Ecuaciones diferenciales de 1er orden :

Una ecuacin diferencial ordinaria de primer orden es una expresin

del tipo siguiente:

y' f (x, y)

El problema que se suele presentar es el de calcular una funcin y = f(x)

tal que verifique la ecuacin anterior con una condicin de contorno:

y(x0) = y0.

El siguiente Teorema de Cauchy slo garantiza la existencia y unicidad

de la solucin bajo las siguientes condiciones restrictivas:

Teorema de Cauchy:

Si f(x,y) es analtica en un dominio que contiene al punto (x0,y0),

existe una, y slo una, funcin analtica y(x) que verifique la ecuacin:

y'dy

dx f (x, y)

con la condicin de contorno: y(x0 ) y0

Una funcin se dice que es analtica si es derivable un nmero infinito

de veces: f C

Una condicin, menos exigente, para que exista solucin y sea nica

(aunque no necesariamente analtica)es que se satisfaga una condicin de

Lipschitz:

Supongamos que tenemos una funcin f(x,y) definida en un dominio

del plano XY. Se dice que la funcin f(x,y) satisface una condicin de

Lipschitz (respecto de y) en el dominio si esixte una constante M >0

tal que:

f (x,y1) f (x, y2 ) M y1 y2

para todos los puntos (x,y1) y (x,y2) que pertenezcan al dominio. La

constante M se llama constante de Lipschitz.

Una condicin suficiente para que se pueda verificar una condicin de

Lipschitz es que exista f/y y est acotada en el dominio, D. Si es as,

Efectivamente, se satisface una condicin de Lipschitz (respecto de y) en

el dominio, D, y la constante viene dada por:

M sup(x ,y )D

f (x,y)

y

En efecto:

f (x, y1 ) f (x, y2 ) (y1 y2 )f (x,)

y donde (y1, y2 )

con lo cul:

Para ver esta pelcula, debedisponer de QuickTime y de

un descompresor GIF.

Para ver esta pelcula, debedisponer de QuickTime y de

un descompresor GIF.

f (x,y1) f (x, y2 ) y1 y2f (x,)

y sup

(x , y)D

f (x, y)

yy1 y2

Ejemplo:

Supongamos el dominio D definido del siguiente modo:

x a ; y b

y la funcin f(x,y) dada por :

f (x, y) y2

como f/y existe y est acotada en el dominio D:

f (x,y)

y 2y

M sup(x ,y )D

f (x,y)

y 2b

En efecto:

f (x,y1) f (x, y2 ) y12 y2

2 y1 y2 y1 y2 2by1 y2

Sin embargo, aunque esta condicin (sobre la derivada parcial) es una

condicin suficiente, no es necesaria, como se ve en el ejemplo siguiente:

f (x, y) x y en x a ; y b

f (x,y1) f (x, y2 ) x y1 x y2 x y1 y2 ay1 y2

que cumple una condicin de Lipschitz:

a pesar de que la derivada parcial f/y no existe en los puntos (x,0)

Mtodo de Euler:

Es un mtodo sencillo para la integracin de ecuaciones diferenciales

de primer orden.

Sea:

dy

dx f (x,y)

con la condicin de contorno: y(x0 ) y0

Supongamos que y(x) es la solucin exacta del problema. Si tomamos

un x lo suficientemente prximo a x0, podemos tomar la siguiente

aproximacin:

y(x) y(x0 )dy

dx x 0(x x0 )

y(x) y(x0 )dy

dx x 0(x x0 ) y0 f (x0 ,y0 ) (x x0 )

As, si, por ejemplo, tomamos un x1 = x0+h, podemos calcular el valor

correspondiente y1 = y(x1) del siguiente modo:

x1 x0 h

y1 y0 f (x0 ,y0) h

Si ahora quisiramos calcular la solucin en un punto ulterior, partiramos

ahora de:

dy

dx f (x,y)

con la nueva condicin (aproximada) de contorno: y(x1) y1

Utilizar el mtodo de Euler para aproximar el valor de la solucin de

la siguiente ecuacin diferencial en los puntos x = 0.2, 0.4, 0.6, 0.8 y 1,

usando h = 0.2 y h = 0.1.

