Portafolio estadística inferencial segundo parcial diana coral
Portafolio individual estadística
162
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHI INGENIERÍA EN COMERCIO EXTERIOR Y NEGOCIACIÓN COMERCIAL INTERNACIONAL PORTAFOLIO DE ESTADÍSTICA INFERENCIAL DOCENTE: MSC. JORGE POZO INTEGRANTES: STALIN GOYES KARINA LEMA NATHALY CHAMORRO ESTEFANÍA RUANO ERIKA TARAPUES MARITZA VALLEJO NIVEL: SEXTO “A”
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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHI
INGENIERÍA EN COMERCIO EXTERIOR Y NEGOCIACIÓN COMERCIAL
INTERNACIONAL
PORTAFOLIO DE ESTADÍSTICA INFERENCIAL
DOCENTE:
MSC. JORGE POZO
INTEGRANTES:
STALIN GOYES
KARINA LEMA
NATHALY CHAMORRO
ESTEFANÍA RUANO
ERIKA TARAPUES
MARITZA VALLEJO
NIVEL:
SEXTO “A”
FECHA DE ENTREGA:
14/MAYO/2012
CAPÍTULO 1
SISTEMA INTERNCIONAL DE UNIDADES
1.1TEÓRICO BÁSICO
Actividades:
Lectura del documento
Análisis de términos importantes
1.1.1 Lectura del documento
SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES
* El sistema internacional de unidades conocido como SI es una
herramienta de conversión de unidades, utilizado de acuerdo a la
unidad básica de cada país. Cuyo principal objetivo es dar a
conocer las similitudes de las diferentes unidades de medida.
Utilizado para la conversión de unidades, es decir transformar las
diferentes unidades de un sistema a otro. Todas las unidades,
independientemente del sistema que forme parte, no llevan punto
al final de su escritura.
Se usa en la mayoría de los países, creado en 1960 por la
Conferencia General de Pesos y Medidas. Una de las
características es que sus unidades están basadas en fenómenos
físicos fundamentales.
Está formado por dos clases de unidades: unidades básicas o
fundamentales y unidades derivadas.
UNIDADES BÁSICAS DEL SI:
El Sistema Internacional de Unidades consta de siete unidades básicas.
Son las que se utilizan para expresar las magnitudes físicas consideradas
básicas a partir de las cuales se determinan las demás. (WIKIPEDIA,
2011)
Magnitud física fundamental
Unidad básica o fundamental
Símbolo
Longitud Metro M
Masa Kilogramo Kg
Tiempo Segundo S
Intensidad de corriente eléctrica
amperio o ampere A
Temperatura Kelvin K
Cantidad de sustancia Mol Mol
Intensidad luminosa Candela Cd
De las unidades básicas existen múltiplos y submúltiplos, que se
expresan mediante prefijos.
Múltiplos y submúltiplos del SI:
Es frecuente que las unidades del S.I. resulten unas veces excesivamente
grandes para medir determinadas magnitudes y otras, por el contrario,
demasiado pequeñas. De ahí la necesidad de los múltiplos y los
submúltiplos. (TOCHTLI, 2011)
Múltiplos Submúltiplos
Factor Prefijo Símbolo Factor Prefijo Símbolo
10+24 yotta Y 10-24 yocto Y
10+21 zetta Z 10-21 zepto Z
10+18 exa E 10-18 atto A
10+15 peta P 10-15 femto F
10+12 tera T 10-12 pico P
10+9 giga G 10-9 nano N
10+6 mega M 10-6 micro µ
10+3 kilo K 10-3 milli M
10+2 hecto H 10-2 centi C
10+1 deca Da 10-1 deci D
UNIDADES DERIVADAS DEL SI:
Mediante esta denominación se hace referencia a las unidades utilizadas
para expresar magnitudes físicas que son resultado de combinar
magnitudes físicas básicas. (WIKIPEDIA, 2011)
Magnitud Nombre Símbolo
Superficie metro cuadrado m2
Volumen metro cúbico m3
Velocidad metro por segundo m/s
Aceleració metro por segundo m/s2
n cuadrado
Masa en volumen
kilogramo por metro cúbico
kg/m3
Velocidad angular
radián por segundo rad/s
Aceleración angular
radián por segundo cuadrado
rad/s2
UNIDADES DE LONGITUD:
La longitud es una magnitud creada para medir la distancia entre
dos puntos.
La unidad principal de longitud es el metro, pero existen otras
unidades para medir cantidades mayores y menores. (DITUTOR,
2010)
Las más usuales son:
1 km 1000m
1milla T 1609m
1m 100cm
1m 1000mm
1pie 30.48cm
1cm 10mm
1pulgada 2.54cm
1año luz 9,48*1015m
Ejercicios:
L=20millas a mm
l=20millas×1609m1milla
×1000mm1m
=32180000mm
L=3000000km a años luz
l=3000000km×1000m1km
×1año luz
9.48×1015m=0,000000316años luz
L=500pies a mm
l=500 pies×30.48 cm1 pie
×10mm1cm
=152400mm
L=200000millas a pulgada
l=200000millas×1609m1milla
×100cm1m
×1 pilgada2.54cm
=1.26×1010 pulgadas
L=37200m a km
l=37200m×1km1000m
=37.20km
UNIDADES DE MASA:
Masa es un concepto que identifica a aquella magnitud de carácter
físico que permite indicar la cantidad de materia contenida en un cuerpo.
Dentro del Sistema Internacional, su unidad es el kilogramo. (WIKIPEDIA,
2011)
1kg 1000g
1kg 2.2lbs
1tonelada 20qq
1tonelada 907.20kg
1arroba 25lbs
1qq 4arrobas
1lb 16 onzas
1onza 0.91428g
1lbs 454g
1SLUG 14.59kg
1UTM 9.81kg
Ejercicios:
Ejercicios:
M=30toneladas a arrobas
m=30 ton× 907.2kg1 ton
×1qq
45.45kg×4arrobas1qq
=2395.25arrobas
M=4000000 SLUG a toneladas
m=4000000SLUG×14.59kg1SLUG
×1 tonelada907.2kg
=64329.81toneladas
UNIDADES DE TIEMPO:
El tiempo es la magnitud física con la que medimos la duración o
separación de acontecimientos, sujetos a cambio, de los sistemas
sujetos a observación
La unidad de masa se transforma a la unidad de volumen:
1kg= 2,2 lbs = 1 litro= 1000cm3=1000ml
Es el período que transcurre entre el estado del sistema cuando
éste aparentaba un estado X y el instante en el que X registra una
variación perceptible para un observador.
El tiempo ha sido frecuentemente concebido como un flujo
sucesivo de microsucesos.
Su unidad básica en el Sistema Internacional es el segundo, cuyo
símbolo es s. (WIKIPEDIA, 2011)
1año 365.25
1año comercial 360días
1año 12meses
1mes 30días
1día 4semanas
1semana 7días
1día 24horas
1h 60min
1h 3600s
1min 60s
Ejercicios:
T=30semanas a min
t=30 semanas×7 días1 semana
×24h1día
×60min1h
=302400min
T=376540000min a años
t=376540000min×1h60min
×1día24 h
×1año
365.25días=715.91años
ÁREA (m2)
El área es una medida de la extensión de una superficie,
expresada en unidades de medida denominadas Unidades de
superficie. (WIKIPEDIA, 2011)
Un área también es una unidad de superficie equivalente a 100
metros cuadrados. Se la conoce como decámetro cuadrado,
aunque es más frecuente el uso de su múltiplo
denominado hectárea. (WIKIPEDIA, 2011)
1 hectárea 10.000 m2
1 acre 4050 m2
Se dará a conocer el área de varias figuras geométricas a continuación:
VOLUMEN (m3):
Una palabra que permite describir al grosor o tamaño que posee
un determinado objeto.
Sirve para identificar a la magnitud física que informa sobre la
extensión de un cuerpo en relación a tres dimensiones (alto, largo
y ancho).
Dentro del Sistema Internacional, la unidad que le corresponde es
el metro cúbico (m3). (TOCHTLI, 2011)
1 m3 1000 000 cm3
1 litro 1000 cm3
1 galón 5 litros - Ecuador
3,785 litros - Estados Unidos
1 caneca 5 galones
Se detallará el volumen de algunas figuras geométricas a continuación:
Ejercicios:
M=7780m3 a gramos
m=7780m3×1000000 cm3
1m3 ×1kg
1000cm3×1000g1kg
=7780000000g
Q=300000m3/meses a kg/s
q=300000 m3
meses×1000000 cm3
1m3 ×1kg
1000cm3 ×1mes30días
×1día24h
×1h3600 s
q¿115.74 kg /s
v=200km/h a m/s
v=200 kmh
×1000m1km
×1h3600 s
=55.56ms
A=7000millas/h2 a pulgada/s2
a=7000 millas
h2×1609m1milla
×100cm1m
×1 pulg2.54 cm
׿¿
Un jugador de básquetbol tiene una altura de 5 pies 15 pulgadas,
determinar su altura en m y cm
h1=5 pies×0.3048m1 pie
=1.52m
h2=15 pulg×2.54 cm1 pulg
×1m100cm
=0.38m
ht= h1 + h2
ht= 1.52m + 0.38m
ht=1.90m×100 cm1m
=190cm
Calcular cuántos gramos de arena hay en un tramo de playa de
0.5km de largo por 100m de ancho y una profundidad de 3m, se sabe
que el diámetro de 1m de arena es alrededor de 1mm
v=a×b×c
v=500000mm×3000mm=1.5×1014mm3
Vo=4 /3π r3
Vo=0.523…mm3
(1grano x 1.5x1014mm3)/0.523mm3= 2.87x1014gr
Un tráiler tiene 18m de largo una altura de 2.50 y un ancho de 2.90m.
Determinar cuántos quintales puede ubicarse en un tráiler.
Vo=lxaxh
Vo=18m x 250m x 2.90m = 130.5m
Vo=130.5m3× 1000000c m3
1m3×
1kg1000c m3×
1qq45.45kg
=2871.29qq
Un contenedor tiene una longitud de 50pies un ancho de 12pies y
una altura de 30pies. Determinar cuántas cajitas de un juguete
pueden traerse de otro país hacia el Ecuador si tiene una arista de 15
cm
Vo=lxaxh
Vo=50pies x 12pies x 30pies = 18000pies3
Vo=15cm×1 pie
30.48cm=0.49 pies
Vo=0.49pie3= 0.12 pie3
18000/0.12= 150000 juguetes
Un tráiler tiene un contenedor de forma cilíndrica cuya longitud es:
a=15.40m y un r=30pulg. Determinar cuántos litros puede transitar
este tráiler.
Vo=π r 2h
Vo=π (76.2cm)2 x 1580=28091862.64c m3
Vo= (28091862.64cm3 x 1 litro)/ 1000000cm3= 28091.86 litros
Una bodega tiene una longitud de 50m de largo por 25m de ancho y
3m de altura. Determinar cuántas cajitas de manzana puedo ubicar
en esta bodega si tiene una longitud de 70cm de largo, 25cm de
ancho y una altura de 2.7pies
Vobodega=50m x 25m x 3m= 3750m3
Vocaja= 70cm x 25cm x 82.30cm = 144025 cm3
Vo=144025cm3×1m3
1000000cm3=0.14m3
Vo= 3750m3/0.14m3=26037.15 cajas
LINKOGRAFÍA
DITUTOR. (2010). DITUTOR. Recuperado el 2012, de DITUTOR:
http://www.ditutor.com/sistema_metrico/unidades_longitud.html
SLIDESHARE. (2007). SLIDESHARE. Recuperado el 2012, de
SLIDESHARE: http://www.slideshare.net/minmenez/sistema-
internacional-de-unidades-ii
TOCHTLI. (2011). TOCHTLI. Recuperado el 2012, de TOCHTLI:
http://tochtli.fisica.uson.mx/fluidos%20y%20calor/m
%C3%BAltiplos_y_subm%C3%BAltiplos.htm
WIKIPEDIA. (2011). WIKIPEDIA. Recuperado el 2012, de WIKIPEDIA:
WIKIPEDIA
WIKIPEDIA. (2011). WIKIPEDIA. Recuperado el 2012, de WIKIPEDIA:
http://es.wikipedia.org/wiki/Tiempo
WIKIPEDIA. (2011). WIKIPEDIA. Recuperado el 2012, de WIKIPEDIA:
http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81rea
1.1.2. Análisis de términos importantes
Sistema de internacional de unidades: se lo debe de considerar
como una herramienta que permite utilizar un acuerdo a la unidad
básica de cada país, esto permite que exista una concordancia a
nivel mundial, con respecto a la conversión de unidades, es decir,
trasformar una unidad en otra para facilitar la comprensión en el
país interesado en comprender dichas medidas cualquiera que
esta sea.
