Portafolio de Matematcas

7/28/2019 Portafolio de Matematcas

1/61

NDICE GENERAL.

Portada.


2/61

Introduccin.

Objetivos.

NDICE.

Captulo 1.

1.1 Proposiciones.1.2 Operadores Lgicos.1.3 Proposiciones Simples y Compuestas.1.4 Formas Proposicionales.1.5 Propiedades de los Operadores Lgicos.1.6 Razonamientos.1.7 Conjuntos.

1.8 Cuantificadores.1.9 Operaciones entre Conjuntos.1.10 Propiedades de las Operaciones entre Conjuntos.1.11 Predicados.1.12 Pares Ordenados y Producto Cartesiano.1.13 Relaciones.1.14 Funciones.

Captulo 2.

2.1 Representacin Decimal.2.2 Operaciones Binarias.2.3 Expresiones Algebraicas.2.4 Valor Absoluto.2.5 Ecuaciones.2.6 Inecuaciones.2.7 Tcnicas de Conteo.2.8 Teorema del Binomio.2.9 Sucesiones.

Captulo 44.1 ngulos y sus Medidas.4.2 Funciones Trigonomtricas Elementales.Captulo 11

11.1 Organizacin de los datos.11.2 Probabilidades.11.3 Conjuntos y Probabilidades.

INTRODUCCION.En su intento de comprender el mundo, el hombre ha creado y desarrolladoherramientas Matemticas: el clculo, la medida y el estudio de relaciones


3/61

entre formas y cantidades, que han servido a los cientficos de todas laspocas para generar modelos de la realidad. Estos modelos contribuyen, hoyda, tanto al desarrollo como a la formalizacin de las ciencias experimentales ysociales, a las que prestan un adecuado apoyo instrumental.

En consecuencia, la finalidad de la enseanza de las Matemticas es no slosu aplicacin instrumental, sino tambin, el desarrollo de las facultades derazonamiento, de abstraccin y de expresin.

Por lo tanto los contenidos matemticos seleccionados para este curso denivelacin en general nos ayuda a los estudiantes del mismo a alcanzar losobjetivos propuestos. Para ello, introduciremos las medidas necesarias paraatender a la diversidad de intereses, expectativas y competencias cognitivasdel alumnado.

El eje (transversal) de los conocimientos matemticos va a ser la resolucin deproblemas. Desde un punto de vista formativo, la resolucin de problemas escapaz de activar las capacidades bsicas del individuo, como son leercomprensivamente, reflexionar, establecer un plan de trabajo, revisarlo,adaptarlo, generar hiptesis, verificar el mbito de validez de solucin, etc.

La matemtica, en los ltimos tiempos, se ha convertido en una ciencia quecumple dos funciones primordiales: la primera, que podra considerarseuniversal, proporcionar estructura lgica al pensamiento para enfrentar demanera segura diversos campos de la actividad humana, y la segunda, servir

como una herramienta que permite resolver adecuadamente las situaciones dela vida diaria que, de una u otra forma, estn ligadas a los avancestecnolgicos del mundo moderno, fundamentados en el desarrollo y laaplicacin de la matemtica.

Las matemticas son tiles. Miremos donde miremos, las matemticas estnah, las veamos o no. Se utilizan en la ciencia, en la tecnologa, lacomunicacin, la economa y tantos otros campos. Son tiles porque nos sirvenpara reconocer, interpretar y resolver los problemas que aparecen en la vida

cotidiana. Adems de proporcionarnos un poderoso lenguaje con el quepodemos comunicarnos con precisin. Dentro de estas utilidades es necesarioresaltar su importancia en relacin con los medios de comunicacin en los quelos anlisis cuantitativos (datos estadsticos, precios, ndices diversos,hipotecas, etc) aparecen continuamente en todo tipo de informacin.

OBJETIVOS DEL TEMA.


4/61

Reconocer y plantear situaciones susceptibles de ser formuladas entrminos matemticos, elaborar y utilizar diferentes estrategias paraabordarlas y analizar los resultados utilizando los recursos msapropiados.

Estudiar la expresin algebraica y grfica de algunas funciones y sucontextualizacin en diferentes fenmenos de la vida cotidiana y delmbito de las ciencias.

Conocer y utilizar conceptos matemticos asociados al estudio dellenguaje algebraico inicial.

Desarrollar un mejor nivel de conceptualizacin y comprensin de Los

captulos contenidos en este proyecto.


5/61

Captulo 1LGICA Y CONJUNTOS.

V 1 T

Lgica simblica

F 0 F

1.1 PROPOSICIONES.

Unidad semntica que solo es verdadera o falsa.

Ejemplos:

I. a= 5 es un numero par. (o) --- F.Porque en nmero impar siempre su residuo ser 1.

II. 7415 es un nmero par.

Ejemplos de oraciones (NO PROPOSICIONES)

I. Hola!II. Como estas!

1.2 OPERADORES LOGICOS.

Negacin.-Este operador lgico cambia el valor de verdad de unaproposicin: si aes una proposicin verdadera, a es falsa; si a es unaproposicin falsa, a es verdadera.

a a

0 1

1 0

Ejemplos:

I. a=Tengo un billete de cinco dlares.

a= No tengo un billete de cinco dlares.

II. a=Elizabeth cumple con sus obligaciones.


6/61

a= Elizabeth no cumple con sus obligaciones.

Conjuncin.-() se presenta con los trminos gramaticales: y, pero,mas, y signos de puntuacin como: la coma, el punto, y el punto y coma.

Tabla:

a b ab

0 0 00 1 01 0 01 1 1

Regla.-La proposicin resultante ser verdadera solamente cuando el valor deverdad de ambas proposiciones es verdadero.

Ejemplos:

I. a: Tengo buenas notas.b: gano una beca.ab= Tengo buenas notas y gano una beca.

II. a: Trabajo demasiado.b: Recibo bajo sueldo.

ab= Trabajo demasiado pero recibo bajo sueldo.

Disyuncin: () Se presenta con el trmino gramatical o.

TABLA:

a b ab

0 0 0

0 1 11 0 1

1 1 1

REGLA.-la proposicin resultante ser falsa solamente cuando el valor de verdadde ambas proposiciones es falso.

Ejemplos:

I. a: Tengo un libro de Trigonometra.


7/61

b: Tengo un libro de lgebra.ab: Tengo un libro de Trigonometra o uno de lgebra.

II. a: Estudio matemticas.

b: Me voy a pasear.avb: Estudio matemticas o me voy a pasear.

Disyuncin Exclusiva:(v) se presenta con el trmino gramatical o, o slo,o solamente, o..., o....

TABLA:

a b avb

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

REGLA:la proposicin resultante ser verdadera cuando solamente una de ellassea verdadera.

