POTENCIACION – POTENCIA

Los babilonios utilizaban la elevación a potencia como auxiliar de la multiplicación, y los griegos sentían especial predilección por los cuadrados y los

cubos. Diofanto (III d.C.) ideó la yuxtaposición adhesiva para la notación de las potencias. Así x, xx¸ xxx, etc. para expresar la primera, segunda, tercera potencias

de x. Renato Descartes (1596-1650) introdujo la notación x, x2, x3, x4, etc.

Aunque la palabra raíz proviene del latín radix, la radicación fue conocida por los hindúes y por los árabes mucho antes que por los romanos. Las reglas para

extraer raíces cuadradas y cúbicas aparecieron por primera vez en textos hindúes.

POTENCIACIÓN

Es la operación aritmética que tiene por objeto multiplicar por sí mismo un

número llamado base tantas veces como indica otro número llamado exponente.

Si escribimos 53, 5 será la base y 3 será el exponente, con lo cual tendremos

que:

Cuando el exponente es 2, o sea, cuando estamos hallando la segunda potencia de la base, se acostumbra decir que estamos hallando el cuadrado de la base.

Por ejemplo

.

El término cuadrado viene de la nomenclatura geométrica, puesto que el cuadrado de un número equivale en las unidades correspondientes de superficie

al área de un cuadrado. El área de un cuadrado con un lado de 5m.

Será m2.

Cuando el exponente es 3, es cuando estamos hallando la tercera potencia de la base se acostumbra decir que estamos hallando el cubo de la base.

, es el resultado de hallar el cubo de 5.

El término cubo también viene de la nomenclatura geométrica, ya que el cubo de un número equivale en unidades correspondientes de volumen al volumen del cubo cuya arista es dicho número.

Cuando los exponentes son 4, 5, 6, 7, 8, etc. se dice que estamos elevando la

base a la cuarta, quinta, sexta, séptima u octava potencia, respectivamente:

La potencia enésima de un número a equivaldrá a multiplicar n veces a por sí

mismo: veces.

PROPIEDADES DE LA POTENCIACION

n = Exponente, a = base de la potencia

a n

= a • a• a• a• • • a (n veces)

(-2)3

= (-2) • (-2) • (-2) = -8

34

= 3 • 3 • 3 • 3 = 81

na

1) A1

= a 101

= 10 ; 31

= 3

2) a-1

= 1/a 5-1

= 1/5 ; (1/2)-1

= 2

3) an • a

m = a

n+m

5

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

4) an

: am = a

n-m 42626 : xxxx

)()()(

)( 23

2

3

bababa

ba

Ley de uniformidad

Cualquier potencia de un número tiene un valor único o siempre igual.

E J E M P L O

22=4 Siempre

53=125 Siempre

Potencia de un producto

Para elevar un producto a una potencia se eleva cada uno de los factores a dicha

potencia y se multiplican esas potencias.

Si tenemos el producto abc, Vamos a probar que (abc)n= an·bn·cn

Elevar el producto abc a la enésima potencia equivale a tomar este producto como factor n veces; luego:

5) A0 = 1 ; 0

0 = no existe 5

0 = 1 ; - 4

0 = -1

Esta propiedad constituye la ley distributiva de la potenciación respecto de la multiplicación.

E J E M P L O

Resolver (3×4×5)2

SOLUCIÓN: (3×4×5)2 = 32·42·52 = 9×16×25 = 3600

Potencia de un número fraccionario

Para elevar un cociente exacto o una fracción a una potencia cualquiera se

elevan su numerador y denominador a dicha potencia.

Si tenemos la fracción ; Según la definición de potencia elevar a la potencia n será tomarlo como factor n veces; luego:

Esta propiedad constituye la ley distributiva de la potenciación respecto de la

división exacta.

E J E M P L O

Elevar

SOLUCIÓN:

E J E M P L O

Elevar

SOLUCIÓN:

E J E M P L O

Desarrollar

SOLUCIÓN:

E J E M P L O

Desarrollar

SOLUCIÓN:

E J E M P L O

Desarrollar

SOLUCIÓN:

RADICACIÓN – RAÍZ

La radicación es la operación inversa de la potenciación y consiste en hallar la base conocidos el exponente y la potencia.

Si tenemos que , podemos escribir que , donde el signo recibe el nombre de signo radical, 49 es la cantidad sub radical, 7 es la raíz

cuadrada y el número 2 es el índice de la raíz. En este caso como el índice de la raíz es 2 se trata de una raíz cuadrada.

Cuando el índice es 3 diremos que la raíz es cúbica, cuando es 4 se trata de una

raíz cuarta, cuando es 5 se trata de una raíz quinta, cuando es 6 se trata de una raíz sexta, y así sucesivamente.