Unidades básicas del SI: se denominan se esta manera a las más
utilizadas y que se deben saber, dentro de estas unidades básicas
tenemos los múltiplos y submúltiplos los cuales juegan un papel
importante en el momento determinar una medida.
Múltiplos y submúltiplos: están diseñados para representar
expresiones demasiado grandes o pequeñas, es usual en el SI que
se deban calcular dichas cantidades, por ello se los determina con
su respectivo valor, prefijo y símbolo.
Unidades derivadas del SI: Estas unidades están diseñadas para
expresar magnitudes físicas que son resultado de combinar
magnitudes físicas básicas
Unidades de Longitud: es una herramienta diseñada para medir
las distancias entre dos puntos, el metro es su principal unidad de
medición, pero también existen otras unidades que determinan
medidas más grandes o pequeñas como se lo evidencia en la tabla
de cantidades básicas que se muestra en el escrito.
Unidades de masa: estas unidades representan el aspecto físico,
es decir, la cantidad de material retenido por el cuerpo, en este
caso se puede decir la cantidad de peso como son el kg, libra,
gramo, etc. Pero es importante mencionar que las unidades de
masa se transforman a unidades de volumen.
Unidades de tiempo: el tiempo representa la duración o
separación de acontecimiento sujetos a cambios de acuerdo a un
artefacto de medición del tiempo, el reloj, de esto depende de que
el observador de un fenómeno determine el tiempo que transcurre,
al momento que sucede dicho fenómeno. Los más utilizados son el
año, mes, día, hora, etc.
Área: Ayuda a determinar la exención la extensión de un cuerpo
geométrico facilitando su cálculo con ayuda de las fórmulas de
cada una de las figuras geométricas.
Volumen: El volumen permite determinar el grosor de un objeto,
tomando en cuenta la magnitud del mismo, es decir, alto, largo, y
ancho. Para facilitar la obtención de resultados se empleará
fórmulas.
1.2. TEÓRICO AVANZADO
Actividad:
Resumen del tema mediante cuadro sinóptico
1.1.2. Sistema Internacional de Unidades (cuadro sinóptico)
SISTEMA INTERNACIONAL
DE UNIDADES
CONCEPTO
Conocido como SI es una herramienta de conversión de unidades, utilizado de acuerdo a la unidad básica de cada país. Cuyo principal objetivo es dar a conocer las similitudes de las diferentes unidades de medida.
CLASES
DE
UNIDADES
BÁSICAS
Expresan magnitudes físicas, consideradas básicas a partir de las cuales se determinan las demás.
Longitud: metro (m) Masa: kilogramo (kg) Tiempo: segundo (s) Intensidad de
corrienteeléctrica: Amperio(A)
Cantidad desustancia (mol)
Intensidadluminosa: candela(cd)
MÚLTIPLOSPara
distancias mayores
1024 (yotta)1021 (zetta)1018 (exa)1015 (peta)1012 (tera)109 (giga)106 (mega)103 (kilo)102 (hecto)101 (deca)
SUBMÚLTIPLOS
Para fracciones del metro
10-24 (yocto)10-21 (zepto)10-18 (atto)10-15 (femto)10-12 (pico)10-9 (nano)10-6 (micro)10-3 (mili)10-2 (centi)10-1 (deci)
DERIVADASS
Expresan magnitudes físicas que son resultado de combinar magnitudes físicas básicas.
Superficie: metro cuadrado (m2) Volumen: metro cúbico (m3) Velocidad: metro por segundo (m/s)
Aceleración: metro por segundo cuadrado (m/s2)
Masa en volumen: kilogramo por metro cúbico (kg/m3l)
Velocidad angular: radián por segundo (rad/s) Aceleración angular: radián por segundo
cuadrado (rad/s2)
1.3. PRÁCTICO BÁSICO
Actividad
Realización de organizadores gráficos del tema
1.3.1. Sistema Internacional de Unidades (organizadores gráficos)
SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI)
MAGNITUDES
FUNDAMENALES
Longitud (m)Masa (kg)Tiempo (s)
Intensidad de corriente eléctrica (A)
Temperatura (k)Cantidad de sustancia (mol)
Intensidad luminosa (cd)
DERIVADAS
Aceleración (m/s^2)Volomen (m^3)Velocidad (m/s)
Fuerza (N)Densidad (kg/m^3)
Area o Superficie (m^2)
MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS DEL SI
AREAS Y VOLUMENES DE LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS
El sistema internacional de unidades conocido como SI es una herramienta de conversión de unidades, utilizado de acuerdo a la unidad básica de cada país. Cuyo principal objetivo es dar a conocer las similitudes de las diferentes
unidades de medida
Se usa en la mayoría de los países, creado en 1960 por la Conferencia General de Pesos y Medidas. Una
de las características es que sus unidades están basadas en fenómenos físicos fundamentales.
1.4. PRÁCTICO AVANZADO
Actividades:
Resolución de ejercicios Resolución de problemas
1.4.1. EJERCICIOS
LONGITUD
1. 470pies a mm
l=470
pies∗30,48cm1 pies
∗10mm
1cm
l=143256mm
2. 1850pulgadas a cm
l=1850 pulgadas∗2,54cm1 pulgadas
l=4699cm
3. 280m a pies
l=280
m∗100cm1m
∗1 pies
30,48 cm
l=918,64 pies
4. 4000000km a años luz
l=4000000
km∗1000m1km
∗1años luz
9,48∗1015m
l=4,22∗1023 años luz
5. 1850cm a mm
l=1850 cm∗10mm1cm
l=18500mm
6. 50 millas a pulgadas.
l=30 millas∗1609m1milla
l=30
millas∗1609m1milla
∗100cm
1m∗1 pulgada
2 .54cm
l=1900393,70 pulgadas
7. 25cm a mm
l=25 cm∗10mm1cm
l=150mm
8. 3km a millas
l=3
km∗1000m1km
∗1milla
1609m
l=1,86millas
9. 120 m a cm
l=120 m∗100cm1m
l=12000cm
10. 750pies a cm
l=750 pies∗30,48cm1 pies
l=22860cm
11. 574millas a 1año luz
l=574
millas∗1609m1millas
∗1año luz
9,48∗1015m
l=9,74∗1019años luz
12. 32pulgadas a cm
l=32 pulgadas∗2,54cm1 pulgada
l=81,28 cm
13. 25745 cm a mm
l=25745 cm∗10mm1cm
l=257450mm
14. 55870pulgadas a cm
l=55870 pulgadas∗2,54cm1 pulgada
l=141909,80cm
MASA
1. 150 qq a lbs
m=150
qq∗4arrobas1qq
∗25 lbs
1arrobas
m=15000 lbs
2. 28 onzas a g
m=28 onzas∗0,91428g1onza
m=25,60 g
3. 17 U.T.M a kg
m=17U .T .M∗9,81kg1U .T . M
m=166,77 kg
4. 25 arrobas a onzas
m=25
arrobas∗25lbs1arroba
∗16onzas
1lbs
m=10000onzas
5. 38 toneladas a kg
m=38 ton∗907 ,20kg1 ton
m=34473,20kg
6. 3000000 SIUG a g
m=3000000
SIUG∗14,59kg1 SIUG
∗1000g
1kg
m=4,39∗1010 g
7. 1800 lbs a g
m=1800
lbs∗16onzas1 lbs
∗0,91428 g
1onza
m=26331,26 g
8. 12 SIVG a U.T.M
m=12
SIUG∗14,59kg1SIUG
∗1U .T . M
9,81kg
m=17,85U .T . M
9. 97qq a lbs
m=97
qq∗4 rrobas1qq
∗25 lbs
1arroba
m=9700lbs
10. 80lbs a onzas
m=80 lbs∗16 onzas1lbs
m=1280onzas
11. 184arrobas a g
m=184
arrobas∗25lbs1arroba
∗16 onzas
1lbs∗0,91428g
1onza
m=67291 g
12. 14onzas a g
m=14 onzas∗0,91428g1onza
m=12,80 g
1.4.2. PROBLEMAS
1. Un contenedor que mide 16 metros de largo 60 pulgadas de alto y
6 pies de ancho necesita ser llenada de cajas que miden 30x30x30
cm. Se necesita calcular cual será el total de cajas que
alcanzarían en el contenedor.
16mx100 cm1m
=1600cm
60 pulg x2,54 cm1 pulg
=152,40 cm
6 pies x30,48cm1 pie
=182,88cm
V contenedor=a .b . c
Vcontenedor=1600cmx 152,4cm x182,88cm
Vcontenedor=44593459 ,2c m3
Vcaja=a .b . c
Vcaja=30cmx 30cmx 30cm
Vcaja=27000c m3
44593459,2/27000= 1651,6
R= en el contenedor alcanzarían 1651 cajas.
2. Se desea transportar un 1500 cajas de aceite las cuales poseen
una longitud de 54 cm, 15 pulgadas de alto y 10 pulgadas de
ancho. ¿Qué tamaño volumen ocuparía el contenedor que podría
llevar ese número de cajas?
15 pulg x2,54cm1 pulg
=38,1cm
10 pulg x2,54cm1 pulg
=25,4 cm
V=a .b . c
V=54 cmx 25,4cm x38,1cm
V=52257,9 cm3
52257,9c m3 x1500=78386940cm3
R= El volumen del contenedor debe de ser de 783869,4 m3
3. Una bodega que posee las siguientes dimensiones 19 m de largo
3,5 metros de ancho y 2,5 m de alto. Se desea saber qué cantidad
de quintales sería capaz de guardar.
V=a .b . c
V=19m x2,5m x3,5m
V=166,25m3
166,25m3 x ¿¿
R= En la bodega caben 3665 quintales.
4. Un contenedor de forma cilíndrica va a trasladar gasolina; se
desea conocer cuántos galones alcanzan si el contenedor tiene
254 pulgadas de largo y un diámetro de 6 pies.
254 pulg x2,54 cm1 pulg
=645,16cm
6 pies x30,48cm1 pie
=182,88cm
V=π r2h
V=π x 91,44cm2 x 645,16cm
V=185239,37 cm3
185239,37c m3 x1< ¿1000c m3
x1gal ó n
3,78<¿=49,01gal ó nes¿¿
R= El contenedor llevara 49 galones de gasolina.
1.5. INNOVADOR
Actividades:
Proyectos
1. TEMA
Volumen y área de las figuras geométricas, y unidades de tiempo.
2. PROBLEMA
El desconocimiento del volumen y área de las figuras geométricas, y
unidades de tiempo no le ha permitido al estudiante resolver ejercicios y
problemas prácticos que se presentan en la carrera de Comercio Exterior.
3. OBJETIVOS
3.1. OBJETIVO GENERAL
Determinar el volumen y área de las figuras geométricas, y unidades de
tiempo para la resolución de ejercicios y problemas prácticos que se
presentan en la carrera de Comercio Exterior.
3.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Fundamentar científicamente el volumen y área de las figuras
geométricas, y unidades de tiempo.
Realizar ejercicios prácticos sobre el volumen y área de las figuras
geométricas, y unidades de tiempo.
Documentar lo más relevante del volumen y área de las figuras
geométricas, y unidades de tiempo.
4. JUSTIFICACIÓN
La presente investigación es realizada con la finalidad de conocer la
conceptualización y operacionalización del volumen y área de las figuras
geométricas, y unidades de tiempo; puesto que como futuros
profesionales de Comercio Exterior se necesitará conocer a perfección el
volumen y área de las figuras geométricas por que es primordia en el
mundo de los transportes al realizar cálculos para saber cuanta
mercadería se puede enviar en diversos medios de transportes.
Lo más importante de conocer este tema es que se manejará un idioma la
transformación de cantidades, mismas que han dado agilidad y
transparencia a varios procesos en la actualidad.
5. MARCO TEÓRICO
VOLUMEN Y ÁREA DE LAS FIGURAS
Concepto de volumen
El volumen es una magnitud escalar definida como el espacio ocupado
por un cuerpo. Es una función derivada ya que se halla multiplicando
las tres dimensiones. En matemáticas el volumen es una medida que
se define como los demás conceptos métricos a partir de una distancia
ó tensor métrico. En pocas palabras es la capacidad que tiene un
cuerpo. (Matemática.net, 2012)
Concepto de área
Superficie incluida dentro de una figura cerrada, medida por el número
de unidades cuadradas necesarias para cubrir la superficie.
