POSICIONADOR DE UNA ESFERA METÁLICA EN UN LEVITADOR MAGNÉTICO

MEDIANTE UN MODELO NO LINEAL

SIMÓN ALEJANDRO MORALES ROBLES

Trabajo de grado para optar al título de:

Ingeniería Electrónica

Director:

Ing. Diego Alejandro Patiño Guevara PhD.

PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA

FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA

BOGOTÁ D.C. Diciembre 2017

2

AGRADECIMIENTOS

Agradezco a Dios por darme la oportunidad de llegar hasta aquí, agradezco a mis padres que con todas

sus fuerzas se lograron educarme de la mejor manera. Agradezco a empresa QUALA S.A la cual me

abrió las puertas a la educación superior. Quiero agradecer al personal del laboratorio como al personal

de vigilancia y aseo con que cuenta la facultad, porque todos están velando por hacer de la Ingeniera

Javeriana la mejor.

Por ultimo quiero agradecer a todos los profesores con los que he compartido en los salones a lo largo

de mi pregrado. Quiero agradecer en especial al ingeniero Diego Patiño que a pesar de las muchas y

extensas labores que realiza, estuvo ahí haciéndome ver todo fácil y de la mejor manera.

Simón Alejandro Morales Robles

3

Contenido Figuras ................................................................................................................................................. 4

1 INTRODUCCIÓN GENERAL ....................................................................................................... 5

2 LEVITADOR MAGNÉTICO ......................................................................................................... 6

2.1 Descripción ............................................................................................................................. 6

2.2 Funcionamiento ....................................................................................................................... 7

2.3 Modelo no lineal...................................................................................................................... 8

2.4 Modelo lineal .......................................................................................................................... 9

2.5 Validación del modelo .......................................................................................................... 12

3 CONTROL LINEAL..................................................................................................................... 14

3.1 Control de corriente ............................................................................................................... 14

3.2 Control por realimentación de estados .................................................................................. 16

3.3 Controlabilidad ...................................................................................................................... 16

3.4 Observabilidad ...................................................................................................................... 17

3.5 Estimación ............................................................................................................................. 17

3.6 Diseño de control por realimentación de estados .................................................................. 18

3.7 Simulación control realimentación de estados ...................................................................... 19

3.8 Acción integral ...................................................................................................................... 23

3.9 Control Proporcional, Integral, Derivativo............................................................................ 24

3.10 Estimación ............................................................................................................................. 27

4 CONTROL NO LINEAL .............................................................................................................. 27

4.1 Sistemas en modo deslizante ................................................................................................. 27

4.2 Función de conmutación ....................................................................................................... 28

4.3 Chattering ............................................................................................................................. 31

4.4 Control en modo deslizante ................................................................................................... 32

4.5 Estimación ............................................................................................................................. 33

4.6 Diseño del control por modos deslizantes ............................................................................. 33

5 Resultados experimentales ............................................................................................................ 38

5.1 Realimentación de estados .................................................................................................... 38

5.2 Control PID ........................................................................................................................... 42

5.3 Seguimiento de trayectoria .................................................................................................... 45

6 CONCLUSIONES ........................................................................................................................ 46

7 ANEXOS ....................................................................................................................................... 47

7.1 Diagrama de bloques PID Quanser, nombre del archivo: Bloq_PID_exp ............................ 47

7.2 Diagrama de bloques PID simulación, nombre del archivo: Bloq_PIDv1 ............................ 47

7.3 Script PID, nombre del archivo: Script_PID ......................................................................... 47

7.4 Diagrama de bloques realimentación de estados Quanser, nombre del archivo: .................. 47

Bloq_Realimentacion_Exp................................................................................................................ 47

7.5 Diagrama de bloques realimentación de estados simulación, nombre del archivo:

Bloq_Realimentacion_Simu.............................................................................................................. 47

7.6 Script Realimentación de estados, nombre del archivo: Script_realimentacion ................... 47

4

7.7 Diagrama de bloques control por modo deslizante ideal, nombre del archivo: Bloq_SMCv0

48

7.8 Diagrama de bloques control por modo deslizante aproximando a la función saturación,

nombre del archivo: Bloq_SMCv1 ................................................................................................... 48

7.9 Diagrama de bloques control por modo deslizante considerando la dinámica de la corriente,

nombre del archivo: Bloq_SMCv2 ................................................................................................... 48

7.10 Script del control por modos deslizantes, nombre del archivo: Script_SMC ........................ 48

7.11 Diagrama de bloques control LPV, nombre del archivo: LPV_Simu ................................... 48

7.12 Script control LPV, nombre del archivo LPV ....................................................................... 48

7.13 Calibración del levitador magnético, nombre del archivo: q_cal_maglev ............................ 48

7.14 Manual del levitador magnetico, nombre del archivo: Magnetic Levitation –user manueal 48

8 BIBLIOGRAFÍA ........................................................................................................................... 48

Figuras

Figura 2.1.1. Esquemático del levitador magnético. ............................................................................... 7 Figura 2.2.1. Bloque levitador magnético. .............................................................................................. 8 Figura 2.3.1. Modelo lineal vs modelo no lineal ante variaciones de 𝑋𝑏. ............................................ 10 Figura 2.3.2. Modelo lineal vs modelo no lineal ante variaciones de Íc. .............................................. 10 Figura 3.1.1. Simulación del control de corriente ante una entrada paso de 1A. .................................. 15 Figura 3.1.2. Prueba experimental del control de corriente ante una entrada paso de 1A. ................... 15 Figura 3.2.1. Diagramas de bloques de un control por realimentacion de estados. Tomado de [8]. ..... 16 Figura 3.7.1. Diagrama de bloques realimentación de estados. ............................................................ 19 Figura 3.7.2. Simulación realimentación de estados. ............................................................................ 20 Figura 3.7.3. Realimentación de estados con corrección en estado estable para el seguimiento de una

referencia. .............................................................................................................................................. 20 Figura 3.7.4. Simulación del control por realimentación de estados con corrección en estado estable

para el seguimiento de una referencia para 𝑋𝑏𝑜𝑝 < 0.007𝑚 ............................................................... 21 Figura 3.7.5. Simulación del control por realimentación de estados con corrección en estado estable

para el seguimiento de una referencia para 𝑋𝑏𝑜𝑝 > 0.007𝑚 ............................................................... 22 Figura 3.8.1. Control PID, con acción feedfoward y consideración de la velocidad. Adaptado de [6]. 24 Figura 3.8.2. Simulación control PID para 0 < 𝑋𝑏𝑜𝑝 ≤ 0.014 ........................................................... 26 Figura 3.8.3. Simulación para 4 < 𝑋𝑏𝑜𝑝 ≤ 12𝑚𝑚 ............................................................................. 27 Figura 4.1.1. Modo deslizante. Tomado de [13] ................................................................................... 28 Figura 4.2.1. Superficie de conmutación 𝑠 = 0, evidenciando el problema de chattering. .................. 29 Figura 4.2.2. Tiempo de convergencia. ................................................................................................. 31

Tablas

Tabla 2.3.1. Rangos de operación para errores menores al 10% del modelo lineal respecto del modelo

no lineal. ................................................................................................................................................ 11 Tabla 3.1.1. Parámetros de desempeño del control de corriente PI. ..................................................... 16 Tabla 3.6.1. Comparación de polos en lazo abierto vs polos en lazo cerrado. ...................................... 19

5

Tabla 3.7.1. Valor del factor de corrección para cada punto de operacion. .......................................... 21

1 INTRODUCCIÓN GENERAL

En los últimos años ha crecido la implementación de sistemas de levitación magnética en distintas áreas.

Como casos más relevantes se encuentran los trenes de levitación magnética, levitación magnética en

túneles de viento, aislamiento de vibraciones en maquinaria sensible, levitación de metal fundido en

hornos de inducción, levitación de piezas metálicas durante ensamblajes, entre otros [1] [2]. Para

manipular un sistema de levitación magnética con el fin de realizar una de estas aplicaciones, se requiere

dar solución a la inestabilidad en lazo abierto y la alta no linealidad de estos tipos de plantas. Para

aplicaciones que requieran un amplio rango de trabajo como las mencionadas anteriormente, linealizar

y aplicar un control lineal no es una buena solución [3]. Debido a que la alta no linealidad de la planta

obliga a trabajar sobre un rango pequeño alrededor del punto de operación para que se mantengan los

parámetros de desempeño cerca a los deseados. Entonces se hace necesario trabajar sobre un modelo

más preciso, el modelo no lineal y aplicar un control no lineal.

Existen diferentes tipos de plantas magnéticas que responden a las necesidades de cada aplicación;

plantas de levitación generadas a partir de una fuerza atractiva o repulsiva, plantas de varios grados de

libertad, entre otras características. La planta más común es la planta de levitación magnética vertical,

dado que esta es la más adecuada para suspender objetos y este es el mayor requerimiento en las

diferentes tareas mencionadas anteriormente. La Pontificia Universidad Javeriana cuenta con una planta

de levitación magnética vertical, que realiza la suspensión mediante una fuerza atractiva, la cual es el

dispositivo principal de este trabajo de grado.

La mejor configuración para el desarrollo de las aplicaciones mencionadas anteriormente son las plantas

verticales. Estas logran librar de fricción a los cuerpos rígidos, lo cual es muy deseado por el aumento

de eficiencia energética y disminución de costos en lubricantes [4]. Por ejemplo, en los trenes de

levitación magnética se logra suprimir la perdida en forma de calor debido a rozamiento, e invertir esta

energía en las tareas de un tren de levitación magnética, es decir un aumento considerable en la

eficiencia. Estos trenes alcanzan velocidades máximas de hasta 550Km/h, alcanzando a duplicar las

velocidades máximas de los transportes convencionales [5]. Una aplicación directa de las plantas

verticales es la levitación magnética en túneles de viento. En esta se busca suspender un objeto de la

forma de una aeronave, y exponerla a flujos de aire para emular su comportamiento. De ser suspendido

con algún tipo de soporte se cambia considerablemente el escenario de investigación. Por tal razón es

6

necesario hacer levitar magnéticamente el objeto de estudio, además el control que realice esta acción

debe soportar las perturbaciones provocadas por los flujos de aire [1]. Se podría seguir indagando sobre

cada aplicación alredor de la levitación magnética y evidenciando la importancia de encontrar técnicas

que sean ventajosas para cada requerimiento de cada aplicación, como la precisión en ensamblaje

magnético, y demás aplicaciones.

Con el fin de seguir explorando técnicas de control alrededor de las plantas de levitación magnética, este

trabajo de grado tiene por objetivo general diseñar e implementar un control no lineal para el

posicionamiento de una esfera metálica en una planta de levitación magnética. Para lograr lo anterior es

necesario modelar la planta de levitación magnética por medio de un modelo no lineal, y un modelo

lineal; identificando entradas, salidas y fronteras (objetivo específico a). El modelo lineal es necesario

dado que se desea comparar el desempeño del control no lineal a diseñar, con este modelo se procede a

Calcular e implementar un controlador clásico PID y un controlador por realimentación de variables de

estado tal que el sistema cumpla con un tiempo de establecimiento de 0.1 segundos, porcentaje de sobre

pico de 5% y error en estado estacionario 0 (objetivo específico b). Por otro lado, y con el modelo no

lineal se busca calcular e implementar un control no lineal, específicamente hablando sliding mode

(objetivo específico c). Y por último para sintetizar este trabajo de grado se desea comparar los

controladores PID, realimentación de variables de estado y sliding mode bajo los mismos parámetros de

desempeño en la planta de levitación magnética QUANSER.