dy

dx 2x y ; y(0) 1

h = 0.2

x1 x0 h

y1 y0 f (x0 ,y0) h

0 0.2 0.2

11 0.2 1.2

x2 x1 h

y2 y1 f (x1, y1) h

0.2 0.2 0.4

1.2 1.60.2 1.52

x3 x2 h

y3 y2 f (x2, y2 ) h

0.4 0.2 0.6

1.52 2.320.2 1.984

x4 x3 h

y4 y3 f (x3, y3) h

0.6 0.2 0.8

1.984 3.1840.2 2.6208

x5 x4 h

y5 y4 f (x4 ,y4 ) h

0.80.2 1.0

2.62084.2208 0.2 3.46496

h = 0.1

x1 x0 h

y1 y0 f (x0 ,y0) h

0 0.1 0.1

110.11.1

x2 x1 h

y2 y1 f (x1, y1) h

0.10.1 0.2

1.11.30.11.23

x3 x2 h

y3 y2 f (x2, y2 ) h

0.2 0.1 0.3

1.231.630.11.393

x4 x3 h

y4 y3 f (x3, y3) h

0.30.1 0.4

1.3932.39230.11.83153

x5 x4 h

y5 y4 f (x4 ,y4 ) h

0.4 0.1 0.5

1.59232.39230.11.83153

x6 x5 h

y6 y5 f (x5, y5 ) h

0.50.1 0.6

1.831532.831530.1 2.114683

x7 x6 h

y7 y6 f (x6, y6 ) h

0.6 0.10.7

2.1146833.3146830.1 2.4461513

x8 x7 h

y8 y7 f (x7, y7 ) h

0.70.1 0.8

2.44615133.84615130.1 2.8307664

x9 x8 h

y9 y8 f (x8, y8) h

0.80.1 0.9

2.8307664 4.43076640.1 3.273843

x10 x9 h

y10 y9 f (x9, y9 ) h

0.9 0.11.0

3.2738435.0738430.1 3.7812273

Vemos que obtenemos valores distintos de los que habamos calculado

para h = 0.2. Cuanto menor sea h, mejor ser la aproximacin (aunque

tambin ms laboriosa). Para un h constante el error ser tanto mayor

cuanto ms nos alejemos del punto inicial, como puede apreciarse en la

grfica siguiente en la que comparamos las dos soluciones aproximadas

con la solucin exacta.

01

2

3

4

5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

y(x) = -2(x+1)+3ex

h = 0.2

h = 0.1

Mtodo de Euler modificado:

La solucin exacta de la ecuacin diferencial de primer orden:

dy

dx f (x,y) ; y(x0 ) y0

en el punto x1 vendra dada por la siguiente expresin:

y(x1) y(x0 ) f (x,y) dxx 0

x1

En el mtodo de Euler sencillo que vimos anteriormente tombamos la

siguiente aproximacin:

y(x1) y(x0 ) f (x0 , y0 ) (x1 x0 )

Esta aproximacin es equivalente a suponer que en el integrando de la

solucin exacta f(x,y) es constante e igual a su valor en el extremo

inferior de la integral, es decir, f(x, y) = f(x0,y0):

y(x1) y(x0 ) f (x,y) dxx 0

x1

y(x0 ) f (x0, y0 ) (x1 x0 )

si f (x,y) f (x0 ,y0 )Parecera ms razonable el pensar que obtendramos un valor mspreciso si aproximramos la integral de f(x,y) por un promedio de sus

valores en los dos extremos de la integral en vez de tomarla igual a su

valor en el extremo inferior.

