Potenciación

Prof. Wenceslao Quispe Ticona Matematicas

POTENCIACION

Si se tiene un producto de factores iguales, entonces se puede expresar como una potencia.

Ejercicio 0.0.1. Observa el ejemplo y escribe en forma de potencia estos productos:

1) 2× 2× 2× 2× 2 = 25

2) 3× 3× 3× 3× 3 =

3) 8× 8× 8 =

4) 9× 9 =

5) 4× 4× 4× 4 =

6) 5× 5× 5 =

7) 6× 6× 6× 6× 6× 6× 6 =

8) 2× 2 =

9) 10× 10× 10 =

Potenciacion de numeros naturales

Es la operacion que consiste en multiplicar un numerollamado base por si mismo, tantas veces como lo indicaotro llamado exponente; al resultado de esta operacionse le denomina potencia.

52 = 5× 5 = 25

Ojo: 52 nos dice en palabras: “multiplica al numero cincopor sı mismo dos veces.”

25 = 2× 2× 2× 2× 2 = 32

Ojo: 25 nos dice en palabras: “multiplica al numero dospor sı mismo cinco veces.”

Definicion

Si a y n son numeros naturales, la potencia n-esima delnumero a se define del siguiente modo:

an = a× a× a . . . a︸︷︷︸n−veces

Terminos de la potenciacion

Base 23 = 8

Exponente

Potencia

Ejercicio 0.0.2. Desarrolla y encuentra las potencias.

1. 33 = 3× 3× 3 = 27

2. 72 =

3. 54 =

4. 82 =

5. 122 =

6. 32 =

7. 43 =

8. 113 =

9. 25 =

10. 35 =

11. 1200 =

12. 44 =

13. 83 =

14. 26 =

15. 93 =

16. 123 =

17. 154 =

18. 1203 =

Ejercicio 0.0.3. Indica en cada caso cual es la Base y cual el Exponente:

52⇒ 5 es la base, 2 el exponente

(−3)5⇒

−42⇒

(−3)4⇒

32⇒

50⇒

63⇒

102⇒

¿Como se leen las potencias? Una potencia se puede leer de distintas formas:

52 = 25 Se lee: “5 al cuadrado es igual a 25” Cuando el exponente es dos

23 = 8 Se lee: “2 al cubo es igual a 8” Cuando el exponente es tres

24 = 16 Se lee: “2 elevado a la cuarta es igual a 16” 1ra forma para cualquier exponente

Tambien se lee: “2 a la cuarta es igual a 16” 2da forma para cualquier exponente

Tambien se lee: “2 a la cuatro es igual a 16” 3ra forma para cualquier exponente

Tambien se lee: “La cuarta potencia de dos es igual a 16” 4ta forma para cualquier exponente

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Matematicas Potenciacion

POTENCIACION DE NUMEROS ENTEROS

Observemos las siguientes potenciaciones. En ellas, la base es un numero entero y el exponente es unnumero natural.

(−5)2 = (−5) · (−5) =�� +25

(−2)4 = (−2) · (−2) · (−2) · (−2) =�� +16

(+3)4 = (+3) · (+3) · (+3) · (+3) =�� +81

(+4)3 = (+4) · (+4) · (+4) =�� +64

(−3)3 = (−3) · (−3) · (−3) =�� −27

(−6)3 = (−6) · (−6) · (−6) =�� −216

El resultado, es decir, la potencia, se obtiene multiplicando la base por sı misma de tal manera que en eldesarrollo la base aparece como factor tantas veces como indica el exponente.El signo de la potencia se obtiene aplicando la regla de los signos de la multiplicacion de enteros:

Ley de signos de la multiplicacion

+ ·+ = + Mas por mas da mas

+ · − = − Mas por menos da menos

− · − = + Menos por menos da mas

− ·+ = − Menos por mas da menos

El signo de la multiplicacion tam-bien se simboliza por un pun-to (·):2 · 2 = 4

La potencia n-esima de un numero entero es el resultado de una multiplicacion en la queel numero aparece como factor n veces.

an = a× a× a . . . a︸︷︷︸n−veces

donde a ∈Z , n ∈N, y n mayor que > 1

(−5)4 = (−5) · (−5) · (−5) · (−5) = 625

(−7)3 = (−7) · (−7) · (−7) = −343

REGLA DE SIGNOS DE LA POTENCIACION

1° Regla: Toda potencia de exponente par siempre es positiva.

