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Antecedentes

esta sección tiene por objeto desarrollar dos habilidades necesarias para poder llevar a cabo un curso introductorio de programación lineal enfocado a la comprensión de los problemas, su modelado y el análisis para la toma de decisiones.

la habilidad central para este tema es lograr pasar de la expresión verbal del proble-ma a la o las ecuaciones que lo representan; esto se hace por medio de ejemplos sencillos. luego se muestra la resolución gráfica de sistemas de desigualdades, que posteriormen-te permitirán introducir la solución gráfica de los problemas de Pl.

Sección 1. Cómo pasar de la expresión verbal de una relación entre variables a una ecuación

las habilidades y conocimientos de álgebra no sirven de mucho si no podemos utilizar-los para resolver problemas prácticos (o teóricos) concretos, y para llegar a la resolución de cierto tipo de problemas, primero hay que llegar, por medio de ecuaciones, a la re-presentación de las relaciones entre las variables fundamentales de dicho problema. este conjunto de ecuaciones es el modelo. en esta unidad sólo veremos problemas que pueden representarse por medio de ecuaciones lineales. existen muchos otros proble-mas cuyos modelos son algebraicos no lineales o están dados por ecuaciones diferencia-les, o bien se trata de modelos estadísticos, por ejemplo.

a continuación se presenta una serie de problemas que ejemplifican las distintas situaciones que aparecen más a menudo en los problemas de programación lineal (Pl) que se verán más adelante. se inicia con ejercicios muy sencillos y se trata de agregar algo diferente en cada ejemplo.

Ejemplo 1

Un alumno ha obtenido como calificación en el primer examen parcial 7.3, y en el se-gundo, 8.25. ¿cuánto debe obtener en el tercer parcial para que la calificación prome-dio sea 8?

Programación lineal

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en este caso se trata de que el promedio de tres calificaciones sea igual a 8. Hay una calificación que no se conoce y que puede tomar cualquier valor entre 0 a 10. este valor desconocido es la incógnita y podemos llamarla x; entonces, si el promedio debe ser igual a 8,

7.3 + 8.25 + x = 8 3

la calificación que necesita este alumno se puede calcular despejando x con las reglas básicas del álgebra,

x = 8 (3) – 15.55 = 8.45

nuestro alumno necesitará 8.45 de calificación en el tercer parcial para obtener 8 de promedio. en general, si un alumno quiere que su calificación promedio sea 8 y ya ha tiene dos calificaciones, y y z, en el tercer examen tendrá que obtener al menos x,

x = 8 (3) – (y + z)

De esta última ecuación podemos decir que es el modelo de este problema.

Ejemplo 2

a una cajera de un supermercado, al comenzar el turno, se le da $200 de cambio en monedas de $10, $5 y $1. si el número de monedas de $5 es el triple que el de mone-das de $10, y en total recibe 95 monedas, ¿cuántas monedas de cada denominación recibe?

en primer lugar, hay que identificar cuáles son las variables que se deben determi-nar, o sea, las incógnitas, y definirlas. en este problema son tres:

x: el número de monedas de $10y: el número de monedas de $5z: el número de monedas de $1

el siguiente paso es reconocer cuál es la información que se nos da. en este proble-ma nos han dicho:

a) que se le entregan $200:

10x + 5y + 1z = 200

antecedentes

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b) que el número de monedas de $5 es el triple que el número de monedas de $10:

y = 3x

c) que se le entregaron 95 monedas:

x + y + z = 95

es importante observar la diferencia entre la primera y la tercer ecuación; mientras que en la primera se indica que le entregan 200 pesos, en la otra se habla de la cantidad de monedas: x + y + z es la suma de las cantidades de monedas; para que el número de monedas de diez pesos se convierta a dinero debe multiplicarse por su valor 10x y la suma de las distintas cantidades de dinero debe ser igual a $200.

este problema queda representado por un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas y se puede resolver por cualquiera de los métodos conocidos para sistemas lineales.

10x + 5y + z = 200 3x – y = 0 x + y + z = 95

si se sustituye la segunda ecuación en la tercera:

x + 3x + z = 95 → z = 95 – 4x

ahora se sustituye y y z en la primer ecuación:

10x + 5 (3x) + (95 – 4x) = 200 21x = 105 x = 105 / 21 = 5

si x = 5, entonces y = 3 (5) = 15, y z = 95 – 4 (5) = 75. Por lo tanto, a la cajera se le entrega al comenzar el turno 5 monedas de $10, 15 monedas de $5 y 75 monedas de $1.

Ejemplo 3

los datos del censo de población y vivienda de 2000 en méxico muestran que 53% de la población son mujeres. si la diferencia entre hombres y mujeres es de 6.21 mi-llones de personas, ¿cuál es la población total, el número de mujeres y el número de hombres?