Sin embargo, de esa manera, nos encontraramos con el problema de

que, para calcular y1 necesitamos saber su valor para evaluar f(x1,y1).

y(x1) y(x0 ) f (x,y) dxx 0

x1

y(x0 ) f (x0, y0 ) f (x1,y1)

2 (x1 x0 )

si f (x,y) f (x0 ,y0 ) f (x1, y1)

2

El problema se solventa del siguiente modo: Primero se obtiene una

aproximacin de y1 usando el mtodo de Euler sencillo:

y1(0)

y0 f (x0, y0 ) h

a continuacin, se usa esta aproximacin sencilla para calcular f(x1,y1(0))

y as poder tomar la siguiente nueva estimacin para el valor de y1 :

y1(1)

y0 f (x0, y0 ) f (x1,y1

(0) )

2 h

naturalmente, podramos utilizar esta nueva aproximacin para obtener

otra:

y1(2)

y0 f (x0, y0 ) f (x1,y1

(1) )

2 h

y as, podramos iterar hasta obtener una aproximacin definitiva.

Una vez que estimemos que tenemos una estimacin sensata de y1repetiramos el procedimiento para calcular y2:

y2(0)

y1 f (x1, y1 ) h

y2(1)

y1 f (x1, y1 ) f (x2, y2

(0) )

2 h

y2(2) y1

f (x1, y1 ) f (x2, y2(1) )

2 h

Utilizar el mtodo de Euler modificado para aproximar el valor de la

solucin de la siguiente ecuacin diferencial en los puntos x = 0.2 y 0.4,

usando h = 0.2 y con tres decimales de aproximacin:

dy

dx 2x y ; y(0) 1

h = 0.2

y1(0)

y0 f (x0, y0 ) h

0 0.2 0.2

11 0.2 1.2

x1 x0 h

y1(1)

y0 f (x0, y0 ) f (x1,y1

(0) )

2 h 1

1 2 0.2 1.2

2 0.2 1.26

y1(2)

y0 f (x0, y0 ) f (x1,y1

(1) )

2 h 1

1 2 0.2 1.26

2 0.2 1.266

y1(3)

y0 f (x0 , y0 ) f (x1, y1

(2) )

2 h 1

1 2 0.2 1.266

2 0.2 1.2666

y1(4)

y0 f (x0, y0 ) f (x1, y1

(3) )

2 h 1

1 2 0.2 1.2666

2 0.2 1.26666

Luego, con tres cifras decimales, tendramos: y1 1.267

x2 x1 h

y2(0)

y1 f (x1, y1 ) h

0.2 0.2 0.4

1.267 2 0.2 1.267 0.2 1.6004

y2(1)

y1 f (x1, y1 ) f (x2, y2

(0) )

2 h

y2(1)

1.2672 0.21.267 2 0.4 1.6004

2 0.2 1.67374

y2(2)

y1 f (x1, y1 ) f (x2, y2

(1) )

2 h

y2(2)

1.2672 0.21.267 2 0.4 1.67374

2 0.2 1.681074

y2(3)

y1 f (x1,y1) f (x2, y2

(2))

2 h

y2(2)

1.2672 0.21.267 2 0.4 1.681074

2 0.2 1.6818074

y2(4)

y1 f (x1, y1 ) f (x2 ,y2

(3) )

2 h

y2(4)

1.2672 0.2 1.267 2 0.4 1.6818074

2 0.2 1.6818807

Luego, con tres cifras decimales, tendramos: y2 1.682

0

1

2

3

4

5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

y(x) = -2(x+1)+3ex

h = 0.2

h = 0.1

h = 0.2Euler modificado

Algoritmo de Taylor:

Una forma alternativa de mejorar el mtodo de Euler sera tomar ms

trminos en el desarrollo de Taylor de la solucin exacta:

y(x) y(x0 ) y' (x0 )(x x0 )y' ' (x0 )

2(x x0 )

2

Esto se puede hacer del modo siguiente:

Partiendo de:

y' f (x, y)

y derivando respecto a x nos queda que:

y' ' f (x, y)

xf (x, y)

yy'

f (x, y)

x f (x, y)

f (x, y)

y

En lo siguiente, empleamos la siguiente notacin abreviada:

y' ' f (x, y)

x f (x,y)

f (x, y)

y x f f y f

si seguimos derivando:

y' ' ' d

dxx f f y f

y' ' ' x2f yx f y' x fy f y f

2

y' fxy f fy2f y'

y' ' ' x2f 2 fxy f x fy f f y f

2

f2y

2f

y as, podramos continuar calculando derivadas de orden ms alto. Si

f admitiera derivadas de cualquier orden (es decir, si fuera, analtica),

podramos calcular la solucin de este modo (Teorema de Cauchy).