En el presente documento se da un primer acercamiento a la planta identificando su funcionamiento. A

partir de esto se obtiene un modelo no lineal, el cual es aproximado a un modelo lineal a través de los

primeros términos de la serie de Taylor (Capitulo 3: Levitador Magnético). A partir del modelo en

espacio de estados y la función de transferencia alcanzadas al linealizar, se busca implementar un control

por realimentación de estados y PID (capitulo 4), los cuales serán un punto de comparación para el

controlador diseñado por modos deslizantes (capitulo 5). A lo largo del diseño de estos controladores se

debe solucionar mediante diferentes técnicas de estimación la obtención del estado de la velocidad, se

emplea un observador de estado para el control por realimentación de estados, y un filtro pasa altas para

el control PID y el control en modos deslizantes. Finalmente se muestran los resultados de cada

controlador, y se comparan (capitulo 6).

2 LEVITADOR MAGNÉTICO

2.1 Descripción

El levitador magnético sobre el cual se trabaja es un sistema electromecánico, como se muestra en la

Figura 2.1.1. La bobina que genera la fuerza de atracción está ubicada en la parte superior de la planta,

esta es excitada por el voltaje 𝑉𝑐. La bobina es modelada por la resistencia 𝑅𝑐 y la inductancia 𝐿𝑐. En

serie a la bobina se conecta una resistencia 𝑅𝑠 la cual mide la corriente 𝐼𝑐 que pasa por la bobina. Al

circular una corriente 𝐼𝑐 a través de la bobina se producirá una fuerza 𝐹𝑐, contraria a la fuerza de

gravedad 𝐹𝑔. Esta fuerza hará desplazar a la esfera verticalmente a lo largo de la altura 𝑋𝑏, siendo 𝑋𝑏 =0 cuando a la esfera está en contacto con el núcleo de la bobina; y 𝑋𝑏 = 0.014 𝑚 cuando la esfera esta

sobre el soporte.

7

Figura 2.1.1. Esquemático del levitador magnético. Tomado de [6]

El dispositivo que mide la altura está ubicado en el soporte debajo de la esfera. Este producirá un voltaje

proporcional 𝑉𝑏 dependiendo de la cantidad de luz que la esfera deje llegar al sensor. Entre mayor altura

tenga la esfera, más luz llegará al sensor produciendo un voltaje 𝑉𝑏 mayor. La distancia de la esfera

respecto del soporte será proporcional al voltaje 𝑉𝑏. Este voltaje será nulo cuando la esfera este sobre

el soporte. Para que el valor medido corresponda al modelo que se plantea en la sección 3.2 se debe

invertir y multiplicar la señal 𝑉𝑏 por un factor de escalamiento Kb (2.83 X 10−3 [𝑚

𝑉], según [7]) y restar

0.014𝑚 para llevar el cero al núcleo de la bobina.

2.2 Funcionamiento

Para llevar a cabo alguna tarea sobre el levitador magnético es necesario tener en cuenta los siguientes

elementos mostrados en la Figura 2.2.1:

Figura 2.2.1. Elementos para la manipulación del levitador magnético. Adaptado de [6]

Desde un computador con simulink, que cuente con el toolboox QUARC, se asignan en la tarjeta los

puertos de escritura y lectura de la tarjeta de adquisición USB Q2. La tarjeta convertirá a análogo las

señales provenientes del puerto de escritura y digitalizará las señales provenientes de los pines de lectura

8

para poderlos visualizar sobre el computador. Las señales provenientes de escritura serán entradas al

levitador, para poder brindar la potencia necesaria al levitador se requiere un amplificador que brinde la

corriente adecuada. El amplificador recibirá la información obtenida por el sensor de luz y la resistencia

de sensado, adecuará las señales para ser digitalizadas por la tarjeta USB Q2, y esta enviará los datos al

computador para ser visualizados.

Sobre simulink se diseñan todos los diagramas en bloques necesarios que generan la entrada que

cumplirá con una tarea especificada, bien sea hacer levitar la esfera, o seguir alguna referencia.

2.3 Modelo no lineal

La parte eléctrica del levitador es conformada por el circuito LR. El comportamiento de este sistema es

definido por un sistema lineal obtenido al hacer la malla de voltajes sobre el circuito de la Figura 2.1.1

𝑉𝑐 = (𝑅𝑠 + 𝑅𝑐)𝑖𝑐(𝑡) + 𝐿𝑐𝑑 𝑖𝑐(𝑡)

𝑑𝑡

Ec 2.3.1

Y la parte mecánica del levitador está conformada por el diagrama de cuerpo libre realizado sobre la

esfera de la Figura 2.1.1, el cual es un sistema no lineal obtenido al aplicar la segunda ley de newton:

�̈�𝑏(𝑡) = −𝐾𝑚 𝑖𝑐(𝑡)2

2 𝑀𝑏 𝑋𝑏(𝑡)2+ 𝑔

Ec 2.3.2

Siendo �̈�𝑏(𝑡) la aceleración de la esfera, 𝑋𝑏(𝑡) la altura de la esfera, 𝐾𝑚 la constante de fuerza

electromagnética, 𝑀𝑏 la masa de la esfera, 𝑔 la constante gravitacional e 𝑖𝑐(𝑡) la corriente circulante

por la bobina.

Las dos ecuaciones anteriores permiten dividir el levitador magnético sobre el que se trabaja en dos sub

bloques. Como se esboza en la Figura 2.3.1

Figura 2.3.1. Bloque levitador magnético.

Las variables que representan el estado dinámico del levitador magnético son 𝐼𝑐, 𝑋𝑏 y �̇�𝑏. La variable

𝑉𝑐 es la entrada a la planta, y 𝑋𝑏 a la vez es la salida de la planta. El anterior diagrama mostrado en la

9

Figura 2.3.1 no muestra como salida la velocidad de la esfera �̇�𝑏 dado que se tiene por objetivo diseñar

un posicionador, y no un control de velocidad.

Para mantener la esfera en una altura 𝑋𝑏 deseada se debe diseñar una ley de control para 𝐼𝑐 y 𝑉𝑐. Es

importante tener en cuenta la dinámica de la velocidad de la esfera para el control adecuado sobre la

señal 𝐼𝑐. Esta dinámica debe ser considerada a partir de la altura de la planta, pues no hay ningún sensor

que brinde la información sobre este estado. Para el diseño de los controladores lineales primero se debe

obtener el modelo lineal de este sistema, y después dar solución al control para la variable 𝐼𝑐, y la

estimación del estado de velocidad.

2.4 Modelo lineal

Para realizar el diseño y análisis de un controlador PID o realimentación de estados se debe trabajar

sobre la relación entrada-salida definida por la variable de Laplace 𝑠 o en el espacio de estados.

Cualquiera de las dos herramientas anteriores exige trabajar sobre un sistema lineal. Bien sea para

obtener una función de transferencia o las matrices A, B, C y D para el modelado de un sistema en

espacio de estados.

El modelo expresado en la Ec 2.4.1 tiene una singularidad en 𝑋𝑏(𝑡) = 0, para este punto el sistema no

es definido. Además, este sistema no cuenta con ningún punto de equilibrio. Para demostrarlo se toma

por entrada la corriente 𝑖𝑐(𝑡) y por salida la altura 𝑋𝑏(𝑡), es decir un sistema SISO. Para hallar un punto

de equilibrio es necesario establecer 𝑓(𝑋𝑏(𝑡), 𝑖𝑐(𝑡)) = 0 y 𝑖𝑐(𝑡)=0, es decir obtener a que altura llega

la esfera bajo las condiciones anteriores. Al remplazar las condiciones sobre el modelo se obtiene que

la esfera solo llegará a una altura constante si 𝑔 = 0𝑚

𝑠2, lo cual es físicamente imposible. Por lo anterior

no se encuentra ningún punto de equilibrio. Sin embargo, es posible obtener puntos de operación, los

cuales son fijados a una altura la esfera según una corriente de entrada.

A continuación, se presentan dos gráficos para observar el comportamiento de la expresión mostrada en

Ec 2.2.2. Se grafica la aceleración 𝑓(𝑋𝑏(𝑡), 𝐼𝑐(𝑡)) variando la altura 𝑋𝑏(𝑡) para cuatro valores de

corriente, como se puede apreciar en la siguiente Figura 2.4.1. Para analizar el comportamiento ante

variaciones de 𝐼𝑐(𝑡), se toman cuatro valores para 𝑋𝑏(𝑡).

De la gráfica vista en Figura 2.4.1 se observa que a medida que el sistema se acerca a la singularidad, el

modelo linealizado sigue en un menor rango al modelo no lineal en comparación a puntos de operación

lejanos de la singularidad. Por otro lado, al observar la gráfica mostrada en la Figura 2.4.2 se observa

que al incrementar la corriente, el error entre el modelo lineal y el modelo linealizado disminuye.

10

Figura 2.4.1. Modelo lineal vs modelo no lineal ante variaciones de Xb.

Figura 2.4.2. Modelo lineal vs modelo no lineal ante variaciones de Ic.

11

En la Tabla 2.1 se muestran los puntos de operación y los rangos en los cuales el modelo lineal difiere

del modelo no lineal por debajo del 10 %. Los rangos de 𝐼𝑐 y 𝑋𝑏 incrementan a medida que el punto de

operación incrementa, por lo que se espera que un control lineal tenga una mejor respuesta al trabajar

en un punto de operación cercano a 𝐼𝑐 = 2𝐴 y 𝑋𝑏 = 14𝑚𝑚.

𝑋𝑏 𝐼𝑐

Punto de

operación

Valor

mínimo

Valor

máximo Rango

Punto de

operación

Valor

mínimo

Valor

máximo Rango

3.5 3.264 3.730 0.466 0.5 0.409 0.611 0.202

7 6.528 7.461 0.933 1 0.819 1.223 0.404

10.5 9.792 11.192 1.4 1.5 1.228 1.834 0.606

14 13.056 14.923 1.867 2 1.637 2.445 0.808

Tabla 2.1. Rangos de operación para errores menores al 10% del modelo lineal respecto del modelo no

lineal.

Adicional a lo anterior se puede observar que para una corriente de 2 𝐴 la esfera esta a una altura de

14 𝑚𝑚. Sin embargo la hoja de especificaciones tiene por corriente máximo 2 𝐴 continuos y 3 𝐴 pico.

Esto significa que para los controladores lineales que esté trabajando sobre un punto de 2 𝐴 tendrán

disponible 1 𝐴 pico para soportar perturbaciones sin saturarse. Esta observación es considerada en la

sección 5.6 para definir la función de conmutación en un control por modos deslizantes.

