Con�guracióndebobinasdecampotoroidalparaunTOKAMAKpequeño

Uzziel Caldiño Herrera, Juan Luis Francois Lacouture, Martín Nieto Pérezuzcah@ier.unam.mx, jl�@�-b.unam.mx, mnietop@ipn.mx

Introducción

El con�namiento del plasma es una de las áreas de mayor estudio para lograr llevar a cabo la fusión nuclear controlada en la Tierra. Representa un granreto cientí�co y tecnológico ya que implica mantener el combustible nuclear (D-T) en estado de plasma y cumplir con el criterio de Lawson; esto es:

nτ = 5 × 1014s

cm3

Donde n es la densidad del plasma y τ es el tiempo del con�namiento, este último está relacionado con lograr que la energía producida por las reaccionesnucleares en el plasma sea mayor que las pérdidas del mismo.Para acercar núcleos (carga positiva) a distancias su�cientes para permitir la fusión es necesario que éstos lleven una energía cinética para de estamanera vencer la barrera de Coulomb, esta energía cinética está asociada a una temperatura elevada. Para reacciones (D-T) ésta debe ser del orden de10 KeV (≈ 108 K)Se induce una corriente en el plasma y se genera un campo magnético con geometría toroidal para que el plasma quede con�nado en él (las partículascargadas siguen las líneas de campo magnético con trayectorias helicoidales).Este trabajo sólo abarca el campo toroidal generado por bobinas de campo torioidal (TFC).

Metodología

Para calcular el campo magnético generado porN bobinas en con�guración toroidal se resolvióla ley de Biot-Savart

d ~B =µ0

4πId~l × r̂

r2(1)

Calculado para un campo generado por N bobi-nas separadas una distancia angular ∆φ una deotra de tal manera que siempre cumpla:

∆φ×N = 2π

Campo magnético generado

Realizando la integración numérica de (2) (3) y(4) se obtiene:

Para 16 bobinas de 9 in de radio en con�guracióntoroidal tenemos el siguiente campo, visto en elplano z = 0

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

x

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

y

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figura 1: Campo magnético en dirección toroidal

La magnitud del campo magnético en la regiónde la cámara de vacío se puede apreciar aquí.Entre más cerca se encuentra del eje de simetría,mayor es la magnitud del campo

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

x

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

z

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figura 2: Corte paralelo al plano de una bobina

Ecuaciones del fenómeno

Las ecuaciones del campo magnético que se resuelven son las siguientes:

Bx =µ0I

4πa

∫ 2π

0

sinφ (a+ rm cos θ − z sin θ) − y cos θ

[x2 + y2 + z2 + a2 + r2m − 2 (x cosφ+ y sinφ) (a cos θ + rm)]32

dθ (2)

By =µ0I

4πa

∫ 2π

0

− cosφ (a+ rm cos θ − z sin θ) + x cos θ

[x2 + y2 + z2 + a2 + r2m − 2 (x cosφ+ y sinφ) (a cos θ + rm)]32

dθ (3)

Bz =µ0I

4πa

∫ 2π

0

sin θ (2a cos θ sinφ cosφ− (x sinφ+ y cosφ))

[x2 + y2 + z2 + a2 + r2m − 2 (x cosφ+ y sinφ) (a cos θ + rm)]32

dθ (4)

A partir de esto podemos conocer la magnitud y dirección del campo en cualquier punto del espacio.El interés se centrará en el interior de las bobinas buscando un campo de 0.5 T en la región delcon�namiento, esto es, en un toroide (cámara de vacío) con radio mayor Rm y radio menor rm

Resultados

Para �nes de operación de la máquina se busca una región de campo magnético de 0.5 T paracon�narse en una cámara de geometría toroidal. Esta cámara debe estar ubicada dentro del toroidegenerado por las bobinas.El campo no es constante (Fig.(1) y (2)), sino que para cierto valor r varía conforme cambia φ. Elvalor de r que se escoge en algún punto de interés como el centro de la cámara de vacío o el borde dela misma para observar el comportamiento de B y determinar si cumple las condiciones requeridas.

0.58

0.585

0.59

0.595

0.6

0.605

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

B

φ

offset=0 mmoffset=2.5 mmoffset=5 mm

offset=10 mmoffset=20 mm

Figura 3: Variación del campo magnético entre dos bobinas

El valor del rizo se calcula como un error relativo. El valor del campo máximo (ubicado en el planode una bobina cualquiera) menos el valor del campo mínimo (ubicado en el plano entre dos bobinas,desplazado una distancia angular ∆φ) divido entre el valor del campo máximo.Por lo general se busca que este valor esté por debajo del 5%