Si aplicamos este mtodo al problema que tenamos:

dy

dx 2x y ; y(0) 1

y' 2x 1 1

y' ' 2 y' 3

y' ' ' y' ' 3

y'v y

v y

n 3

Luego, la solucin se puede escribir como:

y(x) 1 x 3x2

2

3x3

3!

3x n

n! 3e

x 2 2x

Sin embargo, en el caso general, este mtodo puede resultar bastante

laborioso, tal y como se puede apreciar en el siguiente ejemplo:

y' sen x cos y

y(0) 0

y' senx cos y

y' ' cosx y' sen y cos x (senx cosy)seny

y'' cosx senxsen y sen y cos y

y' ' ' sen x y' ' sen y y' 2 cos yy'

v cos x y' ' ' seny y' ' y' cos y 2y' y' ' cosy y' 3 seny

yv sen x y' v sen y y' ' ' y' cosy y' ' ' y' cosy y' ' 2 cos y y' ' y' 2 sen y

2 y' ' 2 cos y 2y' y' ' ' cosy 2 y' 2y' ' sen y 3 y' 2 y' ' sen y y' 4 cos y

yv sen x y'

vseny 4y' ' ' y' cos y 3 y' ' 2 cos y 6y' ' y' 2 seny y' 4 cos y

yv' cos x yv sen y y' v y' cosy 4y' v y' cosy 4y' ' ' y' ' cosy

4y' ' ' y' 2 sen y 6y' ' y' ' ' cos y 3 y' ' 2y' sen y 12y' y' ' 2 sen y

6 y' 2 y' ' ' sen y 6 y' 3y' ' cos y 4 y' 3y' ' cos y y' 5 sen y

yv' cos x yv sen y 5y' v y' cos y 10y' ' ' y' ' cos y

10y' ' ' y' 2 sen y 15 y' ' 2 y' sen y 6 y' 3y' ' cos y

10 y' 3y' ' cos y y' 5 sen y

Por tanto, haciendo las sustituciones oportunas:

y' (0) 1 y'v(0) 4

y' ' (0) 1 yv(0) 2

y' ' ' (0) 1 yv' (0) 41

con lo que la solucin puede escribirse como:

y(x) x x2

2x3

3!

4x4

4!

2x5

5!

41x6

6!

y(x) x x2

2x3

6x4

6x5

60

41x6

720

Mtodo de Picard (de las aproximaciones sucesivas):

Como ya vimos anteriormente, la solucin exacta de la ecuacin

diferencial de primer orden:

dy

dx f (x,y) ; y(x0 ) y0

en el punto x vendra dada por la siguiente expresin:

y(x) y(x0 ) f (x, y) dxx0

x

Si conociramos y(x), sustituyndola en el integrando de la ecuacin

anterior, obtendramos una identidad trivial.

Si partiramos de una solucin aproximada, y0(x), podramos

introducirla en el integrando para calcular una nueva aproximacin

(mejorada) y1(x). Integrando esta nueva aproximacin, se puede obtener

otra nueva, y2(x), y as sucesivamente.

y1(x) y(x0 ) f (x, y0 (x)) dxx0

x

y2 (x) y(x0 ) f (x, y1(x)) dxx0

x

yn (x) y(x0 ) f (x, yn1(x)) dxx 0

x

Generalmente, la primera aproximacin que se suele tomar es hacer

y0(x) constante e igual a la condicin de contorno: y0(x) = y(x0).

Si la convergencia no fuera buena, podran ensayarse aproximaciones

iniciales mejores, mediante el mtodo de Euler (o el de Euler modificado).

Cuando las integrales se efectan de forma numrica, estos mtodos se

conocen con el nombre de mtodos de Adams-Bashforth.

