“Potencias, Raíces y logaritmos”

El inventor del ajedrez, le presento su novedosa creación al rey

de Dirham, en la india, este quedo tan fascinado por el juego que le ofreció cualquier cosa que el deseara como recompensa.

Ante este ofrecimiento el ingenioso inventor le propuso al rey que le diera simplemente, un grano de trigo por el primer casillero del tablero, dos por el segundo, cuatro por el tercero, ocho por el cuarto y así sucesivamente duplicando la cantidad del casillero anterior hasta llegar al ultimo.

El rey se extraño por la modesta petición del súbdito y mando a que se cumpliera su petición.

Horas mas tarde llego el encargado de los graneros afligido diciendo que no se podía cumplir con la petición del inventor...

- ¿Adivinas que paso?El encargado le explico a el rey, y le dijo que no había suficiente trigo en los graneros del reino, ni siquiera en los de todo el mundo!

El rey quedo atónito y no lo pudo creer,

¿Y como es posible

esto?

Bueno ahome, esto es muy sencillo, En el primer casillero el

numero de granos es igual a uno, en el segundo cuadro es

dos, en el tercero cuatro, en el cuarto ocho, y así hasta el 64,

este es un procedimiento muy lento si.

¿Y que haríamos para simplificar este

procedimiento?

•Para sacar el valor tendríamos que hacer lo siguiente: el primer cuadrado 1x1 en el siguiente 2x1 luego 2x2 , de hay 2x2x2 y así sucesivamente.

•Con potencias el primer numero quedaría como 20 , el segundo como 21, el tercero como 22 y el cuarto como 23 Por que en potencias la base que en este caso es 2 se multiplica tantas veces como el numero de exponente tenga.

¿Ósea que tendríamos que sumar

20+21+22+23..........hasta 263?Si ahome como veras es un numero muy grande, solo como

ejemplo el 263 es igual a 2x2x2x2….x2 63 veces y ese numero

me dio 9.223.372.036.854.775.808, lo que no es el total ya que

nos falta sumar todos los números anteriores y como veras no

es un numero para nada pequeño.

Una potencia es un numero que llamaremos “a” que arriba

de este se encuentra otro numero que llamaremos “n”

de esta forma: naAl “n” se le llama exponente de la potencia

Al “a” se le llama base de la potencia

Las potencias sirven para expresar la

multiplicación de un dato que se repite una cierta

cantidad de veces

“a” es el número en cuestión,”n” es

la cantidad de veces que se

multiplica por si mismo.Se define de esta forma: an=a•a•a•a• •a (n veces)

Bueno, ¿entendieron lo que es realmente

una potencia?

Yo si, pero parece que mi amigo no mucho

Bueno, lo explicare mas detenidamente.

Tomen atención.

Una potencia es un numero que llamaremos “a” que arriba

de este se encuentra otro numero que llamaremos “n”

de esta forma: na“a” es el número en cuestión,”n” es

la cantidad de veces que se

multiplica por si mismo.Se define de esta forma: an=a•a•a•a• •a (n veces)

Aplicando la definición tenemos:

(-2)3 = (-2) • (-2) • (-2) = -8

Calculemos el valor de -34

Observamos que la base de la potencia es 3

( y no -3) expresándola en forma de

producto nos queda:

-34 = -3 • 3 • 3 • 3 = -81

Ahora veamos si entendiste

Calculemos el valor de (-2)3

4

4

2

2

Soluciones:

-16

16

Como conclusión se puede decir

que cuando un término que es

antecedido por un signo negativo

se eleva a un exponente impar el

término siempre será el mismo

que al inicio, en cambio elevado a

un número par se logrará el signo

contrario al inicial.

Ahora resuelve tú

Potencias con exponente 1

Es igual a la base de la potencia, es decir:

a1=a ejemplos: 101=10; 31=3

Ejercita:

1) 71=

2) 221=

3) 41=

4) 61=

Soluciones:

1)7

2)22

3)4

4)6

En todo caso, sea cual sea, la base será igual a si misma

si el exponente es 1.

Potencias con exponente -1

es igual al inverso multiplicativo de la base, es decir:

a-1=1/a ejemplos: 5-1=1/a ; (1/2)-1=2

Ejercita:

___3

25)4

___8)3

___3,2)2

___4

2)1

1

1

1

1

Soluciones:

1) 2

2) 10/23

3) 1/8

4) 3/10

Para multiplicar potencias de igual base mantenemos la base y sumamos los exponentes, es decir:

an • am = an+m

al revés cuando tenemos una base con una suma en el exponente la podemos descomponer, es decir:

an+m = an • am

Multiplicación de potencias de igual base

Ejercicio resuelto

Expresemos en forma de potencias: aquí tenemos el producto del término (-1/2) cinco veces (el término se repite 5 veces).En este caso lo que se hace es sumar los exponentes de todos los términos, dejando solo un término.

