¿De dónde vienen realmente los números y cómo llegan a nuestra mente?¿Porquéalgunaspersonas tienen facilidadpara lidiar conellosy amuchasotraslesresultatandifícildominarlos?EstelibroofrecerespuestasaestasyotrasapasionantespreguntasquedelineanloqueStanislasDehaenellama«elsentidodelnúmero»:nuestracapacidadpararepresentarcantidadesy,conunpocodeesfuerzoyotrodeeducación,paraentenderesossímbolosabstractos,relacionarlos,sumarlosy,conunesfuerzomás,multiplicarlosodividirlos.Aligual que la percepción del color o el reconocimiento de la ubicación deobjetosenelespacio,estesentido¡estáinstaladoennuestrocerebro!Elautorinicia su recorrido con el descubrimiento de que los animales —ratas,palomasychimpancés—puedenrealizaralgunoscálculossencillos,ydequelosbebésposeenuna intuición innatapara reconocercantidadesycompararmagnitudes. Nos cuenta también qué les ocurre a pacientes con lesionescerebrales que pierden la capacidad para determinar cantidades triviales, ocómo los llamados «idiotas sabios» son incapaces de operacionesmentalessimples y hasta de valerse por sí mismos, pero pueden ser genios enmatemáticas. El viaje nos lleva además por el origen de los números, nosexplica la influencia del lenguaje en el cálculo (por qué, por ejemplo, losalumnos chinos tienen más éxito con las matemáticas que sus paresoccidentales),yhastaquépasaconculturassinpalabrasparalosnúmeros,oque solo pueden nombrar cantidades hasta cinco. Las investigaciones deDehaene—ungeniode laneurocienciamundial,queyanosdeslumbróconsus descubrimientos sobre capacidad lectora y sobre la conciencia en elcerebro— lograron comprender el papel de pequeñas áreas discretas de lacorteza parietal humana en las distintas operaciones matemáticas ydemostraron el asiento biológico de nuestro sentido del número, aquel queempleamos de manera inconsciente desde que tenemos uso de razón, yseguramente antes también. Con su prosa clara y fascinante, el autor nosinvita a pasear por cuentas, cantidades,mapas y surcos corticales para, unavezmás,conocernosanosotrosmismosyaesa impresionantemáquinaquellevamossobreelcuelloyentrenuestrasorejas.

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StanislasDehaene

ElcerebromatemáticoCómonacen,vivenyavecesmuerenlosnúmerosen

nuestramente

ePubr1.0diegoan19.01.2020

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Títulooriginal:ThenumbersenseStanislasDehaene,2007Traducción:MaríaJosefinaD’AlessioEdiciónenespañolalcuidadode:YamilaSevillayLucianoPadillaLópezEditordigital:diegoanePubbaser2.1

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Índicedecontenido

Cubierta

Elcerebromatemático

Estelibro(yestacolección)

Prefacioalasegundaedición

Prefacioalaprimeraedición(actualizado)

Introducción

ParteI1.AnimalestalentososUnpocodeastuciaequinaRatasquecuentan¿Cuánabstractossonloscálculosanimales?Lametáforadelacumulador¿Hayneuronasdetectorasdenúmero?ContandoenlanieblaLoslímitesdelamatemáticaanimalDelanimalalhombre2.ContaralospocosmesesBebé,modeloparaarmar:lateoríadeJeanPiagetLoserroresdePiagetCadavezmásjóvenesElpoderdeabstraccióndelosbebés¿Cuántoes1más1?LoslímitesdelaaritméticainfantilElnúmero:innatoyadquirido3.Nuestraherencianumérica1,2,3…ylodemásAcercándonosalosnúmerosgrandesLacantidaddetrásdelossímbolosLacompresiónmentaldenúmerosgrandesEntenderporreflejoNúmerosenelespacioElcoloridouniversodelosnúmerosIntuicionesnuméricas

ParteII4.EllenguajedelosnúmerosUnabrevehistoriadelosnúmerosUnregistropermanentedelosnúmerosElprincipiodelvalorposicionalUnagrandiversidaddelenguajesnuméricosLoscostosdenohablarchino

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AprenderaetiquetarcantidadesNúmerosredondos,númerosexactos¿Porquéalgunosnumeralessonmásfrecuentesqueotros?Elcerebro:motorymedidadelaevolucióncultural5.PequeñascabezasparagrandescálculosContar:elABCdelcálculoInventaralgoritmostambiénescuestióndechicosLamemoriaentraenescenaLastablasdemultiplicar:¿unaprácticaquenoestáennuestranaturaleza?¡Lamemoriaverbalalrescate!CuandolosalgoritmosdecálculoestánfalladosProsycontrasdelacalculadoraelectrónicaEl«hombreanumérico»:dimeenquépaísestudiasytedirécómocalculasEnseñarelsentidonumérico:loquelaescuelapuedehacer6.GeniosyprodigiosUnbestiarionuméricoElpaisajedelosnúmerosLafrenologíaylabúsquedadelasbasesbiológicasdelagenialidad¿Eltalentomatemáticoesundonbiológico?CuandolapasiónengendratalentoParámetrosordinariosparacalculistasextraordinariosRecetasparaelcálculorelámpagoEltalentoylainvenciónmatemática

ParteIII7.PerderelsentidonuméricoElseñorN.,elhombreaproximativoUndéficitbiendelimitadoUncampeóndelabsurdonuméricoLacortezaparietalinferioryelsentidonuméricoAtaquesinducidosporlamatemáticaLosmúltiplessignificadosdelosnúmerosLasautopistasdeinformaciónnuméricadelcerebro¿Quiénorganizaloscálculos?Enlosorígenesdelaespecializacióncerebral8.Elcerebrocalculador¿Elcálculomentalaumentaelmetabolismocerebral?Elprincipiodelatomografíaporemisióndepositrones(PET)¿Sepuedelocalizarelpensamientomatemático?CuandoelcerebromultiplicaocomparaEltomógrafo,lospositronesysuslímitesElcerebroelectrificado¿Cuántotiempohacefaltaparaaccederalarectanumérica?Comprenderlapalabra«dieciocho»Neuronasmatemáticas9.¿Quéesunnúmero?¿Elcerebroesunamáquinalógica?CómputosanalógicosenelcerebroCuandolaintuiciónsuperaalosaxiomasPlatónicos,formalistaseintuicionistasLaconstrucciónylaseleccióndelamatemáticaLaefectividadirracionaldelamatemática

ParteIV

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10.Elsentidonumérico,quinceañosdespuésNúmerosenelcerebroNúmerosenelespacioyeltiempoNeuronasparanúmerosNúmerosenbebésLaespecialcondicióndelosnúmeros1,2y3¿Cómofuncionalasubitización?NúmerosenlaselvaamazónicaDelaaproximaciónalosnúmerosexactosLacomprensióndelasdiferenciasindividualesyladiscalculiaDelacogniciónnuméricaalaeducaciónConclusión

ApéndiceA

ApéndiceB

Bibliografía

Sobreelautor

Notas

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Estelibro(yestacolección)

Yelángeldelosnúmeros/pensativo,volando/del1al2,del2/al3,del3al4.

RafaelAlberti,ElángeldelosnúmerosNos pasamos la infancia / contando piedras, plantas, /dedos, arenas,dientes, / la juventudcontando/pétalos,cabelleras./Contamosloscolores,losaños,/lasvidasylosbesos[…]./Eltiemposehizonúmero./Nosrodearonlosnúmeros.

PabloNeruda,Odaalosnúmeros

Enelprincipiofueelnúmero.Quizásantesqueelcerebro.Luegojuntaronsus caminos, convirtiendo nuestra capacidad de ver el mundomatemáticamenteenunverdaderosentido—paraalgunos,elsextosentidode nuestro cuerpo—. Ahora bien, ¿qué le pedimos a un sentido? Porejemplo,queexistanáreascerebralesespecializadasqueseactivencuandodesarrollamos esa experiencia sensorial. Eso es lo que ocurre, de hecho,con losnúmeros, tantoencerebrosdeprimatesnohumanoscomoenelnuestro; en efecto, allá por el área parietal (un pocomás arriba que lasorejas,idealparaelcabezazocerteroyalángulo),seproducenrespuestasalosestímulosdecantidades.Unverdaderomapacerebraldelosnúmerosy,por cierto, unomuypreciso: StanislasDehaene y su grupodemostraronqueexistenáreasparietalesdiferentesparalaestimaciónolacomparaciónnumérica,yotras,porejemplo,paralamultiplicación.Enelorigendesusinvestigacioneshuboalgunoscasosclínicos,como

el paciente N., quien para llegar a una cantidad determinada se veíaobligadoarecitarlaseriedenúmerosnaturales.Aestepacienteselopodíaconsiderarun«hombredelaaproximación»,yaquesuscálculosarrojaban

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resultadosaproximados:2+2daalgoentre3y5,ysuañotiene«cercadetrescientos cincuentadías».Estudiando su cerebro,Dehaene fuepioneroenlainvestigacióndeunsentidodelnúmero,recorriendoununiversoquevadelosanimalesaloshumanosdediferentesculturas,delosbebésalosgeniosdelamatemática.Es que no estamos solos en este sentido del número: los animales

(monos, ratas, palomas, salamandras, delfineso leones, por citar algunosestudios)parecentenerlo.Ytambiénlosanimalesmásextrañosdetodos,los bebés, esos locos bajitos que se incorporan…y cuentan todo lo quehay en su mundo. Sí: mientras que es posible entrenar a una rata pararecibircomidasolosiaprietaunapalancaunacantidadespecíficadeveces,un bebé de seis meses distingue claramente cantidades y relaciones demayor/menor.Estospequeñitospuedenreconocersumasorestassencillas—así que tengan cuidado cuando quieran explicarles dulcemente que taljugueteesmuchomáscaroqueotro—.Unade lasprincipalespreguntasen esta historia es si nuestra capacidad de interpretar la naturalezanuméricavienedefábricaosinecesariamente lavamosaprendiendo.Losexperimentos con niños de meses de edad (¡meses!) son reveladores alrespecto, según los resultadosarrojadosporelpropioDehaene.Porotraparte, somos especialistas en trazar una geografía de los números o, enotras palabras, ponerlos sobremapas (mentales o de papel).Nos resultasencillopensarenunareglaconlosnúmerosordenadosunotrasotro—aunque esta habilidad se puede trastocar con ciertos tipos de lesionesmentales—.Perohaymuchomásenelmundode loquepuedennuestramatemática y nuestra civilización. Ciertas tribus de Nueva Guinea sonincapaces de trazar líneas numéricas, mientras que otras, como losmundurucus del Amazonas (también estudiados por el autor), utilizanmentalmente escalas logarítmicas y no lineales. ¿Será entonces que losnúmerossoninnatos,perolaslíneasdependendeldelineadorysucultura?¿Yqué sucede en aquellas culturasque,directamente,no tienenpalabraspara identificar a los números, como los pirahãs, o que solo pueden«contar»hasta5,comolosmundurucus(ylapalabra«cinco»eslamismaqueseusapara«unamano»)?¿Seráque lanecesidaddelconteo,o ladelsentido del número, se fue afianzando a medida que los humanos seestablecieronencomunidades,desarrollaronlaagriculturay,másadelante,losalmaceneschinos?Lapreguntasobre«naturalezavs.cultura»esfundamentaleneldebate

de la numerología cerebral y, como suele suceder, hay una suerte de

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empatetécnico.Sibienyavenimosaestemundoconelcerebropreparadoparaelsentidodelnúmero, tambiénesprecisodesarrollarlo.Elpasajedecontarconlosdedosaimaginarlascuentastienequeserfomentadopasoapaso, como saber de memoria las tablas de multiplicar (algo que paranuestrocerebronoresultanadatrivial):aquíhayunaverdaderaeducacióndel sentido del número, una de las aplicaciones de las investigaciones deDehaeneenlaescuela.Asimismo, y como corresponde a toda neurociencia cognitiva que se

preciede tal, tambiénhaydiferencias de género en estodel «sentidodelnúmero».Un experimento realizado conmiles depersonas en Inglaterrademostró que las mujeres son mejores y más rápidas en la estimacióninmediata de cantidades pequeñas (que el cerebro cuenta de maneradiferente—ymásprecisa—quecuandosetratadenúmerosmásgrandes).Y si encima son jugadoras de videojuegos, mejor… porque ese vicio denuestros tiempos además ayuda a identificar de modo instantáneonúmeros de cosas en la pantalla (algún beneficio tienen que tenertantísimashorasdeCallofDuty,MinecraftoPlantasversusZombis).No es casual que Dehaene sea, desde hace tiempo, uno de los

principales investigadores en este tema: él mismo tiene una fuerteeducación enmatemática y computación, que en algúnmomento derivóhaciaelestudiodelcerebro.Suintuicióndenuestramaneradecalculardeinmediato cantidades pequeñas (algo así como «subitar»—por lo súbitodel cálculo—) lo llevó a predecir numéricamente la respuesta denuestrocerebro—intuiciónque,pasoapaso,fuecomprobadaexperimentalmente—.Claro,loquesuenamenosintuitivoesporquéevolucionamosconestesentidodelnúmero.Yaquíapareceotragenialidaddelautor—queyanosdeslumbróconunaideasimilarensumaravillosoElcerebrolector—:estanumerosidad cerebral puede corresponder a un reciclado de áreas queoriginalmente teníanotra funcióny fueronaprovechadaspara saber si sevienendemasiadosenemigosyconvienehuir al trote,o siunárbol tienemásmanzanasqueotro.SegúnelpropioDehaene,«laspalabrasescritasolosnúmerospuedenconsiderarseparásitosqueinvadensistemascerebralesque, en un principio, estaban destinados a un uso bastante diferente».ComodiríaWilliamBurroughs,ellenguajeesunvirusdelespacioexterior;quizá,losnúmerostambiénlosean.Ytodoestollegainexorablementealaescuela.Pasadasalgunasdécadas

deeseintentollamado«matemáticamoderna»,quepresuponíaquelosmáschiquitos eran incapaces del cálculo —y que mi generación vivió

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especialmente en laArgentina—, las investigaciones sobre el sentido delnúmero pueden ayudar a una enseñanza más adecuada de lo queinevitablemente se convierte en el terror de cualquier alumno. Todostenemos más o menos el mismo cerebro, que sabe sumar, restar ycompararcantidadesdemaneraintuitiva,yparaelcualmultiplicacionesodivisiones complejas pueden transformarse en una pesadilla. Entonces,mediante juegosy lecciones,elautorofrecerecorridosparaqueeldiablodelosnúmerosentreamigablementealaula.Si bien este libro nos llega un poco desordenado en la biografía del

autor (fue su primer texto destinado al público general), engalanaperfectamente nuestra biblioteca junto a los extraordinarios El cerebrolector(ysuhermanomenor,Aprenderaleer)yLaconcienciaenelcerebro,integrandounatrilogíaapasionantequenadatienequeenvidiaraguerrasgalácticasoseñoresconanillos.Lanaturalezaylaculturarecorrenestaspáginas,entreanimales,bebés,

niños prodigio y, sobre todo, el más maravilloso objeto del universo,mezcla de ábaco, tabla de multiplicar, identificador de patrones yadmiradordesímbolosabstractos:nuestropropiocerebro.

Esta colección de divulgación científica está escrita por científicos quecreenqueyaeshoradeasomarlacabezaporfueradellaboratorioycontarlasmaravillas,grandezasymiseriasdelaprofesión.Porquedeesosetrata:de contar, de compartir un saberque, si sigue encerrado,puede volverseinútil. Esta nueva serie nos permite ofrecer textos más extensos y, enmuchoscasos,compartirlaobradeautoresextranjeroscontemporáneos.Cienciaqueladra…nomuerde,solodaseñalesdequecabalga.Ysies

SerieMayor,ladramásfuerte.

DiegoGolombek

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Prefacioalasegundaedición

Sinproponérselo, un libro científico esuna cápsulade tiempo.No tienefecha de vencimiento, lo que enmuchos casos significa que los lectoresevaluarán sus teorías, hechos y evidencias muchos años después de lapublicación, y lo harán con omnisciencia retrospectiva. Este libro, queescribí cuando todavía no había cumplido los 30, no es una excepción aestaregla.Tuve la suerte de comenzar a trabajar en este libro durante los

primeros años de la década de 1990, en un momento en que lainvestigación sobre el número estaba dando los primeros pasos. Unpuñadodelaboratoriosempezabaapenasarozareltema,inaugurandoestecampo de investigación. Algunos hacían foco sobre cómo los niñospercibíanconjuntosdeobjetos.Otrosseespecializabanenlaformaenquelosniñosenedadescolaraprendenlastablasdemultiplicar,oestudiabanelextraño comportamiento de los pacientes que sufren lesiones cerebralesque alteran las habilidades para el cálculo. Por último, algunos —entreellos, yo— hacían las primeras incursiones en la investigación enneuroimágenesparadescubrirquéáreascerebralesseactivancuandoalosestudiantesse leshaceunapreguntaaritméticasencilla,como«¿6esmásgrandeque5?».Enesemomento,solounospocosdenosotrospodíamosver que todos estos estudios un día confluirían en un solo campo, lacognición matemática, con una serie de técnicas multifacéticas queapuntabanaresponderalaestimulantepreguntadeWarrenMcCulloch:

¿Qué es un número, que el hombre puede conocerlo, yquéesunhombre,quepuedeconocerunnúmero?

Escribí este libro con este sencillo objetivo: reunir todos los datosdisponibles acerca de cómo el cerebro realiza operaciones aritméticaselementalesyprobarqueseestabagestandounnuevoypromisoriocampodeinvestigación,llenodedescubrimientosempíricosporrealizar.También

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confiaba en la posibilidad de echar algo de luz sobre las viejas disputasfilosóficas que cuestionaron la naturaleza misma de la matemática.Durante los tres años que me llevó compilar las diferentes líneas deinvestigaciónenestaárea,mientusiasmoaumentabaamedidaquenotabaquetodas laspiezasdeeserompecabezascomplejoencajabanenuntodocoherente.La investigaciónconanimalessobreelnúmeroseenfocabaenunacompetenciamilenariaparaelprocesamientodecantidadesnuméricasaproximadas.Este «sentidonumérico», que también está presente en losbebés, les daba a los humanos la intuición del número. Invencionesculturales comoel ábacoo losnúmeros arábigos lo transformaron luegoennuestra capacidadcompletapara lamatemática simbólica.Así, resultóobvio que una mirada detallada a las estructuras cerebrales del sentidonumérico sería muy reveladora acerca de nuestra comprensión de lamatemática. Eso daba una perspectiva clara de los mecanismos de laevolución, y conjugaba nuestras habilidades humanas para lamatemáticaconlaformaenqueloscerebrosdelosmonos(oinclusolosdelasratasylaspalomas)representanlosnúmeros.Desdequeseescribióestelibro,cercadequinceañosatrás,unfrenesí

deinvestigacióninnovadorahadadoaestaáreaunímpetumásfuertequeel que nunca imaginé. La cognición matemática es hoy un campoimportantedelacienciacognitiva,yyanosecentraexclusivamenteenelconcepto del número y sus orígenes, sino que se ha expandido a loscampos relacionados del álgebra y la geometría. Varios temas deinvestigaciónquefueronapenasesbozadosenestelibrosehanconvertidoenáreasde investigaciónporderechopropio:el sentidonuméricoen losanimales, neuroimágenes de cómputos matemáticos, la naturaleza de ladiscalculia(eldéficitenlosniñosquetienendificultadesmatemáticas),etc.Uno de los logros más emocionantes ha sido el descubrimiento deneuronasindependientesquecodificanelnúmeroenelcerebrodelmono,en una localización precisa en el lóbulo parietal, que parece ser unhomólogo plausible de las regiones corticales que se activan cuandohacemoscálculosmentales.Otracorrientedeinvestigacionesenconstanteyvelozdesarrolloestárelacionadaconlaaplicacióndeesteconocimientoala educación:yaempezamosacomprendercómo la escueladesarrollaunsentido exacto del número y la aritmética, y cómo se puede ayudar conjuegosyprogramasinformáticospedagógicosmuysimplesalosniñosqueestánenriesgodedesarrollardiscalculia.

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Cuando releí la primera ediciónde este libro, fuemuy grato ver quetodasestasideasyaestabanengermen,aunqueenformaalgoespeculativa,hacequinceaños.Ahoraque losresultadosde las investigaciones leshandadounfundamentosólido,estoyconvencidodequeesapropiadolanzaruna nueva edición. Por supuesto, muchos libros excelentes se hanpublicado desde 1997, entre ellos Mathematical Brain de BrianButterworth (1999),WhereMathematicsComesFrom deRafaelNúñezyGeorgeLakoff(2000)yelHandbookofMathematicalCognition, editadopor Jamie Campbell (2004). Ninguno de ellos, sin embargo, abarca elrangocompletodeloquehoysabemosacercadelnúmeroyelcerebro.

Estoyagradecidoamisagentes,MaxyJohnBrockman,yamiseditoras,AbbyGross yOdile Jacob, quienesme alentaron a embarcarme en estanueva versión y me ayudaron a decidir qué forma debía tener. Deinmediatocoincidimosenquereescribirelpasadoseríaincómodoohastapresuntuoso.Parecíapreferibledarleal lectorunasensaciónapropiadadecómonació el campohace veinte años, loquemotivónuestrashipótesisactuales, y cómo losmétodos experimentales evolucionaron desde aquelmomento,yafueraparasustentarnuestras teoríaso,algunasveces—porfortunanomuchas—,pararefutarlas.Porende,concebimosunasegundaediciónquedejaríaintactalaoriginalperoleagregaríareferenciasnuevasy,sobretodo,unextensocapítulofinalqueresumelosdescubrimientosmásdestacados que se hicieron desde la primera edición. Seleccionar losdescubrimientos que debían estar en este capítulo fue una tarea ardua,dadoqueenlosúltimosquinceañoselcampocreciódemodoexponencial.En efecto, hay cientos de descubrimientos científicos relevantes. Sinembargo,decidílimitarmeaunapequeñalistadedatossorprendentesque,según creo, iluminan nuestra comprensión de qué es la aritmética en elnivelcerebral,y,porlotanto,cómodeberíamosenseñarla.La mayoría de los matemáticos, abierta o encubiertamente, adoptan

unaperspectivaplatónicaacercadesudisciplina.Sevenasímismoscomoexploradores de un continente de ideas independientes de la mentehumana,másviejasquelavidamismaeinmanentesenlaestructuramismadeluniverso.Encambio,ensuclásicotratado¿Quésonyparaquésirvenlosnúmeros?,elgranmatemáticoalemánRichardDedekindpensóquelosnúmeros son «creaciones libres de la mente humana», «una emanacióninmediata de las leyes puras del pensamiento». Por mi parte, no podría

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estarmásde acuerdo,ni expresarmejormi convicción; pero entonces laresponsabilidaddeesclareceresosorígenesdefinitivamenterecaesobrelospsicólogosyneurocientíficos,quedeberándesentrañarcómouncerebro,unconjuntofinitodecélulasnerviosas,puedeconcebirpensamientostanabstractos.Estelibrodeberíaconsiderarseunmodestoaportepararesolveresta cuestión, que indudablemente seguirá fascinándonosdurantemuchotiempo.

S.D.Palaiseau,Francia,

juliode2010

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Prefacioalaprimeraedición(actualizado)

Estamos rodeados de números. Trazados sobre tarjetas de crédito ograbados sobre monedas, impresos en cheques o alineados en hojas decálculo digitalizadas, los números rigen nuestras vidas. En efecto, estánsituados en el núcleo de nuestra tecnología. Sin los números, nopodríamos enviar cohetes a otros sitios del sistema solar, tampococonstruir puentes, intercambiar bienes o pagar nuestras cuentas.Así, losnúmerossoninvencionesculturalessolocomparablesenimportanciaa laagriculturaoa la rueda.Peropuedentenerraíces todavíamásprofundas.Miles de años antes de Cristo, los científicos babilonios utilizabaningeniosas notaciones numéricas para compilar tablas astronómicas desorprendenteprecisión.Haytestimoniosdequecientosdemilesdeañosantes de esto, los hombres del neolítico grababan los primeros símbolosnuméricosescritosenhuesosopintadoscomopuntosenlasparedesdelascavernas.Y, según intentarédemostrarmásadelante, todavíamillonesdeañosantes,muchoantesdequeaparecieraelHomosapiens,losanimalesdetodaslasespeciesyaguardabanregistrodelosnúmerosylosutilizabanencómputosmentalessimples.Entonces,¿losnúmerospuedensertanviejoscomolavidamisma?¿Esposiblequeestén inscriptosen laestructuradenuestroscerebros?¿Todostenemosun«sentidonumérico»,unaintuiciónespecialquenosayudaacomprenderlosnúmerosylamatemática?Cerca de los 16 años, cuando estaba estudiando para llegar a ser un

matemático,sentíafascinaciónporlosobjetosabstractosquemisdocentesmeenseñabanamanipulary,sobretodo,porlosmássimplesdeellos:losnúmeros. ¿De dónde venían? ¿Cómo era posible que mi cerebro loscomprendiera?¿Porquédominarlosparecíatandifícilparalamayoríadelagente? Los historiadores de la ciencia y los filósofos de la matemáticahabían provisto algunas respuestas tentativas; pero para una mente deorientación científica, el carácter especulativo y contingente de estasexplicaciones era insatisfactorio. Es más, en los libros que yo conocía,montones de hechos intrigantes acerca de los números y la matemática

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quedabansinrespuesta.¿Porquétodaslaslenguasteníanalmenosalgunosnombres para los números? ¿Por qué todos parecían sentir que lasmultiplicacionesporsiete,ochoonueveeranparticularmentedifícilesdeaprender? ¿Por qué parecía que yo no podía reconocer más de cuatroobjetosdeunvistazo?¿Porquéhabíadiezchicosporchicaenloscursosdematemáticaavanzadaa losqueasistía?¿Cuáleseran lostrucosque lespermitíanaloscalculistasmentalesmultiplicardosnúmerosdetresdígitosenunospocossegundos?Mientras aprendía cada vez más sobre psicología, neurofisiología y

ciencia computacional, se volvió obvio que no había que buscar lasrespuestasenloslibrosdehistoria,sinoenlaestructuramismadenuestroscerebros, el órgano que nos permite crear la matemática. Desde laperspectiva de un matemático, ese era un momento apasionante paraorientarse hacia la neurociencia cognitiva. Parecía que cada mes surgíannuevas técnicas experimentales y resultados sorprendentes. Algunosrevelabanquelosanimalespodíanresolverproblemasaritméticossimples.Otrospreguntabansilosbebésteníanalgunanocióndecuántoes1más1.También comenzaban a estar disponibles herramientas de imágenesfuncionales que permitían visualizar los circuitos activos del cerebrohumanocuandocalculay resuelveproblemas aritméticos.Depronto, lasbases psicológicas y cerebrales de nuestro sentido numérico estabanfranqueadas a la experimentación.Un nuevo campo de la ciencia estabaemergiendo: la cogniciónmatemática, o la investigación científica acercadecómoelcerebrodalugaralamatemática.Tuvelasuertedeconvertirmeenunparticipanteactivoenestabúsqueda.Estelibroaportaunaprimeramirada a este nuevo campo de investigación quemis colegas de París yvarios equipos de investigación a lo largo del mundo todavía estándesarrollando.

Estoy en deuda con muchas personas por ayudarme a completar latransicióndesdelamatemáticahacialaneuropsicología.Enprimerlugaryprincipalmente, mi programa de investigación sobre la aritmética y elcerebronuncapodríahabersedesarrolladosinlaasistenciagenerosadetressobresalientes docentes, colegas y amigos que merecen agradecimientosmuy especiales: Jean-Pierre Changeux en neurobiología, Laurent CohenenneuropsicologíayJacquesMehlerenpsicologíacognitiva.Suapoyo,su

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consejoyamenudosucontribucióndirectaaltrabajoqueaquísedescribehansidodeunaayudainvaluable.Me gustaría expresar mi gratitud a mis muchos compañeros de

investigación de las últimas dos décadas, y particularmente a lacontribucióncrucialdemuchosestudiantesyposdoctorandos,muchosdelos cuales se volvieron colaboradores esenciales y, simplemente, amigoscon los que cuento: Rokny Akhavein, Serge Bossini, Marie Bruandet,Antoine Del Cul, Raphaël Gaillard, Pascal Giraux, Ed Hubbard,Veronique Izard, Markus Kiefer, André Knops, Étienne Koechlin, SidKouider, Gurvan Leclec’H, Cathy Lemer, Koleen McCrink, NicolasMolko, Lionel Naccache, Manuela Piazza, Philippe Pinel, Maria-GraziaRanzini, Susannah Revkin,Gérard Rozsavolgyi, Elena Rusconi,MarianoSigman,OlivierSimon,ArnaudViarougeyAnnaWilson.Paralaprimeraedicióndeestelibro,tambiéncontéconlosconsejosde

muchos otros científicos eminentes.Mike Posner,DonTucker,MichaelMurias,DenisLeBihan,AndréSyrotayVernardMazoyercompartieronconmigosuconocimientoprofundodelasimágenescerebrales.EmmanuelDupoux, Anne Christophe y Christophe Pallier me asesoraron sobrepsicolingüística. También estoy muy agradecido por los movilizantesdebates con Rochel Gelman y Randy Gallistel, y por las acertadasobservacionesdeKarenWynn,SueCareyyJosianeBertonciniacercadeldesarrollo infantil.El fallecidoprofesor Jean-Louis Signoret yamehabíahecho conocer el fascinante dominio de la neuropsicología.Posteriormente,numerosasdiscusionesconAlfonsoCaramazza,MichaelMcCloskey, Brian Butterworth y Xavier Seron ampliaron mucho micomprensióndeestadisciplina.XavierJeanninyMichelDutat,porúltimo,measistieronparaprogramarmisexperimentos.Para esta segunda edición, muchos colaboradores adicionales, en

Franciay enel extranjero,me ayudaronaprogresar enmi investigación:Hillary Barth, Eliza Block, Jessica Cantlon, Laurent Cohen, Jean-PierreChangeux, Evelyn Eger, Lisa Feigenson, Guillaume Flandin, TonyGreenwald, Marc Hauser, Antoinette Jobert, Ferath Kherif, AndreaPatalano, Lucie Hertz-Pannier, Karen Kopera-Frye, Denis Le Bihan,StéphaneLehéricy, Jean-FrancoisMangin, JoséFredericoMarques, Jean-Baptiste Poline, Denis Rivière, Jérôme Sackur, Elizabeth Spelke, AnnStreissguth, Bernard Thirion, Pierre-François van de Moortele y MarcoZorzi.Tambiénestoymuyagradecidoatodosloscolegasque,alolargodelosañosya travésde losocéanos,pormediodediscusiones incansables,

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meayudaronapulirmispensamientosycorregirmiserrores.Esimposiblehacer una lista exhaustiva, peromis pensamientos van en primer lugar yprincipalmente a Elizabeth Brannon,Wim Fias, RandyGallistel, RochelGelman, Usha Goswami, Nancy Kanwisher, Andreas Nieder, MichaelPosner,BruceMcCandliss,SallyyBennettShaywitzyHerbTerrace.Miinvestigaciónsobrelacogniciónnuméricarecibióungranimpulso

cuando obtuve el subsidio Centennial Fellowship de la FundaciónMcDonnell,dediezañosdeextensión,que tuvounpapelesencialenmicarrera. También fue financiada por el INSERM (InstitutoFrancés para laInvestigación Médica y de la Salud), la CEA (Comisión de EnergíaAtómica), elCollègedeFrance, laUniversidadParísXI, las fundacionesFyssen, Bettencourt-Schueller, Volkswagen, Louis D. del Institut deFrance y la Fundación Francesa para la Investigación Médica. Lapreparación de este libro se benefició enormemente con el escrutiniocuidadoso de Brian Butterworth, Robbie Cade, Markus Giaquinto ySusanaFranckparalaedicióninglesa,ydeJean-PierreChangeux,LaurentCohen, Ghislaine Dehaene-Lambertz y Gérard Jorland para la ediciónfrancesa.UncálidoagradecimientotambiénaJoanBossertyAbbyGross,mis editores deOxfordUniversity Press, John Brockman,mi agente, yOdile Jacob, mi editora francesa. Su confianza y su apoyo fueron muyvaliosos.Asimismomegustaría agradecerles a las editoriales y los autores que

amablementemepermitieronreproducirlasfigurasylascitasutilizadaseneste libro. Vaya un agradecimiento especial a Gianfranco Denes porseñalarme el notable tramo de La lección de Ionesco que se cita en elcapítulo7.Porúltimo,peronoporesomenosimportante,lapalabra«gracias»no

es suficiente para expresar mis sentimientos por mi familia, Ghislaine,Olivier,David yGuillaume, quienesme apoyaron con paciencia duranteloslargosmesestranscurridosenplandeexploraciónyescrituraacercadeluniversodelosnúmeros.Estelibroestádedicadoaellos.

S.D.Piriac,Francia,agostode1996

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Introducción

Elinstintodelnúmero

Cualquierpoeta,hastaelmásrefractarioalamatemática,estáobligadoaseguircontandoyllegaradocesialejandrinosfrancesescompone.

RaymondQueneau

Al encarar la escritura de este libro, me propuse un ridículo problemaaritmético: si este libro debe tener unas doscientas cincuenta páginas deextensiónyabarcarnuevecapítulos,¿cuántaspáginashabráporcapítulo?Luego de pensarmucho, llegué a la conclusión de que cada uno tendríapocomenos de treinta páginas. Sí, esome llevó aproximadamente cincosegundos,nadamalparaunhumano,perounaeternidadsise lacomparacon la velocidad de cualquier calculadora electrónica. De hecho, micalculadoranosolorespondiódeformainstantánea,¡sinoqueelresultadoquemedioeraprecisohastadiezdecimales:27,7777777778!¿Porquénuestracapacidadparahacercálculosmentalesestaninferior

a la de una computadora? ¿Y cómo es que alcanzamos excelentesestimaciones como «un poco menos de 30» sin recurrir a un cálculoexacto, algoqueestámásalláde lacapacidadde lasmejorescalculadoraselectrónicas?Laresolucióndeestasacuciantespreguntas,temacentraldeestelibro,nosllevaráaencararacertijosaúnmásdesafiantes:

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¿Por qué, después de tantos años de entrenamiento, la mayoría denosotrostodavíanosabeconseguridadsi7por8es54o64…?¿Oes56?¿Por qué nuestro conocimiento matemático es tan frágil que unapequeña lesióncerebral es suficientepara eliminarnuestra capacidaddecálculo?¿Cómo es que un bebé de cincomeses puede saber que 1más 1 esiguala2?¿Cómo es posible para los animales sin lenguaje—por ejemplo, loschimpancés, las ratas y las palomas— tener algún conocimiento dearitmética elemental? ¿En qué escuela de la vida silvestre loaprendieron?

Mihipótesisesquelasrespuestasatodasesaspreguntasdebenbuscarseenuna única fuente: la estructura de nuestro cerebro. Cada uno de lospensamientosqueconsideramos,cadacálculoquerealizamos,esresultadode la activación de circuitos neuronales especializados que estánimplantados en nuestra corteza cerebral. Nuestras construccionesmatemáticas abstractas se originan en la actividad coherente de nuestroscircuitos cerebrales, y de los millones de otros cerebros que nosprecedieron, que ayudaron a darle forma y a seleccionar nuestrasherramientasmatemáticasactuales.¿Podemoscomenzaracomprenderlasrestricciones que nuestra arquitectura neuronal impone a nuestrasactividadesmatemáticas?DesdeDarwin,laevoluciónhasidolareferenciaparalosbiólogos.En

elcasodelamatemática,tantolaevoluciónbiológicacomolaculturalsonimportantes.Lamatemáticanoesun idealestáticoyotorgadoporDios,sino un campo de investigación humana en constante cambio. Inclusonuestranotacióndigitaldelosnúmeros,porobviaquepuedaresultarhoyendía, es frutode unproceso lentode invención a lo largodemiles deaños. Lo mismo ocurre con el algoritmo de multiplicación actual, elconceptoderaízcuadrada,losconjuntosdenúmerosreales,imaginariosocomplejos,yasísucesivamente.Entodosaúnpuedenverse lasmarcasdesudifícilyrecientenacimiento.Lalentaevoluciónculturaldelosobjetosmatemáticosesunproducto

de un órgano biológico muy especial, el cerebro, que en sí mismorepresenta el resultado de una evolución biológica aúnmás lenta, regidaporlosprincipiosdelaselecciónnatural.Lasmismaspresionesselectivasque configuraron los delicados mecanismos del ojo, el perfil del ala delcolibríolasminúsculasarticulacionesdelahormigatambiénseejercieron

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sobre el cerebro humano. Año a año, especie tras especie, órganosmentalescadavezmásespecializadosgerminaronysedesplegarondentrodelcerebroparaprocesarmejorelenormeflujode informaciónsensorialque recibía, y para adaptar las reacciones del organismo a un ambientecompetitivooinclusohostil.Uno de los órganos mentales especializados con los que cuenta el

cerebroesunprocesadorprimitivodelnúmeroque,sinsercompletamenteequivalentealaaritméticaqueseenseñaennuestrasescuelas,laprefigura.Aunque pueda parecer improbable, numerosas especies animales queconsideramosestúpidasosalvajes,comolasratasylaspalomas,enrealidadson muy talentosas para el cálculo. Tienen la capacidad de representarmentalmente cantidades y transformarlas de acuerdo con algunas de lasreglasdelaaritmética.Loscientíficosquehanestudiadoestashabilidadescreen que los animales poseen un módulo mental, tradicionalmentellamado «acumulador», quepuede llevarun registrode varias cantidades.Másadelanteveremoscómolasratasaprovechanesteacumuladormentalparadistinguirseriesdedos,tresocuatrosonidos,oparacalcularsumasaproximadas de dos cantidades. El mecanismo del acumulador abre unanueva dimensión de percepción sensorial a través de la cual el númerocardinal de un conjunto de objetos puede registrarse con tanta facilidadcomo su color, su forma o su posición.Este «sentido numérico» otorgatantoa losanimalescomoa loshumanosuna intuicióndirectade loquesignificanlosnúmeros.En un libro suyo que rendía homenaje a «el número, la lengua de la

ciencia»,TobiasDantzigdestacabalaimportanciadeestaformaelementaldeintuiciónnumérica:

El hombre, incluso en las etapas más tempranas deldesarrollo, tiene una facultad que, a falta de un mejornombre,llamaré«sentidonumérico».Estafacultadlepermitereconocer que en un pequeño conjunto algo ha cambiadocuando,sinquelosepadirectamente,sequitóoseagregóunobjetoaeseconjunto(Dantzig,1967[1930]).

Dantzigescribióestaspalabrascuandolapsicologíaestabadominadaporlateoría de Jean Piaget, quien negaba que los niños pequeños tuvieranhabilidades numéricas. Llevó más de veinte años refutar del todo elconstructivismopiagetiano y confirmar la percepción deDantzig.Todaslaspersonasposeen, inclusoensuprimerañodevida,una intuiciónbien

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desarrollada acerca de los números. Más adelante consideraremos enmayordetalle los ingeniososexperimentosquedemuestranquelosbebéshumanos, lejosdeser incapaces,conocenyadesdeelnacimientoalgunosfragmentos de aritmética que pueden compararse con el conocimientoanimal del número. ¡La resolución de sumas y restas elementales está alalcancedelosbebésdeseismeses!Peronomegustaríacrearunaconfusión.Porsupuesto,soloelcerebro

delHomo sapiens adulto tiene la capacidad de reconocer que 37 es unnúmeroprimo,ocalcularestimacionesdelnúmeroπ.Enefecto,estetipodeproezassontodavíaprivilegiodesoloalgunoshumanosdeunaspocasculturas. El cerebro bebé y, desde luego, el cerebro animal, lejos desemejantes habilidades matemáticas, realizan sus pequeños milagrosaritméticos soloencontextos limitados.Enparticular, suacumuladornopuede operar con cantidades discretas, sino con estimaciones continuas.Laspalomasnuncaseráncapacesdedistinguir49de50,porquenopuedenrepresentarestascantidadesmásquedeunaformaaproximadayvariable.Paraunanimal,5más5noes10,sinoaproximadamente10:talvez9,10u11.Tanpobreperspicacianumérica,tantaimprecisiónenlavisióninternade losnúmeros, evita la aparicióndel conocimiento aritméticoexactoenlosanimales.Porlaestructuramismadesuscerebros,estáncondenadosaunaaritméticaaproximada.Aloshumanos,sinembargo,laevoluciónleshadadounacompetencia

suplementaria: la habilidad para crear sistemas de símbolos complejos,incluida la lenguahabladayescrita.Laspalabraso lossímbolos,entantopueden deslindar conceptos con significados arbitrariamente próximos,nospermitensuperarloslímitesdelaaproximación.Lalenguanospermiteetiquetar hasta el infinito diferentes números. Estas etiquetas, cuyoejemplomásevolucionadosonlosnúmerosarábigos,puedensimbolizaryvolver discreta cualquier cantidad continua. Gracias a ellas, los númerosquizá cercanos en cantidad, pero con propiedades aritméticas muydiferentes,puedendistinguirseunosdeotros.Soloapartirdeestopuedeconcebirse la invención de reglas puramente formales para comparar,sumar o dividir dos números. En efecto, los números adquieren vidapropia,sinningunareferenciadirectaaconjuntosconcretosdeobjetos.Elandamiaje de la matemática puede entonces elevarse, cada vezmás alto,cadavezmásabstracto.Esto, sin embargo, plantea una paradoja. Nuestros cerebros han

permanecido en esencia inalterados desde que apareció elHomo sapiens,

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hace cien mil años. Nuestros genes, en efecto, están condenados a unaevolución lentae ínfima,quedependedel azarde lasmutaciones.Hacenfalta miles de intentos fallidos antes de que aparezca una mutaciónfavorable,dignadesertransmitidaageneracionesfuturas.Encontraste,lasculturasevolucionanatravésdeunprocesomuchomásrápido.Lasideas,losinventos,losprogresosdetodotipopuedendifundirseaunapoblacióncompleta mediante la lengua y la educación tan pronto como hangerminado en alguna mente fecunda. De este modo la matemática, talcomolaconocemoshoy,hasurgidoenapenasunospocosmilesdeaños.Elconceptodenúmero—vislumbradoporlosbabilonios,refinadoporlosgriegos,depuradoporlosindiosylosárabes,axiomatizadoporDedekindy Peano, generalizado por Galois— nunca ha dejado de evolucionar decultura a cultura, ¡obviamente, sin necesidad de que elmaterial genéticodelmatemático semodificara!A simple vista, no hay diferencia entre elcerebrodeEinsteinyeldelhombreque,enelperíodomagdaleniensedelpaleolítico superior, pintó la cueva de Lascaux. En la escuela primaria,nuestros niños aprenden matemática moderna con un cerebro queinicialmenteestabadiseñadoparalasupervivenciaenlasabanaafricana.¿Cómo podemos conciliar esta inercia biológica con la altísima

velocidad a la que va la evolución cultural? Gracias a extraordinariasherramientasmodernas,comolatomografíaporemisióndepositronesolaresonancia magnética funcional (PET y fMRI, respectivamente), loscircuitoscerebralesquesubyacenallenguaje,alaresolucióndeproblemasy al cálculomental hoy pueden ser registrados por neuroimágenes en elcerebrohumanovivo.Veremosquecuandoseconfrontanuestrocerebroconunatareaparalaquenolopreparólaevolución,comomultiplicarpordos dígitos, utiliza una vasta red de áreas cerebrales cuyas funcionesinicialessonbastantediferentes,peroque,enconjunto,puedenalcanzarlametadeseada.Másalládelacumuladoraproximadoquecompartimosconlas ratas y las palomas, nuestro cerebro probablemente no contenganinguna «unidad aritmética» predestinada para los números y lamatemática. Sin embargo, compensa esta limitación utilizando circuitosalternativosquepuedenserlentoseindirectos,peroresultanmásomenosfuncionalesparalatareaquedebenrealizar.Porende,objetosculturalescomo laspalabrasescritaso losnúmeros

puedenconsiderarseparásitosque invadensistemascerebralesque,enunprincipio,estabandestinadosaunusobastantediferente.Ocasionalmente,como en el caso de la lectura de palabras, ese parásito puede ser tan

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invasivo como para que la función previa de determinada área cerebralresulte reemplazada completamente por la suya. Así, algunas áreascerebralesqueenotrosprimatesparecendestinadasalreconocimientodeobjetosvisualesadquierenenelhumanoalfabetizadounrolespecializadoeirreemplazableenlaidentificacióndecadenasdeletrasydígitos.Unonopuedemásquemaravillarse con la flexibilidaddeuncerebro

que,segúnelcontextoylaépoca,puedeplanificarunacazademamutsoconcebir una demostración del último teorema de Fermat. Sin embargo,esta flexibilidad no debería sobrestimarse.De hecho,mi opinión es queprecisamentelascapacidadesyloslímitesdenuestroscircuitoscerebralessonlosquedeterminanlospuntosfuertesydébilesdenuestrashabilidadesmatemáticas.Desdetiemposinmemoriales,nuestrocerebro,comoeldelarata,hasidodotadodeunarepresentaciónintuitivadelascantidades.Poresosomoshábilespararealizaraproximaciones,ynosparecetanobvioque10 es más grande que 5. Como contrapartida, nuestra memoria, adiferenciadelaqueposeelacomputadora,noesdigital,sinoquefuncionaasociandoideas.Talvezporestemotivonosresultetandifícilrecordarlapequeñacantidaddeecuacionesqueconformanlastablasdemultiplicar.Aligualqueelcerebrodelincipientematemáticoseprestaconmayoro

menorfacilidadalosrequisitosdelamatemática,losobjetosmatemáticostambién evolucionan para combinarse cada vez mejor con nuestraslimitacionescerebrales.Lahistoriadelamatemáticaproveegrancantidadde evidencia de que nuestros conceptos de número, lejos de estarcongelados, se encuentran en evolución constante. Losmatemáticos hantrabajado tenazmente durante siglos para mejorar la utilidad de lasnotacionesnuméricas,aumentandosugradodegeneralidad,suscamposdeaplicación, y su simplicidad formal.Al hacerlo, han inventado, sin darsecuenta, formas de hacerlas encajar con las limitaciones de nuestraorganizacióncerebral.Apesardequeenlaactualidadunospocosañosdeeducaciónsonsuficientesparaaprenderlanotacióndigital,nodeberíamosolvidarquetomósiglosperfeccionarestesistemaantesdequesevolvieraun juego de niños. Algunos objetos matemáticos hoy parecen muyintuitivos simplemente porque su estructura se adapta bien a nuestraarquitecturacerebral.Porotrolado,paramuchosniñoslasfraccionessonmuy difíciles de aprender porque su maquinaria cortical resiste a unconceptoquevatanencontradelsentidocomún.Silaarquitecturabásicadenuestrocerebroimponelímitestanfuertesa

nuestracomprensióndelaaritmética,¿porquéalgunosniñossedestacan

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en matemática? ¿Cómo es que matemáticos notables como Gauss,EinsteinoRamanujanalcanzaronuna familiaridad tanextraordinaria conlosobjetosmatemáticos?¿Ycómoesquealgunaspersonasconsíndromedelsavanty50decoeficienteintelectuallogranconvertirseenexpertosdelcálculo mental? ¿Deberíamos dar por sentado que algunas personascomenzaron la vida con una arquitectura cerebral particular, o unapredisposiciónbiológicaparaconvertirseengenios?Unanálisisdetalladodeestahipótesisnosdemostraráqueestoesimprobable.Hastaahora,entodocaso,existemuypocaevidenciadequelosgrandesmatemáticosylosprodigios del cálculo hayan sido dotados con una estructuraneurobiológica excepcional. Como el resto de nosotros, los expertos enaritmética tienen que esforzarse para realizar cálculos largos y paracomprender conceptos matemáticos abstrusos. Si tienen éxito, es soloporquededicanuntiempoconsiderableaeste temayconsiguen inventaralgoritmos bien ajustados y atajos astutos, que cualquiera de nosotrospodría aprender si lo intentara, los cuales que están cuidadosamentediseñados para aprovechar los recursos de nuestro cerebro y superar suslímites. Lo especial en esos individuos es su pasión desproporcionada eimplacable por los números y la matemática, ocasionalmente impulsadaporsuincapacidadparamantenerrelacionesnormalesconotroshumanos,una patología cerebral llamada «autismo». Estoy convencido de que losniñosde igualeshabilidades inicialespueden llegara tenerundesempeñoexcelente o nulo en matemática dependiendo de su amor u odio por lamateria.Lapasióndalugaraltalento,ylospadresymaestrostienen,porlo tanto, una responsabilidad considerable para desarrollar las actitudespositivasonegativasdesusniñosrespectodelasmatemáticas.En Los viajes de Gulliver (III, cap. V), Jonathan Swift describe los

extrañosmétodosdeenseñanzautilizadosenlaescueladematemáticadeLagado,enlaIsladeBalnibarbi:

Estuve en la escuela de matemática, donde el maestroenseñaba a sus discípulos de acuerdo con un método casiinconcebible para los europeos. Las proposiciones ydemostraciones se escribían en una delgada oblea con tintacompuestadeunatinturacefálica.Elestudianteselatragabaen ayunas, y durante tres días solo tomaba pan y agua.Cuandohabíadigeridolaoblea,latinturasubíaasucerebroy con ella la proposición. Pero hasta entonces no habíanlogrado éxito, en parte por algún error en el quantum o

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composición,yenparteporlaperversidaddelosmuchachos,paraquienesesteboloestannauseabundoquegeneralmentelodejandeladoahurtadillasylovomitanantesdequepuedaoperar:tampocosehalogradoconvencerlosdequeguardenunaabstinenciatanlargacomolorequierelaprescripción.

Aunque la descripción de Swift roza lo absurdo, sumetáfora básica delaprendizaje de lamatemática como un proceso de asimilación tiene unaveracidadinnegable.Enúltimainstancia,todoelconocimientomatemáticoseincorporaenlostejidosbiológicosdelcerebro.Cadaunadelasclasesdematemática que cursan nuestros niños se traduce en modificaciones demillones de sus sinapsis, que implican la expresión de nuevos genes y laformación de miles de millones de moléculas de neurotransmisores yreceptores,conlamodulacióndeseñalesquímicasquereflejanelniveldeatencióndelniñoysucompromisoemocionalconeltema.Sinembargo,lasredesneuronalesdenuestroscerebrosnosontotalmenteflexibles.Laestructura misma de nuestro cerebro hace que algunos conceptosaritméticosseanmásfácilesde«digerir»queotros.Espero que las perspectivas que sostengo aquí lleven, en última

instancia, amejoras en la enseñanza de lamatemática.Un buen plan deestudios debería tener en cuenta las fortalezas y las limitaciones de laestructura cerebral del alumno. Para optimizar las experiencias deaprendizajedenuestrosniños,deberíamosconsiderarqué impactotienenla educación y la maduración cerebral sobre la organización de lasrepresentaciones mentales. Obviamente, todavía estamos lejos decomprender hasta qué punto el aprendizaje puede modificar nuestramaquinariacerebral.Sinembargo,lopocoqueyasabemospodríaresultarútil. Los fascinantes resultados que los científicos cognitivos hanacumulado a lo largode losúltimos veinte años acercade cómonuestrocerebrohacecuentasnosehanhechopúblicoshastaahoraynoseleshapermitidofiltrarseenelmundodelaeducación.Seríamuyfelizsiestaobrasirviera como un catalizador para mejorar la comunicación entre lascienciascognitivasylascienciasdelaeducación.Este libro propone a sus lectores una travesía por la aritmética vista

desde los meticulosos ojos de un biólogo, pero sin dejar de lado suscomponentes culturales. En los capítulos 1 y 2, al seguir la senda de lashabilidades de los animales y los bebés humanos para la aritmética,intentaré convencerlos de que nuestras capacidades matemáticas nocarecen de precursores biológicos. En efecto, en el capítulo 3

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encontraremos muchas marcas del modo animal de procesamiento denúmeros, activo aun en el comportamiento del humano adulto. En loscapítulos4y5,alobservarelmodoenquelosniñosaprendenacontaryacalcular, intentaremos comprender cómo puede superarse este sistemainicial aproximado, y qué dificultades supone la adquisición de lamatemática avanzada para nuestro cerebro de primates. Esta será unabuenaoportunidadparainvestigarlosmétodosactualesdeenseñanzadelamatemáticayparaexaminarhastaquépuntosehanadaptadonaturalmentea nuestra arquitectura mental. En el capítulo 6 también intentaremosesclarecerlosrasgosquedistinguenaunjovenEinsteinoaunprodigiodelcálculodelrestodenosotros.Enloscapítulos7y8,porúltimo,nuestrosafariseguirálashuellasdelnúmeroyfinalizaráenlossurcosdelacortezacerebral,dondeestánlocalizadosloscircuitosneuronalesquesustentanelcálculo y de donde, ¡ay!, puede desalojarlos una lesión o un accidentevascular,queprivandesentidonuméricoasusdesdichadasvíctimas.

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ParteI

Nuestraherencianumérica

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1.Animalestalentosos

Unapiedradoscasastresruinascuatrosepulturerosunjardínunasfloresunmapache

JacquesPrévert,Inventario

Desdeel sigloXVIII, puede leerse envarios librosdehistorianaturalunaanécdota:

El señor de un castillo quería matar a una corneja quehabíahechonidoenloaltodeunatorre.Sinembargo,cadavezqueelseñorseacercabaalatorre,elavevolabayquedabafuera de tiro, a la espera de que el hombre se alejase. Encuanto este se iba, ella volvía a su nido.El hombre decidiópedir ayuda a un vecino. Los dos cazadores entraron a latorrejuntos,yluegosolounodeellossalió.Perolacornejano cayó en esta trampa y actuó con sensatez: antes deregresar, esperó a que el segundohombre saliera.Tampocobastaron tres, cuatro ni cinco hombres para engañar a laastutaave.Cadavez,antesderegresar, lacornejaaguardabala partida de todos los cazadores. Finalmente, acudió ungrupodeseiscazadores.Cuandocincodeelloshabíandejadola torre, el ave, no tan hábil para lamatemática después detodo,regresóconfiadayelsextocazadorlaabatió.

¿Estaanécdotaesauténtica?Nadie losabe.Nisiquieraestáclarositienealgo que ver con la competencia numérica: hasta donde sabemos, el avepodría haber memorizado la apariencia de cada cazador, antes que elnúmerototal.Sinembargo,decidídestacarlaporqueaportaunespléndidoejemplodevariosaspectosdelaaritméticaanimalquesoneltemadeeste

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capítulo. En primer lugar, en gran cantidad de experimentoscuidadosamente controlados, las aves y muchas otras especies animalesparecen capaces de percibir las cantidades numéricas sin necesitar unentrenamiento especial. En segundo lugar, esta percepción no esperfectamentecertera,ysuprecisióndisminuyeamedidaquelosnúmerossehacenmásgrandes,loqueexplicaqueelpájaroconfundael5yel6.Porúltimo, y conmayor picardía, la anécdotamuestra que las fuerzas de laseleccióndarwinianatambiénseaplicanaldominioaritmético.Silacornejahubierasidocapazdecontarhasta6,¡talveznuncalehabríandisparado!Ennumerosasespecies,estimarlacantidadylaferocidaddelospredadoreso cuantificar y comparar los beneficios de dos posibles provisiones decomida son cuestiones de vida o muerte. Este tipo de argumentosevolutivosdeberíaayudaracomprendermuchosexperimentoscientíficosquehanreveladoprocedimientossofisticadosparaelcálculonuméricoenlosanimales.

Unpocodeastuciaequina

AcomienzosdelsigloXX,uncaballollamadoHansdiomuchoquehablary llegó a los titulares de losdiarios alemanes (Fernald, 1984). Sudueño,Wilhelm von Osten, no era un entrenador de animales de circo. Encambio,eraunhombreapasionadoque,bajo la influenciade las ideasdeDarwin,sehabíapropuestodemostrarelalcancedelainteligenciaanimal.Terminó pasando más de una década enseñándole aritmética, música ylectura a su caballo. Si bien los resultados demoraron en llegar, al finsuperaron todas sus expectativas. El caballo daba la sensación de poseeruna inteligencia superior. ¡Aparentemente, podía resolver problemasaritméticoseinclusoescribirpalabras!Lasdemostracionesde lashabilidadesdeesecaballo,quenotardóenserconocido como «Der kluge Hans» (o «Clever Hans», fuera deAlemania[1]), solían realizarse en el jardín de Von Osten. El públicoformaba un semicírculo alrededor del animal y le sugería una preguntaaritmética al entrenador; por ejemplo, «¿Cuánto es cinco más tres?».Luego, VonOsten presentaba al animal cinco objetos alineados en unamesa y tres objetos en otra mesa. Luego de analizar el «problema», elcaballorespondíagolpeandoelsueloconunodesuscascosunnúmerode

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veces equivalente al total de la suma. Sin embargo, las habilidadesmatemáticas de Hans excedían por mucho esta simple hazaña. Algunosproblemasaritméticoseranpronunciadosenvozaltaporelpúblico,oseescribían en números arábigos en un pizarrón, yHans podía resolverlosconigualfacilidad(figura1.1).Elcaballotambiénsumabadosfracciones,como 2/5 y 1/2, y podía dar la respuesta 9/10 golpeando primero nuevevecesy luegodiezveces conel casco. Incluso sedecíaque, cuando se lepedía que determinara cuáles eran los divisores de 28, Hans llegaba,apropiadamente, a dar las respuestas 2, 4, 7, 14 y 28. Por supuesto, ¡elconocimientonuméricodeHanssuperabapormucholoqueunamaestrade escuela primaria podría esperar hoy de un alumno razonablementedespierto!

Figura1.1.CleverHansysudueño,WilhelmvonOsten,posanfrenteaunimpresionantedesplieguedeproblemasaritméticos.Elpizarrónmásgrandemuestraloscódigosnuméricosqueel

caballousabaparaescribirpalabras.

Enseptiembrede1904, luegodeunaexhaustiva investigación,uncomitéde expertos—entre ellos, el eminente psicólogo alemán Carl Stumpf—llegóalaconclusióndequelashazañasdeHanseranrealesynoproductodeunengaño.Sinembargo,estagenerosaconclusiónnosatisfizoaOskar

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Pfungst,unodelosestudiantesdeStumpf.ConayudadeVonOsten—eldueñoestabacompletamenteconvencidodela inteligenciasuperiordesuprodigio—, comenzó a realizar un estudio sistemático de las habilidadesdel caballo. Los experimentos de Pfungst son un modelo de rigor ycreatividad,inclusoparalosestándaresactuales.Suhipótesisdetrabajoeraqueelcaballonopodíasermásquetotalmenteineptoenmatemática.Portanto,teníaqueserelpropiodueño,oalguiendelpúblico,quiensupieralarespuestayenviaraalanimalunaseñalocultacuandosehabíaalcanzadoelnúmerocorrectodegolpes,ydeestemodohicieraqueelanimaldejaradegolpearconelcasco.Paraprobarlo,PfungstinventóunaformadedisociarloqueHanssabía

sobreunproblemadeloquesabíasudueño.Utilizóunprocedimientoquedifería solo en pocos detalles del descriptomás arriba. El dueñomirabacuidadosamentecómoseescribíaunacuentasencillaencaracteresgrandesdeimprentasobreuntablero.Luegoseorientabaeltablerohaciaelcaballodemodoquesoloélpudieraverelproblemayresolverlo.Sinembargo,enalgunosensayos,deformasubrepticiaPfungstmodificabalasumaantesdemostrárselaalcaballo.Porejemplo,elamopodíaver6+2,mientrasqueelcaballoenrealidadintentabaresolver6+3.Los resultados de este experimento, y de una serie de controles

posteriores, eran claros. Cuando el dueño conocía la respuesta correcta,Hansacertabalasoluciónsinproblemas.Cuando,encambio,eldueñonoconocíaelresultado,elcaballofallaba.Esmás,elcaballosolíacometerunerrorquecorrespondíaalnúmeroqueeldueñoesperaba.Porsupuesto,erael propio Osten, más que Hans, quien resolvía los distintos problemasaritméticos. Pero ¿cómo sabía el caballo cuál era la respuesta? Por fin,PfungstdedujoquelahabilidaddeHans,realmentepasmosa,consistíaendetectarmovimientosminúsculosdelacabezaolascejasdesudueño,queencadaocasiónlemostrabanelmomentoenquedebíadejardegolpearelsuelo. En realidad, el aprendiz de psicólogo nunca dudó de que elentrenador fuera sincero;dehecho, estabaconvencidodeque las señaleseran totalmente inconscientes e involuntarias. Notablemente, el caballocontinuabarespondiendodeformacorrectaenausenciadeVonOsten:alparecer,detectabaelincrementodetensiónenelpúblicoamedidaqueseacercabaalnúmeroesperadodegolpes.Apesardesusintentos,einclusodespuésdehaberdescubiertolanaturalezaexactade lasclavescorporalesqueelanimalutilizaba,elpropioPfungstnuncaconsiguiósuprimirtodaslasformasdecomunicacióninvoluntaria.

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Las conclusiones de Pfungst desacreditaron enormemente lasdemostraciones de la supuesta «inteligencia animal» y la solvencia deexpertoscomoStumpf,que lashabíanvalidadociegamente.Enefecto,elfenómeno«CleverHans»todavíahoyseenseñaenlasclasesdepsicologíacomosímboloperdurabledelainfluenciadañinaquelasexpectativasylasintervencionesdelinvestigador,porpequeñasquesean,puedentenerenelresultado de cualquier experimento psicológico con humanos o conanimales. Históricamente, el caso de Hans tuvo un papel crucial en laconformación del espíritu crítico de los psicólogos y los etólogos, puesllamó la atención sobre la necesidad de tener un diseño experimentalriguroso. Dado que incluso un estímulo prácticamente invisible, tanefímerocomounparpadeo,puedetenertantainfluenciaeneldesempeñode los animales, un experimento bien diseñado debe estar, desde elcomienzo, libre de cualquier posible fuente de error. Esta lección fueparticularmente bien recibida por los conductistas —como BurrhusFrederic Skinner—, quienes destinaron gran parte de su trabajo aldesarrollo de paradigmas experimentales rigurosos para el estudio delcomportamientoanimal.Por desgracia, el ejemplo de Hans tuvo otras consecuencias, más

negativasparaeldesarrollodelacienciapsicológica.Enespecial,imprimióunhalodesospechaeneláreadeinvestigaciónsobrelarepresentacióndelos números en los animales. ¡Irónicamente, hoy cualquier sencillademostración de la competencia numérica en los animales hace que loscientíficosarqueensuscejasconelmismogestoqueleservíacomopistaaHans!Demanera conscienteono, este tipode experimentos se asociancon la historia de Hans y, por esto, resultan sospechosos de una fallaelemental en el diseño, si no de una rotunda falsificación. Sin embargo,este prejuicio carece de lógica. Los experimentos de Pfungst solodemostraron que las habilidades numéricas deHans no eran reales, sinoproducto de la casualidad. De ninguna manera probaron que para unanimalseaimposiblecomprenderalgunosaspectosdelaaritmética.Hastaépocas recientes, sin embargo, la actitud del científico era buscar conobstinación el defecto en el diseño experimental que pudiera explicar elcomportamiento animal sin recurrir a la hipótesis de que los animalesposeenunconocimiento(almenosembrionario)delcálculo.Duranteunlargo tiempo, ni siquiera los resultados más convincentes lograronpersuadir a la comunidad científica. Algunos investigadores inclusoprefirieronatribuiralosanimaleshabilidadesmisteriosaseindemostrables,

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comolafacultaddela«discriminacióndelritmo»,porejemplo,antesqueadmitir que podían enumerar una colección de objetos. En resumen, loscientíficosoptaronporarrojaralbebéjuntoconelaguadelbaño.Antes de pasar a algunos de los experimentos que finalmente

convencieron hasta a los investigadores más escépticos, me gustaríaterminar la historia de Hans con una anécdota moderna. Aun en laactualidad,elentrenamientodeanimalesdecircoutilizamétodosbastantesimilaresaltrucodeHans.Sialgunavezvenunespectáculoenelqueunanimal suma números, «deletrea» palabras o realiza alguna hazañasorprendente de este tipo, pueden apostar con seguridad a que estecomportamientodepende,comoeldeHans,deunadiscretacomunicacióncon su entrenador humano. Permítanme volver a destacar que nonecesariamenteunatransmisióndeestetipoes intencional.Amenudoelentrenador está sinceramente convencido de los enormes talentos de sualumno.Hacealgunosaños,porcasualidaddescubríundivertidoartículoenun

diariolocalsuizo:unaperiodistahabíavisitadolacasadeGillesyCarolineP., cuyacaniche, llamadaPoupette,parecía extraordinariamente talentosaparalamatemática.Lafigura1.2muestraalorgullosodueñodePoupetteenplenatareadepresentarasufielygenialcompañeraunaseriededígitosescritos que, según se suponía, la mascota debía sumar. Poupetterespondía, sin cometer ni un error, tocando con su pata exactamente elnúmerodevecesrequeridaslamanodelamo,quelamíaluegodealcanzarla cantidad correcta. De acuerdo con su amo, el prodigio canino habíanecesitadosolounbreveperíododeentrenamiento,loquelollevóacreerenlareencarnaciónoenalgúnfenómenoparanormalsimilar.Laperspicazperiodista, sin embargo, prefirió creer que el perro podía reaccionar aseñales sutiles de los párpados de su amo, o a algunos pequeñosmovimientos de su mano cuando se alcanzaba el número correcto. Así,este fue en verdad un caso de reencarnación: la reencarnación de laestratagemadeCleverHans,de lacual lahistoriadePoupetteconstituíaunasorprendenteréplica,aunsiglodedistancia.

Ratasquecuentan

Luego del incidente de Hans, varios renombrados laboratoriosestadounidenses desarrollaron programas de investigación sobre las

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habilidadesmatemáticas de los animales.Muchos proyectos de este tipofracasaron.Unetólogoalemán llamadoOttoKoehler, sinembargo, tuvomáséxito.Unodeloscuervosquehabíaentrenado,Jacob,aparentementeaprendió a elegir, entre varios recipientes, aquel cuya tapa mostraba unnúmerofijodepuntos(cinco).Comoeltamaño,laformaylalocalizaciónde los puntos variaban aleatoriamente de un ensayo a otro, solo unapercepción precisa del número 5 podía dar cuenta de este desempeño(Koehler,1951).Sinembargo, losresultadosalcanzadosporelequipodeKoehlertuvieronpocoimpacto,enparteporquelamayoríadeellosfueronpublicados solo en alemán y en parte porque este investigador noconsiguióconvencera suscolegasdequehabía logradoneutralizar todaslas posibles fuentes de error, como la comunicación accidental delinvestigador,lasclavesolfatoriasoelparecidofísico.

Figura1.2.Ennuestrosdías,Hansysuastuciareencarnanenformadecaniche:Poupette,lamascotaquesupuestamenteposeíaunnotabletalentoparasumardígitos.

Durante las décadas de 1950 y 1960, en la Universidad de Columbia,Francis Mechner, un psicólogo de animales, y más tarde John Platt yDavid Johnson, de la Universidad de Iowa, presentaron un paradigmaexperimentalmuyconvincente(Mechner,1958,PlattyJohnson,1971).Seubicóaunarata,alaqueporuntiemposehabíaprivadodecomida,enuna

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cajacerradacondospalancas,AyB.LapalancaBestabaconectadaaundispositivomecánicoqueentregabaunapequeñacantidaddecomida.Sinembargo,estesistemaderecompensanofuncionabainstantáneamente.LarataprimeroteníaqueaccionarrepetidasveceslapalancaA.Sololuegodeaccionarla determinado número de veces podía cambiar a la palanca B yobtenersumerecidopremio.SilaratacambiabaalapalancaBdemasiadorápido, no solo no obtenía comida, sino que además recibía unapenalización. En diferentes experimentos, la luz podía apagarse durantealgunos segundos, o el contador se reiniciaba, demodoque la rata teníaquecomenzarotravezaaccionarlapalancaAunaseriedenveces.¿Quéhicieronlasratasenesteambientebastanteinusual?Inicialmente

descubrieron, por prueba y error, que la comida aparecía cuandoaccionabanvariasveceslapalancaAyluegounavezlapalancaB.Pocoapoco,elnúmerodevecesquedebíanaccionarlaseestimabaconmayorymayor precisión. Con el paso del tiempo, al final del período deaprendizaje, las ratas se comportaban de formamuy racional en relacióncon el número n que el investigador había seleccionado. Las ratas quedebíanaccionarcuatroveceslapalancaAantesquelaBentregaracomida,lohacíanaproximadamentecuatroveces.Aquellassometidasalasituaciónen que se requería que lo hicieran ocho veces esperaban hasta haberpresionadolapalancacercadeochoveces,yasísucesivamente(figura1.3).Las astutas ratas contadoras seguían llevando un registro impecable,¡inclusocuandoelnúmeroeratanaltocomo12o16!

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Figura1.3.EnunexperimentorealizadoporMechner,unarataaprendeapresionarlapalancaAunnúmeropredeterminadodevecesantesdecambiaralapalancaB.Larataaciertaaproximadamenteelnúmeroelegidoporelinvestigador,aunquesuestimaciónsevuelvecadavezmásimprecisaamedidaquelosnúmerosseagrandan(adaptadodeMechner,1958;©SocietyfortheExperimental

AnalysisofBehavior).

Esimportantemencionardosdetalles.Enprimerlugar,amenudolasrataspresionaban la palanca A algunas veces más que el mínimo requerido:cinco veces en lugar de cuatro, por ejemplo. Nuevamente, esta era unaestrategiaeminentementeracional:dadoquerecibíanunapenalizaciónporcambiarantesalapalancaB,lasrataspreferíaniraloseguroyaccionarlapalancaAunavezmás,antesquehacerlounavezdemenos.Ensegundolugar, incluso después de un entrenamiento considerable, elcomportamientodelasratasseguíasiendobastanteimpreciso.Cuandolaestrategia era presionar la palanca A exactamente cuatro veces, las ratasmuchas veces la accionaban cuatro, cinco o seis veces y, en algunosensayos, tres o incluso siete veces. Su conducta definitivamente no era«digital»;deensayoaensayo,elmargendevariacióneraconsiderable.Enefecto, esta variabilidad aumentaba en proporcióndirecta con el númerode veces que las ratas estimabanque él esperaba.Cuando el blanco—esdecir, la cantidad esperada— eran las cuatro veces, las respuestas de las

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ratasibandesdelastreshastalassiete,perocuandoelblancoeradieciséis,las respuestas ibandedoceaveinticuatro,oseaquecubríanun intervalomucho más grande. Aparentemente, los pequeños roedores estabanequipadosconunmecanismodeestimaciónmásbienimpreciso,bastantediferentedenuestrascalculadorasdigitales.Dada esta situación, muchos de ustedes probablemente se estarán

preguntandosinoatribuimosmuyalaligeraunacompetencianuméricaalasratas,ysinoesposibleencontrarunaexplicaciónmássencillaparasuconducta.Enprimerlugar,déjenmeseñalarqueelefectoCleverHansnopuedeejercerinfluenciaenestetipodeexperimento,porquelasratasestánaisladas en sus jaulas y todas las circunstancias experimentales estáncontroladas por un aparato mecánico automático. Sin embargo, ¿la ratarealmente es sensible al número de veces que se presiona la palanca, oestimael tiempo transcurridodesdeelcomienzodelensayo,oalgúnotroparámetrononumérico?Silaratapresionaralapalancaaunritmoregular—porejemplo,unavezporsegundo—,elcomportamientoexpuestomásarribapodríaexplicarseen todosualcanceporestimación temporal,másque numérica. Cuando se accione la palanca A, la rata esperará cuatro,ocho, doceodieciséis segundos, dependiendodel cronograma impuesto,antesdecambiara lapalancaB.Estaexplicaciónpuedeconsiderarsemássimple que la hipótesis de que las ratas son capaces de contar susmovimientos, pese a que, de hecho, las estimaciones a propósito de laduraciónylosnúmerossonoperacionesdeunacomplejidadequivalente.Para refutar una explicación basada en el factor tiempo como esta,

FrancisMechneryLaurenceGuevrekian(1962)utilizaronuncontrolmuysimple:variaronelgradodeprivacióndealimentoqueselesimponíaalasratas. Cuando los roedores estaban muy hambrientos y, lógicamente,ansiosos por obtener su recompensa alimenticia lo antes posible,accionaban las palancas tanto más rápido. Sin embargo, el aumento delritmo no tenía efecto alguno en el número de veces que presionaban lapalanca.Lasratasalasqueseentrenabaconunnúmero-blancodecuatroaccionamientoscontinuabanproduciendoentretresysiete,mientrasquelas entrenadas para presionar ocho veces seguían accionando la palancaaproximadamente ocho veces, y así sucesivamente. Ni el número deaccionamientos promedio ni la dispersión de los resultados se vieronmodificados con los ritmos más rápidos. La conclusión es que,obviamente, un parámetro numérico más que temporal dirige elcomportamientodelasratas.

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UnexperimentomásrecienterealizadoporRussellChurchyWarrenMeck en la Universidad de Brown demuestra que las ratasespontáneamenteprestantantaatenciónalnúmerodeeventoscomoasuduración. En el experimento de Church y Meck (1984), un parlanteinstaladoenlajauladelasratasemitíaunasecuenciadetonos.Habíadossecuenciasposibles.La secuenciaAteníados tonosydurabaun totaldedos segundos, mientras que la secuencia B constaba de ocho tonos ydurabaochosegundos.Lasratasdebíandistinguirentrelasdosmelodías.Luegodecadamelodía,seinsertabandospalancasenlajaula.Pararecibirla recompensa en forma de alimento, las ratas tenían que presionar lapalancaizquierdasihabíanoídolasecuenciaA,yladerechasihabíanoídolaB(figura1.4).

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Figura1.4.MeckyChurchentrenaronaungrupoderatasparaquepresionaranlapalancadelaizquierdacuandooyeranunasecuenciacortadedostonosylapalancadeladerechacuandooyeranunasecuencialargadeochotonos.Mástarde,lasratasgeneralizarondeformaespontánea:paraelmismonúmerodesonidos,diferenciabanlassecuenciasdedossegundosdelassecuenciasdeochosegundos(arriba)y,paraunaduracióntotalequivalente,discriminabanentrelosdostonosylosochotonos(abajo).Enamboscasos,elcuatropareceserun«promediosubjetivo»entredosyocho:elpuntoenquelasratasnopuedendecidirsideberíanpresionarladerechaolaizquierda

(adaptadodeMeckyChurch,1983).

Variosexperimentospreliminareshabíandemostradoquemuyprontolasratas puestas en esta situación aprendían a accionar la palanca correcta.Obviamente,podíanutilizardosparámetrosdistintosparadistinguirAdeB: la duración total de la secuencia (dos segundos frente a ocho) o el

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númerode tonos (dos frente aocho). ¿Las ratasprestaban atención a laduración, al número o a ambos? Para descubrirlo, los investigadorespresentaron algunas secuencias de prueba enque la duraciónpermanecíafijamientrassevariabaelnúmero,yotrasenquesefijabaelnúmeroysevariabaladuración.Enelprimercaso,todaslassecuenciasdurabancuatrosegundos,peroestabanformadasporunacantidaddetonosqueibadedosa ocho. En el segundo caso, todas las secuencias estaban formadas porcuatro tonos, pero la duración se extendía de dos a ocho segundos. Entodaslassecuenciasdeestetipo,lasratassiemprerecibíanunarecompensaen comida, sin importar la palanca que eligieran. En términosantropocéntricos, los investigadores simplemente estaban preguntandocómo sonaban estos nuevos estímulos para las ratas, sin dejar que larecompensa interfirieraconsudecisión.Elexperimento,entonces,medíala habilidad de las ratas para generalizar las conductas aprendidas conanterioridadaunasituaciónnovedosa.Los resultados fueron muy claros. Las ratas generalizaban con igual

facilidad tanto laduracióncomoelnúmero.Cuando laduraciónera fija,continuabanaccionando lapalanca izquierdacuandooíandos tonos,y lapalancaderechacuandooíanochotonos.Ala inversa,cuandoelnúmeroera fijo, presionaban la palanca izquierda para las secuencias de dossegundosylapalancaderechaparalassecuenciasdeochosegundos.¿Peroquépasabaconlosvaloresintermedios?Alparecer,lasrataslosreducíanalestímulomáscercanoquehabíanaprendido;así,lanovedosasecuenciadetres tonos producía la misma respuesta que la secuencia de dos tonosutilizadaparaelentrenamiento,mientrasquelassecuenciasdecincooseistonos se clasificaban delmismomodo que la secuencia original de ochotonos.Es curiosoque, cuando la secuencia incluía solo cuatro tonos, lasratasnopodíandecidirsidebíanpresionarlaizquierdaoladerecha.¡Paraunarata,el4pareceserelpuntomediosubjetivoentrelosnúmeros2y8!Tengamospresenteque lasratasnosabían,duranteelentrenamiento,

quedespuésseríanevaluadasconsecuenciasquevariabanenduraciónoenel número de tonos.Entonces, este experimento revela que, cuandounarata escucha unamelodía, su cerebro de forma simultánea y espontánearegistratanto laduracióncomoelnúmerodetonos.Seríaunerrorgravepensar que, como estos experimentos utilizan el condicionamiento, dealgúnmodolesenseñanalasratasacontar.Alcontrario,lasratasentranaescenaequipadasconmecanismosdeúltimatecnologíaparalapercepciónvisual, auditiva, táctil y numérica. El condicionamiento solo le enseña al

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animal a asociar percepciones que siempre ha experimentado, como lasrepresentacionesde la duracióndel estímulo, su coloro sunúmero, conacciones novedosas como accionar una palanca. No hay motivo parapensarqueelnúmeroesunparámetrocomplejodelmundoexterno,másabstracto que los llamados «parámetros objetivos» o «físicos» como elcolor, laposiciónenelespacioo laduraciónenel tiempo.Dehecho,entanto un animal esté equipado con los módulos cerebrales apropiados,computar el número aproximado de objetos que contiene un conjuntoprobablementenoseamásdifícilquepercibirsuscoloresosusposiciones.En efecto, hoy en día sabemos que de forma espontánea las ratas y

otras muchas especies prestan atención a cantidades numéricas de todotipo: acciones, sonidos, luces, trozos de comida[2]. Por ejemplo, losinvestigadoreshancomprobadoquelosmapaches,cuandoselespresentanvariascajastransparentesconuvasadentro,puedenaprenderaseleccionarenformasistemáticalasquecontienentresuvasyadejardeladolasquecontienendosocuatro.Delmismomodo,sehacondicionadoa lasrataspara que tomen, con regularidad, el cuarto túnel de la izquierda en unlaberinto, sin importar el espacio que separe los túneles consecutivos.Otros investigadores les han enseñado a los pájaros a elegir la quintasemillaqueencuentrancuandovisitanvariasjaulasinterconectadas.Dadasciertascircunstancias,laspalomaspuedenestimarelnúmerodevecesquehan picado sobre un blanco y diferenciar, por ejemplo, entre cuarenta ycincoycincuentapicotazos.Veamosunúltimoejemplo:variosanimales,incluidas lasratas,parecenrecordarelnúmeroderecompensasycastigosquehanrecibidoenunasituacióndeterminada.Uneleganteexperimentoque llevaron a cabo E. John Capaldi y Daniel Miller en la UniversidadPurdue ha mostrado que, cuando las ratas reciben como recompensasalimentos de dos tipos diferentes—como pasas y cereales—, recuerdantres tiposde información almismo tiempo: el númerodepasas quehancomido,elnúmerodecerealesyelnúmerototaldealimentos(CapaldiyMiller, 1988). En resumen, lejos de ser una habilidad excepcional, laaritméticaesbastantecomúnenelmundoanimal.Lasventajasqueotorgaparalasupervivenciasonobvias.Larataquerecuerdaquesuesconditeesel cuarto a la izquierda semoverámás rápido en el oscuro laberinto detúnelesquetieneporhogar.Laardillaquesedécuentadequeunaramatiene dos nueces y la deje de lado por otra que tiene tres, tendrá másposibilidadesdesobreviviralinvierno.

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¿Cuánabstractossonloscálculosanimales?

Cuandounarataaccionaunapalancadosveces,oyedossonidosycomedossemillas,¿reconocequetodosestoseventossonejemplosdelnúmero2?¿Onopuederegistrar laconexiónentrenúmerosquesepercibenpormediodediferentesmodalidadessensoriales?Lacapacidadparageneralizara partir de diferentes modalidades de percepción o acción es uncomponente importante de lo que llamamos «concepto de número».Supongamos, como caso extremo, que un niño pronunciasistemáticamentelapalabra«cuatro»cadavezquevecuatroobjetos,peroelige aleatoriamente las palabras «tres», «cuatro» o «nueve» al oír cuatrosonidososaltarcuatroveces.Aunquesindudasudesempeñoesexcelenteconlosestímulosvisuales,seríamosreticentesadecirqueesteniñocuentaconelconocimientodelconceptode4,porqueconsideramosqueposeereste concepto implica ser capaz de aplicarlo a muchas situacionesmultimodalesdiferentes.Dehecho,encuantolosniñoshanaprendidolapalabraqueledanombreaunnúmero,puedenutilizarladeinmediatoparacontarsusautosdejuguete, lacantidaddevecesquemaúllasugatoolastravesuras de su hermanito menor. ¿Qué ocurre con las ratas? ¿Sucompetencia numérica está acotada a determinadas modalidadessensoriales,oesabstracta?Pordesgracia,cualquierrespuestaserátentativa,porquefueronpocos

los experimentos exitosos acerca de la generalizaciónmultimodal en losanimales. Sin embargo, Russell Church y Warren Meck (1984) handemostrado que las ratas representan el número como un parámetroabstractoquenoestáunidoaunamodalidadsensorialespecífica,auditivaovisual.Nuevamente colocaron ratas en una jaula con dos palancas, peroestavezlasestimularontantoconsecuenciasvisualescomoconsecuenciasauditivas. Inicialmente, las ratas fueron condicionadas a presionar lapalancaizquierdacuandooíandostonos,yladerechacuandooíancuatrotonos.Porseparado, tambiénse lesenseñóaasociardosdestellosde luzcon la palanca izquierda, y cuatro destellos con la derecha. El punto eracómosecodificabanestasdosexperienciasdeaprendizajeenelcerebrodela rata. ¿Se almacenaban como dos porciones de conocimiento norelacionado?¿Olasratashabíanaprendidounareglaabstractacomo«2esizquierda y 4 es derecha»? Para descubrirlo, los dos investigadoresrealizaron algunos ensayos en los que sonidos y luces se presentabanmezclados.Sesorprendieronalobservarque,cuandopresentabanunúnico

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tono sincronizado conundestello, es decir, un total de dos eventos, lasratas inmediatamente presionaban la palanca izquierda. A la inversa,cuando presentaban una secuencia de dos tonos sincronizados con dosdestellosdeluz—untotaldecuatroeventos—,lasratassistemáticamenteaccionaban la palanca derecha. Los animales generalizaban suconocimientoaunasituacióncompletamentenovedosa.Susconceptosdelosnúmeros2y4noestabanconectadosconlainformaciónperceptiva,denivelbajo,visualoauditiva,sinoconunarepresentacióndenivelmásalto,esdecirmásabstracta.Consideremoscuánpeculiarfueelcomportamientodelasratasenlos

ensayos con los dos tonos sincronizados con los dos pulsos de luz.Recordemos que, durante su entrenamiento, a las ratas siempre se lasrecompensabaporpresionarlapalancaizquierdaluegodeoírdostonos,ydelmismomodoselaspremiabaluegodeverdospulsosdeluz.Entonces,tanto los estímulos auditivos de los «dos tonos» como los estímulosvisuales de los «dos pulsos» se asociaban con presionar la palancaizquierda.Sinembargo,cuandoestosdosestímulossepresentabanjuntos,¡las ratas presionaban la palanca que se había asociado con el número 4!Paracaptarmejorelsignificadodeesteresultado,imaginemosunsupuestoexperimento en el que se entrena a las ratas para presionar la palancaizquierda siempre que vean un cuadrado (por oposición a un círculo), yparapresionarlaizquierdasiemprequeveanelcolorrojo(poroposiciónalverde).Sia lasratasse lespresentarauncuadradorojo—lacombinaciónde los dos estímulos—, apuesto a que presionarían con mayordeterminaciónlapalancaizquierda.¿Porquéconlosnúmerosdetonosyde luces no sucede lo mismo que con las formas y los colores? Elexperimentodemuestraque las ratas«saben»,hastaciertopunto,que losnúmeros no se suman del mismo modo que las formas y colores. Uncuadrado más el color rojo hacen un cuadrado rojo, pero dos tonossumadosadospulsosdeluznointensificanlasensacióndelanumerosidad2.Enlugardeeso,2más2es4,yelcerebrodelaratapareceapreciarestaleyfundamentaldelaaritmética.Talvezelmejorejemplode lashabilidades abstractasde sumaen los

animalesseencuentreeneltrabajoquerealizaronGuyWoodruffyDavidPremack (1981) en la Universidad de Pennsylvania. Estos autores sepropusieron probar que un chimpancé podía realizar cálculos sencillos apartir de fracciones concretas. En su primer experimento, la tarea delchimpancéerasimple:selorecompensabaporelegir,entredosobjetos,el

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quefuerafísicamenteidénticoauntercero.Porejemplo,selepresentabaunvasollenohastalamitadconunlíquidoazulado,yelanimalteníaqueseñalarunvasoidénticopresentadojuntoaotroqueestaballenohastatrescuartosdesuvolumen.Elchimpancédominóinmediatamenteestasimpletarea de emparejamiento basado en la forma física. A partir de esemomento, la tarea se fue haciendo más abstracta. Al chimpancé se lemostraba un vasomedio llenootra vez, pero para entonces las opcioneseran o media manzana o tres cuartos de manzana. En cuanto a suapariencia física, las dos alternativas eran enormemente diferentes delestímuloquesehabíamostradocomoejemplo;sinembargo,elchimpancéseleccionaba consistentemente la media manzana, y parecía basar susrespuestasen lasimilitudconceptualentremediovasoymediamanzana.Seevaluaronfraccionesdeuncuarto,unmedioytrescuartosconsimilaréxito:elanimalsabíaqueuncuartodetortaesaunatortaenteraloqueuncuartodeunvasodelecheesaunvasodelechecompleto.Ensuúltimoexperimento,WoodruffyPremackcomprobaronquelos

chimpancéspodían inclusocombinarmentalmentedosfraccionesdeestetipo:cuandoelestímulodemuestraconsistíaenuncuartodemanzanaymedio vaso, y la opción era entre un disco completo o tres cuartos dedisco,losanimaleselegíanloúltimoenmásocasionesquelasquepodríanpredecirse solo por azar. Obviamente, estaban realizando un cálculointerno nomuy diferente de la suma de dos fracciones: 1/4+1/2=3/4.Probablemente, no usaban sofisticados algoritmos de cálculo simbólicocomo los que emplearíamos nosotros; pero, desde luego, tenían unacomprensiónintuitivadecómodebíancombinarseestasproporciones.Una última anécdota en relación con el trabajo de Woodruff y

Premack: si bien el manuscrito que refería su trabajo se llamabainicialmente «Conceptos matemáticos primitivos en el chimpancé:proporcionalidadynumerosidad», ¡unerror editorialhizoque aparecieraen las páginas de la revista científicaNature con el título «Conceptosmatemáticosprimativos»!Apesardequeestaalteraciónfue involuntaria,no era tan inapropiada.Porque, en efecto, la habilidaddel animal no eraprimitiva. Y si se entiende que «primativo» significa «específico de losprimates»,elneologismoresultabamuyapropiado,porqueenningunaotraespecie hasta ahora se ha observado una habilidad abstracta para sumarfraccionesdeestetipo.Sin embargo, la suma no es la única operación numérica en el

repertoriodelosanimales.Ladecomparardoscantidadesnuméricasesen

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verdaduna capacidad fundamental, y dehecho está bien extendida entrelos animales.Muestre a un chimpancé dos bandejas en las que se hayandispuesto varios trozos de chocolate (Rumbaugh, Savage-Rumbaugh yHegel,1987).Enlaprimerabandeja,pongadospilasdechocolate,unaconcuatrotrocitosyotracontres.Enlasegundabandeja,unapilaconcincotrocitosdechocolatey,separadodeesta,unúnicotrocito.Déalanimaleltiempo suficiente para queobserve la situación cuidadosamente antes dedejarlo elegir unabandeja y comer su contenido. ¿Québandeja creequeelegirá? En la mayor parte de las ocasiones, sin entrenamiento, elchimpancéseleccionarálabandejaconelnúmerototalmásaltodetrocitosdechocolate(figura1.5).Deestemodo,elprimateglotóndebecomputarespontáneamenteeltotaldelaprimerabandeja(4+3=7)yeltotaldelasegundabandeja(5+1=6),yporúltimodebeestimarque7esmásaltoque 6 y que resulta más beneficioso elegir la primera bandeja. Si elchimpancé no pudiera hacer las cuentas y se contentara con elegir labandejaconlapiladechocolatesmásgrande,deberíahaberseequivocadoenesteejemploenparticular,porque,mientraslapilaconcincotrozosdela segundabandeja excede cadaunade las pilas de la primerabandeja, lacantidadtotaldetrozosdelaprimerabandejaesmayor.Claramente,tantolasdossumascomolaoperacióndecomparaciónfinalsonnecesariasparaeléxito.

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Figura1.5.Unchimpancéeligeespontáneamenteelpardebandejasquecontieneelnúmerototaldetrocitosdechocolatemásgrande,loquerevelasucapacidadinnataparasumarycompararnumerosidadesaproximadas(reproducidodeRumbaugh,Savage-RumbaughyHegel,1987).

Aunque los chimpancés tienenundesempeño sorprendentementebuenoparaseleccionarelmásaltoentredosnúmeros,dichodesempeñonoestáexentodeerrores.Comosuelesuceder,laíndoledeestoserroresdapistasimportantes acerca de las representaciones mentales que se utilizan(Dehaene,Dehaene-LambertzyCohen,1998).Cuandolasdoscantidadesson bastante diferentes, como en el caso de 2 y 6, los chimpancés casinunca fallan: siempre eligen lamás alta.Amedida que las cantidades sevuelven más próximas, sin embargo, el buen desempeño se reducesistemáticamente.Ycuandosediferencianporapenasunaunidad,soloel70%delaseleccionesdelchimpancésoncorrectas.Elhechodequelatasadeerrordependaconregularidaddelaseparaciónnuméricaentrelosítemssedenomina«efectodedistancia».Tambiénvaacompañadoporunefectodemagnitud. Para distancias numéricas iguales, el desempeño empeora a

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medida que los números por comparar se vuelven más grandes. Loschimpancésnotienendificultadparadeterminarque2esmásgrandeque1, aunque estas dos cantidades se diferencian solo por una unidad. Sinembargo, fallancon frecuencia cadavezmayor amedidaqueunoavanzahacia números más altos como 2 frente a 3, 3 frente a 4, y asísucesivamente. Se han observado efectos de distancia y de magnitudsimilaresenunagranvariedadde tareasyendistintasespecies, incluidospalomas,ratas,delfinesysimios.Noparecenexistiranimalesqueescapena estas reglas del comportamiento (ni siquiera elHomo sapiens, comoveremosmásadelante).¿Por qué estos efectos de distancia y demagnitud son importantes?

Porque demuestran, una vez más, que los animales no poseen unarepresentacióndigitalodiscretadelosnúmeros.Solounospocosprimerosnúmeros—1,2y3—puedendiferenciarsecongranprecisión.Tanprontocomoavanzamoshaciacantidadesmásgrandes, laconfusiónaumenta.Lavariabilidad de la representación interna de los números crece de formadirectamenteproporcionalalacantidadrepresentada.Estaeslarazónporlaque,cuando losnúmerossehacengrandes,unanimal tieneproblemasparadistinguirelnúmerondesusucesorn+1.Estonodeberíallevarnosa laconclusión,sinembargo,deque losnúmerosgrandesestánfueradelalcance del cerebro de una rata o una paloma. En efecto, cuando ladistancianuméricaessuficiente,losanimalespuedendiferenciarconéxitoy comparar números muy grandes, del orden de 45contra50. Suimprecisión simplemente los deja ciegos a las sutilezas de la aritmética,comoladistinciónentre49y50.Dentrodeloslímitesestablecidosporestaimprecisióninterna,hemos

visto a través de numerosos ejemplos que los animales poseenherramientas matemáticas funcionales. Pueden sumar dos cantidades yelegir espontáneamente el más grande entre dos conjuntos. ¿Realmentetendríamos que estar tan sorprendidos? Primero intentemos pensar si elresultadodeestosexperimentospodríahabersidodiferente.Cuandoseleofreceaunperrolaopciónentreunplatollenoyunplatoconlamitaddelamisma comida, ¿no elige espontáneamente el que tienemás cantidad?Actuardeformadiferenteseríadevastadoramenteirracional.Elegirlamásgrande entre dos cantidades de comida probablemente es una de lasprecondicionespara la supervivenciadeunorganismovivo.Laevoluciónhasidocapazdeconcebirestrategiastancomplejasparalarecoleccióndecomida,elalmacenamientoyladepredaciónquenodeberíasorprendernos

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que una operación tan simple como la comparación de dos cantidadesexistieraparatantasespecies.Inclusoesprobablequeunalgoritmomentalde comparación haya sido descubierto temprano, y tal vez incluso quehayasidoreinventadovariasvecesenelcursodelaevolución.Hastaelmáselemental de los organismos, en definitiva, se enfrenta a una búsquedainterminable para encontrar el mejor ambiente con la mejor comida, lamenorcantidaddepredadores,lamayorcantidaddecompañerosdelsexoopuesto,etc.Sedebeoptimizarparasobrevivir,ycompararparaoptimizar.Todavía tenemos que comprender, sin embargo, a través de qué

mecanismos neurales se lleva a cabo este tipo de cálculos. ¿Hayminicalculadoras en los cerebros de los pájaros, las ratas y los primates?¿Cómofuncionan?

Lametáforadelacumulador

¿Cómopuedesaberunarataque2más2esiguala4?¿Cómoesqueunapalomapuederealizarunacomparaciónentrecuarentaycincoycincuentapicotazos?Sé,porexperiencia,queestosresultadossuelenobservarseconincredulidad, risa,o incluso exasperación, ¡especialmente cuandonuestropúblicoesdeprofesoresdematemática!Nuestrassociedadesoccidentales,desdeEuclidesyPitágoras,hansituadolamatemáticaenlacúspidedeloslogroshumanos.Lavemoscomounahabilidadsupremaquerequiereunatrabajosaeducación,obienquellegacomoundoninnato.Enlamentedemás de un filósofo, la habilidad humana para la matemática deriva denuestra habilidad para el lenguaje, demodo que es inconcebible que unanimalsinlenguajepuedacontar,nimuchomenoscalcularconnúmeros.En este contexto, las observaciones sobre el comportamiento animal

queacabodedescribirseexponenalriesgodesersimplementeignoradas,como muchas veces ocurre con resultados científicos inesperados oaparentemente aberrantes. Sin un marco teórico que los avale, puedenparecer resultados aislados; peculiares, sí, pero en última instancia, pococoncluyentes y, desde luego, insignificantes para cuestionar la ecuación«matemática= lenguaje». Para resolver estos fenómenos, necesitaríamosuna teoría que explicara, de una forma bastante simple, cómo es posiblecontarsinpalabras.Por fortuna, esta teoría existe (Meck y Church, 1983). En efecto,

todossabemosquehaydispositivosmecánicoscuyofuncionamientonoes

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tandiferentedelcaracterísticodelasratas.Todoslosautos,porejemplo,están equipados con unmecanismo de cómputo, que lleva la cuenta delnúmero de kilómetros acumulados desde que el vehículo se puso enmarcha por primera vez. En su versiónmás sencilla, este «contador» essimplementeunaruedadentadaqueavanzaundienteporcadakilómetroqueserecorre.Almenosenprincipio,esteejemplomuestraqueunsimpledispositivo mecánico puede llevar la cuenta de una cantidad acumulada.¿Por qué un sistema biológico no podría incorporar principios similaresparacontar?Elcuentakilómetrosdelautoesunejemploimperfectoporqueutiliza

la notación digital, un sistema simbólico que muy probablemente seaespecíficodeloshumanos.Paraexplicarlashabilidadesaritméticasdelosanimales,deberíamosbuscarunametáforaaúnmássimple.ImaginemosaRobinsonCrusoe,ensuisladesierta,soloeindefenso.Paraqueelejemploseamásclaro,imaginemosinclusoquerecibióungolpeenlacabezaqueloprivó de cualquier tipo de lenguaje y lo volvió incapaz de utilizar laspalabras que hacen referencia a números para contar o hacer cálculos.¿CómopodríaRobinsonconstruirunacalculadoraaproximadautilizandosolo las herramientas improvisadas que tiene a su disposición? Esto enrealidad esmás sencillo de lo que parecería. Supongamos que Robinsondescubrió una fuente en las cercanías. Talla un tanque con un troncogrande,yubicaesteacumuladoralladodelafuente,demaneratalqueelagua no ingresa directamente dentro de él, sino que se la puede desviartemporariamente mediante una pequeña caña de bambú. Con estedispositivo rudimentario, cuyo componente central es el acumulador,Robinsonserácapazdecontar, sumarycompararmagnitudesnuméricasaproximadas.En esencia, el acumulador le permite dominar la aritméticatanbiencomolohaceunarataounapaloma.Supongamos ahora que a la isla de Robinson se acerca una canoa

repletadecaníbales.¿CómopuedehacerRobinson,queestásiguiendoestaescena conun largavista, para llevar un registrodel númerode atacantesutilizando su calculadora? En primer lugar, tendría que vaciar elacumulador. Luego, cada vez que un caníbal pisara tierra, Robinsondesviaría por un breve lapso algo de agua de la fuente dentro delacumulador. Es más, lo haría de manera tal que siempre llevara unacantidad fija de tiempo y que el flujo de agua permaneciera constante.Entonces,paracontaracadaatacante,unacantidaddeaguamásomenosfija ingresa al acumulador.Al final, elniveldel aguadel acumulador será

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igual an veces la cantidadde aguaque se echódentrodel acumulador acada paso. Este nivel final puede servir como una representaciónaproximadadelnúmerondecaníbalesquehallegadoalaisla.Estoesasíporquedependesolodelnúmerodeeventosquesehancontado.Elrestodelosparámetros,comoladuracióndecadaevento,elintervalodetiempoentreellos,ydemás,notieneinfluenciaalguna.Entonces,elnivelfinaldeaguaquehayenelacumuladorescompletamenteequivalenteaunnúmero.Al marcar el nivel que alcanza el agua en el acumulador, Robinson

puede tener un registro de la cantidad de gente que ha llegado, y puedeusarestenúmeroparacálculosposteriores.Aldíasiguiente,porejemplo,seacercaunasegundacanoa.Paraestimarelnúmerototaldeatacantes,enprimerlugarRobinsonllenaelacumuladorhastaelniveldelmarcadordeldíaprevio,yluegoagregaunacantidadfijadeaguaporcadareciénllegado,delmismomodoenquelohizoanteriormente.Luegodecompletadaestaoperación,elnuevoniveldelaguarepresentaelresultadodelasumadelosatacantes que se encontraban en la primera canoa y los de la segundacanoa. Robinson puede tener un registro permanente de este cálculotallandounamarcadiferenteenelacumulador.Al día siguiente, unos pocos salvajes dejan la isla. Para evaluar su

número,antetodoRobinsonvacíasuacumulador;deinmediato,repiteelprocedimiento antes descripto, aunque esta vez agrega algo de agua porcadacaníbalque se aleja. Seda cuentadequeelnivel finaldel agua,querepresentaelnúmerodepersonasquesehanido,esmuchomásbajoquelamarcadeldíaanterior.Alcompararlosdosnivelesdeagua,Robinsonllegaa la preocupante conclusión de que, muy probablemente, el número denativosquesehanidoesmenorqueelnúmerodenativosquehanllegadoen los últimos dos días. En resumen, utilizando su rudimentariodispositivo,Robinsonpuedecontar,computarsumassimplesycompararlos resultados de sus cálculos, tal como hacen los animales de losexperimentosanteriores.Una clara desventaja del acumulador es que, aunque forman un

conjunto discreto, los números están representados por una variablecontinua: el nivel del agua. Dado que todos los sistemas físicos soninherentemente variables, un mismo número puede representarse, enmomentosdistintos,condiferentescantidadesdeaguaenelacumulador.Supongamos, por ejemplo, que el flujo de agua no es perfectamenteconstanteyvaríaaleatoriamenteentrecuatroyseislitrosporsegundo,conunpromediodecincolitrosporsegundo.SiRobinsondesvíaaguadurante

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dos décimas de segundo en el acumulador, se transferirá un litro enpromedio.Sinembargo,estacantidadvariaráde0,8a1,2litros.Entonces,sisecuentancincoítems,elniveldeaguafinalvariaráentreloscuatroylosseis litros.Dadoque losmismosnivelesexactosdeaguapodríanhabersealcanzado si se hubieran contado cuatro o seis ítems, la calculadora deRobinsonno es capazde diferenciar conunbuennivel de confianza losnúmeros 4, 5 y 6. Si llegan seis caníbales y luego solo cinco se alejan,Robinson corre el peligro de no notar la ausencia de uno de ellos. ¡Esexactamente la misma situación a la que se enfrentó la corneja de laanécdota que mencioné al comienzo de este capítulo! Desde luego,Robinson será más capaz de discriminar números cuanto mayor sea ladiferencia;esteeselefectodedistancia,queseintensificaráamedidaquelosnúmeroscrezcan,y,deestamanera,reproduciráelefectodemagnitudquetambiéncaracterizaelcomportamientoanimal.Uno podría objetar que el Robinson que estoy describiendo no es

particularmente astuto. ¿Qué le impide utilizar piedras en lugar deimprecisascantidadesdeagua?Arrojarenuncuencounapiedraporcadaítem que se cuenta le daría una representación discreta y precisa de sunúmero.Deestemodo,evitaríaerroresinclusoenlamáscomplejadelassustracciones.PerolamáquinadeRobinsonsoloseutilizaaquícomounametáforadelcerebroanimal.Elsistemanervioso—almenoselqueposeenlas ratas y las palomas— no parece capaz de contar utilizando símbolosdiscretos. Es fundamentalmente impreciso, y se muestra incapaz deregistrarlacantidaddeítemsquecuenta;estoexplicasuvarianzacrecienteparanúmeroscadavezmásgrandes.Si bien el modelo del acumulador se describe aquí de manera muy

informal,enrealidadesunmodelomatemáticoriguroso,cuyasecuacionespredicen con precisión las variaciones en el comportamiento animal enfunción del tamaño del número y de la distancia numérica (Meck yChurch,1983;unanálisismásrecienteconstaenDehaene,2007).Así, lametáfora del acumulador nos permite comprender por qué elcomportamientodelarataestanvariableentreunensayoyotro.Inclusoluego de una considerable cantidad de entrenamiento, una rata pareceincapaz de presionar exactamente cuatro veces una palanca, pero puedeaccionarlacuatro,cincooseisvecesendiferentesensayos.Creoqueestoocurreporunaincapacidadfundamentalpararepresentarlosnúmeros4,5y 6 con un formato discreto e individualizado, como hacemos loshumanos. Para una rata, los números son solomagnitudes aproximadas,

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variablesdeunmomentoaotro,ytanfugacesyelusivascomoladuracióndelossonidosolasaturacióndeloscolores.Inclusocuandoserepitadosveces una secuencia de sonidos, las ratas probablementenopercibirán elnúmeroexactodesonidos,sinosoloelnivelfluctuantedeunacumuladorinterno.Por supuesto, el acumulador no esmás que unametáfora vívida que

meramenteexplicadequémodounsimpledispositivofísicopuedeimitar,con un considerable nivel de detalle, los experimentos sobre aritméticaanimal. No hay grifos y recipientes en los cerebros de las ratas y laspalomas. Sin embargo, ¿sería posible detectar en el cerebro sistemasneuronalesquepuedancumplirunafunciónsimilaraloscomponentesdelmodelodelacumulador?Estaesunapreguntatotalmenteabierta.Hoyendía,loscientíficosapenasestáncomenzandoacomprenderdequémaneraalgunos parámetros se modifican al utilizar distintas sustanciasfarmacológicas.Inyectarlesmetanfetaminasalasratas,porejemplo,pareceacelerar el contador interno (hay una revisión reciente en Williamson,Cheng,EtchegarayyMeck, 2008).Las ratas a lasque se les inyecta estasustancia responden a una secuencia de cuatro sonidos como si hubierahabido cinco o seis: es como si el flujo del agua del acumulador seacelerara.Porcadavezquesecuenta,unacantidaddeaguamayorquelonormal ingresa al acumulador, y hace que el nivel final sea demasiadogrande. Por eso, un 4 en el input puede terminar pareciendo un 6 en elresultado. Sin embargo, todavía sabemos poco acerca de las regionescerebralesen lasque lametanfetaminaproduce suefectoacelerador.Loscircuitoscerebralesestánlejosdehaberreveladotodossussecretos.

¿Hayneuronasdetectorasdenúmero?

Sibienloscircuitoscerebralesdelprocesamientonuméricotodavíasonengran parte desconocidos, pueden utilizarse simulaciones de redesneuronalesparaespecularacercadecómopodríasersuorganización.Losmodelos de redes neuronales son algoritmos que funcionan en unacomputadoradigitalconvencional,peroemulanlostiposdecómputosquepueden tener lugar en los circuitos cerebrales reales. Por supuesto, lassimulaciones siempre son enormemente simplificadas cuando se lascomparacon lacomplejidadglobalde las redesdeneuronas reales.En lamayoría de losmodelos de computadora, cada neurona se reduce a una

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unidaddigitalconunniveldesalidadeactivaciónquevaríaentre0y1.Lasunidadesactivasexcitanoinhibenasusvecinas,asícomoaunidadesmásdistantes, pormedio de conexiones con un peso variable, análogas a lassinapsis que conectan las neuronas reales. A cada paso, cada unidadsimuladasuma lasentradasquerecibedeotrasunidades,yseenciendeono,dependiendodesilasumasuperadeterminadoumbral.Laanalogíaconunacélulanerviosarealesgrosera,peropreservaunapropiedadcrucial:elhechodequeunagrancantidaddecómputossimplesseproducealmismotiempo en varias neuronas distribuidas dentro demúltiples circuitos. Lamayor parte de los neurobiólogos cree que un procesamientomasivo enparalelodeeste tipoes lapropiedadclavequepermitealcerebrorealizaroperaciones complejas en un tiempo breve, utilizando herramientasbiológicasrelativamentelentasypococonfiables.¿Es posible que el procesamientoneuronal en paralelo se utilice para

procesar números? Junto con Jean-Pierre Changeux, neurobiólogo quetrabaja en el Instituto Pasteur en París, propuse una simulación de redneuronal tentativapara explicar la forma enque los animales extraen losnúmeros de su ambiente de manera rápida y en paralelo (Dehaene yChangeux,1993[3]).Nuestromodelo abordaunproblema simpleque lasratasylaspalomasresuelvenrutinariamente:dadaunaretinaenlaqueseexhiben objetos de varios tamaños, y dada una cóclea en la que sereproducen tonos de varias frecuencias, ¿es posible que una red deneuronas simuladas compute el número total de objetos visuales yauditivos?Deacuerdoconelmodelodel acumulador,puedecomputarseeste número si se agrega a un acumulador interno una cantidad fija porcadaítemqueingresa.Eldesafíoeshacerloconredesdecélulasnerviosassimuladas, y alcanzar una representación del número que seaindependiente del tamaño y la localización de los objetos visuales, asícomodeltiempodepresentacióndelostonosauditivos.Resolvimos el problema diseñando, en primer lugar, un circuito que

normalizara la entrada visual respecto del tamaño. Esta red detecta lasposicionesqueocupanlosobjetosenlaretina,yasignaacadaobjeto,sinimportar su formao su tamaño, unnúmero aproximadamente constantedeneuronasactivasenunmapadeposiciones.Estepasodenormalizaciónescrucial,porquepermitequelaredcuentecadaobjetocomo«uno»,sinimportarsutamaño.Comoveremosmásadelante,en losmamíferosestaoperación puede lograrse mediante circuitos presentes en la cortezaparietalposterior,que,segúnsesabe,computanunarepresentaciónde la

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localización de los objetos sin tener en cuenta la forma y el tamañoexactos.En nuestra simulación, se efectúa una operación similar para los

estímulos auditivos. Sin importar los intervalos de tiempo que medianentre la recepcióndeunoyotro, los inputs auditivos se acumulanenunúnico lugaren lamemoria.Nobiense lograronestasnormalizacionesdetamaño,formaytiempodepresentación,esfácilestimarelnúmero:unotienequeevaluarsimplemente laactividadneuronaltotalqueexisteenelmapavisualnormalizadoyenelalmacéndememoriaauditivo.Estetotalesequivalentealniveldeaguafinaldelacumuladoryofreceunaestimaciónbastante confiable del número. En nuestra simulación, un conjunto deunidades que acumulan activaciones de todas las unidades visuales yauditivassubyacentesseocupadelaoperacióndesuma.Bajodeterminadascondiciones, estas unidades de salida solo se activan cuando la actividadtotalquerecibenestádentrodeunintervalopredefinidoquevaríadeunaneurona a otra. Por eso, cada una de estas neuronas simuladas funcionacomo un detector de número que solo reacciona cuando se ve unaproximado número de objetos (figura 1.6). Una unidad de la red, porejemplo, responde de manera óptima cuando se le presentan cuatroobjetos: cuatro manchas visuales, cuatro sonidos, dos manchas y dossonidosuotrasopciones.Lamismaunidadreaccionaenpocasocasionescuandoselepresentantresocincoobjetos,ynuncaenloscasosrestantes.Así,funcionacomoundetectorabstractodelnúmero4.Todala líneadenúmerossepuedecubrirmedianteesosdetectores,cadaunoajustadoaunnúmero aproximadodiferente, y la precisióndel ajustedecrece amedidaque uno se acerca a números cada vezmás grandes.Como las neuronassimuladasprocesanensimultáneotodaslasentradasvisualesyauditivas,elconjuntodedetectoresdenúmerorespondemuyrápido:puedeestimarelcardinaldeunconjuntodecuatroobjetosenparaleloentodalaretina,sintener que orientarse hacia cada ítem, como hacemos nosotros cuandocontamos.