Utilizar el mtodo de Picard con el problema siguiente:

y' sen x cos y

y(0) 0

y1 (x) y(x0 ) f (x,y0(x)) dxx 0

x

0 sen x 1 dx0

x

y1 (x) cosx x 0x 1 x cos x

y2 (x) y(x0 ) f (x, y1(x)) dxx 0

x

y2 (x) sen x cos 1 x cos x dx0

x

y2 (x) sen x cos 1 x cos x dx0

x

y2 (x) sen x cos 1 x (1x 2

2)

dx0

x

y2 (x) sen x cos x x2

2

dx

0

x

y2 (x) sen x 1x2

2x3

2

dx

0

x

y2 (x) cos x x x3

6x4

8

0

x

1 cos x x x3

6x 4

8

y3(x) y(x0 ) f (x, y2 (x)) dxx0

x

y3(x) sen x cos 1 cosx x x 3

6x4

8

dx

0

x

y3(x) sen x cos 1 (1x2

2x 4

24) x

x3

6x 4

8

dx0

x

y3(x) sen x cos x x2

2x3

6x 4

6

dx0

x

y3(x) sen x 1

x x2

2x3

6x4

6

2

2

x x2

2x3

6x4

6

4

24

dx0

x

y3(x) sen x 1x2

2x3

2x4

12

dx

0

x

y3(x) cos x x x3

6x 4

8x5

60

0

x

y3(x) 1 cos x x x3

6x4

8x 5

60

Utilizar el mtodo de Picard con el problema siguiente:

y1 (x) y(x0 ) f (x,y0(x)) dxx 0

x

dy

dx 2x y ; y(0) 1

y1 (x) 1 2x 1 dx0

x

1 x x2

y2 (x) y(x0 ) f (x, y1(x)) dxx 0

x

y2 (x) 1 2x 1 x x2 dx

0

x

y2 (x) 1 1 3x x2 dx

0

x

1 x 3x2

2x3

3

y3(x) 1 2x 1 x 3x2

2x3

3

dx0

x

y3(x) 1 1 3x 3x2

2x3

3

dx

0

x

y3(x) 1 x 3x2

2x3

2

x 4

4 3

y4 (x) 1 2x 1 x 3x2

2x3

2

x4

4 3

dx0

x

y4 (x) 1 x 3x2

2x3

2

x4

4 2

x5

5 4 3

Utilizar el mtodo de Picard con el problema siguiente:

y1 (x) y(x0 ) f (x,y0(x)) dxx 0

x

dy

dx x

2 y

2 ; y(0) 1

y1 (x) 1 x21 dx

0

x

1 x x 3

3

y2 (x) y(x0 ) f (x, y1(x)) dxx 0

x

y2 (x) 1 x2 1 x

x3

3

2

dx

0

x

y2 (x) 1 1 2x 2x2

2x3

3

2x4

3x 6

9

dx

0

x

y2 (x) 1 x x2

2x3

3x4

6

2x5

15x7

63

y3(x) 1 x2 1 x x

2

2x3

3x4

6

2x5

15x7

63

2

dx0

x

y3(x) 1 (1 2x 4x2

10x3

3

8x 4

3

29x5

15

47x6

45

0

x

164x 7

315

299x8

1260

8x9

105

184x10

4725

x11

189

4x12

945

x14

3969) dx

y3(x) 1 x x2

4x3

3

5x4

6

8x5

15

29x6

90

47x7

315

41x8

630

299x9

11340

4x10

525

184x11

51975

x12

2268

4x13

12285

x15

59535

Mtodo de Runge-Kutta (de cuarto orden):

Los llamados mtodos de Runge-Kutta son una serie de algoritmos

para calcular aproximaciones nmericas del valor de la solucin de:

dy

dx f (x,y) ; y(x0 ) y0

en puntos de la forma siguiente:

x1 x0 h ; x2 x1 h ; etc

con muy buena precisin, sin que, para ello, sea necesario que los h sean

muy pequeos.