Programación lineal

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las variables desconocidas son el número de hombres y el número de mujeres del país. no así la población total, ya que la podemos obtener como la suma de las otras dos. Por lo tanto, se definirá así:

m: número de mujeresH: número de hombres

el problema dice quea) la diferencia entre hombres y mujeres es de 6.21 millones, pero también dice que

hay más mujeres, por lo que

m – H = 6 210 000

b) de la población total 53% son mujeres:

m = 0.53 (H + m)

en esta última ecuación se dice que el número de mujeres es igual a 53% del total de la población, que aún se desconoce, pero sí se sabe que el total de la población es la suma del número de los hombres y el de mujeres.

se puede despejar el número de hombres de la primera ecuación y sustituirlo en la segunda:

H = m – 6 210 000m = 0.53 [(m – 6 210 000) + m] = 0.53 (2 m – 6 210 000) m = 1.06 m – 0.53 (6 210 000)

la última ecuación tiene una sola incógnita, m, por lo tanto se puede despejar:

0.06 m = 0.53 (6 210 000) = 3 291 300m = 3 291 300 / 0.06 = 54 855 000H = 54 855 000 – 6 210 000 = 48 645 000

Por lo tanto el total de la población es = H + m = 103 500 000 personas, de las cuales 54 855 000 son mujeres y 48 645 000 son hombres.

Ejemplo 4

en una empresa que produce interruptores eléctricos, 72% del personal es obrero y gana entre 2 y 5 salarios mínimos mensuales (smm) dependiendo de su capacitación

antecedentes

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y antigüedad. los técnicos electricistas y electrónicos, que supervisan las distintas eta-pas del trabajo, representan 12%; este personal cobra entre 5 y 7 smm. la plantilla del personal profesional, esto es, los ingenieros, contadores y administradores, es 8% y cobra entre 7 y 10 smm. Para las tareas administrativas la empresa cuenta además con personal de oficina, que corresponde a 6% de la plantilla y cuyos salarios oscilan entre 3 y 5 smm el personal directivo está compuesto por un gerente y tres subgerentes, que en total representan un gasto de $180 000 mensuales.

a) calcule el salario promedio de los obreros, los técnicos, el personal profesionista y el de los oficinistas.

b) calcule el salario promedio del personal no directivo.c) calcule el salario promedio, incluidos los directivos.

1) al considerar que 1 smm = $1 500 y como no se tiene ninguna información res-pecto a la distribución de los salarios de los obreros, el salario promedio se estima como el valor medio:

So = 2 + 5 (1 500) = $5 250

2

el salario promedio de los técnicos será:

St = 5 + 7 (1 500) = $9 000

2

el salario promedio del personal profesional será:

Sp = 7 + 10 (1 500) = $12 750

2

y el salario de los oficinistas administrativos será:

Sa = 3 + 5 (1 500) = $6 000

2

2) Para calcular el salario promedio de este grupo de empleados, como no se conoce cuántos empleados hay, pero sí se conoce su porcentaje o peso relativo, se calculará como un promedio pesado o ponderado:

Programación lineal

20

S = (0.72) 5 250 + (0.12) 9 000 + (0.08) 12 750 + (0.06) 6 000 = 6 240 = $6 367.35 0.72 + 0.12 + 0.08 + 0.06 0.98

3) Por último, se pregunta cuál es el salario promedio considerando los salarios de la dirección. en este caso se indica el número de directivos y el total de estos salarios; por lo tanto el salario promedio de los directivos será:

Sd = 180 000 = $45 000 4

con este dato se puede calcular el promedio general considerando que los directivos representan el 2% restante:

S = (0.72) 5 250 + (0.12) 9 000 + (0.08) 12 750 + (0.06) 6 000 + (0.02) 45 000 = $7 140 0.72 + 0.12 + 0.08 + 0.06 + 0.02

en la gráfica 1 se representan los salarios promedio y el porcentaje del personal que representan: los obreros (1), los oficinistas (2), los técnicos (3), los profesionistas (4) y los directivos (5). se observa que si bien los salarios de los directivos son muy superiores a los del resto del personal, aumentan muy poco el salario promedio de la empresa por-que solo lo reciben 2% de los empleados.

Gráfica 1Distribución de salarios

50 000

40 000

30 000

20 000

10 000

0

1 2 3 4 5

0

20

40

60

80

Salario Porcentaje

antecedentes

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el salario promedio nos indica que la empresa necesitaría la misma cantidad de dine-ro para cubrir mensualmente los salarios de toda su plantilla laboral si le pagara a cada uno de sus empleados el salario promedio, sin distinguir entre las distintas funciones.