Ejemplos:

I. a: Estoy en Quito.b: Estoy en Guayaquil.av b:O estoy en Quito o estoy en Guayaquil.

II. a: me voy al curso de nivelacin.b: me voy a bailar.

av b:O me voy al curso de nivelacin o me voy a bailar.

Condicional:la proposicin ab se puede encontrar con los siguientestrminos gramaticales: si a, entonces b, a slo si b, a solamente si b, bsi a, si a, b.


8/61

TABLA:

a b ab

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 1

REGLA.-la proposicin resultante ser falsa solamente cuando el valor de verdaddel antecedente sea verdadero y el valor de verdad del consecuente sea falso.

Ejemplos:

I. a: Juan gana el concurso.b: Juan dona $ 10.000.ab: Si Juan gana el concurso, dona $ 10.000.

II. a: Compro el vestido gris.b: me pagan.ab: Compro el vestido azul, s, me pagan.

Existen otras proposiciones relacionadas con la condicional ab :La Recproca, es representada simblicamente por: ba.La Inversa, es representada simblicamente por: ab.La Contrarrecproca, es representada simblicamente por: ba.

Ejemplos condiciones necesarias y suficientes:

I. Si estudias, aprobars el curso.Es suficiente estudiar para aprobar el curso. As mismo, es necesario aprobar elcurso como consecuencia de haber estudiado.

II. Aceptar el trabajo con la condicin de que me traten bien. Es suficiente que me traten bien para aceptar el trabajo. Por otra parte, esnecesario aceptar el trabajo como consecuencia de que me traten bien.

Bicondicional:ab se puede encontrar con los siguientes trminosgramaticales: a si y slo si b, a si y solamente si b, a implica b y bimplica a, a cundo y slo cuando b.


9/61

TABLA:

a b ab

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

REGLA.-La proposicin ab ser verdadera cuando los valores de verdad deambas proposiciones sean iguales. Tambin se puede observar que la proposicinab ser falsa cuando los valores de verdad de ambas proposiciones seandiferentes.

Ejemplos:

I. a: Un tringulo es equiltero.b: Un tringulo es equingulo.ab: Un tringulo es equiltero si y slo si es equingulo.

TALLER EN CLASE

Ejemplo de operadores lgicos:

a:Elizabeth cumple con sus obligaciones.

b:Elizabeth aprueba el examen.

c:Elizabeth se va de vacaciones.

d:Elizabeth trabaja

Traducir literalmente la siguiente proposicin:

a[b(c v d)]

R//.Elizabeth cumple con sus obligaciones solo si noaprueba el examen solo si

nose va de vacaciones otrabaja.

1.3PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS.-

Proposiciones simples son aquellas que no poseen operador lgico alguno. Lasproposiciones compuestas estn formadas por otras proposiciones y operadoreslgicos.

Ejemplos:

I. Traduzca al lenguaje simblico la proposicin:


10/61

Si la seguridad privada es efectiva, disminuyen los ndices de asalto en laciudad y el turismo se desarrolla. Los ndices de asalto no disminuyen, pero laseguridad privada es efectiva. Entonces, el turismo no se desarrolla.

Solucin:

Se pueden identificar las siguientes proposiciones simples:

a: La seguridad privada es efectiva.b: Los ndices de asalto disminuyen en la ciudad.c: El turismo se desarrolla.

La traduccin es:[(a(bc))(ba)](c)

1.4 FORMAS PROPOSICIONALES.-

Estructuras constituidas por variables proposicionales y los operadores lgicosque las relacionan.

Ejemplo:

A: [(pq)(rp)]r

p q r pq p rp [(pq)(rp)] A

0 0 0 0 1 1 1 0

0 0 1 0 1 1 1 10 1 0 0 1 1 1 00 1 1 0 1 1 1 11 0 0 0 0 0 1 01 0 1 0 0 1 1 11 1 0 1 0 0 0 01 1 1 1 0 1 1 1

Implicacin Lgica.-La forma proposicional tautolgica: p(qp), se puede

traducir al lenguaje comn como si se tiene p, de cualquier manera q seseguir teniendo p.

Ejemplos:

I. p(qp)


11/61

p q qp p(qp)

0 0 1 1

0 1 0 1

1 0 1 1

1 1 1 1

II. [(pq)(qr)](pr)

p q r pq qr pr (pq)(qr) [(pq)(qr)](pr)

0 0 0 1 1 1 1 1

0 0 1 1 1 1 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1

0 1 1 1 1 1 1 1

1 0 0 0 1 0 0 11 0 1 0 1 1 0 1

1 1 0 1 0 0 0 1

1 1 1 1 1 1 1 1

Equivalencia Lgica.-Sean A y B dos formas proposicionales, se dice queA es equivalente lgicamente a B, denotado por AB, si y slo si AB esuna tautologa.

Ejemplos:

I. (pq)(qp)

p q p q pq qp (pq)(qp)

0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 0 0 1

1 1 0 0 1 1 1


12/61

II. (pq)(pq)

p q p q pq (pq) pq (pq)(pq)

0 1 1 0 0 1 1 1

0 1 1 0 1 0 0 11 0 0 1 1 0 0 11 0 0 1 1 0 0 1

1.5 PROPIEDADES DE LOS OPERADORES LOGICOS.-

Leyes de los Operadores Fundamentales Conjuncin Y Disyuncin.-

0 1

1 0 Negacin

(p) p Doble Negacin o Involutiva

p(qr) (pq)(pr)

p(qr) (pq)(pr) Distributivas

(pq) (pq)

(pq) (pq) De Morgan

(pp) 1 Tercero Excluido

(pp) 0 Contradiccin

(pq) (qp) Contra positiva o Contrarrecproca

(pq) (pq)

(pq) (pq) Implicacin

(pq) (pq)

[(pr)(qr)] [(pq)r]

[(pq)(pr)] [p(qr)]

[(pq)r] [p(qr)] Exportacin

(pq) [(pq)0] Reduccin al Absurdo

(p q) [(pq)(qp)]

(p q) (q p) Equivalencia


13/61

Ejemplo Aplicando La Ley De Morgan

[(pq)r](pq)r

[(pq)r]

Traduzca Los Siguientes Ejemplos:

I. No quiero ir al estadio ni ver la televisin.

a:quiero ir al estadio.b:quiero ver televisin.Representacin formal: (ab)

II. Mi equipo gana el juego de futbol y obtiene los tres puntos o pierde ytrata deganar el prximo juego.

p: Mi equipo gana el juego de futbol.q: Mi equipo obtiene los tres puntos.r: Mi equipo pierde.s: Mi equipo trata de ganar el prximo juego.Representacin formal: (pq)v(rs)

III. Empleando tablas de verdad, identifique una 13Contrarrecproca delaproposicin Siempre que tengo hambre y no tengo tiempo paracomer, nome siento bien y no puedo estudiar.

a) Si no tengo tiempo para comer y tengo hambre, me siento bien y puedoestudiar.b) Si no me siento bien ni puedo estudiar, tengo hambre o no tengo tiempo paracomer.c) Si me siento bien y puedo estudiar, tengo hambre o no tengo tiempo paracomer.d) Si no tengo hambre ni tengo tiempo para comer, me siento bien o puedoestudiar.

e) Si me siento bien o puedo estudiar, no tengo hambre o tengo tiempo paracomer.

