Posos y Barreras

8/16/2019 Posos y Barreras

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Pozos y Barreras en Mecánica Cuántica: Retraso

Temporal

Alfonso Isaac Jaimes Nájera

Cinvestav

10 de diciembre de 2012

Alfonso Isaac Jaimes Nájera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de 2012 1 / 39

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Introducción

Estudiaremos la dinámica de una part́ıcula en un proceso dedispersión unidimensional en Mecánica Cuántica.

Un proceso de dispersión es aquél en el cual una part́ıcula incide conuna cierta enerǵıa sobre un dispersor que se modela como unpotencial de corto alcance.

Para esto usamos la ecuación de Schrödinger, la cual gobierna ladinámica de las part́ıculas.

Ésta dicta la evolución temporal del estado |ψi de un sistema f́ısico.


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Introducción

Analizaremos la dinámica de una part́ıcula por medio de la función deonda hx |ψi = Ψ(x , t ),

Ecuación de Schrödinger → Ψ(x , t ) (1)Condiciones de frontera: continuidad de la función de onda y de suderivada. Que sea acotada.


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La ecuación de Schrödinger para este caso está dada por

− ~

2

2m

∂ 2

∂ x 2Ψ(x , t ) + V (x )Ψ(x , t ) = i ~ ∂

∂ t Ψ(x , t ) (2)

Proponemos llevar a cabo la separación de variables en la sig. forma

Ψ(x , t ) = ψ(x )f (t ) (3)

y sustituyendo en la ec. (2) obtenemos para f

i ~ ∂ f (t )

∂ t = E f (t ), (4)

cuya solución esf (t ) = e −iEt /~ . (5)


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Mientras que para ψ obtenemos la siguiente ecuación

−

~ 2

2m

∂ 2

∂ x 2ψ(x ) + V (x )ψ(x ) = E ψ(x ), (6)

que se conoce como la ecuación estacionaria de Schrödinger. Si el estadode un sistema está descrito por la función de onda

Ψ(x , t ) = ψ(x )e −iEt /~ , (7)

el estado es estacionario. En Mecánica Cuántica se deriva una ecuación decontinuidad

∂ρ(x , t )

∂ t +

∂ j (x , t )

∂ x = 0, (8)

donde

ρ(x , t ) = |Ψ(x , t )|2, j (x , t ) = i ~

2m

Ψ∂ Ψ∗

∂ x −Ψ∗∂ Ψ

∂ x

(9)


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Estudiaremos la dispersión de part́ıculas con potenciales rectangulares

Se siguen exigiendo las condiciones a la frontera


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El potencial escalón

Consideremos una part́ıcula incidiendo por la izquierda. Debemos resolver

−~

2

2m

d 2

dx 2ψ(x ) + V (x )ψ(x ) = E ψ(x ) (10)

Notemos que existen dos casos: E


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Caso E 0, (12)donde

k 2 = 2mE ~ 2

, q 2 = 2m~ 2

(V 0 − E ), (13)cuyas soluciones son

ψ(x ) =

Ae ikx + Be −ikx , x

≤0

Ce −qx + De qx , x > 0(14)

donde D = 0, la condición de frontera impide su existencia.


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Analicemos las soluciones un momento.

j e ikx =

~ k

m |A|

2

, j e −

ikx = −~ k

m |B |

2

, j e −qx

= 0. (15)

e ikx → E (16)e −ikx ← E (17)


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Apliquemos las condiciones de frontera

ψ(x )|x =0− = ψ(x )|x =0+ ⇒ A + B = C , (18)

d ψ(x )

dx

x =0−

= d ψ(x )

dx

x =0+

⇒ ikA− ikB = −qC . (19)

obtenemos

ψ = A(e ikx + ik + q

ik − q e −ikx ), x ≤ 0, (20)

ψ = A 2ik

ik − q e −qx , x > 0, (21)


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El flujo de part́ıculas resulta nulo, tanto en x ≤ 0 como en x > 0. Portanto todas las part́ıculas son reflejadas.

-10 -5 5

1

2

3

4

Figura: La función |ψ|2 para A = 1, V 0 = 1 y E = 0,75.


