PROPORCIONALIDAD COMPUESTA

Un ingeniero quiere calcular el número de hombres que necesita contratar para construir 250 m2 de una

carretera en solo 7 días, sabiendo que 6 trabajadores tardaron 21 días en construir 100 m2 esta información se

puede presentar en una tabla como la siguiente:

OBREROS NÚMERO DE DÍAS M2 CONSTRUIDOS

6 21 100

X 7 250

x representa la cantidad de obreros que necesitaría contratar el ingeniero.

Cuando en un problema intervienen 3 o más magnitudes hablamos de proporcionalidad compuesta como

en este caso. Veamos cómo resolverla

Entonces tenemos:

Es decir, se necesitan 45 obreros para construir 250 m2 en solo 7 días. Como ya tenía contratados 6 obreros

necesita contratar 39 obreros más.

GUIA PARA EL APRENDIZAJE

Nombre:

Curso: Profesora: Unidad: Variaciones Proporcionales

Fecha

Objetivo: Resolver problemas aplicando proporcionalidad

En Resumen:

Para resolver este tipo de problemas, te conviene seguir los siguientes pasos:

Cconstruir la tabla.

Conocer la relación que existe entra le variable desconocida y cada una de las otras variables

involucradas.

Una vez identificada cada relación se invierten solo aquellos valores que corresponden a relaciones

directas y se plantea una ecuación, donde el primer miembro es el producto de los números de la

primera fila; y el segundo es el producto de los números de la segunda fila.

EJERCICIOS

1. Si 25 ampolletas originan un gasto de $3.000 al mes, estando encendidas 6

horas diarias, ¿qué gasto originarían 20 ampolletas encendidas durante 10

horas diarias?

2. Si 9 obreros pintan 3 casas en 4 días, ¿cuántos días demorarán 15 obreros en

pintar 5 casas, bajo condiciones similares?

3. Si 30 máquinas tejen 2.000 metros de la tela en 20 días, ¿cuántas máquinas iguales a las anteriores

serán necesarias para producir 7.000 metros de tela en 14 días?

4. Para alimentar un ganado de 50 vacunos durante 10 días, se necesitan 150 kg de alimento. ¿Cuántos

kg de alimento se necesitan si se compran 10 vacunos más y hay que alimentar a todos los animales

por 15 días? Completa para resolver.

NÚMERO DE VACUNOS KG DE ALIMENTO NÚMERO DE DÍAS

150 KG 10

60 x

a) El número de vacunos y la cantidad de alimento forman proporcionalidad______________

b) La cantidad de alimento y el número de días forman proporcionalidad_________________

c) Completa la ecuación que resuelve el problema:

60 ∙ 150 ∙ _______ = 50 ∙ _______

d) Entonces, para alimentar a 60 vacunos durante 15 días se necesitan ______ kg alimento.

5. Cuando cayeron las últimas lluvias en el sur del país, un río destruyó un puente dejando aisladas a dos

localidades. Se sabe que 6 obreros, trabajando 8 horas diarias, han logrado construir 3

8 del puente en 9

días.

a) ¿Cuántos días faltan para terminar la obra?

b) ¿En cuántos días se habría podido construir el puente si hubiesen trabajado 4 hombres más, y

disminuido la jornada a 6 horas?

6. Para realizar una obra 40 obreros, trabajando 6 horas diarias, han necesitado 100 días. ¿Cuántos

obreros, trabajando sólo 4 horas diarias se necesitarían para terminar la misma obra en 120 días?(sol:

50 obreros)

7. Para alimentar las 248 máquinas de una fábrica durante 24 horas se gastan 89.280 pesos. Si trabajan

12 horas 324 máquinas iguales, ¿cuánto gastarán? (sol: 58.320)

8. Para recorrer una distancia de 15 000 Km. un pájaro tarda 20 días, volando durante 9 horas diarias.

¿Cuántos días tardará en recorrer 2000 Km., si vuela durante 12 horas diarias? (Sol.: 2 días)

9. Con el vino contenido en recipiente llenamos 63 vasos de 12 centilitros de capacidad. Con el vino de

otro recipiente que contiene la misma cantidad que el primero hemos llenado 42 vasos. ¿Qué

capacidad tiene cada uno de estos vasos? (Sol.: 18 Cl.)

10. Los 14 depósitos para el suministro de agua a una población tienen la misma capacidad. Para llenar 5

de ellos se necesitan 4 bombas que estén funcionando durante 10 horas. Si queremos llenar todos los

depósitos, ¿durante cuánto tiempo deberán estar funcionando 8 bombas iguales a las mencionadas

antes? (Sol.:14 h)

11. Cuatro grifos llenan en 12 horas dos depósitos de agua de 60 m3 de capacidad cada uno. ¿Cuánto

tiempo tardarían 6 grifos, iguales a los anteriores, en llenar 3 depósitos de 80 m3 cada uno? (Sol.:16h)

12. Durante 15 días una familia compuesta por 6 personas ha gastado 9000 en alimentación. ¿Cuánto

gastaría una pareja en 20 días? (Sol.4000 ):

13. Para pavimentar una calle de 600 m de largo y 24 m de ancho se han utilizado 36 000 adoquines.

¿Cuántos adoquines se necesitarían para otra calle de 500 m de largo y 30 m de ancho? (Sol.:37.500

adoquines)

14. Veinte obreros han construido una piscina de 50 metros de largo. ¿Cuántos se necesitan para construir

en el mismo tiempo que la anterior otra piscina de 40 m de largo y que tiene la misma anchura y la

misma profundidad que la primera? (Sol.:16 obreros)

15. ¿Cuántos obreros serán necesarios para construir una piscina de 25,5 m de ancho, si 20 obreros

realizan una de 30 m de ancho? (Ambas piscinas tienen la misma longitud y la misma profundidad.)

(Sol.:17 obreros)

16. Queremos construir una piscina en 60 días, para lo cual han de trabajar 20 obreros. ¿Cuántos serían

necesarios para hacerla en sólo 40 días? (Sol.:30 obreros)

17. Si 20 obreros trabajando 10 horas al día acaban una piscina, ¿cuántos se necesitan si trabajaran 8

horas diarias? (Sol.:25 obreros)

18. Para realizar una piscina de 50 m de largo y 30 m de ancho, se necesitan 20 obreros que trabajan 10

horas al día. ¿Cuántos obreros, trabajando 8 horas diarias, construirán, en el mismo tiempo, una

piscina de 40 m de largo y 25,5 m de ancho? (Sol.:17)

19. Seis obreros que trabajan durante 8 horas diarias han necesitado 19 días para montar 1368 aparatos

iguales. ¿Cuántos aparatos montarán 5 obreros trabajando diariamente 10 horas durante 20 días?

(Sol.:1500 aparatos)

20. En una granja avícola hay 5600 gallinas que ponen 11200 huevos en 12 horas de luz. Si en la granja

se sacrifican 2800 gallinas, ¿cuántos huevos habrá puesto durante tres horas, el resto de las gallinas?

(Sol.: 1400 huevos)

21. Para alimentar durante 24 días a 40 alumnos de un comedor escolar se necesitan 192 barras de pan.

¿Cuántas barras de pan habrá que comprar para alimentar a 65 alumnos durante 80 días? (Sol.: 1040

barras)

22. ¿Cuántas personas habrá que contratar para recolectar 50 alcachofas, trabajando 8 horas diarias

durante 10 días, si para recoger 120 se han necesitado 20 personas que han trabajado 6 horas diarias

durante 16 días?. (Sol.:10 )

23. Para recoger el fruto de un campo de almendros, se necesitan 25 obreros trabajando 6 horas diarias

durante 7 días. Si no disponemos más que de 15 obreros y queremos recoger el fruto en 5 días,

¿cuántas horas diarias tendrán que trabajar? (Sol.: 14)

24. La distancia por carretera entre dos ciudades es de 180 Km. y un autobús de transporte público ha

tardado 2 horas y media en recorrería. ¿Cuánto tiempo ha empleado en recorrer 108 Km? (Sol.: 1’5

horas)

25. Para que la longitud de un cable de acero crezca 0,004 cm. es necesario aumentar la temperatura en

200ºC. ¿Cuánto aumentará la temperatura si quiere que la longitud del cable aumente 0,02 cm?