(avb) (d) (d)=(cvd) (a b)= (avb)

(cvd) (avb)

a) (ba) (d)

b) (cvd) (avb)

c) (d) (avb)


14/61

d) (avb) (cvd)

e) (cvd) (avb)

a: si tengo tiempo para comer.

b: tengo hambre.c:me siento bien.d:puedo estudiar.Representacin formal:(ab)(d)

a:siempre tengo hambre.b:tengo tiempo para estudiar.c:me siento bien.d:puedo estudiar.

(cvd)(avb)

a b c d a avb cvd (cvd) (avb)

0 0 0 0 1 1 0 10 0 0 1 1 1 1 10 0 1 0 1 1 1 10 0 1 1 1 1 1 10 1 0 0 1 1 0 1

0 1 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 1 10 1 1 1 1 1 1 11 0 0 0 0 0 0 11 0 0 1 0 0 1 01 0 1 0 0 0 1 01 0 1 1 0 0 1 01 1 0 0 0 1 0 11 1 0 1 0 1 1 11 1 1 0 0 1 1 11 1 1 1 0 1 1 1

1.6 RAZONAMIENTOS.-[H1 H2 H3... Hn] C

ANTECEDENTE


15/61

Son proposiciones compuestas que pueden ser representadas por laconjuncin deproposiciones denominadas premisas o hiptesis, la condicional como operadorlgico principal; y, una proposicin final denominada conclusin.

Ejemplos:

I. Si Pablo recibi el e-mail, entonces tom el avin y estar aqu almedioda. Pablo no tom el avin. Luego, Pablo no recibi el e-mail.

a: Pablo recibi el e-mail.b: Pablo tom el avin.c: Pablo estar aqu al medioda.

H1: p(qr)H2: qC: p

[(p(qr))q]p

p q r qr H1 H2 cp(qr) q H1H2 p [H1H2]C

0 0 1 0 1 1 1 1 10 0 0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 0 0 1 10 1 0 1 1 0 0 1 11 0 1 0 0 1 0 0 11 0 0 0 0 1 0 0 11 1 1 0 0 0 0 0 11 1 0 1 1 0 0 0 1

II. Si el crimen ocurri despus de las 04h00, entonces Pepe no pudohaberlo cometido. Si el crimen ocurri a las 04h00 o antes, entoncesCarlos no pudo haberlo cometido. El crimen involucra a dos personas, siCarlos no lo cometi. Por lo tanto, el crimen involucra a dos personas.

a: El crimen ocurri despus de las 04h00.

b: Pepe pudo haber cometido el crimen.c: Carlos pudo haber cometido el crimen.d: El crimen involucra a dos personas.

H1: p(q) H2: (p)(r) H3: (r)s C: s


16/61

[(p(q))((p)(r))((r)s)]s

p q r s q H1 H2 H3p(q) p r (p)(r) (r)s H1H2H3 [H1H2H3]C

0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1

0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 10 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 10 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 10 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 10 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 10 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 10 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 11 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 11 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 11 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 01 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 11 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 11 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 11 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 11 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1

1.7CONJUNTOS.-

Por COMPRENSIN, para referirnos a alguna caracterstica de los elementos.

A = {x/x es consonante de la palabra amistad}

Por EXTENSIN o TABULACIN, cuando se listan todos los elementos.

A = {d, m, s, t}

Por medio de DIAGRAMAS DE VENN, cuando se desea representarloGrficamente.

A Note que:*t *s d A*m *d b A

Ejemplo De Conjunto Finito:A = {x/x es habitante del Ecuador}

Ejemplos:

I. Determine cul de los siguientes conjuntos es vaco:

a) A = {{}} b) D = {} c) B = {,{}} d) C = {, } e) M = { x/x x}

Respuesta: literal e

II. Sean A, B, C, D y M como en el ejercicio anterior.Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:


17/61

a) N(A) = N(D) 1b) N(D) = N(C) 1c) N(C) = N(M) 0d) N(C) = 11

e) N(B) = N(C) + 11

1.8 CUANTIFICADORES.-

Cuantificador Universal.-para todo, todo, para cada, cada.

Cuantificador Existencial.- .existe, algn, algunos, porlo menosuno, basta que uno.

Subconjunto:El conjunto A es subconjunto de B si y slo si los elementosde A estn contenidos en B. Simblicamente, este concepto se

representa por:(A B)x[(x A)(x B)]

Conjunto Potencia:

P(A) ={B/B A}Ejemplos:

I. Si A = {*, +, a}, entonces P(A) = {, {*}, {+}, {a}, {*, +}, {*, a},{+, a}, A}.Proposiciones verdaderas:

{*, +} A{*, +} P(A)P(A)N(P(A)) = 23 = 8.

II. Dado el conjunto B={1, {*, }}, construya P(B).Solucin:

B :, {1}, {{*, }}, BP(B) = {, {1}, {{*, }}, B}.

N(P(B)) = 22 = 4.

1.9 OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS.-

Unin entre Conjuntos:

AB = {x/(x A)(x B)}


18/61

Interseccin Entre Conjuntos :

AB = {x/(x A)(x B)}

Diferencia Entre Conjuntos:AB = {x/(x A)(x B)}

Diferencia Simtrica Entre Conjuntos:AB = {x/[(x A)(x B)][(x B)(x A)]}

Complementacin de

conjuntos:AC = {x/(x Re)(x A)}

Ejemplos:I. Re={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}


19/61

A={1, 2, 3, 4,5}B={2, 4, 6,8}ReC={1, 3, 6,5}

a) A

c

{6,7,8}b) a b= {1,2,3,4,5,6,8}c) ac= {1,3}

b-c = {2, 4,8}AB = {1, 3, 5, 6,8}

1.10 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

UNIN INTERSECCINAB = BA Conmutativa AB = BA

(AB)C=A(BC) Asociativa (AB)C=A(BC)AA = A Idempotencia AA = A

A = A Identidad ARe = AARe = Re Absorcin A =

Ejemplos:I. Determine el porcentaje de alumnos que practican ftbol y bsquet, si alentrevistar a 1000 estudiantes se obtuvieron los siguientes resultados:

600 practican ftbol. 500 practican bsquet. 150 no practican ftbol ni bsquet.

N(Re) = 1000N(B) = 500N(F) = 600N[Re (BF)] = 150

N(BF) = N(B) + N(F) N(BF)

N(BF) = 1000 150N(BF) = 850

N(BF) = 600 + 500 850N(BF) = 250

R//.El nmero de estudiantes que practican ftbol y bsquet es 250, el cual

representa el 25% del total de estudiantes.