El área de una figura plana es la extensión de la figura plana, medida
en unidades cuadradas de longitud. La unidad SI de área es el metro
cuadrado (m2), que es el área de un cuadrado cuyos lados miden 1
metro.
El área de una figura plana cerrada delimitada por líneas rectas
siempre se puede determinar subdividiéndola en triángulos y
calculando el área de cada triángulo. El área de cualquier otro tipo de
figuras se puede encontrar ya sea por aproximación, utilizando figuras
geométricas básicas, o mediante el proceso de integración.
(Matemática.net, 2012)
Volumen y área de las figuras geométricas
Fuente: http://www.profesorenlinea.cl/geometria/cuerposgeoAreaVolum.htmElaboración: Desconocido
UNIDADES DE TIEMPO
El tiempo es una magnitud física creada para medir el intervalo en el que
suceden una serie ordenada de acontecimientos. El sistema de tiempo
comúnmente utilizado es el calendario gregoriano y se emplea en ambos
sistemas, el Sistema Internacional y el Sistema Anglosajón de Unidades.
(Wikipedia, 2012)
Hay:Unidades de tiempo
En ésta unidad de tiempo
60 Segundos en un minuto
60 Minutos en una hora
24 Horas en un día
7 Díasen una semana
Aproximadamente 30
Días en un mes
365 Díasen un año normal
366 Díasen un año bisiesto
12 Meses en un año
52 Semanas en un año
10 Años en una década
20 Añosen una veintena
100 Años en un siglo
1000 Años en un milenio
6. CONCLUSIONES
El volumen es una magnitud definida como el espacio ocupado por
un cuerpo.
El área es la superficie incluida dentro de una figura cerrada,
medida por el número de unidades cuadradas necesarias para
cubrir la superficie.
El tiempo es una magnitud física creada para medir el intervalo en
el que suceden una serie ordenada de acontecimientos.
7. RECOMENDACIONES
Poner mayor énfasis en conocer el volumen y área de las figuras
geométricas ya que como futuros profesionales de Comercio
Exterior tendremos que realizar cálculos matemáticos referentes a
este tema.
Tomar en cuenta las diferentes unidades de tiempo para realizar
correctamente las diferentes conversiones.
Realizar ejercicios sobre el volumen y área de las figuras
geométricas, y unidades de tiempo para disipar dudas.
8. LINKOGRAFÍA
Matemática.net. (2012). Recuperado el 14 de Abril de 2012, de
http://www.rpdp.net/mathdictionary/spanish/vmd/full/a/area.htm
Profesor en línea. (2012). Recuperado el 14 de Abril de 2012, de
http://www.profesorenlinea.cl/geometria/cuerposgeoAreaVolum.htm
Wikipedia. (2012). Recuperado el 14 de Abril de 2012, de
http://es.wikipedia.org/wiki/Sistemas_de_tiempo
9. CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES
Actividades Fecha DuraciónPlanteamiento del tema y problema Viernes (13/Abr/2012) 10 minRealización de objetivos Viernes (13/Abr/2012) 10 minJustificación de la investigación Viernes (13/Abr/2012) 10 minRealización del marco teórico Viernes (13/Abr/2012) 2:00 hConclusiones y recomendaciones Viernes (13/Abr/2012) 15 minBibliografía o Linkografía Viernes (13/Abr/2012) 10 min
1. TEMA
Ejercicios de unidades de longitud y de masa
2. PROBLEMA
El desconocimiento de las unidades de longitud y masa no le ha permitido
al estudiante resolver ejercicios y problemas prácticos que se presentan
en la carrera de Comercio Exterior.
3. OBJETIVOS
3.1. OBJETIVO GENERAL
Determinar las unidades de longitud y masa.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Fundamentar científicamente las unidades de longitud y masa.
Realizar ejercicios prácticos sobre las unidades de longitud y masa.
Documentar el tema
4. JUSTIFICACIÓN
La presente tarea es realizada con la finalidad de conocer la
operacionalización de unidades de longitud y masa, puesto que como
futuros profesionales de Comercio Exterior se necesitará conocer a
perfección las diferentes unidades de medida utilizadas en otros países
para realizar la acción de compra - venta de algunos productos, estos
conocimientos también serán primordiales en el mundo de los transportes
al realizar cálculos para saber cuanta mercadería se puede enviar en
diversos medios de transportes, además lo más importante de conocer
este tema es que se manejará un idioma común de medidas mediante la
transformación de cantidades, misma que han dado agilidad y
transparencia a varios procesos en la actualidad.
5. MARCO TEÓRICO
EJERCICIOS DE LONGITUD Y DE MASA
Ejercicios de Longitud
- 1 -
l=30millas→mm
l=30millas x1609,34m1milla
x1000mm1m
l=48.280 .200mm
- 2 -
l=20.000km→años luz
l=20.000 km x1000m1km
x1año luz
9,48 x1015m
l=2,10 x 10−9años luz
l=0,00000000210 años luz
- 3 -
l=55millas→ pulg
l=55millas x1609,34m1milla
x100cm1m
x1 pulg2,54cm
l=3.484 .791,33 pulg
- 4 -
l=620 pies→mm
l=620 pies x30,48cm1 pie
x10mm1cm
l=188976mm
- 5 -
l=57.650m→km
l=57.650m x1km1000m
l=57,65km
- 6 -
l=1000 pulg→mm
l=1000 pulg x2,54 cm1 pulg
x10mm1cm
l=24 400mm
- 7 -
l=65200mm→cm
l=65200mm x1cm10mm
l=24 400cm
- 8 -
l=5689m→pies
l=5689m x100cm1m
x1 pie30,48cm
l=18.664,69 pies
- 9 -
l=100.000millas→años luz
l=100.000millas x1609,34m1milla
x1año luz
9,48 x1015m
l=1,69 x10−8años luz
l=0,0000000169 años luz
- 10 -
l=45.435millas→mm
l=45.435millas x1609,34m1milla
x1000mm1m
l=7,31 x1010mm
l=73.100 .000 .000mm
- 11 -
l=78,67millas→ pulg
l=78,67millas x1609,34m1milla
x100cm1m
x1 pulg2,54cm
l=4.984 .518,81 pulg
- 12 -
l=976,12 pies→mm
l=976,12 pies x 30,48cm1 pie
x10mm1cm
l=297.521,37mm
- 13 -
l=44.000m→km
l=44.000mx1km1000m
l=44km
- 14 -
l=2345 pulg→mm
l=2345 pulg x2,54 cm1 pulg
x10mm1cm
l=59563mm
- 15 -
l=9000m→pies
l=9000mx100cm1m
x1 pie
30,48cm
l=29.527,55 pies
Ejercicios de masa
- 1 -
m=35 ton→arrobas
m=35 ton x 907,2kg1 ton
x1qq
45,45kgx4arrobas1qq
m=2.794,45arrobas
- 2 -
m=45.560SLUG→ton
m=45.560SLUG x14,59kg1SLUG
x1ton907,2kg
m=732,71 ton
- 3 -
m=100.000arrobas→qq
m=100.000arrobas x 1qq4arrobas
m=25.000qq
- 4 -
m=56.300kg→ g
m=56.300 kg x1000 g1kg
m=56.300 .000 g
- 5 -
m=100.300 lbs→ton
m=100.300 libs x 1arroba25 lbs
x1qq
4arrobasx1 ton20qq
m=50,15 ton
- 6 -
m=78 SLUG→UTM
m=78 SLUG x14,59kg1SLUG
x1UTM9,81kg
m=116,006UTM
- 6 -
m=34.456 qq→lbs
m=34.456 qq x45,45kg1qq
x2,2lbs1kg
m=3.445 .255,44 lbs
- 7 -
m=78.780onzas→kg
m=78.780onzas x 1 lb16onzas
x1kg2,2 lbs
m=2.238,06 kg
- 8 -
m=100 ton→arrobas
m=100 ton x 907,2kg1 ton
x1qq
45,45kgx4arrobas1qq
m=7.984,15arrobas
- 9 -
m=88.000 SLUG→ton
m=88.000 SLUG x14,59kg1 SLUG
x1 ton907,2kg
m=1.415,25 ton
- 10 -
m=245.500 arrobas→qq
m=245.500 arrobas x 1qq4 arrobas
m=61375qq
- 11 -
m=30.650 kg→g
m=30.650kg x1000 g1kg
m=30.650 .000 g
- 12 -
m=456.120 lbs→ton
m=456.120 lbs x 1arroba25 lbs
x1qq
4arrobasx1 ton20qq
m=228,06 ton
- 13 -
m=100 SLUG→UTM
m=100 SLUG x14,59kg1SLUG
x1UTM9,81kg
m=148,72UTM
- 14 -
m=76.860qq→lbs
m=76.860qq x45,45kg1qq
x2,2lbs1kg
m=7.685 .231,4 lbs
- 15 -
m=30.267 onzas→kg
m=30.267 onzas x 1 lb16onzas
x1kg2,2 lb s
m=859,85 kg
6. CONCLUSIONES- Las unidades de masa y de longitud del fundamentales para
aplicación de problemas prácticos en la carrera y en el diario vivir.
- Es importante tener en cuenta el valor de cada valor de unidad
para evitar confusiones.
- En el Comercio Exterior saber transformar estas unidades de
medida nos ahorrará tiempo y dinero.
7. RECOMENDACIONES
- Dar mayor importancia en aprender las unidades de masa y
longitud para realizar bien los problemas prácticos.
- Realizar más ejercicios referentes al tema ya que solo con la
práctica se aprende.
- Realizar u dialogo en clase sobre el tema para aclarar dudas
8. CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES
Actividades Fecha DuraciónPlanteamiento del tema y problema Viernes (13/Abr/2012) 10 minRealización de objetivos Viernes (13/Abr/2012) 10 minJustificación de la investigación Viernes (13/Abr/2012) 10 minRealización del marco teórico Viernes (13/Abr/2012) 2:30 h
Conclusiones y recomendaciones Viernes (13/Abr/2012) 15 minBibliografía o Linkografía Viernes (13/Abr/2012) 10 min
1. TEMA
Sistema Internacional de unidades
2. PROBLEMA
El desconocimiento del Sistema Internacional de unidades no le ha
permitido al estudiante resolver ejercicios y problemas prácticos que se
presentan en la carrera de Comercio Exterior.
3. OBJETIVOS
3.1. OBJETIVO GENERAL
Utilizar correctamente el Sistema Internacional de Unidades y aplicarlo
correctamente en ejercicios y problemas prácticos de Comercio Exterior.
3.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Investigar y conocer el Sistema Internacional de Unidades.
Aplicar correctamente el Sistema Internacional de Unidades en
ejercicios de Comercio Exterior.
Resolver problema relacionados al Comercio Exterior
4. JUSTIFICACIÓN
La presente tarea es realizada con la finalidad de conocer las diferentes
unidades de medida del Sistema Internacional de Unidades como pueden
ser de longitud, masa, tiempo, área, volumen, etc; puesto que como
futuros profesionales de Comercio Exterior se necesitará conocer a
perfección las diferentes unidades utilizadas en otros países para realizar
la acción de compra - venta de algunos productos, estos conocimientos
también serán primordiales en el mundo de los transportes al realizar
cálculos para saber cuanta mercadería se puede enviar en diversos
medios de transportes, además lo más importante de conocer este tema
es que se manejará un idioma común de medidas mediante la
transformación de cantidades, misma que han dado agilidad y
transparencia a varios procesos en la actualidad.
5. MARCO TEÓRICO
SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES
Después de la Revolución Francesa los estudios para determinar un
sistema de unidades único y universal concluyeron con el establecimiento
del Sistema Métrico Decimal. La adopción universal de este sistema se
hizo con el Tratado del Metro o la Convención del Metro, que se firmó en
Francia el 20 de mayo de 1875, y en el cual se establece la creación de
una organización científica que tuviera, por una parte, una estructura
permanente que permitiera a los países miembros tener una acción
común sobre todas las cuestiones que se relacionen con las unidades de
medida y que asegure la unificación mundial de las mediciones físicas.