El modelo de la parte mecánica del sistema es un modelo dependiente de dos variables, como ya se ha

mencionado. Para poder linealizar este se toman los primeros 3 términos de la serie de Taylor

dependiente de dos variables [9], los cuales son:

𝐹(𝑋𝑏, 𝐼𝑐) = 𝑓(𝑥𝑏𝑜𝑝, 𝑖𝑐𝑜𝑝) + 𝑓𝑋𝑏(𝑥𝑏𝑜𝑝, 𝑖𝑐𝑜𝑝)(𝑋𝑏 − 𝑥𝑏𝑜𝑝) + 𝑓𝐼𝑐(𝑥𝑏𝑜𝑝, 𝑖𝑐𝑜𝑝)(𝐼𝑐 − 𝑖𝑐𝑜𝑝) Ec 2.4.3

Siendo, 𝐹(𝑋𝑏, 𝐼𝑐) la aproximación lineal de un modelo 𝑓(𝑋𝑏, 𝐼𝑐), con punto de operación en

{𝑥𝑏𝑜𝑝, 𝑖𝑐𝑜𝑝}, 𝑓𝑋𝑏 la derivada parcial respecto de la altura y 𝑓𝐼𝑐 la derivada parcial respecto de la corriente.

El modelo obtenido al linealizar estará definido sobre variables de perturbación: 𝛿𝑥𝑏, 𝛿𝑖𝑐 y 𝛿�̈�𝑏 y

variables incrementales 𝑥𝑏𝑜𝑝, 𝑖𝑐𝑜𝑝 y �̈�𝑏𝑜𝑝. Es decir,

𝑋𝑏 = 𝛿𝑥𝑏 + 𝑥𝑏𝑜𝑝

Ec 2.4.4

𝐼𝑐 = 𝛿𝑖𝑐 + 𝑖𝑐𝑜𝑝

Ec 2.4.5

Dado que en un punto de operación se busca que no haya variaciones sobre la altura se tiene que �̈�𝑏𝑜𝑝 =

0. Es decir,

�̈�𝑏 = 𝛿�̈�𝑏 + �̈�𝑏𝑜𝑝 → �̈�𝑏 = 𝛿�̈�𝑏 Ec 2.4.6

Realizando las derivadas correspondientes se obtiene:

𝛿�̈�𝑏 = −𝐾𝑚 𝑖𝑐𝑜𝑝

2

2 𝑀𝑏 𝑥𝑏𝑜𝑝2 + 𝑔 +

𝐾𝑚 𝑖𝑐𝑜𝑝2

2 𝑀𝑏 𝑥𝑏𝑜3 𝛿𝑥𝑏 −

𝐾𝑚 𝑖𝑐𝑜𝑝2

2 𝑀𝑏 𝑥𝑏𝑜𝑝2 𝛿𝑖𝑐 Ec 2.4.7

Conociendo la masa 𝑀𝑏, el punto de operación {𝑥𝑏𝑜𝑝, 𝑖𝑐𝑜𝑝}, la gravedad 𝑔 y la esfera estando en reposo

�̈�𝑏 = 0. Se puede expresar 𝐾𝑚 de la siguiente manera:

𝐾𝑚 =2 𝑀𝑏 𝑔 𝑥𝑏𝑜𝑝

2

𝑖𝑐𝑜𝑝2

Ec 2.4.8

12

Con lo anterior se simplifica el modelo linealizado a:

𝛿𝑥�̈� =2𝑔

𝑥𝑏𝑜𝑝𝛿𝑥𝑏 −

2𝑔

𝑖𝑐𝑜𝑝𝛿𝑖𝑐 Ec 2.4.9

La función de transferencia del modelo linealizado es:

𝛿𝑥𝑏

𝛿𝑖𝑐=

−2𝑔𝑖𝑐𝑜𝑝

𝑠2 −2𝑔

𝑥𝑏𝑜𝑝

Ec 2.4.10

La representación en espacio de estados es:

[𝛿�̇�𝑏𝛿�̈�𝑏

] = [

0 12𝑔

𝑥𝑏𝑜𝑝0] [

𝛿𝑥𝑏𝛿�̇�𝑏

] + [

0

−2𝑔

𝑖𝑐𝑜𝑝

] 𝛿𝑖𝑐 Ec 2.4.11

[𝑦] = [1 0] [𝛿𝑥𝑏𝛿�̇�𝑏

] Ec 2.4.12

A partir de la matriz A se llega a que el sistema no es estable dado que uno de los valores propios del

sistema tiene parte real positiva ubicándolo en la parte derecha del plano real-imaginario. Los valores

propios son:

𝜆1 =2𝑔

𝑥𝑏𝑜𝑝 𝜆2 = −

2𝑔

𝑥𝑏𝑜𝑝

Ec 2.4.13

Siendo 𝑔 = 9.81 𝑚/𝑠 y 𝑥𝑏𝑜𝑝 un valor entre 0 𝑦 0.014 𝑚.

El diagrama de bloques siguiente se aplica con el fin de llevar los valores propios de la representación

en variables de estado o los polos de la función de transferencia al lado izquierdo del plano real-

imaginario.

Figura 2.4.3. Diagrama de bloques general.

Dado que el interés de este trabajo de grado es posicionar una esfera en el levitador magnético se requiere

primero diseñar un control que adecue la señal de la corriente, ya que esta variable es la entrada a la

parte mecánica del levitador, la parte de mayor interés. Al realizar el control sobre la variable 𝐼𝑐 se

puede diseñar un control para la parte mecánica que afecte directamente a esta, teniendo por variable

manipulada el voltaje sobre la bobina 𝑉𝑐.

2.5 Validación del modelo

13

Para validar el modelo primero se obtuvo la señal de corriente ante una entrada paso de voltaje, con esto

se busca hallar el tiempo de establecimiento de la señal y con resistencia dada por el fabricante hallar la

inductancia, el modelo de corriente será validado si la inductancia obtenida es cercana al indicado por

el fabricante.

Figura 2.5.1. Respuesta del circuito LR del levitador ante una entrada paso de 5V accionada en 1 s.

Para determinar 𝜏 se busca el tiempo en donde la señal esta en el 63% del voltaje cuando la señal ya se

ha estabilizado en la Figura 2.5.1, a partir del valor de la constante temporal 𝜏 y el valor de la resistencia,

se logra conocer el valor de la inductancia como sigue:

𝐿𝑐 = (𝑅𝑠 + 𝑅𝑐) 𝜏 Ec 2.5.1

Según las hojas de especificaciones la inductancia 𝐿𝑐 es igual a 412.5 𝑚𝐻, a partir de esta información

se hallan el error porcentual. La información mencionada es consignada en la tabla

Entrada paso Constante eléctrica 𝜏 Valor inductancia Error porcentual

1 V 0.036 s 396 𝑚𝐻 4%

5 V 0.038 s 418𝑚𝐻 13.33%

10 V 0.038 s 418𝑚𝐻 13.33%

Tabla 2.2. Validación circuito LR.

Por ser valores tan pequeños y producir errores porcentuales apreciables pero pequeños se establece que

el modelo que describe la corriente es un modelo valido. Los errores porcentuales se deben a varios

factores, la principal razón de estos errores es debido a las ganancias de calibración del levitador

magnético (ver anexo []). Los cuales modifican la resistencia de medido para obtener un dato confiable.

Para validar el modelo de la parte mecánica se toma el control diseñado en la sección 3.6 con el fin de

obtener la corriente y la altura en un punto determinado. Se lleva la esfera a una posición fija y se toman

las señales de altura y corriente. La señal de altura es afectada por ruido de fuentes lumínicas externas,

por lo que se toma la señal RMS, de esta manera se conforma la siguiente tabla

Corriente medida

Altura medida

1.4920 A 0.0125 m

14

1.4060 A 0.0112 m

1.1867 A 0.0093 m

0.9371 A 0.0074 m

0.7078 A 0.0064 m

Al hacer la regresión lineal de estos puntos se espera que estén relacionados por un factor √2 𝑀𝑏 𝑔

𝐾𝑚=

142.93 [𝐴

𝑚]. Sin embargo, la regresión lineal de los anteriores datos es:

𝐼𝑐 = 126.45 𝑋𝑏 + 0.0376 [𝐴]

Lo que presenta un error porcentual de 11.53%. A pesar de este error el modelo de la parte mecánica es

validado.

3 CONTROL LINEAL

3.1 Control de corriente

El circuito LR tiene un tiempo de establecimiento propio por sus valores de inductancia y resistencia.

Siendo 𝐿𝑐 = 412.4 𝑚𝐻 y 𝑅𝑠 + 𝑅𝑐 = 11 Ω [7]. La función de transferencia en lazo cerrado de este

sistema es:

𝑉(𝑠)

𝐼(𝑠)=

𝐾

𝜏𝑠 + 1 Ec 3.1.1

Siendo 𝐾 =1

𝑅𝑐+𝑅𝑠 y 𝜏 =

𝐿𝑐

𝑅𝑐+𝑅𝑠.

De la cual se obtiene 𝐾 = 0.0909 [𝐴

𝑉] y 𝜏 = 0.0375 𝑠. La función de transferencia anterior describe un

comportamiento sobre amortiguado con un tiempo de establecimiento aproximado de 5𝜏 = 0.1875𝑠𝑒𝑔.

Es deseable que el sistema eléctrico actúe más rápido que el sistema mecánico. Es decir que el tiempo

de establecimiento del circuito LR sea menor a 0.1 segundos. Por esta razón es necesario agregar un

control PI que logre modificar este parámetro. Dado que el sistema es lineal la ley de control logrará

mantener los parámetros de desempeño de la planta para todo el rango de corriente permitido según las

hojas de especificaciones (0 A hasta 2A continuos o 3A) [7].

Para el diseño del control PI se toman como parámetros de desempeño:

Tiempo de establecimiento: 𝑇𝑠 = 0.01𝑠𝑒𝑔. Es decir 10 veces más pequeño que el tiempo de

establecimiento especificado para el sistema mecánico.

Porcentaje de sobre pico: 2%.

Según las especificaciones anteriores se obtiene el polinomio característico:

𝑠2 + 휁𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2 = 0

Ec 3.1.2

Siendo 𝜔𝑛 = 500 𝑟𝑎𝑑

𝑠 y 휁 = 0.779.

La función de transferencia en lazo cerrado con una ley de control PI es:

15

𝑉(𝑠)

𝐼(𝑠)=

𝐾(𝐾𝑖 + 𝑠 𝐾𝑝)

𝑠2 +𝑠 𝐾 (𝐾𝑝 + 1)

𝜏+

𝐾 𝐾𝑖𝜏

Ec 3.1.3

Igualando el denominador al polinomio característico y despejando 𝐾𝑖 y 𝐾𝑝 se obtiene:

𝐾𝑖 = 103135

𝐾𝑝 = 319.032

Con lo anterior se obtienen los siguientes resultados que se muestran en la Figura 3.1.1 y en la Figura

3.1.2:

Figura 3.1.1. Simulación del control de corriente ante una entrada paso de 1A.

Figura 3.1.2. Prueba experimental del control de corriente ante una entrada paso de 1A.

Simulación Experimental

16

Ideal, sin

saturadores

Considerando

capacidades máximas

Sin limitar

acción integral

Limitando

acción integral

Tiempo de

establecimiento 0.0169 s 0.0625 s 0.4 s 0.0335 s

Porcentaje sobre

pico 1.5% 49.8% 58% 3.5%

Tabla 3.1. Parámetros de desempeño del control de corriente PI.

