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¿Y si el mundo no fueraentero? Introducción al

cálculo fraccionario

Funciones EspecialesFunción Gamma

Función Beta

Función de Mittag-Leffler

Operadores del CálculofraccionarioIntegral de Riemann-Liouville

Derivada de Riemann-Liouville

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Ecuaciones DiferencialesFraccionariasAlgunas ecuaciones y sussoluciones

Estabilidad de EDFSistemas lineales

Observaciones finales

Referencias

1.1

OCTAVO AQUELARRE MATEMÁTICO

¿Y si el mundo no fuera entero? Introducción alCálculo Fraccionario

Presenta:

Oscar Martínez Fuentes

DCA-CINVESTAV

Ciudad de México, México Noviembre 10, 2017

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.2

Índice General

1 Funciones EspecialesFunción GammaFunción BetaFunción de Mittag-Leffler

2 Operadores del Cálculo fraccionarioIntegral de Riemann-LiouvilleDerivada de Riemann-LiouvilleDerivada de CaputoOtras propiedades

3 Ecuaciones Diferenciales FraccionariasAlgunas ecuaciones y sus soluciones

4 Estabilidad de EDFSistemas lineales

5 Observaciones finales

6 Referencias

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.3

Función Gamma

Definición

Sea z ∈ R+.

Γ (z) =

∫ ∞0

tz−1e−t dt (1)

se conoce como Función Gamma.

1 Solo se va a considerar z ∈ R+.2 Si z ∈ C, es necesario que Re (z) ∈ R \ (0 ∪ Z−) para

la convergencia de la integral.

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

x

Γ(x)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.3

Función Gamma

Definición

Sea z ∈ R+.

Γ (z) =

∫ ∞0

tz−1e−t dt (1)

1 Solo se va a considerar z ∈ R+.

2 Si z ∈ C, es necesario que Re (z) ∈ R \ (0 ∪ Z−) parala convergencia de la integral.

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

x

Γ(x)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.3

Función Gamma

Definición

Sea z ∈ R+.

Γ (z) =

∫ ∞0

tz−1e−t dt (1)

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

x

Γ(x)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.3

Función Gamma

Definición

Sea z ∈ R+.

Γ (z) =

∫ ∞0

tz−1e−t dt (1)

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

x

Γ(x)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.4

Propiedades

De la ecuación (1):

Γ (z + 1) =

∫ ∞0

tze−t dt

= −e−t tz∣∣∞0 + z

∫ ∞0

tz−1e−t dt

= :0

−e−t tz∣∣∞0 + z

∫ ∞0

tz−1e−t dt

Propiedad 1

Γ (z + 1) = zΓ (z) (2)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.4

Propiedades

Γ (z + 1) =

∫ ∞0

tze−t dt

= −e−t tz∣∣∞0 + z

∫ ∞0

tz−1e−t dt

= :0

−e−t tz∣∣∞0 + z

∫ ∞0

tz−1e−t dt

Propiedad 1

Γ (z + 1) = zΓ (z) (2)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.4

Propiedades

Γ (z + 1) =

∫ ∞0

tze−t dt

= −e−t tz∣∣∞0 + z

∫ ∞0

tz−1e−t dt

= :0

−e−t tz∣∣∞0 + z

∫ ∞0

tz−1e−t dt

Propiedad 1

Γ (z + 1) = zΓ (z) (2)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.4

Propiedades

Γ (z + 1) =

∫ ∞0

tze−t dt

= −e−t tz∣∣∞0 + z

∫ ∞0

tz−1e−t dt

= :0

−e−t tz∣∣∞0 + z

∫ ∞0

tz−1e−t dt

Propiedad 1

Γ (z + 1) = zΓ (z) (2)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.5

Propiedades

De la ecuación (2) considerando z = n:

Γ (n + 1) = nΓ (n)

= n(n − 1)Γ(n − 1)

= n(n − 1)(n − 2)Γ(n − 2)

...= n(n − 1)(n − 2) · · · (2)(1)

= n!

Propiedad 2

Γ (n + 1) = n! (3)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.5

Propiedades

Γ (n + 1) = nΓ (n)

= n(n − 1)Γ(n − 1)

= n(n − 1)(n − 2)Γ(n − 2)

...= n(n − 1)(n − 2) · · · (2)(1)

= n!

Propiedad 2

Γ (n + 1) = n! (3)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.5

Propiedades

Γ (n + 1) = nΓ (n)

= n(n − 1)Γ(n − 1)

= n(n − 1)(n − 2)Γ(n − 2)

...= n(n − 1)(n − 2) · · · (2)(1)

= n!

Propiedad 2

Γ (n + 1) = n! (3)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.5

Propiedades

Γ (n + 1) = nΓ (n)

= n(n − 1)Γ(n − 1)

= n(n − 1)(n − 2)Γ(n − 2)

...= n(n − 1)(n − 2) · · · (2)(1)

= n!

Propiedad 2

Γ (n + 1) = n! (3)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.5

Propiedades

Γ (n + 1) = nΓ (n)

= n(n − 1)Γ(n − 1)

= n(n − 1)(n − 2)Γ(n − 2)

...= n(n − 1)(n − 2) · · · (2)(1)

= n!

Propiedad 2

Γ (n + 1) = n! (3)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.5

Propiedades

Γ (n + 1) = nΓ (n)

= n(n − 1)Γ(n − 1)

= n(n − 1)(n − 2)Γ(n − 2)

...= n(n − 1)(n − 2) · · · (2)(1)

= n!

Propiedad 2

Γ (n + 1) = n! (3)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.6

Propiedades

Propiedad 3: Fórmula de reflexión

Γ(z)Γ (1− z) =π

sin(πz)(4)

Ejemplo

En la Propiedad 3, con z = 12 :

Γ( 1

2

)=√π

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.6

Propiedades

Propiedad 3: Fórmula de reflexión

Γ(z)Γ (1− z) =π

sin(πz)(4)

Ejemplo

En la Propiedad 3, con z = 12 :

Γ( 1

2

)=√π

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.7

Función Beta

• Dada una función f , a veces es útil expresar f (x + y) entérminos de f (x)f (y):

ex+y = exey

•

Γ (z) Γ (w) = 2Γ (z + w)

∫ π2

0cos2z−1 θ sin2w−1 θdθ

Definición

Sean z ∈ R+,w ∈ R+.

β (z,w) =

∫ 1

0tz−1 (1− t)w−1 dt (5)

se llama Función Beta.

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.7

Función Beta

ex+y = exey

•

Γ (z) Γ (w) = 2Γ (z + w)

∫ π2

Definición

β (z,w) =

∫ 1

0tz−1 (1− t)w−1 dt (5)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.7

Función Beta

ex+y = exey

•

Γ (z) Γ (w) =

2Γ (z + w)

∫ π2

Definición

β (z,w) =

∫ 1

0tz−1 (1− t)w−1 dt (5)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.7

Función Beta

ex+y = exey

•

Γ (z) Γ (w) = 2Γ (z + w)

∫ π2

Definición

β (z,w) =

∫ 1

0tz−1 (1− t)w−1 dt (5)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.7

Función Beta

ex+y = exey

•

Γ (z) Γ (w) = 2Γ (z + w)

∫ π2

Definición

β (z,w) =

∫ 1

0tz−1 (1− t)w−1 dt (5)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.8

Propiedades

Consideremos la siguiente integral:

hz,w (t) =

∫ t

0τ z−1 (t − τ)w−1 dτ (6)

Notemos que:1 hz,w (t) es la convolución de las funciones tz−1 y tw−1.2 hz,w (1) = β(z,w)

3 Sea Hz,w (s) la transformada de Laplace de hz,w (t).

Hz,w (s) =Γ (z) Γ (w)

sz+w

L−1 Hz,w (s) = Γ (z) Γ (w)L−1

1sz+w

hz,w (t) =

Γ (z) Γ (w)

Γ (z + w)tz+w−1

hz,w (1) =Γ (z) Γ (w)

Γ (z + w)1z+w−1

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.8

Propiedades

hz,w (t) =

∫ t

0τ z−1 (t − τ)w−1 dτ (6)

Notemos que:1 hz,w (t) es la convolución de las funciones tz−1 y tw−1.