20/61

II. Se hizo una encuesta a 1000 personas acerca del canal detelevisindonde preferan ver programas documentales y se obtuvieronlossiguientes resultados:

620 vean Teleamazonas; 400 vean Canal Uno; 590 vean Ecuavisa; 195 veanTeleamazonas y Canal Uno; 190 preferan ver Canal Uno y Ecuavisa; 400 veanTeleamazonas y Ecuavisa; 300 preferan ver Teleamazonas y Ecuavisa, pero noCanal Uno.

Determine el nmero de personas que no ven estos canales.

Solucin:N(Re) = 1000N(T) = 620N(C) = 400N(E) = 590N(TC) = 195

N(CE) = 190N(TE) = 400N[(TE) C] = 300

N(TE)N(C ) = 300N(C)=N(TE)-300N(C)=400-300N(C)=100

N(TCE) = N(T)+N(C)+N(E)N(TC)N(CE)N(TE)+N(TCE)N(TCE) = 620 + 400 + 590 195 190 400 +100N(TCE) = 925N(TCE)C= N(Re) N(TCE) = 1000 925=75

75 personas no ven estos canales.

III. Determinar A,ByC si se conoce:

Re= {1, 2, 3, 4, 5, 6}A-B= {1, 2, 3}A-C= {1, 2}

(B-C)-A= {4}C(AUB) = {5}(AUBUC)C= {6}Re

Solucin:

A= {1, 2, 3}B= {4}C= {5,3}

1.11PREDICADOS.-


21/61

Son expresiones en trminos de una variable que al ser reemplazadas por loselementos de un conjunto referencial, se convierten en proposiciones.

Ejemplos:

Re= {Quito,Lima, Bogot,Caracas, Santiago}

a) P(X): X es capital de Ecuador verdaderob) q(x): x+2=5 falso

a) p(Quito):Quito es capital de Ecuador.

I. Re={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7}

p(x):x es un nmero primo.q(x):x5

Determinar conjunto: A(p(x)q(x))Ap(x):{2, 3, 5,7}Aq(x):{-4,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, 4,5}A(p(x)q(x))={2,3,5}

Valor de verdad de proposiciones con cuantificadores:

Ejemplo:

Sea Re={1,2,3,4}p(x): x es divisor de 12.q(x): x es primo.

Encuentre el valor de verdad de las siguientes proposiciones.

a) xp(x)q(x)

xp(x)q(x)={1,2,3,4,5}=1

b) xp(x)q(x)

p(x)={1, 2, 3,4}q(x)={2, 3,5}xp(x)q(x){2,3}=1

c) x(p(x)q(x)p(x)={1, 2, 3,4}q(x)={2, 3,5}

a) x(p(x)q(x)=x(p(x)q(x)=x(p(x)={5}=x{5}=1

1.12PARES ORDENADOS Y PRODUCTO CARTESIANO


22/61

Un par ordenado es un conjunto de dos elementos, a y b, que tiene un orden; alelemento a se lo denomina primera componente y al elemento b se lo denominasegunda componente. Se representasimblicamente por: (a, b).Sean dos conjuntos A y B, no vacos, denominaremos producto cartesiano entre A

y B, al conjunto de todos los pares ordenados cuya primera componente perteneceal conjunto A, y la segunda al conjunto B. Simblicamente, lo representaremoscomo: A x B.

Ejemplo:I. A = {*, &, #}

B = {@, $, }A x B = {(*,@), (*,$), (*,), (&,@), (&,$), (&,), (#,@), (#,$), (#,)}la cardinalidad del conjunto resultante es N(A x B) = 9.

1.13 RELACIONES

Una relacin establece la correspondencia entre los elementos de dos conjuntosno vacos A y B. Usualmente, al conjunto A se lo denomina conjunto de partida, yal conjunto B, de llegada. Simblicamente, la relacin se representa por R y secumple que: R A x B.

Ejemplo:I. Dados los conjuntos A = {?, } y B = {a, b}, determine analticamente

elnmero de relaciones posibles que se pueden obtener de A en B, yrealicelos diagramas sagitales correspondientes a todas las relacionesposibles.

Solucin:

El nmero de relaciones de A en B es 2N(A)N(B) = 2(2)(2) = 24= 16

Diagramas sagitales.


23/61

Dominio Y Rango De Una Relacin:

Ejemplos:

I. A = {2, 4, 5}B = {1, 3, 5}R = {(x, y)/x+y es un nmero primo}

R = {(2,1), (2,3), (2,5), (4,1), (4,3)}dom R = {2, 4}rg R = {1, 3, 5}

II. Sean A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, B = {(0,0), (3,1), (4,2), (6,3), (8,4)}yR la relacin de A en B definida por:

R = {(a, (b, c))/a = b + c(a A)((b, c)B)}Establezca los elementos de R.Solucin:

(b, c) = (0,0) a = 0 + 0 = 0(b, c) = (3,1) a = 3 + 1 = 4(b, c) = (4,2) a = 4 + 2 = 6(b, c) = (6,3) a = 6 + 3 = 9

Note que la pareja restante (8, 4) del conjunto B no satisface laCondicin dada.

De donde:R = {(0, (0,0)), (4, (3,1)), (6, (4,2)), (9, (6,3))}


24/61

dom R = {0, 4, 6, 9} y N(dom R) = 4;rg R = {(0,0), (3,1), (4,2), (6,3)} y N(rg R) = 4.

1.14 FUNCIONES.-

Una relacin de A en B es una funcin si y slo si el dominio de la relacin es todoel conjunto de partida, y si a cada elemento del dominio le corresponde un nicoelemento en el rango. Simblicamente, esta definicin se representa por:1. dom R = A2. x Ay1, y2 B[(x R y1) (x R y2) (y1 = y2)]

Ejemplos:

I. Dados los conjuntos A = {a, b, c, d} y B = {1, 2, 3}, y las relaciones:

R1 = {(a, 1), (b, 2), (c, 2), (d, 3)}

R2 = {(a, 1), (b, 2), (b, 3), (d, 1)}

Determine si R1 o R2 constituyen funciones de A en B.

R1: AB

R2: AB


25/61

TIPOS DE FUNCIONES:

Funcin INYECTIVA:f : AB es inyectiva {x1, x2 A[(x1 = x2)( f (x1) = f (x2))]}

Ejemplos:A = {2, 4, 5}B = {8, 64, 125, 216}f : AB, y es el cubo de xf = {(2, 8), (4, 64), (5, 125)}

dom f = Arg f = {8, 64, 125}f es inyectiva

Funcin SOBREYECTIVA:

f : AB es sobreyectiva {y B x A[y = f (x)]}

Ejemplos:

I. A = {1, 0, 1}B = {0, 1}

f : AB, y es el cuadrado de x

f = {(1, 1), (0, 0), (1, 1)}

dom f = A

rg f = B

Funcin BIYECTIVA:

f : AB es biyectiva si y slo si f es inyectiva y f es sobreyectiva.

A = {Guayas, El Oro, Los Ros}B = {Machala, Guayaquil, Babahoyo}f : AB, y es capital de xf = {(Guayas, Guayaquil), (El Oro, Machala), (Los Ros, Babahoyo)}


26/61

Funcin INVERSA

Si f : AB es biyectiva, es posible construir la inversa f 1: BA. Esta nuevafuncin permite invertir el sentido de la correspondencia, tal que a cada y B se lo

asocia con un nico x A.I. A={1,2,3,4}

B={X, Y, Z, W} f : AB

R={(1,X)(1,Y)(1,Z)(1,W)(Z,X)(Z,Y)(Z,Z)(Z,W)(Z,X)(3,Y)(3,Z)(3,W)(4,X)(4,Y)(4,Z)(4,W)}

A B1 X f-1biyectiva2 Y f(x): (x,y)3 Z (y,x)4 W

f-1:{(x,1)(y,1)(2,1)(w,1)(x,3)(y,2)(z,2)(w,2)(x,3)(y,4)}x={a, b, c, d}y={1, 2, 3,4}f= xyR={x, 1}

Funcin COMPUESTA:

Sean las funciones f : AB y g : CD, la funcin compuesta denotada por gof esuna funcin que relaciona A con D, es decir, que a partir de un elemento x de A, seobtiene un elemento g( f (x)) de D.

Ejemplo:

I. f: A-BY:BC

f gA B C

f a o b : {(x1,y1)(x2,Y2)}g o b:{(y,z)(y2,Z2)}AC:{(X1,Z1) (X2, Z2)}

II. Sean las conjuntos A ={x,y,z}, B={s,t,r},C={1,2,3} y D={a,b,c}; f: AB, g:DA y h: CD funciones tales que :

X1X2

Y1Y2

Z1

Z2


27/61

g={(a,y),(b,x),(c,z)}Determine (( fog)oh)Solucin:Planteamos fog:

fog : D Bfog = {(a, t), (b, s), (c, r)}, la cual es una funcin de D en B.Ahora planteamos (( fog)oh):

(fog)oh : C B((fog)oh) = {(1, s), (2, t), (3, t)}

Captulo 2


28/61

NMEROS REALES

2.1REPRESENTACION DECIMAL.N CZC Q C RN= #naturales.Z= #enteros.Q= racionales (p/q:q)R= reales.I= irracionales (no periodos)

Ejemplos:I. 16 = 0.166666..., = 0,16 Periodo Racionales.

II. 0,0042828.

0,00428 = 428-4 = 424 = 5399000 99000 12375

a) e2irracionalb) 1,2332323 = 1,23 peridico racional.

c) /4 = irracionald) 1/8 = irracionale) = 0,5

2.2OPERACIONES BINARIAS

Propiedades:

*CLAUSURATIVA: si y solo s.a, b S, a*b S

*BINARIA CONMUTATIVA: a, b S, a*b = b*a

*BINARIA ASOCIATIVA: a, b, c S, a*(b*c) = (a*b)*c

*ELEMENTO NEUTRO(n)nS a S, a*n = n*a = a

*ELEMENTO INVERSO = a S a S, a*a= a*a = n


29/61

2.3 EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Es la combinacin de smbolos (nmeros y letras), a travs de las diferentesoperaciones fundamentales. Los trminos de la expresin algebraica corresponden

a cada una de sus partes, las cuales estn separadas entre s por los signos + o . Propiedades de las Fracciones.

Ejemplos:

I.

II.

III.


30/61

Propiedades de los Exponentes.

Ejemplos:

I.

II.

Productos Notables

Ejemplo:

a) 412 = (40 + 1)2 =(40)2 + (2)(40)(1) + (1)2= 1600 + 80 + 1= 1681

b) 982 = (100 2)2 = (100)2 (2)(100)(2) + (2)2= 10000 400 + 4= 9604

c) (18)(22) = (20 2)(20 + 2)= (20)2 (2)2

= 400 4= 396

Factorizacin:

Factor comnax + ay az= a(x + y z)

Agrupacin de trminosx2 ax bx + ab = (x2 ax) (bx ab)

= x(x a) b(x a)= (x a)(x b)


31/61

Trinomio cuadrado perfecto4a2 12ab + 9b2= (2a 3b)2

Diferencia de cuadrados perfectos

36(m + n)2

121(m n)2

= [6(m + n) + 11(m n)][6(m + n) 11(m n)]= (6m + 6n + 11m 11n)(6m + 6n 11m + 11n)= (17m 5n)(17n 5m )

Trinomio cuadrado perfecto por adicin y sustraccin49m4 151m2 n4 + 81n8 = 49m4 151m2n4 + 81n8 + 25m2n4 25m2n4= (49m4 126m2n4 + 81n8) 25m2n4= (7m2 9n4 )2 25m2n4= (7m2 9n4 + 5mn2 )(7m2 9n4 5mn2 )= (7m2 + 5mn2 9n4 )(7m2 5mn2 9n4 )

Trinomio de la forma x

2

+ bx + ca2 66a + 1080 = (a 30)(a 36)

Trinomio de la forma ax2 + bx + c18x2 13x 5 = (18x 18)(18x + 5)18= (x 1)(18x + 5)

Cubo perfecto de binomiosx9 18 x6 y5 + 108 x3y10 216 y15 = (x3 6y5 )3

Suma o diferencia de dos potencias imparesx5 + 32 = (x + 2)(x4 2x3 + 4x2 8x + 16)m7 1 = (m 1)(m6 + m5 + m4 + m3 + m2 + m + 1)

Ejemplos:

I.


32/61

Racionalizacin:

Ejemplos:

2.4VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto de un nmero x se representa por | x | y es un nmero nonegativo, tal que:| x | = x, x 0 x, x < 0

Intervalo cerrado

[a, b] = {x R/a x b}

Intervalo abierto

(a, b) = {x R/a < x < b}


33/61

Intervalo semiabierto / semicerrado

[a, b) = {x R/a x < b}

(a, b] = {x R/a < x b}

Intervalos con extremo infinito

( , a] = {x R/x a}

Ejemplos:

I. 1 # 0 = -1

|1-0|-2=-1|1|-2=-11-2=-1

-1=-1

II. | (5) ( 4)| = | 5 | | 4 |

| 20 | = (5) (4)20 = 20

III.

2.5ECUACIONES

Una ecuacin o igualdad condicional, es aquella que es verdadera slo para algno algunos valores de las variables del conjunto referencial que corresponda.

Ejemplos:

I. x-2=17

x=17+2x=19

II. 7x-5=4x+7comprobacin


34/61

7x-4x=7+5 7(4)-5=4(4)+73x=12 28-5=16+7x =12 23=233

x=4 Ecuaciones Cuadrticas.