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Figura1.6.Unaredneuronalsimuladaencomputadoraincorpora«detectoresdenumerosidad»queresponden,preferentemente,aunnúmeroespecíficodeítemsdeestímulo(arriba).Cadacurvamuestralarespuestaaunaunidaddadadediferentesnúmerosdeítems.Nóteselaselectividaddecrecientedelasrespuestasamedidaquelanumerosidaddelinputcrece.En1970,Thompsonysuscolegasregistraronneuronas«codificadorasdelnúmero»similaresenlacortezaasociativadegatosanestesiados(abajo).Laneuronailustradaaquírespondepreferentementeaseiseventosconsecutivos,yaseanseisdestellosdeluzseparadosporunsegundo,oseistonosseparadosporunoocuatrosegundos(arriba,adaptadodeDehaeneyChangeux,1993;abajo,Thompsonyotros,

1970;©AmericanAssociationfortheAdvancementofScience).Nota:ElISI,ointervaloentreestímulos,porsusiglaeninglés,eselintervalotemporalentreelfinal

deunestímuloyelcomienzodeotro.

Sorprendentemente, las neuronas detectoras de número que el modeloprediceparecenyaidentificadas(aunqueseaunavez)enelcerebroanimal.En la década de 1960, Richard Thompson, neurocientífico de la

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Universidad de California en Irvine, registró la actividad de neuronasindividuales de la corteza de los gatosmientras se les presentaban a losanimales series de tonos o de destellos de luz (Thompson, Mayers,RobertsonyPatterson, 1970).Algunas células solo se activabandespuésde determinado número de eventos. Una neurona, por ejemplo,reaccionaba luego de seis eventos de cualquier tipo, sin importar si eranseisdestellos,seistonoscortos,oseistonoslargos.Lamodalidadsensorialno parecía importar: a la neurona, aparentemente, solo le importaba elnúmero.Adiferenciadeunacomputadoradigital, tampoco respondíadeunaformadiscretaatodoonada.Encambio,suniveldeactivacióncrecíaluegodelquintoítem,alcanzabaunmáximoparaelsexto,ydisminuíaparanúmerosmásgrandesdeítems,unperfilderespuestabastantesimilaraldelas neuronas simuladas de nuestromodelo. Varias células similares, cadauna ajustada para un número diferente, fueron registradas en un áreapequeñadelacortezadelgato.Entonces, en el cerebro bien podría existir un área especializada,

equivalente al acumulador deRobinson.Desafortunadamente, el estudiode Thompson, publicado en la prestigiosa revista científica Science en1970,norecibiómásatención.Todavíanotenemosideadesilasneuronasde detección de número están conectadas del modo en que lo predicenuestromodelo,osiloscerebrosdelosgatosutilizanalgúnotrométodoparaidentificarelnúmero.Porsupuesto,laúltimapalabradeestahistoriaseráde losneurofisiólogosque se atrevana continuar labúsquedade lasbasesneuronalesdelaaritméticaanimalutilizandoherramientasmodernasderecodificacióndeneuronas[4].

Contandoenlaniebla

Sea cual sea su implementación neuronal exacta, si el modelo delacumuladorescorrecto,seseguiránnecesariamentedosconclusiones.Enprimer lugar, los animales pueden contar, porque son capaces de hacercrecer un contador interno cada vez que ocurre un evento externo. Ensegundolugar,nocuentanexactamentedelmismomodoquenosotros.Surepresentacióndelosnúmeros,alcontrariodelanuestra,esimprecisa.Cuando nosotros contamos, utilizamos una secuencia precisa de

palabras de número, y no dejamos lugar para que aparezcan los errores.

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Cada ítem contado corresponde a unmovimiento que es un paso haciadelanteen lasecuencianumérica.Nosucede igualenelcasode lasratas.Susnúmerossonlosnivelesdeunacumuladoranalógico.Cuandounarataañadeunaunidadasutotalactual,laoperaciónsolotieneunvagoparecidocon la rigurosidad lógica de nuestro «+ 1». En cambio, se parecemás aañadir un balde de agua al acumulador deRobinson. La condición de laratarecuerdadealgúnmodolavergüenzaaritméticadeAliciaenAtravésdelespejo:

—¿Sabessumar?—preguntólaReinaBlanca—.¿Cuántoesunomásunomásunomásunomásunomásunomásunomásunomásunomásuno?—Nolosé—dijoAlicia—.Perdílacuenta.—Nosabesumar—interrumpiólaReinaRoja.

Apesardequelefaltótiempoparahacerenvozalta lacuenta,podemospresumir que Alicia era capaz de estimar —con un margen de pocasunidadesmásomenos—eltotalque lepedía lareina.Delmismomodo,lasratasdebenrecurrira lascuentasaproximadassinpalabrasosímbolosdigitales. La diferencia con nuestras cuentas verbales es tan enorme quequizánisiquieradeberíamoshablarde«número»enlosanimales,porquealreferirnosalnúmerosolemossuponerunsímbolodiscreto.Poresemotivoloscientíficos,cuandodescribenlapercepcióndelascantidadesnuméricas,hablande«numerosidad»antesquedenúmero.Elacumuladorpermitealos animales estimar cuán numerosos son algunos eventos, pero nocomputarsunúmeroexacto.Lamenteanimalsolopuederetenernúmerosimprecisos.¿Realmenteesimposibleenseñaralosanimalesunanotaciónsimbólica

para los números? ¿No podríamos enseñarles a reconocer un conjuntodiscretodeetiquetasnuméricassimilaresanuestraspalabrasparadígitosynúmeros, y luego inculcarles que esas etiquetas hacen referencia acantidadesprecisas?Dehecho,variosexperimentosdeesetipohantenidoalgo de éxito. Hacia finales de los años 1980, un investigador japonés,TetsuroMatsuzawa, le enseñó a un chimpancé llamadoAi cómoutilizarsignos arbitrarios para describir conjuntos de objetos (figura 1.7)(Matsuzawa, 1985, 2009). Los pequeños dibujos que cumplían el rol depalabras ocupaban las celdas de un panel computarizado. El chimpancépodíapresionarcualquierceldaquequisieraconelobjetivodedescribirlo

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que veía. Luego de un largo período de entrenamiento, Ai aprendió autilizar catorce símbolos de objetos, incluso símbolos de colores y,másimportanteparanosotros,losprimerosseisnúmerosarábigos.Cuandosele mostraban tres lápices rojos, por ejemplo, el chimpancé primeroseñalaba un símbolo cuadrado adornado con un diamante negro, quesignificabaconvencionalmente«lápiz»,luegoundiamantecruzadoconunabarrahorizontal(«rojo»),yfinalmenteseñalabaelnúmeroescrito«3».Estasecuenciadegestospuedehabersidosolounaformaelaboradade

reflejo motor memorizado. Sin embargo, Matsuzawa mostró que enefecto, y hasta cierto punto, los dibujos funcionaban comopalabras quepodían, solo a partir de sus combinaciones, describir situacionesnovedosas.Si,porejemplo,seleenseñabaalchimpancéunnuevosímbolopara «cepillo de dientes», era en parte capaz de aplicarlo a contextosnovedosos como «cinco cepillos de dientes verdes» o «dos cepillos dedientesamarillos».Detodosmodos,estacapacidadparageneralizarestabacargadadeerroresfrecuentes.Desde 1985, cuando Matsuzawa reportó por primera vez sus

resultados,suchimpancéAihizoavancesconstantesenaritmética.Ahorasabe los primeros nueve dígitos, y puede enumerar conjuntos con unaprecisióndel95%.Losregistrosdesustiemposderespuestasugierenque,tal como un humano, Ai se vale del cómputo serial para números másgrandesque3o4.Tambiénaprendióaordenarlosdígitosdeacuerdoconsu magnitud, aunque, otra vez, le tomó años establecer esta nuevahabilidad.

Figura1.7.ElprimatólogojaponésMatsuzawaenseñóasuchimpancéAiunvocabulariodesignosvisuales,delosqueaquípresentamossolounpequeñosubconjunto.Así,Aipodíaetiquetarla

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identidad,elcolorylanumerosidaddetodoslospequeñosconjuntosdeobjetos(segúnMatsuzawa,1985;©MacmillanMagazinesLtd.).

Desde los primeros experimentos de Matsuzawa, el aprendizaje de lasetiquetasnuméricassehareproducidoenvarioschimpancésenalmenostres diferentes centros de entrenamiento de primates. También se hanpuesto de manifiesto habilidades similares en especies mucho másdistantes de nosotros. Se ha entrenado a delfines para que asociaranobjetos arbitrarios con números precisos de peces. Luego deaproximadamentedosmilensayos,erancapacesdeseleccionar,entredosobjetos,elqueestabaasociadoconlamayorcantidaddepeces(Mitchell,Yao,ShermanyO’Regan,1985,Kilian,Yaman,VonFersenyGunturkun,2003).IrenePepperberg,delaUniversidaddeArizona,lehaenseñadoasuloro Alex un extenso vocabulario de palabras inglesas, entre ellas losnombresdelosprimerosnúmeros(Pepperberg,1987).Losexperimentoscon Alex son bastante notables porque no son necesarios carteles omuestrasdeplástico:puedeutilizarseelinglésmásomenosestándarparaformularpreguntasorales,¡queelanimalrespondedeinmediatoemitiendopalabrasreconocibles!Cuandose lepresentaunconjuntodeobjetosqueincluye,porejemplo,llavesverdes,llavesrojas,juguetesverdesyjuguetesrojos, Alex puede responder preguntas tan complejas como «¿Cuántasllaves rojas?».Desde luego, suentrenamiento llevóun largo tiempo: casiveinteaños.Sinembargo,losresultadospruebanclaramentequeetiquetarlanumerosidadnoesprivilegioexclusivodelosmamíferos.Enlasinvestigacionesmásrecientes,sehademostradoqueloschimpancéssonparcialmentecapacesdecalcularutilizandosímbolosnuméricos.SarahBoysen, por ejemplo, le enseñó a su chimpancé llamada Sheba a realizarsumas y comparaciones numéricas simples (Boysen y Berntson, 1989,Boysen, Berntson, Hannan y Cacioppo, 1996). Comenzó enseñando aShebalascantidadesconlasqueseasociabanlosdígitosarábigosdel0al9.Los experimentosde este tipo requierenpacienciay constancia.Durantedosaños,seexpusoalanimalatareasprogresivamentemáscomplejas.Alprincipio, solo tenía que ubicar una galletita en cada uno de los seiscuadradosdeuntablero.Luegoselemostrabanconjuntosdeentreunaytres galletitas, y se le pedía que seleccionara, entre varias tarjetas, la quetuvieratantasmarcasnegrascomolacantidaddegalletitasquehabíaeneltablero. Entonces aprendió a unir un conjunto de galletitas con unconjunto de marcas, poniendo el foco solo en su numerosidad. En una

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terceraetapa,pocoapocolastarjetasconmarcasfueronreemplazadasporlos correspondientes dígitos arábigos. Así, la chimpancé aprendió areconocerlosdígitos1,2y3yaseñalareldígitoapropiadocuandoveíaelnúmero correspondiente de galletitas. Por fin, en la última etapa, SarahBoysen enseñó a su discípula lo opuesto: tenía que elegir, entre variosconjuntos de objetos, aquel cuya numerosidad se correspondiera con undígitoarábigodado.Por obra de estrategias similares, el conocimiento del animal se

extendió paulatinamente al conjunto completo de dígitos, del 0 al 9. Alfinaldeesteperíododeentrenamiento,Shebanoteníainconvenientesparapasardeundígitoa la cantidadcorrespondiente,yviceversa.Estopuedeconsiderarselaesenciadelconocimientosimbólico.Unsímbolo,másalláde su forma arbitraria, hace referencia a un significado oculto.Comprender símbolos implica acceder a este significado únicamente apartirdelaforma,mientrasquelaproduccióndesímbolosrequierequeseacceda a la forma arbitraria para el significado que se quiere transmitir.Obviamente, después de un largo y arduo entrenamiento, la chimpancéShebahabíalogradodominarestasdostransformaciones.Unapropiedad importantede lossímboloshumanos,sinembargo,es

quesoncombinablesenoracionescuyosignificadoderivadel significadode las palabras que los forman. Los símbolosmatemáticos, por ejemplo,pueden combinarse para expresar ecuaciones como 2 + 2 = 4. ¿Shebapodríatambiéncombinarmúltiplesdígitosenuncálculosimbólico?Paradescubrirlo,Boysendiseñóunatareadesumasimbólica.Escondiónaranjasenvarioslugaresdela jauladeSheba;porejemplo,dosnaranjasbajounamesay tresdentrodeuna caja.Enprimer lugar, la chimpancé explorabatodosloslugaresdondelasnaranjaspodíanestarescondidas.Luegovolvíaal punto de partida y se esperaba que seleccionara, entre varios dígitosarábigos, el que coincidiera con el número total de naranjas que habíaencontrado.Ya desde el primer ensayo el animal realizó exitosamente latarea.De inmediato, se probó una versión simbólica. Esta vez,mientrasdeambulaba por la jaula, el animal no descubría naranjas, sino dígitosarábigos, como el dígito 2 bajo la mesa y el dígito 4 en la caja.Nuevamente,desdeelprimerensayolachimpancéeracapazdeinformar,regularmente, al terminar laexploración,el totalde losdígitosquehabíavisto (2+ 4= 6). Esto implicaba que podía reconocer cada uno de losdígitos,asociarlomentalmenteconcantidades,encontrarelresultadodelasumade estas cantidadesy,porúltimo, recuperar la apariencia visualdel

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dígitocorrespondiente.Nuncaantesunanimalhabíaestado tancercadelashabilidadesdecálculosimbólicoquepresentanlossereshumanos.Incluso especies mucho menos astutas que el chimpancé pueden

aprenderarealizaroperacionesmentalesbásicasconsímbolosnuméricos.Por ejemplo,dosmacacos llamadosAbel yBaker, entrenadosporDavidWashburnyDuaneRumbaughen laUniversidaddelEstadodeGeorgia,hanmostradohabilidadesnotablesparacompararlascantidadesnuméricasrepresentadas por los dígitos arábigos (Washburn y Rumbaugh, 1991;también Beran, 2004, Harris, Washburn, Beran y Sevcik, 2007). En lapantalla de una computadora aparecían pares de dígitos arábigos como«24». Por medio de un joystick, el animal podía elegir un dígito. Unaexpendedoraautomáticaleentregabaluegoelnúmerocorrespondientedecaramelos de fruta, golosina que a los primates les encanta. Si el animalelegíaeldígito4,saborearíacuatrocaramelos,mientrasquesiseleccionabaeldígito2,solorecibiríados.Elcaminoquelollevabaaelegireldígitomásgrande,entonces,erabastanteimportante.Enefecto,latareaerabastantesimilaraladecomparaciónquesedescribiómásarriba,exceptoporquenose confrontaba al animal directamente con la comida, sino con unarepresentación simbólica de su cantidad en dígitos arábigos. Tenía querecuperardelamemoriaelsignificadodelossímbolosdigitales,esdecir,lacantidadalaqueestabanasociados.Deberíamencionarque,antesdecomenzarlaprueba,AbelyBaker,a

diferenciadeSheba,nohabíanrecibidoningúnentrenamientocondígitosarábigos. Por eso necesitaban varios cientos de ensayos para aprender aseleccionar el dígito más grande con algo de regularidad. Sheba, que yasabía la cantidad que estaba asociada con los dígitos, respondiócorrectamente desde el primer ensayo de una tarea de comprensiónnuméricasimilar.Luegodelentrenamiento,AbelyBakertambiéntuvieronéxito. No cometieron ningún error cuando los dígitos eran losuficientementedistantes,perofallabanhastael30%delasvecescuandolos dígitos solo diferían por una unidad. Aquí reconocemos nuestro yafamiliarefectodistancia,querevelauna tendenciaaconfundircantidadescercanas(desdeunpuntodevistanumérico).Luego de este desempeño con los pares de dígitos, Abel y Baker

siguieron avanzando hacia tríos, cuartetos e incluso quintetos de dígitosentreel1yel9.Claramente,losanimalesnosehabíanlimitadoaaprenderde memoria las respuestas a todos los pares de dígitos posibles. Auncuando se les presentaban conjuntos nuevos de números, ordenados de

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forma aleatoria, como«5821», los animales seleccionaban el dígitomásaltoconunatasadeéxitomuchomayorquesilohubieranhechoporazar.Nopuedodejar este temasinmencionar las curiosasdificultadesque

encontrabaSheba cuando teníaque seleccionar elmáspequeño entredosnúmeros (Boysen y otros, 1996). La situación experimental parecíabastante simple: al animal se le mostraban dos conjuntos de comida y,cuandoseñalabauno,elinvestigadorselodabaaotrochimpancé,mientrasSheba recibía el otro conjunto de comida. En esta situación nueva, paraShebaeraimportantedesignarlacantidadmáspequeña,pararecibirellalamás grande. Sin embargo, la chimpancé nunca lo logró. Continuabaseñalandoelconjuntomásgrande,comosielegir lacantidadmásgrandedecomidafueraunarespuestairreprimible.Entonces,SarahBoysenpensóenreemplazar laspilas realesdecomidacon loscorrespondientesdígitosarábigos. ¡Inmediatamente, desde el primer ensayo, Sheba seleccionó eldígitomáspequeño!Lossímbolosnuméricosparecían liberaraShebadelas contingencias materiales inmediatas. Le permitían actuar sin verseinfluidaporunimpulsoparasitarioque,sino,laobligabaaelegirsiemprelacantidaddecomidamásgrande.

Loslímitesdelamatemáticaanimal

¿Cuánsignificativassonestasdemostracionesdelcálculosimbólicoenlosanimales? ¿Se lasdebería ver simplemente comopruebasde circoque seobtienen por chantaje, a expensas de un entrenamiento intensivo queconviertealosanimalesenmáquinas,peroenrealidadnonosdicenadadesushabilidadesnormales?¿Olosanimalessoncasitandotadoscomoloshumanosensuhabilidadparalamatemática?Sinreducirlaimportanciadelosexperimentosmencionadosmásarriba,unoseveforzadoaadmitirquela manipulación mental de las etiquetas numéricas simbólicas en losanimales todavía es un resultado excepcional. Aunque he mencionadoexperimentosconloros,delfinesymacacos,noseconocencasosdesumasimbólica en ninguna especie más que en el chimpancé, e incluso sudesempeñoparecebastanteprimitivosiselocomparaconeldeunniño.AShebaletomóvariosañosdeensayoyerrordominarlosdígitosdel0al9.Al final, la chimpancé todavía cometía errores frecuentes al utilizarlos,como sucede en todos los animales entrenados en tareas numéricas.Unniñopequeño,encambio,cuentaespontáneamenteconlosdedos—antes

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de cumplir 3 años a menudo puede contar hasta 10—, y rápidamenteavanzahacia losnumeralesdevariosdígitos,cuyasintaxisesmuchomáscompleja.Elcerebrohumanoendesarrollopareceabsorberellenguajesinesfuerzo; loopuesto a los animales, quepor logeneralparecennecesitarcientosderepeticionesdelamismalecciónantesderetenernada.Entonces, ¿qué deberíamos recordar sobre la aritmética de los animales?En primer lugar, una habilidad indiscutible y bien extendida paracomprender las cantidades numéricas, para memorizar, para comparar eincluso para sumarlas de forma aproximada. En segundo lugar, unahabilidadconsiderablementemenor,probablemente acotada aunaspocasespecies,paraasociarunrepertoriodeconductasmásomenosabstractas(como señalar un número arábigo) a representaciones numéricas. Estoscomportamientos pueden servir como etiquetas para cantidadesnuméricas:los«símbolos».Escomosialgunosanimalespudieranaprenderaetiquetarlosnivelesdelacumuladorinternoqueutilizanpararepresentarlosnúmeros.Unperíodode entrenamiento largo les permitememorizaruna listadecomportamientos:sielniveldelacumuladorestáentrexey,señalarconeldedohaciaelnúmero«2»;siestáentreyyz,señalarhaciael«3», y así sucesivamente. Esta puede ser simplemente una lista decomportamientos condicionados que está relacionada solo de formaremotaconlaextraordinariafluidezquedemuestranloshumanoscuandoutilizan la palabra «dos» en contextos tan diferentes como «dosmanzanas»,«dosmásdoses igualacuatro»o«dosdocenas».Sibiennosmaravillamoscon lahabilidadmatemáticade losanimalesparamanipularrepresentaciones aproximadas de las cantidades numéricas, enseñarles unlenguaje simbólico parece ir en contra de sus predisposiciones naturales.Enefecto, la adquisiciónde símbolosen los animalesnuncaocurreen lanaturaleza.

Delanimalalhombre

La evolución es un mecanismo conservador. Cuando un órgano útilemerge a través de mutaciones aleatorias, la selección natural hace sutrabajo para transmitirla a las generaciones que siguen. En efecto, laconservaciónderasgosfavorablesesunagranfuentedelaorganizacióndelavida.Entonces,sinuestrosprimosmáscercanos,loschimpancés,poseenalgunahabilidadparalaaritmética,ysiespeciestandiferentescomoratas,

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palomas y delfines también están dotadas de habilidades numéricas, esprobablequenosotros,ejemplaresdeHomosapiens,hayamosrecibidounaherenciasimilar.Nuestroscerebros,comolosdelasratas,probablementeesténequipadosconunacumuladorquenospermitepercibir,memorizarycompararmagnitudesnuméricas.Muchas diferencias evidentes separan las habilidades cognitivas

humanasdelasdeotrosanimales,incluidosloschimpancés.Paraempezar,tenemosunacapacidadasombrosaparadesarrollarsistemassimbólicos,enespecial el lenguajematemático.También estamosdotadosdeunórganodel lenguaje cerebral que nos permite expresar nuestros pensamientos ycompartirlos con otros miembros de nuestra especie. Por último, en elreinoanimalpareceúnicanuestracapacidadparadiseñarplanesintrincadospara actuar, sobre la base de una memoria retrospectiva de losacontecimientos pasados tanto como de unamemoria prospectiva de lasposibilidades futuras. Sin embargo, ¿eso significa que en otros aspectosnuestrasherramientascerebralesparaprocesarelnúmerodeberíansermuydiferentes de las de otros animales? La simple hipótesis de trabajo quedefenderéalolargodeestelibropostulaqueenrealidadestamosdotadosde una representaciónmental de las cantidades bastante similar a la quepuedeencontrarseenratas,palomasomonos.Comoellos,somoscapacesde numerar con rapidez conjuntos de objetos visuales y auditivos, desumarlosydecompararsusnumerosidades.Especuloqueestashabilidadesno solo nos permiten resolver rápidamente la numerosidad de losconjuntos, sinoque tambiénestánen labasedenuestra comprensióndelos símbolos numéricos, como los dígitos arábigos. En suma, el sentidonuméricoqueheredamosdenuestrahistoriaevolutivacumpleelroldeungermen que propicia el surgimiento de habilidades matemáticas másavanzadas[5].En loscapítulosquesiguen,analizaremos lashabilidadesmatemáticas

de los humanos, buscando vestigios del modo animal de percibir losnúmeros. El primer indicio que estudiaremos (tal vez el másimpresionante) es la notable capacidad de las criaturas humanas para laaritmética,queaparecemuchoantesdequese sientenenunpupitreporprimeravez;dehecho,¡muchoantesdequepuedansiquierasentarse!

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2.Contaralospocosmeses

Siendoelalmainmortal,yhabiendonacidomuchasvecesy habiendo visto tanto lo de aquí como lo delHades ytodaslascosas,nohaynadaquenotengaaprendido;conlo que no es de extrañar que también sobre la virtud ysobre las demás cosas sea capaz ella de recordar lo quedesdeluegoyaantessabía.

Platón,Menón

¿Los bebés tienen algún conocimiento abstracto de la aritmética cuandonacen?Lapreguntapareceridícula.Laintuiciónsugierequelosbebéssonorganismos vírgenes, que inicialmente no cuentan con ningún tipo decapacidadmás allá de lahabilidadpara aprender. Sin embargo, si nuestrahipótesis de trabajo es correcta, el cerebro humano está dotado de unmecanismo innato para aprehender las cantidades numéricas, que fueheredado de nuestro pasado evolutivo y que guía la adquisición de lamatemática. Para que pueda tener influencia sobre el aprendizaje de laspalabras que nombran los números, estemódulo protonumérico deberíaestar allí antes del período de crecimiento exuberante del lenguaje, quealgunospsicólogosllamanla«explosiónléxica»,queocurrealaedaddeunaño ymedio, aproximadamente. En el primer año de vida, entonces, losbebésyadeberíancomprenderalgunasporcionesdelaaritmética.

Bebé,modeloparaarmar:lateoríadeJeanPiaget

Hastacomienzosde ladécadade1980,nadiehabíapropuestounanálisisempíricodelahabilidadnuméricadelosbebés.Antesdeeso,lapsicologíaevolutiva estaba dominada por el constructivismo, una perspectiva deldesarrollo humanoquehacía que la nociónde la aritmética en el primerañodevidasonaraporsímismainconcebible.DeacuerdoconlateoríaqueesbozóporprimeravezJeanPiaget,elfundadordelconstructivismo,haceunoscincuenta años, lashabilidades lógicasymatemáticas se construyen

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progresivamente en la mente del bebé por medio de la observación, lainternalización y la abstracción de regularidades del mundo externo(Piaget,1948/1960,1952).Cuandounbebénace,sucerebroesunapáginaen blanco, absolutamente desprovista de conocimiento conceptual. Losgenes no le brindan al organismo ninguna idea abstracta acerca delambiente en el que vivirá. Solamente generan dispositivos motores yperceptuales simples,yunmecanismode aprendizajegeneralquepocoapocoutilizalasinteraccionesdelsujetoconsuambienteparaorganizarse.Duranteelprimerañodevida,deacuerdoconlateoríaconstructivista,

losniñosestánenunafase«sensoriomotora»:exploransuentornograciasa los cinco sentidos, y aprenden a controlarlo mediante las accionesmotoras.Piagetargumentaqueenesteprocesolosniñosnopuedendejardereconocerciertasregularidadesmuysólidas.Porejemplo,unobjetoquedesaparece detrás de una pantalla siempre reaparece al bajar la pantalla;cuandodosobjetoschocan,nuncasepenetranelunoalotro,etc.Guiadospor este tipo de descubrimientos, los bebés van construyendo, poco apoco, una serie de representaciones mentales cada vez más refinadas yabstractasdelmundoenelquecrecen.Desdeestaperspectiva,entonces,eldesarrollo del pensamiento abstracto consiste en subir una serie deescalones en el funcionamiento mental, las etapas piagetianas, que lospsicólogospuedenidentificaryclasificar.Piagetysuscolegasespecularonmuchoacercadecómosedesarrollael

conceptodelnúmeroenlosniñospequeños.Creíanqueelnúmero,comocualquierotrarepresentaciónabstractadelmundo,debíaconstruirseenelcursodeinteraccionessensoriomotorasconelentorno.Lateoríadicealgoasí:losniñosnacensinningunaideapreconcebidaacercadelaaritmética.Les lleva añosdeobservación atenta comprender realmente loque esunnúmero. A través de la manipulación de conjuntos de objetos, lleganfinalmente adescubrirque elnúmero es laúnicapropiedadquenovaríacuandolosobjetossemueven,ocuandosuaparienciacambia.AsíescomoSeymourPapert(1960)describíaesteproceso:

Para el bebé, los objetos ni siquiera existen; se necesitaunaestructuracióninicialparaquelaexperienciaseorganiceen cosas.Enfaticemosque el bebénodescubre la existenciade los objetos de lamanera enqueun explorador descubreuna montaña, sino más bien como alguien descubre lamúsica:lahaoídoporaños,peroantesdeestemomentosoloera ruido para sus oídos. Una vez que ha «adquirido los

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objetos»,elniñotodavíatieneunlargocaminoquerecorrerantesdealcanzarlasetapassucesivas:ladelasclases,ladelasseriaciones,lasinclusionesy,finalmente,elnúmero.

En apariencia, Piaget y sus muchos colaboradores habían acumuladoprueba sobre prueba de la incapacidad de los niños para comprender laaritmética. Por ejemplo, si se esconde un juguete detrás de una tela, losbebésde10mesesnoextiendenlamanoparaalcanzarlo;paraPiaget,estedescubrimiento demostraba que los bebés creen que el juguete deja deexistir cuando está fuera de la vista.Esta aparente falta de «permanenciadel objeto», en la jerga piagetiana, ¿no implicaría que los bebés soncompletamenteignorantesdelmundoenelqueviven?Sinosedancuentade que los objetos continúan existiendo cuando están fuera de la vista,¿cómo podrían saber algo acerca de las propiedades más abstractas yefímerasdelnúmero?Otras observaciones de Piaget parecían indicar que el concepto del

número no comienza a comprenderse antes de los 4 o 5 años de edad.Antesdeesaedad, losniños fallanen loquePiaget llamaba lapruebade«conservación del número». En primer lugar, se les muestran filasigualmenteespaciadasdeseisvasosyseisbotellas.Siselespreguntasihaymás vasos o más botellas, los niños responden «es lo mismo».Aparentemente,utilizanlacorrespondenciaunoaunoentrelosobjetosdelasdosfilas.Luego,sedispersalafiladevasosdemodoquesevuelvamáslargaqueladebotellas.Obviamente,elnúmeronoseveafectadoporestamanipulación.Sinembargo,cuandoserepitelapreguntaanterior,enestecasolosniñossistemáticamenterespondenquehaymásvasosquebotellas.Noparecendarse cuentadequemover losobjetosno altera sunúmero:lospsicólogosdiríanqueno«conservanelnúmero».Inclusounavezquelosniñoslogransuperarlapruebadeconservación

del número, los constructivistas no les reconocen una comprensiónconceptualde la aritmética.Hastaque tienen7u8 años, todavía es fácilengañarlosconpruebasnuméricassimples.Siselesmuestra,porejemplo,un ramodeocho flores en el quehay seis rosas ydos tulipanes y se leshaceunapreguntaridículacomo«¿Haymásrosasqueflores?»,¡lamayoríaresponderáquelasrosassonmásnumerosasquelasflores!Deinmediato,Piagetllegaalaconclusióndeque,antesdelaedaddelarazón,losniñosno tienen conocimiento de las basesmás elementales de la teoría de losconjuntos, lo que muchos matemáticos creen que constituye elfundamentoparalaaritmética:aparentementeignoranqueunsubconjunto

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no puede tener más elementos que el conjunto original del que se loextrajo.LosdescubrimientosdePiagettuvieronunimpactoconsiderablesobre

nuestros sistemas educativos. Sus conclusiones instilaron entre loseducadores una actitud pesimista y una política de «espera-y-verás». Lateoría afirma que el ascenso regular a través de las etapas piagetianasprogresadeacuerdoconunprocesodecrecimiento inmutable.Antesdelos 6 o 7 años, el niño no está «listo» para la aritmética. Entonces, laenseñanzaprecozdelamatemáticaesunaempresavanaoinclusodañina.Si se enseña temprano, el concepto del número no puedemás que estardistorsionado en la cabeza de los niños. Tendrá que aprenderse dememoria, sin comprensión genuina. Al no lograr comprender de qué setrata la aritmética, los niños desarrollarán un fuerte sentimiento deansiedadrespectodelamatemática.Deacuerdoconlateoríapiagetiana,esmejor comenzar enseñando lógica y ordenamiento de conjuntos, porqueestas nociones son un prerrequisito para la adquisición del concepto denúmero.Estaeslarazónprincipalporlaque,todavíahoy,losniñosdelamayoríadelosjardinesdeinfantespasanlamayorpartedeldíaformandotorres de cubos de tamaños decrecientes, mucho antes de aprender acontar.¿Se justifica tal gradodepesimismo?Hemosvistoque las ratas y las

palomas reconocen de inmediato un número determinado de objetos,incluso si se modifica su configuración espacial. Ya sabemos que unchimpancé elegiría espontáneamente la más grande entre dos cantidadesnuméricas.¿Esconcebiblequelosniñoshumanos,antesdesus4o5años,vayantanalazagadeotrosanimalesenlaaritmética?

LoserroresdePiaget

Hoy sabemos que este aspecto del constructivismo de Piaget estabaequivocado.Obviamente,losniñospequeñostienenmuchoparaaprenderacerca de la aritmética, y obviamente su comprensión conceptual de losnúmerosseprofundizaconlaedady laeducación;peroestonosignificaqueesténprivadosdetodarepresentaciónmentalgenuinadelosnúmeros,¡ni siquiera cuando nacen! Ocurre simplemente que hay que evaluarlosutilizando métodos de investigación adaptados a su corta edad. Pordesgracia,laspruebasqueusabaPiagetnopermitíanalosniñosmostrarde

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quésoncapaces.Sudefectomásimportanteestáenquesebasabansobreundiálogo abierto entre los investigadores y sus pequeños sujetos. ¿Losniñosrealmentecomprendentodaslaspreguntasqueseleshacen?Y,másimportante,¿interpretanestaspreguntasdelmismomodoenqueloharíanlosadultos?Variosmotivospermitenpensarqueno.Cuandoseenfrentaalosniñosasituacionesanálogasalasutilizadasconlosanimales,ycuandose evalúa sus mentes sin recurrir a palabras, sus habilidades numéricasresultanporlomenosconsiderables.Tomemos como ejemplo la pruebapiagetiana clásica de conservación

delnúmero.Yaen1967,enlaprestigiosarevistaScience,JacquesMehleryTom Bever, que en ese momento formaban parte del departamento depsicología del MIT, demostraron que los resultados de esta pruebacambiabandemaneraradicaldeacuerdoconelcontextoyconelniveldemotivación de los niños (Mehler y Bever, 1967). Les mostraron a losmismos niños, de 2 o 4 años de edad, dos series de estímulos. En una,similar a la situacióndeconservaciónclásica, el experimentadorcolocabadosfilasdepiedritas.Unaeracortaperoestabaformadaporseispiedritas,ylaotra,aunqueeramáslarga,estabaformadaporsolocuatro(figura2.1).Cuando se les preguntaba a los niños qué fila tenía más piedritas, lamayoríadelosniñosde3y4añoslohacíamal,yseleccionabalafilamáslarga pero menos numerosa. Esto recuerda el error clásico de noconservacióndePiaget.

Figura2.1.Cuandodosfilasdeítemsestánencorrespondenciaperfectaunoauno(izquierda),unniñode3o4añosdicequesoniguales.Sisemodificalafiladeabajoacortándolayagregándoledosítems(derecha),elniñodeclaraquelafiladearribatienemásítems.Esteeselerrorclásicoque

descubrióPiaget:elniñorespondeapartirdellargodelafilamásquesobrelabasedelnúmero.Sinembargo,MehleryBever(1967)probaronque,cuandolasfilasestánformadasporconfitesM&M,losniñoseligenespontáneamentelafiladeabajo.Entonces,elerrorpiagetianonoesimputablealaincompetenciadelosniñosparalaaritmética,sinomeramenteparalasdesconcertantescondiciones

delaspruebasdeconservacióndelnúmero.

Enlasegundaseriedeensayos,sinembargo,latrampadeMehleryBeverconsistía en reemplazar las piedritas con sabrosas golosinas (confites

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M&M).En lugar de tener que responder a preguntas complicadas, a losniños se les permitía elegir una de las dos filas y comérsela en cuantoquisieran.Esteprocedimientotenía laventajadeevitar lasdificultadesdecomprensióndel lenguaje,yalmismotiempoaumentar lamotivacióndelos niños para seleccionar la fila con lamayor cantidad de golosinas. Enefecto,cuandoseutilizabangolosinas,lamayoríadelosniñoselegíaelmásgrande entre dos números, incluso si el largo de las filas entraba enconflicto con el número. ¡Esto sirvió como una sorprendentedemostracióndeque sushabilidadesnuméricasno eranmásdesdeñablesquesuapetitoporlosdulces!Elhechodequelosniñosde3y4añosdeedadseleccionenlafilamás

numerosadegolosinastalveznoseamuysorprendente,apesardequesecontraponedemododirectoconlateoríadePiaget.Perohaymás.EnelexperimentodeMehleryBever,losniñosmáspequeños,dealrededorde2años, resultaban infalibles en la prueba, tanto con piedritas como conconfitesM&M.Solo losmásgrandes fallabanenconservarelnúmerodelaspiedritas.Por tanto,eldesempeñoen laspruebasdeconservacióndelnúmeroparecedecaer temporariamenteentre los2y los3añosdeedad.Pero lashabilidadesde losniñosde 3 y 4 añosdefinitivamenteno estánmenosdesarrolladasquelasdelosniñosde2años.Entonces,laspruebaspiagetianasnopuedenmedirlashabilidadesnuméricasrealesdelosniños.Poralgunarazón,estaspruebasparecenconfundiralosniñosmásgrandeshastaunextremotalquesevuelvenincapacesderendirtanbiencomosushermanosmenores.Creo que lo que ocurre es lo siguiente: los niños de 3 y 4 años

interpretan laspreguntasdelexperimentadorde formabastantediferentede como lo hacen los adultos. Las palabras utilizadas para formular laspreguntas y el contexto en el que se las plantea hacen que los niños seconfundanycreanqueselespidequeevalúenellargodelasfilas,másquesunumerosidad.Recordemosque,enelinfluyenteexperimentodePiaget,elexperimentadorhacelamismapreguntadosveces:«¿Soniguales,ounafila tienemás piedras?». Primerohace esta pregunta cuando las dos filasestánencorrespondenciaperfectaunoauno,yluegootravez,despuésdequesulargosehayamodificado.¿Quépuedenpensar losniñosfrenteaestasdospreguntassucesivas?

Supongamos,porunmomento,quelaigualdadnuméricadelasdosfilasesobviaparaellos.Debeparecerlesbastanteextrañoqueunadultorepita lamismapregunta trivial dos veces.En efecto, suponeuna violaciónde las

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reglasnormalesdeconversaciónhacerunapreguntacuya respuestayaesconocida para ambos hablantes. Ante este conflicto interno, tal vez losniñossedencuentadequelasegundapregunta,aunquesuperficialmentees idéntica a la primera, no tiene el mismo significado. Quizás en suscabezasocurrealgocomoelsiguienterazonamiento:

Si estos adultosmehacen lamismapregunta dos veces,debeserporqueestánesperandounarespuestadiferente.Sinembargo, la única cosa que cambió frente a la situaciónanterior es el largo de una de las filas. Entonces, la nuevapreguntadebeestarcentradaenel largode las filas, aunqueparece hacer referencia a su número. Creo que deborespondersobre labasedel largode la filamásquesobre labasedelnúmero.

Esta línea de razonamiento, aunque bastante refinada, está al alcance delentendimiento de los niños de 3 y 4 años. De hecho, las inferenciasinconscientes de este tipo subyacen a la interpretación de muchasoraciones, incluidasaquellasqueunniñomuypequeñopuedeproducirocomprender.Todos realizamos normalmente cientos de inferencias de este tipo.

Comprenderunaoraciónconsisteenirmásalládesusignificadoliteralyrecuperar el significado real que el hablante buscaba transmitirinicialmente. En muchas circunstancias, el significado real puede serexactamenteelopuestodelliteral.Cuandohablamosdeunabuenapelículadecimos «No estuvo mal, ¿no?». Y cuando preguntamos «¿Podríaspasarme la sal?», ¡definitivamentenonos sentimos satisfechos cuando larespuestaesapenasun«Sí»quenovaacompañadodeunaacción!Estetipodeejemplosdemuestraquereinterpretamosconstantementelasoracionesqueoímos,realizandocomplejasinferenciasinconscientesenrelaciónconlasintencionesdelotrohablante.Nohayrazónparapensarquelosniñospequeños no estén haciendo lomismo cuando conversan con un adultodurante estas pruebas. De hecho, esta hipótesis parece mucho másplausible,dadoqueesprecisamentecercade los3o4añosdeedad—elpunto en que Mehler y Bever notaron que los niños comienzan a noconservarelnúmero—queenlosniñospequeñosaparecelahabilidadquelos psicólogos llaman una «teoría de la mente» y que consiste en laposibilidadderazonaracercadelasintenciones,creenciasyconocimientosdeotraspersonas(FrithyFrith,2003[6]).

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Dos psicólogos evolutivos de la Universidad de Edimburgo, JamesMcCarrigleyMargaretDonaldson,pusieronapruebaunanuevahipótesis:que la incapacidad de los niños «no conservativos» se debía a que noentendían del todo las intenciones del investigador (McGarrigle yDonaldson, 1974). En su experimento, lamitad de los ensayos eran deltipoclásico,enlosqueelexperimentadormodificabaellargodeunafilayluegopreguntaba«¿Cuáltienemás?».Enlaotramitaddelosensayos,encambio,latransformacióndelongituderarealizadadeformacasualporunoso de peluche. Mientras el experimentador estaba mirandoconvenientementehaciaotro lado,unosodepeluchealargabaunade lasfilas.Elinvestigadorluegosedabavueltayexclamaba:«¡Oh,no!Esteosobobo volvió amezclar todo». Solo después de decir esto el investigadorhacíaotravezlapregunta«¿Cuáltienemás?».Laideasubyacenteeraque,enestasituación,estapreguntaparecíasinceraypodíainterpretarseenunsentido literal.Dadoqueelosohabíamezclado lasdosfilas,eladultoyano sabía cuántosobjetos había, y por eso le preguntaba al niño.En estasituación, la gran mayoría de los niños respondía de manera correctabasándose en el número, sin verse influenciados por el largode las filas.Losmismos niños, sin embargo, fallaban y respondían sistemáticamentesobre la base de la longitud cuando el experimentador realizaba latransformación intencionalmente. Esto prueba dos puntos: en primerlugar,quehastaunniñoescapazdeinterpretarlamismapreguntadedosformasbastantedistintas,dependiendodelcontexto.Ensegundolugar(ymalquelepeseaPiaget),que,cuandolapreguntaserealizaenuncontextoquetienesentido, losniñospequeñosrespondenbien:¡puedenconservarelnúmero!No me gustaría terminar esta discusión con un malentendido. De

ningúnmodocreoqueelfracasodelosniñosenlastareaspiagetianasdeconservación sea un tema trivial. Al contrario, este es un campo deinvestigaciónactivoquetodavíaatraeamuchosinvestigadoresdetodoelmundo. Luego de cientos de experimentos, todavía no entendemos conprecisión por qué los niños se ven engañados tan fácilmente con pistasfalsas, como el largo de una fila, cuando tienen que juzgar el número.Algunoscientíficospiensanque la falla en las tareaspiagetianas refleja lamaduracióncontinuadelacortezaprefrontal,unaregióndelcerebroquenospermiteseleccionarunaestrategiaycontinuarutilizándolaapesardeladistracción(Goldman-Rakic,Isseroff,SchwartzyBugbee,1983,Diamondy Goldman-Rakic, 1989). Si esta teoría resultase correcta, las pruebas

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piagetianas podrían tener un nuevo significado como marcadoresconductuales de la habilidad de los niños para resistir la distracción. Sinembargo,desarrollarestasideasseríauntemaparaotrolibro.Mipropósitoaquí es más modesto. Mi único objetivo es convencerlos de que ahorasabemosquéesloquelaspruebaspiagetianasnoevalúan.Alcontrariodeloquepensabasucreador,estasnosonbuenasmedicionesdelmomentoenqueunniñocomienzaacomprenderelconceptodelnúmero.

Cadavezmásjóvenes

Losexperimentosquehedescriptohastaaquídesafían laescala temporalpiagetianaparaeldesarrollonuméricoenlamedidaenquesugierenquelosniños«conservanelnúmero»aunaedadmuchomástempranaqueloqueantessecreíaposible.Sinembargo,¿refutantodoelconstructivismo?Enverdad, no. La teoría de Piaget es mucho más sutil de lo que puedoexponerenunospocospárrafos,ypodríadarcabidademuchasmanerasaestosresultadosqueacabamosdepresentar.Piaget podría haber sostenido, por ejemplo, que, al quitar algunas de lasclaves conflictivasde supruebade conservacióndelnúmerooriginal, losexperimentos modificados simplifican demasiado la tarea de los niños.Piaget sabía muy bien que su prueba de conservación del númeroconfundía a los niños; de hecho, estaba diseñada a propósito para que ellargode la filaentraraenconflictoconelnúmero.Desdesuperspectiva,los niños solo dominan verdaderamente las bases conceptuales de laaritméticaunavezquesoncapacesdepredecirquéfilatieneunacantidadmayorde ítemssobreunabasepuramente lógica, esdecir, reflexionandoacercadelasconsecuenciaslógicasdelasoperacionesllevadasacabo,ysindejarsedistraerporloscambiosirrelevantesenellargodelasfilas,oenlaforma en que el experimentador plantea las preguntas. Según parece,resistirse a las pistas confusas es un elemento central de la definiciónpiagetiana de lo que significa tener una comprensión conceptual delnúmero.Piaget también podría haber planteado que elegir el número más

grandedegolosinasnorequiereunacomprensiónconceptualdelnúmero,sino solo una coordinación sensoriomotora que le permita al niñoreconocer la pila más grande y orientarse hacia ella. A lo largo de sutrabajo,Piagetpusounénfasisincesanteenlainteligenciasensoriomotora

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delosniños,demaneratalquebienpodríahaberaceptadosinproblemasque los niños descubrieran la estrategia de «elegir el más grande» a unaedad temprana. Habría insistido, sin embargo, en que esta estrategia seutilizasinningúntipodecomprensióndesubase lógica;solomástarde,según sostenía, los niños logran reflexionar acerca de sus habilidadessensoriomotoras y llegar a una interpretaciónmás abstracta del número.AlgotípicodeestaactitudeslareaccióndePiagetaloírhablardeltrabajodeOttoKoehlersobrelapercepcióndelanumerosidadenlospájarosylasardillas: aceptó que los animales podían adquirir «númerossensoriomotores»,peronounacomprensiónconceptualdelaaritmética.Antesde ladécadade1980, losexperimentosquedesafiabanlateoría

dePiagetenrealidadnoabordabansuhipótesiscentral(odogma)dequelosbebésnocuentanconunconceptogenuinodelnúmero.Inclusoenlaprueba de las piedritas de Mehler y Bever los niños más pequeños yahabíancumplido2años.Estotodavíadejabaunlargotiempoparaqueunmecanismodetipopiagetianoconstruyeseesapropiedadnotablequeeselnúmero.Enestecontexto,losestudioscientíficosdelosniñosderepentese volvieron de importancia teórica primordial. ¿Podría demostrarse queincluso los bebés, antes del año, ya han dominado algunos aspectos delconceptodenúmero,antesdehabertenidooportunidaddeabstraerlosdelasinteraccionesconelambiente?Larespuestaesquesí.Enladécadade1980,seobservaronhabilidadesnuméricasenbebésde6mesesdeedadyenreciénnacidos.Obviamente, para revelar la competencia numérica a una edad tan

temprana, laspreguntasverbalesno funcionan.Loscientíficos, entonces,recurrieronalaatracciónquesientenlosbebésporlanovedad.Cualquierpadre sabe que, cuando un bebé ve el mismo juguete una y otra vez,terminaporperderelinterésenél.Cuandosellegaaestepunto,presentarunnuevojuguetepuedereavivarsuinterés.Estaobservaciónelemental—quepor supuestodebe ser replicada en el laboratorio y enuna situaciónrigurosamente controlada— prueba que el niño ha notado la diferenciaentreelprimeroyelsegundojuguete.Estatécnicapuedeextenderseparahacerles a los bebés todo tipo de preguntas. De este modo losinvestigadorespudierondemostrarque,desdemomentosmuytempranosen la vida, los bebés e incluso los recién nacidos pueden percibirdiferencias enel color, la forma, el tamañoy, comoa esta alturapuedenimaginar,tambiénenelnúmero.

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El primer experimento que confirmó que los niños reconocenpequeños números tuvo lugar en 1980 en el laboratorio de PrenticeStarkey,enlaUniversidaddePensilvania(Starkey,CooperyJr.,1980).Seevaluóentotalasetentaydosbebés,deentre16y30semanas.Cadabebé,sentado sobre la falda de su madre, miraba una pantalla en la que seproyectabandiapositivas(figura2.2).Unacámaradevideoqueseenfocabasobre los ojos de los bebés filmaba su mirada, lo que permitía que unoperador,ciegoporcompletoa lascondicionesdelexperimento,midieraexactamente cuánto tiempo pasaba el bebé mirando cada diapositiva.Cuando el bebé comenzaba a mirar a otro lugar, aparecía una nuevadiapositivaenlapantalla.Alprincipio,elcontenidodelasdiapositivaserabásicamente elmismo:dospuntosnegrosgrandes, siempre aunamismaaltura, pero más o menos separados de un ensayo a otro. De ensayo aensayo,elbebéempezabaaaburrirse,y,porlotanto,amiraresteestímulorepetitivo durante períodos cada vez más breves. Esto se conoce como«fase de habituación». Luego las diapositivas se cambiaban sin aviso anuevasdiapositivasqueconteníantrespuntosnegros.Inmediatamente,elbebécomenzabaafijarsumiradasobreestasimágenesinesperadasduranteuntiempomáslargo.Eltiempodefijación,queerade1,9segundosjustoantes del cambio, saltaba a 2,5 segundos en la primera de las nuevasdiapositivas.Así,seponeenevidenciaqueelbebédetectabaelcambiodedosatrespuntos.Otrosniños,evaluadosdelamismamanera,detectabanel cambio de tres a dos puntos. Inicialmente, estos experimentos serealizaronconniñosde6o7mesesdeedad,perounospocos añosmástarde,SueEllenAntellyDanielKeating,delaUniversidaddeMarylandenBaltimore, demostraron con una técnica similar que hasta los reciénnacidospodíandiferenciarlosnúmeros2y3apenasunosdíasdespuésdeabandonarelvientredesusmadres(AntellyKeating,1983[7]).

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Figura2.2.Paraprobarquelosbebésdiferencianlasnumerosidades2y3,primeroselesmuestranrepetidasvecesconjuntosconunnúmerofijodeítems,porejemplo,dos(izquierda).Luegodeestafasedehabituación,losbebésmirandurantemástiempoconjuntosdetresítems(derecha)queconjuntosdedos.Comolalocalizacióndelobjeto,eltamañoylaidentidadvarían,solouna

sensibilidadalanumerosidadpuedeexplicarlarenovadaatencióndelosbebés(arriba,estímulosutilizadosporStarkey,CooperyJr.,1980;abajo,estímulossimilaresalosutilizadosporStraussy

Curtis,1981).

¿Cómopuedeunoasegurarsedequeloquellamalaatencióndelbebé,másque cualquier otra modificación física del estímulo, es el cambio en elnúmero?Ensusprimerosexperimentos,StarkeyyCooperhabíanalineadopuntos,demaneratalquelafiguraglobalqueformabannodieraningunaclave acercadelnúmero (enotrasdistribuciones, el número se confundefrecuentementeconlaforma,porquedospuntosformanuna líneaytrespuntos,untriángulo).Tambiénvariaban ladistanciaentre lospuntos,deformaquenisudensidadniellargototaldelalíneafueransuficientesparadiferenciardosdetres.Más tarde, Mark Strauss y Lynne Curtis, de la Universidad de

Pittsburgh, presentaron un control aún mejor (Strauss y Curtis, 1981).Simplementeutilizaron fotografías encolordeobjetos comunesde todotipo. Los objetos eran pequeños o grandes, estaban alineados o no, yfotografiadosdecercaodelejos.Solosunúmeropermanecíaconstante:enuna mitad del experimento había dos objetos y en la otra, tres. Esta

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considerable variabilidad en todos los parámetros físicos posibles noperturbóparanadaalosbebés,quecontinuaronsiendosensiblesalcambioen el número. Más recientemente, el experimento fue reproducido porErikvan Loosbroek y Ad Smitsman, dos psicólogos de la UniversidadCatólica de Nijmegen, Países Bajos, incluso con dispositivos móviles:formas geométricas aleatorias que durante su trayectoria ocasionalmentese esconden unas a otras (Van Loosbroek y Smitsman, 1998). En losprimerospocosmesesdevida,losbebésparecennotarlaconstanciadelosobjetosenunambienteenmovimientoe inclusoenestoscontextos soncapacesdecaptarsunumerosidad.

Elpoderdeabstraccióndelosbebés

Todavíarestaversiestasensibilidadprecoza lanumerosidadmeramenterefleja el poder del sistema visual de los niños o si muestra unarepresentación más abstracta del número. Con niños muy pequeños,tenemosquehacerlasmismaspreguntasquelasquehacíamosconlasratasyloschimpancés.¿Soncapacesdecaptarelnúmerodetonosqueformanparte de una secuencia auditiva, por ejemplo?Ymás importante, ¿sabenqueelmismoconceptoabstracto3seaplicaatressonidosyatresobjetosvisuales?Porúltimo,¿puedencombinarmentalmentesusrepresentacionesnuméricaspararealizarcálculoselementalescomo1+1=2?Para responder a la primera pregunta, los científicos simplemente

reformularonlosexperimentosoriginariossobreelreconocimientovisualdel número para pasarlos a la modalidad auditiva. De este modo,aburrieronalosbebésrepitiendosecuenciasdetressonidosunayotravez,y luego verificaron si una secuencia posterior, novedosa, de dos sonidoslograba renovar su interés.Uno de estos experimentos es especialmentellamativo porque sugiere que, ya a los 4 días de edad, un bebé puededescomponerlossonidosdelhablaenunidadesmáspequeñas—sílabas—que luego puede «numerar». Pero a una edad tan temprana, más que laorientacióndelamirada,laherramientaexperimentalqueconvieneutilizarpara medir qué llama la atención de los bebés es el ritmo con quesuccionan. De este modo, Ranka Bijeljac-Babic y sus colegas delLaboratoriodeCienciaCognitivayPsicolingüísticadeParíshicieronquelos bebés chuparan una tetina o chupete conectado a un transductor depresión y una computadora (Bijeljac-Babic, Bertoncini yMehler, 1991).

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Siemprequeelbebéchupa, la computadora lo registra e inmediatamenteproduceunapalabrasinsentidocomo«bakifoo»o«pilofa»atravésdeunparlante.Todas laspalabrascompartenelmismonúmerodesílabas: tres,porejemplo.Cuandoaunbebéseloponeporprimeravezenestapeculiarsituaciónenlaquechuparproducesonido,muestramayorinterés,quesetraduceenunritmodesucciónelevado.Luegodeunospocosminutos,sinembargo, los bebés se aburren y su ritmo de succión baja. En cuanto lacomputadora detecta esta caída, pasa a producir palabras de solo dossílabas. ¿La reacción del bebé? De inmediato, vuelve a succionarenérgicamente para escuchar esa nueva estructura de las palabras. Paraasegurarqueesta reacciónestá relacionadaconelnúmerode sílabasmásque con la mera presencia de palabras nuevas, con algunos bebés sepresentan nuevas palabras mientras el número de sílabas permanececonstante.Enestegrupocontrol,noseregistróreacciónalguna.Dadoqueladuracióndelaspalabrasylatasadehablasonmuyvariables,elnúmerode sílabas es, en efecto, el único parámetro que puede permitirles a losbebésdiferenciarlaprimeralistadepalabrasdelasegunda.¡Entoncesno se tratade su sistemavisual!Losniñosmuypequeños,

queda claro, prestan la misma atención al número de sonidos que alnúmero de objetos que los rodean. También sabemos, gracias a unexperimentorealizadoporKarenWynn,quealos6mesesdeedadpodránverladiferenciaentrenúmerosdeacciones,comountíterehaciendodosotres saltos (Wynn, 1996). Sin embargo, ¿se dan cuenta de la«correspondencia» entre el sonido y la vista, para parafrasear al poetafrancésBaudelaire?¿Anticipanquetresrayosdeberíanpredecirunnúmeroigualdetruenos?Endefinitiva,¿accedenaunarepresentaciónabstractadelnúmero,independientementedelamodalidadvisualoauditivaquelesirvade medio? Hoy podemos dar una respuesta afirmativa a esta preguntagracias a una serie de experimentos diseñados por los psicólogosestadounidenses Prentice Starkey, Elizabeth Spelke y Rochel Gelman(1983,1990[8]),deunainventivatalquesutrabajoseubicaenlosprimerospuestosdemipanteónpersonaldelapsicologíaexperimental.Lociertoesque, antes de la revolución cognitiva de los años ochenta y de trabajoscomoestos,habríaparecidoprácticamente imposiblehacerunapreguntatancomplejaacercadelamentedeunbebé.Enesteexperimentomultimedia,unbebéde6,7u8meses—sentado

enelregazodesumadre—veenunapantallaimágenesemitidasdesdedosproyectores de diapositivas. A la derecha, la diapositiva muestra dos

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objetos comunes, acomodados de manera aleatoria. A la izquierda, unadiapositivasimilarmuestratresobjetos.Almismotiempo,elbebéoyeunasecuencia de golpes de tambor emitida por un parlante central ubicadoentre las dos pantallas. Por último, como siempre, se observa al bebégraciasaunacámaradevideoocultaquepermitealosinvestigadoresmedircuántotiempopasaelbebémirandocadadiapositiva.Al principio, el bebé está atento y explora las imágenes visualmente.

Desde luego, las que tienen tres objetos sonmás complejas que las quesolotienendos,demaneraqueelbebélesdediqueunpocomásdetiempoy atención. Luego de unos pocos ensayos, sin embargo, este sesgodesaparece,yemergeunresultadofascinante:elbebémirapormástiempoladiapositivacuyanumerosidadequivalealasecuenciadesonidosqueestáescuchando. Invariablemente, mira durante más tiempo tres objetoscuandooyetresgolpesdetambor,peroprefieremirardosobjetoscuandooyedosgolpesdetambor.Entonces,pareceprobablequeelbebépuedaidentificarelnúmerode

sonidos—aunquevaríedeunensayoaotro—yseacapazdecompararloconelnúmerodeobjetosqueseencuentranfrenteaél.Silosdosnúmerosnocoinciden,elbebédecidenodemorarsemásindagandoestadiapositiva,sino espiar la otra. El mero hecho de que un niño de solo unos pocosmesesdeedadutiliceunaestrategiatansofisticadacomoestaimplicaquesurepresentaciónnuméricanoestáligadaalapercepciónvisualoauditivade nivel más bajo. La explicación más simple es que el niño realmentepercibe números antes que patrones auditivos o configuracionesgeométricas de objetos. Lamisma representacióndel número «3» pareceactivarseensucerebro,yaseaqueveatresobjetosuoigatressonidos.Estarepresentación interna, abstracta y amodal (en el sentido de que esindependiente de la modalidad, visual o auditiva, en que percibe lainformación) le permite al niño darse cuenta de la correspondencia queexisteentreelnúmerodeobjetosquehayenunadiapositivayelnúmerodesonidosqueoyedeformasimultánea.Recordemosquelosanimalessecomportandeunmodomuysimilar:tambiénparecenposeerneuronasquerespondenigualmentebienatressonidosotresluces.Elcomportamientodelosbebésbienpuedereflejarunmóduloabstractoparalapercepcióndelnúmero,implantadoporlaevoluciónhaceaños,muyprofundo,dentrodeloscerebrosdeloshumanosylosanimales.

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¿Cuántoes1más1?

Avancemosporunmomentoenlacomparaciónentreelcomportamientode los bebés y el de otras especies animales. Vimos en el capítuloprecedentequeunchimpancépuedecomputareltotalaproximadodeunasimple suma como dos naranjasmás tres naranjas. ¿Es posible que estotambiénseaasíparalosbebéspequeños?Aprimeravista,setratadeunahipótesis bastante osada. Estamos más inclinados a pensar que laadquisiciónde lamatemática comienzaen los añosde jardínde infantes.Hasta la década de 1990, una cuestión tan iconoclasta como la posibleexistencia de habilidades de cálculo en el primer año de vida no habíarecibidoningunaevaluaciónempírica.Sinembargo,paraesemomento, lacomunidadcientíficayasehabíapreparadolosuficiente—conlosmuchosexperimentos sobre la percepción numérica tanto en bebés como enanimales—comoparaquealguiensedecidieraa intentarunexperimentodeestetipo,ytambiénparaquesusresultadosrecibieranatención.En1992,unfamosoartículodeKarenWynnsobrelasumaylarestaen

bebés de 4 y 5 meses de edad apareció en la revista Nature (Wynn,1992a[9]). La joven científica estadounidense había utilizado un diseñosimplepero ingenioso,quesebasabasobre lahabilidadde losniñosparadetectar eventos físicamente imposibles. Varios experimentos anterioreshabíandemostradoque,ensuprimerañodevida,losbebésexpresangrandesconcierto cuando presencian eventos «mágicos», que violan las leyesfundamentalesdelafísica[10].Porejemplo,sivenunobjetoquepermanecesuspendidomisteriosamenteenelaireluegodeperdersusostén,losbebésmiran esta escena con una atención incrédula. Del mismo modo, sesorprenden cuandouna escena sugiere que dos objetos físicos ocupan lamisma localización en el espacio. Por último, si uno esconde un objetodetrásdeunapantallayluegobajalapantallaperoantesretiraeseobjeto,alosbebéslesresultasorprendentenoverlootravez.Depaso,nótesequeesta observación prueba que, ya a los 5meses, y al contrario de lo queproponía la teoría de Piaget, «fuera de la vista» no significa «fuera de lamente».Ahorasabemosqueelfracasoconstatadoentrelosniñosmenoresde1añoenlatareadepermanenciadelobjetoquehabíapropuestoPiagetestá ligado a la inmadurez de su corteza prefrontal, que controla susmovimientos de aprehensión. ¡El hecho de que no puedan estirarse paraalcanzar un objeto escondido no implica que crean que se ha ido!(Baillargeon,1986,DiamondyGoldman-Rakic,1989).

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Entodaslassituacionesdeestetipo,lasorpresadelosbebéssetraduceenunaumentosignificativodeltiempoquepasanexaminandounaescena,encomparaciónconunasituacióncontrolenlaquenoseviolaningunadelasleyesdelafísica.EltrucodeKarenWynnconsisteenadaptarestaideapara probar el sentido numérico de los bebés. En su experimento, en elqueles mostró eventos que interpretables como transformacionesnuméricas—porejemplo,unobjetomásotroobjeto—,evaluósi,cuandose lespresenta el cálculo1+1, losbebés esperanel resultadonuméricoprecisodedosobjetos.Cuando llegaban al laboratorio, los participantes de 5meses de edad

descubrían un pequeño teatro de títeres con una pantalla rotativa en elfrente (figura 2.3). La mano del investigador aparecía de un lado,sosteniendo un ratón Mickey de juguete, que ubicaba en el escenario.Luegoaparecíalapantallaytapabalalocalizacióndeljuguete.Lamanosepresentaba en escena una segunda vez con un segundo ratónMickey, lodepositabadetrásdelapantallaysalíavacía.Todalasecuenciadeeventossignificaba una ilustración concreta de la suma 1+ 1: al principio, solohabíaunjuguetedetrásdelapantalla,yluegoseagregabaunsegundo.Losniños nunca veían los dos juguetes juntos, sino uno después del otro.¿Habríaninferido,sinembargo,quedeberíahaberdosMickeysdetrásdelapantalla?

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Figura2.3.ElexperimentodeKarenWynnmuestraquelosbebésde4mesesymedioesperanque1+1tengacomoresultado2.Primero,seescondeunjuguetedetrásdeunapantalla.Luego,seagregaunsegundojugueteidéntico.Porúltimo,sebajalapantalla,avecesmostrandolosdos

juguetes,yavecessolouno(yaqueelotrojuguetehasidoquitadodeformaencubierta).Losbebés

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miransistemáticamentedurantemástiempoeleventoimposible1+1=1queelposible1+1=2,loquesugierequeestabanesperandodosobjetos(adaptadodeWynn,1992a).

Para responder a esta pregunta, se bajaba la pantalla, y se revelaba unresultadoinesperado:¡solosepodíaverunMickey!Sinquelospequeñoslo supieran, uno de los dos juguetes había sido retirado del escenario através de una puerta trampa. Para estimar el grado de sorpresa de losbebés, se medía el tiempo que pasaban fijando su mirada sobre estasituaciónimposible1+1=1ysecomparabaestetiempoconeltiempodefijacióncuandose lespresentabael resultadoesperadodedosobjetos(1+ 1= 2). En promedio, los bebésmiraban un segundomás la sumafalsa1+1=1que el eventoesperable1+1=2.Pero todavíapodríaobjetarse que los niños no estaban computando sumas, sino quesimplementemirabanmástiempoaunsoloobjetoqueadosidénticos.Sinembargo, esta explicación no se sostiene, porque los resultados serevirtieron en un segundo grupo de bebés, a los que se les presentó laoperación 2 − 1 en lugar de 1 + 1. En este grupo, los bebés estabansorprendidosdedescubrirdosobjetosdetrásdelapantalla(2−1=2),yexaminabanestasituaciónhastatressegundosmásqueeleventoesperable2−1=1.Como la mismaWynn observa, si uno quiere hacer de abogado del

diablo,estosresultadostodavíanoimplicannecesariamentequelosbebéspuedan realizar cálculos exactos. Simplemente pueden saber que lanumerosidad de un conjunto cambia cuando se agregan o se quitanobjetos, sin por eso tener que poder predecir el resultado numéricopreciso.Siasífuera,podríaocurrirquesedierancuentadeque1+1nopuedeser,deningunamanera, iguala1,ni2−1puedeser iguala2,sinnecesariamente conocer el resultado exacto de estas operaciones. Sinembargo, esta forzada explicación tampoco soporta la evaluaciónexperimental.Paramostrarlo,bastaconreproducirlasituacióndesumade1 + 1 con resultados de dos o tres objetos. Karen Wynn realizó estaprueba y observó que, otra vez, los bebés de 5 meses de edad mirabandurantemástiempoelresultadoimposibledetresobjetosqueelresultadoposiblededosobjetos.Lademostraciónesirrefutable:losbebéssabenque1+1noesni1ni3,sinoexactamente2.Este conocimiento pone a los bebés a la par de las ratas que

estudiábamos, de las palomas, de los delfines o de Sheba, la chimpancéprodigio cuyas habilidades de cómputo se describieron en el capítulo

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anterior.Dehecho,eldiseñoexactodelexperimentodeKarenWynnfuereproducidodemaneraprácticamenteidénticaporelpsicólogodeHarvardMark Hauser y sus colegas, con monos Rhesus en su hábitat natural(Hauser,MacNeilage yWare, 1996).Cuandounmono, intrigadopor lapresencia de Hauser, se ofrecía como voluntario para mirarlo, Hauserescondíasucesivamente,unatrasotra,dosberenjenasenunacajacerrada.Luego,enalgunosensayos,quitabaunaantesdeabrirlacaja,mientrasuncolegafilmabaalanimalparamedirsugradodesorpresa.Losresultadosdeesta escena salvaje fueron importantes y fascinantes. Los monosreaccionabandeformaaúnmáscontundentequelosbebés:enlosensayos«mágicos»en losque faltabaunade lasberenjenasesperadas,pasabanuntiempoconsiderableescrutandolacaja.Porsupuesto, losbebéshumanossonporlomenostandotadoscomosusprimosanimalesenlaaritmética,lo que confirma que los cómputos numéricos elementales pueden serrealizadospororganismosquenoposeenlenguaje.De todos modos, los experimentos de Karen Wynn no dicen nada

acercade cuán abstracto es realmente el conocimientode losbebés.Losbebés podrían tener una imagen vívida y realista de los objetos que seencuentranescondidosdetrásde lapantalla,untipodefotografíamentallo suficientemente precisa como para que se den cuenta de inmediato sifaltan o sobran objetos. Alternativamente, podrían recordar solo elnúmerodeobjetosagregadososustraídosdedetrásdelapantalla,sinquelesimportesulocalizacióneidentidad.Paradescubrirlo,unopuedeevitarquelosniñosconstruyanunmodelomentalpreviodelalocalizacióndelosobjetosysu identidad,yversi todavíapuedenanticiparsunúmero.Estaidea ha servido como base para un experimento realizado recientementeporÉtienneKoechlin ennuestro laboratoriodeParís (Koechlinyotros,1997). El diseño es bastante similar al de los estudios deWynn, con lasalvedad de que en esta oportunidad los objetos están ubicados en unaplataforma giratoria que rota lentamente y losmantiene enmovimientoconstante,inclusocuandoestánescondidosdetrásdelaescena.Entonces,esimposiblepredecirdóndeestaráncuandobajelapantalla.Losbebésnopueden conformar una imagenmental precisa de la escena; todo lo quepuedenconstruiresunarepresentaciónabstractadedosobjetosquerotanconlocalizacionesimpredecibles.Paranuestrasorpresa,losresultadosdemuestranquedeningúnmodo

losbebésde4añosymediosevenconfundidosporelmovimientodelosobjetos.Todavíalesparecenllamativosloseventosimposibles1+1=1y

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2 − 1 = 2. Por lo tanto, su comportamiento no dependesignificativamente de la expectativa de la localización precisa de losobjetos.Noesperanencontrarunaconfiguraciónprecisadeobjetosdetrásde la pantalla, sino meramente dos objetos, ni más, ni menos. UnpsicólogodelGeorgiaInstituteofTechnology,TonySimon,ysuscolegasincluso han mostrado que los bebés no prestan atención a la identidadexactadelosobjetosqueseencuentrandetrásdeescenacuandocomputansunúmero(Simonyotros,1995).Adiferenciadelosniñosmásgrandes,losbebésde4y5mesesdeedadnosesorprendenmuchoconloscambiosenlaaparienciadelosobjetosenelcursodelasoperacionesaritméticas.Sise ubican dos ratones Mickey de juguete detrás de la pantalla, no sesorprenden al descubrir dos pelotas rojas en lugar de los juguetesoriginales cuando esta baja. Sin embargo, su atención se excitamucho sisoloseveunapelota.Queesepersonajeseconviertaenunapelota(ounsapoenunpríncipe)esunatransformaciónpocohabitualperoaceptableenloqueconciernealsistemadeprocesamientodenúmerodelbebé;enlamedida en que ningún objeto desaparezca o sea creado de la nada, laoperaciónsejuzgacomocorrectadesdeunpuntodevistanuméricoynoproduce demasiada reacción de sorpresa en los bebés. En contraste, ladesaparicióndeunobjetoosureplicacióninexplicable,comoenelmilagrode los panes y los peces, parece asombrosa porque viola nuestrasexpectativas numéricas más arraigadas. Llevar la cuenta de un pequeñonúmerodeobjetospareceser literalmenteun juegodeniñosde5meses.Pero,además,elsentidonuméricode losbebésestansofisticadoque lesimpide dejarse engañar por el movimiento del objeto o por cambiosrepentinosensuidentidad.

Loslímitesdelaaritméticainfantil

Si bien espero que estos experimentos los hayan convencido de que losniñospequeñostienenuntalentonaturalparalosnúmeros,noesnecesarioque corran a inscribir a su bebémás pequeño en un curso nocturno dematemáticasuperior,niqueconsultenaunneurólogoinfantilsisusniñoscometen errores astronómicos en cuentas elementales. DeberíaavergonzarmesimirefutacióndePiagetsirvieracomounpretextoparaloscharlatanesquesedescribencomocapacesdedespertarlainteligenciaenelprimerañodevidapresentándolesa losniñossumasescritasennúmeros

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arábigos, o incluso en caracteres japoneses, que por supuesto soncompletamente incapaces de comprender. Aunque las habilidadesnuméricasdelosniñospequeñossonreales,estánlimitadasestrictamentealosaspectosmáselementalesdelaaritmética.En primer lugar, sus habilidades para el cálculo exacto no parecenextendersemás allá de los números 1, 2, 3 y tal vez 4. Siempre que losexperimentosinvolucranconjuntosdedosotresobjetos,sedescubrequelosniñoslosdiferencian.Sinembargo,soloocasionalmentesemuestraquedistinguen cuatropuntosde cinco,o inclusode seis (Feigensonyotros,2004).Aparentemente, losbebéssolotienenunconocimientoprecisodelosprimerospocosnúmeros.Suhabilidadbienpuedeser,enestecampo,inferior a la de los chimpancés adultos, cuyo desempeño permanece porencimadelazar,inclusocuandotienenqueelegirentreseisysietetrozosdechocolate.Noconcluyamosdemasiadorápidoqueelnúmero4marcalosconfines

deluniversoaritméticodelbebé.Losexperimentosconlosquecontamoshasta el momento se han concentrado en la representación exacta depequeñosnúmerosenterosenlamentedelbebé.Losbebés,sinembargo,comolasratas,laspalomas,olosmonos,probablementeposeansolounarepresentaciónmentalaproximadaycontinuadelosnúmeros.Esposible,además, que esta representación responda a los efectos de distancia ytamañoencontradosen lasratasy loschimpancés.Entonces,deberíamosesperarquelosbebésfueranincapaces,másalládedeterminadolímite,dediferenciarunnúmerondesusucesorn+1.Esto,enefecto,esloqueseobservamásalládelnúmero4.Sinembargo,deberíamostambiénesperarque reconocieran números más allá de este límite, en tanto estuvierancontrastados con números todavía más distantes. Entonces, los bebéspueden no saber si 2+2 es 3, 4 o 5, pero todavía pueden versesorprendidossivenunaescenaquesugiereque2+2es8.Hastadondesé,esta predicción todavía no ha sido probada[11]. Si se mostrara que escorrecta, extendería considerablemente el conocimiento numéricoatribuidoaniñosmuypequeños.Laaritméticadelosbebéstieneunasegundalimitaciónimportante.En

situacionesenqueunadultoautomáticamenteintuyelapresenciadevariosobjetos, no está dicho que los bebés lleguen a lamisma conclusión.Meexplico.Suponganquedeatrásdeunapantallaaparecenalternativamenteun camioncito rojo y una pelota verde.Ustedes, como adultos, llegaríaninmediatamentealaconclusióndequeallíestánescondidosporlomenos

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dos objetos, y estarían muy desconcertados si, al mirar detrás de lapantalla, descubrieran solo uno: por ejemplo, la pelota verde. Lospequeños reaccionan de forma diferente. Ya sea que uno o dos objetosseanvisiblescuandobajelapantalla,losbebésde10mesesdeedadnodanseñales de sorpresa (Xu y Carey, 1996). Aparentemente, para ellos elhecho de que formas y colores bastante diferentes aparezcanalternativamente detrás de la pantalla no es indicio suficiente de lapresencia de varios objetos. Sucede lomismo cuando el experimento serealizaconobjetosmuyfamiliares,comosupropiobiberónosumuñecafavorita. Solo a los 12 meses de edad comienzan a esperar dos objetos.Incluso en ese momento, el experimento funciona solo con objetos deformasdiferentes.Sivaríansoloelcoloro la forma,unbebédehasta12mesespiensaquenoalcanzaconveraparecerunapelotagrandedeunladodeunapantallayunapequeñadelotroladoparainferirlapresenciadedosobjetosdiferentesdetrásdelapantalla.La única clave que los bebés parecen encontrar concluyente es la

trayectoriaseguidaporlosobjetos(figura2.4[12]).Deestemodo,cuandose repite el mismo experimento, no con una, sino con dos pantallasseparadas por un espacio, si un objeto aparece alternativamente en lapantalladerechayen lapantalla izquierda, losbebés infieren lapresenciadedosobjetos,unodetrásdecadapantalla.Sabenqueseríaimposiblequeun solo objeto semoviera de una pantalla a la otra sin aparecer, aunquefueraporunmomentocorto,enelespacioquelossepara.Sinembargo,siunobjetoefectivamenteapareceenesteespacioenelmomentoapropiado,entonceslapreferenciadelbebécambia,yotravezsoloesperaunobjeto.Y,alainversa,sihaysolounapantallaperoalosbebésselesmuestrandosobjetos juntos en el escenario por solo dos segundos al comienzo delexperimento,entoncesesperanencontrardosobjetosalfinal.

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Figura2.4.Lasexpectativasnuméricasdelosbebésestánbasadasenlatrayectoriadelosobjetos,noensuidentidad.Enlasituacióndearriba,unpatoyuncamiónaparecenalternativamentealaderechayalaizquierdadeunapantalla.Apesardelcambioenlaidentidaddelobjeto,losbebésnomuestransorpresacuandolapantallabajayrevelaunúnicoobjeto.Enlasituacióndeabajo,secortaunaventanaenlapantalla,loquehacefísicamenteimposiblequeunobjetosemuevadederechaa

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izquierdasinaparecerenestaventanaporunbrevelapso.Enestasituación,losniñosesperandosobjetosysesorprendensisoloapareceunocuandobajalapantalla(adaptadodeXuyCarey,1996).

La información acerca de las trayectorias espaciales de los objetos, porende, da una clave fundamental para la percepción de la numerosidad.Nótesequeestaconclusiónnocontradicedeningúnmodolosresultadosdel experimento de la plataforma giratoria que describí más arriba, quedemostrabaquealosbebésnolesimportasilosobjetosqueestándetrásde lapantallasemuevenosequedanquietos.Dehecho,resultamásquejustificado creer que en ese experimento, también, la información de latrayectoria es crucial.En la condiciónde 1+1=2, por ejemplo, justodespuésdequeelratónMickeydejuguetesehaubicadoenlaplataformagiratoriadetrásde lapantalla,apareceun juguete idénticoen lamanodelexperimentador a laderechade lapantalla.Físicamente es imposiblequesea el mismo juguete que antes, porque no habría forma de que estehubiera salido de detrás de la pantalla sin que se lo viera.Así, los bebésllegan a la conclusión de que hay un segundoMickey, superficialmenteidénticoalprimero,yporlotantodebenesperaruntotaldedosobjetos.No importa si los juguetes se mueven hasta que sus localizaciones sonimpredecibles. Una vez que la representación abstracta de «2» se haactivado,puederesistirestetipodemodificación.Lainformaciónespacialacercadelalocalizacióndelosobjetosdiscretosenelespacioyeltiempoescríticaparapreparar las representacionesdelnúmeroenelcerebrodelbebé, pero, una vez creada la representación, esta información pareceperdertodaimportancia.En resumen, las inferencias numéricas de los bebés parecen estar

completamente determinadas por la trayectoria espacio-temporal de losobjetos. Si elmovimiento que ven no podría haber sido causado por unúnicoobjeto sin violar las leyes de la física, realizan la inferencia de quehay por lo menos dos objetos. En caso contrario, se quedan con lahipótesispordefectodequesolohayunobjeto,inclusosiesoimplicaqueelobjetocambieconstantementedeforma,tamañoycolor.Noimportalaidentidaddelobjeto;soloimportanlalocalizaciónylatrayectoria.Solo un detective bastante tonto desatiende la mitad de las pistas

disponibles. Y ya que los bebés nos acostumbraron a un estándar dedesempeño bastante más brillante, deberíamos preguntarnos si estaestrategianoesmásastutadeloqueparece.¿Lalíneadepensamientodelbebéesdeficiente,ocertifica,porelcontrario,unasabiduríadignadeun

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SherlockHolmes?Al fin y al cabo, todos sabenqueun estafador puededisfrazarse para hacerse pasar por personas diferentes sin dejar de ser élmismo.Estetambiéneselcasoconmuchosobjetoscomunescuyoaspectovaría.Losperfilesycarasdelaspersonas,porejemplo,sonobjetosvisualesbastante diferentes; sin embargo, los bebés tienen que aprender que sonmeramentediferentesperspectivasdelasmismaspersonas.¿Cómopodríaunniño saber de antemanoque un camiónnopuede convertirse en unapelota, mientras un pequeño pedacito de goma roja de inmediato setransforma en un gran globo rosa cuando alguien lo infla? Este tipo deinformación anecdótica no puede conocerse de antemano. Tiene queaprenderse poco a poco, en cada encuentro con un nuevo objeto. Sinembargo,elúnicomododeaprenderalgoesnoserdemasiadoprejuicioso.Estopuedeexplicarporquélosbebésutilizanpordefectolahipótesisdequesolohayunobjetoahí.Comobuenoslógicos,sostienenestahipótesishastaquehayclarapruebadelocontrario,inclusocuandosontestigosdetransformacionescuriosasenlaformayelcolordelobjeto.Desde un punto de vista evolutivo, es bastante notable que la

naturaleza haya sentado las bases de la aritmética sobre las leyes másfundamentales de la física. Al menos tres leyes son explotadas por el«sentidonumérico»humano.Enprimerlugar,unobjetonopuedeocuparsimultáneamente varias localizaciones. En segundo lugar, dos objetos nopueden ocupar la misma localización. Por último, un objeto físico nopuede desaparecer de forma abrupta, ni puede repentinamente salir a lasuperficie enuna localizaciónque antes estaba vacía; su trayectoria tienequesercontinua.LesdebemosalaspsicólogasinfantilesElizabethSpelkey Renée Baillargeon el descubrimiento de que hasta los bebés muypequeñoscomprendenestasleyes(Baillargeon,1986,BaillargeonyDeVos,1991, Spelke, Breinlinger, Macomber y Jacobson, 1992, Spelke, Katz,Purcell,EhrlichyBreinlinger,1994,SpelkeyTsivkin,2001).Enefecto,ennuestro ambiente físico admiten muy pocas excepciones, las másrelevantesdeellascausadasporsombras,reflejosytransparencias.(Talvezesto pueda explicar la fascinación y la confusión que estos «objetos»ejercensobrelosniñospequeños).Estosprincipios,entonces,ofrecenunabasefirmeparalapequeñacantidaddeteoríadelnúmerodelaqueparecenestardotadoselcerebroanimalyelhumano.Elcerebrodelbebélosutilizaexclusivamenteparapredecircuántosobjetosdistintosestánpresentes.Seniegaconterquedadaexplotarotrasclavesparaelnúmeroquepuedanseraccidentales,como laaparienciavisualde losobjetos.Estoconstituyeun

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testimoniode laantigüedaddel«sentidonumérico»de losbebés,porquesolo laevolución,consusmillonesdeañosdepruebayerror,podríasercapaz de seleccionar las propiedades fundamentales y anecdóticas de losobjetosfísicos.En efecto, el fuerte nexo entre los objetos físicos discretos y la

información numérica dura hasta una edad mucho mayor, en la queeventualmente tiene un impacto negativo en algunos aspectos deldesarrollomatemático.Siustedesconocenaniñosde3o4años,intentenrealizar el siguiente experimento (Shipley y Shepperson, 1990).Muéstrenles la imagen de la figura 2.5 y pregúntenles cuántos tenedorespueden ver. Se sorprenderán al descubrir que llegan a un total errado,porquecuentancadasegmentoseparadodeuntenedorcomounaunidad,demodoquecuentaneltenedorrotodosvecesyanuncianuntotaldeseis.Esextremadamentedifícilexplicarlesquelasdospiezasseparadasdeberíancontarsecomounaunidad.Delmismomodo,muéstrenlesdosmanzanasrojas y tres bananas amarillas y pregúntenles cuántos colores diferenteshay, o cuántos tipos diferentes de frutas pueden ver. Obviamente, larespuesta correcta es dos. Sin embargo, hasta una edad relativamenteavanzada, losniñosnopuedenevitarcontarcadaobjeto individualcomouna unidad y, por lo tanto, llegar al total erróneo de cinco unidades. Lamáxima«elnúmeroesunapropiedadde losconjuntosdeobjetos físicosdiscretos»estáprofundamenteincrustadaensuscerebros.

Figura2.5.Losniñosde3a4añoscreenqueesteconjuntoestáformadoporseistenedores.Nopuedenevitarcontarcadaobjetofísicodiscretocomounaunidad(adaptadodeShipleyy

Shepperson,1990).

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Elnúmero:innatoyadquirido

A lo largo de este capítulo, he hablado de los bebés como si fueranorganismos inertes con comportamientos rígidos. Cuando se discutenexperimentosconniñospequeños,confacilidadolvidamosquelosgruposetariospuedenvariardesdeunospocosdíashasta10o12mesesdeedad.Dehecho,elprimerañodevidaeselmomentoenqueelcerebrodelbebéposeelamáximaplasticidad.Duranteesteperíodo,losbebésabsorbenunacantidadimpresionantedenuevoconocimiento,díatrasdía,ynopuedenentonces ser considerados de ninguna manera un sistema estático cuyodesempeño sea estable. Desde el momento mismo del nacimiento,aprendenareconocerlavozylacaradesumadre;comienzanaprocesarlalenguahabladaenel ambienteque los rodea;descubrencómodirigir susmovimientoscorporales,ylalistapodríaseguirporsiempre.Notenemosninguna razón para creer que el desarrollo numérico escapa a estaexplosiónmonumentaldeaprendizajeydescubrimiento.Para hacer justicia a la fluidez de la inteligencia de los bebés, las

habilidadesnuméricasquehedescriptoenestecapítulodeberíansituarsedentro de un marco dinámico, un ejercicio peligroso, dado que todavíasabemos tan poco acerca de la lógica con la que la representación delnúmeroevolucionaenelprimerañodevida.Peroporlomenospodemosintentaresbozarunescenariotentativodelordeny laformaenqueestashabilidadesmaduranamedidaquepasanlosmeses.Comencemosconelnacimiento,unaedadenlaquelashabilidadesde

distinción de número ya han sido ampliamente demostradas. Los bebésreciénnacidosdistinguendeinmediatodosobjetosdetres,ytalvezhastatresdecuatro,ysusoídospercibenladiferenciaentredosytressonidos.Entonces, el cerebro del recién nacido en apariencia viene equipado condetectores numéricos que probablemente están establecidos desde antesdelnacimiento.Elplanrequeridoparaconformarestosdetectorestalvezpertenezcaanuestradotacióngenética.Enefecto,esdifícilvercómolosniños podrían obtener del ambiente la información suficiente paraaprenderlosnúmeros1,2y3aunaedadtantemprana.Aunsisesuponequeelaprendizajeesposibledesdeantesdelnacimiento,oenlasprimeraspocashorasdevida,durante lasquelaestimulaciónvisualconfrecuenciaestá cerca de ser nula, el problema permanece, porque parece imposiblepara un organismo que ignora todo acerca de los números aprender areconocerlos.¡Escomosiunolepidieraauntelevisorenblancoynegro

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que aprenda de colores! Lo más probable es que un módulo cerebralespecializadoparalaidentificacióndelnúmeroseestablezcaatravésdelamaduración espontánea de redes neuronales cerebrales, bajo controlgenéticodirecto,ycon laguíamínimadelambiente.Dadoqueelcódigogenéticohumano esheredado apartir demillonesde añosde evolución,probablemente compartamos este sistema protonumérico innato conmuchasotrasespeciesanimales:unaconclusióncuyaplausibilidadhemosponderadoenelcapítuloanterior.Sibienelreciénnacidopuedeestarequipadocondetectoresvisualesy

auditivosdenumerosidad,hastahoyningúnexperimentohaprobadoqueestas dos modalidades de ingreso de información se comuniquen ycompartan susclavesnuméricasdesdeelnacimiento.Hasta elmomento,solo se ha demostrado la conexión entre dos sonidos y dos imágenes, oentre tres sonidos y tres imágenes en bebés de 6 a 8 meses de edad.Mientras esperamos a que lleguen experimentos concluyentes con niñosmáspequeños, todavíaesposible sostenerqueel aprendizaje,másque lamaduracióndelcerebro,esresponsabledelconocimientoqueelbebétienede la correspondencia numérica entre modalidades sensoriales. Cuandoescuchaquelosobjetosindividualesemitenunsonido,losparesdeobjetosemitendossonidosyasísucesivamente,elbebépuededescubrirlarelaciónno arbitraria entre un número de objetos y un número de sonidos. Sinembargo, ¿es posible tal regreso al constructivismo? Algunos objetosgeneran más de un sonido, y otros no generan ninguno. Las pistasambientales, entonces,nocarecende ambigüedad,y todavíanoestáparanada claro si garantizarían alguna forma de aprendizaje. Por eso, misospechaesquelapreferenciadelosbebésporunacorrespondenciaentresonidos y objetos nace de una competencia innata y abstracta para losnúmeros.Unaincertidumbresimilarreinasobrelashabilidadesdesumayresta.

Losexperimentosde1+1y2−1deKarenWynnsellevaronacabosoloconbebésqueteníancomomínimo4mesesymedio.Estelapsodetiempopuedesersuficienteparaqueelbebédescubraempíricamentequecuandounobjetoy luegounsegundoobjetodesaparecendetrásdeunapantalla,dosobjetosapareceránsiunoseocupadebuscarlos.Despuésdetodo,enese caso Piaget tendría algo de razón: los bebés tendrían que captar lasreglaselementalesdelaaritméticadesuentorno,aunquedeberíanhacerloaunaedadmuchomásprecozquelaimaginada.Sinembargo,enlugardeesto, este conocimiento puede ser innato, alojado dentro de la misma

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arquitecturadelcerebrodelbebé,yvolversemanifiestoencuantoemergelahabilidadparamemorizarlapresenciadetrásdeunapantalla,cercadelos4mesesdeedad.Sea cual sea su origen, es claro que un acumulador numérico

rudimentario permite a bebés que no superan los 6 meses de edadreconocer pequeños números de objetos o sonidos, y combinarlos ensumas y restas elementales. Es curioso que la única noción aritméticasimple que puede faltarles sea la de ordenar los números. ¿A qué edadsabemosque 3 esmás grandeque 2?Pocos experimentoshan estudiadoesta pregunta en criaturas muy pequeñas, y ninguno es realmenteconvincente.Sinembargo,susresultadossugierenquenoseencuentraunacompetenciaordinalnotableantesdelos15meses.Aestaedad,losniñoscomienzan a comportarse como los macacos Abel y Baker, o como lachimpancéSheba: seleccionandemaneraespontáneaelmásgrandeentredos conjuntos de juguetes. Los bebés más pequeños parecen no darsecuenta del orden natural de los números. Es como si sus detectoresnuméricos—programadospararesponderauno,dosotresobjetos—notuvieranningunarelaciónparticularentresí.Talvezpodamosasemejarlarepresentación que los bebés tienen de los números 1, 2 y 3 a nuestroconocimiento adulto de los colores azul, amarillo o verde. Podemosreconoceresoscolores,ypodemoshastasabercómosecombinan(«azulmás amarillo forman verde»), sin embargo no tenemos absolutamenteningúnconceptodeunordenenel cualponerlos.Delmismomodo, losbebés pueden reconocer uno, dos o tres objetos e incluso saber que1+1=2,sinnecesariamentedarsecuentadeque3esmásgrandeque2,oque2esmásgrandeque1.Sisepuedeconfiarenestosdatospreliminares,entonceslosconceptos

de«máspequeño»y«másgrande»estánentrelosmáslentosenponerseenmarchaenlamentedelbebé.¿Dedóndevendrían?Probablementedeunaobservacióndelaspropiedadesdesumayresta(Cooper,1984).Elnúmero«másgrande»seríaelquesepuedealcanzarsumando,yel«máspequeño»elquesepuedealcanzaratravésdelaresta.Losbebésdescubriríanquelamismarelación«másgrandeque»existeentre2y1yentre3y2,porquelamisma operación de adición, «+ 1», permite ir de 1 a 2 y de 2 a 3. Alpracticarsucesionesdesumas,losniñosveríanquelosdetectoresde1,2y3 se encienden en un orden reproducible en su mente, y por lo tantoaprenderíanacercadesuposiciónenlaseriedenúmeros.

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Pero este es un escenariohipotético.Haría falta realizar una serie deexperimentos antes de que pudiera ser confirmado o refutado. La únicacosa que sabemos, en este punto, es que los bebés son muchomejoresmatemáticos de lo que pensábamos hace apenas quince años. Cuandosoplan la primera vela de su torta de cumpleaños, con todo derecho lospadrespuedensentirseorgullososdeellos,porqueyahanadquirido,yaseamediante el aprendizajeopormeramaduración cerebral, los rudimentosdelaaritméticayunsentidonuméricosorprendentementearticulado.

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3.Nuestraherencianumérica

Recomiendoquecuestionentodassuscreencias,exceptoladequedosmásdosescuatro.

Voltaire,Elhombredeloscuarentaescudos

Hace mucho que me intrigan los números romanos. Hay algocontradictorio entre la simplicidad de los primeros números y ladesconcertantecomplejidaddelosotros.Losprimerostresnúmeros,I,IIyIII,siguenunareglaobvia:enellos,simplemente,cadabarraexpresaunaunidad. El número IV, sin embargo, rompe la regla. Presenta un nuevosigno,V,cuyosignificadodeningúnmodosedesprendedelosanteriores,yunaoperacióndesustracción,5−1,queparecearbitraria:¿porquéno6−2,7−3oincluso2×2?Lahistoriade lanotaciónnuméricanosenseñaque los tresprimeros

númerosromanossonunasuertedefósilesvivientes:nosllevanhastauntiempo remoto en que los humanos todavía no habían inventado unaforma de escribir los números, y se contentaban, para llevar las cuentas,contallarsobreunavaraunamarcaporcadaovejaocamelloqueposeían.Lasseriesdemarcasasegurabanunregistroduraderodeunacuentapasada,fácildecontrolar:bastabaverificarqueacada incisióncorrespondierauncordero.Estefue,enefecto,eliniciodeunanotaciónsimbólica,porquelamisma filadecincomarcaspodía simbolizarcualquierconjuntodecincoobjetos.Estareseñahistórica,sinembargo,nohacemásqueacrecentarelmisterio que rodea al cuarto número romano. ¿Por qué las personasabandonaron una notación que, después de todo, era tan útil y simple?¿Cómoesque la arbitrariedadde IV, con toda la cargade conocimientoimplícitoquerequiere,llegóareemplazarlasimplicidaddelIII,queponíalosnúmerosal alcancedelpastorpromedio?Ysobre todo, si,porunauotrarazón,serequeríaunarevisióndelsistemadenotaciónnumérica,¿porquélaeludieronlosprimerosnúmeros,I,IIyIII?Alguien sugerirá que eso se debió a un accidente histórico. Algunos

eventosfortuitosdebenhabertenidounpapeleneldestinodelanotaciónnuméricaromanaysusupervivenciahastalaactualidad.Y,sinembargo,lasingularidaddelascifras1,2y3tienealgodeuniversalquetrasciendela

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historiadelmundomediterráneoantiguo.EnsuextensolibroacercadelahistoriadelasnotacionesnuméricasGeorgesIfrah(1998)muestraqueenla gran mayoría de las civilizaciones, los primeros tres números sedenotabaninicialmentecomoenlanotaciónromana,repitiendoelsímbolode la unidad tantas veces como fuera necesario (véanse tambiénMenninger,1969,Ifrah,1985).Ylamayoría,sinotodaslascivilizaciones,dejan de utilizar este sistema después del número 3 (figura 3.1). Loschinos,porejemplo,denotan losnúmeros1,2y3utilizandouna,dosytres barras horizontales; sin embargo, utilizan un símbolo radicalmentediferente para el número 4. Hasta nuestros propios dígitos arábigos,aunqueparezcanarbitrarios,derivandelmismoprincipio.Nuestrodígito1esunasolabarra,ynuestrosdígitos2y3enrealidadseoriginaronapartirdedosotresbarrashorizontalesqueseunieronprogresivamentecuandosedeformaronporlaescrituramanuscrita.Sololosnúmerosarábigosde4enadelantepueden,entonces,considerarsegenuinamentearbitrarios.

Figura3.1.Entodoelmundo,loshumanossiemprehandenotadolosprimerostresnúmerosconseriesdemarcasidénticas.Casitodaslascivilizacionesabandonanestanotaciónanalógicaluegodelosnúmeros3o4,quemarcanloslímitesdelaaprehensión«inmediata»delnúmeroporpartede

loshombres(basadoenlosgrafismosdeIfrah,1994).

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Docenas de sociedades humanas alrededor del mundo han adoptadopaulatinamente la misma solución. Casi todas ellas han convenido endenotar losprimerostresocuatronúmerosconunacantidad idénticademarcas, y los números siguientes, con símbolos fundamentalmentearbitrarios. Una convergencia transcultural tan notable necesita unaexplicación general. Parece suficientemente claro que alinear diecinuevebarritas para denotar el número 19 significaría imponerle una cargainsoportable a la escritura y la lectura de números: escribir diecinuevetrazos es una operación lenta y propensa al error, y ¿cómo podríadistinguir el lector diecinueve de dieciocho o veinte marcas? Así, erainevitablequecomenzaranaaparecernotacionesnuméricasmáscompactasquemerasfilasdebarras,especialmenteparalosnúmerosmásgrandes.Sinembargo, esto todavía no explica por qué todos los pueblos, de lasmásdiversasregiones,eligieronconsistentementedeshacersedeestesistemaapartirdelnúmero3,enlugarde,digamos,5,8o10.En este punto, es tentador hacer un paralelo con las habilidades de

reconocimientodenúmerosde losbebés.Losbebéshumanosdistinguensin dificultad entre uno y dos objetos, o entre dos y tres, pero sushabilidades no se extienden mucho más allá de esto. Obviamente, losbebésnocontribuyenmuchoa laevoluciónde lasnotacionesnuméricas.Sin embargo, supongamos que las habilidades de discriminación denúmerosno semodificaran en los adultoshumanos.Estonospermitiríavislumbraruniniciodeexplicación:apartirdelnúmero3, lanotacióndebarras ya no sería legible, porque no estaríamos en condiciones dedistinguirconungolpedevistaelIIIIdelIIIII.Por lo tanto, los números romanos nos llevan a examinar en qué

medida las habilidades protonuméricas que describimos en los capítulosprecedentes para los animales y los bebés humanos se extienden a losadultoshumanos.Enestecapítulo,saldremosenbuscadefósilesvivientesy otras claves que, como los números romanos, nos lleven a las basesmismas de la aritmética humana. En efecto, encontramos muchasevidencias de que la representación protonumérica de las cantidadestodavía vive dentro de nosotros. Si bien el lenguaje y la culturamatemáticos obviamente nos han permitido ir mucho más allá de loslímitesde la representaciónnumérica animal, estemóduloprimitivo estátodavía en el corazón de nuestras intuiciones acerca de los números.Veremos entonces que mantiene una influencia considerable en nuestraformadepercibir,concebir,escribirohablaracercadelosnúmeros.

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1,2,3…ylodemás

Elhechode que exista un límite estricto para el númerode objetos quepodemos enumerar de una vez ha sido conocido por los psicólogos pormás de un siglo. En 1886, James McKeen Cattel, en su laboratorio deLéipzig,demostróque,cuandoalossujetosselesmostrabaporunbrevelapso una tarjeta con varios puntos negros, podían enumerarlos conprecisiónconfiablesolosinoeranmásquetres(Cattell,1886).Apartirdeeste límite, se acumulaban los errores. H. C.Warren, por entonces enPrinceton, y luego Bertrand Bourdon, en la Sorbona de París,desarrollaron,cadaunoporsuparte,nuevosmétodosdeinvestigaciónparamedir con precisión el tiempo requerido para cuantificar conjuntos deobjetos (Warren, 1897, Bourdon, 1908). En 1908, Bourdon no teníaningúnequipamientoexperimentaldealta tecnologíaa sudisposición:nicalculadoras, ni proyectores rápidos. Sus experimentos, por lo generalrealizadossobresímismo,involucrabanelusodeherramientasespeciales,comoélmismoexplicaensupublicaciónoriginal:

Los números, que estaban formados a partir de puntosbrillantesalineadosdeformahorizontal,estabanaunmetrodemisojos.Unahojadecobreconunaaperturarectangular,que caía de una altura fija, los hacía visibles por un tiempomuycorto […].Paramedir los tiemposde reacción,utilicéun cronoscopio de Hipp cuidadosamente ajustado [uncronómetro electromecánico preciso hasta unamilésima desegundo]. El circuito eléctrico del cronoscopio estabacerrado cuando los puntos comenzaban a hacerse visibles.Dentrodeestecircuitoseinsertabauninterruptorbucal,queconsistíadedoshojasdecobreseparadas,unodecuyosladosestaba cubierto con fibra para aislarlo de la boca; sosteníaestashojas entremisdientes, apretándolasdemodo talquelashojassetocaran;entoncesmencionabalosnúmerosconlamayor velocidad posible en cuanto los había reconocido, yparaestoteníaquesepararlosdientes,locualinterrumpíaelcircuito.

Conesteaparatorudimentario,Bourdondescubriólaleyfundamentaldelacuantificaciónvisualenloshumanos.Eltiemporequeridoparanombrar

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un número de puntos crece lentamente de uno a tres, y luegorepentinamenteaumentaalcruzarestelímite.Enelmismopuntoexacto,elnúmerodeerrorestambiénsaltadeformaabrupta.Esteresultado,quesehareproducidocientosdeveces,todavíaesválidohoy.Llevamenosdemediosegundopercibirlapresenciadeuno,dosotresobjetos.Másalládeestelímite,lavelocidadylaprecisióncaendeformaradical(figura3.2).Una medición cuidadosa de la curva de tiempo de respuesta revela

variosdetallesimportantes.Entrelostresylosseispuntos,elaumentoeneltiempoderespuestaeslineal,loquesignificaqueenumerarcadapuntoadicional requiere una duración adicional fija. A un adulto le tomaaproximadamente doscientos o trescientos milisegundos identificar cadapunto pasando la cantidad de tres. Esta pendiente correspondeaproximadamente al tiempo que le lleva a un adulto recitar númeroscuandocuentaenvozaltalomásrápidoposible.Enlosniños,lavelocidadderecitadodenúmerosbajaaunnúmerocadaunoodossegundos,y lapendiente de la curva del tiempo de respuesta aumenta en la mismamagnitud.Entonces,paraenumerarunconjuntoquecontengamásdetrespuntos,tantolosadultoscomolosniñostienenquecontarlospuntosaunritmorelativamentelento.

Figura3.2.Enumerarunconjuntodeítemsesrápidocuandohayuno,dosotresítems,perocomienzaalentificarsedrásticamenteapartirdecuatro.Enelmismomomento,loserrores

comienzanaacumularse(basadoenunmodelodeMandleryShebo,1982).

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Peroentonces,¿porquélaenumeración1,2y3estanrápida?Elhechodequelacurvadeltiempoderespuestaseachatedentrodeestaregiónsugierequelosprimerostrespuntosnotienenquesercontadosunoporuno.Losnúmeros 1, 2 y 3 parecen reconocerse sin que parezca que se estácontando.Si bien los psicólogos todavía están reflexionando acerca de cómo

puedefuncionarunaenumeracióncomoesta,sincuenta,porlomenoshanconcebido un nombre para designarla. Se llama la habilidad de«subitización» o «subitizar», un nombre derivado de la palabra latinasubitus,quesignifica«repentino»(Jensen,ReeseyReese,1950,MandleryShebo, 1982, Piazza, Mechelli, Butterworth y Price, 2002, Piazza,Giacomini, LeBihan yDehaene, 2003). Este es un nombre no del todoapropiado, dado que la subitización, por más rápida que sea, de ningúnmodo es instantánea. Lleva cerca de cinco o seis décimas de segundoidentificar un conjunto de tres puntos, aproximadamente el tiempo quelleva leer una palabra en voz alta o identificar una cara familiar. Estaduracióntampocoesconstante:aumentalentamentede1a3.Esprobable,entonces, que requiera una serie de operaciones visuales, más complejascuantomásgrandeeselnúmeroareconocer.¿Cuáles son estas operaciones? Una teoría ampliamente difundida

suponequereconocemosconjuntospequeñosdeuno,dosotresobjetosrápidamente porque forman configuraciones geométricas fácilmentereconocibles:unobjetoformaunpunto,dosformanuna líneaytres,untriángulo.Estahipótesis,sinembargo,nopuedeexplicarlaobservacióndeque también subitizamos los conjuntos pequeños cuyos objetos estánperfectamente alineados,demodo talque todas laspistasgeométricas seveandestruidas.Enefecto,ningunainformacióngeométricadiferencialosnúmeros romanos II y III, lo que no nos impide distinguirlos: lossubitizamosmuyfácilmente.Sin embargo, los psicólogos Lana Trick y Zenon Pylyshyn (1993,

1994) encontraron una situación en que la subitización falla: cuando losobjetos están superpuestos, de manera tal que sus posiciones no sonperceptibles de inmediato. Cuando vemos círculos concéntricos, porejemplo,tenemosquecontarparadeterminarsihaydos,tresocuatrodeellos. El procedimiento de subitización parece requerir que los objetosocupen posiciones distintas, una clave que, como analizamos con

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anterioridad, también utilizan los bebés para determinar cuántos objetoshay.Porestarazóncreoquelasubitizaciónenlosadultoshumanos,como

la distinción de la numerosidad en los bebés y los animales, depende decircuitosdenuestrosistemavisualdedicadosalocalizaryseguirobjetosenelespacio.Lasáreasoccipitoparietalesdelcerebrocontienenconjuntosdeneuronas que extraen con rapidez, al mismo tiempo en todo el campovisual,lasubicacionesdelosobjetoscircundantes.Parecequelasneuronasque se encuentran en estas áreas codifican la ubicación de objetos conindependencia de su tamaño y de su identidad precisa, y que inclusomantienenunarepresentacióndelosobjetosqueseescondenporunbrevelapsodetrásdeunapantalla.La informaciónqueextraen,normalizadaenrelación con lamediday la identidad, es idealmente abstracta comoparaalimentar un acumulador aproximado. Mi hipótesis es que, durante lasubitización, esas áreas descomponen rápidamente la escena visual, esdecir, el espacio circundante, en objetos discretos. Con ayuda delacumulador,esfácilcontareltotalaproximadodelosobjetosparaobteneruna estimación de su numerosidad. La simulación de red neuronal quedesarrollamosconJean-PierreChangeux,yquesedescribióenelcapítulo1,muestracómoestecálculopuedeimplementarseencircuitoscerebralessimples(DehaeneyChangeux,1993).¿Porquéestemecanismopresentaríaunadiscontinuidadentre3y4?

Recordemos que la precisión del acumulador disminuye con lanumerosidad; por lo tanto, resulta cada vez más difícil distinguir unnúmerondesusvecinosn+1yn−1.Elnúmero4pareceserelprimerpunto en que nuestro acumulador comienza a cometer una cantidadsignificativadeerroresdedistinción,yloconfundecon3ocon5.Estaesla razón por la que tenemos que contar a partir del límite de 4: nuestroacumuladorsiguedándonosunaestimacióndesunúmero,peroestayanoes lo suficientemente precisa como para seleccionar con exactitud lapalabrajustaparanombrarlo.Sinembargo,estateoríadelaacumulaciónparaleladelocalizacionesde

objetos no es la única sobre la subitización de que disponemos. DeacuerdoconlospsicólogosRandyGallistelyRochelGelman,delaUCLA,cuandosubitizamos,inclusoaunquenolopercibamos,siemprecontamosloselementosunoporuno,peroaunavelocidadtalqueparecequefuerainstantáneo(GallistelyGelman,1992).Lasubitización,entonces,seríauntipo de conteo serial sin palabras. Si bien esto parece contraintuitivo, la

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subitización realmente requeriría la orientaciónde la atenciónhacia cadaobjeto,unoa la vez,yutilizaríaunalgoritmoserial,quedéunpaso trasotro. Aquí es donde se encuentra la que probablemente sea la mayordiferencia con mi hipótesis. Mi modelo sugiere que, durante lasubitización, todos los objetos del campo visual se procesan de formasimultánea y sin que se requiera la atención, lo que en la jerga de lospsicólogoscognitivossellama«procesamientopreatencionalenparalelo».Enmisimulacióndered,losdetectoresdenúmerocomienzanaresponderaproximadamentealmismotiempo,yaseaqueuno,dosotresobjetosseencuentrenpresentes(aunque,amedidaquelanumerosidadpresentadaseagranda, esverdadque les llevaun tiempoalgomás largoestabilizarse alpatrón de activación preciso que se necesita para nombrar cosas). Másimportante, en contraste con la hipótesis de conteo rápidodeGelmanyGallistel, esquemisdetectoresdenúmerono requierenquecadaobjetosea señalado por ningún proceso de foco o etiquetadomental: todos sepercibenalavezyenparalelo.Aunqueesteasuntoaúnnoestázanjado,talvezlamejorevidenciade

quelasubitizaciónnorequiereunaorientaciónserialdelaatenciónvienede los pacientes humanos que, luego de una lesión cerebral, pierden lacapacidaddeexplorarconatenciónsuambientevisualy,enparticular, ladecontar los elementos (DehaeneyCohen,1994).La señora I., aquientuve ocasión de examinar junto con el doctor Laurent Cohen en elHospital de la Salpêtrière en París, había sufrido un infarto cerebralposterior, debido a alta presión sanguínea durante su embarazo.Un añomástarde,todavíamanifestabaefectosdeestalesiónensushabilidadesdepercepción visual. La señora I. se había vuelto incapaz de reconoceralgunas formasvisuales, incluidascaras,y tambiénsequejabadecuriosasdistorsiones de la vista.Cuando le pedíamosquedescribiera una imagencompleja, solía omitir detalles importantes y no lograba una visión delconjunto.Estadificultad,quelosneurólogosllaman«simultanagnosia»(oa veces también «simultagnosia»), hacía que contar fuera imposible paraella. Cuando se le mostraban cuatro, cinco o seis puntos por un brevelapso en la pantalla de una computadora, casi siempre olvidaba contaralgunosde ellos.Todoparecía indicar quehacía un esfuerzopor contar,peronolograbaorientarsehaciacadaobjetoindividualmente.Unavezquellegabaa lamitadaproximadamente,sedeteníaporquetenía la impresióndehaberloscontadotodos.Otrapacienteconundéficitsimilarmostrabaelpatróndeerroropuesto:no lograba tomarnotade losobjetosqueya

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había contado, y seguía contándolos una y otra vez. ¡Nos decía, sinpestañear,quehabíadocepuntos,cuandoenrealidadhabíasolocuatro!Sinembargo,yapesardesuterribleincapacidadparacontar,estasdos

pacientes sorprendentemente experimentaban pocas dificultades paraenumerarconjuntosdeuno,dosoinclusotrespuntos.Conlosnúmerospequeños, respondían de forma bastante rápida, con seguridad, y casisiempresinfallas.LaseñoraI.,porejemplo,cometíaerroressoloel8%delas veces cuando enumeraba tres ítems, pero erraba el 75%de las vecescuando enumeraba cuatro. Hemos observado esta disociación confrecuencia: la percepción de pequeñas numerosidades puede permanecerintacta, aunque una lesión cerebral hace totalmente imposible que lospacientesorientenlaatencióndeformasecuencialhaciacadaobjeto.Estolleva a pensar que la subitizaciónno suponehacer un conteo secuencial,sinounaextracciónparalelayautomáticadelosobjetosdelaimagen.