2 hz,w (1) = β(z,w)

Hz,w (s) =Γ (z) Γ (w)

sz+w

L−1 Hz,w (s) = Γ (z) Γ (w)L−1

1sz+w

hz,w (t) =

Γ (z) Γ (w)

Γ (z + w)tz+w−1

hz,w (1) =Γ (z) Γ (w)

Γ (z + w)1z+w−1

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.8

Propiedades

hz,w (t) =

∫ t

0τ z−1 (t − τ)w−1 dτ (6)

Hz,w (s) =Γ (z) Γ (w)

sz+w

L−1 Hz,w (s) = Γ (z) Γ (w)L−1

1sz+w

hz,w (t) =

Γ (z) Γ (w)

Γ (z + w)tz+w−1

hz,w (1) =Γ (z) Γ (w)

Γ (z + w)1z+w−1

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.8

Propiedades

hz,w (t) =

∫ t

0τ z−1 (t − τ)w−1 dτ (6)

Hz,w (s) =Γ (z) Γ (w)

sz+w

L−1 Hz,w (s) = Γ (z) Γ (w)L−1

1sz+w

hz,w (t) =

Γ (z) Γ (w)

Γ (z + w)tz+w−1

hz,w (1) =Γ (z) Γ (w)

Γ (z + w)1z+w−1

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.8

Propiedades

hz,w (t) =

∫ t

0τ z−1 (t − τ)w−1 dτ (6)

Hz,w (s) =Γ (z) Γ (w)

sz+w

L−1 Hz,w (s) = Γ (z) Γ (w)L−1

1sz+w

hz,w (t) =

Γ (z) Γ (w)

Γ (z + w)tz+w−1

hz,w (1) =Γ (z) Γ (w)

Γ (z + w)1z+w−1

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.8

Propiedades

hz,w (t) =

∫ t

0τ z−1 (t − τ)w−1 dτ (6)

Hz,w (s) =Γ (z) Γ (w)

sz+w

L−1 Hz,w (s) = Γ (z) Γ (w)L−1

1sz+w

hz,w (t) =Γ (z) Γ (w)

Γ (z + w)tz+w−1

hz,w (1) =Γ (z) Γ (w)

Γ (z + w)1z+w−1

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.8

Propiedades

hz,w (t) =

∫ t

0τ z−1 (t − τ)w−1 dτ (6)

Hz,w (s) =Γ (z) Γ (w)

sz+w

L−1 Hz,w (s) = Γ (z) Γ (w)L−1

1sz+w

hz,w (t) =

Γ (z) Γ (w)

Γ (z + w)tz+w−1

hz,w (1) =Γ (z) Γ (w)

Γ (z + w)1z+w−1

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.8

Propiedades

hz,w (t) =

∫ t

0τ z−1 (t − τ)w−1 dτ (6)

Hz,w (s) =Γ (z) Γ (w)

sz+w

L−1 Hz,w (s) = Γ (z) Γ (w)L−1

1sz+w

hz,w (t) =

Γ (z) Γ (w)

Γ (z + w)tz+w−1

hz,w (1) =Γ (z) Γ (w)

Γ (z + w)1z+w−1

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.9

Propiedades

Propiedad 4

β (z,w) =Γ (z) Γ (w)

Γ (z + w)(7)

Propiedad 5

β (z,w) = β (w , z) (8)

Propiedad 6

β (z + 1,w) =z

z + wβ (z,w) (9)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.9

Propiedades

Propiedad 4

β (z,w) =Γ (z) Γ (w)

Γ (z + w)(7)

Propiedad 5

β (z,w) = β (w , z) (8)

Propiedad 6

β (z + 1,w) =z

z + wβ (z,w) (9)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.9

Propiedades

Propiedad 4

β (z,w) =Γ (z) Γ (w)

Γ (z + w)(7)

Propiedad 5

β (z,w) = β (w , z) (8)

Propiedad 6

β (z + 1,w) =z

z + wβ (z,w) (9)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.10

Definición

Sea n > 0.

En(z) =∞∑j=0

z j

Γ (jn + 1)(10)

Se llama Función de Mittag Leffler de orden n.

Ejemplo

Si n = 1:

E1(z) =∞∑j=0

z j

Γ (j + 1)=∞∑j=0

z j

j!= exp (z)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.10

Definición

Sea n > 0.

En(z) =∞∑j=0

z j

Γ (jn + 1)(10)

Ejemplo

Si n = 1:

E1(z) =∞∑j=0

z j

Γ (j + 1)

=∞∑j=0

z j

j!= exp (z)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.10

Definición

Sea n > 0.

En(z) =∞∑j=0

z j

Γ (jn + 1)(10)

Ejemplo

Si n = 1:

E1(z) =∞∑j=0

z j

Γ (j + 1)=∞∑j=0

z j

j!=

exp (z)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.10

Definición

Sea n > 0.

En(z) =∞∑j=0

z j

Γ (jn + 1)(10)

Ejemplo

Si n = 1:

E1(z) =∞∑j=0

z j

Γ (j + 1)=∞∑j=0

z j

j!= exp (z)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.11

Definición

Sean n1,n2 > 0.

En1,n2 (z) =∞∑j=0

z j

Γ (jn1 + n2)(11)

Se llama Función de Mittag Leffler de parámetros n1 y n2.

Es claro que:En,1(z) = En(z)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.11

Definición

Sean n1,n2 > 0.

En1,n2 (z) =∞∑j=0

z j

Γ (jn1 + n2)(11)

Se llama Función de Mittag Leffler de parámetros n1 y n2.

Es claro que:En,1(z) = En(z)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.12

Ejemplos

Ejemplo

cos x =

∞∑k=0

(−1)k x2k

(2k)!=∞∑

k=0

(−x2

)k

Γ(2k + 1)= E2,1(−x2)

cosh x =∞∑

k=0

(x)2k

(2k)!=∞∑

k=0

(x)2k

Γ(2k + 1)= E2,1(x2)

E1,r (x) =1

x r−1

ex −

r−2∑k=0

xk

k !

, r ∈ N, x ∈ C

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.12

Ejemplos

Ejemplo

cos x =∞∑

k=0

(−1)k x2k

(2k)!

=∞∑

k=0

(−x2

)k

Γ(2k + 1)= E2,1(−x2)

cosh x =∞∑

k=0

(x)2k

(2k)!=∞∑

k=0

(x)2k

Γ(2k + 1)= E2,1(x2)

E1,r (x) =1

x r−1

ex −

r−2∑k=0

xk

k !

, r ∈ N, x ∈ C

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.12

Ejemplos

Ejemplo

cos x =∞∑

k=0

(−1)k x2k

(2k)!=∞∑

k=0

(−x2

)k

Γ(2k + 1)

= E2,1(−x2)

cosh x =∞∑

k=0

(x)2k

(2k)!=∞∑

k=0

(x)2k

Γ(2k + 1)= E2,1(x2)

E1,r (x) =1

x r−1

ex −

r−2∑k=0

xk

k !

, r ∈ N, x ∈ C

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.12

Ejemplos

Ejemplo

cos x =∞∑

k=0

(−1)k x2k

(2k)!=∞∑

k=0

(−x2

)k

Γ(2k + 1)= E2,1(−x2)

cosh x =∞∑

k=0

(x)2k

(2k)!=∞∑

k=0

(x)2k

Γ(2k + 1)= E2,1(x2)

E1,r (x) =1

x r−1

ex −

r−2∑k=0

xk

k !

, r ∈ N, x ∈ C

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.12

Ejemplos

Ejemplo

cos x =∞∑

k=0

(−1)k x2k

(2k)!=∞∑

k=0

(−x2

)k

Γ(2k + 1)= E2,1(−x2)

cosh x =

∞∑k=0

(x)2k

(2k)!=∞∑

k=0

(x)2k

Γ(2k + 1)= E2,1(x2)

E1,r (x) =1

x r−1

ex −

r−2∑k=0

xk

k !

, r ∈ N, x ∈ C

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.12

Ejemplos

Ejemplo

cos x =∞∑

k=0

(−1)k x2k

(2k)!=∞∑

k=0

(−x2

)k

Γ(2k + 1)= E2,1(−x2)

cosh x =∞∑

k=0

(x)2k

(2k)!

=∞∑

k=0

(x)2k

Γ(2k + 1)= E2,1(x2)

E1,r (x) =1

x r−1

ex −

r−2∑k=0

xk

k !

, r ∈ N, x ∈ C

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.12

Ejemplos

Ejemplo

cos x =∞∑

k=0

(−1)k x2k

(2k)!=∞∑

k=0

(−x2

)k

Γ(2k + 1)= E2,1(−x2)

cosh x =∞∑

k=0

(x)2k

(2k)!=∞∑

k=0

(x)2k

Γ(2k + 1)

= E2,1(x2)

E1,r (x) =1

x r−1

ex −

r−2∑k=0

xk

k !

, r ∈ N, x ∈ C

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.12

Ejemplos

Ejemplo

cos x =∞∑

k=0

(−1)k x2k

(2k)!=∞∑

k=0

(−x2

)k

Γ(2k + 1)= E2,1(−x2)

cosh x =∞∑

k=0

(x)2k

(2k)!=∞∑

k=0

(x)2k

Γ(2k + 1)= E2,1(x2)

E1,r (x) =1

x r−1

ex −

r−2∑k=0

xk

k !