(Sol.:1000ºC)

26. Para realizar una zanja de 9.000 m de largo, dos excavadoras trabajaron durante 6 días a razón de 8

horas diarias. Si se hubiera dispuesto de 4 excavadoras, trabajando 6 horas al día, ¿cuántos días

habrían tardado en realizar una zanja de 4.500m. ? (Sol.:2 días)

27. Un depósito puede suministrar diariamente 120 litros de agua durante 150 días a cada una de las 25

familias que viven en una urbanización. ¿A cuánto habría que reducir el consumo diario de cada

familia, si el número de familias fuera 40, y si la misma cantidad de agua debe durar 50 días más?

(Sol.:56’25 litros)

28. Para recoger la cosecha de un olivar de 20 ha se emplea una cuadrilla de 25 personas durante 24 días

a 6 horas diarias. ¿Cuántos días tardarán en recoger la oliva de otro campo de 8 ha si la cuadrilla está

formada por 18 personas y trabajan 8 horas diarias? (Sol.:10 días)

29. Una calle de 2400 m2 se pavimenta con baldosas de 0,30 m de largo y 0,35 m de ancho. ¿Cuántas

baldosas entrarán si tienen 0,4 m de largo y 0,3 m de ancho? (Sol.:20.000 baldosas)

30. En un día de trabajo de 8 horas, un obrero ha hecho 10 cajas. ¿cuántas horas tardará en hacer 25 de

esas mismas cajas? (20)

31. ¿cuál será la altura de una columna que produce una sombra de 4,5 m sabiendo que a la misma hora

una varilla vertical de 0,49 m arroja una sombra de 0,63 m? (3,5 m)

32. Si para pintar 180 m2 se necesitan 24 kg de pintura. ¿cuántos kg se necesitarán para pintar una

superficie rectangular de 12 m de largo por 10 m de ancho? (16 kg)

33. Para hacer 96 m2 de un cierto género se necesitan 30 kg de lana;¿ cuántos kg se necesitarán para tejer

una pieza de 0,90 m de ancho por 45 m de largo? (12,656 kg)

34. Un automóvil recorre 50 km en 1 h 32 m. ¿en qué tiempo recorrerá 30 km? (55 min 12 seg)

35. Doce obreros han hecho la mitad de un trabajo en 18 horas. A esa altura de la obra 4 obreros

abandonan el trabajo. ¿cuántas horas tardan en terminarlo los obreros que quedan? (27 h)

36. Un ganadero tiene 36 ovejas y alimento para ellas por el término de 28 días. Con 20 ovejas más, sin

disminuir la ración diaria y sin agregar forraje ¿durante cuántos días podrá alimentarlas? (18)

37. Para empapelar una habitación se necesitan 15 rollos de papel de 0,45 m de ancho, ¿cuántos rollos se

necesitarán, si el ancho fuera de 0,75 m? (9)

38. Un comerciante compró 33 kg de yerba a razón de $62 el kg. ¿cuántos kg de $66 podría haber

comprado con esa misma suma de dinero? (31 kg)

39. Un trabajo puede ser realizado por 80 obreros en 42 días. Si el plazo para terminarlo es de 30días

¿cuántos obreros deberán aumentarse? (32)

40. A razón de 70 km/h un automovilista emplea 2 hs 30 min para recorrer cierta distancia. ¿qué tiempo

empleará para recorrer la misma distancia a razón de 45 k/h? (3 hs 53 min 20 seg)

41. Una familia compuesta de 6 personas consume en 2 días 3 kg de pan. ¿cuántos kg de pan serán

consumidos en 5 días, estando dos personas ausentes? (5 kg)

42. Para cavar una zanja de 78 m de largo, 90 cm de ancho y 75 cm de profundidad, se necesitan 39

obreros .¿cuántos obreros habrá que disminuir para hacer en el mismo tiempo una zanja de 60 m de

largo, 0,5 m de ancho y 45 cm de profundidad? (29)

43. Se han pagado $144 000 a 24 obreros que han trabajado 8 días de 8 horas diarias. ¿cuánto se abonará

en las mismas condiciones, a 15 obreros que deben trabajar 12 días a razón de 9 horas por día?