(+)par = + Ejemplo−→ (+2)4 = +16

(−)par = + Ejemplo−→ (−3)2 = +9

2° Regla: Toda potencia de exponente impar tiene el mismo signo de la base.

(+)impar = + Ejemplo−→ (+2)3 = +8

(−)impar = − Ejemplo−→ (−2)5 = −32

Ejercicio 0.0.4. Escribe con numeros.

a) Positivo 8 elevado al cuadrado.b) Negativo 2 elevado a la cuarta potencia.c) Positivo 15 elevado al cubo.d) Negativo 16 elevado al cuadrado.

e) Negativo 15 elevado a la sexta potencia.f) Positivo 7 elevado a la quinta.g) Positivo 3 elevado a la cuarta potencia.h) Negativo 2 elevado a la sexta potencia.

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Ejercicio 0.0.5. Expresa como un desarrollo de factores y calcula la potencia.

a) (−5)3 = (−5) · (−5) · (−5) = -125

b) (−6)4 =

c) (−9)5 =

d) (+12)3 =

e) (+22)3 =

f) (−55)2 =

g) (+8)3 =

h) (−10)3 =

i) (+3)5 =

Ejercicio 0.0.6. Completa las tablas

Potenciacion Base Exponente Potencia(−2) 16

(−3)5

(+7) 3

Potenciacion Base Exponente Potencia

(+32)3

(−8) 644 16

Ejercicio 0.0.7. Sin encontrar la potencia determina su signo.

a) (−8)6 = +

b) (−19)5 =

c) (−278)23 =

d) (−17)470 =

e) (+30)30 =

f) (+12)16 =

g) (+20)17 =

h) (−20)17 =

i) (−13)20 =

j) (+200)17 =

k) (+15)371 =

l) (−23)268 =

Ejercicio 0.0.8. Completa el cuadro siguiente.

Forma potencial Forma desarrollada Base Exponente Potencia

(−3)6

(−4) · (−4) · (−4) · (−4) · (−4)(+2) 7

125(−10) 4

Para tener en cuenta:

La expresion (−a)n no significa lo mismo que −an.

(−a)n 6= −an

• (−7)2 = (−7) · (−7) = +49

• −72 = − (7 · 7) = − (49) = −49

Ejercicio 0.0.9. Calcula las siguientes potencias:

a. (−8)2 = +64

b. −82 =

c. (−9)3 =

d. −93 =

e. (−16)3 =

f. −26 =

g. (−7)3 =

h. −64 =

i. (+5)3 =

j. (−7)2 =

k. −92 =

l. (−5)−2 =

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EXPONENTE CERO, EXPONENTE UNO Y EXPONENTE NEGATIVO

Exponente ceroUn numero entero (distinto de cero) eleva-do a exponente cero, es igual a uno.

a0 = 1 donde a 6= 0

Ejemplos:20 = 1

50 = 1

1500 = 1

10000 = 1

Exponente unoUn numero entero (distinto de cero) eleva-do a exponente uno, es igual a ese mismonumero.

a1 = a

Ejemplos:41 = 4

61 = 6

2501 = 250

Se conviene en no escribir el exponente 1porque se lo sobreentiende.

Ejercicio 0.0.10. Calcula las potencias de exponente cero y exponente uno.

(−4)1 = 30 = 3541 = 10000 = 15240 =

650 = 630 = (−7)0 = 57431 = (−64)0 =

Ejercicio 0.0.11. Observa el ejemplo y resuelve.

1) 2 + 51 + 4 + 30 − 3 =

2 + 5 + 4 + 1− 3 =

12− 3 =

=�� 9

2) 4 + 101 − 4 + 3− 80 = 3) 50 − 7 + 120 − 31 + 4− 7 =

Exponente negativoUn numero entero (distinto de cero) elevado a unexponente negativo, es igual a 1 dividido entre elnumero entero elevado al mismo exponente perocon signo positivo.

a−n = 1an donde a 6= 0,n ∈N

Ejemplos:

2−4 =124 =

116

5−2 =152 =

125

(−4)−3 =1

(−4)3 =1−64

= − 164

Ejercicio 0.0.12. Resuleve las siguientes potencias.