, r ∈ N, x ∈ C

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.12

Ejemplos

Ejemplo

cos x =∞∑

k=0

(−1)k x2k

(2k)!=∞∑

k=0

(−x2

)k

Γ(2k + 1)= E2,1(−x2)

cosh x =∞∑

k=0

(x)2k

(2k)!=∞∑

k=0

(x)2k

Γ(2k + 1)= E2,1(x2)

E1,r (x) =1

x r−1

ex −

r−2∑k=0

xk

k !

, r ∈ N, x ∈ C

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.13

Algunas propiedades

ex−y =ex

ey

→ E1 (x − y) =E1 (x)

E1 (y)

En1,n2 (x) = xEn1,n1+n2 (x) +1

Γ(n2)

• Dada f (t) = tβ−1Eα,β (tα), entonces:

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.13

Algunas propiedades

ex−y =ex

ey → E1 (x − y) =E1 (x)

E1 (y)

En1,n2 (x) = xEn1,n1+n2 (x) +1

Γ(n2)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.13

Algunas propiedades

ex−y =ex

ey → E1 (x − y) =E1 (x)

E1 (y)

En1,n2 (x) = xEn1,n1+n2 (x) +1

Γ(n2)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.13

Algunas propiedades

ex−y =ex

ey → E1 (x − y) =E1 (x)

E1 (y)

En1,n2 (x) = xEn1,n1+n2 (x) +1

Γ(n2)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.14

dm

dtm

[tβ−1Eα,β (tα)

]=

dm

dtm

[tβ−1

∞∑k=0

(tα)k

Γ(αk + β)

]

=dm

dtm

[ ∞∑k=0

tαk+β−1

Γ(αk + β)

][

dn

dtn t j = Γ(j+1)Γ(j+1−n) t j−n

]=

∞∑k=0

1Γ(αk + β)

(dm

dtm tαk+β−1)

=∞∑

k=0

1Γ(αk+β)

Γ(αk+β)Γ(αk+β−m) tαk+β−m−1

= tβ−m−1∞∑

k=0

(tα)k

Γ(αk + β −m)

= tβ−m−1Eα,β−m (tα)

dm

dtm

]= tβ−m−1Eα,β−m (tα) , Re(β −m) > 0

(12)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.14

dm

dtm

]=

dm

dtm

[tβ−1

∞∑k=0

(tα)k

Γ(αk + β)

]

=dm

dtm

[ ∞∑k=0

tαk+β−1

Γ(αk + β)

]

[dn

]=

∞∑k=0

1Γ(αk + β)

(dm

dtm tαk+β−1)

=∞∑

k=0

1Γ(αk+β)

= tβ−m−1∞∑

k=0

(tα)k

Γ(αk + β −m)

dm

dtm

]= tβ−m−1Eα,β−m (tα) , Re(β −m) > 0

(12)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.14

dm

dtm

]=

dm

dtm

[tβ−1

∞∑k=0

(tα)k

Γ(αk + β)

]

=dm

dtm

[ ∞∑k=0

tαk+β−1

Γ(αk + β)

][

dn

]=

∞∑k=0

1Γ(αk + β)

(dm

dtm tαk+β−1)

=∞∑

k=0

1Γ(αk+β)

= tβ−m−1∞∑

k=0

(tα)k

Γ(αk + β −m)

dm

dtm

]= tβ−m−1Eα,β−m (tα) , Re(β −m) > 0

(12)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.14

dm

dtm

]=

dm

dtm

[tβ−1

∞∑k=0

(tα)k

Γ(αk + β)

]

=dm

dtm

[ ∞∑k=0

tαk+β−1

Γ(αk + β)

][

dn

]=

∞∑k=0

1Γ(αk + β)

(dm

dtm tαk+β−1)

=∞∑

k=0

1Γ(αk+β)

= tβ−m−1∞∑

k=0

(tα)k

Γ(αk + β −m)

dm

dtm

]= tβ−m−1Eα,β−m (tα) , Re(β −m) > 0

(12)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.14

dm

dtm

]=

dm

dtm

[tβ−1

∞∑k=0

(tα)k

Γ(αk + β)

]

=dm

dtm

[ ∞∑k=0

tαk+β−1

Γ(αk + β)

][

dn

]=

∞∑k=0

1Γ(αk + β)

(dm

dtm tαk+β−1)

=∞∑

k=0

1Γ(αk+β)

= tβ−m−1∞∑

k=0

(tα)k

Γ(αk + β −m)

dm

dtm

]= tβ−m−1Eα,β−m (tα) , Re(β −m) > 0

(12)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.14

dm

dtm

]=

dm

dtm

[tβ−1

∞∑k=0

(tα)k

Γ(αk + β)

]

=dm

dtm

[ ∞∑k=0

tαk+β−1

Γ(αk + β)

][

dn

]=

∞∑k=0

1Γ(αk + β)

(dm

dtm tαk+β−1)

=∞∑

k=0

1Γ(αk+β)

= tβ−m−1∞∑

k=0

(tα)k

Γ(αk + β −m)

dm

dtm

]= tβ−m−1Eα,β−m (tα) , Re(β −m) > 0

(12)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.14

dm

dtm

]=

dm

dtm

[tβ−1

∞∑k=0

(tα)k

Γ(αk + β)

]

=dm

dtm

[ ∞∑k=0

tαk+β−1

Γ(αk + β)

][

dn

]=

∞∑k=0

1Γ(αk + β)

(dm

dtm tαk+β−1)

=∞∑

k=0

1Γ(αk+β)

= tβ−m−1∞∑

k=0

(tα)k

Γ(αk + β −m)

dm

dtm

]= tβ−m−1Eα,β−m (tα) , Re(β −m) > 0

(12)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.15

• Si α = m/n en f (t) = tβ−1Eα,β (tα), la ecuación (12):

dm

dtm

[tβ−1E m

n ,β

(t

mn)]

= tβ−1E mn ,β

(t

mn)

+tβ−1n∑

k=1

t−mn k

Γ(β−m

n k)

• Entonces y1(t) = tβ−1E mn ,β

(t

mn)

satisface la ED:

dmy1(t)dtm − y1(t) = tβ−1

n∑k=1

t−mn k

Γ(β − mn k)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.15

dm

dtm

[tβ−1E m

n ,β

(t

mn)]

= tβ−1E mn ,β

(t

mn)

+tβ−1n∑

k=1

t−mn k

Γ(β−m

n k)

(t

mn)

satisface la ED:

n∑k=1

t−mn k

Γ(β − mn k)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.15

dm

dtm

[tβ−1E m

n ,β

(t

mn)]

= tβ−1E mn ,β

(t

mn)

+tβ−1n∑

k=1

t−mn k

Γ(β−m

n k)

(t

mn)

satisface la ED:

n∑k=1

t−mn k

Γ(β − mn k)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.16

Integral iterada

f (t)

→∫

f →∫∫

f →∫∫∫

f →∫· · ·∫

f

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

2 3 4 ... ... k101

Definición

Sea n ∈ N.

0Int f (t) =

∫ t

0. . .

∫ t

0︸︷︷︸n-veces

f (t) dt . . . dt︸︷︷︸n-veces

=1

(n − 1)!

∫ t

0(t − τ)n−1 f (τ)dτ

(13)

representa la integral iterada.

• ¿Qué pasa si n = α ∈ R+?

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

2 3 4 ... ... k101

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.16

Integral iterada

f (t)→∫

f

→∫∫

f →∫∫∫

f →∫· · ·∫

f

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

2 3 4 ... ... k101

Definición

Sea n ∈ N.

0Int f (t) =

∫ t

0. . .

∫ t

=1

(n − 1)!

∫ t

0(t − τ)n−1 f (τ)dτ

(13)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

2 3 4 ... ... k101

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.16

Integral iterada

f (t)→∫

f →∫∫

f

→∫∫∫

f →∫· · ·∫

f

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

2 3 4 ... ... k101

Definición

Sea n ∈ N.

0Int f (t) =

∫ t

0. . .

∫ t

=1

(n − 1)!

∫ t

0(t − τ)n−1 f (τ)dτ

(13)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

2 3 4 ... ... k101

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.16

Integral iterada

f (t)→∫

f →∫∫

f →∫∫∫

f

→∫· · ·∫

f

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

2 3 4 ... ... k101

Definición

Sea n ∈ N.

0Int f (t) =

∫ t

0. . .

∫ t

=1

(n − 1)!

∫ t

0(t − τ)n−1 f (τ)dτ

(13)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

2 3 4 ... ... k101

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.16

Integral iterada

f (t)→∫

f →∫∫

f →∫∫∫

f →∫· · ·∫

f

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

2 3 4 ... ... k101

Definición

Sea n ∈ N.

