Programas Matemática 2016 110 Prof. Brayan Rodríguez D.

Tranformación de gráficas.

Para una gráfica de una función dadapor y= f (x) y dado c un númeroreal positivo ( c∈ℝ

+ ) se tiene lassiguientes transformaciones:

1. Desplazamiento horizontalen c unidades hacia laderecha: y= f (x−c)

2. Desplazamiento horizontalen c unidades hacia laizquerda: y= f (x+c)

3. Traslación vertical en cunidades hacia arriba:

y= f (x)+c4. Traslación vertical en c

unidades hacia abajo:y= f (x)−c

5. Reflexión respecto al ejehorizontal x: y=−f (x)

6. Reflexión respecto al ejevertical y: y= f (−x)

7. Encogimiento horizontal dela grafica

y= f (cx) , c>18. Estiramiento horizontal de la

grafica y= f (cx) , c<19. Expansión vertical de la

grafica y=cf (x), c>110. Contracción vertical de la

grafica y=cf (x), c<1La gráfica de una función puede ser elresultado de varias transformaciones sucesivas aplicadas a otra función más simple dada.

Al analizar algebraicamente una función y sus transformaciones se requiere de los siguientes conceptos además de los conceptos básicos del Dominio y Ámbito.

1. Intersección con el eje y: basta calcular el valor cuando x=0 es decir f (0 ) . Se escribe de la forma (0, y).2. Intersección con el eje x: al encontrar la preimagen de cero cuando f (x)=0 basta con resolver la ecuación, pueden existir más de una intersección con el eje x. Se escribe de la forma (x, 0).3.Crecimiento y decrecimiento en un determinado intervalo:a) Crecimiento x2>x1 ⇒ f (x2)> f (x1)

b) Decrecimiento x2>x1 ⇒ f (x2)< f (x1)

4.Asíntotas o valores reales límites que ciertas funciones no pueden ser asignados por la naturaleza misma de la función, es decir llega a aproximarse pero nunca toca ese valor.

Asíntotas verticales:Se define la recta x=a cómo asíntota vertical de la gráfica de la función f si f (x)→+∞ o bien f (x)→−∞ es decir que el valor de f(x) (la imagen) tiene a ser +∞ o −∞ cuando el valor de x se acerca a a, por la derecha o por la izquierda.

En las funciones racionales f (x)=g(x)h(x)

si h (a)=0 , entonces x=a es una asíntota de la función f. En las

funciones exponenciales f (x)=loga x la asíntota es x=0

f (x) f (x−c)f (x+c)

f (x)+c

f (x)−c

f (−x)

−f (x)

cf (x)c>1 cf (x)

c<1

f (cx)c<1

f (cx)c>1

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Tenemos entonces a continuación:

En forma tabular podríamos tener

x 1,90 1,99 1,999 2,001 2,01 2,1

f(x) -10 -100 -1000 1000 100 10

Según los datos de la tabla podemos deducir que la asíntota vertical está en x= 2, tanto por la izquierda como por la derecha pero hacia infintos contrarios.

Asíntotas horizontales

Se define la recta y=b cómo asíntota vertical de la gráfica de lafunción f si f (x)→b cuando x→+∞ o bien x→−∞

Las funciones exponenciales del tipo f (x)=a x tienen una asíntotahorizontal en y = 0.

f (x)

x

y

b

f (x)

x

y

a

f (x)

x

y

a

x→a−

x tiende a por la izquierda

f (x)→−∞

f (x) es decreciente

x→a+

x tiende a por la derecha

f (x)→+∞

f (x) es creciente

f (x)

x

y

a

f (x)

x

y

a

x→a−

x tiende a por la izquierda

f (x)→−∞

f (x) es decreciente

x→a+

x tiende a por la derecha

f (x)→+∞

f (x) es creciente

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En forma tabular podríamos tener

x 0 1 3 4 12 20

f(x) 12

13

15

16

114

122

A medida que x crece las imágenes tienden a cero es decir la asíntota horizontal es y = 0.

Cuando tenemos funciones racionales f (x)=g(x)h(x)

se pueden aplicar el teorema del grado global de los polinomios de

las siguiente manera:

f (x)=g (x)h(x)

=an xn

+...+a1 x+a0

bk xk+...+b1 x+b0

con n el grado (o mayor exponente) del polinomio g(x), y k el grado del polinomio h(x).

i) Si n<k si el grado del numerador es menor que el denominador la asíntota está sobre el eje x, y=0.

ii) Si n=k si el grado del numerador es igual que el denominador la asíntota es y=an

bk

iii) Si n>k si la gráfica no tiene asíntota horizontal.