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Caso E > V 0:Las soluciones a la ecuación estacionaria son

ψ = Ae ikx + Be −ikx , x ≤ 0, (22)

ψ = Ce ik 1x + De −ik 1x , x > 0, (23)

donde k 2 = 2mE ~ 2

, k 21 = 2m~ 2

(E

−V 0),

donde tomamos D = 0. Aplicando las condiciones de continuidadobtenemos

ψ = A

e ikx +

k − k 1k + k 1

e −ikx , x ≤ 0, (24)

ψ = A 2k

k + k 1e ik 1x , x > 0. (25)


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El flujo para x = ~ k 1

m |C |2 (27)

Las condiciones de frontera garantizan que el flujo es continuo, entonces j , obteniendo

k |A|2 = k |B |2 + k |C |2 (28)

k |A|2 es proporcional al flujo incidente j inc ,

k |B |2

es proporcional al flujo reflejado j r , (29)k 1|C |

2 es proporcional al flujo transmitido j t .

La reflexión es parcial.


I t d i l fi i t d fl i´ R l d t i i´ T

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Introducimos el coeficiente de reflexion R y el de transmision T , comosigue

R := | j r |

| j inc | =

k |B |2

k |A|2 =

k − k 1k + k 1

2, (30)

T := | j t || j inc |

= k 1|C |2

k |A|2 =

4kk 1(k + k 1)2

. (31)

De (28) se sigue que estos coeficientes cumplen la relación

R + T = 1. (32)

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 k

2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

R

Figura: Coeficiente de reflexión como función de E /V 0.


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Pozo rectangular

Analizamos la dispersión de part́ıculas debida a un pozo.

Figura: El pozo cuadrado de ancho 2a y profundidad V 0.

Primeramente analizamos los estados con E ≥ 0.


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Dividimos el espacio en tres regiones.

En este caso las soluciones son

ψI = A1e ikx + B 1e

−ikx , x < −a, (33)

ψII = A2e iq 1x + B 2e

−iq 1x , −a ≤ x ≤ a, (34)ψIII = A3e ikx + B 3e −ikx , x > a, (35)

con

k 2 = 2mE

~ 2 q 21 =

2m

~ 2 (E + V 0). (36)

Donde tomamos B 3 = 0, y aplicando las condiciones a la frontera seobtiene el valor de B 1 (reflejadas) y A3 (transmitidas).


Con esto obtenemos los coeficientes de reflexión y transmisión

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Con esto obtenemos los coeficientes de reflexion y transmision

T =

A3

A1

2

=

"1 +

1

4

q 1

k − k

q 1

2sen2 (2q 1a)

#−1

(37)

R =B 1A12 = 1− T . Cuando E → ∞, q 1/k → 1 y T → 1.

Cuando sen 2q 1a = 0 tenemos T = 1.

-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 k

2

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

T

Figura: Coeficiente de transmisión para a = 2.8, V 0 = 1.


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Caso −V 0 ≤ E a. (40)

donde

κ2 = −2mE

~ 2 =

2m|E |

~ 2 (41)

q

2

=

2m(E + V 0)

~ 2 (42)


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Aplicando las condiciones de frontera obtenemos la siguiente ecuacióntrascendental.

κ− iq κ + iq

2

= e 4iqa (43)

Sólo ciertos valores de E satisfacen esta ecuación: Discretización deenerǵıas.

-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 k

2

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

T

Figura: Coeficiente de transmisión para a = 2.8, V 0 = 1.


B l

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Barrera rectangular

Analizamos la dispersión de part́ıculas debida a una barrera cuadrada.

Figura: Barrera de potencial de ancho a y altura V 0.

Casos: E


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Caso E


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Aplicando las condiciones de continuidad obtenemos el coeficiente detransmisión y el de reflexión

T = 1− R = "1 + 14

k q − q

k

2senh2 qa

#−1k 2


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Con estas funciones tenemos el coeficiente de transmisión para k 2 ≥ 0

1 2 3 4 k

2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

T

Figura: Coeficiente de transmisión para a = 5, V 0 = 1, como función de k 2.

Tunelamiento Cuántico: en la mecánica clásica esperamos reflexión total.


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Aśımismo podemos calcularlo para la onda reflejada. Escribiendo

A1 = |A1|e i φ1 , B 1 = |B 1|e

i φ2 (55)

vemos queB 1

A1=

|B 1|

|A1|e −i (φ1−φ2) =

√ Re −i ζ (56)

Notamos un corrimiento de fase respecto de la onda incidente.