Acercándonosalosnúmerosgrandes

En la película Rain Man, en la que Dustin Hoffman hace el papel deRaymond,unhombreautistaconhabilidadesprodigiosas,hayunaescenacuriosa.Aunacamareraselecaeunacajadeescarbadientesalpisoy,caside inmediato, Raymond anuncia: «ochenta y dos… ochenta y dos…ochenta y dos… ¡suman doscientos cuarenta y seis!», como si hubieracontadolospalillosporgruposdeochentaydosenmenostiempodelquenostomaríadecir«dosydossoncuatro».Enelcapítulo6analizaremosendetallelashazañasqueseleshanatribuidoalosprodigiosdelcálculocomoRaymond.Sinembargo,solopermítanmedecirlesahoraque,enestecasoparticular,nocreoqueeldesempeñodeDustinHoffmandebatomarsealpiedela letra.Digamosque,enestecasoespecífico,másbiensetratadeunalicenciacinematográfica.Nopareceverosímilquepuedandistinguirse,aprimeravista,gruposdeochentaydoselementosconlamismavelocidadcon la que aprehendemos uno, dos o tres elementos. Ha habido unospocos informes anecdóticos de conteo rápido en algunos pacientesautistas; perono conozcomedicionesde tiempode respuestapublicadasque permitan determinar si estas personas efectivamente cuentan. Mipropia experiencia es que simular el desempeño de Rain Man resultarelativamente fácil si se comienza a contar por adelantado, sumandomentalmente grupos de puntos, y aparentando un poco. (¡Un resultado

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exitoso en adivinar el número exacto de gente que se encuentra en uncuartoconfrecuenciaessuficienteparaconvertirnosenunaleyendadelashabilidadesaritméticas!).Laposibilidadmásatendible,entonces,esqueellímite de subitización de tres o cuatro ítems se aplique a todos loshumanossinexcepción.Pero ¿cuál es la naturaleza de este límite? ¿Nuestras habilidades de

conteo rápido y paralelo realmente se paralizan cuando un conjuntocontienemásdetresítems?¿Necesariamentetenemosquecontarcuandosealcanzaeste límite?Dehecho,cualquieradultopuedeestimar,conunmargen razonable de incertidumbre, números muchomás allá de tres ocuatro (Dehaene, 1992, Izard y Dehaene, 2008, Revkin, Piazza, Izard,Cohen yDehaene, 2008). El límite de subitización, entonces, no es unabarrera inquebrantable, sino una frontera más allá de la cual reina laaproximación.Cuandonosenfrentamosaunamultitud,podemosnosabersi hay ochenta y una, ochenta y dos u ochenta y tres personas, peropodemosestimarsiseencuentranentreochentaycien,sincontar.Este tipo de aproximaciones en general son bastante exactas. Los

psicólogos saben, en cambio, de situaciones en las que las estimacioneshumanassealejansistemáticamentedelvalorreal(figura3.3).Porejemplo,todos tendemos a sobrestimar la numerosidad cuando los objetos estándispuestos regularmente enunahoja de papelmientras que, a la inversa,tendemos a subestimar los conjuntos de objetos distribuidos de formairregular, tal vez porque nuestro sistema visual los agrupa en pequeñosconjuntos (Frith y Frith, 1972, Ginsburg, 1976, 1978). Nuestrasestimaciones también son sensibles al contexto, lo que nos lleva asubestimar y sobrestimar el mismo conjunto exacto de treinta puntos,dependiendodesiestárodeadoporconjuntosdediezocienpuntos.Sinembargo, por lo general, nuestras aproximaciones son notablementeprecisas, especialmente si se considera lo poco asiduas que son lasocasionesenlasque,enlavidadiaria,podemosverificarsisoncorrectas.¿Concuántafrecuencia,enefecto,tenemosoportunidaddeenterarnosdela respuesta exacta sobre si una multitud está compuesta por cien,doscientas o quinientas personas? Sin embargo, en un experimento delaboratorio, se ha demostrado que una única exposición a informaciónnuméricaverídica—comounconjuntodedoscientospuntos,obviamenteetiquetadoscomotales—essuficienteparamejorarnuestrasestimacionesde conjuntos de diez a cuatrocientos puntos (Krueger yHallford, 1984,Krueger, 1989, Izard yDehaene, 2008).En resumen, nuestro sistemade

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estimación de números es bastante fiable y requiere solo unmanojo demedidasprecisasparacalibrarsedemaneracorrecta.Lejos de ser excepcional, nuestra percepción de los números grandes

sigue leyes estrictamente idénticas a las que rigen el comportamientonuméricodelosanimales(VanOeffelenyVos,1982,Dehaene,Dehaene-Lambertz y Cohen, 1998, Cordes, Gelman, Gallistel y Whalen, 2001,Dehaene, 2007). Estamos sujetos a un efecto de distancia: distinguimosmejordosnumerosidadesdistantes,como80y100,quedosnúmerosmáscercanos, como81 y 82.Nuestra percepciónde la numerosidad tambiénmuestraun efectodemagnitud: paraunadistancia igual, nos cuestamásdiferenciar dos numerosidades grandes, como 90 y 100, que dos máspequeñas,como10y20.

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Figura3.3.Ladiferenciaentredosytresítems(arriba,izquierda)esperceptibleinmediatamenteparanosotros,peronopodemosdistinguircincodeseis(arriba,derecha)sincontar.Nuestrapercepcióndelosnúmerosgrandessebasaenladensidaddelosítems,eláreaqueocupanyla

regularidaddesudistribuciónenelespacio.Enelcentro,enla«ilusióndelsolitario»—descritaporprimeravezporUtayChristopherFrithen1972—,nuestroaparatoperceptualnosconvenceincorrectamentedequehaymáspuntosblancosquenegros,probablementeporquelospuntosblancosestánmáscerca.Abajo,lospuntosdistribuidosaleatoriamenteparecenmenosnumerosos

quelosregularmenteespaciados;enrealidad,cadadiscotienetreintaysietepuntos.

Estasleyesllamanlaatenciónporsuconfiableregularidadmatemática,undescubrimiento inusualenpsicología.Supongamosqueunapersonadadapuedediferenciar,conprecisióndel90%,unconjuntodetrecepuntosdeotro conjunto de referencia de diez puntos (por lo tanto, una distancianumérica de 3). Ahora dupliquemos el tamaño de la referencia a veintepuntos.¿Cuántotenemosquealejarnosdeestanumerosidadparaalcanzarotra vez el 90 % de diferenciación correcta? La respuesta es bastantesimple:unotienequepresentarunconjuntodeveintiséispuntos,esdecirduplicar la distancia numérica a 6. Cuando el número de referencia seduplica, también lo hace la distancia numérica que los humanos puedendistinguir con el mismo porcentaje de éxito. Este principio demultiplicación, también conocido como «ley escalar» o «ley deWeber»,porelpsicólogoalemánque ladescubrió,seexplica íntegramenteporunmecanismo de acumulación similar al de Robinson en nuestro primercapítulo. Sunotable similitud con las leyesque rigen el comportamientoanimalpruebaque,en loqueconciernea lapercepciónaproximadade lanumerosidad, los humanos no son diferentes de las ratas o las palomas.Todonuestrotalentomatemáticoresultadepocaayudacuandosetratadepercibiryestimarrápidamenteunnúmerogrande.

Lacantidaddetrásdelossímbolos

Puede no parecer notable que nuestra aprehensión de la numerosidaddifiera poco de la de otros animales. Después de todo, los mamíferoscomparten un aparato de percepción visual y auditiva esencialmentesimilar.Enalgunosdominios,comoelolfato,lashabilidadesperceptualeshumanas inclusoresultanbastante inferioresa lasdeotrasespecies.Peroen lo que hace al lenguaje, uno puede pensar que nuestro desempeñodebería apartarnos del resto del reino animal. Obviamente, lo que nos

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distingue de otros animales es nuestra habilidad para utilizar símbolosarbitrarios, como las palabras o los números arábigos. Estos símbolosconsistenenelementosdiscretosquepuedenmanipularsedeunamanerapuramente formal, sin ningún grado de confusión. La introspecciónsugiere que podemos representar mentalmente el significado de losnúmerosdel1 al9con lamismaagudeza.Enefecto, estos símbolosnosparecenequivalentes.Todosparecenserigualmentefácilesdecomprender,ysentimosquenuestrocerebro,igualqueunacalculadora,puedesumarocomparar dos dígitos cualesquiera en una cantidad de tiempo corta yconstante. En resumen, la invención de los símbolos numéricos deberíahabernosliberadodelaconfusióndelarepresentacióncuantitativadelosnúmeros.¡Qué engañosas pueden ser estas intuiciones! Aunque los símbolos

numéricos nos han abierto una puerta única al reino de la aritméticarigurosa, de otro modo inaccesible, no han cercenado las raícesaproximativasdenuestrarepresentaciónanimaldelascantidades.Todolocontrario: cada vez que nos enfrentamos a un número arábigo, nuestrocerebro no puede evitar tratarlo como una cantidad analógica yrepresentarlomentalmente conprecisióndecreciente, de una formamuysimilar a como lo haría una rata o un chimpancé. Esta traducción desímbolos a cantidades le impone un costo importante ymensurable a lavelocidaddenuestrasoperacionesmentales.La primera demostración de este fenómeno data de 1967. En ese

momentose juzgótanrevolucionariacomoparamerecerelhonordeserpublicadaenlarevistaNature(MoyeryLandauer,1967).RobertMoyeryThomas Landauer habían medido el tiempo preciso que le llevaba a unadultodecidircuáldedosdígitosarábigoseramásgrande.Suexperimentoconsistía enmostrar pares de dígitos como9 y 7 y pedirle al sujeto queindicaradóndeestabalocalizadoeldígitomásgrandepresionandounadedosteclasderespuesta.La primera sorpresa fue que, lejos de resultarles fácil, esta tarea de

comparaciónelementalconfrecuencialesllevabaalosadultosalrededordemedio segundo, y los resultados no estaban libres de error. Pero lasorpresamayorfuequeeldesempeñovariabasistemáticamentedeacuerdocon los números presentados. Cuando los dos dígitos representabancantidadesmuydiferentes,como2y9,lossujetosrespondíanrápidoyconprecisión. Pero su tiempo de respuesta aumentaba por más de cienmilisegundoscuandolosdosdígitosestabancercadesdeunpuntodevista

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numérico, como 5 y 6, y los sujetos entonces se equivocaban con lafrecuenciadeuna vez cadadiez ensayos.Esmás, adistancias iguales, lasrespuestas también se volvían más lentas a medida que los números sevolvíancadavezmásgrandes.Oseaqueerafácilseleccionarelmásgrandeentrelosdígitos1y2,unpocomásdifícilcomparar2y3,ymuchomásdifícilresponderalpar8y9.Quenohayaningunaconfusión: laspersonasqueMoyeryLandauer

evaluaronnoerananormales,sinoindividuoscomoustedesyyo.Luegodehacer experimentos sobre la comparación de números por más de diezaños, todavía no encontré un solo sujeto que compare 5 y 6 con tantarapidez como compara 2 y 9, sin efecto de distancia. En cierta ocasiónevaluéaungrupodebrillantesjóvenescientíficos,incluidosestudiantesdelas dos carreras de matemática más importantes de Francia, la ÉcoleNormale Supérieure y la École Polytechnique.Todos estaban fascinadosde descubrir que se volvían más lentos y cometían errores cuandointentabandecidirsi8o9eraelmásgrande.Tampoco ayuda el entrenamiento sistemático. Si parafraseamos a

GeorgesBrassens,eltiemponoafectaennada(nilastonterastienenquever con la edad[13]). En un experimento reciente, intenté entrenar aalgunos estudiantes de la Universidad de Oregón para comprobar siconseguían escapar del efecto de distancia. Simplifiqué la tarea todo loposible presentando solo los dígitos 1, 4, 6 y 9 en una pantalla decomputadora.Losestudiantesteníanquepresionarlatecladeladerechasieldígitoqueveíaneramásgrandeque5,y la teclade la izquierda si eramenorque5.Esdifícilpensarenunasituaciónmássencilla:alverun1oun4,hayquepresionar la teclade la izquierda,ysiapareceun6oun9,hayquepresionarlatecladeladerecha.Sinembargo,luegodevariosdíasymil seiscientos ensayos de entrenamiento, los sujetos todavía eran máslentosymenosprecisosconlosdígitos4y6,queestáncercade5,queconlosdígitos1y9,queestánmáslejosde5.Dehecho,aunqueengenerallasrespuestassevolvieronmásrápidasmientrasavanzabaelentrenamiento,elefecto de distancia en sí mismo —la diferencia entre los dígitos queestabancercade5ylosqueestabanlejos—nosevioafectadoenabsolutoporelentrenamiento.¿Cómo debemos interpretar estos resultados de comparación de

número?Paraempezar,esclaroquenuestramemorianoconservaunalistaalmacenadaderespuestasparatodaslascomparacionesdedígitosposibles.Siaprendiéramostodaslascombinacionesdedígitosposiblesdememoria

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—por ejemplo, que 1 esmás pequeño que 2, 7más grande que 5, y asísucesivamente— los tiempos de comparación no deberían variar con ladistancianumérica.Entonces,¿dedóndevieneelefectodedistancia?Enloqueconciernealaaparienciafísica,losdígitos4y5nosonmásparecidosque los dígitos 1 y 5. Por lo tanto, la dificultad para decidir si 4 esmáspequeñoque5notieneningunarelaciónconunaaparentedificultadparareconocerlasformasdelosdígitos.Obviamente,elcerebronosedetieneareconocerlasformasdelosdígitos.Rápidamentereconoceque,enelniveldesusignificadocuantitativo,eldígito4está,enefecto,máscercade5quede1.Enalgún lugardenuestros surcosygiroscerebraleshayescondidauna representación analógica de las propiedades cuantitativas de losnúmeros arábigos. Esta representación, que tiene una forma de cantidadcontinua similar a la que poseen los animales, preserva las relaciones deproximidadentrelosnúmeros,deformaque,cuandovemosundígitooelnombre de un número, esta representación cuantitativa se activainmediatamente, y lleva a una confusión mayor sobre los númeroscercanos.Para ser más convincentes, examinemos lo que ocurre cuando

comparamos números de dos dígitos (Hinrichs, Yurko y Hu, 1981,Dehaene, Dupoux y Mehler, 1990, Pinel, Dehaene, Riviere y LeBihan,2001). Supongamos que tienen que decidir si 71 esmás pequeño omásgrande que 65. Un enfoque racional es examinar inicialmente solo losdígitosqueseencuentranmásalaizquierda,7y6,paranotarque7esmásgrandeque6y llegara laconclusióndeque71esmásgrandeque65sinsiquiera considerar la identidad de los dígitos que se encuentran a laderecha.Enefecto,estetipodealgoritmoeselqueusanlascomputadorasparacompararnúmeros.Peroestanoeslaformaenquelohaceelcerebrohumano.Cuandosemideeltiempoquellevacompararvariosnúmerosdedosdígitoscon65,seobservaunacurvacontinuaregular(figura3.4).Eltiempo de comparación aumenta de manera sostenida a medida que losnúmeros que comparar se vuelven cada vez más cercanos al número dereferencia 65. Tanto los dígitos de la izquierda como los de la derechacontribuyen a este aumento progresivo. Por eso, llevamás tiempo darsecuentadeque71esmásgrandeque65quellegaralamismadecisiónpara79y65,aunqueeldígitoqueestámásalaizquierdaeselmismoenamboscasos. Esmás, las respuestas no se vuelven desproporcionadamentemáslentas cuando cambian lasdecenas: comparar 69 con65 es solounpocomás lentoquecomparar71con65,mientrasquedebería sermuchomás

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difícil si en efecto al principio prestáramos atención selectivamente aldígitoqueseencuentraalaizquierdasolamente.

Figura3.4.¿Cuántotiempollevacomparardosnúmeros?Treintaycincovoluntariosadultosclasificarontodoslosnúmerosarábigosdedosdígitosqueseencuentranentreel31yel99comomáspequeñosomásgrandesque65,mientrasseregistrabanlostiemposderespuestahastaelmínimomilisegundo.Cadapuntonegromuestraeltiempoderespuestapromedioaunnúmerodado.Lasrespuestassevuelvencadavezmáslentasamedidaqueelnúmeroblancoseacercamása

65:elefectodedistancia(datostomadosdeDehaene,DupouxyMehler,1990).

La única explicación que puedo encontrar es que nuestro cerebroaprehende un número de dos dígitos como un todo, y lo transformamentalmenteenunacantidadomagnitudinterna.Enestepunto,seolvidade las cifras exactas que llevaron a esta cantidad. A la operación decomparación le importan solo las cantidades numéricas, no los símbolosquelasexpresan.

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Lacompresiónmentaldenúmerosgrandes

La velocidad con la que comparamos dos números arábigos no dependeúnicamentede la distancia entre ellos, sino tambiénde su tamaño.Llevamuchomástiempodecidirque9esmásgrandeque8quedecidirque2esmás grande que 1. A igual distancia, los númerosmás grandes sonmásdifíciles de comparar que los más pequeños. Esta lentificación para losnúmeros más grandes nos recuerda, una vez más, las habilidadesperceptuales de los bebés y los animales, que se ven afectadas de formasimilarporlosefectosdedistancianuméricaydetamaño.Unparalelotanincreíbleconfirmaque,apartirdeunsímbolocomounnúmeroarábigo,nuestro cerebro accede a una representación interna de cantidadesnotablementesimilara laqueseencuentrapresenteenlosanimalesy losniñospequeños.Dehecho,delmismomodoqueocurreconlosanimales,elparámetro

querige la facilidadcon laquedistinguimosdosnúmerosnoes tantosudistancianuméricaabsoluta, sinosudistanciaenrelaciónconsu tamaño.Desdeunaperspectivasubjetiva,ladistanciaentre8y9noesidénticaalaque existe entre 1y 2.Nuestro cerebro representa las cantidadesdeunamaneraquenosediferenciamuchodelaescalalogarítmicadeunaregladecálculo,dondehayunespacioigualentreelintervaloentre1y2,entre2y4yentre4y8.Comoresultado,laprecisiónylavelocidadconlaquesepueden realizar cálculos necesariamente disminuye a medida que elnúmerosevuelvemásgrande.Se puede traer a colación más de un resultado empírico para dar

sustentoalahipótesisdelacompresiónmentaldelosnúmerosgrandes[14].Algunas expresiones están basadas únicamente en la introspección(Shepard, Kilpatrick y Cunningham, 1975). ¿Qué número se clasificasubjetivamente comomás cercano a 5: 4 o 6? Si bien la preguntaparecedisparatada, lamayoríade laspersonasrespondenque,paraunadistanciaigual, el número más grande 6 parece ser menos diferente. Otrosexperimentoshanutilizadométodosmássutileseindirectos.Porejemplo,hagamos como si ustedes fueran un generador de números al azar ytuvieran que seleccionar números entre 1 y 50. Al realizar esteexperimento en gran cantidad de sujetos, aparece una tendenciasistemática: en lugarde responder al azar, tendemos aproducirnúmerospequeños conmayor frecuencia que números grandes, como si los máspequeños estuvieran sobrerrepresentados en la «urna mental» de la que

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extraemos losnúmeros (Banks yHill, 1974). ¡Estodebería persuadirnosde no hacer nunca algo al azar sin utilizar una fuente «objetiva» dealeatoriedad,comoundadoounverdaderogeneradordenúmerosalazar!Sospecho que esta inclinación hacia los números pequeños tiene

consecuenciasnotablesy,enocasiones,dañinascuandoutilizamosnuestraintuición para llevar a cabo análisis estadísticos e interpretarlos.Consideremoselproblemaquesigue(BanksyColeman,1981,Viarouge,Hubbard, Dehaene y Sackur, 2010). Dos series de números fuerongeneradasalazarconunacomputadora.Sinhacerningúncálculo,sutareaesdecidirconcuántaaleatoriedadycuánequitativamentecadaseriepareceserunamuestradelintervalodenúmerosquevaentre1y2000:

SerieA: 879 5 1322 1987 212 1776 1561 437 1098 663

SerieB: 238 5 689 1987 16 1446 1018 58 421 117

LamayoríadelagenterespondequelosnúmerosqueestánenlaserieBseencuentran distribuidos de una forma más pareja y, por eso, son «másaleatorios» que los de la serie A. En esta última, los números grandesparecen presentarse con demasiada frecuencia y, sin embargo, desde unpuntodevistamatemático,noeslaserieBsinolaAlaquetomalamejormuestraaleatoriadelaescaladenúmerosqueseencuentranentreel1yel2000.Losnúmerosde laserieAestánespaciadosregularmenteporpocomás de doscientas unidades, mientras que los de la serie B estándistribuidos de forma exponencial. La razón por la que preferimos laserieBesqueencajamejorconnuestra ideamentaldelarectanumérica,que se imagina como una serie comprimida en la que los números másgrandessedestacanmenosquelospequeños.El efecto de compresión vuelve a aparecer en la forma en que

seleccionamosnuestrasunidadesdemedida.El17deabrilde1795,en lajoven República Francesa —el 18 Germinal del año III del calendariorevolucionario—seinstituyóelsistemamétricoenParís.Conelobjetivodealcanzarlauniversalidad,susunidadescubríanunrangodepotenciasdediez,desdeelnanómetrohastaelkilómetro.Aunquecadapotenciadediezrecibíaunnombreespecífico—milímetro,centímetro,decímetro,metro,yasí sucesivamente— estas unidades todavía estaban espaciadas condemasiadadistanciacomopara serprácticasparaelusodiario.Entonces,los legisladores francesesestipularonque«cadaunidaddecimal tendrá sudobleysumitad».Deestaestipulaciónderivó laserieregular1,2,5,10,20, 50, 100…que todavía se utiliza hoy paramonedas y billetes. Encaja

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connuestrosentidonuméricoporqueseaproximaaunaserieexponencialy,almismotiempo,estácompuestasolodepequeñosnúmerosredondos.En1877,unalimitaciónsimilarllevóalcoronelCharlesRenardaadoptarunmétodopara lanormalizaciónde losproductos industriales,comolosdiámetrosdelostornillosolostamañosdelasruedas,queestababasadaenotraseriecuasilogarítmica(100,125,160,200,250,315,400,500,630,800,1000). En cuanto una secuencia tiene que ser dividida en categoríasdiscretas, la intuicióndictaquese seleccioneunaescalacomprimida,conmucha frecuencia logarítmica, que encaja perfectamente con nuestrarepresentacióninternadelosnúmeros.

Entenderporreflejo

Cuandovemosunnúmeroarábigo,primeroquenadaesteconsisteenunadistribución de fotones en la retina, y enseguida las áreas visuales delcerebro identifican el patrón como la forma de un dígito familiar. Sinembargo,losmuchosejemplosqueacabamosdedescribirmuestranqueelcerebroprácticamentenosedetienecuandoreconocelasformassinoquereconstruyerápidamenteunarepresentacióncontinuaycomprimidadelacantidadasociadaaesasformas.Estaconversiónenunacantidadocurredemanerainconsciente,automática,yaunagranvelocidad.Esprácticamenteimposible ver la forma del número 5 sin traducirlo inmediatamente a lacantidadcinco,inclusocuandosutraducciónnotieneningunautilidadenel contexto.La comprensiónde los números, entonces, ocurre comounreflejo (Henik y Tzelgov, 1982, Den Heyer y Briand, 1986, Tzelgov,MeyeryHenik, 1992,DehaeneyAkhavein, 1995,Dehaene,Naccacheyotros,1998,Girelli,LucangeliyButterworth,2000,NaccacheyDehaene,2001a).Supongamosqueselesmuestrandosdígitos,unoalladodelotro,yse

lespidequedecidan,lomásrápidoquepuedan,sieranigualesodiferentes.Conseguridadpensaránquepuedenbasarsudecisiónexclusivamenteenlaaparienciavisualdelosdígitos:sicompartenonolamismaforma.Perolamedición de los tiempos de respuesta muestra que esta suposición estáerrada(DuncanyMcFarland,1980,DehaeneyAkhavein,1995).Decidirque 8 y 9 son dígitos diferentes toma sistemáticamentemás tiempo quellegar a la misma decisión para los dígitos 2 y 9. Otra vez, la distancianumérica determina nuestra velocidad de respuesta. De forma bastante

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inconsciente,nosresistimosa responderque8y9sondígitosdiferentesporquelascantidadesquerepresentansonmuysimilares.Estemismo reflejo de comprensión afecta también nuestramemoria

para las cifras (Morin, DeRosa y Stultz, 1967). Memoricen la siguientelistadedígitos:6,9,7,8.¿Listo?Ahora,díganmesieldígito5estabaenlalista. ¿Y el 1? ¿La primera pregunta parece más difícil que la segunda?Aunque la respuesta correcta es «no» en ambos casos, los experimentosformales muestran que cuanto más distante está el dígito de la listamemorizada,másbreveeseltiempoderespuesta.Lalista,obviamente,nose recuerda solo como una serie de símbolos arbitrarios, sino tambiéncomounenjambredecantidadescercanasa7u8, loqueexplicaporquépodemosdecidirinmediatamenteque1noestádentrodelconjunto.¿Esposiblesuprimirdealgunaformaelreflejodecomprensión?Para

descubrirlo, podríamos colocar a los participantes de un experimento enunasituaciónenlaquefuerarealmenteventajosonoconocerelsignificadode los dígitos. Dos investigadores israelitas, Avishai Henik y JosephTzelgov,presentaronparesdedígitosdediferentesdimensionescomo1y9 en lapantalladeuna computadora (HenikyTzelgov, 1982,Tzelgovyotros,1992)ymidieroncuántotiemponecesitabanlossujetosparaindicarelsímboloqueestabaimpresoenletramásgrande.Estatarearequierequelossujetosenfoquensuatencióneneltamañofísicoydejendelado,enlamedidaenqueseaposible,eltamañonuméricodelosdígitos.Otravez,sinembargo,unanálisisdelostiemposderespuestamuestraloautomáticaeirreprimible que es la comprensión de los números. Esmuchomás fácilpara lossujetos respondercuando lasdimensiones físicasynuméricasdelos estímulos son congruentes, como en el par 19, que cuando sonconflictivas,comoenelpar91.Aparentemente,nopodemosolvidarqueel símbolo «1» significa la cantidad1yque esa cantidad esmáspequeñaque9.Resultatodavíamássorprendentequeelaccesoalacantidadnumérica

puedaocurrir ennuestros cerebros en condiciones en lasqueni siquieranosdamoscuentadequehemosvistounnúmero(Dehaene,Naccacheyotros, 1998, Reynvoet y Brysbaert, 1999, Naccache y Dehaene, 2001a,2001b,Reynvoet,BrysbaertyFias,2002,Greenwald,Abrams,NaccacheyDehaene, 2003). Al presentar un símbolo en una computadora por unperíodomuycortode tiempo, sepuedehacerqueparezca invisible.Unatécnicaquelospsicólogosllaman«enmascaramientosándwich»consisteenponer la palabra o el dígito que se quiere esconder en medio de dos

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secuencias de caracteres sin significado. Por ejemplo, se puede mostrar«#######», y luego la palabra «cinco», y después «#######» yfinalmentelapalabra«SEIS».Silasprimerastrescadenassepresentansolopor una veintésima de segundo cada una, la palabra «cinco», encerradaentrelasotrasdoscadenas,sevuelveinvisible;nosolodifícildeleer,sinoque se desvanece del campo de la conciencia. ¡Bajo las condicionesapropiadas,nisiquieraelprogramadordelexperimentopuededarsecuentade si la palabra escondida está presente o no! Solo la primera cadena«#######» y la palabra «SEIS» permanecen visibles de formaconsciente. Sin embargo, durante cincuenta milisegundos, el estímulovisualperfectamentenormal«cinco»estuvopresenteenlaretina.Incluso,sin que el sujeto lo sepa, tomó contacto con toda una serie derepresentacionesmentalespresentesensucerebro.Estosepuedeprobarsise mide el tiempo que lleva nombrar la palabra-blanco «SEIS»: varíasistemáticamente con la distancia numérica que existe entre la palabraescondidaoenmascaradaylapalabrablanco.Lapalabra«SEIS»senombramás rápido cuando está precedida, incluso no a nivel consciente, por undígitocercanocomo«cinco»quecuandoselaprecedeconunomáslejanocomo «dos». Por lo tanto, el reflejo de comprensión se pone en juegotambién en esta situación: aunque la palabra «cinco» no se vio de formaconsciente,elcerebrotodavía la interpretacomouna«cantidadcercanaaseis».Aunque no nos damos cuenta de todos los cómputos numéricos

automáticos que se llevan a cabo continuamente en nuestros circuitoscerebrales, su impacto en nuestras vidas diarias es innegable y se puedeilustrardemuchasformas.EnunaimportanteterminaldetrenesdeParís,las plataformas están numeradas, pero el diseño de la estación, que estádividida en varias zonas distintas, impone una alteración de la secuencianumérica:laplataforma11estáalladodelaplataforma12,perola13estámuy lejos. La continuidad de las cantidades numéricas se encuentragrabadatanprofundoennuestrasmentesqueestediseñocausaconfusiónenmuchos viajeros.Nuestra intuición impone que la plataforma 13 estéjuntoalaplataforma12.En elmismo sentido, consideren la siguiente afirmación del libroLe

secret des nombres deAndré Jouette (1996), que seguramente llamará suatención:

SantaTeresadeÁvilamuriódurantelanocheentreel4yel15deoctubrede1582.

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¡No, no se trata de un error tipográfico! Por casualidad, la santamuriódurante lamisma noche en que el papaGregorioXIII abolió el antiguocalendario juliano, instituido por Julio César, y lo reemplazó con elgregorianoquetodavíautilizamosennuestrosdías.Elajuste,quesevolviónecesarioporeldesacopleprogresivode lasfechasdelcalendariocon loseventos astronómicos —como los solsticios— a lo largo de los siglos,determinóque el día siguiente al 4 deoctubre se convirtiera en el 15deoctubre, una decisión acotada, pero que altera profundamente nuestrosentidodelacontinuidaddelosnúmeros.Lainterpretaciónautomáticadelosnúmerostambiénseexplotaenel

campo de la publicidad. Si tantos vendedores se toman la molestia demarcar las etiquetas deprecios con el número$399 en lugar de $400, esporquesabenquesusclientespensaránautomáticamentequeelprecioes«másomenos300»,ysolodespuésdereflexionarunpocosedaráncuentadequelasumarealestámuycercadelos400.Como último ejemplo, permítanme contarles acerca de mi propia

experienciadetenerqueadaptarmealaescaladetemperaturaFahrenheit.EnFrancia,dondenacíycrecí,utilizamossolo laescalacentígrada,en laqueelaguasecongelaa0.ºyhiervea100.º.InclusoluegodevivirdosañosenlosEstadosUnidosmeparecíadifícilpensarque32ºFerafrío,¡porquepara mí 32.º automáticamente evocaba la temperatura normal en uncalurosodíasoleado!A la inversa, supongo que a la mayoría de los norteamericanos que

viajanaEuropa lesresultachocante la ideadequealgoqueserepresentacon un número tan bajo como 37 puede representar la temperatura delcuerpohumano.La atribución automática de significado a las cantidadesnuméricas está profundamente incrustada en nuestros cerebros, y unadultosolopuedeanalizarlacongrandificultad.

Númerosenelespacio

Losnúmerosnosoloevocanunasensacióndecantidad;tambiénprovocanun sentido irreprimible de extensión en el espacio. Este vínculo íntimoentre los números y el espacio se hizo evidente enmis experimentos decomparación de número (Dehaene y otros, 1990). Recordarán que lossujetos tenían que clasificar los números como más pequeños o más

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grandes que 65. Con este objetivo, sostenían dos botones de respuesta,unoenlamanoizquierdayotroenladerecha.Comosoyuninvestigadorbastante obsesivo, variaba sistemáticamente el lado de la respuesta: lamitaddelossujetosrespondía«másgrande»conlamanoderechay«máspequeño»conlaizquierda,mientrasqueelotrogrupodesujetosseguíalasinstrucciones opuestas. Sorprendentemente, esta variable de aparienciainocua tuvo un efecto importante: los sujetos del grupo «más grande-derecha»respondieronmásrápidoycometieronmenoserroresquelosdelgrupo «más grande-izquierda».Cuando el númeroblanco eramayorque65,lossujetospresionabanelbotóndeladerechamásrápidoqueeldelaizquierda; lo inversoocurría con losnúmerosmáspequeñosque65.Eracomosi,enlamentedelsujeto,losnúmerosgrandesseasociarandeformaespontáneaconelladoderechodelespacioylosnúmerospequeños,conelizquierdo.Hastaquépunto esta asociación era automática, todavíaquedabapor

verse. Para resolver esto, utilicé una tarea que tenía pocoque ver con elespacioylacantidad:ahoralossujetosdebíandecidirsiundígitoeraparoimpar (Dehaene, Bossini y Giraux, 1993). Posteriormente, otrosinvestigadores han utilizado instrucciones aún más arbitrarias, comodistinguirsielnombredeundígitocomienzaconunaconsonanteounavocal, o si tiene una forma visual simétrica (Fias, Brysbaert,Geypens yE’Ydewalle, 1996[15]). Sin importar las instrucciones, ocurre el mismoefecto: cuantomás grande es unnúmero,más rápidas son las respuestasconlamanoderecha,comparadasconlasdadasconlamanoizquierda.Y,alainversa,cuantomáspequeñoeselnúmero,másgrandeeslatendenciaarespondermásrápidoconlaizquierda.ComountributoaLewisCarroll,llamé este descubrimiento «efecto SNARC», forma abreviada de «Spatial-NumericalAssociationofResponseCodes»[asociaciónespacio-numéricadecódigosderespuesta].Dehecho,elpoemadeLewisCarrollLacazadelSnark, con su maravilloso despliegue de sinsentido, presenta unaexpediciónque sostiene la incansablebúsquedadeuna criaturamítica, elSnark,quenadiehavistoperocuyocomportamientoseconocecongrandetalle,incluidossuhábitodelevantarsetardeysugustoporlascasetasdebaño;metáforamuyapropiadade labúsquedaobstinadaporpartede loscientíficos de descripciones cada vezmás precisas de la naturaleza, seancuarks, agujeros negros o gramáticas universales. (Desafortunadamente,¡nologréllegaraunnombrequemepermitieseusarlaortografíaoriginaldelSnarkdeCarroll!).VistoqueelefectoSNARCocurresiemprequeseve

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un dígito, incluso cuando la tarea en sí misma no es numérica, quedaconfirmadoquereflejalaactivaciónautomáticadelainformaciónacercadelacantidadenelcerebrodelsujeto.En los muchos experimentos en los que mis colegas y yo nos

propusimos «cazar el SNARC», descubrimos varias cosas interesantes(Dehaene y otros, 1993). En primer lugar, el tamaño absoluto de losnúmeros no importa. Lo que cuenta es su tamaño en relación con elintervalodenúmerosutilizadosenelexperimento.Losnúmeros4y5,porejemplo, se ven preferentemente asociados con la derecha si elexperimentosolocontienenúmerosdel0al5,yconlaizquierdasisoloseutilizan números del 4 al 9. En segundo lugar, la mano utilizada pararespondertambiénes irrelevante:cuandolossujetosrespondencruzandolasmanos,elladoderechodelespacioaúnseveasociadoconnúmerosmásgrandes, aunque las respuestas del lado derecho se hagan utilizando lamano izquierda. Y, por supuesto, los sujetos son completamenteinconscientes de que están respondiendomás rápido de un lado que delotro.Eldescubrimientodeunaasociaciónautomáticaentrelosnúmerosyel

espacio lleva a unametáfora simple pero tremendamente poderosa de larepresentación mental de las cantidades numéricas: la de una rectanumérica. Daría la sensación de que los números estuvieran alineadosmentalmente en un segmento, y cada localización correspondiera adeterminada cantidad. Los números cercanos se representan comolocalizaciones contiguas. No resulta sorprendente, entonces, quetendamosaconfundirlos,comoreflejaelefectodedistancianumérica.Esmás, se puede pensar,metafóricamente, que la recta está orientada en elespacio:elceroestáenlaextremaizquierda,ylosnúmerosmásgrandesseextiendenhacialaderecha.Esaeslarazónporlaquelacodificaciónreflejade losnúmerosarábigoscomocantidadestambiénseveacompañadaporuna orientación automática de los números en el espacio: los máspequeñosalaizquierdaylosmásgrandesaladerecha.¿Cuál es el origen de este eje privilegiado orientado de izquierda a

derecha?¿Estávinculadoaunparámetrobiológico,comolalateralidadolaespecializaciónhemisférica,odependesolodevariablesculturales?Conlaintención de explorar la primera hipótesis, evalué a un grupode zurdos,pero su comportamiento no se diferenciaba del de los diestros: seguíanasociando los números grandes con el lado derecho. Para abordar lasegunda hipótesis, mis colegas y yo reunimos a un grupo de veinte

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estudiantes iraníesquehabían aprendido a leer inicialmentedederecha aizquierda, al contrario de lo que ocurre en nuestra tradición occidental.Estavez,losresultadosfueronmásconcluyentes.Comogrupo,losiraníesno mostraban ninguna asociación preferencial entre los números y elespacio. En cada individuo, sin embargo, la dirección de la asociaciónvariabaenfuncióndelaexposiciónalaculturaoccidental.Losestudiantesiraníes que habían vivido en Francia por un largo tiempomostraban unefectodeSNARCexactamenteigualaldelosestudiantesfrancesesnativos,mientrasquelosquehabíanemigradodeIránsolounospocosañosantestendían a asociar los números grandes con el lado izquierdo del espaciomásqueconelderecho.Entonces,parecequelainmersiónculturalesunfactordegranimportancia.Ladireccióndelaasociaciónentrelosnúmerosy el espacio parece estar relacionada con la dirección de la escritura(Dehaeneyotros,1993[16]).Bastareflexionaruninstanteparanotarque,enefecto,laorganización

denuestrosistemadeescrituratieneconsecuenciasgeneralizadassobreeluso de los números. Siempre que escribimos una serie, los númerospequeños aparecen en primer lugar en la secuencia y, por eso, a laizquierda. De este modo, la organización de izquierda a derecha estáimpuesta en las reglas, los calendarios, los diagramas matemáticos, lasestanterías de las bibliotecas, los indicadores de pisos que se encuentransobre las puertas de los ascensores, los teclados de computadora, y asísucesivamente. La internalización de esta convención comienza en laniñez: los niños estadounidenses pequeños ya exploran conjuntos deobjetosdeizquierdaaderecha,mientrasquelosisraelíes,queaprendierona leer y a escribir dederecha a izquierda, hacen exactamente loopuesto.Cuando cuentan, los niños occidentales casi siempre comienzan por laizquierda.Deestemodo,laasociaciónregulardelprincipioydelfinaldelconteo con diferentes direcciones espaciales se internaliza como unacaracterísticaintegraldelarepresentaciónmentaldelosnúmeros.Cuando se viola esta convención implícita, de pronto nos volvemos

penosamenteconscientesdesuimportancia.Losviajerosqueingresanalaterminal2delaeropuertoparisinoCharlesdeGaulleexperimentanunadeestas situaciones confusas: las puertas que tienen números pequeños seextiendenhacialaderecha,mientrasquelasquetienennúmerosgrandeslohacenhacialaizquierda.Heobservadoamuchosviajeros,yoincluido,quevanhacialadirecciónequivocadaluegodequeselesasignaunnúmerode

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puerta,desorientaciónespacialquenisiquiera lasvisitasrepetidasdisipandeltodo.Sibienestotodavíanoestádemostradodeformaempírica,esprobable

quelosnúmerostambiéntenganasociacionesenelejevertical.JuntoconalgunoscolegastuvimosocasióndealojarnosenunhotelquecolgabadeunacantiladosobreelmarAdriáticocercadeTrieste,enItalia.Laentradaestabaenelpisomásaltodeledificio,ytalvezporestarazónlospisosqueseguían estaban numerados de arriba abajo. La confusión cuandotomábamos el ascensor era superlativa. Como íbamos para arriba,esperábamosdemanerainconscientequelosnúmerosdepisosqueseibaniluminando en el cartel aumentaran, pero ocurría lo opuesto, lo que nosconfundíaporunospocossegundos.¡Hastanoscostabadarnoscuentadequé botón teníamos que tocar para subir un piso! Espero que losarquitectosylosergonomistas,sialgunavezleenestelibro,adoptenenelfuturounareglasistemáticadenumerardeizquierdaaderechaydeabajoarriba, porque esta es, en efecto, una convención que nuestros cerebrosesperan,almenosennuestraculturaoccidental.

Elcoloridouniversodelosnúmeros

Si bien en su mayoría las personas tienen una recta numérica mentalinconscienteorientadadeizquierdaaderecha,enalgunas,laimagendelosnúmerosesmuchomásvívida.Entreel5yel10%delahumanidadestápor completo convencida de que los números tienen colores y ocupanlocalizacionesmuyprecisasenelespacio(Seron,Pesenti,Noël,DelocheyCornet,1992).Yaenladécadade1880,sirJohnGaltonsediocuentadequevariosdesusconocidos—lamayoríadeellos,mujeres—otorgabanalosnúmeroscualidadesextremadamenteprecisasyvívidasqueresultabanincomprensiblesparacualquierotrapersona(Galton,1880).Unodeellosdescribía los números como una cinta que se ondulaba hacia la derecha,conmuchoscoloresenlostonosdelazul,elamarilloyelrojo(figura3.5).Otro decía que los números del 1 al 12 se enrollaban en una curvavagamentecircular,conunligerocorteentreel10yel11.Despuésdel12,lacurvaselanzabahacialaizquierdacondistintascurvasparacadadecena.Unatercerapersonasosteníaque losprimeros treintanúmerosaparecíanescritos en una columna vertical en el ojo mental, y que las decenassiguientesdoblabanprogresivamentehacia laderecha.Deacuerdoconél,

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losnúmeroseran«comodeunpardecentímetrosdealto,deuncolorgrisclaroogrisamarronadomásoscuro».

Figura3.5.Estosdibujosdescribenlas«formasdelosnúmeros»queexperimentabandosdelossujetosdeGalton.Elprimerodeellosveunlazocoloridoqueseextiendehacialaderecha.El

segundoubicalosnúmerosenunacurvaserpenteantecuyaseccióninicialpareceunreloj(tomadodeGalton,1880;©MacmillanMagazines).

Por disparatadas que parezcan, estas «formas numéricas» no eranmerosinventos que surgían de las fértiles mentes de victorianos ansiosos porsatisfacerlapasióndeGaltonporlosnúmeros.Unainvestigaciónreciente,llevada a cabo un siglo después de la de Galton, encontró imágenessimilares de los números en los estudiantes universitariosmodernos: enalgunos,lasmismascurvas;enotros,lasmismaslíneasrectas,losmismos

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cambiosabruptosenloslímitesdelasdecenas,yasísucesivamente(Serony otros, 1992, Hubbard y otros, 2005, Hubbard, Ranzini, Piazza yDehaene,2009).Esmás, lasasociacionesentre losnúmerosy loscoloressonsistemáticas: lamayoríadelagenteasociaelnegroyelblancoyaseacon el 0 y el 1, o con el 8 y el 9; amarillo, rojo y azul con númerospequeños como el 2, el 3 y el 4; y el marrón, el violeta y el gris connúmerosmásgrandescomoel6,el7yel8(Seronyotros,1992,CohenKadoshyHenik,2006a).Estas regularidades estadísticas sugieren que, en su mayoría, las

personasquedicenexperimentar formaspara losnúmerosdescribenconsinceridad una experiencia subjetiva genuina, que podría ser de unaprecisión extrema. A una de estas personas se le entregaron cincuentalápices de colores para que expresara sus imágenes de los números enpapel.Endosocasionesdiferentes, separadasporuna semana, eligió casiexactamente losmismos tonos de color. ¡Para algunos números, inclusosintió lanecesidaddemezclar lostonosdevarios lápicesa finde ilustrarmejorsuimagenmentalexacta!Apesardesusingularidad,lasformasdelosnúmeroscompartenvarias

propiedades con la representación de las cantidades numéricas quevenimosdeestudiar.Laseriedelosenteroscasisiempreserepresentaconunacurvacontinua,1alladode2,2alladode3,yasísucesivamente.Enpocas ocasiones uno se encuentra con cambios abruptos de dirección, opequeñasdiscontinuidadesenloslímitesdelasdecenas,porejemplo,entre29 y 30. Hasta el momento, nadie ha asegurado ver una imagendesordenada de los números en la cual, por ejemplo, los primos o loscuadradosesténagrupados,osesucedanenlamismacurva1,4,9y25.Lacontinuidad de las cantidades numéricas sigue siendo el principio másimportantedeorganización.También las relaciones entre los números y el espacio parecen

respetarse. Para la mayoría de las personas, los números crecientes seextiendenhacialaderechayarriba.Porúltimo,lamayorpartedelagentedice que su forma numérica se vuelve menos nítida a medida que losnúmerossehacenmásgrandes.Estorecuerdalosefectosdemagnitudodecompresiónquecaracterizanalcomportamientonuméricodelosanimalesy los humanos, y limita la precisión con la que podemos representarnosmentalmentelosnúmerosgrandes.En esencia, entonces, las formas de los números pueden compararse

conunaversiónconscienteyenriquecidadelarectanuméricamentalque

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todoscompartimos.Mientras larectanuméricade lamayoríade lagentesolosevuelveevidenteenexperimentossutilesdetiemposdereacción,lasformasdelosnúmerossonfácilmenteaccesiblesalaconcienciaytambiénsonmásricasendetallesvisuales,comoelcolorolaorientaciónprecisaenel espacio. ¿De dónde vienen estas imágenes? Cuando se les pregunta,quienes poseen formas numéricas refieren que estas surgieronespontáneamente antesde los 8 añosde edad, obienque lashan tenidodesde que pueden recordar. A veces, varios miembros de una familiacomparten el mismo tipo de forma numérica. Sin embargo, esto nosignifica necesariamente que esté involucrado un componente genéticocomún:elambientefamiliartambiénpodríaserdeterminante.Personalmente,me inclino a pensar que las formas numéricas tienen

algoqueverconlaformaenque,duranteeldesarrollo,seconstituyenlosmapascorticalesdelespacioyelnúmero.Comovimosenelcapítulo2,esposible que los bebés posean ya un «mapa mental» de la numerosidad.Entre los 3 y los 8 años, con la escolarización, la recta numérica inicialdebeverseconsiderablementeenriquecidaparamejorarlaresolucióndelosnúmerosgrandes,e incorporarelconocimientodelanumeraciónenbase10.Podemossuponerquelaadquisicióndelaaritméticaestáacompañadade una expansión progresiva de la superficie cortical destinada al «mapanumérico»(estetipodeaumentossehaobservado,enefecto,enlasáreascerebrales sensoriomotoras cuando un animal aprende una tarea manualsofisticada). Como veremos en los capítulos 7 y 8, la corteza parietalinferior—unaregióncerebral lateralyposteriorcercanaa launiónentrelos lóbulos parietal, occipital y temporal— es candidata posible para ellugardelcerebroenquepuedesucederestaexpansióndelasredesneuralesdedicadasalconocimientoaritmético.Comoelnúmerototaldeneuronaspermanece constante, el crecimiento de la red numérica debe ocurrir aexpensasdelosmapascorticalescircundantes,incluidoslosquecodificanelcolor,laformaylalocalización.Enalgunosniños,elachicamientodelasáreasnonuméricastalvezno llegueasutérminomáscompleto.Enestecaso, puede quedar cierta superposición entre las áreas corticales quecodifican los números, el espacio y el color. Subjetivamente, esto podríatraducirseenunasensaciónirreprimiblede«ver»elcolorylalocalizaciónde los números. Una explicación similar puede justificar el fenómenorelacionadode la sinestesia: la impresión—familiarpara lospoetaso losmúsicos—de que los sonidos tienen formas y de que los gustos evocancolores.

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Pormásespeculativaquepuedaparecer,estateoríadelaformaenquela corteza se ve colonizada por un mapa cada vez más refinado de losnúmeros tiene algo de evidencia a su favor. Los neuropsicólogos JohnSpaldingyOliverZangwill (1950)describieronaunpacientede24 añoscuya imagen visual de los números desapareció repentinamente cuandotuvounalesióneneláreaparieto-occipitalizquierda,unaregióndelaque,desde hace mucho tiempo, se ha sospechado que desempeña un papelcentral en la aritmética mental. En efecto, el paciente tenía dificultadesseveras tanto en el cálculo como para orientarse en el espacio(analizaremosestesíndromeneurológicoconmayordetalleenelcapítulo7). Por eso, este caso confirma que el sentimiento subjetivo de «vernúmeros»dependedelacodificaciónsimultáneadeinformaciónnuméricayespacial,unaalladodelaotra,enlamismaregióncerebral.Es más, la idea de que los mapas corticales pueden superponerse y

engendrar sensaciones subjetivas extrañas seha validado en estudios conpacientes que sufrieron amputaciones (Ramachandran, Rogers-RamachandranyStewart,1992,RamachandranyHubbard,2001).Luegodelaamputacióndeunbrazo,laregióndelacortezasomatosensorialquerepresentaba este brazo vuelve a estar disponible y es colonizadapaulatinamente por las representaciones que la rodean, como la de lacabeza.Puedesucederentoncesque,siseestimulanalgunospuntosdelacara, aparezcan sensaciones que se perciben como si vinieran del brazofaltante,ydeestemodogeneraenlospacientesunaimpresiónirrefrenablede tenerunmiembro fantasma. ¡Unagotadeaguaquecae sobre la cara,por ejemplo, se siente como si se metiera el brazo inexistente en unacubeta! Creo que el fenómeno de las formas numéricas, en el que losnúmerosevocancoloresyformasfantasmas,tieneunorigensimilarenlosmapascorticalessuperpuestos.

Intuicionesnuméricas

Llegó elmomento de reseñar elmensaje esencial de este capítulo. Estasobservaciones acerca de los números romanos, del tiempo que llevacompararnúmeros arábigosyde las extrañas alucinacionesnuméricasdealgunaspersonasarrojanalgodeluzsobrelasfascinantespeculiaridadesdenuestrarepresentaciónmentaldelosnúmeros.Unórganoespecializadoenlapercepciónylarepresentacióndelascantidadesnuméricasestáanclado

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ennuestros cerebros. Sus características lo vinculande forma inequívocacon las habilidades protonuméricas de los animales y los bebés. Esteórganopuedecodificarconprecisiónsololosconjuntoscuyanumerosidadnoexcedalastresunidades,ytiendeaconfundirlosnúmerosamedidaquesevuelvenmásgrandesymáspróximosentresí.Tambiéntiendeaasociarel rango de cantidades numéricas con unmapa espacial, y de estemodolegitimalametáforadeunarectanuméricamentalorientadaenelespacio.Obviamente,siseloscomparaconlosbebésylosanimales,losadultos

humanostienenlaventajadesercapacesdetransmitirnúmerosutilizandopalabrasydígitos.Veremosen loscapítulosquesiguencómoel lenguajefacilitaelcómputoylacomunicacióndecantidadesnuméricasprecisas.Sinembargo, ladisponibilidaddenotacionesnuméricasprecisasno anula lasrepresentaciones continuas y aproximadas de las cantidades con las quevenimos dotados. Todo lo contrario: los experimentos muestran que elcerebrohumanoadulto,siemprequeseenfrentaconunnúmero,seapurapara convertirlo en una magnitud analógica interna que preserva lasrelacionesdeproximidadentrecantidades.Estaconversiónesautomáticaeinconsciente. Nos permite acceder inmediatamente al significado de unsímbolocomo8:unacantidadentre7y9,máscercanaa10quea2,yasísucesivamente.Estarepresentacióncuantitativa,heredadadenuestropasadoevolutivo,

subyace a nuestra comprensión intuitiva de los números. Si noposeyéramosyaalgunarepresentación internanoverbalde lacantidad8,probablementeseríamosincapacesdeatribuirleunsignificadoaldígito8.Entonces, nos veríamos reducidos a realizar manipulaciones puramenteformalesde los símbolosdigitales, exactamentedelmismomodoenqueunacomputadorasigueunalgoritmosincomprenderjamásquésignifica.La recta numérica que utilizamos para representar cantidades avala

claramente una forma limitada de intuición acerca de los números.Codificasololosenterospositivosysusrelacionesdeproximidad.Talvezestasea larazónnosolodenuestracaptación intuitivadelsignificadodelosenteros,sinotambiéndenuestrafaltadeintuiciónenloqueconciernea otros tipos de números. Lo que los matemáticos modernos llaman«números»incluyeel0,losenterosnegativos,lasfracciones,losnúmerosirracionales como π, y los números complejos como i = √−1. Sinembargo, todas estas entidades, excepto, tal vez, las fracciones mássimples, como 1/2 o 1/4, plantearon dificultades conceptuales

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extraordinarias para los matemáticos en los siglos pasados, y todavíaimponenunagrandificultadalosalumnosdehoyendía.Para Pitágoras y sus seguidores, cinco siglos antes de Cristo, los

númerosestabanlimitadosaenterospositivos,esdecirquenoincluíanlasfraccionesolosnúmerosnegativos.Lascantidadesirracionalescomo√2seconsiderabantanilógicasqueunaleyendadicequeaHipasodeMetapontolotiraronporlabordaporprobarsuexistenciay,porlotanto,destruirlaperspectivapitagóricadeununiversoregidoporenteros.NiDiofantonilosmatemáticosindiosquevinierondespués,apesardesudominiodelosalgoritmosdel cálculo, aceptaron los números negativos para la solucióndelasecuaciones.ParaelpropioPascal,larestade0−4,cuyoresultadoesnegativo, era un puro sinsentido. En lo que refiere a los númeroscomplejos—que fueron inventados porGerolamoCardano en Italia en1545 y suponen raíces cuadradas de los números negativos— su estatusdesatóunatormentadeprotestasquedurómásdeunsiglo.ADescartes,que los rechazaba, debemos la denominación peyorativa de «númerosimaginarios»,mientrasqueDeMorganloscaracterizabacomo«vacíosdesignificado, o, mejor, contradictorios y absurdos». Recién cuando seestablecieronbasesmatemáticas sólidas, estos tiposdenúmeros lograronteneraceptaciónenlacomunidadmatemática.Megustaríasugerirqueestasentidadesmatemáticassontandifícilesde

aceptar y desafían tanto la intuición porque no corresponden a ningunacategoría preexistente de nuestro cerebro. Los enteros positivosencuentrannaturalmenteunecoen la representaciónmental innatade lanumerosidady,porende,unniñode4añospuedecomprenderlos.Otrostipos de números, sin embargo, no tienen ningún análogo directo en elcerebro. Para entenderlos realmente, se debe formar un nuevo modelomentalquepermitaunacomprensiónintuitiva.Estoesexactamenteloquehacen los maestros cuando presentan números negativos con metáforascomo las temperaturas bajo cero, un préstamo pedido a un banco osimplemente una extensión a la izquierda de la recta numérica. EstatambiéneslarazónporlaqueelmatemáticoinglésJohnWallis,en1685,lehizo un regalo único a la comunidad matemática cuando presentó unarepresentaciónconcretade losnúmeroscomplejos: fueelprimeroenverque podían visualizarse como un plano donde los números «reales» seextendían en un eje horizontal. Para funcionar de un modo intuitivo,nuestro cerebro necesita imágenes, y en lo que concierne a la teoría del

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número, la evolución solo nos ha dotado de una imagen intuitiva de losenterospositivos.

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ParteII

Másalládelaaproximación

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4.Ellenguajedelosnúmeros

Observo que cuando mencionamos cualquier númerogrande,comounmillar,porlogenerallamentenotieneuna ideaadecuadadeél, sinosolounpoderdeproducirtalideaporsuideaadecuadadelosdecimales,dentrodeloscualesestácomprendidoelnúmero.

DavidHume,Tratadodelanaturalezahumana

¿Qué sería denosotros si nuestra representaciónmental de losnúmerosfuera un acumulador aproximativo similar al que poseen las ratas?Tendríamos nociones bastante precisas de los números 1, 2 y 3. Pero, apartirdeestepunto,larectanuméricasedesvaneceríaenunanieblaespesa.Nopodríamospensarenelnúmero9sinconfundirloconsusvecinos8y10. Incluso si comprendiéramos que la circunferencia de un círculodivididoporsudiámetroesunaconstante,soloconoceríamoselnúmeroπcomo«aproximadamente3».Estaconfusiónimpediríacualquierintentodedesarrollarunsistemamonetario,buenapartedelconocimientocientíficoy,dehecho,lasociedadhumanatalcomolaconocemos.¿Cómo hizo elHomo sapiens, caso único en el mundo animal, para

superar el estadío de la aproximación en los números? La habilidadhumana única para diseñar sistemas de numeración simbólica fueprobablementeelfactordeterminante.Algunasestructurasespecíficasdelcerebro humano que todavía están lejos de ser comprendidas en sutotalidadnospermitenutilizarcualquiersímboloarbitrario,sealapalabrahablada, un gesto, o una forma en un papel, como vehículo de unarepresentaciónmental. Los símbolos lingüísticos tienen la particularidaddedividirelmundoencategoríasdiscretas.Deestemodo,nospermitenhacer referencia a números precisos y separarlos categóricamente de susvecinosmáscercanos.Sin lossímbolos,nopodríamosdiferenciar8de9.Peroconlaayudadenuestrasnotacionesnuméricaselaboradas,podemosexpresar pensamientos tan precisos como «La velocidad de la luz es de299792,458kilómetrosporsegundo».Enestecapítulopretendodescribiresta transición de una representación aproximada a una representaciónsimbólicade losnúmerossiguiendo loshilos tantode lahistoriacultural

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de la humanidad como de la mente de cualquier niño que adquiere lalenguadelosnúmeros.

Unabrevehistoriadelosnúmeros

Cuandonuestraespeciecomenzóahablar,talvezsolohayasidocapazdenombrar los números 1, 2 y 3. Las cantidades correspondientes soncualidades perceptuales que nuestro cerebro computa sin esfuerzo ninecesidaddecontar.Entonces,darlesunnombreprobablementenohayasidomásdifícilquenombrarcualquierotroatributosensorial,comorojo,grandeocaliente.El lingüista JamesHurford (1987) ha reunidomuchos indicios sobre laantigüedad de las primeras tres palabras para nombrar números. Susparticularidades lingüísticas, además, las distinguen de todas las quenombranlosnúmerossucesivos.Enmuchaslenguas,«uno»,«dos»y«tres»sonlosúnicosnumeralesquepuedenflexionarseengéneroynúmero.Porejemplo, en el alemán antiguo, «dos» puede ser zwei, zwo o zweendependiendodel género gramatical del objeto que se está contando.Losprimerostresordinalestambiéntienenunaformaparticular.Eninglés,porejemplo,lamayoríadelosordinalesterminancon«-th»(fourth,fifth,etc.),peronoocurrelomismoconlaspalabrasfirst,secondythird.Losnúmeros1,2y3 tambiénson losúnicosquesepuedenexpresar

con flexiones gramaticales en lugar de palabras. En muchas lenguas, laspalabrasnosolo llevan lamarcadesingularoplural.Tambiénseutilizanterminaciones distintas para distinguir dos ítems (dual) frente a más dedosítems(plural)yalgunaslenguashastatienenflexionesespecialesparaexpresar tres ítems (trial). En el griego antiguo, por ejemplo, ὁ ἵπποςsignificaba«elcaballo»;τὼἵππω,«losdoscaballos»,yοἱἵπποι,unnúmerono especificado de caballos (pero igual o superior a 3).Ninguna lenguadesarrolló nunca dispositivos gramaticales especiales para los númerossuperioresa3.Porúltimo,lasparticularidadesdelostresprimerosnumeralestambién

dan testimoniode su antigüedad.Laspalabraspara «2»y «segundo»confrecuenciatienenelsignificadode«otro»,comoenelverbosecundar,oeladjetivosecundario.Enalgúnmomentode lahistoria,«tres»puedehabersimbolizadoelnúmeromásgrandeconocido, llegandoasersinónimode

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«mucho»y«superiora losdemás».Entonces, talvez losúnicosnúmerosconocidos para nuestros ancestros remotos fueran «1», «1 y otro» (2) y«mucho»(3omás,alinfinito).Hoynosparecedifícil imaginaranuestrosancestrosconfinadosa los

númerosmenoresque3.Sinembargo,noestanextraordinario.Aunenlaactualidad, los warlpiris, tribu de Australia, indican las cantidadessolamente con las palabras «uno», «dos», «algunos» y «muchos» (Ifrah,1998[17]).Tengamospresentequeenotroscampostambiénsedaestetipode limitaciones en los sistemas de categorización; en los colores, porejemplo: algunas tribus africanas solo distinguen entre negro, blanco yrojo. De más está decir que estos límites son solo léxicos. Cuando loswarlpirisseponenencontactoconlosoccidentales,aprendenconfacilidadlos números en inglés. Entonces, su habilidad para conceptualizar losnúmeros no está limitada por el léxico restringido de su lengua ni(obviamente) por sus genes. Si bien los experimentos al respecto sonescasos, parece probable que posean conceptos cuantitativos de losnúmeros que vanmás allá de tres, aunque no verbales y, en tal sentido,seguramenteaproximativos.¿Cómo fue que las lenguas humanas superaron el límite de 3? La

transición hacia sistemas de numeración más avanzados parece haberinvolucradoelconteodepartesdelcuerpo[18].Todoslosniñosdescubrende formaespontáneaque susdedos sepuedenponerencorrespondenciaunoaunoconcualquierconjuntodeítems.Bastarálevantarundedoparael primer ítem, dos para el segundo, y así sucesivamente. Con estemecanismo, el gesto de levantar tres dedos se vuelve un símbolo pararepresentarlacantidaddetresytieneelmismosignificadoquelapalabra«tres».Unaventajaobviaesquelossímbolosrequeridossiempreestán«amano»: ¡en este sistema de numeración los dígitos son literalmente susdedos!Poreso,alolargodelahistorialosdedosyotraspartesdelcuerpohan

funcionado como base de un lenguaje corporal de los números, quetodavíaestáenusoenalgunascomunidadesaisladas.Muchospueblosqueno cuentan con palabras habladas para los números por encima de 3,poseenunricovocabulariodegestosnuméricosquedesempeñanelmismopapel.Porejemplo,enelsigloXIX losnativosde las islasdelestrechodeTorres,enOceanía,denotabanlosnúmerosapuntandoadiferentespartesdelcuerpoenunordenfijo(figura4.1):desdeelmeñiquehastaelpulgardelamanoderecha(números1a5), luegoavanzanporelbrazoderecho

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haciaelizquierdo(6a12),hastalosdedosdelamanoizquierda(13a17),losdedosdelpieizquierdo(18a22),laspiernasizquierdayderecha(23a28), y finalmente los dedos del pie derecho (29 a 33). Hace algunasdécadas, en una escuela de Nueva Guinea, los maestros se quedabanperplejos al ver que durante sus clases de matemática los alumnosaborígenes se retorcían como si las cuentas les provocaran picazón. Enrealidad,al señalarse rápidamente laspartesdelcuerpo, losniñosestabantraduciendo a su lenguaje corporal los números y cálculos que se lesenseñabaneninglés.En los sistemas de numeración verbal más sofisticados, ya no es

necesarioseñalar:nombrarunapartedelcuerpoessuficienteparaevocarelnumeral correspondiente.Entonces, en varias otras sociedades deNuevaGuinea, la palabra «seis» literalmente significa «muñeca», mientras que«nueve»es«pechoizquierdo».Delmismomodo,eninnumerableslenguasalolargodelmundo,desdeÁfricaCentralhastaParaguay,laetimologíadelapalabra«cinco»evocalapalabra«mano».Un tercer paso salva la distancia entre estas lenguas basadas en el

cuerpoynuestras«incorpóreas»palabrasnumerales.Denotarlosnúmerosseñalandoelcuerpotieneunalimitaciónseria:nuestrosdedosformanunconjunto finito y, de hecho, bastante pequeño. Incluso si contamos losdedosdelpieyotraspartessalientesdenuestrocuerpo,elmétodoesinútilpara los números que superan el 30. Esmuy poco práctico aprender unnombrearbitrarioparacadanúmero.Lasoluciónescrearunasintaxisquepermita que los numerales más grandes se expresen mediante lacombinacióndevariosmáspequeños.Es probable que la sintaxis de los números haya emergido de forma

espontáneacomounaextensióndelanumeraciónbasadaenelcuerpo.Porejemplo,enalgunascomunidadesoriginariasdelGranChacoparaguayo,elnúmero 6, en lugar de recibir un nombre arbitrario como «muñeca», seexpresa como «uno de la otra mano». Dado que ya la palabra «mano»significa5,porlameranaturalezadesulenguajecorporalestaspersonassevenllevadasaexpresar6como«5y1».Delmismomodo,elnúmero7es«5y2»,yasísucesivamentehastallegaral10,quesimplementeseexpresacomo «dos manos» (dos veces 5). Detrás de este ejemplo elementalacechanlosprincipiosbásicosdeorganizacióndelasnotacionesnuméricasmodernas:laseleccióndeunnúmerodebase(aquí,el5)ylaexpresióndenúmerosmásgrandesatravésdeunacombinacióndesumasyproductos.Una vez descubiertos, estos principios pueden extenderse a números

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arbitrariamente grandes. El número 11, por ejemplo, se puede expresarcomo «dosmanos y un dedo» (dos veces 5, y 1), mientras que 22 será«cuatromanosydosdedos».

Figura4.1.LosnativosdelestrechodeTorresdenotabanlosnúmerosseñalandohaciaunaparteprecisadesucuerpo(adaptadodeIfrah,1998).

Lamayoríadelaslenguashanadoptadounnúmerodebase,comoel10oel20,cuyonombresueleserunacontraccióndeunidadesmáspequeñas.Enlalenguacentroafricanaali,porejemplo,lapalabrambuna,quesignifica10,esunacontraccióndemorobuna, literalmente«dosmanos».Unavezque la nueva forma se cristaliza, puede participar en construccionesmás

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complejas.Entonces,lapalabrapara21sepodríaexpresarcomo«dosveces10 y 1». Un proceso similar da cuenta de la construcción irregular dealgunos numerales como 11, 12, 13 o 50 en el inglés actual. En épocasprevias fue claro el carácter compuesto de estas palabras: «1 (y) 10»,«2 (y) 10», «3 (y) 10», «5 veces 10», antes de que evolucionaran en unacontracción.En lo que refiere a las numeraciones con base 20, probablemente

reflejenuna tradiciónantiguadecontarcon losdedosde lasmanosydelos pies en vez de hacerlo solo con las manos. Esto explica por qué amenudo lamismapalabra denota el número 20 y también «unhombre»,como en algunos dialectos mayas o en el esquimal de Groenlandia. Unnúmerocomo93puedeexpresarse,entonces,conunaoraciónbrevecomo«luegodelcuartohombre,tresdelprimerpie»;unasintaxisrebuscada,sí,pero no más que la expresión francesa moderna quatre-vingt-treize paraexpresaresamismacifra(4×20+13).Utilizandoingeniosassolucionescomoestas,loshumanosllegaronaaprenderaexpresarcualquiernúmeroconunaprecisiónperfecta.

Unregistropermanentedelosnúmeros

Darunnombrealosnúmerospuedeserútil,peromuchasvecesllevarunregistro durable de ellos se vuelve de vital importancia. Probablemente,razones científicas y económicas empujaron a los humanos a desarrollarrápidamente sistemas de escritura que les permitieran llevar un registropermanentedeeventosimportantes,fechas,cantidadesointercambios:ensíntesis, cualquier cosa que se pudiera denotar con un número. Esmuyposible,porlotanto,quelainvencióndelasnotacionesnuméricasescritassehayadesplegadoenparaleloconeldesarrollodelossistemasverbalesdenumeración.Para comprender bien los orígenes de los sistemas de escritura de

números, tenemos que viajarmuy lejos en el tiempo.Varios huesos queprocedendelperíodoaurignacianodelpaleolíticosuperior(entre35000y20000a.C.)reflejanelmétodomásantiguodeescrituradenúmeros: larepresentacióndeunconjuntoconidénticacantidaddemarcas(Marshack,1991). Estos huesos tienen grabadas una serie demuescas paralelas, y aveces están agrupados en pequeños bloques. Esta puede haber sido laformaenquelosprimeroshumanosllevabanunregistrodeloquecazaban

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tallando una marca por cada animal que capturaban. La decodificaciónpaciente de la estructura periódica de esos trazos en una placa de huesoalgomás reciente (10 000 a. C.) sugiere que hasta puede haberse usadocomo una forma elemental de calendario, que llevaba registro de lacantidaddedíasentreunafaselunarylasiguiente(figura4.2).

Figura4.2.Estapequeñaplacadehuesofuedescubiertaen1969enlaGrutadeTaï,enelsurdeFrancia.Datadelpaleolíticosuperior(ca.10000a.C.)ypresentaincisionesalineadasregularmente.Comoalgunasdelasmarcasestánagrupadasensubconjuntosdemásomenosveintinueve,se

piensaquelaplacaregistrabaelnúmerodedíasquepasabanentredoslunaciones(reproducidodeMarshack,1991;©CambridgeUniversityPress).

Elprincipiode correspondencia uno a uno seha reinventadouna yotravez,entodoelmundo,comounodelosregistrosnumeralesmássimplesybásicos.Lossumeriosllenabanesferasdearcillaconlamismacantidaddepiedras que los objetos que contaban; los incas registraban los númeroshaciendonudosencordonesdealgodónolana,losquipus,quelesservíancomoarchivos;ylosromanosutilizabanbarrasverticalesparaformarsusprimerostresdígitos.Hastahacepoco,algunospanaderostodavíahacíanmarcas para llevar un registro de las deudas de sus clientes. La palabra«cálculo» en sí misma proviene del término latino calculus, esto es,«guijarro»,ynosremontaalaépocaenquelosnúmerossemanipulabanalmoverlaspiedrasdeunábacoantesquerecurrirasímbolosarbitrarios.A pesar de su engañosa simplicidad, el principio de correspondencia

uno a uno es un invento notable. Aporta una representación duradera,precisayabstractadelosnúmeros.Unaseriedemuescaspuedefuncionarcomo un símbolo numérico abstracto y hacer referencia a cualquierconjuntodeítems,yaseaganado,personas,deudasolunasllenas.Tambiénpermite a las personas superar sus limitaciones de percepción. Los

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humanos, como las palomas, no pueden distinguir cuarenta y nueveobjetos de cincuenta. Sin embargo, un palito marcado con cuarenta ynueveincisionesdejaunregistropermanentedeestenúmeroexacto.Paraverificarsiunacuentaescorrecta,unosimplementetienequerepasarunoaunolosobjetosyavanzarunamarcaporcadaobjeto.Lacorrespondenciauno a uno, entonces, abre el acceso a una representación precisa de losnúmerosquesondemasiadograndesparaserrecordadosconprecisiónenlarectanuméricamental.Obviamente, la correspondencia uno a uno también tiene sus

limitaciones.Larepresentacióndelosnúmerosmediantetallasesbastantefastidiosadeescribiroleer.Comovimosantes,elsistemavisualhumanono puede aprehender de un golpe de vista un conjunto de más de tresítems.Así,¡unaserieindiferenciadadetreintaysietemarcasestandifícilde percibir como el conjuntode treinta y siete ovejas al que representa!Muy pronto, entonces, los humanos se vieron obligados a romper lamonotoníade las seriesnuméricas agrupando lasmarcase introduciendonuevossímbolos,esdecir,separandounnúmerograndeenalgomásfácildeleerdeunasolamirada.Hacemosexactamentelomismocuandoenunapartida de naipes tachamos cada grupo para marcar cinco trazos,convirtiéndolos en un grupo visualmente diferenciado. Gracias a estatécnica,elnúmero21sevecomo

innegablementeunanotaciónmáslegibleque

Sinembargo,estesistemasoloesútilsobreelpapel.Cuandoelsoporteesunavarilla,hacermuescasaloanchodelamaderaresultatedioso.Hendirlamaderaenunánguloesmuchomásfácil,yeseesexactamenteelmétodoquelospastoresadoptaronhacemilesdeaños:adoptaronsímboloshechosdebarrasoblicuas,comoVoX,paradenotar losnúmeros5y10.Comopodrán adivinar, este es el origen de los números romanoscorrespondientes. Sus formas geométricas fueron determinadas por lafacilidadconqueselaspodíatallarencualquiersoporte.Otrosmediosde

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escritura han impuesto formas distintas. Por ejemplo, los sumerios, queescribíansobreláminasdearcillablanda,adoptabanparasusnumeraleslasformasmássimplesquesepodíantrazarconunavarilla:marcascirculareso cilíndricas, así como los famosos caracteres con forma de clavo o«cuneiformes».Alreunirvariosdeestossímbolos,sepuedenformarotrosnúmeros.Enlanotación romana, 7 se escribe como 5 + 1 + 1 (VII). Este principioaditivo,deacuerdoconelcualelvalordeunnúmeroesigualalasumadelos dígitos que lo componen, está en la base de muchas notacionesnuméricas, incluidas las de los egipcios, los sumerios y los aztecas. Lanotaciónaditivaahorraespacioytiempo,porqueunnúmerocomo38,querequieretreintayochosímbolosidénticosencualquiernotaciónbasadaenlacorrespondenciaunoauno,ahorapasaamovilizarsietedígitosromanos(38=10+10+10+5+1+1+1oXXXVIII).Detodosmodos,lalectura y la escritura siguen siendo una ocupación tediosa. La concisiónpuede mejorarse un poco si se presentan símbolos especiales, como losnúmerosL(50)yD(500).Lasrepeticionespuedenevitarsetotalmentesisequiereutilizarunsímbolodistintoparacadaunodelosnúmerosdel1al9, del 10 al 90, y del 100 al 900. Esta fue la solución que adoptaron losgriegos y los hebreos, que utilizaban letras del alfabeto en lugar denúmeros. Con este truco, un número tan complejo como 345 se puedeescribir con solo tres letras (TME en griego, o 300 + 40 + 5). Sinembargo,elusuariopagauncostogrande:memorizarelvalornuméricodelosveintisietesímbolosrequeridosparaexpresartodoslosnúmerosentreel1yel999demandaunesfuerzoconsiderable.Alrepasar,pareceobvioquelasumaporsísolanopuedesersuficiente

para expresar números muy grandes. La multiplicación se vuelveindispensable. Una de las primeras notaciones híbridas, que combina lasuma con la multiplicación, apareció en la Mesopotamia hace más decuatromilenios.Enlugardeexpresarunnúmerocomo300trazandotresveces el símbolo correspondiente a 100, como en los números romanos(CCC), los habitantes de la ciudad de Mari simplemente escribían elsímbolo de 3 y a continuación el símbolo de 100. Lamentablemente,seguían escribiendo las unidades y las decenas mediante el principio deadición,porloquesunotaciónaúnestabalejosdeserconcisa.Elnúmero2342, por ejemplo, se escribía literalmente como «1 + 1 millares,1+1+1centenas,10+10+10+10,1+1».

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La fuerza del principio de multiplicación se refinó en sistemas denumeración posteriores. En particular, hace cinco siglos, los chinosinventaronunanotaciónperfectamenteregularquesehapreservadohastaeldíadehoy.Consisteensolotrecesímbolosarbitrariosparalosdígitosquevandel1al9ylosnúmeros10,100,1000y10000.El2342seescribesimplemente como«2100031004102»,una transcripciónpalabraporpalabradelaexpresiónoral«dosmiltrescientoscuarentaydos»(cuarentaes«cuatrodiez»enchino).Enesteaspecto,laescrituradevieneunreflejodirectodelsistemadenumeraciónoral.

Elprincipiodelvalorposicional

Laeficaciadelasnotacionesnuméricasseexpandióenormementegraciasaun último invento: el principio del valor posicional. Una notaciónnuméricaobedeceaeseprincipiocuandolacantidadrepresentadaporundígito varía según el lugar que ocupa en el número. Entonces, los tresdígitosqueformanelnúmero222,aunquesonidénticos,hacenreferenciaa diferentes órdenes de magnitud: dos centenas, dos decenas y dosunidades.Enunanotaciónbasada en el valorposicional, hayunnúmeroprivilegiadoalquesellama«base».Actualmenteutilizamoslabase10,perono es la única posibilidad. Las posiciones sucesivas en el númerorepresentan potencias sucesivas de la base, desde unidades (100 = 1), adecenas(101=10),centenas(102=100),yasísucesivamente.Lacantidadexpresada por determinadonúmero se obtienemultiplicando cada dígitopor la potencia correspondiente de la base, y luego sumando losproductos. Entonces, el número 328 representa la cantidad3×100+2×10+8×1.Unacodificaciónquesebasasobreelprincipiodevalorposicionales

clavesisedeseahacercálculosutilizandoalgoritmossimples.Siustedesnolocreen,¡intentencalcularXIV×VII,utilizandonúmerosromanos!Loscálculos tampoco son prácticos en la notación alfabética griega, porquenadahaceevidentequeelnúmeroN(50)seadiezvecesmásgrandequeelnúmero E (5). Esta es la principal razón por la que los griegos y losromanos nunca realizaban cálculos sin ayuda de un ábaco. En cambio,nuestrosnúmerosarábigos,basadossobreelprincipiodelvalorposicional,permitentransparentarporcompletolasrelacionesdemagnitudentre,por

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ejemplo,5,50,500y5000.Lasnotacionesposicionalessonlasúnicasquereducenlacomplejidaddelamultiplicaciónalamemorizacióndeunatabladeproductos desde 2×2hasta 9×9.No es exagerado afirmar que suinvenciónrevolucionóelartedelcálculonumérico.Fueronsolamentecuatrolascivilizacionesque,entodalahistoriadela

humanidad, parecen haber descubierto la notación posicional, y tres deellas nunca alcanzaron la simplicidad de nuestros números arábigosactuales. Por esto, la notación solo se vuelve altamente eficiente encompañíadeotros tres inventos:unsímboloparael cero,unnúmerodebaseúnico,ylaeliminacióndelprincipiodeadiciónparalosdígitosdel1al9. Piensen, por ejemplo, en el sistema posicional más antiguo que seconoce,diseñadoporlosastrónomosbabiloniosdieciochosiglosantesdeCristo.Subaseeraelnúmero60.Entonces,unnúmerocomoel43345,que es igual a 12×602+ 2×60+25, se expresaba concatenando lossímbolosde12,2y25.Enprincipio,habríanhechofaltasesentasímbolosdistintos,unopara

cadaunodelos«dígitos»del0al59.Sinembargo,obviamente,habríasidopoco práctico aprender sesenta símbolos arbitrarios. En cambio, losbabiloniosescribíanestosnúmerosutilizandounanotaciónaditivadebase10. Por ejemplo, el «dígito» 25 se expresaba como10+10+1+1+1+1+1.Finalmente,elnúmero43345,entonces,serepresentaba con una oscura secuencia de caracteres cuneiformes quesignificabaliteralmente10+1+1[implícitamente,multiplicadopor602],1 + 1 [implícitamente, multiplicado por 60],10+10+1+1+1+1+1.Semejantemezcladecodificaciónaditivayposicional,condosbases,10y60,convirtióalanotaciónbabilónicaenunsistemacomplejo,reservadoaunarestringidaéliteculta.Detodosmodos,se tratabadeunanumeraciónnotablemente avanzadapara su época.Losastrónomos babilonios la usaban con mucha destreza para sus cálculoscelestes, cuya precisión no se vio superada hasta después demás demilaños.Suéxitosedebíaenpartea lasencillezconquelabase60permitíarepresentar las fracciones: como 2, 3, 4, 5 y 6 son divisores de 60, lasfracciones1/2,1/3,1/4,1/5y1/6 tenían, todas,unaexpresiónsimpleenelsistemasexagesimal.Si loevaluamosconnuestrosestándaresactuales,elsistemababilonio

teníaunadesventajacentral:durantequincesiglos,lefaltóunsímboloparael 0. ¿Y para qué sirve el cero? Para empezar, se trata de un símboloconvencionalqueexpresa laausenciadeunidadesdeciertotipo,definido

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por su valor posicional, en un número compuesto pormás de una cifra.Por ejemplo, en la notación arábiga, el número 503 significa cincocentenas, ninguna decena, y tres unidades. Como no tenían un símbolocero,loscientíficosbabiloniossimplementedejabanunespacioenblancoen el lugar en el que debería haber aparecido un número. Este vacíosignificativo era una fuente recurrente de ambigüedades. Los números301 (5×60+1),18001 (5×602+1)y1080001 (5×603+1) seexpresabanconfusamenteconcadenassimilares:51,51(conunespacioenblanco)y5 1(condosespaciosenblanco).Entonces, laausenciadeunceroera la causademuchoserrores en los cálculos.Parapeor,undígitoaisladocomo«1»teníamúltiplessignificados.Podíasignificar lacantidad1, por supuesto, pero también «1 seguido de un blanco» o 1 × 60, oincluso «uno seguido de dos blancos» o 1 × 602 = 3600, y asísucesivamente. Solo el contexto podía determinar qué interpretación eracorrecta.HuboqueesperarhastaelsigloIIIa.C.parallenarestevacíoconla invención de un símbolo auténtico que permitiera denotar en formaexplícita lasunidades ausentes. Incluso así, este símbolo solo funcionabacomo un marcador de posición, y nunca adquirió el significado de una«cantidadnula»ode«elentero inmediatamente inferiora1»quehoyendíaleatribuimos.Pese a que aparentemente la notación posicional de los astrónomos

babiloniosseperdióconelderrumbedesucivilización,otrastresculturasreinventaronmás tarde sistemasmuy similares. En el siglo II a. C., loscientíficos chinosdiseñaronun códigoposicional quenodisponíadeundígito 0 y utilizaba las bases 5 y 10. En la segunda mitad del primermilenio, los astrónomosmayas hacían cálculos con números escritos enbase5y20yteníanademásundígito0hechoyderecho.Y,porúltimo,losmatemáticosindios,porintermediodelossabiosdelmundoárabe,legarona la humanidad la notación posicional con base 10 que actualmente seutilizaentodoelmundo.Parece un poco injusto llamar «numerales arábigos» a un invento

debidooriginariamentealingeniodelacivilizaciónindia.Nuestranotaciónnuméricasellama«arábiga»soloporqueelmundooccidentalladescubriógraciasa los tratadosde losgrandesmatemáticospersas,decuyo trabajoderivanmuchasdelastécnicasmodernasdelcálculonumérico.Lapalabra«algoritmo», por ejemplo, se llama así por el trabajo de uno de ellos,Mohammad ibn Musa al-Juarizmi. Su obra más famosa fue un tratadosobre la resolución de las ecuaciones lineales, Al-jabr w’almuqābala

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(Acercadelareducciónylacomparación),unlibrodeunéxitoexcepcional,cuyotítulopasóluegoallenguajecomún(«álgebra»).Sinembargo,peseatoda su creatividad, los descubrimientos de los persas no podrían habervistolaluzsinayudadelanotaciónnuméricaindia.Rindamosunhomenajeespecialaunainnovaciónúnicadelanotación

india,quefaltabaen losdemássistemasposicionales: laseleccióndediezdígitos arbitrarios cuyas formas no están vinculadas con las cantidadesnuméricas que representan.A primera vista, podría pensarse que utilizarformas arbitrarias es una desventaja. Una sucesión de trazos pareceproveerunaformamástransparentededenotarlosnúmeros,másfácildeaprender.Ytalvezestafueralalógicaimplícitadeloscientíficossumerios,chinosymayas.Sinembargo,enelcapítuloanteriorhemosvistoqueestoes incorrecto.Para el cerebrohumano requieremás tiempocontar cincoobjetosquereconocerunaformaarbitrariayasociarlaconunsignificado.La peculiar disposición de nuestro aparato perceptual a recuperarrápidamenteelsignificadodeunaformaarbitraria,quehellamado«reflejode comprensión», se aprovecha de forma admirable en la notaciónposicional indoarábiga. Esta herramienta de numeración, con sus diezdígitos fácilmente discernibles, encaja perfectamente con los puntosfuertesdelsistemacognitivoyvisualdeloshumanos.

Unagrandiversidaddelenguajesnuméricos

Hoyendía,cuandolaspersonasdecasicualquierpaísescribenunnúmero,adoptan la misma convención y utilizan la notación de base 10. Solo laformadelosdígitospuedevariarunpoco.Porejemplo,enlosvenerablestratadospersassecomentaelusode«dígitosindios»,enlugardenuestrosnúmeros arábigos, en algunospaísesdeMedioOriente (en la actualidad,algo similar sucede con los hablantes de urdu). Sin embargo, incluso enesoscasoslanotaciónarábigaestándarganabaosigueganandoterreno.Supredominio tiene poco que ver con el imperialismo o la imposición denormascomerciales.Si laevoluciónde lanumeraciónescritaconvergesedebeprincipalmenteaque lacodificaciónposicionales lamejornotaciónde que disponemos. Sus características meritorias son muchas: sunaturaleza compacta, su reducido número de elementos, la ausencia deobstáculosparasuaprendizaje,sulecturaysuescritura,lasimplicidaddelosalgoritmosdecálculospara losque funcionacomobase.Todosestos

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rasgosjustificansuadopciónuniversal.Dehecho,esdifícilconjeturarquénuevainvenciónpodríadestronarla.Lanumeraciónoral nomuestra estenivel de convergencia. Si bien la

amplia mayoría de las lenguas humanas poseen una sintaxis de númerobasada en una combinación de sumas y productos, vista en detalle, ladiversidaddelossistemasdenumeraciónesllamativa.Enprimerlugar,seutilizaunavariedaddebases.EneldistritodeQueensland, enAustralia,algunosaborígenestodavíautilizanlabase2.Elnúmero1es«ganar»,2es«burla»,3es«burla-ganar»y4es«burla-burla».EnlaantiguaSumeria,porcontraste,seutilizabansimultáneamentelasbases10,20y60.Entonces,elnúmero5566seexpresabacomosàr(3600)ges-u-es(60×10×3)ges-min(60 × 2) nusmin (20 × 2) às (6)” o3600+60×10×3+60×2+20×2+6=5566.Labase20tambiéntenía sus adeptos: regía las lenguas azteca, maya y gaélica, y se utilizatodavíaenelesquimalyelyoruba.Inclusosepuedenencontrarresabiosdeella en el francés, en el que 80 es quatre-vingt (cuatro veintes), y en elinglésisabelino,queconfrecuenciacontabaenscores(veintenas).Si bien en nuestros días la base 10 rige lamayoría de las lenguas, la

sintaxisdelosnúmerosesaltamentevariable.Elpremioalasimplicidadselo llevan las lenguas asiáticas como el chino, cuya gramática es el reflejoperfectodeunaestructuradecimal.Enlenguascomoesassolohaynuevenombresparalosnúmerosdel1al9(yī,èr,sān,sì,wǔ,liù,qī,bāyjiŭ),alosqueunodeberíaagregarlescuatromultiplicadores10(shí),100(băi),1000(qiān)y10000(wàn).Paranombrarunnúmero,solosedebeleersudescomposiciónenbase10.Entonces,13esshísān(«diez,tres»),27èrshíqī(dosdiez,siete)y92547jiŭwànèrqiānwǔbăisìshíqī(«nuevediezmil,dosmil,cincocien,cuatrodiez,siete»).Este formalismo elegante contrasta bruscamente con las veintinueve

palabrasquesonnecesariasparaexpresarlosmismosnúmeroseninglésoen francés. En estas lenguas—y algo similar ocurre en el español—, losnúmeros del 11 al 19 y las decenas del 20 al 90 se denotan conpalabrasespeciales (once, doce, veinte, treinta, etc.), cuya estructura no espredecible a partir de la de otros numerales. Ni que hablar de laspeculiaridades aúnmás curiosas del francés, con sus incómodas palabrassoixante-dix(sesenta-diez:70)yquatre-vingt-dix(cuatro-veinte-diez:90).El francés también tiene reglas confusas de elisión y conjunción queconciernenalnúmero1:sedicevingt-et-un(veintiuno)enlugardevingt-un;sinembargo,22esvingt-deuxenvezdevingt-et-deux,y81esquatre-

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vingt-un,noquatre-vingt-et-un.Delmismomodo,100escentenlugardeuncent.Otraexcentricidadeslainversiónsistemáticadelasdecenasylasunidades en las lenguas germánicas, en las que 432 se convierte envierhundertzweiunddreissig(cuatrocientosdosytreinta).¿Cuálessonlasconsecuenciasprácticasdeestagenerosadiversidadde

lenguas numéricas? ¿Todas las lenguas son equivalentes? ¿O algunasnotaciones numéricas están mejor adaptadas a las características denuestroscerebros?¿Determinadospaíses,por su sistemadenumeración,comienzanconunaventajaenmatemática?Estenoesuntematrivialenelperíodo actual de una competitividad internacional feroz, en la que lahabilidadparalosnúmerosesunfactorclaveparaeléxito.Comoadultos,somosprácticamente inconscientesde la complejidaddenuestro sistemade numeración. Años de entrenamiento nos han domesticado para queaceptemos que 76 debería pronunciarse «setenta y seis» en lugar de, porejemplo,«sietediezseis»o«sesenta-dieciséis».Entonces,yanopodemoscomparar de forma objetiva nuestra lengua con otras. Son necesariosrigurosos experimentos psicológicos para medir la eficacia relativa dedistintos sistemas de numeración. Para nuestra sorpresa, estosexperimentos demuestran reiteradamente la inferioridad del inglés, elespañoloelfrancésrespectodelaslenguasasiáticas.

Loscostosdenohablarchino

Leanlasiguientelistaenvozalta:4,8,5,3,9,7,6.Ahora,cierrenlosojose intenten recordar los números durante veinte segundos antes derecitarlos otra vez. Si su lenguamaterna es el inglés, tienen un 50%deposibilidades de fracasar. Si son chinos, en cambio, el éxito estáprácticamente garantizado. De hecho, el span, es decir la capacidad dememoria, en China se eleva hasta aproximadamente nueve dígitos,mientrasque esde solo siete, enpromedio, en inglés[19]. ¿Porqué sedaesta diferencia? ¿Los hablantes de chino son más inteligentes?Probablementenolosean,peroocurrequesusnombresdenúmerossonmás breves. Cuando intentamos recordar una lista de dígitos,generalmentelaalmacenamosutilizandouncircuitodememoriaverbaldetipo auditivo (por eso resulta difícilmemorizar números cuyosnombressuenan parecido, como five y nine o seven y eleven en inglés). Esta

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memoria puede almacenar la información solo dos segundos,aproximadamente, y nos fuerza a repetir mentalmente las palabras pararefrescarlas. El alcance de nuestra memoria, entonces, está determinadopor la cantidad de números que podemos repetir en menos de dossegundos.Losquerecitanmásrápidotienenmejormemoria.Los numerales chinos son notablemente breves. La mayor parte se

puedeemitirenmenosdeuncuartodesegundo(porejemplo,4essìy7esqī). Sus equivalentes en inglés —four, seven— o español —«cuatro»,«siete»— son más largos: pronunciarlos lleva cerca de un tercio desegundo. La diferencia de memoria entre el inglés y el chinoaparentemente se debe a esta diferencia en extensión. En lenguas tandiversas como el galés, el árabe, el chino, el inglés y el hebreo, hay unacorrelaciónsostenidaentreel tiemporequeridoparapronunciarnúmerosen la lenguacorrespondientey la amplituddememoriade sushablantes.Enestaárea,elpremioalaeficaciaesparaeldialectocantonésdelchino,cuyabrevedadpermitea losresidentesdeHongKongdispararelalcancedememoriahastalosdiezdígitos,aproximadamente.En resumen, el «mágico número 7», que se anuncia con tanta

frecuencia como un parámetro fijo de la memoria humana, no es unaconstante universal. Esmeramente el valor estándar para la amplitud dedígitosenungrupoespecialdeHomosapiens enelquecasualmenteestácentrado más del 90 % de los estudios psicológicos; ¡los estudiantesuniversitariosnorteamericanos!Laamplituddememoriadedígitosesunvalorquedependedelaculturaydelentrenamiento,ynosepuedepensarqueconstituyeunindicadorfijodetamañodememoria.Susvariacionesdeunaculturaaotrasugierenquelasnotacionesnuméricasasiáticas,comoelchino, se recuerdanconmás facilidadquenuestros sistemasoccidentalesdenumerales.Si ustedes, como yo, forman parte de aquellos pobrecitos que no

hablanunapalabradechino,nopierdanlaesperanza.Hayvariostrucosafindeaumentarsumemoriapara losdígitos, inclusoparaquieneshablaninglés, francés o español. En primer lugar, siempre memoricen losnúmerosutilizandolasecuenciadepalabrasmáscortaposible.Unnúmerolargo como 83 412 suele recordarsemejor si se lo recita dígito a dígito,como ocurre con los números de teléfono. En segundo lugar, intentenagrupar los dígitos en pequeños bloques de dos o tres. Su memoria detrabajovaasaltarhastalosdocedígitos,aproximadamente,silosagrupanencuatrobloquesdetres.

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Untercer trucoes llevarelnúmeroquedeberecordarseaunterrenoquenos resulte familiar.Busquen series crecientesodecrecientes, fechasfamiliares,códigospostales,ocualquierotrainformaciónqueyaconozcan.Si pueden recodificar el número utilizando solo unos pocos ítems bienconocidos, deberían recordarlos sin dificultad. Luego de doscientascincuenta horas de entrenamiento bajo la orientación de los psicólogosWilliam Chase y K. Anders Ericsson (1981), ¡un estudianteestadounidense fue capaz de extender su amplitud de memoria hasta laextraordinaria cifradeochentadígitosgracias a estemétodode registro!Eraun excelente corredorde largadistancia yhabía compiladouna granbasededatosmentaldetiemposrécorddecarreras.Entonces,almacenabalos ochenta dígitos que debía recordar separándolos en grupos de tres ocuatro,comounaseriedetiemposrécordenlamemoriadelargoplazo.Siguiendo estas observaciones, ustedes no deberían tener dificultades

pararecordarlosnúmerosdeteléfono.Pero,amenosqueseanchinos,lasmalasnoticias recién comienzan.Losnumerales tambiéndesempeñanunpapelcrucialparacontarycalcular,yaquíotravezsepuedereprobaralaslenguas con los nombres de números más largos. Por ejemplo, enpromedio, a un alumnogalés le lleva un segundoymediomásque a unalumno inglés sumar 134 + 88. Para una edad y una educaciónequivalentes, esta diferencia parece deberse únicamente al tiempo quetoma pronunciar el problema y los resultados intermedios: los númerosgalesessonconsiderablementemáslargosquelosdelinglés.Elinglés,sinembargo, claramente no es la lengua óptima en este sentido: variosexperimentos han demostrado que los niños japoneses y chinos calculanmuchomásrápidoquesusparesamericanos.Porsupuesto,puedeserdifícilsepararlosefectosdelalenguadelosde

la educación, el númerode horas en la escuela, la presiónparental, y asísucesivamente (de hecho, existe evidencia de que la organización de lasclases de matemática japonesas es superior en muchos sentidos a la delsistema escolar estadounidense estándar). Es posible, sin embargo,neutralizar el efecto de muchas variables de este tipo si se estudia laadquisicióndel lenguaje enniños que todavía nohan ido a la escuela.Atodoslosniñosselosconfrontaconladesafiantetareadedescubrir,porsímismos,el léxicoy lagramáticadesu lenguamaterna.¿Cómoadquierenlasreglasdelfrancésydelalemánporunameraexposiciónafrasescomosoixante-quinze o fünf und siebzig? ¿Y cómo puede un niño francésdescubrir los significados dedeux cents (doscientos) o cent deux (ciento

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dos)? Incluso si nace ya siendo un lingüista y si, como postulanNoamChomskyy StevenPinker, el cerebro viene equipado conunórganodellenguajequehacequeaprenderlasreglaslingüísticasmásabstrusasseaunacuestióndeinstinto,lainduccióndelasreglasdeformacióndenúmerosseencuentramuylejosdeserinstantánea,yvaríadeunalenguaaotra.Enchino,porejemplo,unavezquesehanaprendidolaspalabraspara

númeroshastael10, lasotrassegeneranfácilmenteconunareglasimple(11=decenayuno,12=decenaydos…,20=dosdecenas,21=dosdecenas y uno, etc.). En cambio, los niños que hablan inglés o españoltienen que aprender de memoria no solo los números del 1 al 10, sinotambiéndel11al19,ytambiénlosdelasdecenasdel20al90.Porsifuerapoco,debendescubrirellossolos lasmúltiplesreglasde lasintaxisde losnúmerosqueespecifican,porejemplo,que«veinteycuarenta»o«treintayonce»sonsecuenciasinválidasdepalabrasparanúmeros.En un experimento fascinante,KevinMiller y sus colegas pidieron a

grupos parejos de niños norteamericanos y chinos que recitaran lasecuencia de los números (Miller, Smith, Zhu y Zhang, 1995).Sorprendentemente, la diferencia lingüística hacía que los niñosoccidentales estuvieran hasta un año retrasados respecto de sus paresorientales. A los 4 años, los niños chinos ya contaban hasta 40 enpromedio. A la misma edad, sus colegas de América contaban, condificultad,hasta15.Les llevóunañoalcanzara loschinosy llegara40o50.Nosoloeranmáslentosengeneralqueloschinos;hastaelnúmero12,ambos grupos estaban parejos. Pero cuando llegaban a los númerosespeciales thirteen (trece)y fourteen (catorce), losniñosnorteamericanosrepentinamente tropezaban, mientras que los chinos, ayudados por laconstante regularidad de la lengua, seguían adelante con muchas menosdificultades(figura4.3).ElexperimentodeMillermuestra,sinlugaradudas,quelaopacidadde

un sistema de numeración impone una carga importante para laadquisición.Otra prueba surge del análisis de los errores al contar. ¿Nohemos oído a los niños recitar «veintiocho, veintinueve, veintidiez,veintionce», y así sucesivamente? Este tipo de errores gramaticales, querevelanunapobreinduccióndelasreglasdelasintaxisdelosnúmeros,soncompletamentedesconocidosenlospaísesasiáticos(Fuson,1988).

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Figura4.3.KevinMillerysuscolegassolicitaronagruposdeniñosestadounidensesychinosquerecitaranlosnúmeroshastadondepudieran.Aunaedadequiparada,losniñoschinosllegabanmuchomáslejosquesusparesnorteamericanos(adaptadodeMilleryotros,1995;©Cambridge

UniversityPress).

Elimpactonegativodelossistemasoccidentalesdenumeraciónverbalseprolonga en los siguientes añosde la escolaridad.Laorganizaciónde losnumerales chinos hablados es paralela a la estructura de los númerosarábigos escritos. Por ende, los niños chinos tienen muchas menosdificultadesque sushomólogosoccidentalespara aprender losprincipiosdelvalorposicionaldebase10(MilleryStigler,1987).Cuandoselespideque formen el número 25 utilizando algunos cubos para las unidades yalgunas barras compuestas de diez cubos para las decenas, los alumnoschinosseleccionansinproblemasdosbarrasdediezycincounidades, loque sugiere que comprenden la base 10. A la misma edad, los niñosnorteamericanos se comportan de forma diferente. La mayoría de elloscuenta con mucho trabajo veinticinco unidades, y por lo tanto noaprovechaelatajoquelesproveenlosgruposdediez.Peortodavía:siunolesdaunabarraquetieneveinteunidades,lausanconmásfrecuenciaquedosbarrasdediez.Estosignificaqueparecenprestaratencióna laformasuperficialdelapalabra«veinticinco»,mientrasqueloschinosyadominansu estructura más profunda de base 10. Esta base es un concepto

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transparenteenlaslenguasasiáticas,perocausagrandesdoloresdecabezaalosniñosoccidentales.Estosdescubrimientosexperimentalesimponenunaconclusiónfuerte:lossistemasdenumeraciónverbaloccidentales sonmenoseficientesque losdelaslenguasasiáticasenvariosaspectos:sonmásdifícilesderetenerenlamemoria de corto plazo, tornan los cálculos más lentos, y dificultan laadquisición de las habilidades para contar y de la base 10. La seleccióncultural debería haber eliminado hacemucho tiempo construcciones tanabsurdas como la del francés quatre-vingt-dix-sept. Por desgracia, losesfuerzosdenormalizacióndenuestrasescuelasyacademiaslehanpuestounatrabaalaevoluciónnaturaldelaslenguas.Silosniñospudieranvotar,probablementeestaríanafavordeunareformaextendidadelasnotacionesnuméricas y aceptarían la adopción delmodelo chino. ¿Una revisión deeste tipo sería menos utópica que las lamentables reformas de laortografía? Por lo menos, tenemos un ejemplo histórico de una granreforma lingüística exitosa. A principios del siglo XX, los galeses, porpropiavoluntad,dejaronde ladosuviejosistemadenumeración,queeraincluso más complejo que el francés actual, y lo reemplazaron con unanotaciónsimplificadabastantesimilaraladelchino.Desafortunadamente,el cambio de los galeses los llevó a otro error: en su idioma las nuevaspalabrasquedesignannúmeros—aunqueregularesdesdeelpuntodevistagramaticaly,poreso,fácilesdeaprender—¡sontanlargasqueresultanunsuplicio para lamemoria! Los experimentos psicológicos probablementedictaríanlaadopcióndeunsistemadenumeraciónbienprobadocomoeldel chinomandarín,pero los interesesnacionaleshacenque esta seaunaperspectivadistanteeimprobable.

Aprenderaetiquetarcantidades

Adquirir un léxico y una sintaxis para los números no lo es todo. Noresulta particularmente útil saber que «doscientos treinta» es una fraseválidamientrasque«dostreintaycien»noloes.Porsobretodaslascosas,losniñosdebenaprenderloquesignificanestosnúmeros,lacantidadquerepresentan. El poder de los sistemas de numeración se origina en sucapacidadparaestablecervínculosprecisosentrelossímboloslingüísticosy las cantidades que expresan. Durante la infancia alguien puede recitar

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muybienlosnúmeroshastael100,peroestoessolorepetircomounloro,amenosqueéloellasepanaquémagnitudeshacenreferencia.Entonces,¿cómo aprenden los niños los significados de las palabras que suenan«uno»,«seis»u«ocho»?Un primer problema básico al que se enfrenta un niño es reconocer

queestaspalabrasdesignannúmerosantesquecolores,tamaños,formasocualquier otra propiedad del ambiente. Pensemos en las frases «las tresovejas»y«lasgrandesovejas».Unniñoquelasoyeporprimeravez,yquenoconoceelsignificadodelaspalabras«tres»y«grande»,notieneformadedarsecuentadeque«grande»serefierealtamañofísicodecadaoveja,mientrasque«tres»hacereferenciaalcardinaldelconjuntodeovejas.A la edad de 2 años y medio, los niños norteamericanos ya pueden

diferenciar entre las palabras para números y otros adjetivos. Hayexperimentosqueasí lodemuestran(Wynn,1990,1992b).Cuandoselesdalaopciónentrelaimagendeunaúnicaovejarojayotraquemuestratresovejas azules, los niños señalan de inmediato a la primera cuando se lesdice «muéstrame la oveja roja» y a la segunda cuando se les dice«muéstrame las tres ovejas»[20]. Cuando llegan a esa edad, ya saben que«tres» se aplica a un conjunto de ítems más que a un solo ítem. A esamisma edad, los niños también ubican en el orden correcto las palabraspara números y los otros adjetivos: dicen «tres pequeñas ovejas», peronunca«pequeñastresovejas»[21].Desdetemprano,entonces,sabenquelaspalabras que representan números pertenecen a una categoría especial,distintadeladeotraspalabras.¿Cómo descubrieron esto? Probablemente, aprovecharon todas las

clavesdisponibles,seangramaticalesosemánticas.Deporsí,lagramáticapuedesuponerunaayudainvaluable.Supongamosqueunamadrelediceasubebé«mira,Charlie,tresperritos».ElpequeñoCharliepodráinferirquela palabra «tres» es un tipo especial de adjetivo, porque otros adjetivoscomo«lindo»siempreseexpresanconunartículo:«Loslindosperritos».Elhechodequelapalabra«tres»norequieraunartículopuedesugerirque«tres»seaplicaatodoelconjuntodeperritos;así,puedeserunnúmero,ouncuantificadorcomo«algunos»o«varios».Porsupuesto,unrazonamientodeestetiponoesdemuchaayudapara

determinarlacantidadexactaalaquehacereferencialapalabra«tres».Dehecho, parece que durante un año completo, los niños se dan cuenta deque la palabra «tres» es un número sin saber a qué valor exacto hacereferencia. Cuando se les dice «dame tres juguetes», la mayoría

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simplemente toma una pila sin importar el número preciso. Si uno lespermiteelegirentreungrupodedosyungrupodetresjuguetes,tambiénresponden al azar, aunquenunca seleccionanuna tarjeta quemuestre unúnicoobjeto.Sabenrecitar laspalabrasparanúmeros,ysientenqueestaspalabras están relacionadas con la cantidad, pero ignoran su significadojusto(Wynn,1990,1992b,SarneckayCarey,2008).Las claves semánticas probablemente sean de una importancia crítica

parasuperarestaetapayparadeterminarlacantidadexactaquesequieresignificarconlapalabra«tres».Conunpocodesuerte,elpequeñoCharlieverá los tres pequeños perros que su mamá le señalaba. Su sistemaperceptual,cuyasofisticaciónhemosexpuestoenelcapítulo2,puede,así,analizar la escena e identificar la presencia de varios animales, de untamaño pequeño, ruidosos, movedizos, y de un número cercano a tres.(Desdeluego,conestonoquierodecirqueCharlieyasepaquelapalabra«tres»seaplicaaestanumerosidad;solomencionoqueelacumuladornoverbalinternodeCharliesehallenadohastaelpuntoqueestípicodelosconjuntosdetresítems).Básicamente, todo lo que tiene que hacer Charlie, entonces, es

correlacionarestas representacionespreverbalescon laspalabrasqueoye.Despuésdepocassemanasopocosmeses,deberíadarsecuentadequelapalabra «tres» no siempre se emite en presencia de cosas pequeñas, deanimales,demovimiento,ode ruido; encambio, semenciona amenudocuando su acumuladormental aproximativo está en un estado particularqueacompañalapresenciadetres ítems.Deestemodo, lascorrelacionesentre las palabras para números y sus representaciones numéricas noverbalesanteriorespuedenayudarloadeterminarque«tres»significa3.Este proceso de correlación puede acelerarse con el «principio de

contraste» que estipula que las palabras que suenan parecido tienendiferentessignificados.SiCharlieyaconoceelsignificadode laspalabras«perro»y«pequeño»,elprincipiodecontraste legarantizaque lapalabradesconocida«tres»nopuedehacerreferenciaal tamañoo la identidaddelos animales. Reducir el conjunto de hipótesis le permite descubrir másrápidoaúnqueestapalabraserefierealacantidad3.

Númerosredondos,númerosexactos

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Unavezquelosniñoshanadquiridoelsignificadoexactode laspalabrasparalosnúmeros,aúntienenquecomprenderalgunasdelasconvencionesque rigen su uso en la lengua. Una de ellas es la distinción entre losnúmerosredondosy losnúmerosexactos.Permítanmecomenzarconunchiste.En el museo de historia natural, un visitante pregunta al custodio:

«¿Cuántos años tiene ese dinosaurio que está allí?». «Setenta millonestreintaysieteaños»eslarespuesta.Comoelvisitantesemaravillaconlaprecisióndelafecha,elcustodioexplica:«Trabajoaquídesdehacetreintay siete años, y cuando llegué me dijeron que tenía setenta millones deaños».LewisCarroll,conocidoporsusingeniososjuegosdepalabrasbasados

en la lógica y lamatemática, amenudo condimentaba sus relatos con el«sinsentidonumérico».AquítienenunejemplodesupococonocidolibroLaconclusióndeSilviayBruno:

—Nomeinterrumpan—dijoBrunocuandollegamos—.¡Estoycontandoloscerdosdelcampo!—¿Cuántoshay?—pregunté.—Cercademilycuatro—señalóBruno.—Querrásdecir«cercademil»—locorrigióSilvia—.Nosirvedenadadecir«ycuatro»:¡nopuedesestarsegurodeesoscuatro!—¡Estás tan equivocada como siempre! —exclamóBruno, triunfal—. Justo de esos cuatro puedo estarseguro¡porqueestánaquí,comiendobajolaventana!¡Delosmilnoestoyperr-fecc-ta-menn-teseguro!