Ejemplo 5

Una empresa maquiladora confecciona camisetas y pantalones para deportes. debido a la alta demanda de estos productos, quiere planear su producción utilizando adecua-damente sus recursos. cuenta con 5 costureras que trabajan 8 horas diarias y una per-sona para el corte de las prendas. las costureras tardan en promedio 15 minutos para coser una camiseta y 20 minutos por cada pantalón. Por otro lado, la persona que rea-liza el corte de las piezas puede hacer en un día 120 camisetas y 180 pantalones (tam-bién puede trabajar medio día y cortar 60 camisetas y durante la segunda mitad cortar 90 pantalones, o en cualquier otra proporción equivalente). ¿cuál es la cantidad de cada tipo de prendas que a la empresa le conviene confeccionar diariamente con el per-sonal que dispone?

las variables desconocidas que se deben determinar son:

c: número de camisetas a confeccionarP: número de pantalones a confeccionar

los recursos de que se dispone son:

5 costureras que trabajan 8 horas diarias = 5 (8) = 40 horas de costura1 persona para el corte

como el tiempo para hacer una camisa y un pantalón es de 15 y 20 minutos, res-pectivamente, se pueden convertir las 40 horas de costura a minutos:

40 h = 40 (60’) = 2 400’

lo que hay que encontrar es cómo ocupar esos 2 400 minutos. se podrían confec-cionar 160 camisetas y ningún pantalón, tal vez 120 pantalones y ninguna camisa o 100 camisas más 45 pantalones. Hay muchísimas alternativas, todas ellas representadas por esta ecuación:

15’ c + 20’ P = 2 400’

de manera simultánea se debe verificar que esas prendas puedan ser entregadas por el cortador; por ejemplo, no se podrían coser 160 camisas porque por día sólo se tiene

Programación lineal

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capacidad para cortar 120. aunque no sabemos en cuánto tiempo corta una camisa, nos dicen que al día puede cortar 120; por lo tanto, para cada una ocupa 1/120 de su tiem-po: si cortara 60, ocuparía 60 (1/120) = 1/2 de su tiempo. lo mismo respecto de los pantalones: cada uno equivale 1/180 de su tiempo. Por lo tanto, para un día de trabajo:

1/120 c + 1/180 P = 1

Para aprovechar mejor ambos recursos, debe resolverse el sistema siguiente:

Costura: 15’ c + 20’ P = 2 400’ Corte: 1/120 c + 1/180 P = 1

al resolver por cualquiera de los métodos, se llega a que deben producirse 80 camise-tas y 60 pantalones. esto indica que en el área de corte 2/3 del tiempo se dedicarán a camisetas (2/3 (120) = 80); y 1/3 del tiempo a pantalones: (1/3 (180) = 60). en el de-partamento de costura el tiempo empleado será de 15 (80) + 20 (60) = 1 200 + 1 200 = 2 400 minutos.

es importante mostrar que este sistema de ecuaciones no es la única manera de re-presentar el problema. supongamos que en el departamento de costura se tienen 40 horas y en el de corte 8 horas (aunque el enunciado no lo dice, se puede suponer que también se trabajan las mismas 8 horas) y que para coser una camisa se necesita 1/4 de hora y para coser una pantalón 1/3 de hora, mientras que para el corte serán 8/120 y 8/180 horas, respectivamente; entonces:

Costura: 1/4 c + 1/3 P = 40 Corte: 8/120 c + 8/180 P = 8

resuelva este sistema de ecuaciones y compare los resultados. ambos sistemas son equivalentes, lo que cambia son las unidades en que están expresados los coeficientes.

Ejemplo 6

Una empresa de mercadeo debe capturar la información obtenida en una encuesta rea-lizada a posibles consumidores. esta información posteriormente será procesada y en-tregada al cliente. el trabajo de captura lo puede realizar el señor a en 12 días o el señor b, que sólo requiere 8 días. como hay apuro en terminar el trabajo, se está pensando en la posibilidad de que el trabajo sea realizado simultáneamente por los dos, ¿cuánto tardarían en este caso?

si ambas personas trabajan juntos, entonces en un día, a realizará 1/12 del trabajo mientras que b hará 1/8 del total; ambos trabajando juntos en un día:

antecedentes

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1/12 t + 1/8 t = (2 + 3) / 24 t = 5/24 t

harán 5/24 del total del trabajo (t). Por lo tanto, el número de días necesarios para hacer el total del trabajo es:

(5/24) x = 1 → x = 24/5 = 4.8 días

El trabajo se realiza en menos tiempo del que necesita cualquiera de ellos por separado y no en el tiempo promedio. es necesario acostumbrarse a pensar de forma lógica para llegar a planteamientos correctos, nunca se deben aplicar automáticamente fórmulas mágicas.

otra dificultad que se tiene para el planteamiento correcto de los problemas es el manejo de las unidades en que se expresan las cantidades. no es posible aquí dedicar un capítulo a este tema; sin embargo, se presentarán un par de problemas en los que se hará especial hincapié en el tema de las unidades de medición.

Ejemplo 7

en una parcela de 3 ha se va a sembrar maíz. se tiene información de años anteriores que indican que los insumos por hectárea son 10 kg de semilla mejorada, cuyo precio actual es de 35 $/kg; 50 kg de fertilizante a 83 $/kg, y 10 litros de plaguicida a 25 $/l. las especificaciones de la semilla indican un rendimiento de 10 t/ha siempre que reci-ban una lámina de riego de 75 cm como mínimo. se sabe que la precipitación media en la región (zona sur de Zacatecas) es de 500 mm anuales en promedio. si es necesario regar habrá que pagar el agua al distrito de riego; para este año se ha estipulado un pago de $150 por 100 m3. como no se toma en cuenta la mano de obra porque todo el tra-bajo lo realiza el productor, ¿cuál es la utilidad esperada por el agricultor si se mantie-nen los precios actuales de 2 500 $/t (debido a la crisis alimentaria, el precio subió de casi 2 000 a 3 000 $/t, aunque no todo es para el productor). ¿cuánta agua será nece-sario utilizar y cuánto costará?

en este problema hay un uso intensivo de unidades; a continuación se da un repaso de los cambios de unidades básicas.

a) Unidades de longitud: metro (m), centímetro (cm) y milímetro (mm) 1 m = 100 cm = 1 000 mmb) Unidades de superficie: hectárea (ha) = 100 m (100 m) = 10 000 m2

c) Unidades de volumen: litro (l) y metro cúbico (m3) 1 m3 = 1 m (1 m) (1 m) = 1 000 l

Programación lineal

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d) Unidades monetarias: pesos ($)

e) Unidades complejas, que son aquellas que relacionan unidades de distinto tipo; por ejemplo:

$/kg, pesos por kilogramo: indican cuántos pesos se deben pagar por un kilogramo de ese bien

kg/$, kilogramo por peso: indica cuántos kilogramos se obtienen por un peso $/l, pesos por litro: indican cuántos pesos se deben pagar por un litro t/ha, toneladas por hectárea: indica cuántas toneladas de producción se obtienen de

una hectárea, o bien cuánto se necesita de insumos por una hectárea $/m3, pesos por metro cúbico: indican cuántos pesos se deben pagar por un metro

cúbico $/t, pesos por tonelada: indican cuántos pesos se deben pagar por una tonelada

en este problema se busca conocer la utilidad, por lo que se empieza expresando cómo calcular esta utilidad, y a partir de allí se van desglosando los componentes de ésta. la utilidad esperada es:

U = ingresos – gastos = = 2 500 $/t (P) – gastos

donde P es la producción obtenida en toneladas. La producción será:

P = 3 ha (10 t/ha) = 30 toneladas

los gastos tienen varios componentes: semilla, fertilizante, plaguicida y agua:

Gasto en semilla: gs = 10 kg/ha (3 ha) (35 $/kg)Gasto en fertilizante: gf = 50 kg/ha (3 ha) (83 $/kg) Gasto en plaguicida: gp = 10 l/ha (3 ha) (25 $/l)

obsérvese que en cada ecuación no sólo se multiplican los valores de las variables, sino que deben tomarse en cuenta las unidades. Por ejemplo, en el gasto en semilla se necesitan 10 kg/ha y se tienen 3 ha; por lo tanto, se necesitan 30 kg de semilla:

10 kg/ha (3 ha) = 30 kg

como el kilogramo de semilla cuesta $35, al multiplicar los 30 kg por el precio de un kilogramo se obtiene una cantidad en pesos:

antecedentes

25

30 kg (35 $/kg) = $1 050

el gasto por el agua se debe calcular tomando en cuenta las necesidades que no cu-bre la lluvia. se indica que esta semilla requiere de una lámina de 75 cm y que llueve en la región aproximadamente 500 mm. Para poder calcular el gasto, hay que tener el mismo tipo de unidades:

Lámina de riego en centímetro = 75 cm – 50 cm = 25 cm

como el precio del agua se da por metros cúbicos, se debe calcular el volumen de agua que se necesita, y este volumen depende del área a regar y de la altura de la lámina necesaria.

Área: 3 ha (10 000 m2/ha) = 30 000 m2

Volumen: 30 000 m2 (0.25 m) = 7 500 m3 Costo del agua: ga = 7 500 m3 (1.5 $/m3) = $11 250

los gastos totales son la suma de los gastos:

gs + gf + gp + ga = $ 25 500

U = 2 500 $/ton (P t) – gastos = = 75 000 – 25 500 = $49 500

la utilidad máxima esperada por sembrar 3 ha de maíz, con los precios actuales, es de $49 500.

Problemas de la sección 1

Problema 1

Un restaurante de comida rápida estima que vende 75 pizzas diarias. sus ventas de do-mingo a jueves fueron de 80, 42, 45, 50 y 43 pizzas, respectivamente. los días de ma-yores ventas son el viernes y sábado. ¿cuál es el número de pizzas que en promedio espera vender entre viernes y sábado?