(Profesor en línea, 2011)
Así, el Sistema Internacional de Unidades, abreviado SI, también
denominado sistema internacional de medidas, es el sistema de unidades
más extensamente usado. Junto con el antiguo sistema métrico decimal,
que es su antecedente y que ha mejorado, el SI también es conocido
como sistema métrico, especialmente en las naciones en las que aún no
se ha implantado para su uso cotidiano. Fue creado en 1960 por la
Conferencia General de Pesas y Medidas, que inicialmente definió seis
unidades físicas básicas o fundamentales. En 1971 fue añadida la
séptima unidad básica, el mol. (Profesor en línea, 2011)
El Sistema Internacional de Unidades está formado hoy por dos clases de
unidades: unidades básicas o fundamentales y unidades derivadas.
Unidades básicas
El Sistema Internacional de Unidades consta de siete unidades básicas,
también denominadas unidades fundamentales. De la combinación de las
siete unidades fundamentales se obtienen todas las unidades derivadas.
(Profesor en línea, 2011)
Magnitud física
fundamental
Unidad básica o
fundamental
Símbol
oObservaciones
Longitud Metro mSe define en función de la velocidad
de la luz
Masa Kilogramo kg No se define como 1.000 gramos
Tiempo Segundo sSe define en función del tiempo
atómico
Intensidad de
corriente eléctricaamperio o ampere A
Se define a partir del campo
eléctrico
Temperatura Kelvin K
Se define a partir de la temperatura
termodinámica del punto triple del
agua.
Cantidad de
sustanciaMol mol
Intensidad
luminosaCandela cd
Fuente: http://www.profesorenlinea.cl/fisica/MedidasSistema_internacional.htmElaboración: Desconocido
Definiciones para las unidades básicas
Unidad de longitud:
metro (m)
El metro es la longitud de trayecto recorrido en el vacío por la luz
durante un tiempo de 1/299.792.458 de segundo.
Unidad de masa El kilogramo (kg) es igual a la masa del prototipo internacional
del kilogramo
Unidad de tiempo El segundo (s) es la duración de 9.192.631.770 periodos de la
radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles
hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133.
Unidad de intensidad de
corriente eléctrica
El ampere (A) es la intensidad de una corriente constante que
manteniéndose en dos conductores paralelos, rectilíneos, de
longitud infinita, de sección circular despreciable y situados a una
distancia de un metro uno de otro en el vacío, produciría una
fuerza igual a 2.10-7 newton por metro de longitud.
Unidad de temperatura
termodinámica
El kelvin (K), unidad de temperatura termodinámica, es la
fracción 1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto
triple del agua.
Observación: Además de la temperatura termodinámica (símbolo
T) expresada en kelvins, se utiliza también la temperatura Celsius
(símbolo t) definida por la ecuación t = T - T0 donde T0 = 273,15
K por definición.
Unidad de cantidad de
sustancia
El mol (mol) es la cantidad de sustancia de un sistema que
contiene tantas entidades elementales como átomos hay en
0,012 kilogramos de carbono 12.
Cuando se emplee el mol, deben especificarse las unidades
elementales, que pueden ser átomos, moléculas, iones,
electrones u otras partículas o grupos especificados de tales
partículas.
Unidad de intensidad
luminosa
La candela (cd) es la unidad luminosa, en una dirección dada, de
una fuente que emite una radiación monocromática de frecuencia
540 1012 hertz y cuya intensidad energética en dicha dirección es
1/683 watt por estereorradián.
Fuente: http://www.profesorenlinea.cl/fisica/MedidasSistema_internacional.htmElaboración: Desconocido
Además de las unidades básicas hay dos unidades suplementarias:
Unidades suplementarias del sistema internacional (SI)
Magnitud
Unidad
Nombre Símbolo
Ángulo plano Radián Rad
Ángulo sólido Estereorradián Sr
Fuente: http://www.profesorenlinea.cl/fisica/MedidasSistema_internacional.htm Elaboración: Desconocido
Unidades derivadas expresadas a partir de unidades básicas y
suplementarias
Con esta denominación se hace referencia a las unidades utilizadas para
expresar magnitudes físicas que son resultado de combinar magnitudes
físicas tomadas como fundamentales.
Magnitud Nombre Símbolo
Superficie metro cuadrado m2
Volumen metro cúbico m3
Velocidad metro por segundo m/s
Aceleración metro por segundo cuadrado m/s2
Masa en volumen kilogramo por metro cúbico kg/m3
Velocidad angular radián por segundo rad/s
Aceleración angular radián por segundo cuadrado rad/s2
Fuente: http://www.profesorenlinea.cl/fisica/MedidasSistema_internacional.htmElaboración: Desconocido
Definiciones para algunas unidades derivadas
Unidad de velocidad Un metro por segundo (m/s o m s-1) es la velocidad de un
cuerpo que, con movimiento uniforme, recorre, una longitud de
un metro en 1 segundo
Unidad de aceleración Un metro por segundo cuadrado (m/s2 o m s-2) es la
aceleración de un cuerpo, animado de movimiento
uniformemente variado, cuya velocidad varía cada segundo, 1
m/s.
Unidad de velocidad
angular
Un radián por segundo (rad/s o rad s-1) es la velocidad de un
cuerpo que, con una rotación uniforme alrededor de un eje fijo,
gira en 1 segundo, 1 radián.
Unidad de aceleración
angular
Un radián por segundo cuadrado (rad/s2 o rad s-2) es la
aceleración angular de un cuerpo animado de una rotación
uniformemente variada alrededor de un eje fijo, cuya velocidad
angular, varía 1 radián por segundo, en 1 segundo.
Fuente: http://www.profesorenlinea.cl/fisica/MedidasSistema_internacional.htmElaboración: Desconocido
Los símbolos de las unidades pueden verse afectados de prefijos que
actúan como múltiplos y submúltiplos decimales. Estos prefijos se colocan
delante del símbolo de la unidad correspondiente sin espacio intermedio.
El conjunto del símbolo más el prefijo equivale a una nueva unidad que
puede combinarse con otras unidades y elevarse a cualquier exponente
(positivo o negativo). Los prefijos decimales se muestran en las tablas
siguientes:
Múltiplos decimales
Prefijo Símbolo Factor
Deca Da 101
Hecto H 102
Kilo K 103
Mega M 106
Giga G 109
Tera T 1012
Peta P 1015
Exa E 1018
Zetta Z 1021
Yotta Y 1024
Submúltiplos decimales
Prefijo Símbolo Factor
Deci D 10-1
Centi C 10-2
Mili M 10-3
Micro Μ 10-6
Nano N 10-9
Pico P 10-12
Femto F 10-15
Atto A 10-18
Zepto Z 10-21
Yocto Y 10-24
Fuente: http://www.profesorenlinea.cl/fisica/MedidasSistema_internacional.htm Elaboración: Desconocido
Ejercicios y problemas:
Convertir las siguientes unidades
1. 8ma pulg
¿8m×100 cm1m
×1 pulg2,54cm
¿314,96 pulg
2. 56 litrosa cm3
¿56 litros× 100cm3
1 litros
¿56000cm3
3. 67msakmh
¿ 67ms
x1km1000m
x3600 s1h
¿241,2 kmh
4. 12kmh
ams
¿12 kmh
x1000m1km
x1h3600 s
¿3,33 ms
5. 16kgf a N
¿16Kgf ×9,81N1kgf
¿156,96N
6. 24m2amm2
¿24m2 x1000000m2
1m2
¿24000000mm2
7. 45km
h2am
s2
¿ 45kmh2
×1000m1km
×(1h)2
(3600 s)2
¿3,5×10−3m
s2
8. 4×104 pulg3am3
¿4×104 pulg3×(2,54 cm )3
(1 pulg )3×
(1m)3
(100cm)3
¿6,6×10−1m3
9. 78dina
cm3aN
m3
¿78 dinacm3 ×
10−5N1dina
×1000000cm3
1m3
¿780 N
m3 i
Escoger la respuesta correcta
1. Las unidades básicas en el SI de medidas son:
a. Centímetro, gramo, segundo
b. Metro, Kilogramo, Minuto
c. Metro, Kilogramo, segundo
d. Centímetro, gramo, minuto
2. Se observa que 400 gotas de agua ocupan un volumen de 10cm3
en una probeta graduada. Determinar el volumen de una gota de
agua:
a. 40 cm3
b. 4 cm3
c. 0,4 cm3
d. 4,44*10-2 cm3
e. 0,04 cm3
400 gotas de agua→10c m3
1gota deagua→××=1gota×10cm3
400gotas
×=0,025cm3 c
3. Al realizar un cálculo se obtiene las unidades m/s en el numerador
y en denominador m/s2. Determinar las unidades finales.
a. m2/s2
b. 1/s
c. s3/m2
d. s
e. m/s
a=
msm
s2
a=ms2
ms
a=s
4. Escriba Verdadero (V) o falso (F)
a. Para sumar dos magnitudes es necesario que tengan las
mismas dimensiones. (F)
b. Para multiplicar dos magnitudes es necesario que tengan las
mismas dimensiones. (F)
c. La precisión de un calibrador con escala principal graduada en
milímetros y un nonio con 20 divisiones es de 1/20 milímetros.
(F)
5. La velocidad del sonido en el aire es de 340m/s. calcular la
velocidad de un avión supersónico que se mueve al doble de la
velocidad del sonido en kilómetros por hora y en millas por hora.
V s=340ms
V a=2(340 ms )=680 m
s
a=680 msx1km1000m
x3600 s1h
a=2448 kmh
b=680 msx1milla1609m
x3600 s1h
b=1521,44 millash
6. Un jugador de baloncesto tiene una altura de 6 pies y 9,5 pulgadas,
calcular la altura en metros y en centímetros.
h=6 pies y 9,5 pulgadas
h1=¿ 6 pies x 0,3048m
pie¿
h1=1,8288m
h2=9,5 pulgadas x2,54cmpulgadas
x1m100cm
h2=0,2415m
ht=h1+h2
ht=1,8288m+0,2414m
ht=2,07m
7. Completar las siguientes expresiones:
110km/h= 68,37 millas/h
a=110 kmh
x1000m1km
x1milla1609m
a=68,37 millash
55cm= 21,65 in (pulg)
b=55cmx1 pulg2,54 cm
b=21,65 pulg
140yd= 127,4m (1yd=91cm)
c=140 yd x91cm1 yd
x1m100cm
c=127m
1,34*105 km/h2= 10,34 m/s2
d=1,34 x105 kmh2
x1000m1km
x(1h)2
(3600 s)2
d=10,34 m
s2
8. En un litro de agua hay 1,057 cuartos y 4 cuartos en un galón.
Calcular cuántos litros hay en un galón.
1 litro :1,057cuartosagua
1galón :4 cuartosdeagua
1,057cuartosde agua→1 litro
4 cuartosde agua→X=4cuartos deagua x1 litro1,057 cuartosdeagua
=3,78 litros
→1galón=3,78 litros
9. Si un barril equivale a 42 galones. Calcular cuántos metros cúbicos
hay en un barril.
1barril→42 galones
b=42 galones x 3,785 litros1galón
x1000cm3
1 litrox
1m3
1000000cm3
b=0,16m3
10.En las siguientes expresiones d está en metros, t en segundos, v
en metros por segundo y la aceleración a en metros por segundo
cuadrado. Determinar las unidades del SI de cada ecuación.
a. v2/d=
m2
s2
m1
= m2
ms2=m
s2
b. √ da =√ m
1ms2
=√ms2
m=√s2=s
c. ½ a t2 = ½ m
s2 x s2 = ½ m
11.Calcular cuántos años se necesitará para contar 100 millones de
dólares si se puede contar $1 por segundo.
$1→1 s$100000000→XX=100000000 s
a=10000000 s x 1h3600 s
x1d24h
x1año365,25 d
a=3,17años
6. CONCLUSIONES
Al finalizar esta tarea se tiene conocimiento el folleto del Sistema
Internacional de Unidades.
No se utiliza correctamente la tabla del Sistema Internacional del
Unidades.
Las unidades de medida son fundamentales para aplicación de
ejercicios y problemas prácticos de Comercio Exterior.
Algunas unidades de medidas como longitud, masa y tiempo son
fundamentales para resolver problemas del diario vivir.
En el Comercio Exterior es importante saber sobre el Sistema
Internacional de Unidades para poder transformar unidades de
medida y manejar un idioma común en cuanto a medidas.
(Profesor en línea, 2011)
7. RECOMENDACIONES
Todos debemos manejar un mismo documento del Sistema
Internacional de Unidades.