¿Por qué estos cambios suenan excéntricos? Porque violan un principioimplícitoyuniversalquerigeelusodelosnumerales.Elprincipioestipulaque algunos números, llamados «números redondos», pueden hacerreferenciaaunacantidadaproximada,mientrasqueelrestonecesariamentetieneunsignificadoexactoypreciso.Cuandounodicequeundinosauriotienesetentamillonesdeañosdeedad,implícitamentedaaentenderqueelmargendevariacióndeesacifraesdeunadecenademillonesdeaños.Lareglaesquelaprecisióndeunnúmerosedaporsuúltimodígitodistintode cero desde la derecha. Si sostengo que la población de la ciudad deMéxico es de treinta ynuevemillones dehabitantes, quierodecir que el

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número es correcto dentro de un rango de un millón más o menos,mientrasquesidoyunacifrade39452000,admitodeformaimplícitaqueescorrectoagregarorestaralrededordemil.Esta convención a veces lleva a situaciones paradójicas. Si, por

casualidad,unacantidadprecisacaeexactamenteenunnúmeroredondo,no basta con afirmarlo. Uno debe agregar un adverbio o una locuciónsuplementariosqueexplicitenesacualidad:porejemplo,«aldíadehoy,lacapital de México tiene exactamente treinta y nueve millones dehabitantes».Porelmismomotivo,laoración«diecinueveesmásomenosveinte» es aceptable, mientras que no lo es «veinte es más o menosdiecinueve».La frase «másomenosdiecinueve» es una contradicción enlos términos, pues ¿por qué utilizar un número exacto como 19 si unoquierehacerunaestimación?Todas las lenguasdelmundoparecenhaberseleccionadounconjunto

de números redondos. ¿Por qué esta universalidad? Probablemente,porquetodosloshumanoscompartenelmismomecanismomental,yesolos enfrenta a la dificultadde conceptualizar grandes cantidades.Cuantomásgrandeesunnúmero,menosprecisaesnuestrarepresentaciónmentalde él. La lengua, si quiere ser un vehículo fiel del pensamiento, debeincorporar dispositivos que expresen esta creciente incertidumbre. Losnúmeros redondos son este dispositivo. Convencionalmente, hacenreferencia a cantidades aproximadas. La oración «Hay veinte estudiantesen este cuarto» es verdadera incluso si hay dieciocho o veintidósestudiantes,porquelapalabra«veinte»puedehacerreferenciaaunaregiónextendida de la recta numérica. Por esemismomotivo, los hablantes deespañol consideran muy natural que «quince días» signifique «dossemanas»,aunqueelnúmeroexactodeberíaser14.La aproximación es tan importante para nuestra vida mental que

disponemos de muchos otros mecanismos lingüísticos para expresarla.Todaslaslenguasposeenunléxicoricoenexpresionesparadesignarvariosgrados de incertidumbre numérica: «más o menos», «cerca de», «circa»,«casi», «aproximadamente», «apenas», «unos», etc. La mayoría de laslenguas tambiénha adoptadouna interesante construcciónen laquedosnúmeros yuxtapuestos, a menudo enlazados por la conjunción «o»,expresan un intervalo de confianza: dos o tres libros, cinco o diezpersonas, un niño de 12 o 15 años, trescientos o trescientos cincuentadólares. Esta construcción nos permite comunicar no solo una cantidadaproximada,sinotambiénelgradodeprecisiónqueseledeberíaadjudicar.

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Entonces, la misma tendencia central se puede expresar con unaincertidumbrecadavezmayordiciendo«diezuonce»,«diezodoce»,«diezoquince»,«diezoveinte».Un análisis lingüístico de Thijs Pollmann y Carel Jansen (1996)

muestraquelasconstruccionesdedosnúmerossiguendeterminadasreglasimplícitas. No todos los intervalos son igualmente aceptables. Por lomenosunode losnúmerosdebeser redondo:unopuededecir«veinteoveinticinco dólares», pero no «veintiún o veintiséis dólares». El otronúmero debe ser de un orden demagnitud similar: «diez omil dólares»suena, en efecto, muy extraño. Otra cita de Lewis Carroll resultailustrativa:

—¿Hasta dónde han llegado, querida? —persistió lajovendama.Silviaparecíadesconcertada.—Unamillaodos,creo—dijodubitativa.—Unamillaotres—dijoBruno.—No deberías decir «una milla o tres» —lo corrigióSilvia.Lajovendamaasintióenseñaldeaprobación.—Silviatienenopocarazón.Noesusualdecir«unamillaotres».—Lo sería, si lo dijéramos bastante a menudo —dijoBruno.

Brunoestáequivocado:«unamillaotres»nuncasonaríabien,porqueviolalas reglas básicas de la construcción de dos números. Estas reglas soncomprensibles si uno tiene en cuenta qué representaciones intentamoscomunicar: intervalos confusos en una recta numérica mental. Cuandodecimos «veinte, veinticinco dólares» en realidad queremos decir«determinadoestadoconfusodemiacumuladormental,querondael20ypresentaunavarianzadeaproximadamente5».Nielintervalode21a26niel que va de 10 a 1000 o de 1 a 3 son estados posibles del acumulador,porqueelprimeroesdemasiadopreciso,mientrasquelosúltimosdossondemasiadoimprecisos.

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¿Porquéalgunosnumeralessonmásfrecuentesqueotros?

¿Lesgustaríahacerunaapuesta?Abranellibroalazaryanotenlaprimeracifraqueencuentren.Sies4,5,6,7,8o9,ustedesganandiezdólares.Sies1,2o3,yoganoesacantidad.Lamayoríadelaspersonasaceptaríanestaapuesta,porquecreenquelasprobabilidadesdeganarsonde6:3asufavor.Y,sinembargo,estánpredestinadosaperder.Locreanono,¡losnúmeros1,2y3tienencercadedosvecesmásprobabilidadesdeaparecerenletraimpresa que todos los otros combinados! (Benford, 1938, Dehaene yMehler,1992).Este es un descubrimiento en abierta contradicción con el sentido

común, porque los nueve dígitos parecen equivalentes e intercambiables.Pero nos olvidamos de que los números que aparecen impresos no seextraendeungeneradordenúmerosalazar.Cadaunodeellosrepresentaun intento de transmitir algo de información numérica de un cerebrohumanoaotro.Entonces,lafrecuenciaconqueseutilizacadanúmeroestádeterminada en parte por la facilidad con la que nuestro cerebro puederepresentar la cantidad correspondiente. La precisión decreciente con laque los números se representan mentalmente no solo tiene influenciasobrelapercepción,sinotambiénsobrelaproduccióndenumerales.Junto con JacquesMehler, hemos buscado sistemáticamente palabras

para números en las tablas de frecuencia de palabras, que releva lasaparicionesdeunapalabradada(porejemplo,«cinco»)entextosescritosohablados. Esas tablas están disponibles en una gran variedad de lenguas,desde el francés hasta el japonés, el inglés, el holandés, el catalán, elespañol,einclusoelcanarés,unalenguadrávidahabladaenSriLankayelsur de India. En todas estas lenguas, a pesar de la enorme diversidadcultural,lingüísticaygeográfica,hemosobservadolosmismosresultados:lafrecuenciadelosnumeralesdisminuyesistemáticamenteconeltamañodelnúmero(DehaeneyMehler,1992).En francés, por ejemplo, la palabra un aparece una vez cada setenta

palabras, aproximadamente; la palabra deux, una vez cada seiscientas; lapalabratrois,unavezcadamilsetecientaspalabras,yasísucesivamente.Lafrecuencia disminuye del 1 al 9, pero también del 11 al 19, y para lasdecenas, del 10 al 90. Una disminución similar se observa entre losnumeralesescritosohablados,entrelosnúmerosarábigos,einclusoentre

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losordinalesde «primero» a «noveno».Estova acompañadopor algunasdesviaciones que también son universales: la muy baja frecuencia de lapalabra«cero»ylascotaselevadaspara10,12,15,20,50y100(figura4.4).Es notable cómo regularidades translingüísticas de este tipo persistenfrente a pronunciadas diferencias en la forma en que se expresan losnúmeros,comolaausenciadepalabrasespecialesparalosnúmerosentreel11 y el 19 en japonés, la inversión de las decenas y las unidades en elholandés,olaoscurabase20delaspalabrasfrancesascorrespondientesalosnúmeros70,80y90.

Figura4.4.Entodaslaslenguas,lafrecuenciaconlaqueaparecenescritasopronunciadaslaspalabrasparanúmerosdecrececonlamagnitud,másalládealgunosaumentosfocalizadosparalosnúmerosredondos10,12,15,20,50y100.Porejemplo,leemosuoímoslapalabra«dos»conunafrecuenciaprácticamentediezvecesmayorqueladelapalabra«nueve»(tomadodeDehaeney

Mehler,1992).

Sostengoque,otravez,estasregularidadeslingüísticasreflejanlaformaenque nuestro cerebro representa las cantidades numéricas. Sin embargo,

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antes de dar por cierta esta conclusión, deben examinarse variasexplicacionesalternativas.Laambigüedadpuedeserunorigenposibleparaeste descubrimiento. En muchas lenguas, la palabra para «uno» esindiferenciable del artículo indefinido «un». Esto contribuyeprobablemente a la elevada frecuencia de la palabra un en francés o encastellano,peroobviamentenoeninglés,dondelapalabraonesolopuedereferirseaunnúmero.Laambigüedadtampocoesunproblemamásalláde«dos», y, sin embargo, la frecuencia disminuye notoriamente a partir deestepunto.Otrofactorquecontribuyeesnuestrapropensiónacontar,queimplica

quemuchosobjetosquenosrodeanseenumerendesdeel1.Encualquierciudad, haymás casas que tienen el número1 que las que tienen el 100,básicamenteporquetodaslascallesempiezanenelnúmero1,peroalgunasno llegan al 100. Otra vez, este efecto con seguridad contribuye a lafrecuencia elevada de los numerales pequeños, pero un cálculo rápidomuestraque,porsísolo,nopuededarcuentadelacaídaexponencialdelafrecuenciadelosnúmeros,nisiquieraenelintervaloquevade1a9.También deberíamos tener en cuenta las explicaciones puramente

matemáticas del efecto. Pocas personas conocen la siguiente leymatemáticamuy poco intuitiva: si se toman varios números al azar deprácticamente cualquier distribución regular, estos comenzarán másfrecuentementeconel1queconel9.Estefenómenosingularsellama«leydeBenford»,debidoaFrankBenford(1938),unfísicoestadounidensequerealizó una observación curiosa: en la biblioteca de su universidad, lasprimeras páginas de las tablas de logaritmos estaban más ajadas que lasúltimas. Ahora bien, con seguridad las personas no leían las tablas delogaritmoscomounamalanovela,yporesolasabandonabanenlamitad.¿Porqué sus colegas teníanque consultar el comienzode la tablamás amenudoque el final? ¿Podía ser que losnúmerospequeños seutilizarancon mayor frecuencia que los grandes? Para su propio desconcierto,Benforddescubrióquelosnúmerosdetodoslosorígenes—lassuperficiesde los lagos norteamericanos, los domicilios de sus colegas, las raícescuadradasde los enteros, ydemás—teníanprácticamente seis vecesmásprobabilidadesdecomenzarconeldígito1queconel9.Cercadel31%delosnúmeroscomenzabaconel1; el19%,conel2;el12%,conel3,yesosíndicesdisminuíanconcadanúmerosucesivo.Laprobabilidaddequeun número comenzara con el dígito n se predecía conmucha exactitudgraciasalafórmulaP(n)=log10(n+1)−log10n.

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Elorigenprecisodeestaleytodavíanosecomprendeensutotalidad,pero algo es cierto: esta es una ley puramente formal, debida solo a laestructuragramaticaldenuestrasnotacionesnuméricas.Notienerelaciónalguna con la psicología: una computadora la repite cuando produce (oinclusoescribe)númerosalazarennotaciónarábiga.Laúnicarestricciónpareceserquelosnúmerossetomendeunadistribuciónsuficientementepareja, extendida por varios órdenes de magnitud: por ejemplo, de 1 a10000.La leydeBenfordconseguridadcontribuyeaamplificar lafrecuencia

de los números pequeños en la lengua natural. Sin embargo, su poderexplicativoeslimitado.Laleyseaplicasoloalafrecuenciadeldígitoqueseencuentramás a la izquierda en un numeral de varios dígitos, y de estemodonoinfluyeenlafrecuenciaconquenosreferimosalascantidades1a9. Pero las mediciones que realizamos con Jacques Mehler demuestran,con bastante claridad, que al cerebro humano le parece más importantehablar de la cantidad 1 que de la cantidad 9. Al contrario de la ley deBenford,estehechonotienerelaciónalgunaconlaproduccióndegrandesnúmerosdevariascifras.Siloquenosllevaaproducirnúmerospequeñosnoeslagramáticade

las notaciones numéricas, ¿podría ser lamismaMadreNaturaleza? ¿Losconjuntos pequeños de objetos no son extremadamente frecuentes ennuestro ambiente? Para tomar solo un ejemplo, ¡hablar acerca de lacantidad de hijos que uno tiene hoy en día solo requiere números pordebajode3o4! Sin embargo, comoexplicacióngeneralde la frecuenciadecreciente de los numerales, esta respuesta está errada. Los filósofosGottlobFregeyW.V.O.Quinedemostraronhacemuchoque,desdeunpunto de vista objetivo, las numerosidades pequeñas no son másfrecuentes que las grandes en el ambiente que nos rodea (Frege, 1950,Quine, 1960). En cualquier situación, se puede enumerar una infinidadpotencial de cosas. ¿Por qué preferimos hablar deunmazo de cartas enlugar de cincuenta y dos cartas? La noción de que el mundo estáconstruidoensumayoríaporconjuntospequeñosesunailusiónquenosimpusieronnuestrossistemasperceptualycognitivo.Sin importar loquepiensenuestrocerebro,lanaturalezanoestáhechadeesemodo.Para probar esta idea sin recurrir a argumentos filosóficos,

consideremos la distribución de las palabras que contienen un prefijonumérico, como «bicicleta» o «triángulo». Del mismo modo en que lapalabra «dos» es más frecuente que «tres», hay más palabras que

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comienzan con el prefijobi- (odi-, oduo-) que con tri-.Es importantedestacarqueestocontinúasiendoverdaderoinclusoenáreasenlasquesepuededecirquehaymuypocooningúnsesgoambientalparalosnúmerospequeños. Pensemos en el tiempo. Mi diccionario de inglés cuenta concatorce palabras temporales con el prefijo bi- o di- (desde biannual,«bianual»,hastadiestrual,paralosciclosreproductivosdelganado),cincopalabras con el prefijo tri- (desde triennial, «trianual», hasta triweekly,«trisemanal»), cincoconunprefijoqueexpresa «cuatro»,y solodosqueexpresan «cinco» (las infrecuentes quinquennial, «quinquenal» yquinquennium, «quinquenio»). Entonces, disminuye la cantidad depalabras a medida que expresan números más grandes. ¿Podría deberseestoaunsesgoambiental?Enelmundonatural,loseventosnoserepitencon particular frecuencia en períodos de dos meses. No, el culpable esnuestro cerebro, que les presta más atención a los eventos cuando serefierenanúmerospequeñosoredondos.Sipuedeapareceruna tendencia léxicapara losnúmerospequeñosen

ausenciadecualquier sesgoambiental, a la inversa,haysituacionesen lasqueunsesgoobjetivonolograincorporarsealléxico.Existenmuchosmásvehículos que tienen cuatro ruedas que vehículos con dos; sin embargotenemosunapalabramuy frecuentepara el último («bicicleta»), peronoparael anterior(¿«cuatriciclo»?).Las regularidadesnuméricasdelmundoparecen estar lexicalizadas solo si atañen a una numerosidad losuficientemente pequeña. Por ejemplo, tenemos palabras prefijadas connúmeroparaplantascontreshojas(«trifoliadas»,«trifolio»,«trébol»;trèfleenfrancés),peronoparalasmuchasotrasplantasofloresconunnúmerofijo, pero grande, de hojas o pétalos. Son escasas las palabras como lainglesa octopus que hacen referencia explícita a una gran numerosidadprecisa. Como último ejemplo, la Scolopendra morsitans, artrópodo conveintiún segmentos corporales y cuarenta y dos patas, ¡se llamavulgarmente«ciempiés»(cienpies)enespañol,centipedeeninglésymille-pattes (mil patas) en francés! Claramente, prestamos atención a lasregularidadesnuméricasdelanaturalezasoloenlamedidaenqueencajenconnuestrobagajecognitivo,sesgadohacialasnumerosidadespequeñasoredondas.El lenguaje humano está profundamente influido por una

representación no verbal de los números, que compartimos con losanimales y los bebés. Creo que esto, por sí solo, explica la universalreducción de la frecuencia de vocablos según el tamaño del número.

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Expresamos los números pequeños con mucha más asiduidad que losgrandesporquenuestrarectanuméricamentalrepresentalosnúmerosconuna precisión decreciente. Cuanto más grande es una cantidad, másconfusa es nuestra representación mental de ella, y menos frecuente lanecesidaddereferirnosaesacantidadexacta.Los números redondos son excepciones, porque pueden designar un

rangodemagnitudes.Poresolafrecuenciadelaspalabras«diez»,«doce»,«quince», «veinte» y «cien» es elevada en comparación con la de susvecinos. En definitiva, tanto la disminución global como los máximoslocalesenlafrecuenciadelosnúmerospuedenexplicarsesiseetiquetalarectanumérica interna (figura4.5).Amedidaque losniños adquierenellenguaje, aprenden a ponerle un nombre a cada rango de magnitudes.Descubren que la palabra «dos» se aplica a una percepción que conocendesde que nacieron; que «nueve» pertenece solo a la cantidad precisa 9,difícil de representar con exactitud, y además que las personas suelenutilizarlapalabra«diez»parahacerreferenciaacualquiercantidadsituadaenalgúnpuntoentre5y15.Asuvez,utilizan,entonces,laspalabras«dos»y«diez»másasiduamenteque«nueve»,loqueperpetúaladistribucióndelasfrecuenciasnuméricas.

Figura4.5.Lafrecuenciadecrecientedelosnumeralessedebealaorganizacióndenuestrarepresentaciónmentaldelascantidades.Cuantomásgrandeesunnúmero,menosprecisaes

nuestrarepresentaciónmentaldeél;entonces,conmenosfrecuencianecesitamosutilizarlapalabracorrespondiente.Enloqueconciernealosnúmerosredondoscomoel10,el12,el15oel20,semencionanconmayorfrecuenciaquelosotrosporquepuedenhacerreferenciaaunrangomás

ampliodecantidades(tomadodeDehaeneyMehler,1992).

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Un último detalle: nuestro estudio demostró que, en todas las lenguasoccidentales,lafrecuenciadelnúmero13eramásbajaqueladel12oel14.Estopareceserresultadodelasupersticiónde«ladocenadelfraile»,queleotorga un poder maléfico al número 13 y es tan habitual que muchosrascacielos no tienen un piso 13. En India, donde se desconoce estasuperstición, la frecuencia del número 13 no muestra ninguna caídanotable. Así, la frecuencia de los números parece reflejar de manerafidedignasuimportanciaennuestrasvidasmentales,inclusoensusdetallesmástriviales.

Elcerebro:motorymedidadelaevolucióncultural

Laorganizacióndelasnotacionesnuméricas¿puederevelaralgoacercadelarelaciónentre lamatemáticayelcerebro?Muestraque lossistemasdenumeración han tenido una evolución condicionada tanto por el cerebrocomoparaelcerebro.Porelcerebro,yaque lahistoriade lasnotacionesnuméricas está limitada claramente por la capacidad del cerebro humanoparainventarnuevosprincipiosdenumeración.Paraelcerebro,porquesehantransmitidodegeneraciónengeneraciónúnicamenteaquellosinventosnuméricosqueseadaptabanbienalascaracterísticasdelapercepciónylamemoria humanas, y que por este motivo aumentaban el potencial decálculodelahumanidad.Lahistoriade losnúmeros,obviamente,noestádirigida tansolopor

factoresaleatorios.Muestraregularidadesdiscerniblesquetrasciendenlosaspectosfortuitosdelahistoria.Atravésdefronterasyocéanos,hombresymujeresdetodosloscolores,culturasyreligioneshanreinventadoporlogeneral losmismos recursos de notación.También el principio del valorposicional se redescubrió, conun intervalode cerca de tresmil años, enMedioOriente,enelcontinenteamericano,enChinayenIndia.Entodaslas lenguas, la frecuencia disminuye con el tamaño de los números. Entodas las lenguas, además, se contrastan los números redondos con losnúmeros exactos. La explicación de estos sorprendentes paralelostransculturales no reside en dudosos intercambios entre civilizacionesremotas. Más bien, muy distintos pueblos descubrieron solucionessimilares porque se veían enfrentados a losmismos problemas y estabandotadosdelmismocerebropararesolverlos.

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Permítanme realizar un resumendel lento caminode la raza humanahacia la mayor eficacia numérica; un resumen que debe ser muyesquemático, dado que la historia en pocas ocasiones es lineal y algunasculturaspuedenhabersalteadovariospasos.

1. EvolucióndelanumeraciónoralPunto de partida. Representación mental de lascantidades numéricas, que compartimos con losanimales.Problema. ¿Cómo comunicar estas cantidadesmediantelalenguahablada?Solución. Permitir que las palabras «uno», «dos» y«tres»hagan referencia directa a las numerosidadessubitizadas1,2y3.Problema. ¿Cómo hacer referencia a los númerosmásgrandesque3?Solución.Imponerunacorrespondenciaunoaunocon las partes del cuerpo (12 = señalar el pechoizquierdo).Problema. ¿Cómo contar cuando las manos estánocupadas?Solución.Transformarlosnombresdelaspartesdelcuerpo en nombres de los números (12= «pechoizquierdo»).Problema. El conjunto de partes del cuerpo eslimitado, en contraste con una infinidad denúmeros.Solución. Inventar la sintaxis de los números(12=«dosmanosydosdedos»).Problema. ¿Cómo referirse a cantidadesaproximadas?Solución. Seleccionar un conjunto de «númerosredondos» e inventar la construcción de dospalabras(porejemplo,«diezodocepersonas»).

2. EvolucióndelanumeraciónescritaProblema. ¿Cómoconservaruna trazapermanentedelascantidades?Solución. Correspondencia uno a uno. Tallarmarcas en un hueso, madera, o algo por el estilo

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(7= ).Problema.Estarepresentaciónesdifícildeleer.Solución. Reagrupar las marcas (7 = ).Reemplazar algunos de estos grupos con un solosímbolo(7=VII).Problema. Los números grandes todavía exigen lautilización de muchos símbolos (por ejemplo,37=XXXVII).Punto muerto 1. Agregar aún más símbolos (porejemplo,LenlugardeXXXXX).Punto muerto 2. Utilizar símbolos distintos paradenotarunidades,decenasycentenas(345=TME).Solución. Denotar los números utilizando unacombinación demultiplicación y adición (345= 3centenas,4decenas,5unidades).Problema.Estanotación todavía tiene el problemade la repetición de las palabras «centenas» y«decenas».Solución. Dejar de lado estas palabras, llegando,comoresultado,aunanotaciónmásbreve,ancestrodelanotaciónposicionalmoderna(437=437).Problema.Estanotación es ambigua cuando faltanlas unidades de determinado rango (407 denotadocomo47seconfundeconfacilidadcon47).Solución. Inventar un marcador de posición: elsímbolocero.

Laevoluciónculturaldelossistemasdenumeraciónesuntestimoniodelacreatividad de la humanidad. A lo largo de los siglos, se inventaroningeniososdispositivosdenotación,queserefinaronconstantementeparaencontrarlasoluciónmejoradaptadaalaorganizacióndelamentehumanayasuusodelosnúmeros.Meparecedifícilconciliarestaperspectivadelahistoria de las notaciones numéricas con la concepción platónica de losnúmeroscomoentidadesidealesquetrasciendenalahumanidadynosdanacceso a verdades matemáticas independientes de la mente humana. Alcontrariode loquehaescritoelmatemáticoAlainConnes (ChangeuxyConnes, 1995), de convicciones platónicas, los objetos matemáticos noestán«exentosdeasociacionesculturales»—o,enúltimainstancia,estono

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es verdad cuando se habla de los números, que están entre los máscentrales de los objetosmatemáticos—. Elmotor de la evolución de lossistemasdenumeraciónnoesobviamenteunaideaabstractadelnúmero,niunaconcepciónetéreadelamatemática.Siestefueraelcaso,comohanobservado generaciones de matemáticos, la notación binaria habría sidounaopciónmuchomásracionalquenuestraqueridabase10.Porlomenosdebería haberse seleccionado como la base de la numeración un númeroprimo—por ejemplo, el 7 o el 11—, o tal vez un número conmuchosdivisores, como el 12. Pero las elecciones de nuestros ancestros fueronguiadas por criterios más prosaicos. La preponderancia de la base 10 sedebealhechocontingentedequetenemosdiezdedos;laestructuradelosnúmerosromanossejustificaporlasrestriccionesdenuestrapercepción;ylos límites precisosdenuestramemoria de cortoplazo explicanquenosveamos impulsados constantemente hacia una notación compacta de losnúmeros grandes. Dejémosle la última palabra al filósofo Karl Popper:«Losnúmerosnaturalessonobradeloshombres,productodelalenguaydelpensamientohumanos».

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5.Pequeñascabezasparagrandescálculos

Dosmásdos,cuatrocuatromáscuatro,ochoochomásocho,dieciséis¡Repitan!,diceelmaestro

JacquesPrévert,Páginadeescritura

Ambición, distracción, feificación e irrisión. Estos son los maliciososnombres que el reverendo Charles Lutwidge Dodgson, un profesor dematemática mejor conocido como Lewis Carroll, dio a las cuatrooperaciones matemáticas. Por supuesto, Carroll no tenía muchasesperanzas acercade lashabilidadesde cálculode sus alumnos.Y tal vezteníarazón.Apesardequelosniñosadquierenconfacilidadlasintaxisdelosnúmeros,aprenderacalcularpuedeserunaodisea.Losniños,einclusolos adultos, con frecuencia seequivocanen loscálculosmáselementales.¿Quién puede decir que nunca se confunde al calcular 7× 9 u 8× 7?¿Cuántos de nosotros podemos calcular mentalmente 113 − 37 o100− 24 enmenos de dos segundos? Los errores de cálculo están tandifundidos que, lejos de estigmatizar la ignorancia, atraen compasióncuandoselosadmitepúblicamente(«¡Siemprehesidouncompletoinútilpara la matemática!»). Muchos de nosotros casi podemos identificarnosconelaprietoenqueseencuentraAliciacuandointentacalcularmientrasviajaporelPaísde lasMaravillas: «Aver:cuatroporcinco,doce;cuatropor seis, trece; cuatro por siete… ¡Ay, Dios mío, así nunca llegaré aveinte!».¿Por qué es tan difícil hacer cálculos mentales? En este capítulo

analizamoslosalgoritmosdecálculodelcerebrohumano.Sibiennuestroconocimientodeestetematodavíaestálejosdesercompleto,unacosaessegura: la aritmética mental plantea problemas serios para el cerebrohumano.Nada lo preparó nunca para la tarea dememorizar docenas demultiplicacionesentremezcladas,odecumplirsinfallas losdiezoquincepasos de una resta de dos dígitos. En nuestros genes bien puede estarinsertoun sentido innatode las cantidadesnuméricas aproximadas; perocuandonosvemosenfrentadosalcálculosimbólicoexacto,esclaroqueno

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contamos con los recursos apropiados. Para suplir la falta de un órganocerebral diseñado específicamente para el cálculo, nuestro cerebro tieneque recurrir a circuitos alternativos. Este remiendo tiene un costoimportante. La pérdida de velocidad, la necesidad de una mayorconcentraciónylosfrecuenteserroressonindiciosdelaprecariedaddelosmecanismosconquenuestrocerebro«incorpora»laaritmética.

Contar:elABCdelcálculo

En los primeros seis o siete años de vida, ven la luz una profusión dealgoritmosdecálculo(GelmanyGallistel,1978,Fuson,1982,1988).Losniños pequeños reinventan la aritmética. De manera espontánea, oimitandoasuspares,imaginannuevasestrategiasparaelcálculo.Tambiénaprenden a seleccionar elmejor camino para resolver cada problema. Lamayor parte de sus estrategias está basada en contar, cono sin palabras,cono sin dedos. Los niños con frecuencia las descubren por símismos,inclusoantesdequeselesenseñeacalcular.¿Esto implica que contar es una competencia genéticamente programadadelcerebrohumano?RochelGelmanyRandiGallistel,delDepartamentode Psicología de laUCLA, han sostenido este punto de vista (Gelman yGallistel,1978).Segúnellos,losniñosestándotadosdeprincipiosinnatosparacontar.Noesnecesarioenseñarlesquecadaobjetosetienequecontarsolounavez,quelaspalabrasparanúmerosserecitanenunordenfijo,oqueelúltimonúmerorepresentaelcardinaldetodoelconjunto.Estetipode conocimiento es, para ellos, parte de nuestra dotación genética yprecedeysirvecomoguíaalaadquisicióndelléxiconumérico.Pocas teorías han sido tan debatidas como la deGelman yGallistel.

Para muchos psicólogos y educadores, contar es un ejemplo típico deaprendizaje por imitación. Al principio, solo es un comportamientomemorístico vacío de significado. De acuerdo con Karen Fuson (1982,1988),porejemplo,losniñosrecitaninicialmente«undostrescuatrocinco»comounacadenaininterrumpida.Reciénmástardeaprendenasegmentaresta secuencia en palabras, a extenderla a números más grandes, y aaplicarlaasituacionesconcretas.Infierenprogresivamentedequésetratacontarobservandoaotraspersonasquelohacen.Alprincipio,deacuerdoconFuson,contaressolorepetircomounloro.

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Después de unos veinte años de controversia y decenas deexperimentos, la verdad parece encontrarse en algún punto entre losextremos de «todo innato» y «todo adquirido». Ciertos aspectos delconocimientodelcálculosedominandeformabastanteprecoz,mientrasqueotrosparecenadquirirseporaprendizajeeimitación.Como ejemplo de una competencia sorprendentemente precoz para

contar,observenelsiguienteexperimentodeKarenWynn(1990).Alos2años y medio, los niños probablemente no han tenido muchasoportunidadesdeveraalguiencontarsonidosoacciones.Sinembargo,siunolespidequemirenunvideodePlazaSésamoycuentencuántasvecessaltaAbelardo,realizanestatareaconfacilidad.Delmismomodo,puedencontar sonidos tan diversos comoun bramido, una campana, la caída deunapiedraenelaguaounbipcomputarizado,registradosenunacinta(suorigennoesvisible).Entonces,losniñosparecencomprender,desdemuytemprano y sin enseñanza explícita, que contar es un procedimientoabstractoqueseaplicaatodotipodeobjetosvisualesyauditivos.Existeotrahabilidadprecoz:yadesdelos3añosymediodeedad,los

niños saben que el orden en que uno recita los números es crucial,mientrasqueelordenenqueseseñalanlosobjetosesirrelevante,siemprey cuando cada objeto se cuente una vez y solo una. En una serie deinnovadores experimentos, Gelman y sus colegas les presentaron a losniños situaciones que violaban las convenciones usuales para contar(Gelman yGallistel, 1978,Gelman yMeck, 1983, 1986). Los resultadosindicaronque los niños de 3 años ymedio pueden identificar y corregirerrores bastante sutiles. Jamás se les pasa cuando alguien recita losnúmerosendesorden,seolvidadecontarunítem,ocuentaelmismoítemdosveces.Loqueesmásimportante,mantienenunadistinciónclaraentreestetipodeerroresevidentesyotrasformascorrectas,aunque inusuales,de contar. Por ejemplo, les parece perfectamente aceptable comenzar acontarenlamitaddeunafiladeobjetos,ocontarprimerounobjetosíyunono,siempreycuandoendefinitivaunocuentetodoslosítemsunaysolo una vez. Todavía mejor, no les molesta comenzar a contar encualquier punto de una fila, y no solo desde el punto situado más a laizquierda, e incluso pueden diseñar estrategias para alcanzarsistemáticamenteunobjetopredeterminadoenlaterceraposición.Lo quemuestran estos experimentos es que, para su cuarto año, los

niñoshandominadolasbasesdelartedecontar.Noestáncontentosconimitarservilmenteelcomportamientodeotros:generalizanlashabilidades

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para hacerlo en nuevas situaciones. El origen de esta habilidad precoztodavíanosecomprendetotalmente.¿Dedóndeextraeelniñolaideaderecitarpalabrasenperfectacorrespondenciaunoaunoconlosobjetosquedebencontarse?Estoyconvencido,comoGelmanyGallistel,dequeestaaptitud pertenece a la dotación genética de la especie humana. Recitarpalabras en un orden fijo probablemente sea un resultado natural de lafacultadhumanadel lenguaje.Encuantoa lacorrespondenciaunoauno,en realidad esta se halla difundida en el reino animal. Cuando una rataexploraunlaberintoenbuscadecomida,intentatransitarcadasecciónunay solo una vez, un comportamiento racional queminimiza el tiempo deexploración. Cuando buscamos un objeto dado en una escena visual,nuestraatenciónseorientasucesivamentehaciacadaobjeto.Elalgoritmopara contar se encuentra en la intersección entre estas dos capacidadeselementales del cerebro humano: la verbalización serial y la búsquedaexhaustiva.Esaes larazónpor laquenuestrospequeños ladominanconfacilidad.Pero si bien los niños comprenden muy temprano cómo contar,

inicialmente parecen ignorar el porqué (Fuson, 1988, Greeno, Riley yGelman,1984,LeCorre,VandeWalle,BrannonyCarey,2006,LeCorreyCarey, 2007, Sarnecka yCarey, 2008).De adultos, sabemos bien paraqué sirve contar. Para nosotros, contar es una herramienta que tiene unobjetivoespecífico:enumerarunconjuntodeítems.Sabemostambiénqueloqueimportaenrealidadeselúltimonúmero,alquesellegaalfinaldelacuentayrepresentaelcardinaldetodoelconjunto.¿Losniñospequeñostienen este conocimiento? ¿O simplemente ven la actividad de contarcomo un juego entretenido en el que se recitan palabras divertidasmientrasseseñalaavariosobjetossucesivamente?DeacuerdoconKarenWynn, losniñosnoaprecianel significadode

contarhastaelfinaldesucuartoaño(Wynn,1990,1992a,1992b).Pídanlea una niña de 3 años que cuente sus juguetes y luego pregúntenle:«¿Cuántos juguetes hay?». Probablemente dirá un número al azar, nonecesariamenteaquelalquellegóalfinaldesuenumeración.Comotodoslosniñosdeestaedad,noparecerárelacionarlapreguntade«cuántos»conelconteoprevio. Inclusopuedecontar todootravez,comosiel actodecontar, en sí mismo, fuera una respuesta adecuada a una pregunta de«cuántos».Delmismomodo,pídanleaunniñode2añosymedioquelesdé tres juguetes. Muy probablemente seleccionará un puñado al azar,incluso si ya puede contar hasta cinco o diez. A esa edad, aunque los

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mecanismospara contaryaesténengranparte en su lugar, losniñosnoparecencomprenderparaquésirvecontar,ynopiensanencontarcuandolasituaciónlorequiere.Alrededordelos4años,elsignificadodecontarfinalmenteseasienta.

¿Perocómo?Esprobablequelarepresentaciónpreverbaldelascantidadesnuméricastengaunpapelcrucialenesteproceso.Recuerdenque,yadesdeel nacimiento, mucho antes de comenzar a contar, los niños tienen unacumulador internoque les informaelnúmero aproximadode cosasquelosrodean.Esteacumuladorpuedeayudaradarsignificadoa laactividadde contar. Supongamos que un niño está jugando con dosmuñecas. Suacumulador activa automáticamente una representación cerebral de lacantidad2.Graciasalprocesodescritoenuncapítuloanterior,elniñohaaprendido que la palabra «dos» aplica a esta cantidad, demanera tal quepuededecir«dosmuñecas»sintenerquecontar.Ahora,supongamosque,sin un motivo en especial, decide «jugar al juego de contar» con lasmuñecas, y recita las palabras «uno, dos». Entonces, se sorprenderá aldescubrirqueelúltimonúmerodelconteo,«dos»,eslamismapalabraquepuede aplicar al conjunto completo. Luego de diez o veinte ocasionescomoesa,puedeinferirconseguridadque,sealoqueseaqueunocuente,laúltimapalabraalaquesellegatieneunestatusespecial:representaunacantidadnuméricaquecoincideconlaqueproveyóelacumuladorinterno.Contar,quesoloeraunentretenidojuegodepalabras,derepenteadquiereunsignificadoespecial:¡contareslamejorformadedecircuántos!

Inventaralgoritmostambiénescuestióndechicos

Comprender para qué sirve contar es el punto de partida para unaexplosión de inventos numéricos. Contar es la «navaja suiza» de laaritmética,laherramientaquelosniñosusandeformaespontáneaentodotipode situaciones.Gracias a suhabilidadpara contar, lamayoríade losniños encuentra formas de sumar y restar números sin que haga faltaningúntipodeinstrucciónnienseñanzaexplícita.El primer algoritmode cálculo que todos los niños descubren por sí

mismosessumardosconjuntoscontándolosconlosdedos.Siselepideaun niño muy pequeño que sume 2 + 4, la respuesta típica será quecomenzará a contar el primer número, 2, levantando sucesivamente dosdedos. Luego contará el segundo número, 4, levantando otros cuatro

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dedos.Y, por último, los recontará todos y llegará a un total de 6.Esteprimer algoritmo «digital» es conceptualmente simple pero muy lento.Ejecutarlopuederesultarmuyincómodo:alaedadde4años,paracalcular3+ 4,mi hijo levantaba tres dedos de lamano izquierda y cuatro de lamanoderecha.Luegoprocedíaacontarlosusandoelúnicodispositivoparaseñalarquelequedabalibre:¡lapuntadelanariz!Al principio, a los niños pequeños les resultamuydifícil calcular sin

usar losdedos.Laspalabrasseesfumanencuantose lashapronunciado,pero los dedos pueden mantenerse constantemente a la vista, lo quepermite que uno no pierda la cuenta en caso de que se distraiga por unmomento.Sinembargo, luegodeunospocosmeses, losniñosdescubrenun algoritmo de sumamás eficiente que contar con los dedos. Cuandosuman 2 + 4, se los puede oír murmurar «uno dos… tres… cuatro…cinco… seis». Primero cuentan hasta el primer operando, luego avanzantantos pasos como indica el segundooperando, 4.Esta es una estrategiaque exige atención, porque implica algún tipo de recursividad: ¡en lasegundafase,unotienequecontarcuántasvecesunocuenta!Amenudo,losniñoshacenexplícitaestarecursión:«unodos…tresesuno…cuatroesdos…cincoestres…seisescuatro…seis».Ladificultaddeestepasosevereflejadaenunenlentecimientodrásticoyunaconcentraciónextrema.Enpocotiemposeencuentranrefinamientos.Lamayoríadelosniños

sedacuentadequenonecesitavolver a contar ambosnúmerosypuedesumar 2 + 4 comenzando desde la palabra «dos». Simplemente dicen«dos… tres… cuatro… cinco… seis». Para reducir aún más el cálculo,aprenden a comenzar sistemáticamente con el más grande de los dosnúmeros. Cuando se les pide que calculen 2 + 4, espontáneamentetransformanesteproblemaenelequivalente4+2.Comoresultado,todoloquetienenquehacerahoraescontarunnúmerodevecesequivalentealmáspequeñodelosdossumandos.Estosellama«estrategiadelmínimo».Es un algoritmo estándar que subyace a la mayoría de los cálculosinfantilesantesdelcomienzodelaeducaciónformal.Esbastantenotablequelosniñospiensenespontáneamenteencontar

desde el más grande de los dos números que van a sumar (Gallistel yGelman,1992).Estoindicaquealcanzaronunacomprensiónmuyprecozde laconmutabilidadde la suma(la regladequea+b siemprees igualab+a).Losexperimentosmuestranqueesteprincipioyaseencuentraenfuncionamientoalos5años.Noimportacuántaslegionesdeeducadoresyteóricos hayan sostenido que los niños de ningún modo podían

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comprender la aritmética a no ser que recibieran primero años deeducaciónsólidaenlógica.Laverdadesexactamenteloopuesto:comolosniños,añosantesdeira laescuela,yacuentanconlosdedos,desarrollanuna comprensión intuitiva de la conmutabilidad, cuya base lógica solollegarán a comprender mucho tiempo después (si es que alguna vez lohacen).Los niños seleccionan sus algoritmos de cálculo con un talento

extraordinario.Rápidamentedominanmuchasestrategiasdesumayresta.Sinembargo, lejosdeverseperdidosenestaabundanciadeposibilidades,aprendenaseleccionarconcuidadolaestrategiaqueparecemásadecuadaparacadaproblemaparticular.Para4+2,puedendecidircontardesdeelprimeroperando.Para2+4,no seolvidaránde invertir elordende losdosoperandos.Siselosenfrentaalaoperaciónmásdifícildesumar8+4,puedenrecordarque8+2es10.Siconsiguendescomponer4en2+2,entonceslograránsimplementecontar«diez,once,doce».Las habilidades de cálculo no emergen en un orden inmutable.Cada

niño se comporta comoun aprendizde cocina, quepruebauna receta alazar, evalúa la calidad del resultado, y decide si procede o no en estadirección. La evaluación interna que los niños hacen de sus algoritmostieneencuentatantoeltiempoquelesllevacompletarelcálculocomolaprobabilidaddequehayanalcanzadoelresultadocorrecto.Deacuerdoconel psicólogo infantil Robert Siegler (1987, 1989, y también Siegler yJenkins,1989), losniñoscompilanestadísticasdetalladasdesuéxitoconcadaalgoritmo.Pocoapoco,adquierenunabasededatosrefinadade lasestrategiasmásapropiadasparacadaproblemanumérico.Nohaydudadeque la educaciónmatemática tiene un papel extremadamente importanteenesteproceso,tantoporqueinculcanuevosalgoritmosalosniñoscomoporquelesaportareglasexplícitasparaseleccionarlamejorestrategia.Sinembargo,lamejorpartedeesteprocesodeinvenciónseguidadeselecciónestáestablecidaenlamayoríadelosniñosantesdequelleguensiquieraasusañosdejardíndeinfantes.¿Lesgustaríaconocerunúltimoejemplodelaastuciadelosniñospara

diseñarsuspropiosalgoritmosdecálculo?Pensemosenelcasodelaresta.Pídanle a un niño pequeñoque calcule 8− 2, y podrán oírlomurmurar«ocho…sieteesuno…seisesdos…seis»:unacuentahaciaatrásapartirdelnúmeromásgrande,8.Ahorapídanlequeresuelva8–6.¿Elniñotieneque contar hacia atrás «ocho siete seis cinco cuatro tres dos»? No.Probablementeencontraráunasoluciónmásrápida:«Seis…sieteesuno…

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ocho es dos…dos».Cuenta el númerodepasos que lleva ir del númeromáspequeñoalmásgrande.Planeandoastutamentesucursodeacción,elniñoalcanzaunaeconomíanotable.Lellevaelmismonúmerodepasos—solo dos— calcular 8− 2 y 8− 6. ¿Pero cómo selecciona la estrategiaapropiada?Lamejoropciónestádadaporeltamañodelnúmeroporrestar.Siesmásgrandeque lamitaddelnúmerodelprincipio,comoen8−5,8−6u8−7,eligelasegunda;encasocontrario,comoen8−1,8−2u8 − 3, contar hacia atrás es más rápido. No solo es un matemático losuficientemente astuto como para descubrir de manera espontánea estaregla,sinoquelograutilizarsusentidonaturaldelascantidadesnuméricasparaaplicarlo.Laseleccióndeunaestrategiaexactadecálculoestáguiadaporunarápidasuposicióninicial.Entrelasedadesde4y7años,losniñosmuestran una comprensión intuitiva de lo que significan los cálculos ycómodeberíanseleccionarse.

Lamemoriaentraenescena

Tomenuncronómetroyregistrencuántotiempoletomaaunniñode7años sumardosnúmeros.Descubriránqueel tiempodecálculoaumentaenproporcióndirectaconelsumandomáspequeño,unsignoclarodequeestáutilizandoel algoritmodemínima(Ashcraft,1982,1992,AshcraftyFierman,1982,Levine,JordanyHuttenlocher,1992).Inclusosielniñonolohacedemaneraevidente,seaenvozaltaoconlosdedos,lostiemposderespuestadejanenevidenciaqueestárecitandolosnúmerosensucabeza.Para sumar 5 + 1, 5 + 2, 5 + 3 o 5 + 4 necesita cuatro décimas desegundo adicionales por cada unidad. Esto hace pensar que, a esa edad,agregar una unidad en los sumandos toma cerca de cuatrocientosmilisegundos.¿Qué ocurre con los sujetos mayores? Cuando realizaron este

experimento por primera vez en 1972, Guy Groen, psicólogo de laUniversidadCarnegie-Mellon,ysuestudianteJohnParkmandescubrieronconasombroqueel tiempoquetomahacerunasumapuedepredecirseapartirdeltamañodelsumandomáspequeñotambiénparalosestudiantesde la universidad (Groen y Parkman, 1972). Eso sí, el tamaño delincremento en el tiempo es mucho menor: veinte milisegundos porunidad.¿Cómodeberíainterpretarseestedescubrimiento?Conseguridad,nilosestudiantesmástalentosospuedencontaralaincreíblevelocidadde

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veintemilisegundospordígitoo,loqueeslomismo,cincuentadígitosporsegundo. Para explicarlo, Groen y Parkman propusieron un modelohíbrido. En el 95 % de los ensayos, los estudiantes recuperarían elresultadodirectamentedelamemoriaaunavelocidadconstante.Enel5%restante,sumemoriaseveríasuperada,yestaríanobligadosacontar,cosaqueharían a una velocidadde cuatrocientosmilisegundospordígito.Enpromedio, entonces, los tiempos de suma aumentarían solo en veintemilisegundosporunidad.Apesardesermuyingeniosa,estapropuestafuerápidamentedesafiada

pornuevosresultados.Prontosedescubrióque los tiemposderespuestade los estudiantes no aumentaban de forma lineal con el tamaño de lossumandos (figura 5.1;Ashcraft y Battaglia, 1978,Ashcraft, 1992, 1995).Grandes problemas de suma como 8 + 9 llevaban un tiempodesproporcionadamente largo. En realidad, el tiempo que tomaba sumardosdígitossepredecíamejorapartirdesuproductoodelcuadradodesusuma,dosvariablesdifícilesdeconciliarconlahipótesisdequelossujetosestabancontando.Elúltimogolpecontralateoríadelconteollegócuandose descubrió que el tiempo que llevaba multiplicar dos dígitos era enesenciaidénticoaltiempoquellevabasumarlos.Dehecho,lostiemposdesuma y de multiplicación se predecían utilizando las mismas variables,exactamente.Silossujetoscontaran,inclusoensoloel5%delosensayos,lamultiplicacióndeberíahabersidomuchomáslentaquelasuma.Solohabíaunaformaderesolverestemisterio.En1978,MarkAshcraft

y sus colegas de laUniversidad deCleveland sugirieron que los adultosjóvenes casi nunca resuelven los problemas de suma y multiplicacióncontando (Ashcraft y Battaglia, 1978), sino que recurren a una tablamemorizada. Sin embargo, a medida que los operandos se vuelven másgrandes, acceder a esta tabla lleva un tiempo cada vez más largo. Porejemplo, tomamenos de un segundo encontrar el resultado de 2+ 3 o2×3,perocercade1,3segundosresolver8+7u8×7.

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Figura5.1.Elefectodeltamañodelproblema:eltiempoquelellevaaunadultoresolverunproblemadesumaaumentapronunciadamenteconeltamañodelossumandos(tomadode

Ashcraft,1995;©Erlbaum,RU,yTaylor&Francis,Hobe,RU).

Esprobablequeesteefectodetamañodelnúmerosobre la recuperacióndelamemoriatengamúltiplesorígenes.Comoseexplicóenloscapítulosprecedentes, la precisión de nuestra representación mental caedrásticamenteconeltamañodelnúmero.Elordendeadquisicióntambiénpuedeserunfactor,porquelascuentasaritméticassimples,queinvolucranoperandos pequeños, con frecuencia se aprenden antes que las másdifíciles, con operandos grandes. Un tercer factor es la cantidad deentrenamiento. Como la frecuencia de los numerales decrece con eltamaño,recibimosmenosentrenamientoconproblemasdemultiplicaciónmás grandes. Mark Ashcraft y sus colegas han calculado con cuántafrecuenciaaparececadaproblemadesumaomultiplicaciónenloslibrosdetextodelosniños.Elresultadoessorprendentementefútil:losniñoshanentrenado mucho más con multiplicaciones por 2 y por 3 que conmultiplicacionespor7,8o9,¡aunqueseanestasúltimaslasquelescuestanmás!

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Lahipótesisdequelamemoriacumpleunpapelcentralenlaaritméticamentaladultayaestáhoyaceptadauniversalmente.Estonoimplicaquelosadultosnotengantambiénotrasestrategiasdecálculoasudisposición.Esmás, la mayoría confiesa que utiliza métodos indirectos, por ejemplo,calcular 9×7 como (10×7)−7, un factor que también contribuye ahacer más lenta la resolución de sumas y multiplicaciones grandes. Sinembargo,síquieredecirquedurantelosañospreescolaresocurreunagranrevolución en el sistema mental de la aritmética. Los niños de repentepasan de una comprensión intuitiva de las cantidades numéricas,sustentada por estrategias simples para contar, a un aprendizajememorísticodelaaritmética.Noresultasorprendente,entonces,queestevuelcotanimportantecoincidaconlasprimerasdificultadesseriasconlasque se tropiezan los niños en matemática. De pronto, progresar enmatemática implica almacenar una gran cantidad de conocimientonuméricoenlamemoria.Lamayorpartedeellossuperaestolomejorquepuede.Pero,comoveremos,enesteprocesosuelenperdersusintuicionesacercadelasoperacionesaritméticas.

Lastablasdemultiplicar:¿unaprácticaquenoestáennuestranaturaleza?

Pocostemasse trabajantantocomo las tablasdesumarydemultiplicar.Pasamosbuenapartedenuestra infancia aprendiéndolasydespués, en lavidaadulta,apelamosaellasconstantemente.Cualquierestudianteejecutadecenasdecálculoselementalesdíaadía,loquesignificaque,alolargodela vida, debemos resolver muchas decenas de miles de problemas demultiplicación.Y, sin embargo, a pesar de esta repetición a ultranza, nuestra memoriaaritméticaes,alosumo,mediocre.Aunjovenbienentrenadolellevauntiempo considerable, a menudo más de un segundo, resolver unamultiplicación como 3 × 7. Las tasas de error se encuentran en unpromediodeentreel10yel15%.Enlosproblemasmásdifíciles,como8× 7 o 7× 9, el fracaso se da en uno de cada cuatro intentos por lomenos, y con frecuencia después de más de dos segundos de reflexiónintensa.

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¿Porquéocurreesto?Lasmultiplicacionespor0opor1,obviamente,notienenqueaprendersedememoria.Esmás,unavezquesealmacenan6×9o3+5,lasrespuestasa9×6y5+3sededucenconfacilidadporconmutabilidad.Estonosdejaconsolocuarentaycincosumasytreintayseismultiplicaciones para recordar. ¿Por qué a nuestro cerebro le cuestatanto guardarlas en la memoria? Después de todo, allí se amontonancientos de otros datos arbitrarios: los nombres de nuestros amigos, susedades, sus direcciones, y losmuchos eventos de nuestras vidas ocupanseccionescompletasdenuestramemoriadelargoplazo.Alamismaedaden que los niños trabajan duro para aprender aritmética, adquieren sinesfuerzounadocenadepalabrasnuevaspordía.Antesdelaadultez,vanahaberaprendidopor lomenosveintemilpalabrasysupronunciación,suforma ortográfica y su significado. ¿Qué tienen de distinto las tablas demultiplicarquelasvuelvetantomásdifícilesderecordar,inclusoluegodediezañosdeentrenamiento?La respuesta se encuentra en la particular estructura de las tablas de

sumar y demultiplicar. La información aritmética no es arbitraria y susdatosnosonindependientesentresí.Alcontrario,estánvinculadosmuycercanamenteyestánllenosdefalsasregularidades,rimasdesconcertantesy juegos de palabras engañosos (Stazyk, Ashcraft y Hamann, 1982,Campbell yOliphant, 1992[22]). ¿Qué ocurriría si tuvieran que recordarunalibretadedireccionesquetuvieraestaestructura:

JuanCarlosviveenlacalleJoséJuanJoséviveenlacalleAlbertoMauroJoséMiguelviveenlacalleAlbertoBruno?

¿Yunasegundaparalasdireccionesprofesionalescomoesta:

JuanCarlostrabajaenlacalleAlbertoBrunoJuanJosétrabajaenlacalleBrunoAlbertoJoséMigueltrabajaenlacalleJuanMiguel?

Aprender estas listas enrevesadas sería una auténtica pesadilla. Sinembargo,nosonmásquetablasdesumarydemultiplicardisfrazadas.Selas compuso reemplazando cada uno de los dígitos 0, 1, 2, 3, 4 con unnombrepropio(Mauro,Alberto,Bruno,Juan,Carlos…).Ladireccióndela casa sustituyó la suma,y lasdireccionesprofesionales reemplazaron lamultiplicación. Las seis direcciones que aparecen arriba son, entonces,equivalentes a las sumas 3+ 4= 7, 3+ 7= 10 y 7+ 5= 12, y a las

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multiplicaciones3×4=12,3×7=21y7×5=35.Desdeesteánguloinusual, las tablas aritméticas vuelven a presentar para nuestros ojosadultos las dificultades intrínsecas que suponen para los niños que lasdescubrenporprimeravez.Claroquetenemosdificultadpararecordarlas:¡lomásextraordinarioesquefinalmentesílogramosmemorizarlamayoríadeellas!No hemos respondido nuestra pregunta, sin embargo: ¿por qué este

tipodelistasestandifícildeaprender?Cualquieragendaelectrónicaconunamemoriaminúsculademenosdeunkilobytepodríaalmacenartodasellas sin lamenordificultad.Dehecho, estametáforade la computadoraprácticamente hace evidente la respuesta. Si nuestro cerebro no lograretener datos aritméticos, es porque la organización de la memoriahumana, a diferencia de la de una computadora, es asociativa: tejemúltipleslazosentredatosdispersos.Losvínculosasociativospermitenlareconstrucción de recuerdos sobre la base de información fragmentada.Invocamos este proceso de reconstrucción, de forma consciente o no,siemprequeintentamosrecuperarundatopasado.Pasoapaso,elsabordelamagdalena deProust evoca ununiverso de recuerdos rico en sonidos,visiones,palabrasysentimientospasados.Lamemoriaasociativaesalmismotiempolafortalezayladebilidadde

nuestrocerebro.Esunafortalezacuandonospermite,apartirdeunavagareminiscencia, desenmarañar una madeja de recuerdos que alguna vezparecieron perdidos. Hasta el presente, ningún programa informáticoreproducenadaparecidoaeste«accesoporcontenido».Esunafortaleza,otra vez, cuando nos permite sacar ventaja de las analogías y aplicar elconocimiento adquirido bajo otras circunstancias que una situaciónnovedosa. La memoria asociativa es una debilidad, sin embargo, endominios como las tablas de multiplicar, en los cuales es importantemantenerlosconocimientosseparadosunodelotro,demodotaldeevitarque interfieranentresí.Cuandonosenfrentamosauntigre, resultamuyútil activar con rapidez nuestros recuerdos relacionados con elcomportamiento de los leones. Pero cuando intentamos recuperar elresultadode7×6,invitamosaldesastreactivandonuestroconocimientode7+6ode7×5.Pordesgraciaparalosmatemáticos,nuestrocerebroevolucionódurantemillonesdeañosenunambientedondelasventajasdela memoria asociativa compensaban enormemente sus desventajas endominios como la aritmética. Ahora estamos condenados a vivir conasociaciones aritméticas inapropiadas, que nuestra memoria recupera de

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forma automática, sin que le importen mucho nuestros esfuerzos parasuprimirlas.Esfácilencontrarpruebasdelainfluenciaperniciosadelainterferencia

enlamemoriaasociativa.Entodoelmundo,montonesdeestudianteshancontribuido con cientos demiles de tiempos de respuesta y decenas demilesdeerroresalestudiocientíficodelosprocesosdecálculo.Graciasaellos,hoysabemosconprecisiónquéerroresdecálculosonmásfrecuentes(Ashcraft,1992,Campbell,2004).Ahoramismolespidoquemultipliquen7×8.Esprobableque,en lugarde56,surespuestasea63,48o54.Sinexcepción,nadieresponde55,aunqueestenúmerosoloestáaunaunidaddel resultado correcto. Prácticamente todos los errores pertenecen a latablademultiplicar,conmayorfrecuenciaalamismalíneaocolumnaqueel problema de multiplicación original. ¿Por qué? Porque la merapresentación de 7 × 8 es suficiente para que no solo recordemos elresultado correcto, 56, sino también para que recordemos sus vecinos7×9,6×8o6×9.Todosestoshechoscompitenparaobteneraccesoalos procesos de producción del habla. Muy a menudo, intentamosencontrarelresultadode7×8yapareceelresultadode6×8.La automatización de la memoria aritmética comienza a una edad

temprana.Yaalos7años,siemprequevemosdosdígitos,nuestrocerebroautomáticamenteresuelvesusuma.Paraprobaresto,lapsicólogaJo-AnneLeFevreysuscolegasdelaUniversidaddeAlberta,enCanadá,elaboraronuningeniosoexperimento(LeFevre,BisanzyMrkonjic,1988).Explicaronaungrupodeparticipantesqueveríanunpardedígitoscomo2y4yqueteníanquememorizarlosporunsegundo.Luegoveríanuntercerdígitoydebían decidir si era idéntico a uno de los dos números. Los resultadosrevelaronunprocesode suma inconsciente.Cuando el dígito-blanco eraigual a la suma del par (6), aunque los sujetos en general respondían deformacorrectaquenoeraigualaningunodelosdígitosiniciales,habíaunenlentecimiento notable de las respuestas, que no se veía para blancosneutralescomo5o7.EnunestudiomásrecientedePatrickLemaireysuscolaboradores,esteefectosereplicóconniñosdesdelos7años(Lemaire,Barrett,FayolyAbdi,1994).¿Cuáleslaexplicación?Aparentemente,solomostrarlosdígitos2y4,inclusosinunsignodesuma,essuficienteparaque nuestra memoria recupere automáticamente su suma. Luego, comoeste número está activado en nuestra memoria, no estamos del todosegurosdesilohemosvistoono.

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Aquí hay otra demostración sorprendente de la automaticidad de lamemoria aritméticaquepuedenprobarustedesmismos.Respondana lassiguientespreguntaslomásrápidoquepuedan:

¿2+2?¿4+4?¿8+8?¿16+16?

Ahora,¡rápido!Elijanunnúmeroentre12y5.¿Lotienen?Elnúmeroqueeligieronesel7,¿noescierto?¿Cómo leí su mente? La mera presentación de los números 12 y 5

parece suficiente para desencadenar una resta inconsciente: 12− 5= 7.Este efecto se ve amplificado, probablemente, por la cadena de sumasanterior,elordeninvertidodelosnúmeros12y5ylafraseambigua«entre12y5»,quepuedeincitarlosacalcularladistanciaentrelosdosnúmeros.Todosestosfactoresconspiranparaaumentarlaactivaciónautomáticade12 − 5 hasta el punto en que su resultado ingresa a la conciencia. ¡Yustedes creían que estaban ejerciendo su «libre albedrío» cuandoseleccionabanundígito!Anuestramemoriatambiénlecuestamuchomantenerlainformación

acercadelassumasymultiplicacionesencompartimentosdistintos.Noesinfrecuentequerespondamosdeformaautomáticaaunproblemadesumaconlacorrespondientemultiplicación(2+3=6);conmenosfrecuencia,ocurre lo contrario (3× 3= 6). También nos llevamás tiempo darnoscuentadeque2×3=5esfalso,querechazar2×3=7porqueelprimerresultadoseríacorrectoenelcasodequesetrataradeunasuma.Kevin Miller, de la Universidad de Texas, ha estudiado cómo

evoluciona esta interferencia durante la adquisición de nuevos datosaritméticos(MilleryParedes,1990).Entercergrado,lamayorpartedelosalumnosya sabedememoriamuchas sumas.Amedidaque comienzan aaprender la multiplicación, el tiempo que les lleva resolver una sumaaumenta durante algún tiempo, mientras que comienzan a aparecer losprimeros lapsus de la memoria del tipo de 2 + 3 = 6. Entonces, laintegración demúltiples datos aritméticos en lamemoria de largo plazopareceserungranobstáculoparalamayorpartedelosniños.

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¡Lamemoriaverbalalrescate!

Si almacenar tablas aritméticas en lamemoria es tan difícil, ¿cómo hacenuestro cerebro finalmente para lograrlo?Una estrategia clásica consisteen registrar los datos aritméticos en lamemoria verbal: «Tres por siete,veintiuno»sepuedealmacenar,palabraporpalabra, al ladode«qué lindamanito que tengo yo» o «Padre nuestro que estás en los Cielos». Estasolución no es poco razonable, porque la memoria verbal es vasta yduradera.Esmás,¿quiénnotieneaúnlacabezallenadeloseslóganesylascanciones que oyó hace años? Los educadores se han dado cuenta hacemuchotiempodelgranpotencialquetienelamemoriaverbal.Enmuchospaíses, la recitación todavía es el método principal para enseñar laaritmética. Todavía recuerdo nuestro lamentable coro en la escuelaprimariacuandojuntoamiscompañeros,treintamatemáticosincipientes,recitábamosavivavozlastablasdemultiplicar.Losjaponesesparecenhaberllevadoestemétodoaúnmásallá.Sutablademultiplicar está hecha de pequeños versos llamados ku-ku. Esta palabra,quesignificaliteralmente«nueve-nueve»,correspondealúltimo«verso»delatabla,9×9=81.Enlatablajaponesa,lossignosdeporydeigualsonmudos, lo que deja solo los dos operandos en el resultado. Entonces,2 × 3 = 6 se aprende como ni san na-roku: literalmente,«dos tres cero seis». Varias convenciones han sido consagradas por lahistoria.Enelku-ku, losnúmerossepronuncianensuformachina,ysupronunciación varía con el contexto.Por ejemplo, ochonormalmente eshashi,perosepuedeabreviarcomohapoinclusocomopa,comoenhap-pa roku-ju shi, 8×8=64.El sistema resultante es complejoy,muchasveces,arbitrario,perosussingularidadesprobablementeaminoranlacargaparalamemoria.Elhechodeque lastablasaritméticasseaprendandememoriaparece

tenerunacuriosaconsecuencia:elcálculoseconvierteenalgoligadoa lalenguaenqueseloaprendeenlaescuela(Dehaene,Spelke,Pinel,StanescuyTsivkin,1999).Uncolegaitaliano,luegodepasarmásdeveinteañosenlosEstadosUnidos,eshoyendíaunbilingüeconsumado.Hablayescribeen inglés fluido, con una sintaxis rigurosa y un vocabulario extenso. Sinembargo,cuandotienequecalcularmentalmente, todavíase lopuedeoírmurmurando números en su italiano natal. ¿Esto significa que luego dedeterminadaedadelcerebropierdesuplasticidadparaaprenderaritmética?Esta es una posibilidad, pero la explicación real puede ser más trivial.

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Aprender las tablasestantrabajosoque,paraunbilingüe,puedesermáseconómicovolverasulenguamaternaparaelcálculo,enlugardeaprenderaritméticadesdeceroenunanuevalengua.Las personas que no son bilingües pueden experimentar el mismo

fenómeno.A todos nos cuesta contenernos de nombrar los números envozaltacuandotenemosquerealizarcálculoscomplejos.Elpapelcrucialdelcódigoverbalenlaaritméticaseevidenciaporcompletocuandosenospide que calculemosmientras repasamos almismo tiempo el alfabeto envoz alta. Inténtenlo, y sin demora se convencerán de que es bastantedifícil, porque el habla satura los sistemas cerebrales de producción delenguajequesonnecesariosparaelcálculomental.Otrapruebade la codificaciónmemorística de la tabla demultiplicar

vienedelestudiodeloserroresdecálculo.Cuandosenosenfrentaconelcálculo 5× 6, amenudo respondemos equivocadamente «36» o incluso«56», como si el 5 y el 6 del problema contaminaran nuestra respuesta.Nuestroscircuitoscerebralestiendenaleerautomáticamenteelproblemacomounnúmerodedosdígitos:5×6evocairresistiblementelaspalabras«cincuenta y seis». Más extraño resulta que esta tendencia de lecturainteractúedeunaformacomplejaconlaplausibilidaddelresultado.Nuncaseobservanerroresgarrafalescomo6×2=62o3×7=37.Engeneral,leemosequivocadamentelosoperandossolocuandoelnúmeroresultantededosdígitos esun resultadoplausibledentrode la tablademultiplicar(porejemplo,3×6=36o2×8=28).Estosugierequeloserroresdelectura no ocurren después de la recuperación de la multiplicación, sinodurantesutranscurso,enunmomentoenquelalecturaautomáticatodavíapuedeinfluirelaccesoalamemoriaaritméticasinanularlocompletamente.Entonces,lalecturaylamemoriaaritméticasonprocedimientosaltamenteinterconectados,queutilizanlamismacodificaciónverbaldelosnúmeros.Paraelcerebrohumano,multiplicarsignificameramenteleer3×6como«dieciocho».Apesardesuimportancia,lamemoriaverbalnoeslaúnicafuentede

conocimientoquedebemosaprovecharduranteelcálculomental.Cuandoseloenfrentaaladifíciltareadememorizarlastablasaritméticas,nuestrocerebro utiliza todos los artificios disponibles.Cuando lamemoria falla,vuelve a estrategias como el conteo, la suma serial o la resta a partir dealgúnreferente(porejemplo,8×9=(8×10)−8=72).Peroporsobretodaslascosas,nuncapierdeunaoportunidaddetomarunatajo(Ashcrafty Stazyk, 1981, Dehaene y otros, 1999). Por favor, verifiquen si los

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siguientes cálculos son verdaderos o falsos: 5 × 3 = 15, 6 × 5 = 25,7 × 9 = 20. ¿Tienen que realizar el cálculo para rechazar la últimamultiplicación? Probablemente no, y almenos por dos buenosmotivos.En primer lugar, el resultado propuesto, 20, es groseramente falso. Losexperimentos hanmostrado que los tiempos de reacción bajan amedidaque aumenta el gradode falsedad.Los resultados cuyamagnitud se alejaconsiderablemente de la verdad se rechazan enmenos tiempo de lo quellevaríacompletarefectivamentelaoperación, loquesugiereque,a lavezque calcula el resultado exacto, nuestro cerebro también computa unaestimación a grandes rasgos de su tamaño. En segundo lugar, en7 × 9 = 20, el carácter par o impar se ve violado. Dado que los dosoperandosson impares,el resultadodeberíaser impar.Unanálisisde lostiemposderespuestamuestraquenuestrocerebrochequeaimplícitamentelasreglasdeparidadquegobiernanlasumaylamultiplicación,yreaccionaconvelocidadsiemprequeseencuentraunaviolación(KruegeryHallford,1984,Krueger,1986[23]).

Cuandolosalgoritmosdecálculoestánfallados

Consideremosunmomentolaproblemáticadeloscálculosdevariascifras.Supongamos que ustedes tienen que calcular 24 + 59. Ningunacomputadoranecesitaríamásqueunospocosmicrosegundosparahacerlasuma;austedes,encambio,lesllevaráporlomenoscienmilvecesmásquea la computadora, algomás de dos segundos. Este problema pondrá enjuego todo su poder de concentración (como veremosmás adelante, lossectoresprefrontalesdelcerebro,queestáninvolucradosenelcontroldelasactividadesneuroautomatizadas,estánmuyactivosduranteloscálculoscomplejos). Tendrán que pasar cuidadosamente por una serie de pasos:aislar losdígitosqueseencuentranmása la izquierda(4y9)ysumarlos(4 + 9 = 13), escribir el 3, «llevarse» el 1, aislar los dígitos que seencuentranmásalaizquierda(2y5),sumarlos(2+5=7),sumarloque«sehabíanllevado»(7+1=8),yfinalmenteescribirel8.Estospasossontanreproduciblesque,dadalamagnituddelosdígitos,unopuedeestimarla duración de cada operación y predecir, con unas pocas décimas desegundodemargen,enquémomentofinalmentelevantaránlalapiceradel

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papel(AshcraftyStazyk,1981,Widaman,Geary,CormieryLittle,1989,TimmersyClaeys,1990).Enningúnmomentoduranteuncálculodeestetipoparecetenerseen

cuenta el significadode las operaciones que se están desarrollando. ¿Porqué llevaronel1hasta lacolumnaqueestabamása la izquierda?Talvezahora se den cuenta de que este 1 hace referencia a 10 unidades y queentonces debe agregarse a la columna de las decenas. Sin embargo, estepensamientonunca se les vino a la cabezamientras realizaban el cálculo.Paracalcularrápido,elcerebroseveforzadoaignorarelsignificadodelasoperacionesquerealiza.Paratomarotroejemplodeldivorcioentrelosaspectosmecánicosdel

cálculo y su significado, consideremos los siguientes problemas desustracción,bastantetípicosparaunniñopequeño:

¿Puedenvercuáleselproblema?Esteniñonoestárespondiendoalazar.Cada respuesta obedece a una lógica estricta. El algoritmo clásico desustracción se aplica de forma rigurosa, dígito tras dígito, de derecha aizquierda.Sinembargo,elniñosetrabasiemprequeeldígitodearriba(elminuendo) es más pequeño que el de abajo (sustraendo). Frente a estasituación,poralgunarazónprefiereinvertirlaoperaciónyrestareldígitode más arriba del de abajo. Poco importa que esta operación no tengasentidoalguno.Esmás,elresultadomuchasvecesresultamásgrandequeelnúmeroconelqueseempezó,sinqueestomolesteenlomásmínimoalalumno.Elcálculolepareceunapuramanipulacióndesímbolos,unjuegosurrealista,tancarentedesignificadocomoalgunosejerciciosdeescrituraautomáticaounacantatabarrocaenlatín.John Brown, Richard Burton y Kurt van Lehn, de la UniversidadCarnegie-Mellon, estudiaronmeticulosamente el procedimiento de restamental.Paraeso,recopilaronlasrespuestasdemásdemilniñosadecenasde problemas (Van Lehn, 1986, 1990). Al analizar esas respuestas,descubrieronquelamayoríadeloserroreseransistemáticosypodíanserclasificadosendiferentestipos,similaresalqueacabamosdeexaminar.Porejemplo,algunosniñostienendificultadessoloconlosceros,mientrasque

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otrossolofallanconeldígito1.Unerrorclásicoconsisteensaltearel0ypasar al número inmediatamente a su izquierda cuando en una resta sedebe«pedirprestado»yestenúmeroresultaserun0.En307−9,algunosniñoscalculancorrectamente17−9=8,pero luegono logranrestar loque«pidieronprestado»al0.Ensulugar,simplificandeformaerrónealatarea«pidiéndole»el1alacolumnadelascentenas;«poreso»,lleganalaconclusióndeque307−9=208.Loserroresdeestetiposerepitendeforma tan sistemática que Brown y sus colegas los han descripto entérminos de ciencias de la computación: los algoritmos de resta de losniñosestánplagadosde«fallas»,sucesionesdeinstruccionesinexactas,quelosprogramadoresllaman«bugs».¿De dónde vienen estos errores? Por extraño que pueda parecer,

ningún libro de texto describe en su totalidad la receta correcta para laresta.Siuningenieroespecializadoquisieracrearunsoftwarequepermitarealizarcualquierrestaposible,podríapasarhorasescudriñandoelmanualde aritmética de su hijo y no lograría encontrar instrucciones losuficientementeprecisascomoparahacerquesuprogramafuncione.Losmanuales escolares se contentan con ofrecer instrucciones elementales yunaseriedeejemplos.Sesuponequelosalumnostienenqueobservarconatenciónlosejemplos,analizarelcomportamientodesumaestroyderivarsuspropiasconclusiones.Así,noresultasorprendentequeelalgoritmoalque llegan sea incorrecto. Los ejemplos de los libros de texto no suelenabarcartodosloscasosposiblesderesta.Entonces,dejanlapuertaabiertaatodotipodeambigüedades.Ensudebidomomento,cualquierniñoseveenfrentado a una situación novedosa en la que él o ella tendrá queimprovisar,yseharánevidentessuslagunasdecomprensióndelaresta.ObservemosesteejemploestudiadoporKurtvanLehn:unniñoresta

correctamente, excepto que cada vez que tiene que restar dos dígitosidénticos, se equivoca y pide prestado un 1 a la columna siguiente (porejemplo, 54− 4= 40; 428− 26= 302). Este niño se ha dado cuenta,correctamente,dequeunodebe«pedirprestado»siemprequeeldígitodearribaseamáspequeñoqueeldeabajo.Sinembargo,generalizaestareglade forma equivocada al caso en que los dos dígitos son iguales. Esmuyprobablequeestasituaciónparticularnuncahayasidoexplicadaensulibrodetexto.Otro ejemplo iluminador: muchos libros de aritmética explican el

procedimientoderestautilizandoúnicamentenúmerosdedosdígitosparaelminuendo(17−8,54−6,64−38,etc.).Deestemodo,alprincipiolos

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alumnossoloaprendenelalgoritmodesustracción«pidiendoprestado»ala primera columna de la izquierda; en este caso, las de las decenas.Entonces,laprimeravezquesevenenfrentadosaunarestadetresdígitos,muchosniñosdecidenequivocadamente«pedirprestado»alacolumnademásalaizquierda,comohanhechoantes(porejemplo,621−2=529).¿Cómopodríanadivinar, sinmás instrucciones,queunosiempredeberíapedirprestadoalacolumnaqueseencuentrainmediatamentealaizquierdadelacolumnaencuestión,enlugardehacerloaladelextremoizquierdo?Solounacomprensiónrefinadadeldiseñodelalgoritmoydesupropósitopuedeayudar.Sinembargo,elmerohechodequeseproduzcanerrorestanabsurdossugierequeelcerebrodelniñoregistrayejecutalamayorpartedelosalgoritmosdecálculosinqueleimportemuchosusignificado.

Prosycontrasdelacalculadoraelectrónica

¿Qué imagen coherente emerge de este panorama de las habilidadesaritméticashumanas?Claramente,elcerebrohumanosecomportadistintode como lo hace cualquier computadora que conozcamos. No haevolucionadoparallevaracaboelpropósitodelcálculoformal.Estaeslarazónporlaquelossofisticadosalgoritmosdecálculosontandifícilesdeadquirir y utilizar fielmente. Contar es fácil, porque explota nuestrashabilidades biológicas fundamentales para la producción de habla y lacorrespondencia uno a uno. Pero memorizar la tabla de multiplicar,ejecutarelalgoritmoderesta,ylidiarconloque«selleva»sonoperacionespuramenteformales,sinningunacontraparteenlavidadeunprimate.Laevolucióndifícilmentepodríahabernospreparadoparaellos.ElcerebrodelHomo sapiens es al cálculo formal lo que el ala del ave prehistóricaArchaeopteryx era al vuelo: un órgano burdo, funcional pero lejos de seróptimo. Para cumplir con los requisitos de la aritméticamental, nuestrocerebro tienequeutilizar cualquier circuito conelque cuente, incluso sieso implica memorizar una secuencia de operaciones que nocomprendemos.Nopodemospretenderalterarlaarquitecturadenuestrocerebro,perotalvezpodamosadaptarnuestrosmétodosdeenseñanzaalasrestriccionesdenuestra biología. Dado que las tablas de aritmética y los algoritmos decálculo son, de algún modo, antinaturales, creo que deberíamosreplantearnosseriamentesiesnecesarioinculcárselosanuestrosniños.Por

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suerte,hoyendíatenemosunaalternativa:lacalculadoraelectrónica,queesbarata,omnipresenteeinfalible.Lascomputadorasestántransformandonuestro universo hasta un punto tal que no podemos limitarnosirreflexivamente a las recetas educativas de antaño. Tenemos que hacerfrente a esta pregunta: ¿nuestros alumnos todavía deberíanpasar cientosdehorasrecitandolastablasdemultiplicar,comolohicieronsusabuelos,conlaesperanzadequelosdatosaritméticoseventualmentesegrabenensumemoria? ¿No seríamás sensatodarles entrenamiento tempranoparautilizarcalculadorasycomputadoras?Reducir el papel de la aritmética memorística en la escuela puede

parecerunaherejía.Justamente,sinembargo,setratadeentenderquenohaynadasagradoenelmodoenqueseenseñalamatemática.Hastahacepocosaños,enmuchospaíseslascuentasconábacosyconlosdedoseranlos vectores privilegiados de la aritmética. Incluso hoy, millones deasiáticos extraen su soro-ban, el ábaco japonés, siempre que tienen querealizaruncálculo.Losmásexperimentadosentreellospracticanel«ábacomental»: al visualizar losmovimientosdel ábacoen sus cabezas, ¡puedensumarmentalmente dos números enmenos tiempo que el que nos llevaescribirlos en una calculadora! (Hatano y Osawa, 1983, Stigler, 1984,Hatano,AmaiwayShimizu,1987).Estosejemplosmuestranquehayvíasalternativasalaprendizajememorísticodelaaritmética.Uno podría objetar que las calculadoras electrónicas atrofian las

intuiciones matemáticas de los niños. Así lo sostuvo, por ejemplo, elfamoso matemático francés René Thom, el renombrado creador de lateoríamatemáticadelascatástrofesyganadordelaMedallaFields:

Enlaescuelaprimariaaprendíamoslastablasdesumaryde multiplicar. ¡Era algo bueno! Estoy convencido de quecuando a niños tan pequeños como de 6 o 7 años se lespermite utilizar una calculadora, alcanzan un conocimientomenosíntimodelnúmeroqueelquealcanzamosgraciasalaprácticadelcálculomental.

Sinembargo,loquepuedehabersidoverdaderoparaelpequeñoThomnoesnecesariamenteciertoparaelniñopromediodehoyendía.Cualquierapuede evaluarpor sí solo la supuesta capacidaddenuestras escuelasparaenseñarun«conocimientoíntimodelnúmero».Cuandounalumnollega,sinpestañear,alaconclusióndeque317−81es376,talvezhayaalgoquehueleapodridoeneseañejoreino.

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Estoy convencido de que, si se libera a los niños de las limitacionestediosas y mecánicas del cálculo, la calculadora puede ayudarlos aconcentrarseenelsignificado.Lespermiteajustarsusentidonaturaldelaaproximaciónofreciéndolesmilesdeejemplosaritméticos.Alestudiarlosresultados de una calculadora, los niños pueden descubrir que la restasiempre arroja un resultado más pequeño que el número inicial, quemultiplicarporunnúmerodetresdígitossiempreaumentaendosotresdígitos el tamaño del número del que se partió, y miles de hechossimilares.Laobservaciónatentadelcomportamientodeunacalculadoraesunaformaexcelentededesarrollarelsentidonumérico.Lacalculadoraescomounmapaderutaparalarectanumérica.Sisele

daunacalculadoraaunniñode5años,seleenseñarácómohacerseamigode los números en lugar deodiarlos.Dehecho, podrá descubrirmuchasregularidadesfascinantesacercadelaaritmética.Hastalasmáselementalesparecenmagiapuraparaellos.Multiplicarpor10agregaun0aladerecha.Multiplicar por 11 duplica la presencia de un dígito (2 × 11 = 22,3×11=33,etc.).Multiplicarpor3,yluegopor37,hacetrescopiasdeél(9×3×37=999).¿Puedendescubrirporqué?Como estos ejemplos infantiles pueden dejar insatisfechos a los

lectoresavanzadosenmatemática,veamosaquíalgunasregularidadesmássofisticadas:

11×11=121;111×111=12321;1111×1111=1234321(yasísucesivamente).¿Puedenverporqué?12345679 × 9 = 111111111. ¿Por qué? ¿Se dieron cuenta de quefaltabael8?11−3×3=2;1111−33×33=22;111111−333×333=222(yasísucesivamente).¡Pruébenlo!1+2=3;4+5+6=7+8;9+10+11+12=13+14+15(yasísucesivamente).¿Puedenencontrarunademostraciónsencilla?

¿Estos juegos aritméticos les parecen aburridos e improductivos?No seolviden de que antes de los 6 o 7 años los niños todavía no odian lamatemática. Todo lo que se presenta como misterioso y estimula suimaginación les parece un juego. Están abiertos y listos para desarrollarunapasiónporlosnúmerossitansoloestamosdispuestosamostrarleslomágicaquepuedeserlaaritmética.Lascalculadoraselectrónicas,asícomolosprogramasespecíficosparalosniños,conllevanlapromesadeiniciarlos

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enlabellezadelamatemática;unrolquemuchasveceslasmaestras,muyocupadasenenseñarlamecánicadelcálculo,noalcanzanacumplir.Dichoesto,¿puedeydebelacalculadorafuncionarcomounsustitutodelaaritméticamentalmemorística?Seríatontosuponerquetengolarespuestadefinitiva. Usar una calculadora de bolsillo para multiplicar 2 × 3obviamente es absurdo, pero nadie quiere llegar a esos extremos. Sinembargo, se debería reconocer que hoy en día la gran mayoría de losadultosnuncarealizauncálculodevariascifrassinutilizar laelectrónica.Nos guste o no, los algoritmos de división y de resta son especies enpeligrodeextinciónyestándesapareciendorápidamentedenuestrasvidasdiarias, excepto en las escuelas, donde todavía toleramos su silenciosaopresión.Comomínimo,elusode lascalculadorasen laescueladeberíaperder

suestatusdetabú.Lacurrículaescolardematemáticanoes inmutable,ymuchomenosperfecta.Suúnicoobjetivodeberíasermejorarlafluidezdelos niños en la aritmética, no perpetuar un ritual. Las calculadoras y lascomputadoras son solo unos pocos de los promisorios caminos que loseducadores han comenzado a explorar. Tal vez deberíamos estudiar losmétodos de enseñanza que se usan en China y en Japón de un modomenoscondescendiente,comohicieronlospsicólogosHaroldStevenson,de la Universidad de Michigan, y Jim Stigler, de la UCLA, quienesconcluyeronqueestosmétodossuelensersuperioresalosqueseutilizanen lamayor parte de los países occidentales (Stevenson y Stigler, 1992).Solo tomen en consideración este ejemplo simple: en Occidente, engeneral aprendemos las tablasdemultiplicar líneapor línea, comenzandoconlos«×2»yterminandoconlos«×9»,parauntotaldesetentaydosdatos que deben ser recordados. En China, a los niños se les enseñaexplícitamente a reordenar las multiplicaciones ubicando el dígito máspequeñoenprimerlugar.Estetrucoelemental,queevitareaprender9×6cuandounoyasabeelresultadode6×9,reduceacasilamitadlacantidadde informaciónque almacenar.Tieneun impactonotable en la velocidadde cálculo y en la tasa de error de los alumnos chinos.Obviamente, notenemos el monopolio del currículum bien concebido. Entonces,mantengamoslosojosabiertosatodaslasposiblesfuentesdeprogresoenlos métodos de enseñanza, ya sea que provengan de la informática, delprocesamientodedatosodelapsicología.

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El«hombreanumérico»:dimeenquépaísestudiasytedirécómocalculas

En el sistema educativo occidental, los niños pasan mucho tiempoaprendiendo lamecánicade laaritmética.Sinembargo,hayunasospechacrecientedequemuchosdeelloslleganalaadultezsinhabercomprendidorealmentecuándoaplicaresteconocimientodeformaapropiada.Comonotienenningúntipodecomprensiónprofundadelosprincipiosaritméticos,correnelriesgodeconvertirseenpequeñasmáquinasquecalculanperonopiensan.JohnPaulos(1988)hadadonombreaesedrama:sonanuméricos,elanálogoalanalfabetismoeneldominiodelaaritmética.Losanuméricosson proclives a extraer conclusiones azarosas sobre la base de unrazonamiento que solo es matemático en apariencia. Aquí hay algunosejemplos:

1/5+2/5=3/10porque1+2=3y5+5=10.0,2+4=0,6porque4+2=6.0,25esmásgrandeque0,5porque25esmásgrandeque5.Unapiletadeaguaa35ºC,sumadaaotraconaguaa35ºC,hacenunagranbañaderadeaguamuycalientea70ºC(afirmacióndemihijode6años).Latemperaturarondalos80ºFhoy(unos27ºC);hacedosvecesmáscalor que anoche, cuando la temperatura fue de 40 ºF (alrededor de4,4ºC).Hayun50%deprobabilidadesdequelluevaelsábado,ytambiénun50 % de probabilidades de que llueva el domingo, así que hay un100%decertezadequelloveráduranteelfindesemana(escuchadoenelnoticierolocalporJohnPaulos).Unmetroequivalea100centímetros.Dadoquelaraízcuadradade1es1,yquelaraízcuadradade100es10,¿nodeberíamosllegara laconclusióndeque1metroequivalea10centímetros?LaseñoraXestáasustada:lanuevapruebadecáncerquesehizodiopositiva.Sudoctorcertificaqueestapruebaesaltamenteconfiableydapositivoenel98%de loscasosdecáncer.Entonces, laseñoraXtiene un 98% de seguridad de tener cáncer. ¿No es cierto? (No, esfalso. La información disponible no avala absolutamente ningunaconclusión.Supongamosquesolounapersonaendiezmildesarrollaeste tipo de cáncer, y que la prueba tiene una tasa de 5%de falsospositivos.De las diezmil personasque sehagan la prueba, cercade

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quinientas tendrán un resultado positivo, aunque solo una de ellasrealmentesufrirádecáncer.Enesecaso,apesardesusresultados,laseñoraX sigue teniendo una posibilidad en quinientas de desarrollarcáncer).

EnlosEstadosUnidos,laluchacontrael«anumerismo»sehaconvertidoprácticamente en una campaña nacional. Informes alarmantes sugierenque, ya en el jardín de infantes, los niños estadounidenses vanmuy a lazagadesuspareschinosyjaponeses.Algunoseducadoresvenesta«brechade aprendizaje» comouna amenazapotencial a la supremacía del país enciencia y tecnología. El chivo emisario es el sistema educativo, suorganización mediocre, y el entrenamiento pobre de sus maestros. DelladofrancésdelAtlántico,prácticamenteañopormediounacontroversiasimilaranunciaunanuevacaídaenloslogrosmatemáticosdelosniños.Una educadora dematemática, StellaBaruk (1973), ha analizado con

perspicacia cuánta responsabilidad tiene el sistema educativo en lasdificultadesmatemáticasdelosniños.Suejemplofavoritoesunproblemadigno de los sketchs cómicos de losMonty Pithon: «Hay doce ovejas ytrece cabras en un bote. ¿Cuántos años tiene el capitán?».Créase o no,este problema se presentó oficialmente a niños franceses de primero ysegundo grado en una encuesta oficial, y gran parte de ellos respondiósinceramente «25 años, porque 12 + 13 = 25»: ¡sorprendentementeanuméricos!Si bien hay razones serias para preocuparse por la difundida

incompetenciaenmatemática,yocreoquenuestrosistemaescolarnoeselúnicoculpable.Elhechodequepartedelapoblaciónseaanuméricatieneraíces mucho más profundas: en última instancia, refleja la lucha delcerebrohumanoparaalmacenarconocimientoaritmético.Obviamente,sepuedeseranuméricoenmuydiversasmedidas,desdeelniñopequeñoquepiensaquelastemperaturaspuedensumarsealestudiantedemedicinaqueno logra calcularunaprobabilidad condicional. Sin embargo, todos estoserrores comparten un rasgo: sus víctimas llegan a conclusionesdirectamentesinconsiderarlarelevanciadeloscálculosquerealizan.Estaes una contraparte lamentable de la automatización del cálculo mental.Nosvolvemos tanhábiles en lamecánicadel cálculoque lasoperacionesaritméticas a veces comienzan automáticamente en nuestras cabezas.Observensinosusreflejosconlossiguientesproblemas:

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Ungranjerotieneochovacas.Muerentodas,exceptocinco.¿Cuántasquedan?Judytienecincomuñecas,quesondosmenosdelasquetieneCathy.¿CuántasmuñecastieneCathy?

¿Sesintieronimpulsadosaresponder«tres»aambosproblemas?Lamerapresentación de las palabras «menos que» o «todas excepto» sonsuficientes para desencadenar un plan automático de sustracción ennuestrasmentes.Tenemosquelucharcontraestaconductaautomatizada.Se necesita un esfuerzo consciente para analizar el significado de cadaproblemay formarunmodelomentalde la situación.Solo entoncesnosdamos cuenta de que deberíamos repetir el número 5 en el primerproblema,y sumar 5y2enel segundo.Al inhibir elplande sustracciónponemos en funcionamiento la porción anterior del cerebro, una regiónllamadacortezaprefrontal,queestáinvolucradaenlaimplementaciónyelcontrol de estrategias no rutinarias. Como la corteza prefrontal maduramuy lentamente —por lo menos hasta la pubertad y, probablemente,inclusodespuésdeella—,losniñosylosadolescentessonmuyvulnerablesa la impulsividadmatemática.Susáreascorticalesprefrontales todavíanohan tenido demasiadas oportunidades de adquirir un gran repertorio deestrategias de control refinadas, necesarias para evitar caer en trampasaritméticas.Mihipótesis,entonces,esquela«condiciónanumérica»esresultadode

ladificultadparacontrolarlaactivacióndeplanesaritméticosdistribuidosen varias áreas cerebrales. Como veremos en los capítulos 7 y 8, elconocimiento del número no depende de una sola área cerebralespecializada, sino de amplias redes distribuidas de neuronas, cada unaencargada de desempeñar su propio cálculo simple, automatizado eindependiente.Nacemos con un «circuito acumulador» que nos dota deintuiciones aproximativas acerca de las cantidades numéricas. Con laadquisición del lenguaje, entran en juego varios otros circuitos que seespecializan en la manipulación de símbolos numéricos y en el conteoverbal. El aprendizaje de las tablas de multiplicar utiliza otro circuitoespecializado más de memoria verbal; y la lista podría continuar quizálargorato.Existenpersonasanuméricasporqueestosmúltiplescircuitosamenudo responden de forma autónoma y de unmodo desarticulado. Suarbitraje,bajoelmandode lacortezaprefrontal, suele surgir lentamente.Losniñosquedanamerceddesusreflejosaritméticos.Noimportasiestánaprendiendoacontaroarestar:hacenfocosobrerutinasdecálculoyno

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logran trazar los vínculos apropiados con su sentido numéricocuantitativo.Yasí,esosniños,nosotros,nosvolvemosanuméricos.

Enseñarelsentidonumérico:loquelaescuelapuedehacer

Si mi hipótesis es correcta, somos anuméricos durante largo tiempo,porque esto refleja una de las propiedades fundamentales de nuestrocerebro: su modularidad, la compartimentación del conocimientomatemático en múltiples circuitos parcialmente autónomos. Paravolvernos competentes en matemática, debemos ir más allá de estosmóduloscompartimentadosyentablarunaseriedevínculosflexiblesentreellos.Elanalfabetonuméricorealizacálculosdeformareflejayazarosa,sinningúntipodecomprensiónprofunda.Elcalculadorexperto,encambio,hace malabares mentales con notaciones numéricas, en una alternanciafluida, pasando de dígitos a palabras y a cantidades, y seleccionareflexivamenteelalgoritmomásapropiadoparaelproblemaqueencara.Desde esta perspectiva, la escuela tiene un papel fundamental, no tantoporquelesenseñealosniñosnuevastécnicasaritméticas,sinoporquelosayuda a trazar conexiones entre lamecánica del cálculo y su significado.Unbuenmaestroesunalquimistaqueledaauncerebroqueessobretodomodular la apariencia de una red interactiva. Por desgracia, a menudonuestras escuelas no pueden abordar este desafío. En demasiadasocasiones,lejosdeallanarlasdificultadesplanteadasporelcálculomental,nuestrosistemaeducativolasaumenta.Lallamadelaintuiciónmatemáticasoloestáchispeandoen lamentedelniño,ypuede languidecer.Necesitaser avivaday sostenida antesdequepueda iluminar todas las actividadesaritméticas.Peronuestras escuelas se contentan, engeneral, con inculcarrecetasaritméticasnosignificativasymecánicasalosniños.Y un estado de cosas como ese se demuestra tanto más lamentable

porque,comohemosvisto,lamayoríadelosniñosentraalpreescolarconunacomprensiónbiendesarrolladadelaaproximaciónydecómocontar.En lamayoría de los cursosdematemática, este bagaje informal se tratacomounadebilidadmás que comoun recurso.Contar con los dedos seconsidera una actividad aniñada, que una buena educación eliminará.¿Cuántosniñosintentanescondersecuandocuentanconlosdedosporque

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«lamaestradijoqueno»?Sinembargo,lahistoriamismadelossistemasdenumeración prueba repetidas veces que contar con los dedos es unprecursorimportanteparaaprenderlabase10.Delmismomodo,nolograrencontrarelresultadoalasuma6+7=13enlamemoriaseconsideraunerror,inclusosielniñopruebaluegoquetieneunexcelentedominiodelaaritmética encontrando el resultado de forma indirecta; por ejemplo,recordando que 6 + 6 es 12, y que 7 está una unidad después de 6.Estigmatizar a un niño por utilizar estrategias indirectas ignoradescaradamente que los adultos utilizan estrategias similares cuando sumemoriafalla.Despreciar las habilidades tempranas de los niños puede tener un

efectodesastrosoensuopiniónposteriordelamatemática.Afianzalaideadequelamatemáticaesundominioárido,desconectadodelaintuiciónyregido por la arbitrariedad (Baruk, 1973, Fuson, 1988). Los alumnossientenquesesuponequedebenhacer loquehaceelmaestro, inclusosino leencuentrensentido.Unejemploalazar:elpsicólogodeldesarrolloJeffrey Bisanz (1999) pidió a alumnos de 6 y 9 años que calcularan5+ 3− 3. Los niños de 6 años amenudo respondían «5» sin hacer elcálculo, percibiendo correctamente que + 3 y − 3 se cancelanmutuamente. Sin embargo, los niños de 9 años, aunque tenían másexperiencia,realizabantercamenteelcálculocompleto(5+3=8,yluego8−3=5).«Usarunatajoseríahacertrampa»,explicóunodeellos.La insistencia en el cálculo mecánico a expensas del significado

recuerda el acalorado debate que divide a las escuelas formalista eintuicionista de la investigaciónmatemática. La línea formalista, fundadaporHilbertyseguidapor losmatemáticos francesesmás importantes, seagrupababajoelseudónimodeBourbaki,yteníacomoobjetivoanclar lamatemática en una base axiomática firme. Su objetivo era reducir lademostración a una manipulación puramente formal de símbolosabstractos. De esta perspectiva árida nació la tan famosa reforma de la«matemática moderna», que arruinó el sentido matemático de unageneración entera de alumnos franceses presentando, según una fórmulade este período, «una educación extremadamente formal, separada decualquier base intuitiva, presentada a partir de situaciones artificiales, yaltamenteselectiva».Porejemplo, losreformistaspensabanquelosniñosdeberían estar familiarizados con los grandes principios teóricos de lanumeración antes de que se les enseñaran las especificidades de nuestrosistema decimal. Entonces, créanlo o no, algunos textos de aritmética

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comenzabanexplicandoque3+4es12…¡enbase5!Esdifícilpensarunmodomejordeconfundirelpensamientodelosniños.Esta concepción errónea del cerebro y de la matemática, en que se

desalienta la intuición, llevaalfracaso.EstudiosrealizadosenlosEstadosUnidos por David Geary y sus colegas de la Universidad de Misuri-Columbiasugirieronquecercadel6%delosalumnosson«discapacitadosmatemáticos» (Geary, 1990, Shalev, Auerbach, Manor y Gross-Tsur,2000).Pormi parte, nopuedo creer que undéficit neurológico genuinoaqueje a tantos niños. Si bien existen lesiones cerebrales que puedenafectar selectivamente el cálculomental, como veremos en el capítulo 7,sonrelativamenteinfrecuentes.Parecemásprobablequemuchosdeestosniños «discapacitados matemáticos» sean alumnos con capacidadesnormales que comenzaron con el pie izquierdo en matemática. Suexperiencia inicial termina por convencerlos de que la aritmética es unasuntopuramenteescolar,sinningunametaprácticayningúnsignificadoobvio. Deciden rápidamente que jamás serán capaces de comprender niuna palabra de todo eso. Por ende, las considerables dificultades que deporsíplantealaaritméticaacualquiercerebroconstituidonormalmenteseven agravadas por un componente emocional, una ansiedad creciente ofobiaalamatemática.Podemosenfrentarnosaestasdificultadessibasamoselconocimiento

matemáticosobresituacionesconcretasmásqueenconceptosabstractos.Necesitamos ayudar a los niños a darse cuenta de que las operacionesmatemáticas tienenunsignificado intuitivo,queellospuedenrepresentarutilizando su sentido innato de las cantidades numéricas. En resumen,debemosayudarlosaconstruirunrepertorioricoen«modelosmentales»delaaritmética.Analicemoselejemplodeunarestaelemental,9−3=6.Comoadultos,conocemosmuchassituacionesconcretasenqueseaplicaestaoperación:unplanteodeconjunto(unacanastaconnuevemanzanas,delaqueunosacatres,ahoratienesoloseis),unplanteodedistancia(encualquier juegodemesa,paramovernosde lacasilla3a lacasilla9hacenfaltaseismovimientos),unplanteodetemperatura(silatemperaturaesdenuevegradosybajatres,entoncesharáseisgrados),ymuchosotros.Estosmodelosmentalesparecenequivalentesparaelojoadulto,peronolosonparaelniñoquedebedescubrirquelarestaeslaoperaciónqueencajacontodosellos.Eldíaenqueelmaestropresentalosnúmerosnegativosypideasusalumnosquecalculen3−9,unniñoquesolodominaelplanteodeconjuntopiensaqueestaoperaciónesimposible.¿Sacarnuevemanzanasa

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tresmanzanas?¡Esoesabsurdo!Otroniñoquesoloutilizaelplanteodedistancia llega a la conclusión de que 3 − 9 = 6, porque, en efecto, ladistanciade3a9es6.Sielmaestrosostienemeramenteque«tresmenosnuevees igual amenos seis», losdosniñoscorrenel riesgodeno lograrcomprenderlaafirmación.Sinembargo,elplanteodelatemperaturapuededarlesunaimagenintuitivadelosnúmerosnegativos.«Menosseisgrados»esunconceptoquehastalosniñosdeprimergradopuedencomprender.Pensemosenunsegundoejemplo:lasumadedosfracciones,1/2y1/3.

Una criatura que tiene en mente una imagen intuitiva de las fraccionescomoporcionesdeunatarta—mediatartayluegootroterciodetarta—no tendrá dificultades para llegar a la conclusión de que su suma estáapenaspordebajode1.Éloellahastapuedecomprenderquelasporcionesdebencortarseentrozosmáspequeñose idénticos(esdecir,reducirsealmismodenominador)antesdepodersereagruparparaqueeltotalexactosea calculable: 1/2 + 1/3 = 5/6. En cambio, un niño para quien lasfraccionesnotienensignificadointuitivo,yparaquiensonsolodosdígitosseparados por una barra, probablemente caerá en la trampa clásica desumarelnumeradoryeldenominador: ¡1/2+ 1/3= (1+ 1)/(2 – 3)= 2/5!Esteerrorpuedeinclusoencontrarjustificaciónenunmodeloconcreto.Supongamosqueenlaprimeramitaddeljuego,MichaelJordanacierta

unodecadadostiros,paraunpromediode1/2,yqueenlasegundamitadaciertaunavezcadatrestiros.¡Aquíhayunasituaciónenlaque1/2«más»1/3 es igual a 2/5!Cuando se enseñan fracciones, es de vital importanciaqueelchicosepaquesetieneenmenteuna«porcióndeunatarta»másqueun «promedio de puntos». El cerebro no se contenta con los símbolosabstractos: las intuiciones concretasy losmodelosmentalesdesempeñanunpapelclaveenlamatemática.Estaesprobablementelarazónporlaqueel ábaco funciona tan bien para los niños asiáticos: les da unarepresentaciónmuyconcretaeintuitivadelosnúmeros.Peroterminemosestecapítuloconunanotadeoptimismo.La locura

por la «matemática moderna» basada sobre una visión formalista de lamatemática está perdiendo fuerza en muchos países. En los EstadosUnidos, el Consejo Nacional de Maestros de Matemáticas no hacehincapiéenelaprendizajememorísticodehechosyprocedimientos,yencambioseconcentraenenseñarunafamiliaridadintuitivaconlosnúmeros.En Francia —el país que obviamente recibió el golpe más directo del«bourbakismo»—muchosmaestrosyano esperanque lospsicólogos lesaconsejen regresar a un enfoque más concreto de la matemática. Las

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escuelas lentamentehanvuelto a incorporarmaterial educativoconcreto,como las barras bicolores deMaríaMontessori, las tablas de Séguin, lasbarrasdedecenas,lasplacasdecentenas,losdadosylosjuegosdemesa.ElMinisterio de Educación francés, luego de varias reformas, parece haberdejadode lado la ideadevolveracadaniñounamáquinamasticadoradesignos. El sentido numérico —y, de hecho, el sentido común— estáregresando.Al mismo tiempo que este bienvenido cambio, los psicólogos

educacionalesde losEstadosUnidoshandemostradode forma empíricalos méritos de una currícula de aritmética que ponga el acento sobremodelos aritméticos concretos, prácticos e intuitivos. Sharon Griffith,Robbie Case y Robert Siegler, tres psicólogos del desarrolloestadounidenses, han unido esfuerzos para estudiar el impacto dediferentesestrategiaseducacionalesenlacomprensiónquelosniñostienendelaaritmética(Griffin,CaseySiegler,1986,GriffinyCase,1996[24]).Suanálisisteórico,aligualqueelmío,haceénfasisenelpapelcentraldeunarepresentación intuitivade lascantidades sobre la rectanuméricamental.Sobre esta base, Griffin y Case diseñaron el programa Rightstart, quepropone a los niños juegos numéricos entretenidos orientados haciamejoreslogrosenaritmética,enuncurrículumdecomienzosdejardíndeinfantes;esteprogramaincluyedistintosmaterialespedagógicosconcretos(termómetros, juegosdemesa,rectasnuméricas,hilerasdeobjetos,etc.).Sumetaeraenseñarlesalosniñosdebarriosurbanosdebajosrecursoslosrudimentosdelaaritmética:

Elobjetivocentraldelprogramaespermitirlesalosniñosrelacionar el mundo de los números con el mundo de lacantidad y, por consiguiente, comprender que los númerostienen significado y se pueden usar para predecir, paraexplicar,yparacomprenderelmundoreal.

La mayoría de los niños comprende de forma espontánea lacorrespondenciaentre losnúmerosy lascantidades.Losniñosconbajosrecursos,sinembargo,talveznolohayancomprendidoantesdeentraralpreescolar. Si no cuentan con los prerrequisitos conceptuales paraaprenderaritmética,estánenriesgodequedarrezagadosenloscursosdematemática.ElprogramaRightstartintentadevolverlosalasendacorrectaa través de juegos aritméticos interactivos simples. Por ejemplo, en unasección del programa, se invita a los niños a jugar a un juego de mesa

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simple que les enseña a contar susmovimientos, a restar para descubrircuánlejosestándelameta,yacompararlosnúmerosparadeducirquiénestámáscercadeganareljuego.Los resultados son notables. Griffin, Case y Siegler han probado su

programaenvariasescuelasurbanasenCanadáy losEstadosUnidos,ensumayoríaconniños inmigrantesde familiasdebajos ingresos.Quienesestabanatrasadosrespectodesusparesparticiparonencuarentasesionesde veinte minutos del programa Rightstart y alcanzaron los primerospuestosdelaclaseenelsemestresiguiente.Hastasuperabanalosalumnosconunmejordominioinicialdelaaritmética,peroquehabíanseguidounacurrícula más tradicional. Su avance se consolidó en el siguiente añoescolar.Estaextraordinariahistoriaexitosadeberíatraeralgodeconsueloalos maestros y los padres que sienten que sus hijos son alérgicos a lamatemática. De hecho, la mayoría de los niños están encantados deaprendermatemáticasiunoseocupademostrarleslosaspectosdivertidosantesqueelsimbolismoabstracto.JugaraljuegodelaocaoaSerpientesyEscaleraspuedesertodoloquenecesitenlosniñosparatenerunaventajainicialenmatemática.

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6.Geniosyprodigios

Unexpertoesunhombrequehadejadodepensar:¡sabe!

FrankLloydWright

Uno de los episodios más novelescos de la historia de la matemáticaocurrió unamañana de enero de 1913, cuando el profesorG.H.HardyrecibióunacartadeaspectoextrañoqueveníadeIndia(Kanigel,1991).Alos36años,Hardyeraunrenombradomatemático,probablementeelmásbrillante de Inglaterra: profesor delTrinityCollege deCambridge, pocotiempo antes había sido elegidomiembro de laRoyal Society.Allí, solíaconversardeigualaigualconmentestannotablescomoladeWhiteheadoRussell. En un contexto tan estimulante para el intelecto, uno puedeimaginarsesumalestaralcomenzaraleerestacartaenviadadesdeMadrás,actualChennai.Conunasintaxisrudimentaria,undesconocidodenombreSrinivasa Aiyangar Ramanujan le pedía su opinión sobre una serie deteoremas.Setratabasindudadeundiletantepresumido.Apesardesuimplacabledesdénporlosmatemáticosaficionados,tan

pronto como comenzó a descifrar con creciente atención lasmisteriosasfórmulas matemáticas de su corresponsal (figura 6.1), Hardy no pudosustraerse a la fascinación. Algunas de ellas consistían en teoremas bienconsolidados hacía mucho tiempo… Pero ¿por qué este hombre lospresentabacomosifueransuyos?Algunasfórmulassederivaban,avecesporunavía indirecta,de resultadosmatemáticoscomplicadosqueHardyconocíamuy bien porque personalmente había contribuido para llegar aellos.Lasúltimasfórmulas,sinembargo,erandesconocidas:largascadenasde raíces cuadradas, exponenciales y fracciones mezcladas en un cóctelúnico,cuyosorígenestodavíaeranincomprensibles.

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Figura6.1.UnapequeñamuestradelasmisteriosasfórmulasdeRamanujan.Laexpresiónparaπquevemosenposiciónfinalescorrectahastaelvigésimodecimal.

Hardynuncahabíavistonadaparecido.Nopodíaserunabroma:teníalaseguridad de estar ante un genio, un fuera de serie. Como explicó mástarde en su autobiografía (Hardy, 1940), «las fórmulasdebían ser ciertasporque,sino,nadiehabríatenidosuficienteimaginaciónparainventarlas».Al día siguiente, decidió ayudar a Ramanujan para que pudiera viajar aCambridge.Este fue el comienzode una colaboración sumamente fértil,que llegó a un punto culminante con la elección de Ramanujan para laRoyalSocietyunospocosañosmástardeyterminótrágicamenteconsumuerteel26deabrilde1920,alaedadde32años.Unopodríaargumentar,conapenasalgodeexageraciónchistosa,que

lagenialidaddeRamanujansuperabaladeIsaacNewton,porquehabíaidomásalláquecualquierotromatemáticosinsubirsealoshombrosdenadie.Nacido en una pobre familia brahmana, Ramanujan solo había seguidocursosformalesdurantenueveañosenescuelaslocalesdelsurdeIndia,ynunca había recibido un título universitario. Sin embargo, en su niñeztempranasugenialidadyaeraevidente.HabíaredescubiertoporsísololasfamosasfórmulasdeEuler,quevinculanlasfuncionesexponencialesylastrigonométricas,yalos12añosdominabalaPlaneTrigonometrydeSidneyLuxtonLoney.A los16años,Ramanujan seencontróconunsegundo libroque fue

decisivoparasuinclinaciónporlamatemática,laSinopsisdelosresultados

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elementales en matemática pura y aplicada de George Soobridge Carr,compilación de 6165 teoremas con demostraciones solo esbozadas. Afuerzadeestudiarestevolumen,ydereinventarlamatemáticadelossiglosanteriores, Ramanujan adquirió una capacidad singular, que ningún otromatemáticoantesodespuésparecehaberposeídoenelmismogrado:unsorprendentesentidodelafórmulaapropiada,unaintuiciónrefinadadelasrelaciones numéricas. Era inigualable en su habilidad para concebirrelacionesaritméticasnovedosas,nisiquierasoñadasantespornadie,yquepor lo general adoptaba basado tan solo sobre su intuición, para grandesesperación de sus colegas matemáticos que, hasta muy poco tiempoatrás, habían hecho enormes esfuerzos para aportar pruebas rigurosas orefutacionesaloscientosdefórmulasquecubríansuscuadernos.Ramanujan sostenía que quien escribía sus teoremas era la diosa

Namagiri,en«supropialengua»ydurantelanoche.Aldespertar,muchasveces escribía febrilmente resultados inesperados que luego dejaríanpasmadosasuscolegas.Personalmente,soybastanteescépticoacercadelarelevancia que pueda tener la actuación de las divinidades indias en lavanguardia de la investigaciónmatemática. Sin embargo, en este juego lapelotaestáenelcampodelneuropsicólogo:¿lapsicologíaolaneurologíapueden proponer una explicación, al menos embrionaria, para laextraordinariafertilidaddeestamenteúnica?CasicincuentaañosdespuésdelamuertedeRamanujan,Inglaterravio

nacer a otro genio cuyo talento era, en varios sentidos, el equivalenteexacto del deRamanujan, y almismo tiempo su opuesto.Michael es unjovenautistaconunretrasomentalprofundo,estudiadoduranteañospordos psicólogos ingleses, Beate Hermelin y Neil O’Connor (1990[25]).Durante su infancia sufrió macrocefalia y tuvo numerosos episodios deconvulsiones,queprobablementelecausaronundañocerebraltemprano.Era un niñomolesto y destructivo, inconsciente del peligro, que parecíavivirenunmundocerradoycentradoensímismo.Nuncasaludóoseñalóobjetos,gestosque lospequeñossuelendesarrollardeformaespontánea.Nuncamostróinterésporlacompañíadelosadultos.A los 20 años, Michael no había logrado hablar. Nunca aprendió la

lengua de señas y hasta el momento no parece comprender palabras enabsoluto.SuCIverbalnosepuedemedirconningúntestqueimpliqueeluso de palabras. Tampoco en otras habilidades no verbales su capacidadparecealcanzarunamedidanormal;dehecho,suCInoverbalsolollegaa

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67. Esto significa que falla en casi todas las pruebas que examinan suconocimientorutinariodelosobjetos.¿Por qué comparar con aquel geniomatemático indio a este hombre

autista conunadiscapacidad severa?Porque,pese a sudramático retrasomental,Michaelesextraordinariamenteversadoenaritmética.Haciasus6años,aprendióacopiaralgunasletrasylosdiezdígitosarábigos.Desdeesemomento,sumar,restar,multiplicar,dividiryfactorearnúmeroshansidosus pasatiempos favoritos. El dinero, los relojes, los calendarios y losmapastambiénlofascinan.Cuandoselomidecontestlógicos,suCIllegaa128,muyporencimadelpromediode laspersonassinalteraciones. ¡Setratadeunhombrequenopuedenombrarunautoounconejo,peroquepercibeinmediatamenteque627sepuededescomponeren3×11×19!Michaelnecesitapocomásdeunsegundoparadeterminarsiunnúmerodetres dígitos es primo (es decir, no expresable como producto de dosnúmeros más pequeños). Para realizar esta misma tarea, un psicólogoformadoenmatemáticanecesitadiezvecesmástiempo.¿Cómoesposiblequeunhombremudo,condiscapacidadmental,sea

alavezuncalculistarelámpago?¿Cómoesposiblequealguiencrezcaenuna familia indiapobrey se convierta enunmatemáticodeprimernivelsolo con la ayuda de dos libros que, en líneas generales, no incluyendemostraciones? Hoy en día, en todo el mundo, los psicólogos hanidentificado a cientos de personas con «síndrome del savant» similares aMichael. Algunos pueden decir qué día de la semana corresponde acualquierfechapasadaofuturadelcalendario.Otrossoncapacesdesumarmentalmente dos números de seis dígitos enmenos tiempo del que nosllevaría pulsarlos en un teléfono. Sin embargo, amenudo estas personascarecendeltodode inteligenciasociale inclusoavecesnodesarrollansufacultaddellenguaje.Lameraexistenciadeestetipodeprodigios¿poneendudalateoríaqueesbocéenloscapítulosprevios?¿Cómoescapanellosalas dificultades de cálculo que enfrentamos todos? ¿En qué consiste ese«sextosentido»quelesconfiereunaintuicióntanfuerteparalosnúmeros?¿Deberíamos reconocer en ellos una forma especial de organizacióncerebral,undoninnatoparalaaritmética?

