POTENCIACIÓN - TEOREMAS

Equipo de Ciencias

APLICACIONES

X cm

X cm

X cm

X cm

x2

x3Longitud

Área

Volumen

APLICACIONES

LEYES DE EXPONENTES Y

TEORÍA DE EXPONENTES II

POTENCIACIÓN: TEOREMAS

PROBLEMAS DE POTENCIACIÓN

RADICACIÓN: TEOREMAS

ECUACIONES EXPONENCIALES

DE BASES IGUALES

ESQUEMA DE LA UNIDAD

DEFINICIÓN DE UNA POTENCIA

an = a . a . a . … . a

n veces

Recuerda que si elevamos un número a (la base) Al exponente n, significa que se multiplica ese número atantas veces como indique el exponente n.

Base

Exponente

DEFINICIONES

EXPONENTE NATURAL

; x R n Z+

EXPONENTE CERO

x0 = 1

; x R – { 0 }

EXPONENTE NEGATIVO

; x R – {0} n Z+

vecesn

n xxxx .................. n

n

xx

1

TEOREMAS DE POTENCIACIÓN

EXPONENTE NATURAL

•3 2 = 3 . 3 = 9

•(-3) 2 = -3 . -3 = 9

•5 3 = 5 . 5 . 5 = 125

•(-5) 3 = -5 . -5 . -5 = -125

•x 6 = x . x . x . x . x . x = x 6

•(-x) 6 = -x . -x . -x . -x . -x . -x = x 6

•-x 6 = - (x . x . x . x . x . x) = - x 6

Recuerda que no se multiplica la base por el exponente.

Si la base es negativa hay que encerrarla en paréntesis.

Si no se ve paréntesis, la base es positiva y si tuviera signo delante, el signo no le pertenece a la base. Hay que considerarlo como el opuesto de lo que sea el resultado de elevar la base a la potencia indicada.

EXPONENTE NATURAL

•3 2 = 3 . 3 = 9•(-3) 2 = -3 . -3 = 9•5 3 = 5 . 5 . 5 = 125•(-5) 3 = -5 . -5 . -5 = -125•x 6 = x . x . x . x . x . x = x 6

•(-x) 6 = -x . -x . -x . -x . -x . -x = x 6

•-x 6 = - (x . x . x . x . x . x) = - x 6

•Recuerda que: •-Si elevamos una base negativa a una potencia par, el resultado es positivo. •-Si la base es negativa y el exponente es impar, el resultado es negativo.•-Si la base es positiva el resultado es positivo siempre.

EXPONENTE CERO

•3 0 = 1

•(-3) 0 = 1

•135 0 = 1

•(-275) 0 = 1

•x 0 = 1

•(-x) 0 = 1

•(x2y3) 0 = 1Cualquier número ó expresión que se eleva a la potencia cero, el resultado es uno.

00 no está definido.

EXPONENTE NEGATIVO

•3 -2 =

•(-3) -2 =

•2 -3 =

•(-2) -3 =

•x -5 =

•(x2y3) -7 =

1 1=

32 9

1 1=

(-3)2 9

1 1=

23 8

1 1=

(-2)3 - 81

x5 1

(x2y3)7

x -3 =

y

y 3

x

TEOREMAS DE POTENCIACIÓN• Si a y b son números reales distintos de cero y, m y n son números enteros,

se cumple:

m.nnm a)(a

nmnm a.aa

nm

n

m

aa

a

mmm .ba(a.b)

m

mm

b

a

b

a

Multiplicación de Potencias con Bases Iguales

Potencia elevada a otra potencia

Producto elevado a una potencia

División de Potencias con Bases Iguales

Fracción elevada a una potencia

EJERCICIOS EXPLICATIVOS

MULTIPLICACIÓN DE POTENCIAS CON BASES IGUALES

• a n . a m = a n + m

Ejemplos:

4 5 . 4 2 = 4 7

x 2 . x -3 . x -1 . x 8 = x 6

x 2 . x . x 4 = x 7

x + x 3 =

Al multiplicar bases iguales se suman los exponentes

No se puede aplicar esta ley ya que las potencias no se están multiplicando. La ley aplica cuando tenemos una multiplicación, no aplica en suma.

DIVISIÓN DE POTENCIAS CON BASES IGUALES

7 5 = 75-3 = 72

73

7 5 = 7 2 = 49 7 3

7 5 = 7 0 = 1 7 5

x 3 = x x 2

Ejemplos:

Al dividir bases iguales se restan los exponentes. nm

n

m

aa

a ; a 0

PRODUCTO ELEVADO A UNA POTENCIA

• (a b) n = a n . b n

Ejemplos:

( x y ) 3 = x3y3

( 2 x ) 5 = 25 x5 = 32 x5

(x + y ) 2 = No se puede aplicar esta ley ya que no hay una multiplicación, hay una suma.

FRACCIÓN ELEVADA A UNA POTENCIA

a n = a n

b b n

2

5

3

y

Se eleva cada término de la fracción a la misma potencia n.

2

y

x

3

2

3

y

x

2

2

y

x

9

10y6

9

y

x

; b 0

POTENCIA ELEVADA A OTRA POTENCIA

(EXPONENTE DE EXPONENTE)

Ejemplos:

(x 2 ) 3 = x 6

(5 3 ) 4 = 5 12

(y 7 ) 0 = 1

Cuando se eleva una potencia a otra potencia, se multiplican los exponentes

mnnm aa )(

{(22)3}4 = 2 2.3.4

EJERCICIOS EXPLICATIVOS

5,021

21 16981 P1) Calcula el valor de:

111

4

1

3

1

2

1

Q2) Reducir:

yxy

xyx

C7.33.77

373 11

3) Si: 3x = 7y; reducir:

124927

A4) Calcular:

EVALUACIÓN

05

2

3322

1

Q1) Reducir

2) Calcular: (32)0,252