Programación lineal

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Problema 2

la calificación de matemáticas se obtiene con tres parciales que valen 90% de la califi-cación, y el resto con lo obtenido en un examen departamental. Un alumno obtuvo 7.8, 8.25 y 7.6 en los 3 parciales. ¿Qué calificación debe lograr en el examen departa-mental si quiere que la calificación sea b? (las calificaciones son s: 6 a 7.9; b: 8 a 9.4, y mb: 9.5 a 10.)

Problema 3

si se incrementa a 20% la ponderación del examen departamental y un alumno ha obtenido 6.75, 8 y 7.25, ¿qué calificación debe obtener en el examen departamental para obtener b?

Problema 4

Un rancho que se dedica a la cría de pavos y cerdos tiene en total 200 animales. el cos-to diario de comida para las aves es de $2 y $12 por cada cerdo. ¿cuál es el gasto men-sual en alimentos de esta granja? (se sabe que en total hay 530 patas o extremidades.)

Problema 5

Juan y rodrigo deciden ahorrar para comprarse una batería. si Juan reunió el triple de dinero que rodrigo y si entre los dos reunieron $2 040, ¿cuál es el aporte de rodrigo?

Problema 6

Un capital de $100 000 se invierte en dos fondos; uno ofrece 7% de intereses y el otro da 6%. si se obtuvieron $6 800 en concepto de intereses, ¿cuánto se invirtió en cada opción?

Problema 7

Una mujer ha invertido sus ahorros en un pagaré con interés de 7% anual y en una cuenta de ahorro que ofrece 4% anual. lo invertido en la cuenta de ahorro es la mitad de lo que está en el pagaré y a fin de año recibirá $25 440 por concepto de capital más intereses. ¿cuánto invirtió en cada opción?

antecedentes

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Problema 8

Una línea de autobuses tiene el servicio del distrito Federal a guadalajara con una es-cala en Querétaro. la tarifa a Querétaro es de $105, mientras que a guadalajara es de $183. en el distrito Federal subieron 42 pasajeros. si la compañía recibió $6 750. ¿cuántas personas bajaron en Querétaro?

Problema 9

en una función infantil de cine se recaudaron $11 900. en promedio cada adulto trajo a 1.6 niños. debido a que muchos de los niños vienen con sus abuelos, se establecieron tres tarifas: adultos, $35; adultos mayores, $30, y niños, $20. se observa que por lo regular quienes llevan a los niños al cine son los abuelos, ya que se vendieron 13 entra-das más para adultos mayores que para adultos. ¿cuántas personas asistieron a la fun-ción? ¿cuántos eran niños, cuántos adultos y cuántos adultos mayores?

Problema 10

Una fábrica produce pantalones y faldas de uniformes escolares. dispone de 348 horas hombre semanales y tiene $3 500 para comprar el material. Para hacer un pantalón se requieren 2.5 horas y 1 metro de tela. Para cada falda se requieren 1.25 m de tela y 2 horas de trabajo. si el metro de tela cuesta $20, ¿cuántas faldas y cuántos pantalones producirá?

Problema 11

Un productor de bolsitas con semillas quiere sacar un nuevo producto que contenga nueces de macadamia; sin embargo, debido a que los consumidores casi no las conocen y su precio es elevado, decide mezclarlas con cacahuates.

a) ¿en qué proporción debe mezclarlas para que el kilogramo le cueste $47? Él compra los cacahuates a 27 $/kg y las nueces de macadamia a 110 $/kg.

b) ¿en qué proporción deberá hacer la mezcla si quiere que los $47 incluyan sus costos de procesamiento, que son de 10 $/kg?

Problema 12

actualmente 12% de los conductores del metro son mujeres, motivo por el cual se ha recomendado aumentar el porcentaje para cumplir con las demandas de equidad de género. las autoridades han decidido aumentarlo gradualmente. Para el próximo año

Programación lineal

28

se planea llegar a 15%, cuando se incorporen las 9 mujeres y los 11 hombres que se encuentran en capacitación. ¿cuántas mujeres y cuántos hombres trabajan actualmente?

Problema 13

la población del distrito Federal según el ii conteo de Población y vivienda 2005, se presenta en la gráfica 2 como porcentaje de varones y mujeres por grupos de edad de 15 años.