Al simular el control PI en condiciones ideales (con el diagrama de bloques anexo ), es decir suponiendo

un rango infinito de corriente y voltaje se obtienen parámetros de desempeño cercanos a los

especificados como se muestra en la primer columna de simulación en la Tabla 3.1Tabla 3.1. Sin

embargo, la planta tiene un rango de corriente 𝐼𝑐 de 0 a 3A y de 𝑉𝑐 de +/- 24V, lo cual restringe a los

parámetros de desempeño a un rango de valores. Para tener en cuenta las capacidades máximas se

agregan los saturadores correspondientes, con esto los parámetros de desempeño incrementan, segunda

columna de simulación de la Tabla 3.1Tabla 3.1. Al implementar el control sobre la planta se obtiene

una respuesta sub amortiguada como se observa en la Figura 3.1.2 la cual es agregada por la acción

integral dado que la planta no permite el rango de valores que exige esta acción. Sabiendo esto se limita

la acción integral y se obtiene una mejor respuesta, con la que se puede trabajar sobre la planta, pues

posee un tiempo de establecimiento de 0.0335 𝑠 el cual cumple con un tiempo de establecimiento menor

que el especificado para el control de la parte mecánica de esta planta. Y un porcentaje de sobre pico de

3.5% el cual es aceptable especificados también en la Tabla 3.1.

3.2 Control por realimentación de estados

La técnica de control por realimentación de estados consiste en agregar una entrada 𝑈 = 𝐾𝑥 a un sistema

representado en variables de estado con el fin de obtener los parámetros de tiempo de establecimiento y

porcentaje de sobre pico deseados. A partir de estos parámetros de desempeño se encuentran los polos

en lazo cerrado deseados y con estos se calcula el vector de ganancias K [8].

Figura 3.2.1. Diagramas de bloques de un control por realimentación de estados. Tomado de [8].

Para esta ley de control se asume que el sistema es lineal, completamente observable y completamente

controlable.

3.3 Controlabilidad

De la anterior representación de estado se toman las matrices 𝐴 y 𝐵, y se aplica el test de controlabilidad.

Es decir, se operan las matrices de la siguiente manera. [9][8]

𝐶 = [𝐵 𝐴𝐵 𝐴2𝐵 …𝐴𝑛−1𝐵]

Ec 3.3.1

17

De la cual se obtiene la siguiente matriz 𝐶 la cual es de rango completo, para cualquier valor de 𝑔, 𝑥𝑏𝑜𝑝

y 𝑖𝑐𝑜𝑝. Por lo tanto, el sistema es controlable.

𝐶 =

[ 0 −

2𝑔

𝑖𝑐𝑜𝑝

2𝑔

𝑥𝑏𝑜𝑝0

]

Ec 3.3.2

3.4 Observabilidad

De igual manera se toman las matrices 𝐴 y 𝐶 y se opera como sigue para realizar el test de

observabilidad. [9][8]

𝑂 = [

𝐶𝐶𝐴⋮

𝐶𝐴𝑛−1

]

Ec 3.4.1

Se halla la siguiente matriz 𝑂, la cual es de rango completo sin importar las constantes y valores de

operación de la planta. El sistema es observable.

𝑂 = [1 00 1

]

Ec 3.4.2

3.5 Estimación

A pesar de haber encontrado que el sistema es observable, en la práctica no se cuenta con un sensor que

brinde la medida de la velocidad de la esfera, esto hace necesario implementar un bloque que estime el

estado �̇�𝑏. Para el control de realimentación de estados se opta por un observador de Luenberger.

Un observador es aquel que estima los estados de un sistema a partir de la entrada conocida y los estados

medibles de un determinado sistema. Específicamente hablando, un observador de estados de

Luenberger consiste en asignar una dinámica a la matriz 𝐴′ = 𝐴 − 𝐿𝐶 para que este sea asintóticamente

estable. Lo anterior quiere decir que el estado estimado convergerá al estado real en un tiempo finito. El

problema de diseñar un observador de estados se convierte en el mismo que diseñar un control por

realimentación de estados solo que para las matrices (𝐴, 𝐶) (para el diseño de realimentación de estados

se trabaja con las matrices (𝐴, 𝐵) como se tratará más adelante). [10]

Es recomendable que los polos del diseño de la matriz 𝐴′ estén situados de 2 a 5 veces más alejados del

eje imaginario que los valores propios del sistema controlado [11]. Esto con el fin de que el observador

converja al estado real más rápido que lo que converge al valor deseado. Dado que de no ser así el estado

estimado jamás alcanzaría al estado real.

18

Figura 3.5.1. Observador de estados implementado en un levitador magnético.

Al implementar un observador de estados como un estimador se tienen 2 limitaciones relevantes. La

primera es que el observador de estados estima sobre las variaciones del sistema y tendrá por salida las

variaciones de los estados estimados. Esto implica que se debe restar el punto de operación de la entrada

conocida y el estado medible, es decir se debe restar la corriente 𝑖𝑐𝑜𝑝 y la altura de operación 𝑥𝑏𝑜𝑝. Y

la salida del observador de estados se debe sumar el punto de operación. Sin embargo, como la salida

del observador en este caso es la velocidad, y en el punto de operación se desea que no haya movimiento,

pues no se debe agregar ningún valor a la salida del estimador.

Una segunda limitante es la diferencia en el transitorio de la velocidad estimada versus la velocidad real.

El sistema debe esperar a que el observador converja a la señal real, y así lograr una estimación confiable

cuando el sistema entra en estado estable.

3.6 Diseño de control por realimentación de estados

Tomando el modelo lineal, y sabiendo que el sistema es completamente controlable y observable se

procede a diseñar un control por realimentación de estados. Este tipo de controladores consiste en

modificar los valores de 𝐾 para que el resultado de la matriz 𝐴′ = 𝐴 + 𝐵𝐾 tenga la dinámica deseada

[10]. La dinámica deseada estará definida por el polinomio característico:

𝜆2 + 2𝜉𝜔𝜆 + 𝜔2 = 0 Ec 3.6.1

En donde, 𝜉 = 0.69 y 𝜔 = 57.96 𝑟𝑎𝑑/𝑠, los cuales fueron encontrados a partir de un tiempo de

establecimiento 𝑇𝑠 = 0.1𝑠 y un 𝑃𝑜 = 5%. Es deseado ubicar los valores propios de la matriz 𝐴′ en 𝜆1 =−40 + 41.95𝑗 y 𝜆2 = −40 − 41.95𝑗.

Con el fin de demostrar que la dinámica del circuito LR se pude despreciar se muestra la siguiente tabla:

19

Punto de

operación

Valores propios lazo

abierto

Polos agregados por el control de

corriente Polos en lazo cerrado

0,1 mm 442,94 -442,94 -662,05 -36,60 - 135,03i -36,60 - 135,03i -64,82

1 mm 140,07 -140,07 -357,32 - 315,99i -357,32 + 315,99i -42,72- 43,21i -42,72 + 43,21i

2 mm 99,04 -99,04 -358,60 - 332,48i -358,60 + 332,48i -41,44 - 42,37i -41,44 + 42,37i

3 mm 88,87 -88,87 -358,00 - 337,77i -358,00 + 337,77i -41,04 - 42,10i -41,04 + 42,10i

4 mm 70,03 -70,03 -359,19 - 340,37i -359,19 + 340,37i -40,85 - 41,97i -40,85 + 41,97i

5 mm 62,64 -62,64 -359,30 - 341,93i -359,30 + 341,93i -40,73 - 41,89i -40,73 + 41,89i

6 mm 57,18 -57,18 -359,38 - 342,96i -359,38 + 342,96i -40,66 - 41,84i -40,66 + 41,84i

7 mm 52,94 -52,94 -359,43 - 343,70i -359,43 + 343,70i -40,60 - 41,80i -40,60 + 41,80i

8 mm 49,52 -49,52 -359,47 - 344,25i -359,47 + 344,25i -40,56 - 41,78i -40,56 + 41,78i

9 mm 46,69 -46,69 -359,51 - 344,67i -359,51 - 344,67i -40,53 - 41,76i -40,53 + 41,76i

10 mm 44,29 -44,29 -359,53 - 345,01i -359,53 + 345,01i -40,51 - 41,74i -40,51 + 41,74i

11 mm 42,23 -42,23 -359,55 - 345,29i -359,55 + 345,29i -40,49 - 41,73i -40,49 + 41,73i

12 mm 40,43 -40,43 -359,57 - 345,53i -359,57 + 345,53i -40,47 - 41,71i -40,47 + 41,71i

13 mm 38,85 -38,85 -359,58 - 345,72i -359,58 + 345,72i -40,45 - 41,70i -40,45 + 41,70i

14 mm 37,43 -37,43 -359,60 - 345,90i -359,60 + 345,90i -40,44- 41,69i -40,44 + 41,69i

Tabla 3.2. Comparación de polos en lazo abierto vs polos en lazo cerrado.

Al agregar una realimentación de ganancias 𝐾 se obtiene que la dinámica del levitador pasará de un

sistema inestable definida por los valores propios en alzo abierto a ser gobernada por los polos en lazo

cerrado. Además, los polos agregados por el control de corriente son alrededor de 8 veces más grandes

que los polos de la parte mecánica, es decir los polos del control de corriente son polos remantes respecto

de los polos que describen la dinámica deseada.

3.7 Simulación control realimentación de estados

Figura 3.7.1. Diagrama de bloques realimentación de estados.

Bajo el anterior esquema de control se obtiene por salida las siguientes curvas para distintos puntos de

operación. Las curvas contenidas en la Figura 3.7.2 exponen el cambio del comportamiento del sistema

debido a los errores del modelo lineal respecto del modelo no lineal para distintos puntos de operación.

Esta se hace más evidente sobre la curva obtenida al linealizar sobre 𝑥𝑏𝑜𝑝 = 0.001𝑚, esta curva

presenta un sobre pico apreciable a diferencia de las demás curvas. Esto es coherente con lo visto en las

figuras Figura 2.4.1 y Figura 2.4.2, de estas se obtuvo que el comportamiento del sistema sería más

parecido a lo deseado entre mayor fuera el punto de operación, lo cual también se sustenta de lo visto

en la Figura 3.7.2

20

Figura 3.7.2. Simulación realimentación de estados.

Otro comportamiento que se aprecia en la Figura 3.7.2Figura 3.7.2 es el gran error en estado estable

que presentan las curvas de respuesta del sistema. Cada curva debería llegar a seguir el valor de la

referencia. Sin embargo, el esquema de la Figura 3.7.1Figura 3.7.1 es realizado para sistemas tipos

regulatorio, es decir está diseñado para mantener un valor en la salida de la planta. La respuesta a entrada

0 en simulación del control por realimentación de estados a la planta de levitación magnética mantiene

el valor del punto de operación, sin embargo, agregando una entrada el sistema no es capaz de tener un

error en estado estable aceptable por lo que se propone el siguiente esquema de seguimiento de

trayectorias.

Figura 3.7.3. Realimentación de estados con corrección en estado estable para el seguimiento de una

referencia.