Utilizar una técnica adecuada para la memorización de las tablas
del Sistema Internacional de Unidades.
Utilizar el Sistema Internacional de Unidades en problemas y
ejercicios prácticos de Comercio Exterior.
Poner énfasis en el aprendizaje de unidades básicas como son las
de longitud, masa y tiempo ya que serán de mucha utilidad en
actividades de la vida cotidiana.
Darle importancia al tema del Sistema Internacional de Unidades
ya que este conocimiento en Comercio Exterior será relevante para
ahorrar tiempo y dinero.
8. LINKOGRAFÍA
Profesor en línea. (2011). Recuperado el 19 de Abril de 2012, de
http://www.profesorenlinea.cl/fisica/MedidasSistema_internacional.
htm
9. CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES
Actividades Fecha de realización DuraciónPlanteamiento del tema y problema Viernes (22/abr/2012) 10 minRealización de objetivos Viernes (22/abr/2012) 10 minJustificación de la investigación Viernes (22/abr/2012) 10 minRealización del marco teórico Viernes (22/abr/2012) 2:30 hConclusiones y recomendaciones Viernes (22/abr/2012) 10 min
10.ANEXOS
Ejercicios:
l=20millas→mm
l=20millas x1609,34m1milla
x1000mm1m
l=32.186 .800mm
l=35.000km→años luz
l=35.000km x1000m1km
x1año luz
9,48 x1015m
l=3,69 x10−12años luz
l=0,00000000000369 años luz
l=45millas→ pulg
l=45millas x1609,34m1milla
x100cm1m
x1 pulg2,54 cm
l=2.851 .192,91 pulg
l=500 pies→mm
l=500 pies x30,48 cm1 pie
x10mm1cm
l=152400mm
l=56.000m→km
l=56.000m x1km1000m
l=56 km
m=38 ton→arrobas
m=38 ton x 907,2kg1 ton
x1qq
45,45kgx4arrobas1qq
m=3.033,98arrobas
m=42.300SLUG→ton
m=42.300SLUG x14,59kg1SLUG
x1ton907,2kg
m=680,28 ton
m=125.000arrobas→qq
m=125.000arrobas x 1qq4arrobas
m=31.250qq
m=50.300kg→ g
m=50.300kg x1000 g1kg
m=50.300 .000 g
m=166.300 lbs→ton
m=166.300 libs x 1arroba25 lbs
x1qq
4arrobasx1 ton20qq
m=83,15 ton
CAPÍTULO 2
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN LINEAL
2.1. TEÓRICO BÁSICO
Actividades:
Lectura del documento
Análisis de términos importantes
2.1.1. Lectura del documento
CORRELACIÓN LINEAL
El análisis de correlación se dirige sobre todo a medir la fuerza de una
relación entre variables. El coeficiente de correlación lineal, r, es la
medida de la fuerza de la relación lineal entre dos variables. La fortaleza
de la relación se determina mediante la magnitud del efecto que cualquier
cambio en una variable ejerce sobre la otra. (JOHNSON, 1990)
Si X o Y son las dos variables en cuestión, un diagrama de la dispersión
muestra la localización de los puntos (X,Y) sobre un sistema rectangular
de coordenadas. Si todos los puntos del diagrama de dispersión parecen
estar en una recta, como la figura 14(a) y 14(b) la correlación se llama
lineal. (SPIEGEL, 1992)
Y Y Y
X X(a) Correlación lineal positiva (b)Correlación lineal negativa (c)Sin correlación
Si Y tiende a crecer cuando X crece, como la figura anterior, la correlación
se dice positiva o directa. Si Y tiende a decrecer cuando X crece, como la
figura 14.1 (b), la correlación se dice negativa o inversa.
Si todos los puntos parecen estar sobre una cierta curva la correlación se
llama no lineal, y una ecuación no lineal será apropiada para la regresión.
Como hemos visto en el capítulo 13 es claro q la correlación no lineal
puede ser positiva o negativa.
Si no hay relación entre las variables como la figura 14.1(c), decimos que
no hay correlación entre ellas. (SPIEGEL, 1992)
Técnicas de correlación
A continuación abordaremos el estudio de dos variables y no solamente
de una, estudiaremos qué sentido tiene afirmar que dos variables están
relacionadas linealmente entre si y cómo podemos medir esta relación.
Relaciones lineales entre variables
Supongamos que dispongamos de dos pruebas de habilidad mental y la
otra pruebe de ingreso a la universidad, seleccionamos a cinco
estudiantes que se expresan en la tabla N° 1 con los puntajes obtenidos
en estas dos pruebas.
Estudiantes X Prueba de habilidad
Mental
Y Examen de Admisión
MaríaOlga
SusanaAldoJuan
18151293
8268603218
La tabla nos dice que si podemos usar para pronosticar el puntaje alto en
la prueba de habilidad mental y también en los que tienen un puntaje alto
en los exámenes de admisión y los estudiantes con puntajes bajos en la
en el examen de habilidad como en el de admisión. En circunstancias
como la presente (cuando los puntajes altos de una variable están
relacionados con los puntajes altos de otra variable y los puntajes bajos
están relacionados con los puntajes bajos de otra variable) entonces
podemos asegurar que existe una relación positiva entre las dos
variables.
Supongamos que en lugar de los resultados de la tabla N° 1 hubiera
obtenido los puntajes que se muestran en la tabla N°2 ¿Podremos afirmar
que con estos datos en esta situación en la prueba de habilidad pueda
usarse para pronosticarse los puntajes del examen de admisión?
También, aunque en este caso los puntajes altos apresen con un puntaje
bajo, tomando en cuenta esto podemos definir una relación lineal negativa
entre el conjunto.
Estudiantes X Prueba de habilidad
Mental
Y Examen de Admisión
MaríaOlga
SusanaAldoJuan
18151293
1832606882
Estudiantes X Prueba de habilidad
Mental
Y Examen de Admisión
MaríaOlga
SusanaAldoJuan
18151293
1882686032
En este caso no podemos afirmar una relación lineal entre las variables X
y Y ya que unos puntajes se acotejan con otros y no están en
concordancia.
DIAGRAMA DE DISPERSIÓN
El diagrama de dispersión es útil para representar valores como lo
mostraremos a continuación utilizando los datos de la tabla N° 1, pero en
la vida real no todas las veces obtendremos datos de cinco parejas,
tendremos que comprender muchos más datos por esto es más sencillo
utilizar un diagrama para determinar la relación de los mismos.
COEFICIENTE DE CORRELACIÓN RECTILÍNEA DE PEARSON
Con la ayuda de las graficas nos podemos formar una idea de la nube de
puntos o diagrama de dispersión, representa la relación lineal es positiva
o negativa y determinar la fuerza de relación.
El coeficiente de Pearson, toma valores entre -1 y +1, el coeficiente 0
demuestra que no existe correlación, así que independiente del numero
sea negativo o positivo son iguales, claro esta que entre mas se aproxime
al 1 o -1 mayor será la fuerza de relación.
CORRELACIÓN ENTRE DOS CONJUNTOS DE DATOS AGRUPADOS
EN CLASES
Aquí podremos calcular el coeficiente de correlación r, que nos
proporciona información de la fuerza de la relación que existe entre dos
conjuntos de datos que se encuentran agrupados, cada uno de ellos
formando por separado una distribución de frecuencias, mejor dicho
teniendo por separado sus intervalos de clase con sus respectivas
frecuencias.
Ejemplo
Calcular el grado de correlación entre las puntuaciones obtenidas en un
inventario de hábitos de estudio y los puntajes obtenidos en un examen
de Matemática, aplicados a un total de 134 alumnos de un colegio de la
localidad.
X Hábitos deY estudio Matemática 20→30 30→40 40→50 50→60 Total fy
70 → 80 3 2 2 760 → 70 1 0 4 5 1050 → 60 2 6 16 3 2740 → 50 4 14 19 10 4730 → 40 7 15 6 0 2820 → 30 8 2 0 1 1110 → 20 1 1 2 4Total fx 23 40 48 23 134
Este cuadro muestra, en la primera columna del lado izquierdo los
intervalos de clase de la variable Y, los que cubren todos los posibles
datos acerca de las puntuaciones alcanzadas por los estudiantes de las
pruebas de matemática. Nótese que los intervalos los crecen de abajo
hacia arriba. En la fila superior se presentan los intervalos de clase todos
los 134 posibles datos a cerca de los puntajes obtenidos por los
estudiantes en la variable de estudio representada por la letra X.
En los casilleros inferiores de la tabla, se encuentran las frecuencias de
celda fxy, que corresponden a puntajes que pertenecen tanto a un intervalo
de la variable Y como a un intervalo de la variable X.
En la fila inferior del cuadro se presentan los totales de los puntajes de la
variable X, hábitos de estudio. Esos totales se llaman frecuencias
marginales de la variable X y se representan por fx.
En la última columna de la derecha se encuentran los totales de los
puntajes de la variable rendimiento en matemática. Estos totales se
denominan frecuencias marginales de la variable Y.
Cuando los datos se presentan, tal como el presente caso, formando
tablas de doble entrada, es conveniente usar el método clave que se
expone a continuación porque con este procedimiento se evita manejar
grandes números, como sería el caso si se emplearan las fórmulas para
trabajar con la calculadora.
Fórmula
r=n∑ fxyux uy−¿¿
Para obtener los datos que deben aplicarse en la fórmula, vamos a
construir un cuadro auxiliar, al mismo tiempo que se explica el significado
de los símbolos de esa fórmula.
Lo primero que hacemos es remplazar los intervalos horizontales y
verticales por sus respectivas marcas de clase; a continuación
adicionamos al cuadro anterior cinco columnas por el lado derecho; cuyos
encabezamientos son: fy para la primera uy para la segunda, f yu y para la
tercera, f yu y2 para la cuarta y f xy uxuy para la quinta.
Por la parte inferior del cuadro le adicionamos cuatro filas que se
nombran: f x para la primera, ux para la segunda fila que está debajo de la
anterior, f x ux para la tercera fila y por último f x ux2 para la cuarta fila que
está debajo de todas; de esta manera se va elaborando el Cuadro auxiliar
4.1.8
1) Para determinar las frecuencias marginales que se deben colocar en
la columna f ysumamos las frecuencias de las celdas que están en la
misma fila de la marca de la clase 75, obtenemos: 7, número que se
escribe en el primer casillero o celda de la columna f y. En la fila de la
marca de la clase 65, sumamos 1+4+5 = 10, número que se escribe
debajo del 7.
Para la fila de la marca de clases 55, tenemos: 2+6+16+3 = 27
Para la fila de la marca de clases 45, se tiene 4+14+19+10= 47
En igual forma: 7+15+6=28
Lo mismo 8+2+1=11
Y en la ultima fila 1+1+2=4
A continuación sumamos estas frecuencias marginales de la variable
Y: 7+10+27+47+28+11+4=134 es el total general.
2) Ahora vamos a determinar las frecuencias marginales de la variable X:
En la columna encabezada con la marca de la clase 25 sumemos
verticalmente las frecuencias: 1+2+4+7+8+1= 23.
En la columna encabezada con 35, tenemos: 3+6+14+15+2= 40
En la siguiente: 2+4+16+19+6+1=48
En la última: 2+5+3+10+1+2=23
3) Centremos nuestra atención en la columna encabezada U y, este signo
significa desviación unitaria, y procedemos en la misma forma que en
las Tablas N° 2.1.2 y N° 2.1.3 (b). Recuerden que las desviaciones
unitarias positivas: +1,+2 y +3 corresponden a los intervalos mayores y
por el contrario las desviaciones unitarias negativa: -1,-2 y-3
corresponden a los intervalos menores. Como origen de trabajo se
tomó la marca de clase 45 y por lo tanto su desviación unitaria es cero
4) Luego vamos a determinar las desviaciones unitarias horizontales de
la variable X: El origen de trabajo es la marca de la clase 45 que se
halla en la fila superior del cuadro, por esa razón, escribamos cero
debajo de la frecuencia marginal 48. Las desviaciones unitarias
negativas: -1 y -2 se escriben a la a la izquierda cero, porque se
corresponden con los intervalos de clase que tienen menores marcas
de clase y que están a la izquierda de 45. La desviación unitaria
positiva, se corresponde con el intervalo de mayor marca de clase ,55
(en la parte superior del Cuadro N°. 4.1.8)
5) A continuación vamos a determinar los valores que deben colocarse
en la columna encabezada f yU y ; este símbolo indica que se debe
multiplicar cada valor de f y por su correspondiente valor U y. Así:
7(+3)=21; 10(+2)=20; 27(+1)= 27; 47(0)=0; 28(-1)= -28; 11(-2)= -22; y
4(-3)= -12. Sumando algebraicamente, tenemos: 21+20+27=68 los
positivos: y (-28)+(-22)+(-12)= -62 los negativos.