Unbestiarionumérico

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Elpapeldelamemoriaenlamatemáticasesubestimaconfacilidad.Cadauno de nosotros reúne inconscientemente cientos de datos numéricos:pensemos,porejemplo,enelpoderevocativodelosnúmeros1492,1945,911o2000.Aquíresideunodelosprimerossecretosdelosprodigiosdelcálculo: su familiaridad con los números es tan refinada que para ellosprácticamentenoexisteningúnnúmeroaleatorio.Loqueparanosotrosesuna serie común y corriente de dígitos, sin interés particular, desde superspectiva asume un significado singular. Según explica el calculistarelámpago George Parker Bidder[26], «el número 763 se representasimbólicamentecontrescifras(7,6y3),pero763essolounacantidad,unnúmero, una idea, y aparece enmimente de lamismamanera en que lapalabra “hipopótamo” aparece para expresar la idea de un animal enparticular».Cadageniodelcálculocuentaconunzoológicomentalpobladoporun

bestiario de números familiares. Esa familiaridad suya con los números,queconocendeprincipioafin,eslamarcadistintivadeestosaritméticosexpertos.«Losnúmerossoncasicomoamigosparamí»,diceWimKlein.«Noloesparati3844,¿noescierto?Paratiessoloun3yun8,yun4yun4.Peroyoledigo:“¡Hola,62alcuadrado!”».Muchas anécdotas biográficas confirman la extrema familiaridad con

que losgrandesmatemáticosmanipulan lasherramientasde suoficio,yaseanlosnúmerosolasformasgeométricas.PensemoseneldiálogoentreHardy y Ramanujan mientras el matemático indio, que había contraídotuberculosis, agonizaba enun sanatorio (Kanigel, 1991). «El taxiquemetrajo aquí tenía el número 1729», dijoHardy, «ymepareció unnúmerobastante aburrido». «Pero no, Hardy», le respondió Ramanujan. «Es unnúmerocautivante.Eselnúmeromáspequeñoexpresablededos formasdistintascomosumadedoscubos»:¡1729=13+123=103+93!Se cuenta que Gauss, otro matemático excepcional, y también un

prodigiodelcálculo,había logradounahazañadeeste tipo inclusoaunaedadtantomástemprana.Sumaestropidióatodalaclasequesumaralosnúmerosdel1al100,probablementeparaquelosalumnossequedaranensilencio durante media hora. Pero el pequeño Gauss inmediatamentelevantó lapizarra conel resultado.Habíapercibidoenseguida la simetríadel problema.Al «doblarmentalmente» la recta numérica, podía agrupar100con1,99con2,98con3,yasísucesivamente.Así,lasumaseredujoacincuenta pares y cada unodaba como resultado 101, lo que le permitiócontarrápidamenteuntotalde5050.

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ElmatemáticofrancésFrançoisLeLionnais,queademásformabapartedel movimiento de experimentación literaria Oulipo, enfatizó que «lasaptitudesparaelcálculomentalyparalamatemática[…]tienenencomúnuna sensibilidad a lo que me permitiría llamar la personalidad de cadanúmero». En 1983, Le Lionnais publicó un pequeño libro llamado Lesnombresremarcables,enelcualhizo la listadevarioscientosdenúmeroscon propiedades matemáticas especiales (Le Lionnais, 1983). Sufascinación por los números había comenzado a los 5 años. Luego deestudiar las tablas de multiplicación impresas en la contratapa de suscuadernillos escolares, se sorprendió al descubrir que losmúltiplos de 9terminabanconlosdígitos9,8,7,6,yasísucesivamente(esdecir,9,18,27,36,etc.;¿puedenverporqué?).Ensusañosdecolegial,estudiantey,más tarde, matemático profesional, no dejó de buscar los números más«llamativos» y los resultadosmatemáticos subyacentes que los primerospueden «delatar». Su archivo de temas numéricos se perdió cuando lodeportaron aAlemania durante la SegundaGuerraMundial (pasó variosmesesenuncampodeconcentración),peroloreconstruyódememoriaeinclusosumónuevasgemasasucolección,añotrasaño.En última instancia, su lista de números notables revela una porción

significativa de lo que un matemático de primer nivel debe saber de laaritmética. La mayor parte de su bestiario jamás será accesible para losprofanos.Porejemplo,244823040,unodelospocosnúmerosalosquelesdatresestrellas,sedescribe,paraél,enlenguajematemáticoestándar,como«elordendegrupoM24,elnovenogrupoesporádico:unodecuyosejemploses elgrupodeautomorfismosdeSteinerde índices (5,8,24)».¡Una definición que nos deja helados a la mayoría de nosotros! AquívemosalgunosdelospuntosmásdestacadosenelrecorridodeestaGuíaMichelindelarectanumérica:

La famosa«secciónáurea»que supuestamenteexplica laarmoníademuchasobrasdearte,comoelPartenón.Ingrésenloensucalculadorade bolsillo y pulsen las teclas «1/×» o «x2». El resultado lossorprenderá.4:elnúmeromínimodecoloresnecesariosparapintarcualquiermapapolíticodemodoquenoexistanparesdepaísesvecinosconelmismo

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tono. De modo bastante similar a la derrota de Kasparov ante unsoftware de ajedrez de la IBM, el «teorema de los cuatro colores» esfamoso en matemática porque marcó los límites del razonamientohumano:sucomprobaciónrequiereelexamensucesivodetantoscasosquesolopuedecompletarseutilizandoherramientasinformáticas.81:elcuadradomáspequeñoquesedescomponeenunasumadetrescuadrados(92=12+42+82).

un número real que se acerca notablemente a un entero: susprimerosdocedecimalessontodos9(otroaportedeRamanujan).Elnúmeroformadoalescribir trescientasdiecisieteveceseldígito1:esunnúmeroprimo.1234567891tambiénesunnúmeroprimo.39 es el enteromáspequeñoque carecedepropiedadesmatemáticasinteresantes,porlotanto,comodestacaelpropioLeLionnais,planteaunaparadoja:¿estonolovuelvenotable,despuésdetodo?

Elpaisajedelosnúmeros

A medida que uno recorre el inventario surrealista de Le Lionnais, nopuedeevitarelpensamientodequealgunosmatemáticosdebenestarmásfamiliarizadosconlarectanuméricaqueconeljardíndesucasa.Esmás,lametáforadeuna«visiónpanorámicadelamatemática»parecebastanteaptapara capturar su vívida introspección. Lamayoría de ellos siente que losobjetosmatemáticostienenunaexistenciapropia,tanrealytangiblecomoladecualquierotroobjeto.DejemoshablaraFerrol,unfamosoprodigiodel cálculo: «Muchas veces, especialmente cuando estoy solo,me parecequeestoyenotromundo.Lasideasdenúmerosparecentenervidapropia.De pronto, ante mis ojos aparecen preguntas de todo tipo con susrespuestas».Vemos la misma concepción en los escritos del matemático francés

AlainConnes:

Alexplorarlageografíadelamatemática,pocoapocoelmatemático percibe los contornos y la estructura de unmundo de increíble riqueza. Paulatinamente desarrolla unasensibilidad a la noción de simplicidad que da acceso aregiones nuevas y completamente insospechadas del paisajematemático(ChangeuxyConnes,1995).

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Connes piensa que los matemáticos expertos están dotados de unaclarividencia,untalento,uninstintoespecialcomparablealafinadooídodeunmúsico, o al paladar experimentadodeun sommelier, que les permitecierta percepción directa de los objetos matemáticos: «La evolución denuestraformadepercibirlarealidadmatemáticahacequesedesarrolleunnuevo sentido, que nos da acceso a una realidad que no es ni visual niauditiva,sinoalgocompletamentedistinto».EnElhombrequeconfundióasumujerconunsombrero,OliverSacks

describeadosmellizosautistasaquienesenciertaoportunidadsorprendiómientrasintercambiabannúmerosprimosmuygrandes.Suinterpretacióntambién apela a determinada «sensibilidad» acerca del mundomatemático[27]:

No son calculistas, y su enfoque de los números es«icónico»,evocanextrañasescenasdenúmeros,habitanentreellas; vagan libremente por grandes paisajes de números;crean, dramatúrgicamente, todo unmundo constituido pornúmeros.Tienen,enmiopinión,unaimaginacióndelomássingular […]yunadesussingularidades,yno lamenor,esque esa imaginación puede imaginar solo números. Noparecen«operar»connúmeros,demaneranoicónica,comohaceun calculista; ellos los «ven», demaneradirecta, comounenormeescenarionatural(Sacks,1985).

Para el yamencionadoRenéThom, una percepción intuitiva del espaciomatemáticoesesencial,yentalgradoquecualquiermatemáticoquellegaaloslímitesdesuintuiciónsienteunaansiedadinexplicable:

Nome siento cómodo con los espacios de dimensionesinfinitas. Sé que son objetos matemáticos perfectamentedocumentados, en múltiples estados perfectamenteconocidos;sinembargo,nomegustaestarenunespaciodedimensiones infinitas. [¿Estoes inquietante?].Desde luego,[…] es un espacio, precisamente, que elude a la intuición(Thom,1991).

UnocasipuedeoíraPascal—otrojovenprodigiomatemático—,quien,ensus Pensamientos, confesaba: «Me aterra el silencio eterno de estosespaciosinfinitos».

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Elvínculo cercanoentre las aptitudesmatemáticasy las espacialeshasido demostrado muchas veces. Existe una sólida correlación entre eltalentomatemáticodeunapersonaysupuntajeenpruebasdepercepciónespacial,comosifueraexactamentelamismahabilidad.BeateHermelinyNeilO’Connor(1986b)reunieronaungrupodeniñosdeentre12y14años que, de acuerdo con susmaestras, eran particularmente buenos enmatemática. Les presentaron problemas que desafiaban su sentido de lasrelacionesespaciales.Lasiguienteesunapequeñaselección.

¿Cuántasdiagonalespuedendibujarsesobrelasuperficiedeuncubo?Un cubo de madera, de nueve centímetros de lado y pintado deamarillo,secortaenveintisietepequeñoscubosdetrescentímetrosdelado.¿Cuántosdeellostendránsolodoscarasamarillas?

Losniñoscontalentoparalamatemáticafueronbrillantesenestaprueba.Sus compañeros de clase con un nivel estándar de desempeño enmatemática, aunque poseían un CI general equivalente, obtuvieroncalificacionesrotundamentemásbajas,inclusolosdegrantalentoartístico.Pero tal vez no resulte sorprendente que las competencias espaciales secorrelacionentantoconeléxitoenmatemática.DesdelaépocadeEuclidesyPitágoras,lageometríaylaaritméticahanestadoestrechamenteligadas.Configurarunmapaespacialdenúmerosesunaoperaciónfundamentalenelcerebrohumano.Comoveremosmásadelante, lasáreascerebralesquecontribuyenalsentidonuméricoyalasrepresentacionesespacialesocupancircunvolucionesvecinas.Muchos genios matemáticos han declarado poseer una percepción

directa de las relaciones matemáticas. Dicen que en sus momentos máscreativos, que algunos describen como «iluminaciones», no razonan deforma voluntaria, ni piensan en palabras, ni realizan largos cálculosformales. La verdad matemática se impone en ellos, a veces durante elsueño, como en el caso de Ramanujan. En muchas ocasiones Poincarédeclaróquesusintuicionesloconvencierondelaveracidaddeunresultadomatemático, aunque luego su comprobación formal le llevó horas decálculo. Pero es probable que sea el propio Einstein quien, en una cartapublicadaporHadamard(1945)ensucélebrePsicologíadelainvenciónenel campo matemático, haya elaborado con mayor claridad el papel de lalenguaylaintuiciónenlamatemática:

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Las palabras y la lengua, sean escritas o habladas, noparecen tener ningún papel enmi proceso de pensamiento.Lasentidadespsicológicasquefuncionancomoladrillosparamipensamientosondeterminadossignosoimágenes,másomenosclaros,quepuedoreproduciryrecombinaramigusto.

Esta es una conclusión que con seguridad suscribiría Michael, el genioautistadel cálculo relámpago sin lenguaje.Las intuicionesde losgrandesmatemáticos acerca de los números y otros objetos matemáticos noparecen depender tanto de ingeniosasmanipulaciones de números comode la percepción directa de relaciones significativas. A ese respecto, losprodigios del cálculo y losmatemáticos talentosos tal vez se diferenciendel ser humano promedio solo en la medida del repertorio de datosnuméricosquepuedenmovilizarenunafraccióndesegundo,esealmacéndememoriadelquehablábamosalcomenzar.Enelcapítulo3vimosquetodoslossereshumanosestamosdotadosdeunarepresentaciónintuitivadelascantidadesnuméricas,queseactivadeformaautomáticasiemprequevemos un número, y que especifica que 82 esmás pequeño que 100 sinrequerir esfuerzo consciente.Este «sentidonumérico» está encarnadoenunarectanuméricamentalorientadadeizquierdaaderecha.Soloentreel5y el 10 % de las personas la perciben de forma consciente como unaextensión espacial con colores varios y una forma retorcida. Quizá losgrandes calculistas humanos estén un paso más allá en este continuum.Parecen también entendermuchas veces los números como un dominioextendidoespacialmente,quepercibenconunaresolucióninclusomayoryuna cantidad sorprendente de detalles. En la mente del prodigio delcálculo, cada número no solo se enciende como un punto en una línea,sino como una red aritmética con conexiones en todas las direcciones.Ante el número 82, el cerebro de Ramanujan evoca, instantáneamente,2× 41, 100 – 18, 92+ 12, y un gran surtido de relaciones que son tanobviasasusojoscomo«máspequeñoque100»esalosnuestros.Sin embargo, todavía tenemos que explicar de dónde proviene esta

prodigiosamemoriaintuitivadelosnúmeros.¿Esundoninnato,productodeunaformainusualdeorganizacióncerebral?¿Oestansoloresultadodeañosdeentrenamientoenaritmética?

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Lafrenologíaylabúsquedadelasbasesbiológicasdelagenialidad

Desdehacemuchotiempolosprodigiosdelcálculodejanintrigadosaloscientíficos.Enlaprensapopular,ganaronespaciovariasteorías—muchasde ellas excéntricas— que pretenden explicar su genialidad. Entre lasfavoritas, lade losdonesdeDios,elconocimientoinnato, latransmisióndepensamiento,oinclusolareencarnación.HastaAlfredBinet,elfamosopsicólogo que inventó los primeros test de inteligencia, rindió tributo aesta denodada búsqueda de una explicación. En 1894, en su influyentelibroPsychologiedesgrandscalculateursetjouersd’échecs,quetodavíasuelecitarse,debate losorígenesdel talentodequien talvez fueraelcalculistamás famosode esa época, Jacques Inaudi (Binet, 1981 [1894]).En aquelmomento,Binet citó «con todas las reservas que unopodría esperar», lasiguienteanécdota:

Al parecer, la madre de Inaudi pasó por duras pruebasmoralesdurantesuembarazo.Eratestigodeldespilfarroquehacía su marido y notaba que pronto faltaría dinero parapagarnumerosasobligaciones.Movidaporeltemoraquesusposesiones fuesen embargadas, calculaba mentalmentecuánto debía ahorrar para poder cumplir sus compromisos.Pasaba losdías entre cifras, y sehabía vueltounamaniáticadelcálculo.

Binet, científico meticuloso, se preguntaba con la mayor seriedad delmundo:«¿Esta informaciónesexacta?Ysi loes, ¿el estadomentalde lamadrepodríahabertenidoalgunainfluenciaensuhijo?».ElhechodequeBinetsetomaratanenserioestetemamuestraconclaridadlovigentequese encontraba en 1894 la hipótesis lamarckiana de la transmisión decaracteresadquiridos,apesardelapublicacióndeElorigendelasespeciesdeDarwinen1859.De hecho, el primer intento de explicación científica del talento

intelectualhabíasidopropuestounosañosantesenelmismosigloXIX,yse había convertido en tema recurrente de discusiones intensas: la teoríafrenológica de los órganosmentales. En 1825, el anatomista y fisiólogoalemán Franz-Joseph Gall publicó su teoría de la «organología», luegobautizada «frenología» por Johann Gaspar Spurzheim. Su propuesta

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afirmabaunavisiónpuramentematerialistade lamenteyelcerebroque,aunque muchas veces ridiculizada, tuvo una influencia profunda enmuchos neuropsicólogos eminentes, entre ellos, Paul Broca y JohnHughlings Jackson. La organología de Gall postulaba una división delcerebro en muchas regiones especializadas, que constituían otros tantos«órganosmentales» innatos.Cada órgano, supuestamente, era la base deuna facultadmental específica: el instinto de reproducción, el amor a ladescendencia, el recuerdo de cosas y hechos, el órgano del lenguaje, elrecuerdo de personas, y así sucesivamente. Veintisiete facultades, querápidamenteseextendieronatreintaycincoenversionesposterioresdelateoría, se asignaron a territorios cerebrales específicos, a menudo sobreunabasefantasiosa.Enestalista,el«sentidodelasrelacionesnuméricas»ocupabaunpuestoimportanteentrelosórganosdedicadosalasfuncionesintelectuales,queseatribuíanaáreascerebralesfrontales(figura6.2).Dadoquelasfacultadesmentaleseraninnatas,¿cómopodíaexplicarse

su despliegue variable según los individuos?Gall postuló que el tamañorelativodelosórganoscerebralesdefiníalaspredisposicionesmentalesdecadapersona:enlosgrandesmatemáticos,lacantidaddetejidodestinadoalórganodelasrelacionesnuméricassuperaba,ymucho,ladelpromedio.Porsupuesto,eltamañodelascircunvolucionescerebralesnoeraaccesiblea las mediciones de manera directa. Sin embargo, Gall propuso unahipótesissimplificadora:elhuesocraneal,modeladoporlacortezadurantesu crecimiento, reflejaba con sus protuberancias y sus hendiduras eltamaño de los órganos subyacentes. El talento matemático, entonces,podíadetectarsedurante laniñezgraciasa la«craneometría», lamediciónde las deformaciones del cráneo. En francés contemporáneo, para unapersonaquetienemuchotalentoenciertasáreas,comolamatemática,seusa aún el dicho popular de que tiene la bosse des maths, la «giba de lamatemática»,unaexpresiónheredadasinmediacionesdelafrenología.

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Figura6.2.Unaimagennotablementefigurativadelosvariosórganoscerebralespostuladosporlosfrenólogos.El«sentidodelasrelacionesnuméricas»,másconocidocomola«gibadela

matemática»,estabaubicadoarbitrariamentedetrásdelojo.

Bajo la influencia de la teoría de Gall, los académicos del siglo XIXdestinaronunesfuerzoconsiderable a comparar el tamañoy la formadelos cráneos de las personas de diferentes razas, ocupaciones y nivelesintelectuales, una épica científica que Stephen Jay Gould ha narrado deforma brillante en La falsa medida del hombre (Gould, 1981). Muchoscientíficosderenombrecedieronalencantodeestanovedadydonaronsuscabezasalacienciademodoque,enunanecrofílicacompetenciapóstuma,elvolumendesumateriagrispudierasercomparadoconeldecolegasyconeldehombrespromedio.EnParís,laSociétéAnthropologiquededicónumerosassesionesaGeorgesCuvier,elfamosozoólogoypaleontólogofrancés.Lasdimensionesdesucráneo,yhastadesusombrero,dieronpieaunacaloradodebateentreBroca,fervientedefensordelacraneometría,yGratiolet,quien la rechazaba.ElcerebrodeGauss,deunpesopromedio

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pero del que se pensaba que tenía más circunvoluciones que el de untrabajador alemán promedio, parecía apoyar a Broca (figura 6.3). Esteúltimo también notó, de acuerdo con Binet, que «la cabeza del jovenInaudieramuyirregularyteníamuchasprotuberancias»,mientrasqueelpropio Charcot encontró «una leve protuberancia en la giba frontalderechay,enlaparteposterior,unaprotuberanciaparietal izquierda»,asícomouna«salientelongitudinaldedoscentímetrosformadaporunhuesoparietalderechoelevado».Lasuposicióndequeeltamañodelencéfaloeramenorenlasmujeres,enlos«negros»yenlosgorilasseinterpretócomounaprueba adicionalde la estrecha correlaciónentre lasdimensionesdelcerebro y la inteligencia. Por si hace falta aclararlo, todos estos análisisestabanplagadosdeerroresobvios,queGould,entreotros,hadenunciadoenrepetidasocasiones.Un siglo y medio más tarde, ¿qué queda de la frenología y la

craneometría?Sibienalgunosracistasintentanrevivirlaperiódicamenteenel ámbito político, la hipótesis de que existe un vínculo directo entre eltamaño del cerebro y la inteligencia fue refutada una y otra vez. (¡ElcerebrodelpropioGallpesabasolo1282gramos,osea520gramosmenosqueeldeCuvier!).EllegadodelaorganologíadeGall,sinembargo,noestanclaro.Dehecho,lahipótesisdelaespecializaciónfuncionaldelasáreascerebralesestá fueradediscusión.Ennuestrosdías,esunhechociertoyconstatadoquecadamilímetrocuadradode lacortezacontieneneuronasaltamente especializadas para procesar información específica. Másadelante veremos incluso que los estudios de lesiones cerebrales y losnuevos métodos de neuroimágenes funcionales permiten a losneurocientíficoscontemporáneostrazarunmapaesquemáticodelasredescerebralesinvolucradasenelcálculomental.

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Figura6.3.UndibujoquedatadelfinaldelsigloXIXmuestramuchasmáscircunvolucionesenelcerebrodelgenialmatemáticoCarlFriedrichGaussqueeneldeunobreroalemán«promedio»,diferenciaimprobablequesindudadebemásalaimaginacióndeldibujanteyasesgosdeselección

queaunaanatomíacerebralreal.

A pesar de que indudablemente estos resultados recientes superan lossueñosmásdescabelladosdeGallySpurzheim,noconfirmansuteoríadela localización de las facultades mentales. A diferencia de la teoríafrenológica,lasimágenesmodernasdelcerebronuncalimitanunafacultadcompleja, como el lenguaje o el cálculo, a un área cerebral exclusiva ymonolítica. En los mapas contemporáneos del cerebro, solo funcionesmuy elementales—el reconocimiento de un fragmento de un rostro, lainvariabilidad del color, o la producción de un gesto motor— puedenasignarseaunaregióncerebralacotada.Elactomentalaparentementemássimple, como leer una palabra, requiere una sincronización demúltiplesasambleas de neuronas distribuidas en diferentes regiones cerebrales.

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Nunca será posible aislar el área del lenguaje, y mucho menos lacircunvolución que controla el pensamiento abstracto, o la regiónespecializada en la devoción religiosa, ¡con todo el respeto para losinvestigadores que aún continúan en la búsqueda de un área que esté acargodelaconcienciaoelaltruismo!Hayotra convicciónpersistente, aunquedudosa,que formapartedel

legadodelateoríadeGall:lahipótesisdequeeltalentointelectualderivade undon innato, una predisposición biológica a la genialidad.En 1894,Binetpensabaqueloslogrosdelosprodigiosdelcálculopodíanexplicarseporuna«aptitudinnata»;afirmaba:«Enlaeclosióndesufacultadhayalgosimilar auna suertedegeneraciónespontánea» (Binet, 1981 [1894]). Sinembargo,yaelestudiodeniñosdotadosydeniñosconretrasomentallohizo cambiar de opinión. Una década después, negó que la inteligenciafuerainnatayseconvirtióenunardientedefensordelaeducaciónespecialcomo modo de compensar el retraso mental. Pero para muchos otroscientíficos,elconceptodeundoninnatofuedifícildeeliminar.Hastahoy,Neil O’Connor, uno de los principales expertos en personas con«síndromedelsavant»,perpetúaestatradición,yllegaalpuntodedeclararque «las habilidades involucradas [en los prodigios autistas] son comoprogramasinnatosdehabilidadesqueaparecendeformaindependientedecualquieresfuerzodeaprendizaje».La creencia de que las habilidades intelectuales están determinadas

biológicamente está muy profundamente fijada en el pensamientooccidental, especialmente en los Estados Unidos. Para tomar solo unejemplo, los psicólogos Harold Stevenson y Jim Stigler (1992) hanestudiado cómo evalúan los padres estadounidenses y japoneses lainfluenciadelesfuerzodesushijosencontraposicióncon lashabilidadesinnataseneldesempeñoenlaescuela.EnJapón,lacantidaddeesfuerzoylacalidaddelaenseñanzaserevelancomolosparámetrosmáscríticos.EnlosEstadosUnidos, en cambio, lamayoría de lospadres, yde losniñosmismos, consideran que el éxito o el fracaso en matemática dependensobre todo de los talentos y las limitaciones innatos de cada uno. Estanoción está en tal grado instalada que llega a permear también nuestrovocabulario cuandohablamosdel talento comoun «don» (¿dequién?)ouna«disposición»(¿dispuestaporquién?).Dehecho,amenudolapalabra«talentoso»esentendidaencontraposicióncon«trabajador».Hastahacepocotiempo,inclusolospartidariosdelasteoríasinnatistas

delainteligenciaseburlabandelahipótesissimplistadeGallrespectode

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que el talento era directamente proporcional al tamaño de determinadascircunvoluciones cerebrales. En los últimos años, sin embargo, estaconcepción organológica ha reaparecido en la vanguardia de lainvestigación neurocientífica. Dos artículos de las mejores revistascientíficasinternacionaleshaninformadoquelosaltosnivelesdehabilidadmusical se ven acompañados de una extensión inusual de determinadasáreas corticales. En los músicos con oído absoluto —la habilidad paraidentificarconprecisióneltonoabsolutodeunaúnicanota—,unaregiónde la corteza auditiva del hemisferio izquierdo llamada planum temporalparece sermás grande que la de los sujetos control que no cuentan coneste talento, toquen o no un instrumento (Schlaug, Jancke, Huang ySteinmetz, 1995). Entre los violinistas, por ejemplo, como en otrosintérpretes de instrumentos de cuerdas, la región de la corteza sensorialdedicada a la representación táctil de los dedos de la mano izquierdamuestra una expansión excepcional (Elbert, Pantev, Wienbruch,Rockstroh y Taub, 1995). Pero ¿alguien se propuso trazar el mapa deltalentomusical?De hecho, estos datos no avalan necesariamente teorías innatistas

como la deGall. Los estudios de plasticidad neural han revelado que laexperienciapuedemodificarenprofundidadlaorganizacióninternadelasáreas cerebrales.La arquitectura del cerebro adulto es el resultadodeunlento proceso de epigénesis que se extiende más allá de la pubertad, yduranteelcualsemodelanyseseleccionanlasrepresentacionescorticalesen función de su uso para el organismo. Por lo tanto, practicar violíndurante varias horas por día desde la niñez temprana puede alterar deformasustanciallasredesneuronalesdeunmúsicojoven,suextensión,ytal vez hasta su morfología macroscópica. Se considera que esta es laexplicaciónmásacertadadelaexpansióndelacortezasomatosensorialdelosintérpretesdeinstrumentosdecuerda,porquecuantomásjovenhayancomenzado a tocar, mayor es el efecto. En muchas ocasiones se hanobservado en la corteza sensorial de losmonosmodificaciones radicalessimilaresenlatopografíacorticaldependientesdelaexperiencia(Jenkins,Merzenich yRecanzone, 1990).Así, la neurocienciamoderna desmientepor completo la hipótesis de Gall. Los frenólogos consideraban que lasuperficie cortical destinada a una función específica era un parámetroinnatoque,enúltimainstancia,determinabanuestroniveldecompetencia.Enunavisióncontrapuesta,hoyendíalosneurocientíficospiensanqueel

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tiempoyelesfuerzoquesededicanauncampomodulanlaextensióndesurepresentaciónenlacorteza.Hacealgunosaños,elcerebrodeEinstein,conservadoenformoldesde

1955, fue objeto de gran atención de los medios masivos. Una serie deestudios reveló las medidas anatómicas de ese órganomítico, aunque lamayoríaresultódecepcionante:elinspiradofundadordelafísicamodernaparecíaestarequipadoconunencéfalomuypocoexcepcional.Supeso,porejemplo, erade solomildoscientosgramos aproximadamente,quenoesmucho, ni siquiera para un hombre mayor. Sin embargo, en 1985, dosinvestigadores reportaron una densidad de células gliales por encima delpromedioenunaregióndelcerebro llamada«giroangular»o«área39deBrodmann»,queperteneceallóbuloparietalinferior(Diamond,Scheibel,MurphyyHarvey,1985[28]).Estaárea,comoveremosmásadelante,tieneun papel crucial en lamanipulaciónmental de las cantidades numéricas.Entonces,talveznoseapocorazonableconsiderarqueloquedistinguíaaEinstein de los hombres promedio era su organización celular.¿Finalmentehabía sidodescubierta la causa biológica de la excelencia deEinstein?En realidad, esta investigación está plagada de las mismas

ambigüedades que los estudios de la topografía cortical de los músicos.InclusoencasodesuponerqueladensidadcerebraldeEinsteinexcedíaelumbraldevariaciónaleatoriaentreindividuos—algoquetodavíanosehaprobado—, ¿cómo se pueden separar las causas de las consecuencias?Einsteinpuedehaberestadodotadodesdeelnacimientoconunnúmerodecélulas parietales inferiores fuera de lo común, que pueden haberlopredispuesto a aprendermatemática.Pero en el estado actual denuestroconocimiento,loopuestopareceserigualmenteplausible:elusoconstantede esta región cerebral puede haber modificado en profundidad suorganizaciónneuronal.Comounaironía,losdeterminantesbiológicosdelateoríade larelatividad,si loshay,seencuentranperdidosparasiempreensuenigmadelhuevoylagallina.¿Quiéndijoquetodoerarelativo?

¿Eltalentomatemáticoesundonbiológico?

Un argumento que se ha explotado con frecuencia para convalidar lainvestigacióndelasbasesgenéticasdeltalentomatemáticoprovienedela

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correlaciónentreloslogrosdeloshermanos,especialmenteentregemeloshomocigóticos,quetienenelmismogenotipoyamenudoparecenmostrarniveles similares de desempeño en matemática. Los desempeños de losgemelos heterocigóticos omellizos, que comparten solo lamitad de susgenes, parecen ser más variables; ocasionalmente, uno se destaca enmatemáticamientrasqueelotroalcanzaunnivelmediocre.Al compararlos logros obtenidos por varios pares de gemelos homocigóticos yheterocigóticos, se puede computar una medida de «heredabilidad». Deacuerdoconestudiosllevadosacaboduranteladécadade1960porStevenVandenberg, la heredabilidad en aritmética llegaría hasta cerca del 50%;estoimplicaquealrededorde lamitadde lavariabilidadeneldesempeñoaritmético se debe a diferencias genéticas entre individuos (Vandenberg,1962,1966).Sinembargo,estainterpretacióntodavíaesmuydiscutida.Enefecto,el

método de los gemelos depende de muchas influencias triviales. Porejemplo,algunosestudioshanmostradoqueloshomocigóticostiendenarecibir educación idéntica, en la misma aula, con el mismo maestro, enmayor medida que los heterocigóticos[29]. El hecho de que tengan untalento similar puede deberse, entonces, a los rasgos compartidos de sueducaciónmásqueasusgenes.Otrapotencialfuentedeconfusión:enelúterodesumadre,cercadel70%delosgemeloshomocigóticoscomparteuna única placenta o un único saco vitelino. Por supuesto, este no es elcasodelosheterocigóticos,quenacendedosóvulosseparados.Entonces,lacomposiciónbioquímicadelambienteuterinocomparabletalvezpuedaimponer regularidades comunes a los cerebros en desarrollo de losgemelos. Por último, incluso si se probara la heredabilidad genética deltalentomatemático, elmétodo de losmellizos no provee indicio algunoacerca de los genes involucrados, que bien podrían no tener relacióndirectaconlamatemática.Imaginemosunejemploextremo,eldeungenquetieneinfluenciasobreeltamañocorporal.Podríatenerunainfluencianegativa en las habilidades matemáticas simplemente porque quienescarganconél jueganalbásquetconmucha frecuencia ¡demaneraquesueducaciónmatemáticaseresiente!En la búsqueda de las bases biológicas del talento matemático, otra

clave intriganteaunqueambiguasurgede lasdiferenciasentrehombresymujeres. La matemática de alto nivel constituye casi exclusivamente uncampomasculino.DeloscuarentayunprodigiosdelcálculoquedescribióSteven Smith en su bien documentado libro acerca de los grandes

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calculistas mentales, solo tres son mujeres. En los Estados Unidos,Camilla Benbow y sus colegas administraron una prueba diseñadainicialmente para adolescentes, la Scholastic Aptitude Test forMathematics (SAT-M), a un gran grupo de niños de 12 años (Benbow,1988).Lanotapromediosuelerondarlosquinientospuntos.Porcadaniñaquesuperaestanotaa los12años,haydosniñosen lamismasituación.Esta relación llega a ser de cuatro a uno cuando la nota se eleva aseiscientos,ysevuelvedetreceaunoapartirdesetecientos(figura6.4).Entonces, laproporcióndehombresaumentaenformadrásticaamedidaqueseseleccionanlosalumnosmáscalificadosenmatemática.Estaventajaparaloshombresseobservaentodoslospaíses,desdeChinahastaBélgica.Lasupremacíamasculinaenmatemáticaesunfenómenomundial.

Figura6.4.EnlasmuestrastomadasporCamillaBenbowentreestudiantestalentososdeséptimogrado,lasevaluacionesestándardeaptitudrevelanunaventajapequeñaperoconsistenteparaloshombresporsobrelasmujeresenmatemática.Lospuntajesverbales,encontraste,seencuentrandistribuidosdeformaidénticaparahombresyparamujeres(tomadodeBenbow,1988;©

CambridgeUniversityPress).

Sin embargo, debe matizarse la importancia de este fenómeno para lapoblación general. Solo la élite matemática está compuesta casiexclusivamenteporhombres.Eneltotaldelapoblación,lasupremacíadelos hombres es más endeble. El impacto del género sobre una pruebapsicológica semide estadísticamentedividiendo ladiferenciamedia entre

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loshombresylasmujeresporladispersióndelospuntajesdentrodecadagénero.Enlosadolescentes,estevalortípicamentenoexcedeunmedio,loque significa que las distribuciones de los puntajes de los hombres y lasmujeres se superponen considerablemente: un tercio de los hombres seencuentra por debajo del puntaje femenino promedio o, a la inversa, untercio de las mujeres se encuentra por encima del puntaje masculinopromedio. La ventaja masculina también varía con el contenido de lasevaluaciones. En la resolución de problemas matemáticos, los hombresclaramente llevan la delantera; pero en el cálculo mental, las mujeres seencuentran primeras, por un estrechomargen. Por último,mientras quesurgeunadiscrepanciaentreniñosyniñasdesdeelpreescolarenadelante,noparecehaberunaventajasistemáticadetectableantesdequecomiencelaescolarización.Enespecial,lashabilidadesprecocesdelosbebésparalaaritméticanoprevalecenenlosvaronesrespectodelasniñas.Apesardeestasreservas,lahegemoníamasculinaenlamatemáticade

altonivelplanteatemasimportantes.Lamatemáticafuncionacomofiltroen varias etapas críticas de nuestros sistemas educativos y, siempre,máschicos que chicas logran superarlo. En definitiva, nuestra sociedad dejapocas oportunidades para que las mujeres adquieran entrenamiento denivel más alto en matemática, física o ingeniería. Sociólogos,neurobiólogosypolíticospor igualquerrían saber si estadistribuciónderecursos educativos refleja adecuadamente los talentos naturales de cadagénero, o si lisa y llanamente sirve para perpetuar la injusticia de unasociedadcuyasinstanciasdedecisióncasisiemprequedanreservadasaloshombres.Sin duda, muchos factores psicológicos y sociológicos desalientan la

participación de las mujeres en el campo de la matemática. Algunasencuestas han revelado que, en promedio, las mujeres sienten mayoransiedad que los varones en los cursos de matemática y están menosseguras de sus capacidades; piensan que la matemática es una actividadtípicamente masculina que será de poca utilidad en sus carrerasprofesionales. Susprogenitores, especialmente sus papás, comparten estesentimiento.Porsupuesto,estosestereotiposseacumulanparaconformaruna profecía autocumplida. La falta de entusiasmo de las jóvenes por lamatemática y su convicción de que nunca brillarán en este dominiocontribuyenasudescuidode loscursosdematemáticay,por lotanto,aquesuniveldedesempeñoseamásbajo.

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Existen estereotipos muy similares que pueden explicar lasdiscrepancias en los logros matemáticos de acuerdo con la clase social.Estoyconvencidodequelosprejuiciosquetransmitennuestrassociedadesacercadelamatemáticason,engranmedida,responsablesdelagrietaqueseparalospuntajesdehombresymujeres,asícomolosdericosypobres.Se trata de una brecha que podría acortarse parcialmente con cambiospolíticos y sociales en las actitudes hacia la matemática. En China, porejemplo,lasadolescentesmástalentosasobtienenpuntajesenmatemáticaqueexcedennosololosdesuscongéneresestadounidenses,sinotambiénlos de los adolescentes varones de esa nacionalidad: esta es una clarademostración de que la diferencia entre los hombres y las mujeres espequeña en comparación con el posible impacto de las estrategiaseducativas. Un metaanálisis reciente de docenas de publicaciones indicaqueladistanciapromedioentreloshombresylasmujeresestadounidensesse ha reducido en un 50 % durante un período de treinta años, unaevolución que iguala la mejora paralela del estatus de las mujeres en elmismolapso.Dicho esto, ¿se puede considerar que las diferencias biológicas de

génerotienenalgunaincidenciaenlabrecharestante?Sibientodavíanosehan encontrado determinantes neurobiológicos o genéticos de la ventajamasculinaenmatemática,unconjuntodepistasconvergentesalimentaunasospechacadavezmayorsobrelaexistenciadevariablesbiológicasque,enefecto, contribuyen al talentomatemático, aunque sea de forma remota.Enunapoblacióndeniñosexcepcionalmentehábilesparalamatemáticaseencuentrantrecevecesmásniñosqueniñas,perotambiéndosvecesmásalérgicos, cuatro veces más miopes, y dos veces más zurdos que en lapoblaciónnormal.Másdel 50%de estosmatemáticos incipientes sonozurdosoambidiestros,obiendiestrosconhermanoszurdos.Porúltimo,un 60 % de ellos son primogénitos. Evidentemente, ¡el arquetipo delacadémico como un hijo único, zurdo, enfermizo y con anteojos no estotalmenteinfundado!Quizá pueda explicarse la asociación de la miopía con el talento

matemático apelando a una causa actitudinal: es probable que los niñoscortos de vista se sumerjan en los libros de matemática con más gustoporque son menos hábiles, por ejemplo, en los deportes que requierenpuntería.También sepuedeproponerun argumento similar respectodelorden de nacimiento: es posible que los primogénitos reciban unaeducaciónsutilmentediferenteque,dealgúnmodo,alientaelpensamiento

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matemático. Sin embargo, las alergias y la lateralidad no se prestan confacilidad a una explicación tan superficial como esta. Es más, hay casosconcluyentes, aunque ciertamentemás extremos, en que las capacidadesmatemáticas se ven claramente afectadas por anomalías neurogenéticasrelacionadas con el sexo. Por ejemplo, la mayoría de los prodigios delcálculo del tipo de los que presentan síndrome del savant sufren deautismo,unaenfermedadneurológicaquesepresentaenlosniñosconunafrecuenciacuatrovecesmayorqueenlasniñas.Másaún,sussíntomasseasocianconanomalíasgenéticasdelcromosomaX,comoelsíndromedel«Xfrágil».Alainversa,elsíndromedeTurneresunaenfermedadgenéticaque solo afecta a las mujeres, y está vinculado a la ausencia de uncromosomaX.Resultaque,ademásdealgunasmalformacionesfísicas,lasmujeres con síndromedeTurner sufrenundéficit cognitivoprofundoyespecíficoenmatemáticayenlarepresentaciónmentaldelespacio,aunquesuCIpuedaestarenunnivelnormal(Mazzocco,1998[30]).Esedéficitestácausado,enparte,porunaescasezanormaldesecreciónde lashormonassexuales debido a una atrofia de los ovarios. Es más, se sabe que eltratamiento hormonal temprano mejora su desempeño matemático yespacial.Todavía no tenemos una explicación satisfactoria de estos vínculos

misteriososentreelgénero,elcromosomaX,lashormonas,lalateralidad,lasalergias,elordendenacimientoy lamatemática.Ennuestrasituaciónactual,todoloquepodemoshacerespintaruncuadroimpresionistadelascadenas causales más plausibles. De acuerdo con el neuropsicólogoNorman Geschwind y sus colegas (Geschwind y Galaburda, 1985), laexposiciónaunnivel elevadode testosteronadurante lagestaciónpuedeafectardemanerasimultáneaelsistemainmunológicoy ladiversificaciónde los hemisferios cerebrales. La testosterona puede hacer más lento eldesarrollo del hemisferio izquierdo. Uno puede imaginarse que laprobabilidaddeserzurdo,entonces,deberíaaumentar,ytambiéndeberíahacerlo la habilidad para manejar representaciones mentales del espacio,una función típicamente más dependiente del procesamiento delhemisferioderecho.Esterefinadosentidodelespacio,asuvez,facilitaríalamanipulacióndelosconceptosmatemáticos.Comolatestosteronaesunahormona masculina, esta presunta cascada de efectos podría tenerconsecuencias más fuertes para los hombres que para las mujeres. Nopareceabsurdo,tampoco,pensarqueestébajoelcontrolgenéticoparcial

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del cromosoma X, y esto justificaría el carácter hereditario de lasdisposicionesmatemáticasyespaciales.Entre todos los indicios que gravitan alrededor de este escenario

todavía confuso, tengamos presente lo siguiente: se sabe que losandrógenostienenunainfluenciadirectaenlaorganizacióndelcerebroendesarrollo; también, se ha demostrado que existen modificaciones en eltratamiento del espacio y de los conceptos matemáticos en sujetosexpuestosaunnivelanormaldehormonassexualesduranteeldesarrollo,asícomo,enlasmujeres,envariospuntosdelciclomenstrual;enlasratas,lashabilidadesespacialesdelashembrastratadashormonalmenteexcedenlas de las hembras no tratadas, y alcanzan las de los machos sintratamiento; por último, la concentración de hormonas sexuales en elvientreesmásaltaduranteelprimerembarazo(recordemosquelamayoríadelosprodigiosmatemáticossonprimogénitos).Moldeadoporestebañohormonal variable, esprobablequeel cerebromasculinoestéorganizadode una forma levemente distinta del femenino. Los circuitos neuronalespueden verse sutilmente modificados de un modo que en gran medidasigue siendodesconocido, peroquepermite explicar que loshombres semuevanconmayorvelocidadenlosespaciosmatemáticosabstractos.Es frustrante no ser capaz de ir más allá de la confusión teórica y

exhibir una explicación del talento matemático simple y determinista.Pero,conseguridad,seríaingenuoesperarqueexistieranvínculosdirectosquellevarandelosgenesalosgenios.Estabrechaestanampliaquesolopuedecolmarseconunamultiplicidaddecadenascausalesintermedias.Lagenialidad emerge de una confluencia improbable de varias fuentes:factores genéticos, hormonales, familiares y educativos. La biología y elambienteseentrelazanenunacadenaindisolubledecausasyefectos,queaniquilancualquieresperanzadepredecireltalentoapartirdelabiologíaodeobtenerpequeñosEinsteincasandoadospremiosNobel.

Cuandolapasiónengendratalento

Loslímitesdelaexplicaciónbiológicadeltalentoenningúnlugarsonmásevidentesqueenelcasodeesosnotablesniñosllamadospeyorativamente«idiotas sabios», «savants» o portadores del «síndome del savant», quemuestranunaminúsculaisladegenialidadenunocéanodeincompetencia.Piensen en el caso deDave, un niño de 14 años que fue estudiado por

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MichaelHoweyJuliaSmith(1988).Enun instante,Davepuededecireldíade lasemanaquecorrespondeacualquierfechapasadaofutura.PerosuCInollegaa50,leeconelniveldeunniñode6años,ycasinohabla.Esmás, a diferencia deMichael, a quien describí antes en este capítulo,Dave no sabe casi nada de matemática. Hasta es totalmente incapaz demultiplicar. ¿Qué parámetro biológico podría haberle conferido a Davetantoelgenioparala«calendariología»comounaaversiónhacialalecturayelcálculo?¿Cómopodríaestarpredispuestoelcerebroparaadquirirelcalendario gregoriano, que ha existido en su forma actual apenas desde1582?EldondeDave,siesquepuedehablarsedeun«don»,deberesidiren algún parámetro genérico, como la memoria o el poder deconcentración. Para explicar la estrechez de su talento, uno debe apelar,obviamente,alaprendizaje.Nilosgenesnilashormonaspuedeninfundirconocimientoacercadelmesdediciembre.Ocurre queDave pasa horas observando el calendario de la cocina y

recordándolodememoria,enpartedebidoaquejugarconotrosniñosestáfueradelalcancedesucompetenciasocial.Davesufreunautismosevero.Como un Robinson perdido en un desierto afectivo, sus únicoscompañeros de soledad se llamanViernes o Enero. Supongamos que lesdedica tres horas por día a los calendarios (y seguramente estoysubestimandolacantidad).Endiezaños,suentrenamientoalcanzarádiezmil horas de concentración extrema, una duración enorme que puedeexplicar tanto su comprensión profunda del calendario como los vacíosconsiderablesensuconocimientodelrestodeloscampos.Desde el calendario hasta el cálculo mental, todos los prodigios del

cálculo, del pasado o de la actualidad, se caracterizan por unaconcentración obsesiva similar. ¿Por qué alguien debería dedicar toda suenergíaauncampotanacotado?Entrelosgrandescalculistasmentales,talvezdeberíamosdistinguirtrescategoríasprincipales:losprofesionales,losholgazanes y los deficientesmentales. Los primeros sonmatemáticos enpleno uso de sus facultades mentales, cuya profesión requiere unconocimiento profundo de la aritmética. Para ellos, el cálculo puedevolverse una segunda naturaleza. De acuerdo con sus propios relatos,muchas veces Gauss se encontraba contando sus pasos sin intenciónconsciente. Por su parte, Alexander Aitken, otro brillante matemático,declaraba que los cálculos se desencadenaban en forma automática en sumente: «Si salgo a caminar y pasa un automóvil con la patente 731, nopuedoevitarobservarquees17veces43»(cit.enSmith,1983).Enmuchas

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ocasiones,comoenelcasodeGauss,estetipodematemáticospierdepartede sus habilidades de cálculo a medida que avanza hacia esferas másabstractasdeluniversomatemático.Enlasegundacategoría, ladelosholgazanes,ubicaríaa loscalculistas

que se aburren tanto en su profesión que se zambullen en el cálculo amodo de pasatiempo. Un ejemplo típico: Jacques Inaudi y HenryMondeux (Binet, 1981 [1894]), ambos pastores, que reinventaron buenaparte de la aritmética en sus solitarios pastoreos. Ninguno de los dosdejabanuncadecontarnosolosusovejas,sinotambiénpiedras,suspasos,eltiempoquepasabanbalanceándoseenunasilla.Porúltimo,laterceracategoría,ladelosdeficientesmentales,consiste

en personas con retraso comoDave oMichael, que viven en unmundoautista, y cuya pasión por los números o los calendarios es patológica ysintomáticadesufaltadeinterésporlasrelacioneshumanas.Esprobableque JedediahBuxton,un inglésprodigiodel cálculodel sigloXVIII, fueraautista.AlfredBinetdescribeasílaprimeranochedeBuxtonenelteatro,duranteunafuncióndeRicardoIII:

Luegose lepreguntósi lehabíagustado laobra: solo lahabía visto como oportunidad para hacer cálculos; durantelosbailes,habíafijadolaatenciónenlacantidaddepasos,quealcanzaban los 5202; también había contado el número depalabras que los actores habían pronunciado: este era12 445… y se descubrió que todo era exacto (Binet, 1981[1894]).

Sinimportarsumotivaciónprofunda,¿essuficienteestetipodeinmersiónenlosnúmeros,añotrasaño,paraexplicar laaparicióndeuntalentotanextraordinario para el cálculo? ¿Podría una persona cualquiera, con elentrenamiento suficiente, volverse un prodigio, o hace falta un «don»biológico especial? Para deslindar los roles de naturaleza y educación,algunosinvestigadoreshanintentadoconvertiraestudiantespromedioenprodigiosdelcálculoodelamemoriaatravésdeentrenamientointensivo.Sus resultados prueban que la pasión puede engendrar el talento.K. Anders Ericsson, por ejemplo, ha demostrado que cien horas deentrenamiento son suficientes para expandir la amplitud dememoria (ospan) de dígitos hasta al menos veinte dígitos: ochenta dígitos, en unsujetodenotoriaperseverancia(ChaseyEricsson,1981).Otropsicólogo,JamesJ.Staszewski(1988),haenseñadoaunpuñadodeestudiantesvarias

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estrategias para el cálculo veloz[31]. Luego de trescientas horas deentrenamientodistribuidasendoso tresaños, suvelocidaddecálculosecuadruplicó:sololesllevócercadetreintasegundoscalcularmentalmente59451×86.Estosexperimentosdeaprendizajesealineanconlasintuicionesdelos

propiosgrandescalculistas,quienesdeclaranquedebenpracticartodoslosdías;sino,verándecaersutalento.DeacuerdoconBinet(1981[1894]),porejemplo, «luegodededicarunmesa estudiar los libros, [Inaudi]vioque estaba perdiendo muchos de sus poderes mentales. Sus habilidadesparaelcálculomentalsolopermanecenestablesgraciasaunentrenamientoincesante».Binet también muestra una comparación de la velocidad de Jacques

InaudiparaelcálculoconladeloscajerosprofesionalesdelasoriginariasgrandestiendasAuBonMarché,deParís.Antesdequeexistieranlascajasregistradorasautomáticas, lasuyaeraunaprofesiónrespetada:verdaderascalculadorashumanas,pasabandeochoadiezhoraspordía,seisdíasalasemana,sumandocomprasymultiplicandotrozosdelinoporelpreciodelmetro.Sibiensolíacontratárselosentrelos15ylos18años,sinaptitudesparticulares, se convertían en calculistas relámpago. Binet descubrió quenoeranmáslentosqueInaudi.Esmás,aunodeelloslellevósolocuatrosegundoscalcular638×823,marcaqueinequívocamentesuperabalosseissegundos de Inaudi. Lamera extensión de sumemoria, sin embargo, lepermitíaaInaudiganarlacarreraencálculosmáscomplejos.Elcasodeloscajerosdemuestralaausenciadeunlímiteclaroentrelos

profesionalescuyotalentoderivadelentrenamientointensivoylosgeniosquesupuestamentedebensushazañasaunacualidadinnata.Esmás,hastahacepocotiempo,elCentrodeInvestigaciónNuclear(CERN)deGinebraempleóaWimKleinporsuspoderesaritméticos;yZachariasDase,enelsigloXIX,contribuyóenormementealamatemáticaalestablecerunatablade logaritmos naturales para los números desde 1 hasta 1 005 000, y alfactoreartodoslosnúmerosdesde7hasta8000000.Hoy en día, la sociedad ya no valora el cálculo mental. Es difícil

encontrarcalculistashumanosfamosos.Poresemotivo,losprofesionalesdelossiglospasadosparecenmuchomásprodigiososaún.Hoyendía,almenos en Occidente, cualquiera que forzara a un niño a calcular variashoras por día se expondría a una denuncia, aunque nuestra sociedadpermitededicarlamismacantidaddetiempoalpianooajugarajedrez.Lassociedadesorientalesnocompartennuestraescaladevalores.EnJapón,es

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una práctica bien aceptada enviar a los niños a cursos de aritméticavespertinosenlosqueaprendenlossecretosdel«ábacomental».Alos10años, los más entusiastas aparentemente son capaces de superar eldesempeñodenuestrosprodigiosdelcálculooccidentales.

Parámetrosordinariosparacalculistasextraordinarios

El talento para el cálculo, entonces, parece deberse más a unentrenamiento precoz, muchas veces acompañado por una capacidadexcepcionalyhastapatológicaparaconcentrarseenelacotadoterrenodelos números, que a un don innato. Esta conclusión encaja con elpensamientodedosdelosmayoresgeniosdelosúltimossiglos:ThomasEdison,paraquien«lagenialidades1%inspiracióny99%transpiración»,y el naturalista francés Buffon, quien confesó—¿con falsa modestia?—que«lagenialidadnoesmásqueunamayoraptitudparalapaciencia».Avalando esta tesis, los estudios psicométricos no han detectado

ninguna modificación importante en los parámetros fundamentales delfuncionamiento cerebral de los calculistas relámpago. Por fuera de suespecialidad, la velocidad de procesamiento de estos prodigios es la delpromedio de las personas, omenor. Pensemos en ShakuntalaDevi, unacalculista india con una velocidad asombrosa: el Libro Guiness de losRécords le reconoce la habilidad de multiplicar dos números de trecedígitos en treinta segundos, aunque esto podría ser exagerado. ElpsicometristaArthurJensen—quienanteriormentehabíaabogadomuchasveces por el determinismo biológico de la inteligencia— la invitó a sulaboratorio para medir su desempeño en algunas pruebas clásicas. Elartículo de Jensen (1990) no logra ocultar su decepción: no había nadaexcepcionaleneltiempoquelellevóaestageniodelaaritméticadetectaruna luz, o seleccionar una acción motora entre ocho. El desempeño deDevi en uno de los denominados test de «inteligencia», el de matricesprogresivasdeRaven,nosealejómuchodelpromedio.Ycuandoteníaquelocalizar un blanco visual, o buscar un número en la memoria, eraanormalmente lenta. Tomando prestada una metáfora de las cienciascomputacionales,lashazañasdecálculodeDeviobviamentenosedebíana

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una aceleración global de su reloj interno; solo su procesador aritméticoteníavelocidadrelámpago.En el capítulo anterior vimos que uno puede predecir con notable

precisión el tiempo que necesitará un sujeto normal para realizar unamultiplicación.Cuantomáselementalesseanlasoperacionesnecesarias,ycuantomásgrandesseanlosdígitosimplicados,máslentoseráelcálculo.Eneste sentido, losprodigiosdel cálculo tampocosondiferentesdeunapersona promedio. Hace un siglo, Binet cronometró a Inaudi mientrasresolvía problemas de multiplicación (Binet, 1981 [1894]). Aquí vemosalgunosdesusresultados.

Tiempodecálculoensegundos

Cantidaddeoperaciones

3×7 0,6 1

63×58 2,0 4

638×823 6,4 9

7286×5397 21 16

58927×61408 40 25

729856×297143 240 36

La columna de la derecha muestra cuántas operaciones elementales senecesitan en el algoritmo de cálculo tradicional. Esta cantidad predicebastante bien el tiempo de cálculo de Inaudi, con la excepción de losproblemas de multiplicación más complejos, que sondesproporcionadamente lentos por la mayor carga de memoria. SeríanotablequeInaudihubierasidocapazdemultiplicardosnúmerosdetresdígitosensolounpocomásdetiempodelquellevamultiplicarsolamentedosdígitos.Estoindicaríaqueestabautilizandounalgoritmoradicalmentediferente,locualquizálehabríapermitidorealizarmúltiplesoperacionesala vez.Peroesteno fue el casode Inaudi,nideningúnotrogeniode laaritméticadelque tengaconocimiento.Losgrandescalculistas lidianconloscálculosgrandesexactamentecomoelrestodenosotros.Una última característica puede indicar un talento innato: la

extraordinaria memoria que demuestra la mayoría de los calculistasrelámpago.ParaBinet,estepuntoestabafueradedebate:«Enmiopinión,la memoria es la característica esencial del calculista prodigio. Esinimitable, e infinitamente superior al restode loshombres, debido a sumemoria».

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Binet distinguía dos tipos de prodigio: los calculistas visuales, quememorizanunaimagenmentaldelosnúmerosescritosydeloscálculos,ylosauditivos,comoInaudi,quedeclaranrecordarlosnúmerosporquelosoyen en su cabeza. Tal vez también debería contemplarse una terceracategoría, los calculistas «táctiles», dado que al menos un calculistarelámpagociego,LouisFleury,sosteníaqueensuimaginaciónmanipulabalos números, literalmente, como si estuviera sosteniendo algunoscubaritmos, los símbolos numéricos táctiles que utilizan los ciegos.Independientemente de su modalidad, muchas veces la amplitud dememoria de los grandes calculistas es asombrosa. Inaudi, por ejemplo,podía repetir treinta y seis dígitos al azar sin cometer errores luego dehaberlosoídoyrepetidosolounavez.Alfinaldesusexhibicionesdiarias,nuncaseequivocabaalrepetirlosmásdetrescientosdígitosqueelpúblicolehabíadictadoduranteelespectáculo.Es innegableque la amplituddememoriade Inaudi alcanzaba alturas

asombrosas,pero¿estoimplicaqueerainnato?Másalládelasincontablesanécdotascuyafiabilidadmuchasvecesresultacuestionable,pocosabemosacerca de la infancia de estos prodigios.Hasta ahora, nada prueba que aedad temprana poseyeran habilidades memorísticas sorprendentes. Mepareceigualmenteposiblequesufantásticamemoriasearesultadodeañosdeentrenamiento,asícomodesugranfamiliaridadconlosnúmeros.Porsuparte,StevenSmith,quienestudiócuidadosamentelasvidasdedocenasdeprodigiosdelcálculo,llegaalamismaconclusión:

Los calculistas mentales, al igual que cualquier otromortal, están sujetos a limitaciones de lamemoria de cortoplazo. Sin embargo, difieren en su habilidad para tratarconjuntosdedígitoscomoítemsindividualesenlamemoria(Smith,1983).

En efecto, la amplitud de memoria no es un parámetro biológicoinvariable, como el grupo sanguíneo, medible independientemente detodoslosfactoresculturales.Varíaengranmedidasegúnelsignificadodelosítemsquedebenalmacenarse.Soycapazderecordarconfacilidadunacantidad de quince palabras en francés, mi primera lengua, porque susignificadomeayuda.Encambio,enchino,unalenguaquenocomprendo,miamplituddememoriacaehastacercadesietesílabas.Delmismomodo,tal vez la razónpor la que los calculistas excepcionales logran almacenargrandes cantidades de dígitos es que los números son prácticamente su

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lenguamaterna.Casinoexistecombinacióndedígitoscarentedesentidoparaellos.Probablemente,enlamemoriadeHardylalicenciadetaxímetro1729seregistrabacomocuatrodígitosindependientes,porqueseparecíaacualquierotronúmeroalazar.ParaRamanujan,sinembargo,1729eraunamigodelainfancia,unpersonajefamiliarqueocupabasolounaceldillaensumemoria.Engeneral,creo,lafamiliaridadextremadelosprodigiosdelcálculo con los dígitos es suficiente para explicar su gran amplitud dememoria,sintenerquepostularunhipotéticodeterminismobiológico.

Recetasparaelcálculorelámpago

Para liquidar definitivamente elmito del «calculista nato», debo explicarqué algoritmos utilizan los grandes calculistas. De no hacerlo, lamultiplicaciónde5498por912,oelreconocimientoinmediatodeque781es11×71siemprequedaránenvueltosenunaurademisterio.Lamayoríadenosotros,enefecto,notienelamenorideadecómoresolverestetipode problemas mentalmente. En realidad, existen varios recursos quesimplificanporcompletolosenigmasaritméticos,inclusolosqueparecenmásinfranqueables.Entonces, ¿cómo se puede calcular mentalmente el producto de dos

númerosdevariosdígitos?ScottFlansburg,quellegóasercélebrecomo«lacalculadorahumana»,no looculta: sus recursosestáncompletamentebasadosenrecetassimplesquecualquierapuedeaprender,yquedevelóensubest seller de 1993 (Flansburg, 1993). Tal como los demás calculistas,utilizaalgoritmosparecidosalosqueseenseñanenlaescuela.Peroponemuchoceloenoptimizarelordenenquerealizacadaoperación.Parahacersumas,recomiendacalculardeizquierdaaderecha;paralamultiplicación,siemprecalculaenprimerlugarlosdígitosmássignificativosdelresultado.Cadasubproductosesuma inmediatamenteal total acumulado,ydeestamanera evita la memorización de varios resultados intermedios largos.Estasdiferentesestrategiastienenunúnicoobjetivo—minimizarlacargadememoria—y llevan al éxito porque solo se debe almacenar y refinar,pasoapaso,unasolaestimaciónprovisionaldelresultado.Con menor frecuencia algunos calculistas memorizan completa o

parcialmente la tabla de multiplicar para todos los pares posibles denúmeros de dos dígitos. Esto les permitemultiplicar por grupos de dosdígitos como si fueran uno. Por último, todos los calculistas poseen un

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amplio repertoriodeatajosbasadosen trucosalgebraicos simples.Sinoslimitamos a un ejemplo, el producto de 37 × 39 se identificainmediatamentecomo382–1utilizandolafórmula(n+1)(n–1)=n2–1;382esiguala36×40+4,yaquen2=(n–2)(n+2)+22.¡Unosolonecesita recuperar de la memoria el producto de 36 × 4, que cualquiercalculista experimentado reconoce como 122= 144, al que se adjunta eldígito3(4–1),parallegaralaconclusióndeque37por39es1443!En síntesis, es obvio que los grandes calculistas no utilizan ningún

métodoaritmético«mágico».Comonosotros,dependendeunrepertoriode tablas de multiplicación almacenadas, cuyos únicos rasgos originalesson su extensión y, ocasionalmente, su formato no verbal (dado quealgunos calculistas, como Michael, parecen no haber adquirido ningunalengua).Aligualquenosotros,ejecutansuscálculosdeformaserial,dígitotras dígito, lo que explica lasmediciones de los tiempos de respuesta deBinet. Y como nosotros, por último, seleccionan rápidamente el mejormedio para llegar al resultado en un tiempo mínimo, a partir de lasmúltiplesestrategiasqueseencuentranasualcance.Enestesentido,soloelnúmerodeestrategiasquedominanlosdiferenciadelniñode6añosqueyasimplificaespontáneamente8+5en(8+2)+3.Pero ¿qué ocurre con las habilidades aritméticas más complejas? A

ShakuntalaDevileresultasuficienteunamiradaparadarsecuentadequelaraízséptimade170859375es15(loquesignificaqueestenúmeroes15a la séptima potencia, o 15 × 15 × 15 × 15 × 15 × 15 × 15). Laextracción de raíces de los enteros pertenece al repertorio clásico de loscalculistasprofesionales.Los ingenuosespectadoressiempreseasombranconloqueconsideranunahazañaparticularmentedifícil,enespecialparalos radicales más altos. Sin embargo, en realidad, los cálculos puedenreducirsedemaneradrásticaconatajosfáciles.Porejemplo,eldígitoqueestá más a la derecha nos informa directamente cuál es el dígitocorrespondientedelresultado.Cuandounnúmeroterminacon5,tambiénlohacesuraíz.Enelcasodelasraícesquintas,elnúmeroinicialysuraízsiemprefinalizanconelmismodígito.Enelrestodeloscasos,existeunacorrespondenciaqueseaprendeconfacilidad,yquesevuelvetodavíamássencillasiseconsideranlosúltimosdosdígitosenlugardeuno.Porotrolado,losprimerosdígitosdelresultadoamenudopuedenencontrarseporprueba y error utilizando aproximaciones simples. Por ejemplo, la raízséptimade170859375solopuedeser15porque25,elsiguientecandidatoterminadoen5,obviamentedaríalugaraunnúmerodemasiadograndeal

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elevarlo a la séptimapotencia.En resumen, extraer las raíces de enteros,queaprimeravistapareceunahazañasobrehumana,puedereducirsea laaplicacióncuidadosaderecetassimples.La habilidad para factorear números con rapidez, y así identificar los

númerosprimos,esunaproezamásimpresionante.¿RecuerdanaMichael,el hombre autista que, de inmediato, reconocía que 389 es un númeroprimo,yque387sepuededescomponeren9×43?LosmellizosdescritosporOliverSackseranmásrarosaún.Sedecíaquesupasatiempoconsistíaen intercambiar, por turnos, números primos cada vez más grandes ¡deseis,ocho,diezohastaveintedígitosdeextensión!Apesar de que esta habilidad parece en verdad asombrosa, y todavía

está lejosde ser comprendida en su totalidad, esposibleproponer variasexplicacionestentativas[32].Enprimerlugar,adiferenciadeloqueplanteaunanociónmuydifundida,elconceptodenúmeroprimonoeselpináculode la abstracciónmatemática.Laprimalidadesunanociónmuyconcretaqueindica,nimásnimenos,siunconjuntodeobjetossepuededividirenvariosgruposiguales.Elnúmero12noesprimoporqueesdivisibleentresgruposdecuatroodosgruposdeseiselementos.El13esprimoporquenoesposibleunaagrupacióndeesetipo.Losnúmerosprimossontanusualesquelosniñoslosmanipulansinsaberlocuandointentanorganizarbloquescuadradospara formarun rectángulo: enseguida sedan cuentadeque sepuede hacer con doce bloques, pero no con trece. Por eso, no resultasorprendente que un joven con un retraso como Michael, con unaasombrosa pasión por la aritmética, pueda descubrir espontáneamentealgunasdesuspropiedades.Descubrirsiunnúmeroesprimotodavíaesunproblemamatemático

difícil.Sinembargo,elpapeldelamemorianodeberíasubestimarse.Solohay ciento sesenta y ocho números primos menores que 1000, y 9592números primos menores que 100 000. Una vez que se los memoriza,puedenservirparacalcularlosprimosrestanteshasta10000000000000,usandounalgoritmoevidentellamado«cribadeEratóstenes».Porúltimo,las recetas simples conocidas para cualquier niño en edad escolar, comoeliminar los números 9, hacen más fácil determinar si un número esdivisiblepor2,3,4,5,6,8,9u11.Este tipo de trucos elementales son aparentemente todo lo que

utilizabaMichael, ya quemuchas veces se equivocaba con números queparecían primos pero que, en realidad, eran el producto de factores queexcedían su sagacidad (por ejemplo, 391 = 17 × 23). ¿Qué hay de los

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gemelos? Lamentablemente, no se dispone de detalles acerca de losnúmerosexactosqueestabanintercambiando,oacercadesuspotencialeserrores. Entonces, nunca sabremos si el método que utilizaron era másprecisoqueeldeMichael.Los investigadores también suelendeclarar que algunosprodigiosdel

cálculo pueden determinar el número exacto de objetos en una mirada.Binet,porejemplo,afirmabaqueunopodíaarrojarunpuñadodebolillasfrenteaZachariasDase,yqueinmediatamenteélinformabaconprecisiónsu número. Lamentablemente, no conozco ningún estudio psicológicoserio acercade este supuesto fenómeno.Nohahabido,queyo conozca,medicionesdetiemposderespuesta,laúnicaformadesabersiunapersonaestá contando o en realidad está percibiendo los números grandes«instantáneamente».Tiendoacreerquelospoderesdeenumeracióndelosgrandescalculistasnosondiferentesdelosnuestros.Cuandoseenfrentana un conjunto de bolillas, su sistema visual, como el nuestro, lo analizarápidamenteenpequeñosgruposdeuna,dos, tresocuatrounidades.Suaparente velocidadpuede ser resultadode suhabilidadpara sumar todosesos números en un parpadeo, mientras que, a lo sumo, nosotros noslimitamosacontardedosendos.Porúltimo,muchosprodigiosdesarrollanunahabilidadespecialparael

cálculodecalendario.¿Estotambiénpuedeatribuirseaestrategiassimples?Varios algoritmos conocidos permiten deducir el día de la semana paracualquierfechapasadaofutura.Losmássimplesrequierensolounaspocassumas y divisiones, y los calculistas profesionales sin duda utilizanfórmulas de este tipo. Sin embargo, esta explicación no encaja con losniñosautistasqueseconvirtieronenprodigios«calendáricos».Lamayoríadeellosnuncatuvoaccesoauncalendarioperpetuo.¡Eltalentodeunniñociego se desarrolló a pesar de que nunca había tenido acceso a uncalendario Braille! Es más, algunos prodigios, como Dave, no logranrealizar siquiera los cálculos más simples. Entonces, ¿con qué trucoscalculanlosdíasdelasemana?Cronometrando las respuestas de varios prodigios autistas, Beate

Hermelin yNeilO’Connor (1986a) descubrieron que por lo general sutiempodereacciónresultaproporcionala ladistanciaquesepara la fecharequerida del día presente. Esto sugiere que la mayoría de estos«calculadores de calendariohumanos»utilizanunmétodomuy simple: apartir de una fecha reciente, avanzan gradualmente y van realizandoextrapolaciones hacia las semanas, meses o años cercanos. Muchas

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regularidadesfacilitanesteproceso:elcalendarioserepitecadaveintiochoaños;lassemanascambianundíaporcadaañoregular,ydosdíasporlosañosbisiestos.Marzoynoviembresiemprecomienzanelmismodíadelasemana,yasísucesivamente.Lamayoríadelaspersonasconsíndromedelsavantutilizanestetipodeartificiosparasaltardirectamente,porejemplo,desdemarzode1996anoviembrede1968.Entonces,puedenrecuperardemanerainstantáneadelamemorialapáginarequeridadelcalendario,delacualsimplementedebenleerlafechaapropiada.¿Cómo es posible que un savant cuyoCI no pasa de 50 invente un

algoritmodeestetipoy loutilicesinfallas,porsencilloquesea?DennisNorris, investigador de Cambridge, ha desarrollado una interesantesimulación informáticade laadquisicióndelconocimientocalendáricoenunaredneuronal.Suredsimulada incluyevariasasambleas jerárquicasdeneuronas organizadas jerárquicamente que reciben sucesivamente señalesquerepresentaneldía,elmesyelañodeunafechacualquieraentre1950y1999(Norris,1990).Enlasalidadeestared,sieteneuronascodificanlossietedíasdelasemana.Alprincipio,larednosabequédíadeberíaasociarconunafechadada.Mientrasrecibeejemplos—cadavezmás:lunes22deabril de 1996, o domingo 3 de febrero de 1969, y así sucesivamente—realiza ajustes graduales en el peso de sus conexiones—es decir, en sussinapsissimuladas—,afindeadaptarseparaladifíciltareadepredecirenqué día caerá cada fecha. Luego de varios miles de ensayos, no soloconservaestosejemplos,sinoquetambiénrespondecorrectamenteamásdel 90% de las fechas nuevas que nunca ha aprendido. Al final, la redmanifiestaunbuenconocimientode la funciónmatemáticaquerelacionalasfechasylosdíasdelasemana,unconocimientoqueessoloimplícito,en tanto sus sinapsis ignoran todo lo referente a la resta y la suma, oincluso el número de días que hay en un año o la existencia de añosbisiestos.De acuerdo con Norris, el sistema nervioso está equipado con

algoritmos de aprendizaje muy superiores a los utilizados en susimulación, por lo que resulta completamente plausible que un niñoautista, incluso con un retraso severo, que pasa años estudiando elcalendario, extraiga un conocimiento mecánico, automatizado einconscientedeestetipo,usandomeramentelainducción,oseaapartirdemuchosejemplos.

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Eltalentoylainvenciónmatemática

Entonces, ¿cuál es en definitiva el origen del talento matemático? A lolargo de este capítulo, cada senda explorada nos ha llevado a una fuenteposible. Probablemente los genes tengan cierta relevancia. Pero por sísolos no podrían aportar las bases para una «giba de la matemática», alestilo de lo que postulaban los frenólogos.A lo sumo, junto con variosotros factores biológicos—tal vez incluso la exposición temprana a lashormonas sexuales—, los genes pueden moldear mínimamente laorganización cerebral para colaborar con la adquisición de lasrepresentaciones numéricas y espaciales. Los factores biológicos, sinembargo,tienenunpapelmásbienmodestocuandoseloscomparaconelpoder de aprendizaje, motivado por una pasión por los números. Losgrandescalculistasestántanfascinadosporlaaritméticaquevariosdeellosprefierenlacompañíadelosnúmerosaladesuspareshumanos.Cualquierpersona que dedique esa cantidad de tiempo y concentración a losnúmeros debe lograr tanto el aumento de la memoria como eldescubrimientodealgoritmosdecálculoeficientes.Situviéramosquederivarunaúnicaleccióndeesteanálisisdeltalento,

seríaquelamatemáticadealtonivelsesitúaenlasantípodasdesuretratopopular,queladescribecomounadisciplinafríayracional,dominadaporelpuropoderdeductivo,enlaquelasemocionesnotienenunlugar.Porelcontrario, las más potentes de las emociones humanas —el amor, laesperanza, el dolor o la desesperación— dominan la relación delmatemático con sus amigos, los números. Cuando hay pasión por lamatemática, el talento no está demasiado lejos. Si, a la inversa, unaexperienciadesafortunadahacesurgirunafobiaparalosnúmerosdurantela infancia, la angustia hará que hasta los conceptos matemáticos mássimplesseandifícilesdecomprender.Se me puede reprochar que en este rápido croquis del talento

matemático he puesto en pie de igualdad al genio y al «sabio idiota», aRamanujan y a Michael, a Gauss y a Dave. Sin embargo, ¿podemosequipararalosgigantesqueextendieronlasfronterasdelamatemáticayalosprodigiosautistasquebrillansoloporelsorprendentecontrasteentresushabilidadesmatemáticasysuretrasomentalprofundo?Midecisiónsejustificapor lacantidaddecaracterísticasquecomparten losgeniosy losprodigiosdelcálculo:desdesupasiónporlamatemáticahastasuvisióndeunpaisajepobladodenúmeros.Enmiopinión,seríainjustonegaraInaudi

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o a Mondeux el rótulo de «genios» con el pretexto de que solodescubrieron resultados matemáticos ya muy conocidos. Cuando unpastor,enlasoledaddelapradera,redescubreelteoremadePitágoras,sepuede sostener que su talento no es menor que el de su renombradopredecesor,cuyotrabajonuncaconoció.En este capítulo, he evitado deliberadamente bucear en las

precondiciones psicológicas y neurobiológicas que subyacen a lacreatividadmatemática.Losdestellosdelainspiraciónsontanbrevesquecasi no se los puede estudiar científicamente. A lo sumo, se puedeespecular, como hicieron Pierre Changeux o Alain Connes, que eldescubrimientocientíficoinvolucralaasociaciónmásomenosazarosadeideas viejas, seguidas por una selección basada en la armonía y laadecuacióndeunacombinaciónrecientementeformada.PaulValérydecíaque«hacenfaltadospara inventar:unoforma lascombinaciones,elotroelige y reconoce lo que desea, y lo que le importa, en el conjunto de loproducido por el primero». Del mismo modo, Agustín notó que cogitosignifica«agitarenconjunto»,mientrasqueintelligosignifica«seleccionardeentre».Jacques Hadamar, en su gran investigación sobre la invención en

matemática,distinguelasetapasdepreparación,incubación,iluminaciónyverificación (Hadamard, 1945). La incubación consiste en una búsquedainconsciente por entre fragmentos de demostraciones, o combinacionesoriginales de ideas. Para avalar esta idea central, Hadamar cita a HenriPoincaré: «En un primer momento los desconcertará esta apariencia derepentinailuminación,señalmanifiestadeunlargotrabajoinconsciente.Elpapel de este trabajo inconsciente en la invenciónmatemáticamepareceirrefutable».Tal vez algún día comprendamos las bases cerebrales de este

«inconscientecognitivo».Laactividadespontáneadecircuitosneuronalespor debajo del umbral de la conciencia, el desencadenamiento demecanismosautomáticosdecálculoduranteelsueño:todoestodebetenerhuellas psicológicas medibles, que esperamos poder evaluar gracias a lasneuroimágenes modernas. De momento, sin embargo, solo podemosprestar atención a la pregunta que ya Hadamard proponía hace más demedio siglo: «¿Llegarán alguna vez losmatemáticos a saber lo suficienteacercadelafisiologíadelcerebroylosneurofisiólogosaestaraltantodelos descubrimientos matemáticos para que sea posible la cooperacióneficaz?».

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Ciertamente,ahoranosadentraremosen lafisiologíacerebral,noconla esperanza de descubrir las bases biológicas de la creatividad—lo queseríaunpropósitoutópico,dadoelestadoactualdenuestroconocimiento—, sino por lo menos para intentar explicar de qué manera la artilleríarudimentaria deneuronas, sinapsis ymoléculas receptoras incorporan enlos circuitos cerebrales la rutina del cálculo y de los significados de losnúmeros.

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ParteIII

Deneuronasynúmeros

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7.Perderelsentidonumérico

La verdadera noción acerca de la mente humana esconsiderarla un sistema de diferentes percepciones odiferentesexistencias,queestánenlazadasporlarelacióndecausayefecto,yqueseproducen,destruyen,influyenymodificanunasaotras[…]Aesterespecto,nopuedocomparar al alma con nada más apropiado que unaRepública o un Estado en que los diferentesmiembrosestén unidos por lazos recíprocos de gobierno y desubordinación.

DavidHume,Tratadodelanaturalezahumana

¿Esposiblequeunapersonaseacapazdeleeryescribirnúmerosdecuatrodígitos,perosehayaolvidadoloquesignifica3–1?¿Puedenimaginarquealguien pueda multiplicar sin problemas los dígitos que aparecen a laderecha en su campo visual, pero sea incapaz de hacerlo con los queaparecen a su izquierda? Por último, ¿es posible que alguien con visiónnormalseequivoqueensumasescritastansimplescomo2+2,yalmismotiempo resuelva con facilidad losmismoscálculos cuando se leenenvozalta?Aunquelesparezcaextraño,estetipodefenómenossonderutinaenel

campo de la neurología[33]. Distintas lesiones cerebrales con diversosorígenespuedentenerunimpactodevastadoryavecessorprendentementeespecíficoenlashabilidadesaritméticas.Todossabemosqueunalesiónenlas áreas motoras del cerebro puede causar una parálisis en un lado delcuerposolamente.Conelmismomecanismo,eldañocerebral limitadoalas áreas cerebrales involucradas en el procesamiento lingüístico onuméricopuedealterarsolounconjuntomuyreducidodehabilidades.Dehecho,puedeparecerquelalesióntienepocasconsecuenciashastaqueselepidealpacienteque,porejemplo,resteoleaunapalabrainusual;enesemomento,serevelaundéficitprofundo.Ya en 1769, el filósofo francés Denis Diderot había anticipado la

especificidaddeldañoneurológico.En«ElsueñodeD’Alembert»,realizóestaafirmaciónpremonitoria:

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Deacuerdo con susprincipios,meparecequemedianteunaseriedeoperacionespuramentemecánicaspodríareduciralprimeroentre losgeniosdelmundoaunamasade carnedesorganizada, a la cual solo se dejaría la percepción delmomento. […] [La operación] consistiría en privar al husooriginariodealgunosdesusfilamentosydesordenarelresto[…]Porejemplo:lequitoaNewtonlosdoshilosauditivos,y ya no tiene sensación de los sonidos; los olfativos, y notieneningunasensacióndelosaromas;losópticos,ynotienenoción de los colores; los hilos del paladar, y no puededistinguirlossabores;suprimoodesordenoelresto,yadiósorganizacióndelcerebro,memoria,juicio,deseos,aversiones,pasiones,voluntadyconcienciadesímismo.

Dehecho, las lesiones cerebrales son episodiosdevastadoresquepuedendestruiraunlamentemásbrillante.Sinembargo,paralosneurocientíficos,estos «experimentos de la naturaleza» también ofrecen una oportunidadsingularmente valiosa para comprender el funcionamiento del cerebrohumanonormal.Laneuropsicologíacognitivaesladisciplinacientíficaqueaprovecha la información de los pacientes con lesiones cerebrales pararecabar conocimiento acerca de las redes cerebrales subyacentes a lasfunciones cognitivas. El punto de partida del neuropsicólogo es ladisociación, es decir, el hecho de que, luego de un daño cerebral, unconjuntodehabilidadessevuelvainaccesiblemientrasotropermaneceengranmedidaintacto.Cuandodoshabilidadesmentalessedisociandeestaforma, en general uno puede inferir con alto grado de certeza que estasinvolucran redes neuronales parcialmente distintas. Lo que se infiere esquelaprimerahabilidadsedeterioraporquerequierelaparticipacióndeunáreacerebralquehasidodañadaysetornaincapazdefuncionar.Almismotiempo,lasegundapermaneceintactaporqueutilizaredesneuronalesqueno han sido alcanzadas por la lesión. Por supuesto, los neuropsicólogosdeben tener en cuenta que existen explicaciones más triviales para unadisociación.Por ejemplo, una tareapuede simplemente sermás fácil queotra,obien, luegodeocurrida la lesión,elpacientepuedehabervueltoaaprender una habilidad pero no la otra. Cuando se toma el recaudo dedescartarestetipodeexplicacionesalternativas,laneuropsicologíapermiterealizarnotablesinferenciasacercadelaorganizacióncerebral.Pensemos en un ejemplo concreto. Michael McCloskey, Alfonso

Caramazza y sus colegas han descripto a dos pacientes con dificultades

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severasparaleernúmerosarábigos(McCloskey,SokolyGoodman,1986,McCloskey yCaramazza, 1987).El primer paciente, a quien conocemossoloporsusiniciales,H.Y.,enocasionesleeequivocadamenteelnúmero1 como «dos» o el 12 como «diecisiete». Un estudio cuidadoso de suserrores demuestra que,mientrasH.Y. suele reemplazar unnumeral conotro,nuncaseequivocaenladescomposicióndeunnúmeroencentenas,decenas y unidades. Por ejemplo, lee 681 como «seiscientos cincuenta yuno»: la estructura de la cadena es correcta, con la salvedad de que«ochenta» aparece en lugar de «cincuenta». A la inversa, el segundopaciente, J. E., nunca llama al 1 «dos» o al 12 «diecisiete», pero leeequivocadamente 7900 como «setecientos noventa» o 270 como «veintemil setenta».A diferencia deH. Y., J. E. no sustituye el nombre de unnúmero con otro. En cambio, la estructura gramatical completa delnúmeroestámal.Reconocedígitosindividuales,peroestossemuevendelacolumnadelascentenasaladelasdecenasoaladelosmillares.Los pacientes H. Y. y J. E., en conjunto, concretan una doble

disociación. Básicamente, la estructura gramatical de los números estáintacta en H. Y. y deteriorada en J. E., mientras que la selección depalabrasindividualescorrespondientesalosnombresdelosnúmerosestáintactaenJ.E.ydeterioradaenH.Y.Lasolaexistenciadedospacientesdeestetiposugierequealgunasdelasregionescerebralesinvolucradasenla lectura en voz alta de los números arábigos contribuyen en mayormedidaa lagramáticanumérica,mientrasqueotrasestánmás implicadasenelaccesoaunléxicomentalparalaspalabrasespecíficasreferidasalosnúmeros. Si la lesión fuera lo suficientemente pequeña—por desgracia,algo infrecuente en las lesiones vasculares— su localización hasta podríadar indicacionesvaliosas sobre la localizaciónprecisade estas áreas en elcerebro.¿Peroentoncesvolvemosalafrenología?No,desdeluego:esporeso

quehayquesermuycuidadososalinterpretarestetipodeobservaciones.SielpacienteJ.E.perdiólagramáticadelosnúmeros,estonosignificaquesu lesión haya arrasado con «el área de la gramática». Las grandesfacultades cognitivas, como la «gramática», son funciones complejas eintegradas que posiblemente impliquen la combinación de varias áreasdistribuidas del cerebro. Es muy probable que la lesión de J. E. hayaafectadounprocesoneuronal elemental altamente especializado, esencialpara laproduccióndeunasecuenciagramaticaldepalabrasquerefierenalosnúmeros,peronoparalaseleccióndelaspalabrasquelacomponen.

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Así, la principal lección que podemos derivar de los estudios de lapatología cerebral es la confirmación de que existe una extraordinariamodularidad en el cerebro humano. Cada pequeña región de la cortezaparece estar dedicada a una función específica y, por eso, es posibleconsiderarla un «módulo» mental especializado en el procesamiento deinformación que llega de distintas fuentes. Las lesiones cerebrales y losextrañospatronesdedisociaciónaquedan lugarnosproveenunafuenteinvaluable de información acerca de la organización de estos módulos.GraciasadecenasdepacientescomoH.Y.yJ.E.,quienesgenerosamenteaccedieronaparticiparenexperimentoscientíficos,nuestroconocimientode las áreas cerebrales involucradas en el procesamiento numérico halogrado un salto cualitativo espectacular en las décadas de los ochenta ynoventa.Porsupuesto,todavíaestamoslejosdeconocerconexactitudloscircuitosqueseutilizanenlasoperacionesaritméticasmáscomplejas.Sinembargo,pocoapocotomaformaunmapacadavezmásrefinadode lasrutascerebralesparalainformaciónnumérica.

ElseñorN.,elhombreaproximativo

Cuando el señor N. entra al consultorio una mañana de septiembre de1989,losefectosdevastadoresdesulesióncerebralsonobvios(DehaeneyCohen, 1991). Su brazo derecho en cabestrillo y su mano derechaparalizada delatan un déficitmotor severo. El señorN. habla lento, conesfuerzo.Aveces,buscaunapalabramuycomúnconcrecienteirritación.Yanopuede leerniunapalabra, yno logra comprenderuna instrucciónmás o menos sencilla como «Ponga la lapicera sobre el papel, y luegovuelvaacolocarlaensuubicaciónoriginal».AlgunavezelseñorN.estuvocasadoyespadrededosmujeres.Tenía

un puesto de responsabilidad como representante comercial en unaempresa importante, y sin duda era hábil en aritmética. Poco sabemosacerca de las circunstancias en las que su mundo se derrumbó.Aparentemente, sufrió una mala caída en casa, tal vez debido a unahemorragia cerebral repentina. Cuando llegó al hospital presentaba unhematomaenormeyfueoperadodeurgencia.Aunquelogrósalvarsuvida,quedóconunavastalesióndelamitadposteriordelhemisferioizquierdo.Tresañosmástarde,susdéficitsdecontrolmotorydel lenguajetodavía

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son tan demoledores que no puede llevar una vida independiente y viveconsuspadresancianos.Micolega,eldoctorLaurentCohen,me invitóaconoceralseñorN.

porquesufredeunamuyseveraacalculia, términotécnicodelneurólogoparaundéficitenelprocesamientonumérico.Lepedimosquecalculedosmás dos. Luego de reflexionar unos pocos segundos, responde «tres».Recitaconfacilidadlasseriesnuméricas:1,2,3,4…y2,4,6,8…,perotanpronto como se lo saca de las fórmulas automatizadas y se le pide, porejemplo, que cuente 9, 8, 7, 6… o 1, 3, 5, 7…, fracasa completamente.Tampocolograleereldígito5cuandolopongoantesusojos.Dadosupenosocuadroclínico,unopodríasentirsetentadoaconcluir

quelashabilidadesaritméticasdelseñorN.handesaparecido,aligualquegran parte de su habilidad lingüística. Sin embargo, varias observacionescontradicen esta hipótesis simplista; en primer lugar, su extrañocomportamientocuandolee.Silohagomirareldígito5duranteunlapsoextenso,logradecirmequeesundígitoynounaletra.Luegocomienzaacontar con los dedos: «Uno, dos, tres, cuatro, cinco… ¡es un cinco!».Obviamente,todavíadebedereconocerlaformadeldígito5siescapazdecontar hasta el número apropiado. Pero ¿por qué, entonces, no puedepronunciarlo de inmediato? Cuando le pregunto cuántos años tiene suhija,secomportadelmismomodo.Nolograaccedera lapalabra«siete»,por lo que, instantáneamente, cuenta con disimulo hasta este número.Aparentemente sabe, desde el comienzo, qué cantidades quiere expresar,perorecitarlasseriesdenúmerosessuúnicomedioderecuperarlapalabraadecuada.Al pasar, noto un fenómeno similar cuando el señorN. intenta leer

palabras en voz alta. A menudo parece hacer tanteos alrededor de unsignificadoapropiado,sinencontrareltérminocorrecto.Peseaserincapazde leer la palabramanuscrita «jamón», logra decirme «es una carne». Lapalabra «fumar» es igualmente ilegible, pero evoca en él la sensación de«hacerfuego,quemaralgo».Leeconseguridad lapalabra«escuela»como«clase».Larutadirectaquepermiteacualquieradenosotrosir,sindesvíos,de lavisióndeldígito5asupronunciación«cinco»,ode la secuenciadeletras escritas «J-A-M-Ó-N» al sonido «jamón», parece habersedesvanecidodelamentedelseñorN.Apesardeesto,deunmodouotro,elsignificadodeestoscaracteresimpresosnoestátotalmenteperdidoparaél,eintentaexpresarlousandocircunloquios.

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Siguiendoestapista,acontinuación lemuestroal señorN.unpardedígitos,8y7.Lellevaríavariossegundos«leerlos»contandoconlosdedos.Sinembargo,enunparpadeo,con facilidad señalaque8eseldígitomásgrande.Algomuy similar ocurre con los números de dos cifras, que notienedificultadparaclasificarcomomásgrandesomáspequeñosque55.EsobvioqueelseñorN.recuerdalacantidadquerepresentacadanúmeroarábigo. Sus únicos errores se producen cuando las cantidades sonsimilares, como 53 y 55. Es como si solo supiera su magnitud cercana.También logra ubicar dos números de dos dígitos en su localizaciónaproximadaenuna líneaverticaletiquetadacon«1»en laparte inferiorycon«100» en laparte superior,que se lepresenta comoun termómetro.Susrespuestas,sinembargo,estánlejosdeunaprecisióndigital.Ubicael10enelcuartoinferior,mientrasqueel75quedademasiadocercadel100.Realizarclasificacionesmásfinasesimposibleparaél.Sobretodo,decidirsiunciertonúmeroesimparoparexcedeampliamentesuscapacidades.A lo largo de los experimentos, se impone una sorprendente

regularidad:apesardequeelseñorN.haperdidosushabilidadesparaelcálculoexacto,todavíapuederesponderporaproximación.Cualquiertareaquesolorequieraunapercepciónaproximadadelascantidadesnuméricasnoleplanteadificultadalguna.Porotrolado,juzgaconfacilidadsi,grossomodo, determinada cantidad se condice con una situación concreta: porejemplo,haynueveniñosenlaescuela:¿estoesmuypoco,estáperfecto,osondemasiados?Porotrolado,obviamentehaperdidocualquierrecuerdoprecisodelosnúmeros.Consideraqueunañotiene«cercadetrescientoscincuentadías»yunahora«unoscincuentaminutos».Deacuerdoconél,unañotienecincoestaciones,uncuartodehoraequivalea«diezminutos»,enerotiene«quinceoveintedías»,yunadocenadehuevosestá formadapor«seisodiezhuevos»,respuestasquealmismotiemposonclaramentefalsas y no están, sin embargo, tan lejos de la verdad. Ni siquiera sumemoriarecientesehasalvado.Cuandolemuestrolosnúmeros6,7y8,un segundo más tarde no puede recordar si ha visto un 5 o un 9. Sinembargo,estábastantesegurodequeniel3niel1estabanenelconjuntoinicial, porque enseguida seda cuentadeque estosnúmeros representanunacantidaddemasiadopequeña.Ladisociaciónentreelconocimientoexactoyelaproximadoenningún

lugar esmás evidente que en la adición. El señorN. no sabe cuánto es2 + 2. A veces responde «tres», a veces «cinco»; sin embargo, nuncapropone un resultado tan absurdo como «nueve». Del mismo modo,

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cuandose lepresentaunasumalevemente incorrecta,como5+7=11,decide que es correcta más de la mitad de las veces, y de ese modoconfirmaquenopuede calcular su resultado exacto. Sin embargo, puederechazar rápidamente con total seguridad y éxito una respuestagroseramentefalsacomo5+7=19.Aparentemente,todavíaconocesusresultadosaproximados,ydetectaconrapidezque lacantidadpropuesta,19,sealejadeellospormucho.Esinteresanteque,cuantomásgrandeesunacantidad,másconfusapareceserenlamentedelseñorN.Entonces,rechaza que 4 + 5 = 3, pero acepta 14 + 15 = 23. Los problemas demultiplicación,sinembargo,parecenexcederelalcancedesushabilidadesdeaproximación.Darespuestasqueparecensercompletamentealazar,demodo que acepta como correcta una operación tan absurda como3×3=96.En resumen, el señorN. tiene una afección particular: es incapaz de

superar la aproximación. Su vida aritmética está confinada a un universoextraño y difuso en el que los números no logran hacer referencia acantidades específicas y solo tienen significados aproximados. Sustormentos rechazan la tan trillada precisión infalible de la matemática,expresada de forma tan elegante por el escritor francés Stendhal: «Megustaba,ymegusta todavía, lamatemáticapor sí solacomoalgoquenoadmitelahipocresíaylavaguedad,misdostremendasaversiones».SinánimodecontrariaraStendhal,lavaguedadesparteintegrantedela

matemática,tancentral,dehecho,queuno,comoeselcasodelseñorN.,puedeperdertodanociónexactadelosnúmerosysinembargoconservaruna«intuición»puradelascantidadesnuméricas.Wittgensteinestuvomáscercadelaverdadcuandoobservóconmaliciaque2+2=5esunerrorrazonable.Perosiunindividuoafirmaque2+2suman97,estonopuedeser apenas un error: esta persona debe estar operando con una lógicadiametralmentediferentedelanuestra.Enloscapítulosanteriores,tracéunadistinciónentredoscategoríasde

habilidades aritméticas: las habilidades cuantitativas elementales, quecompartimosconorganismosdesprovistosdelenguaje,comolasratas,lossimiosy losbebéshumanos; y lashabilidades aritméticas avanzadas, quedependen de las notaciones simbólicas de los números y de la arduaadquisicióndealgoritmosdecálculoexactos.ElcasodelseñorN.sugiereque esas dos categorías dependen de sistemas cerebrales parcialmentedistintos y por lo tanto separables; uno puede ser destruidomientras elotropermaneceintacto.

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Obviamente,seríaabsurdoyreduccionistaequiparareldesempeñodelpacienteN.coneldeSheba,lahabilidosachimpancédeSarahBoysenquedescribíenelcapítulo1.Apesardetodossusdéficits,elseñorN.esunHomo sapiens hecho y derecho. En aritmética, sin embargo, su lesióncerebral lo hizo regresar a un nivel rudimentario de habilidad. ComoSheba, el señor N. puede ir de un símbolo numérico a la cantidadcorrespondiente,aunqueevidentementesurepertoriodesímbolosestantomayor que el de la chimpancé. Como ella, es capaz de seleccionar lacantidadmásgrandeentredosytambiéndecalcularunasumaaproximada.Estas operaciones todavía son accesibles para un paciente que presentaafasia y acalculia, con un hemisferio izquierdo drásticamente dañado, locualconfirmaquenodependenmuchode lashabilidades lingüísticas.Encambio, el cálculo exacto parece requerir que se encuentren indemnesciertoscircuitosneuronalespropiosdelaespeciehumanaque,almenosenparte,estánlocalizadosenelhemisferioizquierdo.Así,elseñorN.,consuenorme lesión del hemisferio izquierdo, no puede leer números en vozalta,multiplicarlosnidecidirsisonparesoimpares.

Undéficitbiendelimitado

ElcasodelseñorN.nopermitederivarconclusionesmuynítidasacercadelalocalizacióncerebraldelaaproximaciónnumérica.Dadalaextensióndesulesiónenelhemisferioizquierdo,sushabilidadesresidualesbienpuedendependerdeáreas intactasdelhemisferioderecho.Sinembargo,existe laposibilidaddequepartede suhemisferio izquierdohayapermanecido losuficientemente funcional como para permitir, aunque no el cálculoexacto,lacomparaciónylaaproximacióndenúmeros.Otras patologías cerebrales son más adecuadas para señalar las

habilidades aritméticas de cada hemisferio. El cuerpo calloso es un granhaz de fibras nerviosas que conecta los dos hemisferios, y que funcionacomolamayorvíaparacomunicarinformaciónentreellos.Enocasiones,estehazpuededesconectarse.Avecesseinterrumpeparcialmenteacausadeuna lesión cerebral focal.Conmás frecuencia, son losneurocirujanosquienesloseccionanintencionalmenteparacontrolarlaepilepsiaseveraenpacientes que no responden a las demás formas de tratamiento. Encualquiera de los casos, el resultado es un ser humano con la cortezaseparadaendos,ounpacienteconelcerebrodividido:losdoshemisferios

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cerebrales funcionan a la perfección, pero ya no son capaces deintercambiarseinformación,exceptoporvíasindirectas[34].Enlavidadiaria,estospacientesengañan…Enrealidad,aparentanun

estado saludable de cuerpo y mente. Su comportamiento escompletamentenormal,anoserporepisodiosmuyinfrecuentesenlosquela mano izquierda intenta hacer lo contrario de lo que está haciendo laderecha.Sinembargo,unaevaluaciónneurológicasimpleessuficientepararevelar anomalías claras. Si los pacientes cierran los ojos y se ubica unobjetofamiliarensumanoizquierda,sonincapacesdenombrarlo,aunquepuedenhacer lamímica de su uso.Delmismomodo, si se presenta unaimagen a su campovisual izquierdo, juranquenohanvistonada,pese aquesumanoizquierdalograseleccionarlaimagenapropiadaentremuchasotras.Estopuedeparecermuyextraño,peroesfácildeexplicar.Lasvíasde

proyecciónmásimportantesqueconectanlosórganossensorialesexternoscon las cortezas sensoriales primarias están cruzadas, de modo que unestímulotáctilovisualdelladoizquierdoesprocesadoinicialmenteporlasáreas sensoriales del hemisferio izquierdo.Entonces, cuando se ubica unobjeto en la mano izquierda, el hemisferio derecho está completamenteinformadodelaidentidaddelestímuloyescapazderecuperarsuformaysufunción.Sinembargo,enausenciadelcuerpocalloso,estainformaciónno puede transmitirse al hemisferio izquierdo. En particular, las áreascerebralesquecontrolanlaproduccióndellenguaje,cuyalateralizaciónenel hemisferio izquierdoha sido conocidadesde el trabajodeBroca en elsigloXIX,norecibenningunaindicacióndeloqueelhemisferioizquierdoveosiente.La reddel lenguajedelhemisferio izquierdo,entonces,niegahabervistocosaalguna.Siselaobligaadarunarespuesta,seleccionaunaalazar o la toma prestada de intentos anteriores. Este fue el caso en mievaluación de una paciente que, con los ojos vendados, acababa denombrar un martillo ubicado en su mano derecha. Cuando le puse unsacacorchos en lamano izquierda, de inmediato dijo «Otromartillo», y,mientras lo decía, con la mano izquierda hacía la mímica de estardescorchandounabotella.Para los neuropsicólogos, los pacientes con un cuerpo calloso

seccionado son como oro en polvo, porque permiten la evaluaciónsistemática de las habilidades cognitivas correspondientes a cadahemisferio. Supongamos que uno le pide a un paciente con el cerebrodividido que multiplique un dígito cualquiera por 2, y que señale el

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resultado correcto entre varios otros números.Al presentar el dígito deformavisual,yaseaaladerechaoalaizquierdadelamiradadelpaciente,yalmostrarlo durante un lapso tanbreve quedesaparece antes de que losojoshayan tenido tiempodemoverse,puede tenerse lacertezadequeelestímulo permanece confinado a un solo hemisferio. Con este truco, sepuede evaluar si cada hemisferio es capaz de identificar números,multiplicarlospor2,y si elpacienteconsigue señalar el resultadoconsuíndice.Comencemos con la operación más simple: identificar números. Se

presentandosdígitos enunapantalla y sepregunta aunpaciente con elcerebrodivididosisonidénticosodiferentes.Cuandounnúmeroaparecealaderechayelotroalaizquierda,hastaestasencilladecisiónentreigualodistintoes impracticable.Elpacienterespondealazar,yavecesdecideque2y2sondiferentes,yavecesque2y7sonidénticos.Laalteracióndelasconexionesinterhemisféricastornaimposiblelacomparaciónentrelosdígitos de la izquierda y los de la derecha. Esto sucede incluso si cadahemisferiopuedeidentificarlosporsísolo.Enefecto,cuandolasdoscifrasaparecenenelmismocampovisual,yasealasdosalaizquierdaolasdosaladerecha,elpacienterespondeconunaprecisióncasiperfecta.Losdoshemisferiosnosecontentanconreconocer las formasde los

dígitos. También pueden interpretar que se refieren a determinadascantidades.Paraprobaresto,unopuedepresentarunacifra juntoconunconjuntodepuntos,envezdeunpardecifras.Cuandotantolacifracomoel patrón de puntos aparecen en el mismo campo visual, el pacientedeterminaconfacilidadsicoinciden.Entonces,cadahemisferiosabeque3y∴representanexactamenteelmismonúmero.Unoyotrohemisferio tambiénperciben la relaciónordinal entre los

números. Si una cifra se presenta o a la derecha o a la izquierda, lospacientes con el cerebro dividido pueden decidir con rapidez si es máspequeñaomásgrandequeunnúmerodereferencia.Ycuandosepresentaun par de dígitos, pueden señalar elmás grande (o elmás pequeño). Lacomparación parece ser solo un poco más lenta y menos precisa en elhemisferio derecho que en el izquierdo, pero la diferencia es escasa.Entonces, cada hemisferio parece poseer una representación de lascantidadesnuméricasyunprocedimientoparacompararlas.Pero esta similitud entre los dos hemisferios se desvanece cuando se

aborda la cuestión del lenguaje y el cálculomental. Estas funciones sonfacultad indiscutible del hemisferio izquierdo. Utilizando los mismos

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procedimientos experimentales que se acaban de describir, el hemisferioderecho parece ser incapaz de identificar los números escritos. Sushabilidadesvisualesincluyenelreconocimientodeformassimplescomoeldígito6,peronode losestímulosalfabéticoscomo«seis».En lamayoríade las personas, el hemisferio derecho también es mudo: no puedepronunciar la mayor parte de las palabras en voz alta. Entonces, si unomuestraeldígito6delladoizquierdodelapantalladelacomputadora,lamayoríadelospacientesconelcerebrodivididosecomportaexactamentecomo loharía el señorN.:nopuedennombrar eldígito, aunquepuedenindicarconlamanoizquierdaqueestenúmeroesmásgrandeque5.Algunospacientesparticularmenteingeniososlograneludirelmutismo

de su hemisferio derecho. Por ejemplo, Michael Gazzaniga y StevenHillyard estudiaron a un paciente llamado L. B., quien, luego de variossegundos, lograba nombrar los dígitos presentados a su hemisferioderecho(GazzanigayHillyard,1971).Adiferenciadeloqueleocurriríaauna persona normal, el tiempo que empleaba en denominar un númeroaumentabaen relacióndirecta conel tamañode losdígitos:necesitódossegundos para mencionar el dígito 2, pero casi cinco segundos para eldígito8.ComoelseñorN.,L.B.parecíarecitarlasecuencianuméricadeforma lenta y disimulada hasta que llegaba a un número que parecía«diferente de los otros» —esas fueron sus palabras— y entonces lopronunciaba en voz alta. Nadie sabe exactamente cómo el hemisferioderecholograbaindicarquehabíaalcanzadoelnúmerovisto.Puedehabersidoalgún tipodemovimientode lamano,unacontraccióndel rostrooalgúnotroartificioquefuncionabacomounaclave,quelospacientesconel cerebrodividido suelen elaborarpor sí solos.De todosmodos,que elpaciente recurriera a contar para nombrar los dígitos presentados en elcampovisual izquierdoya era señal deque suhemisferioderecho estabaprivadodehabilidadesdeproduccióndehablanormales.El hemisferio derecho también lo ignora todo en materia aritmética

mental.Cuandosepresentaundígitoarábigoenelcampovisualderecho,y, por lo tanto, contacta el hemisferio izquierdo, el paciente no tienedificultadalgunaparasumarle4,restarle2,multiplicarlopor3odividirlopor2.Estetipodecálculos,porsencillosquesean,resultanestrictamenteimposiblescuandoeldígitoaparecedel lado izquierdoy,por lotanto,esprocesado por el hemisferio derecho. Tal deficiencia profunda para elcálculo persiste incluso cuando se le pide al paciente que señale elresultado,enlugardedecirloenvozalta.

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Si bien el hemisferio derecho es incapaz de hacer cálculos exactos,¿puedehaceraproximaciones?Paraevaluarestaposibilidad,conmicolegaLaurent Cohen le pedimos a una paciente con hemisferios parcialmentedesconectados que verificara problemas de suma presentados en formavisual(CohenyDehaene,1996).Inclusosilaoperaciónatodasluceseraerrada, como 2 + 2 = 9, cuando la percibía el hemisferio derecho elpaciente parecía responder al azar y decidía que era correcta enaproximadamente lamitadde losensayos.Duranteunaseriedeensayos,sin embargo, repentinamente tuvo una secuencia de quince respuestascorrectas entre dieciséis sumas cuyos resultados eran correctos, o bienmuyfalsos.Laprobabilidaddequeocurrauneventodeesetipoalazaresdemenosdeunoencuatromil.Poreso,creoquesuhemisferioderechopodía estimar sumas sencillas, pero logró expresar esta habilidad soloduranteestebloquededieciséisensayos.Dehecho,noessuficientequeelhemisferio derecho posea determinada habilidad; también debecomprender las instrucciones del investigador y debe contar con unaoportunidadpararesponderantesdequeelhemisferioizquierdoanticipesusrespuestas.JordanGrafmanysuscolegashanestudiadoaotropacientequeaporta

más indicios a favorde lahipótesisdequeelhemisferioderecho soloesbueno para cálculos muy elementales (Grafman, Kampen, Rosenberg,SalazaryBoller,1989).Alos22años,duranteuncombateenVietnam,unjoven soldado estadounidense, J. S., perdió la mayor parte del ladoizquierdo de su cráneo y de la corteza correspondiente (figura 7.1).Dealgún modo, J. S. sobrevivió a las múltiples operaciones, a repetidasinfecciones y a las severas crisis de epilepsia que siguieron.Actualmenteviveunavida semiindependiente apenasconelhemisferioderecho(enelhemisferio izquierdo, solo se preserva el lóbulo occipital). Como puedeesperarse,J.S.tieneundéficitprofundoparalacomprensiónyproduccióndel lenguaje hablado. No puede leer ni escribir palabras, ni nombrarobjetos;estosrasgoscoincidenexactamenteconlaslimitacionesconocidasdel hemisferioderecho aislado en los pacientes quepresentanun cuerpocalloso seccionado. Sus resultados en evaluaciones de procesamientonuméricotambiénconcuerdanconlosdeotrosestudiosdepacientesconel cerebro dividido. J. S. reconoce los números arábigos y sabe cómocompararlos y estimar la numerosidad de un conjunto de objetos. Enocasioneslograleerenvozaltaunospocosdígitosyalgunosnúmerosdedosdígitos,peronomásqueesto.Puederesolveralrededordelamitadde

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losproblemasdesumayrestadeunúnicodígitoquese lepresentan.Lamultiplicación, la división y las operaciones multidígito constituyenobstáculosinsalvablesparaél.