Cuando la raíz es cuadrada, cuando el índice es 2, generalmente se omite dicho

índice:

Una raíz es exacta cuando al elevarla a la potencia que indica el índice coincide

con la cantidad sub radical. 5 es la raíz cúbica exacta de 125 puesto que

Una raíz es inexacta cuando no existe ningún número entero que al elevarlo a la potencia que indica el índice coincida con la cantidad sub radical. La raíz

cuadrada de 63 es inexacta, puesto que no existe ningún número entero que

elevado al cuadrado dé 63.

Los únicos números naturales que tienen raíz cuadrada exacta son los cuadrados perfectos: 1, 4, 9, 16, 25… etc. Análogamente, los únicos número que tienen

raíz cúbica exacta son los cubos perfectos: 1, 8, 27, 64, 125… etc.

PROPIEDADES DE LA RADICACION

N = Índice de la Raíz; a = Cantidad Sub Radical o Radicando

n a

Ley de uniformidad

La raíz de un grado dado de un número tiene un valor único o siempre es igual.

Así únicamente, porque 7 es el único número que elevado al cuadrado da 49.

Ley distributiva

La radicación no es distributiva con relación a la suma. Así no es igual

a porque y

Igualmente no es igual a porque y

La radicación no es distributiva con relación a la multiplicación y a la división.

Raíz de un producto indicado

La raíz de cualquier grado de un producto indicado de varios factores es igual al

producto de las raíces del mismo grado de cada uno de los factores.

Tenemos el producto . Vamos a demostrar que:

Según la definición de raíz, será la raíz enésima de si

elevada a la potencia n reproduce el producto .

Elevando la raíz a la enésima potencia, tendremos:

, luego queda demostrado lo que nos proponíamos.

Esta propiedad es la ley distributiva de la radicación con relación a la multiplicación.

E J E M P L O

Efectuar

SOLUCIÓN:

E J E M P L O

Efectuar

SOLUCIÓN:

Raíz de un número fraccionario

La raíz de cualquier grado de un cociente exacto o un número fraccionario es igual a la raíz de dicho grado del numerador partida por la raíz del mismo grado

del denominador.

Sea la fracción . Vamos a demostrar que

Según la definición de raíz, será la raíz enésima de , si elevada a la

potencia n reproduce el quebrado

Esta propiedad es la ley distributiva de la radicación con relación a la división

exacta.

E J E M P L O

Efectuar

SOLUCIÓN:

E J E M P L O

Efectuar

SOLUCIÓN:

Raíz de una potencia

La raíz de cualquier grado de una potencia se obtiene dividiendo el exponente de la potencia por el índice de la raíz.

Sea la potencia . Vamos a demostrar que

Según la definición de raíz, será la raíz enésima de si elevada a la

potencia n reproduce la cantidad subradical .

Elevando a la potencia n, tendremos. , luego queda demostrado lo que nos proponíamos.

E J E M P L O

Efectuar:

SOLUCIÓN:

E J E M P L O

Efectuar:

SOLUCIÓN:

E J E M P L O

Efectuar:

SOLUCIÓN:

Exponente fraccionario

Hemos visto en el punto anterior que para extraer una raíz a una potencia, se

divide el exponente de la potencia por el índice de la raíz. Si el exponente no es divisible por el índice, hay que dejar indicada la división, originándose de este

modo el modo el exponente fraccionario.

E J E M P L O

Efectuar:

SOLUCIÓN:

E J E M P L O

Efectuar:

SOLUCIÓN:

E J E M P L O

Efectuar:

SOLUCIÓN:

Raíz de una raíz

La raíz de cualquier grado de una raíz se obtiene multiplicando los índices de ambas raíces.

Se trata de extraer la raíz cúbica de Vamos a demostrar que

Según la definición de raíz, será la raíz cúbica de si elevada al cubo

reproduce la cantidad sub radical , y en efecto:

Esta propiedad a la inversa, nos permite extraer la raíz cuarta extrayendo dos

veces la raíz cuadrada; la raíz sexta extrayendo la raíz cuadrada y la cúbica, etc.

E J E M P L O

Efectuar:

SOLUCIÓN:

E J E M P L O

Efectuar:

SOLUCIÓN:

RACIONALIZACION:

El objetivo de la racionalización es el eliminar la raíz del denominador, para tal efecto

se presentan tres casos que se tomaran a continuación.

La racionalización de radicales consiste en quitar los radicales del denominador, lo que permite facilitar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones.

Podemos distinguir tres casos:

1) Racionalización del tipo

Se multiplica el numerador y el denominador por .

Ejemplos:

1

2

2) Racionalización del tipo

Se multiplica numerador y denominador por .

Ejemplos:

3) Racionalización del tipo

Y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical.

Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador.

El conjugado de un binomio es igual al binomio con el signo central cambiado:

También tenemos que tener en cuenta que: "suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados".

Ejemplos:

1

2

3

Ejemplos: