UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLOFACULTAD DE MEDICINA PROMO LI

Laboratorio de Bioestadstica N1- Distribuciones Muestrales -1. Qu es una distribucin muestral? Por qu son importantes las distribuciones muestrales? Qu es el error estndar? Qu efecto tiene aumentar el tamao de la muestra sobre la variabilidad de una distribucin muestral de proporciones?

a) Distribucin Muestral: La distribucin muestral es lo que resulta de considerar todas las muestras posibles que pueden ser tomadas de una poblacin. Es importante porque su estudio permite calcular la probabilidad que se tiene, dada una sola muestra, de acercarse al parmetro de la poblacin.

b) Importancia de las Distribuciones Muestrales: Tales distribuciones son muy importantes en el estudio de la estadstica inferencial, porque las inferencias sobre las poblaciones se harn usando estadsticas muestrales. Con el anlisis de las distribuciones asociadas con los estadsticos muestrales, podremos juzgar la confiabilidad de un estadstico muestral como un instrumento para hacer inferencias sobre un parmetro poblacional desconocido. Adems se utilizan como estadsticas de prueba en la contrastacin de hiptesis.

c) Error Estndar: La dispersin de cada media muestral con respecto a la media de toda la poblacin.

d) Efecto de aumentar la muestra sobre la variabilidad de una distribucin muestral de proporciones:

La que la media y la desviacin estndar se mantienen constantes lo nico que aumenta es la probabilidad de la proporcin muestral p

2. Supngase que se tiene una poblacin de tamao N=5 que consta de las edades de 5 nios, paciente externos de un Centro de enfermedades mentales. Las edades son las siguientes: 6, 8, 10, 12, 14.

a) Calcular la media y varianza

Media poblacional:

Varianza poblacional:

b) Seleccionar muestras de tamao n=2 con reemplazamiento y sin reemplazamiento.

Muestras con ReemplazamientoN=5, n=2 --- .

FACULTAD DE MEDICINA PROMO LI

Bioestadstica II1

Muestras

6,660

6,872

6,1088

6,12918

6,141032

8,672

8,880

8,1092

8,12108

8,141118

10,688

10,892

10,10100

Muestras

10,12112

10,14128

12,6918

12,8108

12,10112

12,12120

12,14132

14,61032

14,81118

14,10128

14,12132

14,14140

Muestras sin reemplazamientoN=5, n=2 -----------

Muestras

6,872

6,1088

6,12918

6,141032

8,1092

8,12108

8,141118

10,12112

10,14128

12,14132

c) Determinar la distribucin de probabilidad de y para las muestras con y sin reemplazamiento:

Distribucin de probabilidad de y para las muestras con reemplazamiento

67891011121314

0281832

Distribucin de probabilidad de y para las muestras sin reemplazamiento

78910111213

281832

d) Calcular para las muestras con y sin reemplazamiento:

Para muestras con reemplazamiento

Esperanza de la media muestral

Varianza de la media muestral:

Esperanza de la varianza muestral:

Varianza de la varianza muestral

Para muestras sin reemplazamiento

Esperanza de la media muestral

Varianza de la media muestral:

Esperanza de la varianza muestral:

Varianza de la varianza muestral:

3. Sea 1, 1, 1, 3, 4, 5, 6, 6, 6,7 una poblacin. Se extrae una muestra de tamao n = 36 con reemplazo de esta poblacin. Calcular:a) La media y varianza Media Poblacional:

Varianza Poblacional:

b) La desviacin estndar de la media muestral:

Varianza de la media muestral:

Entonces, la desviacin estndar de al media muestral es:

c)

Para 3.6 ----------> :

Para 4.4 ---------->

Entonces:

4. Sea x una variable aleatoria con fdp f(x) =De la cual se toma una muestra aleatoria de n=32. Hallar:

Media:

Varianza:

a)

b)

5. Dada una poblacin con distribucin normal con media 100 y una desviacin estndar de 20. encuentre las siguientes probabilidades basadas en una muestra de tamao 16:

u = 100a)

b)

c)

6. Los puntos del ts de inteligencia WISC (wescheler interlligence for children) sigue una distribucin normal con media 100 y desviacin estndar de 15 (http://nicologic.free.fr/faq). Averige la probabilidad de que:

a. Un nio elegido al azar tenga un CI menor que 95.

i.

b. Una muestra de 20 nios elegidos al azar tenga una media menor que 95. Cul es la diferencia con la probabilidad encontrada en (a)?

n=20

i. Estandarizando x:

Por lo tanto:p(a)-p(b) =0.37-0.0681 =0.3019

c. Una muestra de 200 nios elegidos al azar tenga una media menor que 95. Cul es la diferencia con la probabilidad encontrada en (c)?n=200

i.

Estandarizando x:

Por lo tanto p(a)-p(c) =0.37-0 = 0.37

d. Una muestra de 500 nios elegidos al azar tenga una media menor que 95.n=500

i. Estandarizando x :

No hay probabilidad de que ocurra esto.

7. Se sabe que el 35% de los miembros de una poblacin sufren de una o ms enfermedades crnicas. Cul es la probabilidad de que, en una muestra aleatoria de 200 individuos, 80 o ms tengan al menos una enfermedad crnica?