Uncampeóndelabsurdonumérico

Los pacientes con el cerebro dividido de los que hemos hablado hastaahora, juntoconelpaciente J. S., indicanque, aunque soloelhemisferioizquierdo puede realizar cálculos exactos, tanto este como el derechoincorporan representaciones de las cantidades numéricas. ¿Es posiblelocalizar las áreas cerebrales más circunscriptas implicadas en estarepresentacióncuantitativa?¿Larectanuméricamentalestáasociadaauncircuitocerebralespecíficoconunalocalizacióncorticalprecisa?Y¿cómoseríanuestravidamentalsiunalesióncerebralnoshicieraperdernuestrosentidonumérico?Pararesponderaestaspreguntas,resultaútilconsiderarapacientesconlesionesmáspequeñas,queafectanunazonamáspequeña,yporendemásespecífica,delcircuitocerebral.

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Figura7.1.ApesardelapérdidadesuhemisferioizquierdoduranteuncombateenVietnam,elpacienteJ.S.todavíapuedeidentificarycompararnúmerosarábigos.Elcálculoexacto,sin

embargo,leplanteadificultadesextremas(tomadodeGrafmanyotros,1989).

CuandoelfamosodramaturgoEugèneIonescoestabaescribiendosuobramaestra La lección, probablemente no tenía más pretensiones que supreferenciaporloextravaganteyelsinsentido.Sinembargo,enestaobratrazóunretratonotablementerealistadeunpacienteconacalculia,carentedecualquierintuicióncuantitativa:

ElProfesor:Bueno.Aritmeticemosunpoco…¿Cuántossonunoyuno?LaAlumna:Unoyunosondos.El Profesor (admirado por la sabiduría de la alumna):¡Oh, muy bien! Me parece muy adelantada en sus

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estudios.Completará fácilmente su doctorado, señorita.Sigamosadelante:¿cuántossondosyuno?LaAlumna:Tres.ElProfesor:¿Tresyuno?LaAlumna:Cuatro.ElProfesor:¿Cuatroyuno?LaAlumna:Cinco…El Profesor: ¡Magnífica! ¡Es ustedmagnífica! ¡Es ustedexquisita!La felicitocalurosamente, señorita.Novale lapena continuar. En lo que respecta a la suma, es ustedmagistral.Veamoslaresta.Dígamesolamente,sinoestáagotada,cuántossoncuatromenostres.LaAlumna:¿Cuatromenostres?…¿Cuatromenostres?ElProfesor:Sí.Quierodecir:quitetresdecuatro.LaAlumna:Esoda…,¿siete?El Profesor: Perdóneme si me veo obligado acontradecirla.Cuatromenos tresnodansiete.Usted seconfunde: cuatromás tres son siete, pero cuatromenostresno sonsiete…Ahoranose tratade sumar, sinoderestar.LaAlumna(seesfuerzaporcomprender):Sí…sí…El Profesor: Cuatro menos tres son: ¿cuánto?…,¿cuánto?LaAlumna:¿Cuatro?ElProfesor:No,señorita,noeseso.LaAlumna:Entonces,tres.ElProfesor:Tampoco,señorita…Perdóneme,perodebodecírselo:noesesalarespuesta…Discúlpeme.LaAlumna:Cuatromenos tres…Cuatromenos tres…¿Cuatromenostres?¿Nosondiez?…ElProfesor:Cuente,pues,porfavor,seloruego.La Alumna: Uno… dos… y después de dos, vienentres…cuatro…El Profesor: Deténgase, señorita. ¿Qué número esmayor:eltresoelcuatro?LaAlumna:¿Es?…¿Eltresoelcuatro?¿Cuálesmayor?¿Elmayordetresocuatro?¿Enquésentidoelmayor?

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ElProfesor:Haynúmerosmáspequeñosynúmerosmásgrandes.En losnúmerosmásgrandeshaymásunidadesqueenlospequeños…LaAlumna:Discúlpeme,señor.¿Quéentiendeustedporelnúmeromayor?¿Elmenospequeñoqueelotro?El Profesor: Eso es, señorita. ¡Perfecto! Me hacomprendidomuybien.LaAlumna:Entonces,eselcuatro.ElProfesor:¿Quéeselcuatro?¿Mayoromenorqueeltres?LaAlumna:Menor…no,mayor.ElProfesor:Excelenterespuesta.¿Cuántasunidadeshayentre tres y cuatro? ¿O entre cuatro y tres, si ustedprefiere?LaAlumna:Nohayunidades,señor,entretresycuatro.El cuatro viene inmediatamente después del tres, ¡peronohaynadaabsolutamenteentreeltresyelcuatro!…ElProfesor:Escuche.Heaquítresfósforos.Yaquíotromás, en total, cuatro. Ahora observe bien; usted tienecuatro,yoretirouno,¿cuántoslequedan?LaAlumna:Cinco.Si tresyunohacencuatro,cuatroyunohacencinco.

¿Ionescohabrávisitadoalgunavezunaclínicaneurológica?LaalumnadeLa lección no es un personaje imaginario, sino que existe: es alguien aquien he conocido en persona. Durante varias horas, intenté enseñarlearitméticaalseñorM.,unpacienteacalcúlicode68añosdeedadconunalesiónenlacortezaparietalinferior(figura7.2;DehaeneyCohen,1997).Como laalumnadeIonesco,estapersonapodía resolversumassencillas,peroeratotalmente incapazderestaryteníadificultadesparadeterminarelmásgrandeentredosdígitos.EldiálogodeIonescosuenatanverdaderoque prácticamente podría ser una transcripción literal de misconversaciones surrealistas con el señor M. En las réplicas del profesorreconozco mis propios intentos torpes de volver a enseñar aritméticaelementalalseñorM.:mientusiasmodesproporcionadocuandololograba,ymi inocultabledesalientofrenteasusfallasrecurrentes.En laspalabrasde la alumna, casi puedo oír la confusión de mi paciente a medida queintentaba, con una voluntad inagotable, responder a preguntas cuyo

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sentido ya no comprendía. Hasta el subtítulo de la obra —«dramacómico»—encaja perfectamente con las desafortunadas tribulaciones delseñorM.,uncasogenuinodeabsurdonumérico.

Figura7.2.EstalesióndelacortezaparietalinferiorderechahizoqueelseñorM.perdierasusentidodelascantidadesnuméricas.(Nótesequeunaconvenciónconfusadelosneurólogoshacequelaslesionesdelhemisferioderechoaparezcanalaizquierdadelasseccioneshorizontales)

(tomadodeDehaeneyCohen,1997).

LaalteracióndelseñorM.es,dehecho,típicadelospacientesquepadecenun déficit selectivo de la representación cuantitativa de los números, larecta numéricamental que da significado a los números arábigos y a laspalabrasquedesignannúmeros.ElseñorM.haperdidocualquierintuiciónacerca de la aritmética. Esta es la razón por la que resulta incapaz decalcular4–3,ohastadecomprenderelsignificadodeestaresta.Apesarde esto, como el resto de sus circuitos cerebrales permanece intacto,

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consigue recuperar de memoria, sin comprenderlas, las operacionessimbólicashabituales.ExaminemospuntoporpuntolasdisociacionesdelseñorM.Notéque

hablaba con bastante fluidez y podía leer palabras y números a laperfección.Alprincipiosufríaalgunadificultadconlaescritura,peroestadiscapacidadhacedidohacemuchotiempo.Porlotanto,susmódulosparaidentificarpalabras,tantodeformavisualcomoauditiva,yparadecirlasoescribirlasdebíandeestar indemnes,delmismomodoque losconjuntosde conexionesque los vinculan.Porotraparte, el casodel señorM.nosfuerza a pensar que hay vías directas en el cerebro humano quetransforman los números de una notación a la otra: redes capaces deconvertir 2 en «dos» sin necesidad de comprender el significado de lossímbolos.Dehecho, el señorM.noentiende losnúmerosque lee tanbien.En

unatareadecomparaciónenqueselesolicitaqueenglobeenuncírculoelmayor de dos números arábigos, falla una vez cada seis intentos. Suserrores,aunquerelativamenteinfrecuentes,songroseros.Porejemplo,enciertaocasiónsostuvo, sinpestañear,que5eramásgrandeque6.Enunjuicio de proximidad numérica, que consiste en decidir cuál de dosnúmerosestámáscercadeuntercero,tambiénfallaenunodecadacincoensayos.Su déficit es más evidente en las pruebas de resta y de bisección

numérica. El test de bisección consiste en decidir qué número caeexactamente en el medio de determinado intervalo. Las respuestas delseñorM.lindanconelabsurdocompleto.Entre3y5,ubicael3ydespuésel2;entre10y20,sitúael30,paracorregir luegosurespuestacomo25,con este revelador pedido de disculpas: «No visualizo muy bien losnúmeros».Enelcampodelasustracciónimperaparaélunaconfusiónsimilar.No

lograresolveralrededordetresproblemasdecuatro.YsuserrorestienenuninquietanteparecidoconlosdelaalumnadeIonesco.Afirmaque2–1es2;9–8es7«porquehayunaunidad».También,que3–1es4:«¡No!,tengoyounaunidad,entoncessihayunaunidad, lamodificacióndeunaunidad hace tres, ¿no?». Para 6 – 3, escribe «nueve», pero comenta, conlucidez: «Estoy sumando cuando debería estar restando. Una restaconsiste en quitar; en cuanto a una suma, consiste en añadir». Esteconocimiento, sin embargo, no es más que una pátina teórica. Resultaevidente que señorM. ya no posee trazo alguno de la estructura de los

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númerosenterosnidelasoperacionesquepermitenpasardeunacantidadaotra.EnLalección,laalumnaquenopuederestar3a4deprontosevuelve

unprodigiodelcálculo:

El Profesor: ¿Cuántos son, por ejemplo, tres milsetecientos cincuenta y cinco millones novecientosnoventa y ocho mil doscientos cincuenta y unomultiplicadosporcincomilcientosesentaydosmillonestrescientostresmilquinientosocho?LaAlumna (muy rápidamente): Son diecinueve trillonestrescientos noventa mil billones dos mil ochocientoscuarenta y cuatro mil doscientos diecinueve millonescientosesentaycuatromilquinientosocho.ElProfesor(estupefacto):¿Perocómolosabeustedsinoconocelosprincipiosdelrazonamientoaritmético?LaAlumna: Es sencillo.Comono puedo confiar enmirazonamiento, me he aprendido de memoria todos losresultadosposiblesdetodaslasmultiplicacionesposibles.

En conclusión, y salvando las distancias, el señor M. exhibe unadisociación similar, aunque necesariamente menos espectacular. Él, queafirmaconseguridadque3–2=2,sabedememorialamayorpartedelastablas demultiplicar. Sumemoria verbal está intacta, y le permite decirapresuradamente «tres por nueve es veintisiete», como un autómata, sincomprender lo que está diciendo. También apela a estamemoria intactapararesolvermásdelamitaddelosproblemasdesumadeundígitoqueseleplantean.Sinembargo,fallasiemprequeelresultadodeunasumasuperael número 10. La estrategia utilizada por lamayoría de los adultos, queconsisteendescomponer,porejemplo,8+5en(8+2)+3,estáfueradesualcance.ElconocimientoaritméticodelseñorM.comienzaadisminuirjustoallídondesumemoriasedetiene.Sulesiónparietalinferiorleimpideelaccesoalsentidonuméricocuandosumemoriafalla.

Lacortezaparietalinferioryelsentidonumérico

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Eláreaparietalinferior,dondeestáubicadalalesióndelseñorM.,todavíaes una terra incognita del cerebro humano. Esta área cortical, y muyespecialmentesucircunvoluciónposterior, llamada«giroangular»o«área39deBrodmann», es crucial en la representaciónmentalde losnúmeroscomocantidades.Bienpodríaserdepositariadel«sentidonumérico»alquededicamosestelibro,esaintuiciónparalascantidadesqueestápresenteennuestramentedesdelosalboresdelaespeciehumana.Anatómicamente,seencuentraenloquelosneurocientíficossolíanllamarcorteza«asociativa»o «plurimodal» de alto nivel. El neurólogoNormanGeschwind la llamó«áreadeasociacióndelasáreasdeasociación».Susconexionesneuronales,en efecto, la sitúan en la convergencia de corrientes de informaciónprovenientesdelavisión,laaudiciónyeltacto,unalocalizaciónidealparala aritmética, cuya representación abstracta se aplica a todas lasmodalidadessensoriales.Unostrescuartosdesiglohanpasadodesdequeelneurólogoaustríaco

JosefGerstmanndescribióporprimeravez loscuatrodéficitsquepuedeocasionarunalesiónenlaregiónparietalinferiorizquierda:comoesobvio,acalculia, pero también dificultades en la escritura, agnosia digital(dificultades para representar los dedos de la mano), y desorientaciónespacial (dificultad para distinguir izquierda de derecha) (Gerstmann,1940[35]). Inmediatamente después de su accidente vascular, el señorM.mostraba todos estos déficits. Sin embargo, había una complicaciónadicional: su lesión estaba localizada en el hemisferio derecho. Creemosqueestepaciente,queerafuertementezurdo,secontabaentrelaminoríade personas cuyo cerebro está organizado en espejo respecto de laarquitecturahabitual,demodoquesuhemisferioderechoestáinvolucradoen el procesamiento del lenguaje, en lugar del izquierdo. Pero tambiénpodemosdetectarpérdidadelsentidonuméricocuantitativoenpacientesmásclásicos,cuyosíndromedeGerstmannprovienedeunalesiónparietalinferiorizquierda.¿Cuál es la relación entre los números, la escritura, los dedos y el

espacio?Estetemaeselcentrodeundebateinagotable.Loscuatrodéficitsque hoy llamamos «síndrome de Gerstmann» pueden no significardemasiado.Podríanreflejartansololaagrupacióndeunavariedadextrañademóduloscerebralesindependientesperoubicadosenlamismavecindadcortical. Es más, durante décadas los investigadores han señalado que,aunque suelen observarse juntos, los cuatro elementos que componen elsíndrome también pueden aparecer disociados. Algunos pacientes

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relativamenterarosmuestranacalculiaaislada,sindificultadaparenteparadistinguir los dedos, o viceversa. Por tanto, es probable que la regiónparietal inferior esté subdividida en microrregiones altamenteespecializadasparalosnúmeros,paralaescritura,paraelespacioyparalosdedos.A pesar de todo, hay una tendencia a buscar una explicación más

profunda para esta agrupación en una misma región cerebral general.Despuésdetodo,comovimosencapítulosprevios,laasociaciónentrelosnúmeros y el espacio es indiscutiblemente estrecha. En el capítulo 1,advertimos que la numerosidad puede captarse de una representaciónespacialdeconjuntosdeítems,yaqueestemapaespecificalapresenciadeobjetoscualquieraseasutamañoeidentidad.Enelcapítulo3,mostramoselpapelcentralquetieneenlaintuiciónnuméricalarepresentaciónmentaldelosenterosenunarectaorientadadeizquierdaaderecha.Enelcapítulo6, por último, se encontraron relaciones muy cercanas entre el talentomatemáticoylashabilidadesespaciales.Entonces,noparecesorprendenteencontrar que una lesión puede destruir simultáneamente lasrepresentacionesmentalesdelespacioydelosnúmeros.Mi sensación es que la región parietal inferior alberga circuitos

neuronales especializados para representar datos espaciales continuos, eidealmente propicia para la codificación de la recta numérica[36].Anatómicamente, está en la cúspide de una pirámide de áreasoccipitoparietales que construyen mapas cada vez más abstractos de ladistribución espacial de los objetos en el ambiente. El número emerge,desde luego, como la representaciónmás abstracta de la permanencia delosobjetosenelespacio;dehecho,casipodemosdefinirelnúmerocomoelúnicoparámetroquepermanece constante cuando sehace abstraccióndelaidentidadylatrayectoriadeunobjeto.Losvínculosentrelosnúmerosylosdedostambiénsonobvios.Todos

losniñosdetodas lasculturasaprendenacontarcon losdedos.Poreso,parece posible que, en el curso del desarrollo, las representacionescorticales de los dedos y de los números ocupen territorios cerebralesvecinos o fuertemente interrelacionados. Es más, las representacionescerebrales de los números y la disposición de la mano, incluso si sondisociables,obedecenaprincipiosdeorganizaciónmuysimilares.CuandoelseñorM.mueveeldedoíndiceapesardehaberlepedidoquemovieraelanular,suerrorpareceelanálogoexactodesuincapacidadparavisualizarlas localizaciones respectivas de los números 2 y 3 en la recta numérica.

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Desdeestaperspectiva,queesaúnespeculativaengranmedida,tantolosmapascorporalescomolosespacialesylarectanuméricaseríanresultadode un único principio estructural que rige la conectividad en la cortezaparietalinferior.

Ataquesinducidosporlamatemática

Otra patología enigmática demuestra hasta qué punto el área parietalinferiorestáespecializadaparalaaritmética.Laepilepsiaarithmeticesesunsíndrome informado por primera vez en 1962 por los neurólogosD. Ingvar y G. Nyman. Cuando realizaban un estudioelectroencefalográfico de rutina a unamuchacha epiléptica, descubrieronque siempre que la paciente resolvía problemas de aritmética, inclusoalgunosmuysencillos,susondascerebralesmostrabandescargasrítmicas.Asombrosamente, el cálculo desencadenaba ataques epilépticos,mientrasque otras actividades intelectuales, como la lectura, no tenían efectoalguno(IngvaryNyman,1962).NimalSenanayake,unmédicodeSriLanka,trazaunretratofascinante

yaterradordeestos«ataquesinducidosporelpensamiento»:

Una niña de 16 años había estado padeciendomovimientoserráticosrepentinosdelbrazoderechoduranteel año pasado, acompañados por bloqueos mentalestransitorios mientras estudiaba; en particular, cuandoestudiabamatemática.Durante lasevaluaciones trimestrales,comenzó a desarrollar temblores más o menos treintaminutosdespuésdecomenzarconelexamendematemática.Se le cayó la lapicera de la mano y le costó concentrarse.Completóelexamendeunahoradeduracióncondificultad,perodurantelasegundapartedelexamenlosmovimientossevolvieronmáspronunciadosyaloscuarentaycincominutostuvo una convulsión tónico-clónica y perdió la conciencia.[Luego de la administración de medicación antiepiléptica],hubo algunas mejorías, pero continuó teniendo sacudonesocasionales durante las clases de matemática.Aproximadamente nueve meses después del primer ataqueimportante tuvo que realizar la evaluación de fin de año.

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Nuevamente, durante el examendematemática, comenzó asacudirsealosquinceminutos.Seforzóacontinuar,peroalamitad del examen tuvo una convulsión tónico-clónica(Senanayake,1989).

Hoy se conocen más de una docena de casos similares de «epilepsiaaritmética»enelmundoentero.Losencefalogramasdelasvíctimassuelenpresentar anomalías en la región parietal inferior. Es muy probable queesta área albergue una red de neuronas conectada de forma incorrecta ehiperexcitable que, cuando se pone en uso durante la resolución deproblemas aritméticos, transmite una descarga eléctrica incontrolable aotrasáreascerebrales.Elhechodequeestefocoepilépticosolosedesateduranteelcálculodaunindiciodelaextremaespecializacióndeestaáreacerebralparalaaritmética.

Losmúltiplessignificadosdelosnúmeros

El caso del señor M. también aporta pruebas contundentes de lasorprendenteespecializacióndeláreaparietal inferior(DehaeneyCohen,1997). Si bien su lesión parietal ha devastado su sentido numérico, elseñor M. retiene un conocimiento excelente de los dominios nonuméricos. Lo más asombroso es que, aunque no puede responder quénúmerosestánentreel3yel5,lamismatareadebisecciónaplicadaaotrasáreas no supone dificultades para él. Sabemuy bien qué letra está entreAyC,cuáleseldíaentreelmartesyeljueves,cuálelmesentrejunioyagostoyquénotamusicalsiguealdoyprecedealmi.Elconocimientodeestas series está completamente intacto. Solo la serie de números —laúnicaqueserefierealacantidad—pareceestarafectada.Inclusoenloatinentealosnúmeros,elseñorM.nohaperdidosurico

almacén de conocimiento «enciclopédico». Este talentoso artista,actualmenteretirado,llenodetalento,dotadodeunararacultura,todavíapuededisertar largamente acerca de los sucesos de 1789o 1815. Inclusomehacontado,conlujodedetallesnuméricos,lahistoriadelHospitaldelaSalpêtrière,dondeloevalúo.Elnúmero5,quetandeinmediatodicequeesmásgrandequeel6,evocaparaélunaprofusióndereferenciasmísticasa los«cincopilaresdel islam».Merecuerdaquesegún lospitagóricos losnúmeros impares teníanel favorde losdioses.Yme refiere, conhumor,

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unacitaenigmáticadelhumorista francésAlphonseAllais:«Elnúmero2se regocija por ser tan impar». Sin duda, la erudición del señor M. hasobrevivido al daño cerebral, incluso en lo que concierne a fechas y a lahistoriadelosnúmerosydelamatemática.OtradimensióndeldéficitdelseñorM.esquevaríadeacuerdoconel

carácterabstractooconcretodelosproblemasqueselepidequeresuelva.Losnúmeros que semanejan en la aritmética son conceptos sumamenteabstractos.Cuando se resuelve8+4,no tiene sentidopreguntarse si seestá hablando acerca de ocho manzanas o de ocho niños. El déficit delseñor M. parece limitarse a esta comprensión de los números comomagnitudesabstractas.Sudesempeñonuméricomejoraconsiderablementesiemprequeencuentraunreferenteounmodelomentalconcretoalcualaferrarse,enlugardetrabajarconlosnúmerosenabstracto.Porejemplo,puedeestimarmagnitudesnofamiliaresperoconcretascomoladuracióndelviajedeColónalNuevoMundo, ladistanciadeMarsellaaParís,oelnúmerodeespectadoresdeunpartidodefútbolimportante.Duranteunaevaluación,noconsiguiódividir4por2(respondíamecánicamente«cuatroportresesdoce»).Conelobjetivodecomprenderelorigendeestafalla,coloquécuatrobolillasensumanoylepedíquelascompartieraentredosniños. Inmediatamente dividió este conjunto concreto tomando doscanicasencadamano,sinsiquieraundejodeindecisión.Más adelante le pregunté acerca de su cronograma diario y descubrí

queutilizaconbuendiscernimientolasetiquetasdelashoras.ElseñorM.explicó sin dificultad que se levantaba a las cinco de la mañana y luegotrabajaba dos horas antes del desayuno, servido a las siete, y asísucesivamente.Eldesplazamientomentalpor la líneadetiempoconcretafue como una bocanada de aire fresco para él, comparado con lamortificación de la recta numérica abstracta. Es notable cómo con lasetiquetas de las horas logró realizar cálculos que era completamenteincapazdehacerenabstracto.Porejemplo,mepodíadecircuántotiempohabía pasado entre las nueve y las once de la mañana, una operaciónequivalente a la resta, que tanto le costaba resolver. Tampoco teníainconvenientealgunoenconvertir«las20horas»en«lasochodelanoche»y«las15horas» en«las tresde la tarde», aunqueunaconversiónde estetipo es formalmente equivalente a sumar y restar doce. Como era deesperar, sufrió un amargo revés cuando le propuse operacionesequivalentes desde el punto de vista numérico, como 8 + 12, en elcontextoabstractodeunapruebaaritmética.

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Estasdisociacionesdemuestranquesería inútilbuscarel áreacerebralpara el significado numérico. Los números tienenmúltiples significados.Algunos números «al azar» como 3871 hacen referencia a un soloconcepto: la cantidad pura que transmiten. Otros, sin embargo,especialmente cuando son pequeños, evocan muchas otras ideas: fechas(1492), horas (9.45p.m.), constantes temporales (365), marcascomerciales(747),códigospostales(90210),númerosdeteléfono(911),magnitudes físicas (110/220), constantesmatemáticas (3,14…), películas(2001), juegos (7½) e incluso legislación sobre el consumo de bebidas(¡21o,consuerte,18!).Lacortezaparietalinferiorparececodificarsoloelsignificado cuantitativo de los números, con lo que el señor M. tienedificultades. Distintas áreas cerebrales deben estar involucradas en lacodificacióndelosotrossignificados.Enotro caso, el del señorG., unpaciente conundañomasivo en el

hemisferio izquierdo, el aporte que hacen al significado numérico estasrutasparalelasesparticularmenteevidente(Cohen,DehaeneyVerstichel,1994).El señorG.sufreungrandéficit lector.La rutade lecturadirectaque convierte las letras o los dígitos escritos en los sonidoscorrespondientesestátotalmentealterada,loqueleimpideleerlamayoríadelaspalabrasylosnúmeros.Sinembargo,algunascadenastodavíaevocanfragmentosdesignificado:

1789:«MehacepensarenlatomadelaBastilla…¿peroqué?».Tomate:«Esrojo…selocomealcomienzodeunacomida…».

A veces, esta aproximación semántica le permite recuperar lapronunciacióndeunapalabradeunmodomuyindirecto:

504[unfamosomodelodelaautomotrizPeugeot]:«Elnúmerodelosautosqueganan…fuemiprimerauto…ComienzaconP…Peugeot,Renault… es Peugeot… 403 [¡otro Peugeot célebre, pero de otraépoca!]…no,500…¡504!».Vela:«Seprendeparailuminaruncuarto…¡vela!».

Enotrasocasiones,alainversa,elsignificadorecuperadolodesorienta:

1918:«ElfinaldelaPrimeraGuerraMundial…1940».Jirafa:«Cebra».

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Sibienesrazonableasociarlascantidadesconlacortezaparietal inferior,todavía nadie sabe qué áreas cerebrales toman los otros significados nocuantitativosde losnúmeros.Entremuchas cuestionesno resueltas, quelascienciasqueseocupandelacogniciónydelcerebrodeberánabordarenlos próximos diez o veinte años, en verdad se destaca la siguiente: ¿deacuerdo con qué reglas nuestro cerebro dota de sentido a un símbololingüístico?

Lasautopistasdeinformaciónnuméricadelcerebro

El significado de los números no es el único conocimiento distribuidoentre varias regiones cerebrales. Piensen en todo el conocimientoaritmético que dominan: leer y escribir números, en notación arábiga oescritosenformadepalabra;comprenderlosypronunciarlosenvozalta;suma,multiplicación,resta,división,y la listapuedeseguir.Elestudiodelaslesionescerebralessugierequecadaunadeestashabilidadesdependedeuncúmuloderedesneuronalesaltamenteespecializadas,quesecomunicanporvariasvíasparalelas.Enelcerebrohumano,ladivisióndeltrabajonoesunconceptoestéril.Segúnlatareaquequeremosrealizar,losnúmerosquemanejamos siguen diferentes «autopistas de información cerebral».Intentamos esquematizar una pequeña parte de estas redes de maneraprovisoriaenlafigura7.3.

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Figura7.3.Diagramaparcialytodavíahipotéticodelasprincipalesáreascerebralesinvolucradasenelprocesamientonumérico.Amboshemisferiospuedenmanipularlosnúmerosarábigosylascantidadesnuméricas,perosoloelhemisferioizquierdotieneaccesoaunarepresentación

lingüísticadelosnúmerosyaunamemoriaverbaldelastablasaritméticas(tomadodeDehaeneyCohen,1995).

Consideremos la lectura. ¿Utilizamos los mismos circuitos neuronalesparaidentificareldígitoarábigo5ylapalabra«cinco»?Probablemente,no.Globalmente, la identificación visual como un todo depende de áreascerebralessituadasen labasede laparteposteriordeamboshemisferios,enunaregión llamada«cortezatemporo-occipital inferior».Sinembargo,esta región está altamente fragmentada en subsistemas especializados. Elestudiodepacientesconelcerebrodivididoindicaqueelsistemavisualdelhemisferio izquierdo reconoce tanto los números arábigos como laspalabras escritas, mientras que el del hemisferio derecho solo reconocenúmeros arábigos simples. Incluso dentro del hemisferio posteriorizquierdo, diferentes categorías de objetos visuales —palabras, dígitosarábigos,perotambiénrostrosyobjetos—parecenserprocesadasporvíasneuronales específicas. Por ende, algunas lesiones de la región temporo-occipital izquierda dañan solo el reconocimiento visual de las palabras.Estos pacientes sufren un síndrome llamado «alexia pura» o «alexia sinagrafia»[37].

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«Alexia»significaquenopuedenleerunapalabra(aunqueentiendenlalengua hablada perfectamente bien); «sin agrafia» significa que todavíapuedenescribirpalabrasyoraciones,aunquesonporcompleto incapacesde leer lo que ellos mismos escribieron segundos después de haberlohecho.Lasiguienteesunatranscripcióntípicadelosdichosdeunpacientealéxicopuromientrasintentaleerlapalabrafrancesafille[niña].

Paciente:Es«on»…sonlas letras«O,N»…«on»…¿Eseso?Ah,bueno,haytresletras,comouna«E»,«B»…Nosé qué palabra es…No puedo verlo con claridad…Merindo,nopuedo.Examinador:Intenteleerlasletrasunaporuna.Paciente:¿Estas?Aver…«B»…«N»…«I»…Nosé.

Si bien es incapaz de identificar palabras, este tipo de pacientesmuchasveces conservan excelentes habilidades para reconocer rostros y objetos.Por eso, no resulta dañada la visión como un todo; solo se altera unsubsistemaespecializadoparalascadenasdecaracteres.Loqueresultamásimportante para nuestros propósitos actuales es que muchas veces sepreserva incluso el reconocimiento de dígitos arábigos. Uno de losprimeroscasosdiagnosticadoscomoalexiapura,descritoporelneurólogofrancésJulesDéjerineen1892,eraeldeunhombrequenopodíadescifrarpalabrasni—porextrañoqueresulte—lasnotasmusicales,peropodíaleernúmeros arábigos e incluso realizar largas series de cálculos escritos(Déjerine, 1892). Casi un siglo más tarde, el neurólogo estadounidenseSamuelGreenblatt (1973)describióuncasosimilarenelque, además, elpaciente todavía tenía campos visuales totalmente intactos y visión encolores.También se ha registrado la disociación inversa. LisaCipolotti y sus

colegasdelHospitalNacionaldeLondreshacedosdécadasobservaronundéficit en la lectura de números arábigos en un paciente que no teníadificultad alguna para leer palabras (Cipolotti, Butterworth y Denes,1991).Estetipodecasosimplicaqueelreconocimientodepalabrasyeldenúmeros dependen de distintos circuitos neuronales del sistema visualhumano. Como se sitúan en áreas anatómicas vecinas, a menudo sedeterioran en simultáneo. Sin embargo, en algunos casos excepcionalespodemosdemostrarqueenrealidadsondistintasydisociables.

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Seencuentranpatronessimilaresdedisociaciónentreescribirnúmerosy pronunciarlos en voz alta. El paciente H. Y., a quien me referíbrevemente al comienzo de este capítulo, mezclaba los nombres de losnúmeroscuandoteníaquedecirlosenvozalta(McCloskey,CaramazzayBasili, 1985). Sin embargo, no tenía dificultades para escribirlos ennotaciónarábiga.Podíadecirque«dosporcincoes trece»,pero siempreescribió correctamente 2 × 5 = 10. Es claro que había preservado unrecuerdo de las tablas de multiplicar. Solo fallaba cuando intentabarecuperar la pronunciación del resultado. Asimismo, Frank Benson yMartha Denckla (1969) describieron a un paciente que, cuando resolvía4+ 5, decía «ocho» y escribía 5; sin embargo, en todos los casos podíaseñalar el resultado correcto, 9, entre otros varios dígitos. Las rutinascerebralesdeestepacienteparaproducirnúmeros,tantoenformahabladacomoescrita,estabandeterioradas,ysinembargolaidentificaciónvisualyelcálculonohabíansidoafectados.La extraordinaria selectividad que muestran las lesiones cerebrales

parece destinada a sorprendernos. Con Patrick Verstichel y LaurentCohen estudiamos a un paciente que, cuando intenta hablar, emite unajerga incomprensible («Yo fartumé un contolpe denmisula carmipa…»)(Cohen,VerstichelyDehaene,1997).Unanálisiscuidadosodeloserroresmuestraqueunaetapaespecíficadelaproduccióndelhabla,queensamblalos fonemas para lograr la pronunciación de las palabras, estáirremediablemente dañada. Sin embargo, de algúnmodo los nombres delos números escapan a esta jerga. Cuando el paciente intenta decir unnúmero como, por ejemplo, «veintidós», nunca dice un galimatías como«jintlidux».Alosumo,comoH.Y.,ocasionalmentesustituyeelnombredeunnúmeroconotroy,porejemplo,dice«cincuentaydos»(estetipodesustitucionesdepalabracompletaocurreenpocasocasiones,siesqueocurre, con palabras que no sean números). Entonces, incluso en lasregiones implicadas en la producción del habla, hay circuitos neuronalesespecializadosqueseencargandeensamblarlosnúmeros.Se encuentra una disociación muy similar en la escritura. Steven

Anderson y Antonio y Hannah Damasio (1990) han descrito a unapaciente que se había vuelto repentinamente incapaz de leer o escribirluego de que una minúscula lesión destruyera parte de su cortezapremotora izquierda. Cuando se le pidió que escribiera su nombre o lapalabra «perro», todo lo que podía producir eran trazos informes eilegibles. Sin embargo, la lectura y la escritura de números arábigos

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permanecían intactas. El paciente podía resolver problemas aritméticoscomplejos con la misma caligrafía esmerada, prolija y limpia que teníaantesdelalesión(figura7.4).Unaconclusiónineludibledeestaseriedecasosanálogosesqueencasi

todos los niveles de procesamiento—reconocimiento visual, produccióndelenguaje,escritura—lasáreascerebralesquedominanlosnúmerossonparcialmentedistintasdelasqueseencargandeotraspalabras.Muchasdeestasáreasnosemuestranen la figura7.3,porelsencillomotivodequetodavía no sabemos mucho acerca de su sustrato anatómico. Pero sudisociaciónluegodeunalesióncerebralporlomenospruebaqueenefectoexisten.Hablemos ahora del cálculo. Ya hemos descrito en detalle el papel

fundamental de la corteza parietal inferior en el procesamientocuantitativode losnúmeros, especialmente en la resta.Pero ¿quéocurreconlastablasdeadiciónydemultiplicación?JuntoconmicolegaLaurentCohen creemos que puede estar involucradootro circuito neuronal: unavía córtico-subcortical que involucra los ganglios basales del hemisferioizquierdo (Dehaene y Cohen, 1995, 1997). Los ganglios basales sonnúcleos neuronales localizados por debajo de la corteza. Recolectaninformacióndevariasregionescorticales,laprocesan,ylavuelvenaenviarpor varios circuitos paralelos que pasan a través del tálamo. Si bien lacomprensión de la función exacta de estas vías córtico-subcorticalestodavíaesmuyexigua, intervienenen lamemorizacióny lareproduccióndesecuenciasmotorasautomáticas, incluidaslassecuenciasverbales.ConLaurentCohen pensamos que uno de esos circuitos se activa durante lamultiplicaciónyemiteautomáticamente,porejemplo,elresultado«diez»como complemento de la secuencia de palabras «dos por cinco». Másprecisamente, la actividad de una población distribuida de neuronas quecodifican la oración «dos por cinco» activa neuronas dentro de loscircuitos de los ganglios basales que, a su vez, excitan una población deneuronas que representan la palabra «diez» dentro de las áreas corticalesdel lenguaje.Otrosautomatismosverbalescomolosrefranes, lospoemasolasplegariaspuedenalmacenarsedeunmodosimilar.

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Figura7.4.Luegodeunapequeñalesiónenlacortezapremotoraizquierda,unapacientesevolvióincapazdeleeroescribirpalabras,aunquetodavíapodíaleeryescribirnúmerosarábigos.Lostrazosconfusosrepresentanlosintentosquehizolapacienteporescribirsunombre,lasletrasAyBylapalabradog[perro].Lasmuestrasdecálculosimpecablesdejanenevidenciaquelaescrituradenúmerosarábigospermanecíaintacta(reproducidodeAndersonyotros,1990;©Oxford

UniversityPress).

Nuestras especulaciones están avaladas por varios casos de acalculiaoriginadosapartirdeunalesiónsubcorticalizquierda.Eldañoenlasvíasneuronales profundas del hemisferio izquierdo, el cual deja la cortezaintacta, a veces causa trastornos aritméticos. A finales de la década de

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1990,evaluéaunapaciente,laseñoraB.,cuyosgangliosbasalesizquierdosestabandañados (DehaeneyCohen, 1997[38]).Apesarde esta lesión, lapaciente puede leer números y escribirlos al dictado. Sus circuitos parareconocer y producir números están completamente intactos. Sinembargo, la lesiónsubcorticaltuvounimpactodrásticoenelcálculo.Dehecho, su memoria para las tablas aritméticas está tan severamentedesorganizadaqueahoracometeerroreshastaenproblemastansencilloscomo2×3o4×4.Al contrario que el señorM., paciente que había perdido el sentido

numérico, la señora B. conserva una comprensión excelente de lascantidadesnuméricas (su cortezaparietal inferior sehapreservadoen sutotalidad). Puede comparar dos números, notar qué número está entreellos,einclusorecalcular2×3contandomentalmentetresgruposdedosobjetos.Tampocotienedificultadespararesolverrestassimplescomo3–1u8–3.EláreaacotadaenquelaseñoraB.sevioafectadaconciernealaevocación de secuencias de palabras familiares. Ya no puede recuperarcadenasdepalabrasqueuna vez fueron altamente familiares, como«trespornueveesveintisiete»o«doscuatroseisochodiez».Enunasesióndetrabajo memorable, le pedí a la señora B. que recitara la tabla demultiplicar, el alfabeto, algunas oraciones, algunas canciones de cuna, yalgunospoemas,ydescubríquetodasestas formasdememoriaverbal seencuentran dañadas. La señora B. padece dificultades profundas cuandorecita «Au clair de la lune», una canción de cuna tan famosa en Franciacomoel«Arrozconleche»enAméricaLatina.NopuederecitarelalfabetomásalládeA,B,C,D.Tambiénmezclalaspalabrasdel«Yoconfieso»,el«Credodelosapóstoles»yel«Padrenuestro»(queunavezterminóasí:«yno perdones pero que venga tu reino»). Estos déficits son tanto másllamativos porque la señora B. es una cristiana devota y maestra deprimaria retiradahacepoco tiempo;por lo tanto,hapasado toda suvidarecitando estas palabras. No está claro que las tablas de multiplicar, lasoracionesylascancionesdecunasealmacenenenexactamentelosmismoscircuitos, pero al menos, parecen recurrir a redes neuronales paralelas yprobablementevecinasdelosgangliosbasales,destruidassimultáneamenteporlalesiónsubcorticalenelcasodelaseñoraB.Hastaahora,este librosehaocupadosolode laaritméticaelemental.

¿Pero qué ocurre con habilidades matemáticas más avanzadas, como elálgebra? ¿Deberíamos postular la existencia de otras redes neuronalesespecializadas para ellas?Descubrimientos de la neuropsicóloga austríaca

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MargareteHittmair-Delazerparecensugerirlo(Hittmair-Delazer,SaileryBenke,1995,DelazeryBenke,1997).Estaespecialistahadescubiertoquelos pacientes acalcúlicos no necesariamente pierden su conocimiento delálgebra.Unodesuspacientes,comolaseñoraB.,perdiósurecuerdodelastablasdesumarydemultiplicarluegodeunalesiónsubcorticalizquierda.Sin embargo, todavía podía recalcular los datos aritméticos utilizandorecetas matemáticas sofisticadas que indicaban un dominio conceptualexcelente de la aritmética. Por ejemplo, podía resolver 7 × 8 como7 × 10 – 7 × 2. Otro paciente, que tenía un doctorado en Química,padecíaacalculiaenungradotalquenolograbaresolver2×3,7–3,9÷3o 5 × 4. A pesar de esto, podía resolver cálculos formales abstractos.Haciendo un uso adecuado de la conmutatividad, la asociatividad y ladistributividaddelasoperacionesaritméticas,lograbasimplificar

como igual a 1, o a× a× a como a3, y reconocía quepor lo general laecuación

esfalsa.Peseaquehastalafechapocasinvestigacionesseocuparondeestetema, los dos casos contrarían cualquier intuición al sugerir que en granmedida los circuitos neuronales que albergan el conocimiento algebraicodebenserindependientesdelasredesinvolucradasenelcálculomental.

¿Quiénorganizaloscálculos?

Ladiseminacióndelasfuncionesaritméticasenunamultituddecircuitoscerebrales plantea un tema central para la neurociencia: ¿cómo seorganizan estas redes neuronales distribuidas? ¿Cómo es que regiones

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cerebrales dispersas reconocen que todas ellas representan el mismonúmero en diferentes formatos? ¿Quién o qué decide activar tal o cualcircuito,enunordenprecisoyenfuncióndelatarearequerida?¿Cómoesquelaunidaddelaconciencia,elsentimientoquetenemosdeejecutarpasoapasouncálculo,surgeapartirdelfuncionamientocolectivodeconjuntosde neuronas que actúan de manera paralela, cada uno poseedor de unafracciónpequeñadeconocimientoaritmético?Sibienaúnnoesposibledarunarespuestadefinitiva,hoysabemosque

el cerebro destina circuitos específicos a la coordinación de sus propiasredes.Estoscircuitosdependenengranmedidadeáreas localizadasen laparte frontaldelcerebro,particularmenteen lacortezaprefrontalyen lacorteza cingulada anterior[39]. Y contribuyen a la supervisión decomportamientos nuevos, no automatizados: planificación, ordensecuencial, toma de decisiones y corrección de errores. Se ha dicho queconstituyen un tipo de «cerebro dentro del cerebro», un «ejecutivocentral»,queregulaydirigeelcomportamientodeformaautónoma.Algunos de estos términos son tan vagos que de momento apenas

consiguensumarseanuestrovocabulariocientífico.Aveces recuerdanalinfamehomúnculo,esepequeñobuenhombretancaroaTexAveryyWaltDisney, que, sentado cómodamente en el centro demando del cerebro,dirige el resto de los órganos corporales (y a él ¿quién lo dirige? ¿Otrohomúnculo?).Paralamayoríadelosinvestigadores,estosmodelosnosonmásquemetáforasprovisionales.Nopodráneludirunaprofundarevisióna medida que las secciones frontales del cerebro se dividanprogresivamente en áreas bien delimitadas, cada una con una funciónacotada. Sin duda, no existe algo así como el sistema frontal. Las áreasprefrontalesabarcanunamultitudderedesespecializadasparalamemoriadetrabajo, ladeteccióndeerrores,oparatrazaruncursodeacción.Másbien, su comportamiento colectivo asegura la aparición de unacoordinaciónsupervisadadelaactividadcerebral.Lasáreasprefrontalestienenunpapelclaveenmatemática,incluidala

aritmética. Por regla general, una lesión prefrontal no afecta lasoperaciones más elementales, pero puede producir una alteraciónespecífica para la realización de secuencias ordenadas de cálculos (Luria,1966). No es infrecuente que los neuropsicólogos encuentren pacientesafectados en la zona frontal que se han vuelto incapaces de utilizar elalgoritmo de multiplicación. Suman cuando deberían multiplicar, noprocesan dígitos en el orden correcto, se olvidan lo que «se llevaron», o

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mezclan resultados intermedios: indicios que a menudo revelan unadiscapacidad básica para supervisar la ejecución de una secuencia deoperaciones.Lacortezaprefrontalesdeespecialimportanciaparalapreservaciónde

los resultados intermedios de un cálculo en tiempo real. Provee unamemoria de trabajo, un espacio de trabajo representacional interno quepermitequelainformaciónresultantedeuncálculosevuelvaelpasoinicialde uno subsiguiente. Por eso, una prueba excelente en relación con laslesiones frontales consiste en pedirle a un paciente que reste 7sucesivamente a un número inicial, 100. Los pacientes aquejados porlesionesfrontalessuelenresolverbienlaprimeraresta;encambio,muchasvecesseconfundenconlasposterioresosevuelvenpresadealgúnpatrónderespuestarepetitivo,como100,93,83,73,63,etc.Los problemas aritméticos textuales, como los que se utilizan en las

escuelasprimariasde todoelmundo, también revelan la contribucióndelas áreas prefrontales. Los pacientes con este tipo de daño no lograndiseñarunaestrategiaderesoluciónrazonada.Encambio,muchasvecesdemanera impulsiva se apuran a realizar el primer cálculo que les viene enmente. Un caso típico fue descrito por el famoso neuropsicólogo rusoAleksandrRomanovichLuria:

A un paciente con una lesión en el lóbulo frontalizquierdoseleentregó[…][elsiguiente]problema:«Habíadieciocho libros en dos estantes, y en uno había dos vecesmás libros que en el otro. ¿Cuántos libros había en cadaestante?». Inmediatamentedespuésdeoírlo (y repetirlo), elpacienterealizólaoperación18÷2=9(quecorrespondealapartedelproblemaquedice«Habíadieciocholibrosendosestantes»). A esto siguió la operación 18 × 2 = 36 (quecorresponde a la parte que dice «en [un estante] había dosvecesmáslibros»).Luegodequeselerepitieraelproblemayse le siguiera preguntando, el paciente llevó a cabo lassiguientes operaciones: 36 × 2 = 72; 36 + 18 = 54, etc.Como suele suceder, el paciente estaba bastante satisfechoconelresultadoobtenido.

Tim Shallice y Margaret Evans (1978) han demostrado que muchospacientes con lesiones frontales también tienen dificultades para la«estimación cognitiva». En muchas ocasiones dan respuestas absurdas a

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preguntasnuméricassimples.Unpacienteafirmóqueeledificiomásaltode Londres tenía entre seis mil y seis mil quinientos metros de alto.CuandoselellamólaatenciónsobreelhechodequeestoeracasiigualomásaltoquelosseismiltrescientosmetrosqueanteshabíaatribuidoalamontañamásaltadelReinoUnido,¡simplementeredujosuestimacióndeledificio a cinco mil metros! De acuerdo con Shallice, este tipo derespuestas sencillas pero inusuales reclaman la invención simultánea denuevasestrategiasparalaestimaciónnuméricayparaevaluarsielresultadoobtenido es admisible. Ambos componentes —la planificación y laverificación—parecenserfuncionesfundamentalesdel«ejecutivocentral»,alquehacenunimportanteaportelasregionesprefrontales.Con mis colegas estadounidenses Ann Streissguth y Karen Kopera-

Frye,evalué laestimaciónnuméricaenadolescentescuyasmadreshabíanbebido alcohol en excesodurante el embarazo (Kopera-Frye,DehaeneyStreissguth, 1996). La exposición intrauterina al alcohol puede tenerefectos teratogénicos severos. No solo altera el desarrollo corporal (losniñosnacidosdeunamadrealcohólicatienenrasgosfacialescaracterísticosque les dan un «aire de familia» reconocible); también modifica elasentamientodeloscircuitoscerebrales,causandomicrocefaliaypatronesdemigraciónneuronalanormalenvariasregionescerebrales,entreellas,lacorteza prefrontal. En efecto, los adolescentes que evaluamos, aunquepodían leer y escribir números y realizar cálculos sencillos, dabanrespuestas numéricas en verdad absurdas durante las tareas cognitivas deestimación. ¿El tamaño de un cuchillo de cocina grande?Dosmetros ymedio, dijo uno de ellos. ¿La duración de un viaje de San Francisco aNueva York? Una hora. Es curioso que, aunque muchas veces susrespuestas numéricas eran bastante erradas, los pacientes casi siempreseleccionaban unidades de medida apropiadas. A veces hasta parecíanconocer las respuestas; aun así, seleccionaban un número que no erapertinente.Cuandoselespidióqueestimaranlaalturadelárbolmásaltodel mundo, un paciente reportó correctamente «secuoya», y luego,generosamente, le otorgó con precisión ¡siete metros y sesentacentímetros!La corteza prefrontal, tan experta en el funcionamiento ejecutivo, es

unadelasregionescerebralesmássingularesdeloshumanos.Enefecto,laaparicióndenuestra especie fue acompañadapor un gran aumento en eltamaño de las áreas frontales, que llegó a ocupar cerca de un tercio denuestro cerebro. Su maduración sináptica es peculiarmente lenta: la

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evidenciamuestraque loscircuitosprefrontalespermanecenflexiblesporlomenoshasta la pubertad, yprobablemente inclusodespuésde ella.Esposible que la prolongada maduración de la corteza prefrontal expliquealgunosde los errores sistemáticos cometidospor losniñosdeuna edaddeterminada.Enparticular,piensoen laspruebaspiagetianasqueevalúanla «no conservación del número». ¿Por qué los niños pequeños, inclusocuando son muy hábiles en el procesamiento numérico, responden deformaimpulsivasobrelabasedela longituddeunahileradeobjetos?Laresponsabilidadbienpuedeserdelainmadurezdesucortezafrontal,quelos vuelve incapaces de inhibir una tendencia espontánea aunqueincorrecta. Un «ejecutivo central» inmaduro también puede explicarerrores en una inclusión de algún tipo, en que los niños evalúan, porejemplo, que en un ramo de flores compuesto por ocho rosas y dostulipanes hay más rosas que flores. Este «infantilismo» perfectamentepodríasersintomáticodeunafaltadesupervisióndelcomportamientoporpartedelacortezaprefrontal.Y,alainversa,laregiónfrontalestáentrelasprimeras que sienten los efectos del envejecimiento cerebral. Podemosreconocer varios aspectos del síndrome frontal en el envejecimiento«normal»:faltadeatención,deficienciasenlaplanificaciónyperseveraciónenelerror,conservandoencambiolasactividadesrutinariasdiarias.

Enlosorígenesdelaespecializacióncerebral

Permítanme ahora esbozar un modelo resumido de la forma en que elcerebrohumano representa la aritmética.El conocimientonumérico estáalojado en una panoplia de circuitos neuronales especializados, o«módulos». Algunos de esos circuitos reconocen dígitos; otros lostraducenaunacantidadinterna.Otrosrecuperandelamemorialosdatosaritméticos o preparan el plan de articulación que nos permite decir elresultadodeuncálculoenvozalta.Lacaracterísticafundamentaldeestasredesneuronalesessumodularidad.Funcionandemaneraautomática,enundominiorestringidoysinmetaparticularalavista.Cadaunadeellasselimitaarecibirinformaciónenundeterminadoformatoyaconvertirlaenotroformato.El poder computacional del cerebrohumano reside sobre todo en su

capacidadparaconectarestoscircuitoselementalesenunasecuenciaútil,bajolatuteladeregionescerebralesanteriores,comolacortezaprefrontal

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yel cingulado anterior.Estas áreas, vinculadas a las funciones ejecutivas,son responsables, en condiciones que todavía deben ser descubiertas, deconvocar a los circuitos elementales en el orden apropiado, organizar elflujo de resultados intermedios en lamemoria de trabajo, y controlar elresultadodecálculoscorrigiendoerrorespotenciales.Laespecializacióndelas áreas cerebrales permite una división del trabajo eficiente. Suarmonización, bajo la égida de la corteza prefrontal, produce unaflexibilidad invalorable para el diseño y la ejecución de estrategiasaritméticasnuevas.¿Cuál es el origen de esta asombrosa especialización de varias áreas

cerebralesparaelprocesamientonumérico?Desdetiemposinmemoriales,lascantidadesnuméricasaproximadassehanrepresentadoenloscerebrosde los animales y de los humanos. Por lo tanto, corresponde al sellogenético de nuestra especie un «módulo cuantitativo», que puede incluircircuitos dentro de la corteza parietal inferior. Pero ¿qué deberíamospensar de la especialización de la corteza occipitotemporal para elreconocimientovisualdedígitosyletras,odelcompromisodelosgangliosbasales izquierdos en la multiplicación? La lectura y el cálculo nosacompañan desde hace solo unos pocosmiles de años, lapso demasiadocortoparaquelaevoluciónhayainstaladoennosotrosunapredisposicióngenéticaparaestasfunciones.Entonces,estetipodehabilidadescognitivasdeorigenrecientedebeinvadircircuitoscerebralesasignadosinicialmenteaunusodiferente.Losdominantanplenamentequeparecenconvertirseen la nueva función del circuito. El sustrato biológico de este tipo decambiosenlafuncióndeloscircuitoscerebraleseslaplasticidadneuronal:la habilidad de las células nerviosas para reconectarse, tanto durante eldesarrollo y aprendizaje normal como luego del daño cerebral. Pero esaplasticidad neuronal no es ilimitada. En última instancia, el patrón de laespecialización cerebral en el adulto deberá ser resultado de unacombinaciónderestriccionesgenéticasyepigenéticas.Algunasregionesdela corteza visual, inicialmente involucradas en el reconocimiento deobjetos o rostros, cuando un niño se desarrolla en un universo visualdominadoporloscaracteresimpresos,paulatinamenteseespecializanparalalectura.Así,comienzanaaparecerregionesdelacortezadedicadasporcompleto a los dígitos y a las letras, tal vez en virtud de un principiogeneral del aprendizaje según el cual las neuronas que codificanpropiedadessimilarestenderánasuperponerseenlasuperficiecortical.Delmismo modo, el cerebro del primate posee circuitos especificados de

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manera innata para aprender y ejecutar secuencias motoras. Cuando unniñoseejercitapara aprenderdememoria las tablasdemultiplicar, estoscircuitos se ponen a disposición espontáneamente y tienden aespecializarse para el cálculo. El aprendizaje no crea circuitos cerebralesradicalmentenuevos;sinembargo,puedeseleccionar,refinaryespecializarcircuitospreexistenteshastaotorgarlesunsignificadoyunafunciónmuydistintosdelosquelanaturalezalesteníadestinados.Sepuedenobservarlímitesclarosalaplasticidadcerebralenlosniños

quesufrendiscalculiadeldesarrollo,undéficitenaparienciainsuperableenlaadquisicióndelaaritmética(Butterworth,1999,Shalevyotros,2000).Sibiensu inteligenciaesnormalyen laescuelaobtienenbuenosresultadosen la mayoría de las materias, algunos de estos niños sufren unadiscapacidad sumamente acotada, que recuerda los déficitsneuropsicológicos que se ven en los adultos con daño cerebral. Lomásprobableesquehayansufridounadesorganizaciónneuronaltempranaenlas áreascerebralesquenormalmentedeberíanhaberseespecializadoparael procesamiento numérico. Aquí hay tres ejemplos notables aportadosporlaneuropsicólogainglesaChristineTemple(Temple,1989,1991)yelpsicólogoBrianButterworth(1999):

S.W.yH.M.sonadolescentesdeinteligencianormalquevanaunaescuela convencional. Los dos hablan de forma fluida. H. M. esdisléxica,perosudéficitlectornoseextiendealosnúmeros:aligualqueS.W.,puedeleerlosnúmerosarábigosenvozaltaycompararlos.Sinembargo,H.M.yS.W.presentanunadobledisociacióndentrodelcálculo.S.W.sabelastablasaritméticasprácticamentealaperfecciónypuedesumar, restaromultiplicarhastanúmerosdedosdígitos.Enlosnúmerosdemáscifras,encambio,fallalamayoríadelasveces:seequivoca en el orden y en el carácter de las operaciones, y sudesempeñoeserráticocuandotieneque«llevarse»o«pedirprestado».Desdelaniñezhasufridoundéficitselectivodelosprocedimientosdecálculo tan severo que ni siquiera un programa de rehabilitaciónespecializadohalogradocompensarlo.Alainversa,H.M.esexpertaenalgoritmosdecálculodevariosdígitos,peronuncapudoaprenderlastablasdemultiplicar.Alos19años,todavíanecesitamásdesietesegundos para multiplicar dos dígitos entre sí, y llega al resultadocorrectomenosdelamitaddelasveces.Es poco probable que los déficits altamente selectivos de S. W. yH.M.sedebanaholgazaneríadesuparteoafallasimportantesensueducación.Esmásprobablequeexistaunorigenneurológico.Desdela

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niñez, S.W. ha sufrido esclerosis tuberosa y ataques epilépticos. Sutomografíacomputadamuestraunamasaanormaldecélulasnerviosasenellóbulofrontalderecho,anomalíaquebienpuededarcuentadesudiscapacidadpararealizarcálculossecuenciales.EnloqueconcierneaH.M., aunque no sufre de ningún desorden neurológico, habría queexaminar con instrumentos de neuroimágenesmodernas si su lóbuloparietalysuscircuitossubcorticalesestánintactos.Paul es un niño de 11 años de una inteligencia normal. No sufreninguna enfermedad neurológica conocida, tiene las habilidadeslingüísticascorrientesdeunniñodesuedad,yutilizaunvocabularioamplio. Sin embargo, desde sus primeros años Paul ha sufridodificultades excepcionalmente severas en aritmética. Lamultiplicación, la resta y la división son imposibles para él. Comomucho, ocasionalmente logra sumar dos números contando con losdedos.Sudéficitseextiendehastalalecturaylaescrituradenúmeros.Enlosdictados,¡escribe3u8enlugarde2!Tambiénresultanotorioquefallacuandoleeenvozaltanúmerosarábigosopalabrasescritasqueserefierenanúmeros:envezde«uno» lee«nueve»yenvezde«cuatro», «dos». Solo los números están sujetos a estas extrañassustitucionesdepalabras.Paulpuedeleereninglés,sulenguamaterna,palabrascomplejaseirregulares,comocolonel,quesepronunciamáso menos «keurnel», lo cual es difícil de predecir de su escritura, oinclusoencuentraunapronunciaciónacertadaparapalabrasinventadascomofibeointertergal.¿Porqué,entonces,leelapalabra«tres»comosifuese«ocho»?Aparentemente,sufreunadesorganizacióncompletadel sentido numérico, comparable en severidad con el problema delseñorM. Este déficit quedó de manifiesto tan temprano que parecehaber hecho que Paul no lograra atribuir ningún significado a laspalabrasreferidasalosnúmeros.C.W.esunjovendealgomásde30años.Suinteligenciaesnormal,aunquenuncasedestacórealmenteenlaescuela.Sibienpuedeleeryescribir más o menos bien los números que tienen menos de tresdígitos, su significado cuantitativo se le escapa. Sumar o restar dosdígitosentresílellevamásdetressegundos.Paramultiplicar,recurrea la repeticiónde la suma.Solo tieneéxitocuandoambosoperandossonmás pequeños que 5 y, por lo tanto, son representables con losdedos de unamano.Todavíamás sorprendente resulta que no puedadecidircuáleselmásgrandeentredosnúmerossincontar.Porende,muestraunefectodedistancia inverso: encontraste conunapersonanormal,necesitamenostiempoparacomparar5y6que5y9,porquecuantomayor es la distancia numérica, tieneque contar durantemástiempo.Hasta la subitización de conjuntosmuy pequeños de objetos

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está fuera de su comprensión. Cuando en un monitor aparecen trespuntos,notienenocióninmediatadesunumerosidad,anoserqueloscuenteunoporuno.C.W.parecehabersidoprivadodesdelaniñezdecualquierpercepciónrápidaeintuitivadelascantidadesnuméricas.

Estoscasos llamativosponenen telade juicioel alcancede laplasticidaddel cerebro en desarrollo. Si bien los circuitos neuronales son altamentemodificables,enespecialenlosniñospequeños,nosonequipotenciales,esdecirquenoestánlistosparaasumircualquierfunción.Ciertoscircuitos,cuyospatronesdeconexiónmásimportantesestánbajocontrolgenético,estánsesgadosparaconvertirseenelsustratoneuronaldefuncionesbiendefinidas, como la evaluación de las cantidades numéricas o elalmacenamientodedatosmemorizablesdemultiplicación.Sudestrucción,inclusoenlosmuypequeños,puedecausarundéficitselectivonosiempresusceptibleasercompensadoporáreascerebralesvecinas.Estaobservaciónnos llevauna vezmás a un tema recurrente en este

libro:lasfuertesrestriccionesquenuestraarquitecturacerebralimponealmanejodelosobjetosmatemáticos.Losnúmerosnotienenlibertadtotalparainvadircualquierredneuronaldisponibleenelcerebrodelniño.Solodeterminadoscircuitossoncapacesdecontribuiralcálculo,yaseaporqueforman parte de nuestro sentido innato de las cantidades numéricas—como,talvez,algunasáreasdelacortezaparietalinferior—obienporque,inicialmentedestinadosaalgúnotrouso,suorganizaciónneuralresultalosuficientemente flexible y cercana a la función deseada como para quepuedanser«reciclados»paraelprocesamientonumérico.

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8.Elcerebrocalculador

Una imagen lomuestra tenso, lacabezaerizadadehiloseléctricos:seregistranlasondasdesucerebromientrasselesolicitaque«pienseenlarelatividad».

RolandBarthes,«Einstein»,enMitologías

Enciertaocasión,RichardFeynman,ganadordelPremioNobel,notóqueel físico que analiza las colisiones subatómicas de un acelerador departículas no es muy diferente de alguien que decide estudiar laconstrucciónderelojeshaciendochocardosrelojesparadespuésobservarlos restos. Este comentario irónico es igualmente aplicable a laneuropsicología, ciencia también indirecta que infiere la organizaciónnormal de los circuitos cerebrales a partir de la forma en que funcionanluegodehabersidodañados;unaaventuraincómoda,nomuydiferentedeintentardeducirelfuncionamientointernodeunrelojapartirdelanálisisdecientosdemecanismosrotos.A pesar de que lamayoría de los científicos cerebrales confía en las

inferenciasneuropsicológicas,hayunmomentoenque lesgustaría«abrirlacajanegra»yobservar«endirecto»loscircuitosneuralesquesubyacenalcálculomental. Seríaungranpasohaciadelante sipudiéramosmedir,dealguna manera, los patrones celulares de activación que codifican losnúmeros.Jean-PierreChangeuxsostieneconconvicción:«Estos“objetosmatemáticos”correspondenaestadosfísicosdenuestrocerebro,demodoque,enprincipio,deberíaserposibleobservarlosdesdefueramirandohaciadentro, con distintos métodos de imágenes cerebrales» (Changeux yConnes,1995).Hoyendía,elsueñodeesteneurobiólogoestáhaciéndoserealidad[40].

En lasúltimasdécadas,nuevasherramientas—la tomografíaporemisiónde positrones (PET), la resonancia magnética funcional (fMRI), elelectroencefalograma (EEG) y la magnetoencefalografía (MEG)— hancomenzadoaaportarimágenesdelaactividadcerebralenhumanosvivosypensantes.Apartirdelasherramientasmodernasdeneuroimágenes,enlaactualidadunexperimentobrevees suficienteparaobservarquéregionescerebrales están activasmientras un sujeto normal lee, calcula o juega al

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ajedrez.Losregistrosdelaactividadeléctricaymagnéticadelcerebronospermitendevelarladinámicadeloscircuitoscerebralesydetectarconunaprecisióndemilisegundoselmomentoexactoenqueseactivan.En varios sentidos, las nuevas imágenes del cerebro en acción son

complementarias de los resultados obtenidos por la neuropsicología.Durantemucho tiempo, losneuropsicólogos fracasaronen su evaluaciónde varias áreas cerebrales, ya sea porque sus lesiones eran raras odemasiado severas. Hoy en día, se puede observar toda una red en unúnico experimento. En el pasado, también eramuy difícil estudiar en elcerebroenfermo,queamenudoatraviesaunaprofundareestructuración,laorganizacióntemporalde laactivaciónde losdistintoscircuitosneurales.Lasneuroimágenesmodernassoncapacesde revelar lapropagaciónde laactividad neuronal a muchas regiones sucesivas del cerebro humanonormalcasientiemporeal.Ahora tenemos a disposición equipos sorprendentes, dignos de una

novela de Isaac Asimov. ¿Cómo no maravillarnos ante la idea de quepodemos visualizar los cambios fisiológicos que son la base de nuestrospensamientos?Desdeque estenuevomundo sehavuelto accesible a loscientíficos,docenasdeexperimentoshanexploradolasbasescerebralesdefuncionestandiversascomola lectura, lapercepcióndelmovimiento, lasasociaciones verbales, el aprendizaje motor, la imaginería visual y hastanuestrosentidodeldolor.Seríaimposiblehacerunarevisióncompletadetodoslosdescubrimientosqueestarevoluciónmetodológicahapermitido.En este capítulo, me centro exclusivamente en estudios que revelan laactividadcerebralhumanadurantelaaritméticamental.

¿Elcálculomentalaumentaelmetabolismocerebral?

Para remontarnos hasta el heroico origen de las imágenes cerebrales,muchos años atrás en la historia de la neurociencia, debemos olvidartemporariamente todo lo que sabemos de las tecnologías modernas. En1931,un informesobriamente titulado«Lacirculacióncerebral: el efectodel trabajo mental» —redactado por William G. Lennox, delDepartamentodeNeuropatologíadeHarvard—fueelprimeroenaportarpruebassólidasdelimpactodelaactividadaritméticaenelfuncionamiento

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cerebral.Lennox(1931)planteóelproblemadecisivode la influenciadelprocesamientocognitivoenelbalanceenergéticodelcerebro.¿Elcálculomental conlleva un gastomedible de energía? ¿El cerebro consumemásoxígenocuandoloscálculosquerealizaaumentanenintensidad?El método experimental que Lennox diseñó era innovador pero

inaceptable. Consistía en extraer muestras de sangre de la vena yugularinternaymedirsuniveldeoxígenoydedióxidodecarbono.Elartículonoinformabasi losveinticuatrosujetos,pacientesepilépticosqueseestabantratandoenelHospitalde laCiudaddeBoston,habían sido informadosdel riesgo al cual se exponían y de los objetivos no terapéuticos de lainvestigación.Enladécadade1930,losestándaresdeéticatodavíanoeranmuyestrictos.Sinembargo, eldiseñoexperimental era ingenioso:Lennoxdemostró

gransolvencia.Enunprimergrupodequincesujetos,tomótresmuestrasde sangre consecutivas.Laprimera seobtuvodespuésdeque los sujetoshabían descansadomedia hora, con los ojos cerrados. Luego se les dabauna hoja de papel cubierta con problemas aritméticos y, cinco minutosmástarde,mientrasseesforzabanporresolverlos, seextraíaunasegundamuestradesangre.Porúltimo,selespermitíaalossujetosdescansardiezo quince minutos antes de extraer la muestra final. Los resultados sonnotableseinequívocos:entrelastresmediciones,laquesehabíarealizadoduranteelcálculomentalmostrabaunmuymarcadoaumentoenelnivelde oxígeno (figura 8.1). Lennox no reportó ninguna prueba estadísticarealizadasobreestedescubrimiento;peromispropioscálculosapartirdelosdatosenbrutomepermitieronestimarquelaprobabilidaddequeestagranvariaciónentremuestrassedebaalazaresdemenosdel2%.Peseatodo,habíaquerefutarunaobjeción,que,segúnelpropioautor,

consistíaenque«esdifícilparaelsujeto“ponerlamenteenblanco”obienconcentrarse mucho en los problemas propuestos mientras se haceingresar una aguja en la profundidad de su cuello [sic]. El grado deaprensiónode incomodidadpodríahabervariadodeuna aotra tomadesangre».Paraenfrentarestacrítica,Lennoxtomólaprecauciónderepetirla misma serie de tres mediciones en otro grupo de nueve sujetos quedescansabandurantelaprueba.Enestossujetos,elcontenidodeoxígenopermanecíacasiconstante.Porlotanto,losesfuerzosintensosrequeridosporelcálculomentaldebíandeserresponsablesdelaumentoobservadoenel grupo experimental. El descubrimiento abrió perspectivas

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revolucionarias.Porprimeravez,podía imaginarseunamediciónobjetivadelaenergíaconsumidaporelesfuerzointelectual.

Figura8.1.Yaen1931,WilliamLennoxdemostróqueelcálculomentalintensoprovocavariacionesenelniveldeoxígenodelasmuestrasdesangreextraídasdelavenayugularinterna

(tomadodeLennox,1931).

Endetalle, sin embargo, los resultados planteabanuna aparente paradojaque Lennox no pasó por alto. La sangre se extraía de la vena yugularinterna; por lo tanto, después de haber irrigado el cerebelo. Pero seconfiabaenquelaactividadmentalaumentaraelconsumodeoxígeno.Así,para igual flujodesangrecerebral,duranteel trabajo intelectualel índicede oxígeno de la sangre venosa debería haber decrecido, en lugar deaumentar.Pararesolverestacontradicción,Lennoxexhibiósorprendentespoderes de anticipación afirmando, ya en 1931, un principio todavíavigente: «El resultado puede explicarse por una dilatación de los vasoscerebralesconelefectodeunaumentoenlavelocidaddelflujosanguíneoporelcerebro,unfactorsuperioralaumentoenelconsumodeoxígeno».Los estudios más recientes de neuroimágenes funcionales han

confirmado este postulado, que integra el «núcleo duro» del métodomoderno de resonancia magnética funcional. En efecto, el sistema deregulación que acelera el flujo de sangre cerebral en respuesta a unaumento local en la actividad neuronal trae más oxígeno que el que el

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cerebropuedeconsumir.Lasrazonesparaestecuriosofenómenotodavíahoyapenassecomprenden.ElhechodequeLennoxhayalogradopreverlomuestrahastaquépuntounopuedeconfiarensutrabajo,apesardequeseencuentrebasadoenunatécnicaprimitivaeinvasiva.Paracerrarestadiscusiónhistórica,deberíamosseñalarqueunestudio

posteriordeLouisSokoloffysuscolegasdelaUniversidaddePensilvania,en1955,nologróreproducirlosresultadosdeLennox(aunqueutilizóunmétodoapenasdiferente;Sokoloff,Mangold,Wechsler,KennedyyKety,1955).Cuandoselorecuerda,vienenalamentevariascríticasposibles.Enprimerlugar,elaumentoenelcontenidodeoxígenoqueobservóLennoxpuede haber tenido poca relación con el cálculo mental. Tal vezsimplementehaya sidodebidoa la intensa actividadperceptualymotoranecesariaparaescudriñarunahojadepapelllenadesignosmatemáticosydar con los resultados numéricos. En otras palabras, nada prueba queLennox realmente haya medido la base psicológica de una actividadpuramentemental,comoalgodistintodeunincrementodeltrabajomotorovisual.Sin embargo, para el lector moderno, la deficiencia más obvia del

artículo consiste en su total falta de atención al tema de la localizacióncerebral.Duranteelcálculo,¿elflujosanguíneocerebralaumentaentodoel cerebro? ¿O los cambios se circunscriben a regiones cerebralesespecíficas?Y, enelúltimocaso, ¿el flujo sanguíneocerebral sirvecomoherramientaparalocalizaráreasdedicadasadistintosprocesosmentalesdelasuperficiecortical?ElartículodeLennoxnisiquieramencionabasi lasmuestrasdesangresehabíantomadodelavenayugularinternaizquierdaoderecha, hecho que podría haber avalado conclusiones acerca de lalateralización hemisférica de los procedimientos del cálculo. Lasprecisiones en la localización espacial y la producción de imágenesgenuinas de la actividad cerebral humana debieron aguardar hasta lasdécadasde1970y1980,que,finalmente,fuerontestigosdeladvenimientodetécnicasdeimágenescerebralesfuncionalesconfiables.

Elprincipiodelatomografíaporemisióndepositrones(PET)

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Apartir del trabajo pionero de Lennox, varios estudios han confirmadoqueelcerebroessorprendentementevorazensudemandadeenergía.Enefecto,soloélesresponsabledecasiuncuartodelaenergíaqueconsumeelcuerpoentero.Perosuconsumolocaldeenergíanoesconstante.Puedeaumentar repentinamente, en cuestión de segundos, cuando una regióncerebralseponeenfuncionamiento.Sokolofffueelprimeroendemostrarlas relaciones directas entre el flujo sanguíneo cerebral, el metabolismolocal y el grado de actividad de las áreas cerebrales[41]. Si, por ejemplo,decido agitar rápidamente el dedo índice derecho, las neuronas de laminúscula porción de la corteza motora izquierda dedicada al envío decomandos motores a los músculos de ese dedo entran en actividad.Segundosmástarde,elconsumodeglucosaaumentaenestaáreadeltejidocerebral.Enformaparalela,elflujosanguíneocerebralaumentadentrodelosvasosyloscapilaresqueirriganlaregión.Elincrementoenelvolumende sangre que circula iguala o incluso supera el aumento local en elconsumodeoxígeno.En las últimas décadas, se han explotado estos mecanismos de

regulación para detectar qué regiones cerebrales están activas durantedistintas tareas mentales. En el centro de estas innovadoras técnicas deimágenes cerebrales reside una idea extremadamente sencilla: si elmetabolismo de glucosa local o el flujo sanguíneo de un área cerebraldeterminadasonmedibles,deberíaobtenersedeinmediatounindiciodelaactividad neural reciente. Sin embargo, poner en práctica esta idea esdifícil.¿Cómopuedeevaluarseelflujosanguíneoolacantidaddeglucosadegradadaencadapuntodelcerebro?Sokoloff encontró una solución para el caso de los animales. Su hoy

clásica técnica de autorradiografía consiste en inyectar unamolécula a lacualseaplicóunmarcadorradiactivo,comolafluorodeoxiglucosa,yluegohacer que el animal realice la tarea deseada (por ejemplo,mover la pataderecha).Elátomoradiactivo,unidoalamoléculadeglucosa,sedepositapreferentementeenlasregionescerebralesqueconsumenmayorcantidaddeenergía.Mástarde,elcerebrodelanimalserecortaenláminasdelgadasy,aoscuras,sehacequecadaláminacontacteconunfilmfotográfico,queasígeneraráunnegativodelaszonasenqueseconcentrólaradiactividad.Así,lasseriesdeláminaspermitiránunareconstruccióntridimensional(yentodasuextensión)delasáreasqueestabanactivasenelmomentodelainyección.

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Laresoluciónespacialde laautorradiografíaesexcelente,peroobviosmotivos éticos impiden suuso en la investigación conhumanos: esmuyprobable que el sujeto no apruebe que le rebanen el cerebro ni que leinyecten altas dosis de radiactividad. Sin embargo, estas dificultadespueden eludirse si se apela a lamagia de losmétodos de reconstruccióntridimensional derivados de la física y de la ciencia computacional. Losexperimentosconhumanossolousanmarcadoresradiactivosdecortavida,que duran entre unos pocos minutos y unas pocas horas. En cuanto elexperimento se acaba, toda la radiactividad sedesvanece rápidamente: lasdosis inyectadas no son dañinas, a menos que la exposición se repita amenudo.Entonces,elexperimentonoesmáspeligrosoparaelsujetoquelaradiografíatípicanimásdolorosoqueunainyecciónintravenosanormal.Para que el experimento se apegue a la ética médica, al ofrecerse comovoluntarios, los participantes reciben información cabal respecto de losobjetivosylosmétodosutilizadosenlainvestigación.Solo queda un problema: ¿cómo se detecta la concentración de la

radiactividad dentro del volumen físicamente inaccesible del cerebro? Latomografíaporemisióndepositrones,tambiénconocidacomoPET,aportaunasolucióndealtatecnología.Pensemosunmomentoenlafísicanucleardeunsujetoaquienacabandeinyectarunmarcadorqueemitepositrones:porejemplo,unamoléculadeaguamarcada(H215O),en laqueelátomonormaldeoxígenosehareemplazadoconunátomoinestabledeoxígeno15.Luegodeunademora impredecible, que vadeun segundo a algunosminutos, este átomo emite un positrón e+, es decir, una partículaantimateria, cuyas propiedades son exactamente simétricas a las delelectrón familiar e–. ¡Y así es como la cabezade este sujeto—dehecho,todo su cuerpo— se convierte en un generador de antimateria! Comopodrán adivinar, ese estadonopuededurarmucho tiempo.Apenasunospocosmilímetrosmásalládellugardondeseoriginó,elpositróncolisionaconsumellizo,elelectrón,queabundaenmaterianormalyseaniquilanelunoalotro.Así,cuandomateriayantimateriaseanulan,liberanenergíaenformadefotones,dosrayosgammadealtaenergíaydepolaridadopuestaqueseemitendesdeelcráneoysalendeestesininteractuarmayormenteconlosátomoscircundantes.El secreto de la PET consiste en detectar los fotones que salen del

sujeto. Con este objetivo, cientos de cristales acoplados confotomultiplicadoresydispuestosencírculoalrededordelacabezadetectancualquier desintegración sospechosa. En la técnica más antigua de

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tomografía de un fotón, había que contentarse con detectar los rayosgammaaisladosemitidosporunafuenteradiactivacomoelisótopo133delxenón(133Xe),quese leadministrabaalpacienteantesdelestudio.En laPET,loqueserastreaeslaconcurrenciadedosrayosgamma.Cuandolosdetectorescolocadosenanilloalrededordelacabezadelsujetoidentificandos fotones diametralmente opuestos puede suponerse con bastanteseguridad que se ha desintegrado un positrón. La posición de losdetectores, a veces combinada con un examen cuidadoso del minúsculodesfase temporal entre las dos detecciones («tiempo de vuelo»), ayuda ainferirlaubicaciónprecisadeestadesintegraciónenlastresdimensiones.Como bien indican las raíces griegas utilizadas para acuñar el término«tomógrafo», este equipo produce una imagen por «cortes» de ladistribución de la radiactividad en un volumen determinado del tejidocerebral.La cantidadde radiactividaddetectada esunbuen indicadordelflujo sanguíneo cerebral local, que, a su vez, es un claro indicio de laactividadneuronalpromedioenesaárea.En la práctica, un experimento típico en que se utilice la PET se

desarrolla de este modo: un voluntario, en el tomógrafo, comienza arealizar la tarea requerida (mover el índice, multiplicar dígitos, etc.). Almismo tiempo, un ciclotrón produce una pequeña cantidad de unmarcador radiactivo. En cuanto está listo, el marcador debe inyectarseinmediatamente; en caso contrario, su radiactividad decrece rápidamentepor debajo del nivel detectable. El participante prosigue con la actividadmentalduranteunoodosminutosdespuésdelainyección.Eneselapso,eltomógrafo reconstruye la distribución espacial de radiactividad en elcerebrodel sujetoque, entretanto,descansadiezoquinceminutoshastaque la radiactividad regresa a un nivel indetectable. El procedimientopuede repetirse hasta doce veces en el mismo sujeto, eventualmentevariandolastareasdespuésdecadainyección.

¿Sepuedelocalizarelpensamientomatemático?

Sibienlasprimerasimágenesdelcerebroactivodatandeladécadade1970,nuestra búsqueda de imágenes del cerebro que calcula nos llevan apenashasta 1985. Ese año, dos investigadores suecos, Per E. Roland y LarsFriberg, publicaron un resultado que completa muchos de los vacíos

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dejadospor el trabajodeLennox.Las primeras frases de su artículo sonreveladorasdesutonogeneral:

Estos experimentos se realizaron para demostrar que laactividadpuramentemental,elpensamiento,aumentaelflujosanguíneo cerebral, y que formas de pensamiento distintocausan un aumento del flujo sanguíneo cerebral local endiferentes áreas corticales. Como primera aproximación,definimos el pensamiento como trabajo cerebral que realizaun sujeto despierto y requiere manipulación de informacióninterna(RolandyFriberg,1985).

Paraaislar los«procesosdelpensamiento»,RolandyFribergcontrolaronmeticulosamentelastareasquelosparticipantesdebíancumplir.Enlamásrelevanteparaestadiscusión, lossujetosdebíanrestarrepetidasveces3aun número dado (50 – 3 = 47, 47 – 3 = 44, etc.). Los cálculos eransilenciosos.Luegodeunosminutos,el investigador los interrumpíay lespedíaquedijeranaquénúmerohabíanllegado.Alolargodelintervalodemedición, las operaciones mentales se realizaban de un modo porcompletointerno,sinningunaactividadsensorialomotoradetectable.Ademásdeestatareadecálculomental,otrasdospruebasestudiaronla

imagineríaespacial(«Imaginelarutaqueseguiríasiustedsalieradesucasaydoblaraalternativamentealaderechayalaizquierda»)olatransposiciónverbal(recitarmentalmenteunalistadepalabrasenunordeninusual).Lasregiones cerebrales que estaban activas durante cada tarea se detectabanporcomparaciónconunamedicióndel flujosanguíneocerebralobtenidamientras el sujeto descansaba, sin pensar en nada en particular. ElprocedimientodeneuroimágenesutilizadoporRolandyFriberg,queyasevolvió anticuado, requería la inyecciónde xenón radiactivo (133Xe) en laarteriacarótidainternayladeteccióndefotonesindividuales.SinalcanzarlaprecisióndelaPET,elmétodopermitíavisualizarlosaumentoslocalesenelflujosanguíneocercadelasuperficiecortical.Encadaunodelosoncevoluntarios,lasactivacionescerebralesdurante

el cálculo mental estaban concentradas en dos grandes áreas: una vastaregiónprefrontalyunaregiónparietalinferiormásacotada,cercadelgiroangular (figura 8.2). Ambas regiones se activaban en los hemisferiosizquierdo y derecho, aunque la activación era un poco mayor en elizquierdoqueenelderecho.

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Figura8.2.En1985,RolandyFribergpublicaronlasprimerasimágenesdeactividadcerebralduranteelcálculomental.Enesaépoca,sumétodosolopodíavisualizarunhemisferioporvez.Cadaimagen,porlotanto,representalainformacióndeunvoluntario.Cuandosecomparaconunperíododedescanso,larestarepetidamuestraactivacionesbilateralesenlacortezaparietalinferior(flecha)asícomoenmúltiplesregionesdelacortezaprefrontal(adaptadodeRolandyFriberg,

1985;©AmericanPhysiologicalSociety).

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La precisión anatómica de este experimento pionero estaba lejos de serperfecta.Sinembargo,en1994,laconfianzaensusconclusionesaumentócuandosusresultadosfueronreproducidosporJordanGrafman,DenisLeBihan y sus colegas del National Institute of Health, con un métodomuchomásprecisollamado«resonanciamagnéticafuncional»(fMRI,porsus iniciales en inglés; Appolonio y otros, 1994[42]). Las activacionesbilateralesdelascortezasprefrontalyparietalinferiorotravezsenotaronentodoslosparticipantesdurantelarestarepetida,aunquelacantidaddepíxelesactivadoseramayorenelhemisferioizquierdoqueenelderecho.YomismoparticipécomovoluntarioenunaversióndeesteexperimentoenOrsay,cercadeParís.Lafigura8.3muestraunaseccióndemicerebromientras enfrento la tarea de resta repetida. La activación de las áreasparietalesyprefrontalesbilateralesesclaramentevisible.

Figura8.3.UncortedelcerebrodelautorduranteunareproduccióndelexperimentodeRolandyFriberg.Lasregionescerebralescuyaactividadaumentabaconcadarestarealizadasedeterminaronmedianteelmétododeresonanciamagnéticadealtaintensidad(elcampoerade3teslas)yse

superpusieronconunaimagenderesonanciamagnéticaanatómicaclásica.Seobservaactivaciónenlacortezaparietalinferior(flechasblancas)yenlacortezaprefrontal(Dehaene,LeBihanyVande

Moortele,datosnopublicados,1996).

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Los resultados de las otras condiciones del experimento de Roland yFriberg sugirieron que las activaciones parietales y prefrontales estabanrelacionadas con diferentes aspectos de la tarea. La región prefrontal seactivóentodaslastareasdemanipulaciónmental,nosoloenaquellasqueinvolucranlaresta.RolandyFribergleasignaronunrolmuygeneralenla«organización del pensamiento». En contraste, la región parietal inferiorparecía específica del cálculo mental, dado que no se activó durante lastareas de imágenes espaciales o de flexibilidad verbal. Ambosinvestigadores le atribuyeron una especialización para el pensamientomatemático,yenespecialparalarecuperacióndelamemoriaderesultadosderesta.Personalmente,creoquelasetiquetasfuncionalesdeRolandyFriberg

no deberían tomarse al pie de la letra. La mera noción de que el«pensamiento» es un objeto válido para el estudio científico, y de quepuedelocalizarseenunpequeñonúmerodeáreascerebrales,merecuerdaaunaviejadisciplinaquesehabíaconvertidoenunapiezademuseo,peroquesubrepticiamentevuelvealacarga:lafrenologíadeGallySpurzheim,olahipótesisdequeelcerebrocontieneunavariedaddeórganos,cadaunodedicadoaunafunciónmuycomplejacomoel«amora ladescendencia».Por supuesto, la frenología cayó en desgracia hace más de un siglo.Seguramente sería injusto acusar a Roland y sus colegas, pioneros en elcampode las neuroimágenes, de intentar revivirla. Sin embargo, nohacefalta sermuy sagazparaobservarquemuchosexperimentos recientesdeneuroimágenes se conciben dentro de un marco «neofrenológico»: suúnicoobjetivopareceserelestablecimientodeetiquetasfuncionalesparaáreascerebrales.Implícitamente,muchosgruposde investigaciónutilizanel tomógrafo comoun instrumento cartográfico que revela directamentelasáreascerebralessubyacentesaunafuncióndada,yasealamatemática,el«pensamiento»,oinclusolaconciencia.Estemétodosuponeunanecesariarelaciónunívoca entre las áreas cerebrales y las habilidades cognitivas: elcálculo depende de la región parietal inferior; de la organización delpensamientoseocupalacortezafrontal,yasísucesivamente.Tenemostodoslosmotivosparapensarqueelcerebronofuncionade

este modo. Aun funciones aparentemente simples dependen de lacoordinacióndeungrannúmerodeáreascerebrales,cadaunadelascualeshace sus respectivos aportes modestos y mecánicos al procesamientocognitivo. Cuando un sujeto lee palabras, reflexiona acerca de susignificado,imaginaunaescenaorealizauncálculo,seactivandiezoquizá

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veinte áreas, cada una responsable de una operación elemental, comoreconocer letras impresas, registrar su pronunciación, o determinar lacategoría gramatical de una palabra. Ni una neurona aislada, ni unacolumna cortical, ni siquiera un área cerebral pueden «pensar». Solo apartirdelacombinacióndelascapacidadesdevariosmillonesdeneuronas,dispersas en circuitos corticales y subcorticales, el cerebro alcanza ciertacomplejidadalgorítmica.Lameranocióndequeunaúnicaregióncerebralpodríaestarasociadaconunprocesotangeneralcomola«organizacióndelpensamiento»yaescosadelpasado.Entonces, ¿cómodeberían reinterpretarse los resultados deRoland y

Friberg? En el capítulo 7 analizamos el área parietal inferior, la regióndañadaenelsíndromedeGerstmann.AestalesiónsedebíalapérdidadelsentidonuméricoenelpacienteM.,tanafectadoqueyanopodíacalcular3–1ycreíaqueelnúmero7estabaentreel2yel4.Entonces,estaregiónprobablemente contribuya a un proceso específico: la transformación delossímbolosnuméricosencantidades,y la representacióndemagnitudesnuméricasrelativas.Elalcancedesuacciónnoesmuygrandeencuantoala aritmética,dadoque sudañonoafectanecesariamente la recuperaciónmemorística de datos aritméticos simples (2 + 2 = 4) ni las reglas delálgebra—porejemplo, (a+b)2=a2+2ab+b2—,ni el conocimientoenciclopédico de los números (1789 = Revolución Francesa,1492 = llegada de Colón a América). Solo está involucrada en larepresentacióndecantidadesnuméricasyensuposicionamientoalolargode una recta numérica mental. Por ende, su activación durante la restarepetida en los sujetosnormalesbrindauna estimulante confirmacióndesupapelfundamentalenelprocesamientodelascantidades.Enloqueconciernealaextensaactivaciónprefrontalreportadaporel

equiposueco,esprobablequeabarquevariasáreas,cadaunaconsupropiafunción:elordensecuencialdeoperacionessucesivas,elcontrolsobresuejecución,lacorreccióndeerrores,lainhibicióndelasrespuestasverbalesy, por sobre todas las cosas, la memoria de trabajo. Se sabe que en unsectordelacortezaprefrontalllamadoregióndorso-lateralo«área46»,lasneuronasformancircuitosque,enausenciadecualquierestímuloexterno,permiten «tener presentes» eventos pasados o anticipados (como unnúmero de teléfono). Notables experimentos realizados por JoachimFuster y Patricia Goldman-Rakic, entre otros, han demostrado que lasneuronas corticales prefrontales mantienen un nivel sostenido deactivación cuando unmono debe almacenar información en la memoria

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por varios segundos[43]. Las tres tareas empleadas por Roland y Fribergdependíanmuchodeestetipodememoriadetrabajo.Enlatareaderestarepetida,porejemplo,lossujetosdebíantenerenmenteconstantementeelnúmero que habían alcanzado, y actualizarlo luego de cada resta. Esprobable que esta importante carga de memoria explique por qué loscircuitosprefrontalesseencuentraninvolucradosenestatarea.

Cuandoelcerebromultiplicaocompara

ElexperimentodeRolandyFriberginvestigótansolounatareaaritméticacompleja, con el objetivo de identificar las áreas involucradas en laaritmética. Este fue apenas un primer paso. Las disociacionesneuropsicológicas nos permiten suponer una fragmentación mucho másespecífica de las funciones en áreas cerebrales. Según la operaciónaritméticarequerida,deberíanactivarseredescerebralesmuydiferentes.Acomienzosdeladécadade1990,miscolegasyyofuimoslosprimerosenevaluarestahipótesisalindagarcómocambialaactividadcerebralduranteeltranscursodelacomparaciónylamultiplicacióndenúmeros(Dehaeneyotros,1996).ElexperimentoserealizóenOrsay,enelserviciohospitalarioFrédéric

Joliot,unode losmejorequipadosenFranciaparamedirelmetabolismocerebral.Ocho estudiantes demedicina se ofrecieron como voluntarios.Cuandollegaronalhospitalalamañana,setomaronimágenesanatómicasdesuscerebrosmedianteresonanciamagnéticanucleardealtaresolución.Porlatarde,utilizamosPETyobtuvimoslasprimerasimágenesdetalladasdelasáreasqueseactivabanmientraslosvoluntariosprocesabannúmeros.¿Recuerdan al señor N., el paciente que no podía multiplicar pero

podíadecidir cuál, entredosnúmeros, era elmásgrande?Elobjetivodenuestro estudio era investigar si, en efecto, los circuitos neuronalesinvolucrados en estas dos tareas, la multiplicación y la comparación,dependen parcialmente de áreas cerebrales distintas, como habíamospostulado sobre la base de los resultados del señor N. Para eso, lespresentamos a los participantes una serie de pares de dígitos que debíancomparar omultiplicarmentalmente. En ambos casos, el resultado de laoperación—oelmásgrandeentredosdígitos,osuproducto—teníaqueser mencionado de manera disimulada, sin mover los labios. El flujo

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sanguíneo cerebral durante esas dos tareas se contrastó con una terceramedición,obtenidamientraslosvoluntariosdescansaban.Como esperábamos, varias regiones cerebrales estaban igualmente

activasdurantelamultiplicaciónydurantelacomparación,enrelaciónconelperíododedescanso.Esmuyprobablequeestasregionesseanelsoportedefuncionescomunesalasdostareas,comolaobtencióndeinformaciónvisual(lacortezaoccipital),elsostenimientodelamiradaylaestimulacióninterna de la producción del habla (áreamotora suplementaria y cortezaprecentral). La corteza parietal inferior, tan crucial para el sentidonumérico cuantitativo, también se había encendido (y curiosamente,estaba muy activa en ambos hemisferios durante la multiplicación,mientras que su activación durante la comparación era poca y habíaalcanzado el mínimo detectable). Habíamos esperado lo contrario: lacomparacióndemandaelprocesamientodecantidadesnuméricas,mientrasquelamultiplicaciónsimplesolorequiereaccesoalamemoriaverbal.Sin embargo, no todos los problemas de multiplicar que utilizamos

eransimples.Lalistaincluíaproblemascomo8×9o7×6,frentealoscuales nuestros sujetos amenudo dudaban o, lisa y llanamente, fallaban.Dadoquesumemoriaverbalparalosdatosaritméticosparecíapocofiable,supusimos que a menudo se veían forzados a recurrir a estrategias deapoyo, muy dependientes de la corteza parietal inferior, para dar unarespuestaplausible.Alainversa,latareadecomparacióndenúmerosqueutilizamos probablemente era demasiado fácil, porque los números ibansolodel1al9.Encontrareldígitomásgrandequizáresultabademasiadosencillocomoparaestimularlaactivaciónintensadeláreaparietalinferior.Además,talvezdimosalossujetosdemasiadotiempopararesponder, loque puede haber debilitado la activación hasta el punto de volverlademasiadopequeñay, por eso, indetectable.De todosmodos, la cortezaparietalinferiorparecíaactivarseenproporcióndirectaconladificultaddelastareasnuméricasquerealizabanlossujetos.Sin embargo, los resultados más interesantes surgieron cuando

contrastamos directamente la comparación de números con lamultiplicación. Varias regiones temporales, frontales y parietalesmostraron un cambio notable en las asimetrías hemisféricas. Durante lamultiplicación, la actividad cerebral era más intensa en el hemisferioizquierdo;encambio,durantelacomparaciónsedistribuíaigualmenteporlosdoshemisferioso sedesplazabahacia laderecha.Estaobservaciónsecondice con la nociónde que lamultiplicacióndepende, enparte, de las

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habilidadeslingüísticasdelhemisferioizquierdo,locualnoesciertoparalacomparación. A diferencia de la multiplicación, la comparación denúmerosnotienequeaprendersedememoria.Sinenseñanzaexplícita,enlos niños pequeños y hasta en los animales emerge una representaciónmental de lamagnitudde los números.Entonces, el cerebrononecesitaconvertir losdígitosaunformatoverbalparacompararlos.Las imágenescerebrales funcionales confirman que la comparación de las magnitudesnuméricas es una actividadno lingüística quedepende almenos en igualmedida del hemisferio derecho y del izquierdo. Cada hemisferio puedereconocer dígitos y traducirlos a una representación mental de lascantidadesparacompararlos.

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Figura8.4.LaobtencióndeimágenesmediantePETrevelaamplioscircuitosdeáreascerebralescuyoflujosanguíneocambiacuandolossujetosdescansanconlosojoscerrados,multiplicanparesdedígitosarábigosocomparanexactamentelosmismosdígitos(tomadodeDehaeneyotros,

1996).Un núcleo subcortical, es decir una estructura profunda situada por

debajode lacorteza, tambiénestabamásactivodurante lamultiplicaciónque durante la comparación. Se trataba del núcleo lenticular izquierdo,cuyalesión,comomostramosenelcapítulo7,puedealterardrásticamentela memoria relacionada con los datos de multiplicación y otrosautomatismos verbales. ¿Recuerdan el caso de la señora B., que habíaolvidado el recitado de «tres por nueve es veintisiete», el alfabeto, y elPadrenuestro,antestanfamiliaresparaella?Sulesiónestabaexactamenteenelnúcleolenticular.Estaregiónpertenecealosgangliosbasales,delosque en general se piensa que contribuyen a los aspectos rutinarios delcomportamientomotor.Lasimágenescerebralesfuncionalessugierenquetambién contribuyen a funciones cognitivas más elaboradas. Tal vez lastablas aritméticas estén almacenadas en forma de secuencias automáticasde palabras, de manera tal que el recordarlas se vuelve mecánico. Elrecitadodelatablademultiplicarenlaescuelapuedeimprimircadaunadesuspalabras ennuestras estructuras cerebralesprofundas.Esto explicaríaporquéhasta losbilingüesmás expertosprefieren siempre calcular en lalenguaenlaqueadquirieronlaaritmética.Ladiversidaddeáreascerebralesinvolucradasenlamultiplicaciónyla

comparación subrayauna vezmásque la aritméticano esuna «facultad»frenológica holística asociada con un único centro de cálculo. Cadaoperación depende de un circuito cerebral extenso. A diferencia de unacomputadora,elcerebronotieneunprocesadoraritméticoespecializado.Unametáfora más apropiada es la de un grupo heterogéneo de agentestorpeso limitados.Cadaunadeellases incapazde llegaramuchoporsísola, pero dividiéndose el trabajo logran resolver problemas complejos.Hasta un acto tan simple como multiplicar dos dígitos requiere lacolaboración de millones de neuronas distribuidas en muchas áreascerebrales.

Eltomógrafo,lospositronesysuslímites

Latomografíaporemisióndepositronesesunaherramientamaravillosa,peropordesgracia tiene algunos límites.Para verificarnuestrashipótesis

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acerca del procesamiento cortical y subcortical de la informaciónnumérica, nos gustaría, idealmente, observar el curso temporal de laactivacióncerebralduranteelcálculo.Deserposible,querríamosobtenerunanuevaimagendelaactividadcerebralacadacentésimadesegundo.Deestemodo, podríamos seguir la propagaciónde actividadneuronal desdelasáreasvisualesposterioreshastalasáreasdel lenguaje, loscircuitosquecontrolan la memoria, las regiones motoras y así sucesivamente. Sinembargo,apesardequelaPETesunaherramientanotableparaidentificarregiones anatómicas activas, su excelente resolución espacial estáacompañadadeunadeplorableresolucióntemporal.Cadaimagenilustraelflujo sanguíneopromedio a lo largodeunperíodonomenor a cuarentasegundos. Por lo tanto, la PET es casi totalmente ciega a la dimensióntemporaldelaactividadcerebral.Haydosmotivosfundamentalesparaestalimitacióntécnica.Enprimer

lugar, los fotomultiplicadores —que hacen un recuento de lasdesintegraciones de positrones— deben detectar un número mínimo deeventos antes de que emerja una imagen significativa. Sin embargo, elnúmero de desintegraciones por segundo está en relación directa con ladosisderadiactividadinyectadaque,porrazoneséticas,nopuedeelevarsemuchomásalládeloslímitesactuales.Ensegundolugar,inclusosipudieraacortarse el lapso de cada medición, la precisión temporal permaneceríalimitadasobretodoporlarespuestatardíadelflujosanguíneocerebralauncambioenlaactividadneuronal.Enotraspalabras,cuandolasneuronasdedeterminada área comienzan a activarse, pasan varios segundos antes dequecomienceaaumentarelflujosanguíneo.InclusolafMRI,técnica,quepuedeobtener imágenesdel flujo sanguíneoenuna fracciónde segundo,sufredemanerasimilarlalentituddelasrespuestasdelflujosanguíneo.En resumen, aquí está el quid de la cuestión. El cerebro detecta,

computa,reflexionayreaccionaenunafraccióndesegundo.Lastécnicasfuncionales basadas en el flujo sanguíneo reducen a una imagen estáticaesta secuencia complejade actividad.Es comparable a fotografiar el finalde una carrera de caballos con un tiempo de exposición de variossegundos.Laimagenconfusapuedemostrarquécaballospasaronla líneafinal,perosepierdedevistaelordenenquellegaron.Loquenecesitamoses una técnica que pueda tomar una serie de fotografías de la actividadcerebralparaluegoreproducirlapelículaencámaralenta.

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Elcerebroelectrificado

Laelectroencefalografíaylamagnetoencefalografíasonlasúnicastécnicasquehoyendíaseacercanaalcanzaresedesafío.Ambassacanprovechodelcomportamiento del cerebro como un generador de corriente eléctrica.Para comprendermejor cómo funcionan, es útil recordar brevemente laforma en que se comunican las células nerviosas. Cualquier sistemanervioso, pertenezca a un humano o a una sanguijuela, consiste,fundamentalmente, en un conjunto compacto de cables. Cada neuronatieneunaxón,uncablelargoquetransmiteinformaciónatravésdeondasde despolarización, pequeñas variaciones locales de voltaje llamadas«potenciales de acción». Cada neurona también posee una tupidaramificación de dendritas que reciben las señales provenientes de otrascélulasnerviosas.Cuandounpotencialdeacciónalcanzaunasinapsis—lazonadecontactoentrelaterminaldelaxóndeunacélulayladendritadeotra—delaterminalnerviosaseliberanmoléculasneurotransmisorasyseunenaotrasmoléculasespecializadas,llamadas«receptores»,insertadasenla membrana dendrítica. Esto hace que los receptores alteren su forma:cambianaunaconfiguración«abierta»yaqueseabreuncanalatravésdelamembrana de la célula adonde se precipitan los iones que previamenteestabansueltosenelespacioextracelular.Deformamuyesquemática,esteeselmodoenqueun impulsonerviosocruza labarrerade lamembranacelularyestransmitidodeunaneuronaaotra.Dado que, por definición, los iones llevan una carga eléctrica, su

movimientoatravésdelamembranacelularydentrodelárboldendríticoproduce una cantidad muy pequeña de corriente. Cada neurona secomporta, así, como un pequeño generador eléctrico. De hecho, el«órgano» eléctrico que poseen ciertos peces como la raya torpedo no esmás que una sinapsis gigante en la cual este tipo de unidadeselectroquímicas se organizan para formar un acumulador, es decir unabatería poderosa. Su semejanza con el sistema nervioso humano esmuynotoria:en losdoshayunamoléculareceptoracasi idéntica.Poreso, losneurobiólogos moleculares pudieron hacer un gran avance cuando unconcentrado de órgano eléctrico de raya torpedo proveyó una cantidadsuficientedereceptorescomoparacaracterizarsuestructuramolecular.Pero volvamos al cerebro humano. Ya sabemos que en él cada área

activa produce una onda electromagnética que se transmite porconducciónhasta llegar al cuero cabelludo.Hacemásde cincuenta años,

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Hans Berger aplicó por primera vez este conocimiento al apoyarelectrodos sobre el cráneo de varios voluntarios y registrar una señaleléctrica: el primer electroencefalograma. Esta señal, resultado de laactivaciónsincrónicadevariosmillonesdesinapsis,esmuydébil: apenasunospocosmicrovoltios.Tambiénesmuycaótica,ymuestraoscilacionesaparentemente azarosas. Sin embargo, cuando uno sincroniza el registroconuneventoexterno,comoundígitopresentadoalavista,ycuandosepromedia varias de esas presentaciones, del caos emerge una secuenciareproducible de actividad eléctrica, llamada «potencial relacionado con elevento»,quealbergaunacantidaddeinformacióntemporal.Lasseñalessepropagan de forma casi instantánea a la superficie del cráneo, dondepuedenregistrarseentiemporeal,porejemplo,acadamilisegundo.Así,sedisponedeunregistrocontinuodelaactividadcerebral,reflejofidedignodelordenenqueseactivócadaregióncerebral.Actualmente los avances técnicos permiten registrar los potenciales

relacionados con eventos de hasta sesenta y cuatro, ciento veintiocho oincluso doscientos cincuenta y seis electrodos colocados sobre el cuerocabelludo. Su forma varía de un electrodo a otro y esta distribuciónespacialprovee indicacionesvaliosas acercade la localizaciónde las áreascerebrales activas. Sin embargo, en este aspecto elmétodo todavía no essatisfactorio. La precisión anatómica de los registroselectroencefalográficos es escasa, porque existe una ambigüedad físicabásica que impide su atribución directa a una estructura anatómicaidentificable. En el mejor de los casos, puede reconstruirse el estadoaproximado de actividad de una región cortical extensa por medio deinferenciasmás omenos plausibles. Lamagnetoencefalografía—métodoalgo más preciso pero considerablemente más caro— presenta unadificultad similar, ya que registra los camposmagnéticos en lugar de lospotencialeseléctricos.Sinembargo,losdossistemasposeenunacapacidadsin igual para determinar el momento exacto en que diferentes áreascerebralesentranenjuegoduranteloscálculosmentales.

¿Cuántotiempohacefaltaparaaccederalarectanumérica?

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Cualquierpersonanecesitaunascuatrodécimasdesegundoparadecidirsideterminadodígitoesmásgrandeomáspequeñoque5.Sinembargo,estelapsocorrespondealaduracióntotaldeunaseriedeoperaciones,desdelaidentificación visual del dígito-blanco hasta la respuesta motora. ¿Esposible descomponerlo en pasos pequeños? La electroencefalografíaresultaunmétodoidealparamedir,conprecisióndemilisegundos,cuántotiempoleinsumeanuestrocerebrodecidirsi4esmenorque5.Enunodemisexperimentos(Dehaene,1996),sepresentabandígitos

arábigosopalabrasquehacíanreferenciaanúmerosenunmonitor.Selespedía a los voluntarios que presionaran una tecla para los númerosmáspequeños que 5, y otra para los más grandes que 5. Se registraron lospotenciales relacionados con eventos en sesenta y cuatro electrodosdistribuidos por el cuero cabelludo. Un programa especial permitióreconstruir, cuadroacuadro, laevoluciónde lospotenciales superficialesenlasdistintascondicionesexperimentales(figura8.5).

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Figura8.5.Alregistrarloscambiosmínimosenelvoltajegeneradosporlaactividadcerebral(electroencefalografía),sepuedereconstruirlasecuenciadeactivacionescerebralesdurantela

comparacióndedosnúmeros.Enesteexperimento,ungrupodevoluntariospresionabateclasconlamanoizquierdaoladerecha,lomásrápidoquepodían,paraindicarsilosnúmerosqueveíaneranmáspequeñosomásgrandesque5.Seidentificaronalmenoscuatroetapasdeprocesamiento:1.Identificaciónvisualdeldígitoolapalabrablanco;2.Representacióndelacantidadcorrespondienteycomparaciónconlareferenciamemorizada;3.Programaciónyrealizacióndelarespuestamanual,

y4.Correccióndeeventualeserrores(tomadodeDehaene,1996).

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Lapelículacomienzaenelmomentoexactoenqueelnúmeroapareceenlapantalla.Durantevariasdécimasdemilisegundo,lospotencialeseléctricospermanecen cercanos a cero. Transcurridos cerca de cien milisegundos,aparece en la parte posterior del cráneo un potencial positivo,llamado«P1»,quereflejalaactivacióndeáreasvisualesdellóbulooccipital.Hasta ese momento no se percibe ninguna diferencia entre los dígitosarábigos y las palabras referidas a números: solo están involucradosprocedimientos visuales de nivel bajo, es decir vinculados a aspectossuperficialesdelapercepción,ynoarepresentacionesabstractas.Perodepronto, entre los cien y los ciento cincuenta milisegundos, las doscondiciones experimentales (palabras correspondientes a números ynúmerosarábigos)divergen.Mientraslaspalabrascomo«cuatro»generanun potencial negativo casi completamente lateralizado en el hemisferioizquierdo, los dígitos como 4 producen un potencial bilateral. Comohabíamos inferidoapartirdeldesempeñode lospacientesconelcerebrodividido, los dos hemisferios se ven implicados simultáneamente en laidentificación visual de los dígitos arábigos. En cambio, los nombres denúmerossonreconocidossoloporelhemisferioizquierdo.En el lado izquierdo de la parte posterior del cuero cabelludo, los

potenciales relacionados con eventos evocados por palabras y dígitosparecenprácticamente idénticos. Sin embargo, los registrosmásprecisossugieren que pueden originarse en regiones del hemisferio izquierdo,distintas aunque contiguas. En algunos pacientes epilépticos, losneurocirujanoscolocan,durantelaintervención,numerososelectrodosenla superficie cortical misma, a fin de localizarmejor los registros de lasrespuestas eléctricas y evitar la distorsióngeneradapor el cráneo.TruettAllison, Gregory McCarthy y sus colegas de la Universidad de Yaleaprovecharon esta situación inusual para registrar con precisión lasrespuestasdelasáreasoccipitotemporalesventralesadiferentescategoríasde estímulos visuales como palabras, dígitos, imágenes de objetos, eimágenes de rostros (Allison, McCarthy, Nobre, Puce y Belger, 1994,Puce,Allison,Asgari,GoreyMcCarthy,1996).Susresultadosdemuestranque existe una especialización extrema. Ocasionalmente, un electrodomuestra unadesviación eléctrica exclusivamente respectode las palabras,mientrasqueunsegundoelectrodo,a apenasuncentímetrodedistancia,solo reacciona a los dígitos arábigos, y un tercero, solo a rostros (figura8.6).Estas respuestasmuyespecíficasy veloces—aparecen enmenosdedoscientos milisegundos— confirman que una cantidad de detectores

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visuales, agrupados de acuerdo con el tipo de estímulos a los queresponden,cubrelasuperficieinferiordelacortezavisual.

Figura8.6.Loselectrodosintracraneanosrevelanunaextremadaespecializacióndelaregiónoccipitotemporalventralparaelreconocimientovisualdediferentescategoríasdeestímulos.Lacortezaquesubyacealpunto1respondealascadenasdeletras(formenpalabrasono),peronoalosrostros.Unelectrodovecinoenelpunto2respondealosdígitosarábigos,peronoarostrosocadenasdeletras(realizadoapartirdeAllisonyotros,1994;©OxfordUniversityPress).