El procedimiento consta de los siguientes pasos:

Para calcular un valor aproximado de la solucin y1 en el punto

x1 = x0 + h, se calculan los siguientes nmeros:

k1 h f (x0 ,y0 )

k2 h f (x0 h

2, y0

k1

2)

k3 h f (x0 h

2, y0

k2

2)

k4 h f (x0 h, y0 k3 )

K0 1

6(k1 2k2 2k3 k4 )

y entonces se toma:

y1 y0 K0

Procediendo del mismo modo, calcularamos el valor aproximado de

la solucin, y2, en el punto x2 = x1 + h:

k1 h f (x1, y1)

k2 h f (x1 h

2, y1

k1

2)

k3 h f (x1 h

2, y1

k2

2)

k4 h f (x1 h, y1 k3)

K0 1

6(k1 2k2 2k3 k4 )

y2 y1 K0

Y as, sucesivamente, para el punto ensimo, tendramos xn = xn-1 + h:

k1 h f (xn1, yn1 )

k2 h f (xn1 h

2, yn1

k1

2)

k3 h f (xn1 h

2,yn1

k2

2)

k4 h f (xn1 h, yn1 k3 )

K0 1

6(k1 2k2 2k3 k4 )

yn yn1 K0

Utilizar el mtodo de Runge-Kutta con el problema siguiente para

calcular la solucin aproximada en x = 0.2 y x =0.4:

dy

dx 2x y ; y(0) 1

h = 0.2:

k1 h f (x0 ,y0 )

k2 h f (x0 h

2, y0

k1

2)

0.2 (2 01) 0.2

0.2 f (0 0.1, 1 0.1)

k2 0.2 2 0.11.1 0.26

k3 h f (x0 h

2, y0

k2

2) 0.2 f (0.1, 1.13)

k3 0.2 2 0.11.13 0.266

x1 x0 h 0 0.2 0.2

k4 h f (x0 h, y0 k3 ) 0.2 f (0.2, 1.266)

k4 0.2 2 0.2 1.266 0.3332

K0 1

6(k1 2k2 2k3 k4 ) 0.2642

y1 y0 K0 1.2642

x2 x1 h 0.2 0.2 0.4

k1 h f (x1, y1) 0.2 (2 0.21.2642) 0.33284

k2 h f (x1 h

2, y1

k1

2) 0.2 f (0.3, 1.43062) 0.40612

k3 h f (x1 h

2, y1

k2

2) 0.2 f (0.3, 1.46726) 0.41345

k4 h f (x1 h, y1 k3) 0.2 f (0.4, 1.67765) 0.49553

K0 1

6(k1 2k2 2k3 k4 ) 0.41125

y2 y1 K0 1.2642 0.41125 1.67545

dy

dx x

2 y

2 ; y(0) 1

Utilizar el mtodo de Runge-Kutta con el problema siguiente para

calcular la solucin aproximada en x = 0.1 y x =0.2:

h = 0.1:

k1 h f (x0 ,y0 )

k2 h f (x0 h

2, y0

k1

2)

0.1f (0,1) 0.1 (021

2) 0.1

0.1 f (0.05, 1.05)

k2 0.1 0.052 1.05

2 0.1105

k3 h f (x0 h

2, y0

k2

2) 0.1 f (0.05, 1.05525)

x1 x0 h 0 0.1 0.1

k3 0.1116052

k4 h f (x0 h, y0 k3 ) 0.1 f (0.1, 1.1116052)

k4 0.1 (0.121.1116052

2) 0.1245666

K0 1

6(k1 2k2 2k3 k4 ) 0.1114628

y1 y0 K0 1.1115

x2 x1 h 0.1 0.1 0.2

k1 h f (x1, y1) 0.1 (0.121.1115

2) 0.1245432

k2 h f (x1 h

2, y1

k1

2) 0.1 f (0.15, 1.1737716) 0.1400239

k3 h f (x1 h

2, y1

k2

2) 0.1 f (0.15, 1.181512) 0.141847

k4 h f (x1 h, y1 k3) 0.1f (0.2, 1.2533471) 0.1610878

K0 1

6(k1 2k2 2k3 k4 ) 0.1415621

y2 y1 K0 1.2531