($151875)

44. Un ciclista marchando a 12 km por hora recorre en varias etapas un camino empleando 9 días a razón

de 7 horas por día. ¿a qué velocidad tendrá que ir si desea emplear sólo 6 días a razón de 9 horas

diarias? (14 km/h)

45. Una pileta se llenó en 3 días dejando abiertas 2 canillas que arrojan 20 litros por hora, durante 6 horas

diarias. ¿cuántos días se precisarán para llenar la misma pileta si se dejan abiertas, durante 5 horas

diarias, 4 canillas que arrojan 18 l por hora? (2 días)

46. Si 24 obreros pueden finalizar un trabajo en 46 días trabajando 7 horas diarias. ¿cuántos días

emplearán si se aumenta en un 75% el número de obreros y trabajan 8 horas diarias? (23 d)

47. Un socio que ha colocado $7000 durante 5 meses, ha ganado $1200. ¿cuál es el capital de un segundo

socio que ganó $4200, si lo colocó durante 7 meses? ($17500)

48. Cuatro máquinas que fabrican latas para envase, trabajando 6 horas diarias, han hecho 43200 envases

en 5 días . Se detiene una de las máquinas, cuando faltan hacer 21600 envases, que deben ser

entregados a los 2 días. ¿cuántas horas diarias deben trabajar las máquinas que quedan para cumplir el

pedido? (10 hs)

49. Se necesitan 3 bobinas de papel de 350 kg cada una para imprimir 5000 ejemplares del primer tomo

de una obra. ¿cuántas bobinas de 504 kg de papel de igual calidad y ancho que el anterior se

necesitarán para imprimir 8000 ejemplares del segundo tomo de esa obra, sabiendo que el número de

páginas de éste es igual a los seis quintos del número de páginas del primer tomo? (4)

50. El número de fotocopias es directamente proporcional a su precio. Si 10 fotocopias valen $180,

¿cuánto valen 15 fotocopias?

51. El perímetro de un rectángulo es 128 cm y la razón entre las medidas de sus lados es 5 : 3. Calcula

su área.

52. La relación entre dos números es 4 es a 9. Si su diferencia es 95, ¿cuáles son los números?

53. La razón entre las edades de dos hermanos es 6: 7. Si la suma de sus edades es 39 años, ¿cuál es la

edad de cada uno?

54. Un grupo de 10 personas tarda 6 horas en cosechar una línea de parras en una viña.

a) ¿Cuántas horas tardarían 20 personas en realizar el mismo trabajo?

b) ¿Y 15 personas?

55. Tres pintores tardan 10 días en pintar una tapia. ¿Cuánto tardarán seis pintores en hacer el mismo

trabajo?

56. .Si cuatro personas tardan ocho días en aplanar un terreno, ¿cuántas personas se necesitan para

hacerlo en dos días?

57. Los alumnos de un curso desean hacer una completada para colaborar con un hogar de ancianos. Para

esto, los 30 alumnos, piensan organizarse en grupos con igual cantidad de integrantes. Si cada grupo

debe recaudar la misma cantidad de dinero y como meta se pusieron reunir $180.000 entre todos.

a) Completa la tabla con el monto que debe reunir cada grupo para cumplir la meta

b) ¿Qué relación hay entre las magnitudes?

Nº de grupos Monto por cada grupo

2

3

5

6

10

15

c) ¿Cuántos alumnos tiene cada grupo?

58. Los jabones turquesas tienen un precio unitario PU de $200/Jabón, los jabones fucsias tienen un PU

de $300/Jabón, los jabones verdes tienen un PU de $400/Jabón, los jabones azules tienen un PU de

$500/Jabón, los jabones rojos tienen un PU de $600/Jabón, los jabones lavandas tienen un PU de

$800/Jabón, los jabones naranjas tienen un PU de $1.000/Jabón, y los jabones ciruelas tienen un PU

de $1.200/Jabón.