Gráfica 2Población del Distrito Federal 2005

Edad

es

15 12 9 6 3 0 3 6 9 12 15

0-14

15-29

30-44

45-59

60-74

>751.4 0.9

2.7

5.8

10.6

13.9

13.2

3.6

6.8

12

14.8

0.9

a) con los datos de la gráfica, calcule la edad promedio de la población de varones, la de mujeres y la de toda la población del distrito Federal.

b) determine la edad debajo de la cual se encuentra 50% de la población, mientras que el otro 50% es mayor (mediana). Utilice la gráfica de frecuencia acumulada para esti-mar la mediana.

c) se observa que el grupo más grande de mujeres es el que se encuentra entre 15 y 29 años, que actualmente es el grupo que está en la etapa reproductiva. si se mantiene la tasa de fecundidad de 1.5 hijos por mujer, ¿cuántos niños habrá en 2015 entre 0 y 14 años? (se sabe que el número de mujeres de 15 a 29 años tiene 241 000 muje-res más que el grupo siguiente, de 30 a 44 años.)

d) ¿cuántas personas tienen más de 60 años? e) el nivel de analfabetismo es mucho menor que la media nacional: mientras que en

el país es 9%, en el distrito Federal es sólo de 3% ¿cuántos analfabetos hay en el distrito Federal? (considere mayores de 15 años.)

antecedentes

29

f ) explíque a qué se pueden deber las diferencias entre el número de hombres y de mujeres en cada rango de edad.

Problema 14

si se contabilizaron 2 125 000 viviendas en el distrito Federal, ¿en promedio cuántas personas viven en cada casa? de las viviendas 99.8% cuenta con servicio eléctrico, mientras que 97.6% tienen agua entubada. ¿cuántas personas aún no cuentan con los servicios de agua y con los de electricidad (aunque no necesariamente son los mismos)?

Problema 15

de los alumnos que se titularon durante 2006 en la uam-Xochimilco, 42% fueron alumnos de ciencias Básicas y de la salud, de los cuales 60% son mujeres. en ciencias sociales y Humanidades también es mayor el número de mujeres que de hombres que se titularon: hubo 83 mujeres más que hombres. en cambio en ciencias y artes para el diseño las mujeres son apenas 140, que representan sólo 50% de los hombres que se titularon. además se sabe que en ciencias Básicas y de la salud se titularon 83 chicas más que en ciencias sociales y Humanidades.

a) ¿cuántos alumnos se titularon en total?b) ¿cuántas mujeres se titularon en cada división?c) ¿cuántos hombres se titularon en cada división? (redondee los números)d) ¿cuál es el porcentaje total de mujeres que se titularon?

Problema 16

Una fábrica que produce cajas, después de analizar sus últimas ventas, ha llegado a la conclusión de que hay dos modelos muy exitosos: uno es una caja pequeña para regalos y la otra es una caja para uso en oficinas. la empresa dispone de 120 horas de trabajo semanales y 320 m2 de cartón. Para cortar y armar cada caja de regalo, los empleados necesitan 10 minutos, mientras que en una hora pueden armar 5 cajas para oficina. se utiliza el mismo tipo de cartón, pero cada caja de oficina requiere 8 000 cm2, con 1 m2 pueden armarse 5 cajas de regalo. ¿cuántas cajas de cada tipo deben producir la próxi-ma semana de tal modo que ocupen totalmente sus recursos?

Programación lineal

30

Problema 17

el gobierno de una ciudad decidió repavimentar el circuito de circunvalación de la ciudad. se realizó una licitación a la que se presentaron tres compañías con precios unitarios similares. la primera ofrecía realizar el trabajo en 8 meses; la segunda en 10 y la tercera en 9 meses trabajando 9 horas diarias. las autoridades consideraron que ese periodo era inadmisible por los inconvenientes que se generarían en el tránsito. se de-cide entonces que trabajen simultáneamente las tres empresas durante la noche en vez de hacerlo durante las horas del día como se propuso inicialmente. ¿en cuánto tiempo se terminará el trabajo?

Problema 18

calcule el número de obreros, técnicos y oficinistas del problema presentado en el ejemplo 4.

Respuesta a los problemas de la sección 1

Problema 1. en promedio venderán 132.5 pizzas los días viernes y sábado. Problema 2. debe obtener al menos 9.05 (examen departamental mayor o igual a

9.05).Problema 3. no podrá obtener una calificación de b pues necesita obtener más que 10

en el examen departamental.Problema 4. la alimentación diaria costará $1 050 para alimentar a 135 aves y 65 cer-

dos, o sea, al mes serán $31 500 de gasto de alimentación.Problema 5. rodrigo juntó $510.Problema 6. se invirtieron $80 000 al 7% de interés, y $20 000 al de 6%.Problema 7. invirtió en un pagaré de $16 000 y $8 000 en la cuenta de ahorro.Problema 8. Bajaron 12 personas.Problema 9. 296 niños, 86 papás y 99 abuelos.Problema 10. se debería fabricar 75.5 pantalones y 79.6 faldas, pero como no es posi-

ble, se tendrá que producir 80 faldas y 75 pantalones.Problema 11. a) 75.90% de cacahuates y 24.10% de nueces de macadamia; b) 88% de

cacahuates y 12% de nueces de macadamia.Problema 12. actualmente hay 24 conductoras y 176 conductores. Problema 13. a) edad promedio total: 30 años; la de mujeres: 30.97~31 años; la de

varones: 29 años; b) la edad de 27.7 años; c) habrá 1 911 000 niños; d) hay 740 000 adultos con más 60 años; e) hay 190 000 analfabetos en el distrito Federal.

antecedentes

31

Problema 14. Hay 4.05 personas por vivienda; hay 17 200 personas sin electricidad, y hay 206 500 sin agua corriente.