Por último: 68-62=6 total, que se coloca en la parte inferior de la columna.
Para obtener los valores de la cuarta columna encabezada f yU y2debemos
tener en cuenta que (U ¿¿ y ) (f yU y )=f yU y2 ,¿por lo tanto basta multiplicar
cada valor de la segunda columna por su correspondiente valor de la
tercera columna así se obtiene el respectivo valor de la cuenta columna.
En efecto:
(+3)(21)=63; (+2) (20)=40; (+1) (27)=27; 0*0=0; (-1)(-28)=28; (-2)(-22)=44
y (-3)(-12)=36.
La suma: 63+40+27+28+44+36=238
Ahora nos fijamos horizontalmente en la tercera fila. Tenemos que ( f xU x)=f xU x por consiguiente basta multiplicar verticalmente un valor de la
primera fila por su correspondiente valor de la segunda fila para obtener el
respectivo valor de la tercera fila.
(23)(-2)= -46; (40)(-1)= -40; (48)(0)=0 y (23)(+1)=23
Sumando horizontalmente
(-46) + (-40) + (23)= -86+23=-63
Vamos por la cuarta fila; vemos que (U x ) ( f xU x )=f xU x2 Luego basta
multiplicar cada elemento de la segunda fila por su correspondiente
elemento de la tercera fila para obtener el respectivo elemento de la
cuarta fila así:
(-2)(-46)= 92; (-1)(-40)= 40; 0*0=0 y (+1)(23)=23
Para obtener los valores de la quinta columna Σ f xyU xU y observemos que
hay tres factores: el 1° es la frecuencia f xy de la celda o casillero que se
está considerando, el segundo factor es la desviación unitaria U x, el tercer
factor es la desviación unitaria U y. Por tanto el procedimiento será el
siguiente: Tomamos el número 3 que es la frecuencia de la celda
determinada por el cruce de los intervalos que tienen la marcha de clase
75 horizontalmente y 35 verticalmente.
25 35 45 55 f y U y f yU y f yU y2 Suma de los
números
encerrados en
semicírculos en
cada fila
75 0 0 3 -9 2 0 2 6 7 +3 21 63 3
65 1 -4 0 0 4 0 5 10 10 +2 20 40 6
55 2 -4 6 -6 16 0 3 3 27 +1 27 27 7
45 4 -4 14 0 19 0 10 0 47 0 0 0 0
35 7 14 15 15 6 0 0 0 28 -1 -28 28 29
25 8 32 2 4 0 0 1 -2 11 -2 -22 44 34
X Hábitos de estudio
Y Matemática
15 1 6 0 0 1 0 2 -6 4 -3 -12 36 0
f x 23 48 23 134 6 238 59
U x-2 0 +1 Σ f yU y Σ f yU y Σ f xyU xU y
f xU x-46 0 23 -63 Σ f xU x
f xU x2 92 40 0 23 155 Σ f xu
2
CUADRO AUXILIAR N° 4.1.8
La fórmula del paso (9) lleva el signo∑ para indicar que se deben sumar
horizontalmente los números que están encerrados en los semicírculos de
esa primera fila elegida así: -9+0+6 = -3
Este número se escribe en la quinta columna
Trabajemos con la segunda fila (1)(-2)(+2)= -4 se encierra en una
semicírculo
(0)(-1)(+2)= 0
(4)(0)(+2)=0
(5)(+1)(+2)=10
Sumando 0+0+10=10
Ahora con la tercera fila:
(2)(-2)(+1)=-4
(6)(-1)(+1)=-6
(16)(0)(+1)=0
(3)(+1)(+1)=3
Sumando: (-4) + (-6)+3+3=-7
Cuarta fila
(4)(-2)(0)=0 todos los productos valen cero, luego la suma=0
Quinta fila
(7)(-2)(-1)=14
(15)(-1)(-1)=15
(6)(0)(-1)=0
(0)(+1)(-1)=0
La suma es 14+15=29
(8)(-2)(-2)=32
(2)(-1)(-2)=4
(0)(0)(-2)=0
(1)(+1)(-2)= -2
La suma es: 32+4-2=34
Séptima fila:
(1)(-2)(-3)=6
(1)(0)(-3)=0
(2)(1)(-3)=-6
Sumando: 6+0-6=0
Sumando los valores de la columna quinta.
-3+6-7+0+29+34+0=69-10=59
Reuniendo los resultados anteriores, se tienen los datos para apliar en la
fórmula N° 4.1.2.
n= 134
Σ f xyU xU y=59
ΣU xU x=−63
ΣU yU y=6
ΣU xU x2=155
ΣU yU y2=238
r=(134 ) (59 )−(−63)(6)
√ [ (134 ) (155 )−(−63)2 ] [ (134 ) (238 )−(6)2 ]
r= 7906+378
√ [ (134 ) (155 )−(−63)2 ] [ (134 ) (238 )−(6)2 ]= 8284
√535212656
r= 828423134.66
=0.358
Ejercicio Resuelto N°2 de Cálculo de Coeficiente de Correlación
entre dos Conjuntos de Datos Agrupados.
Puntuación en Matemáticas
Puntuación enFísica
40→50 50→60 60→70 70→80 80→90 90→100 TOTAL f y
90→100 2 5 5 12
80→90 1 3 6 5 15
70→80 1 2 11 9 2 25
60→70 2 3 10 3 1 19
50→60 4 7 6 1 18
40→50 4 4 3 11
TOTAL f x 10 15 22 20 21 12 100
Calcular el coeficiente de correlación lineal de las puntuaciones en
matemáticas y física de 100 estudiantes de la Facultad de Ciencias de la
Universidad MN.
PROBLEMA PRÁCTICO
En el presente problema se calcula el coeficiente de correlación lineal r
para dos conjuntos de datos, constituidos por los calificativos en una
escala de 0 a 100, en matemáticas y en física para 100 estudiantes de la
facultad de ciencias de cierta universidad.
Los datos se muestran en el siguiente cuadro.
A continuación se procede a calcular el coeficiente de correlación r para
estos datos.
Se traslada los datos del cuadro 4.1.9. al cuadro 4.1.10 se llamara xy a
cualquiera de las frecuencias de los casilleros interiores del cuadro 4.1.9.
En el cuadro 4.1.10. Se puede observar que se han agregado 5 columnas
por el lado derecho y cuatro filas por la parte inferior.
Se observa en el cuadro 4.1.10 que los intervalos para la puntuación en
matemáticas y para la puntuación en física se han remplazado por las
marcas de clase correspondientes.
A continuación se realizará los pasos siguientes:
1. Para las frecuencias marginales fy se suma todos los valores fxy de
la primera fila que tiene la marca de clase 95 de esta forma
tenemos: 2+5+5=12 y así con las siguientes marcas de clase.
2. Se debe enfocar en las frecuencias marginales fx. el primer
resultado de fx se lo obtiene sumando las fxy para la columna que
tiene la marca de clase 45 de esta forma se tiene: 2+4+4= 10 que
se escribe en el primer casillero de la fila fx. Continuando con la
suma de las fx de las demás columnas se llena las frecuencias
marginales fx.
3. Arbitrariamente se escoge un casillero de la columna Uy, como
origen de trabajo y se le asigna el numero 0. Desde el cero hacia
arriba las desviaciones unitarias serán positivas y crecientes.
4. Se observa la fila Ux. se elige como origen de trabajo
arbitrariamente uno de los casilleros de Ux, el tercero contando de
izquierda a derecha, y se va asignando números positivos
crecientes hacia la derecha del 0.
5. Se multiplica cada valor de fy por su correspondiente valor de uy de
esta manera se obtiene un valor fyuy
6. La primera celda de la columna fyu2y se obtiene multiplicando uy de
la segunda columna por su correspondiente valor fyuy de la
siguiente columna de esta manera se continua llenando los demás
valores de la columna fyu2y.
7. La fila fxux se obtiene multiplicando la frecuencia marginal fx por su
correspondiente desviación unitaria ux.
8. El primer casillero de la fila fxu2x es el resultado de multiplicar el
primer casillero de la fila fxux por su correspondiente casillero de la
fila ux.
9. Multiplicamos el valor de la frecuencia fxy del casillero para el cual
se hace el cálculo por los valores de la desviaciones unitarias uy y
ux obtenidas corriendo la vista hacia la derecha hasta la columna uy
y también hacia abajo hasta llegar a la fila ux
Para todas las filas, en el último casillero de la derecha se tiene la suma
de los valores de la fila. Estos totales de filas y columnas remplazamos en
la fórmula:
r=n∑ f xyuxu y−(∑ f x ux )(∑ f y uy )
√¿¿¿
r=(100 ) (150 )−(63)(−49)
√¿¿¿
r= 1500+3087√ (26700−3969 )(25300−2401)
r= 18087
√ (22731 ) (22899 )
r=1808722815
=0,79
Bibliografía
HOWAR B. CHRISTENSEN. (1990). ESTADISTICA PASO A PASO. En
H. B. CHRISTENSEN, ESTADISTICA (págs. 557-590). TRILLAS:
TRILLAS.
JOHNSON, R. (1990). Análisis descriptívo y presentación de datos
bivariados. En ESTADÍSTICA ELEMENTAL (pág. 82 ~ 112). Belmont:
Wadsworth Publishing Company Inc.
Johnson, R. R. ((1990(reimp 2009))). Análisis descriptivo y presentación
de datos bivariados. En Estadística Elemental (Segunda ed., págs. 83 -
112). México, México: Trillas.
Martínez Bencardino, C. ((mayo 2007)). Regresión y Correlación. En
Estadística Básica Aplicada (Tercera ed., págs. 213-239). Bogotá,
Colombia: Ecoe Ediciones.
SPIEGEL, M. (1992). Teoría de la correlación. En ESTADÍSTICA (págs.
322 - 356). MÉxico D.F.: Mc GRAW-HILL.
2.1.2 Análisis de términos importantes
Correlación.- correlación es aquello que indicará la fuerza y la
dirección lineal que se establece entre dos variables aleatorias.
Coeficiente de Correlación.- es un índice que mide la relación lineal
entre dos variables aleatorias cuantitativas. A diferencia de la covarianza,
la correlación de Pearson es independiente de la escala de medida de las
variables.
Regresión lineal.- método matemático que modeliza la relación entre
una variable dependiente Y, las variables independientes Xi
Rectas de Regresión.- son las rectas que mejor se ajustan a la nube de
puntos (o también llamado diagrama de dispersión)
Dispersión.- es una gráfica de parejas de valores X y Y
2.1 TEÓRICO AVANZADO
Actividad:
Resumen del tema mediante cuadro sinóptico
2.2.1 Correlación y Regresión Lineal (cuadro sinóptico)
CORRELACIÓN
CONCEPTO
Aquello que indicará la fuerza y la dirección lineal que se establece entre dos variables aleatorias.
TÉCNICAS DE CORRELACIÓN
Estudio de dos variables y su relación lineal entre sí.
COEFICIENTE DE
CORRELACIÓN
Cuantifica la fuerza de relación entre dos variables.
Toma valores comprendidos entre +1 y -1 pasando por 0.
Se obtiene r=0 cuando no existe ninguna correlación entre las variables.
FORMULA DE
COEFICIENTE
r=N (∑ XY )−(∑ X )(∑ XY )
√ [N (∑ X2 )−(∑ X )2 ] [N (∑ Y 2 )−(∑ Y )2 ]
FÓRMULA DE
COEFICIENTE (DOBLE ENTRADA)
r=n∑ f xyuxu y−(∑ f x ux )(∑ f y uy )
√¿¿¿
2.3 PRÁCTICO BÁSICO
Actividad
Realización de un organizador gráfico del tema
2.3.1 Correlación y Regresión Lineal (mapa conceptual)
Correlación y Regresión Lineal
COEFICIENTE DE CORRELACIÓN
Cuantifica la fuerza de relación entre dos
variables.
Toma valores comprendidos entre
+1 y -1 pasando por 0.