Para el cálculo de la función de corrección se itero el valor del factor de corrección hasta encontrar un

error en estado estable nulo. Para cada punto de operación se obtuvo un factor de corrección como se

muestra en la siguiente tabla

21

Punto de

operación

Factor de

corrección

1 mm 0,1765 A/m

2 mm 0,3472 A/m

3 mm 0,5180 A/m

4 mm 0,6887 A/m

5 mm 0,8595 A/m

6 mm 1,0302 A/m

7 mm 1,2010 A/m

8 mm 1,3717 A/m

9 mm 1,5425 A/m

10 mm 1,7132 A/m

11 mm 1,8840 A/m

12 mm 2,0547 A/m

13 mm 2,2255 A/m

Tabla 3.3. Valor del factor de corrección para cada punto de operación.

De los anteriores datos se realiza una regresión lineal y esta será la función de corrección, la cual es:

𝐹𝑐 = 170.75𝑥𝑏𝑜𝑝 − 0.0057 Ec 3.7.1

Con esto se logra corregir en estado estable, implementando este bloque se obtiene las siguientes

respuestas.

Figura 3.7.4. Simulación del control por realimentación de estados con corrección en estado estable

para el seguimiento de una referencia para 𝑋𝑏𝑜𝑝 < 0.007𝑚

22

Figura 3.7.5. Simulación del control por realimentación de estados con corrección en estado estable

para el seguimiento de una referencia para 𝑋𝑏𝑜𝑝 > 0.007𝑚

Parámetros de desempeño control realimentación de estados sobre el modelo no lineal

Punto de operación Tiempo de establecimiento Porcentaje de sobre pico

0.1 𝑚𝑚 1.234 𝑠 128.54%

1 𝑚𝑚 0.166 𝑠 5.415% 2 𝑚𝑚 0.090 𝑠 1.26% 3 𝑚𝑚 0.095 𝑠 0.280 % 4 𝑚𝑚 0.095 𝑠 0.276 % 5 𝑚𝑚 0.095 𝑠 0.123 % 6 𝑚𝑚 0.095 𝑠 0.971%

7 𝑚𝑚 0. 095 𝑠 0.983%

8 𝑚𝑚 0.095 𝑠 0.981 %

9 𝑚𝑚 0.095 𝑠 0.967%

10 𝑚𝑚 0.096 𝑠 0.984%

11 𝑚𝑚 0.183 𝑠 4.991%

12 𝑚𝑚 0.213 𝑠 6.012%

13 𝑚𝑚 0.033 s 0%

Tabla 3.4. Parámetros de desempeño a lo largo de los puntos de operación realimentación de estados.

Se muestra el resultado ante una entrada paso y sobre una linealización en el punto de operación 𝑥𝑏𝑜𝑝 =

0.1𝑚𝑚 con el fin de evidenciar el cambio de los parámetros de desempeño. Entre más pequeño sea el

valor sobre el cual se linealiza, es más pequeño el rango en el que el modelo lineal se parece al modelo

no lineal, lo que causa variaciones considerables en los parámetros de desempeño como se puede

apreciar en la Figura 2.4.1 .Sin embargo, en la Figura 3.7.5 se muestran cambios en las respuestas del

sistema para valores de operación altos, la variación de los parámetros de desempeño se hace visible en

las curvas 𝑥𝑏𝑜𝑝 = 0.009 y 𝑥𝑏𝑜𝑝 = 0.0011. Esto es causado por agregar el bloque de corrección de

estado estable. Al multiplicar el factor de corrección de estado estable por la ganancia 𝐾𝑓 se obtiene en

el lugar geométrico de las raíces que los polos mecánicos del sistema están siendo llevados hacia el eje

imaginario, lo que agrega oscilaciones, y por ende variación de los parámetros de desempeño.

23

3.8 Acción integral

La manera más común de volver un control por realimentación de estado en un sistema tipo servo es

añadiendo una acción integral que disminuya el error en estado estable. Sin embargo, la acción integral

no puede ser aplicada en todos los casos. Al aplicar una acción integral sobre el levitador magnético

cuando está siendo controlada por realimentación de estados se observa que la acción integral

inestabiliza el sistema como se puede apreciar en las siguientes figuras:

Figura 3.8.1. Lugar geométrico de las raíces sin acción integral.

Figura 3.8.2. Lugar geométrico de las raíces con acción integral

La ganancia de la acción integral lleva a los polos de la parte mecánica al semiplano derecho. Es decir

los polos complejos conjugados de la Figura 3.8.2 de menor parte real, pasan a ser los polos complejos

conjugados que están en el semiplano derecho de la Figura 3.8.2.

24

Esto puede ser solucionado a partir de rediseñar el polo que normalmente se coloca en 𝑠 = 0 para la

acción integral. Sin embargo, para este trabajo de grado no se realiza dado que al corregir el error en

estado estable como se realiza en la sección 4.7 es suficiente para tener una respuesta con los parámetros

de desempeño deseados.

3.9 Control Proporcional, Integral, Derivativo

Se propone la siguiente estrategia de control:

Figura 3.9.1. Control PID, con acción feedforward y consideración de la velocidad. Adaptado de [6].

El anterior diagrama en bloques de la Figura 3.9.1 muestra un control para la parte mecánica del levitador

magnético. En este se desprecia la dinámica del control de corriente de la planta de levitación magnética,

dado que los polos deseados para la parte mecánica son menores que los polos del control de corriente

como se muestra. El control está compuesto por 4 ganancias: la ganancia 𝐾𝑝, la cual representa la acción

proporcional, encargada de atenuar las oscilaciones y corregir los sobre picos; la ganancia 𝐾𝑖, la cual

representa la acción integral, diseñada con el fin de llevar el error en estado estacionario a cero; la

ganancia 𝐾𝑑 [12], la cual representa la acción derivativa, diseñada para corregir los cambios rápidos en

el transitorio; la ganancia 𝐾𝑣, diseñada para tener en cuenta el comportamiento de la velocidad de la

esfera [6]. Las anteriores ganancias están diseñadas para las variaciones de corriente 𝛿𝑖𝑐 y de altura 𝛿𝑥𝑏,

para generar el valor completo de 𝐼𝑐 y 𝑋𝑏 se aplica una acción feedforward. Esta acción está dada por

la ganancia 𝐾𝑓, la cual es el factor de conversión de la referencia a la acción de control. En este caso se

desea pasar de la altura deseada de la planta a la corriente que debería circular en esta bobina para tal

altura.

La ganancia 𝐾𝑓 es obtenida de la ecuación Ec 2.3.2. La cual se encuentra al hacer la aceleración 0 y

despeja la relación 𝑖𝑐𝑜𝑝/𝑥𝑏𝑜𝑝

𝐾𝑓 =𝑖𝑐𝑜𝑝

𝑥𝑏𝑜𝑝= √

2 𝑀𝑏 𝑔

𝐾𝑚= 142.93 [

𝐴

𝑚]

Ec 3.9.1

Teniendo en cuenta la dinámica de 𝐻(𝑠) modelada mediante la ecuación Ec 2.4.10 se obtiene la función

de transferencia del diagrama de bloques anterior:

25

𝑋𝑏

𝑟𝑒𝑓= −

𝑠2𝐾𝑑 + 𝑠 (𝐾𝑝 + 𝐾𝑓) + 𝐾𝑖

𝑠3 + 𝑠2 2𝑔𝑖𝑐𝑜𝑝

(𝐾𝑣 − 𝐾𝑑) − 𝑠 (2𝑔

𝑥𝑏𝑜𝑝+

2𝑔 𝐾𝑝𝑖𝑐𝑜𝑝

) − 𝐾𝑖2𝑔𝑖𝑐𝑜𝑝

Ec 3.9.2

La dinámica deseada es asignada al siguiente polinomio característico:

𝑠3 + 𝑠2(2 𝜔𝑛 𝜉 + 𝑝𝑜) + 𝑠(𝜔𝑛2 + 2 𝜔𝑛 𝜉 𝑝𝑜) + 𝜔𝑛

2 𝑝𝑜 = 0

Ec 3.9.3

En donde 𝑝𝑜 es un polo agregado para poder igualar el denominador de la función de transferencia de

el diagrama en bloques mostrado en la Figura 3.9.1¡Error! No se encuentra el origen de la referencia.

Igualando el polinomio característico al denominador de la Ec 3.9.2 se obtiene:

(𝐾𝑣 − 𝐾𝑑) =𝑖𝑐𝑜𝑝

2𝑔 (2 𝜔𝑛 𝜉 + 𝑝𝑜) Ec 3.9.4

𝐾𝑝 = −𝑖𝑐𝑜𝑝

2𝑔(𝜔𝑛

2 + 2 𝜔𝑛 𝜉 𝑝𝑜) − 𝑖𝑐𝑜𝑝

𝑥𝑏𝑜𝑝

Ec 3.9.5

Ec 3.9.6

𝐾𝑖 = −𝜔𝑛2 𝑝𝑜

𝑖𝑐𝑜𝑝

2𝑔 Ec 3.9.7

Al agregar los saturadores para simular las capacidades máximas de la planta se encuentra que los

parámetros de desempeño no se cumplen para todo el rango de 𝑋𝑏. Entre más cerca este la esfera al

núcleo de la bobina se logra controlar la planta con el tiempo y porcentaje de sobre pico deseados. Para

estos puntos no es necesario agregar una acción derivativa. Al aumentar el punto de operación entre los

valores 𝑥𝑏𝑜𝑝 = 0.1𝑚𝑚 y 𝑥𝑏𝑜𝑝 = 4𝑚𝑚 se aprecia que el transitorio del sistema va incrementando,

hasta que el sistema no puede estabilizar este comportamiento por el máximo valor permitido en voltaje

de la planta 𝑉𝑚𝑎𝑥 = ±24𝑉. Esto es evidenciado en la Figura 3.9.2 en esta se observa que a medida que

el punto de operación crece el transitorio del sistema crece, haciéndose más grande cuando 𝑥𝑏𝑜𝑝 =

4𝑚𝑚, después de este punto de polarización se exige una entrada en voltaje muy superior al rango

máximo de esta. Y por tal razón el sistema no es posible controlarlo. Los porcentajes de sobre pico y

tiempo de establecimiento están alrededor de 20% y 35%; 130𝑚𝑠 y 150𝑚𝑠 respectivamente. Estos

parámetros de desempeño son obtenidos por que la planta no puede responder a la entrada que exige la

acción de control. Para reducir los porcentajes de sobre pico, se puede agregar una pendiente a la entrada

paso.

26

Figura 3.9.2. Simulación control PID para 0 < 𝑋𝑏𝑜𝑝 ≤ 0.014

La acción derivativa afecta directamente los transitorios del sistema, es decir puede atenuar los sobre

picos, y reducir los tiempos de establecimiento hasta donde se lo permitan los saturadores. En esta

ocasión se encuentra que los mejores parámetros de desempeño para los puntos de operación de 𝑥𝑏𝑜𝑝 =

0.1𝑚𝑚 hasta 𝑥𝑏𝑜𝑝 = 4𝑚𝑚 es cuando 𝐾𝑑 = 0. Y para llegar a controlar la planta en valores superiores

𝐾𝑑 debe ser algún valor, correspondiendo a la igualdad de la ecuación Ec 3.9.5. Al realizar varias

iteraciones sobre distintos puntos de operación se concluyó que el mejor valor para lograr controlar en

puntos de operación mayor es 𝐾𝑑 = −11. Con el fin de evidenciarlo se muestran tres respuestas en la

Figura 3.9.3. Las capacidades máximas dejan actuar a la acción derivativa hasta 𝑥𝑏𝑜𝑝 = 12𝑚𝑚, después

de este valor de operación la planta no puede responder a los sobre picos de la planta no logrando

controlar la planta.