Problema 15. a) se titularon 2 250 alumnos, 1 191 mujeres y 1 059 hombres; b) muje-res cbs 567, csh 484, cyad 140; c) hombres cbs 378, csh 401, cyad 280; d) 53% fueron mujeres.

Problema 16. deben producir 344 cajas pequeñas y 314 cajas para oficina.Problema 17. se terminará el trabajo exactamente en 2.98 meses.Problema 18. Hay 144 obreros, 24 técnicos y 12 empleados de oficina.

Sección 2. Graficación de desigualdades

la representación gráfica de una ecuación lineal de dos variables es una recta en el pla-no x-y que corresponde al lugar geométrico de los puntos que satisfacen la ecuación. veámoslo con un ejemplo.

Ejemplo 8

Una persona tiene una deuda de $10 000 que debe liquidar en tres pagos; ya abonó $2 500, ¿cuánto tiene que abonar en los siguientes pagos para saldar la deuda?

llamemos x al segundo pago y el tercero será y ; entonces la ecuación es:

2 500 + x + y = 10 000 si se despeja y:

y = 7 500 – x

Gráfica 3

y

x

8 000

6 000

4 000

2 000

00 2 000 4 000 6 000 8 000

Programación lineal

32

en la gráfica 3 se observan distintas soluciones: si en la segunda cuota (x) se pagan $1 000, en la tercera (y) tendrá que pagar $6 500; mientras que si en la segunda paga $4 000, en la tercera sólo tendrá que pagar $3 500; como caso extremo, si en la segunda paga los $7 500 de la deuda, la tercera será de cero pesos. los distintos pares de valores que satisfacen la ecuación son todos los puntos de la recta: (1 000, 6 500), (2 000, 5 500), (4 000, 3 500), etcétera.

Pero en algunos problemas las relaciones entre las variables no se pueden representar como igualdades entre dos expresiones algebraicas. Por ejemplo, un pequeño empresa-rio tiene gastos semanales por $2 500 y requiere para sus gastos personales no menos de $1 500. si durante la semana ha vendido servicios por $2 800, ¿cuánto debe facturar cada día durante el fin de semana para al menos cubrir todos sus gastos?

en este problema el requerimiento es facturar $4 000 como mínimo; por lo tanto, si x corresponde a la facturación del sábado y la del domingo es y,

2 800 + x + y ≥ 4 000 → y ≥ 1 200 – x

Gráfica 4

1 400

1 200

1 000

800

600

400

200

00 250 500 750 1 000 1 250 1 500

en este caso, si el sábado vende $200, el domingo tendrá que vender al menos $1 000 para cubrir sus necesidades, y este punto está sobre la recta; pero si en vez de $1 000 el domingo vendiera $1 200, también se satisface la desigualdad que dice que al menos debe vender $1 000. en caso de que se vendan $200 el sábado y $1 200 el domingo, el punto correspondiente en la gráfica 4 se encuentra dentro de la región sombreada y corresponde a vender $1 400 en vez del mínimo requerido.

antecedentes

33

el otro caso mostrado en la figura nos dice que si el sábado vende $600, el domingo deberá vender al menos $600 (el punto está sobre la línea), pero cualquier cantidad superior a esa también satisface las necesidades del empresario. en la gráfica 4 se mues-tra un punto que corresponde a las ventas del sábado por $600 y por $1 000 del do-mingo, también por encima del requerimiento mínimo.

con este ejemplo queremos mostrar que cuando tenemos una igualdad, la solución se encuentra sobre la línea (recta si se trata de una ecuación lineal); pero cuando tene-mos una relación de desigualdad, todos los puntos a un lado de la línea satisfacen la desigualad, mientras que los del otro lado no lo hacen.

Ejemplo 9

Una persona tiene $50 para hacer una ensalada de lechuga y espinaca. si la espinaca cuesta $10 la pieza, y las lechugas las venden a $5 la pieza, ¿cuánto debe comprar de cada producto si necesita al menos 3 piezas de estos vegetales para que la ensalada al-cance para todos los comensales?