Se obtiene r=0 cuando no existe
ninguna correlación entre las variables
FÓRMULA DE COEFICIENTE
FÓRMULA DE COEFICIENTE(DOBLE
ENTRADA)
Estudio de dos variables y su relación
entre si.
r=N (∑ XY )−(∑ X )(∑ XY )
√ [N (∑ X2 )−(∑ X )2 ] [N (∑ Y 2 )−(∑ Y )2 ]
r=n∑ f xyuxu y−(∑ f x ux )(∑ f y uy )
√¿¿¿
2.4 PRÁCTICO AVANZADO
Actividades:
Resolución de ejercicios
2.4.1 EJERCICIOS
X2005
Y2006
Enero 165 173Febrero 150 154Marzo 163 163Abril 156 163Mayo 162 169
Junio 162 160
155 165 175 f y U y f yU y f yU y2 Suma de los
números
encerrados en
semicírculos en
cada fila
155 1 1 1 +1 1 1 1
165 2 2 4 4 6 0 0 0 6
175 1 0 1 -1 -1 1 1
f x 3 5 0 8 0 -1 2 8
U x-1 0 1 0 Σ f yU y Σ f yU y Σ f xyU xU y
f xU x-3 0 0 -3 Σ f xU x
f xU x2 3 0 0 3 Σ f xu
2
r=n∑ f xyuxu y−(∑ f x ux )(∑ f y uy )
√¿¿¿
r=(6 ) (7 )−(−3)(−1)
√¿¿¿
r= 42−3√ (18−9 )(12−1)
r= 39
√ (9 ) (2 )
r= 394,24
=0,98
2.5 INNOVADOR
Actividades:
Proyectos
X 2005
Y 2006
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHI
FACULTAD DE COMERCIO INTERNACIONAL, INTEGRACIÓN,
ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA EMPRESARIAL
ESCUELA DE COMERCIO EXTERIOR Y NEGOCIACIÓN COMERCIAL
INTERNACIONAL
TRABAJO DE ESTADÍSTICA INFERENCIAL
INTEGRANTES:
NATHALY CHAMORRO
STALIN GOYES
KARINA LEMA
ESTEFANÍA RUANO
ERIKA TARAPUÉS
MARITZA VALLEJO
MSC. JORGE POZO
NIVEL: SEXTO “A”
2012/05/07
TEMA: Correlación y Regresión Lineal.
PROBLEMA
El desconocimiento de la Correlación Lineal no ha permitido que el
estudiante resuelva problemas de estadística.
ABSTRACT
The study of the behavior of two variables, in order to determine if some
functional relation exists between yes, causes and effect, in addition, of
quantifying the above mentioned degree of relation the analysis
simultaneous of two-dimensional variables as for example: production and
consumption; sales and usefulness; expenses in advertising and value in
sales; high wages and working hours; wages and productivity; income and
expenses; etc. The investigation is of great usefulness in the resolution of
problems of the context of the career of Exterior Trade.
OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL
Conocer el concepto de correlación lineal para la resolución de ejercicios
y problemas prácticos.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Fundamentar bibliográficamente el concepto de correlación lineal.
Analizar los conceptos y fórmulas investigadas sobre la correlación
lineal.
Realizar ejercicios para una mejor explicación y comprensión del tema.
JUSTIFICACIÓN
La presente investigación es realizada con la finalidad de hacer
consideraciones respecto a distribuciones bidimensionales o bivariantes,
es decir, el estudio del comportamiento de dos variables, a fin de
determinar si existe alguna relación funcional entre sí, causa y efecto,
además, de cuantificar dicho grado de relación.
Es decir con el estudio de la correlación lineal el estudiante podrá realizar
análisis simultáneos de dos variables bidimensionales como por ejemplo:
producción y consumo; ventas y utilidades; gastos en publicidad y valor
en ventas; salarios altos y horas de trabajo; salarios y productividad;
ingresos y gastos; etc.
Por lo tanto esta investigación será de gran utilidad en la resolución de
problemas del contexto de la carrera de Comercio Exterior.
MARCO TEÓRICO
CORRELACIÓN LINEAL
El análisis de correlación se dirige sobre todo a medir la fuerza de una
relación entre variables. El coeficiente de correlación lineal, r, es la
medida de la fuerza de la relación lineal entre dos variables. La fortaleza
de la relación se determina mediante la magnitud del efecto que cualquier
cambio en una variable ejerce sobre la otra. (JOHNSON, 1990)
EJERCICIOS
1. Dados los siguientes conjuntos de parejas de datos muéstrales:
A B C
X X2 Y Y2 XY X X2 Y Y2 XY X X2 Y Y2 XY
1451013
1
16
25
100
169
12345
1
4
9
16
25
1
8
15
40
65
458910
16
25
64
81
100
24514
4
16
25
1
16
8
20
40
9
40
1471013
1
16
49
100
169
54321
25
16
9
4
1
5
16
21
20
13
33311 15 55 129 36 286 16 62
117 35 335 15 55 75
a) Utilice la ecuación para calcular el valor de la r de Pearson para cada
conjunto. Observe que en el conjunto B, donde la correlación es
menor, algunos de los valores son positivos y otros son negativos.
Estos tienden a cancelarse entre sì, lo cual hace que r tenga una
menor magnitud. Sin embargo, en los conjuntos A y C, todos los
productos tienen el mismo signo, haciendo que la magnitud de r
aumente. Cuando las parejas de datos ocupan las mismas u opuestas
posiciones dentro de sus propias distribuciones, los productos zx zr
tienen el mismo signo, lo cual produce una mayor magnitud de r.
r=N ¿¿
r=5 (129)−(33 )(15)
√ [5 (311)−(33)2 ] [5 (55 )−(15)2 ]
r= 645−495√ (466 )(50)
r= 150152.64
=0.98
b) Calcule r para el conjunto B, utilizando la ecuación para los datos en
bruto. ¿Qué prefiere, utilizar la ecuación de los datos en bruto o la de
los puntajes z?
r=N ¿¿
r=5(117 )−(36 )(16)
√ [5 (286 )−(36)2 ] [5 (62 )−(16)2 ]
r= 585−576√ (134 )(54)
r= 985.06
=0.11
c) Sume la constante 5 a los datos x en el conjunto A y calcule r de
nuevo, mediante la ecuación de los datos en bruto. ¿Ha cambiado el
valor?
A
X X2 Y Y2 XY
69101518
36
81
100
225
324
12345
1
4
9
16
25
6
18
30
60
90
58766
1555 204
r=N ¿¿
r=5(204)− (58 )(15)
√ [5 (766 )−(58)2 ] [5 (55 )−(15)2 ]
r=1020−870√ (466 )(50)
r= 150152.64
=0.98
d) Multiplique los datos x del conjunto A por 5 y calcule r de nuevo. ¿Ha
cambiado el valor?
A
X X2 Y Y2 XY
520255065
2540062525004225
12345
1491625
54075200325
165 7775 15 55 645r=N ¿¿
r=5(645)−(165 )(15)
√ [5 (7775 )−(165)2 ] [5 (55 )−(15)2 ]
r= 3225−2475√ (11650 )(50)
r= 750763.22
=0.98
e) Generalice los resultados obtenidos en las partes c y d; restando y
dividiendo los datos entre una constante. ¿Qué le dice esto sobre r?
Que si se suma, resta, multiplica o divide el resultado no varia porque es
una constante.
2.- Un investigador realiza un estudio de la relación entre el consumo de
cigarros y las enfermedades determinan la cantidad de cigarros fumados
continuamente y de días de ausencia en el trabajo durante el último año
debido a una enfermedad para los individuos en la compañía donde
trabaja este investigador. Los datos aparecen en la tabla anexa
Sujeto Cigarro consumidos Días de ausencia1 0 12 0 33 0 84 10 105 13 46 20 147 27 58 35 69 35 12
10 44 1611 53 1012 60 16
a) Construya una gráfica de dispersión para estos datos. ¿Se ve una
relación lineal?
b) Calcule el valor de la r de Pearson
SujetoCigarro
consumidos (X)Días de
ausencia (Y)X2 Y2 XY
1 0 1 0 1 0
Si existe una relación lineal
2 0 3 0 9 03 0 8 0 64 04 10 10 100 100 1005 13 4 169 16 526 20 14 400 196 2807 27 5 729 25 1358 35 6 1225 36 2109 35 12 1225 144 42010 44 16 1936 256 70411 53 10 2809 100 53012 60 16 3600 256 960
Total 297 105 12193 1203 3391
r=∑ XY−
(∑ X ) (∑Y )N
√ [∑ X2−(∑ X )2
N ] [∑Y 2−(∑ Y )2
N ]r=
3391−297 (105 )12
√ [12193− (297 )2
12 ][1203− (105 )2
12 ]r= 0,675
c) Elimine los datos de los sujetos 1, 2, 3, 10, 11 y 12. Estos disminuye el
rango de ambas variables. Vuelva a calcular r para los sujetos
restantes. ¿Qué efecto tiene la disminución del rango sobre r?
SujetoCigarro
consumidos (X)
Días de ausencia
(Y)X2 Y2 XY
4 10 10 100 100 100
5 13 4 169 16 52
6 20 14 400 196 280
7 27 5 729 25 135
8 35 6 1225 36 210
9 35 12 1225 144 420
Total 140 51 3848 517 1197
r=∑ XY−
(∑ X ) (∑Y )N
√ [∑ X2−(∑ X )2
N ] [∑Y 2−(∑ Y )2
N ]r=
1197−140 (51 )6
√ [3848− (140 )2
6 ][517− (51 )2
6 ]r= 0,03
Al disminuir el rango; r=0,03 indica que hay una menor relación
entre las variables.
3.- En un largo curso de introducción a la sociología, un profesor hace dos
exámenes. El profesor quiere determinar si las calificaciones de los
estudiantes en el segundo examen están correlacionadas con las
calificaciones del primero. Para facilitarlos, se elige una muestra de ocho
estudiantes cuyas calificaciones aparecen en la siguiente tabla.
Estudiante Examen 1 Examen 2
12345678
6075707254838065
60100806873978590
a) Construya una gráfica de dispersión para datos, utilizando la
calificación del primer examen como la variable X. ¿Parece línea de
correlación?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 90
102030405060708090
estudiante
exam
en 1
b) Suponga que existe una relación lineal calificaciones de los dos
exámenes, calcular el valor de la r de Pearson.
X X2 Y Y2 XY
60 3600 60 3600 360075 5625 100 10000 750070 4900 80 6400 560072 5184 68 4624 489654 2916 73 5329 394283 6889 97 9409 805180 6400 85 7225 680065 4225 90 8100 5850
∑559
∑39739 ∑653 ∑54687 ∑46239
r=N ¿¿
r=8(46239)−(559 )(653)
√ [8 (39739 )−(559)2 ] [8 (54687 )−(653)2 ]
r=369912−365027√ (5431 )(11087)
=0.63
c) ¿Qué tan bien explican la relación, las calificaciones del segundo
examen?
El segundo examen nos explica una mejor relación porque en la
sumatoria nos da un resultado mayor al del primer examen.
4.- Un educador ha construido un examen para las actitudes mecánicas y
desea determinar si este es confiable, mediante dos administraciones con
un lapso de un mes ente ellas. Se realiza un estudio en el cual 10
estudiantes reciben dos administraciones del examen, donde la segunda
administración ocurre un mes después de la primera. Los datos aparecen
en la tabla:
Sujeto Administración 1 Administración 21 10 102 12 153 20 174 25 255 27 326 35 377 43 408 40 389 32 3010 47 49
a) Construya una gráfica de dispersión para las parejas de datos
b) Determine el valor de r
c) ¿sería justo decir que este es un examen confiable? Explique esto
al utilizar r2
a) Gráfica de Dispersión
Valor de r
r=N (∑ XY )−(∑ X )(∑Y )
√¿¿¿
(1)X
(2)Y
(3)X2
(4)Y2
(5)XY
10 10 100 100 10012 15 144 225 18020 17 400 289 34025 25 625 625 62527 32 729 1024 86435 37 1225 1369 129543 40 1849 1600 172040 38 1600 1444 152032 30 1024 900 96047 49 2209 2401 2303
∑ 291 ∑ 293 ∑ 9905 ∑ 9977 ∑ 9907
r=10 (9907 )−(291)(293)
√¿¿¿
r= 13807
√200406716= 1380714156.51
r=0.975
5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
10
20
30
40
50
60
Gráfica de Dispersión
b) Confiabilidad: r2
r2= (0.975)2
r2= 1.95
Examen confiable: valor de r es superior a 1
5. Un grupo de investigadores ha diseñado un cuestionario sobre la
tensión, consistente en quince sucesos. Ellos estos interesados en
determinar si existe una coincidencia entre dos culturas acerca de la
cantidad relativa de ajustes que acarrea cada suceso. El cuestionario se
aplica a 300 estadounidenses y 300 italianos cada individuo debe utilizar
el evento “matrimonio” como estándar y juzgar a los demás eventos en
relación con el ajuste necesario para el matrimonio. El matrimonio recibe
valor arbitraje de 50 puntos, si se considera un evento requiere de más
ajustes que el matrimonio, el evento debe recibir más de 50 puntos .El
número de puntos exentes depende de la cantidad de ajustes
requeridos .Después cada sujeto de cada cultura ha sido asignado puntos
a todos los eventos que se promedian los puntos de cada evento, los
resultados aparecen en la siguiente tabla.
