es esta característica la que permite llamar de manera particular a este triángulo rectángulo, es decir posee un ángulo recto. Colocando la escuadra sobre el triángulo construido, uno concluye que el triángulo formado por los cuadrados que utilizamos en la actividad 19 forman un triángulo rectángulo.
En función de esto, podemos entonces decir que los triángulo utilizados en la activi-dad 18 son todos triángulos rectángulos.
La conclusión es que todo triángulo rectángulo satisface la condición del Teorema de Pitá-goras y que todo triángulo que satisface el Teorema de Pitágoras es un triángulo rectángulo.
Ejercicio:
Preguntas:
• ¿Los triángulos del tangram son rectángulos? • ¿Los ángulos del cuadrado son rectos?
7 Nos referimos a que el teorema tiene dos implicaciones: una necesidad y una suficiencia.
Actividad 20
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Construyendo teselas a partir de Pitágoras
Aquí se trabajan figuras planas de cuatro lados. Si observamos a nuestro alrededor, ve-remos la importancia de las mismas. Por ejemplo, las puertas, las ventanas, las paredes, nuestros libros y cuadernos y muchos otros objetos creados por el hombre tienen la forma de cuadrilátero. Esto se debe a que estas figuras se hacen fácilmente y también se unen fácilmente sin dejar huecos (ocurre algo similar con los triángulos).
Utilizaremos el tangram. A partir de el mismo, solicite a los alumnos que construyan o indiquen entre las piezas los siguientes cuadriláteros: el cuadrado, el rectángulo, el paralelogramo, el rombo, el trapecio, etc., tal como se muestran en las siguientes figuras.
No cortar siempre para Pitágoras
Efectuaremos una construcción similar a la de la actividad 17, pero utilizando las piezas del tangram, haciendo uso de triángulos isósceles. Observaremos que para este ejemplo, a diferencia de la actividad 17, no se requiere hacer de ningún tipo de corte, es decir, no se construye ningún cuadrilátero, si no que en el caso de los triángulos isósceles, ellos mis-mos funcionan para duplicar áreas. Tal como lo muestran las siguientes figuras:
Ejercicio:
Ejercicio:
Actividad 21
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Las figuras que embonan sin dejar huecos o espacios se llaman teselas. Por ejemplo, los azulejos es las casas son teselas. Los cuadriláteros idénticos siempre embonan sin importar su forma. Estos son ejemplos de teselas. Construya las teselas que se muestran a continuación:
Solicite que construyan las siguientes figuras:
a) b)
d) e)c)
a) b)
Preguntas:
• ¿Qué relación hay entre las figuras?• ¿Se parecen? • ¿Hay huecos?
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Simetrías
Solicite a los alumnos que tomen dos triángulos rectángulos. Pueden utilizar los triángulos de 30º y 60º o los triángulos isósceles. Como se muestra en la figura, indique que la línea de unión en ambas figuras determina un eje de simetría de la figura total.
Construya las siguientes figuras e indique cuáles son los ejes de simetría de las mismas.
Ejercicio:
Preguntas:
• ¿Qué pueden decir de los ejes de simetría? • ¿Cómo divide el eje de simetría a la figura?
Actividad 23
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Muestre las siguientes figuras:
Consideremos ahora los siguientes cuadrados construidos utilizando el tangram. Los cortes determinan ejes de simetría del cuadrado, pero además este eje recibe el nombre de diagonal del cuadrado.
Preguntas:
• ¿Las figuras anteriores tienen un solo eje de simetría?• ¿El cuadrado tiene un solo eje de simetría? • ¿Todas las figuras poseen eje de simetría?
Preguntas:
• ¿Cuántas diagonales posee el cuadrado?• ¿Cuántas un rectángulos? • ¿Los triángulos tienen diagonal?
El maestro tiene la decisión de aplicar cada una de las actividades en el orden que el considere pertinente, omitir alguna o realizar la implementación simultanea de ellas. Además, cada ejercicio puede aplicarse a grupos de hasta 4 alumnos.
Observación:
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Ejercicio libre 1
Considere los siguientes tres cuadrados:
Coloque de mayor a menor (o de menor a mayor) utilizando los criterios de tamaño (área) o color. Puede aplicarse lo mismo a los 36 cuadriláteros.
Aplique ahora el ejercicio a las piezas del tangram, consideran-do las adecuaciones correspondientes en el ejercicio, así como en las preguntas.
a)
b)c)
Preguntas:
• Solicite que proporcionen otro criterio de comparación para obtener la misma co-locación de cuadrados, según se haya indicado.Sugerencia: utilice tres cordones de diferentes tamaños, tales que el contorno de cada pieza se cubra totalmente. Aplique lo mismo para cada cuadrilátero.• Considere los 36 cuadriláteros. ¿Cuántas colecciones de tres piezas de diferente tamaño se forman?• Tome dos colecciones de tres piezas de diferente tamaño y coloque primero una de las colecciones de cuadriláteros de menor a mayor, y enseguida de ésta la otra colección, utilizando el criterio de mayor a menor. Solicite que dibujen el punto de simetría de la figura resultante.
Actividad 24
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Ejercicio libre 2
Considere cada uno de los tres cuadrados y cons-truya para cada uno un cuadrado de área doble, res-
pectivamente. Puede sugerir al alumno construir un triángulo rec-
tángulo isósceles. Más aún es posible, bajo este proce-dimiento, construir una sucesión de cuadrados cuyas áreas sean el doble del anterior.
Ejercicio libre 3
Construya los tres cuadrados de interior hueco. Complete cada uno de ellos y complete el correspondiente triángulo rectángulo en cada caso.
Ejercicio libre 4
Para probar que las figuras de cuatro lados siempre embonan, solicite que dibujen en una hoja el cuadrilátero que deseen, apilen 12 hojas y corten la figura dibujada para obtener 12 piezas iguales. Use los recortes para hacer el patrón y obtener la tesela correspondiente.
Construya teselas utilizando triángulos, rombos, paralelogramos, etcétera.
pequeño mediano grande
cuadrilátero
12 hojas
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Ejercicio libre 5
Construya las figuras propuestas para el tangram. Obtenga las simetrías de estas figuras, en caso de ser posible. Obtenga también los valores de sus ángulos y sus perímetros. ¿Qué podemos decir del área de cada figura?
Ejercicio libre 6
Consideren los cuadriláteros de los tres tamaños distintos, comparen sus áreas y sus pe-rímetros. ¿Puede establecerse una relación entre estas cantidades? Compare los ángulo de los mismos entre sí. Aplique lo mismo para los tres triángulos isósceles diferentes del tangram.
Ejercicio libre 7
Muestre que los ángulos interiores de un cuadrilátero suman 360° y los ángulos interiores de un triángulo suman 180°.
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Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, sin autorización escrita del titular
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