1. 3−3 =

2. (−3)−2 =

3. 4−2 =

4. (−2)−3 =

5. (−1)−5 =

6. 5−2 =Para tener en cuenta.

• El 1 elevado a cualquier numero entero es igual a 1:�� 1n = 1

• El 0 elevado a cualquier numero entero positivo es igual a 1:�� 0n = 1;n > 0

• Un numero entero (distinto de 0) elevado a 0 es igual a 1:�� n0 = 1;n 6= 0

• Cualquier numero entero elevado a 1 es igual al mismo numero:�� n1 = n

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PROPIEDADES DE LA POTENCIACION

PROPIEDAD FORMULACION EJEMPLOS

Multiplicacionde potenciasde la mismabase

Es igual a la base elevada ala suma de los exponentes.�� am · an = am+n

• 32 · 33 = 32+3 = 35

• (−4)−2 · (−4)7 = (−4)−2+7 = (−4)5

• 22 · 2−3 · 24 · 2−5 = 22+(−3)+4+(−5) = 26−8 = 2−2

Division depotencias de lamisma base

Es igual a la base elevada ala diferencia de losexponentes.�� am ÷ an = am−n

• 57 ÷ 55 = 57−5 = 52

• 7−5 ÷ 7−4 = 7−5−(−4) = 7−5+4 = 7−1

• (−2)3 ÷ (−2)−2 = (−2)3−(−2) = (−2)3+2 = (−2)5

Potencia deuna potencia

Es igual a la primera baseelevada al producto de losexponentes.�� (am)n = am·n

•(24)3

= 24×3 = 212

•[(−5)3

]2= (−5)3×2 = (−5)6

•[(

72)4]2

= 72×4×2 = 716

Potencia deunamultiplicacion

La potencia de un productoes igual al producto de laspotencias de los factores.�� (a · b)n = an · bn

• (2 · 3)5 = 25 · 35

• (3 · 4)2 = 32 · 42

• (−2)3 · (−3)3 = [(−2) · (−3)]3 = 63

Potencia deuna division

La potencia de un cocientees igual al cociente entre lapotencia del dividendo y lapotencia del divisor.�� (a÷ b)n = an ÷ bn

• (8÷ 4)2 = 82 ÷ 42

• [6÷ (−4)]3 = 63 ÷ (−4)3

• 104 ÷ 44 = (10÷ 2)4 = 54

Ejercicio 0.0.13. Expresa el resultado en forma de potencia aplicando las propiedades de la potenciacion.

1) 52 · 55 · 54 = 5 2+5+4 = 511

2) 86 ÷ 84 =

3) (−9)5 ÷ (−9)2 =

4)(52)3

=

5)[(−2)3

]4=

6) 32 · 22 =

7) (−5)3 · (+2)3 =

8) 83 ÷ 43 =

9) (+6)2 ÷ (−3)2 =

10) (−2)2 · (−2)5 · (−2)−4 =

11) (+8)5 ÷ (+8)3 =

12) 45 ÷ 48 =

13) (−3)6 ÷ (−3)6 =

14)[(−5)2

]3=

15)[(−2)−3

]2=

16) (−6)3 · (+5)3 =

17) (−8)−2 ÷ (+4)−2 =

18) (−2)3 · (−2)4 · (−2)5 =

19) (a · b · c)m =

20) am · an · ap =

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ANALISIS¿Por que 23 · 24 es igual a 23+4 ?

Recordemos que 23 nos indica que debemosmultiplicar el numero 2 por si mismo 3 veces. Demanera semejante, la expresion 24 nos indica quedebemos multiplicar el numero 2 por sı mismo 4veces. Entonces, al multiplicar de tiene:

23 · 24 = 2 · 2 · 2︸︷︷︸3 veces

·2 · 2 · 2 · 2︸︷︷︸4 veces

= 27

Vemos que en total terminamos multiplicando 7veces el numero 2, por eso debemos sumar losexponentes:

23 · 24 = 23+4 = 27

¿Por que(23)2 es igual a 23·2 ?