ψref = A1√

Re −i (kx +ζ ) (57)


Paquetes de ondas

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Paquetes de ondas

Los estados que hemos estudiado son estacionarios y no son de cuadradointegrable.

Analicemos una situación distinta para la part́ıcula libre: superposición.

La ecuación de Schrödinger admite soluciones como

ψ(x , t ) =

Z ∞

−∞

dk Λ(k )e −i (kx +ω(k )t ), (58)

donde |Λ(k )|2 es la distribución de enerǵıa.

A una solución de este tipo se le llama paquete de onda


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Buscaremos los valores de x y t para los cuales las ondas estén en fase,para tener interferencia constructiva.

Reescribimos el paquete en la forma

ψinc (x , t ) = Z ∞

−∞

dk Λ(k )e i β(k ), (61)

dondeβ (k ) = −k (x − x 0)− ω(k )t . (62)

Nos fijamos en aquellas ondas con k ≈ k 0.

Queremos que la fase vaŕıe poco alrededor de k 0.


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Paquete Gaussiano


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Paquete Gaussiano

Tomemos una distribución Gaussiana

Λ(k ) = 1p √ πb e −(k −k 0)

2/(2b 2)

(66)

Con esta distribución obtenemos el módulo cuadrado de la función de onda

|ψ(x , t )|2 = b /~ p π(1 + b 4t 2/m2~ 2)

exp

−(b /~ )

2(x − x 0 + 2k 0t )21 + b 4t 2/m2~ 2

. (67)


Dispersión de un paquete de ondas

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Dispersion de un paquete de ondas

Consideremos un paquete de ondas localizado con enerǵıa E 0 = ~ 2k 20/2m,

incidente por la derecha de la barrera desde x = x 0 en t = 0

ψinc (x , t ) =

Z ∞

−∞

dk Λ(k )e −i (k (x −x 0)+ωt ), (68)

donde E = ~ ω = ~ k 2/2m, y Λ(k ) es el coeficiente de Fourier.

Las ondas transmitidas se escriben

ψtrans =√

T e −i (kx +γ ), (69)

entonces escribimos al paquete transmitido como

ψtrans (x , t ) =

Z ∞

−∞

dk Λ(k )p

T (k , a)e −i (k (x −x 0)+ωt +γ ). (70)


Aplicamos la condición de fase estacionaria al paquete transmitido

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d

dk (k (x − x 0) + ωt + γ )

k =k 0

= 0. (71)

Con esto obtenemos

x = x 0 − v g

t + ∂γ

∂ k

k =k 0

!, (72)

mientras que para el paquete libre tenemos

x = x 0 − v g t . (73)

Si ∂γ

∂ k k =k 0

> 0 → Adelanto (74)

Si ∂γ

∂ k

k =k 0


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Para el paquete reflejado

ψref (x , t ) =Z ∞−∞

dk Λ(k )p

R (k , a)e i (k (x +x 0)−ωt −ζ )

, (76)

aplicamos la condición de fase estacionaria

d

dk (k (x + x 0)− ωt − γ )k =k 0 = 0. (77)Con esto obtenemos

x =−

x 0

+ v g t + ∂γ

∂ k k =k 0

! . (78)


Derivada del corrimiento de fase

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0 1 2 3 4

0.5

1.0

1.5

2.0

Figura: Retraso temporal debido a un pozo cuadrado con a = 6, y V 0 = 1.


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0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

-2

-1

0

1

2

3

Figura: Retraso temporal debido a una barrera cuadrada con a = 8 y V 0 = 1.


Proceso de dispersión completo

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p p

Analicemos la dispersión de un paquete de ondas en todo el eje real

Las soluciones a la ecuación estacionaria para la barrera están dadas por

ψ(x ) =

e ikx +√

Re −i (kx +ζ ), x a

(79)

La función de onda en todo el eje real está dada por

ψ(x , t ) =Z ∞

0dk Λ(k )ψ(x )e i (kx 0+ωt ). (80)


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Muchas Gracias


Derivada del corrimiento de fase

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0 1 2 3 4

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Figura: Retraso temporal debido a un pozo cuadrado con a = 6, y V 0 = 1 (rojo).Coeficiente de transmisión para los mismos parámetros (azul).


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0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

-2

-1

0

1

2

3

Figura: Retraso temporal debido a una barrera cuadrada con a = 8 y V 0

= 1(rojo). Coeficiente de transmisión para los mismos parámetros (azul).

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