SISTEMAS CON UN GRADO DE LIBERTAD, CON AMORTIGUACION

DINAMICAGRUPO 9

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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADORFACULTAD DE INGENIERIA CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAESCUELA DE INGENIERIA CIVIL

SISTEMAS CON UN GRADO DE LIBERTAD, CON AMORTIGUACIONEl oscilador simple sin amortiguacin una vez efectuado oscila definitivamente con una amplitud constante a su frecuencia natural.

Fuerzas llamadas de friccin o de amortiguacin estn siempre presentes en cuaquier sistema de movimiento.

Estas fuerzas disipan energa es decir la presencia de fuerzas de friccin constituyen un mecanismo por el cual la energa mecnica del sistema(Ec, Ep) se transforman un otros tipos de energa(calor).

SISTEMAS CON UN GRADO DE LIBERTAD, CON AMORTIGUACIONAMORTIGUACION VISCOSAProvoca una fuerza recuperadora proporcional a la velocidad de vibracin, donde la constante de proporcionalidad es c, el coeficiente de amortiguamiento (Ns/m kg/s).

Es el tipo de fuerza de friccin que se produce en un campo restringido en su movimiento por un medio viscoso.

Las fuerzas de amortiguacin o friccin en el anlisis dinmico de estructuras se presume que son proporcionales a la magnitud de la velocidad y opuestas a la direccin del movimiento.

Existe situaciones donde la suposicin de amortiguacin viscosa es realista y el mecanismo de disipacin es aproximadamente viscoso.SISTEMAS CON UN GRADO DE LIBERTAD, CON AMORTIGUACION

Ecuacin del oscilador amortiguado

La segunda ley de Newton para un oscilador armnico con amortiguamiento viscoso (en una dimensin) se escribe entonces.

Aplicando que la velocidad y la aceleracin son las primera y segunda derivadas respecto al tiempo de la elongacin nos queda la ecuacin diferencial

Dividiendo por la masa de la partcula podemos escribirla como

Esta es la ecuacin diferencial del oscilador armnico amortiguado. La constante

es lafrecuencia propiadel oscilador. Equivale a la frecuencia natural con la que oscilara el resorte si no tuviera rozamiento. Como veremos, la presencia de rozamiento reduce la frecuencia de las oscilaciones

La segunda constante

es laconstante de amortiguamiento. Mide la magnitud de la friccin, siendo mayor cuanto ms intensa sea sta.Tanto la frecuencia propia0como la constante de amortiguamientotienen dimensiones de inversa de un tiempo y se miden en s1en el SI.

Sistema de amortiguacin critica

MOVIMIENTO SUBAMORTIGUADO

La lnea negra muestra la evolucin en el tiempo de la posicin de la masa.

La lnea azul de trazos indica la evolucin de la amplitud de la oscilacin. En este caso tenemos dos escalas de tiempo relevantes en el problema. Por una lado, el perodo de las oscilaciones es

T0periodo correspondiente a la frecuencia propia0. Como < 0, el perodo de oscilacin es algo mayor queT0.

Por otro lado tenemos el tiempo tpico de decrecimiento de la amplitud. En una funcin exponencial, se define como el tiempo necesario para que el valor sea1 /eveces el inicial. Es decir, en este caso tenemos

sub= 1 /

Fsicamente, esto significa que despus de un tiempo el valor de la amplitud es prcticamente cero.

En esta situacin de oscilacin subamortiguada el rozamiento es pequeo, por lo que tenemos quesub>T

Es decir, hacen falta varias oscilaciones para que el rozamiento detenga la oscilacin de la masa. Esto es claramente visible en la figura.

SISTEMA SOBREAMORTIGUADO

Consideremos ahora la situacin en la que el rozamiento es muy grande

Ahora, el radicando es positivo, por lo que las dos soluciones de la ecuacin caracterstica son reales. Si definimos

los valores deson

Observermos que, de su definicin,p< , por lo que los dos valoresson negativos. La solucin general es

Las dos exponenciales tienen exponentes negativos. Por tanto, las oscilaciones decaen en el tiempo. El tiempo tpico de decaimiento est controlado por el exponente de valor absoluto ms pequeo, pues de las dos funciones es la que tarda ms en disminuir su valor.

En el sistema sobreamortiguado se tienen dos polos reales negativos y diferentes. Para una entrada escaln, es

La transformada inversa de Laplace de la ecuacin anterior es

DECRECIMIENTO LOGARITMICO

Ejemplo ilustrativoUn sistema vibratorio que se compone de un peso de 5 kp y un resorte de constante k = 2,5 kp/cm tiene un amortiguamiento viscosa tala que la razn de dos amplitudes consecutivas mximas es de 1,00 a 0,85 determinar:La frecuencia natural del sistema sin amortiguacin Decremento logartmicoRazn de amortiguacin

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