Ejemplos:

I. Sea Re =Ry p(x): x2+ 5x 6 = 0, determine Ap(x).

x2+ 5x 6 = 0(x + 6)(x 1) = 0(x + 6 = 0) (x 1 = 0)

(x = 6) (x = 1)

Comprobacin:

p ( 6) : ( 6)2 + 5( 6) 6 = 36 30 6 = 0p (1) : (1)2 + 5(1) 6 = 1 + 5 6 = 0

Ap(x) = { 6, 1}.

II. Sea Re =Ry p(x): 3x2 11x + 6 = 0, determine Ap(x).

(3x 9)(3x 2)=03

(x 3)(3x 2) = 0(x 3 = 0) (3x 2 = 0)(x = 3) x = 23Ap(x)= {3,2/3}

Comprobacin:

p(x1)=3(3)2

-11(3)+6=03(9)-33+6=027-33+6=0

-6+6=00=0

Formula general:


35/61

x =b b2 4ac2

Ejemplos:

I. 3X2-5X+1=0

a= 3b=-5c=1

-(-5)+ 52 4(3) (1)2(3)

5+ 25

126

5 + 136

x1 5 + 13 x2 5 - 136 6

II. 16X2-24X+9=0

a= 16b= -24c= 9

(24) (24)2 4(16)(9)2(16)

24 576 57632

24 + 0

32

X1, 224332 4

Planteo De Ecuaciones

Ejemplos:

I. La suma de tres nmeros enteros consecutivos es 72. Encuentreelmayor de ellos.


36/61

x : nmero menor.x + 1: nmero central.x + 2: nmero mayor.

x + (x + 1) + (x + 2) = 723x + 3 = 723x = 72 - 33x = 69X= 23

Los nmeros consecutivos son: 23 + 24 + 25 = 72El nmero mayor es 25.

II. Un consultor cobra $ 25 por hora por sus servicios, mientras quesuasistente gana en una hora el equivalente en dlares a los 5/13delnmero total de horas trabajadas por el consultor. Si en un trabajo,enel cual el consultor trabaj 3 horas ms que su asistente, la cuentatotalfue de $ 880, encuentre el nmero de horas trabajadas por elconsultor.

x : nmero de horas trabajadas por el consultor.El asistente trabaj( x 3) horas y gan $ (5/13) x en cada una de esas horas.

25x + 5 x (x 3) = 880.13

325x + 5x2 15x = 11440

5x2+ 310x 11440 = 0x2+ 62x 2288 = 0

62 3844 4(1)(2288)2

62 129962

62 + 11462 1142 2

(x = 26) (x = 88) el consultor trabajo 24 horas.

2.6 INECUACIONES

Es un predicado que incluye una desigualdad condicionada, y resolverla significa

encontrar todos los valores del conjunto referencial para los cuales el enunciadoconstituye una proposicin verdadera.


37/61

Ejemplos:

I. Sea Re =Ry el predicado p(x):4x + 3 12x 13, determine Ap(x).

4X + 3 12X 134X12 - 3 13

- 8X - 16X 2

Ap(x) = ( , 2]

II. Sea Re = y p(x): 1/3 (3x 2) < x/8+ 2, determine Ap(x)

1/3 3/1x(1/3)(2/1) x/8 + 2x 2/3 x/8 + 2x/1x/8 2/1 + 2/3

8x-x 6 + 28 37x 88 321x < 64x 64

21Ap(x) = {, 64/21}.

Inecuaciones CuadrticasEs aquella que puede ser reducida a un predicado definidoen el conjunto de losnmeros reales.

Ejemplos:

I. Sea Re =Ry p(x): |2x 3| > 11, determine Ap(x).

[(2x 3) > 11] [(2x 3) < 11](2x > 14) (2x < 8)

(x> 7) (x < 4)

Ap(x) ={x/(x < 4) (x > 7)}.

II. Sea Re = R, p(x): |x + 4| < 2 y q(x): |x| 3, determine Ap(x) Aq(x).

p(x): |x + 4| < 22 < x + 4 < 2


38/61

-2 -4 x+ -4 26 < x < 2Ap(x) = (6,2)

q(x): |x| 3

(x 3) (x 3)Aq(x) = ( , 3] [3, + )Ap(x) Aq(x) = (6, 3]

Planteo De Ecuaciones

Ejemplos:

I. Jenny quiere invertir $ 50000. Ella puede escoger el banco A queofreceun inters anual del 8%, o con un mayor riesgo, escoger el bancoB queofrece un inters anual del 10%. Qu cantidad mnima deberinvertiren el banco B, de modo que reciba una rentabilidad anual total dealmenos $ 4400?

Cantidad de dinero invertida en el banco B.= XCantidad de dinero invertida en el banco A.= (50.000-X)

Rentabilidad B (al 10%) banco A (al 8%) 4400.

0.1x + 0.08 (50000 x) 44000.1x + 4000x 0.08x 4400

0.1x0.08x+4.000 4.4000.02x 400

x 20.000

Jenny debe invertir al menos $ 20.000 en el banco B para obtener larentabilidad deseada.

II. Un promotor artstico quiere realizar un concierto. El costo delmismopuede ser cubierto con un pago nico de $ 2440, o un pago de $1000 msel 40% de lo que se obtenga por la venta de las entradas. lpronostica queasistirn 800 personas. Cunto podra cobrar por elboleto de maneraque la segunda forma de pago no sea ms elevadaque el pago nico?

x: precio de la entrada.Pago nico: $ 2.440

1000 + 0.40 (800x) 24401000 + 320x 2440100 + 32x 24432x 244 10032x 144x 4.5

La entrada debe valer a lo mucho $ 4.50.


39/61

2.7TECNICAS DE CONTEO

Factorial

Ejemplos:

n! = n(n-1)!6! = 6 . 5!= 6 .5 . 4!= 6 .5 .4 . 3!= 6 .5 .4 .3 . 2!= 6 .5 .4 .3 .2 . 1!= 6 .5 .4 .3 . 2 .1 . 0!= 720

Combinatoria

Ejemplos:

I. 10

n n!m m!(n m)!

10 10! 10! 10 .9 .8 .7 . 6!6 6!(10 6)! 6! . 4! 6! 4 .3 .2 . 1

= 210

Principio de la Suma (Aditivo)

Ejemplos:

I. Un repuesto de automvil se vende en 6 locales de Guayaquil y en8locales de Quito. Si la adquisicin de repuestos puede hacerseenGuayaquil o en Quito. De cuntas formas se puede adquirir elrepuesto?

Guayaquil= 6

Quito= 8

Guayaquil o Quito6 + 8 = 14 formas.

