Ppt 6 7 proporción directa e inversa, problemas de planteo

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Unidad 1 Números Racionales NIVELACIÓN NIVELACIÓN MATEMÁTICA MATEMÁTICA 2014 2014

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Unidad 1

Números

Racionales

NIVELACIÓNNIVELACIÓNMATEMÁTICAMATEMÁTICA20142014

Proporcionalidad Directa e Inversa

y Problemas de Planteo

RECORDEMOS…DEFINICIÓN

Una proporción es directa, cuando las variables que están en juego aumentan o disminuyen en la misma razón.

El cuociente entre estas cantidades es constante y recibe el nombre de constante de proporcionalidad.

Su gráfica representa una línea recta.

Una lata de bebida cuesta 350 pesos. Tienes que comprar 10; por lo tanto, necesitas 3500 pesos.

Con estos datos tenemos la siguiente tabla:

Cantidad de latas Costo en dinero

1 350

2 700

3 1050

4 1400

5 1750

6 2100

7 2450

8 2800

9 3150

10 3500

Como se aprecia, tenemos dos variables la cantidad de latas y el costo en dinero, en ambas los valores aumentan.

El gráfico que describe el comportamiento de las variables es el siguiente:

EJEMPLO 1

GRÁFICO

A partir de los datos de la tabla anterior determinemos el valor de la Constante de proporcionalidad directa (RECUERDA QUE PODEMOS CONFIRMARLO CON LA RAZÓN O )

Cantidad de latas Costo en dinero Razón (costo /cantidad)

Constante de Proporcionalidad

1 350 350/1 350

2 700 700/2 350

3 1050 1050/3 350

4 1400 1400/4 350

5 1750 1750/5 350

6 2100 2100/6 350

7 2450 2450/7 350

8 2800 2800/8 350

9 3150 3150/9 350

10 3500 3500/10 350

latas de cantidad

dineroen costo

dineroen costo

latas de cantidad

EJEMPLO 2Si un automóvil recorre 100 kilómetros en 3 horas ¿Cuántos kilómetros recorre en 10 horas?

PUEDO REPRESENTAR LA INFORMACIÓN DE DOS MANERAS DIFERENTES QUE ME AYUDARÁN A ENTENDER MEJOR MI PROBLEMÁTICA:

TABLA GRÁFICO

Kilómetros Horas

100 3

200 6

300 9

X 10400 12

FINALMENTE RESOLVEMOS1° PASO (DATOS):

2° PASO (ECUACIÓN):

3° PASO (RESOLUCIÓN):

4° PASO (RESPUESTA):

El automóvil recorre aproximadamente 333,3 Kilómetros en 10 horas.

KILÓMETROS HORAS

100x

310

Si una variable sube la otra también= Proporción Directa

310100 ⋅=⋅ x

x

x

x

=

=

⋅=⋅

3,333

3

1000

310100

ALGUNOS EJERCICIOS PARA PRACTICAR Tres metros de género valen $ 800.

¿Cuánto valen ocho metros del mismo género?

Una moto recorre 120 metros en 4 segundos. ¿Qué distancia recorre en 52 segundos, si mantiene su rapidez constante?

Seis operarios cavan en 1 día una zanja de 80 metros de longitud. ¿Cuántos metros cavarán, en un día, 42 operarios trabajando las mismas condiciones?

Teresa trabajó 3 horas y ganó $ 8.100. A esa razón, ¿cuánto tiempo le tomará ganar $ 27.000?

PORCENTAJE EJEMPLO:En una multitienda realizan un ofertón por inauguración y

todos los productos están con el 35% de descuento, si

compro una juguera y un hervidor los cuales tenían el

precio original (sin descuento) $ 43.000 y $28.000

respectivamente. ¿ Cuánto pagué finalmente?, ¿Cuánto

ahorré?

¿CÓMO LO HARÍAS?