EVENTOS ESTADOS .U ITALIANOSMuerte de la esposa 100 80
Divorcio 73 95Separación de la pareja 65 85Temporada en prisión 63 52Lesiones personales 53 72
Matrimonio 50 50Despedido del trabajo 47 40
Jubilación 45 30Embarazo 40 28
Dificultades sexuales 39 42Reajustes económicos 39 36
Problemas con la f. Política 29 41Problemas con el jefe 23 35
Vacaciones 13 16Navidad 12 10TOTAL 691 712
a. Suponga que los datos tienen al menos una escala de intervalo y
calcule la correlación entre los datos de los estadounidenses y los
italianos.
EVENTOS ESTADOS .U (X) ITALIANOS (Y) X2 Y2 XY
MUERTE DE LA ESPOSA 100 80 10.000 6.400 8000DIVORCIO 73 95 5.329 9025 6935
SEPARACION DE LA PAREJA 65 85 4.225 7225 5525TEMPORADA EN PRISION 63 52 3.969 2704 3276LESIONES PERSONALES 53 72 2.809 5184 3816
MATRIMONIO 50 50 2.500 2500 2500DESPEDIDO DEL TRABAJO 47 40 2.209 1600 1880
JUBILACION 45 30 2.025 900 1350EMBARAZO 40 28 1.600 784 1120
DIFICULTADES SEXUALES 39 42 1.521 1764 1638REAJUSTES ECONOMICOS 39 36 1.521 1296 1404
PROBLEMAS CON LA F. POLITICA 29 41 841 1681 1189PROBLEMAS CON EL JEFE 23 35 529 1225 805
VACACIONES 13 16 169 256 208NAVIDAD 12 10 144 100 120
TOTAL 691 712 39.391 42.644 39766
r=N (∑ XY )−(∑ X )(∑Y )
√ [N (∑ X2 )−(∑ X 2)] [N (∑ Y 2 )−(∑Y2)]
r=15 (39.766 )−(691 )(712)
√ [15 (39.391 )−(39.391) ] [15 (42.644 )−(42.644)]
r= 596.490−491.992√ (551.474 ) (597.016 )
r=0,18
b. Suponga que los datos solo tienen una escala original y calcule la
correlación de ambas culturas.
INDIVIDUO
EX.CON LAPIZ DE PAPEL
SIQUIATRIA PSIQUIATRIA
1 48 12 92 37 11 123 30 4 54 45 7 85 31 10 116 24 8 77 28 3 48 18 1 19 35 9 6
10 15 2 211 42 6 1012 22 5 3
6.- Un psicólogo ha construido un examen lápiz-papel, a fin de medir la
dispersión. Para comparar los datos del examen con los datos de los
expertos, 12 individuos “con perturbaciones emocionales” realizan el
examen lápiz-papel. Los individuos también son calificados de manera
independiente por dos siquiatras, de acuerdo con el grado de depresión
determinado por cada uno como resultado de entrevistas detalladas. Los
datos aparecen a continuación. Los datos mayores corresponden a una
mayor depresión.
Individuo Examen con lápiz y papel
Siquiatra A Siquiatra B
1234
48373045
121147
91258
56789
101112
3124281835154222
108319265
1174162
103
a) ¿Cuál es la correlación entre los datos de los dos siquiatras?
Siquiatra A (X) Siquiatra B (Y) (X 2) (Y 2) (XY )121147
108319265
912581174162103
1441211649
1006491
814
3625
811442564
12149161
364
1009
1081322056
110561215446015
Σ X=78 ΣY=78 Σ X2=650ΣY 2=650Σ XY=628
r=N (Σ XY )−(Σ X)(ΣY )
√ [N (Σ X2 )−(Σ X)2 ] [N (ΣY 2 )−(ΣY )2 ]
r=12 (628 )−(78)(78)
√ [12 (650 )−(78)2 ] [12 (650 )−(78)2 ]
r=0,846
b) ¿Cuál es la correlación entre las calificaciones del examen con
lápiz y papel y los datos de cada siquiatra?
Examen con lápiz y papel (X) Siquiatra A (Y)(X 2) (Y 2) (XY )
48 12 2304 144 57637 11 1369 121 40730 4 900 16 12045 7 2025 49 31531 10 961 100 31024 8 576 64 19228 3 784 9 8418 1 324 1 1835 9 1225 81 31515 2 225 4 3042 6 1764 36 25222 5 484 25 110
Σ X=375 ΣY=78 Σ X2=12941 ΣY 2=650 Σ XY=2729
r=N (Σ XY )−(Σ X)(ΣY )
√ [N (Σ X2 )−(Σ X)2 ] [N (ΣY 2 )−(ΣY )2 ]
r=12 (2729 )−(375)(78)
√ [12 (12941 )−(375)2 ] [12 (650 )−(78)2 ]
r=0,697
Examen con lápiz y papel (X)
Siquiatra B(Y)
(X 2) (Y 2) (XY )
48 9 2304 81 43237 12 1369 144 44430 5 900 25 15045 8 2025 64 36031 11 961 121 34124 7 576 49 16828 4 784 16 11218 1 324 1 1835 6 1225 36 21015 2 225 4 3042 10 1764 100 42022 3 484 9 66
Σ X=375 ΣY=78 Σ X2=12941 ΣY 2=650 Σ XY=2751
r=N (Σ XY )−(Σ X)(ΣY )
√ [N (Σ X2 )−(Σ X)2 ] [N (ΣY 2 )−(ΣY )2 ]
r=12 (2751 )−(375)(78)
√ [12 (12941 )−(375)2 ] [12 (650 )−(78)2 ]
r=0,863
7.- Para este problema, suponga que usted es un psicólogo que labora en
el departamento de recursos humanos de una gran corporación. El
presidente de la compañía acaba de hablar con usted acerca de la
importancia de contratar personal productivo en la sección de
manufactura de la empresa y le ha pedido que ayude a mejorar la
capacidad de la institución para hacer esto. Existen 300 empleados en
esta sección y cada obrero fabrica el mismo artículo. Hasta ahora, la
corporación sólo ha recurrido a entrevistas para elegir a estos empleados.
Usted busca bibliografía y descubre dos pruebas de desempeño, lápiz-
papel, bien estandarizadas y piensa que podrían estar relacionados con
los requisitos de desempeño de esta sección. Para determinar si alguna
de ellas se puede utilizar como dispositivo de selección, elige 10
empleados representativos de la sección de manufactura, garantizando
que un amplio rango de desempeño quede representando en la muestra,
y realiza las dos pruebas con cada empleado. Los datos aparecen en la
siguiente tabla.
Mientras mayor sea la calificación, mejor será el desempeño. Las
calificaciones de desempeño en el trabajo son la cantidad real de
artículos fabricados por cada empleado por semana, promediados
durante los últimos 6 meses.
EMPLEADO
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Desempeño
en el trabajo
Examen 1
Examen 2
50
10
25
74
19
35
62
20
40
90
20
49
98
21
50
52
14
29
68
10
32
80
24
44
88
16
46
76
14
35
a) Construya una grafica de dispersión del desempeño en el trabajo
y la primera prueba, utilizando la prueba 1 como la variable x
¿parece lineal la relación?
20 25 30 35 40 45 50 550
20
40
60
80
100
120
Desempeño en el trabajo (Y)Linear (Desempeño en el trabajo (Y))
EXAMEN 1
DESE
MPE
ÑO
EN
EL T
RABA
JO
b) Suponga que la relación anterior es lineal y calcule el valor de la r
de Pearson.
Examen 1 (X)
Desempeño en el trabajo (Y)
(X 2) (Y 2) (XY )
10 50 100 2500 50019 74
361400400441196
54763844810096042704
1406124018002058728
20 6220 9021 9814 5210 6824 8016 88
14 76
ΣX=168 ΣY=738 Σ X2=3026 ΣY 2=56772 Σ XY=12804
r=N (Σ XY )−(Σ X)(ΣY )
√ [N (Σ X2 )−(Σ X)2 ] [N (ΣY 2 )−(ΣY )2 ]
r=10 (12804 )−(168)(738)
√ [10 (3026 )−(168)2 ] [10 (56772 )−(738)2 ]
r=0,591
c) Construya una grafica de dispersión del desempeño en el trabajo y
la segunda prueba, utilizando la prueba 2 como la variable x.
¿Parece lineal la relación?
20 25 30 35 40 45 50 550
20
40
60
80
100
120
Desempeño en el trabajo (Y)Linear (Desempeño en el trabajo (Y))
EXAMEN 1
DESE
MPE
ÑO
EN
EL T
RABA
JO
d) Suponga que la relación anterior es lineal, calcule el valor de la r
de Pearson.
Examen 2 (X)
Desempeño en el trabajo (Y)
(X 2) (Y 2)XY
25 50 62512251600
250054763844
125025902480
35 7440 6249 90 2401
2500841
1024193621161225
8100960427044624640077445776
4410490015082176352040482660
50 9829 5232 6844 8046 8835 76
Σ X=385 ΣY=738 Σ X215493 ΣY 2=56772 Σ XY=29542
r=N (Σ XY )−(Σ X)(ΣY )
√ [N (Σ X2 )−(Σ X)2 ] [N (ΣY 2 )−(ΣY )2 ]
r=10 (29542 )−(385)(738)
√ [10 (15493 )−(385)2 ] [10 (56772 )−(738)2 ]
r=0,907
e) Si solo pudiera utilizar una de las pruebas para la selección de los
empleados, ¿Utilizaría alguna de ellas? En tal caso, ¿Cuál de
ellas? Explique
La segunda prueba porque tiene una mayor relación entre la
prueba y el desempeño de trabajo.
CONCLUSIONES
El principal objetivo de la correlación lineal es estimar el valor de una
variable dependiente tomando en cuenta el valor de una variable
independiente.
Con el estudio de la correlación lineal se puede resolver casos donde
ya no se utiliza datos unidimensionales, haciendo que el estudiante
pueda realizar análisis a través de las comparaciones de las variables
bidimensionales.
La correlación lineal permite realizar un análisis de las predicciones a
partir de la utilización de datos bivariables.
La correlación también examina la relación entre dos variables pero
restringiendo una de ellas con el objeto de estudiar las variaciones de
una variable cuando una permanece constante.
La correlación permite determinar la dependencia que existe entre dos
variables, es decir si los cambios de la una influyen en los cambios de
la otra.
RECOMENDACIONES
Conocer los valores correctos de las variables independientes para
obtener un valor más real de la variable dependiente.
Realizar análisis correctos con la utilización de variables
bidimensionales que pueden determinar mejores resultados para una
empresa como por ejemplo: ingresos y gastos.
Analizar casos del entorno con datos bivariados para realizar el
respectivo análisis.
Efectuar ejercicios donde el estudiante pueda diferenciar el
comportamiento de una variable ante una variable constante.
Determinar la dependencia de variables que se presentan en el
entorno de comercio exterior para analizar su comportamiento en
relación de la una con la otra.
BIBLIOGRAFÍA
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H. B. CHRISTENSEN, ESTADISTICA (págs. 557-590). TRILLAS:
TRILLAS.
JOHNSON, R. (1990). Análisis descriptívo y presentación de datos
bivariados. En ESTADÍSTICA ELEMENTAL (pág. 82 ~ 112). Belmont:
Wadsworth Publishing Company Inc.
Johnson, R. R. ((1990(reimp 2009))). Análisis descriptivo y presentación
de datos bivariados. En Estadística Elemental (Segunda ed., págs. 83 -
112). México, México: Trillas.
CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES
MAYO
7 8 9 10 11 14
Asignación del deber X
Investigación x
Realización de ejercicios x X X
Presentación x