0Int f (t) =

∫ t

0. . .

∫ t

=1

(n − 1)!

∫ t

0(t − τ)n−1 f (τ)dτ

(13)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

2 3 4 ... ... k101

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.16

Integral iterada

f (t)→∫

f →∫∫

f →∫∫∫

f →∫· · ·∫

f

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

2 3 4 ... ... k101

Definición

Sea n ∈ N.

0Int f (t) =

∫ t

0. . .

∫ t

=1

(n − 1)!

∫ t

0(t − τ)n−1 f (τ)dτ

(13)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

2 3 4 ... ... k101

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.16

Integral iterada

f (t)→∫

f →∫∫

f →∫∫∫

f →∫· · ·∫

f

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

2 3 4 ... ... k101

Definición

Sea n ∈ N.

0Int f (t) =

∫ t

0. . .

∫ t

=1

(n − 1)!

∫ t

0(t − τ)n−1 f (τ)dτ

(13)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

2 3 4 ... ... k101

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.16

Integral iterada

f (t)→∫

f →∫∫

f →∫∫∫

f →∫· · ·∫

f

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

2 3 4 ... ... k101

Definición

Sea n ∈ N.

0Int f (t) =

∫ t

0. . .

∫ t

=1

(n − 1)!

∫ t

0(t − τ)n−1 f (τ)dτ

(13)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

2 3 4 ... ... k101

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.16

Integral iterada

f (t)→∫

f →∫∫

f →∫∫∫

f →∫· · ·∫

f

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

2 3 4 ... ... k101

Definición

Sea n ∈ N.

0Int f (t) =

∫ t

0. . .

∫ t

=1

(n − 1)!

∫ t

0(t − τ)n−1 f (τ)dτ

(13)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

2 3 4 ... ... k101

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.16

Integral iterada

f (t)→∫

f →∫∫

f →∫∫∫

f →∫· · ·∫

f

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

2 3 4 ... ... k101

Definición

Sea n ∈ N.

0Int f (t) =

∫ t

0. . .

∫ t

=1

(n − 1)!

∫ t

0(t − τ)n−1 f (τ)dτ

(13)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

2 3 4 ... ... k101

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.17

Integral de Riemann-Liouville

Definición

Sea α > 0. El operador dado por

0Iαt f (t) :=1

Γ(α)

∫ t

0

f (τ)

(t − τ)1−α dτ (14)

para 0 ≤ t ≤ b se conoce como Integral fraccionaria deRiemann-Liouville de orden α.

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.18

Ejemplo

Sea f1(t) = tβ , con β > −1 y α > 0. De la definición de laintegral de Riemann-Liouville (14):

0Iαt f1(t) =1

Γ (α)

∫ t

0(t − τ)α−1

τβdτ

Sea τ = st , entonces

0Iαt f1(t) =1

Γ(α)tα+β

∫ 1

0(1− s)α−1 sβds

Luego, de la ecuación (7):

0Iαt f1(t) =Γ (β + 1)

Γ (α + β + 1)tα+β

Para f1(t) =√

t = t12 , tenemos β = 1

2 . Si α = 12 :

0I12t

√t =

Γ( 1

2 + 1)

Γ (2)t =

12

Γ( 1

2

)t =

√π

2t

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.18

Ejemplo

0Iαt f1(t) =1

Γ (α)

∫ t

0(t − τ)α−1

τβdτ

0Iαt f1(t) =1

Γ(α)tα+β

∫ 1

0Iαt f1(t) =Γ (β + 1)

Γ (α + β + 1)tα+β

Para f1(t) =√

2 . Si α = 12 :

0I12t

√t =

Γ( 1

2 + 1)

Γ (2)t =

12

Γ( 1

2

)t =

√π

2t

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.18

Ejemplo

0Iαt f1(t) =1

Γ (α)

∫ t

0(t − τ)α−1

τβdτ

0Iαt f1(t) =1

Γ(α)tα+β

∫ 1

0Iαt f1(t) =Γ (β + 1)

Γ (α + β + 1)tα+β

Para f1(t) =√

2 . Si α = 12 :

0I12t

√t =

Γ( 1

2 + 1)

Γ (2)t =

12

Γ( 1

2

)t =

√π

2t

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.18

Ejemplo

0Iαt f1(t) =1

Γ (α)

∫ t

0(t − τ)α−1

τβdτ

0Iαt f1(t) =1

Γ(α)tα+β

∫ 1

0Iαt f1(t) =Γ (β + 1)

Γ (α + β + 1)tα+β

Para f1(t) =√

2 . Si α = 12 :

0I12t

√t =

Γ( 1

2 + 1)

Γ (2)t =

12

Γ( 1

2

)t =

√π

2t

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.18

Ejemplo

0Iαt f1(t) =1

Γ (α)

∫ t

0(t − τ)α−1

τβdτ

0Iαt f1(t) =1

Γ(α)tα+β

∫ 1

0Iαt f1(t) =Γ (β + 1)

Γ (α + β + 1)tα+β

Para f1(t) =√

2 . Si α = 12 :

0I12t

√t =

Γ( 1

2 + 1)

Γ (2)t =

12

Γ( 1

2

)t =

√π

2t

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.18

Ejemplo

0Iαt f1(t) =1

Γ (α)

∫ t

0(t − τ)α−1

τβdτ

0Iαt f1(t) =1

Γ(α)tα+β

∫ 1

0Iαt f1(t) =Γ (β + 1)

Γ (α + β + 1)tα+β

Para f1(t) =√

2 . Si α = 12 :

0I12t

√t =

Γ( 1

2 + 1)

Γ (2)t

=12

Γ( 1

2

)t =

√π

2t

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.18

Ejemplo

0Iαt f1(t) =1

Γ (α)

∫ t

0(t − τ)α−1

τβdτ

0Iαt f1(t) =1

Γ(α)tα+β

∫ 1

0Iαt f1(t) =Γ (β + 1)

Γ (α + β + 1)tα+β

Para f1(t) =√

2 . Si α = 12 :

0I12t

√t =

Γ( 1

2 + 1)

Γ (2)t =

12

Γ( 1

2

)t =

√π

2t

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.19

Observaciones

1 Para α = 0, se establece que 0I0t := I, el operador

identidad.

2 Propiedad de semigrupo.

0Iαt 0Iβt f (t) = 0Iβt 0Iαt f (t) = 0Iα+βt f (t) (15)

3 La integral fraccionaria es una convolución de lasfunciones:

0Iαt f (t) =tα−1

Γ(α)∗ f (t)

4 La transformada de Laplace de la Integral deRiemann-Liouville está dada por:

L0Iαt f (t) =F (s)

sα(16)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.19

Observaciones

identidad.2 Propiedad de semigrupo.

Γ(α)∗ f (t)

L0Iαt f (t) =F (s)

sα(16)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.19

Observaciones

Γ(α)∗ f (t)

L0Iαt f (t) =F (s)

sα(16)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.19

Observaciones

Γ(α)∗ f (t)

L0Iαt f (t) =F (s)

sα(16)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.20

Ejemplo

Dadaf (t) = tβ−1Eα,β (λtα)

Se tiene que:

0Iνt f (t) =1

Γ (ν)

∫ t

0(t − τ)ν−1

τβ−1Eα,β (λτα) dτ

= tβ+ν−1Eα,β+ν (λtα)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.20

Ejemplo

Dadaf (t) = tβ−1Eα,β (λtα)

Se tiene que:

0Iνt f (t) =1

Γ (ν)

∫ t

0(t − τ)ν−1

τβ−1Eα,β (λτα) dτ

= tβ+ν−1Eα,β+ν (λtα)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.21

Definición

RL0 Dαt f (t) = Dn [

0In−αt f (t)

]

=1

Γ(n − α)

dn

dtn

∫ t

0(t − τ)n−α−1 f (τ) dτ

(17)

donde n = mín k ∈ N | k > α, α > 0.

• En particular para 0 < α < 1:

RL0 Dαt f (t) =

1Γ(1− α)

ddt

∫ t

0(t − τ)−α f (τ) dτ (18)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.21

Definición

0In−αt f (t)

]=

1Γ(n − α)

dn

dtn

∫ t

0(t − τ)n−α−1 f (τ) dτ

(17)

RL0 Dαt f (t) =

1Γ(1− α)

ddt

∫ t

0(t − τ)−α f (τ) dτ (18)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.21

Definición

0In−αt f (t)

]=

1Γ(n − α)

dn

dtn

∫ t

0(t − τ)n−α−1 f (τ) dτ

(17)

RL0 Dαt f (t) =

1Γ(1− α)

ddt

∫ t

0(t − τ)−α f (τ) dτ (18)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.22

Ejemplo

Sea K una constante distinta de cero,

y considerando que0 < α < 1:

RL0 Dαt K =

ddt

(1

Γ(1− α)

∫ t

0(t − τ)−α Kdτ

)

=K

Γ(1− α)

ddt

(∫ t

0(t − τ)−α dτ

)

=K

Γ(1− α)

ddt

[− (t − τ)−α+1

−α + 1

∣∣∣∣t0

]

=K

Γ(1− α)

ddt

[t−α+1

−α + 1

]=

KΓ(1− α)

t−α 6= 0

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.22

Ejemplo

Sea K una constante distinta de cero, y considerando que0 < α < 1:

RL0 Dαt K =

ddt

(1

Γ(1− α)

∫ t

)

=K

Γ(1− α)

ddt

(∫ t

0(t − τ)−α dτ

)

=K

Γ(1− α)

ddt

[− (t − τ)−α+1

−α + 1

∣∣∣∣t0

]

=K

Γ(1− α)

ddt

[t−α+1

−α + 1

]=

KΓ(1− α)

t−α 6= 0

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.22

Ejemplo

RL0 Dαt K =

ddt

(1

Γ(1− α)

∫ t

)

=K

Γ(1− α)

ddt

(∫ t

0(t − τ)−α dτ

)

=K

Γ(1− α)

ddt

[− (t − τ)−α+1

−α + 1

∣∣∣∣t0

]

=K

Γ(1− α)

ddt

[t−α+1

−α + 1

]=

KΓ(1− α)

t−α 6= 0

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.22

Ejemplo

RL0 Dαt K =

ddt

(1

Γ(1− α)

∫ t

)

=K

Γ(1− α)

ddt

(∫ t

0(t − τ)−α dτ

)

=K

Γ(1− α)

ddt

[− (t − τ)−α+1

−α + 1

∣∣∣∣t0

]

=K

Γ(1− α)

ddt

[t−α+1

−α + 1

]=

KΓ(1− α)

t−α 6= 0

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.22

Ejemplo

RL0 Dαt K =

ddt

(1

Γ(1− α)

∫ t

)

=K

Γ(1− α)

ddt

(∫ t

0(t − τ)−α dτ

)

=K

Γ(1− α)

ddt

[− (t − τ)−α+1

−α + 1

∣∣∣∣t0

]

=K

Γ(1− α)

ddt

[t−α+1

−α + 1

]=

KΓ(1− α)

t−α 6= 0

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.22

Ejemplo

RL0 Dαt K =

ddt

(1

Γ(1− α)

∫ t

)

=K

Γ(1− α)

ddt

(∫ t

0(t − τ)−α dτ

)

=K

Γ(1− α)

ddt

[− (t − τ)−α+1

−α + 1

∣∣∣∣t0

]

=K

Γ(1− α)

ddt

[t−α+1

−α + 1

]

=K

Γ(1− α)t−α 6= 0

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.22

Ejemplo

RL0 Dαt K =

ddt

(1

Γ(1− α)

∫ t

)

=K

Γ(1− α)

ddt

(∫ t

0(t − τ)−α dτ

)

=K

Γ(1− α)

ddt

[− (t − τ)−α+1

−α + 1

∣∣∣∣t0

]

=K

Γ(1− α)

ddt

[t−α+1

−α + 1

]=

KΓ(1− α)

t−α

6= 0

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.22

Ejemplo

RL0 Dαt K =

ddt

(1

Γ(1− α)

∫ t

)

=K

Γ(1− α)

ddt

(∫ t

0(t − τ)−α dτ

)

=K

Γ(1− α)

ddt

[− (t − τ)−α+1

−α + 1

∣∣∣∣t0

]

=K

Γ(1− α)

ddt

[t−α+1

−α + 1

]=

KΓ(1− α)

t−α 6= 0

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.23

Ejemplo

Sea f1(t) = tβ . Por un ejercicio anterior:

0Iαt f1(t) =Γ (β + 1)

Γ (α + β + 1)tα+β

y sabemos que:

Dnt j =Γ (j + 1)

Γ (j + 1− n)t j−n

De la definición de la derivada de RL (17):

RL0 Dαt tβ = Dn [

0In−αt tβ

]=

Γ (β + 1)

Γ (n − α + β + 1)Dn [tn−α+β

]=

Γ (β + 1)

Γ (β − α + 1)tβ−α

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.23

Ejemplo

0Iαt f1(t) =Γ (β + 1)

Γ (α + β + 1)tα+β

y sabemos que:

Dnt j =Γ (j + 1)

Γ (j + 1− n)t j−n

RL0 Dαt tβ = Dn [

0In−αt tβ

]

=Γ (β + 1)

Γ (n − α + β + 1)Dn [tn−α+β

]=

Γ (β + 1)

Γ (β − α + 1)tβ−α

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.23

Ejemplo

0Iαt f1(t) =Γ (β + 1)

Γ (α + β + 1)tα+β

y sabemos que:

Dnt j =Γ (j + 1)

Γ (j + 1− n)t j−n

RL0 Dαt tβ = Dn [

0In−αt tβ

]=

Γ (β + 1)

Γ (n − α + β + 1)Dn [tn−α+β

]

=Γ (β + 1)

Γ (β − α + 1)tβ−α

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.23

Ejemplo

0Iαt f1(t) =Γ (β + 1)

Γ (α + β + 1)tα+β

y sabemos que:

Dnt j =Γ (j + 1)

Γ (j + 1− n)t j−n

RL0 Dαt tβ = Dn [

0In−αt tβ

]=

Γ (β + 1)

Γ (n − α + β + 1)Dn [tn−α+β

]=

Γ (β + 1)

Γ (β − α + 1)tβ−α

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.24

Ejemplo

Sea γ ∈ R, k ∈ N y

f (t) = tαk+β−1E (k)α,β (λtα)

Demostrar que:

RL0 D

γt f (t) = tαk+β−γ−1E (k)

α,β−γ (λtα) (19)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.25

Derivada de Caputo

Definición

C0Dαt f (t) = 0In−α

t [Dnf (t)]

=1

Γ(n − α)

∫ t

0(t − τ)n−α−1 f (n)(τ)dτ

(20)donde n = mín k ∈ N | k > α, α > 0.

C0Dαt f (t) = 0I1−α

t f ′(t) =1

Γ(1− α)

∫ t

0(t − τ)−α f ′(τ) dτ

(21)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.25

Derivada de Caputo

Definición

t [Dnf (t)] =1

Γ(n − α)

∫ t

0(t − τ)n−α−1 f (n)(τ)dτ

(20)donde n = mín k ∈ N | k > α, α > 0.

t f ′(t) =1

Γ(1− α)

∫ t

0(t − τ)−α f ′(τ) dτ

(21)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.25

Derivada de Caputo

Definición

t [Dnf (t)] =1

Γ(n − α)

∫ t

0(t − τ)n−α−1 f (n)(τ)dτ

(20)donde n = mín k ∈ N | k > α, α > 0.

t f ′(t) =1

Γ(1− α)

∫ t

0(t − τ)−α f ′(τ) dτ

(21)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.26

Ejemplo

1 Sea K una constante distinta de cero y 0 < α < 1.

C0Dαt K = 0

2 Sea f = tβ .

C0Dαt tβ =

Γ (β + 1)

Γ (β − α + 1)tβ−α

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.26

Ejemplo

C0Dαt K =

0

2 Sea f = tβ .

C0Dαt tβ =

Γ (β + 1)

Γ (β − α + 1)tβ−α

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.26

Ejemplo

C0Dαt K = 0

2 Sea f = tβ .

C0Dαt tβ =

Γ (β + 1)

Γ (β − α + 1)tβ−α

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.26

Ejemplo

C0Dαt K = 0

2 Sea f = tβ .

C0Dαt tβ =

Γ (β + 1)

Γ (β − α + 1)tβ−α

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.27

Transformadas de Laplace de los operadores fraccionarios

Sea m − 1 < α < m:

L0Iαt f (t) =F (s)

sα

LRL

0 Dαt f (t)

= sαF (s)−m−1∑k=0

sk(

RL0 Dα−k−1

t f (0))

L

C0Dαt f (t)

= sαF (s)−

m−1∑k=0

sα−k−1(

f (k)(0))

L

tβ−1Eα,β (−λtα)

=sα−β

sα + λ, Re (s) >| λ |

1α

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.27

Sea m − 1 < α < m:

L0Iαt f (t) =F (s)

sα

LRL

0 Dαt f (t)

=

sαF (s)−m−1∑k=0

sk(

RL0 Dα−k−1

t f (0))

L

C0Dαt f (t)

= sαF (s)−

m−1∑k=0

sα−k−1(

f (k)(0))

L

=sα−β

sα + λ, Re (s) >| λ |

1α

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.27

Sea m − 1 < α < m:

L0Iαt f (t) =F (s)

sα

LRL

0 Dαt f (t)

= sαF (s)−m−1∑k=0

sk(

RL0 Dα−k−1

t f (0))

L

C0Dαt f (t)

= sαF (s)−

m−1∑k=0

sα−k−1(

f (k)(0))

L

=sα−β

sα + λ, Re (s) >| λ |

1α

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.27

Sea m − 1 < α < m:

L0Iαt f (t) =F (s)

sα

LRL

0 Dαt f (t)

= sαF (s)−m−1∑k=0

sk(

RL0 Dα−k−1

t f (0))

L

C0Dαt f (t)

= sαF (s)−

m−1∑k=0

sα−k−1(

f (k)(0))

L

=sα−β

sα + λ, Re (s) >| λ |

1α

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.27

Sea m − 1 < α < m:

L0Iαt f (t) =F (s)

sα

LRL

0 Dαt f (t)

= sαF (s)−m−1∑k=0

sk(

RL0 Dα−k−1

t f (0))

L

C0Dαt f (t)

= sαF (s)−

m−1∑k=0

sα−k−1(

f (k)(0))

L

=sα−β

sα + λ, Re (s) >| λ |

1α

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.28

Integrando derivadas y viceversa

Sea m − 1 < α < m:

C0Dαt 0Iαt f (t) = RL

0 Dαt 0Iαt f (t) = f (t), si m = 1 (22)

0IαtC0Dαt f (t) = f (t)−

m−1∑k=0

tk

k !f (k)(0) (23)

0IαtRL0 Dαt f (t) = f (t)−

m∑k=1

RL0 D

α−kt f (0)

Γ (α− k + 1)tα−k (24)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.28

Sea m − 1 < α < m:

0 Dαt 0Iαt f (t) = f (t), si m = 1 (22)

m−1∑k=0

tk

k !f (k)(0) (23)

m∑k=1

RL0 D

α−kt f (0)

Γ (α− k + 1)tα−k (24)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.28

Sea m − 1 < α < m:

0 Dαt 0Iαt f (t) = f (t), si m = 1 (22)

m−1∑k=0

tk

k !f (k)(0) (23)

m∑k=1

RL0 D

α−kt f (0)

Γ (α− k + 1)tα−k (24)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.29

Relación entre la derivada de Caputo y la derivada de RL

Propiedad n

Si f (t) ∈ Cm y m − 1 < α < m:

C0Dαt f (t) = RL

0 Dαt

[f (t)−

m−1∑k=0

tk

k !f (k)(0)

]

= RL0 Dαt f (t)−

m−1∑k=0

tk−α

Γ (k − α + 1)f (k)(0)

• Si 0 < α < 1:

C0Dαt f (t) = RL

0 Dαt f (t)− t−α

Γ (1− α)f (0)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.29

Propiedad n

Si f (t) ∈ Cm y m − 1 < α < m:

C0Dαt f (t) = RL

0 Dαt

[f (t)−

m−1∑k=0

tk

k !f (k)(0)

]

= RL0 Dαt f (t)−

m−1∑k=0

tk−α

Γ (k − α + 1)f (k)(0)

• Si 0 < α < 1:

C0Dαt f (t) = RL

Γ (1− α)f (0)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.29

Propiedad n

Si f (t) ∈ Cm y m − 1 < α < m:

C0Dαt f (t) = RL

0 Dαt

[f (t)−

m−1∑k=0

tk

k !f (k)(0)

]

= RL0 Dαt f (t)−

m−1∑k=0

tk−α

Γ (k − α + 1)f (k)(0)

• Si 0 < α < 1:

C0Dαt f (t) = RL

Γ (1− α)f (0)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.30

• Notemos que si f = ta y g = tb, h = f · g = ta+b,entonces h′ = (a + b)ta+b−1.

• Recordemos que :

C0Dαt tβ =

Γ (β + 1)

Γ (β − α + 1)tβ−α

• Por lo que, para 0 < α < 1

C0Dαt h =

Γ (a + b + 1)

Γ (a + b − α + 1)ta+b−α

C0Dαt h =

(a + b)

Γ(1− α)

∫ t

0(t − τ)−α τa+b−1 dτ

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.30

C0Dαt tβ =

Γ (β + 1)

Γ (β − α + 1)tβ−α

C0Dαt h =

Γ (a + b + 1)

Γ (a + b − α + 1)ta+b−α

C0Dαt h =

(a + b)

Γ(1− α)

∫ t

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.30

C0Dαt tβ =

Γ (β + 1)

Γ (β − α + 1)tβ−α

C0Dαt h =

Γ (a + b + 1)

Γ (a + b − α + 1)ta+b−α

C0Dαt h =

(a + b)

Γ(1− α)

∫ t

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.30

C0Dαt tβ =

Γ (β + 1)

Γ (β − α + 1)tβ−α

C0Dαt h =

Γ (a + b + 1)

Γ (a + b − α + 1)ta+b−α

C0Dαt h =

(a + b)

Γ(1− α)

∫ t

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.31

Fórmula de Leibniz para operadores fraccionarios

(f · g)(n) (t) =n∑

k=0

(nk

)f (k)(t)g(n−k)(t) (25)

RL0 Dαt (f (t)g(t)) =

∞∑k=0

(α

k

)f (k)(t)RL

0 Dα−kt g(t) (26)

C0Dαt (f (t)g(t)) =

t−α

Γ(1− α)g(0) (f (t)− f (0))

+ f (t)C0Dαt g(t) +

∞∑k=1

(α

k

)C0Dk

t f (t)0Ik−αt g(t)

(27)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.31

(f · g)(n) (t) =n∑

k=0

(nk

)f (k)(t)g(n−k)(t) (25)

∞∑k=0

(α

k

)f (k)(t)RL

0 Dα−kt g(t) (26)

t−α

Γ(1− α)g(0) (f (t)− f (0))

∞∑k=1

(α

k

)C0Dk

(27)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.31

(f · g)(n) (t) =n∑

k=0

(nk

)f (k)(t)g(n−k)(t) (25)

∞∑k=0

(α

k

)f (k)(t)RL

0 Dα−kt g(t) (26)

t−α

Γ(1− α)g(0) (f (t)− f (0))

∞∑k=1

(α

k

)C0Dk

(27)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.32

Ejemplo

Dado el problema de valor inicial:

C0Dαt y(t) = −y(t)− q(t), y(0) = 2

con α ∈ (0,1) y alguna función q(t).

Aplicando latransformada de Laplace:

L

C0Dαt y(t)

= −Ly(t) − Lq(t)

sαY (s)− sα−1y(0) = −Y (s)−Q(s)

Y (s) = 2sα−1

sα + 1− 1

sα + 1Q(s)

L−1 Y (s) = 2L−1

sα−1

sα + 1

− L−1

1

sα + 1Q(s)

y(t) = 2Eα(−tα)− q(t) ∗ tα−1Eα,α (−tα)

y(t) = 2Eα(−tα)−∫ t

0q(t − τ) d

dτ [ταEα,α+1 (−τα)] dτ

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.32

Ejemplo

C0Dαt y(t) = −y(t)− q(t), y(0) = 2

con α ∈ (0,1) y alguna función q(t). Aplicando latransformada de Laplace:

L

C0Dαt y(t)

= −Ly(t) − Lq(t)

sαY (s)− sα−1y(0) = −Y (s)−Q(s)

Y (s) = 2sα−1

sα + 1− 1

sα + 1Q(s)

L−1 Y (s) = 2L−1

sα−1

sα + 1

− L−1

1

sα + 1Q(s)

y(t) = 2Eα(−tα)−∫ t

0q(t − τ) d

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.32

Ejemplo

C0Dαt y(t) = −y(t)− q(t), y(0) = 2

L

C0Dαt y(t)

= −Ly(t) − Lq(t)

sαY (s)− sα−1y(0) = −Y (s)−Q(s)

Y (s) = 2sα−1

sα + 1− 1

sα + 1Q(s)

L−1 Y (s) = 2L−1

sα−1

sα + 1

− L−1

1

sα + 1Q(s)

y(t) = 2Eα(−tα)−∫ t

0q(t − τ) d

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.32

Ejemplo

C0Dαt y(t) = −y(t)− q(t), y(0) = 2

L

C0Dαt y(t)

= −Ly(t) − Lq(t)

sαY (s)− sα−1y(0) = −Y (s)−Q(s)

Y (s) = 2sα−1

sα + 1− 1

sα + 1Q(s)

L−1 Y (s) = 2L−1

sα−1

sα + 1

− L−1

1

sα + 1Q(s)

y(t) = 2Eα(−tα)−∫ t

0q(t − τ) d

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.32

Ejemplo

C0Dαt y(t) = −y(t)− q(t), y(0) = 2

L

C0Dαt y(t)

= −Ly(t) − Lq(t)

sαY (s)− sα−1y(0) = −Y (s)−Q(s)

Y (s) = 2sα−1

sα + 1− 1

sα + 1Q(s)

L−1 Y (s) = 2L−1

sα−1

sα + 1

− L−1

1

sα + 1Q(s)

y(t) = 2Eα(−tα)−∫ t

0q(t − τ) d

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.32

Ejemplo

C0Dαt y(t) = −y(t)− q(t), y(0) = 2

L

C0Dαt y(t)

= −Ly(t) − Lq(t)

sαY (s)− sα−1y(0) = −Y (s)−Q(s)

Y (s) = 2sα−1

sα + 1− 1

sα + 1Q(s)

L−1 Y (s) = 2L−1

sα−1

sα + 1

− L−1

1

sα + 1Q(s)

y(t) = 2Eα(−tα)−∫ t

0q(t − τ) d

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.32

Ejemplo

C0Dαt y(t) = −y(t)− q(t), y(0) = 2

L

C0Dαt y(t)

= −Ly(t) − Lq(t)

sαY (s)− sα−1y(0) = −Y (s)−Q(s)

Y (s) = 2sα−1

sα + 1− 1

sα + 1Q(s)

L−1 Y (s) = 2L−1

sα−1

sα + 1

− L−1

1

sα + 1Q(s)

y(t) = 2Eα(−tα)−∫ t

0q(t − τ) d

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.33

• Una ecuación de la forma∫ b

aK (x , t)ϕ(t)dt = f (x) (28)

se dice que es una ecuación integral lineal de primertipo.

• La ecuación

ϕ(x) = f (x) + λ

∫ b

aK (x , t)ϕ(t)dt (29)

se dice que es una ecuación integral lineal desegundo tipo.

• La ecuación dada por

ϕ(x) = f (x) + λ

∫ x

aK (x , t)ϕ(t)dt (30)

se conoce como ecuación integral lineal de Volterra(de segundo tipo).

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.33

aK (x , t)ϕ(t)dt = f (x) (28)

• La ecuación

ϕ(x) = f (x) + λ

∫ b

aK (x , t)ϕ(t)dt (29)

ϕ(x) = f (x) + λ

∫ x

aK (x , t)ϕ(t)dt (30)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.33

aK (x , t)ϕ(t)dt = f (x) (28)

• La ecuación

ϕ(x) = f (x) + λ

∫ b

aK (x , t)ϕ(t)dt (29)

ϕ(x) = f (x) + λ

∫ x

aK (x , t)ϕ(t)dt (30)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.34

• Si f (x) = 0 en la ecuación (30):

ϕ(x) = λ

∫ x

aK (x , t)ϕ(t)dt (31)

que se conoce como ecuación homogénea de Volterra(de segundo tipo).

• Las ecuaciones integrales lineales de primer y segundotipo son casos especiales de la ecuación integral detercer tipo:

Ψ(x)ϕ(x) = f (x) + λ

∫ b

aK (x , t)ϕ(t)dt

1 La ecuación (28) se obtiene si Ψ(x) = 0 y λ = −1.2 La ecuación (29) se obtiene si Ψ(x) = 1.

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.34

• Si f (x) = 0 en la ecuación (30):

ϕ(x) = λ

∫ x

aK (x , t)ϕ(t)dt (31)

que se conoce como ecuación homogénea de Volterra(de segundo tipo).

• Las ecuaciones integrales lineales de primer y segundotipo son casos especiales de la ecuación integral detercer tipo:

Ψ(x)ϕ(x) = f (x) + λ

∫ b

aK (x , t)ϕ(t)dt

1 La ecuación (28) se obtiene si Ψ(x) = 0 y λ = −1.2 La ecuación (29) se obtiene si Ψ(x) = 1.

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.35

Ejemplo

Sea la ecuación diferencial

y ′′ + xy ′ + y = 0 (32)

con condiciones iniciales y(0) = 1, y ′(0) = 0.

Sea

ϕ(x) =d2ydx2

entonces

dydx

=

∫ x

0ϕ(t)dt + y ′(0) =

∫ x

0ϕ(t)dt (33)

y =

∫ x

0(x − t)ϕ(t)dt + 1 (34)

sustituyendo:

ϕ(x) = −1−∫ x

0(2x − t)ϕ(t)dt

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.35

Ejemplo

y ′′ + xy ′ + y = 0 (32)

con condiciones iniciales y(0) = 1, y ′(0) = 0. Sea

ϕ(x) =d2ydx2

entonces

dydx

=

∫ x

0ϕ(t)dt + y ′(0) =

∫ x

0ϕ(t)dt (33)

y =

∫ x

0(x − t)ϕ(t)dt + 1 (34)

sustituyendo:

ϕ(x) = −1−∫ x

0(2x − t)ϕ(t)dt

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.35

Ejemplo

y ′′ + xy ′ + y = 0 (32)

ϕ(x) =d2ydx2

entonces

dydx

=

∫ x

0ϕ(t)dt + y ′(0) =

∫ x

0ϕ(t)dt (33)

y =

∫ x

0(x − t)ϕ(t)dt + 1 (34)

sustituyendo:

ϕ(x) = −1−∫ x

0(2x − t)ϕ(t)dt

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.35

Ejemplo

y ′′ + xy ′ + y = 0 (32)

ϕ(x) =d2ydx2

entonces

dydx

=

∫ x

0ϕ(t)dt + y ′(0) =

∫ x

0ϕ(t)dt (33)

y =

∫ x

0(x − t)ϕ(t)dt + 1 (34)

sustituyendo:

ϕ(x) = −1−∫ x

0(2x − t)ϕ(t)dt

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.36

(Aproximaciones sucesivas) Dada

ϕ(x) = 1 +

∫ x

0ϕ(t)dt

con ϕ0(x) = 0.

Tenemos:

ϕ1 = 1

ϕ2 = 1 +

∫ x

01 · dt = 1 + x

ϕ3 = 1 +

∫ x

0(1 + t)dt = 1 + x + x2

2

ϕ4 = 1 +

∫ x

0(1 + t + t2

2 )dt = 1 + x + x2

2! + x3

3!

Se sigue que:

ϕn(x) = 1 + x + x2

2! + x3

3! + . . .+ xn−1

(n−1)!

ϕn(x) es la n−ésima suma parcial de la serie∞∑

n=0

xn

n! = ex .

limn→∞ ϕn(x) = ex = ϕ(x)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.36

ϕ(x) = 1 +

∫ x

0ϕ(t)dt

con ϕ0(x) = 0. Tenemos:

ϕ1 = 1

ϕ2 = 1 +

∫ x

01 · dt = 1 + x

ϕ3 = 1 +

∫ x

0(1 + t)dt = 1 + x + x2

2

ϕ4 = 1 +

∫ x

0(1 + t + t2

2 )dt = 1 + x + x2

2! + x3

3!

Se sigue que:

ϕn(x) = 1 + x + x2

2! + x3

3! + . . .+ xn−1

(n−1)!

n=0

xn

n! = ex .

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.36

ϕ(x) = 1 +

∫ x

0ϕ(t)dt

ϕ1 = 1

ϕ2 = 1 +

∫ x

01 · dt = 1 + x

ϕ3 = 1 +

∫ x

0(1 + t)dt = 1 + x + x2

2

ϕ4 = 1 +

∫ x

0(1 + t + t2

2 )dt = 1 + x + x2

2! + x3

3!

Se sigue que:

ϕn(x) = 1 + x + x2

2! + x3

3! + . . .+ xn−1

(n−1)!

n=0

xn

n! = ex .

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.36

ϕ(x) = 1 +

∫ x

0ϕ(t)dt

ϕ1 = 1

ϕ2 = 1 +

∫ x

01 · dt = 1 + x

ϕ3 = 1 +

∫ x

0(1 + t)dt = 1 + x + x2

2

ϕ4 = 1 +

∫ x

0(1 + t + t2

2 )dt = 1 + x + x2

2! + x3

3!

Se sigue que:

ϕn(x) = 1 + x + x2

2! + x3

3! + . . .+ xn−1

(n−1)!

n=0

xn

n! = ex .

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.36

ϕ(x) = 1 +

∫ x

0ϕ(t)dt

ϕ1 = 1

ϕ2 = 1 +

∫ x

01 · dt = 1 + x

ϕ3 = 1 +

∫ x

0(1 + t)dt = 1 + x + x2

2

ϕ4 = 1 +

∫ x

0(1 + t + t2

2 )dt = 1 + x + x2

2! + x3

3!