REPRESENTACIÓN DE PORCENTAJES

Un porcentaje puede ser representado de manera simbólica (%), proporcional, fraccionaria o decimal. Nosotros en ésta unidad utilizaremos el cálculo de éste a través de una proporción directa. Por ejemplo, para calcular el 25% de 3.500 se tiene:

25% de 3.500

PROPORCIÓNDIRECTA

El 25% DE 3.500 ES

875

DATOS ECUACIÓN RESOLUCIÓN RESPUESTA

25% x

100% 500.3100 x253500 ⋅=⋅

x875100

87500

100 253500

=

=

⋅=⋅

x

x

EJERCICIOS TIPO Generalmente nos preguntan por ciertos

porcentajes o cantidades correspondientes a un porcentaje, las posibilidades son:

El a% de b es…

EJEMPLO: El 60% de 1480 es…

¿Qué porcentaje es a de b?

EJEMPLO: ¿Qué porcentaje es 25 de 2500?

a es el b% de …

EJEMPLO: 20 es el 15% de…

EJERCICIOS El valor de un artículo en una tienda es de

$45.800, por un día se le aplica un descuento

del 12%, ¿a cuánto dinero corresponde el

descuento realizado? La casa de Laura se incendió pero ella tenía contratado

un seguro que cubría el 80% de su valor total, por esta razón, recibió por parte de la aseguradora $25.000.000. ¿Cuál era el valor original de su casa?

A Claudio le subieron el sueldo a partir del mes de Marzo en un 12% con respecto al mes anterior. Si en el mes de Marzo el sueldo que recibió fue de $364.000, ¿Cuánto ganaba en Febrero?

PROPORCIONALIDAD INVERSA

El producto entre estas magnitudes es

constante, y recibe el nombre de constante

de proporcionalidad inversa. Dicho de otra manera si una de las variables

aumenta, la otra disminuye; y si una de las variables disminuye, la otra variable aumenta.

EJEMPLOS

Para excavar se ocuparon tres máquinas iguales trabajando 160 horas cada una. ¿Cuánto tiempo se hubieran tardado 10 máquinas?

160 3

10

horas máquina

x

10 máquinas se habrían tardado 48 horas

x

x

x

=

=

⋅=⋅

4810

480

103160

Estás invitado a un cumpleaños y como es habitual, hay una torta para compartir con el festejado. A la fiesta asisten 10 amigos. A la hora de repartir la torta (si se hace en partes iguales) le corresponde una (1) parte de diez a cada uno, es decir, una décima parte de la torta o también el 10 % del total.

Con estos datos tenemos siguiente tabla:

Como se aprecia, tenemos dos variables invitados ( personas) y Trozos de torta (%), en una los valores aumentan y en la otra los valores disminuyen. y a cada valor le corresponde un valor y sólo uno en la otra.

El gráfico que describe el comportamiento de las variables es el siguiente:

Invitados (personas) Trozos de torta (%)

1 100,00

2 50,00

3 33,33

4 25,00

5 20,00

6 16,66

7 14,28

8 12,50

9 11,11

10 10,00

11 9,09

12 8,33

GRÁFICO

Con la tabla anterior multiplica cada par de valores de ambas variables.

Invitados (x) Porción de Torta (y) Producto x por y = c Constante de proporcionalidad (c)

1 100,00 1 por 100,00 100

2 50,00 2 por 50,00 100

3 33,33 3 por 33,33 100

4 25,00 4 por 25,00 100

5 20,00 5 por 20,00 100

6 16,66 6 por 16,66 100

7 14,28 7 por 14,28 100

8 12,50 8 por 12,50 100

9 11,11 9 por 11,11 100

10 10,00 10 por 10 100

ALGUNOS EJERCICIOS PARA PRACTICAR 8 albañiles tardan en hacer una obra 15

días y medio, ¿cuánto tardarían 11 albañiles?

Una persona tiene 30 vacas y alimento almacenado para darles de comer durante 16 días. Vende 18 de ellas, ¿Cuántos días puede alimentar a las que sobran con el alimento que tiene?

Un ciclista que corre a una velocidad de 16 Km./h tarda 2 horas y 20 minutos en llegar al próximo pueblo. ¿Cuánto tardaría si llevase una velocidad de 22 Km/h?

La tabla indica la cantidad de personas y los días que demoran en realizar una construcción. ¿ Cuántos días necesitarán para la construcción si trabajan 10 personas?

Personas Días

200 400

64 1.250

40 2.000

20 4.000