27

Figura 3.9.3. Simulación para 4 < 𝑋𝑏𝑜𝑝 ≤ 12𝑚𝑚

3.10 Estimación

Dado que esta sección es una adaptación del control PI sobre la parte mecánica del levitador encontrado

en [6] se emplea el filtro con que se aproxima la derivada para obtener la velocidad de la esfera. Este

filtro está diseñado bajo la siguiente función de transferencia:

𝐹(𝑠) =𝜔𝑐𝑓2 𝑠

𝑠2 + 2 휁 𝜔𝑐𝑓 𝑠 + 𝜔𝑐𝑓2 Ec 3.10.1

La función de transferencia anterior se aproxima a una derivada desde el cero ubicado en 0 hasta

encontrarse con el primer polo, después del segundo polo esta función de transferencia se comporta

como un filtro ya que atenúa todas las componentes de frecuencia superiores. Siguiendo el estándar de

facto [6] las constantes del filtro anterior son 𝑤𝑐𝑓 = 2𝜋75 y 𝑧𝑒𝑡𝑎 = 0.9. Con esto se tiene que los polos

del sistema están ubicados en −424.115 ± 205.408𝑗. Es decir, la función de transferencia se

comportará como una derivada desde 0Hz hasta 67.5 Hz, después de 67.5Hz se atenuarán todas las

componentes de frecuencia provenientes del sensor de luz, es decir de la señal de altura de la planta. [6]

4 CONTROL NO LINEAL

4.1 Sistemas en modo deslizante

Los sistemas en modo deslizante se caracterizan por tener una dinámica en el cual interactúan variables

continuas y discretas. Los distintos valores que pueden tomar las variables discretas dividirán el espacio

de estados en regiones de operación. Cada región tiene una vecindad en la que habita en el diagrama de

fase, el contorno que divide cada vecindad se define como superficie de conmutación. Los sistemas en

28

modo deslizante son aquellos en los que la dinámica de cada región de operación lleva al sistema hacia

la superficie de conmutación como se puede observar en la siguiente figura. [13]

Figura 4.1.1. Modo deslizante. Tomado de [13]

4.2 Función de conmutación

Un sistema continuo que tenga por entrada una acción de control conmutada puede verse como un

sistema en modo deslizante [14]. Para realizar este tipo de controlador se debe diseñar el bloque que

generará la acción de control adecuada para cumplir con la estabilidad y criterios de desempeño

deseados, es decir definir la función de conmutación, a la cual se llega con el siguiente procedimiento:

Para un sistema continuo se define el error como:

�̃� = 𝑥 − 𝑥𝑑

Ec 4.2.1

En donde 𝑥 es la medida de la variable a controlar y 𝑥𝑑 es el valor deseado.

Se desea que el error sea �̃� = 0 después de un tiempo finito. Además, el error debe converger a 0

asintóticamente y de manera rápida. La función que describe estas dos características es:

�̃�(𝑡) = �̃�(𝑡0) 𝑒−𝑐(𝑡−𝑡0)

Ec 4.2.2

Siendo �̃� el error, 𝑐 una constante positiva y 𝑡0 el tiempo inicial.

Derivando el error se encuentra:

�̇̃�(𝑡) = −𝑐 �̃�(𝑡0) 𝑒−𝑐(𝑡−𝑡0) Ec 4.2.3

Es decir,

�̇̃� = −𝑐�̃� → �̇̃� + 𝑐�̃� = 0

Ec 4.2.4

29

Figura 4.2.1. Superficie de conmutación 𝑠 = 0, evidenciando el problema de conmutacion. Tomado de

[15].

Se define entonces la superficie de conmutación como 𝑠 = �̇̃� + 𝑐�̃�, y se desea que el sistema a controlar

habite en la superficie 𝑠 = 0, como se puede observar en la Figura 4.2.1. Además, se puede establecer

la dinámica deseada para controlar un sistema, sabiendo que el tiempo de establecimiento se relaciona

como sigue:

𝑐 =5

𝑡𝑠

Ec 4.2.5

Sin embargo, 𝑐 está restringido a ciertos valores con el fin de no modificar el diagrama de fase observado

en la Figura 2.1.1, para esto 𝑐 < 𝑐0 . Este diagrama de fase es compuesto por dos sistemas inestables,

los cuales son combinados y empleados para llevar el sistema a la superficie de conmutación.

Figura 4.2.2. Diagrama de fase para un sistema de segundo orden controlado en modo deslizante.

Para relacionar la dinámica deseada a un sistema partimos de la siguiente expresión

𝑠 = (�̇� − �̇�𝑑) − 𝑐�̃� Ec 4.2.6

De la cual se despeja �̇� y se deriva, para después remplazar sobre el modelo de la planta de levitación

magnética:

�̇� = 𝑠 + �̇�𝑟 Ec 4.2.7

30

�̈� = �̇� + �̈�𝑟 Ec 4.2.8

En donde �̇�𝑟 = �̇�𝑑 − 𝑐�̃�, denominado como tasa de variación deseada.

Ahora remplazando sobre el modelo de la planta se obtiene.

Para controlar el anterior sistema se sigue el criterio de estabilidad de Lyapunov y se toma este para

diseñar la acción de control a través de s. Se elige la función para el criterio de Lyapunov:

𝐿 =1

2𝑠2

Ec 4.2.9

La cual cumple con las siguientes condiciones necesarias para definir estabilidad según el criterio de

Lyapunov [15]:

Tomando la derivada de 𝐿

�̇� = 𝑠�̇� Ec 4.2.10

Y tomando �̇� del modelo de la planta relacionado a la dinámica de interés:

�̇� = 𝑠 𝑢(𝑡) − 𝑠 H(𝑡) Ec 4.2.11

Siendo 𝑢(𝑡) =−𝐾𝑚 𝑖(𝑡)2

2 𝑀𝑏 𝑥(𝑡)2 y H(𝑡) = �̈�𝑟 − 𝑔

Según el criterio de estabilidad de Lyapunov se de cumplir que

𝑠 𝑢(𝑡) − 𝑠 H(𝑡) < 0

Ec 4.2.12

Considerando el peor caso, es decir cuando el segundo término es negativo y cancela el menos de la

inecuación, se obtiene:

𝑠 𝑢(𝑡) − 𝑠 H(𝑡) ≤ 𝑠 𝑢(𝑡) + |𝑠| |H(𝑡)| < 0

Ec 4.2.13

Dividiendo entre s y tomando la cota superior de |H(𝑡)| = 𝐾𝑑

𝑢(𝑡) − H(𝑡) ≤ 𝑢(𝑡) +|𝑠|

𝑠𝐾𝑑 < 0

Ec 4.2.14

La expresión |𝑠|

𝑠 es definida por la función

𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑠) = { 1 si 𝑠 > 0−1 si 𝑠 < 0

Ec 4.2.15

Con lo anterior podemos establecer la entrada que cumple con el criterio de estabilidad de Lyapunov:

𝑢(𝑡) = −𝐾𝑑 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑠)

Ec 4.16

Siempre y cuando 𝐾𝑑 < 𝐾𝑜, �̇� < 0 ∀ 𝑠 ≠ 0

Ahora para saber cuánto se demora el sistema en establecerse en el modo deslizante se retoma la

entrada como 𝑢(𝑡) =|𝑠|

𝑠.

𝑠�̇� ≤ −𝐾𝑑|𝑠| + 𝐾𝑜|𝑠|

Ec 4.17

Agrupando y sabiendo que |𝑠|

𝑠=

𝑠

|𝑠| se llega a que

|𝑠|�̇�

𝑠≤ 𝐾𝑜 − 𝐾𝑑

Ec 4.18

31

Multiplicando a ambos lados de la inecuación por el diferencial de tiempo y aplicando la regla de la

cadena:

𝑑|𝑠|

𝑑𝑠

𝑑𝑠

𝑑𝑡≤ (𝐾𝑜 − 𝐾𝑑)𝑑𝑡

Ec 4.19

Ahora integrando a cada lado de la inecuación se obtiene

|𝑠| ≤ (𝐾𝑜 − 𝐾𝑑)𝑡 + 𝐶𝑜

Ec 4.20

Para hallar la constante 𝐶𝑜 se evalúa en el 𝑡 = 0.

|𝑠𝑜| = 𝐶𝑜 Ec 4.21

La anterior igualdad es posible dado que 𝑠𝑜 y 𝐶𝑜 son constantes.

Y para la siguiente igualdad, |𝑠𝑜| esta agregando lo que le hace falta a (𝐾𝑜 − 𝐾𝑑)𝑡 para hacer |𝑠| variable de holgura.

|𝑠| = (𝐾𝑜 − 𝐾𝑑)𝑡 + |𝑠𝑜|

Ec 4.22

Entonces el tiempo en que se demora el modo deslizante en converger es

𝑡 =|𝑠𝑜|

−(𝐾𝑜 − 𝐾𝑑)

Ec 4.23

Figura 4.2.3. Tiempo de convergencia.

4.3 Chattering

Para lograr que un sistema en modo deslizante habite sobre la superficie de conmutación es necesario

que a la frecuencia de conmutación sea infinita. En la práctica ningún actuador puede responder a

frecuencias infinitas, lo que ocasionará oscilaciones sobre la curva de conmutación, este efecto es un

problema que se denomina como “chattering” mostrado en la Figura 4.2.1. Además, de producirse por

frecuencia finitas, también es causado por los actuadores que traen inherentemente retardos.

Este problema tiene consecuencias no deseables. Las consecuencias más relevantes son la imprecisión

del sistema, el desgaste de los actuadores, y la perdida energética en circuitos de potencia.

Específicamente hablando la esfera no lograr un punto de control preciso afectando directamente el

objetivo de un control sobre el levitador magnético para lograr un posicionador; en este afortunadamente

no hay desgaste en partes mecánicas, debido a que la parte mecánica del levitador magnético no cuenta

con fricción de partes rígidas. Las oscilaciones lograran perdidas por calentamiento considerables, ya

que el levitador maneja corrientes de hasta 3 A para poder levitar la esfera.

32

4.4 Control en modo deslizante

Se propone el siguiente esquema de control:

Figura 4.4.1. Control en modo deslizante función signo.

Sin embargo, el diagrama de bloques mostrado en la Figura 4.4.1 presenta dos problemas, el primero es

el problema del chattering, el segundo es la obtención del estado de la velocidad. Para este último se

emplea un filtro pasa altos para aproximar una derivada y con esta obtener la velocidad de la esfera a

través de la altura.

Para disminuir los afectos de chattering se aproxima la función signo a la función vista en la Figura

4.4.2. Esta aproximación busca suavizar la discontinuidad de la acción de control en 𝑠 = 0. Cabe

destacar que la aproximación será más valida cuanto más pequeño sea el valor de 𝛿. Además, esta

función se comporta como un control lineal para el rango −𝛿 < 𝑠 < 𝛿, específicamente hablando un

control por realimentación de estados.