Es claro que el numero 2 nos indica que debemosmultiplicar el numero que aparece entre parentesispor sı mismo 2 veces. Pero por la primera propiedad,que nos dice que cuando se estan multiplicandopotencias con la misma base los exponentes sesuman, el exponente resultante debe ser el productode 3 por 2 Esto es:(

23)2

= 23 · 23︸︷︷︸2 veces

= 23+3 = 26

Para simplificar este proceso largo multiplicamos losexponentes 3 por 2(

23)2

= 23·2 = 26

Observa el ejemplo:

84 · 162 =(

23)4·(

24)2

= 212 · 28 = 220

Ejercicio 0.0.14. Expresa como una sola potencia aplicando las propiedades de la potenciacion

1) 34 · 92 =

2) 84 · 162 =

3) 54 · 253 =

4) 47 · 32 =

5) 16−1 · 23 =

6) 81−1 · 3−3 =

7) 92 · 27 =

8) 362 · 6 =

9) 100 · 22 =

10) 81 · 42 =

Observa el ejemplo y analiza.

25 · 16 = 52 · 42 Expresamos el 25 como potencia de 52 y 16 como potencia de 42

= (5 · 4)2 Aplicamos la propiedad distributiva reciprocamente (a · b)n = an · bn

= 202 Multiplicamos dentro del parentesis= 400 Encontramos la potencia

Ejercicio 0.0.15. Aplica las propiedades de la potenciacion igual que en el ejemplo anterior.

1) 16 · 9 =

2) 27 · 8 =

3) 16 · 64 =

4) 4 · 81 =

5) 25 · 4 =

6) 36 · 49 =

6


¿Por que25

23 es igual a 25−3 ?

En el numerador, 25 nos indica que debemos multiplicar el numero 2 por si mismo 5 veces.En el denominador, 23 nos indica que debemos multiplicar el numero 2 por si mismo 3veces. Entonces se tiene:

25

23 =2 · 2 · 2 · 2 · 2

2 · 2 · 2Cancelando factores en el numerador y el denominador.

25

23 =��2 · ��2 · ��2 · 2 · 2

��2 · ��2 · ��2= 2 · 2 = 22

De los cinco factores que habıa en el numerador, se cancelaron 3 con los factores queestaban en el denominador. Por eso restamos los exponentes.

25

23 = 25−3 = 22

Ejercicio 0.0.16. Indica la propiedad aplicada en cada numeral

1. 1200 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. (2× 3)3 = 23 × 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.(42)3

= 42×3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. 150 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. 01 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. 2001 = 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. (20÷ 5)3 = 203 ÷ 53 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. (30÷ 5)2 = 302 ÷ 52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ejercicio 0.0.17. Miscelanea

1) 23 + 32 − 52 =

2) 22 + 33 − 4‘2 =

3) 52 · 22 + 32 − 34 =

4) (−2)3 + 52 (−7)1 + (−9)0 =

5) 24 · (−4)4 =

6) 6−2 · 6 =

7) (−2)2 · (−2)5 =

8) 23 · (−2)4 =

9)(122)1

=

10) 74 ÷ 7−3 =

11) 63 ÷ (−3)3 =

12) 62 ÷ (2)2 =

13) (−5)3 ÷ (−5)−2 =

14) (−12)3 ÷ (−6)3 =

15) (−15)10 ÷ (−15)13 =

16) (−6)2 ÷ (2)2 =

17) 42 · (−2)1 · 20 =

18) 52 · (−2)2 · 22 =

19) (−3)−2 · (−3)6 · (−3)−4 =

20) (−2)3 · 24 · 2−3 · (−2)2 =

21)[(−3)2

]−3=

22)[(

23)−2]3

=

23)42 · 4−3 · 45

4−1 · 43 · 42 =

24)(−2)3 · (−2)−4 · (−2)[(−2)2]3 · (−2)−2 =

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