Asíntotas oblicuas

Cuando f (x)=g(x)h(x)

con n el grado (o mayor exponente) del polinomio g(x) es mayor en uno que k el grado del

polinomio h(x). n=k+1 entonces la recta y=a x+b determinada por la división polinomial:

f (x)=g (x)h(x)

=(a x+b)+r (x)

h (x) con r (x) residuo , se puede obtener mediante división sintética también.

Si

f (x)=x2

−3x+1

tiene una asíntota vertical en x = 1.

Pero como el grado de g (x)=x2−3 es 2, y el grado de h(x)=x+1 es 1,

también hay una asíntota horizontal. Realizando la división siténtica o la división depolinomios tenemos que la asíntota oblicua está dada por la ecuación y= x – 1.

1. Considere las siguientes proposicionesI. La gráfica función f (x)=x−3 es un corrimiento de tres unidades a la derecha de la gráfica de f (x)=xII. La gráfica función f (x)=2 x−3 es una reflexión sobre el eje x de la de la gráfica de f (x)=−2x−3De las anteriores ¿Cuáles son verdaderas?A) AmbasB) NingunaC) Solo la ID) Solo la II

x2 x ∘ −1

−301

1

−1

−1

−1

−4

residuoy=x−1

asíntota oblicua

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2. Considere las siguientes proposicionesI. La gráfica función f (x)=2 x2 es una contracción vertical de la gráfica de f (x)=x2

II. La gráfica inversa de la función f (x)=x−3 es un corrimiento de tres unidades hacia arriba de la gráfica de la función f (x)=xDe las anteriores ¿Cuáles son verdaderas?A) AmbasB) NingunaC) Solo la ID) Solo la II

3. Considere la gráfica adjunta

Si f (x)=√ x entonces el criterio de la transformacióno transformaciones cuya gráfica está designada con

g(x) corresponde aA) g (x)=5−√ xB) g (x)=−5−√ xC) g (x)=−5+√ xD) g (x)=5+√ x

4. Considere las siguientes proposiciones referidas a la gráficaadjuntaI. g (x)= f (−x)II. Hay una asíntota vertical en y = 0De las anteriores ¿cuáles son verdaderas?A) AmbasB) NingunaC) Solo la ID) Solo la II

f (x)

x

y

5

g(x)

f (x)

x

y

g(x)

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5. Considere las siguientes tabla para la función f

x 3,89 3,98 3,999 4,001 4,02 4,11

f(x) 2 4 5 -5 -4 -2

Se puede afirmar queI. Existe una asíntota vertical en x=4.II. Hay una asíntota horizontal en y= 0.De las anteriores proposiciones ¿cuáles son verdaderas?A) AmbasB) NingunaC) Solo la ID) Solo la II

6. Considere las siguientes tabla para la función g

x -4 -3 -1 0 1 2

g(x) 0,015 0,025 0,073 0,103 0,242 0,300

Se puede afirmar que

I. Existe una asíntota vertical en x=12

.

II. Hay una asíntota horizontal en y= 13

De las anteriores proposiciones ¿cuáles son verdaderas?A) AmbasB) NingunaC) Solo la ID) Solo la II

7. La función f (x)=x+1x−2

posee las siguientes características

I. Posee una asíntota horizontal en y= 2 y una asíntota oblicua en y= xII. Posee una asíntota vertical en x = 2 y no posee asíntota oblicua.De las anteriores proposiciones ¿cuáles son verdaderas?A) AmbasB) NingunaC) Solo la ID) Solo la II

8. Para analizar el efecto de fotoinhibición de una planta durante elproceso de la fotosíntesis los especialistas han descubierto querapidez P con que se realiza la fotosíntesis tiende a disminuir haciacero conforme la intensidad de la luz I crece continuamente hastaalcanzar niveles altos. Similar a como se muestra la gráfica. Unafunción realista que refleje el comportamiento asíntótico de P,corresponde a

A) P ( I )= 4 I5+ I

B) P ( I )= 4 I5+I2

C) P ( I )= ln I5

D) P ( I )=4−I 3

2− I

I

P