Para construir esta aproximación se emplea la función saturación y se redefine la superficie como:

𝑠𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥 =�̇̃� + 𝑐�̃�

휀

Ec 4.4.1

El valor de la pendiente 휀 se escoge de tal manera que haga máximo el valor de 𝛿 sin afectar los

parámetros de desempeño deseados.

Figura 4.4.2. Aproximación de la función singo.

33

La nueva función de conmutación que definirla la ley de control por modos deslizantes será:

𝑢 = −𝐾𝑑 𝑠𝑎𝑡(𝑠𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥)

En donde 𝐾𝑑 es el valor de la cota máxima de la entrada, a la planta. Es decir, para un control sobre la

entrada de corriente 𝐾𝑑 = 3𝐴, o si se define el voltaje como entrada a la planta el valor de 𝐾𝑑 será igual

a 24 𝑉. Tomado de los rangos máximos permitidos para el levitador magnético.

De ser implementado un control por modo deslizante con una función de conmutación definida con la

función signo, la acción de control 𝑢 será una señal que se mantiene conmutando a lo largo del tiempo.

Pero al ser implementado el control por modo deslizante con la función de saturación el sistema dejara

de conmutar para valores que se encuentren en el rango −𝛿 < 𝑠 < 𝛿, haciendo nulas las oscilaciones

conocidas como chattering.

4.5 Estimación

Para la estimación de la velocidad se propone implementar un filtro que aproxime la derivada, y con

este y la altura obtener la velocidad de la esfera. Conociendo los polos del sistema, se busca que los

polos del filtro a diseñar sean remanentes a los conocidos en la Tabla 3.2. Esto con el fin de no afectar

la estabilidad del sistema en la región −𝛿 < 𝑠 < 𝛿. Se propone el siguiente filtro:

𝐺(𝑠) =𝑛2𝑠

(𝑠 + 𝑛)^2 Ec 4.5.1

El filtro tiene dos comportamientos, antes y después de los polos dobles. Antes se de 𝑠 = 𝑛 el filtro se

comporta como una derivada, aproximando la velocidad de la esfera. Después de 𝑠 = 𝑛 el filtro atenúa

las señales.

4.6 Diseño del control por modos deslizantes

Con las dos consideraciones anteriores el diagrama propuesto es el siguiente:

Figura 4.6.1. Control en modo deslizante con la aproximación de la función signo.

Para el anterior diagrama se elige 𝑐 según la ecuación Ec 3.2.5, en donde se obtiene que 𝑐 = 50 con el

fin de obtener un tiempo de establecimiento 𝑡𝑠 = 0.1 𝑠𝑒𝑔. Pero dado que con un valor de 𝑐 = 50 no se

cumple con 𝑐 < 𝑐0 no es implementarle, ni realizable sobre el levitador magnético presentado en el

capítulo 3 un control por modos deslizantes para un tiempo de establecimiento de 𝑡𝑠 = 0.1 𝑠𝑒𝑔.

En la siguiente imagen se muestra la respuesta del sistema para tres valores de c.

34

Figura 4.6.2. Control en modo deslizante ante variaciones de c.

Con un valor de 𝑐 = 20, se obtiene una respuesta en la que se alcanzan a apreciar efectos considerados

como ‘chatering’, es decir variaciones de alta frecuencia sobre la altura de la esfera. Se observa que en

simulación un valor para 𝑐 = 10 brinda una respuesta aceptable. Por lo anterior se sigue el diseño de

este controlador con un tiempo de establecimiento de 𝑡𝑠 = 0.5 𝑠.

A la par con la búsqueda para el mejor valor de 𝑐, se busca el mejor valor para 휀. El sistema ante

variaciones de este valor no es tan susceptible, a pesar de esto una mala elección de este valor, el cual

provocará un aumento del error en estado estable, además de variar el tiempo de establecimiento como

se puede ver en la Figura 4.6.3.

Figura 4.6.3.Control en modo deslizante ante variaciones en 휀

35

Además de la salida se debe prestar atención a la acción de control; es decir, a la corriente. Dado que

para controlar el levitado magnético el control por modos deslizantes en el transitorio conmuta a

frecuencias grandes en comparación a lo que puede soportar la planta es necesario tener en cuenta la

dinámica de corriente, en vez de ignorarla y controlarla por un control PI, como se ha venido trabajando

hasta ahora.

Figura 4.6.4. Acción de control vs corriente Ic.

A pesar de que la acción de control no es una gráfica que aporte una información clara de esta señal, lo

que se busca mostrar que la corriente no es capaz de seguir a la acción de control. Dado este problema

se decide que la dinámica de la corriente sea contemplada por el control por modos deslizantes.

Entonces el diagrama de bloques queda modificado como:

Figura 4.6.5. Control en modo deslizante considerando la corriente 𝐼𝑐.

36

El principal argumento del porqué se procede a contemplar la corriente en el control por modos

deslizantes, es porque no se está cumpliendo con disminuir el efecto de chattering. A pesar de haber

realizado la aproximación de la señal signo a una función de saturación, el controlador no es capaz de

quedarse en un valor en el estado estable.

Se decide controlar el voltaje, dado que esta variable no tiene asignado ninguna dinámica que demore

su respuesta. Esta es una variable independiente, mientras que la variable dependiente 𝐼𝑐 tiene una

dinámica asignada la cual es tenida en cuenta por el control en modos deslizantes.

El valor de 𝑐1 se mantiene, pero es necesario ajustar el valor de 휀 y 𝑐2. Dado que ahora se busca realizar

el control sobre el voltaje de la bobina 𝑉𝑐, se cambian los límites del sataurador por +/-24 𝑉. El valor

de 휀 pasa a ser 11𝑒 − 4 y se escoge 𝑐2 = 0.01 . Con estos valores se tiene una salida de la siguiente

forma:

Figura 4.6.6. Control en modo deslizante ante una entrada paso de 9mm.

37

La entrada paso de la anterior figura actúa en 1 segundo, pero el sistema debe esperar a que el estimador

converja para que siga la referencia como se muestra en la siguiente Figura 4.6.7.

Figura 4.6.7. Velocidad estimada versus velocidad modelada

En la Figura 4.6.7 se observa que el transitorio de la velocidad estimada dura más tiempo que el

transitorio de la velocidad del modelo. Y es hasta alrededor 6 segundos que l estado converge a la

velocidad de modelo y aquí es cuando el sistema responde ante una referencia tipo paso.

Por último, se muestra la acción de control que evidencia que al considerar la corriente se logrará un

estado donde esta señal deja de conmutar y mantiene un valor fijo, dando solución al chattering.

38

Figura 4.6.8. Acción de control sobre la entrada Vc.

La Figura 4.6.8 presenta un problema por el cual no es posible llevar el control en modo deslizante a

controlar la planta de levitación magnética. Esta señal varia con una frecuencia mayor, que la

actualización de la tarjeta USB Q2 encargada de digitalizar las medidas de corriente y altura; y convertir

a análogo la acción de control, es decir la entrada a la planta. Por lo anterior la planta no podrá seguir la

acción de control para cumplir con las exigencias de un controlador en modo deslizante.

5 Resultados experimentales

5.1 Realimentación de estados

Al implementar el control por realimentación de estados se realizaron las siguientes medidas. La primera

contemplando al sistema como un sistema regulatorio. Y la segunda contemplándolo como un sistema

tipo servo. Para implementarlos es necesario apagar la entrada mientras el control de corriente logra

llevar al sistema a la corriente de operación como se puede ver en el anexo 1. En este se implementa una

señal paso que apagará la entrada a la planta por 0.3 𝑠, suficiente para que la bobina se cargue en

corriente según el punto de operación.

39

Figura 5.1.1. Control por realimentación de estados tipo regulatorio.

Figura 5.1.2 Control por realimentación de estados tipo servo

40

Las señales vistas en la Figura 5.1.1 y la Figura 5.1.2 muestran un error estable cuando no hay entrada

o la entrada es cero, es la primer diferencia relevante respecto de las gráficas de simulación observadas

en la sección 3.7. En la Figura 5.1.1 se evidencian dos formas de onda distintas, las curvas ‘xbop=0.105’

y ‘xbop= 0.007’ son curvas que parten del soporte y son llevadas al punto de operación por el control

implementado. En cambio, las curvas ‘xbop=0.014’ y ‘xbop=0.0035’ son curvas que el controlador no

fue capaz de llevar al punto de operación, por lo que en un momento anterior a la adquisición de esta

curva se lleva manualmente a la esfera al punto de operación.

Una curva que debe ser analizada es la corriente de la bobina Ic, esta debe seguir la acción de control

para obtener un control con los parámetros deseados. Por ende, se toma la corriente de la bobina y la

acción de control cuando ‘xbop= 0.007’ para evidenciar que el control sobre el circuito LR está llevando

efectivamente a la variable 𝐼𝑐 al valor adecuado para controlar la altura de la esfera.

Figura 5.1.3. Referencia de corriente vs salida del circuito LR.

Como es de esperarse la corriente 𝐼𝑐 sigue a la acción de control 𝑢, se puede apreciar además que la

señal azul está siendo afectada por ruido. Además, para cambios rápidos y grandes en amplitud la

corriente de la bobina no logrará seguir la acción de control como se evidencia en el primer pico de u.

Para establecer el desempeño de este controlador es necesario definir gráficamente cual es el tiempo de

establecimiento y sobre pico, dado que las medidas obtenidas presentan variaciones cuando pasan el

transitorio, para visualizar el criterio con el que se obtendrá el valor del tiempo de establecimiento y

porcentaje de sobre pico se toma como ejemplo la curva ‘xbop= 0.007’ de la Figura 5.1.1, ya que esta

es como si estuviera respondiendo a una paso dada por 𝑥𝑏𝑜𝑝.

En la Figura 5.1.4 se establece una región 𝛿, mientras la señal este contenida en dicha región se dirá que

la señal está en estado estable. Y el promedio de la región será la referencia para establecer el porcentaje

de sobre pico. Y el tiempo de establecimiento se dará mientras la señal a evaluar este contenida por la

región definida por 𝛿

41

Figura 5.1.4. Criterios de desempeño

Bajo lo anterior se tiene la siguiente tabla que brindará la información correspondiente al desempeño

del control por realimentación de estado, comparando los datos de la Tabla 3.4

Punto de

operación

Error en

estado

estable

Parámetros de desempeño

experimentales

Error porcentual respecto de

los datos de la Tabla 3.4

Po Ts Error Po Error Ts

1 mm -- -- -- -- --

2 mm -- -- -- -- --

3 mm -- -- -- -- --

4 mm -- -- -- -- --

5 mm -- -- -- -- --

6 mm 0.0005 m 37.623% 0.153 s 97.419% 37.921%

7 mm 0.00051 m 38.59 % 0.110 s 97.452% 9.873%

8 mm 0.00052 m 37.9 % 0.146 s 97.448% 34.931%

9 mm 0.00032 m 37.27% 0.149 s 97.405% 36.238%

10 mm 0.0003 m 43.59% 0.213 s 97.742% 54.929%

11 mm 0.00017 m 53.49% 0.214 s 90.669% 14.486%

12 mm 0.00014 m 57.55% 0.209 s 89.553% 1.877%

13 mm 0.00011 m 61.72% 0.215 s -- --

14 mm -- -- -- -- --

Tabla 5.1. Error entre simulación y obtención práctica.