el problema tiene 2 restricciones: debe ser suficiente para todos los comensales, pero no debe exceder el presupuesto disponible. las variables en este problema son el número de piezas que hay que comprar:

x: número de piezas de lechugay: número de piezas de espinaca

x + y ≥ 3 (al menos 3 piezas)5x + 10y ≤ 50 (no más de $50)

cada una de las restricciones acota el espacio de las soluciones posibles.Para hacer esta ensalada se puede escoger cualquier combinación que se encuentre

en la región señalada en la gráfica 5a.sin embargo, esta persona se da cuenta de que no todas las combinaciones le darán

el sabor característico a su ensalada; por ejemplo, si escogiera ocho lechugas y una sola espinaca, casi no se apreciaría el sabor de esta última, por lo que decide que debe haber al menos una de espinaca cada dos plantas de lechuga, o lo que es lo mismo, las plantas de lechuga x no deben ser más que el doble de las de espinaca y :

x ≤ 2y

Programación lineal

34

Gráfica 5a

6

5

4

3

2

1

0

0 2 4 6 8 10 12

Gráfica 5b

6

5

4

3

2

1

0

0 2 4 6 8 10 12

esta nueva restricción reduce aún más la región de posibles soluciones, como se ve en la gráfica 5b. Pero aún no está satisfecha con su receta y decide limitar el número de espinacas a sólo 4. la región se reduce nuevamente ya que se le agrega la condición,

y ≤ 4

en este problema se han presentado los distintos tipos de rectas: rectas que intersec-tan ambos ejes, una recta que pasa por el origen y una recta paralela a uno de los ejes.

antecedentes

35

Gráfica 6

6

5

4

3

2

1

0

0 2 4 6 8 10 12

las rectas que intersectan ambos ejes son de la forma,

y = ax + b

al poner las variables del mismo lado de la expresión como se utiliza en álgebra li-neal, la forma es:

cx + dy = b donde c = -a y d = 1

en cualquiera de sus formas hay un término independiente distinto de cero. Una manera cómoda de graficarlas es dar valor de 0 a una variable y calcular la otra; de esta manera se encuentran las intersecciones con ambos ejes.

cuando las rectas pasan por el origen su ecuación tiene la forma:

y = ax o bien cx + dy = 0

no existe un término constante. Para graficar estas rectas hay que dar distintos va-lores a x, no solo el valor 0, y calcular y.

Por último, están las rectas horizontales:

y = c

y las rectas verticales:

x = d

Programación lineal

36

Ejemplo 10

Una persona decide invertir al menos $100 000 en dos alternativas: pagarés con venci-miento a los 28 días y en una cuenta de ahorro. Pero quiere que lo invertido en pagarés sea mayor que el doble de lo que se coloque en la cuenta de ahorro. ¿de qué manera puede invertir su dinero?

en este problema hay dos variables:

x: cantidad de dinero a invertir en el pagaréy: cantidad de dinero a colocar en la cuenta de ahorro

x + y ≥ 100 000 (al menos $100 000)x ≥ 2y (pagaré mayor al doble de cuenta de ahorro)

Gráfica 7

100 000

125 000

75 000

50 000

y

25 000

00 25 000 50 000 75 000 100 000

x

en este caso las soluciones posibles quedan en un área no acotada: cualquiera de los puntos pertenecientes a la zona sombreada representa una alternativa posible de inver-sión (gráfica 7). a la región de las posibles soluciones del sistema de relaciones se le llama región factible.

antecedentes

37

Problemas de la sección 2

Problema 19

grafique el área que cumpla con las siguientes restricciones:

a) 4x + 2y ≤ 8 x + 3y ≤ 6 x, y ≥ 0

b) 2x + y ≤ 4 x – 2 y ≤ 6 x, y ≥ 0

c) 2x – 4y ≤ -10 3x + 2 y ≤ 18 y ≤ 7 x, y ≥ 0

d) 2x – 4y ≤ -10 x + y ≥ 40 x ≥ 2 y ≥ 0

e) 3 x + y < 6 y – 2x > 1 x > -2 y < 4

Problema 20

grafique la región factible, indique los vértices de la región factible con letras y dé las coordenadas de cada uno con la siguiente notación: a = (2.3, 5). nombre los puntos con letras: a, B, c...

r1 4x + 3y ≤ 24r2 x + y ≥ 4 r3 x ≤ 6r4 5x – 2y ≥ 10r5 y ≤ 6

Programación lineal

38

r6 x ≥ 2r7 y ≥ 1

Problema 21

grafique la región factible, indique los vértices de la región factible con letras, y dé las coordenadas de cada uno como en el problema 20.

r1 4x – 2 y ≥ 12 r2 x + y ≥ 4r3 10x + 25y ≤ 100r4 y ≤ 6r5 y ≥ 1 r6 x ≥ 0

Problema 22

escriba las ecuaciones correspondientes a cada uno de los sectores en que las rectas di-viden al plano en la siguiente gráfica:

Gráfica 8

5

4

3

1

-1-2

-2

1 2 3 4 5

II

III

IVI

6

2

00 6

-1

nota: las respuestas a los ejercicios de esta sección son gráficas que debe hacer el estu-diante; para corroborar el resultado debe verificar con puntos interiores y exteriores a la región encontrada.