Prac 3 Mates

PRÁCTICA 3. El geoplano, el tangram y las fracciones

Utilizando el geoplano como herramienta, explica el concepto de fracción y el de equivalencia

entre fracciones.

Realiza la misma actividad utilizando el tangram.

El geoplano, el tangram y las fracciones

1

El geoplano y las fracciones


2

¿Qué es el geoplano?

El geoplano, inventado por el matemático italiano Caleb Gattegno, es un cuadrado

de madera, plástico u otro material rígido, dividido en cuadrados más pequeños, en

cuyos vértices se insertan unos clavos o puntas que sobresalen de la plancha.

En él podemos formar diferentes figuras geométricas, utilizando gomas elásticas y

así comprobar las relaciones entre ellas, las equivalencias, proporcionalidad...

Es fácil construir un geoplano. Incluso, podemos dibujarlo nosotros mismos

utilizando una simple hoja de papel y un lápiz.

El geoplano y las fracciones

Imaginemos que tenemos esta figura representada en el geoplano:

¿Qué fracción representa?

Este geoplano está dividido en 64 cuadraditos, de

los cuáles, la figura marcada en rojo ocupa 18.

Si tenemos en cuenta que el denominador de la

fracción pondremos el número de partes en las que

se divide un todo y en el numerador, la cantidad de

p


3

partes que cogemos de ese todo, diremos que la fracción que ocupa la figura

coloreada es de 18/64.

Observarás que tanto numerador como denominador son divisibles por 2, lo que

quiere decir que es una fracción reducible. Dividiendo numerador y denominador por

el mismo número, el 2 en este caso, obtendremos 9/32, que ya no puede reducirse

más, pues 9 y 32 no tienen divisores comunes.

Fracciones equivalentes en el geoplano

Observa ahora estos dos geoplanos y las figuras que hay dibujadas en ellos:

Aparentemente, las dos figuras representan dos fracciones distintas, puesto que sus

formas son diferentes. Sin embargo ambas figuras representan la fracción 22/64.

¡Puedes contar los cuadros sombreados para comprobarlo!

Como en el caso anterior, la fracción 22/64 es simplificable, pues numerador y

denominador son divisibles por 2. Así, nos quedaría la fracción 11/32, que ya es

irreducible, pues 11 y 32 no tienen divisores comunes.

Recuerda:

Una fracción es simplificable cuando numerador y denominador son divisibles por el

mismo número.

Una fracción es irreducible cuando numerador y denominador no tienen divisores

comunes.


4

Observa ahora atentamente estos dos geoplanos:

¿Representan la misma fracción?

A primera vista, puede parecer que no, pero fijémonos más atentamente.

En el primer geoplano, hay dos figuras dibujadas. Ambas representan 18/64, por lo si

sumamos ambas, obtendremos 36/64.

En el segundo geoplano hay dibujada una figura que representa 36/64 del total, por lo que

ambos geoplanos son iguales, a lo que la fracción que los representa se refiere.

Ahora observemos estos dos geoplanos:

¿Son iguales las figuras? ¿Representan la misma fracción?


5

La respuesta a la primera pregunta es fácil: ambas figuras son iguales. Pero la

respuesta a la segunda pregunta parece más complicada. Veamos la respuesta.

En la primera figura, el geoplano está dividido en 64 cuadraditos iguales. La figura

dibujada ocupa 20 cuadraditos, con lo que la fracción que representa a la primera

figura es 20/64 .

En la segunda figura, el geoplano está dividido en 16 cuadrados iguales, de los

cuales, la figura coloreada ocupa 5. Por tanto, la fracción que representa a este

dibujo es 5/16.

El tamaño del geoplano es el mismo en ambos casos. Lo único que varía es la

cantidad de “trozos” en los que hemos divido el geoplano. En el primer caso, han

sido 64 los trozos en los que hemos partido el geoplano, mientras que en el segundo,

han sido 16, es decir, cuatro veces menos (si dividimos 64 entre 4, nos da 16).

Por tanto, el denominador de la segunda fracción es 4 veces menor que el

denominador de la primera fracción.

En cuanto a los denominadores, en el primer dibujo, la parte coloreada representa

20 cuadritos de los 64 en que está dividido el geoplano. En el caso del segundo

dibujo, son 5 los cuadritos coloreados. Si nos fijamos, veremos que, al igual que

ocurre con el denominador, el numerador de la segunda fracción es 4 veces menor

que el numerador de la primera fracción.


6

En casos como este, en el que dos fracciones representan la misma cantidad de un

todo, decimos que se trata de fracciones equivalentes.

Ejercicios de aplicación

1. De los siguientes geoplanos, indica cuales representan fracciones equivalentes:

Recuerda:

Dos fracciones son equivalentes si representan la misma parte de un todo. Tanto

el numerador como el denominador de una de ellas se halla multiplicado o dividido

por el mismo número para obtener la otra.


7

2. ¿Cuál es la fracción que representa la parte coloreada en cada geoplano?


8

El tangram y las fracciones


9

¿De dónde viene el tangram? El origen del tangram es incierto. Cuenta la leyenda que un sirviente chino llevaba

un mosaico de cerámica, muy frágil, que pertenecía al emperador, de la dinastía

Tang. Tropezó y cayó al suelo, rompiendo el mosaico en siete trozos. Mientras

intentaba recomponerlo y devolverle su forma cuadrada original, compuso cientos de

figuras: un perro, un monje, una taza... El emperador, que estaba observando,

perdonó al sirviente su torpeza, a cambio de que construyera una réplica en madera

de las siete piezas en las que se había roto el mosaico, para que sus hijos jugasen.

Otras versiones – quizá más acertadas – indican que el juego fue una adaptación

realizada a finales del siglo XVIII en Inglaterra de un antiquísimo juego chino llamado

“Chi Chiao Pan”, que significa “juego de la sabiduría”.

En cualquier caso, a partir del s. XIX, el juego alcanzó una gran popularidad en

Europa y América, publicándose cientos de libros que explicaban sus reglas y

siendo el favorito de personajes tan ilustres como Napoleón, quien se volvió un

verdadero experto en el “rompecabezas chino” durante su confinamiento en la isla de

Santa Elena.

¿Qué es el tangram? El tangram es un rompecabezas, compuesto por siete piezas de formas poligonales,

que pueden acoplarse para construir distintas formas. Las piezas que componen el

tangram son:

Dos triángulos grandes.


10

Las piezas del tangram, si se ordenan en la forma adecuada, pueden componer un

cuadrado.

Podemos diseñar figuras geométricas, componer figuras dadas previamente o

diseñar figuras libremente, usando nuestra imaginación.

Un triángulo mediano.

Dos triángulos pequeños.

Un cuadrado.

Un paralelogramo.


11

El tangram y las fracciones Como ya hemos dicho, con el tangram se puede formar un cuadrado. Para el estudio

de las fracciones, vamos a considerar que ese cuadrado es igual a la unidad.

Cada una de las piezas que compone el cuadrado, sería una parte de esa unidad, de

modo que:

Si dividimos el cuadrado en cuatro partes iguales, obtendremos:

Veamos ahora qué ocurre con el resto de las figuras. Si nos fijamos en la porción

que nos queda en la parte inferior del cuadrado, veremos que tenemos una figura

similar a esta:

Descomponiendo el cuadrado como dos triángulos (iguales a los que encontramos

en la imagen), nos quedaría lo siguiente:

= 1

El cuadrado, que era una unidad, ha quedado dividido en

cuatro partes iguales, de modo que cada una de esas partes

es ¼ del cuadrado. Por lo tanto cada uno de los triángulos

grandes del tangram tiene un área igual a ¼ del área total

del cuadrado.

Esta parte de la figura equivale a ¼ del total, pero dentro de

ella, aún podemos seguir encontrando porciones:


12

Como esta figura era ¼ del total, cada una de las partes que lo componen será 1/16

del total de la figura, ya que

Recordemos que para multiplicar fracciones, el denominador es igual a la

multiplicación de los denominadores y el numerador es igual a la multiplicación de los

numeradores.

De lo anterior podemos deducir varias cosas:

- El cuadrado está formado por dos triángulos de área 1/16 cada uno. Por lo

tanto, el cuadrado tendrá un área de 2/16 , o lo que es lo mismo, 1/8 . .

- El triángulo naranja que forma esta imagen es en realidad la mitad del

triángulo naranja que forma el cuadrado del tangram; por tanto, el área del

triángulo naranja será 2 x 1/16 , o lo que es lo mismo, 1/8 .

Por último, nos queda esta parte del cuadrado:

Por tanto, teniendo en cuenta lo anterior, podemos concluir que el paralelogramo

será 1/8 del total del área del cuadrado que forman todas las piezas del tangram.

Si además tenemos en cuenta que el paralelogramo está formado por dos triángulos

de dimensiones semejantes a los triángulos rasa y amarillo, ambos de área 1/16 del

total, comprobamos que el área del paralelogramo es 1/8 del área del cuadrado

grande.

La figura queda dividida en 4 partes iguales, de modo que cada

una de ellas es ¼ de esta figura.

El triángulo amarillo es igual que el triángulo rosa, por lo que será

también 1/16 del total.

Antes hemos visto que el triángulo naranja, equivalente a este (la otra

mitad de la figura entera) era 1/16 del total.


13

Recapitulando:

El tangram y la equivalencia entre fracciones

Hemos visto que algunas de las figuras del tangram pueden componer otras más

grandes. Veamos algunos ejemplos:

=

1/8 1/1 6

1/1 6


14

En términos de fracciones equivalentes, esto quiere decir que

o lo que es lo mismo

Estas dos fracciones son equivalentes, puesto que expresan la misma parte de un

total.

Ejercicios de aplicación

1. Fabrica tu propio tangram. Para ello, imprime el siguiente dibujo y recorta cada

una de las piezas.

A continuación, intenta componer alguna de estas figuras:

2. Inventa tú ahora alguna figura y dibújala. Recuerda que debes utilizar todas las

piezas para componerla.


15

3. Observa las siguientes figuras:

a) ¿Podrías decir qué fracción del cuadrado que forman todas las piezas del tangram

representan cada una de ellas?

b) Las anteriores figuras se pueden formar con otras más pequeñas. ¿Sabes decir

cuáles? ¿Qué equivalencia de fracciones representaría esa igualdad?

Prac 3 Mates

Documents

Transcript of Prac 3 Mates