La Tabla 5.1 no establece ciertos valores, de 0.001 hasta 0.005 no es posible obtener un resultado para

comparar contra el valor de simulación. Esto se debe a que estos puntos son demasiado cerca del núcleo

y al estar fluctuando con una señal pulso de entrada la esfera queda en contacto con el núcleo, dado que

este se magnetiza y al entrar en contacto este impide que vuelva a levitar la esfera.

42

Por otro lado al tomar los resultados en 𝑥𝑏𝑜𝑝 = 0.014𝑚 se encuentra con que al asignar una señal

pulsatoria hará que la esfera se golpee contra el soporte, hasta que sale del eje de la bobina, impidiendo

ser levitada. Por lo tanto, no se puede establecer los valores para este punto de operación. Respecto del

error del punto de operación 𝑥𝑏𝑜𝑝 = 0.013 se tiene que este en simulación cae perfectamente a 0.014m,

sin embargo esto es debido por la cota que se coloca para tener en cuenta matemáticamente el soporte

sobre la planta.

Al observar las señales de la altura de la esfera se observa que cuando la esfera baja por la señal

pulsatoria tiene un porcentaje de sobre pico mayor que cuando sube siguiendo la señal pulsatoria. Como

se puede ilustrar en la siguiente

Figura 5.1.5 Diferencias entre overshoot y undershoot.

En la anterior grafica se evidencia de manera general las distintas curvas que se tuvieron en cuenta para

armar la Tabla 5.1. Dado que en la Tabla 3.4 se tomaron los datos del porcentaje de overshoot y no de

undershoot el error es así de grande como se muestra en la Tabla 5.1. El sobre pico de la Figura 5.1.5 se

debe a que cuando aumenta la altura, como se ve en la gráfica, la esfera está cayendo gracias a la

gravedad, y el controlador no es capaz de atenuar este pico, sin embargo el efecto de la gravedad también

altera el porcentaje de undershoot, disminuye este porcentaje.

5.2 Control PID

Para las pruebas de este control se cambió el diagrama en bloques, la ganancia Kv paso a ser la ganancia

derivativa y el filtro elaborado por QUANSER la aproximación de la derivada. Es decir, se elaboró un

PID sin acción de la velocidad, dado que las dos acciones actuando en conjunto producen sobre picos

mayores que los obtenidos en simulación impidiendo controlar el sistema. El cambio de 𝐾𝑣 a 𝐾𝑑 es

43

válido según la ecuación EC. 3.9.5, ya que ambas ganancias afectan el mismo coeficiente del polinomio

característico.

Figura 5.2.1. Control tipo regulatorio PID.

Se decide tomar 3 puntos de operación distintos para mostrar el comportamiento ante 3 diferentes casos.

Al igual que el controlador por realimentación de estados, no se logra mantener la esfera en un punto

menor a 4 𝑚𝑚. Debido a que el núcleo se magnetiza y la esfera entra en contacto con el núcleo sin

ninguna forma de vencer la fuerza de magnetización del núcleo para separarlos. Se observa que el control

PID cuenta no cuenta con error en estado estable. Y que al estar cercano a un punto de operación de

10.5 mm habrá una menor amplitud para las oscilaciones que presenta.

La gráfica de color azul muestra que hay un pequeño error de calibración de la planta, el punto de

polarización son 14mm sin embargo en sensor está midiendo que la esfera está en una altura superior a

14 mm, por lo que intenta subir la esfera, produciendo los picos sobre la curva azul, después deja que la

gravedad lo devuelva, pero por estar el soporte no se produce un sobre pico, queda en el soporte y se

repite durante todo el tiempo.

44

Figura 5.2.2. Control tipo servo.

Analizando la Figura 5.2.2 se observa que para valores de operación cercanos a la singularidad no es

posible identificar el seguimiento de la trayectoria por la amplitud de las oscilaciones. Además, se

confirma lo concluido en el capítulo 3, en donde el control por PID tiende a tener un sobre pico mayor

que el control por realimentación de estados.

Figura 5.2.3. Acción de control versus corriente Ic, PID.

45

Por ultimo en la Figura 5.2.3 se observa que la corriente está siguiendo la acción de control, pero existe

unos picos instantáneos que el control PID genera, a pesar de esto el control tiene una buena respuesta.

Al igual que en la gráfica de la Figura 5.1.3 se observa que la corriente está siendo alterada por alguna

fuente de ruido externo de alta frecuencia.

5.3 Seguimiento de trayectoria

A continuación, se presenta el resultado de agregar una referencia tipo seno de 5 rad/s. Se buscó la

mayor amplitud con la que el sistema seguía la trayectoria, en ambos casos fue una amplitud de 5 mm.

Sin embargo, el pico puede variar de amplitud, es decir el pico positivo del seno puede tomar valores

máximos que el pico negativo del seno. Ya que el rango de error no está centrado sobre el punto de

operación.

Figura 5.3.1. Seguimiento trayectoria control por realimentación de estados.

46

Figura 5.3.2. Seguimiento de trayectoria en un control PID.

6 CONCLUSIONES

En un primer acercamiento a un sistema no lineal es común pensar que es más sencillo abordar el

problema linealizando y siguiendo las distintas tareas presentadas en el capítulo 3. Pero puede llegar a

ser tedioso el contemplar la mayor cantidad de elementos para obtener unos parámetros de desempeño

deseados. El control en modo deslizante ofrece la ventaja de no depender del modelo y parámetros del

sistema al que se desea manipular, es decir ofrece dar solución al control de una planta o sistema sin

conocer su modelamiento. Solo conociendo los rangos o cotas máximas de un proceso es capaz de

brindar solución al seguimiento de una referencia.

A pesar de ser un controlador desarrollado para estructuras variantes en el tiempo y de tener un excelente

desempeño en simulación tiene un gran costo. La estructura a controlar debe ser capaz de seguir una

acción de control que conmuta a frecuencias muy altas. El desarrollo de sistemas que puedan conmutar

a frecuencias altas significa un costo económico mayor. En otras palabras, el control por modos

deslizantes hace más sencillo el seguimiento de una referencia, pero la estructura en la que se va a

trabajar debe solucionar el problema de conmutaciones a alta frecuencia.

Esta ventaja no es única de los controladores en modo deslizante, los controladores desarrollados para

estructuras variantes traen esta propiedad inherentemente. Por lo que se recomienda en un futuro trabajo

relacionado a la planta de levitación magnética realizar un control realizar un control variable de

parámetros lineales, ya que este trabajo de grado logro controlar el levitador magnético para distintos

puntos de operación controlado mediante realimentación de estados.

El control LPV que se recomienda también puede ser realizado sobre el controlador PID desarrollado

en el capítulo 4 y evidenciando su funcionamiento en el capítulo 5. Sin embargo, se aconseja trabajar

sobre el control por realimentación de estados, ya que este logro mejores parámetros de desempeño.

Pero antes de eso se debe solucionar el problema de error en estado estable, en este documento se logró

dar solución al error en estado estable mediante un factor de corrección, pero en la práctica aún está

presente el error en estado estable.

47

Para las dos técnicas de control lineal fue necesario adecuar primero la corriente que circula sobre la

bobina. Para disminuir el tiempo de establecimiento se utilizó un control de corriente a través de un

control PI, como es de esperarse, el tiempo de establecimiento se redujo, pero se agregó un sobre

impulso. Esta estrategia fue exitosa para los controladores lineales, pero fue el gran problema que

impidió la implementación del control en modos deslizantes. Para poder aplicar este control, es necesario

modificar la parte física de la planta, para que la corriente tenga una respuesta más rápida, esto muestra

lo dicho anteriormente, el control por modos deslizantes es un diseño sencillo en bloques que pasa el

problema a otra área, como el hardware como en el caso del levitador.

Adicionalmente se encuentra que se podría aplicar una ley de control lineal siempre y cuando se cumpla

con: �̈�𝑏 ≪ 𝑔, ya que si esto se garantiza se obtiene una relación lineal entre la corriente y la altura de la

planta en la parte mecánica del levitador, la relación lineal estaría definida por: 𝐼𝑐 = 𝑋𝑏√2 𝑀𝑏 𝑔

𝐾𝑚.

Por otro lado, se solucionó el problema de la estimación del estado de la velocidad mediante un filtro y

mediante un observador de Luenberger. Cada uno siendo el más adecuado según la técnica de control,

para el PID y el control en modos deslizantes se empleó un filtro para aproximar la derivada y así obtener

la derivada de la altura, es decir la velocidad. Para el control por realimentación de estado se empleó el

observador de Luenberger. Una solución general y apropiada para la estimación de la velocidad seria

emplear un filtro de Kalman ya que la planta es susceptible a ruido e interferencia de otras fuentes

lumínicas que alteran principalmente la medida de la altura, lo cual presenta el reto de actualizar

periódicamente los valores de las covarianzas para realizar la predicción del estado futuro en el filtro de

Kalman.

En resumen, se llevaron a la práctica dos controladores sobre la planta de levitación magnética. Para lo

anterior se obtuvo el estado no medible. Se diseñó y analizó el comportamiento de un control en modo

deslizante en simulación y a partir de esto se demostró que no es realizable un control de este tipo en

sistemas con retardos como el visto en la corriente. Se trató de implementar un control LPV, sin éxito

por lo que no se entra a profundizar en el presente documento, pero sí se deja el anexo para un futuro

trabajo. Finalmente, se establece que la técnica de control por realimentación de estados tiene un mejor

desempeño que la técnica de control PID.

7 ANEXOS

A continuación, se presentan los anexos empleados para el desarrollo de este trabajo de grado.

7.1 Diagrama de bloques PID Quanser, nombre del archivo: Bloq_PID_exp

7.2 Diagrama de bloques PID simulación, nombre del archivo: Bloq_PIDv1

7.3 Script PID, nombre del archivo: Script_PID

7.4 Diagrama de bloques realimentación de estados Quanser, nombre del archivo:

Bloq_Realimentacion_Exp

7.5 Diagrama de bloques realimentación de estados simulación, nombre del archivo:

Bloq_Realimentacion_Simu

7.6 Script Realimentación de estados, nombre del archivo: Script_realimentacion

48

7.7 Diagrama de bloques control por modo deslizante ideal, nombre del archivo:

Bloq_SMCv0

7.8 Diagrama de bloques control por modo deslizante aproximando a la función

saturación, nombre del archivo: Bloq_SMCv1

7.9 Diagrama de bloques control por modo deslizante considerando la dinámica de la

corriente, nombre del archivo: Bloq_SMCv2

7.10 Script del control por modos deslizantes, nombre del archivo: Script_SMC

7.11 Diagrama de bloques control LPV, nombre del archivo: LPV_Simu

7.12 Script control LPV, nombre del archivo LPV

7.13 Calibración del levitador magnético, nombre del archivo: q_cal_maglev

7.14 Manual del levitador magnetico, nombre del archivo: Magnetic Levitation –user

manueal

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