P =0.35 y Q = 0.65n= 200p (p80/200)= p (p0.4)Ahora estandarizamos:

P (p0.4)= p ( ) = 1.47)=1 - 1.47)= 1- 0.9292 = 0.0708

La probabilidad de que de la muestra aleatoria de 200 individuos, 80 o ms tengan al menos una enfermedad crnica es de 0.07088. Si, en una poblacin de adultos, 0.15 estn sometidos a algn tipo de dieta, cul es la probabilidad de que una muestra al azar de tamao 100 d una proporcin de aquellos que se encuentran a dieta:

a) Mayor que o igual a 0.20?

b) Entre 0.10 y 0.20?

c) No mayor de 0.12?

9. Se hace un estudio para averiguar el nmero de horas al da mirando televisin de nios entre 5 y 8 aos en Talca (X). Asuma que X es una variable aleatoria discreta, con la siguiente distribucin de probabilidades:

X: nmero de horas 0 1 2 3 4Proporcin de nios 0,050,20 0,25 0,30 0,20

a. Grafique la distribucin de X, d su opinin acerca de la forma de la distribucin

b. Cul es el nmero esperado de horas frente al televisor?

El nmero esperado de horas frente al televisor es de 2.4 horas.

c. Cul es la desviacin estndar del nmero de horas frente al televisor?

La desviacin estndar del nmero de horas frente al televisor es de 1.157.d. Cul es la probabilidad de que un nio seleccionado al azar est a lo ms (no ms de) 2 horas diarias frente al televisor?

P(x2) = 0.05 + 0.20 + 0.25 = 0.5La probabilidad de que un nio est a lo ms 2 horas frente al televisor es de 0.5.

e. Se toma una muestra aleatoria de n=64 nios de esta poblacin. Calcule la probabilidad de que la media muestral sea de a lo ms dos horas.

n=64

Estandarizando:

La probabilidad de que la media muestral sea de a lo ms dos horas es de 0.0028.10. Dada una poblacin en la que p=0,6 y una muestra aleatoria de esta poblacin de tamao 100, encuentre:

P = 0.6Q = 0.4n = 100

a) 0,65) = P ( P ( Z ) = P ( Z 1.02)1 - P ( Z 1.02 ) P = 1 0.8461P = 0.1539

b) 0,58) = P ( ) = P ( z ) = P ( z - 0.4 )P = 1 P (z 0.4 ) = 1 0.6554P = 0.3446

c) 0,63) = P ( z 0.63 ) P ( z 0.56 ) = 0.7357 0.7123P = 0.0234

11. Dadas dos poblaciones con distribucin normal y con medias iguales y varianzas de y , Cul es la probabilidad de que muestras de tamaos proporcionen un valor de - mayor que o igual a 8.

SOLUCIN:

-Sabemos que:

12. En un estudio para comparar los pesos promedios de nios y nias de sexto grado en una escuela primaria se usar una muestra aleatoria de 20 nios y otra de 25 nias. Se sabe que tanto para nios como para nias los pesos siguen una distribucin normal. El promedio de los pesos de todos los nios de sexto grado de una escuela es de 100 libras y su desviacin estndar es de 14.142 libras, mientras que el promedio de los pesos de todas las nias de sexto grado de esa escuela es de 85 libras y su desviacin estndar es de 12.247 libras. Cul es la probabilidad de que el promedio de los pesos de los 20 nios sea al menos 20 libras ms grande que el de las 25 nias?

SOLUCIN:

Z = 1.25 0.894 = 1 - 0.894 = 0.106

13. Un investigador se siente inclinado a creer que los niveles de vitamina A en el hgado de dos poblaciones de personas muestran, en cada una, una distribucin normal. Se supone que las varianzas para las dos poblaciones son las siguientes:

Poblacin 1:

Poblacin 1:

Cul es la probabilidad de que una muestra al azar de tamao 15 de la primera poblacin y de 10 de la segunda proporcionen un valor de mayor que o igual a 50 si no existe diferencia entre las medias de las poblaciones?

SOLUCIN: 2 = 19600 2= 8100 n1=15n2=10 x y n (x- y; ) Z= P ( ) x=y P (Z ) P (Z ) P (Z ) P (Z 1- P (Z 1.09) Buscando en la tabla normal = 1- 0.8621 = 0.1379

14. Se sabe que el medicamento estndar utilizado para tratar una cierta enfermedad ha resultado ser eficaz en un lapso de tres das en el 75% de los casos en los que se utiliz. Al evaluar la eficacia de un nuevo medicamento para tratar la misma enfermedad, se les dio a 150 personas que la padecan. Al trmino de los tres das, se haban recuperado 97 personas. Si el nuevo medicamento es tan eficaz como el estndar, Cul es la probabilidad de observar una pequea proporcin de recuperacin?

SOLUCIN:

P=0.75p==0.65Q=0.25n=150P(p0.65)

x=97P(z ) = P(z) = P(z)

= 1- P(z2.83)= 1-0.9977

=0.0023

15. Si X es una variable aleatoria x2 con 23 grados de libertad. Hallar a y b tal que:P[a