Luego, cerca de los ciento cincuentamilisegundos, unmosaico de áreasvisuales especializadas reconoce la formade los símbolosnuméricos. Sinembargo,elcerebrotodavíanoharecuperadosusignificado.Reciéncercadeloscientonoventamilisegundosseveunprimerindiciodequeseestácodificando la cantidad numérica. El efecto de distancia aparecerepentinamente en los electrodos que registran la actividad de la cortezaparietalinferior.Losdígitosqueestáncercadel5—yqueporesosonmásdifícilesdecomparar—generanunpotencialeléctricodeamplitudmayor

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quelacorrespondientealosqueestánlejosdel5.Elefectoesvisibleenlosdos hemisferios, aunque conmayor intensidad del lado derecho.Así, ensolo ciento noventa milisegundos el cerebro logra activar las «redes delsentidonumérico»ubicadasenlossectoresparietalesinferioresdeamboshemisferios. Análisis detallados muestran que la actividad eléctricaasociadaalefectodedistanciatieneunatopografíasimilarparalosdígitosarábigos y para las palabras referidas a números. Esto confirma que laregión parietal inferior no tiene en cuenta la notación en la que sepresentan los números, sino solo su magnitud abstracta, su sentidocuantitativo.Más adelante en nuestra película, llegamos al momento en que

comienza a programarse la respuesta motora. Surge una diferenciaimportantedevoltajeenloselectrodossituadossobrelasáreaspremotoray motora de los dos hemisferios. Cuando los sujetos se preparan pararesponder con la mano derecha, aparece un potencial negativo en loselectrodos de su hemisferio izquierdo; y sucede lo contrario cuando sepreparanparalarespuestaconlamanoizquierda:elladoderechodelcuerocabelludo se vuelve negativo (recuerden que la cortezamotora izquierdacontrolalosmovimientosdelamitadderechadelcuerpoyviceversa).Estepotencial de preparación motora lateralizado surge por primera vezdoscientos cincuenta milisegundos después de la primera aparición deldígitoen lapantalla,yalcanzasumáximocercade lostrescientostreintamilisegundos. Para entonces, la comparación de números debe habersecompletado, porque la respuesta «más grande» / «más pequeño» ya estápreparada. En consecuencia, hace falta entre un cuarto y un tercio desegundoreconocerlaformavisualdeundígitoyaccederasusignificadocuantitativo.En promedio, cerca de los cuatrocientos milisegundos se produce la

respuestadelparticipante,luegodeunretrasoadicionalduranteelcualseprogramayseefectúalacontracciónmuscularparaconcretarlarespuestaseleccionada.Sinembargo,nadaexcluyequeel análisis continúemás alládeestepunto.Dehecho,inmediatamentedespuésdelarespuestamotoraocurre un evento eléctrico muy interesante. Hasta en una tarea tanelemental como la comparación de dígitos, ocasionalmente cometemoserrores. En su mayoría, se deben a una anticipación incorrecta de larespuesta,ysedetectanycorrigenenseguida.Lospotencialesrelacionadoscon eventos revelan el origen de esta corrección (Gehring,Goss,Coles,MeyeryDonchin,1993,Dehaene,PosneryTucker,1994[44]).Nobiense

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comete un error, una señal eléctrica negativa de gran intensidad aparecerepentinamenteenloselectrodossituadosenlaregiónfrontaldelcráneo.Dado que no se perciben señales de este tipo después de una respuestacorrecta,estaactividaddebereflejarladetecciónoelintentoporcorregirelerror.Sutopografíapermiteatribuirsugeneracióna lacortezadegirocinguladoanterior,unáreacerebralinvolucradaenelcontrolatencionaldelas acciones y en la inhibición del comportamiento no deseado. Surespuestaestanrápida—menosdesetentamilisegundosdespuésdepulsarlateclaequivocada—quenopuededeberseaunaretroalimentacióndelosórganossensoriales.Porlodemás,enmiexperimentonohabíaseñalesqueindicasensiunarespuestaeracorrectaono.Porende,lacortezacinguladaanteriorseactivademodoautónomosiemprequeelcerebrodetectaquelaacciónqueestárealizandonosecorrespondeconladeseada.Permítanme hacer hincapié en que todos los eventos que acabo de

describir —reconocimiento de números, acceso a la información sobremagnitudes, comparación, selección de respuestas, realización del gestomotor y detección de eventuales errores— ocurren enmenos demediosegundo.La información pasa de un área cerebral a la siguiente conunavelocidad notable. Hoy en día, solo la electroencefalografía y lamagnetoencefalografía ofrecen la oportunidadde seguir este intercambioentiemporeal.

Comprenderlapalabra«dieciocho»

Pensemos en otro ejemplo de la velocidad de procesamiento de lainformación numérica en el cerebro humano. Observen las palabrasDIECIOCHOyDIDEROT.Unafraccióndesegundoessuficienteparadarsecuenta de que la primera remite a unnúmeroy la segunda a un escritorfrancés.Es igualmente fácil darse cuenta de queDOMINAR es un verbo,DINOSAURIO,unanimalyDKLPSGQI,unacadenadeletrassinsignificado.¿Quéáreascerebralesestán involucradasen la categorizacióndepalabrasde forma arbitraria, pero con significados diametralmente diferentes?¿Podría el registro de potenciales relacionados con eventos revelar laactivación de áreas implicadas en la representación del significado depalabras?¿Ylacortezaparietalinferiorseactivaríadurantelalecturadelapalabra«dieciocho»,aunquenoserequiriesecálculoalguno?

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Cuando los voluntariosprestan atención a la categoría semántica a laque pertenecen las palabras, los potenciales evocados muestran unasecuencianotabledeactivacióncerebral(Dehaene,1995).Alprincipio,lasáreasvisualesdelhemisferioizquierdoseactivandelmismomodoparalascadenas impresasDIECIOCHO,DIDEROToDKLPSGQI.Sinembargo, luegodeuncuartodesegundo,pocomásomenos,lasáreasvisualesposterioresdiferencianlaspalabrasrealesdelascadenasdeletrassinsignificadocuyaformaciónno respeta las reglas de la lengua.Apenasmás tarde, cercadetrescientos milisegundos después de mostrar esa palabra en el monitor,también comienzan a diferenciarse las diferentes categorías de palabras.Otra vez, los números como DIECIOCHO producen una onda eléctricalocalizada en la corteza parietal izquierda y derecha inferior, como si elcerebro tuviera que recrear una representación cuantitativa de sulocalización en la recta numérica para chequear que sin duda estos sonnúmeros.En contraste, otras categorías de palabras activan regiones cerebrales

muydiferentes.Tantolosverboscomolosanimalesylaspersonasfamosascausanunaactivaciónextensadelaregióntemporalizquierda,sospechadapor mucho tiempo de tener un papel especial en la representación delsignificadodelaspalabras.Sinembargo,aparecenvariacionessutilesentrecategorías.Lomásnotableesque losnombresdepersonajes famosos—sean DIDEROT, OBAMA o MARADONA— son los únicos estímulos queactivanlaregióntemporalinferior,cuyaimplicaciónenelreconocimientode rostros familiares fue demostrada ya en otros experimentos. Variosotrasinvestigacionesrecientessugierenqueestenoesunhallazgoaislado.Se ha descubierto que muchas categorías de palabras —animales,herramientas, verbos, palabras para colores, partes del cuerpo, números,entreotras—dependendeconjuntosderegionesdistintasdiseminadasporla corteza.En cada caso, para determinar la categoría a la cual perteneceunapalabra,elcerebropareceactivarlasáreascerebralesquealmacenanlainformaciónnoverbalacercadelsignificadodeesapalabra.

Neuronasmatemáticas

Apesardesusimportantesaportes, laelectroencefalografíatodavíaesunmétodo indirecto e impreciso. Decenas de miles de neuronas deben

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activarseensincroníaantesdequesuefectoeléctricosevuelvadetectableen el cuero cabelludo. Por eso, los neurocientíficos siguen soñando conuna técnica que les permita examinar el patrón temporal de actividad deuna única neurona en el cerebro humano, como es usual hacer con losanimales.Enrealidad,estatécnicayaesunarealidad,ydehecho,avecesseimplantanelectrodosdirectamenteenlacortezacerebralhumana,peroestan invasiva que solo se justifica en condiciones muy excepcionales. Enalgunos pacientes que sufren de epilepsia intratable, es necesaria laneurocirugíaparaextirpareltejidocerebralanormalenelqueseoriginanlosataques.Implantarelectrodosintracraneanostodavíaeslamejorformade señalar la localización exacta de ese tejido. El método consiste eninsertar delgadas agujas, cada una con múltiples espacios de registroeléctrico,enlaprofundidaddelacortezaydelosnúcleossubcorticales.Amenudo estos electrodos se dejan varios días en el lugar, de modo quepueda recogerse suficiente información acerca de los ataques epilépticosrecurrentes. Previo consentimiento del paciente, no hay inconvenienteparaaprovecharesteescenarioafindeestudiarelprocesamientoneuraldeinformación en el cerebro humano. Por medio de los electrodosimplantados, se puede registrar directamente la actividad eléctrica en elcerebromientraselpacienteleepalabrasorealizacálculossimples.Segúnlascaracterísticasdelelectrodo,semidelaactividadpromediodesolounospocosmilímetroscúbicosdecorteza,ohastadeunasolaneurona.En el centro de investigación cerebral de San Petersburgo, Yalchin

Abdullaev y Konstantin Melnichuk (1996) registraron de este modo laactividaddevariasneuronasindividualesenlacortezaparietalhumanadeun paciente que realizaba tareas lingüísticas y de aritmética. En unacondiciónexperimental, aparecíaunaseriededígitosenunapantallayelpacienteteníaquecalcularsutotal;estosecontrastabaconunacondiciónde control en la que el paciente simplemente tenía que leer losmismosdígitos en voz alta. En una segunda condición experimental, el pacientedebía sumar o restar números como 54 y 7; una vez más, el controlconsistíaenleerunodelosdosnúmerosenvozalta.Porúltimo,laterceratarea,quenoteníarelaciónalgunaconlaaritmética,consistíaendecidirsiunacadenadeletrascomoCASAoVINCHAesunapalabraválidaono.Losresultadosfueronmuyclaros.Enlosdoshemisferios,lasneuronas

parietalesinferioresseactivabansolocuandosepresentabannúmeros.Lamayoría de las neuronas también se activabamás durante el cálculo quedurante la lectura de números. Sin embargo, la corteza parietal derecha

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contenía unas pocas neuronas cuya frecuencia de activación aumentabainclusodurantelalecturadelosdígitos1y2.Cuandoelsujetoleía,estasneuronasseactivabansoloduranteunintervalobreveluegodelaaparicióndeldígito,detrescientosaquinientosmilisegundos.Encambio,cuandoelsujeto sumaba o restaba, la actividad duraba hasta ochocientosmilisegundosdespuésdelapresentaciónvisual(figura8.7).

Figura8.7.Unaneuronadelacortezaparietalhumanarespondeselectivamenteduranteelprocesamientodenúmeros.Laflechaindicaeltiempodepresentacióndeldígitoarábigo1o2.Losintervalosduranteloscualeslafrecuenciadeactivaciónsedesvíasignificativamentedesuvalorderepososemuestranennegro.Laactividadneuronaldurapormástiempocuandoelsujetosumaeldígitoauntotal,quecuandosimplementeloleeenvozalta(tomadodeAbdullaevyMelnichuk,

1996;cortesíadeYalchinAbdullaev).

Así,elregistrocelularproveeunrespaldodirectoparalasinferenciasquehemosobtenidode losmétodosmás indirectos de la neuropsicología, latomografía por emisión de positrones y la electroencefalografía. En elmomento en que tenemos que manipular mentalmente cantidadesnuméricas,loscircuitosneuralesdelacortezaparietalinferiordesempeñanunpapelindispensableymuyespecífico.Por supuesto, los experimentos dispersos mencionados en este

capítulorepresentaneliniciodelasimágenescerebrales.Lasherramientaspara visualizar el cerebro humano activo recién se generalizaron en la

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década de 1990. Incluso dentro del campo de la aritmética, docenas detemas todavía permanecen inexplorados. ¿Las neuronas parietalesresponden específicamente a algunos números? ¿La corteza parietalinferiorestáorganizadadeformatopográfica,demodoquelasmagnitudesnuméricas cada vez más grandes se proyectan sistemáticamente endistintaspartesdelacorteza?¿Lasuma,larestaylacomparaciónutilizancircuitosdistintos?¿Suorganizacióncambiacon laedad, laeducaciónenmatemática,oel talentoparaelcálculomental?¿Aquéotrasregionesseproyecta el área parietal inferior y cómo se comunica con las áreasinvolucradas en la identificación y la producción de palabras habladas ynúmerosarábigos?Se sabe tan poco acerca de este amplio campo de investigación que

nuestralistadepreguntasabiertaspodríacontinuarindefinidamente.Conlasherramientasdeimágenescerebralesqueseencuentrandisponibleshoyen día, nuestras exploraciones científicas del cerebro humano tienen pordelanteunterrenodeconocimientomuypromisorio.Desdeloscircuitosneuraleshastaelcálculomental,desde lasneuronas individualeshasta lasfuncionesaritméticascomplejas,laneurocienciacognitivahacomenzadoatejer vínculos cada vez más estrechos entre las regiones cerebrales,revelando una imagen más compleja y más intrigante que la que nospodríamoshaberimaginado.Solohemoscapturadolasprimerasimágenesde cómo el tejido neural se puede volver, en palabras de Jean-PierreChangeuxyAlainConnes(1995),«materiaparaelpensamiento».

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9.¿Quéesunnúmero?

Un matemático es una máquina de convertir café enteoremas.

Anónimo

«¿Qué es un número, que el hombre puede conocerlo, y qué es unhombre, que puede conocer un número?». Esta pregunta, formuladaadmirablementeporWarrenMcCullochensulibroEmbodimentsofMind(1965)esunode losproblemasmásantiguosde lafilosofíade laciencia,de aquellos que Platón y sus discípulos discutían cotidianamente en suspasos por la primera y primigenia Academia, veinticinco siglos atrás. Amenudo me pregunto cómo habrían recibido los grandes filósofos delpasado la información que hoy tenemos gracias a la neurociencia y lapsicología cognitiva. ¿Qué diálogos habrían inspirado las imágenes de latomografíaporemisióndepositronesen losplatónicos?¿Quérevisionesdrásticas habrían impuesto en los filósofos empiristas ingleses losexperimentos sobrearitméticaen reciénnacidos?¿Cómohabría recibidoDiderot la información neuropsicológica que demuestra la extremadafragmentación del conocimiento en el cerebro humano? ¿Qué agudasconclusioneshubiera sacadoDescartes sihubiesepodidodisponerde losdatosrigurososdelaneurocienciaactualenlugardelaselucubracionesdesuscontemporáneos?Nos acercamos al final de nuestra exploración de la aritmética en el

cerebro.Ahoraquetenemosunamejorcomprensióndelmodoenqueelcerebrohumanorepresentayoperacon losnúmeros, talvezdeberíamosintentarresumir,conlaprudenciaqueimponeelmagrobagajedenuestroconocimiento, en qué medida esta información empírica afecta nuestravisión del cerebro y de la matemática. ¿Cómo hace el cerebro paraaprendermatemática?¿Cuáles lanaturalezade la intuiciónmatemáticayde qué forma podemos mejorarla? ¿Cuáles son las relaciones entre lamatemáticay la lógica?¿Porqué lamatemáticaes tanútilen lascienciasfísicas? Estas preguntas no atañen solamente a los filósofos, ni sonreflexionespropiasdetorresdemarfil.Muyporelcontrario,lasrespuestasquelesdemoscondicionaránnuestraspolíticaseducativasylosprogramas

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de investigación. El constructivismo de Piaget y el austero rigor deBourbaki han dejado sus huellas en nuestras escuelas. ¿Llegará el día enque las reformas drásticas dejarán paso a métodos de enseñanza másoptimistasyserenos,basadossobreunacomprensióngenuinadelmodoenque el cerebro humano resuelve los problemas matemáticos? Solo unanálisismeticulosodelasbasesneuropsicológicasdelamatemáticapuedeacercarnosaalcanzarestametacrucial.

¿Elcerebroesunamáquinalógica?

¿Qué tipo de máquina es el cerebro humano, capaz de producirmatemática?WarrenMcCullochpensabaquesabíapartedelarespuestaaesta pregunta que él mismo se había planteado. Dado que era unmatemático, estaba ansiosopor comprender «dequémodo algo como lamatemáticapodíahabervistolaluz».Yaen1919,seacercóalestudiodelapsicologíay,mástarde,alaneurofisiología,conlaconvicciónpersonaldequeelcerebroesuna«máquinalógica».En1943,enuninfluyenteartículoque publicó junto con Walter Pitts, despojó a las neuronas de susreacciones biológicas complejas y las redujo a dos funciones: sumar losestímulos recibidos y comparar esta suma a un umbral fijo. Entonces,demostró que una red formada por muchas unidades de este tipointerconectadaspuede realizar cálculosdeunacomplejidad temeraria.Enla jerga de la ciencia computacional, una red como esta tiene el podercomputacionaldeunamáquinadeTuring,undispositivoformalsencillo,inventadoporelbrillantematemáticobritánicoAlanTuringen1937,quecapturalasoperacionesesencialesqueseencuentranenfuncionamientoenlascomputadorasparaleer,escribirytransformarlainformacióndigitaldeacuerdoconoperacionesmatemáticas.EltrabajodeMcCullochdemostróasíquecualquieroperaciónquepuedeserprogramadaenunacomputadoratambién puede ser realizada por una red adecuadamente conectada deneuronas simplificadas. En resumen, proclamó que «un sistema nerviosopuedecalcularcualquiernúmerocalculable».Deestemodo,McCullochsiguiólashuellasdeGeorgeBoole,quienen

1854sehabíaimpuestocomoprograma«investigarlasleyesfundamentalesde las operaciones de la mente gracias a las cuales se lleva a cabo elrazonamiento,paradarlesexpresiónenellenguajesimbólicodeuncálculo,

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ysobreestabaseestablecerlacienciadelalógicayconstruirsumétodo»(Boole,1854).Booleeselcreadordelalógica«booleana»,quedescribequelosvalores

binariosverdaderoyfalso,denotadosporel1yel0,deberíancombinarseenlasoperacioneslógicas.Enlaactualidadsedaporsentadoqueelálgebrabooleanapertenecealalógicamatemáticayalainformática.PeroelpropioBoole consideró su investigación como una contribución central a lapsicología, una Investigación de las leyes del pensamiento, según tituló sulibro.La metáfora del cerebro como una computadora adquirió así una

inmensa popularidad, no solo entre el público en general, sino inclusoentrelosespecialistasencienciacognitiva.Resideenelnúcleomismodelllamadoenfoque«funcionalista»delapsicología,queproponeestudiarlosalgoritmos de la mente sin preocuparse por su sustrato neural. Unargumento funcionalista clásico pone el acento en el hecho de quecualquier algoritmodigital computa exactamente elmismo resultado, sinimportar si funciona en una supercomputadora o en una calculadoraelectrónicadebolsillo,yqueesabsolutamenteindiferentequelamáquinaencuestiónestéhechadesiliconaodecélulasnerviosas.De igualmodo,para los funcionalistas, el software utilizado por la computadora de lamente es independiente del equipamiento del cerebro. Ellos afirmantambiénquelosresultadosmatemáticosdeAlonzoChurchyAlanTuringgarantizan que todas las funciones de cálculo realizables por unamentehumana también sepuedenhacer conunamáquinadeTuringoconunacomputadora.En1983,PhilipJohnson-Lairdhastallegóaafirmarque«lanaturalezafísica[delcerebro]noleimponerestricciónalgunaalpatróndepensamiento», y que, por ende, la metáfora del cerebro-computadora«nuncasedeberásuplantar»(Johnson-Laird,1983).¿El cerebro realmente no es más que una computadora? ¿Una

«máquina lógica»? ¿Su organización lógica puede explicar nuestrashabilidades matemáticas y debería estudiarse independientemente de susustrato neural? Ustedes no se sorprenderán mucho si confieso misospechadequeelfuncionalismoproporcionaunaperspectivainsuficientey limitada entre la mente y el cerebro[45]. Sobre una base puramenteempírica, lametáfora del cerebro como computadora simplementeno seaplica: no ofrece un buen modelo de la información experimentaldisponible. Los capítulos precedentes abundan en contraejemplos quesugierenqueelcerebrohumanonocalculacomouna«máquinalógica».De

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hecho, los cálculos rigurososno se ledancon facilidad alHomo sapiens.Comotantosotrosanimales,loshumanosnacenconunconceptodifusoyaproximado del número, que tiene poco en común con lasrepresentacionesdigitalesdelascomputadoras.Lainvencióndeunalenguanuméricaydealgoritmosdecálculoexactospertenecealahistoriaculturalreciente de la humanidad y, en varios sentidos, es una evoluciónantinatural. Sibiennuestra culturaha inventado la lógicay la aritmética,sorprendentementenuestrocerebrohacontinuadosiendorebeldeinclusoa los algoritmos más simples. Como prueba, basta con considerar ladificultadconlaquelosniñosasimilanlastablasaritméticasylasreglasdecálculo.Hastaaunprodigiodecálculo,luegodeañosdeentrenamiento,lellevadecenasdesegundosmultiplicardosnúmerosdeseisdígitos:esentremilyunmillóndevecesmáslentoquelacomputadorapersonalmáslenta.Elfracasodelametáforadelcerebro-computadoraescasicómico.En

dominiosenlosquelacomputadoraesexcelente—laejecuciónsinfallasdeunaserielargadepasoslógicos—nuestrocerebroresultalentoyfalible.Alainversa,encamposenlosquelacienciacomputacionalseenfrentaasus mayores desafíos—el reconocimiento de formas y la atribución designificado—nuestrocerebrobrillaporsuextraordinariavelocidad.Tampoco en el nivel de los circuitos neurales, la organización del

cerebro se asemeja a la de una computadora. Cada neurona implementauna función biológica considerablemente más compleja que la simpleadiciónlógicadelosestímulosquerecibe(inclusosilasneuronasformalesdeMcCullochyPittaportanunaaproximaciónútilalasneuronasreales).Porsobretodas lascosas, lasredesrealesdeneuronasnoposeenelrigorde ensamblaje de los transistores que se encuentran en los chipselectrónicos de las computadoras modernas. Aunque técnicamente esposible ensamblar neuronas formales para construir funciones lógicas,comomuestranMcCullochyPitts,estenoeselmodoenquefuncionaelsistema nervioso central. Las operaciones lógicas no son las funcionesprimitivasdelcerebro.Siunotuvieraquebuscaruna función«primitiva»enelsistemanervioso,talvezseríalahabilidaddeunacélulanerviosaparareconoceruna«forma»elementalensus inputs sopesando la informaciónque recibe de las descargas neuronales de miles de otras unidades. Elreconocimiento de formas aproximadas es una propiedad elemental einmediatadelcerebro,mientrasquelalógicayelcálculosonpropiedadesderivadas, solo accesibles al cerebro de una única especie de primateeducadodeformaadecuada.

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Para ser justos, debería aclararse que la mayoría de los psicólogosfuncionalistas contemporáneos no adhieren a la ecuación simplista«cerebro=computadora».Suposiciónesmássofisticada.Noidentificannecesariamente el cerebro con ninguno de los tipos de computadorasseriales que utilizamos hoy en día, sino que lo conciben como unmerodispositivodeprocesamientode información.Deacuerdoconellos, loquecuenta para la psicología es exclusivamente la caracterización de lastransformacionesquelosmóduloscerebralesaplicanalainformaciónquereciben.Inclusosiestosalgoritmosdetransformaciónnosecomprendenaún,ysiningunacomputadoraexistenteescapazdeponerlosenpráctica,enprincipiosesuponequeconeltiempolasfuncionescerebralesseveránreducidas a ellos. Esa perspectiva torna irrelevante para la psicología elestudio de las neuronas, las sinapsis, las moléculas y otras propiedades«húmedas» —como suele llamárselas— de la mente. De todos modos,también esa rama más sutil del funcionalismo es discutible. No quierodecirqueestémalestudiarlosalgoritmosdelcerebro,olasactividadesdeloshumanos,aunnivelpuramenteconductual:sepuedeaprendermuchoacercadeunamáquinasisedeterminanlosprincipiosdefuncionamientosobre los que está basada. ¿Pero no se logra mayor progreso todavíacuando se descubre cómo está construida la máquina en sí misma? Lahistoria de la ciencia abunda en ejemplos en que la comprensión delsustrato físico o biológico de un fenómeno ha causado un avanceinesperado en la comprensión de sus propiedades funcionales. Eldescubrimiento de la estructura molecular del ácido desoxirribonucleico(ADN),porejemplo,hamodificadoradicalmentenuestraconcepcióndelos«algoritmos» de heredabilidad, descubiertos muchos años antes porMendel. Del mismo modo, las nuevas herramientas de neuroimágenesestán revolucionando en la actualidad nuestro conocimiento de lasfunciones cerebrales. ¿No sería absurdo que los psicólogos desestimaranestasherramientaspornoserimportantesparanuestracomprensióndelacognición? En realidad, lejos de dar la espalda a la investigación enneurociencia, una vasta mayoría de ellos entiende que realiza unacontribucióndevitalimportanciaalprogresodelapsicologíaexperimentalyclínica.Lainsistenciadelosfuncionalistassobrelosaspectoscomputablesdel

procesamientocerebraltieneademásotraconsecuenciapocodeseable.Losllevaadesatenderotrasfacetasdelfuncionamientocerebralquenoencajanconfacilidaddentrodelformalismodelacienciacomputacional.Puedeser

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esta la razónmás importantepor laque lapsicologíacognitivahadejadodelado,engranparte,elcomplejoproblemadelasemocionesysupapelenlavida intelectual.Sinembargo,conseguridadlasemocionesdeberíantenerunlugarencualquierteoríadelfuncionamientocerebral,incluyendonuestra investigación sobre las bases neurales de la matemática. Lapreocupaciónporlamatemáticallegaaparalizaralosniñoshastatalpuntoque pueden volverse incapaces de aprender hasta los algoritmosaritméticosmássimples.A la inversa,unapasiónpor losnúmerospuedeconvertir a unpastor enunprodigiodel cálculo.En su libro llamadoElerrordeDescartes,AntonioDamasio(1994)demuestraquelasemocionesylarazónestánestrechamenteligadas,engradotalqueunalesióndelossistemas neurales responsables de la evocación interna de las emocionespuede tener un impacto radical en la habilidad para tomar decisionesracionalesenlavidadiaria.Lametáforadelcerebro-computadoranotoleracon facilidad este tipo de observaciones, que sugieren que las funcionescerebralesnopuedenreducirsealatransformaciónfríadeinformacióndeacuerdoconreglas lógicas.Siqueremoscomprendercómo lamatemáticapuedevolverseobjetodetantapasiónuodio, tenemosqueconcedera lasintaxis de las emociones tanta atención como a las operaciones de larazón.

Cómputosanalógicosenelcerebro

Losinconvenientesdelametáforacerebro-computadoranohanescapadoalasagacidaddetodosloscientíficoscomputacionales.Yaen1957,JohnvonNeumann,unodelospadresdelacienciacomputacional,dijo,enElordenador y el cerebro, «La lengua del cerebro no es la lengua de lamatemática» (VonNeumann,1958),y recomendabaqueno redujéramoslasmáquinas solo a computadorasdigitales.Lasmáquinas analógicasqueignoran completamente la lógica matemática pueden realizar cálculosavanzados. Se dice que una máquina es «analógica» cuando realizacómputos operando con cantidades físicas continuas análogas a lasvariables que se representan.En la calculadoradeRobinsonCrusoe, porejemplo,elniveldeaguaqueseencuentraenelacumuladorfuncionacomoun análogo del número, y el agregado de agua es análogo a la sumanumérica.VonNeumanntuvolanotablepercepcióndequeelcerebroes,probablemente, una máquina híbrida analógico-digital en la que los

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códigossimbólicosyanalógicosestánintegradosenunacontinuidad.Lashabilidades limitadas que nuestro cerebro demuestra para la lógica y lamatemática pueden ser sencillamente el resultado visible de unaarquitecturaneuralquesiguereglasnológicas.EnpalabrasdelmismoVonNeumann,

Cuando hablamos de matemática, quizá hablamos unlenguaje secundario, construido sobre el lenguaje primarioutilizado verdaderamente por el sistema nervioso central.Entonces, las formas exteriores (visibles) de nuestramatemáticanosonenabsolutoadecuadasparaevaluarcuálesellenguajematemáticoológicoverdaderamenteutilizadoporelsistemanerviosocentral.

En efecto, la forma en que comparamos los números sugiere que nosparecemosmás a unamáquina analógica que a una computadora digital.Cualquieraque escribaprogramasde computación sabeque laoperacióndelacomparacióndenúmerosseencuentradentrodelconjuntobásicodeinstrucciones del procesador. Un único ciclo de cálculo de duraciónconstante,confrecuenciademenosdeunmicrosegundo,essuficienteparadeterminarsielcontenidodeunregistroesmenor, igualomayorqueelcontenidodelotro.Noesasíconelcerebro.Enelcapítulo3vimosqueaunadultolellevacasimediosegundocomparardosnúmeros,ocualquierotro par de cantidades físicas. Mientras que a un chip le alcanzan unospocostransistores,elsistemanerviosotienequerecurriraampliasredesdeneuronas e invertir una gran cantidad de tiempo para llegar al mismoresultado.Más aún, el método de comparación que nosotros utilizamos no se

implementa con tanta facilidad enuna computadora digital.Recordemosque sufrimos de un efecto de distancia: nos lleva sistemáticamente mástiempo comparar dos números cercanos, como el 1 y el 2, que dosdistantes,comoel1yel9.Encambio,en lascomputadorasmodernaseltiempo de comparación es obviamente independiente de los númerosinvolucrados.Inventarunalgoritmodigitalquereproduzcaelefectodedistanciaes

undesafío.EnunamáquinadeTuring,unaformasimpledecodificar losnúmerosconsisteenrepetirnvecesunmismosímbolo.Entonces,el1estárepresentadoporuncarácterarbitrarioa;el2,conlacadenaaa,yel9,conaaaaaaaaa. Pero la máquina solo puede procesar este tipo de cadenas

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carácter por carácter. De modo que la mayoría de los algoritmos decomparaciónrespondenenuntiempoqueesproporcionalalmenordelosnúmeros a comparar, independientemente de la distancia entre ellos. Sepuede programar una máquina de Turing para que cuente cuántossímbolos separan losdosnúmeros,peroelmás simple algoritmode estetipo demora cada vez menos tiempo a medida que más se acercan losnúmerosacomparar,adiferenciadeloqueocurreconelcerebro.Lanotaciónbinariaesotraformasimplederepresentarlosnúmerosen

una computadora digital. Cada número, entonces, se codifica como unacadenadebitsformadaporcerosyunos.Porejemplo,6secodificacomo110, 7como111, y 8como1000.Pero en estepunto las cosas tomanuncurso extraño: la comparación llevamás tiempopara los números 6 y 7,quesedistinguensoloporelúltimobit,queparalosnúmeros7y8,quedifierencompletamentedesdeelprimerbit.Noesnecesariodecirqueestasingular propiedadmatemática no tiene ningún eco en las observacionespsicológicas, que indican, al contrario, que el 6 y el 7 son un pocomásfácilesdecompararqueel7yel8.Entonces, el efecto de distancia, una característica fundamental del

procesamientonuméricoenelcerebrohumano,noesunapropiedadquese sostenga para la mayoría de las computadoras. ¿Hay otro tipo demáquinaparaelqueaparezcaespontáneamenteunefectodedistancia?Larespuestaesafirmativa.Prácticamentecualquiermáquinaanalógicapuedemostrar el efecto de distancia. Observemos el más simple de ellos: unabalanza.Ponganunalibradepesoenelplatoizquierdoynuevelibrasenelderecho.Encuantolossuelten,labalanzaseinclinaráinmediatamentealaderecha,indicandoqueel9esmásgrandequeel1.Luegoreemplacenlasnueve libras por dos, y realicen el experimento otra vez. La balanzademoraráunlapsomáslargoeninclinarsehaciaelladoderecho.Entonces,para las balanzas, exactamente como para los cerebros, es más difícilcomparar2y1que9y1.Enefecto,el tiempoque les lleva inclinarseesinversamente proporcional a la raíz cuadrada de la diferencia en el peso,una funciónmatemáticaque se adecuamuybien al tiempoquenosotrosdemoramosencomparardosnúmeros.Por lo tanto, nuestro algoritmo mental de comparación puede

asemejarseaunabalanzaque«pesanúmeros».Lashabilidadesaritméticasde nuestro cerebro puedenmodelarsemejor pormedio de unamáquinaanalógica,comolabalanza,queconunprogramadigital.Sepodríaobjetarque siempre es posible simular el comportamiento de un dispositivo

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analógicoenunacomputadoradigital.Esverdad(aunquealgunossistemasfísicoscaóticosnopuedensimularseconunaprecisiónabsoluta).Perolosprincipios a partir de los cuales se diseña la computadora no capturanninguna regularidad significativa acerca del cerebro: las propiedades delsistema sedefinenpor completo apartir del sistema físicoque sequieredescribir.Lapeculiarformaenquecomparamoslosnúmerosrevelalosoriginales

principiosutilizadospor el cerebropara representarparámetros respectode su entorno, tales como losnúmeros.Adiferenciade la computadora,no usa un código digital, sino una representación cuantitativa internacontinua. El cerebro no es una máquina lógica, sino un dispositivoanalógico.CharlesRandyGallistelhaexpresadoesta conclusiónconunasimplicidadnotable:

En efecto, el sistema nervioso invierte la convenciónrepresentacional según la cual los números se utilizan pararepresentarmagnitudes lineales. En lugar de servirse de losnúmeros para representar lasmagnitudes, la rata [¡como elHomo sapiens!] utiliza las magnitudes para representar losnúmeros(Gallistel,1990).

Cuandolaintuiciónsuperaalosaxiomas

Sepuedeesgrimirunargumentomáscontralahipótesisdequeelcerebrorealizaoperacionesmatemáticascomouna«máquina lógica».Desdefinesdel siglo XIX, varios matemáticos y lógicos —Dedekind, Peano, Frege,Russell y Whitehead, entre otros— han intentado fundar la aritméticasobre una base puramente formal[46]. Diseñaron sistemas lógicoselaboradoscuyosaxiomasyreglassintácticas intentaroncapturarnuestraintuicióndeloquesonlosnúmeros.Sinembargo,esteenfoqueformalistaseenfrentabaavariosproblemasbastantereveladoresrespectodelodifícilquepuedeserreducirelfuncionamientocerebralaunsistemaformal.Lamássimpledeestasformalizacionesdelaaritméticafueprovistapor

los axiomas de Peano. Para evitar a los lectores cualquier tipo de jergamatemática, puededecirse que estos axiomas se reducen esencialmente alassiguientesafirmaciones:

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1esunnúmero.Cada número tiene un sucesor, denotado como Sn o simplementecomon+1.Cadanúmeroexceptoel1tieneunpredecesor(dandoporsentadoquesoloconsideramoslosenterospositivos).Dosnúmerosdiferentesnopuedentenerelmismosucesor.Axiomaderecurrencia:siunapropiedadseverificaparaelnúmero1,ysielhechodequeseverifiqueparanimplicaquetambiénseverificapara su sucesor n + 1, entonces la propiedad es verdadera paracualquiernúmeron.

Estos axiomas pueden parecer complejos y arbitrarios. Sin embargo, loúnico que hacen es formalizar la noción muy concreta de la cadena deenteros1,2,3,4, etc.Satisfacennuestra intuicióndequeestacadenanotienefinal:cualquiernúmeropuedesiempreserseguidoporotrodiferentedetodoslosanteriores.Porúltimo,tambiénpermitenunadefiniciónmuysimpledelasumaylamultiplicación:sumarunnúmeronimplicarepetirlaoperación del sucesor n veces, y multiplicar por n significa repetir laoperacióndeadiciónnveces.Pero este formalismo tiene un problema importante. Mientras los

axiomas de Peano aportan una buena descripción de las propiedadesintuitivas de los enteros, a la vez permiten concebir otros objetosmonstruosos,quenosresistimosa llamar«números»,peroquesatisfacenlos axiomasen todos los sentidos. Se llaman«modelosnoestándarde laaritmética», y plantean dificultades considerables para el enfoqueformalista.Esdifícil,enunaspocaslíneas,explicarquéaparienciatieneunmodelo

no estándar, pero para los propósitos actuales debería ser suficiente unametáforasimplificada.Comencemosconelconjuntodeenterosusuales,1,2, 3, etc., y agreguemosotros elementosquepodemos imaginarque son«másgrandesquetodoelrestodelosnúmeros».Alasemirrectanuméricaformada por los números 1, 2, 3, etc., agreguemos, por ejemplo, unasegundarectaqueseextiendahaciaelinfinitoporlosdoslados.Para evitar cualquier confusión, denotamos los números de esta

segunda recta numérica agregándoles un asterisco.Entonces, –3*, –2*, –1*,0*,1*,2*,3*,ydemás,sontodosmiembrosdeestesegundoconjunto.Ahora,unamoslosenterosestándaryestosnuevoselementosyllamemos«de losnúmerosenterosartificiales»aesteconjuntoAquecomprendeaunosyotros:

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A={1,2,3,…,…,–3*,–2*,–1*,0*,1*,2*,3*,…}

El conjuntoA realmentemerece esa denominación.Es una quimera queno corresponde a nada intuitivo. Sus elementos son lo último quequerríamos llamar «números». Y sin embargo cumplen con todos losaxiomas de Peano (con la excepción del de recurrencia: allímimetáforaestádemasiadosimplificada).Enefecto,hayunnúmeroartificial1quenoes el sucesor de ningún otro número artificial, y cada número artificialtieneunúnicoydistintosucesorenA.Elsucesorde1es2,elde2es3,yasísucesivamente;ydelmismomodoelsucesorde–2*es–1*,elde–1*es0*,elde0*es1*,yasísucesivamente.Desdeunpuntodevistapuramenteformal,elconjuntoAsuponeunarepresentacióncompletamenteadecuadadelconjuntodeenterostalcomolodefinenlosaxiomasdePeano:esun«modelo no estándar de la aritmética». De hecho, hay infinidad demodelosdeestetipo,muchosdeloscualessonaúnmásexóticosqueA.Losmodelosnoestándarsontanextravagantesque,paradarunaidea

más vívida de lo que implican, tengo que recurrir a una metáfora algoinverosímil.EnelsigloXIX,laclasificacióndelasespeciesanimalesparecíaestarbienestablecidahastaquesedescubrióun«monstruo»enlaremotaOceanía:elornitorrinco.Loszoólogosnohabíanprevistoquealgunosdelos criterios que utilizaban para clasificar las aves—especies que tienenpicoyponenhuevos—pudieraaplicarsetambiénaesteextrañomamíferoque a nadie le gustaría llamar «ave». Delmismomodo, Peano no podíaanticipar que su definición de los enteros también se aplicaría a losmonstruosmatemáticos que se alejan demanera radical de los númeroscorrientes.El descubrimiento del ornitorrinco llevó a los zoólogos a revisar

algunosdesusprincipios.¿Porquélosmatemáticosnopodríanseguirsuspasos?¿NopodríanseguiragregandomásaxiomasalalistadePeanohastaque ese sistema formal revisado se aplicara a los «verdaderos» enteros ysoloaellos?Ahoraestamosllegandoalnúcleomismodelaparadoja.Unpoderoso teoremade la lógicamatemática, probadoporprimera vezporSkolem y profundamente relacionado con el famoso teorema de Gödel,muestraque el agregadodenuevos axiomasnuncapuede abolirmodelos

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no estándar. Por más que sigan intentando extender el formalismoaxiomático, los matemáticos se encontrarán continuamente con nuevos«ornitorrincos»,monstruosqueverificarántodaslasdefinicionesformalesdelosenterossinseridénticosaellos.Adecirverdad,lascosassonunpocomáscomplejas,porquesolouna

determinadaversióndelosaxiomasdePeano,quelosmatemáticosllaman«aritmética dePeanode primer orden», sufre esta infinitamultiplicacióndemodelosnoestándar.Sinembargo,engeneral sepiensaqueestaes lamejoraxiomatizacióndelateoríadelosnúmerosquetenemos.Demaneraquenuestromejorsistemadeaxiomasnologracapturardemodounívoconuestras intuicionesde loque son losnúmeros.Las reglas subyacentes aestos axiomas parecen ser adecuadas a los enteros «naturales», con uncriterio muy ajustado; pero luego descubrimos que objetos muydiferentes, que he llamado «enteros artificiales», también cumplen conellas. Por lo tanto, nuestro «sentido numérico» no puede reducirse a ladefinición formal provista por estos axiomas.ComonotóHusserl en suFilosofía de la aritmética, dar una definición formal unívoca de lo quellamamosnúmerosesesencialmente imposible:elconceptodenúmeroesprimitivoeindefinible.Estaconclusiónnopareceplausible.Todostenemosuna ideaclarade

loqueentendemoscomoentero;entonces,¿porquédeberíasertandifícilformalizarla?Sinembargo,nuestrosintentosdedarunadefiniciónformalno llegan aningún lado.Podemos intentar afirmar,por ejemplo,que losenterosseobtienencontando:simplementecomiencenconel1yrepitanla operación de «sucesión» de Peano tantas veces como sea necesario.¿Tantas veces como sea necesario? Pero, con seguridad, nomás que unnúmero finito de veces; de lo contrario, ¡terminaríamos otra vez en latierraextrañadelosenterosartificiales!Lacircularidaddeladefiniciónsevuelveobvia:losnúmerossonloqueseobtienerepitiendolaoperacióndesucesiónunnúmerofinitodeveces.En Ciencia e hipótesis, Poincaré (1914-2007) se dio el gusto de

ridiculizar los intentos de sus contemporáneos por definir los enterosmediante la teoría de conjuntos. «Cero es el númerode elementos en laclase nula», proponía elmatemáticoLouisCouturat. «¿Y cuál es la clasenula?»,leobjetóPoincaré:«Eslaclasequenocontieneningúnelemento».Mástarderebatiódenuevo:«Ceroeselnúmerodeobjetosquesatisfacenuna condición que nunca se satisface. Pero, como nunca significa enningúncaso,noveoquesehayahechomuchoprogreso».Y,otravez,en

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unarespuestamordazaCouturat,quiendefiníaelunocomoelnúmerodeelementos de un conjunto en el que dos elementos cualesquiera sonidénticos: «Me temo que si le preguntáramos aCouturat qué es dos, severíaobligadoausarlapalabra“uno”».La ironía es que cualquier niño de 5 años tiene una comprensión

profundadelosmismosnúmerosqueloslógicosmásbrillantesnolograndefinir. No hay necesidad de una definición formal: sabemosintuitivamenteloquesonlosenteros.Entreelinfinitonúmerodemodelosquesatisfacen losaxiomasdePeano, inmediatamentepodemosdistinguirlos verdaderos enteros de otras fantasías artificiales y sin significado.Entonces,nuestrocerebronodependedeaxiomas.Si insisto con tanto énfasis sobre este punto es por sus importantes

consecuencias para la educación en matemática. Si los psicólogoseducacionales hubieran prestado suficiente atención a la primacía de laintuición por sobre los axiomas formales en la mente humana, podríahaberseevitadouncolapsosinprecedentesenlahistoriadelamatemática.Merefieroalinfameepisodiodela«matemáticamoderna»,quehadejadocicatricesenlasmentesdemuchosniñosdeFrancia,asícomoenmuchosotrospaíses.Enladécadade1979,conelpretextodeenseñaralosniñosunmayor rigor—¡unameta innegablemente importante!—sediseñóuncurrículo dematemática que imponía a los alumnos una pesada carga deaxiomas y formalismos abstrusos. Detrás de esta reforma educativa seencontraba una teoría de la adquisición del conocimiento basada en lametáfora del cerebro-computadora, que veía a los niños como pequeñosdispositivos de procesamiento de información vacíos de ideaspreconcebidasycapacesdedevorarcualquiersistemaaxiomático.Elgrupodematemáticosdeéliteconocidocomo«Bourbaki»,alquenosreferimosen el capítulo 5, llegó a la conclusión de que los maestros deberíancomenzar lo antesposible apresentar a losniños lasbases formalesmásfundamentalesdelamatemática.Enefecto,¿porquédejarquelosalumnospierdan valiosos años resolviendo problemas aritméticos sencillos yconcretos, cuando la teoría de grupos abstracta resume todo eseconocimiento y muchos otros de una forma mucho más concisa yrigurosa?Los capítulos precedentes exponen con claridad las falacias que se

encuentrandetrásdeestalíneaderazonamiento.Elcerebrodelniño,lejosdeserunaesponja,esunórganoestructuradoqueadquiereinformaciónenlamedidaenquesepueda integrarasuconocimientoanterior.Estábien

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adaptadoalarepresentacióndecantidadescontinuas,yasumanipulaciónmentaldemodoanalógico.Laevoluciónnuncalopreparó,encambio,parala tarea de devorar vastos sistemas de axiomas, ni de aplicar largosalgoritmossimbólicos.Entonces,laintuicióncuantitativaprimaporsobrelosaxiomaslógicos.ComoobservóconsagacidadJohnLocke,yaen1689,ensuEnsayosobreelentendimientohumano:«Muchossabenque1más2esiguala3sinhaberpensadoenningúnaxiomapormediodelcualselopuedaprobar».Entonces, bombardear al cerebro juvenil con axiomas abstractos

probablementesea inútil.Unaestrategiamásrazonablepara laenseñanzadelamatemáticapareceríaseravanzarhaciaunenriquecimientoprogresivode las intuiciones de los niños, apelando sobre todo a su talento precozpara lamanipulación de cantidades y el conteo.Uno debería, en primerlugar,estimularsucuriosidadconalgunosacertijosyproblemasnuméricosentretenidos. Luego, poco a poco, se les puede presentar el poder de lanotaciónmatemáticasimbólicay losatajosqueprovee;enestepunto,sedebería tener mucho cuidado de no separar nunca este tipo deconocimiento simbólico de las intuiciones cuantitativas del niño.Finalmente,sepuedenpresentarsistemasaxiomáticosformales.Tampoco,entonces, se le deberían imponer al niño, sino más bien deberían estarjustificados por una necesidad de mayor simplicidad y efectividad.Idealmente, cada alumno debería desandar mentalmente, de formacondensada,lahistoriadelamatemáticaysusmotivaciones.

Platónicos,formalistaseintuicionistas

Ahora estamos listos para examinar la segunda pregunta deMcCulloch:«¿Quéesunnúmero,queelhombrepuedeconocerlo?».Losmatemáticosdel sigloXX han estadoprofundamentedivididos acercade esta cuestiónfundamental, que concierne a la naturaleza de los objetos matemáticos.Para algunos, llamados tradicionalmente «platónicos», la realidadmatemáticaexisteenunplanoabstracto,ysusobjetossontanrealescomolosdelavidadiaria.EstaeralaconvicciónqueteníaHardy,eldescubridordeRamanujan:«Creoque la realidadmatemáticayace fueradenosotros,que nuestra función es descubrirla y observarla, y que los teoremas que

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probamos y describimos de forma grandilocuente como nuestras“creaciones”sonsimplementenotasapartirdenuestrasobservaciones».Una profesión de fe sorprendentemente similar se encuentra en el

matemático francés Charles Hermite: «Creo que los números y lasfunciones del análisis no son el producto arbitrario de nuestro espíritu;creoqueexistenporfueradenosotrosconelmismocarácterdenecesidadquelosobjetosdelarealidadobjetiva;ylosencontramosodescubrimosylosestudiamoscomolohacenlosfísicos,losquímicosyloszoólogos».Estasdos citas están tomadasdel libroMatemáticas.La pérdidade la

certidumbre deMorris Kline (1980), que incluye docenas de fragmentossimilares. En efecto, la doctrina platónica está muy difundida entre losmatemáticos, y estoy convencido de que describe con precisión suintrospección: realmente tienen la sensación de estar moviéndose en unpaisajeabstractodenúmerosocifrasqueexistedeformaindependientedesuspropiosintentosdeexplorarlo.Sinembargo,¿estesentimientodeberíatomarse tal cual, o deberíamos considerarlo simplemente un fenómenopsicológico que necesita ser explicado? Para un epistemólogo, unneurobiólogoounneuropsicólogo, laposiciónplatónicaparecedifícildedefender; de hecho, resulta igualmente inaceptable que considerar eldualismocartesianocomoteoríacientíficadelcerebro.Delmismomodoen que la hipótesis dualista encuentra dificultades insuperables paraexplicarcómounalmainmaterialpuedeinteractuarconuncuerpofísico,el platonismo deja en sombras cómo un matemático de carne y huesopodría explorar el reino abstracto de los objetos matemáticos. Si estosobjetos son reales pero inmateriales, ¿de quémodos extrasensoriales lospercibeunmatemático?Estaobjeciónparecedefinitivaparalaperspectivaplatónicadelamatemática.Tambiénsilaintrospeccióndelosmatemáticosllegaaconvencerlosdelarealidadtangibledelosobjetosqueestudian,estesentimiento no puede sermás que una ilusión. Se supone que uno solopuede ser un geniomatemático si tiene una capacidad sobresaliente paraformarse representaciones mentales vívidas de conceptos matemáticosabstractos, imágenes mentales que pronto se vuelven una ilusión, yeclipsanasílosorígeneshumanosdelosobjetosmatemáticosylosdotandelaaparienciadeunaexistenciaindependiente.Deespaldasalplatonismo,unasegundacategoríadematemáticos, los

«formalistas», entienden que la problemática de la existencia de objetosmatemáticosesunadiscusiónsinsentidoyvacía.Paraellos,lamatemáticaessoloun juegoenelqueunomanipulasímbolosdeacuerdoconreglas

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formalesprecisas.Losobjetosmatemáticoscomo losnúmerosno tienenninguna relación con la realidad: se definen, simplemente, como unconjunto de símbolos que satisfacen determinados axiomas.De acuerdoconDavidHilbert, líder delmovimiento formalista, en lugar de afirmarque solo una línea puede atravesar dos puntos cualesquiera, uno deberíadecirquesolounamesaatraviesacualesquieradosvasosdecerveza:¡estasustitución no cambiaría ninguno de los teoremas de la geometría! O,parafraseando la famosa afirmacióndeWittgenstein: «Todas laspremisasdelamatemáticasignificanlomismo,esdecir,nada».Sindudahayalgodeciertoenlaideadelosformalistasdequeunagran

partede lamatemáticaesun juegopuramenteformal.Enefecto,muchaspreguntas de lamatemática pura han surgido de lo que, a primera vista,pueden parecer ideas fantasiosas. ¿Qué pasaría si ese axioma sereemplazaraporsunegación?¿Osiunotransformaraestesignode«más»en un signo de «menos»? ¿O si de pronto fuera posible extraer la raízcuadradadeunnúmeronegativo?¿Osihubieraenterosmásgrandesquetodoslosotros?Y,sinembargo,nocreoquetodalamatemáticapuedareducirsedeeste

modo a una exploración de las consecuencias de elecciones formales yarbitrarias.Aunquelaposiciónformalistapuededarcuentadelaevoluciónrecientedelamatemáticapura,nomeparecequeexpliqueadecuadamentesusorígenes. Si lamatemáticanoesmásqueun juego formal, ¿cómoesque se centra en categorías específicas yuniversalesde lamentehumanacomo números, conjuntos y cantidades continuas? ¿Por qué losmatemáticosestimanquelasleyesdelaaritméticasonmásfundamentalesquelasreglasdelajedrez?¿PorquéPeanohizoesfuerzostangrandesporproponerunospocosaxiomasbienseleccionadosenlugardeunaseriededefiniciones desordenadas? ¿Por qué el propio Hilbert escogió solo unsubconjuntorestringidoderazonamientosnuméricoselementalesparaquefuncionarancomounabasetentativaparaelrestodelamatemática?Y,porsobretodaslascosas,¿porquélamatemáticaseaplicadeformataneficazparacaracterizarfenómenosdelafísica?Considero que lo que hace la mayoría de los matemáticos no es

manejar símbolos de acuerdo con reglas puramente arbitrarias. Por elcontrario, intentan capturar en sus teoremas determinadas intuicionesnuméricas,geométricasylógicas.Demaneraqueunaterceracategoríadematemáticos es la de los «intuicionistas» o «constructivistas», que creenque losobjetosmatemáticosnosonmásqueconstruccionesde lamente

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humana[47].Desdesupuntodevista,lamatemáticanoexisteenelmundoexterior, sino solo en el cerebro del matemático que la inventa. Ni laaritmética,nilageometría,nilalógicaprecedenalaaparicióndelaespeciehumana. Hasta sería concebible que otra especie desarrollara unamatemática radicalmente diferente, como han sugerido Poincaré oDelbrück.Losobjetosmatemáticossoncategoríasfundamentales,apriori,del pensamiento humano que el matemático refina y formaliza. Laestructura de nuestra mente nos fuerza, en particular, a subdividir elmundo en objetos discretos; este es el origen de nuestras nocionesintuitivasdelosconjuntosydelnúmero.Los fundadores del intuicionismo han puesto el acento sobre la

naturaleza primitiva e irreductible de la intuición numérica. Poincaréhablabasobre«esta intuicióndelnúmeropuro, laúnica intuiciónquenopuedeengañarnos»,yproclamaba,conseguridad,que«losúnicosobjetosnaturales del pensamientomatemático son los enteros». ParaDedekind,también, el número era una «emanación inmediata de las puras leyes delpensamiento».Como demuestra el historiador de la matemática Morris Kline, las

raícesdelintuicionismoseremontanaDescartes,Pascal,y,porsupuesto,aKant. Si bien Descartes defendía el cuestionamiento sistemático de laspropias creencias,no llegabahastadesafiar laobviedadde lamatemática.EnsusMeditacionesmetafísicas,confesabaque

habíacontadoenelnúmerodelasverdadesmáspatentesaquellasqueconcebíaconclaridadydistincióntocantesalasfiguras,losnúmerosydemáscosasatinentesalaaritméticaylageometría.

Pascalextendióaúnmásesaperspectiva:

Nuestroconocimientode losprimerosprincipios,comoelespacio,eltiempo,elmovimiento,elnúmero,estanciertocomo cualquier conocimiento que obtengamos a través delrazonamiento. De hecho, este conocimiento provisto pornuestros corazones y nuestro instinto es necesariamente labase sobre laquenuestro razonamiento tieneque construirsusconclusiones.

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Por último, paraKant, el número pertenecía a las categorías sintéticas apriori de lamente.Demodomás general, este filósofo afirmaba que «laverdadfundamentaldelamatemáticaseencuentraenlaposibilidaddequesusconceptosseanconstruidosporlamentehumana».Entrelasteoríasdisponiblessobrelanaturalezadelamatemática,enmi

opinión, el intuicionismo ofrece la mejor explicación de las relacionesentre la aritmética y el cerebro humano. Los descubrimientos de losúltimos años en la psicología de la aritmética han traído nuevosargumentosparaavalarlaperspectivaintuicionistaqueniKantniPoincarépodríanhaberconocido.EstosresultadosempíricostiendenaconfirmarelpostuladodePoincarédequeelnúmeropertenecealos«objetosnaturalesdel pensamiento», las categorías innatas de acuerdo con las cualesaprehendemos el mundo. De hecho, ¿qué nos revelaron los capítulosprecedentesacercadeestesentidonumériconatural?

Queelbebéhumanonaceconmecanismosinnatosparaindividualizarobjetosyparaextraerlanumerosidaddepequeñosconjuntos.Queeste«sentidonumérico»tambiénestápresenteenlosanimalesy,por lo tanto, es independiente del lenguaje y tiene una historiaevolutivalarga.Que en los niños la estimación numérica, la comparación, el conteo,lassumasyrestassimples,todasestasoperacionesemergendeformaespontáneasindemasiadainstrucciónexplícita.Quelaregiónparietalinferiordeamboshemisferioscerebralesalbergacircuitos neuronales dedicados a la manipulación mental de lascantidadesnuméricas.

De manera que la intuición acerca de los números está anclada en laprofundidad de nuestro cerebro. El número parece ser una de lasdimensionesfundamentalesapartirdelascualesnuestrosistemanerviosointerpretaelmundoexterno.Delmismomodoenquenopodemosevitarver los objetos en color (un atributo completamente construido por loscircuitos de nuestra corteza occipital, incluida el área V4) y enlocalizaciones definidas del espacio (una representación reconstruida porvías occipitoparietales de proyecciónneuronal), las cantidades numéricasse nos imponen sin esfuerzo a través de los circuitos especializados denuestro lóbulo parietal inferior. La estructura de nuestro cerebro definelos atributos del entorno que estamos en condiciones de atender, en lamedida en que determina categorías de acuerdo con las cualesaprehendemoselmundo,ysobrelascualesfundamoslamatemática.

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Laconstrucciónylaseleccióndelamatemática

Si bien los resultados empíricos de la neuropsicología parecen avalar elintuicionismoconargumentossimilaresalosinvocadosporPoincaré,estaposición debería disociarse claramente de una forma extrema deintuicionismo: el constructivismo defendido ardientemente por elmatemático neerlandés Luitzen Brower. En su afán por fundar lamatemática sobre puras intuiciones, Brower fue demasiado lejos, segúnmuchos de sus colegas. Rechazó determinados principios lógicos quesolíanutilizarseenlasdemostracionesmatemáticas,peroquesegúnélnoseajustabananingunaintuiciónsimple.Enespecial, llegóarechazar,pormotivosquenosepuedenexplicardeformacompletaaquí,laaplicaciónaconjuntosinfinitosdela leydelmedioexcluido,unprincipiodela lógicaclásicadeaparienciamuyinocente,quesostienequecualquierafirmaciónmatemáticasignificativaesobienverdaderaobienfalsa.Elrechazodeesepostuladollevóaldesarrollodeunanuevaramadelamatemática llamada«constructivista».Definitivamente,nodependedemídecidirsieslamatemáticaclásicao

eslaconstructivistadeBrowerlaqueproveeloscaminosmáscoherentesyproductivos para la investigación. En última instancia, la decisióncorrespondealacomunidadmatemática,ylospsicólogosdebenlimitarsealroldeobservadores.Detodosmodos,enmiopinión,ambasteoríassoncompatiblesconlahipótesismásampliadequelamatemáticaconsisteenla formalización y el gradual refinamiento de nuestras intuicionesfundamentales.Comohumanos,nacemosconmúltiples intuicionesenloque se refiere a los números, los conjuntos, las cantidades continuas, laiteración,lalógicaylageometríadelespacio.Losmatemáticosluchanporformalizar estas intuiciones y convertirlas en sistemas de axiomascoherentesdesdeelpuntodevistalógico,peronohaygarantíaalgunadeque esto llegue a ser posible. En verdad, los módulos cerebrales quesubyacen a nuestras intuiciones han sido moldeados de formaindependientepor laevolución,conmayor interésporsueficienciaenelmundo real antes que por su coherencia global. Tal vez por esto losmatemáticosno coinciden respectode las intuicionesque adoptan comoaxiomasylasquedejandelado.Lamatemáticaclásicaestábasadaenunaintuicióndeladicotomíaentrelaverdadylafalsedad(y,enestesentido—comonotóBrower—, en efecto corre el riesgode excederse ennuestrasintuiciones acerca de los conjuntos finitos e infinitos). Brower, al

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contrario, adopta la primacía de las construcciones finitas o de losrazonamientoscomoprincipiofundamental.Enúltimainstancia,yapesardequemuchasvecesselallama«intuicionismo»,esclaroquesuversióndela matemática no es más intuitiva que otras, solo está basada en unconjuntodeintuicionesparcialmentedistinto.En este marco, entonces, resta explicar cómo, sobre la base de las

categorías innatas de su intuición, los matemáticos elaboranconstrucciones cada vez más abstractas. En línea con el neurobiólogofrancés Jean-Pierre Changeux (Changeux y Connes, 1995), me gustaríasugerirqueenlamatemáticaestáenfuncionamientounprocesoevolutivodeconstrucciónseguidodeselección.Laevolucióndelamatemáticaesunhecho histórico bien probado. Lamatemática no es un cuerpo rígido deconocimiento. Sus objetos y hasta sus modos de razonamiento hanevolucionadoeneltranscursodemuchasgeneraciones.Laestructuradelamatemáticasehaconstruidopormediodelapruebayelerror.Aveceslosandamiajes más altos están a punto de derrumbarse, y a menudo lareconstrucción sigue a la demolición, en un ciclo sin fin. Las bases decualquier construcción matemática están asentadas en intuicionesfundamentales,comolasnocionesdeconjunto,número,espacio,tiempoológica.Estasúltimas casinunca se cuestionan,dadoquepertenecen a lasrepresentaciones más profundas e irreductibles elaboradas por nuestrocerebro. La matemática se puede caracterizar como la formalizaciónprogresiva de estas intuiciones. Su objetivo es hacerlas más coherentes,mutuamente compatibles, y adaptadas a nuestra experiencia del mundoexterior.Varioscriteriosparecenregirlaseleccióndeobjetosmatemáticosysu

transmisión a las generaciones futuras. En la matemática pura, la nocontradicción, pero también la elegancia y la simplicidad son laspropiedadescentralesquegarantizan lapreservacióndeunaconstrucciónmatemática.Enmatemática aplicada, se agrega un criterio importante: laadecuacióndelosconstructosmatemáticosalmundofísico.Añotrasaño,selocalizanyseeliminaninexorablementelasconstruccionesmatemáticasautocontradictorias, torpes o inútiles. Solo las más fuertes resisten lapruebadeltiempo.Ya hemos visto por primera vez un ejemplo de cómo se produce la

selecciónenmatemáticaenelcapítulo4,cuandoanalizamos laevoluciónde lasnotacionesnuméricas.Nuestros ancestros remotosprobablementenombraran solo los números 1, 2 y 3. Más tarde surgió una serie de

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inventos:lanumeraciónatravésdelseñalamientodelcuerpo,losnombresde números hasta el diez y finalmente una compleja sintaxis numéricabasada en reglas de suma ymultiplicación; y en la escritura, la notaciónbasadaenmarcas,lanumeraciónaditivayluegolanotaciónposicionalenbase 10.Cada paso fue el hito de unamejora pequeña pero consistente,para que los números se volvieran más legibles, más compactos y másexpresivos.Se podría escribir una historia evolutiva similar para el continuum de

los números reales. En tiempos de Pitágoras, solo los enteros y lasproporciones de dos enteros se consideraban números. Luego llegó elincreíble descubrimiento de la inconmensurabilidad de la diagonal delcuadrado:√2 no se puede expresar como la proporción de dos enteros.Prontoseconstruyóunainfinidaddecantidadesirracionalesdeestetipo.Durantemásdeveintesiglos,losmatemáticoslucharonporencontrarunaformalización adecuada para ellos. Hubo pasos en falso —losinfinitesimales—, soluciones aparentes, que en realidad estaban llenas decontradicciones, y varios regresos al punto de partida. Por último, hacesolo un siglo, el trabajo deDedekind comenzó a proveer una definiciónsatisfactoriadelconjuntodelosnúmerosreales.De acuerdo con el punto de vista evolucionista que postulo, la

matemáticaesunaconstrucciónhumanay,enconsecuencia,unatentativanecesariamente imperfecta y revisable. Esta conclusión puede parecersorprendentedebidoalauradepurezaquerodeaalamatemática,contantafrecuencia proclamada como el «templo del rigor». Los matemáticosmismossemaravillanconlapotenciadesudisciplina,yestábienqueasísea.¿Peronotendemostodosaolvidarnosdequefueronnecesarioscincomileniosdeesfuerzosparaquevieralaluz?Muchas veces la matemática es considerada la única ciencia

acumulativa: una vez obtenidos, sus resultados nunca se cuestionan o serevisan. Sin embargo, una mirada a viejos libros de matemática proveemuchos contraejemplos para esta perspectiva. Volúmenesmonumentalesse han vuelto obsoletos con el advenimiento demétodos generales pararesolverecuacionespolinómicasdesegundo,terceroycuartogrado.Unademostraciónque una vez resultó válida puede ser juzgada inadecuada odirectamente falsa por la siguiente generación de matemáticos. ¿No essorprendente, por ejemplo, que la suma infinita 1 - 1 + 1 - 1 + 1…,alternando infinitamente la suma y resta de 1, haya paralizado a losmatemáticos por más de un siglo? Hoy en día, cualquier estudiante

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universitario puede probar que esta suma no tiene ningún valorsignificativo(oscilaentre0y1).Sinembargo,en1713,¡unmatemáticotantalentoso como Leibniz probó —de forma incorrecta, claro— que estasumainfinitaeraiguala1/2!Si les parece difícil creer que un razonamiento defectuoso pueda

escondersedurantedécadasparalasmejoresmentes,tómenseeltiempodepensar el problema ilustrado en la figura 9.1. ¡Se prueba, en unos pocospasos, que dos líneas cualesquiera se encuentran en un ángulo recto! Lademostracióneserrónea,porsupuesto,peroelerrorestansutilquepuedebuscarse durante varias horas sin tener éxito. ¿Qué decir, entonces, derecientes demostraciones que a veces cubren cientos de páginas en lasrevistas científicas dematemática? Las academias en todo elmundo hanrecibidodocenasdefalsasdemostracionesdelúltimoteoremadeFermat;hasta la primera prueba convincente encontrada por Andrew Wilesconteníaunaafirmación incorrectacuya rectificación le llevócasiunañode esfuerzo. ¿Y qué debemos pensar de las demostracionesmás nuevas,que requierenqueuna computadora realiceuna evaluación exhaustivademiles demillones de combinaciones? Algunosmatemáticos objetan estapráctica, porque temen que no tengamos prueba de que el programa decomputadora no contiene errores. Hasta el día de hoy, entonces, laestructura de lamatemática no se encuentra completamente estabilizada.Notenemosgarantíasdequealgunasdesuspiezas,comolasumainfinitade Leibniz, no serán arrojadas a la basura dentro de unas pocasgeneraciones.

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Figura9.1.Elcerebrohumanoestápocoadaptadoalaslargascadenasdepasoslógicosnecesariosparalasdemostracionesmatemáticas.Enlapruebaquesigue,aunquecadapasoparezcacorrecto,laconclusiónfinalesobviamenteerrónea,¡dadoqueafirmaquecualquieránguloesunángulorecto!

¿Puedenencontrarelerror?Demostración:seaABCDuncuadriláterocondosladosigualesAByCDyconunángulorectoδ=∠BAD.Elánguloδ’=∠ADCesarbitrario;sinembargo,vamosaprobarquesiempreesigualalángulorectoδ.DibujenL,lamediatrizdeADyL’,lamediatrizdeBC.Llamen«O»ala

interseccióndeLyL’.Porhipótesis,OesequidistantedeAydeD(OA=OD),ytambiéndeBydeC(OB=OC).DadoqueAB=CD,lostriángulosOAByODCtienenladosiguales;luego,

sonsemejantes.Dadoquesusángulossoniguales:

∠BAO=∠ODC=α

DadoqueOADesuntriánguloisósceles,

∠DAO=∠ODA=β

Porconsiguiente,

δ=∠BAD=∠BAO-∠DAO=α-β

y

δ’=∠ADC=∠ODC-∠ODA=α-β

loqueimplicaqueδ=δ’.Quoderatdemonstrandum,comosolemosseñalarennuestrotrabajoconteoremas.

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¿Dóndeestáelerror?LarespuestaestáenelApéndiceAdeestelibro.

Nadiepuedenegarquelamatemáticaesunaactividadextraordinariamentedifícil.Heatribuidoestadificultada la arquitecturadel cerebrohumano,que no está bien adaptado para las largas cadenas de operacionessimbólicas. Cuando éramos niños, ya nos encontrábamos con severasdificultades para aprender las tablas de multiplicar o los algoritmos decálculo de varias cifras. Las imágenes de la actividad cerebral que seproducecuandounapersonarealizarestasrepetidasdeldígito3muestranuna activación bilateral intensa de los lóbulos parietal y frontal. Si unaoperacióntanelementalcomolarestayaponeenfuncionamientonuestraredneuronalhastatalpunto,¡esfácilimaginarlaconcentraciónyelnivelde experticia necesarios para demostrar una conjetura matemáticanovedosayverdaderamentedifícil!Así,nocausagransorpresaque tanamenudoelerrorylaimprecisiónarruinenlasconstruccionesmatemáticas.Sololaactividadcolectivadedecenasdemilesdematemáticos,acumuladay refinada a lo largo de los siglos, puede explicar su éxito actual. Estaconclusión fue capturada acertadamente por el matemático francésÉvaristeGalois: «[Esta] ciencia es la obra de lamente humana, que estádestinada más a estudiar que a saber, y a buscar la verdad más que aencontrarla».

Laefectividadirracionaldelamatemática

Afirmarque la aritmética es elproductode lamentehumanano implicasostenerqueseaarbitrariayque,enalgúnotroplaneta,podríamoshabernacido con la idea de que 1 + 1 = 3. A lo largo de la evoluciónfilogenética,asícomoduranteeldesarrolloneuralenlaniñez,laevoluciónhaactuadoatravésdelaselecciónparaasegurarqueelcerebroconstruyarepresentaciones internas que estén adaptadas al mundo exterior. Laaritméticaesunaadaptacióndeestetipo.Ennuestraescala,elmundoestáconstruido en su mayor parte a partir de objetos separables que secombinanenconjuntosdeacuerdoconlaconocidaecuación1+1=2.Yesomotivóquelaevoluciónhayaancladoestareglaennuestrosgenes.¡Talvez nuestra aritmética habría sido radicalmente diferente si, como

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querubines,hubiéramosevolucionadoen los cielos,dondeunanubemásotrasiguesiendounasolanube!La evolución de lamatemática provee algunas ideas acerca de lo que

todavía se destaca como uno de susmás grandesmisterios: su habilidadpara representar el mundo físico con una precisión notable; en 1921,Einsteinsepreguntó:«¿Cómoesposiblequelamatemática,unproductodelpensamientohumanoqueesindependientedelaexperiencia,encajetanbienconlosobjetosdelarealidadfísica?».ElfísicoEugeneWigner(1960)hablaba de la «irracional efectividad de la matemática en las cienciasnaturales». En verdad, los conceptos matemáticos y las observacionesfísicas a vecesparecenencajar con tantaprecisión como laspiezasdeunrompecabezas.AdviertanqueKepleryNewtondescribenqueloscuerpossujetos a la gravedad siguen trayectorias regulares en forma de elipses,parábolas e hipérbolas, las mismas curvas de acuerdo con las cuales losmatemáticos griegos, dos milenios antes, clasificaban las variasinterseccionesdeunplanoyuncono.Adviertanquelasecuacionesde lamecánicacuánticapredicenlamasadelelectrónhastaelenésimodecimal.Adviertan que la curva con forma de campana de Gauss encaja,prácticamentealaperfección,conladistribuciónobservadadelaradiaciónfósiloriginadaconelbigbang.Laefectividaddelamatemáticaplanteaunproblemafundamentalpara

lamayoríade losmatemáticos.Desdesuperspectiva,elmundoabstractode lamatemáticano tendría que ajustarsedemodo tan exacto almundoconcretodelafísicaporquesesuponequesonindependientes.Percibenlaaplicabilidaddelamatemáticacomounmisterioindescifrable,quellevaaalgunosdeellosalmisticismo.ParaWigner,«elmilagrodeloapropiadodelalenguadelamatemáticaparalaformulacióndelasleyesdelafísicaesunmagnífico don que ni comprendemos ni merecemos». De acuerdo conKepler, «el objeto principal de toda la investigación sobre el mundoexteriordeberíaserdescubrirsuordenysuarmoníaracional,quefuerondispuestosporDiosyqueélnosrevelóen la lenguade lamatemática».OprestemosatenciónaCantor:«LamásaltaperfeccióndeDiosyaceen lahabilidadpara crearunconjunto infinito,y su inmensabondad lo lleva acrearlo». Por su parte, Ramanujan sigue los mismos caminos: «Unaecuación, para mí, no tiene significado a menos que exprese unpensamiento de Dios» [en todas estas citas, el destacado me pertenece].EstasafirmacionesnosonsoloreliquiasdelmisticismodelsigloXIX.Unaversión del principio antrópico, recientemente adoptado por famosos

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astrofísicoscontemporáneos,afirmaqueeluniversofuecreadopormediodeundiseñosegúnelcual loshumanosemergeríandeélal finalyseríancapacesdecomprenderlo.¿El universo fue diseñado intencionadamente de acuerdo con leyes

matemáticas? Sería tonto creer que puedo resolver este problema queclaramente le compete a la metafísica, y al cual el mismo Einstein veíacomoelmisterioprincipal del universo. Sin embargo,por lomenosunopuede preguntarse por qué científicos eminentes sienten la necesidad deafirmar, en el mismo contenido de su investigación, su fe en un diseñouniversal y su sumisión a entidades no observables, sin importar si lasllaman «Dios» o «las leyes matemáticas del universo». En biología, larevolución darwiniana nos enseñó que el descubrimiento de estructurasorganizadas que parecen diseñadas para un propósito claro no señalanecesariamente las obras de un Gran Arquitecto. El ojo humano, quepareceunmilagrode laorganización,esel resultadodemillonesdeañosdemutacionesciegasordenadasporlaselecciónnatural.Elmensajecentralde Darwin es que, cada vez que vemos evidencias de un diseño en unórgano como el ojo, tenemos que preguntarnos si alguna vez existió undiseñadorosiporsísolalaselecciónpudodarleesaformaenelcursodelaevolución.La evolución de la matemática es un hecho. Los historiadores de la

cienciahanregistradosu lentoascenso,a travésdepruebayerror, aunamayor eficiencia. Puede no ser necesario, entonces, postular que eluniversofuediseñadoparaconformaralasleyesmatemáticas.Enlugardeello, ¿no fueron nuestras leyes matemáticas, y los principios deorganización de nuestro cerebro antes que ellas, los seleccionados paraencajar con precisión en la estructura del universo? El milagro de laefectividad de lamatemática, tan apreciado porWigner, podría entoncesexplicarsesisetienepresentelaevoluciónselectiva,delmismomodoqueelmilagrodelaadaptacióndelojoalavista.Silamatemáticadenuestrosdíaseseficiente,talvezseaporquelamatemáticaineficientedeayersehaeliminadoyreemplazadoinexorablemente.Lamatemáticapurapareceplantearunproblemaenverdadmásserio

para laperspectivaevolutivaquedefiendo.Losmatemáticosdeclaranquesiguen algunas cuestiones matemáticas solo por su perfección, sinaplicaciones a la vista. Sin embargo, décadasmás tarde se revela que susdescubrimientos encajan a la perfección con algún problema hastaentonces insospechado de la física. ¿Cómo se puede explicar la

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extraordinariaadecuacióndelosproductosmáspurosdelamentehumanaalarealidadfísica?Enunmarcoevolucionista,talvezlamatemáticapurasedeberíacompararconundiamanteenbruto,materialcrudoquetodavíanosehasometidoalapruebadeselección.Losmatemáticosgeneranunaenormecantidaddematemáticapura.Solounapequeñapartedeellaseráútilalgunavezparalafísica.Así,existeunasobreproduccióndesolucionesmatemáticasde lasque losfísicosseleccionanaquellasqueparecenmejoradaptadas a su disciplina, un proceso no muy diferente del modelodarwinianodelasmutacionesalazarseguidasporlaselección.Talvezconesteargumentoparecerámenosmilagrosoque,entrelaampliavariedaddemodelos disponibles, algunos terminen encajando perfectamente con elmundofísico.En última instancia, el tema de la efectividad irracional de la

matemáticapierdebuenapartedesuvelodemisteriocuandounotieneenmente que los modelos matemáticos pocas veces están de acuerdoexactamenteconlarealidadfísica.MalquelepeseaKepler,losplanetasnotrazan elipses.LaTierra tal vez seguiría una trayectoria elíptica exacta siestuviera sola en el sistema solar, si fuera una esfera perfecta, si nointercambiaraenergíaconelSol,etc.Enlapráctica,sinembargo,todoslosplanetas siguen trayectorias caóticas que apenas se parecen a elipses yresultanimposiblesdecalcularconprecisiónmásalládeunlímitedevariosmilesdeaños.Todaslas«leyes»delafísicaqueimponemosconarroganciaaluniversoparecenestarcondenadasanosermásquemodelosparciales,representaciones mentales aproximadas quemejoramos sin cesar. Enmiopinión, es probable que nunca se alcance la «teoría del todo», el sueñoactualdelosfísicos.Lahipótesisdeunaadaptaciónparcialde lasteoríasmatemáticasa las

regularidades delmundo físico tal vez pueda proveer algunas bases paraencontrar una reconciliación entre los platónicos y los intuicionistas. Elplatonismohaceunhallazgodeinnegableverdadcuandoponeelénfasisenque la realidad física está organizada de acuerdo con estructuras queprecedenalamentehumana.Sinembargo,nodiríaqueestaorganizaciónes de naturaleza matemática. Más bien, es el cerebro humano el que latraducealamatemática.Laestructuradeuncristaldesalestanclaraqueno podemos evitar percibirla con seis facetas. Sin duda, existía muchoantesdeque loshumanoscomenzaranavagarpor latierra;sinembargo,solo loscerebroshumanosparecencapacesdediscriminarelconjuntodefacetas, percibir su numerosidad como 6, y relacionar ese número con

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otrosenunateoríacoherentede laaritmética.Losnúmeros,comootrosobjetosmatemáticos, son construccionesmentales cuyas raíces se debenencontrar en la adaptación del cerebro humano a las regularidades deluniverso.Hayun instrumentoque loscientíficosutilizancontantaregularidad

queavecesseolvidandequeexiste: supropiocerebro.Elcerebronoesunamáquinalógica,universalyóptima.Mientraslaevoluciónlohadotadode una sensibilidad especial a determinados parámetros útiles para laciencia,comoelnúmero,tambiénlohavueltoparticularmenteimpacientee ineficiente en series de cálculos lógicos y largos. Lo ha inclinado, porúltimo,aproyectarsobrelosfenómenosfísicosunmarcoantropocéntricoque hace que todos veamos evidencias de diseño donde solo suceden laevolución y el azar. ¿El universo realmente está «escrito en lenguamatemática»,comodecíaGalileo?Meinclinoapensar,másbien,queesteeselúnicolenguajeconelquepodemosintentarleerlo.

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ParteIV

Lacienciacontemporáneadelnúmeroyelcerebro

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10.Elsentidonumérico,quinceañosdespués

Han pasado quince años desde que propuse mi hipótesis del sentidonumérico, la peculiar idea de que debemos nuestras intuicionesmatemáticas a una capacidad heredada que compartimos con otrosanimales, concretamente, lapercepción rápidade cantidades aproximadasde objetos. ¿Cómo se sostiene una idea tan disparatada luego de quinceañosdeun intensoescrutinio?Sorprendentementebien,diría.Elsentidonuméricoesreconocidohoycomounodelosdominiosmásimportantesde la capacidad humana y animal, y sus mecanismos cerebrales vienensiendoestudiadosdemaneraconstanteyconunniveldedetallecadavezmayor. En este epílogo, señalaré algunos de los descubrimientos másfascinantesenestecampoquecrececonvelocidad.Paraunademostraciónsimple,mirenlacruzsituadaenelcentrodela

figura10.1,quemuestraunconjuntodecienpuntosalaizquierdaydiezala derecha. Esperen treinta segundos, vayan a la figura de la páginasiguiente y miren la cruz otra vez. Deberían experimentar una ilusiónnumérica fuerte: la imagen de la derecha de esta segunda ilustracióntambiénparecerátenermáspuntosqueladela izquierda.Luegodeunosinstantes, la ilusión desaparecerá y surgirá la verdad: ¡ambos ladospresentan exactamente elmismodibujode cuarentapuntos!Esta ilusiónresistetodotipodemanipulacionesdetamaño,densidad,formaocolordelospuntos:soloparece importarsunúmero.Esteesunejemploperfectodel sentido numérico. La percepción del número se impone de formainmediata, automática y sin control consciente: incluso cuando sabemosquelosnúmerossoniguales,nuestrosojos,omejor,nuestrocerebro,nosdicen lo contrario. En palabras de David Burr y John Ross, quedescubrieron esta ilusión: «Del mismo modo en que tenemos unasensación visual directa del color rojo en media docena de cerezasmaduras,tambiéntenemosunsentidodesucondicióndeseis».

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Figura10.1.Unailusiónnuméricarevelalapotenciaylaautomaticidaddelsentidonumérico.Primero,mirenlacruzdelcentrodurantetreintasegundos.Luego,denvueltalapáginaymirenotravez,intentandodecidircuáldelosdosconjuntosesmásgrande.Cuandoseexponenalaprimerailustración,susentidonuméricoseadaptaaunacantidadgrandealaizquierdayaunacantidadpequeñaaladerecha,loquecausaunsesgoerróneoenladirecciónopuestaparalasegunda

ilustración(tomadadeBurryotros,2008).

Pero¿quésabemosacercade loscircuitoscerebralesquesubyacenaestapercepcióndelnúmero?

Númerosenelcerebro

El capítulo 8 de este libro tiene por tema excluyente las técnicas deneuroimágenes que existían en 1997. «Quédense conectados», escribí enaquelmomento,«porquelospróximosdiezañosdeinvestigaciónsobreelcerebro muy probablemente nos entregarán muchos más vistazosemocionantes acerca del órgano especial que nos hace humanos». Essorprendente, en retrospectiva, observar lo rudimentarias que eran estastécnicas en la década de 1990. De hecho, uno de los avances másimportantes de los últimos quince años ha sido la proliferación deinvestigaciones en neuroimágenes humanas, utilizando técnicas cada vezmássofisticadas.Laresonanciamagnéticafuncional(ofMRI)sehavueltoelmétodopreponderante.Brindaimágenesdelaactividadcerebralenunaescala milimétrica. Se pueden tomar imágenes del cerebro completo enfuncionamientorepetidasveces,cadaunoodossegundos.Poreso,veintesegundosde informaciónobtenidosde estemodo son equivalentes a los

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resultados de un experimento de tres horas realizado mediante latomografía por emisión de positrones (o PET), y además, sin tener queinyectar una sustancia extraña en el flujo sanguíneo del participante,porque las imágenes utilizan únicamente la omnipresente molécula dehemoglobina. La sensibilidad de la resonancia magnética también esnotable.Porejemplo,simonitoreamoslaactividaddelacortezamotoradeuna persona, podemos saber qué botón se ha presionado, en cualquierensayo,conunaprecisióndel95%(Dehaene,LeClec’Hyotros,1998).Así,nocausa sorpresaqueenpocosañossehayanpublicadodecenasdemiles de experimentos, incluidos cientos acerca de los mecanismoscerebralesdelaaritmética.Los resultados de todos estos experimentos confirman que hay una

franjaestrechayespecíficade la cortezaque realizaunaporteespecial alprocesamiento numérico (Dehaene, Piazza, Pinel y Cohen, 2003). Seencuentraenlaprofundidaddeunespaciolocalizadoenlaparteposteriordel cerebro—en los lóbulosparietales izquierdoyderecho, comopuedeverseen la figura10.2—yse loconocecomo«surco intraparietal»;peromis colegas y yo lo llamamos «región “hIPS”», debido a las iniciales de«parte horizontal del surco intraparietal» en inglés. Se activasistemáticamente en todos los sujetos que hemos estudiado alguna vezmedianteneuroimágenes,siemprequelessolicitamosqueprestenatenciónaunnúmero.El cálculomental es lamejor formade activar esta región;por ejemplo, si pedimos a una persona que reste al número 13 losdiferentesdígitosqueaparecenenunapantalla(Chochon,Cohen,VandeMoorteleyDehaene,1999,Simon,Mangin,Cohen,LeBihanyDehaene,2002). Sin embargo, realmente no hace falta poner en marcha unaaritmética tan compleja. Si lapersona simplementepresta atención aunasecuencia de letras, colores y dígitos y se le pide que busque elementosespecíficos(porejemplo,elcolorrojo,laletraAyeldígito1),lahIPSseactiva cada vez que aparece un número (Eger, Sterzer, Russ, Giraud yKleinschmidt,2003);encambio,noreaccionasielestímuloesunaletraouncuadradodecolor.Asípues,suasociaciónconelsentidonuméricoesmuycercana:parecequenopodemospensarenunnúmerosinponerenfuncionamientoestaáreacerebral.Haymuchos indicios de que esta región en efecto está íntimamente

involucradaenlacantidad,poroposiciónaotrosaspectosdelnúmero.Enprimerlugar,respondeatodaslasmodalidadesdepresentación:yaseaquelapersonaestémirandounconjuntodepuntos,comohicieronustedes,o

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unsímbolo,comoelnúmeroarábigo3,obienlapalabraescritaohablada«tres». Este criterio simple ubica la hIPS en lo que los neurocientíficosllaman sectores de la corteza «plurimodales» o «amodales»: regionescerebralesque,adiferenciadelasáreassensoriales,noestánligadasaunamodalidadsensorialespecífica,comolavistaoeltacto,sinoqueyacenenelpuntodeencuentrodemuchasrutasdeentradayprocesaninformaciónde naturaleza más abstracta. Si una región cerebral debe codificar unconcepto abstracto, que no esté vinculado a sensaciones específicas, esfundamentalquerespondaatodaslasmodalidadesdeestimulaciónporlascualespuedecomunicarseeseconcepto.

Figura10.1[Continuación].

En verdad, un segundo criterio confirma que la hIPS está involucradaexclusivamenteconelconceptodelnúmero:suactivaciónnocambiasilosnúmeros son hablados o escritos, pero varía conforme los números sonpequeñosograndes,cercanosodistantes.Piensen,porejemplo,enlatareadecomparacióndenúmeros.Enellahayquedecidirsiunnúmero-blanco,comoel59,esmáspequeñoomásgrandequedeterminadareferencia,porejemplo,65.Comoexpliquéenel capítulo3,nuestras respuestas en estatareadependenenteramentedelaproximidaddelascantidades.Talcomohemosmostrado,somosmuchomásrápidoscuandoladistancianuméricaes grande, por ejemplo, cuando comparamos 19 y 65, que cuando espequeña, como en la comparación de 59 con 65. Sorprendentemente, laregiónhIPSmuestraelmismoefectodedistancia:sugradodeactivaciónvaría de forma monótona según la distancia entre los números. La

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activaciónesbajacuandoladistanciaesgrandeylacomparaciónesfácil,yaumenta de forma gradual a medida que la distancia se reduce (Pinel yotros,2001[48]).LaregiónhIPScontinúacodificandoladistancianuméricainclusocuandolosnúmerossepresentanutilizandocomplicadaspalabrasescritas,por ejemplo, «cuarentay siete» frente a «sesentayuno».Aestaregión parece no afectarle la especificidad de la información de entrada,sinosoloelconceptodecantidad.

Figura10.2.Localizacióndelaregiónparietalparaelsentidonumérico.Lafiladearribamuestracortesdeuncerebrohumano.LasregionesbilateralesquesemuestranennegroenelcortedelmediopertenecenalahIPS(segmentohorizontaldelsurcointraparietal),ellugarqueseactivaenvariastareasaritméticas,comolacomparacióndenúmeros,lasuma,larestaolaaproximación.Lasimágenesdeabajomuestranqueladeteccióndesolounnúmeroessuficienteparaactivarestaregión;comoindicalacurva,yaseaqueselospresentedeformavisualoauditiva,losnúmerosla

activanmuchomásquelasletrasoloscolores.

En1999,conmiscolegaspublicamosunartículoenlarevistaSciencequepropusounacontundentedemostracióndelmodoenqueellóbuloparietalfocaliza la cantidad (Dehaene y otros, 1999). Comenzamos con la ideasimple de que algunos cálculos aritméticos precisan que se pienseespecíficamenteacercadelascantidades,mientrasqueotrossolorequieren

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queserecuerdendememoriadatosaritméticos.Porejemplo,lamayoríadenosotrostienealmacenadauna«tablamental»dedatosdemultiplicación;encambio,dealgúnmodotenemosquecalcularlarespuestaparaunarestade dos dígitos, porque no la sabemos dememoria. Incluso dentro de lamismaoperación,comolasuma,podemosadoptarunadedosactitudes:otratamosderecuperarelresultadodesdelamemoriaverbal,ointentamoscalcularlomultiplicandocantidades.Piensen,por ejemplo, en la ecuación15+24=99:susentidodelasmagnitudes,queseinvolucradeinmediato,lespermitedarsecuentadeque laecuaciónes falsa,muchoantesdequepuedan decidir si el resultado correcto es 39 o 49, utilizando el cálculoexactoysumemoriaverbaldedatosaritméticosalmacenados.Sesigueunapredicciónmuysimple:siselepideaunapersonaquecomputeunasumaexacta,seobservaráactivaciónenáreasvinculadasconlastareasserialesyesforzadas,yconlamemoriaverbal;perosiselesolicitaaesapersonaquerealice una aproximación, observaremos una activación mayor en lasregiones parietales izquierda y derecha que codifican la cantidad (hIPS).Cuando monitoreamos la activación cerebral con la fMRI y conelectroencefalografía (potenciales relacionados con eventos), nuestrosresultadoscoincidíanmuybienconestapredicciónsencilla.Cuandoselesda a las personas una suma exacta con la opción de dos respuestasmuycercanas (por ejemplo, ¿4 + 5 = 7 o 9?), hay mayor activación en lasregiones del hemisferio izquierdo que se encuentran involucradas en elprocesamiento del lenguaje; mientras que, en la condición deaproximación, donde ambas opciones son incorrectas pero una es máscercana (por ejemplo, ¿4+ 5= cerca de 8 o cerca de 3?), nuestra áreapredilecta,lahIPS,estánotablementemásactiva.Porsupuesto,ladiferenciaesdegrados.Ambosconjuntosderegiones

colaboransistemáticamentecuandohacemoscuentas,perolapresenciadela hIPS esmás evidente cuando se vuelve necesario el procesamiento decantidades.Enparticular,elentrenamientocambiaelequilibrioentreáreascerebrales. Cuando se nos pide por primera vez que calculemosoperaciones aritméticas complicadas, como 23 + 39, la hIPS está almáximodesuactivación.Pocoapoco,amedidaquelarepeticiónalmacenalosdatosennuestramemoria,laactividadcerebraldisminuyeenlahIPSyaumenta en las regiones del hemisferio izquierdo que procesan lenguaje,particularmente en una región llamada «giro angular» (Delazer y otros,2003, Ischebeckyotros, 2006).En conjunto, estos resultados se ajustanbienalanocióndelaexistenciadedossistemasparaelprocesamientodel

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número: una representación central de las magnitudes, asociada con laregiónintraparietaldeamboshemisferios,presenteentodaslasculturasytipos de educación; y un circuito del hemisferio izquierdo distinto,asociado con estrategias específicas de la lengua y la educación paraalmacenaryrecuperardatosaritméticos.La interconexión entre la hIPS y la región del hemisferio izquierdo

dedicada al lenguaje es tan eficienteque, siempreque vemosundígitoounapalabraquehacereferenciaaunnúmero,nuestrocerebrolaconvierterápidamente en el código parietal de cantidad. Esta conversión ocurreincluso de forma inconsciente (Dehaene, Naccache y otros, 1998,Naccache y Dehaene, 2001a, 2001b, Reynvoet y Ratinckx, 2004). En elcapítulo 3, describí el ingenioso diseño de los psicólogos cognitivos quepermite hacer invisibles las palabras, enmascarándolas con cadenas deletrasalazaroasteriscos.Deestemodo,sepuedeproyectarunnúmeroenunapantalladurantenomásdeunveinteavodesegundosinqueelsujetosedécuenta: todo loqueveson loscaracteres intermitentes.Apesardeesto, el cerebro de la persona registra claramente la palabra escondida,computasusignificadoylorepresentaenlahIPS.Mássorprendenteaúnresulta que, cuando se le pregunta si otro número visible, que sigueinmediatamente al invisible, es más grande o más pequeño que 5, lasimágenescerebralesrevelanqueelnúmeroescondidotieneunainfluenciasobre la respuesta. ¡El sujetono sabedequénúmero se trataba, pero sucerebro tiene la informaciónde si eramásgrandeomáspequeñoque5!Hastasucortezamotorasecomportacomosiestuvieracalculandocómodeberíahaberrespondidoalestímulo-blancoinvisible.Unapreguntafundamental,sinembargo,essialgunapartedelaregión

hIPS está verdaderamente dedicada al número. ¿La región hIPS secomporta, como propone Brian Butterworth (1999), como un «módulodelnúmero»especializadocuyasneuronasnoseocupandeotracosamásquedelaaritmética?Enefecto,aveceselcerebrodedicatodaunapartedela corteza a una función muy precisa e importante, por ejemplo, alreconocimientoderostros(Tsao,Freiwald,TootellyLivingstone,2006).Sinembargo,respectodelnúmero,larespuestaesmáscompleja.Algunosde los circuitos neuronales de la hIPS se encargan específicamente delnúmero,peroestánentremezcladosconneuronasqueseenfocanaotrosparámetros,comolalocalizaciónoeltamañodelosobjetos(Pinelyotros,2004, Tudusciuc y Nieder, 2007). Tenemos que enfrentar esta realidadcompleja: el cerebro humano no es ni un «papel en blanco» isotrópico

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cuyasregionessontodasequivalentes,nitampocounaprolijadisposicióndemódulosaltamenteespecializadosybienseparados.Muchos experimentos prueban que la hIPS claramente no es una

región genérica que se activa cuando alguien piensa en un conceptoabstractoorealizacualquiertipodeoperacióndecomparación.Estepuntofue precisado por el psicólogo belga Marc Thioux (Thioux, Pesenti,Costes,DeVolderySeron,2005).Utilizóundiseñoingeniosoenelcualsetomabanneuroimágenesdelosparticipantesmientrasrealizabantareasdecomparaciónyclasificacióndelmismotipo,peroavecesconnúmerosya veces con nombres de animales. Por ejemplo, durante la comparación,teníanquedecidirsicadaanimalquesepresentabaeramásomenosferozqueunperro, y esto se contrastabamás tarde con la decisiónde si cadanúmeroeramásgrandeomáspequeñoque5.Enlatareadeclasificación,lossujetosdebíanjuzgarsiunnúmeroeraimparopar,osiunanimaleraunmamífero o no. Por último, en el casomás sencillo, se les pedía quedecidieran si el número estaba escrito en minúsculas o mayúsculas. Entodos los casos, la hIPS se activaba cuando la persona veía un número,peronoreaccionabaparaelnombredeunanimal.Estaregiónseactivadeformamanifiestaconladimensiónabstractadelacantidad,peronoconlanoción igualmente conceptual de ferocidad. Es más, esta conclusión estotalmenteconvergenteconlosestudiosrealizadosenpacientescondañocerebral,que indicanqueelconocimientode losanimalesyelaritméticopueden disociarse por completo a partir de una lesión cerebral(Cappelletti, Butterworth y Kopelman, 2001, Lemer y otros, 2003), demodo tal que se pierde el acceso a unode ellos,mientras que el otro semantiene indemne.Lospacientes que sufrendeAlzheimerpueden tenerunademenciasevera,hastaelpuntodenosabercuálesladiferenciaentreunperroyuna jirafay, sinembargo, tenerundesempeñodestacadoconlos números. A la inversa, los pacientes con acalculia, con frecuenciaocasionadaporunalesióncerebralenlaregiónhIPSomuycercadeella,puedenperdertodacomprensióndelnúmeroy,sinembargo,seguirsiendoperfectamente racionales con otras categorías de palabras. Entonces, nohaydudasdequeelcerebrotrataalnúmerocomounacategoríaespecíficadelconocimiento,querequieresupropioaparatoneurológicoenellóbuloparietal.

Númerosenelespacioyeltiempo

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Cuando se trata de distinciones más sutiles, como el número frente allargo, el espacio o el tiempo, la especificidad de la hIPS desaparece.Ninguna parte de la hIPS parece estar involucrada solo en los cálculosnuméricos.Sabemosestoapartirdeexperimentosenlosqueselespidióalas personas que compararan no solo números, sino también otrasdimensionessensorialescontinuas,comoeltamañofísico, la localización,elánguloolaluminosidad(Fias,Lammertyn,Reynvoet,DupontyOrban,2003,Pinelyotros,2004,CohenKadoshyotros,2005,Kaufmannyotros,2005,CohenKadoshyHenik,2006b,Zagoyotros,2008).Enestecaso,lasactivacionesnoseseparandemaneranetaengruposcorrespondientesadistintas regiones, específicas para cada parámetro, sino que en granmedida se superponen a lo largo de todo el surco intraparietal. Estasuperposición es particularmente marcada respecto del número y lalocalización y del número y el tamaño; en efecto, los niños y hasta losadultos con frecuencia confunden estas dimensiones. Recuerden queexaminamos las interacciones entre número y tamaño en el capítulo 3;puedenprobarsuhabilidadparaestodecidiendocuáldeestosnúmeroseselmásgrandedelpar:

2o49o55o6

¿Notaron que eran anormalmente lentos y hasta cometían errores alrealizar esta tarea simple?Estasobservaciones sonun testimoniodirectodelhechodequeeltamañofísicoy lamagnitudnuméricasesuperponenensucerebro(Pinelyotros,2004).Eltamaño,lalocalizaciónyelnúmeroseprocesan, todos, enuna región similarde la cortezaparietal.Tambiénhayunasuperposiciónconsiderableentrelasactivacionesinducidasporlascomparacionesdenúmerosyletras(Fias,Lammertyn,CaessensyOrban,2007), probablemente porque las letras y los números compartenprincipiosdeordenytemporalidad,porlomenoscuandolosrecitamosenun orden fijo. Los conceptos de letra y número son disociables —noutilizanexactamentelasmismasneuronas(Facoettiyotros,2009)—peroestántanentremezcladosquecreaninterferenciaennuestrasmentes.

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En síntesis, una región específica del parietal está activa cuandooperamos con la aritmética, pero el concepto de número se vincula deformamuycercanaalosdeespacioytiempoenestaáreadelcerebro.Lasneuronasencargadasdeestasdimensionesestánentremezcladasdentrodelas mismas áreas cerebrales. Es más, no forman un conjunto prolijo yajustado o un «módulo», sino que parecen encontrarse ampliamentedistribuidasenvarioscentímetrosdecorteza.Lejosdeserunproblema,oincluso una sorpresa, este descubrimiento ayuda a explicar una grancantidad de observaciones realizadas acerca del sentido numérico; porejemplo, el hecho de que utilicemos palabras espaciales para hablar denúmeros que están «cerca» o «lejos» el uno del otro. Los pacientes conlesiones parietales muchas veces sufren de una pérdida simultánea delnúmeroydeotrosconceptostemporalesocategoríasordenadas,comolosdíasdelasemana(¡unpacientenombró1comolunesy2comomartes!).Otros pacientes que sufrían de negligencia espacial —incapacidad paraprestar atención al lado izquierdo del espacio, típicamente debida a unalesiónenelhemisferioderecho—exhibenundeterioroatencionalqueseextiende a la representación espacial de los números. Una evaluaciónestándar de su déficit consiste en pedirles que señalen la mitad de unsegmento horizontal: como «desatienden» el lado izquierdo, el puntomedio que perciben generalmente está alejado hacia la derecha.Sorprendentemente,lomismoocurreconlosnúmeros:cuandoselespidea los pacientes que sufren de negligencia que reporten la mitad de unintervalo numérico, por ejemplo, «¿Qué hay entre 11 y 19?», respondenconunnúmeroexcesivamentegrandecomo17o18;o,en loscasosmásseveros, con un número fuera del intervalo original, como 23 (Zorzi,Priftis yUmilta, 2002). Sus respuestasparecen absurdas. Solo sepuedencomprender si tenemos en mente que, durante una tarea de bisección,utilizamos nuestra atención espacial para explorar mentalmente la rectanumérica. Los pacientes cuyo sistema de atención espacial está dañadomerodeanalazarporesteespaciointerno.Losúltimosquinceañoshanproducidounfrenesídedemostraciones

de cómo el número, el espacio y el tiempo interactúan en el cerebro, demanerasmás diversas que las que alguna vez imaginé (Hubbard y otros,2005).Losniñosyhasta losbebésde8mesesdeedadaparentementeyapueden hacer asociaciones entre estas dimensiones (DeHevia y Spelke,2009, 2010, Lourenco yLongo, 2010).Uno de los descubrimientosmásnotables es que pensar acerca de un número afecta el modo en que

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distribuimos la atención en el espacio (Fischer, Castel, Dodd y Pratt,2003).Paracomprobarestoenellaboratorio,primerosedebemostrarunnúmeroenelcentrodeunapantallae inmediatamentedespuéspresentarunpequeñopuntoalaizquierdaoaladerecha.Sibienelnúmeropareceríaser totalmente irrelevante para la tarea, el tiempo que lleva detectar elpunto depende del tamaño del número: un número grande atrae laatención a la derecha y acelera la detección en esa parte del espacio,mientras que uno pequeño atrae la atención a la izquierda. Esta es unabuenavariacióndelaasociaciónespacial-numéricadecódigosderespuesta,oefectoSNARC,quedescribíenelcapítulo3,yquemuestraunarelaciónconsistenteentre losconceptosdenúmeroyespacio.Enefecto,deunosaños a esta parte se han identificado fuertes vínculos entre el tiempo, elespacioyelnúmeroeninnumerablesexperimentos.Porejemplo,puedencomprobar que luego de ver un número grande, si tienen que hacer unmovimiento de la mano, esta se inclinará hacia la derecha (Song yNakayama, 2008). Si tienen que tomar un objeto, sus dedos se abriránhasta un tamaño apenas más grande que el necesario (Lindemann,Abolafia, Giraldi y Bekkering, 2007). Si tienen que juzgar la duracióntemporal, un número más grande parece durar por más tiempo en lapantalla que uno más pequeño (Dormal, Seron y Pesenti, 2006). Laasociación también funciona en la dirección inversa. Si usted le pide aalguienquegenerenúmerosalazar,podráadivinareltamañoaproximadodesusrespuestasmirandosusmovimientosoculares:amenudo,antesdegenerarunnúmerogrande,susojossemoveránhacialaderechayarriba,mientrasqueiránhacialaizquierdayabajocuandopiensenenunnúmeropequeño(Loetscher,Bockish,NichollsyBrugger,2010).¿Cómoseexplicaestapeculiarasociaciónentreeltamañodelnúmero

yladireccióndelamiradaylaatención?Nuestrainvestigaciónpormediodeneuroimágenesha reveladoqueprovienedeun«derrame» sistemáticode actividadneural enel lóbuloparietal (Hubbardyotros, 2005,Knops,Thirion,Hubbard,Michel yDehaene, 2009,Ranzini,Dehaene, Piazza yHubbard,2009).Cuandoevocamosuna representaciónmentalde algunamagnitud numérica, la activación cerebral comienza en la hIPS, perotambién se expande a regiones cercanas que codifican la localización, eltamañoyel tiempo.Comoresultado,cuandovemosunnúmero,nuestrapercepcióndelespacio,yhastanuestrosmovimientosdelamanoydelosojos,sevenafectadosporlasestimacionesalgotendenciosasquehacemosdeestosparámetros.

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Comoejemplo,conmialumnoposdoctoralAndréKnopsdescribimoshacealgúntiempocómoelcálculomentalcreaunacomunicacióncruzadaentre el área numérica y el área de losmovimientos oculares, ambas dellóbulo parietal (Knops, Thirion y otros, 2009, Knops, Viarouge yDehaene, 2009). En primer lugar, identificamos las regiones de losmovimientos oculares del cerebro simplemente pidiéndoles a losparticipantes que rotaran los ojos hacia la izquierda o hacia la derechamientras se los registraba. Así, se identificaron dos regiones claramentedefinidas en la corteza parietal posterior izquierda y derecha. Con unmecanismode aprendizaje automático,despuésmostramosque el estadodeactivacióndeestasregionespodíadecirnos,conunaprecisióndel70%,hacia dónde se habíamovido el ojo en determinado ensayo. Esta es unaforma de «lectura cerebral», que simplemente indica que en esta área sepuedetrazarunmapadetodaslasdireccionesposiblesdenuestramirada:sipodemosverdóndeestáocurriendolaactivaciónenelmapa,podemosdeterminar adónde moverá los ojos la persona. Sin embargo, en unacontinuación más creativa de este experimento, luego examinamos quéhacían estas áreas de movimientos oculares en un segundo bloque deensayos,enelquelaspersonascalculabansumasyrestasaproximadas.Elresultado fue sorprendente: el patrón de actividad cerebral durante lassumas se parecía al de unmovimiento ocular a la derecha. A la inversa,cuandonuestrosparticipantesrestabannúmeros,elpatróncorrespondíaalde un desplazamiento hacia la izquierda.Verificamos que los ojos no seestuvieranmoviendo: entonces, ¿por qué estaban activas estas regiones?Cuando se calcula,por ejemplo,que32+21es aproximadamente50, laatención interna semueve del primer número, 32, al númeromayor 50,queestádellado«derecho»delarectanuméricaennuestracultura,queleede izquierda a derecha. Del mismomodo, cuando se calcula 32 - 21, laatención se mueve hacia la «izquierda», al número más pequeño 11.Entonces, la sumamueve la atenciónhacia la derecha, y la resta hacia laizquierda, y podemos detectar estos cambios de atención ocultosmonitoreandoelestadodeactivaciónenelcerebro.Si bien estos estudios son entretenidos, sus conclusiones también

tienen un amplio alcance. Cuando pensamos en números, o hacemoscuentas,nodependemossolodeunconceptopuro,etéreoyabstractodelnúmero.Deinmediato,nuestrocerebroconectaelnúmeroabstractoconnocionesconcretasdetamaño,localizaciónytiempo.Nohacemoscuentas«en abstracto». Más bien, para realizar tareas matemáticas utilizamos

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circuitos cerebrales que también sirven para guiar nuestras manos ynuestrosojosenelespacio;circuitosqueestánpresentesenelcerebrodelmono,yesclaroquenoevolucionaronparalamatemática,sinoquesehananticipadoy sehanpuesto a funcionar enundominiodiferente.Esta esunailustraciónperfectadelprincipiodereciclajeneuronal,quepresentéenmilibroreciente,Elcerebrolector(Dehaene,2014).Miplanteoesquelosinventoshumanosmásnuevos—incluidaslasletras,asícomolosnúmerosytodoslosconceptosdelamatemática—tienenqueencontrarsunichoenun cerebrohumanoqueno evolucionópara albergarlos.Han tenidoquemeterse en el cerebro invadiendo territorios corticales dedicados afuncionesdeciertaafinidad.Enelcasodelaaritmética,comenzamosconunsentidodelnúmeroaproximadoquecompartimosconotrosanimales,yqueinvolucraloslóbulosparietales.Amedidaquenuestraaritméticaseexpandeafuncionescompletamentenovedosasyexclusivamentehumanas,como la suma de dos dígitos, estos conceptos flamantes se puedenrepresentar en el cerebro, por lo menos en parte, solo porque algunasfunciones ya existentes en la corteza cercana se reciclan para este nuevouso.Así, laaritmética invadelasáreascercanasquecodificanelespacioylosmovimientosdelosojos.

Neuronasparanúmeros

Lamatemáticadependededeterminadas intuicionesquepuedenserelproductode lascaracterísticasdenuestrosórganossensoriales,nuestrocerebroyelmundoexterno.

MorrisKline,Matemáticas,lapérdidadelacertidumbre

Sibienelconocimientodelasáreascerebralesinvolucradasenlaaritméticaes esencial, apenas constituye un comienzo. Los métodos para tomarimágenes del cerebro humano todavía son demasiado elementales comopara dar alguna indicación acerca de cómo se codifican las funcionesmatemáticas en el nivel de las neuronas individuales. Sin embargo, lasneuronas son las principales unidades de cómputo de la corteza, y nopodemosafirmarquecomprendemoselfuncionamientodelasoperacionesaritméticas si no somos capaces de describir, paso a paso, cómo estas

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células asombrosamente complejas logran representar, por ejemplo, elhechodeque2esmáspequeñoque3.Cuandoescribílaprimeraversióndeestelibro,allápor1997,propuse

un modelo muy específico: es probable que el lóbulo parietal contenganeuronas que responden a un número, es decir que están calibradas, oajustadas de manera aproximada para cada número que llega. En aquelmomento, puse énfasis en el carácter especulativo de esta propuesta. LaúnicaevidenciadirectaasufavoreraelpuñadodeneuronasregistradasporRichard Thompson en gatos anestesiados, descripto en un artículopublicado en la revista Science en 1970.Muchas otras especies animales,incluidos los monos macacos, claramente prestaban atención a losnúmeros que los rodeaban, por lo quemimodelo predecía que tambiénellosdebíanestarequipadosconneuronasajustadasalnúmero,peronadielas había visto nunca. Esta área parecía lista para dar lugar a intensasinvestigaciones,ymiconclusiónfuelasiguiente:«Laúltimapalabradeestahistoriaserádelosneurofisiólogosqueseatrevanacontinuarlabúsquedade las bases neuronales de la aritmética animal utilizando herramientasmodernasderecodificacióndeneuronas».Desafortunadamente, la corteza del macaco también contiene varios

miles de millones de neuronas. Para albergar siquiera una pequeñaesperanza de registrar aquellas relevantes para el procesamiento delnúmero, los electrofisiólogos necesitaban contar por lo menos con unaidea,aunquefuerainexacta,dedóndecolocarsuselectrodos.Miscolegasyyo siempre pensamos que nuestros experimentos de imágenes cerebraleshumanaspodíandesempeñarunpapel importanteaquí.Despuésdetodo,elcerebrohumanoesungrancerebrodeprimate—¡aunqueconunpardecaracterísticasagregadas!—y,porlotanto,suorganizaciónsindudapodíadarnos indicaciones útiles para la investigación en animales. Nuestrosestudios siempre señalaban la región hIPS, en la profundidad del áreaparietal,comouncorrelatosistemáticodelaaritméticahumana.Entonces,parecíaprobablequelamismalocalización,llamadasurcointraparietal,quetambién se encuentra en los monos, estuviera involucrada en elprocesamientodelnúmeroenelcerebrodeestos.En2002,publicamosunestudiodeneuroimágenesquehizomásprecisa estapropuesta (Simonyotros, 2002, Simon y otros, 2004). Mostramos que el lóbulo parietalhumano contiene un mapa geométrico sistemático de las habilidadesnuméricas y espaciales. En todos los cerebros humanos, la activaciónrelacionadacon losnúmerossiemprecaeen lamismaposiciónentredos

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puntos de referencia. Delante de ella hay un área que se activa cuandotomamos objetos. Detrás, una región que se ocupa de los movimientosoculares. Resulta significativo que también en el cerebro del mono —muchomáspequeño—existen regiones involucradas en tomarobjetosyenlosmovimientosoculares.Enlapartefrontaldelsurcointraparietaldelmono hay neuronas que solo se activan cuando este toma objetos dedeterminada forma; en la parte posterior, otras neuronas se encargan deaquelloaloqueelmonoestáprestandoatenciónysobrelocualplanificaenfocarlosojos.Nosabíamosconcertezasiestaszonasenelcerebrodelmono eran verdaderos precursores evolutivos de las áreas humanas; dehecho, su homología todavía es materia de debate, en parte porque elcerebrohumanoparecetenermuchasmásáreasdeestetipoqueelcerebrodel mono. Sin embargo, si aceptamos una homología no tan precisa,nuestromapaimplicabaquelashipotéticasneuronasdedicadasalnúmeroen el cerebro del mono también podían estar ubicadas en un puntointermedio entre estos dos puntos. Esta inferencia nos llevó a esperarencontrarlas en el área del mono llamada «intraparietal ventral», osimplementeVIP,porsusigla inglesa,queseencuentraenlaprofundidaddelsurcointraparietaldelmono.¡Unospocosmesesmástardedequediéramosaconocerporprimera

veznuestrahipótesis,sedemostróque,enefecto,estaregiónespecíficaeraun«lugarmuyimportante»[49]!Dosgrupos independientesdecientíficosfinalmentehabíanidentificadolasneuronasparanúmeroscuyaexistenciayubicación habíamos predicho (Nieder, Freedman y Miller, 2002,Sawamura, ShimayTanji, 2002,NiederyMiller, 2003, 2004[50]). Si bienestas células estaban desparramadas por todo el lóbulo parietal, seobservaronenmayorcantidadenellugarexactodondenuestrosestudioscon humanos nos habían llevado a esperarlas: en las profundidades delsurco intraparietal, dentro del áreaVIP, omuy cerca de ella. También seregistraronneuronasdenúmerosenunáreamuyanteriordelcerebro, lacortezaprefrontaldorso-lateral.Estasneuronas,sinembargo,parecíanseralgodiferentes:susrespuestaseranmás lentasyreaccionabanconmayorfuerzaenunaetapatardía,enlaquelosmonosalmacenabanelnúmeroenlamemoriadetrabajo.Enefecto,lacortezaprefrontalcomountodoesunárea mucho más genérica, que está activa siempre que mantenemos enmente una información por algunos segundos. Por eso, la concepciónactualsostieneque lasneuronasparietalessonlasunidadesespecializadasqueconstituyenelcódigonuméricoprimario,ylasneuronasmáslentasde

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lacortezaprefrontalsimplementealmacenanestainformaciónsiseladeberecuperarenunmomentoulterior.Para probar que estas neuronas realmente codifican el número,

AndreasNiederyEarlMiller,queenaquelmomentotrabajabanenelMIT,entrenaronaungrupodemonosenuna tareanuméricamuydifícil, querequeríaqueprestaranatenciónalaigualdadnumérica.Encadaensayo,elmonoprimero veía un conjuntoque contenía entreunoy cincopuntos,seguido por una pantalla en blanco. Sin embargo, sabía que prontoaparecería un segundo conjunto, y que debería decidir si el número depuntoseraelmismoqueenelconjuntoanteriorono.Eldesempeñodelosmonos no dejaba ninguna duda de que comprendían la tarea: tenían unformidableéxitoenestejuiciodeigual/diferente,ysolocometíanerrorescuandolosnúmerosestabancercaelunodelotro(porejemplo,4frentea5).Además, efectivamente estaban prestando atención al número y no aotros parámetros, como el tamaño de los ítems. Los investigadorescomprobaron esto último cambiando el resto de las características delestímulo,comoeltamaño,elcoloroladisposicióndelosítems.Eramuyobvio que el comportamiento del mono no estaba vinculado a estosparámetros irrelevantes, y dependía únicamente de la distancia entre losdosnúmeros.