1.- Supongamos que un hotel tiene $24.000 para comprar jabones y se quiere saber cuántos jabones

de cada tipo puede comprar con esa cantidad de dinero.

Realice una tabla con los datos de PU/jabón y cuántos jabones, según el color, podrían comprar en el

hotel, y luego grafíquelo.

Precio Unitario, PU ($/Jabón)

Número de Jabones Comprados, N

200

300

400

500

600

800

1.000

1.200

59. En la tabla las variables X e Y presentan una relación directamente proporcional. Completa con los

valores que faltan y construye el gráfico cartesiano con los valores de la tabla.

X 4 16 32 64

Y 5 10 20 320

60. En un video club se anuncia que por cada 5 videos que se arrienden, se puede llevar otros 2 sin costo.

Para esto determine: a) qué tipo de proporcionalidad es, b) ¿Cuántos hay que arrendar para obtener 6

gratis?, c) ¿y 10?, d) construya una tabla con esta información. e) Grafique y analice esta

información.

61. Miguel desea comprar 20 litros de pintura para hermosear su casa. En la tienda le ofrecen tarros de

distintos tamaños. ¿De cuántas maneras diferentes puede Miguel comprar 20 litros de pintura?

Completa la tabla para ayudarte

Litros 20 10 4 2 1

Cantidad

de tarros 1

Si observas la tabla:

¿Qué sucede con la cantidad de tarros al disminuir los litros de pintura?

¿Qué sucede con los litros de pintura al aumentar la cantidad de tarros?

Construye un gráfico con los datos de la tabla anterior.

Nº de

grupos

Nº de alumnos por

grupo

2 15

3 10

5 6

6 5

10 3

15 2

62. El año pasado 6 hombres cavaron una acequia de 12 metros. ¿Cuántos hombres se necesitan para

cavar en el mismo tiempo una acequia de 44 metros?

63. Un grupo de 30 personas tarda 5 horas en cosechar una línea de parras en una viña. ¿Cuántas horas

tardarían 10 personas en realizar el mismo trabajo?

64. Las edades de dos hermanas están en la razón 2: 3. Si la suma de las edades es 30 años, ¿cuántos años

tienen de diferencia?

65. Luís compró 5 kg. de papas a $200 la semana pasada. Si 1 kg. de papas vale ahora $250, ¿cuántos

kilogramos podrá comprar con la misma cantidad de dinero?

66. A una fiesta de cumpleaños asisten 15 niños, y se comen una bolsa de dulces en 45 minutos. ¿Cuánto

tiempo demorarán en comerse la misma cantidad de dulces si asisten 25 niños?

67. Se ha conseguido un bus de 40 asientos para un séptimo básico. El bus tiene un costo total para el

curso. Si van los 30 alumnos de 7º básico, cada uno deberá cancelar $1.800. Si participan 25 alumnos,

¿cuánto debe pagar cada uno? Si son menos alumnos, la cuota aumenta, ya que el costo del bus es

fijo. Se trata de una relación inversamente proporcional.

68. Se sabe que si la temperatura permanece constante, entonces la presión de un gas encerrado en un

recipiente es inversamente proporcional al volumen. La presión de cierto gas dentro de un globo

esférico de 9 pulgadas de radio es de 20 libras por pulgada cuadrada (Ib/pulg2). Si el radio del globo

aumenta a 12 pulgadas, determinar la nueva presión del gas.

69. El peso que puede soportar una viga con sección transversal rectangular varía proporcionalmente al

ancho y al cuadrado del alto de la sección transversal y es inversamente proporcional a la longitud de

la viga. Si una viga que tiene una sección transversal de 2 · 4 pulgadas y 8 pies de longitud, soporta

una carga de 500 libras (Ib), ¿qué peso soportará una viga de 2 · 8 pulg y 10 pie de longitud? (Desde

luego, el ancho es la dimensión más corta de la sección transversal.)