Se sigue que:

ϕn(x) = 1 + x + x2

2! + x3

3! + . . .+ xn−1

(n−1)!

n=0

xn

n! = ex .

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.36

ϕ(x) = 1 +

∫ x

0ϕ(t)dt

ϕ1 = 1

ϕ2 = 1 +

∫ x

01 · dt = 1 + x

ϕ3 = 1 +

∫ x

0(1 + t)dt = 1 + x + x2

2

ϕ4 = 1 +

∫ x

0(1 + t + t2

2 )dt = 1 + x + x2

2! + x3

3!

Se sigue que:

ϕn(x) = 1 + x + x2

2! + x3

3! + . . .+ xn−1

(n−1)!

n=0

xn

n! = ex .

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.36

ϕ(x) = 1 +

∫ x

0ϕ(t)dt

ϕ1 = 1

ϕ2 = 1 +

∫ x

01 · dt = 1 + x

ϕ3 = 1 +

∫ x

0(1 + t)dt = 1 + x + x2

2

ϕ4 = 1 +

∫ x

0(1 + t + t2

2 )dt = 1 + x + x2

2! + x3

3!

Se sigue que:

ϕn(x) = 1 + x + x2

2! + x3

3! + . . .+ xn−1

(n−1)!

n=0

xn

n! = ex .

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.36

ϕ(x) = 1 +

∫ x

0ϕ(t)dt

ϕ1 = 1

ϕ2 = 1 +

∫ x

01 · dt = 1 + x

ϕ3 = 1 +

∫ x

0(1 + t)dt = 1 + x + x2

2

ϕ4 = 1 +

∫ x

0(1 + t + t2

2 )dt = 1 + x + x2

2! + x3

3!

Se sigue que:

ϕn(x) = 1 + x + x2

2! + x3

3! + . . .+ xn−1

(n−1)!

n=0

xn

n! = ex .

limn→∞ ϕn(x) = ex

= ϕ(x)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.36

ϕ(x) = 1 +

∫ x

0ϕ(t)dt

ϕ1 = 1

ϕ2 = 1 +

∫ x

01 · dt = 1 + x

ϕ3 = 1 +

∫ x

0(1 + t)dt = 1 + x + x2

2

ϕ4 = 1 +

∫ x

0(1 + t + t2

2 )dt = 1 + x + x2

2! + x3

3!

Se sigue que:

ϕn(x) = 1 + x + x2

2! + x3

3! + . . .+ xn−1

(n−1)!

n=0

xn

n! = ex .

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.37

Dado:C0Dαt y(x) = f (x , y(x)),

Dk y(0) = y (k)0 (35)

La función y es solución del problema de valor inicial (35) si ysólo si es solución de la ecuación integral de Volterra:

y(x) =m−1∑k=0

xk

k !y (k)(0) +

1Γ(n)

∫ x

0(x − t)n−1f (t , y(t))dt (36)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.37

Dado:C0Dαt y(x) = f (x , y(x)), Dk y(0) = y (k)

0 (35)

y(x) =m−1∑k=0

xk

k !y (k)(0) +

1Γ(n)

∫ x

0(x − t)n−1f (t , y(t))dt (36)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.37

Dado:C0Dαt y(x) = f (x , y(x)), Dk y(0) = y (k)

0 (35)

y(x) =m−1∑k=0

xk

k !y (k)(0) +

1Γ(n)

∫ x

0(x − t)n−1f (t , y(t))dt (36)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.38

Consideremos

C0Dαt y(x)− λy(x) = f (x)

y (k)(a) = bk

Cuya ecuación integral de Volterra asociada es:

y(x) =n−1∑j=0

bj

j!(x − a)j +

λ

Γ(α)

∫ x

a

y(t)dt(x − t)1−α

+1

Γ(α)

∫ x

a

f (t)dt(x − t)1−α

Usando el método de aproximaciones sucesivas, la solucióny(x) de la ecuación diferencial fraccionaria es:

y(x) =n−1∑j=0

bj (x − a)jEα,j+1 [λ(x − a)α]

+

∫ x

a(x − t)α−1Eα,α [λ(x − a)α] f (t)dt

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.38

Consideremos

y (k)(a) = bk

y(x) =n−1∑j=0

bj

j!(x − a)j +

λ

Γ(α)

∫ x

a

+1

Γ(α)

∫ x

a

y(x) =n−1∑j=0

+

∫ x

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.38

Consideremos

y (k)(a) = bk

y(x) =n−1∑j=0

bj

j!(x − a)j +

λ

Γ(α)

∫ x

a

+1

Γ(α)

∫ x

a

y(x) =n−1∑j=0

+

∫ x

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.39

El sistema

C0Dαt = Ax + Buy(t) = Cx + Du

tiene por solución

x(t) =n∑

l=1

Φl (t)x (l−1)(0) +

∫ t

0Φ(t − τ)Bu(τ)dτ

donde:

Φl (t) =∞∑

k=0

Ak t (kα+l)−1

Γ(kα + 1)

Φ(t) =∞∑

k=0

Ak t (k+1)α−1

Γ((k + 1)α)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.39

El sistema

C0Dαt = Ax + Buy(t) = Cx + Du

tiene por solución

x(t) =n∑

l=1

Φl (t)x (l−1)(0) +

∫ t

0Φ(t − τ)Bu(τ)dτ

donde:

Φl (t) =∞∑

k=0

Ak t (kα+l)−1

Γ(kα + 1)

Φ(t) =∞∑

k=0

Ak t (k+1)α−1

Γ((k + 1)α)

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.40

Sistemas lineales de orden fraccionario

(Matignon-1996) Dado el sistema

C0Dαt = Ax + Buy(t) = Cx

Es estable si| arg eig(A) |> απ

2

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.40

Sistemas lineales de orden fraccionario

(Matignon-1996) Dado el sistema

C0Dαt = Ax + Buy(t) = Cx

Es estable si| arg eig(A) |> απ

2

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.41

Sistemas no lineales de orden fraccionario

Definición

La solución de C0Dαt x(t) = f (t ,x), x0 = x(t0) se dice que es

Mittag-Leffler estable si

‖x(t)‖ ≤ [m (x0) Eα (−λtα)]b (37)

donde α ∈ (0,1), λ > 0,b > 0, y m es una función positiva ylocalmente Lipschitz con m(0) = 0.

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.42

(Chen-2009) Sea x = 0 un punto de equilibro del sistemaC0Dαt x(t) = f (t ,x), x0 = x(t0) con α ∈ (0,1), f : [t0,∞) × Ω →Rn es continua a pedazos en t y localmente Lipschitz en xsobre [t0,∞) × Ω. Ω ⊂ Rn es un dominio que contiene al ori-gen x = 0. Sea V (t ,x(t)) : [0,∞) × Ω → R continuamentediferenciable y localmente Lipschitz en x tal que:

α1‖x‖a ≤ V (t ,x(t)) ≤ α2‖x‖ab (38)C0D

βt V (t ,x(t)) ≤ −α3‖x‖ab (39)

donde t ≥ 0, x ∈ D, β ∈ (0,1), α1, α2, α3,a,b son constantespositivas. Entonces x = 0 es Mittag-Leffler estable.

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.43

(Duarte-2015) Sea x(t) ∈ Rn un vector de funciones diferen-ciables. Entonces para cualquier t ≥ t0:

12

Ct0D

αt (xᵀ(t)Px(t)) ≤ xᵀ(t)PC

t0Dαt x(t) (40)

donde P ∈ Rn×n es una matriz constante, simetrica y definidapositiva.

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.44

• Otros operadores que vale la pena estudiar son: Weyl, deRiez, de Grünwald–Letnikov, etc.

• El problema del significado físico de la derivada fraccio-naria está abierto.

• El problema de la derivada fraccionaria del producto hayque revisarlo más a fondo.

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.44

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.44

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.44

Función Beta

Derivada de Caputo

Otras propiedades

Referencias

1.45

Referencias

Podlubny, I. (1998). Fractional differential equations: anintroduction to fractional derivatives, fractional differentialequations, to methods of their solution and some of theirapplications (Vol. 198). Academic press.

Diethelm, K. (2010). The analysis of fractional differentialequations: An application-oriented exposition usingdifferential operators of Caputo type. Springer.

Kilbas, A. A., Srivastava, H. M., & Trujillo, J. J. (2006).Theory and applications of fractional differentialequations (Vol 204). North-Holland mathematics studies.

Oldham, K., & Spanier, J. (1974). The fractional calculustheory and applications of differentiation and integrationto arbitrary order (Vol. 111). Elsevier.

Matignon, Denis (1996). Stability results for fractionaldifferential equations with applications to controlprocessing (Vol. 2). In Computational engineering insystems applications.