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Figura10.3.Neuronasdenúmeroenelcerebrodelmono.Seentrenóalmonoparaquememorizaralanumerosidaddeunconjunto,yluegodecidierasicoincidíaconlanumerosidaddeunsegundoconjunto.Enlacortezaprefrontaleintraparietal,unagranproporcióndeneuronasseocupabadelnúmero.Lascurvasquerepresentanelnivelderespuestadelasneuronasparacadaconjuntodepuntos,ocurvasdeajuste,indicanquecadaneuronaseactivabaalmáximoparaunnúmero

específicodeítems(tomadodeNiederyotros,2003,2004).

Unavezdeterminadoestecomportamiento,NiederyMillercomenzaronaregistrar laactividadcerebralymuyrápidamente lograron identificarunafraccióndelasneuronas,cercadel20%dellóbuloparietal,cuyopatróndedescarga reflejabaelnúmeroque sehabíapresentado (véase figura10.3).Cadaunadeellasestabaajustadaparadeterminadonúmerodeobjetosenelestímulo.Porejemplo,unconjuntodeneuronasseactivabaalmáximocadavezquesepresentabaunsoloobjeto;unnúmeromayordeobjetosenla escena solo las hacía descargarse menos. Otro conjunto de neuronas

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alcanzabasupicoenelnúmero2;otraspreferíanlosnúmeros3,4o5.Enuntrabajo reciente,AndreasNiederhaencontrado inclusoneuronasqueseocupandenúmerosde las decenasdel 20ydel 30 (Nieder yMerten,2007).Como losmismosmonos, estasneuronas soloprestan atención alos números, y su comportamiento no varía en relación con lasparticularidades de lo que se les muestra. ¡Realmente parecen estarcalibradasparalosnúmeros!ApartirdelmodeloteóricoquepropuseconJean-PierreChangeuxen

1993, y que se describe en el capítulo 1, teníamos expectativas muyprecisasacercadeestasneuronas.Nosolodebíahaberunpicodedescargapara un número determinado, sino que tendría que haber una curva conformade campana alrededordelpico, loquedemostraría,de estemodo,unapreferenciaparaunrangoaproximadodenúmeros.Esmás,predijimosque el ancho de las curvas de campana sería el mismo para todas lasneuronas, sin importar qué número prefirieran, una vez que se hubieragraficadolainformacióneneleje«comprimido»apropiadoparaelnúmero(desdeunpuntodevistamatemático,deberíaserunejelogarítmico).Estapropiedad significa, simplemente, que cada neurona responde a unporcentajefijodenúmerosalrededordesuvalorpreferido:seactivaparatodoslosnúmerosqueseencuentrandentrodeunintervalode,digamos,más o menos un 30 % de su número favorito. Sorprendentemente, losdatosdeAndreasNiedererantanprecisosquefueposibleponerapruebaestas predicciones matemáticas con gran exactitud, y todos encajabanperfectamenteconloqueesperábamos.Estosepuedeobservarenlafigura10.3. Las neuronas que se ocupande los conjuntos de cuatro ítems, porejemplo, también responden a tres o a cinco objetos, pero se activanmuchomenos para un único objeto. Las características de las curvas deajustede lasneuronassonexactamente lasquedeberíanserparaexplicarlasconfusionesnuméricasde losmonos(y lasde loshumanostambién).Comoseexplicóenelcapítulo3,tendemosaconfundirlosnúmerosquerepresentancantidadessimilares,comoel4yel5.Esmás,elrangoenelcual ocurren estas confusiones aumenta con el número, demodoque sepuededescribircomounporcentajefijodeincertidumbrealrededordelamedia. Entonces, confundimos los números 4 y 5 aproximadamente almismonivelenqueconfundimos40y50.Lascurvasdeajuste,esdecirlascurvasquemuestranlatasaderespuestadelasneuronasdelosmonosdeacuerdoconelnúmerodeítems,tienenexactamentelamismamétrica.

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En conjunto, las neuronas del número forman lo que llamamos una«representación distribuida» o un «código de población» para números:cada número no se codifica con exactitud, por obra de unas pocasneuronas precisas, sino de forma aproximada, gracias a un conjunto deneuronasburdamentecalibradas,conunaimprecisiónqueaumentaconelnúmero. El código neural identificado por Nieder y Miller en el monomacacoes justamente loqueesperabasegúnmi investigaciónconductualenhumanos.Enlosúltimosaños,hedesarrolladounmodelomatemáticoparaacortar labrechaentre lasneuronasyelcomportamiento(Dehaene,2007[51]). A partir de la hipótesis de que tenemos neuronas que estánajustadasalnúmeroydequenuestrasdecisionessebasansobreinferenciasóptimas de este código interno, mi modelo demuestra cómo podemoshacer una reconstrucción detallada de las características de los juiciosnuméricoshumanos.Porejemplo,enlamedidaenquelosnúmerossevanacercando, nos volvemos cada vez más lentos y menos precisos en lacomparación entre dos de ellos. La forma exacta de este «efecto dedistancia» se puede derivar matemáticamente de las curvas de respuestaaproximadasdelasneuronas.Conestetipodeleyesparavincularneuronasycomportamiento,lapsicologíaestácadavezmáscercadeserunacienciaexacta.Hasta elmomento actual, no está claro cómo las neuronas parietales

del número adquieren sus curvas de ajuste al número. Sin embargo, en2007serealizóunavancenotable,cuandoMichaelPlattysuscolegasdelaUniversidaddeDukedescubrieronunsegundotipodecódigoneuralparaelnúmero(Roitman,BrannonyPlatt,2007).Estasneuronasestánenotraregión,llamada«LIP»,justodetrásdelaregiónVIP.Sucomportamientosediferencia del de las neuronas VIP descubiertas por Nieder y Miller devarias formas. En primer lugar, las neuronas LIP no están adaptadas alnúmero. En cambio, su tasa de descarga varía de manera monótona, esdecir,uniformeconelnúmero.Enalgunasdeellas,ladescargaaumentadeformapronunciadaconelnúmerodeobjetosenelcamporeceptivodelaneurona, mientras que en otras tiene su pico máximo para un objeto ydecreceprogresivamenteparanúmerosmásgrandes;peroenestaáreanoparecen encontrarse neuronas que tengan un pico para númerosintermedios.UnasegundadiferenciaesqueestasneuronasLIPtienenunavisiónlimitadadelaimagendelaretina(pequeños«camposreceptivos»).Norespondenalnúmerototaldeobjetosentodalaescena,sinomásbienalnúmerolocalqueseencuentraendeterminadaventana.

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¿Porquédoscódigosbastantedistintos—célulasmonótonas,oseaderespuestagradual,frenteacélulascalibradas,esdecirquerespondenaunnúmeroenparticular—coexistenenelmismocerebro?Unaposibilidadesque las célulasmonótonas seannecesarias para calcular la representacióndelacélulacalibrada.Estahipótesissignificaríaqueloscódigosmonótonoy calibrado constituyen dos etapas distintas del cómputo de unarepresentaciónestabledelnúmero.Dehecho,unprocesodedospasosdeeste tipo concuerdamuy bien con elmodelo inicial que planteamos conJean-PierreChangeuxparalasneuronasdenúmero.Nuestrassimulacionesinformáticascomenzabanconneuronasquecodificabanlalocalizacióndelos objetos, sin importar su identidadni su tamaño.Entonces, hacíamosque las células sumaran la activación de este trazado de localización deobjetos; estas «neuronas de acumulación» producían una representacióndel número aproximado. Por último, estableciendo el umbral de estaactivación en un nivel cada vez más alto, obteníamos un banco de«detectoresdenumerosidad»:neuronasqueestaban,cadauna,ajustadasauna numerosidad específica. Los descubrimientosmás recientes sugierenque estos dos pasos sucesivos en la extracción del número puedencorresponderaloquelasáreasLIPyVIPefectivamentehacen.Lasneuronasdeacumulación,consusrespuestasgradualesalnúmero,secorrespondenbastante bien con las células LIP,mientras que las célulasVIP ajustadas anúmeros específicos se corresponden exactamente a los detectores denumerosidad que postulamos. Esmás, sabemos, a partir de la anatomía,que las neuronas LIP se proyectan directamente a las neuronas VIP. Porúltimo,lasneuronasdenúmeroLIPsonsensiblesalalocalización(tienen«campos receptivos»), mientras que las VIP parecen responder a lanumerosidad de toda una imagen, lo que resulta consistente con lahipótesisdequerecibeninformacióndetodounconjuntodeneuronasLIP.En resumen, los registros electrofisiológicos han aportado un apoyo

notable a nuestro modelo teórico. Los monos claramente codifican elnúmerousandopoblacionesdeneuronas,ybienpodríaserquerealizaranestosumando las localizacionesocupadasporobjetos,y luegodedicandoneuronas específicas a los valores individuales incluidos en la suma. Porplausiblequeparezcaestemodelo,haráfaltaunesfuerzoconsiderableparaconfirmarsushipótesisclave.Ungranproblemaconlainformaciónactualesqueambostiposdecódigosnuméricos(célulasmonótonasogradualesycalibradasoajustadas)sehanencontrado,endiferenteslaboratorios,endistintas áreas del cerebro, usando diferentes monos entrenados para

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realizar tareas diversas. Entonces, todavía resta ver si estos dos códigosrealmente coexisten en los mismos animales. Resulta interesante, sinembargo,queelcódigonuméricogradualdescubiertoenlasneuronasLIPreúnatodaslaspropiedadesnecesariasparadarcuentadela ilusiónvisualcon la que comencé este capítulo (Burr y Ross, 2008), donde nosadaptamosaundeterminadonúmeroy luegopercibimosotrocomomáspequeñoomásgrandedeloqueenrealidades.ComolasneuronasLIP,laadaptación es específica de una determinada localización en la retina (lafigura10.1muestraquenosadaptamosdemaneradiferentealosnúmerosvistosa la izquierdaoa laderecha).Esmás, seextiendea lo largodeunamplio rango de números: la adaptación a doscientos puntos cambianuestra percepción de cuarenta puntos. Esto sería imposible si laadaptaciónsolosedebieraacélulasajustadasaesascantidadesespecíficas,perotienesentidositambiénseadaptauncódigomonótono.Entonces,esprobablequeelcerebrohumanotambiénposeauncódigomonótonoparalas magnitudes numéricas, además de neuronas ajustadas a númerosespecíficos.Debo poner énfasis en el hecho de que estas conclusiones son

meramente extrapolacionesbasadas sobre laprobablehomología entre elcerebro del mono y el cerebro humano. Nadie ha visto realmente unaneurona sola y ajustada al número en el cerebro humano, ¡por la muybuenarazóndequenopodemosencontrarvoluntariosquequieranqueseles inserten pequeños electrodos en su cerebro! Hay muy pocascondiciones en las que se realizan registros de una única neurona en elcerebro humano. Una de ellas se da cuando un paciente epiléptico essometido a intervención quirúrgica. En este caso, en ocasiones losneurólogosnecesitan implantar electrodos en la profundidaddel cerebropara hallar la localización de la epilepsia.De estemodo se ha registradoinformación preciosa de las neuronas humanas, ¡incluidas célulasfascinantesquedescargansolocuandovenlaÓperadeSídney,oalaactrizde Hollywood Halle Berry[52]! Lamentablemente para nosotros, laepilepsia afecta sobre todo el lóbulo temporal, y hay muchos menosregistros del lóbulo parietal humano, donde se encuentran las neuronasparalosnúmeros.Portanto,hastalaactualidad,lasneuronashumanasparalosnúmerostodavíaquedanporseridentificadas.Comonoexistenregistrosdirectos,tuvimosquesermáscreativos.Por

supuesto, hay medios indirectos para identificar nuestras queridasneuronasdenúmero.LafMRInopuedeverneuronasindividuales,perosu

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señalrealizaunbarridosobrevariosmilesdecélulasypuede,porlotanto,hastaciertogrado,reflejarsuajustepromedio.Unbuentrucoesexaminarcómoseadaptalaseñalcuandoelmismoítemserepiteunayotravez[53].Sabemosque,bajocondicionesdeestetipo,lasneuronassehabitúan:susdescargasdisminuyenprogresivamenteconlarepeticiónsucesiva,comosise aburrieran de ver el mismo estímulo innumerables veces. Como lamayoríadelasneuronasmuestraestetipodehabituaciónoadaptación,sevuelve una señal macroscópica que podemos registrar con imágenescerebrales: literalmente, vemos que la señal de esta región cerebraldisminuye con el tiempo. Por lo tanto, podemos evaluar si la señal serecuperacuandosepresentaunnuevoítem.Unarecuperacióndeestetipodebe significar que este sector de la corteza contiene neuronas quedistinguenelprimerítemdelsegundo.ConmicolegaManuelaPiazzadecidimosaplicaralnúmeroestetruco

de la adaptación, con hermosos resultados (figura 10.4). Primerohabituamos a un grupo de voluntarios humanos a una aburrida serie deimágenesen lasqueveíanelmismonúmerorepetidounayotravez.Porejemplo,enunaserieveíancasisiempreconjuntosdedieciséiscírculos;sutamañoydisposiciónpodíavariar,peroelnúmeroylaformasiempreeranlos mismos. En momentos específicos, sin embargo, introducíamosimágenes distintas, ya fuera con una nueva forma (triángulos) o con unnuevonúmero,queibadel8al32.Exactamentecomohabíamospredicho,la corteza intraparietal reaccionó a la novedad numérica: su activaciónapareciócadavezqueelnuevonúmeroestaba lo suficientementealejadodelviejo(figura10.4).

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Figura10.4.Evidenciadeajustealnúmeroenellóbuloparietalhumano.Durantelasimágenescerebrales,alosparticipantesselosexponíarepetidasvecesalmismonúmerodeobjetos,loque

llevabaaunaactivacióncerebralreducidafrenteaestenúmero(adaptación).Cuandosepresentabanocasionalmentenúmerosnuevos,laactivaciónserecuperabaenrelacióndirectaconladistanciadelosnúmerosviejoynuevo,y,deestamanera,trazabaunacurvaderespuestaquerecuerdaalasneuronasdenúmerosdelosmonos.Estasrespuestasalcambiodenúmeroeranindependientesde

queseprodujerauncambiodeforma(tomadodePiazzayotros,2004).

Estarespuestanuméricaseencontróprecisamentedondelaesperábamos:enlasorillasdelsurcointraparietal,bilateralmente—enamboshemisferios—; en ningún otro lugar del cerebro. Las curvas también se mostraronexactamente como debían ser si esta región de la corteza conteníaneuronasdenúmerossimilaresa lasdelmono: lacortezaparietalparecíaestar«calibrada»paraelnúmeroqueserepetía,yserecuperabacuandosepresentaba un nuevo número, con una función con forma de campana

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similar a la de las neuronas individuales. Es más, la corteza parietal norespondíaacualquiertipodenovedad.Cuandocambiábamoslaforma,noocurríanadaenestaregión,sinoquereaccionabanotrasáreasdelacortezavisualyprefrontal.Asílogramosprobarquealacortezaparietalhumana,al igual que a la del mono, no le incumbe la forma sino que está biencalibrada para los cambios en el número. Hoy no cabe duda de quenuestros cerebros humanos, como los de nuestros primos macacos,alberganmecanismosmuysimilaresparaextraerlamagnitudnuméricadeunconjuntodeobjetos.

Númerosenbebés

Lo bueno de la técnica de adaptación es que no requiere ningunainstruccióncompleja.Nohaynecesidaddecálculoorespuestaexplícitos,yaqueelparticipantedeunexperimentosencillamentetienequemirarunaseriedediapositivas.Estemétodo,entonces,esidealparaelestudiodeloscerebros de los niños pequeños, que todavía no pueden hacer cuentasmentales,peroesposiblequeyatenganunsentidonumérico.Enefecto,latécnica de adaptación de neuroimágenes es casi idéntica al método dehabituaciónconductualqueseusaparademostrarunareaccióndesorpresaa la novedad numérica en los bebés (Xu y Spelke, 2000). Incluso en lasprimerassemanasdevida,cuandolosbebésvenunnúmeroconstantedeobjetosrepetidos,porejemplo,ochoítems,silaimagencambiadeochoadieciséisobjetos,losbebésvolveránamirarlaimagendurantemástiempo.Registrar esto en el nivel de la corteza tiene la ventaja adicional depermitirnos identificar qué áreas cerebrales están involucradas en estelogro. ¿La cortezaparietal ya es responsabledel sentidonumérico a estaedadtemprana?El primer experimento de adaptación al número realizado con niños

fuellevadoacaboporJessicaCantlonysuscolegasdelaUniversidaddeDuke(Cantlon,Brannon,CarteryPelphrey,2006),noconbebéssinoconchicos de 4 años de edad. Estos preescolares todavía no habían recibidoningún entrenamiento aritmético, pero su lóbulo parietal yamostraba lamisma reacción numérica que la observada en los adultos: un fuerteincrementode laactivaciónsiemprequeelnúmeroquesehabíarepetidosereemplazabaporunonuevo.Estarespuestaeraparticularmenteevidenteen el hemisferio derecho. En efecto, hoy hay muchas señales de que la

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región parietal derecha puede ser funcional muy temprano en la vida, yestarenlabasedelaintuiciónnoverbaldelnúmerodelosniñosantesdeque estos reciban cualquier tipo de instrucción aritmética (Rivera,Reiss,EckertyMenon,2005,AnsariyDhital,2006,PinelyDehaene,2009).Losresultados también mostraron que el cerebro del niño ya se encuentraorganizadoenvíasespecíficasdedicadasalnúmeroy la forma: lacortezaparietal reaccionaba frente a un cambio en la numerosidad del conjunto,perono frente a las formasde los objetos del conjunto,mientras que lacortezavisualventral respondíaalcambioen la formaynoalcambiodenúmero.Cuandoseinformaronestossorprendentesresultados,conmiscolegas

Véronique Izard y Ghislaine Dehaene-Lambertz decidimos que eramomento de probar este método con bebés muy pequeños (Izard,Dehaene-Lambertz y Dehaene, 2008[54]). Centramos nuestro trabajo enbebésde3mesesdeedad,cuyaatenciónsepuedecomprometerdeformacasi hipnótica utilizando estímulos visuales atractivos. Véronique diseñóconjuntos coloridosde animales y rostrosque capturaban la atencióndelos bebés. No intentamos usar con ellos la fMRI, sino que utilizamosregistros de sus ondas cerebrales colocando en sus cabezas una redequipada con esponjas húmedas que contenían pequeños electrodos.Como se esperaba, luego de la habituación a la presentación repetida devariasdiapositivasquemostrabancuatropatos,vimosqueloscerebrosdelos bebés reaccionaban eléctricamente en el momento en que aparecíanochopatos.Cercadecuatrocientosmilisegundosdespuésde la aparicióndeestanuevadiapositiva,lospotencialescerebralesdivergían.Larespuestaerasimilarparadiferentesrangosdenúmeros(2frentea3,4frentea8y4frente a 12), pero se producía una respuesta cerebral completamentediferentecuandosecambiabalaforma.Entonces,llegamosalaconclusiónde que, incluso a los pocosmeses, el cerebro ya está organizado de dosmanerasdistintasparalaformayparaelnúmero.La identificación precisa de las regiones corticales involucradas fue

difícil, por el notablemente complejo «problema inverso» de inferir lalocalizacióndelafuentedentrodelcerebroapartirdeunaseñalobtenidaenel cuero cabelludo.Sin embargo,utilizamosunmétodoavanzadoquereconstruye una aproximación regular de la distribución completa de laactividad eléctrica sobre la superficie de la corteza, sobre la base de unmodelo preciso de los pliegues corticales del niño. Felizmente, losresultados tenían sentido. Sugerían que la corteza parietal derecha

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responde a la novedad numérica, mientras que la corteza visual ventralizquierdareaccionaa lanovedaddelobjeto.Unavezmás,estadistinciónessimilaraloquesehaencontradoenadultosyenniñosde4años.Pareceque, desde el principio, incluso en los bebés, el número pertenece a losparámetrosquelacortezaparietalextraerápidamente.Véronique Izard perseveró en esta dirección y, observando solo el

comportamiento de los bebés, pudo probar que hasta los recién nacidosposeenunsentidonuméricoabstracto(Izardyotros,2009).Aalrededorde las 49 horas de nacidos, los bebés no podían, por supuesto, prestaratenciónmucho tiempo.Simplemente escuchabanuna cadenadelmismonúmero de sílabas por dos minutos, por ejemplo, cuatro: «tu-tu-tu-tu»,«bi-bi-bi-bi»,etc.Luegose lesmostrabanunaspocas imágenesdepruebaconconjuntosdeimágenesdecoloresbrillantes,porejemplo,docepatosamarillos.Lamitadde las imágenescoincidíaconelnúmeroquesehabíamostradoantes,mientrasqueelnúmerodelaotramitaderaporcompletodiferente. La estratagema de Véronique era usar números que fueran losuficientementelejanos(4frentea12)comoparaasegurarsedequehastaun sistema infantil muy inmaduro e impreciso pudiera detectar ladiferencia. La reacción de los bebés indicaba con claridad que habíannotado la relación numérica en el estímulo, a pesar de que hubiera uncambioradicalenelmododepresentación.Hastaeldíadehoy,sehanrealizadomuchosexperimentoscuidadosos

que demuestran sensibilidad al número en el primer año de vida[55]. Alfinal del siglo pasado, estos descubrimientos fueron discutidos endeterminado momento, lo que creó alguna confusión. Una serie deestudios publicados que habían utilizado controles estrictos con elobjetivodesepararlainfluenciadefactoresquenofueranespecíficamentenuméricosnolograronreplicarlosdescubrimientosanteriores,ysesugirióqueeldesempeñodelosbebésnoestabaregidoporunarepresentacióndealtonivel, esdecirdelnúmeroabstracto, sinoporalgunosotros factoresdebajonivelquesesolapabanenelexperimento,comolacantidadtotaldecoloro la luminosidad (Mix,LevineyHuttenlocher, 1997,Simon,1999,XuySpelke,2000,Feigensonyotros,2004).Porfortuna,estedebatehoyestácerrado.Existenresultadosrecientesqueindicanqueexisteunmayordesarrollocognitivoenlosbebésdelquehabíamosimaginadoalprincipio:son capaces de prestar atención ya sea al número o a otros parámetros,comoeltamaño,yaparentementecondistintosalcancessegúnlosdetallesdel diseño experimental. Así, por ejemplo, si todos los objetos de una

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pantalla son idénticos, losbebéspequeños seenfocanensu identidadenlugardehacerloensunúmero.Sinembargo,losniñosprestaránatenciónala numerosidad hasta en un rango de uno a tres ítems, en tanto losconjuntosestén formadosporobjetosmuydiferentes,envezde réplicasidénticasdelmismoobjeto(Feigenson,2005).Actualmente,untrabajodeinvestigaciónextensoefectuadoporSaraCordesyElizabethBrannonenlaUniversidaddeDukesugierequeprestaratenciónalnúmeroessolounade las opcionesdisponibles para los bebés.Estas autoras llegan a sugeririncluso que los bebés estánmás preparados para percibir el número queparaotrosparámetros físicos, porquedetectan cambiosmás sutiles en elnúmeroque,porejemplo,eneltamañodelosobjetos(CordesyBrannon,2008). Entonces, parecería que el número es uno de los atributosprincipalesquenospermitencomprender elmundoexterior,yadesdeelnacimiento.

Laespecialcondicióndelosnúmeros1,2y3

Un error puede volverse exacto, según se hayaequivocadoonolapersonaquelocometió.

PierreDac,humoristafrancés

Lamayor parte de la investigación reciente que he descripto hasta aquíapoya con fuerza la hipótesis del sentido numérico. Sin embargo, deboconfesar que hay un punto en el que me equivoqué. En el capítulo 3,describíla«subitización»,esdecir,lanotablecapacidadquetodostenemosde identificar uno, dos o tres ítems en una sola mirada. Tenía razón alafirmarque todospodemos«subitizar» sin contar: todaunacorrientedenuevaspublicacioneshaconfirmadoestepuntoconvariedaddemétodos(Piazza y otros, 2003, Arp, Taranne y Fagard, 2006,Watson,Maylor yBruce, 2007, Demeyere, Lestou y Humphreys, 2010, Maloney, Risko,Ansari y Fugelsang, 2010). Sin embargo,me equivoqué al sugerir que lasubitización es esencialmente una forma de «aproximación precisa». Miideaoriginaleraque,enelrangodelosmuypequeñosnúmeros1,2y3,lascurvasdeajustedelasneuronasdenúmerosonlosuficientementeagudascomo para codificar un valor preciso. Nuestras neuronas de número,entonces, aunque fueran aproximadas, serían lo suficientemente precisas

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comoparadiferenciarel1del2yel2del3enunamirada,conun100%de precisión. Por fuera de este rango, este tipo de subitización seríaimposible porque la gran superposición de activación neural evitaría laseparación rápida de dos números consecutivos. En ese caso, sinecesitáramos acceder a un número exacto, nos veríamos obligados acontar.De acuerdo con esta perspectiva, compartida en aquelmomentopormuchosotros científicos (Gallistel yGelman, 1991,Cordesyotros,2001),lasubitizaciónnoesunprocesodistinto,sinosoloellímiteinferiordenuestrosistemadeaproximación.En 2008, en mi laboratorio, Susannah Revkin llevó a cabo un

experimento que refutó esta seductora idea acerca de la subitización(Revkinyotros, 2008).Nuestrapremisa era simple: si lamentehumanaestáequipadaconsolounsistemadeaproximación,conunporcentajefijode incertidumbre en todo el rango de números, entonces debería serigualmente fácil distinguir números cualesquiera separados por lamismarazón.Entonces,diferenciarel1del2deberíasertanfácilcomodistinguirel 10del 20o el 20del 40.Para probar esta predicción, preparamosdosexperimentos muy bien emparejados. El primero era una tarea desubitización clásica, en la que los participantes veían conjuntos quecontenían entre 1 y 8 puntos y tenían que identificar su número lomásrápidoposible.Enelotro,seutilizaríanconjuntosconfactor10.Dijimosalosparticipantesquesoloveríandiez,veinte,treinta,cuarenta,cincuenta,sesenta,setentauochentapuntos,ynuncaotrascantidades.Todoloqueteníanquehacereraindicarelnúmerocorrespondientealadecena,lomásrápido que pudieran. Les dimos entrenamiento extenso y les hicimoscomentarios para asegurarnos de que comprendieran la tarea y sedesempeñarandeformaóptima.Sinembargo,losresultadosfueronclaros:eldesempeñoconlosnúmerosqueexpresabandecenas,como10,20y30,era notoriamente peor que el obtenido con números en el rango desubitización (1, 2 y 3). Nuestra hipótesis predecía que deberíamos serexcelentes para distinguir diez, veinte o treinta puntos; tan buenos, dehecho, como con los números 1, 2 y 3. En cambio, estas decenas enrealidad no se procesabanmejor nimás rápido que 40 o 50. En todo elrangodenúmerosevaluado,solo1,2y3dabanresultadosdiferentesdelosotros: con estos pequeños números, las personas eran a veces hastadoscientosmilisegundosmásrápidasen ladenominación,ytambiénerancasiperfectamenteprecisas.Nuestrosresultadosnodejanningunadudadequeexisteunprocesodistintoqueseocupadel rangodesubitizaciónde

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los números, una conclusión que también ha sido avalada por lainvestigaciónrealizadapormediodeneuroimágenes(Piazzayotros,2003,HydeySpelke,2009).¿Por qué este punto es tan importante? Porque indica que nuestro

sentido numérico es un mosaico de múltiples procesos centrales. Elconsenso actual es que no tenemos solo uno, sino dos sistemas pararepresentarunnúmerodeobjetossincontar(Feigenson,CareyyHauser,2002,Feigensonyotros,2004).Elsistemadenúmerospequeños,llamado«deseguimientodeobjetos»,solorepresentaconjuntosdeuno,dosotresítems.Nospermiteseguirsustrayectoriasdeformabastanteprecisay,porlotanto,nosbrindaunmodelomentalexactodeloqueocurrecuandounobjetosemuevedentroofueradeunconjuntopequeño.Porotrolado,elsistema de aproximación puede representar cualquier número, grande opequeño; nos permite compararlos o combinarlos en operacionesaproximadas.Ladiferenciaentre losdossistemasnuméricosresideensucapacidad

para representar números grandes: el sistema de seguimiento de objetosfracasacuandoelnúmerodeobjetosesmayorquetresocuatro.Aunqueresulte sorprendente, los números pequeños 1, 2 y 3 parecen serrepresentadosmentalmente en simultáneopor ambos sistemas.Podemossubitizarlos, pero también aproximarlos y disponerlos en la localizaciónapropiada en la recta numérica mental aproximada. Por tanto, no haydiscontinuidad en nuestra representación mental, ninguna necesidad de«suturar» la recta numérica: el rango completo de números pequeños ygrandes está representado en la recta numéricamental aproximada. Esterasgo puede explicar por qué los monos entrenados para ordenarconjuntos de acuerdo con su número, incluso cuando el entrenamientoestá limitado a conjuntos de uno a cuatro ítems, inmediatamentegeneralizanelconocimientoaconjuntosmásgrandesdehastanueveítems(Brannon y Terrace, 1998, 2000). Con el sistema de aproximación,tenemos una intuición inmediata de la continuidad de los números. Elsistemadenúmerospequeños,porotrolado,nospermitehacerzoomparacentrarnos en los números muy pequeños 1, 2 y 3 y obtener unacomprensiónexactadesuaritmética,decómoestosnúmerossecambianalsumarorestarunobjeto.La investigación llevadaacaboconniñospequeños indicaqueambos

sistemasnuméricosyaseencuentrandisponiblesdurantelosprimerosdíasde vida, y que su combinación puede tener un papel crucial en la

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adquisicióndelaaritmética.Enefecto,algunasdelasmejoresevidenciasdeque existe un sistema distinto para números pequeños proceden de lainvestigación realizada en bebés. En muchos experimentos, los niñospequeños solo tienen éxito cuando los números son lo suficientementepequeños como para ser subitizados. Piensen, por ejemplo, en unexperimentosencillollevadoacaboporLisaFeigensonysuscolegas,queenesemomentotrabajabanenlaUniversidaddeNuevaYork(Feigenson,Carey y Hauser, 2002[56]). Primero se introducen en un escenario doscajas vacías, y luego el bebé ve al investigador esconderdos galletitas enunacaja(deaunaporvez)yluegotresenlaotra.Mástarde,seloanimaaqueintentealcanzarunadelasdoscajas.Noresultaextraordinarioqueelbebéelijalacajaquecontieneunnúmeromásgrandedegalletitasmásdel80% de las veces. Pero luego llega el descubrimiento sorprendente. Enotrapartedelexperimento,secolocandosgalletitasenunacajaycuatroenlaotra.Ahoraelbebéfallarotundamente:suporcentajedeéxitoesunmagro 50%, esencialmente una elección al azar. ¿Por qué el niño tieneéxitoen2frentea3yfallacon2frentea4,unadiferenciamásgrandeyaparentementemásobvia?Laevidenciaindicaquelosbebéstambiénfallanen1frentea4,3frentea6oprácticamenteencualquierexperimentoenelqueunode losnúmeros exceda el 3.Laúnica explicaciónposiblepareceser que más de cuatro eventos saturan la memoria del niño, hasta quecolapsa.Tres galletitas ubicadas en una caja encajan con facilidad dentrodelrangodesubitización.Unagalletitamásessuficienteparaexcederestelímite,ylosbebésrepentinamentepierdenlacuentadecuántosítemshayen la caja. Su sistemade aproximación parece no tener ninguna utilidad,porquelasgalletitasseintroducendeaunaporvez,yentonceselconjuntocompletonuncaseveentero.Lapresentaciónsecuencialimpideelusodelsistema de aproximación, y deja al niño con un sentido limitado de losnúmeros1,2y3.

¿Cómofuncionalasubitización?

Cómo funciona verdaderamente la subitización todavía es un pocomisterioso. Sin embargo, una clave interesante es que, al contrario de loque pensamos alguna vez, no resulta independiente de nuestra atención.Subjetivamente, lasubitizaciónpareceserautomática:unaúnicamiradaa

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unconjuntoparecesersuficienteparaquereconozcamossinesfuerzoquecontieneuno,dosotresobjetos.Esto,noobstante,esunailusión(Railo,Koivisto,RevonsuoyHannula,2008,Trick,2008,Vetter,ButterworthyBahrami, 2008, 2010, Xu y Liu, 2008). Los conjuntos que se presentancuandonuestramente está temporariamenteocupada enotra cosa—porejemplo, porque se nos pide que memoricemos una letra— ya no seperciben con precisión, incluso cuando solo abarcan dos o tres ítems.Lejos de ser «preatencional» y de ocurrir sin esfuerzo, la subitizaciónrequiere atención. Podemos seleccionar un pequeño número de ítems, eincluso seguirlos a través del tiempo y el espacio, pero esto supone unacargaparanuestraatención.Entonces, ¿cómo funciona la subitización? La investigación actual

sugiere que tenemos tres o cuatro espacios de memoria en los cualespodemos almacenar por un tiempo breve una especie de indicador queseñala hacia cualquier representaciónmental (Vogel yMachizawa, 2004,Awh,BartonyVogel,2007,Feigenson,2008,ZhangyLuck,2008).Estealmacén de la memoria se llama «memoria de trabajo», una reservatransitoria que mantiene los objetos del pensamiento activados por unbrevelapso.Lautilizamos,porejemplo,pararecordarquéformasaparecenenunatarjeta:tresocuatroobjetossepuedenalmacenarconeficienciaeneste archivo mental, cada uno con todas sus propiedades perceptuales.Cuandoalmacenamosinformacióndeestemodo,tambiénobtenemos«sincosto»adicionalsunúmero,porqueelsistemacodificademaneraimplícitael número de espacios ocupados en un determinado momento. Paracomprenderesto,imaginenquetienentrescajasdezapatos,unaverde,unarojayunaazul,quepuedenusarenunordenfijoalguardarsuszapatillasdecorrerparaunviaje.Comolascajasseusanenunordenfijo,unvistazoasuscoloreslespermitedeterminarelnúmerodeparesquesehanllevado.Siseusasololacajaverde,significaquesolosellevóunpar;verde+rojosignificados,yverde+rojo+azulsignificatres.Unsistemadearchivode este tipo es una buena metáfora de cómo puede funcionar lasubitización: cuando prestamos atención a los objetos, nuestro sistemaperceptual inmediatamente ubica sus propiedades en los espaciosdisponibles de un dispositivo de seguimiento de objetos. Para subitizar,todoloquetenemosquehaceresconectarloscontenidosdeestearchivomentalconlosnombresdelosnúmeros1,2o3.Lo singular acercadel códigode subitización esqueproveeuna cifra

discretaparacadaunode losnúmerospequeños1,2y3.El agregadode

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cadaobjetoabreunnuevoespacioenlamemoria,unamarcaadicionalenlamente, que claramente indica el movimiento a un nuevo número. Esteprincipiodecodificaciónesradicalmentediferentedelaformaenquelosnúmeros se codifican en la recta numéricamental aproximada.Aquí, losnúmeros se representan mediante distribuciones de activación pocoprecisas, de modo tal que 7 y 8 se superponen, mientras que 2 y 8 sesolapanmuchomenos.Nohaynadaenel sistemanuméricoaproximadoque sostenga un sistemade aritmética exacta connúmeros discretos.Encambio,conelsistemadearchivodeobjetospodemosseguircadaobjetoconprecisión(siempreycuandosunúmeronopasedetres).Elconceptode«númeronatural»,elpilardenuestrosistemaaritmético,probablementevenga de nuestra notable capacidad para seguir pequeños números deobjetos,combinadaconnuestrosentidonuméricointuitivo,quenosdicequecualquierconjunto,porgrandequesea,tieneunnúmerocardinal.Dealgúnmodo, alrededor de los 3 o 4 años de edad, estos dos sistemas seensamblan.Derepente,losniñosinfierenqueunconjuntodebetenerunnúmeropreciso,yque13,entonces,esunconceptodistinto,radicalmentediferente de sus vecinos 12 y 14. Esta revolución mental, exclusiva delHomo sapiens, es el primer paso en el camino a la matemática máscompleja.

Númerosenlaselvaamazónica

Elconocimientode las cosasmatemáticas es casi innatoparanosotros[…]Estaes lacienciamásfácil,unhechoqueesobvioentantoningúncerebro larechaza;yaqueloslegosylaspersonascompletamenteanalfabetassabencómocontarycalcular.

RogerBacon

Todavía no conocemos con precisión qué ocurre en la mente del niñocuandodeprontocomprendequehayuna infinidaddiscretadenúmerosexactos.Sinembargo,hoysabemosquelatransiciónnoesautomáticanisedesencadenasolaapartirdelamaduracióndelcerebrohumano.Setratadeuninventocultural.ElgranmatemáticoLeopoldKroeneckerseequivocócuandodijo:«Dioshizolosenteros;todoelrestoestrabajodelhombre».

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Hastalosenterossonunaconstrucciónhumana.Soloexistenenculturasque inventaron lanocióndecontar.Lahumanidad teníaqueelaborarunsistema para contar formado por palabras que hicieran referencia anúmerosantesdepoderrepresentarque13eradiferentede12.Debemos nuestro conocimiento del carácter cultural de la aritmética

exacta a la valentía de investigadores como los lingüistas Pierre Pica yPeterGordon,quienessetomaroneltrabajodeviajarlargasdistanciasparainvestigar la habilidad matemática de culturas remotas del Amazonas(Gordon, 2004,Pica y otros, 2004,Dehaene, Izard,Pica y Spelke, 2006,Dehaene,Izard,SpelkeyPica,2008,Franks,2008).Loqueobservaronfuenotable.Lejosdeserincompetentes,hastalasetniasquevivenaisladasdenuestromundo, sin educación formalni vocabulariomatemático,poseenun sentido refinado del número aproximado. Sin embargo, no parecendisponerdelosenterosexactos.He tenido la fortuna intelectual de trabajar durante los últimos diez

añosconPierrePicasobreelmodoenquelosmundurucusrepresentanlosnúmeros.He sido el proverbial científico de sillón de este proyecto. Enrealidad,nuncaviajéalAmazonas;encambio,cadaañosindescansoPierrePicaseadentróen la jungla,conunacomputadoraportátilysusbateríassolares a mano, para poner a prueba la hipótesis que Véronique Izard,Elizabeth Spelke y yo habíamos concebido en París. DiseñamosanimacionesdePowerPointyprogramasdecomputadoraquesepudieranenviar a la jungla y utilizar con personas que nunca habían visto unapantalladecomputadora.Losmundurucusnosresultanparticularmenteinteresantesparaevaluar

nuestrateoríaporquesulenguanotieneunsistemacompletoparacontar.Solocuentaconunaspocaspalabrasquehacenreferenciaanúmeros,quelleganhasta5:pũgsignifica1;xepxepes2;ebapũg,3;ebadipdip,4,ypũgpõgbi, que significa «una mano» o «un puñado», es 5. A partir de estepunto, su sistemanumérico esencialmente se reduce a «algunos» (adesũ)frente a «muchos» (ade). Sorprendentemente, estos números nunca seusan para contar: los mundurucus no suelen recitarlos a toda velocidadcomoloharíamosnosotros(«unodostrescuatrocinco»),ynormalmentenolos hacen corresponder uno a uno con los objetos de un conjunto.Másbien, esas palabras parecen usarse como adjetivos para determinadacantidad, de un modo similar a como nosotros podemos decir que unconjuntoparecetener«másomenoscinco»unidadesoparecerondar«unadocena». Uno de nuestros primeros experimentos consistió en mostrar

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conjuntosdepuntosaestosparticipantesypreguntarlescuántosítemsseencontraban presentes. Nunca contaban, sino que, esencialmente,etiquetabanlosconjuntosconunapalabraaproximada.Cuandohabíauno,dosotresítems,confrecuenciaemitíanelpũg,xepxepoebapũgcorrecto.Ante cuatro ítems, sin embargo, ya comenzaban a cometer errores,diciendo que había cinco o tres. A partir de cinco o seis ítems, usaban«algunos»yalosdiezodocesimplementedecían«muchos».Claramente,noteníanmododenombrarconprecisiónlosnúmeroscardinalesexactos.Luegonospreguntamosquéimpactoteníaestalimitaciónléxicasobre

su comprensión de la aritmética. La hipótesis del sentido numéricopredecíaquedebíanestarlejosdesertontos.Aunquenuncahabíanidoalaescuela,nuncahabíanoídohablardelasumaolasustracción,ynisiquierapodíannombrarlosnúmerosapartirdelcinco,predijimosqueseríanmuycompetentesconlosnúmerosaproximados.Comocualquieradenosotros,habíanheredadounacapacidadpara comprender cómose comportan losconjuntos de objetos en operaciones análogas a la suma y la resta. Eraprobablequenodiferenciaranlosnúmerosexactos,porquesuculturaestálimitadaaunaetapatempranadelaconstruccióndelaaritmética,enlaquetodavíanosecuenta.En un primer conjunto de tareas, demostramos que, en efecto, los

mundurucussonnotablementecompetentesparaelnúmeroaproximado.Deciden con facilidad cuál de dos conjuntos de puntos es el másnumeroso,inclusoconnúmerosquelleganhasta80,yenpresenciadeunaconsiderable variación enparámetros nonuméricos, como el tamañodelobjeto o la densidad. También pueden realizar cálculos aproximados:cuando se les muestran dos conjuntos de objetos que se escondensucesivamenteenunfrasco,puedenestimarsusumaycompararlaconuntercer número. Es sorprendente que aborígenes aislados, sin educaciónformal y con una lengua limitada en relación con las palabras paranúmeros,seancasi tanprecisoscomolosadultosfranceseseducadosquetomamos como grupo de control en esta tarea de aproximación (figura10.5).Sinembargo,difierenenel cálculoexacto.Lespresentamosejemplos

concretosdeproblemasderestamuysimplescomo6–4,escondiendoseisobjetos en un frasco y luego quitando cuatro (figura 10.5). El resultadofinal siempre era 0, 1 o 2, que se encontraban con facilidad dentro delrangodenombradodelosmundurucus(aunquenotienenunapalabraparael 0, pueden usar paráfrasis como «no queda nada»). En una prueba,

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solicitamosa losparticipantesquemencionaranelresultado,yenotra lohicimos todavía más fácil pidiéndoles que señalaran una imagen quemostrabaelresultadocorrecto(cero,unoodosobjetosenunfrasco).Enningunadelastareaslosmundurucuslograroncalcularelresultadoexacto.Tuvieron un desempeño relativamente bueno en los números que seencuentranpordebajodetres,perofallabancadavezconmásfrecuenciaamedidaquelosnúmerossevolvíanmásgrandes,ynosuperaronel50%derespuestas correctas en cuanto el número inicial superó el cinco. Unmodelo matemático mostró que su desempeño era exactamente elesperable,dadasucapacidadparaaproximar: ¡aproximaronunaoperacióntansimplecomo5–3!

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Figura10.5.Inclusosineducaciónformalysinunvocabularioparanúmerosgrandes,losaborígenesdelaculturaamazónicamundurucuposeenunsentidonuméricobiendesarrollado.Realizansumasaproximadasycomparacionesdenúmerosgrandesaaproximadamenteelmismonivelquelosparticipantesdeungrupodefrancesesconeducaciónformalquetomamoscomo

control(arriba).Sinembargo,fallancuandolatareainvolucrauncálculoexacto,como5–4(abajo)(tomadodePicayotros,2004).

Engeneral, los estudiosque realizamoscon losmundurucusdemuestranquelasetiquetaslingüísticasnosonnecesariasparadominarlosconceptosmás importantes de la aritmética (la cantidad, las relaciones entre más

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grande y más pequeño, la suma, la resta) y para realizar operacionesaproximadas.La intuición aritméticaprovistapor el sentidonumérico essuficiente. Sin embargo, parece esencial disponer de un sistema denúmeros simbólicos para superar este sistema evolutivamente antiguo ypararealizarcálculosexactos.Hahabidomuchacontroversiaalrededordelainterpretaciónteóricade

estos resultados. Mientras nosotros nos enfocamos en los mundurucus,Peter Gordon, un lingüista de la Universidad de Columbia, estudió algrupo de los pirahãs, cuya lengua es todavía más limitada: solo tienenpalabrasnuméricasparael1yel2,¡yestastambiénparecensersinónimosde«pocos»y«muchos»,yde«pequeño»frentea«grande»!Suestudio,quese publicó en el mismo ejemplar de Science que el nuestro, mostrabaesencialmente el mismo resultado: cuando se les pedía que colocaranbateríasenunacorrespondenciaunoaunoconunconjuntodeobjetos,lospirahãs no podían dar un equivalente numérico exacto, pero siempre seaproximaban a la cantidad correcta. Las afirmaciones de Gordon, sinembargo, fueron mucho más extremas que las nuestras. Planteó que lalengua pirahã es totalmente «inconmensurable» respecto de la nuestra, ycitócomocorroboraciónlaperspectivadellingüistaBenjaminLeeWhorf,quesostienequelalenguadeterminalaestructuraconceptual:

Así,pues,nosvemosintroducidosenunnuevoprincipioderelatividadqueafirmaquenotodoslosobservadoressondirigidosporlamismaevidenciafísicahacialamismaimagendel universo, amenos que los sustratos de sus experienciaslingüísticas sean similares o puedan ser nivelados de algúnmodo (Benjamin Whorf, Lenguaje, pensamiento y realidad,1956,p.2014).

No estoy de acuerdo con esta interpretación, que, en mi opinión, esexagerada.Loquelimitaalosmundurucusyalospirahãsnoeslafaltadeconocimientoconceptual.Tienenconceptosdenúmeroaproximadoydearitmética, y en ese sentido su cultura es completamente «comparable»respecto de la nuestra, en tanto compartimos una medida común delnúmero aproximado. Es más, nuestra lengua, con términos deaproximacióncomo«docena»yexpresionescomo«diez,quincelibros»noesdiferentedeladeellos.En síntesis, nuestros experimentos no proveen evidencia para la

hipótesis whorfiana de que la lengua determina el pensamiento. Al

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contrario,sostienenconfirmezalauniversalidaddelsentidonuméricoysupresenciaencualquierculturahumana,poraisladaydesfavorecidaqueestédesdeelpuntodevistadesueducaciónformal.Loquemuestranesquelaaritméticaesunaescalera:todoscomenzamosenelprimerpeldaño,perono todos trepamos hasta el mismo nivel. El progreso en la escalaconceptual de la aritmética depende del dominio de una caja deherramientasdeinventosmatemáticos.Lalenguadelosnumeralesessolounadelasherramientasculturalesqueamplíanelrepertoriodeestrategiascognitivas disponibles y nos permiten resolver problemas concretos. Enespecial, el dominio de una secuencia de palabras para números nospermitecontarrápidamentecualquiercantidaddeobjetos.Enmi opinión, la lengua ni siquiera es la única que permite contar:

podemos contar casi con igual eficiencia sin utilizar nombres paranúmeros,yaseaindicandopuntosenelcuerpo,atravésdeunábacooconalgunasmarcas.Perodominaralmenosunsistemadeestetipoesesencialpara avanzarmás allá de la aproximación.Un conjunto de experimentosrecientes realizados por Lisje Spaepen en Harvard muestra que, enausencia de un sistema para contar, hasta una persona perfectamenteintegradaensusociedadpuedenollegaradesarrollarunacapacidadparalaaritméticaexacta.LisjeestudióenNicaraguaaadultossordosquevivíanencomunidadeshablantesquenoleshabíanenseñadounalenguadeseñasniacontar.Estaspersonasteníantrabajos,ganabandineroysusfamiliasnosospechaban que tuvieran dificultades con la aritmética. Pese a esto, losexperimentos de Spaepen mostraron que se comportaban de una formamuy similar a los mundurucus en relación con la aritmética, pues eranincapacesdeequiparardeterminadonúmerodeobjetosconotroconjuntode ítems.Sibien levantabanundeterminadonúmerodededoscuandoseles mostraba un conjunto de objetos, estos gestos no operaban comoverdaderos«símbolos»:noeranfijos,ysucongruenciaconelnúmerodelconjunto con frecuencia solo era aproximada.En resumen, cuando se lopriva de un dispositivo para contar, hasta un adulto integrado en lasociedadoccidentalpuedeserincapazdecomprendercompletamenteunodesusprincipiosclave,elconceptodelnúmeroexacto.En nuestro trabajo más reciente con los mundurucus, vemos otra

huella de los cambios cognitivos inducidos a partir de saber contar.Recuerden que el adulto occidental representa las cantidades como unarecta numérica mental, un espacio lineal que se extiende de maneracontinuadelosnúmerospequeñosalosmásgrandes.Nospreguntábamos

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si los mundurucus tendrían las mismas intuiciones que nosotros.¿Pensaríanespontáneamenteenlosnúmeroscomoalgoqueseextiendealolargodeunaescala lineal?¿Sabríanquecualquiernúmeroseencuentra«entre» sus vecinosmás pequeño ymás grande, un concepto puramenteespacial?Lahipótesisdelsentidonuméricopredecíaqueasídeberíaser.Para probar nuestra hipótesis, les mostramos a los mundurucus un

segmentodeunalíneaenunapantalladecomputadora,conunpuntoalaizquierda y diez puntos a la derecha (figura 10.6). Les dimos solo dosensayos de entrenamiento, en los cuales les dijimos que la cantidad unopertenecía al extremo izquierdo y la cantidad diez al derecho. Luego deeso, lespresentamostodos losnúmeros intermediosy lespreguntamosadóndepertenecían.Eranlibresdeseñalarcualquierlugardentrodelarecta,y podían elegir una amplia variedad de estrategias de respuesta: porejemplo,podíanagrupartodoslosnúmerosimparesalaizquierdaytodoslos pares a la derecha. Sin embargo, esto no fue lo que hicieron.Comonosotros, inmediatamente comprendieron que el número y el espaciodebían coincidir regularmente uno con otro. La ampliamayoría de ellosprodujo una representación uniforme de los números, con unacomprensiónclaradelhechodequeel1deberíaestarcercadel2,el2cercadel 3, y así sucesivamente. Entonces, obviamente comparten nuestrasintuicionesacercadelascantidadesydecómoseproyectanenelespacio.Unaspectodesusrespuestas,sinembargo,fuebastanteinusual.Sinos

pidieran a nosotros que hiciéramos esta tarea, espontáneamentecolocaríamos el número 5 cerca del medio, entre 1 y 9. En efecto,evaluamosa sujetoscontroldeláreadeBoston,yprodujeronunaprolijarepresentación rectilínea, con marcas equidistantes para los enterossucesivos,yconel5ubicadoenlamitaddelcaminoentreel1yel9.Perolosmundurucusqueno recibieron educación formalno lohacían así; sumedio subjetivo caía más cerca del 3. Todo el patrón de respuesta eracurvo,nolineal(figura10.6).Parecíancreerqueel8estámuchomáscercadel9deloqueel1estádel2.Dehecho,surepresentaciónseaproximabaaunafunciónlogarítmicaynoaunalínea.¿Qué hay detrás del sofisticado patrón de respuesta de los

mundurucus? La respuesta se puede encontrar en el capítulo 3. Larepresentación espontánea del número aproximado que compartimosnosotrosyotros animales está comprimidamentalmente.Dosconjuntosgrandes, con ocho frente a nueve ítems, parecen más similares que dospequeños que contengan, por ejemplo, uno frente a dos ítems. En el

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sentido numérico animal, los números se organizan en función de susrazones: un conjunto de tres objetos es a uno lo que nueve es a tres;entonces, el número tres cae, en un sentido, «en el medio» de 1 y 9.Obviamente,losmundurucusnoconocenlaspropiedadesabstractasdelafunciónlogarítmica, inventadaporelmatemáticoescocésJohnNapierenel siglo XVI. Sin embargo, como ordenan sus respuestas espaciales deacuerdo con razones numéricas o porcentajes, sus rectas numéricascoincidenespontáneamenteconunaleylogarítmicacompresiva.

Figura10.6.Lacomprensióndelacorrespondenciaentrenúmerosyespaciocambiaconlaeducación.Losniñospequeñosylosmundurucusadultosquenohanrecibidoeducaciónformalproyectanlosnúmerosdeunaformacurvaycomprimida,yconsideranqueel3seencuentraenelmediode1y9,yque8y9estánmáscercaque1y2.Conlaescolarización,laproyecciónsevuelveestrictamentelineal,yel5caeenelmediode1y9(tomadodeDehaene,Izardyotros,2008,y

SiegleryOpfer,2004).

Esta comprensión intuitiva del número es notablemente resistente alcambio. Aun los adultos mundurucus bilingües que saben contar enportugués y aplican las palabras de esta lengua sobre el segmento de un

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modolineal,proyectanconjuntosdepuntosynombresdenúmerosdelalengua mundurucu utilizando una escala logarítmica. En los niñospequeños de nuestro propio ambiente cultural se puede ver uncomportamiento similar. Cuando se les pide que señalen la localizacióncorrectadeunapalabranuméricahabladaenunsegmentolinealetiquetadoconel1alaizquierdayel100aladerecha,losniñosdejardíndeinfantescomprenden la tarea y sistemáticamente colocan los números máspequeñosalaizquierdaylosmásgrandesaladerecha.Sinembargo,comolosmundurucus,nodistribuyenlosnúmerosdeformaparejaylineal.Másbien, dan más espacio a los números pequeños, lo que impone unaproyección comprimida. Por ejemplo, colocan el número 10 cerca de lamitad del intervalo que va del 1 al 100 (Siegler yOpfer, 2003, Siegler yBooth,2004,BoothySiegler,2006,Berteletti,Lucangeli,Piazza,DehaeneyZorzi, 2010).Más adelante eneldesarrolloocurreuna transiciónde laproyección logarítmica a la proyección lineal, entre primero y cuartogrado,segúnlaexperienciayelrangodenúmerosevaluado.Aunniñoleinsume largo tiempocomprenderque losnúmeros1y2están separadosporelmismointervaloquelosnúmeros8y9o,enrealidad,cualquierparde números consecutivos. Esta comprensión profunda de la función desucesión,unabasedelaaritméticaexacta,noaparecedeformaespontánea,sinoqueeselresultadodelaculturaylaeducación.

Delaaproximaciónalosnúmerosexactos

El número […] es una de las ideas más abstractas ymetafísicasquelamentedelhombreescapazdeformar.

AdamSmith,Considerationsconcerningthefirstformationoflanguages

Dadoquerequiereunacombinaciónexactaunoaunodelosobjetosyunasecuenciadenumeralesomarcas,contarparecepromoverunaintegraciónconceptual de las representaciones numéricas aproximadas, lasrepresentaciones discretas de objetos y el código verbal (Carey, 1998,SpelkeyTsivkin,2001).Nadiesabeexactamentecómoocurreesto,peroalrededor de los 3 o 4 años de edad, el procesamiento numérico de losniños occidentales registra un cambio abrupto (Wynn, 1990).

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Repentinamenteloschicossedancuentadequecadapalabraparacontarhacereferenciaaunacantidadprecisa.Esta«cristalización»delosnúmerosdiscretosapartirdeuncontinuuminicialmenteaproximadodemagnitudesnuméricaspareceserexactamenteloquelosmundurucusnotienen.Unaclavedeestecambiovienedelosestudioscuantitativosacercade

cómo se desarrolla el sentido numérico con la edad. Las variantes denuestrosexperimentosconmundurucussepuedenconvertirconfacilidadenundispositivodemediciónexactoparaevaluarlaprecisióndelsentidonumérico. Con Manuela Piazza diseñamos una prueba elemental, losuficientementesimpleparaunniñode3años,enlaquelosparticipantesvendosconjuntosdepuntos,unoalaizquierdayelotroaladerecha,yselespideque señalen elmásgrande. Simodificamos ladistancia entre losnúmeros por muy poco, podemos hacer que esta tarea se vuelvaarbitrariamente fácil o difícil y, de este modo, establecer la menordiferencianuméricadetectable (figura 10.7).Comoocurre con la cartillavisual del oftalmólogo, la prueba provee una estimación detallada de la«agudeza» de cada persona para los números. Sorprende la pronunciadamejoradeestevalorconlaedad(HalberdayFeigenson,2008,Bertelettiyotros, 2010, Piazza y otros, 2010). Un niño de 6 meses necesita unavariación del 100%—en otras palabras, una duplicación del número—antesdereconocersistemáticamenteelnúmeromásgrande.Paracuandoelniñotiene3años,esevalorhabajadoal40%ycontinuarádescendiendoenlosañossubsiguientes.

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Figura10.7.Elsentidonuméricoseperfeccionaconlaedadylaeducación.Ensuprimerañodevida,losniñosyadistinguendosnúmeroscuandosediferencianporunaproporciónlo

suficientementegrande(porejemplo,8frentea16,uncambiodel100%).Laagudezanuméricamejoracontinuamenteconlaedad,ycomoadultospodemosdistinguircambiosmuypequeños,delordendel15%(porejemplo,14frentea16,comoseilustraenelejemplo).Sinembargo,sineducaciónformal,losadultosdelaetniamundurucudelAmazonassolopuedendistinguiruncambiodel30%enelnúmero,undesempeñomuycercanoaldelospreescolares,loquesugierequelaeducaciónformalrefinamuchonuestrasintuicionesdelascantidades.Mientrasqueestapruebanoverbalesextraordinariamentesimple,tambiénidentificaalosniñoscondiscalculiadeldesarrollo:alaedadde11años,todavíamuestranlaagudezanuméricadeunniñode5años

(redibujadoapartirdelosdatosdePiazzayotros,2010).

Elcambiomásmarcadoenlaagudezanuméricaocurreantesdelos3años,yresultamuytentadorrelacionarloconlacapacidadqueapareceenelniñode aprender palabras para losnúmeros.La precisión refinadadel sentidonuméricoactúacomounlenteque,pocoapoco,ponelosnúmerosenunfoco más preciso. Puede ser el factor clave que permite que el niñodiferencie las categorías «cristalizadas» discretas dentro de lo que esinicialmente un continuo de numerosidad, y les asigne etiquetasnuméricas. El refinamiento progresivo de la agudeza numérica puedeexplicarporquétomatantotiempoqueunniñoadquieralapalabra«uno»;luego,mesesmástarde,lapalabra«dos»,ylomismoparalapalabra«tres»:dadoquelarectanuméricaestácomprimida,losnúmerosmásgrandes,que

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conceptualmenteenconjuntoestánmáscerca,entranenfocoenunpuntoposteriordelavida.Almismotiempo,elaprendizajedelaspalabrasparanúmerostambién

parece tener un impacto en la precisión del sentido numérico. En losadultosoccidentales,laprecisiónfinalalcanzadaesdeaproximadamenteel15oel20%;sincontar,podemosdiferenciarentre30yaproximadamente36.Sineducación,losadultosmundurucusmuestranvalorescercanosa30:necesitan que exista casi el doble de la diferencia antes de comenzar adistinguir dos números (Dehaene, Piazza, Izard y Pica, investigación encurso,2010).Estees,claramente,elresultadodelaeducación,porquelosmundurucusquehansidoescolarizadosyhan llegadohastatercergrado,en el que se presentan los conceptos de los números y las cuentas, venrefinarsesuagudezahastaelvaloroccidentaldel15-20%.En resumen, durante los años preescolares, el establecimiento de un

diálogobidireccionalentrenuestrosentidonuméricoynuestrosistemadeconteollevaaunsistemamuyintegradoymejorado,dondecadasímbolonuméricosevinculadeformaautomáticaconunsignificadocadavezmáspreciso.Reciéncomenzamosacomprendercómoocurreestecambioenelcerebro. Luego de estudiar la forma en que las neuronas de los monoscodifican la numerosidad de los conjuntos de puntos,AndreasNieder yotros colegas realizaron un experimento osado pero muy revelador:entrenaronasusmonosconnúmerosarábigos(DiesteryNieder,2007).Cadadía,porunperíododeunospocosmeses, se entrenóadosmonosmacacosparaaparearlasformasdelosdígitosarábigos1,2,3y4conlascantidadescorrespondientesdepuntos.Alfinal, losprimatestuvieronundesempeño bastante bueno. Es interesante que todavía se percibía unefectodedistancianumérica:cuandose lesmostrabaundígito,tendíanaconfundirlo con las magnitudes cercanas, lo que sugiere que, en efecto,estabanjuzgandolascantidadesasociadas.Unavezquelosmonossehabíanvueltoexpertos,Niederysuscolegas

comenzaronaregistrarneuronas individuales,tantoenlacortezaparietaldondesehabíanencontradolasneuronasmásrápidasconsensibilidadparala numerosidad, como en la corteza frontal, que contiene células dememoriamáslentas.Lonotableesqueencontraronalgunasneuronasconcurvasdeajustealossímbolosenamboslugares.Porejemplo,unaneuronaseactivabaconfuerzacuandoaparecíaelnúmero4,unpocomenosparael3,muchomenosparael2ynadaparael1.Otrasneuronaspreferían losdígitos1,2o3.Esobvio,entonces,quelasneuronasnorespondíanalas

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formas, sino que consideraban la cantidad asociada a esas formas, y lohacían de manera muy regular, sobre la base de la similitud de sussignificados.Sorprendentemente, en el lóbulo parietal una amplia mayoría de

neuronasmostrabapreferenciasdistintasparadígitosyparaconjuntosdepuntos: o bien estaban adaptadas a los símbolos o bien a los conjuntos,pero no a ambos al mismo tiempo. Solo en la corteza prefrontal unaproporciónrelativamentegrandedeneuronascodificabavaloresnuméricossin importar si se presentaban como un número específico de puntos ocomoundígitoarábigo.Niederlasllamó«neuronasdeasociación»,porquepor sí mismas parecían proveer la asociación directa entre dígitos ycantidadesnecesariaspara realizar conéxito la tareade apareamiento.Esmás, el nivel de activación de las neuronas de asociación predecía eldesempeño del mono: cada vez que el mono no lograba responder deforma correcta en un ensayo, las respuestas adaptadas de las célulascolapsaban. En cambio, solo el 2% de las células de la corteza parietalasociabadígitosconcantidades,yentoncesestasrespuestaseranbastantedébilesytardías.Lo que sugieren estos resultados es que, en las etapas iniciales del

aprendizajede los símbolos, la cortezaprefrontal tieneunpapel esencialpara ligar el «2» con «••». Esmuy probable que esta región provea unespacio para la síntesis mental, reuniendo información dispersa yformando nuevas combinaciones (Dehaene yChangeux, 1995,Dehaene,KerszbergyChangeux,1998,O’Reilly,2006).Susconexionesseabrenamuchasotrasáreascerebralesdealtonivel,comolasregionestemporalesinferiores que categorizan formas y las parietales que se ocupan de lasmagnitudes,loquelahaceidealparaensamblarunconceptounificadodelnúmero.Además, hayque tener en cuentaque lasneuronasprefrontalespuedenmantener informaciónactivadisparandoporunperíodo largodetiempo,yentoncesfuncionancomounbúferdememoriadetrabajoquepermite confrontar dos porciones de información presentada enmomentos diferentes. Probablemente este rasgo sea esencial parapermitirles a los monos aprender la asociación entre un dígito y unacantidad, incluso cuando los dos elementos se presenten separados porvariossegundos.Otrorasgocrucialdelacortezaprefrontalesqueestáinvolucradaenel

aprendizaje consciente y con esfuerzo. La utilizamos cuando prestamosatenciónainformaciónnueva,diseñamosunanuevaestrategiaotomamos

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concienciadeunanuevaconexión[57].Cuandoseestableceuna rutina, elconocimiento se transfiere a circuitos más automáticos, y la activaciónprefrontal desaparece. Es probable que los monos de Andreas Niedernunca hayan alcanzado esta etapa de rutina. El aprendizaje de símbolosposiblementeextiendaloslímitesdetodoslosprimatesnohumanos,porloquesusáreasprefrontalesparecenpermanecerfirmementemovilizadaspor esta tarea demandante, incluso después demeses de entrenamiento.Losniñoshumanossondiferentes.Unospocosañosdeescolarizaciónsonsuficientesparaautomatizarlosvínculosentrelosdígitosylasmagnitudes,al punto de que incluso un número apenas visible evoca rápidamente lacantidad correspondiente en la mente del niño (Girelli y otros, 2000,MussolinyNoel,2008).Lasneuroimágeneshastahoysehanutilizadopara seguir la actividad

cerebral mientras los niños aprenden números arábigos y aritmética(Ansari, García, Lucas, Hamon y Dhital, 2005, Rivera y otros, 2005,Ansari y Dhital, 2006, Kaufmann y otros, 2006, Kucian, Von Aster,Loenneker,DietrichyMartin,2008).Alprincipio,elpatróndeactivaciónse parece al de los monos. En contraste con los adultos, los niñospequeños que no disponen de experiencia con los símbolos numéricostienenunaltoniveldeactividadprefrontalsiemprequehacenaritmética.Sinembargo,conlaedadylahabilidad,amedidaqueseponeenmarchalaautomaticidad,laactivaciónenlacortezaprefrontalsedesvaneceycambiaa las áreas parietal y témporo-occipital, particularmente en el hemisferioizquierdo (Rivera y otros, 2005, Kucian y otros, 2008). Así, la cortezaprefrontalpareceserlaprimeraáreacorticalenestablecerlasasociacionessimbólicasde losnúmerosarábigos,quese relocalizanpocoapocoen lacortezaparietaldurantelaniñez.Siestaexplicaciónescorrecta,llevaaunapredicciónsimple:losadultos

humanosquesehanvueltoexpertosencomprenderdígitosypalabrasparanúmerosdeberíantener«neuronasdeasociación»enlacortezaparietal.Enlos cerebros educados, debería activarse un código neural común al verveintepuntos,lapalabra«veinte»oelnúmero20.¿Cómopodemosprobarestapredicción?Comoexpliquéantes,nopodemosobservarrealmentelasneuronas individuales en el cerebro humano normal, pero podemos usartrucos indirectos. Manuela Piazza y yo usamos otra vez el truco de laadaptación. Aburrimos a los sujetos con patrones de puntos cuyanumerosidadsiempreseencontrabaenelmismorango,porejemplo,17,19,18,yasísucesivamente.Luegomostrábamosnúmerosocasionalesque

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podíanestarmuycerca(20)omuylejos(50);peroloqueresultacrucialesque esta vez los números se podían mostrar como números arábigos.Elaboramos la hipótesis de que la señal de neuroimagen de la cortezaparietal primero se adaptaría a veinte puntos, luego permanecería bajacuando viera el número 20, pero se recuperaría para el número 50. Estepatrón de adaptación significaría que las mismas neuronas codificannúmeros simbólicos y no simbólicos: reconocen la identidad conceptualoculta de veinte puntos y el número 20. Y esto es, exactamente, lo queencontramos;deestemodo,probamosunaspectoimportantedelateoríadel reciclajeneuronal: lamanipulaciónde símbolos culturales aprendidosrecicla áreas que antes estaban involucradas en operaciones aritméticasevolutivamentemásantiguasconconjuntosconcretos.Hoy existe una forma aúnmás directa de probar este punto.Con la

fMRIdealtaresolución,podemosdetectarpatronesdistintosdeactividaden lasuperficiede lacortezahumana,yvincularcadaunoadeterminadosignificado (por ejemplo, un número en especial). Este método se hallamado «decodificación cerebral», y es posible porque las neuronas quecodificandiferentesnúmeros,aunqueentremezcladasdeformaarbitraria,tiendenaformarconjuntosaleatoriosenlacorteza.Entonces,elnúmero4evocaunpatróndeactividaddistinguibleenlasuperficiecortical,mientrasque el número 8 evoca otro. Los patrones pueden parecer indistintos asimple vista, pero se puede entrenar un sofisticado algoritmo deaprendizaje automático para separar la señal del ruido e identificar laspartesdelaactividadevocadaasociadasdeformaconfiableacadanúmero.El resultado es una máquina de decodificación cortical, que utilizaimágenesde laactivacióncerebralcomo informacióndeentraday,comoproducto,estimaelnúmeroqueselehabíapresentadoalsujeto.Para nuestra sorpresa, este tipo de decodificación cerebral funciona

bastantebien(Egeryotros,2009).Enmilaboratorio,EvelynEgerdiseñóundecodificadorqueaciertacercadel75%delasvecesrespectodecuál,entredosnúmeros,sehabíapresentado(mientrasqueunarespuestaalazarsolo tendría un 50%de éxito).Más impresionante aún resulta que, unavez que se ha entrenado un decodificador con los números arábigos, sepuedegeneralizaraconjuntosdepuntos.Entonces,cuandodistinguimosel dígito 2 del dígito 4, utilizamos, por lo menos en parte, las mismasneuronas que pueden distinguir entre dos puntos y cuatro puntos. Alexaminarunagranporciónde los lóbulosparietaly frontal,Evelynnotóque la región intraparietal hIPS es, nuevamente, la mejor para la

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decodificacióndenúmeros.Enlosadultosbienentrenados,porlomenos,la corteza parietal es el lugar donde se encuentran las cantidades y lossímbolos. La educación nos da un código neuronal compartido para lasnumerosidadesylossímbolos.Sinembargo,hayunadificultadconesta teoría. Sinuestros símbolos

fueranmerasetiquetasparacantidadesaproximadas,nodeberíansermuydiferentes de las palabras mundurucus para «cerca de cinco», «pocos» o«muchos».Esobvioquenuestracajadeherramientasnuméricaoccidentalvamuchomásalládelaaproximación.Losnúmerosarábigosylaspalabraspara números nos permiten hacer referencia a números precisos, ydistinguirsinproblemaentre,porejemplo,13y14.Entonces,elcódigodecantidadnosolosevuelveaccesibleapartirdelaeducación;tambiéndebeserextremadamenterefinado.Unmodeloteórico,estructuradocomounared de neuronas modelo, arroja luz sobre el posible funcionamiento deesto (Verguts y Fias, 2004). Cuando se expone la red a conjuntos depuntos,desarrollacélulasmásomenosajustadasacantidadesaproximadas,deunmodomuysimilara lasneuronasparanúmerodeAndreasNieder.Sin embargo, cuando se la expone al mismo tiempo a los símbolosnuméricos,lasneuronasseseparanengruposmuchomáspequeños,cadauno enfocado con claridad en un número específico. En el modelo, lasmismas neuronas se utilizan para codificar magnitudes aproximadas ysímbolosnuméricosexactos,perosuscurvasdeajustesondiferentes.Lossímbolos ajustan a las neuronas de una formamuchomás exacta y, portanto, les permiten codificar una cantidad precisa. En otras palabras, unconjuntodepuntosevocaunaactivaciónampliaydifusaen lasneuronasparietales,mientrasquelossímbolosinducenlaactivaciónenunsubgrupomáspequeño,peroaltamenteselectivo.Hoyendía,solohayevidenciamodesta,aunquesugerente,paraavalar

estateoría(Piazza,Izard,Pinel,LeBihanyDehaene,2004,Piazza,Pinel,LeBihanyDehaene,2007,Egeryotros,2009).Lospatronessutilmenteasimétricos para la adaptación y para la decodificación sugieren que elrefinamiento predicho de la codificación de números puede ocurrirespecíficamente en la cortezaparietal izquierda.Este resultado es lógico.Solo la regiónparietal izquierda contiene almismo tiempoun códigodecantidad y las conexiones directas necesarias para vincularlo con lossistemasdelalenguaydelsímbolodelhemisferioizquierdo.Esmás,existeevidenciadirectadequeestaregiónsevuelvecadavezmáslateralizadaalhemisferio izquierdo durante el desarrollo numérico, en correlación

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estrecha con la lateralización del circuito del lenguaje (Rivera y otros,2005; Pinel y Dehaene, 2009). Pero lo que resulta particularmenteatractivodelateoríaesqueinmediatamenteexplicaporquéhastalosniñospequeñospuedentenerintuicionesacercadelaspalabrasparanúmeros.Encuantoestaspalabrasseproyectanenlasneuronasparietalesparanúmeros,adquieren un significado numérico y pueden ingresar a los cálculosintuitivos, inclusoantesdetodotipodeescolarización.Comoseutilizanlasmismasneuronas,cualquiernúmeroarábigo,porejemplo,el8,adoptalas propiedades de la representación mental de la magnitudcorrespondiente.

Lacomprensióndelasdiferenciasindividualesyladiscalculia

Elmayorteoremanoresueltoenmatemáticaesporquéalgunaspersonassonmejoresenellaqueotras.

HowardEves,Returntomatematicalcircles

Actualmenteexisteevidenciadirectadequelaintegracióndecantidadesydepalabrasquehacenreferenciaanúmerosesloquedaalospreescolaresintuiciones acerca de la aritmética. Camilla Gilmore y Elizabeth Spelkeprobaronestepuntoconunexperimentomuyosado:¡lespidieronaniñosde jardínde infantesde5y6añosdeedadqueresolvieranproblemasdesumayrestadedosdígitos!(Gilmore,McCarthyySpelke,2007).Aestaedad, los niños todavía no han aprendido a sumar; entonces, ¿cómo esposiblequehaganesto?El truco, comoseveen la figura10.8, esque lapruebasolo requiereunacomprensiónaproximadade lascantidades.Porejemplo, se le dice al niño que «Sarah tiene sesenta y cuatro caramelos,regala trece de ellos; John tiene treinta y cuatro caramelos; ¿quién tienemás?».Aunque el problema está puesto en palabras, la respuesta suponeconvertir estas palabras en cantidades y pensar en sus relaciones, sinsiquierarealizarningúncálculoexacto.Eldesempeñode losniños en lapruebadeGilmoreySpelke sugiere

queestoesexactamenteloquehicieron.Susrespuestasmuestrantodaslashuellas del sistema numérico aproximado: sus respuestas solo sonestadísticamente correctas (cerca del 70%de las veces), peromejoran a

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medida que aumenta la distancia entre las dos opciones. Además, sonpeoresconlarestaqueconlasuma,exactamentecomoprediceunateoríamatemáticadelprocesodeaproximación(Dehaene,2007).

Figura10.8.Elsentidonuméricoesunafuentepoderosadeintuicionesmatemáticasenlosniñospequeños.Enesteexperimento,selespreguntóaniñosdejardíndeinfantesporsusintuicionesacercadelaformaenquesecombinanensumasyrestaslosnúmerossimbólicosdegrantamaño.Sibiennuncaseleshabíaenseñadonadaacercadelosnúmerosdedosdígitos,lasumanilaresta,

tuvieronundesempeñomuchomejorqueelazar,sindistincióndesexouorigensocial.Utilizaronintuicionesaproximadasdelascantidadesysoloacertaronsiladistanciaentrelosnúmeroseralosuficientementegrande,comoenelejemplo.Eléxitoenestapruebadeaproximaciónfueunbuenpredictordelospuntajesposterioresdelosniñosenmatemática(tomadodeGilmoreyotros,

2007).

ElexperimentodeGilmoreySpelkees fundamental,dadoquevalidaunprincipiocentralde lahipótesisdel sentidonumérico:hasta losniñosdejardín de infantes son competentes en la aritmética antes de laescolarización, y su comprensiónde la aritmética simbólica está fundadasobre una intuición temprana de lasmagnitudes. Incluso si nunca se lesenseña el significado de 64 y 13, aprenden a conectar estas palabras concantidades aproximadas. En este punto, la suma formal de númerosarábigos de dos dígitos todavía está, sin duda, fuera de su alcance, peropueden utilizar su conocimiento anterior de cómo se combinan lascantidadesparaobtenerunarespuestaaproximadapara64–13.Resulta extraordinario que la agudeza de los niños pequeños en las

tareas aproximadasde este tipo seaunpredictor excelentede éxito enelcurrículo clásico de matemática, incluso cuando se descartan lainteligencia,eléxitoescolargeneralyelnivelsocioeconómico(Gilmoreyotros,2007,Gilmore,McCarthyySpelke,2010).Enniñosunpocomásgrandes,de6a8años, lavariabilidaden laagudezanuméricapredice loslogrosenmatemática,peronoenlectura(HollowayyAnsari,2008).Alo

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largodeun rangode tiempo aúnmayor, existeuna correlación entre lasnotas enmatemática en la escuelay la agudezanumérica a la edadde14años (Halberda, Mazzocco y Feigenson, 2008). Más importante, laagudeza numérica reducida puede identificar a los niños que tienendificultadesenmatemática:enlapruebadeagudezadeManuelaPiazza,losniñosde10añoscondéficitsespecíficosenaritméticatuvieronpuntajesalmismonivelquelosniñosde5años.Estosresultadosproveenevidenciadirectadequelasdiferenciasenlas

habilidadesindividualesparalaaritméticacorrespondenadiferenciasenelsentido numérico. En efecto, hasta es posible detectar este tipo dediferencias individuales a nivel del cerebro: en su adolescencia temprana,losniñosquetienenunpuntajemásaltoenpruebasdematemáticatienenconexiones detectablemente más eficientes entre el área del sentidonumérico de la corteza intraparietal izquierda y el lóbulo frontal (figura10.9;Tsang,Dougherty,Deutsch,WandellyBen-Shachar,2009).Perolarelacióncausal todavíano sehadeterminadopor completo. ¿Unsentidonuméricomásagudopredisponeaalgunosniñosa laaritmética?¿O,a lainversa, una exposición temprana a la educación aritmética impulsa elsentidonumérico?Probablemente,ambascosasseanciertas.Sospechoconconvicciónqueeldesarrollodelniño involucracausalidadbidireccionalo«espiralada»:elsentidonuméricotempranoimpulsa lacomprensiónde laaritmética, que, a su vez, impulsa la agudeza numérica, en una espiralvirtuosa en ascenso constante. A la inversa, los niños cuyo sentidonumérico está atrasado respecto del de sus pares probablemente pierdanterrenopocoapocoenotrasáreasdelamatemática.Paraellos,laespiralsevuelveuncírculovicioso:comosudesempeñonologramejorardeformanormal,labrechaenelaprendizajeaumentaamedidaquesequedancadavezmásatrásdeotrosniñosdesugrupoetario.Desde la primera edición de esta obra, se ha logrado un progreso

notableenlacomprensióndelosmecanismoscerebralesqueseencuentrandetrás de la discalculia del desarrollo. Allá por 1997 solo mencionébrevementequemuchosniños—uníndicequerondaentreel3yel6%(Kosc, 1974, Badian, 1983, Shalev y otros, 2000)—, a menudo conpercepción, lenguaje e inteligencia normales, mostraban dificultadesdesproporcionadaspara elprocesamientode losnúmerosy la aritmética.Selosllama«discalcúlicos»,elequivalentedeladislexiaperoenelcampodelaaritmética.Enmuchosdeellos,eldéficittieneunimpactoentareasmuy básicas: puede estar comprometida incluso la decisión de si un

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conjunto está compuestopordoso tresobjetos,ode cuál es elnúmeromásgrandeentre5y6.Esmás,aunqueestofueinicialmentedebatido,hoyexiste cada vez más evidencia de que está dañado su sentido de lanumerosidad:lasubitizacióndelosnúmerospequeños1,2y3esanormal,confrecuenciaequivocanlosjuiciosdeconjuntosdepuntos,ysuagudezaparalaaproximaciónnuméricaesreducida(Landerl,BevanyButterworth,2004, Price, Holloway, Rasanen, Vesterinen y Ansari, 2007, Landerl,Fussenegger, Moll y Willburger, 2009; Mussolin, Mejias y Noel, 2010,Piazzayotros,2010).

Figura10.9.¿Sepuedeninferirlashabilidadesmatemáticasapartirdelaobservacióndelcerebro?Enesteestudioderesonanciamagnética,losniñosquetuvieronunpuntajealtoenunapruebadearitméticaaproximadatambiénmostraronunamejororganizacióndetalladadeconexionescerebralesespecíficas.Eltractodefibrarelevante,mostradoalaizquierda,conectalaregión

intraparietalizquierda,queincluyeeláreadelsentidonumérico,conlacortezafrontal.Comotal,sepresumequefacilitalamanipulaciónexplícitaylamemorizacióndelosnúmeros.Sinembargo,nosepuededeterminaratravésdeestemétodosilasdiferenciasobservadassongenéticasosi

dependendelaexperiencia(tomadodeTsangyotros,2009).

Unahipótesisnaturalenloconcernienteaestedéficit,entonces,esqueelsistemadecantidadparietalha sidoafectado,ya seaporunaenfermedadgenética o por un daño cerebral temprano. Esta hipótesis fue defendidahacepocotiempoporvariosestudiosdeimágenescerebrales.Enuno,unconjuntodeadolescentesjóvenesnacidosprematurosfueseparadoendosgrupos: los que habían sufrido discalculia durante su niñez y los que no(Isaacs, Edmonds, Lucas y Gadian, 2001[58]). Se utilizaron imágenes deresonanciamagnética para estimar la densidad demateria gris en toda lacorteza. Solo los discalcúlicos sufrían de una reducción selectiva dedensidad de materia gris en el surco intraparietal izquierdo, en la

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localizaciónprecisa dondepor lo general se observa la actividad cerebraldurantelasoperacionesdearitméticamental.Los niños prematuros parecen ser especialmente propensos a la

discalculia y a otros déficits del lóbulo parietal, como la desorientaciónespacial o la dispraxia (torpeza en los movimientos), probablementeporque el daño cerebral perinatal afecta con frecuencia la zonaperiventricular posterior que subyace a la corteza parietal. Pero tambiénsabemosdecasosde«discalculiapura»enlosquelosniñosnoposeenunsentidonumérico sólido, a pesar dehaber tenidounnacimientonormal.Aquí, otra vez, la corteza parietal parece estar desorganizada, porque nologra activarse normalmente cuando se les pide a los niños que realicentareassimplesque involucranalsentidonumérico(Kucianyotros,2006,Priceyotros,2007,Mussolin,DeVolderyotros,2010).Tenemos la firme sospecha de que, del mismo modo que para la

dislexia, en la discalculia se encuentra involucrado un componentegenético.Enlasfamiliasconalmenosunniñodiscalcúlico,laprevalenciadediscalculiaenparientesdeprimergradoesdiezvecesmayorqueenelrestode lapoblación (Shalevyotros, 2001).Enel 70%de los casosdegemelos, si uno se ve afectado, el otro también tiene una alteración(Alarcon,DeFries,LightyPennington,1997).Nosehaidentificadoaúnningúngenalrespecto,peroconocemosvariasenfermedadesgenéticasenlasque ladiscalculiaesmuyfrecuente[59].UnadeellaseselsíndromedeTurner,unaanomalíaenloscromosomasporlacuallasmujeresnacenconsolo un cromosoma X. Cuando con Nicolas Molko extrajimosneuroimágenes de pacientes con síndrome de Turner, observamos unaactivación anormal de la corteza parietal derecha durante el cálculo desumasconnúmerosgrandes(Molkoyotros,2003).Elpatróndeplieguescorticales tambiénestabadesorganizado.Estaobservaciónes importante,porque los pliegues corticales comienzan a formarse durante el tercertrimestre del embarazo y, por lo tanto, una anomalía en esta área señalaunaafeccióngenéticatempranaeneldesarrollocerebral.

Delacogniciónnuméricaalaeducación

Elhechodequehayaunacategoríadeniñosconinteligenciayescolaridadnormales, pero que presentan una dificultad desproporcionada para la

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aritmética rechaza la noción de que la educación siempre involucramecanismos de aprendizaje de dominio general. Más bien, la base delaprendizaje matemático es una representación especializada de lanumerosidad, con un sustrato cerebral específico. Uno debería sercuidadoso,sinembargo,denoexagerarlasconclusionesextraídasapartirde los estudios de discalculia. No sabemos cuántos niños discalcúlicosrealmente tienen alteraciones cerebrales identificables. Es muy probablequemuchosde losquemuestrandificultadesconlaaritméticanotenganningúndañobiológico;simplemente,noseleshaenseñadopormediodelosmétodosapropiados.Enefecto,algunosniñoscondéficitsdecálculotienen un sentido numérico perfectamente normal, pero no puedenaccederaélapartirdelossímbolosnuméricos(RubinsteinyHenik,2005,RousselleyNoel,2007,Wilsonyotros,2009).Esteproblemapareceseruna descripción aplicable a las habilidades matemáticas reducidas de losniños de contextos socioeconómicos bajos, que pueden haber tenidomenos experiencia con los símbolos de números que aquellos desituacionesmásprivilegiadas.Incluso con niños que sufren una discalculia genuina, un déficit

genético no es un castigo de por vida. A diferencia de las lesionescerebrales adultas, los trastornos del desarrollo pocas veces dejantotalmentedestruidoslossistemascerebrales.Elcerebrodelniñopresentaunaltogradodeplasticidad,einclusolosdéficitsmuyseverospuedensersuperados, con frecuencia, con un entrenamiento reparador intensivodistribuidoalolargodevariassemanasomeses.Enelcasodeladislexia,grancantidaddeinvestigacioneshademostradolosefectosbeneficiososdeprogramascentradosprecisamenteenlosdéficitscognitivosexactosdelosniños. Las imágenes cerebrales de antes y después del entrenamientomuestranungradoconsiderablederecuperación,tantodentrodelasáreasqueoriginalmenteestabansubactivadascomoencircuitoscompensatoriosadicionales, particularmente los del hemisferio derecho (Kujala y otros,2001,Simosyotros,2002,Templeyotros,2003,Edenyotros,2004[60]).Aunque la investigación sobre la discalculia tiene un progreso más

lento,nohayrazonesparacreerqueunentrenamientocompletonopuedehacermucho para superar el problema. La primera edición de esta obraponíaelénfasissobreelhechodequelarealizacióndejuegosconnúmerosenlaescuelapuedeencauzarlaatencióndelosniñossobrelasintuicionesque se encuentran detrás de los símbolos numéricos, y esto ha sidocompletamenteconfirmadopor la investigaciónreciente(Wilson,Revkin

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yotros,2006,Wilsonyotros,2009).Peroahoraestamosenlaeradelosjuegos de computadora. ¿Las computadoras pueden contribuir alentrenamiento en aritmética? Sin reemplazar nunca a los maestros, losprogramas de computadora educativos presentan muchas ventajas. Losjuegosinteligentespuedenproveerentrenamientointensoeincesante,undíatrasotro,yhacerlodeunaformaatractivayentretenida,divertidaparaelniño.Loqueesmásimportante,sepuedenhaceradaptativos:elsoftwareidentifica automáticamente los puntos débiles del niño y pone el focosobre ellosdurante el entrenamiento,mientras se aseguradeque elniñogane juegos con la frecuencia suficiente como para que no se sientadesalentado.ConAnnaWilsonhemosdesarrolladoelprimerjuegodecomputadora

adaptativopara aritmética básica:Thenumber race, un juegoque suponecorrer una carrera con la computadora hasta el final de una rectanumérica[61].Encadaensayo,elniñoeligeelmásgrandededosnúmeros,y luego lo usa para avanzar un número equivalente de espacios por unapistadecarreras.Alpermitirlavariacióndeladistanciaentrelosnúmeros,lavelocidaddeladecisiónytambiénelformatodela ilustración—desdepuntoshastacomplicadoscálculos,comolaelecciónentre9–6y5–1—,ladificultaddeljuegosepuedeajustarconprecisiónalanecesidaddecadaniño. En efecto, el software está diseñado para entrenar cada aspectoimportantedelaaritméticatemprana:laevaluaciónrápidadecantidades,larutinaparacontar,elvínculorápidoentrelossímbolosylascantidades,ylacomprensióndequeelnúmeroyelespaciotienenunvínculocercano.El software está diseñado con una configuración abierta, de modo quecualquiera pueda utilizarlo o transformarlo. En efecto, ya se lo hatraducidoaocholenguasyestácomenzandoautilizarseenvariosestudioscontrolados.Los resultados obtenidos con nuestro juego son modestos, pero

significativos (Wilson, Revkin y otros, 2006, Ramani y Siegler, 2008,SiegleryRamani,2008,2009,Wilsonyotros,2009).Eldesempeñodelosniñosmejoraenvariastareasdiferentes,desdelasubitizaciónhastalaresta.Losmejoresresultadosseobtienenconniñospequeñosdebarriospobres,queconfrecuencianojueganestetipodejuego.Jugarsoloenunaspocasocasiones es suficiente para disminuir sus errores de comparación denúmerosenunfactordedos.Desde un punto de vista cognitivo, todavía hay mucho para

comprender acerca de cómo funcionan en realidad estos juegos de

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entrenamiento y cómopueden volverse óptimos. Sabemos que cualquierintervención con computadora mejora la atención y la cognición engeneral. Este es un resultado optimista, pero implica que, siempre queprobemosunjuegoespecíficamentediseñadoparacentrarseenlosdéficitsaritméticos,debemoscompararloconprogramasdecomputadorascontrolcon un contenido diferente. En el caso deThe number race,mostramosque sus efectos positivos en la comparación de números estabanrelacionados de forma única a su contenido numérico y no se podíanobtenersiseutilizabasoftwaredelecturaamododecontrol.Sin embargo,dadoquenuestroprograma está llenode conocimiento

numérico,queabarcadesdelasubitizaciónhastaelconteoylaestimación,nopodemosestarsegurosdecuáldeestosaspectosespreponderante.Porfortuna, Geetha Ramani y Robert Siegler, de la Universidad CarnegieMellon,handiseñadounmanejomuchomássutil(RamaniySiegler,2008,Siegler yRamani, 2008, 2009). Lamitad de los niños juegan a un juegomatemático simple, en el que corren uno contra otro en una rectanuméricadediezcuadrados,haciendogiraruna ruletaetiquetadacon losnúmeros1y2,yavanzansumandoestacantidadalnúmerodelaceldadeljugador.Laotramitaddelosniñosdesarrollaunjuegomuysimilar,enelmismotablero,cuyaúnicadiferenciaesquelaruedatienecoloresy,acadapaso, el niño debe moverse al cuadrado que tiene el mismo color. Laprimera actividad específicamente entrena a los niños acerca de laproyeccióndelosnúmeros1–10sobreunaescalalineal,mientrasqueelsegundocontrolacompletamentetodoslosotroscontenidos:elespacial,elsocialyeldegratificación[62].Conesteenfoquesencillo,RamaniySieglerdemostraron que un juego demesa numérico tiene un impacto positivoenormesobrelacomprensióndelaaritmética.Sevengrandesmejorasenuna variedadde tareas numéricas, que incluyen las pruebas de lectura dedígitos, comparación demagnitudes, suma y pruebas de recta numérica.Los beneficios llegan a ser significativos después de dos meses.Obviamente, los niños que juegan a juegos de mesa cuentan con unaventajainicialquepuedetenerunefectomultiplicadordelargoplazoensuhabilidadysuconfianzaconlamatemática.

Conclusión

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Como dicen David y Ann Premack (2003: 227), «una teoría de laeducaciónsolosepodríaderivardelacomprensióndelamentealaquesedebeeducar».Porcierto,hoycontamosconunconocimientorefinadodelamentedelmatemáticoincipiente.Sehandadograndespasosennuestracomprensión de cómo se implementa la aritmética en el cerebro. Lasaplicaciones de la neurociencia cognitiva a la educación ya no están«demasiado lejos» (como anunciaba, ya desde su título,Bruer, 1997).Alcontrario, hoy se encuentran disponibles muchos métodos deinvestigación conceptuales y empíricos. Se pueden presentar programaseducativos innovadores, y tenemos a nuestro alcance todas lasherramientasparaestudiarsuimpactoenloscerebrosylasmentesdelosniños.Elauladeberíasernuestropróximolaboratorio.

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ApéndiceA

Correcciónde la«prueba»de la figura9.1.Esa figurasedibujóde forma incorrectadeliberadamente.Aunqueenefecto los triángulos OAB y ODC son similares, susrelaciones son bastante diferentes de las que sugiere lafigura 9.1. El punto O, la intersección de LyL’, enrealidad es mucho más alto (véase la figura abajo).Entonces,esverdadqueδ=α–β,peroδ’=2π–α–β.Estasrelacionesobviamentenopermitenextraerningunaconclusiónacercadelvalordelánguloδ’.

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ApéndiceB

PáginasdeInternetdeutilidad

Laboratorio de Dehaene: INSERM–CEA Unidad de NeuroimágenesCognitivas,<www.unicog.org>,últimaconsulta:11/01/2016.Contieneresúmenesdenuestrainvestigaciónrecienteyproveeaccesoauna lista de artículos publicados acerca del número, la lectura y laconciencia.Intervenciones digitales para la discalculia y las dificultades enmatemática, <www.low-numeracy.ning.com>, última consulta:11/01/2016.Contiene varios juegos de números simples, un foro y discusionesútiles.Programa The number race,<www.unicog.org/numberrace/number_race_index.html>, últimaconsulta:11/01/2016.Es un juego de computadora diseñado porAnnaWilson y pormí yque,segúnsehademostrado,ayudaaenseñarlaaritméticaelementalalosniños.Sepuederealizarladescargagratuitayhayaccesocompletoalcódigofuente.Iniciador en discalculia y guía de recursos,<www.oecd.org/education/ceri/dyscalculia primerandresource‐guide.htm>,últimaconsulta:11/01/2016.Setratadeunaseriedepreguntassimplesyrespuestasconcisasacercadeladiscalculia,conreferenciasútiles.About Dyscalculia, <www.aboutdyscalculia.org>, última consulta:11/01/2016.Aporta más información acerca de la discalculia, con seccionesespecíficasparapadres,maestroseinvestigadores.Center for Educational Neuroscience,<www.educationalneuroscience.org.uk>, última consulta:11/01/2016.

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Es un sitio de referencia para seminarios en línea y discusión deinvestigaciónacercadeneurocienciayeducación.

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STANISLAS DEHAENE (Roubaix, Francia, 12 de mayo de 1965). Es unreconocido experto en el estudio de las bases cerebrales de las principalesoperaciones intelectuales humanas. Formado comomatemático en la ÉcoleNormaleSupérieureparisinaydoctoradoenpsicologíacognitiva,fuedurantecasiunadécadadirectorde investigacionesenel INSERM (InstitutoNacionalFrancésdeSaludeInvestigaciónCientífica)hastasernombradoprofesorenel Collège de France, donde inauguró la cátedra de Psicología CognitivaExperimental.

Sutrabajointegraperspectivashistóricas,genéticas,fisiológicasycognitivas,con el objetivo de dilucidar el fundamento de actividades como elrazonamiento, la conciencia o la lectura. Su importante tarea científica levalió el nombramiento en numerosas academias, y se complementa con lapublicación de muy exitosos libros de divulgación, entre ellos El cerebrolector,LaconcienciaenelcerebroyAprenderaleer.

En2003,juntoconDenisLeBihan,DehaenefuegalardonadoconelPremioLouis D. del Instituto de Franci. En 2014, junto a Giacomo Rizzolatti yTrevorRobbins,fuegalardonadoconelBrainPrize,galardónotorgadoaloscientíficosquesehandistinguidoporsusobresalientelaborenelcampodelaneurologíaeuropeayquetodavíaestándesarrollandosulabor.

Página444

Notas

Página445

[1] En los dos casos, la traducción literal del sobrenombre es «Hans elastuto»o«elinteligenteHans».[N.deT.].<<

Página446

[2]Lacogniciónnuméricaenanimaleshasidotemadedistintostrabajosderevisión,comoDavisyPérusse(1988),Gallistel(1989,1990),BrannonyTerrace(1998),Dehaene,Dehaene-LambertzyCohen(1998),CantlonyBrannon(2007),JacobyNieder(2008),NiederyDehaene(2009).<<

Página447

[3]Estemodelofuedesarrolladoposteriormenteporotros:VergutsyFias(2004),Verguts,FiasyStevens(2005).VéansetambiénDehaene(2007)yPearson,Roitman,Brannon,PlattyRaghavachari(2010).<<

Página448

[4] Para completar esta observación profética, véase la parte IV de estelibro; véanse también Nieder (2005), Nieder y Dehaene (2009). En laactualidad hay evidencia empírica directa de la existencia de neuronasdetectoras del número en el cerebro del mono, y sólida evidencia quesugieresupresenciaenelcerebrohumano.<<

Página449

[5] Para una actualización reciente de esta perspectiva, llamada «reciclajeneuronal», y su posible extensión a las habilidades para la lectura y ellenguaje,véanseDehaeneyCohen(2007),Dehaene(2009).<<

Página450

[6]Hoyendíasabemosque,enpruebasnoverbalesmássimples, inclusolosniñosmáspequeñosmuestran evidenciasde representarse lasmentesdelosotros;véaseOnishiyBaillargeon(2005).<<

Página451

[7]Véase unademostraciónmás reciente de la habilidadnumérica en losreciénnacidosenIzard,Sann,SpelkeyStreri(2009).<<

Página452

[8]Véronique Izard inclusodemostróunahabilidad similar en los reciénnacidos;véaseIzardyotros(2009).<<

Página453

[9]Pararéplicasyextensiones,enespecialanúmerosmásgrandes,véanseSimon, Hespos y Rochat (1995), Koechlin, Dehaene y Mehler (1997),McCrink y Wynn (2004, 2009). Para límites y para discusión, véanseFeigenson,Careyy Spelke (2002),Feigenson,Dehaeney Spelke (2004).<<

Página454

[10] Por ejemplo, Gelman y Tucker (1975), Gelman y Gallistel (1978).VéaseunarevisiónenWangyBaillargeon(2008).<<

Página455

[11]Desde1997,variosexperimentoshandemostradoestepunto.Véanse,porejemplo,McCrinkyWynn(2004,2009).<<

Página456

[12] Para una validación de esta afirmación y sus límites, véanse Bonatti,Frot,ZanglyMehler(2002),Xu,CareyyQuint(2004),Krojgaard(2007).<<

Página457

[13] Se alude al tema «Le temps ne fait rien à l’affaire», publicado porprimeravezenunsimplede1961yprontoincluidoeneloctavolongplaydeBrassens,quesuelellamarseconesemismotítulo.[N.deT.].<<

Página458

[14]VéanseunarevisiónyunadiscusiónenDehaene(2007).<<

Página459

[15] Una enorme cantidad de investigación se ha dedicado al efectoSNARCy susvariantes.Véaseuna revisiónenHubbard,Piazza,PinelyDehaene(2005,2009).<<

Página460

[16]Paraunapruebamásdirecta,véanseItoyHatta(2004),Zebian(2005),ShakiyFischer(2008).<<

Página461

[17]VéansetambiénGordon(2004),Pica,Lemer,IzardyDehaene(2004),Butterworth,Reeve,ReynoldsyLloyd(2008).<<

Página462

[18]Paraotrosaspectosdelahistoriadelasnotacionesnuméricas,véanseDantzig(1967[1930]),Hurford(1987),Ifrah(1998).<<

Página463

[19] Véase una revisión de los efectos lingüísticos sobre la cogniciónnuméricaenEllis(1992).<<

Página464

[20]Paraqueesteexperimentoresulteclaro,debetenerseencuentaque,eninglés,lapalabrasheep(oveja)esinvariable,demodoquethesheepdesignatanto a una como a varias ovejas; además, en esa lengua el orden depalabrasnopuede funcionarcomoorientaciónparaelniño(showme theredsheepyshowmethethreesheep).[N.deT.].<<

Página465

[21] Nuevamente, este ejemplo resulta más claro en inglés, que es másrígidoenrelaciónconelordendepalabras.Enestecaso,losejemplosdeltextosonthreelittlesheepparaloquelosniñosproducen,ylittlethreesheepparaelordenincorrectoquenuncaproducen.[N.deT.].<<

Página466

[22]VéanseloscapítulosdeCampbell(2004).<<

Página467

[23]Sinembargo,véaseLochy,Seron,DelazeryButterworth(2000).<<

Página468

[24]VéansetambiénCase(1985,1992).Paraampliacionesrecientes,véanseWilson, Dehaene y otros (2006), Wilson, Revkin, Cohen, Cohen yDehaene(2006),RamaniySiegler(2008),SiegleryRamani(2008),SiegleryRamani(2009),Wilson,Dehaene,DuboisyFayol(2009).<<

Página469

[25]VéansetambiénO’ConnoryHermelin(1984),HermelinyO’Connor(1986b,1986a),HoweySmith(1988).<<

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[26]EstacitaylasquesiguenfiguranenSmith(1983).<<

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[27]Nótese que la realidadde la hazañade losmellizosha sido criticadaconseveridadporYamaguchi(2009).<<

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[28]LastribulacionesdelcerebrodeEinsteincontinúanhastaeldíadehoy.Véanse Anderson yHarvey (1996) yWitelson, Kigar yHarvey (1999).<<

Página473

[29]Véanseunanálisisexhaustivodelosefectosdeladiferenciadegéneroen la matemática y mayores referencias en Benbow (1988), Hyde,Fennema y Lamon (1990); véase también Benbow, Lubinski, Shea yEftekhari-Sanjani(2000).<<

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[30]Véanse losresultadosdeuna investigaciónreciente,queutilizótantoanálisis conductuales comodeneuroimágenes, enMolkoyotros (2003),Bruandet,Molko,CohenyDehaene(2004),yMolkoyotros(2004).<<

Página475

[31]VéasetambiénObleryFein(1988).<<

Página476

[32]VéasetambiénYamaguchi(2009).<<

Página477

[33] Véase una revisión de los primeros estudios en Dehaene y Cohen(1995); véanse, también, Lemer, Dehaene, Spelke y Cohen (2003),Dehaene,Molko,CohenyWilson(2004).<<

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[34] Una primera descripción de los pacientes con el cerebro divididopuede encontrarse enGazzaniga yHillyard (1971).Véase un análisis enprofundidaddesushabilidadesnuméricasenGazzanigaySmylie(1984),Seymour,Reuter-Lorenz yGazzaniga (1994),Cohen yDehaene (1996),Colvin,FunnellyGazzaniga(2005).<<

Página479

[35] Presentaciones de caso y revisiones constan en Benton (1961, 1987,1992),Mayeryotros(1999),Rusconiyotros(2009).<<

Página480

[36]Estaconclusiónharecibidomuchoapoyoexperimentalenlosúltimosaños. Véanse, por ejemplo, Pinel, Piazza, Le Bihan y Dehaene (2004),Hubbardyotros(2005),TudusciucyNieder(2007).Paraencontrarunapropuestasimilar,véaseWalsh(2003).<<

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[37]Paraunadescripcióngeneraldelaalexiapura,véanseDéjerine(1892),DamasioyDamasio(1983),Cohenyotros(2004).Paraunadescripciónde las habilidades numéricas residuales en la alexia pura, véase Cohen yDehaene(1995,2000).<<

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[38]Véaseuncasosimilar,examinadoenmayordetalle,enLemeryotros(2003).<<

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[39]Véanse,porejemplo,MilleryCohen(2001)yFuster(2008).<<

Página484

[40]Unaexcelente introduccióna lasneuroimágenes esPosneryRaichle(1994). Para encontrar una actualización detallada sobre las imágenes deresonanciamagnética,véaseHuettel,SongyMcCarthy(2008).<<

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[41] Véanse, por ejemplo,Reivich y otros (1979), Sokoloff (1979).Otropionero fue David Ingvar, quien empleó por primera vez las imágenescerebralesparavisualizar loscircuitoscognitivoshumanosenvoluntariosnormales y pacientes esquizofrénicos. Véase, por ejemplo, Ingvar ySchwarz(1974).<<

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[42]Véase el capítulo final para una actualización completa acerca de losestudiosdelcálculomedianteneuroimágenes.<<

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[43]ActualmentehayunarevisiónenFuster(2008).<<

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[44]VéaseunarevisiónenTaylor,SternyGehring(2007).<<

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[45]VéaseChangeuxyDehaene(1989).<<

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[46]VéaseunareseñadelahistoriadelamatemáticaenKline(1972,1980).<<

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[47]Unanálisislúcidodelasconcepcionesintuicionistasyconstructivistasde laepistemologíade lamatemáticafiguraenPoincaré(1907)yKitcher(1984).<<

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[48]Delmismomodo,aumentareltamañodelosnúmerosinvolucradosenuna tareade cálculohaceque la activacióndelhIPS aumente enparaleloconlostiemposdecálculo(véase,porejemplo,Stanescu-Cossonyotros,2000).<<

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[49]Comoessabido,eningléslasiglaVIPsignificaveryimportantperson,«personamuyimportante».Aquísereemplazalapalabrapeopleporplace,quesignifica«lugar».[N.deT.].<<

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[50]VéanserevisionesenNieder(2005)yNiederyDehaene(2009).<<

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[51]UnapropuestaafínapareceenPearsonyotros(2010).<<

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[52] El líder indiscutido en este campo es el neurocirujano Itzhak Fried,quedesarrollólastécnicasparaelregistrodeunaúnicacélulaenhumanosy, con varios colegas, las aplicó a muchas preguntas importantes en laneurociencia cognitiva humana. Véanse, por ejemplo, Quiroga, Reddy,Kreiman,KochyFried(2005),Quiroga,Mukamel,Isham,MalachyFried(2008),Fischyotros(2009).<<

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[53]LaadaptacióndelafMRI,tambiénllamada«métododepriming»,sehapropuestocomounmediogeneralparaestudiarloscódigosneuralesenelcerebro humano. Véanse Grill-Spector y Malach (2001), Naccache yDehaene (2001a), y para un artículo cauteloso véase también Sawamura,OrbanyVogels(2006).<<

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[54]Hayotrosresultadosqueindicanunarespuestacerebralalnúmeroenniños y bebés: véanse Temple y Posner (1998), Berger, Tzur y Posner(2006).<<

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[55] Véanse, por ejemplo, Feigenson y otros (2004), McCrink y Wynn(2004,2007).<<

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[56] Los monos se comportan exactamente del mismo modo: véanseHauser,CareyyHauser(2000),HauseryCarey(2003).<<

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[57]Sisebuscaunaintroducciónalacienciamodernadelaconcienciaysurelación con un «espacio de trabajo neuronal global» que involucra lacorteza prefrontal como un nodo clave, véanse Dehaene y Naccache(2001),Dehaene,Changeux,Naccache,SackurySergent(2006),DelCul,Dehaene,Reyes,BravoySlachevsky(2009),Dehaene(2014).<<

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[58] Este estudio fue replicado parcialmente en discalcúlicos puros porRotzeryotros(2008),peroenestecaso,conunfocoenladisminucióndemateriagrisenlacortezaparietalderecha.<<

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[59]LadiscalculiaesfrecuenteenlossíndromesdeWilliams,deTurneryde X frágil. Un estudio del cálculo en este último consta en Rivera,Menon,White,GlaseryReiss(2002).<<

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[60] Para una revisión de la lectura y la dislexia, véase mi trabajo enElcerebrolector(SigloXXI,2014).<<

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[61] Una reseña del diseño del juego y sus principios cognitivossubyacentes figuran en Wilson, Dehaene y otros (2006). Para bajar eljuego,hacerclicenThenumberrace,en<www.unicog.org>.<<

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[62]Otrocontrol,todavíamásestricto,consistíaencontrastarunjuegodemesalinealconunocircular,enelqueelpatrónqueorganizalosnúmeroses el del reloj.El sentidonumérico solomejora en los niños entrenadosconeljuegodemesalineal,loquepruebaquelacomprensióndelnúmerocomouna«línea»metafóricaqueseextiendedeizquierdaaderechaesunelementoesencialdelprogramadeentrenamiento.VéaseSiegleryRamani(2009).<<

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