5

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando esta propiedad

___)4

___55)3

___)2

___)1

242

4

632

53

yxyx aa

bbb

aa

Soluciones:

Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien.

1)a8

2)b11

3) 55

4)a3x+2y

Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, resuelve los ejercicios de reforzamiento, o anda a la consulta bibliografía de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte.

División de potencias de igual base

En este caso, mantenemos la base y restamos los exponentes, es decir:

an : am = an-m

al revés cuando tenemos una base con una resta en el exponente la podemos descomponer, es decir:

an-m = an : am

Ejercicio resuelto

42626: xxxx

)()()(

)( 23

2

3

bababa

ba

En el primer caso, se aplica la propiedad que si se tiene una misma base, se

pueden restar los exponentes. Lo que se demuestra paso a paso.

Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando esta

propiedad

_____:)4

_____5

2:

5

2)3

____)2

____)1

11

54

45

56

6

16

xx mm

xx

xx

m

m

Soluciones:

Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien.

1)m10

2)x2

3) 2/54)m2

Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, resuelve los ejercicios de reforzamiento, o anda a la consulta bibliografía de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte.

Potencia con exponente 0

Es igual a 1:

a0=1, 00= no existe

Ejemplos:

50=1

-40=-1

Ejercita:

1) 30=___ 3)-20=___

2) (1/2)0=___ 4) 10=___

Soluciones:

1)1 3)-1

2)1 4)1

Potencia con exponente negativo

Es la misma propiedad que con exponente a -1,solo que ahora, cuando se da vuelta al ser negativo el exponente, no queda en 1, sino que en n.

a-n=1/an ; a≠0 ejemplo: 3-

2=(1/3)2=1/32=1/9

Ejercitemos:

1)-2-2=___ 3)(1/3)-2=___

2)(-2)-2=___ 4) (22/23)-4=___

Soluciones:

1)-1/4 3)9

2)1/4 4)16

Potencia de una potencia

Aquí debemos elevar la base a la multiplicación

de los exponentes.

(am)n = an • m

En el caso contrario si tenemos una base con exponentes multiplicándose se pueden distribuir.

an • m = (am)n

Ejercicio resuelto

1. Desarrollemos (a2 :a6)2

Primero tenemos que aplicar la propiedad, multiplicando los exponentes, luego aplicando las propiedades ya conocidas deberíamos poder llegar a un término.

8

841212

4

26

222

6

2 11

a

aaa

a

a

a

a

a

Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando esta propiedad

___)4

___9)3

___23)2

___)1

4

325,0

2

1246

3522324

2

6

42

a

zyx

cbacba

x

ba

Soluciones:

Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien.

1) (a4b8)/x12

2) 72a2b19c9

3) 3x3y2z

4) a3/16

Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, resuelve los ejercicios de reforzamiento, o anda a la consulta bibliografía de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte.

Potencia de un producto

Elevamos el producto de las bases al

exponente común.

an • bn = (ab)n

Por el contrario si tenemos 2 un paréntesis elevado a un numero, los componentes del paréntesis se pueden separar.

(ab)n = an • bn

Ejercicio resuelto

605353444

Primero se aplica la propiedad de mantener el exponente y multiplicar

las bases, luego solo resolvemos la potencia resultante.

Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando esta propiedad

___278)4

___)3

___2)2

___8)1

1414

22

33

pp ba

qba

ax

Soluciones:

Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien.

1) (2ax)3

2) [2q(a+b)]2

3) (ab)4p-1

4) 63

Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, resuelve los ejercicios de reforzamiento, o anda a la consulta bibliografía de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte.

Potencias de 10

100 = 1 104 = 10000

101 = 10 105 = 100000

102 = 100 106 = 1000000

103 = 1000 107 = 10000000

•Se muestra cuando tenemos 10

elevado a un número cualquiera:

Notación científica

Se utiliza para expresar grandes cantidades en números mas pequeños.

Para poder expresar un numero como notación científica se debe elegir un numero entre 1 y 10 y luego hacer el producto entre este y una potencia de 10.

Ej.:

- La velocidad de la luz: 300.000 Km/s = 3•105 Km./s

- El tamaño de una célula: 0,000008 metros = 8•10-6

metros

Ejercitemos juntos, para aprender esta propiedad

Primero se tiene que dejar lo mas reducido el número que multiplica al 10, no puede ser decimal, ni menos pasarse de 10 unidades, se cuentan los 0, por cada cero será un digito más.

Si es decimal, o sea un número minúsculo, el exponente es negativo y si el número es muy grande, es positivo el exponente.