II. Un paquete de software tiene 3 opciones de men, si la primera tiene10subopciones, la segunda tiene 15 subopciones y la tercera tiene12subopciones, de cuntas maneras diferentes puede elegir el

usuariouna subopcin?


40/61

10 subop.15 subop. 10 + 15 + 12 = 37 maneras.12 subop.

Principio de la Multiplicacin (Multiplicativo)

Ejemplos:

I. En un da determinado, nueve amigos: Evelyn, Janett, Yajaira, Laura,Vernica, Christian, Jimmy, Gabriel, y David, deciden ir a ver unapelcula al cine; almomento de ingresar a la sala, ellos se ponen de acuerdo para sentarse de formaalternada, de tal manera que al lado de una chica siempre se encuentre un chico.De cuntas formas posibles pueden sentarse estos amigos cumpliendo aquellacondicin?

Son = 9 amigos= 5 mujeres=4 hombres

5! x 4!= 120 x 24 = 2.880 formas.

Permutaciones y combinaciones

n!(n m)!

Ejemplos:

I. En una carrera participan 10 atletas. De cuntas formasdistintaspodrn ser premiados los tres primeros lugares con medalla deoro,plata y bronce?

10 atletas3 lugares 10! 10! 720

(10-3)! 7!

II. De cuntas maneras diferentes pueden colocarse cinco libros

dehistoria, cuatro de literatura y seis de matemticas, si los de lamismamateria deben estar juntos?

5 historia

4 literaturas.


41/61

6 matemticas

Combinaciones

I. Un Soda Bar tiene 3 tipos de frutas: durazno, sanda y pia.Cuntossabores diferentes de jugo se podrn preparar, si se puedenmezclarlas frutas?

2 + 3 + 1 = 7

2.8TEOREMA DEL BINOMIO

n : Exponente del binomio.i : Posicin del trmino en el desarrollo del binomio disminuido en 1.a, b : Trminos del binomio.

Ejemplos:

I. (x 1/2x)10

a = xb = 1/2xn = 10Trmino buscado: 6


42/61

2.9 Sucesiones.

Es un conjunto de nmeros reales, los cuales reciben el nombre de trminos.Todas las sucesiones tienen un primer trmino y cada trmino tiene un siguiente.

f :NRn f (n)Ejemplos:

I. Dada la siguiente sucesin: an = 2(an 1 3) siendo a1 = 5, determine:a2,a3, a4 y a5.

a2 = 2(a1 3) = 2(5 3) = 4a3 = 2(a2 3) = 2(4 3) = 2a4 = 2(a3 3) = 2(2 3) = 2a5 = 2(a4 3) = 2(2 3) = 10

II. Dada la siguiente sucesin: an = 3an 1 y a1 = 2/3 , determine: a2, a3, a4 ya5.

a2 = 3a1 = 3(2/3)= 2a3 = 3a2 = 3(2) = 6a4 = 3a3 = 3(6) = 18a5 = 3a4 = 3(18) = 54

Progresiones Aritmticas


43/61

Se denomina progresin aritmtica a aquella sucesin de nmeros en la que cadatrmino se obtiene sumando una misma cantidad al trmino anterior. A ladiferencia entre dos trminos consecutivos se la denota por d.

f (n) = a + (n 1)d a, d R; n N

Ejemplos:

I. Encuentre el dcimo tercer trmino de la siguiente progresinaritmtica:2, 7, 12, 17, 22, ...

a= 2 d= 7-2 = 5n= 13

f(n)= 2 + (13-1)5f(n)= 2 + (12)5

f(n)= 2 + 60f(n)= 62.

II. En un teatro hay 50 filas de butacas. En la primera fila hay 30butacas,en la segunda hay 32, en la tercera hay 34 y assucesivamente.Determine la cantidad total de butacas.

a = 30n = 50d = 2

S50 = 50/2 [(2)(30) + (50 1)(2)]S50=25 60 + 49(2)S50 = 25(60 + 98)

S50 = 3950Por lo tanto, la cantidad de butacas que hay en el teatro es 3950.

Progresiones Geomtricas

Se denomina progresin geomtrica a aquella sucesin de nmeros en la quecada trmino se obtiene multiplicando por una misma cantidad al trmino anterior.Por lo tanto, el cociente entre dos trminos consecutivos es constante y sedenomina razn r de la progresin.

f (n) = arn 1a, rR; n N


44/61

Ejemplos:

I. Encuentre el valor de la siguiente suma, cuyos trminos estn

enprogresin geomtrica 1 3/4+ 9/16 27/64+.a = 1r =9/16: 3/4 = 3/4

P 1 :1/+ 3/4 4/7

II. Determine el valor de la suma 1/33+ 1/36 + 1/39 + 1/312+ ...

a = 1/33r = 1/3a / 1/36 = 39 / 36 = 1/33.

P a /1 r 1/33 / 1-1/33 3 3 + 1/26.


45/61

Captulo 11

ESTADSTICA Y PROBABILIDADES

11.1ORGANIZACIN DE LOS DATOS.

Tablas de frecuencias.

Ejemplos:

I. El nmero diario de llamadas telefnicas realizadas en una casa durante30 das, se encuentra tabulado as:

2 4 1 3 2 5

3 1 3 4 1 11 5 3 1 2 32 1 5 3 4 23 4 1 2 5 5

1. Ordene los datos en forma decreciente o creciente por cada columna yrealice el conteo:

2. Estructure la tabla de frecuencia relacionando el conteo con un nmero(frecuencia):


46/61

II. La edad de un grupo de 30 personas se encuentra tabulada as:

1. Determine el total de datos.

N = 30.2. Calcule el rango R de la variable con la expresin R = Xmx Xmn.

R = 55 5 = 50.3. Determine el nmero de intervalos

Intervalo= #13

4. Calcule la amplitud de los intervalos

5. Construya la tabla considerando que los intervalos sern siemprecerrados

por la izquierda y abiertos por la derecha [Li 1, Li ).


47/61

III. En un estudio realizado a 40 personas acerca del nivel de cotinina, seobtuvieron los siguientes resultados:

N = 40El rango R = 491 0 = 491.5 intervalos.

Medidas de tendencia central y no central

* Media aritmtica ( x )

Ejemplos:

I. Se tiene el sueldo de cinco empleados de una empresa: $567,$683,$725, $675, $576.

II.


48/61

La media aritmtica es:

Mediana ( x)

Ejemplos:

I. Considere los siguientes datos: 2, 4, 5, 9, 10.

N = 5

x (5+1) 62 2

II. Considere los siguientes datos: 2, 4, 5, 9, 10, 12

Aqu N = 6

x 6 x= 3+1=4 x4=92 x 5+9 7

X3= 5 2

11.2PROBABILIDADES

Ejemplo:Espacios muestrales.

I. Al lanzar un dado, el espacio muestral es:

= {1, 2, 3, 4, 5, 6} Al lanzar una moneda, el espacio muestral es:


49/61

= {c, s}Dnde: c: caraS: sello

II. En el espacio muestral = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, relacionado con ellanzamiento de un dado, los siguientes son eventos:

Obtener un nmero primo:A = {2, 3, 5} Obtener un nmero primo y par:B = {2} Obtener un nmero mayor o igual que 5:C = {5, 6}

III. En el lanzamiento de un dado, los eventos:A: obtener un nmero par.B: obtener el nmero 3.

A y B son mutuamente excluyentes.

El espacio muestral es = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, y los eventos son:A = {2, 4, 6} y B = {3}.Como A B = , A y B son mutuamente excluyentes.

Probabilidad clsica.

I. Un experimento consiste en lanzar dos dados. Se pide realizar losiguiente:

a) Elaborar el espacio muestral del experimento.

b) Hallar la probabilidad de que al lanzar los dos dados, la suma de las caras delos dados sea igual a 10.

c) Hallar la probabilidad de que al lanzar los dos dados, la suma se encuentreentre 7 y 9, inclusive.

a)

(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),

(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),

(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6),


50/61

b) Sea A: El evento que la suma de las caras de los dados sea igual a 10.Las combinaciones que cumplen con esta condicin son:A = {(4, 6), (5, 5), (6, 4)}.

P(A) = 3

36 8.33 %

c) Sea B: El evento que la suma de las caras de los dados se encuentre entre 7 y 9inclusive.

Las combinaciones que cumplen con esta condicin son: B = {(1, 6),(2,5), (2,6),(3,4), (3,5), (3,6), (4,3), (4,4), (4,5), (5,2), (5,3), (5,4), (6,1),(6,2), (6,3)}.

P(B) = 1536 = 512 41.67 %

II. Una comisin ecuatoriana est formada por 20 personas:8representantes de la Sierra, 5 de la Costa, 4 del Oriente y 3 de lareginInsular. Hallar la probabilidad de seleccionar una persona y questasea:

a) De la Sierra.b) De la Costa.c) Del Oriente o de la regin Insular.

a) Sea A: El evento de seleccionar una persona de la Sierra entre los miembros dela comisin.

P(A) = 820 = 25 40 %

b) Sea B: El evento de seleccionar una persona de la Costa entre los miembros dela comisin.

P(B) = 520 = 14 25 %

c) Sea C: El evento de seleccionar una persona del Oriente o de la regin Insular.

Como existen 4 personas del Oriente y 3 de la regin Insular, por el principioaditivo, existen 7 formas diferentes de seleccionar una persona entre stas.

P(C) = 4 + 320 = 720 35 %


51/61

11.3CONJUNTOS Y PROBABILIDADES

AB: Al menos uno de los eventos A o B ocurre.

AB: Ambos eventos ocurren.

AC: El evento A no ocurre.

AB: Si el evento A ocurre, entonces el evento B tambin ocurre.

Ejemplo:

En el experimento del lanzamiento de un dado, sean:

Evento A: Obtener un nmero par.Evento B: Obtener un nmero primo.Evento C: Obtener un nmero distinto de 3 5.

El espacio muestral es = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Obtener un nmero par o un nmero primo; se puede representar mediante elconjunto AB, cuyo diagrama de Venn es:


52/61

Obtener un nmero par y primo; se puede representar mediante el conjunto AB,cuyo diagrama de Venn es:

No obtener un nmero par; se puede representar mediante el conjunto AC, cuyodiagrama de Venn es:

Adems, como AC, todos los elementos de A son tambin elementos de C


53/61

Captulo 4

TRIGONOMETRIA

4.1 NGULOS Y SUS MEDIDAS.

ngulo:

Es la unin de dos semirrectas que se intersecan en su extremo.

Signos de las Medidas de los ngulos.


54/61

Unidades angulares.

Algunas equivalencias importantes son las siguientes:

360 representan un giro completo alrededor de una circunferencia.

180 representan

de vuelta alrededor de una circunferencia.

90 representan

de vuelta.

1 representa

de vuelta.

1 representa 60 minutos ().

1 representa 60 segundos ().

Clases de ngulos:

Coterminales.- Son aquellos ngulos que tienen los mismos lados inicial y

terminal.

Ejemplo:

Sean =

y =

. Graficando se observa que los ngulos son Coterminales.


55/61

Consecutivos.-Dos ngulos de un mismo plano son consecutivos cuando slo

tienen un lado en comn.

Adyacentes.- Dos ngulos son adyacentes cuando son consecutivos y los

lados no comunes son semirrectas en la misma direccin, pero en sentido

contrario. La suma de las medidas de estos ngulos es 180.

Complementarios.- Dos ngulos son complementarios cuando la suma de sus

medidas constituye la medida de un ngulo recto: + = 90.

Suplementarios.- Dos ngulos son suplementarios cuando la suma de sus

medidas constituye la medida de dos ngulos rectos: + = 180.


56/61

Opuestos por el vrtice.- Dos ngulos se dicen opuestos por el vrtice cuando

los lados de uno de ellos son semirrectas opuestas a los lados del otro,

verificndose que = .

Relacin entre grados sexagesimales y radianes.

A partir de la igualdad 2 radianes = 360, determinamos que:

180 = radianes

90 =

radianes.

60 =

radianes.

45 =

radianes.

30 =

radianes


57/61

Ejemplos:

I. Grados sexagesimales a radianes.

a) 15

b) 390

c) -75

d) -150

Solucin:

a) 15 x

=

radianes.

b) 390 x

= radianes.


58/61

c)-75 x

=

radianes.

d) -150 x

=

radianes.

Radianes a grados sexagesimales.

a)

b)

c)

d)

Solucin:

radianes x

= 75

radianes x

= 105

radianes x

= - 504

radianes x

= - 585


59/61

4.2 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS ELEMENTALES.

Funcin SENO:

sen (x) =

Funcin COSENO:

cos (x) =

Funcin TANGENTE:

Si (a 0), la funcin tangente est definida por: tan(x) =

. Es una funcin de

R {(2n + 1)

, n Z} en R.

Funcin COTANGENTE:

Si (b 0), la funcin cotangente est definida por: cot(x) =

. Es una funcin de

R {(n), n Z} en R.

Funcin SECANTE:

Si (a 0), la funcin secante est definida por: sec(x) =

. Es una funcin de

R {(2n + 1)

, n Z} en R.

Funcin COSECANTE:

Si (b 0), la funcin cosecante est

Definida por: csc(x) =

. Es una funcin de N {(n), n Z} en R.

Ejemplo:

I. Se conoce que el coseno de

es

y se requiere el coseno de

de,

y de

.

Solucin:


60/61

Se verifica que efectivamente estos ngulos estn relacionados con el

de

.En este caso se cumple que:

II. Determine el valor de laexpresin:

Solucin:


61/61

Portafolio de Matematcas

Documents

Transcript of Portafolio de Matematcas