8

4

108000.000.800

1030003,0

Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando esta propiedad

1) 0,0000000065 3)0,00000000000121

2) 123.000.000 4) 567.000.000.000

Soluciones:

1) 6,5 • 10-9 3) 1,21 •10-12

2) 1,23 • 108 4)5,67 • 1011

Potencia con exponente fraccionario

Esta potencia consta del exponente fraccionario, que se trabaja de la siguiente forma, se eleva la base a el numerador de la fracción y luego se hace la raíz de esta, y cuyo índice corresponde a el denominador de la fracción.

nn aa

1

n mn

m

aa

• Y por otro lado se puede trabajar inversamente, es decir al ver una raíz la podemos transformar en potencia poniendo el índice como denominador y el exponente que tenga el radicando como numerador en la potencia que se formaría

3

5

3 5 aa

____161728)4

_____216125)3

_____8164)2

_____25)1

4

1

3

1

3

1

3

1

4

2

2

1

2

1

Soluciones:

1)5

2)17

3)-1

4)10

Resuelve estos ejercicios para ver como

vas manejando esta propiedad

___)4

11(

___)4

3(

___)1,1(

___10

___)2(

___3

___2

3

6

3

1

3

2

2

___5

2

2

5

5

2

___5

311

___2

1

5

43

___)02,0()02,0(

___2221

___)12()12(

___2222

321

01

2

30

21

22

321

11

3210

Reforzamientos varios:

Problema de profundización:

Alfredo recibe una carta pidiéndole que

participe en una “cadena”, enviándole

copia de la misma carta a 3 otras

personas, cada una de las cuales debe

enviarle un cheque por $1000 a vuelta

del correo. Él, a su vez, debe enviar

$1000 al remitente de la carta que

recibió. Si cada persona que recibe una

carta de esta “cadena” procede como

indicado, todos harán beneficios.

¿dónde esta la trampa?

Descúbrelo a través de tus

conocimientos adquiridos.

Raíces

Índice de la raíz Operante

Cantidad subradical o

radicando

Las raíces tienen sus comienzos en las potencias y por ello se puede hacer el proceso inverso que en el caso de las potencias, por lo tanto:

n a

nn aa

1

En este nuevo capitulo encontramos lo contrario de la

potencias, las raíces, es decir las potencias se simplifican

(eliminan) con las raíces y viceversa

¿Pero con que términos trabajaremos ahora en este capitulo

de raíces, si en potencias a=base, y n=exponente, ahora

como es esto?

Bueno tenemos 3 terminos con los que trabajaremos los

cuales son:

Propiedades de las raíces

Raíz de una potencia con exponente igual al índice.

Si se tiene un índice igual a el exponente que tiene el radicando, que esta dentro de la raíz se puede dejar el radicando como potencia, una base elevado a una fracción de la siguiente forma:

1

1

)( aaaa n

n

nnn n

Bueno apliquemos lo anterior aprendiendo las

propiedades de las raíces, veamos la primera:

Al elevar a n la raíz n-esima de

a estamos simplificando el

proceso anterior por lo cual el

numero quedaría el numero

Veamos unos ejemplos:

5

2

5

2

5

2

5

2

7777

5555

15

5

5

5

1

13

3

3 3

12

2

2

xxxx p

p

p p

Aplicando la propiedad,

vemos que el índice y el

exponente del radicando

se deja en forma de

potencia, por lo tanto igual

numerador y denominador

dan como resultado 1, así

se dice que se simplifico o

elimino la raíz y se

convierte en una simple

base elevado a 1 lo que

da como resultado la

misma base, como vemos

en los ejemplos.

Ahora te toca a ti trabajar:

5 5

3 3

4 4

2

48 .4

23 .3

59 .2

6 .1

Raíz de un producto:

nnn baba

nnn baba

Ahora si se tiene una raíz de 2 o más términos que se estén

multiplicando, se pueden separar en otras dos raíces (las cuales tienen

el mismo índice que la primera raíz) que se multipliquen, como se

muestra a continuación.

Así también podemos hacer el proceso inverso,

donde el producto de dos raíces de igual índice que

puede agrupar en una sola raíz

De la raíz de una fracción o división se puede separar en 2 raíces pero que poseen el mismo índice que la anterior y esas dos nuevas raíces se dividen ahora.

n

n

n

b

a

b

a

nn

n

b

a

b

a

* Ahora se puede invierte la situación donde se une el numerador con raíz y

el denominador con raíz siempre y cuando tengan el mismo índice, como se

muestra a continuación:

* Pasemos a Raíz de un cociente:

** Ahh!!!!!! pero entonces es muy similar a

raíz de un producto